Issuu on Google+

Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila FIȘĂ DE LUCRU RAPOARTE DE NUMERE REALE REPREZENTATE PRIN LITERE Clasa a VIII- a 2013-2014

x 1. Aflați valorile reale ale lui

a)

4 x−2

;

pentru care următoarele rapoarte sunt definite:

x+5 2x −1

b)

−2 (2 x − 1)(2 x + 1) :

c)

d)

x2 + 1 x2 + 6x + 9

x2 + 2 3x 2 + x − 2

e)

.

x 2. Aflați valorile reale ale lui

a)

x−2 x −5

;

pentru care următoarele rapoarte nu sunt definite:

x+4 4x − 9

b)

;

c)

−1 4x2 − 1

;

d)

x2 + 1 x 2 − 8 x − 20

3. Dați câte un exemplu de raport care să fie bine definit pe mulțimea

D = R \{ 2

}

D = R \ { −1; 2}

a) 4. Amplificați cu

a)

D = R \ { 0;1}

b)

x +1

3 x −1

b)

D

c)

d)

2 2x + x − 3 2

;

e)

.

în cazurile :

 1  D = R \  − ; 2;   2 

următoarele rapoarte:

x +1 2x −1

c)

x x+2

x +1 x − x +1 2

d)

−5 x − x2 + x +1 3

e)

.

5. Aduceți la același numitor următoarele rapoarte:

a)

1 2 x −3 ; ; x 5 2x

;

6. Simplificați prin

b)

2 x x+2 ; ; 2 x−2 x+2 x −4

x−2

c)

1 x x+2 ; ; 2 x −1 x + 2 x + x − 2

rapoartele:

1

1 x −1 ; ; 2 x −1 x + 7 x + 6x − 7 2

d)


Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila

a)

3x − 6 x2 − 4

;

4 x 2 − 16 x2 + 4 x + 4

b)

;

c)

x2 + x − 6 x 2 − 7 x + 10

; d)

2 x 2 − 3x − 2 2 x2 − 5x + 2

x3 − 2 x 2 x3 − 8

; e)

7. Simplificați rapoartele și precizați mulțimea pentru care sunt bine definite:

a)

x2 + 3x + 2 x2 + 5x + 6

;

b)

x2 + 4x − 5 x2 − 1

( x + 1) ;

c)

2

x 2 + 3x + 2

;

d)

x 2 − 81 x 2 + 18 x + 81

;

e)

2x2 − x − 1 4 x2 − 1

;

8. Simplificați rapoartele:

a)

7 x2 + 7 x x2 + 2 x + 1

; b)

9 − 25 x 2 3 x3 − 5 x 2

; c)

2 x2 + 5x − 3 2 x2 + x − 1

x3 + 3x 2 − x − 3 x2 + 4x + 3

; d)

(x

2

+ x ) ( x2 + x − 2 ) + 1 x3 + x2 − x

; e)

.

9. Efectuați:

a)

2x −1 1 + x 3x

; b)

x−2 x+2 + x +1 x −1

; c)

x x−2 + 2 x +1

; d)

1 2 1 + + 2 x −1 x +1 x −1

x+3 x−2 1 + + x − 1 x + 2 ( x − 1) ( x + 2 ) ; e)

10. Efectuați:

a)

x 2 − x − 1 3x

; b)

3 1 − 5 x 5 x + 10

1

( x − 1)

2

x+2

1

( x + 2)

( x − 2)

2

; c)

;d)

2

1 x+2 ; e)

3 x2 x2 + 1 − 2 − 2 3x + 3 x − x x − 1

.

11. Efectuați:

a)

2x x2 × 5 4x

; b)

1 x2 + x × 3x x + 1

2x + 4 x2 + x − 2 × 2 x −1 2 ( x + 4x + 4)

5x + 5 x2 − x × x − 1 2 ( x + 1) ; c)

; d)

−x − 3 4x2 + 2x × 2 x ( 2 x + 1) ( x + 3) ; e)

12. Efectuați:

a)

x −1 x2 + 2x − 3 : 2x + 4 −x − 2

; b)

 x   3x2  1 + − 1÷  ÷:  2  x +1  1− x 

13. Efectuați :

2

; c)

1 3   x  2  − − 2 ÷:  2  ÷  x −1 1 + x x −1   x − 2x + 1 

.


Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila

2

a)

 x   ÷  x +1 

2

;

b)

 3   ÷  3x − 1 

2

;

c)

 4x − 2   ÷  5 

2

;

d)

 x −1   ÷  2x +1 

;

e)

( x + 1) − 9 F ( x) = 2 ( x + 4)

  −1    ( x + 2 ) ( x − 2) 

2

14. Fie

( 2)

. Simplificați până fracția este ireductibilă apoi calculați

F ( x) = 15. Arătați că

16. Fie

F

x2 + 2x + 3 x 2 + 6 x + 11

x3 − 2 x 2 − x + 2 F ( x) = 3 x + 3x 2 − x − 3 F ( x) =

17. Fie

x 2 + 7 x + 12 x 2 − x − 12

x este pozitivă, oricare ar fi numărul real

. Stabiliți valorile reale ale lui

pentru

.

F ( a) ∈¢ pentru care

.

2x − 1 2 x2 − x E ( x) = 1+ : 2x + 1 2 x2 − x − 1

și calculați valoarea acesteia

.

E ( x) = 19. Se dă expresia

20. Se dă expresia

7x x − − 2x 3 3

E (x) ∈ ¥ . Arătați că

oricare ar fi

15 x 2  8 x   1 E ( x) =  × − ÷− 2 x 3  × 3  4  5   8x

21. Arătați că forma cea mai simpla a expresiei :

22. Fie expresia

pentru care

a . Stabiliți valorile reale ale lui

.

F ( a) ∈ ¥

a

18. Aduceți la forma cea mai simplă expresia

x=2

.

x ∈¡

.

E (x) ∈ ¢ . Arătați că

, oricare ar fi

x ∈¡

2x 2  2x2 + x −1  1 E (x) =  − + 2 ÷: x2 −1  x +1 x −1 x −1

 x − 2 x 2 − 4  x − 2 1  x 2 − 1 E (x) =  − + : ÷: 4x  2x 2  4 x ∈ ¡ / { −1;0;1; 2}  2 ,

3

.

.

este -1

2

.


Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila

2 x +1

E ( x) = a) Arătați că

E

.

( 2)

b) Calculați

.

E ( x)

x c) Calculați valorile lui

pentru care

este număr întreg.

x d) Calculați valorile reale ale lui

pentru care expresia este pozitivă, respectiv negativă.

( x + 4) − ( x − 4) E ( x) = 2 2 ( 3x + 5) + ( 3x − 5) 2

2

23. Se consideră expresia

.

E ( x) = a) Arătați că

8x 9 x + 25 2

.

E ( x) b) Arătați că

are sens pentru orice

x ∈¡

.

E ( x) = 0 c) Rezolvați ecuația

24. Fie expresia

.

 1 + 2x2 x + 1  12 x 2 E ( x) =  − ÷× 2 2x  x2 + 2x + 1  3x

.

E ( x) a) Arătați că foarma cea mai simplă a expresiei

E b) Calculți

este

( 2) .

x +1  3 E ( X ) + ÷∈ ¤ x −1   c) Arătați că

.

4

2 ( x − 2) x −1

.


Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila

25. Fie expresia

1+ x x2 −1  x +1 E ( x ) =∈  − 2 ÷:  4x 2x − 2x  8

.

E ( x) a) Arătați că forma cea mai simplă a expresiei

este

1 x

.

E ( 2 ) + E ( 2 2 ) + E ( 23 ) b) Calculați

.

c) Determinați

26. Fie expresia

E ( a) ∈ ¢

a ∈¢

pentru care

.

1 2  5x + 1  x −1 E ( x) =  + + ÷: 2 2  2 x − x 2 − x 3x  2 x + 4

.

