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FUNCIÓN CUADRÁTICA 2006 FUNCIÓN CUADRÁTICA Criterio de la función:

f x  ax2  bx  c

El vértice de la función: El punto máximo o mínimo alcanzado por la función. Existen varias formas para determinar el vértice: 1- Hallando el punto medio entre los ceros de la función (o raíces: x1 y x2 ), y luego evaluando ese valor en la función, para obtener la coordenada “y”. Raíces de la ecuación:

ax2  bx  c  0

Además habrá tantas raíces reales como sea el valor del discrimínate, veamos:

 < 0  habrá CERO “0” raíces, no cortará nunca el eje “ x ”.  = 0  habrá solo UNA raíz real, y será donde toque al eje “ x ” (tangente)  > 0  Habrá DOS raíces reales y serán dos los puntos de intersección con el eje “ x ”. Gráficamente tendríamos lo siguiente:

 <0

 =0

 >0

2- O bien, utilizando la siguiente fórmula:

b  V  ,   2a 4a  ó

Creado por profesor: Lic. Marco A. Cubillo M.

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FUNCIÓN CUADRÁTICA 2006   b 4ac  b 2   V   , 4a   2a Donde el discriminante “  ” será igual a:

b 2  4ac

Eje de simetría: Es la recta vertical que interseca (corta) a la parábola en el punto del vértice:

b . 2a

Es simétrico con respecto a los puntos de la función cuadrática que contienen el mismo valor real de la variable dependiente. La concavidad: La parábola correspondiente a la función cuadrática

f x  ax2  bx  c

será:

1- Cóncava hacia arriba si el coeficiente “ a ” es POSITIVO, y por lo tanto el vértice es un punto MÍNIMO. 2- Cóncava hacia abajo si el coeficiente “ a ” es NEGATIVO, y por lo tanto el vértice es un punto MÁXIMO.

Intersección con el eje “

y ”: Cuándo la variable independiente de la función se anula (o sea “ x ”

es cero), la parábola interseca al eje de las ordenadas en:

f 0  c El par de coordenadas será entonces:

0, c . Esta será la intersección con el eje “ y ”.

Creado por profesor: Lic. Marco A. Cubillo M.

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FUNCIÓN CUADRÁTICA 2006

Veamos algunos casos especiales con la función cuadrática: Caso 1:

f x  ax2  bx  c con

 >0

a, b, c

son reales y

a0

interseca o corta al eje “ x ” en dos puntos diferentes (dos raíces reales)

x1 ,0

x2 ,0

y

Si a  0 La parábola es cóncava (abierta) hacia arriba.

Si a  0 La parábola es cóncava hacia abajo.

El vértice es un punto MÍNIMO

El vértice es un punto MÁXIMO

  b 4ac  b 2   V   , 4a   2a Intersección con el eje “

y”

0, c  0, y Eje de simetría

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FUNCIÓN CUADRÁTICA 2006 x

b 2a

Caso 2:

f x  ax2  bx  c con

 =0

a, b, c

son reales y

a0

interseca o corta al eje “ x ” en un solo punto (una raíz real)

x

1, 2

,0

Si a  0 La parábola es cóncava (abierta) hacia arriba.

Si a  0 La parábola es cóncava hacia abajo.

El vértice es un punto MÍNIMO

El vértice es un punto MÁXIMO

  b 4ac  b 2   V   , 2 a 4 a   V  x,0 Intersección con el eje “

y”

0, c  0, y Creado por profesor: Lic. Marco A. Cubillo M.

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FUNCIÓN CUADRÁTICA 2006 Eje de simetría

x

b 2a

x es la única raíz

Caso 3:

f x  ax2  bx  c con

 <0

a, b, c

son reales y

a0

No interseca o corta al eje “ x ” en ningún punto (no hay raíz real)

Si a  0 La parábola es cóncava (abierta) hacia arriba.

Si a  0 La parábola es cóncava hacia abajo.

El vértice es un punto MÍNIMO

El vértice es un punto MÁXIMO

  b 4ac  b 2   V   , 4a   2a V  x,0 Intersección con el eje “

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y”

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FUNCIÓN CUADRÁTICA 2006 0, c  0, y Eje de simetría

x

b 2a

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Función cuadrática 2006