Probabilidad

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PROBABILIDAD Y ESTADĂ?STICA Material para estudiantes de secundaria y universidad Desarrollado por: Lic. Marco Antonio Cubillo Murray PARTE 6

2018

LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY

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Contenido Distribuciones de probabilidad ................................................................................................. 3 Ejemplo de la distribución normal ...................................................................................... 3 La Regla Empírica ..................................................................................................................... 7

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Distribuciones de probabilidad Ejemplo de la distribución normal La compaùía constructora Murray construye edificios de apartamentos de tres y cuatro unidades (llamadas triplex o cuådruplex) para inversionistas, y se cree que el tiempo total de construcción en días sigue una distribución normal. El tiempo medio para construir un tríplex es de 100 días, y la desviación eståndar es de 20 días. Recientemente, el presidente de la constructora Murray firmó un contrato para completar un tríplex en 125 días. Si el tríplex no quedara terminado en 125 días la empresa enfrentaría multas severas. ¿Cuål es la probabilidad de que la constructora no incumpla su contrato de construcción? La distribución normal para la construcción de tríplex la podemos ver a continuación:

đ?‘ƒ(đ?‘‹ ≤ 125)

0.89435

đ?‘‹ = 125 đ?‘‘Ă­đ?‘Žđ?‘

đ?œ‡ = 100 đ?‘‘Ă­đ?‘Žđ?‘

đ?œŽ = 20 đ?‘‘Ă­đ?‘Žđ?‘

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đ?‘? = 1.25

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Para calcular esta probabilidad, debemos encontrar el ĂĄrea sombreada bajo la curva. Comencemos calculando la Z para esta situaciĂłn:

đ?‘‹ − đ?œ‡ đ?œŽ 125 − 100 đ?‘?= 20 đ?‘?=

đ?‘?=

25 = 1.25 20

Podemos utilizar la hoja de Excel que nos da los porcentajes de probabilidad representados en la grĂĄfica anterior que es 0.89435, o sea una probabilidad del 89% de no incumplir el contrato.

Se adjunta una imagen de los datos colocados en la hoja de Excel suministrada para tales efectos.

Esta es la probabilidad ya multiplicada por 100 para obtener el porcentaje de NO incumplir el contrato

Ahora analicemos la situaciĂłn de la constructora Murray desde otra Ăłptica.

Si la empresa termina este trĂ­plex en 75 dĂ­as o menos, se le otorgarĂĄ una bonificaciĂłn de â‚Ą 5 000 000. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que Murray reciba este bono?.

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Veamos de forma grĂĄfica la probabilidad que estamos buscando en el ĂĄrea sombreada.

đ?‘ƒ(đ?‘‹ ≤ 75 đ?‘‘Ă­đ?‘Žđ?‘ )

0.89435

Ă rea de interĂŠs

đ?‘‹ = 75 đ?‘‘Ă­đ?‘Žđ?‘ đ?œ‡ = 100 đ?‘‘Ă­đ?‘Žđ?‘ đ?‘? = −1.25

El calculo de Z se muestra a continuaciĂłn:

đ?‘‹ − đ?œ‡ đ?œŽ 75 − 100 đ?‘?= 20 đ?‘?=

đ?‘?=

−25 = −1.25 20

Este valor de Z nos indica que 75 dĂ­as estĂĄ -1.25 desviaciones estĂĄndar a la izquierda de la media. Pero los valores de Z deben ser siempre positivos, entonces para resolver esto, vemos que la curva es simĂŠtrica. La probabilidad de que Murray termine en 75 dĂ­as o menos equivale a la probabilidad de que Murray termine en menos de 125 dĂ­as. Ese valor es 0.89435. Por lo tanto, la probabilidad de que se requieran mĂĄs de 125 dĂ­as es

đ?‘ƒ(đ?‘‹ > 125) = 1.0 − đ?‘ƒ(đ?‘‹ ≤ 125) đ?‘ƒ(đ?‘‹ > 125) = 1.0 − 0.89435 = 0.10565

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AsĂ­, la probabilidad de completar el trĂ­plex en 75 dĂ­as o menos es 0.10565, o alrededor de 11%, este porcentaje estĂĄ tambiĂŠn representado en la tabla de Excel, puede revisar los datos.

Un ejemplo final: ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que la terminaciĂłn del trĂ­plex requiera entre 110 y 125 dĂ­as?, tendrĂ­amos la siguiente grĂĄfica:

đ?œŽ = 20 đ?‘‘Ă­đ?‘Žđ?‘

đ?œ‡ = 100

110

125 đ?‘‘Ă­đ?‘Žđ?‘

Los cĂĄlculos de Z quedarĂ­an de la siguiente forma: đ?&#x2018;&#x192;(110 < đ?&#x2018;&#x2039; < 125) = đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;&#x2039; â&#x2030;¤ 125) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;&#x2039; < 110) Es decir, el ĂĄrea sombreada en la grĂĄfica se puede calcular buscando la probabilidad de completar el edificio en 125 dĂ­as o menos, menos la probabilidad de terminarlo en 110 dĂ­as o menos.

Recordemos que đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;&#x2039; â&#x2030;¤ 125) es igual a 0.89435. Para calcular đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;&#x2039; < 110 đ?&#x2018;&#x2018;Ă­đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018; ), seguimos los dos pasos desarrollados anteriormente đ?&#x2018;?=

đ?&#x2018;&#x2039; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2021; 110 â&#x2C6;&#x2019; 100 10 = = = 0.5 đ?&#x153;&#x17D; 20 20 0.5 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;ĄĂĄđ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;

Si vemos con la hoja de Excel programada, solo sustituimos el valor de X en 110 y nos da la probabilidad en formato porcentual.

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Finalmente, la probabilidad de lograr terminar el trĂ­plex entre 110 y 125 dĂ­as serĂ­a: đ?&#x2018;&#x192;(110 < đ?&#x2018;&#x2039; â&#x2030;¤ 125) = 0.89435 â&#x2C6;&#x2019; 0.69146 = 0.20289 La probabilidad de que se requieran entre 110 dĂ­as y 125 dĂ­as es de aproximadamente 20%.

La Regla EmpĂ­rica

La regla empĂ­rica se deriva de la distribuciĂłn normal y es una manera fĂĄcil de recordar alguna informaciĂłn bĂĄsica acerca de las distribuciones normales. La regla empĂ­rica establece que, para una distribuciĂłn normal,

aproximadamente 68% de los valores estarĂĄ dentro de Âą1 desviaciones estĂĄndar de la media aproximadamente 95% de los valores estarĂĄ dentro de Âą2 desviaciones estĂĄndar de la media casi todos los valores (aproximadamente 99.7%) estarĂĄn dentro Âą3 desviaciones estĂĄndar de la media.

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8

16%

16%

68%

−1𝜎 𝑎

𝜇

+1𝜎 𝑏

2.5%

2.5% 95%

+2𝜎

−2𝜎

𝑎

𝜇

𝑏

0.15%

0.15% 99.7%

𝑎

+3𝜎

−3𝜎

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𝜇

𝑏