Розробка заняття гуртка для учнів 8 класу на тему: «Векторний метод розв’язування задач» Мета : Повторити з учнями в загальному про вектори. Ознайомити учнів з векторним методом розв’язування задач. Навчити його застосовувати при розв’язуванні задач. Розвинути в учнів логічне мислення.
Хід заняття 1.
Актуалізація опорних знань
Метою етапу актуалізації опорних знань є повторення правил та понять для векторів. Далі робота планується в такому вигляді: вчитель задає питання, а учні відповідають на них. Вчитель: Що таке вектор? Учні: Вектор – це значення векторної величини. Вектор – це напрямлений відрізок. Вчитель : Що таке довжина вектора? Учні: довжина вектора з координатами х і у дорівнює
√ х2 + у2 .
Вчитель: Які вектори називають рівними? Учні: Два вектори називають рівними, якщо вони спів напрямлені і мають рівні довжини. Вчитель: Які вектори називають колінеарними? Учні: Вектори називають колінеарними, якщо вони розміщені на одній прямій або на паралельних прямих. Вчитель: Що таке сума двох векторів? ⃗ Учні: Сумою двох векторів ⃗а =( х 1 ; у 1) і b=( х 2 ; у 2) називають вектор
⃗а + ⃗b=( х 1 + х 2 ; у 1 + у 2 ) .
Вчитель: Сформулюйте правило трикутника для додавання векторів. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Учні: Які б не були вектори АВ і ВС , завжди АВ+ ВС = АС
Один з учнів виходить до дошки і зображає це правило геометрично. В
С
А
Вчитель: Сформулюйте правило паралелограма для додавання векторів , а також зобразіть дане правило геометрично на дошці. Один учень формулює правило словесно, а інший зображає дане правило геометрично на дошці. ⃗ ⃗ ⃗ Учні: Якщо ABCD паралелограм, то АВ+ AD= АС B
A
C
D
Вчитель: Що
таке різниця векторів?
⃗ Учні: Різницею векторів а⃗ і b називають такий вектор с⃗ який у
сумі з вектором
⃗b
дає вектор а⃗ .
Які б не були вектори
⃗ АВ
і
⃗ АС
⃗ АВ−⃗ АС =⃗ СВ .
, завжди
Геометрично зображується це так.
В
С А
Вчитель:Сформулюйте означення скалярного добутку векторів. Учні: Скалярним добутком векторів називається число
х1 у1 + х2 у2
⃗а =( х 1 ; у 1)
і
⃗b=( х ; у ) 2 2
.
Вчитель: Сформулюйте правило множення вектора на число. Учні: Добутком вектора
⃗а =(x ; y )
на число n називають вектор
n а=( nx ; ny ) . ⃗
Далі вчитель говорить: «зараз ми розв’яжемо декілька усних вправ на ті поняття, які ми щойно повторили» 1.
Знайдіть суму векторів: ⃗b=( 7 ; 5 )
⃗а =( 4 ; 2 ) ,
⃗а + ⃗b=( 4+ 7 ; 2+5 ) =(11 ; 7) ⃗n =(−6 ; 8 ) ,
m = ( 2 ;−9 ) ⃗
−7 −6+ 2 ; 8+(¿)=(−4 ; 1) ⃗n +⃗ m=¿ 2.
а⃗ =( 9 ; 5 ) ,
Знайдіть різницю векторів с⃗ =( 6 ; 2 )
⃗ ( 9−6 ; 5−2 )=(3 ; 3) ⃗а −b= ⃗k = (13 ;−25 ) ,
⃗p=(−7 ; 16 )
⃗k −⃗p=( 13−(−7 ) ;−25−16 )=(20 ;−41)
Множте вектор ⃗а =(−3 ; 5 ) на числа 3 та -7.
3.
3 ⃗а =(−9 ; 15 ) −7 ⃗а =( 21 ;−35 )
Сприймання та засвоєння нових знань
2.
Вектори часто застосовуються у математиці, фізиці, астрономії та деяких інших науках. Розглянемо, як за допомогою векторів можна розв’язувати геометричні задачі. Якщо розв’язуючи задачу, використовують властивості векторів, то це – векторний метод розв’язування задачі. При цьому часто використовують таке твердження. Вчитель диктує учням теорему та записує її доведення на дошці, а учні відповідно записують теорему та її доведення в свої робочі зошити. Теорема. Якщо Х – довільна точка, а М – середина відрізка АВ або точка перетину медіан трикутника АВС, то відповідно 1 ⃗ XM = ( ⃗ XA+ ⃗ XB ) 3
або
Доведення.
