Grafentheorie Hoofdstuk 1

Grafentheorie

Hoofdstuk 1 : Inleidende begrippen

Creative Commons Naamsvermelding Niet Commercieel Gelijk Delen 4.0 Internationaal CC BY NC SA 4.0

Naamsvermelding De gebruiker dient de maker van het werk te vermelden, een link naar de licentie te plaatsen en aan te geven of het werk veranderd is. Je mag dat op redelijke wijze doen, maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat de licentiegever instemt met je werk of je gebruik van het werk.

Niet Commercieel Je mag het werk niet gebruiken voor commerciële doeleinden.

Gelijk Delen Als je het werk hebt geremixt, veranderd, of op het werk hebt voortgebouwd, moet je het veranderde materiaal verspreiden onder dezelfde licentie als het originele werk.

Grafentheorie: inleiding

1.1 Een wereld van netwerken

Een blik op de kaart van de metrolijnen (en tramlijnen) van Brussel toont ons dat wiskundige objecten overal aanwezig zijn in ons dagelijks leven. Zo’n schematisch weergave van de metrolijnen en tramlijnen samen met de haltes noemt men in de wiskunde een graaf

De ligging van de metrolijnen en haltes worden hierbij niet geografisch correct getekend. Ook de afstanden tussen de haltes stemmen niet overeen met de werkelijke afstanden. De stations die in werkelijkheid het meest uit mekaar liggen zijn Schuman en Merode met 1,2 km. De haltes Joséphine Charlotte et Gribaumont, met slechts 350 meter liggen in werkelijkheid het dichtst bij elkaar. De getallen op de kaart stellen in dit geval de wandeltijd voor in minuten.

Bij dit soort kaarten is het voor de reiziger enkel van belang om de opstapplaats en de eindbestemming te kiezen en een duidelijk beeld te krijgen van de verschillende metrolijnen.

Een graaf in de wiskunde is ongeveer hetgeen we in het dagelijks leven een netwerk noemen. Een graaf bestaat uit een aantal punten die men knopen noemt en verbindingen die men bogen (kanten of lijnen) noemt. Indien je treinstations beschouwt als knopen dan zijn de treinsporen de bogen.

Een netwerk van vrienden op een sociaal netwerk zoals facebook vormt ook een graaf. De knopen zijn de personen. Tussen twee personen A en B loopt er een verbinding indien zij met elkaar bevriend zijn.

Een rioleringssysteem, een wegennet, een computernetwerk en uiteraard het internet zijn andere voorbeelden van netwerken die men kan voorstellen met een graaf.

1.2 Een vleugje geschiedenis: de bruggen van Koningsbergen

De oude stad Koningsbergen (of in het Duits Königsberg) lag vroeger in Pruisen en is gelegen aan de Baltische zee. Na de tweede wereldoorlog werd de stad geannexeerd door de Sovjet Unie en herdoopt tot Kaliningrad. Nu is Kaliningrad een Russische enclave binnen de EU en grenzend aan Litouwen en Polen.

Het 7 bruggenprobleem van Koningsbergen

De stad Koningsbergen wordt door de rivier de Pregel verdeeld in twee delen. In deze rivier liggen ook twee eilandjes. Deze vier delen van de stad Koningsbergen werden in de 18de eeuw verbonden door 7 bruggen.

De bewoners van Koningsbergen vroegen zich af of het mogelijk is een wandeling te maken die je precies eenmaal over elke brug stuurt en je uiteindelijk terugbrengt bij het startpunt van de wandeling

Het vraagstuk werd in 1735 voorgelegd aan de beroemde Zwitserse wiskundige Leonard Euler.

Ook al vond Euler het een triviaal probleem, het blijft hem bezighouden en hij schrijft in een brief aan een Italiaanse wiskundige en ingenieur: "De vraag is zo banaal, maar het valt op te merken dat noch de meetkunde, noch de algebra volstaat om het op te lossen."

