Page 1

Розробка заняття гуртка для учнів 8 класу на тему: «Векторний метод розв’язування задач» Мета : Повторити з учнями в загальному про вектори. Ознайомити учнів з векторним методом розв’язування задач. Навчити його застосовувати при розв’язуванні задач. Розвинути в учнів логічне мислення.

Хід заняття 1.

Актуалізація опорних знань

Метою етапу актуалізації опорних знань є повторення правил та понять для векторів. Далі робота планується в такому вигляді: вчитель задає питання, а учні відповідають на них. Вчитель: Що таке вектор? Учні: Вектор – це значення векторної величини. Вектор – це напрямлений відрізок. Вчитель : Що таке довжина вектора? Учні: довжина вектора з координатами х і у дорівнює

√ х2 + у2 .

Вчитель: Які вектори називають рівними? Учні: Два вектори називають рівними, якщо вони спів напрямлені і мають рівні довжини. Вчитель: Які вектори називають колінеарними? Учні: Вектори називають колінеарними, якщо вони розміщені на одній прямій або на паралельних прямих. Вчитель: Що таке сума двох векторів? ⃗ Учні: Сумою двох векторів ⃗а =( х 1 ; у 1) і b=( х 2 ; у 2) називають вектор


⃗а + ⃗b=( х 1 + х 2 ; у 1 + у 2 ) .

Вчитель: Сформулюйте правило трикутника для додавання векторів. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Учні: Які б не були вектори АВ і ВС , завжди АВ+ ВС = АС

Один з учнів виходить до дошки і зображає це правило геометрично. В

С

А

Вчитель: Сформулюйте правило паралелограма для додавання векторів , а також зобразіть дане правило геометрично на дошці. Один учень формулює правило словесно, а інший зображає дане правило геометрично на дошці. ⃗ ⃗ ⃗ Учні: Якщо ABCD паралелограм, то АВ+ AD= АС B

A

C

D

Вчитель: Що

таке різниця векторів?

⃗ Учні: Різницею векторів а⃗ і b називають такий вектор с⃗ який у

сумі з вектором

⃗b

дає вектор а⃗ .


Які б не були вектори

⃗ АВ

і

⃗ АС

⃗ АВ−⃗ АС =⃗ СВ .

, завжди

Геометрично зображується це так.

В

С А

Вчитель:Сформулюйте означення скалярного добутку векторів. Учні: Скалярним добутком векторів називається число

х1 у1 + х2 у2

⃗а =( х 1 ; у 1)

і

⃗b=( х ; у ) 2 2

.

Вчитель: Сформулюйте правило множення вектора на число. Учні: Добутком вектора

⃗а =(x ; y )

на число n називають вектор

n а=( nx ; ny ) . ⃗

Далі вчитель говорить: «зараз ми розв’яжемо декілька усних вправ на ті поняття, які ми щойно повторили» 1.

Знайдіть суму векторів: ⃗b=( 7 ; 5 )

⃗а =( 4 ; 2 ) ,

⃗а + ⃗b=( 4+ 7 ; 2+5 ) =(11 ; 7) ⃗n =(−6 ; 8 ) ,

m = ( 2 ;−9 ) ⃗

−7 −6+ 2 ; 8+(¿)=(−4 ; 1) ⃗n +⃗ m=¿ 2.

а⃗ =( 9 ; 5 ) ,

Знайдіть різницю векторів с⃗ =( 6 ; 2 )


⃗ ( 9−6 ; 5−2 )=(3 ; 3) ⃗а −b= ⃗k = (13 ;−25 ) ,

⃗p=(−7 ; 16 )

⃗k −⃗p=( 13−(−7 ) ;−25−16 )=(20 ;−41)

Множте вектор ⃗а =(−3 ; 5 ) на числа 3 та -7.

3.

3 ⃗а =(−9 ; 15 ) −7 ⃗а =( 21 ;−35 )

Сприймання та засвоєння нових знань

2.

Вектори часто застосовуються у математиці, фізиці, астрономії та деяких інших науках. Розглянемо, як за допомогою векторів можна розв’язувати геометричні задачі. Якщо розв’язуючи задачу, використовують властивості векторів, то це – векторний метод розв’язування задачі. При цьому часто використовують таке твердження. Вчитель диктує учням теорему та записує її доведення на дошці, а учні відповідно записують теорему та її доведення в свої робочі зошити. Теорема. Якщо Х – довільна точка, а М – середина відрізка АВ або точка перетину медіан трикутника АВС, то відповідно 1 ⃗ XM = ( ⃗ XA+ ⃗ XB ) 3

або

Доведення.

