__MAIN_TEXT__

Page 1

GeoGebra van A tot Z Module 1 Dynamische meetkunde

Ivan De Winne


GeoGebra 6 van A tot Z

1 Meetkunde met GeoGebra: deel 1 1.1 Inleiding: GeoGebra versie 6 In deze webcursus maken wij gebruik van de vernieuwde versie 6 van GeoGebra. De eenvoudigste manier om GeoGebra 6 op te starten is als webapplicatie. Na het opstarten van jouw Internetbrowser (FireFox, Google Chrome) moet je het volgende adres intypen: www.geogebra.org/classic Je kan GeoGebra 6 ook installeren op jouw toestel. In dat geval kun je GeoGebra ook gebruiken zonder een Internetverbinding: www.geogebra.org/download

De interface van de webversie en de lokaal geïnstalleerde versie is (op een paar kleine details na) identiek. Knop voor openen van Menubalk

Algebravenster Knop voor Opmaakwerkbalk

www.mathelo.net

Tekenvenster

Invoer met geoptimaliseerde formule-editor

Virtueel toetsenbord

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ͳ


GeoGebra 6 van A tot Z  Selecteer de cirkel (op de rand) en opvullen met een gele kleur.

Alles in zelfde laag

Driehoeken in laag 2

Oefening Teken volgende figuur na in GeoGebra. De straal van de grote cirkel is gelijk aan 4. Kleur vervolgens de gebieden in. Hierbij moet je werken met lagen. De werkwijze is gelijkaardig aan de werkwijze in fotobewerkingsprogramma’s.

www.mathelo.net

Selecteer bijvoorbeeld een cirkel, klik met de rechtermuisknop, Kies Instellingen, Geavanceerd, Laag…

Nog een paar voorbeelden…

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ͳͷ


GeoGebra 6 van A tot Z 1.6.2 Illustratie van een meetkundige eigenschap Maak een “tekening” om volgende eigenschap te illustreren. Gegeven is een vierkant met zijde 2 en een cirkel rakend aan de zijde BC in het midden van deze zijde en gaande door de hoekpunten A en D van het vierkant (zoals op de tekening).

Stappenplan  Start GeoGebra 6 en activeer het meetkundevenster.  Klik op de 5de knop voor veelhoeken en kies in het rolmenu de optie

www.mathelo.net

“Regelmatige veelhoek”

 Klik twee maal in het tekenvenster en geef het aantal hoekpunten, zijnde 4.

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ͳ͸


GeoGebra 6 van A tot Z

 Bepaal het midden E van de zijde BC met de puntenknop en kies de optie

Je kan nu ook nog het middelpunt van de cirkel bepalen door het tekenen van koorden AE en DE en vervolgens het snijpunt bepalen van de middelloodlijnen van deze koorden.

 Teken de koorde AE met de knop  Teken ook de koorde DE met de knop © Ivan De Winne

www.mathelo.net

ͳ͹

www.mathelo.net

 Teken de cirkel gaande door de drie punten A, D en E.


GeoGebra 6 van A tot Z 2.6 De cirkel van Feuerbach Opdracht Gegeven is een willekeurige driehoek met als hoekpunten A, B en C. De drie voetpunten D, E en F van de hoogtelijnen en de drie middens I, J en K van de zijden liggen allemaal op dezelfde cirkel. Er liggen nog drie andere punten op deze cirkel, namelijk de middens P, Q en R van de lijnstukken van die de hoekpunten van de gegeven driehoek verbinden met het hoogtepunt. Deze cirkel noemt men ook de cirkel van Euler of Feuerbach. Maak een GeoGebra bestand om deze eigenschap te illustreren.

Start GeoGebra en open een nieuw leeg werkblad (zonder rooster of assen).

Teken een driehoek ABC met Teken ook de rechten die de verlengdes zijn van de zijden van de driehoek.

Teken de hoogtelijn uit het hoekpunt A op de overstaande zijde a met en bepaal het voetpunt D van deze loodlijn met

Herhaal dit voor de andere hoogtelijnen uit B en C en bepaal de voetpunten E en F. Het voetpunt ligt niet noodzakelijk op de zijde van de driehoek maar mogelijks op het verlengde ervan.

Teken een cirkel gaande door deze drie punten met

Bepaal ook de middens I, J en K van de zijden van de driehoek ABC

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

www.mathelo.net

.

ͶͲ


GeoGebra 6 van A tot Z 

Bepaal het snijpunt H van de hoogtelijnen.

Teken ten slotte de lijnstukken die dit hoogtepunt verbinden met de hoekpunten van de driehoek ABC.

Bepaal de middens P, Q en R van deze lijnstukken.

www.mathelo.net

Deze negen punten liggen op éénzelfde cirkel…

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

Ͷͳ


GeoGebra van A tot Z Module 2 Grafische voorstellingen

Ivan De Winne


GeoGebra 6 van A tot Z 3.4 Grafische voorstellingen van functies 3.4.1 Grafische voorstelling van een veeltermfunctie Het ingeven van een functievoorschrift gebeurt via het Invoerveld van het Algebravenster.

 Typ in het invoerveld het voorschrift van een tweedegraadsfunctie f en druk vervolgens op de ENTER-toets. Machten kun jij ingeven met ^ of voor een tweede macht met ² en derde macht ³

 Typ op de tweede regel van het invoerveld ook het voorschrift van een veeltermfunctie g van de derde graad

Uiteraard is de grafiek van een functie NIET ALTIJD zichtbaar in het basistekenvenster (10x10).

