Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila FIȘĂ DE LUCRU RAPOARTE DE NUMERE REALE REPREZENTATE PRIN LITERE Clasa a VIII- a 2013-2014
x 1. Aflați valorile reale ale lui
a)
4 x−2
;
pentru care următoarele rapoarte sunt definite:
x+5 2x −1
b)
−2 (2 x − 1)(2 x + 1) :
c)
d)
x2 + 1 x2 + 6x + 9
x2 + 2 3x 2 + x − 2
e)
.
x 2. Aflați valorile reale ale lui
a)
x−2 x −5
;
pentru care următoarele rapoarte nu sunt definite:
x+4 4x − 9
b)
;
c)
−1 4x2 − 1
;
d)
x2 + 1 x 2 − 8 x − 20
3. Dați câte un exemplu de raport care să fie bine definit pe mulțimea
D = R \{ 2
}
D = R \ { −1; 2}
a) 4. Amplificați cu
a)
D = R \ { 0;1}
b)
x +1
3 x −1
b)
D
c)
d)
2 2x + x − 3 2
;
e)
.
în cazurile :
1 D = R \ − ; 2; 2
următoarele rapoarte:
x +1 2x −1
c)
x x+2
x +1 x − x +1 2
d)
−5 x − x2 + x +1 3
e)
.
5. Aduceți la același numitor următoarele rapoarte:
a)
1 2 x −3 ; ; x 5 2x
;
6. Simplificați prin
b)
2 x x+2 ; ; 2 x−2 x+2 x −4
x−2
c)
1 x x+2 ; ; 2 x −1 x + 2 x + x − 2
rapoartele:
1
1 x −1 ; ; 2 x −1 x + 7 x + 6x − 7 2
d)
Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila
a)
3x − 6 x2 − 4
;
4 x 2 − 16 x2 + 4 x + 4
b)
;
c)
x2 + x − 6 x 2 − 7 x + 10
; d)
2 x 2 − 3x − 2 2 x2 − 5x + 2
x3 − 2 x 2 x3 − 8
; e)
7. Simplificați rapoartele și precizați mulțimea pentru care sunt bine definite:
a)
x2 + 3x + 2 x2 + 5x + 6
;
b)
x2 + 4x − 5 x2 − 1
( x + 1) ;
c)
2
x 2 + 3x + 2
;
d)
x 2 − 81 x 2 + 18 x + 81
;
e)
2x2 − x − 1 4 x2 − 1
;
8. Simplificați rapoartele:
a)
7 x2 + 7 x x2 + 2 x + 1
; b)
9 − 25 x 2 3 x3 − 5 x 2
; c)
2 x2 + 5x − 3 2 x2 + x − 1
x3 + 3x 2 − x − 3 x2 + 4x + 3
; d)
(x
2
+ x ) ( x2 + x − 2 ) + 1 x3 + x2 − x
; e)
.
9. Efectuați:
a)
2x −1 1 + x 3x
; b)
x−2 x+2 + x +1 x −1
; c)
x x−2 + 2 x +1
; d)
1 2 1 + + 2 x −1 x +1 x −1
x+3 x−2 1 + + x − 1 x + 2 ( x − 1) ( x + 2 ) ; e)
10. Efectuați:
a)
x 2 − x − 1 3x
; b)
3 1 − 5 x 5 x + 10
1
( x − 1)
2
−
x+2
1
( x + 2)
( x − 2)
2
; c)
;d)
2
−
1 x+2 ; e)
3 x2 x2 + 1 − 2 − 2 3x + 3 x − x x − 1
.
11. Efectuați:
a)
2x x2 × 5 4x
; b)
1 x2 + x × 3x x + 1
2x + 4 x2 + x − 2 × 2 x −1 2 ( x + 4x + 4)
5x + 5 x2 − x × x − 1 2 ( x + 1) ; c)
; d)
−x − 3 4x2 + 2x × 2 x ( 2 x + 1) ( x + 3) ; e)
12. Efectuați:
a)
x −1 x2 + 2x − 3 : 2x + 4 −x − 2
; b)
x 3x2 1 + − 1÷ ÷: 2 x +1 1− x
13. Efectuați :
2
; c)
1 3 x 2 − − 2 ÷: 2 ÷ x −1 1 + x x −1 x − 2x + 1
.
Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila
2
a)
x ÷ x +1
2
;
b)
3 ÷ 3x − 1
2
;
c)
4x − 2 ÷ 5
2
;
d)
x −1 ÷ 2x +1
;
e)
( x + 1) − 9 F ( x) = 2 ( x + 4)
−1 ( x + 2 ) ( x − 2)
2
14. Fie
( 2)
. Simplificați până fracția este ireductibilă apoi calculați
F ( x) = 15. Arătați că
16. Fie
F
x2 + 2x + 3 x 2 + 6 x + 11
x3 − 2 x 2 − x + 2 F ( x) = 3 x + 3x 2 − x − 3 F ( x) =
17. Fie
x 2 + 7 x + 12 x 2 − x − 12
x este pozitivă, oricare ar fi numărul real
. Stabiliți valorile reale ale lui
pentru
.
F ( a) ∈¢ pentru care
.
2x − 1 2 x2 − x E ( x) = 1+ : 2x + 1 2 x2 − x − 1
și calculați valoarea acesteia
.
E ( x) = 19. Se dă expresia
20. Se dă expresia
7x x − − 2x 3 3
E (x) ∈ ¥ . Arătați că
oricare ar fi
15 x 2 8 x 1 E ( x) = × − ÷− 2 x 3 × 3 4 5 8x
21. Arătați că forma cea mai simpla a expresiei :
22. Fie expresia
pentru care
a . Stabiliți valorile reale ale lui
.
F ( a) ∈ ¥
a
18. Aduceți la forma cea mai simplă expresia
x=2
.
x ∈¡
.
E (x) ∈ ¢ . Arătați că
, oricare ar fi
x ∈¡
2x 2 2x2 + x −1 1 E (x) = − + 2 ÷: x2 −1 x +1 x −1 x −1
x − 2 x 2 − 4 x − 2 1 x 2 − 1 E (x) = − + : ÷: 4x 2x 2 4 x ∈ ¡ / { −1;0;1; 2} 2 ,
3
.
.
este -1
2
.
Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila
2 x +1
E ( x) = a) Arătați că
E
.
( 2)
b) Calculați
.
E ( x)
x c) Calculați valorile lui
pentru care
este număr întreg.
x d) Calculați valorile reale ale lui
pentru care expresia este pozitivă, respectiv negativă.
( x + 4) − ( x − 4) E ( x) = 2 2 ( 3x + 5) + ( 3x − 5) 2
2
23. Se consideră expresia
.
E ( x) = a) Arătați că
8x 9 x + 25 2
.
E ( x) b) Arătați că
are sens pentru orice
x ∈¡
.
E ( x) = 0 c) Rezolvați ecuația
24. Fie expresia
.
1 + 2x2 x + 1 12 x 2 E ( x) = − ÷× 2 2x x2 + 2x + 1 3x
.
E ( x) a) Arătați că foarma cea mai simplă a expresiei
E b) Calculți
este
( 2) .
x +1 3 E ( X ) + ÷∈ ¤ x −1 c) Arătați că
.
4
2 ( x − 2) x −1
.
Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila
25. Fie expresia
1+ x x2 −1 x +1 E ( x ) =∈ − 2 ÷: 4x 2x − 2x 8
.
−
E ( x) a) Arătați că forma cea mai simplă a expresiei
este
1 x
.
E ( 2 ) + E ( 2 2 ) + E ( 23 ) b) Calculați
.
c) Determinați
26. Fie expresia
E ( a) ∈ ¢
a ∈¢
pentru care
.
1 2 5x + 1 x −1 E ( x) = + + ÷: 2 2 2 x − x 2 − x 3x 2 x + 4
.
