Apéndice: A. El ángulo de Descartes. Gustavo Rodríguez Zurita
Descartes describió el fenómeno meteorológico del arcoíris simplificando a las gotas de agua flotando en el aire, como esferas rígidas transparentes. En el interior de éstas, la velocidad del rayo debería de cambiar respecto del aire. Usando la Ley de Snell, puede trazarse manualmente la trayectoria de un rayo incidente en la gota (P1) y, luego ahí mismo, refractado dentro, reflejada (P2) y vuelta a refractarse fuera (P3). En el trazo resultante, se nota la formación de un triángulo isóceles (comparar con dibujo de Descartes). Un ejemplo de trazo manual se muestra en la figura usando un índice de refracción convencional de valor 1.33. A medida que se incrementa la altura del punto 1 en la gráfica respecto de la línea horizontal cruzando por el centro de la gota, el punto 5 desciende de la misma referencia. Trazando más rayos, sin embargo, se nota que el punto 5 alcanza un valor máximo, después del cual, vuelve a subir. La densidad de los rayos resultantes aumenta cerca de este punto máximo. Tal incremento de densidad supone una región particularmente brillante, que se conoce como “curva cáustica”. Así, el arcoíris se interpreta como la región cáustica, “quemante” (por no decir, ardiente), percibida en dirección del punto 5. Geométricamente, de modo alternativo puede mostrarse 2 q = 2 g . de la figura que e = 4 q ’1 Para graficar los trazos de varios rayos con algún paquete comercial, pueden comprobarse y usarse las relaciones enlistadas en la Tabla A1. La gráfica del ángulo e con d se incluye adelante (en azul). El mínimo e de 138° corresponde al ángulo descrito por Descartes, de 180°138°=42°.
Un ejemplo del ángulo de máxima desviación se muestra a continuación. En él, sin embargo, se han trazado varios rayos contemplando la dispersión lineal: un índice de refracción distinta para diferentes longitudes de onda (la gráfica anexa muestra los índices usados según la fórmula de Cauchy con los coeficientes aceptados corrientemente para el agua).
En Les Météores, Descartes proporciona básicamente la descripción geométrica del fenómeno de l'arc-en-ciel descrita (incluyendo la predicción del ángulo promedio de 42° formado por el arco primario -el arco conspicuocon el horizonte; la predicción del ángulo de 50º del arco iris secundario -cuyos colores se invierten en orden respecto a los del primario- y la explicación de la banda de Alejandro, la región un poco oscura entre ambos arcos).
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