Hieronder een voorbeeld van een aantal mogelijke wandelingen waarbij niet alle 7 bruggen precies een keer worden overgestoken.

Het blijkt bijzonder moeilijk om een wandeling te vinden waarbij de zeven bruggen precies één keer worden overgestoken.

Grafentheorie

1.2.1 Oefening

Probeer een rondwandeling te tekenen die start en eindigt bij het blauwe kindje en waarbij je precies één keer over elke brug wandelt.

Bekijk ook de interactieve GeoGebraversie via deze link: https://www.geogebra.org/m/sdt2v35b

Leg uit waarom deze wandeling wel/niet mogelijk is…

Probeer een rondwandeling te tekenen die start en eindigt bij het rode kindje en waarbij je precies één keer over elke brug wandelt.

Bekijk ook de interactieve GeoGebraversie via deze link https://www.geogebra.org/m/cvgdvqnr

Leg uit waarom deze wandeling wel/niet mogelijk is…

1.2.2 Het prille begin van de grafentheorie: abstractie van het probleem

De Zwitserse wiskundige Leonard Euler vereenvoudigde de plattegrond van Koningsbergen door elk stadsdeel voor te stellen door een punt (knoop) A, B, C en D en elke brug door een boog (een verbinding tussen de knopen).

Hierdoor kan men het probleem van de 7 bruggen van Koningsbergen weergeven met een abstract schema, een zogenaamde graaf. Omdat er tussen de knopen meerdere bogen zijn noemt men dit een multigraaf. Alleen de essentiële elementen worden nog weergegeven zonder de achtergrond van het stadsplan. Men noemt dit een wiskundig model dat toelaat om gelijkaardige situaties met dezelfde bril van de grafentheorie te onderzoeken.

Interactieve GeoGebra versie via deze link https://www.geogebra.org/m/v282yfnh

Deze graaf heeft vier knopen (de stadsdelen) en zeven bogen (de bruggen).

Formulering van het 7 bruggenprobleem met grafen.

Is het mogelijk de graaf zo te doorlopen, dat daarbij elke boog slechts éénmaal gepasseerd wordt?

Beginnen we bijvoorbeeld bij de knoop A, dan moet daar een ,,inkomende boog”, maar ook een ,,uitgaande boog” zijn. Telkens als we via één van de bogen in een knoop aankomen, moet daar weer behalve de ,,inkomende” ook een ,,uitgaande boog” zijn.

Het aantal bogen dat in een knoop toekomt (of uit dit knooppunt vertrekt) noemt men de graad van deze knoop in een graaf.

Noteer de graad van de knopen van deze graaf.

Knoop A B C D

Graad 5 3 3 3

Zijn deze graden even of oneven?

Besluit:

Hieruit blijkt, dat als we de graaf zo willen doorlopen, dat we elk der bogen slechts eenmaal gebruiken, er bij elke knoop een even aantal bogen moet samenkomen (behalve in de startknoop of eindknoop)

Aangezien in geen enkel knooppunt een even aantal bogen samenkomt is het onmogelijk een wandeling door Koningsbergen te organiseren, waarbij elk der bruggen slechts éénmaal doorlopen wordt.

1.3 Eerste begrippen over grafen

1.3.1 Knopen en bogen

Het is niet moeilijk om je een voorstelling te maken van een graaf (meervoud grafen).

Interactieve GeoGebra versie dia deze link https://www.geogebra.org/m/sshufwsz

Als figuur bestaat een graaf uit een aantal knopen (de getekende punten) en bogen (de verbindingen tussen de punten). Meestal worden deze verbindingen getekend als een lijnstuk, maar dit is niet noodzakelijk. Men mag ook krommen als verbindingen gebruiken en de knopen een naam geven. Wel belangrijk bij grafen is het feit of twee knopen al dan niet met elkaar verbonden zijn.

Opmerking 1: isomorfe grafen Merk op dat grafentheorie geen meetkunde is. De plaats van de knopen en de vorm en lengte van de bogen zijn van geen enkel belang. Hieronder twee voorstellingen van dezelfde graaf. Men noemt grafen die er verschillend uitzien maar toch dezelfde zijn, zoals in het voorbeeld hieronder, isomorf.