 Typ in het invoerveld f(x)=x^3-x^2-6x+4

De mogelijkheid is ook voorzien om op een tablet met een VIRTUEEL toetsenbord te werken. Je kan dit openen in de rechter benedenhoek met

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ͷ͸

www.mathelo.net

en druk op de ENTER-toets


GeoGebra 6 van A tot Z In dit laatste voorbeeld moet men de grenzen van het tekenvenster aanpassen met inzoomen of uitzoomen om een duidelijker beeld van de grafische voorstelling te bekomen.

Deze aanpassingen kunnen ook door met de muisaanwijzer de X-as of de Y-as aan te wijzen en de Toetscombinatie SHIFT KLIKKEN. De aanwijzer verandert dan in een kleine dubbele pijl. Indien men de grafiek selecteert met dan verschijnt een aangepaste opmaakbalk. Hiermee kan men o.a. de kleur en de lijndikte wijzigen.

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ͷ͹

www.mathelo.net

Je kan ook de verhoudingen tussen de X-as en de Y-as aanpassen. Klik met rechtermuisknop in tekenvenster en wijzig de eigenschappen tekenvenster tot een verhouding X-as:Y-as van 1:5


GeoGebra 6 van A tot Z 3.4.2 Punt op grafiek volgen 

Teken met GeoGebra de grafiek van een vierdegraadsfunctie f(x)=2x^4+5x^3-3x^2-8x+4

Indien men het gedrag van deze functie wil onderzoeken dan kan men een punt op de grafiek van deze functie plaatsen en dit punt verslepen.

 Klik op de knop

, dit is de tweede knop in de tekenbalk. Klik vervolgens ergens op de grafiek van f. Er wordt een punt getekend dat gelegen is op de grafiek van f

Met de aanwijzer

kun jij dit punt verslepen.

Met de opmaakbalk kun je na selectie van dit punt de eigenschappen aanpassen.

Pas de kleur en puntgrootte van dit punt A aan (kleur rood, puntgrootte 5)

GeoGebra voorziet de mogelijkheid om de coördinaten van een bewegend punt op de grafiek op te vragen. Het is dan gemakkelijk om de functiewaarden af te lezen bij het verslepen van dit punt A op de grafiek.

 Selecteer het punt op de grafiek en kies via de Opmaakbalk voor dit punt 

www.mathelo.net

“Naam en waarde” om de coördinaten van dit punt weer te geven.

Selecteer de grafiek van f en wijzig ook de kleur van de grafiek van f

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ͷͺ


GeoGebra 6 van A tot Z Uitgewerkt voorbeeld Wij maken een bestand ter illustratie van de formule voor de oppervlakte van een driehoek.

 Teken een willekeurige driehoek ABC.  Bepaal de middens van de zijden AC en BC.  Teken een middenparallel DE.  Teken loodlijn vanuit C op de middenparallel en bepaal snijpunt F met deze middenparallel.

Teken het trapezium ABED en de driehoeken CFD en CFE.

Het is nu de bedoeling om de driehoek CFD te roteren rond het punt D in tegenwijzerzin en de driehoek CFE rond het punt E in wijzerzin.

 Maak een schuifknop voor een hoek α tussen 0° en 180°.

www.mathelo.net

 Vervolgens de twee driehoeken op een passende wijze roteren over hoek α.

Een schuifknop kan men ook nog animeren; rechtermuisknop, Animatie Aan.

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ͻ͵


GeoGebra 6 van A tot Z 4.8.2 Schuifknop als parameter Een schuifknop (slider) is ook een erg handig hulpmiddel om de invloed van een parameter op de grafiek van een functie te onderzoeken… Voorbeeld 1:

Start GeoGebra en open een nieuw leeg werkblad. Activeer ook het algebravenster. Kies daartoe als schermindeling het Algebravenster en Tekenvenster.

Maak een schuifknop a met Hierbij is a een getal tussen -5 en 5 gelegen met Stapgrootte 0.1

 Wijzig de waarde van a door het verslepen van de schuifknop.  Maak ook een schuifknop b tussen -5 en 5, stapgrootte 0.1. Typ in het Algebravenster het voorschrift van een rechte y=a*x+b

Let op! Tussen a en de veranderlijke x een asteriks * gebruiken

Versleep de schuifknop a en ook b.

Bepaal het snijpunt van de rechte met de X-as en ook de Y-as

Duid eventueel de Helling (ricodriehoek) aan met

www.mathelo.net

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ͻͶ


GeoGebra van A tot Z Module 3 Het rekenblad

Ivan De Winne


GeoGebra 6 van A tot Z

5 Het rekenblad Eén van de belangrijkste uitbreidingen van GeoGebra was de toevoeging van een rekenblad (spreadsheet) dat feilloos samenwerkt met het tekenvenster en het algebravenster. Hierdoor wordt het mogelijk om het onderdeel statistiek uitvoerig te behandelen. Omdat een aantal handelingen sterk overeenstemmen met de vertrouwde handelingen in programma’s zoals Microsoft Excel, vraagt de overstap naar het rekenblad van GeoGebra slechts een minimale inspanning. De toegevoegde waarde van het GeoGebra rekenblad bestaat er bovendien in dat men in de cellen van dit rekenblad, niet alleen getallen kan ingeven maar ook het merendeel van de objecten (punten, rechten, cirkels, functies…) en commando’s die beschikbaar zijn in GeoGebra. Het “rekenblad” van GeoGebra is méér dan zomaar een “reken”blad! Elk object dat wordt ingegeven in het rekenblad, wordt indien mogelijk grafisch weergegeven in het tekenvenster.

5.3 De eerste stappen met het rekenblad Na het opstarten van GeoGebra kun jij het “Rekenblad” activeren en zichtbaar maken via de menubalk en de optie Beeld, Rekenblad.

