Guia Docente • A Duo 5 • Matemática • Primera Parte by Macmillan Publishers S.A.

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Cód. 778642

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Índice Guía Docente Introducción general

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Enseñanza de la Matemática en contextos de excepcionalidad y diversidad ................................... 4 Algunas preguntas acerca de las características del libro y las razones didácticas que nos llevaron a incluirlas ............................................................... 6

¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? ......................... 12 Acerca del aprendizaje y la enseñanza del Sistema de numeración escrita ................................... 13 Acerca del aprendizaje y la enseñanza de las Operaciones .................................................................... 14 Acerca del aprendizaje y la enseñanza de los Números racionales ................................................... 16 Acerca del aprendizaje y la enseñanza de la Geometría ................................................................... 19 Acerca del aprendizaje y la enseñanza de la Medida .......................................................................... 21

Orientaciones didácticas

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Capítulo 1 ................................................................................ 24 Numeración .................................................................... 24 Operaciones .................................................................... 27 Geometría ........................................................................ 32 Capítulo 2................................................................................. Operaciones .................................................................... Numeración .................................................................... Geometría ........................................................................

36 36 40 44

Capítulo 3 Geometría Numeración Operaciones Capítulo 4 Numeración Operaciones Geometría Capítulo 5 Operaciones Numeración Medida Capítulo 6 Geometría Numeración Operaciones Capítulo 7 Numeración Operaciones Medida Capítulo 8 Operaciones Numeración Geometría y medida

Recursos TIC

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Acerca de la enseñanza de la Matemática a través de las TIC ............................................................ 115 Recursos TIC por capítulo ............................................. 118

Introducciรณn general

Introducción general Enseñanza de la Matemática en contextos de excepcionalidad y diversidad1 La situación de interrupción de la asistencia presencial a las aulas de todos los establecimientos educativos a partir de la ASPO, instalada para enfrentar la pandemia COVID-19, lleva a que, inevitablemente, debamos hacer alusión a este contexto tan particular compartiendo algunas ideas destinadas a favorecer la revinculación de las y los alumnos con un cierto modo de funcionamiento áulico –en el marco del enfoque que sostenemos para el trabajo matemático en la clase–, como así también, que posibiliten reconocer distintas experiencias y puntos de partida que se presenten respecto a cada uno de los contenidos y problemas que se planteen. Más allá de que, es posible, que el trabajo con contenidos del área de Matemática (principalmente, los que corresponden a los ejes Números naturales y Operaciones) haya ocupado una importante porción de los distintos planes y propuestas de continuidad pedagógica y de los materiales oficiales que han circulado, los diversos modos de retorno presencial a las escuelas (presencial, semipresencial, en “burbujas”) demandarán acuerdos, en el ámbito institucional, que contemplen la articulación, selección, progresividad y alcance de los contenidos que se prioricen, de la organización de los tiempos y los espacios, como así también, de los tipos de problemas y los modos de trabajo que se propongan en el aula (y en los hogares). Estos asuntos se deben apoyar en la información que los equipos docentes hayan podido construir basándose en las trayectorias de las y los alumnos, el recorrido realizado y las condiciones para la enseñanza y el aprendizaje que hayan estado al alcance, con la complejidad y diversidad involucrada. Algunas de las preguntas iniciales para reorganizar la tarea podrán referirse a ¿qué contenidos se priorizaron para el período de excepcionalidad?, ¿qué problemas se trabajaron con mayor sostenimiento?, ¿qué conocimientos se consideran disponibles en los alumnos para que inicien los procesos de resolución?, ¿en cuáles portadores de información matemática tuvieron la oportunidad de apoyarse?, ¿resolvieron mediante diversas estrategias o empleando solo técnicas como los algoritmos?, ¿qué avances es posible identificar y proyectar a partir de la comunicación –de la manera que haya sido– y de las producciones de los alumnos a las que se pudo acceder?, ¿qué dificultades surgieron?, ¿qué estrategias de enseñanza se probaron o se podrían explorar en relación con esas dificultades?, ¿cuáles alumnos tuvieron acceso o pudieron realizar las propuestas tanto en formato impreso como virtual y cuáles, no?, ¿qué trabajo podríamos realizar para retomar lo que sí pudieron realizar y restituir aquello que no pudieron realizar? Estos entre otros asuntos. Recuperar, retomar y profundizar conocimientos constituyen propósitos centrales para organizar las respuestas y las decisiones que se deriven de esas y otras preguntas:

1 La situación mundial de emergencia sanitaria declarada en el año 2020 llevó a suspender las clases presenciales en todo el país. Las orientaciones que se desarrollan en este apartado se centran en las condiciones que se podrán dar en las aulas a partir de los progresivos y diversos modos de regreso de las y los docentes y las y los alumnos a las mismas. No obstante, se considera que estos aportes constituyen estrategias para enseñar Matemática considerando la diversidad que caracteriza a todos los grupos, más allá de esta situación de excepcionalidad presentada.

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Introducción general • Recuperar los conocimientos que sabemos que las y los alumnos tienen disponibles para poder revisarlos y enriquecerlos. • Retomar aquello que se ha trabajado de manera excepcional con la intención de que constituya una nueva oportunidad para los alumnos que tuvieron escasos o nulos vínculos con las propuestas enviadas; por ejemplo, planteando problemas similares, pero con la posibilidad de resolverlos en pequeños grupos y con el acompañamiento del docente. Esta instancia, también, resulta una nueva ocasión de aprendizaje para los alumnos que sí pudieron resolverlos, pero que no tuvieron la oportunidad de comparar diferentes modos de resolución, justificar los procedimientos realizados, analizar los errores, etc., (prácticas que, por su misma naturaleza, con seguridad, no han podido desplegarse en las tareas realizadas en los hogares), recibir explicaciones para aquello que no llegaban a comprender del todo, identificar saberes que debían retener para volver a utilizarlos en situaciones nuevas. • Profundizar porque justamente los encuentros en las aulas permiten interactuar de otra manera con los problemas y, a la vez, introducir otros que, por los propósitos que se persiguen o por la complejidad que involucran, resultan imposibles de proponer en contextos de no presencialidad o virtualidad. La vuelta presencial a las aulas requerirá fundamentalmente de acuerdos institucionales que organicen una gradualidad más amplia en unidades pedagógicas (de tal manera que permita priorizar y distribuir los contenidos disponiendo de un tiempo más extenso para su tratamiento y para volver a “visitarlos”) y de agrupamientos de las y los alumnos flexibles y periódicos (es decir, que se decidan en virtud de los recorridos y conocimientos identificados y que se alternen o se cambie su composición de acuerdo con ellos). En el libro presentamos secuencias de problemas de complejidad creciente lo que permite que ustedes puedan tomar diferentes decisiones, de tal manera que quizá, con algunos grupos, haya que detenerse un mayor tiempo en el trabajo con un tipo de problema, volver sobre problemas del mismo contenido, que están en capítulos anteriores, o resolver más problemas similares; mientras que, con otros, se pueda avanzar o trabajar con los problemas del capítulo, etcétera. Valoramos la oportunidad para que las instancias de “Para pensar entre todos” se constituyan en momentos en los que el grupo, en su totalidad, pueda abordarlas de manera conjunta, más allá de los recorridos previos que hayan tenido para llegar a cada una de ellas. Un asunto derivado de la complejidad que presentarán las aulas y la organización institucional tendrá que ver con la optimización de los tiempos, principalmente de aquellos con los que la y el docente cuente para trabajar de manera presencial con sus alumnos. Destacamos la importancia de analizar cuáles situaciones son las más convenientes para que los alumnos las puedan realizar en sus hogares y cuáles las que necesitan de forma imprescindible la interacción en el aula con los compañeros y con el docente. Algunos ejemplos de estas últimas pueden ser: • aquellos problemas para los cuales las y los alumnos aún no disponen las herramientas canónicas y para los que se tiene el objetivo que la comparación de diferentes producciones constituya una oportunidad para acercarlos a ellas; • las situaciones que se planifican en torno a juegos; • problemas que presentan varios datos, requieren varios pasos o tienen una complejidad que hace indispensables las interacciones, tanto con la y el docente como entre las y los alumnos, ya sea para resolverlos o para propiciar avances en relación con esos procedimientos.

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Introducción general Consideramos que, en estos casos, el valor didáctico se reduce en forma considerable, o directamente se anula si se proponen para ser resueltas de manera individual, en los hogares o de manera virtual, etcétera. Estas ideas están construidas para anticipar ciertos fenómenos que, consideramos, se presentarán en el retorno presencial a las aulas; seguro, esta realidad inédita determinará otras cuestiones y otros factores que haya que considerar y articular con las ideas que hemos compartido. Destacamos, en todos los casos, su tratamiento y abordaje institucional.

Algunas preguntas acerca de las características del libro y las razones didácticas que nos llevaron a incluirlas ¿Qué posibilidades ofrece este material editorial para trabajar tanto en la presencialidad como también en la virtualidad? Todos coincidimos en que trabajar en la presencialidad nos permite: • desplegar una diversidad de estrategias de enseñanza, muchas veces relacionadas con lo que va ocurriendo en la clase; • realizar intervenciones según lo que vamos interpretando “en vivo” acerca de la resolución de los alumnos y en el momento en que están trabajando para que puedan avanzar con sus producciones; • agrupar a los niños atendiendo a la diversidad para lograr intercambios que, seguramente, favorecerán sus aprendizajes, etcétera. Sin embargo, la propuesta Estrada A Dúo digital nos proporciona materiales para que las y los niños puedan trabajar desde su hogar, en forma individual o en pequeños grupos a través de medios digitales, cuando dispongan de esta posibilidad. Esta disponibilidad permitirá seleccionar algunos trabajos para hacer de modo autónomo y otros para desplegar en espacios compartidos de clase. Otro aporte que consideramos valioso es la inclusión de problemas geométricos en el programa Geogebra. Sugerimos la lectura de la introducción Acerca de la enseñanza a través de las TIC (Página 115) para obtener mayor información al respecto. Esta nueva realidad nos lleva a las y los docentes a tener en cuenta en la planificación de la enseñanza para cada contenido, o para cada capítulo del libro, qué problemas son indispensables para trabajar en la escuela en forma presencial y cuáles podrán hacer las y los alumnos en sus casas, que luego serán discutidos con pares y con el docente en un espacio presencial o virtual sabiendo que para esta última instancia nos encontraremos con una gran diversidad de posibilidades.

¿Cómo podemos recurrir a propuestas de diferentes niveles para trabajar el mismo aspecto de un contenido contemplando la diversidad de conocimientos de las y los alumnos? Las y los docentes disponen en formato digital de la serie Estrada A Dúo para seleccionar, en caso de que sea necesario, problemas de años anteriores a los correspondientes al año en el que dicta clases o para tener el horizonte de hacia dónde se dirige la propuesta del ciclo completo, tomar nuevos problemas más desafiantes para algunos alumnos, etcétera.

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Introducción general En esta serie, proponemos una secuenciación en el tratamiento de los contenidos. Estamos pensando en que, en un mismo grupo, el docente tenga la posibilidad de armar subgrupos con propuestas del mismo contenido con diferentes grados de dificultad, pero que luego permitan compartir lo realizado, hacer la puesta en común, analizar aspectos seleccionados por la o el maestro, y llegar a conclusiones comunes con la participación de todos los alumnos.

¿Cuál es la intención de ofrecer juegos en todos los capítulos? ¿Cómo los gestionamos? En la apertura y desarrollo de cada capítulo, se ofrecen juegos relacionados con aspectos del contenido sobre el que se pretende avanzar. Cada juego, por un lado, forma parte de una serie de problemas y, por el otro, es asimismo un desafío, que esperamos que genere aprendizajes, en el que el alumno tenga que tomar decisiones acerca de qué conocimientos utilizar y luego dar razones sobre ellos. Además, como señalamos, en el desarrollo del capítulo, se plantean problemas que remiten al juego. Seguramente, la instancia de juego será una de las propuestas que seleccionaremos para la presencialidad, ya que requiere de jugar con otros compañeros. Podrán volver a jugar en casa con algún miembro de la familia o, también, en encuentros virtuales si no cuentan con la primera posibilidad. Coincidimos en que no puede faltar luego de jugar, de manera presencial o virtual, un espacio colectivo de análisis: la reflexión acerca de lo que hicieron, cuáles fueron las discusiones acerca de los diferentes procedimientos usados y el pedido de argumentaciones acerca de la validez de lo producido.

¿Cómo están secuenciados y distribuidos los contenidos en cada capítulo? En los diferentes capítulos, encontrarán propuestas relativas a los ejes propuestos para la enseñanza de la Matemática y no sobre un único contenido. La decisión de organizar la secuenciación y distribución de contenidos de esta manera fue pensada teniendo en cuenta: • Para cada uno de los grandes contenidos propuestos en los lineamientos curriculares, hay diferentes aspectos que consideramos que no pueden ser abarcados simultáneamente, ya que se pretende una mayor profundización en cada uno de ellos. • Las y los alumnos, por diversas razones, no aprenden todos lo mismo y al mismo tiempo. Serán necesarias, entonces, diversas aproximaciones a un mismo contenido a través de diferentes problemas con distinto grado de profundización y en diferentes momentos. • Los aprendizajes requieren un largo plazo por lo que distribuirlos de esta manera habilita varias estaciones de recupero durante un ciclo escolar, al mismo tiempo que permite establecer relaciones entre diferentes contenidos. • La experiencia nos lleva a pensar también en los tiempos que es posible sostener el interés de las y los alumnos alrededor de un mismo contenido. En muchas ocasiones, nos damos cuenta de que estos tiempos se agotan tanto para los alumnos como para los y las docentes. Muchas veces es necesario un cambio de eje y aceptar la provisoriedad de los contenidos, que retomaremos en otro momento.

¿Cuál es la intencionalidad de que los contenidos estén secuenciados en toda la serie? Si bien hace ya muchos años que, en los lineamientos curriculares del área, se propone una secuenciación de los contenidos, de los modos de hacer y pensar que son propios de la Matemática, en esta situación que atravesamos, se vuelve aún más necesario.

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Introducción general Gran parte de los contenidos se repiten no solo en el interior o dentro de cada año, sino también, a lo largo de los diferentes años. Esto se apoya en la idea de que la construcción de la mayoría de los conocimientos se produce en plazos largos. Con seguridad, la heterogeneidad de conocimientos disponibles en nuetras y nuestros alumnos será muy grande y la mejor opción para incluirlos a todos y que puedan hacer Matemática será tener en cuenta y elegir las propuestas para estos grupos diferenciados, flexibles y pensados estratégicamente.

¿Por qué incluimos problemas extras destinados a trabajar contenidos con un grado de dificultad que puede corresponderse con grados anteriores? ¿Por qué consideramos que pueden resultar un buen apoyo y punto de partida para aquellos alumnos cuyos conocimientos disponibles no les permiten iniciar directamente el trabajo con los problemas incluidos en el libro? La situación de interrupción de la asistencia presencial a los establecimientos educativos, seguramente, ha ocasionado diferentes impactos en las trayectorias escolares de las y los alumnos. Estos han estado derivados, entre otros varios factores, de las diferentes oportunidades que hayan tenido para vincularse con las propuestas de continuidad pedagógica, las producciones que pudieron desplegar (de manera individual o con ayuda) y los conocimientos que identificaron tanto para iniciar procedimientos de resolución como respecto a los avances a partir de ponerlos en juego. El enfoque que sostenemos para la enseñanza de la Matemática asume como un potencial (y no un obstáculo) la diversidad que caracteriza a todo grupo de estudiantes, de tal manera que esos diferentes puntos de partida puedan ser reconocidos para propiciar la identificación de diversas opciones para la resolución, sus relaciones, diferencias y conveniencias. También, las interacciones entre alumnos que enfrentan diferentes niveles de dificultad y progresividad de los conocimientos matemáticos pueden constituirse, bajo ciertas condiciones didácticas, en instancias propicias para identificar regularidades, es decir, características y propiedades que permanecen constantes más allá del grado de profundidad por la que se vaya transitando su estudio. Por ejemplo, los aportes de un grupo que esté trabajando con un problema que requiere leer y comparar números hasta el 1.000 pueden resultar fructíferos para otros grupos a los que se les haya asignado un problema de características similares, pero con intervalos numéricos mayores. Este aspecto quizá no hubiera sido posible de revelar si la clase estuviera centrada en una dimensión más acotada de esos contenidos, como por ejemplo, la que se dispone para un determinado grado de la escolaridad. El contexto de excepcionalidad y aislamiento no solo puede haber dado lugar a frustraciones con respecto a las tareas en las y los alumnos que más acompañamiento por parte del docente requieren (entre otros motivos), sino que dejó más a la vista las enormes desigualdades presentes en nuestra sociedad. Reconocemos que esta realidad compleja requiere de varias y diversas estrategias e intervenciones por parte del equipo docente y, a su vez, de una variedad de recursos didácticos que puedan ser puestos a disposición de acuerdo con los propósitos que se planteen. En este sentido, y con el objeto de contribuir a este último aspecto mencionado, al finalizar las orientaciones de los problemas de cada capítulo, hemos decidido incluir una serie de problemas que corresponden a los mismos contenidos que cada capítulo aborda, pero que tienen un grado de dificultad menor.