Bepaal voor deze grafen het aantal knopen en bogen.

Opmerking 2: drie verschillende grafen

Grafentheorie

1.3.2 De graad van een knoop en buren van een knoop

De graad van een knoop is het aantal bogen dat in deze knoop toekomt (of vertrekt) indien het een gewone graaf is.

De buren van een knoop A zijn de knopen die rechtstreeks verbonden zijn met de knoop A.

De graad van knoop A is 3 en de buren van A zijn B, C en D.

De graad van knoop B is 3 en de buren van B zijn A, C en E.

De graad van knoop C is 3 en de buren van C zijn A, B en D

De graad van knoop D is 2 en de buren van D zijn A en C.

De graad van knoop E is 1 en de buur van E is B.

Eigenschap 1

Bepaal de som van de graden van knopen. Tel ook het aantal bogen.

Zoek het verband tussen beide aantallen.

Graaf 1

Graden van knopen van graaf 1 zijn 2, 4, 2, 1, 1, 2

Som van de graden van de knopen van graaf 1 is gelijk aan 12

Aantal bogen van graaf 1 is gelijk aan 6

Graden van knopen van graaf 2 zijn 4, 4, 4, 4, 4

Som van de graden van de knopen van graaf 2 is gelijk aan 20.

Aantal bogen van graaf 2 is gelijk aan 10.

Besluit:

Graaf 2

De som van de graden van de knopen is tweemaal het aantal bogen (m.a.w. is even)

Bewijs: Indien je de graden van alle knopen optelt dan tel je elke boog twee keer.

Interactieve GeoGebraversie via deze link https://www.geogebra.org/m/dsucakvp

Grafentheorie

Eigenschap 2

Tel in onderstaande grafen het aantal knopen met een oneven graad.

Graaf 3

Aantal knopen van een oneven graaf in graaf 3 is gelijk aan 4.

Aantal knopen van een oneven graaf in graaf 4 is gelijk aan 2.

Graaf 4

Interactieve GeoGebra versie via deze link https://www.geogebra.org/m/d72ud6s2

Besluit:

Het aantal knopen van een oneven graad in een graaf is even.

Bewijs (in woorden):

De som van alle graden van de knopen is even (eigenschap 1).

Dus is ook de som van de oneven graden en de even graden ook even.

De som van de oneven graden moet dus ook even zijn.

Dit betekent dat het aantal knopen van oneven graden even moet zijn.

Bewijs in formulevorm:

Noteer de graad van knoop A als deg(A). Veronderstel dat er k bogen zijn.

Noem A1, A2, A3, … Ap de knopen met oneven graad.

Noem B1, B2, B3, … Bq de knopen met even graad.

Er geldt: deg(A1) + deg(A2) + deg(A3) + … +deg(Ap) + deg(B1) + deg(B2) + deg(B3) + … + deg(Bq) = 2k

Dus is: deg(A1) + deg(A2) + deg(A3) + … +deg(Ap) = 2k (deg(B1) + deg(B2) + deg(B3) + … + deg(Bq))

Het linkerlid is even omdat het verschil van twee even getallen in het rechterlid ook even is.

Grafentheorie

1.4 Handjes schudden en speed dating

1.4.1 Vrienden op een feestje: complete grafen

Een aantal vrienden ontmoeten elkaar op een verjaardagsfeestje. Ze geven elkaar een hand.

versie met GeoGebra via deze link https://www.geogebra.org/m/ny85pnga

Wij kunnen dit weergeven met een graaf. Omdat alle knopen met elkaar verbonden zijn noemt men dit complete grafen.

vrienden

vrienden

vrienden 6 vrienden

Tel het aantal knopen (personen) en ook het aantal bogen (handen schudden). Indien dit aantal vrienden niet al te groot is dan is het nog vrij eenvoudig om het aantal bogen te tellen.