Zo’n rekenblad (is zoals in Microsoft Excel of Open Office Calc …) opgebouwd uit genummerde Rijen 1,2,3 en Kolommen A, B, C …

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ͳͲͳ

www.mathelo.net


GeoGebra 6 van A tot Z Het adres van een Cel wordt aangegeven door de Kolom en de Rij zoals A1, C4, D5… Merk ook op dat de knoppenbalk wordt aangepast met drie nieuwe knoppen van zodra het rekenblad geactiveerd is.

Elke cel van het rekenblad in GeoGebra kan volgende gegevens bevatten: getallen, berekeningen, tekst, formules en ook GeoGebra commando’s. Standaard worden de objecten in de cellen van het rekenblad in het algebravenster als hulpobjecten weergegeven. De namen van de objecten in het algebravenster verwijzen naar de corresponderende cellen in het rekenblad. De drie verschillende representaties, in het rekenblad, algebravenster en het tekenvenster zijn dynamisch met elkaar verbonden.

5.3.1 Eenvoudige berekeningen in het rekenblad Open een nieuw bestand in GeoGebra en maak naast het grafisch venster ook het Rekenblad en het Algebravenster met Invoerveld zichtbaar.

Typ in de cel A1 het getal 7, in de cel A2 sqrt(144), in A3 het getal pi

www.mathelo.net

Tekenvenster Algebravenster Rekenblad

De nauwkeurigheid van de resultaten kan men instellen met de menubalk en

© Ivan De Winne

Afronden, 10 decimale cijfers (tot maximaal 15)

www.mathelo.net

ͳͲʹ


GeoGebra 6 van A tot Z 6.4.1 Geval 1: ruwe data discreet en ongeordend In het dit eerste voorbeeld maken wij gebruik van ALLE waarnemingsgetallen (ruwe data), nog niet geordend in een frequentietabel, waarbij het aantal waarnemingsgetallen beperkt is en er geen indeling in klassen is. Van 30 volwassen mannen werd de schoenmaat gemeten met als resultaat

42 39 42 41 40 44 43 41 40 40 42 40 39 38 43 40 39 44 42 40 41 46 40 41 42 42 38 39 44 41 Open het Rekenblad in GeoGebra en typ deze data in 3 rijen en 10 kolommmen van de Cel A1 tot en met J3.

Selecteer deze tabel door te slepen en maak hiervan een lijst.

Deze lijst krijgt in het Algebravenster een naam l1 die je gemakkelijkshalve wijzigt in de naam L (met hoofdletter)

Men kan de elementen van deze lijst sorteren door het ingeven van het commando data=Sorteer(L) in het Algebravenster.

De resultaten kan men grafisch weergeven als een staafdiagram Gebruik hiervoor het commando p=Staafdiagram[data,0.6] waarbij 0.6 de breedte van de staaf weergeeft. Versleep het grafiekvenster zodanig dat de resultaten zichtbaar worden (in de omgeving van 40)

Je kan ook een frequentietabel laten weergeven met het commando Frequentietabel(data)

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

www.mathelo.net

ͳͳͷ


GeoGebra 6 van A tot Z 6.5 Openen van GeoGebra bestanden (met data) Van 250 eieren werd de massa gemeten. Deze waarnemingsgetallen werden reeds ingegeven in het GeoGebra bestand data250eieren.ggb om onnodig typwerk uit te sparen. Je kan dit bestand als volgt openen in GeoGebra 6 EERSTE WERKWIJZE Indien je dit bestand reeds eerder hebt gedownload en opgeslagen in een map op jouw PC dan ga je als volgt te werk.

 Open het rekenblad van GeoGebra 6

 Kies in de menubalk de optie Bestand Openen Omdat de ontwikkelaars van GeoGebra er vor gekozen hebben om al het materiaal in de cloud te bewaren klik je op het icoontje voor een map (op jouw PC).

www.mathelo.net

 Selecteer het gewenste bestand data250eieren.ggb en open dit bestand.

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ͳͳͻ


GeoGebra 6 van A tot Z 6.8.1 Een kans berekenen bij gegeven waarden Voorbeeld 1: Bereken de kans dat een willekeurig gekozen flesje uit de steekproef een inhoud heeft die kleiner dan 247 ml is. Men moet de oppervlakte berekenen van het gebied gelegen onder de Gausskromme en links van de rechte met als vergelijking x = 247

 Klik in het onderzoeksvenster waarschijnlijkheidsrekenen op de knop

vul de waarde 247 in. GeoGebra geeft als oplossing P(X ≤ 247) = 0,2038

en

Voorbeeld 2: Bereken de kans dat een willekeurig gekozen flesje uit de steekproef een inhoud heeft die gelegen is tussen 249 ml en 250 ml.

Antwoord: 51,47%

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ͳ͵ͳ

www.mathelo.net

De kans dat een flesje uit de steekproef een inhoud heeft die kleiner is dan 247 ml is gelijk aan 20,38%


GeoGebra van A tot Z Module 4 Ruimtemeetkunde

Ivan De Winne


GeoGebra 6 van A tot Z

7 Ruimtemeetkunde (deel 1) 7.3 Punten in 3D 7.3.1 Een punt in de ruimte tekenen  Open het 3D-tekenvenster van GeoGebra Wij werken voorlopig zonder het algebravenster en het tekenvenster voor vlakke meetkunde. De belangrijkste onderdelen van het 3D-venster en de icoontjes worden hieronder aangeduid. Menubalk openen 3D- tekenbalk Eigenschappen wijzigen

Virtueel toetsenbord

De knoppenbalk in het 3D venster biedt een brede waaier aan gereedschappen om driedimensionale voorstellingen van meetkundige objecten te maken. Bij elke knop (icoontje) van de tekenbalk behoren een aantal gereedschappen die aan elkaar gerelateerd zijn zaals de puntenknop, de lijnenknop, de constructieknop, …, de veelvlakkenknop enz.