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Introducción general Ustedes podrán tomar diferentes decisiones didácticas respecto a ellos (darlos como parte de la tarea a todo el grupo, destinarlos a las y los alumnos que puedan requerirlo antes de abordar los problemas que están en el libro, entre otras). Para muchos, tal vez, las últimas oportunidades que tuvieron de interactuar con ciertos contenidos se hayan dado hace más de un año, (por ejemplo, las y los alumnos de cuarto año para evocar alguna experiencia escolar con determinado conocimiento quizá deban tener que remitirse a lo realizado en segundo año), por eso, esos problemas y otros que ustedes seleccionen, pueden resultar fértiles para propiciar esas relaciones y reconocimientos. Queremos remarcar que la inclusión de estos apartados no se ofrece con la intención de que un grupo de alumnos “trabaje menos” o solamente resuelva tareas “más sencillas” y que la propuesta para ellos termine allí mientras el resto de la clase resuelve otros problemas “más complejos”. Lo que pretendemos es que constituyan una herramienta que permita recuperar determinados conocimientos y ciertas relaciones que se constituyan en puntos de apoyo para abordar, en mejores condiciones, los problemas que se presentan en el libro para todo el grupo.

¿Por qué razón no incluimos especificaciones referidas a qué tipo de organización de la clase corresponde a cada problema? ¿Cuáles son los argumentos por los cuales valorizamos la posibilidad de considerar agrupamientos variados y flexibles para el trabajo con un problema o un grupo de problemas? Entre los diferentes asuntos que debe decidir un docente en el momento de planificar el trabajo con cada problema, se halla la organización de la clase (de manera individual, en parejas, pequeños grupos, etc.), que puede determinarse con diferentes finalidades (para distribuir diferentes tareas, porque la complejidad del problema requiere que sea abordado en parejas debido a que se necesitan intercambios para arribar a la respuesta, porque se disponen instancias para intercambiar y comparar producciones, etc.), porque las consignas lo predeterminan (por ejemplo, el tipo de agrupamiento que dispone cada juego), por solo mencionar algunos de los factores que pueden considerarse como referencia. Una escena habitual que suele darse en las aulas tiene que ver con que estos agrupamientos se establecen de manera uniforme, es decir, toda la clase trabaja en parejas, en grupos de tres o cuatro o de manera individual, entre otras posibilidades. Más allá de estas modalidades, queremos destacar el valor didáctico que tiene la posibilidad de establecer diferentes organizaciones en el aula de acuerdo con las necesidades que se presenten. Por ejemplo, mientras para algunas y algunos alumnos que pueden trabajar con cierta autonomía, se dispone que resuelvan de manera individual; para otros, se puede proponer un trabajo en parejas, de tal manera que esos intercambios permitan tomar decisiones acerca de los conocimientos y procedimientos a poner en juego. La diversidad presente en las aulas, incrementada en gran medida por las circunstancias excepcionales mencionadas, requerirá inevitablemente de diversos modos de organización en virtud de los recorridos, avances y dificultades que se puedan identificar. Esta realidad, compleja de anticipar y muy dinámica, es probable que requiera de decisiones diarias que, a su vez, se alternen y diversifiquen de acuerdo con los impactos que provoquen y con las evaluaciones que realice el y la docente. Incluso, concebimos que estos agrupamientos excedan la composición de“un determinado grado y grupo escolar”, que puedan ir más allá, y que optimicen las posibilidades que permita cada institución, por ejemplo:

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Introducción general • que ante determinados problemas algunas y algunos alumnos de tercero puedan trabajar con las y los de segundo año, o se modifiquen las divisiones de un mismo grado, etcétera; • optimizar el equipo docente para concretar estos escenarios que, en muchos casos, alteran en forma considerable la organización escolar tradicional. Por ejemplo, incluir a los integrantes del equipo de orientación escolar o del/la bibliotecario/a, de tal manera que haya una mejor gestión y acompañamiento del trabajo con cada una de esas propuestas. Por esta razón, en cada uno de los problemas del libro, no hallarán indicaciones referidas al modo de agrupamiento sugerido (salvo como mencionamos en aquellos casos predeterminados, como pueden ser, las reglas de un juego) para que ustedes puedan decidir, en conjunto con los otros integrantes de la institución, en virtud de la variedad, flexibilidad y dinámica que esta realidad compleja requiera.

¿Por qué incluimos Estrategias para estudiar Matemática, Actividades para seguir estudiando y la Caja de Herramientas en la Carpeta A Dúo? El recorrido que se propone a lo largo del libro es acompañado por la Carpeta A Dúo, que contiene fichas con estrategias para estudiar Matemática y actividades que complementan el trabajo de cada capítulo para que las y los alumnos puedan volver sobre ellas de manera un poco más autónoma y como forma de practicar algunos de los asuntos que se fueron identificando. Estudiar siempre requiere volver de una manera reflexiva sobre lo realizado. En el caso específico de la Matemática, se trata de poder identificar lo aprendido, establecer nuevas relaciones entre los diferentes conocimientos que se fueron elaborando para integrarlos en un marco más general –reconociendo qué guardan en común–, identificar puntos de dificultad y cómo fueron o pueden ser subsanados, reconocer lo que aún queda pendiente, practicar aquello sobre lo cual se ha avanzado para que pueda quedar más establecido o reafirmado, resolver los mismos o similares problemas si es necesario retomar la acción sobre ellos, etcétera. En el libro, especialmente, en “Para pensar entre todos”, encontrarán vueltas de análisis “hacia atrás” para reflexionar sobre lo que se hizo y avanzar. Este material complementario, también, intenta aportar al proceso de estudio de las y los alumnos. Subrayamos que la práctica de estudio necesita ser enseñada y acompañada por la o el docente. Asimismo, señalamos que, el material puede ser extendido según el recorrido particular que tiene lugar con cada grupo de alumnas y alumnos, es decir, la o el docente evaluará si es necesario la preparación de otras actividades similares o no que se adapten, mejoren o completen las propuestas.

¿Por qué proponemos instancias de análisis colectivo en la clase en “Para pensar entre todos”? A lo largo del recorrido de las actividades, encontrarán momentos en los que se propone un espacio de análisis colectivo bajo la consigna“Para pensar entre todos“. Por supuesto, el o la docente organizará además otros espacios con la clase en otros momentos en que lo crea oportuno, ya sea para comunicar una actividad, para analizar lo que se haya producido en su resolución o, quizá, pueda necesitar explicar o retomar algo con todos mientras están resolviendo. Los apartados “Para pensar entre todos“ proponen aspectos de los contenidos trabajados para analizar con la clase completa a partir de lo realizado por las y los alumnos en las actividades. Además de difundir procedimientos o ideas puestas en juego por algunas o algunos niños para todo el

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Introducción general grado, se trata de analizar los conocimientos que van conduciendo las resoluciones, las relaciones entre las diferentes estrategias (qué tienen de común y qué de diferente). Asimismo, es un espacio para analizar errores frecuentes: cuáles son las ideas que conducen a producir esos errores, bajo qué condiciones esas ideas podrían ser válidas, por qué no lo son frente al problema que se está analizando. Se apunta a promover momentos de reflexión que permiten avanzar no sólo a los autores de las producciones “erróneas” sino a toda la clase porque llevan a explicitar relaciones referidas al contenido que se está trabajando y también a utilizarlas para argumentar sobre la validez de los procedimientos o afirmaciones que se analizan. Se trata de ir articulando espacios de la clase individuales, de a dos o en pequeños grupos y entre todos –espacios más privados y más públicos– en la elaboración de conocimientos. Estos momentos colectivos permiten al docente, además, recuperar lo realizado por sus alumnos para brindar explicaciones o identificar saberes que se asuman como compartidos por toda la clase a partir de lo elaborado hasta el momento. Es una de las razones por las cuáles es importante ir observando los diferentes procedimientos y, cuando es posible, los procesos de resolución para poder retomar los conocimientos puestos en juego. Comprender las ideas que subyacen a las estrategias de las y los niños puede requerir muchas veces de dialogar con ellos para que puedan explicar lo que pensaron. Insistimos en que se trata de sugerencias. La o el docente decidirá los momentos en los cuales abrir a un espacio colectivo y qué aspectos del trabajo realizado retomar.

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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática?

¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? Acerca del aprendizaje y la enseñanza del Sistema de numeración escrita El aprendizaje y la enseñanza del sistema de numeración recorren toda la escuela primaria y continúan en la escuela media. En primer ciclo, las y los alumnos han desarrollado un fuerte trabajo sobre los números naturales. Seguramente, han recorrido situaciones de uso de los números en las que han tenido que leer, anotar, comparar y ordenar números escritos, así como resolver cálculos, y han reflexionado con sus compañeros bajo la guía del docente. En efecto, disponen de conocimientos sobre diferentes funciones sociales de los números, sobre su designación oral, sobre el sistema de numeración escrita y sus propiedades, sobre algunas relaciones entre los números; y a la vez, comenzaron a explorar sus relaciones internas (cómo se encuentran organizados, algunas descomposiciones posibles) y cómo pueden vincularse con cálculos. En el segundo ciclo, se trata de estabilizar y ampliar los aprendizajes numéricos del primer ciclo sabiendo, por ejemplo, que la extensión del intervalo a números mayores no supone la transferencia automática de los conocimientos que las niñas y los niños han elaborado para números menores. El estudio de números mayores permitirá enriquecer la comprensión de la numeración (oral y escrita), las relaciones y la especificidad de cada una de ellas, así como también, movilizar sus propiedades en cálculos. En efecto, se trata de avanzar en la comprensión de la estructura que organiza la numeración escrita, de considerar los números desde distintos puntos de vista y de comprender las relaciones dialécticas que guardan numeración y cálculos, y cómo los conocimientos sobre una permiten puntos de apoyo para los otros. La propuesta del trabajo con los números naturales, entonces, abarca tanto la resolución de problemas que apelan o remiten a situaciones prácticas como el cálculo de puntajes de un juego o de una cantidad de dinero, o instancias que invocan reflexiones más conceptuales o teóricas, por ejemplo, la de reflexionar sobre la equivalencia entre diferentes descomposiciones numéricas o identificar cómo y por qué es posible conocer resultados de cálculos a partir de analizar la notación numérica. Se apunta a retomar y avanzar a lo largo de todo el segundo ciclo en las relaciones entre los números escritos y las operaciones multiplicativas que los organizan. Es decir, se busca desarrollar un trabajo que permita reflexionar sobre la relación entre el sistema de numeración y las operaciones para profundizar en el análisis del valor posicional. La ubicación de números naturales en rectas numéricas, que sabemos difícil y que deberá contar con el acompañamiento del docente, busca profundizar el análisis de las relaciones de orden con diferente grado de precisión (rectas con graduaciones de 1.000 en 1.000, de 100 en 100, de 10 de 10). Este contexto, además de poner en juego las relaciones de orden, conlleva la exigencia de considerar la distancia entre los números. En efecto, no basta con identificar cuál va antes y cuál después, sino que se hace necesario saber a qué distancia se encuentra de otro u otros, considerados como referencias. En el segundo ciclo, se adelanta en el trabajo sobre la organización de los números escritos en agrupamientos de a 10. En quinto grado, se retoman situaciones abordadas en cuarto, en las que se trata de avanzar o retroceder de 10 en 10, de 100 en 100, de 1.000 en 1.000 y, también, de agrupar cantidades para pasar a vincular esta organización con la resolución de cálculos, como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Estas situaciones constituyen una base para analizar, de manera más general, cómo es posible resolver esos cálculos mentalmente, analizando el número, y cómo

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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? se transforma a partir de ellos. Es decir, cómo es posible movilizar las propiedades de los números en cálculos y, recíprocamente, cómo los conocimientos sobre las operaciones nos permiten profundizar la comprensión sobre los números. En cuanto a la denominación que reciben las diferentes posiciones en la notación numérica (unidades, decenas, centenas, etc.), son introducidas no para insistir en un vocabulario específico, sino en su significado en términos de comprensión de la organización del número, de la relación que guardan entre sí las diferentes posiciones y con los cálculos. De la misma manera que, en las otras situaciones que remiten al análisis de las escrituras numéricas para los problemas en los que se recurre a la denominación de las diferentes posiciones, no se apunta a proponer ejercicios estereotipados de decodificación, sino a brindar oportunidades para que los alumnos y las alumnas puedan extraer información sobre el número a partir de una reflexión sobre su organización.

Acerca del aprendizaje y la enseñanza de las Operaciones El trabajo con las operaciones con números naturales en la educación primaria involucra la resolución de una diversidad de problemas en los que estas son herramientas de resolución. Al mismo tiempo, implica la construcción y apropiación de diferentes estrategias de cálculo, tanto para obtener resultados exactos como aproximados. Se trata de que progresivamente las y los alumnos reconozcan una amplia variedad de problemas como constitutivos del sentido de cada operación; es decir que puedan identificar y seleccionar, entre sus conocimientos disponibles, cuál es la herramienta pertinente y que, a partir de poner en juego esos procedimientos, también, puedan confrontarlos y hacerlos avanzar. De manera paralela, se trata de que puedan disponer de diferentes recursos de cálculo que les permitan escoger cuál resulta conveniente emplear, ya sea porque los números que intervienen lo ameritan (por ejemplo, si los datos del problema requieren operar con “números redondos”, quizá, sea conveniente acudir al repertorio de resultados que tengan memorizados o emplear alguna estrategia de cálculo mental, en lugar de aplicar un algoritmo) o porque la respuesta del problema lo requiere (por ejemplo, en los casos en que basta con realizar un cálculo estimativo). Con frecuencia, desde la enseñanza, se ha propiciado una cierta asociación entre las palabras claves que están en el enunciado del problema y la operación que lo resuelve (por ejemplo, si dice “total”,“agregamos”o“ganamos”, se resuelve mediante una suma o si dice“quitar”, con una resta. Del mismo modo, se asocia la multiplicación con situaciones en las que se repite una misma cantidad y la división con enunciados en los que aparece el término repartir, entre otros). Sabemos, gracias a numerosos trabajos que se han ocupado al respecto, que estas vinculaciones directas pueden dar lugar a diversos tipos de errores, ya que las operaciones que resuelven un problema dependen de las relaciones entre las cantidades que están involucradas y no de la asociación directa con una palabra o acción. Muchos son los ejemplos que se pueden proponer para sostener esta afirmación, por ejemplo: “En una caja, agregué 345 bolillas. Ahora, hay 1.058, ¿cuántas había antes?”. O también, “Mariano repartió 450 bolillas entre sus amigos de la escuela y 368 entre sus amigos del club. ¿Cuántas bolillas repartió?”. Seguramente, ustedes coincidirán con nosotros en que el primer problema no se resuelve con una resta, por más que refiera a “quitar” elementos y que el segundo no se resuelve mediante la división, más allá de que haga referencia a repartos. Esto hace que sea necesario en-