Aantal vrienden Aantal bogen

Verduidelijk jouw antwoorden en stel een algemene formule op indien n vrienden elkaar ontmoeten op het feestje en elkaar een hand schudden.

Interactieve versie met GeoGebra via deze link www.geogebra.org/m/wjkd6epk

Veronderstel dat 10 vrienden aanwezig zijn op het feestje en elkaar begroeten.

Een complete graaf met n punten noteert men als

Hoeveel handen kan de eerste persoon schudden? 9

Hoeveel handen kan de tweede persoon schudden indien de eerste persoon de tweede persoon al den hand heeft gegeven? 8

… de derde persoon? 7 … de vierde persoon? 6

… de achtste persoon? 2 … de negende persoon? 1

De totale som wordt in dit geval 9 + 8+ 7 +6 +5 +4 +3 +2 +1 = 45 Dit is de som van de eerste 9 getallen.

Veralgemening:

Veronderstel dat er n personen aanwezig zijn.

Elke persoon kan (n 1) handen schudden.

Het totaal aantal is dan gelijk aan het product ��∙(�� 1)

Wij moeten dit aantal nog delen door 2 (omwille van symmetrie).

De algemene formule voor n personen wordt dan:

(1)

Historische noot: Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss (Braunschweig, 30 april 1777 Göttingen, 23 februari 1855) was een Duits wiskundige en natuurkundige, die een zeer belangrijke bijdrage heeft geleverd aan een groot aantal deelgebieden van de wiskunde en de exacte wetenschappen. Hij wordt soms de koning der wiskunde genoemd. Gauss wordt gezien als één van de meest invloedrijke wiskundigen uit de geschiedenis.

Hij sprak over de wiskunde als "de koningin van de wetenschappen".

Volgens een anekdote moest Carl als negenjarig jongetje als strafwerk de getallen 1 tot en met 100 bij elkaar optellen. Lui als hij was, verzon hij de volgende handige aanpak voor dit probleem. Hij schreef de som twee keer op: één keer in gewone volgorde en daaronder één keer in omgekeerde volgorde:

Toen telde hij de twee getallen op die onder elkaar staan: de uitkomst is steeds 101.

De som van de natuurlijke getallen van 1 tot 100 is de helft van 100 x 101.. dus 5050.

Algemene formule voor de som van de eerste n natuurlijke getallen

Opmerking: Verklaar waarom de formules (1) en (2) verschillend zijn.

1.4.2 Tweedelingsgrafen (bipartiete grafen)

Voorbeeld: speed dating

Bij de start van het schooljaar organiseert de klastitularis een speeddating in de klas om de leerlingen met elkaar te laten kennismaken.

De klas wordt in twee groepen verdeeld, 5 jongens en 6 meisjes.

Hoeveel mogelijkheden zijn er indien elke jongen met elk meisje een kort gesprek moet voeren?

Interactieve versie met GeoGebra via deze link https://www.geogebra.org/m/rtgfwwuz

Een tweedelinsgraaf (bipartiete graaf) is een graaf waarbij men de knopen in twee groepen kan verdelen zodanig dat elke boog van de graaf een knoop van de ene groep verbindt met een knoop van de andere groep. Er mogen geen bogen zijn tussen twee knopen van dezelfde groep.

Bij een volledige tweedelingsgraaf (volledige bipartiete graaf) zijn alle knopen van de ene groep verbonden met alle knopen van de andere groep.

Om de twee groepen van een tweedelingsgraaf aan te duiden kan je ofwel twee kleuren gebruiken of de groepen aanduiden met kringen of kruisjes.

Opmerking

Het is niet altijd zo eenvoudig om een duidelijke voorstelling van een tweedelingsgraaf te maken waarbij de twee groepen zichtbaar van elkaar gescheiden zijn.

Dit zijn drie verschillende voorstellingen van dezelfde tweedelingsgraaf.