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ͳͶͲ

www.mathelo.net

3D-tekenvenster


GeoGebra 6 van A tot Z  Klik op de puntenknop

in de knoppenbalk.

De verschillende onderdelen van deze puntenknop verschijnen nu als rolmenu of soms horizontaal (indien het tekenscherm wordt verkleint).

 Beweeg met de muisaanwijzer in de richting van het Oxy-vlak (grijs).  Klik op de plaats in het Oxy-vlak voor het tekenen van een eerste punt A.

7.3.2 Verplaatsen van een punt in de ruimte Om een punt te verplaatsen in de ruimte, kan je schakelen tussen twee modi door herhaaldelijk te klikken op het punt, terwijl de knop is:

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

Verplaatsen geactiveerd

ͳͶͳ

www.mathelo.net

 Teken nog een paar andere punten in het grijze vlak.


GeoGebra 6 van A tot Z 7.10 Meten in de ruimte Voorbeeld: Teken een piramide met vierkant grondvlak A(-2,-2,0), B(-2,2,0) C(2,-2,0) D=(2,2,0) en top T(0,0,5). Je kan nu allerlei metingen uitvoeren.

 Meet de lengte van de opstaande (schuine) ribbe [AT] met de knop

www.mathelo.net

 Meet de hoek <ACT met de knop

GeoGebra geeft standaard de positief georiënteerde hoek weer. Houd wel rekening met de volgorde.

 Meet de oppervlakte van de driehoek ΔCDT met de knop  Meet de inhoud van de piramide met de knop Uitgewerkt GeoGebra bestand: meten in 3d.ggb

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ͳͷͺ


GeoGebra 6 van A tot Z

8 Analytische ruimtemeetkunde Voor het bepalen van de positie van een punt in de ruimte heeft men drie getallen nodig. Men kan aan elk punt P in de ruimte na invoering van een assenstelsel met oorsprong met de X-as, Y-as en Z-as, drie coördinaatgetallen toekennen. In GeoGebra worden punten in 3D voorgesteld door hoofdletters: P=(1,4,-3) Daarnaast kan men in GeoGebra ook rekenen met vectoren die door kleine letters worden voorgesteld: u=(1,-5,3)

8.3 Vergelijkingen van een rechte in de ruimte 8.3.1 Rechte bepaald door twee punten Teken een rechte in de ruimte gaande door de punten A(-1,3,2) en B(-3,1,4)

 Start GeoGebra en open het 3D-venster samen met het Algebravenster  Typ in het Algebravenster de coördinaatgetallen van twee punten A en B  Typ ook het commando Rechte(A,B)

Van de rechte wordt in het algebravenster de vectoriële vergelijking gegeven waarbij ook de richtingsvector wordt genoteerd. Je kan eventueel ook nog deze richtingsvector u= B – A en v =Vector(A,B) laten tekenen. GeoGebra zet de punten A en B dan automatisch om naar vectoren. Punten worden voorgesteld als een rijmatrix en vectoren als een kolommatrix?. Rechte bepaald door 1 punt en 1 richtingsvector

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ͳͷͻ

www.mathelo.net

Je kan eventueel ook de knop gebruiken.


GeoGebra 6 van A tot Z 8.3.2 Rechte waarvan ĂŠĂŠn punt en een richtingsvector is gegeven Teken een rechte in de ruimte gaande door het punt A(-4,5,7) met als richtingsvector u met als richtingsgetallen (2,3,4)

8.3.3 Rechte met gegeven parametervoorstelling Veronderstel dat van een rechte de parametervoorstelling gegeven is. đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 2 + 3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą {đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;4 + 2đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ = 1 â&#x2C6;&#x2019; 5đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą

Blijkbaar is het mogelijk om met deze gegevens de rechte te laten tekenen waarbij het commando Kromme( ) moet gebruikt worden.

Je moet uiteraard de waarden van de parameter t vermelden.

8.3.4 Rechte waarvan de cartesische vergelijkingen gegeven zijn Gegeven is een rechte met als cartesische vergelijkingen:

Je kan deze rechte in GeoGebra tekenen ZONDER vooraf de richtingsvector en een punt van deze rechte te bepalen. Het volstaat om de gegeven vergelijkingen in te typen in het Algebravenster.

GeoGebra vormt deze cartesische vergelijkingen om naar een vectorvergelijking.

Š Ivan De Winne

www.mathelo.net

ͳ͸Ͳ

www.mathelo.net

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + 1 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019; 3 = = 2 â&#x2C6;&#x2019;6 18


GeoGebra van A tot Z Module 5 Computer Algebra Systeem exact- en symbolisch rekenen

Ivan De Winne


GeoGebra 6 van A tot Z 9.4 Verkennen van het CAS venster 9.4.1 Starten van GeoGebra-CAS Je kan GeoGebra 6 enerzijds als desktop versie installeren en offline gebruiken of ook online als webapplicatie gebruiken via de link www.geogebra.org/classic Indien je frequent gebruik maakt van GeoGebra-CAS dan is het aan te raden om de desktop versie te installeren op jouw PC omdat de snelheid hiervan groter is dan de webversie. Om GeoGebra-CAS te starten kies je via het “broodrooster”menu het onderdeel CAS. Normalerwijze zijn zowel het CAS-venster als het tekenvenster geactiveerd. Je kan eventueel ook het Algebravenster activeren.