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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? frentar a los alumnos a la resolución de una importante variedad de problemas para que puedan reconocer las relaciones que presentan entre los datos, distinguir similitudes y diferencias, y para poder asociarlos a una determinada operación. A la par de los problemas, se propone el estudio de diferentes estrategias de cálculo exacto y aproximado. Esta tarea involucra la construcción progresiva de un repertorio de resultados memorizados, de estrategias diversas para arribar a un resultado (procedimientos de cálculo mental) y del estudio y apropiación de técnicas de cálculo (cálculo algorítmico), de tal manera que de acuerdo con los números involucrados o con el tipo de respuesta requerida (exacta o aproximada) se pueda seleccionar cuál resulta más conveniente. Del mismo modo, la articulación entre esos diferentes procedimientos permite que uno pueda estar al servicio del otro como herramienta de control (por ejemplo, el cálculo estimativo puede ser de gran utilidad para determinar la pertinencia de un resultado obtenido mediante el algoritmo). Hacemos mención, asimismo, al uso de la calculadora como instrumento no solo para obtener y verificar resultados, sino también, para plantear determinados problemas. Por ejemplo: Escribir en el visor el número 5.324. Lograr que en el visor aparezca el número 0 luego de realizar 4 operaciones. Las operaciones deben aplicarse sobre las cifras siguiendo el orden de la serie numérica: lograr que, en un comienzo, el 2 se transforme en 0, luego el 3, el 4 y, por último, el 5. Registrar en una hoja las sucesivas operaciones que hay que realizar antes de operar la calculadora. A través de este problema, intentamos que los alumnos puedan hacer un análisis del valor posicional de cada cifra y, al mismo tiempo, identificar que es la resta la operación que permite resolverlo (– 20; – 300; – 4; – 5.000). La numeración hablada es un soporte de información que facilita la resolución y, a la vez, una intervención que los alumnos que se encuentren en dificultades para encontrar un procedimiento pueden realizar: “Leé el número porque te da pistas de lo que hay que hacer”. Si bien es cierto que las calculadoras nos permiten resolver múltiples problemas, también es cierto que los límites de su utilización son claros. Por ejemplo, si hubiera que resolver este problema:“Hay 473 figuritas para armar paquetes de 5 figuritas cada uno, ¿cuántos paquetes de figuritas se pueden armar? ¿Cuántas figuritas quedan sin empaquetar?”, la calculadora daría como resultado 94,6. Es decir que se podría, eventualmente, contestar la primera pregunta: se pueden armar 94 paquetes de figuritas. Pero ¿qué sentido tendría decir que quedan 0,6 figuritas sin empaquetar? Si los alumnos optaran por transformar el decimal en el resto de una división entera, es decir, si decidieran que para poder contestar ambas preguntas hay que multiplicar 0,6 x 5, entonces, la discusión acerca del uso o no de la calculadora pasaría a segundo plano, ya que tomar esa decisión requiere poner en acción una serie de relaciones entre el cociente, el divisor, el dividendo y el resto, que dan muestras claras de la actividad matemática implicada. Además, poder reconocer cuál es el campo de problemas que resuelve un conocimiento y, en función de ello, dar la orden a la calculadora es lo que pone de manifiesto que se ha construido el sentido de ese conocimiento. Derivado de ello, otro asunto importante consiste en ofrecer a los alumnos diferentes herramientas para que puedan hacerse cargo, por sus propios medios, de la validez de los procedimientos realizados y de los resultados obtenidos. La validación es parte constitutiva del quehacer matemático y, para justificar las razones de los procedimientos aritméticos, se requiere disponer de una diversidad importante de relaciones y propiedades, tanto de las operaciones como del sistema

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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? de numeración, de tal manera que en el momento de argumentar las decisiones tomadas, se pueda recurrir a esos conocimientos. Por ejemplo, ¿qué recursos diferentes les ofrecemos a los alumnos para que puedan explicitar las razones por las que los resultados de multiplicar por la decena en el algoritmo de la multiplicación se deben ubicar en la segunda fila dejando un lugar a la derecha? Disponer de las propiedades del sistema de numeración (en este caso, el valor posicional) y de la multiplicación, que intervienen en el algoritmo convencional, como también de haber tenido oportunidades para comparar ese procedimiento con otros, les puede permitir reconocer y explicitar las razones por las cuales en esa técnica se siguen esos pasos. En este libro, nos proponemos trabajar con problemas del campo aditivo (problemas que se resuelven con sumas y/o restas), principalmente, correspondientes a los sentidos más complejos, como búsquedas de complementos y comparaciones (más que y menos que). Asimismo, se introducen problemas que requieren analizar y completar información en tablas de doble entrada. Junto a estos problemas, se propone abordar el estudio de diferentes estrategias de cálculo exacto y aproximado de sumas y restas. La multiplicación y la división se introducen a partir del trabajo con problemas que refieren a cantidades organizadas en grupos de igual cantidad de elementos –problemas de series proporcionales– (Una caja tiene 8 lápices. ¿Cuántos lápices hay en 6 cajas?) y concernientes a distribuciones (repartos y particiones equitativas). Otros de los problemas del campo multiplicativo son los que involucran organizaciones rectangulares y los de combinatoria. La tabla pitagórica constituye uno de los recursos centrales para el trabajo con repertorios multiplicativos tanto para resolver multiplicaciones como para cálculos con divisiones. Estos y otros repertorios (como las multiplicaciones y divisiones con “números redondos”), junto a diversos procedimientos de cálculo mental y las propiedades de la multiplicación y la división, se proponen como insumos para estudiar los algoritmos de estas operaciones. Junto con estos problemas, se presentan situaciones que requieren varios pasos y operaciones para resolverlas. El estudio de la divisibilidad se introduce a partir de problemas que requieren obtener e identificar múltiplos o divisores. A partir de ellos, se propone resolver, mediante diferentes procedimientos, problemas que involucran múltiplos o divisores comunes de dos o más números. El estudio de la proporcionalidad se presenta a partir de problemas que las y los alumnos han resuelto antes (como el del ejemplo referido a las cajas de lápices), propiciando que, mediante diferentes procedimientos, puedan completar tablas, reconocer las propiedades y usarlas para resolver otros problemas.

Acerca del aprendizaje y la enseñanza de los Números racionales Las fracciones y las expresiones decimales de números racionales aparecen como números nuevos, que son introducidos en el segundo ciclo. En esta introducción, queremos describir sintéticamente parte de la complejidad que involucran, a la cual, en forma progresiva, los alumnos se irán aproximando. Desde la enseñanza, buscamos apelar, en un inicio, al sentido de los números racionales a partir de la insuficiencia de los números naturales para resolver situaciones en las que hay que continuar repartiendo el resto de una división o expresar una medida cuando la unidad no entra una cantidad entera de veces en el objeto que hay que medir.

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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? En el aprendizaje de los números racionales, juega un papel central la relación con los conocimientos adquiridos hasta el momento a propósito de los números naturales. Estos últimos constituyen un punto de apoyo para estos nuevos aprendizajes. Desde allí, las y los alumnos abordarán las situaciones que se presenten e intentarán extender hacia las fracciones y las expresiones decimales lo que saben sobre los naturales. En consecuencia, al mismo tiempo que permiten una base, este intento de generalización lleva a la producción de errores que son constitutivos de este proceso de desarrollo de los conocimientos porque, así como usan propiedades que son válidas, también, extienden otras que no lo son para los racionales. Por ejemplo, las y los alumnos suelen afirmar que 1 3 es menor que 1 porque 3 es menor que 6 o que 1 es diferente de 2 o que 0,5 es diferente de 0,50 6 2 4 porque se anotan con números diferentes; que entre 2 y 3 , no hay otro número, porque piensan 5 5 que los números racionales tienen sucesor como los naturales; que 0,3 es menor que 0,29879 porque tiene menos cifras y, así, extienden el criterio de comparación de números basado en la cantidad de cifras que es válido para los naturales, que la multiplicación siempre “agranda” el número o que la división lo “achica” siguiendo una regularidad que venían observando para los naturales, etcétera. Como señalamos, estos errores, manifestaciones de una concepción inicial que atribuye a los racionales las propiedades conocidas para los naturales, son parte del proceso de aprendizaje. Para los niños y las niñas, es lógico pensar que, si son números, funcionan como los números que ya conocen. Como componentes del aprendizaje, son errores que persisten y su modificación requiere un trabajo de largo aliento que tiene que asumir la enseñanza. Se busca proponer desde la enseñanza un recorrido acerca de los números racionales que lleve a alumnas y a alumnos a apropiárselos como herramientas a partir de una práctica matemática de resolución de problemas y de análisis acerca de lo realizado en torno a estos nuevos objetos de conocimiento. Supone un proyecto que abarque, progresivamente, los diferentes contextos (extra e intramatemáticos) en los que cobran sentido las fracciones y los decimales, en tareas que vayan poniendo de relieve los diferentes aspectos que los caracterizan. Las situaciones que se presentan apuntan, entonces, a hacer aparecer las fracciones en situaciones de repartos o medición para las cuales no bastan los enteros. En efecto, un primer sentido, que se aborda, de las fracciones es el de expresar resultados de repartos equitativos de magnitudes continuas (es decir, cuando se puede seguir repartiendo el resto). Este punto de partida intenta dar continuidad al trabajo con la división que se ha realizado desde el primer ciclo e, incluso, en este quinto grado. Permitirá una plataforma para enlazar a futuro la idea de fracción como cociente entre naturales. La fracción como una relación con una unidad de medida es otro sentido que se aborda. A futuro, en el segundo ciclo y, también, en la escuela media, las fracciones funcionarán en otras clases de problemas, que las hacen jugar como una relación de proporcionalidad directa. En algunos de estos casos, refieren a nociones particulares, como escalas, porcentajes, probabilidades, velocidad, densidad, etc. Otras veces, las fracciones aluden, del mismo modo, a relaciones entre partes que forman un todo (por ejemplo, una mezcla de pintura que se hace con una parte de negro y 4 partes de blanco, tenemos una relación de 1 del negro respecto del blanco). 4 La definición inicial de fracción que se propone parte de pensar las fracciones de forma 1 n (de numerador 1 como, por ejemplo, 1 , 1 , 1 , etc.), como la cantidad tal que repetida n veces 4 5 8 equivale a 1. Así, por ejemplo, 1 de pizza es la parte que, repetida 4 veces, permitiría obtener la 4 pizza entera; 1 es la parte que, repetida 8 veces, permitiría armar la unidad; etc. Apoyados en esta 8 idea, luego, se establece la definición general para cualquier fracción m como la cantidad que repite n

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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? m veces 1 . Así, por ejemplo, 3 es la cantidad que repite 3 veces 1 . Esta definición, en algún mon 4 4 mento del trabajo, se irá vinculando con aquella basada en subdividir la unidad en partes iguales, según indica el denominador, y permitirá tomar la cantidad de partes que indica el numerador. Como esta última definición –históricamente utilizada en la escuela–, ha presentado numerosos inconvenientes porque se centra en un reconocimiento perceptivo y, en que la unidad, se encuentre efectivamente subdividida en partes iguales antes que en las relaciones que intervienen en el concepto de fracción. Muchos niños, por ejemplo, señalan que la parte pintada en este rectángulo es 1 porque se encuentra dividido en dos partes: 2

Por estas razones, se realiza la opción de comenzar desde los sentidos de las fracciones como resultados de un reparto equitativo y como una medida, así como también, desde la puesta en relación de los conocimientos elaborados en uno y otro contexto. A lo largo del trabajo, se hace un fuerte hincapié en el análisis de las relaciones que están involucradas en el funcionamiento de las fracciones: se trata de números que se anotan mediante una relación entre dos números, el mismo número puede anotarse de infinitas maneras equivalentes y es posible tomar decisiones sobre la escritura conveniente para pensar cálculos, comparaciones, etc. Hay situaciones que buscan específicamente hacer emerger los errores mencionados para que puedan ser discutidos y analizados con toda la clase y, así, ir identificando en forma progresiva la especificidad que guardan los números racionales respecto de los naturales. Este trabajo se sostiene a lo largo del segundo ciclo para asumir la persistencia mencionada de las concepciones sobre los naturales al pensar los números racionales. En quinto grado, se avanza sobre la primera aproximación a las expresiones decimales realizada en cuarto, a propósito de su uso en el contexto del dinero (décimos y centésimos de pesos). Se ha optado por anteponer un trabajo más intenso sobre las fracciones en cuarto grado como base para la construcción del significado de los números decimales. En quinto y sexto grado, se profundiza el tratamiento de estos últimos vinculando el significado de la notación decimal con las fracciones decimales, por un lado, y con el valor posicional del sistema de numeración, por el otro. Es decir, la escritura con coma aparece como una convención que recurre a la organización del sistema de numeración para representar una fracción decimal o una suma de fracciones decimales. Se trata de prolongar el significado de las diferentes posiciones en la notación de los números naturales –y las relaciones que guardan entre sí– hacia los décimos, centésimos, milésimos, etc. Estas relaciones permiten aproximarse a las características de los números decimales y fundamentar las reglas de comparación que vayan elaborando. Este significado permitirá comprender, además, el funcionamiento de las operaciones, facilitará la elaboración de estrategias de cálculo mental con expresiones decimales y permitirá fundamentar las técnicas de cálculo que se aborden. En quinto y sexto grado, también, se proponen situaciones con números racionales en el contexto de la recta numérica. Hicimos referencia, en Acerca del aprendizaje y la enseñanza del Sistema de numeración escrita de la página 13, a la complejidad y potencia de esta representación para utilizar y reflexionar sobre relaciones numéricas. Se mencionó, entonces, la necesidad de que ese trabajo sea muy acompañado por la o el docente para ayudar a las y los alumnos a comprender la especificidad que introduce (entre otras cosas, a partir de la escala involucrada en

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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? la representación gráfica). Acerca de la representación de números racionales en la recta numérica, se abordarán diferentes problemas relativos al orden (ubicar, encuadrar, intercalar números), a la relación entre fracciones decimales y expresiones decimales, a la relación entre operaciones y desplazamientos sobre la recta numérica.

Acerca del aprendizaje y la enseñanza de la Geometría En este año, será necesario retomar algunas propuestas de años anteriores evocando conocimientos que los alumnos tengan disponibles sobre las figuras, los cuerpos, y sus características y propiedades para profundizar su estudio. Se espera para este ciclo que, en la enseñanza de la Geometría, se ponga el foco en avanzar hacia la resolución de situaciones en las que se trascienda el nivel perceptivo y se pongan en juego y se expliciten las características que permitan analizar las propiedades de las figuras y los cuerpos. A partir de este año, se continuará o se iniciará (teniendo en cuenta que con las condiciones del año anterior es muy posible que los alumnos no hayan tenido posibilidad de interactuar con problemas de este contenido) el estudio de circunferencias y círculos como objetos geométricos en sí mismos y como herramientas para avanzar en la construcción de triángulos a partir de los lados. La construcción progresiva de estos conceptos requerirá del uso y estudio de nuevos instrumentos geométricos y de la toma de decisiones sobre su utilización en relación con las propiedades que definen cada figura. Se profundizará en un trabajo de anticipaciones, elaboración de conjeturas y argumentaciones, con el objetivo de que los alumnos se apropien de la necesidad de, frente a una propuesta, tomar decisiones previas a la resolución (anticipaciones), que podrán ser modificadas mientras resuelven. Si bien se propondrá dejar gradualmente las constataciones de tipo empíricas (aunque seguiremos utilizando algunas, por ejemplo, en los copiados ,la superposición de figuras para validarlos de ser necesario), se propiciará que se comience a enmarcar en un análisis más relacional. Por ejemplo, frente a la propuesta:

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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? Se espera que los niños puedan, antes de comenzar a resolver, elaborar un plan, apoyarse en los conceptos que necesitan tener en cuenta y anticipar algunos pasos que les permitan iniciar la tarea. Por ejemplo, para el copiado pedido en la actividad 31, podrán anticipar que necesitarán compás para trazar las circunferencias, que los centros de todas ellas están sobre una misma línea, cuál es el radio de cada una de ellas… Podrán luego validar el procedimiento apoyándose en el conteo del cuadriculado y/o en algunas características: “Estoy seguro de que está bien porque dibujé, primero, una línea de 6 cuadraditos y, sobre ella, dibujé las tres circunferencias. Usé el compás para tomar la medida desde los centros de cada circunferencia hasta el primer punto porque todas pasaban por ahí. Y llegué justo al final de la línea de 6 cuadraditos, así que está bien”. Pensamos en un alumno que sea capaz de: enfrentarse al problema para iniciar algún camino de resolución, que pueda argumentar acerca de lo realizado, que intente fundamentar sus respuestas, que tenga en cuenta las ideas de sus compañeros y pueda comunicar las propias. Al igual que los restantes contenidos matemáticos que se abordan, las propuestas están orientadas a la resolución de problemas. No de cualquier problema, sino de los que permiten que los conocimientos que se quieren enseñar funcionen como herramientas para encontrar la solución. Proponer un problema geométrico implica generar una situación en la que surja la necesidad de usar o apoyarse en una propiedad conocida, hacer aparecer o explicitar características de cierta figura o cuerpo para poder descubrir alguna nueva relación o propiedad. El copiado de figuras, los juegos de adivinación, la elaboración de mensajes, las construcciones serán diferentes tipos de tareas para avanzar en el análisis y construcción de las propiedades de las figuras y de los cuerpos. En el caso de los copiados de figuras, por ejemplo, se espera que puedan identificar algunas de sus características antes de iniciar la tarea como lo ejemplificamos en el ejemplo anterior. El docente jerarquizará ciertos procedimientos que desplieguen los niños, los que permitan explicitar los elementos o las propiedades que se pretenden estudiar. Las diferencias entre utilizar papel liso o cuadriculado, el hecho de que el original de la figura esté o no permanentemente a la vista, el copiado en un tamaño diferente del original, la habilitación de ciertos instrumentos geométricos son diferentes aspectos para tener en cuenta en el momento de planificar la propuesta.