Interactieve GeoGebra versie via de link https://www.geogebra.org/m/ks56rg8k

Oefening

Zijn de volgende grafen tweedelingsgrafen?

Interactieve GeoGebra versie via de link https://www.geogebra.org/m/gpkvzuyr

Grafentheorie

Antwoord:

Tweedelingsgraaf

Tweedelingsgraaf

Tweedelingsgraaf

Oplossing interactieve GeoGebra versie via deze link https://www.geogebra.org/m/txsqcjqz

1.4.3 Cykels

Een cykel is een gesloten graaf waarbij je bij een rondwandeling in elke knoop juist één keer komt.

Bij een cykel is het aantal knopen altijd gelijk aan het aantal bogen.

https://www.geogebra.org/m/vgcjrsma

Stelling: (zonder bewijs)

Een graaf G is een tweedelingsgraaf als en slechts deze de graaf geen oneven cykel bevat.

Een oneven cykel is een cykel met een oneven aantal bogen.

Tweedelingsgraaf

https://www.geogebra.org/m/n6qhw5hs

GEEN tweedelingsgraaf

Cykel bovenaan is oneven

Grafentheorie

1.5 Grafen voorstellen met GeoGebra

Een graaf bestaat in essentie uit een aantal knopen en bogen (verbindingen).

Het is vrij eenvoudig om met GeoGebra grafen voor te stellen.

• Knopen worden als punten getekend in GeoGebra.

• Bogen worden als lijnstukken getekend in GeoGebra.

Voorbeeld:

 Start GeoGebra met als schermindeling “Meetkunde”.

Je krijgt dan een leeg tekenvenster zonder assenstelsel of rooster.

 Teken een aantal punten met de puntenknop. Dit worden de knopen van de graaf.

Je kan na selectie van deze punten de eigenschappen van deze punten aanpassen waaronder de kleur, stijl, puntgrootte e.d.m.

Grafentheorie



Teken ook een aantal lijnstukken die een aantal punten verbinden.

Deze lijnstukken zijn de bogen van de graaf.

Na selectie van deze lijnstukken kun je opnieuw de kleur, de dikte en ook de waarde laten weergeven.

De waarde is in dit geval de werkelijke (Euclidische) afstand.

Opmerkingen

Indien jij niet de Euclidische afstand tussen de punten wil weergeven maar zelf getallen wil toekennen aan de lijnstukken dan kan dit door het aanpassen van de eigenschappen en een getal aan de “Titel” te koppelen.

De voorstelling van de graaf is dynamisch. Je kan de punten (knopen) verslepen en zodoende een isomorfe graaf bekomen. Omdat de gewichten als titel werden ingegeven blijven deze behouden.

Je kan deze instellingen voor de stijl van de punten en lijnstukken ook opslaan.

Grafentheorie

Toemaatje: de huwelijkheidsstelling van Hall

Tweedelingsgrafen worden o.a. gebruikt bij matchingproblemen.

Stel er is een groepje personen moeten aan elkaar gekoppeld worden. Er zijn evenveel mannen als vrouwen De vrouwen hebben allemaal een lijstje gemaakt van de mannen die ze leuk genoeg vinden en de mannen zijn met iedere vrouw tevreden. Is er dan een koppeling mogelijk waarbij de wensen van de vrouwen gerespecteerd worden?

De vraag: Is het mogelijk om de zes vrouwen te koppelen aan de zes partners?

In sommige situaties is het makkelijk om na te gaan dat er geen matching mogelijk is. Indien er een vrouw is die geen enkele partner leuk vindt of indien er twee vrouwen zijn die enkel en alleen dezelfde partner willen.

In 1930 bewees Filip Hall een stelling die een nodige en voldoende voorwaarde geeft voor het bestaan van een oplossing indien k vrouwen met k verschillende mannen willen trouwen.

Hierbij wordt gebruik gemaakt van tweedelingsgrafen.