1 ⃗ XM = ( ⃗ XA+ ⃗ XB+ ⃗ XC ) . 3

Завжди

істині

⃗ XM + ⃗ МА=⃗ XA ,⃗ XM +⃗ МВ=⃗ X В ,⃗ XM +⃗ МС =⃗ X С.

Мал.

рівності: а)

Х

Х

А А

М

В

В МС Мал. б)


Мал. а)

Додавши дві перші з цих рівностей і врахувавши, що ⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (мал. а)), дістанемо: 2 ХМ = ХА+ ХВ ,звідки ХМ = 2 ( ХА+ ХВ ) .

⃗ МА+⃗ МВ=⃗0

⃗ МА+⃗ МВ+ ⃗ МС =⃗0

Якщо додамо всі три рівності і врахуємо, що б)), дістанемо:

3.

3⃗ ХМ =⃗ ХА+⃗ ХВ +⃗ ХС ,звідки

(мал.

1 ⃗ ХМ = ( ⃗ ХА+ ⃗ ХВ+ ⃗ ХС ) 3

Застосування вмінь і навичок

Для прикладу розв’яжемо векторним методом задачу. Задача. Доведіть, що середини відрізків, які сполучають середини протилежних сторін чотирикутника, суміщаються. С

РОЗВ’ЯЗАННЯ.

У

F M

D

K

M1 Е

P А

В

Х


Якщо М і М1 – середини відрізків ЕF i KP a X – довільна точка, то 1 1 1⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗ ХМ = (⃗ Х E+⃗ Х F )= ( Х A+ Х B ) + ( Х C + Х D ) =¿ 2 2 2 2

(

)

1 ¿ (⃗ Х A+⃗ Х B+⃗ Х C +⃗ Х D) ; 4 1 1 1⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗ Х M 1= (⃗ Х K +⃗ Х P)= ( Х B+ Х C ) + ( Х A+ Х D ) =¿ 2 2 2 2

(

)

1 ¿ (⃗ Х A+⃗ Х B+⃗ Х C +⃗ Х D) ; 4

Праві частини цих рівностей рівні, тому

⃗ ХМ =⃗ Х M1

. А це можливо

тільки тоді, коли точки М і М1 суміщаються. (Один учень біля дошки а всі інші у робочих зошитах.) Задача. Доведіть що діагоналі прямокутника рівні. РОЗВ’ЯЗАННЯ В

С

А

D

Нехай ABCD даний прямокутник. Позначимо ⃗ АС =⃗а + b⃗

Дістанемо

використавши 2

,

⃗ DB=⃗а −b⃗

властивість

⃗ АВ= ⃗а

2 ⃗ ⃗ ⃗b2=∣⃗а∣2 +∣b⃗∣ АС 2=∣⃗ АС ∣ =( ⃗а + ⃗b ) =⃗а 2 + 2 ⃗а b+

⃗ ВС =⃗b .

. знайдемо квадрат діагоналей, скалярного

2

,

оскільки

⃗а ⃗b=0

добутку: ( у прямокутнику


⃗а ⊥ ⃗b ). 2

2

2

2 2 2 ⃗ ⃗b2 =∣⃗а∣2 +∣⃗b∣ ⃗ DB =∣⃗ DB∣ =( ⃗а − ⃗b ) =⃗а −2 ⃗а b+ ,

оскільки

⃗а ⊥ ⃗b .

Отже

2

∣⃗ АС∣ =∣⃗ DB∣ , або AС = DB. Що і треба було довести. (дану задачу вчитель диктує учням вони записують її в зошити і розв’язують самостійно.) Задача. Якщо в точці М перетинаються медіани трикутника АВС, то ⃗ МА+⃗ МВ+ ⃗ МС =0.

Доведіть.

B

N

М

А

K

C D

ДАНО АВС – трикутник АК, ВD, CN – медіани М – точка перетину медіан ⃗ ⃗ ⃗ ДОВЕСТИ: МА+ МВ+ МС =0.