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En síntesis, se espera que en los problemas geométricos que los alumnos resuelvan: Pongan en juego los conocimientos disponibles de las propiedades de los objetos geométricos. Interactúen con objetos que ya no pertenecen al espacio físico, sino a un espacio conceptualizado; los dibujos trazados solo representan las figuras, no son las figuras. Inicien la tarea probando y ensayando a partir de los conocimientos previos sobre ese concepto, reorganizándolos, haciendo anticipaciones, analizando propiedades para que, de ese modo, aprendan nuevos conceptos. Puedan comunicar lo realizado, de forma tal que se explicite el saber construido. Validen la respuesta, de ser posible, apoyándose en las propiedades de los objetos geométricos, acercándose progresivamente a las características propias de la argumentación en Matemática.

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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? Acerca del aprendizaje y la enseñanza de la Medida La enseñanza de estos contenidos en el segundo ciclo de la escuela primaria tiene como uno de sus objetivos retomar y profundizar el trabajo que se haya podido realizar en los años anteriores, que los niños puedan acercarse a las prácticas sociales de la medida y que puedan vincular esos conocimientos con un quehacer matemático para así descubrir los diferentes contextos en los que la medida es una herramienta para resolver situaciones. Otro objetivo de la enseñanza de la medida es profundizar en el sistema de medición, las equivalencias entre las diferentes unidades de medida de una misma magnitud y su relación con el sistema de numeración decimal.

¿Qué significa medir? ¿Qué aspectos de las medidas de longitud, capacidad, peso y tiempo se pretenden abordar en este año? Como punto de partida, será necesario considerar con los niños los diferentes atributos de los objetos, nos interesan aquellos que se pueden medir y que se denominan magnitudes. Medir una magnitud implica aislarla de los restantes atributos que tiene el objeto, es decir, anticipar qué cualidad interesa medir; y para ello, habrá que elegir una unidad que tenga el mismo atributo del objeto con el que se comparará y, luego, expresar numéricamente la relación entre los dos objetos. En ciertas ocasiones, la medición entre dos objetos puede realizarse en forma directa, por ejemplo, al comparar la altura entre dos niños que están parados espalda con espalda. En otros casos, si los elementos por medir están en distintos ámbitos, la medición tendrá que ser indirecta, es decir, habrá que tomar una misma unidad de medida para ambos y, luego, comparar los resultados de las mediciones, por ejemplo, la comparación del largo de dos pizarrones en diferentes aulas. Por otra parte, esa unidad de medida puede ser convencional o no. Dependerá de los conocimientos de los niños y de la intencionalidad del maestro el que ese intermediario sea un metro o una tira de papel, por ejemplo. La acción de medir supone la repetición de una unidad de medida. Es decir, una subdivisión expresada en función de cierta unidad de medida, que es repetida sobre la totalidad de la extensión de la magnitud. Esta repetición debe ser tal que el intervalo que haya que medir quede cubierto por la unidad de medida de manera que no haya huecos ni superposiciones. Uno de los rasgos distintivos del proceso de medir es que se pueden utilizar diferentes unidades para medir una misma cantidad. Por lo tanto, otra de las cuestiones vinculadas con la medición, es la comprensión de la relación entre el tamaño de la unidad y el número necesario de repeticiones para medir una cantidad dada. El acto de medir requiere comprender la invariancia de los elementos que hay que mensurar en relación con el modo en que lo hagamos, la longitud de un pasillo sigue siendo la misma independientemente de la dirección en la que uno lo recorra, ya sea caminando, corriendo o dando saltos. También, sigue siendo la misma si la medimos en metros, pisadas, palos de una escoba, etcétera. Se podría resumir estas características diciendo que medir es comparar. Otro aspecto para tener en cuenta, relativo a las mediciones, es la exactitud de las medidas. Toda medición efectiva tiene un margen de error, es una medida aproximada, no existe la medida exacta. Es decir que existe un error que es inherente a la medición que depende de diferentes fac-

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¿Cómo pensamos el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática? tores: la herramienta utilizada para medir, las características del objeto por medir, la precisión de la persona que mide, etcétera. Supongamos que los niños quieren medir el largo del escritorio con una cinta métrica. A pesar de usar el mismo instrumento, aparecerán diferentes medidas cercanas a un mismo valor, por lo que será necesario aceptar un cierto intervalo numérico para dicha medida. Si se aleja de manera considerable de dicho intervalo, será necesario retomar esa medición para analizar el error. Si bien lleva varios años de construcción la totalidad de las relaciones involucradas en la medición convencional para lograr saberes relativamente acabados, se los puede iniciar en problemas que involucren la práctica de la medida a través de situaciones ligadas a la comparación de magnitudes. La diversidad de instrumentos a disposición debe estar orientada a que los niños puedan tomar decisiones acerca de la conveniencia de utilizar uno u otro, siempre en función de lo que hay que medir. Para que los alumnos puedan avanzar en los procesos sociales de la medición, habrá que brindarles oportunidades para que logren vincular los conocimientos que construyeron en el entorno cotidiano y en el transcurso de los años anteriores con los contenidos de enseñanza de este 5.º año y, de ese modo, ampliarlos y cargarlos de sentido. En 5.° año, por los acontecimientos del año anterior vinculados a la pandemia, es seguro que necesitarán comenzar, o eventualmente avanzar, con la construcción del concepto de ángulo. Se propondrá estimar y clasificar ángulos a partir del ángulo recto que proporciona la escuadra. También, se ofrecerá el transportador como instrumento para medir los ángulos. Estas prácticas se proponen ligadas a las propiedades de las figuras geométricas. Asimismo, se iniciará o continuará el trabajo en torno al perímetro y área de figuras poniendo el acento en la independencia de estas magnitudes entre sí y con la forma de las figuras.

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Orientaciones didรกcticas

Orientaciones didácticas

Numeración En la página 13, pueden leer más acerca del aprendizaje y la enseñanza del Sistema de numeración escrita.

Páginas 133 a 135. Juego inicial y actividades 1 a 4. Numeración: Descomposiciones numéricas en el contexto del juego de las tarjetas con puntajes. Análisis del valor posicional.

El conjunto de actividades que se presentan en estas páginas –como también en las siguientes– apuntan a analizar los números para poner de relieve su organización, el significado multiplicativo de cada cifra según la posición que ocupa, la relación de los valores entre posiciones contiguas y no contiguas de una escritura numérica. Estas relaciones alimentarán la comprensión del funcionamiento de los números en los cálculos y, recíprocamente, el avance de los conocimientos sobre las operaciones enriquecerá la comprensión de los números. El juego inicial de la página 133, propone una ocasión para que las y los alumnos pongan en juego composiciones de un número a partir de una cantidad de dieces, cienes, miles, etc. Esta cantidad aparece expresada en una multiplicación por los diferentes agrupamientos que organizan las escrituras numéricas. Es importante jugar varias veces para que se familiaricen con estos cálculos. El análisis posterior permitirá vincular las tarjetas recogidas con el número del puntaje obtenido. Se podría vincular –en este momento o en otra discusión durante el trabajo dentro del capítulo– la posición en el número que corresponde a un valor de las tarjetas, la cantidad de tarjetas de un valor con la cifra que ocupará ese lugar, la suma de los totales obtenidos con cada tipo de tarjeta con la composición del número, qué sucedería si tuviéramos más de 9 tarjetas de un valor, etc. Se apunta a reconocer que la multiplicación expresada en cada tarjeta remite a un valor que es el expresado por las cifras en posiciones determinadas en la escritura numérica. Estas relaciones requerirán también de explicaciones del docente para poder ser identificadas. La actividad 1 remite directamente al cálculo de puntajes en el juego. Un caso particular para analizar es el de la tarjeta de 11 x 1.000. Puede ser una oportunidad para evaluar qué sucede con 10 de cada una de las clases de tarjetas. En este caso, son 10 tarjetas de 1.000 (10.000) y otra tarjeta más de 1.000, o sea, 11.000 en total. En la actividad 2, se trata de completar composiciones de tarjetas posibles para puntajes dados. Las posibilidades para estas composiciones aparecen restringidas porque una parte de ellas es ofrecida como dato: a veces, la cantidad de una clase de tarjetas; otras, la clase de tarjeta. Por ejemplo, para el caso de Antonia, se puede analizar que 5 de 100 no completan los 600 del puntaje, se completan con 10 tarjetas de 10. La actividad“Para pensar entre todos”sugiere que algunas de las descomposiciones propuestas admiten más de una respuesta. Si surgieron en la clase, la o el docente podrá retomarlas; de lo contrario, podrá proponer otras. En todos los casos, se trata de establecer relaciones que permitan concluir la equivalencia de las descomposiciones. Se admite que se puedan jugar con tarjetas que incluyan otras multiplicaciones por 1, 10, 100, 1.000 y 10.000. Por ejemplo, para 38.205 puntos, algunas posibilidades son:

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Orientaciones didácticas 3 x 10.000 + 8 x 1.000 + 2 x 100 + 5

2 x 10.000 + 18 x 1.000 + 2 x 100 + 5

3 x 10.000 + 7 x 1.000 + 12 x 100 + 5 La actividad 3 pide completar con la tarjeta que falta para formar un puntaje. Esto requiere calcular las tarjetas dadas, establecer la diferencia con el total y con qué tarjeta se formaría. Por ejemplo, para el puntaje de Silvia (94.240), es necesario identificar que faltan los 90.000, con qué tarjetas se podría formar y con cuántas de esa clase. Para el puntaje de Daniel (53.037), faltan 10.000 puntos que pueden formarse con 1 tarjeta de 10.000 o con 10 de 1.000. Si se pudiese disponer de cualquier cantidad de tarjetas, sería posible formar esa diferencia con 100 de 100, etcétera. La actividad “Para pensar entre todos” se propone para analizar la relación entre el significado de cada cifra del puntaje en relación con los agrupamientos del sistema de numeración. Se trata de identificar que, en 9.106, el 9 significa 9 de 1.000 o 90 de 100 (porque cada 1.000 se forman con 10 de 100), etc.; el 1 significa 1 de 100, 10 de 10 o 100 de 1. Página 136. Actividades 5 a 7. Numeración: Descomposición multiplicativa. Análisis del valor posicional.

Las actividades 5 y 6 requieren movilizar descomposiciones ya de manera descontextualizada. Si estas relaciones resultaran difíciles, se puede apelar al contexto del juego de las tarjetas para pensar esas descomposiciones como el cálculo de puntajes que allí tenía lugar. La actividad 7 asume directamente el cálculo por 10, 100, 1.000, etc. Se trata de identificar ese cálculo con el de la cantidad de tarjetas de ese valor y de asumir cómo se transforma el número al hacerlo 10 veces, 100 veces, etc., dado que los números escritos están organizados en agrupamientos de 10. Este es el núcleo del análisis que se propone en la actividad “Para pensar entre todos”. La o el docente podrá ayudar con sus explicaciones a que sus alumnas y alumnos identifiquen estas relaciones (Pueden leer más en Acerca del aprendizaje y la enseñanza del Sistema de numeración escrita de la página 13). Página 137. Actividades 8 a 11. Numeración: Descomposiciones numéricas. Análisis del valor posicional.

Estas actividades apelan a las relaciones de orden. Se pide comparar y ordenar números escritos para lo cual se espera movilizar criterios (basados en la cantidad de cifras y en la posición de las cifras de números con la misma cantidad de dígitos) que han construido para intervalos con números naturales más pequeños. Si para todo el grupo o para algunos alumnos, el tamaño de los números planteara una dificultad muy grande, la o el docente podrá proponerles resolver la misma actividad con números con menor cantidad de cifras y tratar de que identifiquen allí los criterios que utilizan para analizar cómo juegan también cuando se trata de números mayores. (Pueden leer más en Acerca del aprendizaje y la enseñanza del Sistema de numeración escrita de la página 13).

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Orientaciones didácticas Actividades extra - Capítulo 1 - Numeración

Si la tarea de transformar un número en otro a partir del análisis del valor posicional de las cifras que lo componen resultara compleja, es posible plantear tareas que involucren esas mismas relaciones con números menores, como por ejemplo, la que se propone a continuación: • De a una cifra por vez: Se trata de alcanzar el número de llegada cambiando solamente de a una cifra a la vez.

En el óvalo, registren el cálculo que anotarían en la calculadora; y en el rectángulo, el número obtenido.

526

859

En esta tarea el docente podría ayudar planteando, por ejemplo, cómo cambiar el 5 en 8 es decir, pasar de 500 a 800, etcétera. Podrían resolver uno todos juntos con el maestro y luego otros solos. Un aspecto que hay que identificar después es cómo se transforma cada cifra en la de su mismo orden que aparece en el número final. El núcleo por identificar con los alumnos reside en poner en relación el valor de cada cifra según su posición y el vínculo de cada cifra del número de partida con su correspondiente en el número de llegada.

Además de plantear otros similares, se podría apelar a la resta, como por ejemplo, en esta cadena:

526

105

Una tarea similar podría proponerse con números con mayor cantidad de cifras, como por ejemplo:

7.028

3.003

También, podría plantearse alguna cadena donde debieran combinar sumas y restas para poder modificar de a una cifra por vez y alcanzar el número de la derecha.

526

614

Un aspecto que podrá analizarse con todos es que, componiendo todas las transformaciones realizadas al número de partida, tenemos la diferencia o distancia entre el número de llegada y el de partida.

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Orientaciones didácticas Operaciones En la página 14, pueden leer más acerca del aprendizaje y la enseñanza de las Operaciones.

Páginas 138 y 139. Actividades 12 a 21. Operaciones: Problemas de suma y resta. Resolución de problemas que refieren a unir, agregar o quitar cantidades.

Estos problemas corresponden a diferentes sentidos de la suma y de la resta, refieren a acciones como unir, agregar, quitar o buscar complementos. La intención es que puedan retomar el trabajo realizado en años anteriores con problemas del campo aditivo y avanzar en el reconocimiento de estas operaciones como herramientas para resolverlos. Del mismo modo, seleccionar los procedimientos de cálculo que consideran más conveniente, por ejemplo, en los casos que hay que sumar o restar números redondos se espera que puedan recuperar resultados disponibles en memoria o realizar cálculos mentales; en otros casos, que recurran al algoritmo. Estas decisiones estarán condicionadas por las experiencias que cada alumno y alumna haya tenido con estos problemas y con los procedimientos para resolver sumas y restas, de tal manera consideramos que es un asunto de la enseñanza que todos puedan hacerlas avanzar. Parte del trabajo colectivo, entonces, podrá estar dedicado a las operaciones seleccionadas para cada caso, pero también, resultará una instancia valiosa para reflexionar respecto a los diferentes procedimientos que se emplearon. En los casos que la información se presenta en tablas, se pretende que se instalen como objeto de análisis; por ejemplo, para la actividad 12, se podrán introducir intervenciones como “¿Qué información se incluye en la primera fila? ¿Y en la segunda? ¿Y en cada columna? Si necesito saber la cantidad de alumnos que asistió a básquet en 2019, ¿adónde hallo esa información?”. Si surge el empleo del algoritmo en todos los casos, un aspecto interesante para introducir en la clase podrá estar vinculado al análisis de los números que intervienen para decidir qué estrategias resultan convenientes (aspecto que para los algoritmos no resulta necesario). Por ejemplo, para resolver 999 + 802, quizá, puede convenir hacer 1.000 + 800 + 1, es decir, usar cálculos mentales ante la posibilidad de apoyarse en números redondos cercanos a los números que allí intervienen. Los problemas referidos a la búsqueda de complementos, es decir, ¿cuánto le falta a para llegar a ? (como las actividades 13 y 14) suelen resultar complejos para los alumnos, ya que involucran hallar la distancia o la diferencia entre dos números. Si bien la herramienta canónica para resolverlos consiste en hacer una resta, en muchos casos, pueden apoyarse en la suma, es decir, buscar el sumando desconocido, “Cuánto le tengo que sumar a... para llegar a...“. En varias situaciones cotidianas, como, por ejemplo, dar un vuelto de dinero, solemos resolver de esta manera: Para averiguar cuánto le falta a $748 para llegar a $800, en lugar de hacer 800 – 748, por lo general, decimos “setecientos cuarenta y ocho y dos es setecientos cincuenta, luego setecientos cincuenta y cincuenta es ochocientos, entonces le falta cincuenta y dos”. La actividad 15 permite volver al trabajo con tablas de doble entrada, pero ya no como medio para presentar la información, sino también, para completarlas, es decir, trabajar sobre ellas. Posiblemente, requiera volver a introducir intervenciones respecto a su organización y la lectura de los datos organizados en este formato para luego avanzar sobre las herramientas que permiten completarlas.