Het CAS-venster beschikt, zoals het algebravenster, het tekenvenster, het rekenblad en het 3D-venster over een aangepaste Knoppenbalk. Bij het aanklikken van het CAS-venster wordt deze CAS-knoppenbalk geactiveerd. Openen menu

CASknoppenbalk

Eigenschappen CAS-venster

instellingen

met

www.mathelo.net

Tekenvenster

commandoregels

Virtueel toetsenbord

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ͳ͹͹


GeoGebra 6 van A tot Z 9.4.2 De CAS-knoppenbalk

Het CAS-venster heeft naast een eigen knoppenbalk ook een werkgedeelte, bestaande uit verscheidene genummerde rijen of opdrachtregels (zoals gebruikelijk in de meeste CAS-programma’s). Op elke opdrachtregel kan een uitdrukking worden ingevoerd (input) en vervolgens worden geëvalueerd (output).

 Voer op de eerste opdrachtregel 3/2+5/7 in en klik daarna op de knop INPUT OUTPUT De knop zorgt er voor dat de ingevoerde uitdrukking exact wordt berekend en weergegeven in breukvorm.

 Je kan ook eerst klikken op de knop op de toets ENTER.

, vervolgens 3/2+5/7 intypen en daarna

Uiteraard kan je ook een berekening numeriek laten uitvoeren.

 Typ op de tweede commandoregel sqrt(7) en vervolgens op de tweede knop van

www.mathelo.net

de CAS-knoppenbalk

De nauwkeurigheid van deze (numerieke) berekening kan je aanpassingen via Instellingen.

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ͳ͹ͺ


GeoGebra 6 van A tot Z GeoGebra CAS kan niet alleen veeltermvergelijkingen exact oplossen, maar ook sommige (ir)rationale vergelijkingen.

www.mathelo.net

Ook niet algebraïsche vergelijkingen, zoals goniometrische- exponentiële en logaritmische vergelijkingen kunnen soms exact opgelost worden. Uiteraard kunnen deze exacte oplossingen enkel en alleen gevonden worden indien er een passende oplossingsmethode voor bestaat.

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ͳͻͲ


GeoGebra 6 van A tot Z Deel 4: Tweede afgeleide functie, kromming, buigpunten

www.mathelo.net

Bij het bepalen van de tweede afgeleide functie van f en het tekenonderzoek, kromming van f en eventuele buigpunten bereiken wij de grenzen van de mogelijkheden van het computer algebra systeem van GeoGebra.

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ʹʹͲ


GeoGebra 6 van A tot Z 10.13

Wisselwerking tussen het Algebravenster, het CAS-venster en het 2D-tekenvenster

Voorbeeld Het CAS-venster maakt gebruik van het computer algebra systeem GIAC. Dit CAS-systeem werkt uiteraard samen met alle andere onderdelen van het programma GeoGebra (dit is althans de bedoeling, alhoewel er in de huidige versie nog een aantal hiaten zijn.) Indien men gegevens vanuit het CAS ook wil gebruiken in de andere onderdelen van GeoGebra, dan moet men variabelen, functies en objecten ingeven met het toekenningssymbool

:=

Typ op de eerste opdrachtregel a:=5/2

Typ op de tweede opdrachtregel f(x):=x^3-3x+1

Plaats na de invoer een ; om te vermijden dat dit resultaat nogmaals wordt geëvalueerd.

Typ op de derde opdrachtregel f(a) en ENTER.

www.mathelo.net

De grafiek van f wordt getekend in het tekenvenster, het voorschrift van f verschijnt in het algebravenster en de variabele a wordt als schuifknop weergegeven in het tekenvenster indien het object a zichtbaar wordt gemaakt.

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ʹʹͳ


GeoGebra 6 van A tot Z

11 De projectsite van GeoGebra 11.3 Aanmelden op www.geogebra.org  Ga naar de website www.geogebra.org

Link naar Materialenbank

Webversie GeoGebra

Links naar alle versies + apps

Pas de taalinstelling aan naar Dutch/Nederlands(België)

Om volledige toegang te hebben tot het helpforum, de materialenbank (voorheenbank GeoGebraTube, het downloaden en uploaden van bestanden en het maken van GeoGebraboeken moet men, indien je nog niet eerder werd geregistreerd, een account maken met gebruikersnaam en paswoord.

 Klik op de link “Aanmelden” om je aan te registreren op de website van GeoGebra.

 Maak jouw eigen GeoGebra Account

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ʹʹʹ

www.mathelo.net

Dit rolmenu voor de taalkeuze bevindt zich onderaan de openingspagina van de website in de rechter benedenhoek.


GeoGebra 6 van A tot Z Aanmelden kan ook via een sociaal netwerk, maar in dat geval zijn de gebruiksmogelijkheden beperkter.

Jij zal een e-mail ontvangen om jouw registratie te bevestigen. Vanaf nu heb jij toegang tot ALLE onderdelen van de website. Jij kan nu berichten plaatsen op het forum, GeoGebrabestanden toevoegen, werkbladen en GeoGebraboeken maken en aansluiten bij GeoGebragroepen.

www.mathelo.net

Achteraf kan jij jouw instellingen wijzigen en o.a. jouw profiel aanpassen.

