2. ¿Qué representan los diagramas de bode de magnitud y de fase?
• La Función de Transferencia ��(��) de un sistema LTI también se puede definir como la Transformada de Laplace de la Respuesta al Impulso, con todas las condiciones iniciales iguales a cero. Suponiendo que la respuesta del sistema al impulso se denota como ℎ(��), entonces: ��(��)=��(��)��(��) (4) ��(��)=ℒ 1(��(��)) (5)
Preparatorio de la práctica N.º 8
1. ¿Qué es la función de transferencia?
• La Función de Transferencia es una propiedad intrínseca del sistema, no depende del tipo o naturaleza de la entrada o excitación.
ESTUDIANTE: Marlon Jahir Hualpa Vivanco
��(��)= ��(��) ��(��) (1)
��(��)=ℒ(��(��)) (2)
Escuela Politécnica Nacional
El diagrama de bode es una técnica de análisis de sistemas y procesos de suma importancia en varias ingenierías, debido a que una buena interpretación del diagrama causa un correcto entendimiento del comportamiento y funcionamiento de un proceso físico en varias zonas de operación. Este esquemático faculta conocer la estabilidad de un sistema, donde se puede entender en que regiones se debe operar el proceso y a su vez, muestra en que otras regiones no se debe de operar para evitar dinámicas no deseadas. Los diagramas de bode se encuentran constituidos por dos gráficas debido a que para este análisis se usa números complejos, donde la representación gráfica en vectores de un número complejo se debe a lo siguiente: Sea �� un número complejo, donde �� =��+����, con �� =����(��) y �� =����(��), tal que:
Cabe recalcar los siguientes factores:
En otras palabras, la función de transferencia ��(��) es el cociente formado por ��(��), la transformada de Laplace de la salida de un sistema LTI (causal, lineal e invariante en el tiempo), dividida entre ��(��), la trasnformada de Laplace de la entrada a dicho sistema, cuando las condiciones iniciales son iguales a cero, en el tiempo �� =0 Donde:
• a Función de Transferencia no ofrece información sobre las características físicas del sistema. De hecho, sistemas con diferentes estructuras, dimensiones o distribuciones físicas pueden tener la misma Función de Transferencia.
Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Laboratorio de Análisis de Circuitos Eléctricos GR1-3
Se conoce que la función de transferencia ��(��) es una representación del sistema eléctrico de la entrada ��(��) a la salida ��(��), donde esta deberá expresarse como una función de la variable compleja ��, tal y como se muestra a continuación:
• a Función de Transferencia es una parte importante del primer paso necesario para el diseño y análisis de sistemas de control: el modelo matemático del sistema.
��(��)=ℒ(��(��)) (3)
I. DESARROLLO DE LAS PREGUNTAS
FECHA: miércoles, 3 de agosto del 2022
Así mismo, se tiene que: �� =|��|cos�� (8) ��=|��|sin�� (9)
Por eso las dos gráficas del diagrama de bode corresponderán a la gráfica de la magnitud y a la gráfica de la fase. Por lo tanto, la interpretación del diagrama de bode físicamente va a decir cuál es la amplitud de la señal aplicada al sistema y su desfase.
Entonces: �� =|��| ������ +�� ���� 2 +��|��| ������ �� ���� 2�� (13)
Figura 2. Diagrama de bode de magnitud y fase.
Figura 1 Representación vectorial de un número complejo. A partir de este triangulo rectángulo se puede encontrar la magnitud �� y la fase �� de la siguiente forma: �� =√��2 +��2 (6) �� =����������(����) (7)
Donde sea �� un número complejo, tal que �� es el conjugado de ��, entonces: �� =�� ���� Por lo tanto, se tiene lo siguiente: |��|=|��| (14) �� = arg(��) (15)
Pero por propiedades de cálculo sabemos que el seno y coseno pueden expresarse como: cos�� = ������ +�� ���� 2 (11) sin�� = ������ �� ���� 2�� (12)
Por lo cual: �� =|��|cos��+��|��|sin�� (10)
3=20log10(20 ����) (26)
Entonces, la señal de entrada deberá de tener un voltaje pico igual a: ���� =28.25[��������] (27)
Por lo tanto, la salida ���� será: ���� =14.158[��������] (22)
Entonces:
Así, mismo, tal ganancia de voltaje viene dada por: �� = ���� ���� (24)
Dado que la ganancia en decibelios es: ������ = 3[����] (17)
Por lo tanto:
4. Considerando el circuito de la Figura 1, donde Entrada: voltaje en la fuente ySalida: voltaje en el capacitor. Figura 3. Esquemático del circuito RLC.