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Orientaciones didácticas Las actividades 16 a 21 refieren a cantidades que se transforman. Es sabido que la complejidad de este tipo de problemas está dada, entre otras cuestiones, por el lugar en el que se halla la incógnita (si hay que obtener el estado inicial, la transformación o el estado final, estos últimos suelen ser los que menos dificultad presentan). Aprovechando la consigna del “Para pensar entre todos”, podrán reflexionar acerca de los casos en que emplearon la suma o usaron la resta como herramientas de resolución, como así también, cuáles de las variantes que presentan estos problemas les resultan más complejas (por ejemplo, problemas de hallar lo que tenían antes de agregar o quitar, como las actividades 19 y 20). Páginas 140 y 141. Actividades 22 a 27. Operaciones: Construcción y sistematización de repertorios de sumas y restas. Resolución de sumas y restas mediante diferentes estrategias. Estudio de las propiedades de la suma y de la resta.

Los conocimientos diversos de los alumnos respecto a la suma y a la resta, también, estarán marcados por los repertorios de cálculos que dispongan. Algunos, a lo mejor, puedan resolver una amplia variedad de cálculos apelando a la memoria o con números de distintos tamaños, como, por ejemplo: • sumas y restas de dígitos (1 + 2, 3 + 4, 6 – 2, 9 – 4). • sumas y restas con “números redondos” (10 + 20, 30 + 40, 60 – 40, 100 + 200, 6.000 – 4.000). • sumas y restas que dan 10, 100, 1.000 (7 + 3, 14 – 3, 20 + 80, 140 – 40, 800 + 200, 1.345 – 345). • sumas y restas que dan otros “números redondos” (17 + 3, 360 + 40, 3.600 – 1.200). • sumas de “miles”,“cienes” y “dieces” (2.000 + 300 + 40). Y otros, quizá, para hacerlo necesiten apoyarse en portadores o en alguna información que aporte el enunciado, por ejemplo,“sabiendo que 40 + 30 = 70, resolver 4.000 + 3.000, 4.300 + 3.400, etc.”. Estas variables y recursos estarán entre las opciones con las que cuenta el docente para trabajar en estos contenidos de acuerdo con las realidades que identifique en el aula en relación con ellos. En la actividad “Para pensar entre todos”, se propone que, de manera paralela o posterior al trabajo con los cálculos de las actividades 22, 23 y 24, elaboren un cuadro que pueda funcionar como portador para el aula (por ejemplo, considerando en cada columna los distintos “tipos” de cálculos que se mencionan arriba), como así también, propiciar que identifiquen relaciones entre ellos (por ejemplo, 20 + 80 me sirve para resolver 200 + 800, 2.200 + 8.800, etc.; a partir de 5.000 + 6.000, puedo resolver 11.000 – 5.000 y 11.000 – 6.000, etc.). Cabe aclarar que no se espera que esas columnas se completen a partir de estos dos problemas, sino por el contrario, que sea parte de un recorrido que abarque todo el capítulo o lo trascienda, a la vez que cada vez que se necesite se pueda volver a él. Estos problemas son ejemplos de las decisiones que puede requerir la optimización de los tiempos de enseñanza (Pueden leer más en Enseñanza de la Matemática en contextos de excepcionalidad y diversidad de la página 4), ya que se asume que el trabajo vinculado a la sistematización y al reconocimiento de relaciones entre cálculos es una tarea compleja que requiere de interacciones en el aula que vayan propiciando ese reconocimiento. En cambio, las actividades 22 y 23 pueden proponerse como tarea o darse a aquellos grupos en los que la construcción de esos repertorios ya sea un asunto superado, para luego volver a retomarlos con todo el grupo.

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Orientaciones didácticas Puntualmente, la actividad 24 se centra en los cálculos en los que la información que aporta la numeración hablada puede facilitar su resolución. Los nombres de los números de más de una cifra, en general, dan cuenta de las operaciones involucradas en su conformación (que, de acuerdo con la cifra que sea, en algunos casos, se basarán en la multiplicación y la suma, por ejemplo, seiscientos veinte: 6 x 100 + 20; en otros, solo en la suma, veintiséis: 20 + 6; y en otros, en la multiplicación, cinco mil: 5 x 1.000; sabiendo también que otros casos no ofrecen ninguna información, como por ejemplo, quinientos); así por ejemplo, para resolver 1.000 + 300 + 45, algunos alumnos podrán afirmar “Da mil trescientos cuarenta y cinco”. En conjunto, podrán armar un listado de cálculos en los que puedan apoyarse en estas propiedades del sistema de numeración (un buen apoyo para esto son los problemas trabajados en las páginas 136 y 137, tal como lo sugiere la consigna). Las actividades de la página 141 intentan promover el trabajo con diferentes estrategias de cálculo mental, es decir que recurran a las propiedades de las operaciones y del sistema de numeración y a los repertorios de sumas y restas disponibles para obtener los resultados. Las propiedades de la suma y de la resta se introducen con el objeto de que puedan constituirse en herramientas para validar esas decisiones (la o el docente podrá decidir en qué momento introducirlas en el aula, de acuerdo con los avances y las dificultades que vaya identificando con estos procedimientos, incluso, puede proponerlas para algunos grupos mientras trabaja con otros en el reconocimiento de esas estrategias). Página 142. Actividades 28 a 30. Operaciones: Estimación de resultados de sumas y restas.

Los problemas de esta página se ocupan del cálculo estimativo de sumas y restas. Este tipo de estrategias no es una tarea sencilla para las y los alumnos, por un lado, porque por lo general, tienden a obtener directamente el resultado exacto (ya que predomina en los problemas escolares que resuelven) y, por otro, porque requiere disponer de determinados recursos de cálculo mental y repertorios de resultados en los cuales apoyarse. Uno de los contextos cotidianos en los que intervienen estos procedimientos corresponde a las situaciones de compra y venta, como la que propone la actividad 28. Como se ha mencionado, una de las resoluciones podrá consistir en hallar, sumando, el resultado exacto en cada caso, para luego compararlo con los valores solicitados. En tal caso, el/la docente podrá intervenir respecto a la necesidad de ese tipo de respuesta y dar algunos indicios de los cálculos en los que se podrían apoyar para arribar a una respuesta aproximada “¿Si compro un chocolatín de $48 y un chupetín de $41, ¿gasto más o menos que $100? Un alumno dice que no es necesario hacer toda la cuenta, como 50 + 50 = 100, y las dos golosinas valen menos que $50, entonces, no puede haber gastado más que $100”. ¿Es correcto lo que hace? ¿Por qué habrá usado ese cálculo y no el original para responder? ¿Nos sirve esa estrategia para resolver el problema del libro? ¿Por qué? (puede resultar de gran utilidad, también, el cuadro de repertorios que van elaborando a partir de la página 140). Las actividades 29 y 30 refieren al cálculo estimativo, están centradas en los cálculos propiamente dichos. Las tareas propuestas consisten en encuadrar resultados en intervalos dados. De nuevo, se espera que las sumas y restas con números redondos puedan ser los cálculos en los que

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Orientaciones didácticas se apoyen y, así, por ejemplo, podrán anticipar que el resultado de 3.986 + 1.995 es menor que 6.000, ya que 4.000 + 2.000 = 6.000. En estos casos, también, se puede remitir al contexto del dinero para una mayor comprensión y reconocimiento de cálculos posibles. Asimismo, si la/el docente lo considera necesario, podrá iniciar el trabajo con cálculos estimativos con números menores (en los problemas anexos se presentan algunos ejemplos posibles) de tal manera que puedan apoyarse en ellos para luego trabajar con los que se proponen aquí. En estos casos, una intervención interesante tendrá que ver con propiciar que identifiquen las relaciones que se dan entre esas estrategias, más allá del“tamaño de los números involucrados”, por ejemplo, 20 + 40 = 60 resulta útil para anticipar que 39 + 19 dará menos que 60, así como 4.000 + 2.000 = 6.000 resultó de utilidad para el cálculo que se mencionó antes. Actividades extra - Capítulo 1 - Operaciones

En una escuela, están organizando las sillas que necesitarán para los actos de los dos turnos en los que funciona. Anotaron las cantidades en una tabla. Sillas para alumnos

Sillas para familiares

Sillas para docentes

Turno mañana

140

215

Turno tarde

128

220

a. ¿Cuántas sillas necesitan ubicar en total en cada turno? b. ¿Cuántos alumnos tendrán silla en cada uno de los turnos? ¿Y cuántos docentes tendrán sillas?

c. Por falta de espacio, quitaron 35 sillas del sector familiares en el acto del turno tarde. ¿Cuántas sillas quedaron?

Romina, Laura y Camila coleccionan sellos postales y con frecuencia asisten a una feria para comprar o para intercambiarlos.

a. Romina tenía 808 sellos postales guardados en una caja. Agregó 1.500 que compró en una feria. ¿Cuántos sellos postales tiene ahora guardados en esa caja?

b. Laura tenía en su caja 808 sellos. Luego de agregar los que consiguió en la feria, ahora tiene 1.500. ¿Cuántos sellos postales consiguió en la feria?

c. Camila agregó en su caja los 808 sellos que consiguió en la feria. Ahora tiene 1.500 sellos guardados allí. ¿Cuántos tenía antes?

d. Estos chicos cuentan los procedimientos que emplearon en cada caso. Indiquen a cuál enunciado se refiere cada uno y comparen esas resoluciones con las que propusieron ustedes.

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Orientaciones didácticas Se trata de averiguar lo que tenía antes de agregar los sellos. Lo resolví haciendo 1.500 – 808.

Hay que obtener la cantidad que agregó a la caja. Hice 1.500 – 808.

Hay que obtener la cantidad que queda al final, es decir, luego de agregar los sellos a la caja. Hice 1.500 + 808.

Resuelvan estos cálculos. Pueden ayudarse con los cálculos que están en el recuadro. 4+5=9

40 + 50 = 90

90 – 40 = 50

90 – 50 = 40

400 + 500 =

4.000 + 5.000 =

4.500 – 5.400 =

400 + 600 =

5.000 + 4.400 =

9.000 – 5.000 =

5.000 + 400 + 40 =

9.000 – 4.000 =

9.000 – 5.500 =

Resuelvan estos cálculos.

600 + 40 + 800 + 60 =

400 + 7.500 + 600 + 2.500 =

450 + 360 + 150 =

985 – 200 – 185 =

Sin hacer toda la cuenta, rodeen el número que consideran que es el más cercano al resultado de cada cálculo dado. Los cálculos que están en el recuadro les pueden resultar de utilidad, luego verifiquen con una calculadora. 30 + 40 = 70

30 + 50 = 80

300 + 400 = 700

39 + 50 =

292 + 501 =

900

800

700

304 + 489 =

800

900

700

79 – 40 =

701 – 306 =

200

300

400

800 – 498 =

200

300

400

300 + 500 = 800

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Orientaciones didácticas 6

Antes de resolver cada cálculo, marquen con una X en el casillero que consideran que debe ir el resultado. Cálculos

Menor que 1.000

Entre 1.000 y 1.200

Mayor que 1.200

578 + 509 = 298 + 615 = 1.300 – 397 =

b. Resuelvan los cálculos para verificar y compartan las estrategias que emplearon para señalar en cada caso.

c. Francisco afirma que las sumas y restas entre cienes le resultaron de utilidad. Por ejemplo, para 578 + 509, le sirvió saber que 500 + 500 = 1.000. ¿Ustedes también se apoyaron en esos cálculos? ¿O en otros? Escriban en la carpeta las estrategias que emplearon para estimar estos resultados.

Geometría En la página 19, pueden leer más acerca del aprendizaje y la enseñanza de la Geometría.

Página 143. Actividad 31. Geometría: Copiado de figuras con circunferencias. Uso del compás.

Antes de iniciar la resolución de problemas geométricos, en particular los de copiados de figuras, la o el docente podrá ofrecer a los alumnos un tiempo para reconocer el compás, explorar su uso, trazar algunos dibujos, pensando en que, para la mayoría de los niños será un instrumento novedoso porque tal vez las aproximaciones al trabajo geométrico hayan sido escasas o nulas teniendo en cuenta la situación que atravesamos. En la actividad 31a, se propone copiar una figura con circunferencias, tarea para la cual no será necesario tener un estudio previo de la circunferencia ni su definición. Los alumnos, quizá, usen denominaciones como redondel, línea redonda, etc. Si bien para realizar la copia no será necesario que los alumnos dispongan ni de la definición de circunferencia ni de sus elementos, estos comenzarán a surgir cuando intenten describir las figuras que la componen. El docente podrá conversar con los alumnos, antes de iniciar la resolución, e indagar las experiencias acerca de copiar una figura en matemática. Tal vez, han tenido o no diferentes oportunidades de realizar esta tarea en años anteriores, por lo que se podrá explicitar que: “Para copiar una figura en Matemática, la copia debe quedar exactamente igual a la original de forma que, al superponerlas, queden idénticas. Cuando dos figuras se pueden superponer “justito”, decimos que son la misma figura”. Más allá de la comprobación empírica de la superposición, la copia se podrá validar con el conteo de cuadraditos aprovechando la hoja cuadriculada o, para los que hayan tenido alguna experiencia previa, apoyándose en los elementos y definición de circunferencia.

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Orientaciones didácticas Algunos procedimientos posibles: • intentar copiar la figura a mano alzada. • utilizar el compás, pero sin prever la medida del radio o utilizando como abertura el diámetro de la circunferencia. • explorando la figura, lograr utilizar el compás correctamente después de identificar centro y radio sin explicitar aún estos elementos, o sí. La actividad 31b ya no pide un copiado idéntico como en la anterior, sino una ampliación de la figura, pero conservando la forma. Se trata de “poner una lupa” sobre el dibujo; la forma no se modifica, pero sí el tamaño, es decir que los elementos que componen la figura conservan entre sí la misma relación. En este caso, al duplicar el segmento PL, se duplicará también el radio de las circunferencias y el contorno o perímetro. La puesta en común del problema resuelto podrá ser una buena oportunidad para generar avances en aquellos que no hayan logrado copiar las figuras con las condiciones pedidas y también para comenzar a identificar y a definir la circunferencia y sus elementos. Estos se explicitarán y podrán analizarse con todo el grupo en la página siguiente. Además, se podrá confeccionar un cartel para el aula. Página 144. Actividad 32. Geometría: Elementos y características de circunferencias y círculos.

La intención de la actividad 32 es reutilizar lo trabajado y conversado en el problema anterior, para realizar construcciones con compás a partir de consignas dadas, en las que tendrán que tener en cuenta los elementos de la circunferencia: centro y radio. Para el contexto presentado, que puede ser familiar para los alumnos, ya que se trata de una plaza, será necesario tener en cuenta, antes de comenzar con la tarea, que se hace referencia a un plano. Posiblemente, pensando en las condiciones particulares del año anterior, los niños no hayan tenido la posibilidad de resolver problemas relacionados con espacio, especialmente, con planos. Entonces, se sugiere comenzar indagando cuáles son los diferentes conocimientos que tienen sobre este contenido: elaboración e interpretación de planos. Asimismo, la idea de escala incluida en la elaboración de planos No estamos pensando en que profundicen en el tema en este momento, pero sí que realicen algún acercamiento, ya que para muchos será su primera aproximación al contenido. Este problema incluye también el concepto de círculo. Algunos procedimientos posibles: • marcar algunos de los puntos pedidos sin identificar que pueden utilizar el compás para marcarlos todos. • identificar la circunferencia como el conjunto de puntos que cumple las condiciones pedidas. • no identificar que los puntos que cumplen la última condición, el borde de las fuentes en las esquinas, se trata de un cuarto de circunferencia y círculo e intentar marcar con la regla los puntos pedidos. • identificar, en el caso anterior, que se trata de la circunferencia, pero dibujarla completa. En la actividad“Para pensar entre todos”, se propone volver al plano para identificar las circunferencias. Será un buen momento para que explicitar y reflexionar sobre las ideas que circularon,

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Orientaciones didácticas por ejemplo, que el trazado de la circunferencia para marcar todos los puntos que están a una misma distancia de un punto determinado es la estrategia más conveniente para que no queden puntos sin marcar. Páginas 145 y 146. Actividades 33 a 38. Geometría: Copiado y construcción de figuras. Uso del compás. Puntos que cumplen ciertas condiciones. Construcción de triángulos a partir de los lados. Propiedad triangular.