In het jongerentijdschrift Pythagoras werd in januari 2009 een interessant artikel gepubliceerd over de huwelijkheidsstelling van Hall http://www.wiskundemeisjes.nl/wp content/uploads/2009/09/hallpyth.pdf

INHOUD LEERWERKBOEK GRAFENTHEORIE

HS 1 Het zevenbruggenprobleem van Koningsbergen

Inleidende begrippen; knopen en bogen, graad van een knoop.

Toepassingen: Tweedelingsgrafen, vrienden op feestje, huwelijkstelling Hall...

HS 2 Eulergrafen

Huisjes tekenen, Eulersporen en Eulercircuits, stellingen, stappenplan.

Toepassingen: het Chinese postbode probleem.

HS 3 Kleuren van grafen

Kleuren van landkaarten, historiek, puzzelplezier. Graafkleuringen, planaire grafen...

Greedy algoritme voor het kleuren van grafen.

HS 4 Hamiltongrafen

Van Platonisch veelvlak naar Hamiltongraaf.

Een reis rond de wereld met het icosean Game. Verschil tussen Eulergrafen en Hamiltongrafen.

Eigenschappen Hamiltongrafen.

Criteria: stelling van Dirac, Ore... Formule van Euler.

HS 5 Het handelsreizigersprobleem TSP

Praktisch onoplosbare problemen. Hamiltoncykels.

De TSP wedloop

Heuristieken: beste buur, invoegen...

HS 6 Bomen

Minimaal opspannende boom. Algoritme van Prim en Kruskal.

HS 7 Kortste route

Brute force algoritme, dichtste buur algoritme. Algoritme van Dijkstra.

Aansluitend bij elk hoofdstuk een reeks oefeningen en vraagstukken voor leerlingen. Verbetersleutels voor de leraars. Collectie interactieve GeoGebrabestanden

De overige hoofdstukken van het lesmateriaal “Grafentheorie” is beschikbaar voor deelnemers aan de webcursus “Grafentheorie” die wordt aangeboden via de Mathelo leeromgeving.

OEFENINGEN HS 1 GRAFENTHEORIE

Hoeveel knopen

bogen heeft

Duid hieronder

Zijn de twee onderstaande

Stel dat je een

Hoeveel bogen heeft

hebt

knopen.

de graad van elke knoop?

en

zijn?

Grafentheorie

7. Onderstaande figuur stelt de mogelijke geplande wandelpaden voor tussen 9 woonwijken.

Het aantal verbindingen vanuit elke woonwijk wordt weergegeven door de getallen.

Zo is de middelste woonwijk verbonden met 5 wandelpaden met een aantal andere woonwijken.

Hoeveel verschillende verbindingen zij er in totaal.

Teken een mogelijke oplossing.

8. Is de graaf die hieronder is afgebeeld een tweedelingsgraaf? Waarom (niet)?

9. Op een receptie schudden 12 personen elkaar de hand. Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal?

10. Een volledige tweedelingsgraaf met twee groepen van p en q knopen wordt afgekort met ����,�� Hoeveel knopen en bogen heeft de volledige tweedelingsgraad ��7,5 ?

Grafentheorie

11. Is het mogelijk om 15 computers in een netwerk zodanig te verbinden dat elke computer verbonden is met 3 andere computers?

12. Teken een graaf met 4 knopen waarvan de graad van elke knoop 3 is.

13. Toon aan dat onderstaande graaf een tweedelingsgraaf is.

14. Een graaf heeft 21 bogen, 4 knopen van graad 3 en de andere knopen hebben graad 2. Hoeveel knopen heeft deze graaf?

15. Een graaf heeft 35 bogen, 4 knopen met graad 5, 5 knopen met graad 4 en 4 knopen met graad 3. Hoeveel knopen zijn er van graad 2?

16. Tel op het stratenplan het aantal kruispunten die een oneven aantal straten verbinden. Verduidelijk jouw antwoord met een eigenschap van grafen.

17. Verduidelijk volgende uitspraak met onderstaand voorbeeld. Op een feest zijn er altijd een even aantal personen met een oneven aantal kennissen.