E ( x) a) Arătați că
=-1.
E ( x) ≥ x −1 b) Rezolvați inecuația
.
x c) Determinați valorile întregi ale lui
27. Se consideră expresia
a) Determinați
x ∈¡
astfel încât
E ( x) ∈¥ x+2
x +1 2 x − 1 18x − 26 1 E ( x) = + 2 − 2 ÷: 2 x + 3 x − 9 x − 6x + 9 x − 9 E ( x) pentru care expresia
are sens.
E ( x) = b) Arătați că forma cea mai simplă a expresiei este
c) Rezolvați ecuația
.
1 E ( x ) − ÷= 0 x
.
5
1 2 ( x − 3) .
.
Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila
2 1 1 x3 + x 2 − x − 1 E ( x) = − − ÷× ( x + 1) 2 ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) 2 ÷ 3x + 1
28. Se consideră expresia
E ( x) a) Determinați valorile lui x pentru care expresia
este bine definită.
−
E ( x) b) Arătați că forma cea mai simplă a expresiei
c) Fie numărul
d) Aflați
a ∈¡
n = ( −1) E ( −1) + E ( 2 )
este
2 x −1
.
n . Aflați
.
E ( a) ∈¢ astfel încât
29. Se consideră expresia
.
x 15 x + 1 6 x − 6 5 E ( x) = × − 2 × ÷× x + 1 x − 1 x −1 5 2x − 3
.
x a) Detreminați valorile reale ale lui
b) Calculați
1 1 E ÷+ E − ÷ 2 2
c) Determinați
a ∈¢
30. Se consideră expresia
pentru care expresia este bine definită.
.
E ( a) ∈¢ astfel încât
.
3 3− x 1 E ( x) = − ÷: 3 2 x 2 x + 3 4 x + 12 x + 9 x
.
x a) Determinați valorile reale ale lui
pentru care expresia are sens.
b) Aduceți expresia la forma cea mai simplă.
E ( 1) + E ( 2 ) + E ( 3) + ... + E ( 100 ) c) Calculați
.
6
.
Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila
Test 1 I. Completați spațiile punctate.
1. După amplificarea cu
2. Valoarea raporului
x− 2
3x − 2 2 x+ 3
2 2 x+ 2 raportul
x= pentru
devine .......... .
1 3
este .......... .
7
Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila
3. Raportul
4. Raportul
3x 2 + x − 1 x2 − x − 2
x ∈ { ...} nu are sens pentru
3x − 2 , x ∈ Ζ, x −1
.
x ∈ { ...} are valoarea număr întreg pentru
( x + 2) 5. După efectuarea calculelor
3x
2
6 × 2 x −1
.
se obține .......... .
II. Scrieți rezolvările complete.
1. Să se determine valorile numărului real p
2. Fie expresia
∈ ¢ / {−2; − 3}
3p + 6 ∈¢ p + 3p + 2 2
astfel încât
x2 + 8 x 1 x2 2 E ( x) = 3 + 2 − − ÷. 2 ÷ x − 8 x + 2x + 4 x − 2 x − 4 2 − x
.
x a) Determinați valorile lui
E ( x) = b) Arătați că
c) Aflați
d) Aflați
x ∈¢ x ∈¢
e) Determinați
E ( x) = 3. Fie
.
pentru care expresia nu are sens;
1 ; x+2
3E ( x) ∈ ¢ ; pentru care
E ( x ) ≥ 2; pentru care
x ∈¢
x3 + 1 x3 − x 2
E ( x ) ×(2 x − 3) ≤ 1 astfel încât
.
1 x +1 1 : 2 + − 2 − 2x + 3 2 x ( x − 1) x − 2 x + 1 x
a) Să se aducă expresia la forma cea mai simplă;
8
.
Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila
E ( x)
x ∈¡
b) Să se arate că pentru orice
,
> 0;
2 E ( x) = x 2 + 4 c) Să se rezolve ecuația
.