En los problemas de esta página, la intencionalidad es poner el foco en la utilización del compás como instrumento para trasladar y comparar las medidas de segmentos. La actividad 33 es el punto de partida sobre otros usos del compás: medir, trasladar o comparar medidas. Sería interesante que los alumnos puedan realizarla en la presencialidad, ya que invita a la exploración, discusión y comparación con otros. Puede traer ciertas dificultades, como por ejemplo, no saber por dónde comenzar para marcar el primer segmento, el origen, “donde pinchar”. Tener el cuidado de iniciar el segundo segmento justo donde termina el primero, etcétera. En la actividad 34, podrán volver a pasar por ambos usos del compás para realizar esa copia, el trazado de la circunferencia y el traslado de segmentos para marcar los lados del triángulo. Se suma el pedido de escribir los pasos que realizaron. Toda tarea que implique comunicar, en forma oral o escrita, tiene una complejidad mayor que otras en las que solo hay que resolver, ya que implica volver a pensar lo realizado, ponerlo en palabras usando cierto vocabulario matemático y expresarlo de forma tal que otro pueda entenderlo. En la construcción de segmentos y circunferencias de la actividad 35, se inicia el camino hacia la construcción de triángulos a partir de los lados. Luego de la puesta en común, se podrá comenzar a compartir ideas sobre este aspecto de la construcción de triángulos para continuar reinvirtiéndolas en las actividades 36 y 37. Nuevamente, en estos problemas, la dificultad podría estar en cómo iniciar la construcción. Algunos estudiantes podrán dibujar uno de los segmentos con la regla y, para trazar los otros dos, en lugar de utilizar el compás para medirlos y trazar las circunferencias en cada extremo del segmento anterior, intentar aproximar con la regla su medida, a través del ensayo y el error hasta que coincidan ambos segmentos. Si bien se puede considerar un procedimiento válido, se espera que, progresivamente, las y los alumnos puedan identificar la ventaja del uso del compás para esta tarea. En la actividad 36, la intencionalidad está en poner el foco en la condición de constructibilidad de un triángulo usando la medida de tres segmentos para los lados. Se espera que, a través de la prueba, del ensayo, puedan explicitar que no se puede construir porque “no cierra” y, entonces, comenzar a pensar en esta condición. En la actividad “Para pensar entre todos”, podrán reflexionar y explicitar la propiedad entre todos y escribir las conclusiones pedidas con sus palabras. Actividades extra - Capítulo 1 - Geometría

Para ofrecerles a aquellos alumnos que, por diferentes motivos, necesitan resolver problemas sobre los asuntos de la geometría que es necesario que tengan disponibles al iniciar los problemas

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Orientaciones didácticas de este capítulo o para volver a pasar por los conceptos tratados más relevantes para seguir avanzando en su construcción.

En cada caso, ¿cuál de los dos dibujos corresponde al mensaje? Escriban el mensaje que correspondería al dibujo descartado. Comparen con algún compañero si escribieron el mismo mensaje. Si son diferentes discutan si ambos son válidos.

a. Una circunferencia de radio 2 cuadraditos.

b. Una circunferencia de radio 2 cuadraditos y otra circunferencia con el mismo centro de radio 3 cuadraditos.

Dibujen las circunferencias que tienen estos segmentos como radio usando el compás.

• Comparen con otro compañero si les quedaron iguales. ¿Cómo se puede verificar con el compás si las circunferencias quedaron del mismo tamaño?

Copien el dibujo de forma que quede igual al original. Intenten explicar cómo se dieron cuenta que salió bien.

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Orientaciones didácticas

Operaciones En la página 14, pueden leer más acerca del aprendizaje y la enseñanza de las Operaciones.

Páginas 147 y 148. Juego inicial y actividades 39 y 40. Operaciones: Multiplicaciones. Construir y utilizar la tabla pitagórica para resolver multiplicaciones. Explorar relaciones entre productos.

El juego que inicia el Capítulo 2 involucra obtener y completar productos en la tabla pitagórica. Este cuadro de doble entrada presenta los productos hasta 10 x 10 y constituye un interesante portador para trabajar y propiciar tanto la sistematización de resultados de multiplicaciones (y divisiones) como la identificación de relaciones entre ellos y las propiedades que están bajo ellas. Si bien, en el segundo ciclo, suele emplearse con frecuencia en el trabajo con la multiplicación las circunstancias actuales, posiblemente, lleven a contemplar propuestas que permitan recuperar esas experiencias e, incluso, presentarla (se proponen algunos problemas al respecto como anexos y, también, en las fichas de estudio). Se pretende que las y los alumnos puedan acudir a resultados de multiplicaciones disponibles en memoria, y a la vez, que puedan apoyarse en relaciones entre ellos en el caso de que no los tengan presente. Es así que algunos de los procedimientos que pueden surgir en las jugadas pueden ser, por ejemplo, si salen las tarjetas 4 y 6: • obtener el producto (recuperándolo de memoria o recorriendo “la tabla”: 4 x 1, 4 x 2, hasta 4 x 6) y completar solo el casillero de 4 x 6. • reconocer que, debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación (aunque no la designen así), los resultados se repiten, entonces, con esas tarjetas, puedo completar 4 x 6 y 6 x 4. • disponer en memoria otras multiplicaciones cuyo resultado sea también 24. • apoyarse en otras multiplicaciones conocidas, por ejemplo, si 2 x 6 = 12, entonces, 4 x 6 es dos veces 12, hacer 12 + 12, etcétera. Posteriormente, podrán compartir las estrategias empleadas, el o la docente podrá colaborar introduciendo algunas para que puedan ser tenidas en cuenta en nuevas jugadas. En la página 148, en las actividades 39 y 40, se proponen problemas que remiten a este juego, a la vez que se trabaja con el completamiento de toda la tabla pitagórica (se menciona de nuevo que, quizá, algunos grupos requieran otros problemas que les permita profundizar este asunto). Cabe mencionar que, si bien los productos que propone la actividad 40 están en la tabla pitagórica, también, corresponden a otras multiplicaciones que podrán ser propuestas por las y los alumnos (dependiendo de los conocimientos que dispongan sobre estos cálculos), por ejemplo, 2 x 12 = 24. El contexto del dinero puede ser otro punto de apoyo para que surjan nuevos cálculos, más allá de los que se incluyen en la tabla, por ejemplo, reconocer que 100 = 2 x 50 = 5 x 20 (pensándolo como 2 billetes de $50, 5 billetes de $20, etc.). Estos ejemplos dan cuenta de que muchos problemas pueden ser propuestos sucesivas veces en el aula, de tal manera que las y los alumnos identifiquen sus avances respecto a nuevos conocimientos que pueden ir reconociendo e incorporando como herramientas de solución.

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Orientaciones didácticas A partir de la actividad “Para pensar entre todos”, se propone sistematizar algunas relaciones entre productos, algunas de las cuales podrán ser reconocidas a partir de lo realizado en estos problemas y en el juego. La o el docente podrá tomar diferentes decisiones respecto a estas proposiciones, por ejemplo, puede dividir el aula en pequeños grupos y entregarle una a cada grupo de tal manera que analicen su verdad o falsedad y, luego, la compartan con el resto; recorrerlas de manera conjunta; escribirlas en el pizarrón y que cada grupo proponga otros ejemplos o los relacione con lo que han realizado en los otros problemas; etc. Pueden armar un cartel con consejos para completar la tabla pitagórica que podrá servir también de referencia para el estudio de las propiedades de la multiplicación que se propone a continuación. Páginas 149 y 150. Actividades 41 a 46. Operaciones: Resolución de multiplicaciones mediante diferentes estrategias. Estudio de las propiedades de la multiplicación. Construcción de un repertorio de multiplicaciones con números redondos.

Uno de los propósitos de la enseñanza de la Matemática en el segundo ciclo está relacionado con propiciar avances en los modos de hacer y producir conocimientos y en las posibilidades para validarlos. En este sentido, se propone, a partir de las producciones de los alumnos, introducir aspectos internos (como las propiedades de las operaciones) que hacen a su funcionamiento. Las actividades de estas páginas están destinadas a la exploración y formulación de las propiedades de la multiplicación. A partir de las resoluciones y de la información que presentan las actividades 41 y 42, se intenta que puedan reconocer y explicitar las propiedades que están bajo ellas. El o la docente podrá propiciar la construcción de un cartel para el aula y a la vez podrá retomar el trabajo realizado con las propiedades de la suma y de la resta realizado a partir de los problemas de la página 141 (por su mayor complejidad y debido a que se introduce con la multiplicación, quizá, la propiedad distributiva requiera especial atención y tratamiento). De acuerdo con las dificultades que las y los alumnos tengan con estas estrategias de cálculo mental, también, podrá organizar el aula incorporando la identificación y explicitación de las propiedades en aquellos grupos que mayores avances tengan, y dejar esta tarea para instancias posteriores con aquellos que requieren seguir interactuando con diferentes estrategias y repertorios de multiplicaciones. Estas decisiones podrán ser implementadas para la propuesta del “Para pensar entre todos”. Las actividades de la página 150 se ocupan del cálculo con multiplicaciones en las que intervienen“números redondos”, que resultan de suma importancia tanto para avanzar en la construcción de otras estrategias de cálculo mental como para interpretar y resolver mediante el algoritmo. Las y los alumnos suelen identificar la posibilidad de resolver el cálculo “quitando los ceros”, así, para hallar el resultado de 5 x 80, dicen “Hago cinco por ocho y, luego, le agrego tantos ceros como haya”, lo que les permite, de inmediato, completar 5 x 800, 5 x 8.000… Más allá de la utilidad de estos recursos, resultará un asunto de la enseñanza propiciar que se identifiquen las razones por las cuales estas técnicas funcionan y que, progresivamente, empleen las propiedades de la multiplicación y del sistema de numeración para validarlas. En este sentido, un interesante punto de apoyo puede resultar lo trabajado y estudiado en el Capítulo 1 acerca del valor posicional y las operaciones que subyacen al sistema de numeración (la instancia del para pensar entre todos se ocupa explícitamente de estas relaciones). Las descomposiciones de los números podrán ser un recurso para identificar las regularidades que se presentan en estos cálculos, tal como lo promueven las resoluciones que se introducen en la página. El o la docente podrá acompañar este análisis

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Orientaciones didácticas con los carteles que hayan elaborado con las propiedades de la multiplicación y las conclusiones a las que hayan ido arribando respecto al trabajo con los números. Página 151. Actividades 47 y 48. Operaciones: Multiplicaciones. Diferentes estrategias para obtener resultados exactos y aproximados de multiplicaciones.

A partir de que las y los alumnos hayan interactuado y aprendido diferentes estrategias de cálculo con multiplicaciones y tengan un cierto dominio de los resultados que están en la tabla pitagórica y de las multiplicaciones con números redondos, se propone que revisen, exploren y/o se introduzcan en el trabajo con los algoritmos de la multiplicación que, al igual que lo mencionado con otros contenidos, podrá resultar una instancia novedosa, de revisita, solo de práctica, etc., de acuerdo con las trayectorias y conocimientos que se presenten en el grupo (aquí puede resultar una estrategia interesante distribuir los problemas de acuerdo con los niveles de conocimiento: mientras algunos continúan con diferentes estrategias de cálculo y repertorios multiplicativos, otros exploran el algoritmo de la multiplicación; por supuesto, en el caso de que sea necesario y contemplando nuevas instancias para todo el grupo). En el trabajo colectivo con la actividad 47, es importante que la o el docente propicie la comparación de las diferentes escrituras de los productos intermedios y las razones por las que esos diferentes procedimientos resultan equivalentes. A la vez que se podrán introducir ejemplos que permitan reflexionar la necesidad de acudir o no a un procedimiento como los que se presentan allí, por ejemplo, “Los niños resolvieron de esas maneras el cálculo 12 x 26, ¿les hubiera convenido realizar esos procedimientos si el cálculo fuera 10 x 20? ¿Por qué?”. Uno de los errores que suelen aparecer en el algoritmo tradicional (como el que realiza Felipe) consiste en que algunos suman “el número que se llevan” al número que van a multiplicar, en lugar de sumarlo al producto. En el caso de Felipe, hacen “uno más uno que llevé es dos, entonces, seis por dos es doce”. Estos errores son interesantes para analizarlos de manera colectiva (también, podrá ser el/la docente quien los introduzca) de tal manera que propicien la reflexión. Una intervención posible puede ser remitir a algún contexto en el que se requiera de ese cálculo, por ejemplo, “Martín compró 12 chocolatines a $26 cada uno, ¿cuánto gastó?”. Este caso permite preguntar –luego de plantear ambas resoluciones en el pizarrón– ¿en qué se modifica la situación? ¿Se mantiene igual la cantidad de chocolatines? La intención es que identifiquen que, más allá de que el resultado no es el correcto, también, cambia el problema, ya que ahora Martín tiene 22 chocolatines y no 12, como el problema planteado. Otro de los asuntos importantes tiene que ver con identificar las razones por las cuales hay que “dejar un lugar”, tal como lo solicita la actividad 47b. La comparación con los otros procedimientos y el análisis del valor posicional de cada una de las cifras que se multiplican podrá contribuir al respecto (tarea que requerirá de un prolongado trabajo), a la vez que resultará importante instalar en el aula la posibilidad de que, al igual que con los algoritmos de las otras operaciones, puedan convivir diferentes escrituras (con los ceros, dejando un lugar, etc.). La actividad 48 se ocupa del cálculo estimativo de multiplicaciones, para el que caben las mismas consideraciones que lo expresado en el Capítulo 1 sobre estas estrategias con sumas y restas. La resolución que se introduce en la consigna puede ser un interesante punto de apoyo para propiciar estos reconocimientos, a la vez que se podrá retomar lo realizado en el capítulo anterior

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Orientaciones didácticas dando cuentas de la importancia de ciertos cálculos, como por ejemplo, en los que intervienen números redondos. Estas cuestiones podrán ser sistematizadas a partir de las sugerencias que solicita elaborar en la actividad “Para pensar entre todos”. Actividades extra - Capítulo 2 - Operaciones

Completen estas porciones de la tabla pitagórica. ¿Qué relaciones encuentran entre los diferentes resultados? x

Resuelvan estos cálculos de la manera que consideren conveniente.

2 x 8 x 5 =

4 x 3 x 5 =

3 x 2 x 3 x 4 =

5x4x8=

• Martín dice que las multiplicaciones que dan “números redondos”, como por ejemplo, 2 x 5 = 10 y 4 x 5 = 20, les resultaron de utilidad para resolver de manera más fácil estos cálculos. ¿Por qué habrá empleado esa estrategia?

De a dos, completen la tabla. x

200

100

700

900

7.000

9.000

400 5.000

1.000

Con la ayuda de la tabla anterior, completen estas nuevas tablas. x

300

20 x

600

100

120

1.500

2.700

• Compartan con el resto de la clase cómo usaron la primera tabla para resolver la segunda.

Resuelvan estas multiplicaciones.

4 x 60 =

4 x 600 =

40 x 60 =

3 x 20 =

300 x 2 =

30 x 20 =

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Orientaciones didácticas • Lucía dice que los resultados que están en la tabla pitagórica les sirvieron también para estos cálculos, por ejemplo, “el resultado de 4 x 6 le sirvió para resolver 4 x 60, 4 x 600”. ¿Por qué razón afirmará eso?

Resuelvan estos cálculos de la manera que consideren conveniente. Pueden consultar los resultados que están en la tabla pitagórica. 12 x 8 =

24 x 3 =

15 x 5 =

Antes de resolver, indiquen cuál consideran, de los tres números dados, que es el resultado. En los dos primeros casos, les aportamos un cálculo que les puede resultar útil; en los dos últimos, ustedes escriban el o los que los ayudaron. Luego, verifiquen resolviendo mediante el procedimiento que consideren mejor.

a. 30 x 9 = 270

28 x 9 =

192

252

302

b. 6 x 70 = 420

6 x 72 =

432

382

502

5 x 42 =

180

210

320

61 x 8 =

308

508

488

Numeración En la página 13, pueden leer más acerca del aprendizaje y la enseñanza del Sistema de numeración escrita.

Páginas 152 y 153. Actividades 49 a 54. Numeración: Descomposiciones numéricas. Análisis del valor posicional.

