��(��)=��
La función de transferencia se representa como el cociente de la señal de salida y señal de entrada en el dominio de la frecuencia, para la transformada de Laplace se requieren de condiciones iniciales, con el fin
Tabla 1. Ecuaciones de elementos pasivos en dominio del tiempo y frecuencia.
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Elemento Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia
1. Familiarizar al estudiante con el modelado de los circuitos eléctricos mediante la Transformada de Laplace.
La transformada de Laplacese perfila como una de las opciones mas útiles al momento de analizar circuitos eléctricos de primer y segundo orden por su forma de tratar las derivadas y términos dependientes, las variables en función del tiempo se trasladan al dominio de la frecuencia, similar al trabajo con impedancias.
2. Familiarizar al estudiante con las herramientas que provee el software MATLAB Simulink a través de la librería Simscape y su aplicación en análisis de circuitos eléctricos a través de un tutorial.
Para un inductor en el dominio de la frecuencia se utiliza su ecuación característica de voltaje en función del tiempo.
Kevin Chuquitarco, kenvin.chuquitarco@epn.edu.ec
OBJETIVOS
Resistencia ��(��)=����(��) ��(��)=����(��)
Inductor ��(��)=�� ���� ���� ��(��)=��[����(��) ��(0 )]
Capacitor: Para un capacitor en el dominio de la frecuencia se utiliza su ecuación característica de la corriente en función del tiempo.
Capacitor ���� ���� ��(0 )]
Funciones de transferencia
Marlon Hualpa, marlon.hualpa@epn.edu.ec
��(��)=��[����(��)
INTRODUCCIÓN
Una función de transferencia cumple la función de representar con mayor claridad la respuesta de un circuito a una entrada y como dicha respuesta varia en el dominio de la frecuencia, es especialmente útil dado que permite el análisis del estado transitorio que es donde se pueden presentar picos de voltaje o corriente que podrían afectar negativamente al circuito, como quemar algunos elementos pasivos.
Transformada de Laplace
Resistencias: Para una resistencia el voltaje en función del tiempo sobre la misma esta dado por la ley de Inductor:ohm.
PRACTICAINFORMEN°7
TUTORIAL 2: APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LA LAPLACE Y MATLAB
���� =�� ������ ���� (1)
��(��)= ��(��) ��(��)
de hallar la función de entrada desde un punto inicial cero los elementos pasivos como inductancias y capacitancias tendrán valores iniciales de cero.
DESARROLLO DE PREGUNTAS
Simulink de Matlab
Los elementos que se utilizaran para el diseño de los circuitos durante el curso se encuentran en la librería Simscape de Simulink, en la pestana “Electrical”, se usaran los elementos de esta pestana puesto que presentan mayores posibilidades para análisis y mediciones, es posible trabajar con sistemas trifásicos así como la principal herramienta que usaremos para la obtención y análisis de datos, Powergui, en este bloque usaremos la opción dentro de su toolbox, “linear system analyser” para obtener la respuesta del circuito en el dominio de la frecuencia, lo que seria el mismo resultado obtenido al usar su función de transferencia para el análisis del estado transitorio.
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1. Encontrar analíticamente la función de transferencia H(s)=Vo/Vi de la Figura 9. Presentar evidencias del proceso de cálculo.
���� =�� ������ ���� (2)
Luego, por Ley de Ohm, se conoce que la corriente en el resistor viene dada de la siguiente forma:
Figura 1. Circuito RLC propuesto a analizar. Se conoce que la corriente en el capacitor viene dada por:
Por otra parte, el voltaje en el inductor en términos de corriente es:
La función de transferencia es representada por ��(��), la señal de salida toma el nombre de ��(��) y la señal de entrada o excitación es ��(��).