b) ¿Qué voltaje de entrada se requiere para tener una salida de 20 [V] RMS a una frecuencia de 100Hz? De igual manera, se tiene que la ganancia es: ������ = 3[����]=20log10�� (23)
3. Considere una ganancia F = 3 [dB] para una frecuencia de 60Hz.
3=20log10(���� 20) (21)
Donde: ���� =20[��������] (25)
Donde: ���� =20[��������] (20)
a) Si la señal de entrada es una sinusoidal de 20 [V] RMS a una f = 60 [Hz] ¿Cuál será el voltaje de salida? Se tiene que la ganancia viene dada de la siguiente forma: ������ =20log10�� (16)
3=20log10�� (18) Y a su vez la ganancia viene dada por: �� = ���� ���� (19)
Entonces:
Entonces: ��(����)= 1 00001����+1 (37)
Del cual, el diagrama de bloques será el siguiente:
Evaluando para las condiciones, se tiene lo siguiente: ������ →0����������������|��(0)|= 20������√1=0[����] (41)
Para la realización del diagrama de bode se procede a trabajar en términos de frecuencia: ��(��)→��(����) (36)
Agrupando términos: ��(��)=��(��)∗(��+ 1 ����) (32)
Donde para los valores dados de los elementos pasivos, se tiene que: ��(��)= 1 (1��103 ∗01��10 6)��+1 = 1 (00001)��+1 (35)
Agrupando términos: ��(��)= 1 ������+1 (34)
De donde: ��(��)= ����(��) ��(��) = 1 ����∗��(��) ��(��)∗(��+ 1 ����) (33)
a) Encontrar analíticamente la función de transferencia y graficar en papel semilogarítmico (a mano) los diagramas de bode de magnitud y fase. Sabemos que: ���� =��(��)∗�� (28)
Donde, reemplazando el valor de los voltajes: ��(��)=��(��)∗��+ 1 ����∗��(��) (31)
Además: ����(��)= 1 ����∗��(��) (29)
Así mismo: ������ → 1 00001 ���������������� |��( 1 00001)|= 20������√(00001∗ 1 00001)2 +1= 3[����] (42)
Luego, aplicando Ley de Kirchoff de voltajes a la malla, se tiene que: ��(��)=����(��)+����(��) (30)
Luego:
De donde, la magnitud vendrá dada por: |��(����)|= √12 √(00001��)2 +12 (38)
Lo cual es equivalente a: |��(����)|= 20������√(0.0001��)2 +1 (40)
Así mismo, se conoce que la magnitud de la ganancia puede ser expresada de la siguiente forma: |��(����)|=20log(1) 20������√(00001��)2 +12 (39)
Así mismo, se desea buscar la frecuencia crítica, a través de: |��(����)|= 1 √(00001��)2 +1 = 1 √2 (48)
Nuevamente, dando valores de condiciones, se obtiene que: ������ →0������������������(��(0))= arctan(0)=0° (45)
Por otra parte, en términos de fase, se tiene que: ��(��(����))=arctan(00001�� 1 )= arctan(00001��) (44)
Entonces: �� =10000 (52)
Tomando en cuenta las anteriores consideraciones, se procede a hacer el dibujo del diagrama: 4. Esquematización del diagrama de bode en la aplicación One Note referente al Circuito RLC.
Equivalente a: 000012��2 +1=2 (50) 0.00012��2 =1 (51)
Así mismo: ������ → 1 0.0001 ������������������(��( 1 0.0001))= arctan( 1 0.0001∗0.0001)= 45° (46)
Es decir: 1 0.00012��2 +1 = 1 2 (49)
������ →∞����������������|��(∞)|= 20������√(00001��)[����] (43)
Luego: ������ →∞������������������(��(∞))= arctan(∞)= 90° (47)
Por lo tanto, la frecuencia de corte es: ������ = 10000 2�� (53)
Figura
Figura 6 Diagrama de bode referente al circuito RLC.
Obteniéndose así, las siguientes gráficas:
b) Suponiendo una fuente sinusoidal y utilizando el diagrama de Bode del literal (a), ¿a qué frecuencia la salida será Vp out = 1 [V] cuando la entrada es Vpin=10 [V]? (Considere Vp = Voltaje pico)
En primer lugar, se necesita hallar el valor de la ganancia ��, el cual viene dado por: �� = ���� ������ ���� ���� = 1[��] 10[��] =01 (54)
Así mismo, como complementación del esquemático, se procede a mostrar el diagrama de bode mediante el software de simulación Matlab, con el siguiente código:
Figura 5. Código de Matlab para la gráfica del diagrama de bode para una función de transferencia.
Ahora, se necesita saber cuál es el valor de dicha ganancia en decibeles, a partir de: ������ =20log(01)= 20[����] (55)
Por lo tanto, la frecuencia buscada es: �� =99750000[����] (57)
[1] Carakenio73. (3 de noviembre de 2019). Dademuchconnection. Obtenido de Dademuchconnection: https://dademuch.com/2019/11/03/la funcion de transferencia de un circuito electrico rc/
II. BIBLIOGRAFÍA
[2] Castaño, S. A. (14 de Septiembre de 2018). Control Automático. Obtenido de Control Automático: https ://controlautomaticoeducacion.com/control realimentado/1 diagrama de bode/
[3] Alexander, C. and Sadiku, M., 2006. Fundamentos de circuitos eléctricos. 3rd ed. México: McGraw Hill Interamericana, pp.619 624.
Posteriormente, para corroborar los resultados, se procede obtener la frecuencia solicitada a través de los cursores en el gráfico del diagrama de bode en magnitud de Matlab, tal y como se muestra a continuación: Figura 7 Valor de la frecuencia solicitada en el diagrama de bode del circuito RLC.
Luego, mediante la siguiente ecuación, se tiene que: |��(����)|=| 20|= 1 √(0.0001��)2 +1 (56)
Nótese que a una frecuencia 99.700��[����] se logra una magnitud de ganancia equivalente a los 20[����], y se observa que es un valor muy cercano al calculado analíticamente.
Es decir: �� =99.750��[����] (58)