1 ⃗ XM = ( ⃗ XA+ ⃗ XB+ ⃗ XC ) . 3
Завжди
істині
⃗ XM + ⃗ МА=⃗ XA ,⃗ XM +⃗ МВ=⃗ X В ,⃗ XM +⃗ МС =⃗ X С.
Мал.
рівності: а)
Х
Х
А А
М
В
В МС Мал. б)
Мал. а)
Додавши дві перші з цих рівностей і врахувавши, що ⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (мал. а)), дістанемо: 2 ХМ = ХА+ ХВ ,звідки ХМ = 2 ( ХА+ ХВ ) .
⃗ МА+⃗ МВ=⃗0
⃗ МА+⃗ МВ+ ⃗ МС =⃗0
Якщо додамо всі три рівності і врахуємо, що б)), дістанемо:
3.
3⃗ ХМ =⃗ ХА+⃗ ХВ +⃗ ХС ,звідки
(мал.
1 ⃗ ХМ = ( ⃗ ХА+ ⃗ ХВ+ ⃗ ХС ) 3
Застосування вмінь і навичок
Для прикладу розв’яжемо векторним методом задачу. Задача. Доведіть, що середини відрізків, які сполучають середини протилежних сторін чотирикутника, суміщаються. С
РОЗВ’ЯЗАННЯ.
У
F M
D
K
M1 Е
P А
В
Х
Якщо М і М1 – середини відрізків ЕF i KP a X – довільна точка, то 1 1 1⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗ ХМ = (⃗ Х E+⃗ Х F )= ( Х A+ Х B ) + ( Х C + Х D ) =¿ 2 2 2 2
(
)
1 ¿ (⃗ Х A+⃗ Х B+⃗ Х C +⃗ Х D) ; 4 1 1 1⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗ Х M 1= (⃗ Х K +⃗ Х P)= ( Х B+ Х C ) + ( Х A+ Х D ) =¿ 2 2 2 2
(
)
1 ¿ (⃗ Х A+⃗ Х B+⃗ Х C +⃗ Х D) ; 4
Праві частини цих рівностей рівні, тому
⃗ ХМ =⃗ Х M1
. А це можливо
тільки тоді, коли точки М і М1 суміщаються. (Один учень біля дошки а всі інші у робочих зошитах.) Задача. Доведіть що діагоналі прямокутника рівні. РОЗВ’ЯЗАННЯ В
С
А
D
Нехай ABCD даний прямокутник. Позначимо ⃗ АС =⃗а + b⃗
Дістанемо
використавши 2
,
⃗ DB=⃗а −b⃗
властивість
⃗ АВ= ⃗а
2 ⃗ ⃗ ⃗b2=∣⃗а∣2 +∣b⃗∣ АС 2=∣⃗ АС ∣ =( ⃗а + ⃗b ) =⃗а 2 + 2 ⃗а b+
⃗ ВС =⃗b .
. знайдемо квадрат діагоналей, скалярного
2
,
оскільки
⃗а ⃗b=0
добутку: ( у прямокутнику
⃗а ⊥ ⃗b ). 2
2
2
2 2 2 ⃗ ⃗b2 =∣⃗а∣2 +∣⃗b∣ ⃗ DB =∣⃗ DB∣ =( ⃗а − ⃗b ) =⃗а −2 ⃗а b+ ,
оскільки
⃗а ⊥ ⃗b .
Отже
2
∣⃗ АС∣ =∣⃗ DB∣ , або AС = DB. Що і треба було довести. (дану задачу вчитель диктує учням вони записують її в зошити і розв’язують самостійно.) Задача. Якщо в точці М перетинаються медіани трикутника АВС, то ⃗ МА+⃗ МВ+ ⃗ МС =0.
Доведіть.
B
N
М
А
K
C D
ДАНО АВС – трикутник АК, ВD, CN – медіани М – точка перетину медіан ⃗ ⃗ ⃗ ДОВЕСТИ: МА+ МВ+ МС =0.