Posteriormente, aplicando Ley de Kirchoff de voltajes a la malla izquierda, se tiene que:
Así mismo, aplicando LVK a la malla derecha, se obtiene que: (5)
���� =���� ��2���� ����2 +�� ������ ���� +����
���� =���� +���� (4)
ℒ(������ ���� )=������(��)
ℒ(��2���� ����2 )=��2����(��)
ESCUELA POLITECNICA NACIONAL FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA LABORATORIO DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS ���� = ���� �� (3)
Reemplazando (6) en (7):
���� =���� ��2���� ����2 + �� �� ������ ���� +����
Reemplazando (1) en (8): (9)
Luego, se debe de tener en cuenta las siguientes identidades de Laplace: (13) (14)
Reemplazando (2) en (4)
���� =����
���� =���� ��2���� ����2 + �� �� ������ ���� +����
Por lo que al transforma la expresión (12) al dominio de Laplace, se obtiene:
���� =�� ������ ���� +���� (7)
���� =����(���� +����) ���� +���� (8)
���� =���� +����
Luego, aplicando Ley de Kirchhoff de corrientes en el nodo común: (6)
Separando términos se tiene que: (10)
Reemplazando (5) en (11): (12)
���� =����(�������� ���� +����) ���� +����
Reemplazando (3) en (10): (11)
Reemplazando los valores de los elementos pasivos: ��(��)= 5 (2∗01∗5)��2 +2��+5 = 5 ��2 +2��+5 (17)
Se procedió a realizar la respectiva esquematización del circuito propuesto:
Donde la gráfica del scope fue la siguiente: Figura 3. Curva del voltaje en el resistor (verde).
Estableciendo la relación de variable de salida con respecto a la variable de entrada, se tiene lo siguiente: ��(��)= ����(��) ����(��) = �� ��������2 +����+�� (16)
ESCUELA POLITECNICA NACIONAL FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA LABORATORIO DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS ����(��)=[������2 + �� ����+1]∗����(��) (15)
2. Utilizando los bloques del Toolbox Simscape, implementar en Simulink un circuito similar al de laFigura9yencontrarsufuncióndetransferencia.Adicionalmentecompararrespuestaconel literal 7.1. Donde V = 15 [V].
Figura 2. Implementación del circuito RLC en Matlab.
Del cual, a través del bloque Powergui, usando la característica de “Use Linear System Analizer” se obtuvo lo siguiente:
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3.- Con la función de transferencia obtenida, implementar en Simulink un diagrama de bloques similar al de la Figura 8 y obtener la respuesta del circuito frente a entradas: paso, rampa e impulso. Tomando en cuenta los siguiente esquemáticos:
Figura 5. Comparador entre la función de transferencia y la señal paso (superior), rampa (medio) y pulso (inferior).
Figura 4. Grafica de la respuesta paso del circuito.
Del cual, se obtuvo las siguientes gráficas:
Figura 6. Curvas de la función de transferencia (amarilla) y la función paso (verde).
Figura 8. Curvas de la función de transferencia (amarilla) y la función pulso (azul).
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Figura 7. Curvas de la función de transferencia (amarilla) y la función rampa (rojo).
• El bloque generador de la señal impulso puede presentar problemas de acuerdo a los valores con los que se programen, es por esto que se recomienda probar con un scope si el impulso se genera correctamente previa a su uso, el problema se usualmente cuando los valores son muy pequeños o están muy juntos.
RECOMENDACIONES
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BIBLIOGRAFIA
• En base a lo visto durante la practica de laboratorio y el desarrollo del informe las herramientas que proporciona Matlab ofrecen una amplia gama de posibilidades para análisis de circuitos monofásicosotrifásicos,desolocontarconlafuncióndetransferenciasepuedecuentaconbloques operacionales, así como amplificadores, bloques de ganancia, que suelen verse comúnmente en electrónica.
• De las simulaciones realizadas se logró comprobar que la función de transferencia obtenida analíticamente representa gráficamente de forma correcta el comportamiento del circuito RLC simulado, usando la opción “Use Linear System Analizer” o los bloques de Matlab para funciones de transferencia el resultado en la forma de la parte transitoria fue el mismo.
• Al usar la función de transferencia para simular un circuito se recomienda prestar especial atención a los valores que se ingresen al momento de escribir la misma, un pequeño fallo puede afectar significativamente a la grafica de salida mostrada, hay que recordar que las constantes de cada termino en el numerador son el producto de los valores los elementos pasivos del circuito.
1. Hayt, W. H., Kemmerly, J. E., & Durbin, S. M. (2019). Análisis de circuitos en ingeniería (pp. 457 486). Octava Edición McGraw Hill.
• Se recomienda revisar las librerías instaladas previo al uso del linear system analyser, de no contar con la librería adecuada el comando no se ejecutará y devolverá un error o pantalla en blanco.
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CONCLUSIONES
• Si bien el estado estable para cada señal de salida será diferente en función de la señal de entrada, sea paso, rampa o impulso, se comprobó que la forma del estado transitorio será la misma independientemente del tipo de señal con la que se realizan las pruebas.