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ʹʹ͵


GeoGebra 6 van A tot Z

Š‘—†

2

Meetkunde met GeoGebra: deel 1 ................................... 1 1.1

Inleiding: GeoGebra versie 6 ........................................................... 1

1.2

Vlakke dynamische meetkunde met GeoGebra ........................... 2 1.2.1 Opstarten van GeoGebra 6 voor meetkunde .................... 2 1.2.2 De GeoGebra interface voor meetkunde........................... 3

1.3

De tekenbalk voor meetkunde ........................................................ 4 1.3.1 Overzicht van de tekengereedschappen ........................... 4 1.3.2 Eenvoudige meetkundige constructies met GeoGebra ... 6

1.4

Tekenen van cirkels ........................................................................... 8 1.4.1 Cirkel met gegeven middelpunt en een ander punt ......... 8 1.4.2 Cirkel met middelpunt en gegeven straal .......................... 8 1.4.3 De knop passer ........................................................................ 9 1.4.4 Cirkel gaande door 3 punten................................................. 9 1.4.5 Cirkelbogen en cirkelsectoren ........................................... 10 1.4.6 Uitgewerkte voorbeelden .................................................... 11 Voorbeeld 1 ....................................................................................... 11

1.5

De opmaakwerkbalk ......................................................................... 12

1.6

Werken met lagen (Layers) ........................................................... 14 1.6.1 Gezicht met hoedje .............................................................. 14 1.6.2 Illustratie van een meetkundige eigenschap .................. 16 1.6.3 Dynamische meetkunde ....................................................... 18

1.7

Meten is weten! ................................................................................ 19 1.7.1 De meetknoppen .................................................................... 19 1.7.2 Hoeken tekenen met bepaalde grootte ...........................20 1.7.3 Punt, rechte en afstand van punt tot rechte ................. 21

1.8

Afbeeldingen invoegen in GeoGebra ............................................22 1.8.1 Afbeeldingen invoegen in GeoGebra .................................22

1.9

Transformaties ................................................................................24 1.9.1 Lijnspiegeling (spiegeling t.o.v. een rechte)....................24 1.9.2 Puntspiegeling ........................................................................25 1.9.3 Rotatie .....................................................................................25 1.9.4 Dynamisch wijzigen van de hoek van rotatie (voor gevorderde gebruikers).......................................................26 1.9.5 Verschuiving (translatie) .....................................................27 1.9.6 Homothetie.............................................................................27

www.mathelo.net

1

Meetkunde met GeoGebra: Deel 2 ................................. 28 2.1

Constructie van een ruit.................................................................28

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ʹ͵ͷ


GeoGebra 6 van A tot Z 2.1.1 Eerste werkwijze ..................................................................28 2.1.2 Tweede werkwijze ................................................................29 2.2

Middelpuntshoek en omtrekshoek ...............................................30 2.2.1 Opdracht 3: De stelling van de raaklijnhoek................. 31

2.3

Merkwaardige lijnen in een driehoek ..........................................32

2.4

De maantjes van Hippocrates (met bewijs)...............................34 2.4.1 Berekening van de oppervlakte van de maantjes ...........35

2.5

Relatie tussen twee objecten .......................................................37

2.6

De cirkel van Feuerbach ................................................................40

2.7

Afbeeldingen in GeoGebra .............................................................42 2.7.1 Copyright vrije afbeeldingen .............................................42 2.7.2Afbeeldingen in het GeoGebra tekenvenster ................43

2.8

Sangaku ..............................................................................................45 2.8.1 Voorbeeld 1.............................................................................45 2.8.2Voorbeeld 2: cirkel en twee vierkanten .........................47

2.9

Gulden snede, vijfhoek en vijfster ..............................................49 2.9.1 Gulden snede ..........................................................................49 2.9.2Gulden rechthoek ..................................................................50 2.9.3Gulden driehoek .................................................................... 51 2.9.4Regelmatige vijfhoek en vijfster ...................................... 51 2.9.5Gulden snede in vijfhoek en vijfster................................ 51

2.10 Het schatgraversprobleem............................................................52 Grafische voorstellingen ............................................ 55 3.3

Het algebravenster en tekenvenster ..........................................55

3.4

Grafische voorstellingen van functies ........................................56 3.4.1 Grafische voorstelling van een veeltermfunctie ...........56 3.4.2Punt op grafiek volgen .........................................................58 3.4.3GeoGebra commando’s .........................................................59 3.4.4Bepalen van de snijpunten van een grafiek met de X-as59 3.4.5Snijpunten van 2 grafieken: commando Snijpunten( ) ..63 3.4.6Extreme waarden: commando Extrema( ) .......................64 3.4.7Stuksgewijs gedefinieerde functies: Als(, , ,) ...............66 3.4.8Beperking van functies tot een interval: Functie( , , , )66

3.5

Rationale- en irationale functies ..................................................67 3.5.1 Grafische voorstelling sqrt(x) en cbrt(x) .......................67 3.5.2Asymptoten ............................................................................68

3.6

Speciale functies .............................................................................69

3.7

Kromme als unie van twee grafieken van functies ...................70

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

www.mathelo.net

3

ʹ͵͸


GeoGebra 6 van A tot Z

5

Functies met impliciet voorschrift.............................................. 71

3.9

Bijzondere punten van een grafiek van een functie ................72

Grafieken en algebra ............................................... 73 4.3

De functieonderzoeker ..................................................................73 4.3.1 Onderzoek van punten .........................................................74 4.3.2Onderzoek van f in een interval ........................................75

4.4

Coördinatenmeetkunde ...................................................................77 4.4.1 Een vleugje geschiedenis ....................................................77 4.4.2Rooster en assenstelsel.......................................................78 4.4.3Weergeven van de coördinaat van een punt ...................79 4.4.4Coördinaat van het midden van een lijnstuk, zwaartepunt van een driehoek ...................................................................79 4.4.5Afstand tussen twee punten met coördinaat .................80 4.4.6Abscis en ordinaat van een punt........................................80

4.5

Rechten .............................................................................................. 81 4.5.1 Cartesiaanse vergelijking van een rechte gaande door twee punten ...................................................................................... 81 4.5.2Richtingscoëfficiënt (helling) van een rechte ................82 4.5.3Vergelijkingen van rechten ingeven ..................................82 4.5.4Richtingsvectoren .................................................................83

4.6

Cirkels.................................................................................................85 4.6.1 Kegelsneden (standaardvorm) ............................................86 4.6.2Krommen met impliciet voorschrift..................................88