ДОВЕДЕННЯ: Для додавання векторів за правилом паралелограма ⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ маємо: AK = 2 ( AB+ AC ) , BD= 2 ( BA+ BC ) , CN = 2 ( CA+CB ) .
Оскільки медіани трикутника в точці перетину діляться у відношенні 2:1,
рахуючи
від
вершин,
то
2 21 ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗ АМ = ⃗ АК = ( AB+ AC )= ( AB+ AC ) ; 3 32 3
2 21 ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗ ВМ = ⃗ BD= ( BA+ BC ) = ( BA+ BC ) ; 3 32 3 2 21 ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗ C М= ⃗ CN = ( CA+ CB ) = ( CA+ CB ) ; 3 32 3 ⃗ MA=−⃗ AM ,
Але
⃗ MC =−⃗ CM .
⃗ MB=−⃗ MB ,
Отже
,
1 1 1 −1 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ MA+⃗ MB+ ⃗ MC =¿− (⃗ AB+ ⃗ AC )− ( ⃗ BA+⃗ BC )− ( ⃗ CA+⃗ CB )= ( AB++ AC + BA+ BC +CA+ CB ) =¿− 1 3 3 3 3 3 ⃗ ⃗ ⃗ , тобто МА+ МВ+ МС =0. що і треба було довести. 4.
Підбиття підсумків.
На даному заннятті ми узагальнили знання про вектори та ознайомилися з векторним методом розв’зування задач. Може в когось є якісь питання до мене? Якщо немає питань, то запишіть у свої робочі зошити з дошки домашнє завдання.якщо в учнів під час переписування домашнього завдання не виникне питань, то вчитель говорить: «на цьому наше заняття закінчено до побачення» 5.
Домашнє завдання
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Задача. ABCD – чотирикутник. Доведіть, що AC + DB= AB−CD
B
C
A D
ДАНО: ABCD – чотирикутник ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ДОВЕСТИ: AC + DB= AB−CD :
ДОВЕДЕННЯ: За властивістю додавання векторів, маємо: ⃗ AC=⃗ AB+ ⃗ BC , ⃗ DB=⃗ DC + ⃗ CB=−⃗ BC −⃗ CD .
Додамо
почленно
дані
⃗ AC +⃗ DB=⃗ AB +⃗ BC −⃗ BC −⃗ CD=⃗ AB +⃗ CD . Отже,
рівності.
Одержимо:
⃗ AC +⃗ DB=⃗ AB−⃗ CD . Що і треба
було довести. Задача. У трикутнику АВС a>b, CD – його медіана доведіть що BDC – тупий.
B
D
C
A
ДАНО: АВС – трикутник ⃗ ВС=⃗a ,
⃗ AC =b⃗ ,
CD – медіана
⃗a > b⃗
∠
ДОВЕСТИ: ∠ BDC – тупий. ДОВЕДЕННЯ: За властивістю додавання і віднімання векторів, маємо: 1 1 ⃗ CD= ( ⃗ CA+ ⃗ CB ) = b⃗ + ⃗a 2 2 ⃗ BA=( ⃗ CA−⃗ CB )= ⃗b−⃗a
. Оскільки CD – медіана, то
1 BD= BA 2
і
1 1 ⃗ BD= BA= ( ⃗b− ⃗a ) 2 2 1 ⃗ DC =−⃗ CD= ( b⃗ + ⃗a ) , 2
векторів ,
⃗ DC
оскільки
і
⃗ DB .
a>b
за
1 ⃗ DB=−BD= ( ⃗b− ⃗a ) . знайдемо скалярний добуток 2
2 1 −1 ⃗ ⃗ DC ∙ ⃗ DB= ( ⃗b + ⃗a ) × ( b− ⃗a ) =¿ 1 ( ⃗b2− ⃗a 2 )= 1 (∣⃗b∣ −∣a⃗∣2 ) <0 2 2 4 4
(
властивістю
⃗ DC ∙ ⃗ DB=∣⃗ DC∣∙∣⃗ DB∣cos DBC < 0 . Оскільки
)
скалярного
добутку
∣⃗ DC ∣>0,∣⃗ DB∣>0, то
означає, що ∠ BDC – тупий. Що й треба було довести.
векторів
cos DBC <0 . Це