ДОВЕДЕННЯ: Для додавання векторів за правилом паралелограма ⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ маємо: AK = 2 ( AB+ AC ) , BD= 2 ( BA+ BC ) , CN = 2 ( CA+CB ) .


Оскільки медіани трикутника в точці перетину діляться у відношенні 2:1,

рахуючи

від

вершин,

то

2 21 ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗ АМ = ⃗ АК = ( AB+ AC )= ( AB+ AC ) ; 3 32 3

2 21 ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗ ВМ = ⃗ BD= ( BA+ BC ) = ( BA+ BC ) ; 3 32 3 2 21 ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗ C М= ⃗ CN = ( CA+ CB ) = ( CA+ CB ) ; 3 32 3 ⃗ MA=−⃗ AM ,

Але

⃗ MC =−⃗ CM .

⃗ MB=−⃗ MB ,

Отже

,

1 1 1 −1 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ MA+⃗ MB+ ⃗ MC =¿− (⃗ AB+ ⃗ AC )− ( ⃗ BA+⃗ BC )− ( ⃗ CA+⃗ CB )= ( AB++ AC + BA+ BC +CA+ CB ) =¿− 1 3 3 3 3 3 ⃗ ⃗ ⃗ , тобто МА+ МВ+ МС =0. що і треба було довести. 4.

Підбиття підсумків.

На даному заннятті ми узагальнили знання про вектори та ознайомилися з векторним методом розв’зування задач. Може в когось є якісь питання до мене? Якщо немає питань, то запишіть у свої робочі зошити з дошки домашнє завдання.якщо в учнів під час переписування домашнього завдання не виникне питань, то вчитель говорить: «на цьому наше заняття закінчено до побачення» 5.

Домашнє завдання

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Задача. ABCD – чотирикутник. Доведіть, що AC + DB= AB−CD

B

C

A D


ДАНО: ABCD – чотирикутник ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ДОВЕСТИ: AC + DB= AB−CD :

ДОВЕДЕННЯ: За властивістю додавання векторів, маємо: ⃗ AC=⃗ AB+ ⃗ BC , ⃗ DB=⃗ DC + ⃗ CB=−⃗ BC −⃗ CD .

Додамо

почленно

дані

⃗ AC +⃗ DB=⃗ AB +⃗ BC −⃗ BC −⃗ CD=⃗ AB +⃗ CD . Отже,

рівності.

Одержимо:

⃗ AC +⃗ DB=⃗ AB−⃗ CD . Що і треба

було довести. Задача. У трикутнику АВС a>b, CD – його медіана доведіть що BDC – тупий.

B

D

C

A

ДАНО: АВС – трикутник ⃗ ВС=⃗a ,

⃗ AC =b⃗ ,

CD – медіана

⃗a > b⃗


ДОВЕСТИ: ∠ BDC – тупий. ДОВЕДЕННЯ: За властивістю додавання і віднімання векторів, маємо: 1 1 ⃗ CD= ( ⃗ CA+ ⃗ CB ) = b⃗ + ⃗a 2 2 ⃗ BA=( ⃗ CA−⃗ CB )= ⃗b−⃗a

. Оскільки CD – медіана, то

1 BD= BA 2

і

1 1 ⃗ BD= BA= ( ⃗b− ⃗a ) 2 2 1 ⃗ DC =−⃗ CD= ( b⃗ + ⃗a ) , 2

векторів ,

⃗ DC

оскільки

і

⃗ DB .

a>b

за

1 ⃗ DB=−BD= ( ⃗b− ⃗a ) . знайдемо скалярний добуток 2

2 1 −1 ⃗ ⃗ DC ∙ ⃗ DB= ( ⃗b + ⃗a ) × ( b− ⃗a ) =¿ 1 ( ⃗b2− ⃗a 2 )= 1 (∣⃗b∣ −∣a⃗∣2 ) <0 2 2 4 4

(

властивістю

⃗ DC ∙ ⃗ DB=∣⃗ DC∣∙∣⃗ DB∣cos DBC < 0 . Оскільки

)

скалярного

добутку

∣⃗ DC ∣>0,∣⃗ DB∣>0, то

означає, що ∠ BDC – тупий. Що й треба було довести.

векторів

cos DBC <0 . Це

Векторний метод розв  
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you