E ( x) a) Arătați că

=-1.

E ( x) ≥ x −1 b) Rezolvați inecuația

.

x c) Determinați valorile întregi ale lui

27. Se consideră expresia

a) Determinați

x ∈¡

astfel încât

E ( x) ∈¥ x+2

x +1 2 x − 1  18x − 26  1 E ( x) =  + 2 − 2 ÷: 2  x + 3 x − 9 x − 6x + 9  x − 9 E ( x) pentru care expresia

are sens.

E ( x) = b) Arătați că forma cea mai simplă a expresiei este

c) Rezolvați ecuația

.

1 E ( x ) −  ÷= 0  x

.

5

1 2 ( x − 3) .

.


Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila

 2 1 1  x3 + x 2 − x − 1 E ( x) =  − − ÷×  ( x + 1) 2 ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) 2 ÷ 3x + 1  

28. Se consideră expresia

E ( x) a) Determinați valorile lui x pentru care expresia

este bine definită.

E ( x) b) Arătați că forma cea mai simplă a expresiei

c) Fie numărul

d) Aflați

a ∈¡

n = ( −1)  E ( −1) + E ( 2 ) 

este

2 x −1

.

n . Aflați

.

E ( a) ∈¢ astfel încât

29. Se consideră expresia

.

x 15 x + 1  6 x − 6  5 E ( x) =  × − 2 × ÷×  x + 1 x − 1 x −1 5  2x − 3

.

x a) Detreminați valorile reale ale lui

b) Calculați

1  1 E  ÷+ E  − ÷ 2  2

c) Determinați

a ∈¢

30. Se consideră expresia

pentru care expresia este bine definită.

.

E ( a) ∈¢ astfel încât

.

3  3− x 1 E ( x) =  − ÷: 3 2  x 2 x + 3  4 x + 12 x + 9 x

.

x a) Determinați valorile reale ale lui

pentru care expresia are sens.

b) Aduceți expresia la forma cea mai simplă.

E ( 1) + E ( 2 ) + E ( 3) + ... + E ( 100 ) c) Calculați

.

6

.


Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila

Test 1 I. Completați spațiile punctate.

1. După amplificarea cu

2. Valoarea raporului

x− 2

3x − 2 2 x+ 3

2 2 x+ 2 raportul

x= pentru

devine .......... .

1 3

este .......... .

7


Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila

3. Raportul

4. Raportul

3x 2 + x − 1 x2 − x − 2

x ∈ { ...} nu are sens pentru

3x − 2 , x ∈ Ζ, x −1

.

x ∈ { ...} are valoarea număr întreg pentru

( x + 2) 5. După efectuarea calculelor

3x

2

6 × 2 x −1

.

se obține .......... .

II. Scrieți rezolvările complete.

1. Să se determine valorile numărului real p

2. Fie expresia

∈ ¢ / {−2; − 3}

3p + 6 ∈¢ p + 3p + 2 2

astfel încât

 x2 + 8 x 1   x2 2  E ( x) =  3 + 2 − − ÷.  2 ÷  x − 8 x + 2x + 4 x − 2   x − 4 2 − x 

.

x a) Determinați valorile lui

E ( x) = b) Arătați că

c) Aflați

d) Aflați

x ∈¢ x ∈¢

e) Determinați

E ( x) = 3. Fie

.

pentru care expresia nu are sens;

1 ; x+2

3E ( x) ∈ ¢ ; pentru care

E ( x ) ≥ 2; pentru care

x ∈¢

x3 + 1 x3 − x 2

E ( x ) ×(2 x − 3) ≤ 1 astfel încât

.

1  x +1 1 : 2 + − 2 − 2x + 3 2 x ( x − 1) x − 2 x + 1 x

a) Să se aducă expresia la forma cea mai simplă;

8

.


Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila

E ( x)

x ∈¡

b) Să se arate că pentru orice

,

> 0;

2 E ( x) = x 2 + 4 c) Să se rezolve ecuația

.