Esta serie de problemas requerirá, primero, que se converse con toda la clase sobre el contexto, sobre las imágenes. Es necesario que los alumnos comprendan la agrupación de etiquetas que se realiza en el embalaje. Se podría resolver entre todos y anotar la cantidad de etiquetas contenidas en una plancha, en un sobre y en una cajita. Incluso, podrían resolver oralmente problemas sencillos, cómo cuántas etiquetas hay en… planchas; cuántas etiquetas hay en… sobres, etcétera. La actividad 49 requiere identificar los agrupamientos de a 10, 100, etc., que pueden armarse con una cantidad de etiquetas. En efecto, la venta de 112 etiquetas, por ejemplo, como siempre se efectúa con el mayor agrupamiento posible, se realiza con un sobre, una plancha y dos etiquetas sueltas. Esta tarea requiere un análisis del número en términos de cuántas veces 100, cuántas veces 10, cuántas veces 1 están contenidas en él, ya que estas son las cantidades que corresponden a los diferentes embalajes. Como extensión, se podrían proponer otras cantidades de etiquetas de esa cantidad de cifras. La actividad 50 apela a las mismas relaciones con números de 4 y 5 cifras. La actividad 51 hace intervenir unas cajas más grandes que agrupan 10 cajitas de 1.000 etiquetas. Será necesario retomar el contexto, la cantidad de etiquetas contenidas en cada cajita y conversar sobre el agrupamiento de 10 de esas cajitas, qué cantidad de etiquetas involucra. En esta explicación, se podría retomar la actividad 50b y preguntar cómo se podrían haber enviado las etiquetas a las empresas usando cajas grandes de ese tipo.

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Orientaciones didácticas La actividad 52, por un lado, apela a identificar la cantidad que se forma haciendo 10 veces 10.000 y, por otro lado, se podrá reconocer entre todos que los remanentes que no completaron una caja grande es una información adicional que no interviene en lo que se trata de averiguar. Estas relaciones que vamos mencionando como asuntos que hay que reconocer en los conocimientos que intervienen para resolver las tareas podrán ser retomados por el docente en momentos de análisis colectivos. La actividad 53 requiere componer la cantidad de etiquetas que se forman con 36 etiquetas sueltas, 17 planchas, 30 sobres y 16 cajitas. Se puede hacer por separado sumando todas las que se forman: 16 cajitas son 16 x 1.000 = 16.000 etiquetas 30 sobres son 30 x 100 = 3.000 etiquetas 17 planchas son 17 x 10 = 170 etiquetas 16 000 + 3.000 + 170 + 36 Pero también, se podría resolver reagrupando. Por ejemplo: 36 sueltas son 3 planchas y 6 sueltas. Tenemos, entonces, 20 planchas, o sea, 2 sobres. La cantidad de etiquetas en 32 sobres equivale a la cantidad de etiquetas en 3 cajitas y 2 sobres, o sea, 19 cajitas. La cantidad total para componer son las etiquetas de 19 cajitas, 2 sobres, 6 sueltas. La actividad 54 requiere pensar cuántas veces 10 está contenido en 1.500. Los alumnos podrán resolverlo de diferentes maneras. Se necesita usar la información de cuántas etiquetas hay en una plancha. Podrán intentar sumar de a 10 o de a 100 controlando que se trata de 10 grupos de 10. También, podrían reconocer directamente, con la lectura del número o componiéndolo, que 1.500 contiene 150 veces 10. Se apunta que, además del contexto de las 150 planchas de 10, se reconozca la relación multiplicativa de 150 x 10. Quizá, resuelvan este cálculo apelando a la regla de “agregar ceros”. Será una oportunidad para analizar cómo funciona: Al hacer 100 veces, el 10 (que es hacer 10 veces 100) se convierte en 1.000 y 50 veces el 10 se convierte en 500: 150 x 10 = 100 x 10 + 50 x 10 = 1.000 + 500 = 1.500. Será una ocasión para relacionar multiplicación y división. Al preguntarnos por cuántos grupos de 10 hay en 1.500, puede interpretarse como la división 1.500 : 10, que es lo mismo que preguntarnos por qué número hay que multiplicar a 10 para obtener 1.500: x 10 = 1.500. Este análisis puede realizarse a partir de la lectura del número y del valor de las cifras en cada posición, y se podría reutilizar o extender a otras cantidades de etiquetas u a otros agrupamientos. Por ejemplo, cuántos sobres en un pedido de 2.300 etiquetas, etcétera. El momento de análisis colectivo que se propone en la actividad “Para pensar entre todos”, tras este recorrido de problemas, podría retomar las relaciones entre la cantidad total de etiquetas y sus formas de agrupamientos: en cajas de 10.000, cajitas de 1.000, sobres de 100, planchas de 10 y sueltas. Se trata de vincular el análisis de la escritura del número del total de etiquetas con la forma de componerlo con 10.000, 1.000, 100, 10 y 1. Esto podrá anotarse apelando a multiplicaciones y sumas. Página 154. Actividades 55 a 59. Numeración: Sistema de numeración. Análisis del valor posicional.

Estos problemas retoman las relaciones entre grupos de 10, 100 o 1.000 que componen un número, trabajadas hasta el momento.

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Orientaciones didácticas Se reutiliza la idea de cuántos grupos de... están contenidos en un número. Se espera que el docente pueda ayudar a sus alumnos (que probablemente inicien las resoluciones con sumas reiteradas de a 1.000, 100, 10, etc.) a identificar las multiplicaciones involucradas, cómo pueden ser reconocidas en la misma lectura del número y por qué. La actividad “Para pensar entre todos” propone vincular los cálculos de puntajes del juego de las tarjetas del Capítulo 1 con los cálculos de etiquetas en diferentes formas de embalaje. Se trata de reconocer que, en ambas situaciones, están involucrados la descomposición (o el “armado”) de números a través de sumas de multiplicaciones por 1, 10, 100, 1.000, 10.000, etcétera. Página 155. Actividades 60 y 61. Numeración: Sistema de numeración. Problemas que requieren un análisis del valor posicional en el contexto del dinero.

Los problemas propuestos en la actividad 60 extienden el intervalo numérico a números de 6 dígitos. En 60a, se pide ordenar los números de menor a mayor. Las actividades 60b y 60c requieren analizar la relación entre 100.000 y 10 x 10.000. Antes de resolverlo, se podrá conversar con las y los alumnos acerca de la idea de cuota sin interés (que supone la visión del precio total en la cantidad de meses en que se va a pagar) y la idea de precio al contado. Luego de la resolución del problema 60b, se podrá reconocer entre todos que se está apelando a la idea de que 10 unidades de un orden hacen 1 del orden inmediato superior que ya utilizan para otras cantidades. El problema 60c requiere determinar la diferencia entre 540.000 y 500.000. La intención es reconocer con los alumnos que esa diferencia puede establecerse analizando el número. En relación con la actividad 60d , se podría analizar qué parte del número se transforma y cómo al restar 5.000. Se podría extender analizando qué sucedería si el descuento fuera de 9.000, 7.000, 10.000, etcétera. La actividad 61 plantea, en el contexto del dinero, una tarea parecida a la de la actividad 53. Se pueden vincular ambas en un espacio de análisis colectivo posterior a la resolución. En 61b, se puede extender una relación que es sencilla (cantidad de billetes de $100 que forman $1.000) a otras cantidades, por ejemplo: cuántos billetes de $100 si le cambia $10.000, etcétera. Página 156. Numeración: Sistema de numeración. Análisis del valor posicional.

Esta página propone una explicación de las denominaciones de las diferentes posiciones de la numeración escrita. Se apoya en el trabajo realizado a lo largo de los Capítulos 1 y 2 y será recuperada cuando se trate de analizar más adelante la organización de las expresiones decimales. La o el docente podrá retomar esta explicación con toda la clase e ir relacionándola con los cálculos de puntajes, de etiquetas, que fueron realizando. (Pueden leer más en Acerca del aprendizaje y la enseñanza del Sistema de numeración escrita de la página 13). Además de las preguntas que se plantean en la actividad “Para pensar entre todos”, la o el docente podrá proponer otras similares para trabajar la relación entre diferentes posiciones –contiguas y no contiguas– de la numeración escrita. O también, pedir a los alumnos que formulen (y anoten) preguntas similares para realizarse entre sí.

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Orientaciones didácticas Será una oportunidad para que la o el docente ayude a la clase a retomar o avanzar en la construcción de las razones por las cuales funcionan las reglas que utilizan para multiplicar o dividir por 10, 100, 1.000, 10.000… Actividades extra - Capítulo 2 - Numeración

Para retomar y/o recuperar los cálculos involucrados en las descomposiciones trabajadas a propósito de las tarjetas, el dinero o los puntajes en el juego de las tarjetas, se podrían plantear tareas como estas: • Si en la calculadora se anota el número que aparece a la izquierda y se va sumando 100 sucesivamente, sin borrar, ¿qué resultados irán apareciendo? Anótenlos en esta tabla y luego verifiquen con la calculadora. 29.750

El docente podrá proponer tareas similares modificando el número de partida y el número que se suma o resta. Siempre se trata de identificar con los alumnos qué parte del número se transforma y por qué.

Con el objetivo de retomar y/o avanzar sobre las relaciones de orden planteadas en el problema 60a, se puede proponer que completen una tabla como esta. El docente podrá modificar los números para ajustarlos al intervalo que considere más apropiado para aquellos niños a quienes vaya dirigido. Número anterior

682

Número

683

Número posterior

684

6.999 1.000

24.998 8.070

10.000

100.000 12.501

300.001

Al pensar el número que está justo antes o justo después de uno dado, hay que tratar de identificar esa relación con sumarle o restarle uno, y ver cómo se transforma el número en función de eso. Por ejemplo, si hay que pensar el anterior a 300.000, cuál es el último número de los doscientos mil antes de convertirse en 300.000…

Para extender lo analizado en la actividad “Para pensar entre todos” de la página 156, se podrían proponer actividades como, por ejemplo:

a. En el número 3.746: • ¿Cuál es la cifra de las decenas? ¿Cuántas decenas tiene el número? • ¿Cuál es la cifra de la centena? ¿Cuántas centenas tiene el número? • ¿Cuál es la cifra de las unidades de mil? ¿Cuántas unidades de mil tiene un número?

El docente ayudará a sus alumnos a diferenciar la cifra de las centenas (7) de la cantidad contenida en el número (700).

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Orientaciones didácticas b. La calculadora anotó 54.671, en lugar de 59.671. ¿Cómo podría arreglarlo sin borrar? El docente podría plantear problemas similares a estos referidos a transformaciones en cifras de diferentes posiciones en la escritura numérica.

Geometría En la página 19, pueden leer más acerca del aprendizaje y la enseñanza de la Geometría.

Página 157. Actividad 62. Geometría: Construcción y clasificación de triángulos a partir de los lados.

En este capítulo, damos continuidad a la construcción de triángulos a partir de la medida de sus lados, que se había iniciado en el capítulo anterior. Se incluye, en estos primeros problemas, la clasificación de los triángulos teniendo en cuenta la medida de los lados, definiciones que, probablemente, algunos alumnos reconocerán, mientras que para otros será la primera vez. La intención de que encabecen la página es que las tengan disponibles cuando lo necesiten para resolver las propuestas siguientes. En la actividad 62, se solicitan construcciones en las que tendrán que reinvertir lo trabajado respecto del uso del compás, pero el acento estará puesto en la reflexión sobre las condiciones de posibilidad de construcción. En la actividad 62a, se espera concluir que hay un único triángulo equilátero de 4 cm de lado, el docente puede aprovechar la conclusión para debatir acerca de qué ocurre con ese triángulo si lo dibujan en diferentes posiciones. ¿Se trata del mismo triángulo?, es posible que algunos niños lo puedan considerar diferentes; en 62b, hay muchos triángulos diferentes que se pueden construir sin conocer la medida del tercer lado; aunque hay restricciones, pues esa medida tendrá que ser menor que 8 centímetros, que es la suma de las medidas de los otros dos lados. Con un caso similar, nos encontramos en 62c. Por último, en 62d, podrán concluir que no se puede construir, ya que las medidas propuestas para los lados no cumplen con la propiedad triangular. En la actividad “Para pensar entre todos”, se propone la reflexión e intercambio de ideas acerca del análisis del problema anterior. Estos momentos de la clase, de cierre, de volver a pensar en lo realizado, de intercambio entre todos son irrenunciables, tendríamos que priorizarlos sobre otros para realizarlos en la presencialidad o en el espacio virtual sincrónico. Página 158. Actividad 63 a 65. Geometría: Clasificación de triángulos según sus ángulos. Uso del transportador.

Continuando con los triángulos, en esta página se pone el foco en los ángulos interiores. La intención es estudiar los ángulos, la medición y construcción en el contexto de las figuras geométricas. No pensamos, entonces, en la necesidad de introducir este concepto previamente, sino que tenga sentido en el contexto de las figuras, en particular, en este caso, como elementos de los triángulos.

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Orientaciones didácticas Proponemos el uso de la escuadra como posible punto de apoyo o control para los alumnos respecto de la clasificación de ángulos, ya que, sabiendo que tiene un ángulo recto, al colocarla convenientemente (teniendo en cuenta el vértice y el lado de apoyo), permite, en general, verificar si se trata de un ángulo agudo u obtuso. También, como herramienta de verificación porque, a veces, se observan errores de medición con el transportador; pues estos suelen tener, en el mismo lugar, dos medidas simultáneas que son suplementarias, es decir que suman 180°, entonces, por ejemplo, frente a un ángulo de 60°, suelen anotar 120°. En la actividad 63, se espera que puedan familiarizarse con este uso de la escuadra, aunque por lo explicado antes, suele ser complejo, al principio, decidir cómo apoyarla sobre cada ángulo de la figura. Esta tarea sería recomendable para trabajar en el espacio presencial. La actividad 64 plantea el posible error de lectura del instrumento que antes mencionamos, una intervención del docente frente a esta situación podría ser pedir que se verifique con la escuadra. En la actividad 65, se proponen diversas construcciones de triángulos. En el caso 65a, con diversa cantidad de soluciones; en otros casos, como en 65b y 65d, con una única solución; por último, en 65c y 65e, sin solución. Será interesante que los alumnos cuenten con un tiempo para analizar y explorar cada uno de los casos Algunos procedimientos posibles: • En la construcción 65b, al comparar las producciones personales, algunos podrán pensar que tienen varias soluciones porque quedaron en diferentes posiciones. Será un buen punto de apoyo para analizar que se trata del mismo triángulo en otra posición. • En los casos 65c o 65e, algunos alumnos intentarán forzar la construcción para que el triángulo “cierre”, aun curvando los lados. • Otros lograrán anticipar que no es posible, teniendo en cuenta la propiedad correspondiente. Página 159. Actividades 66 y 67. Geometría: Propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo.

La intención de la actividad 66 es comenzar a explorar la propiedad de la suma de los ángulos interiores de los triángulos, que los alumnos elaboren sus primeras conjeturas empíricamente y comenzar luego con la guía del docente para analizar una posible demostración matemática de la propiedad en la actividad 67. En 66b, se pregunta cómo se puede demostrar esta conjetura con la intención de que el docente comience a realizar una primera aproximación acerca de las características que debería tener una demostración matemática, la necesidad de apoyarse en propiedades válidas para estar seguros de que la afirmación será siempre verdadera. La demostración se inicia para un caso particular, que es el triángulo rectángulo pensado como la mitad de un rectángulo, para luego generalizarlo a cualquier triángulo en la actividad “Para pensar entre todos”. Página 160. Actividades 68 a 70. Geometría: Propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo.

Para reinvertir las ideas que circularon anteriormente y la propiedad estudiada, se proponen los problemas de esta página.

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Orientaciones didácticas En la actividad 68, algunos alumnos podrán medir el ángulo que falta con el transportador, en lugar de usar la propiedad. La pregunta acerca de qué cálculos realizaron puede ser una buena oportunidad para continuar conversando acerca de la diferencia, en el trabajo matemático, de resolver usando una propiedad o de hacerlo empíricamente. Los dos problemas siguientes requieren de una mayor anticipación por parte de las y los alumnos. Es decir que, ya no se puede poner en juego el ensayo y error o la medición, sino que tendrían que prever que necesitan usar la propiedad para dar respuesta a los problemas. Es decir que, la actividad 69, por ejemplo, ya no muestra la figura del triángulo, sino solo las medidas de dos de sus tres ángulos. Se espera que puedan argumentar que se trata de un triángulo obtusángulo, ya que el ángulo que no se explicita mide 100°, luego de hacer el cálculo correspondiente. En el caso de la actividad 70, la suma de las dos medidas ofrecidas ya es 180°, por lo que pueden explicar la imposibilidad de construir un triángulo con esos datos. En la actividad “Para pensar entre todos”, se ofrecen varias ternas de ángulos sobre las que los alumnos tendrán que decidir en qué casos es posible la construcción y cuándo no. Como todos estos espacios, es un momento en el que el intercambio con compañeros es muy fértil para elaborar conclusiones y continuar construyendo y compartiendo ideas. Además de poner en juego la propiedad estudiada, puede ocurrir, al realizar las construcciones, que algunos alumnos descubran y puedan explicitar que es suficiente con trazar dos de los tres ángulos ofrecidos, ya que el tercero se“forma solo”. Se podrá relacionar esta idea con la propiedad puesta en juego. Actividades extra - Capítulo 2 - Geometría

Cada segmento es uno de los lados de un triángulo equilátero. Terminen de dibujarlo usando el compás y la regla. Comparen con otro compañero si siguieron los mismos pasos.

