8
ja systemaattisen nykymatematiikan muotoutuessa ääretön pureutui vahvasti sen peruskäsitteisiin.
M
voi aina edes tarkalleen määrittää, mikä luku jää pienimpänä leikkauksen vasemmalle puolelle ja mikä luku suurimpana sen oikealle, vaan jotain tuntuu aina jäävän kiinni veitseen. Jatkuvuus on esimerkki äärettömästä pienuudesta. Tähänastiset esimerkit kuvaavat matemaattista loputtomuutta. Mutta äärettömyys voidaan nähdä myös fyysisenä käsitteenä. Fyysisen äärettömyyden olemassaololle on esitettävissä monia intuitioon nojaavia argumentteja. Jos maailmankaikkeus on tilallisesti rajallinen, mitä tapahtuu, jos kävelee rajalle? Oletetaan, että törmään seinään – mutta mitä sen takana on? Ajan loputtomuutta voi perustella samoilla keinoilla. Ehkä meidän ei tulisi luottaa intuitioon. Kant muistutti Puhtaan järjen kritiikissä, että ihmisjärki pyörähtää ympäri kontemploidessaan transsendentaalista, ja maailman rajat an sich eivät ole sen tavoitettavissa. Ajatus äärettömyydestä tuntuu kuitenkin kulkevan luonnollisesti matematiikan mukana,
atematiikan kehittyessä abstraktimmaksi ja yhtenäisemmäksi 1800-luvun aikana äärettömyyden käsite sai siinä keskeisen roolin. Cantorin joukko-oppi ei vain olettanut äärettömien joukkojen olemassaoloa, vaan siitä seurasi, että äärettömyyksiä esiintyy kaikenkokoisina. Ajatus numeroituvista ja ylinumeroituvista äärettömyyksistä ei ole Cantorin tai modernin matematiikan keksintö, vaan se esiintyy jainalaisessa matematiikassa reilut 2000 (!) vuotta aikaisemmin. Cantor kuitenkin vei ajatuksen pidemmälle ja toi sen pysyvästi nykyaikaiseen, systemaattiseen matematiikkaan. Luonnollisten lukujen joukon äärettömyys on numeroituva, mikä tarkoittaa, että joukon sisällön voi listata, vaikka listaukseen menisi tietenkin ihmislaskijalta ääretön määrä aikaa. Rationaaliluvutkin voi hieman keskeliäisyyttä käyttäen järjestää listaksi (vihje: ajattele taulukkomuodossa!). Cantorin diagonaaliargumentti osoittaa, että reaalilukujen joukkoa ei voi teoriassakaan luetteloida samalla tavalla: diagonaalifunktio kykenee aina löytämään yhden ”väliinputoajan”, joka on unohtunut listalta. Mutta on olemassa myös aidosti reaalilukuja isompia ylinumeroituvia joukkoja. Oikeastaan niitä sattuu olemaan äärettömän monta. Oli tämä ontologisesti epäilyttävää tai ei, joukko-opin sisällä nousseet ristiriidat saivat myös osan matemaatikoista varpailleen. Brouwerin intuitionistinen matematiikka ja Hilbertin reduktiivinen ohjelma syntyivät halusta kesyttää äärettömyys: jos osa joukko-opista olikin kroonisesti paradoksaalista, kenties olisi mahdollista pelastaa edes aritmetiikka tai analyysi. Kaikki eivät olleet yhtä huolissaan. Esimerkiksi joukko-oppia kehittänyt Zermelo ei perustanut paljon finitistisestä kritiikistä; kuitenkin myös finitististen metodien heikkous aiheutti omanlaisiaan ongelmia. (Transsendenttia rapatessa roiskuu!) Tyyppiesimerkki malliteoriassa on Skolemin paradoksi, jonka mukaan luonnollisen lukujen joukon koko vaihtelee mallista toiseen.2
2
Onko tämä oikea paradoksi? On tietenkin olemassa oikeanlaisia ensimmäisen kertaluvun malleja luonnollisille luvuille. Ongelma on, että ensimmäisen kertaluvun aksioomat ovat yhteensopivia myös esimerkiksi sellaisten mallien kanssa, joissa on yhtä monta lukua kuin reaalilukujen joukossa! Tämä ei tarkoita, että luonnollisia lukuja ei todellisuudessa olisi numeroituvaa määrää. Kyse on enemmänkin siitä, onko järkevää käsitellä aritmetiikkaa ”varmoin” metodein, jotka kuitenkin antavat epäilyttäviä tuloksia. 3/2016 TIEDE
47