TEST 2 I. Completează spațiile punctate.

x2 4 − x−2 x−2

1. După efectuarea calculelor

2. După amplificarea cu

3. Raportul

4. Raportul

x +3

x3 − x 2 − x − 1 x−2 x+2 x −3

raportul

obținem ......... .

x +1 x −1

devine ……… .

x ∈ { ...} nu are sens pentru

.

x ∈ ¢ / { 3} ,

x ∈ { ...} , are valoarea număr întreg pentru

E ( x) = 5. Valoarea expresiei

x x− 2

pentru

x = 2+ 2

este ……… .

II. Scrie rezolvările complete. 2

1. Se dă expresia

x2 + 8x − 9  x+7 x +5   x +3 E ( x) = × 2 + 2 ÷:  ÷ 2  x − 18 x + 81 x − 81   x − 9 

E ( x) = x − 1 a) Să se arate că

;

2 E ( x) ≤ 1 − x 2 b) Rezolvați inecuația

;

9

.


Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila

E (1 + 3) − E (1 + 3) E (1 + 2) c) Calculați

2. Fie expresia

.

 x − 1  2 2x − 2  x +1 E ( x ) =  + 1 + × ÷ x + 1  2 x  x + 1 

.

x a) Determinați pentru ce valori ale lui

E ( x) = b) Să se arate că

expresia are sens.

2 x + 1 ∀x ∈ ¡ / { −1;0} ,

;

E (1) + E (2) + E (3) c) Calculați

;

( x − 2 ) E ( x) ≤ 0 d) Rezolvați ecuația

.

E ( x) = 3. Fie expresia

x 3 + 2 x 2 − 16( x + 2) x − 2 x − 2x − 8 x−2

E ( x) = −

.

8 ( x − 2)( x + 2)

a) Arătați că

x ∈ ¡ / { −2; 2; 4} , pentru oricare

(2 − x) E ( x) b) Rezolvați inecuația

> 0;

a ∈¥ (a + 2) E (a ) ∈ ¥ c) Pentru ce valori ale lui , .

TEST 3 I. Completează spațiile punctate.

10

;


Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila

1 1 1 + + 2x 2 y 2z 1. După efectuarea calculelor

x +3

2. După simplificarea cu

3.

6x2 12 x : 2 x − 25 x + 5

4. Raportul

5. Raportul

obținem ………. .

raportul

x 2 − 2 x − 15 x 2 + 7 x + 12

devine .......... .

este ………. .

x3 + x 2 − 1 x2 + 2 2 + 2 x+2 ,x∈Ν x−2

x ∈ { ...} nu are sens pentru

.

x ∈ { ...} are valoarea număr natural pentru

.

II. Scrieți rezolvările complete.

(x E ( x) = 1. Fie

2

+ 3x + 1) − 1 2

x3 + 2 x 2 + x

.

a) Determinați pentru ce valori ale lui

x2 + 3x + 2 x +1

E ( x) = b) Arătați că

c) Rezolvați inecuația

(x E ( x) = (x

2

2

E ( x) ≥1 x +1

, expresia este definită;

;

.

+ x + 1) ( x 2 + x ) − 2

+ x + 3) ( x 2 + x ) + 2

2. Fie

x ∈¡

−1 .

E ( x) a) Să se aducă

la forma cea mai simplă;

11


Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila −1

E (a) b) Să se afle valoarea expresiei

E ( x) = 3. Fie

pentru

x − 5 x 3 + 27 3 x 2 − 9 x + 27 + : x − 4 x2 − 9 4 x − 12

 2  a = ÷  2

.

E ( x)

x a) Să se afle pentru ce valori ale lui

E ( x) = b) Arătați că

c) Determinați

expresia

5 x − 21 x − 4 ∀x ∈ ¡ / { −3;3; 4} ,

a ∈¢

este bine definită;

;

E (a) ∈ ¢ astfel încât

.

.

12


Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila

13


Fișă de lucru rapoarte de numere reale reprezentate prin litere