4.7

Ongelijkheden met GeoGebra .......................................................89

4.8

Schuifknoppen ..................................................................................90 4.8.1 Inleiding ..................................................................................90 4.8.2Schuifknop als parameter ...................................................94

4.9

Meetkundige plaats (locus) ............................................................96 4.9.1 Bepalen van een meetkundige plaats ................................96 4.9.2Vergelijking van een meetkundige plaats ........................98

www.mathelo.net

4

3.8

Het rekenblad ...................................................... 101 5.3

De eerste stappen met het rekenblad...................................... 101 5.3.1 Eenvoudige berekeningen in het rekenblad .................. 102 5.3.2Tekst in het GeoGebra rekenblad................................... 103 5.3.3GeoGebra objecten in het rekenblad ............................. 104

5.4

Berekeningen met rijen en/of kolommen ............................... 105

5.5

Doorvoeren van formules ............................................................. 105

5.6

Werken met lijsten ....................................................................... 110

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ʹ͵͹


GeoGebra 6 van A tot Z 5.6.1 Ingeven van lijsten ............................................................. 110 5.6.2Weergeven van tabellen in het tekenvenster .............. 110 5.6.3De belangrijkste commando’s voor lijsten ..................... 111 6

Beschrijvende statistiek met GeoGebra .......................... 112 6.3

Opstellen van een frequentietabel ............................................ 112

6.4

MANUELE VERWERKING DATA .............................................. 114 6.4.1 Geval 1: ruwe data discreet en ongeordend.................. 115 6.4.2Geval 2: ruwe data discreet met frequentietabel ...... 117

6.5

Openen van GeoGebra bestanden (met data).......................... 119

6.6

Geautomatiseerde verwerking van data ................................... 121 6.6.1 Inlezen van de ruwe data .................................................. 121 6.6.2Indeling in klassen en histogram ..................................... 122

6.7

Kansberekening bij de normale (Gauss) verdeling ................. 126 6.7.1 Inleidend voorbeeld ........................................................... 126 6.7.2De normale verdeling ......................................................... 127 6.7.3GeoGebra commando’s voor kansverdelingen ............... 129

6.8

Onderzoeksvenster waarschijnlijkheidsrekenen ................... 130 6.8.1 Een kans berekenen bij gegeven waarden ..................... 131 6.8.2Omgekeerd; waarden bepalen bij een gegeven kans... 132

6.9

Statistiek met meerdere variabelen ........................................ 133

6.10 Regressieanalyse ............................................................................ 134 Ruimtemeetkunde (deel 1) ......................................... 140 7.3

Punten in 3D .................................................................................... 140 7.3.1 Een punt in de ruimte tekenen ......................................... 140 7.3.2Verplaatsen van een punt in de ruimte .......................... 141 7.3.3Wijzigen van de kleur en de stijl van punten ............... 143

7.4

Punten n rechten (lijnen) ............................................................ 144

7.5

Vlakken ............................................................................................. 146 7.5.1 Vlak door drie punten (of rechte en punt).................... 146 7.5.2Loodvlak en evenwijdig vlak .............................................. 147 7.5.3Bijzondere lijnen ................................................................. 147

7.6

Cirkels............................................................................................... 148 7.6.1 Cirkelbogen en kegelsneden ............................................. 149

7.7

Ruimtelijke lichamen ..................................................................... 150 7.7.1 Piramide................................................................................. 150 7.7.2Prisma .................................................................................... 151 7.7.3Kegel en cilinder .................................................................. 152

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

www.mathelo.net

7

ʹ͵ͺ


GeoGebra 6 van A tot Z 7.7.4Uitrekken naar piramide, kegel, prisma of cilinder .... 153 7.7.5De vijf Platonische lichamen ............................................ 154 7.8

Bollen ................................................................................................ 156

7.9

Doorsneden ..................................................................................... 157

7.10 Meten in de ruimte ........................................................................ 158 Analytische ruimtemeetkunde ..................................... 159 8.3

Vergelijkingen van een rechte in de ruimte ............................ 159 8.3.1 Rechte bepaald door twee punten .................................. 159 8.3.2Rechte waarvan één punt en een richtingsvector is gegeven 160 8.3.3Rechte met gegeven parametervoorstelling ................. 160 8.3.4Rechte waarvan de cartesische vergelijkingen gegeven zijn 160

8.4

Vergelijking van een vlak in de ruimte ...................................... 161 8.4.1 Vlak bepaald door 3 niet-collineaire punten ................. 161 8.4.2Vlak bepaald door één punt en twee richtingsvectoren161 8.4.3Vlak op de assegmenten .................................................... 161 8.4.4Voorstelling van een vlak met parametervoostelling .. 162

8.5

Afstanden, deelvlak en normaalvector ..................................... 163

8.6

Krommen in 3D ............................................................................... 164

8.7

Oppervlakken in 3D ....................................................................... 165 8.7.1 Grafiek van een functie met twee veranderlijken f(x,y)165 8.7.2Oppervlak met parametervoorstelling ........................... 165

8.8

Omwentelingslichamen.................................................................. 167 8.8.1 Omwenteling rond de X-as................................................ 167

8.9

Kwadrieken met impliciet voorschrift (en parametervoorstelling) 169 8.9.1 Ellipsoïde ............................................................................... 169 8.9.2Hyperboloïde (éénbladig) .................................................. 169 8.9.3Hyperboloïde (tweebladig)................................................ 169 8.9.4Kegeloppervlak (recht) ...................................................... 170 8.9.5Cilinder (recht) .................................................................... 170 8.9.6Elliptische paraboloïde ...................................................... 170 8.9.7Hyperboloïsche paraboloïde ............................................. 171 8.9.8Boloppervlak (ellipsoïde met a=b=c=R) ........................... 171

www.mathelo.net

8

GeoGebra afbeeldingen gebruiken ..................................... 173 Afbeeldingen gebruiken in Word ......................................................... 173