TEST 2 I. Completează spațiile punctate.
x2 4 − x−2 x−2
1. După efectuarea calculelor
2. După amplificarea cu
3. Raportul
4. Raportul
x +3
x3 − x 2 − x − 1 x−2 x+2 x −3
raportul
obținem ......... .
x +1 x −1
devine ……… .
x ∈ { ...} nu are sens pentru
.
x ∈ ¢ / { 3} ,
x ∈ { ...} , are valoarea număr întreg pentru
E ( x) = 5. Valoarea expresiei
x x− 2
pentru
x = 2+ 2
este ……… .
II. Scrie rezolvările complete. 2
1. Se dă expresia
x2 + 8x − 9 x+7 x +5 x +3 E ( x) = × 2 + 2 ÷: ÷ 2 x − 18 x + 81 x − 81 x − 9
E ( x) = x − 1 a) Să se arate că
;
2 E ( x) ≤ 1 − x 2 b) Rezolvați inecuația
;
9
.
Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila
E (1 + 3) − E (1 + 3) E (1 + 2) c) Calculați
2. Fie expresia
.
x − 1 2 2x − 2 x +1 E ( x ) = + 1 + × ÷ x + 1 2 x x + 1
.
x a) Determinați pentru ce valori ale lui
E ( x) = b) Să se arate că
expresia are sens.
2 x + 1 ∀x ∈ ¡ / { −1;0} ,
;
E (1) + E (2) + E (3) c) Calculați
;
( x − 2 ) E ( x) ≤ 0 d) Rezolvați ecuația
.
E ( x) = 3. Fie expresia
x 3 + 2 x 2 − 16( x + 2) x − 2 x − 2x − 8 x−2
E ( x) = −
.
8 ( x − 2)( x + 2)
a) Arătați că
x ∈ ¡ / { −2; 2; 4} , pentru oricare
(2 − x) E ( x) b) Rezolvați inecuația
> 0;
a ∈¥ (a + 2) E (a ) ∈ ¥ c) Pentru ce valori ale lui , .
TEST 3 I. Completează spațiile punctate.
10
;
Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila
1 1 1 + + 2x 2 y 2z 1. După efectuarea calculelor
x +3
2. După simplificarea cu
3.
6x2 12 x : 2 x − 25 x + 5
4. Raportul
5. Raportul
obținem ………. .
raportul
x 2 − 2 x − 15 x 2 + 7 x + 12
devine .......... .
este ………. .
x3 + x 2 − 1 x2 + 2 2 + 2 x+2 ,x∈Ν x−2
x ∈ { ...} nu are sens pentru
.
x ∈ { ...} are valoarea număr natural pentru
.
II. Scrieți rezolvările complete.
(x E ( x) = 1. Fie
2
+ 3x + 1) − 1 2
x3 + 2 x 2 + x
.
a) Determinați pentru ce valori ale lui
x2 + 3x + 2 x +1
E ( x) = b) Arătați că
c) Rezolvați inecuația
(x E ( x) = (x
2
2
E ( x) ≥1 x +1
, expresia este definită;
;
.
+ x + 1) ( x 2 + x ) − 2
+ x + 3) ( x 2 + x ) + 2
2. Fie
x ∈¡
−1 .
E ( x) a) Să se aducă
la forma cea mai simplă;
11
Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila −1
E (a) b) Să se afle valoarea expresiei
E ( x) = 3. Fie
pentru
x − 5 x 3 + 27 3 x 2 − 9 x + 27 + : x − 4 x2 − 9 4 x − 12
2 a = ÷ 2
.
E ( x)
x a) Să se afle pentru ce valori ale lui
E ( x) = b) Arătați că
c) Determinați
expresia
5 x − 21 x − 4 ∀x ∈ ¡ / { −3;3; 4} ,
a ∈¢
este bine definită;
;
E (a) ∈ ¢ astfel încât
.
.
12
Prof. Dincă Nicoleta, Școala Gimnazială Anton Pann, Brăila
13