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ʹ͵ͻ


GeoGebra 6 van A tot Z 9

GeoGebra CAS Deel 1 ............................................. 175 9.3

Inleiding ........................................................................................... 175 9.3.1 Wat is een computer algebra systeem? ........................ 175 9.3.2GeoGebra en CAS ............................................................... 176

9.4

Verkennen van het CAS venster ................................................ 177 9.4.1 Starten van GeoGebra-CAS ............................................. 177 9.4.2De CAS-knoppenbalk .......................................................... 178 9.4.3Opmerkingen ........................................................................ 179

Berekeningen met GeoGebra-CAS ....................................................... 182 9.4.4Numerieke berekeningen .................................................. 182 9.4.5Exacte berekeningen.......................................................... 183 9.4.6Symbolische berekeningen

.................................... 185

9.5

De andere knoppen van de CAS knoppenbalk .......................... 186 9.5.1 Ontbinden in factoren (getallen en veeltermen) ......... 186 9.5.2Uitwerken ............................................................................. 187 9.5.3Substitutie, vervangen van een deel van een uitdrukking188

9.6

Oplossen van vergelijkingen ........................................................ 189 9.6.1 Vergelijkingen exact oplossen ......................................... 189 9.6.2Vergelijkingen numeriek (benaderd) oplossen ............. 191 9.6.3Ongelijkheden oplossen ..................................................... 192 9.6.4Stelsels van (eerstegraads) vergelijkingen oplossen . 192 9.6.5Stelsels van (eerstegraads)vergelijkingen met parameters 192

9.7

Analyse ............................................................................................. 193 9.7.1 Afgeleiden berekenen........................................................ 193 9.7.2(Onbepaalde) integralen .................................................... 194

10 GeoGebra CAS commando’s ........................................ 195

www.mathelo.net

10.3 Inleiding ........................................................................................... 195 10.3.1 GeoGebra NUMERIEK = .......................................... 195 10.3.2 GeoGebra CAS EXACT en DYNAMISCH := ......... 196 10.3.3 GeoGebra CAS SYMBOLISCH .................................. 197 10.4 CAS commando’s ............................................................................ 198 10.4.1 Verschillende commando’s voor ontbinden in priemfactoren ...................................................................... 198 10.4.2 Ontbinden van veeltermen in een product van factoren 199 10.5 GGD en KGV.................................................................................... 200

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ʹͶͲ


GeoGebra 6 van A tot Z 10.6 Oplossen van vergelijkingen ........................................................ 201 10.6.1 Exact oplossen in de verzameling der reële getallen201 10.6.2 Keuze van de onbekende ............................................ 202 10.6.3 Vergelijkingen met meerdere “onbekenden” ........ 202 10.6.4 Som en product van de wortels van een vierkantsvergelijking......................................................... 203 10.7 Complexe getallen ......................................................................... 204 10.7.1

Notatieafspraken voor de imaginaire eenheid

of

? ..................................................................................... 204 10.7.2 Bewerkingen met complexe getallen in het CASvenster ................................................................................. 205 10.7.3 Vergelijkingen oplossen in de verzameling der complexe getallen ................................................................................. 206 10.7.4 Voorstelling van een complex getal in het tekenvenster 206 10.8 GeoGebra-CAS en meetkunde ................................................... 207 10.9 Analyse ............................................................................................ 209 10.9.1 Limieten en asymptoten ............................................. 209 10.9.2 Nog een paar voorbeelden .......................................... 210 10.9.3 Afgeleiden...................................................................... 211 10.9.4 Integralen ...................................................................... 212

10.11 Stelsels 10.11.1 10.11.2 10.11.3

van vergelijkingen oplossen ......................................... 215 Stelsel van lineaire vergelijkingen ........................... 215 Niet lineaire stelsel ..................................................... 216 Oefeningen..................................................................... 216

10.12 Bespreking van een (rationale) functie ..................................... 218 10.13 Wisselwerking tussen het Algebravenster, het CAS-venster en het 2D-tekenvenster ...................................................................................... 221 Voorbeeld ................................................................................................... 221 11 De projectsite van GeoGebra ..................................... 222 11.3 Aanmelden op www.geogebra.org .............................................. 222 11.4 Downloaden van GeoGebra bestanden...................................... 224 11.5 Ondersteuning van gebruikers................................................... 225

© Ivan De Winne

www.mathelo.net

ʹͶͳ

www.mathelo.net

10.10 Matrices ........................................................................................... 213 10.10.1 Bewerkingen met matrices ......................................... 213 10.10.2 Commando’s i.v.m. matrices ....................................... 214


Ivan De Winne Bosveldstraat 7 9230 Wetteren ivan.dewinne@telenet.be

Š 2020 mathelo.net Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of openbaar worden gemaakt door middel van druk, fotokopie, microfilm of op welke wijze ook zonder voarafgaande schriftelijke toestemming van de auteur. De interactieve GeoGebrabestanden behorend bij dit boek kunnen per e-mail worden aangevraagd bij de auteur.

Profile for De Winne Ivan

GeoGebra van A tot Z VOORBEELDPAGINA'S  

Inhoudstafel van de webcursus "GeoGebra van A tot Z" met een aantal voorbeeldpagina's. Deze cursus wordt aangeboden via het leerplatform voo...

GeoGebra van A tot Z VOORBEELDPAGINA'S  

Inhoudstafel van de webcursus "GeoGebra van A tot Z" met een aantal voorbeeldpagina's. Deze cursus wordt aangeboden via het leerplatform voo...

Profile for mathelo
Advertisement