Midan con el transportador los ángulos marcados en cada triángulo. Antes de medir, anticipen con la escuadra si el ángulo es agudo u obtuso y anoten al lado del dibujo “es menor que 90°” o “es mayor que 90°”. Comparen sus resultados con algunos compañeros, si les quedaron diferentes, piensen entre todos cuáles podrían ser las causas.

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Orientaciones didácticas 3

Sin medir, clasifiquen estos triángulos según los lados y según los ángulos. Los lados que tienen una “rayita” indican que tienen la misma medida. 900

• Pónganse de acuerdo con otros compañeros y respondan ¿por qué la consigna dice sin medir?, ¿qué tuvieron en cuenta para clasificarlos?

Construyan dos triángulos diferentes para cada consigna cuando sea posible, si no se puede construir indiquen por qué.

a. Que sea acutángulo. b. Que sea equilátero. c. Que sea rectángulo e isósceles. d. Que sea obtusángulo y equilátero. e. Que sea obtusángulo y escaleno. • Comparen sus respuestas y construcciones con otros compañeros.

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Recursos TIC

Recursos TIC Acerca de la enseñanza de la Matemática a través de las TIC Entendemos la utilización de las TIC como un medio para la enseñanza de contenidos curriculares y hacemos hincapié, en que el núcleo de nuestra propuesta es el análisis de las prácticas de enseñanza. Muchas veces se analiza a secas el papel de las herramientas tecnológicas. Dicho análisis, entonces, suele limitarse al uso de dispositivos y apuntan a un saber técnico con escasa reflexión sobre el “tipo” de uso que se realiza. Buscamos, por el contrario, comunicar la utilización de las tecnologías en una discusión que se encuentre centrada en la gestión de los materiales y de la clase que cada recurso en particular pone en juego. El análisis de la clase, como sabemos, supone un análisis del contenido –de los conceptos y de las prácticas de la Matemática– y de las interacciones entre los alumnos y el docente a propósito de los problemas. ¿Qué significa aprender en este contexto? Adherimos fuertemente a la construcción social del conocimiento, a aprender construyendo el conocimiento junto a los otros, gracias a los aportes de todos y en colaboración. Pero a la vez, reconocemos que es necesario que el alumno tome decisiones acerca de cómo resolver y qué reglas utilizar. En este mismo movimiento, entonces, es necesario asumir el estudio de los nuevos problemas de enseñanza que la inclusión de las TIC plantea. Problemas definidos por condiciones inéditas generadas en el aula: tiempos diferentes, agrupamientos distintos que atiendan varios niveles de conocimiento, disponibilidad de la herramienta para un alumno o para un grupo de alumnos, comunicaciones mediadas por la máquina, otra jerarquización del saber que se construye mejor en colaboración con otros, etcétera. Nuestra intencionalidad es que las situaciones seleccionadas sean un plus que le aportan las TIC a los recursos habituales de la enseñanza. Por esto, las propuestas deben estar diseñadas de manera que permitan la identificación y el análisis de los usos educativos de las TIC. Las tomamos en consideración como herramientas para que los alumnos puedan pensar, resolver, comparar con lo producido, decidir, argumentar, solos y con otros. Seguramente, ustedes habrán tenido y tendrán que adaptar las propuestas disponibles en documentos curriculares, libros, etc., a las trayectorias en el uso de las TIC que tengan las escuelas en las que trabajan y a ustedes mismos en su práctica profesional. ¿La escuela tiene equipamiento tecnológico? ¿Computadora, Tablet, celular? ¿Conectividad? ¿Lo usan ustedes? ¿Con qué frecuencia? ¿En la enseñanza de la Matemática? ¿Para qué contenidos de enseñanza? ¿Sus alumnos han trabajado en años anteriores utilizando la tecnología como medio para aprender matemática? ¿Cuántos disponen de algún equipo que permita la realización de trabajo en sus casas? ¿Qué participación en las clases virtuales han tenido? ¿Las actividades que han realizado con las máquinas fueron planificadas? ¿De qué manera se podrían relacionar con los otros medios didácticos que utilizan? ¿Qué evaluación hacen de lo trabajado?, etcétera. En relación con lo anterior, las propuestas deben permitir la producción de conocimientos por parte de los alumnos. No se trata solo de la aplicación de conocimientos ya construidos. No se trata solo de reproducir lo realizado por otro. Las propuestas tienen que permitir la anticipación por parte de los alumnos y, además, contemplar posibilidades de validar lo producido. Nos referimos al cuidado particular que hay que tomar para que las propuestas que se seleccionen promuevan el mismo tipo de quehacer, el mismo tipo de trabajo matemático en los alumnos que cuando trabajan en otros medios didácticos. Por un lado, la toma de decisión al tener que

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Recursos TIC seleccionar de todo lo que saben qué van a usar como estrategia de resolución (anticipación) y, por el otro, la actividad argumentativa que, también, debe estar a cargo de los alumnos (validación). Creemos que es importante decir que ningún recurso didáctico es bueno o malo en sí mismo, sino que se inscribe dentro de un entramado complejo de decisiones que toma el docente para llevar adelante un proyecto de enseñanza. El recurso TIC que el docente seleccione no debería ser el centro de la propuesta, sino que debería cobrar sentido dentro de ella en la medida que permita colaborar en el logro de los propósitos que se persiguen, optimizando la propuesta de enseñanza y aportando una riqueza singular que, tal vez, otro recurso no podría ofrecer. En este sentido, cuidamos que los recursos ofrecidos aporten un plus a otros medios posibles de enseñanza de esos mismos temas. Uno de los riesgos es el de convertir el recurso en la finalidad. Es decir, que se produzca un desvío en el que los medios de enseñanza ocupen el lugar de los contenidos. Un primer criterio que orienta la selección e inclusión de asistentes digitales en las clases sería, que no desplacen los contenidos de enseñanza y que la complejidad tecnológica que implica el uso del recurso no requiera de tanto esfuerzo que los contenidos que pretendemos enseñar se desdibujen. Como en toda la enseñanza de la Matemática, más allá del medio didáctico que se utilice, sugerimos la construcción de una memoria didáctica de los alumnos, es decir, proponemos modos de cuidar la relación y la memoria entre conocimientos viejos y nuevos. Esto porque todo conocimiento nuevo se construye apoyándose sobre los conocimientos previos, a los que, al mismo tiempo, modifica. Por otro lado, tanto para favorecer el seguimiento que va a poder efectuar el maestro del progreso y de las dificultades de los alumnos, como también, el seguimiento que van a poder realizar los alumnos de su propio proceso de aprendizaje. Para esto, en el caso de una enseñanza presencial, si la escuela cuenta con un equipamiento móvil (“carrito”), le sugerimos la numeración de las máquinas y el registro del uso de cada una por los alumnos. De ese modo, cada uno utilizará siempre el mismo equipo y podrá guardar sus producciones en una carpeta personal; de ese modo, podrá volver sobre lo producido, ya sea para estudiar, consultar, comparar sus producciones, apoyarse en lo que hizo, etc. Otra opción, si fuera posible, es el guardado en la nube o en la plataforma institucional. Con el mismo propósito y en el caso de que se cuente con este recurso, la impresión de lo producido en la máquina para ser guardado luego en el cuaderno o carpeta es otro modo de volver sobre esos conocimientos a la hora de resolver problemas afines, en la puesta en común, como un registro para estudiar, etcétera. Nuestra propuesta de enseñanza digital se circunscribe a problemas de geometría a través del programa Geogebra. Con independencia de si se trata de las propuestas del libro en papel o de los recursos digitales, el propósito de la enseñanza de la geometría en la escuela primaria es que los alumnos se apropien de un conjunto de conocimientos sobre las propiedades de las figuras y los cuerpos geométricos y, también, del modo de pensar propio de la disciplina. A lo largo del segundo ciclo, es necesario que el docente plantee propuestas de trabajo que permitan que los alumnos aprendan que las propiedades de las formas permiten realizar afirmaciones sin necesidad de apelar a la constatación empírica. Se trata de que, a largo plazo puedan realizar afirmaciones como: “Puedo estar seguro, sin medir, de que este ángulo mide 40º porque entre los otros dos ángulos de este triángulo suman 140º”.

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Recursos TIC Asimismo, es necesario considerar que los alumnos ingresan al trabajo en soporte digital por tando sus experiencias y conocimientos sobre esos mismos contenidos construidos a través del “lápiz y el papel”. Intentamos que ambos contextos dialoguen y se enriquezcan mutuamente. Contar con una nueva herramienta, muchas veces, implica una modificación en los modos de resolución de los problemas, en particular, de los modos de representación –ampliando posibilidades o encontrando sus límites–; y esto, por supuesto, puede provocar la necesidad de hacer cambios en la gestión de la clase, como también, abrir la posibilidad de la aparición de nuevos errores e ideas. En cuanto a la utilización del GeoGebra, consideramos importante que los alumnos se familiaricen con“los básicos”de su uso: la Barra de Herramientas y Mover. La Barra de Herramientas puede variar según la versión de GeoGebra que se utiliza o dependiendo del escenario determinado previamente, pero es necesario que sepan que cada botón orienta con su nombre y que, al apoyarse en él, una etiqueta indica cómo utilizarlo. En lo que se refiere a la herramienta Mover, se trata de activarla al terminar de utilizar otras herramientas y esto le permitirá mover los objetos que no están fijos con diferentes intencionalidades: para analizar las características de un objeto geométrico y/opara poder verificar (validar) la construcción de una figura, por ejemplo; ya que al moverla, si se han puesto en juego sus propiedades, no se “deformará”. Un detalle que nos parece importante es diferenciar dibujo y construcción. En estas páginas, llamaremos dibujo al producto de utilizar las herramientas en forma directa. Por ejemplo, consideraremos que la circunferencia de radio 2 cm (circunferencia dado un punto y la longitud del radio) o el cuadrado de lado 5 cm, hechos ambos con las herramientas correspondientes, son dibujos. Llamaremos construcción a la que se realiza utilizando propiedades de las figuras. Por ejemplo, construimos cuadrados a partir de rectas perpendiculares, porque tenemos en cuenta que los lados del cuadrado son perpendiculares. Consideramos un aspecto enriquecedor el que dialoguen de manera permanente las situaciones del libro papel con las digitales, ya que los problemas en Geogebra han sido diseñados de manera secuenciada con la propuesta del libro papel.

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Recursos TIC Recursos TIC por capítulo Enlace/s

Comentarios Capítulo 1

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Este recurso invita a reconocer herramientas que permitan dibujar una circunferencia: Circunferencia: centro y radio, Circunferencia (centro, punto), Circunferencia por tres puntos, Compás. También, incluimos Figura a mano alzada, que permite dibujar una circunferencia, pero de la que no podríamos afirmar que cumple con todas sus propiedades o si se trata del dibujo de un redondel. Lo mismo sucede con la herramienta Semicircunferencia, ya que podrían dibujarse dos semicircunferencias, pero no sería sencillo confirmar si se trata del dibujo preciso de una circunferencia. El copiado de figuras es una situación muy potente en el estudio de las figuras y sus propiedades. Al trabajar con GeoGebra, usamos las propiedades para asegurarnos invariabilidades que hacen a la figura. Por ejemplo, al construir un rectángulo, utilizamos las herramientas de rectas paralelas y rectas perpendiculares para trazar los segmentos (lados) perpendiculares y paralelos. Esto hace que pueda mover el rectángulo sin que se pierdan esas condiciones. Si así no fuera, el rectángulo podría moverse, “torcerse” y quedar como cualquier cuadrilátero que no tiene lados paralelos o que no tiene lados perpendiculares. En el caso particular de este recurso, las circunferencias dibujadas se pueden mover sin que se altere su tamaño (porque se usa la herramienta Circunferencia: centro y radio) y moviéndose todas juntas (porque se usó como centro de la segunda un punto de la primera, y como centro de la tercera un punto de la segunda). Si no se hubiera usado esa herramienta y se hubiera trazado la circunferencia con Compás o con Circunferencia por tres puntos, no podríamos asegurar la permanencia del tamaño. Es importante, entonces, que la puesta en común gire en torno a los movimientos de la figura original y de la copia y la relación que tienen esos movimientos con las propiedades de las figuras y las herramientas utilizadas. Este recurso remite a la propiedad fundamental de los triángulos (la suma de las longitudes de dos lados es mayor que la longitud del tercer lado). Es importante la anticipación inicial, ya que aprovechamos a remitirnos al trabajo realizado en años anteriores y en las páginas del libro. Se eligió un ejemplo en el que no se puede construir un triángulo porque permite descartar de entrada la intuición de que toda terna de segmentos corresponde a un triángulo. En la puesta en común, precisamente, comparamos la anticipación y la verificación que permite el movimiento de los segmentos que facilita GeoGebra.

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Comentarios En este caso, se eligió una terna en la que los segmentos pueden formar un triángulo. La innovación, sin embargo, es que pueden verse circunferencias que facilitan ver la posición de los vértices. La puesta en común tiene como objeto enunciar la propiedad ayudándose con las circunferencias y la definición que se ha hecho de ellas. Este recurso trabaja con segmentos que no pueden formar un triángulo. Invita a la comparación con la situación anterior y busca definir el uso de las circunferencias. La puesta en común puede centrarse en esa comparación y en el uso de las circunferencias para estos casos. En esta ocasión, se ofrece una situación en contexto extramatemático. En 1) se pide anticipar posibles medidas. Naturalmente, es importante que quede claro que cualquier propuesta tiene que apoyarse en la propiedad fundamental trabajada en los recursos anteriores y en el libro papel. En 3) se incorpora la recta en la que están incluidos todos los segmentos que tienen la longitud que permitiría formar un triángulo. Se ha dejado escrita la longitud de esos segmentos, que se puede verse cómo varía conforme se van moviendo los supuestos listones. Este efecto permitiría reconocer las medidas, aunque no fuera posible calcularlas a partir de la propiedad fundamental. En 4) se ofrecen circunferencias para realizar la misma tarea. Capítulo 2

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Este recurso propone medir los ángulos interiores de un triángulo, pero solamente es posible medir dos de los ángulos del triángulo: uno con las medidas del transportador en sentido antihorario; otro ángulo, usando el sentido horario del transportador; y el tercer ángulo, por cálculo. La puesta en común tiene dos puntos centrales: la medición en sentido horario y el uso de la suma de los ángulos interiores del triángulo para calcular la medida del tercer ángulo. También, es bueno aprovechar esta puesta en común para trabajar el registro de las mediciones y de los cálculos. En este recurso, se ofrece un único triángulo para medir los ángulos interiores. Sin embargo, al mover el triángulo, las medidas de los lados varían, se estiran y se contraen. El gran tema es responder: ¿los ángulos también varían? ¿Se abren y se cierran? ¿Cambian las amplitudes? Estamos empezando a pensar en los triángulos semejantes sin ponerle nombre y sin definir criterios, simplemente, estamos pensando que las variaciones en las medidas de los lados de los triángulos no necesariamente implican variaciones en las medidas de los ángulos que, particularmente, en este caso, se mantienen.

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Comentarios La suma de los ángulos interiores de cualquier polígono trasciende la cantidad de lados que el polígono tiene porque se trata de sumar tantos ángulos como tiene el polígono. Pero a la vez, hay algunas cuestiones que son importantes para trabajar “más adelante”: 1) la cantidad de ángulos tiene que ver con el resultado final de esa suma (en triángulos, es 180; en cuadriláteros, es 360; en pentágonos, es 540…) y 2) todo polígono puede “dividirse” en varios triángulos. Esta segunda afirmación podrá usarse en el futuro para demostrar o para generalizar, por eso, resulta importante en esta etapa del nivel primario. Es por eso que estos dos recursos acompañan el trabajo planteado con triángulos y cuadriláteros y sus ángulos interiores. En el primer recurso, se ofrece trabajar con los ángulos interiores de un eneágono a partir de la suma de los ángulos de los siete triángulos que lo forman. Para ello, los alumnos acomodan los triángulos como en un rompecabezas, confirman que todos los ángulos de los triángulos componen los ángulos del eneágono y, simplemente, multiplican 180° (la suma de los ángulos interiores de un triángulo) por la cantidad de triángulos (siete) con lo que consiguen la suma de los ángulos interiores del eneágono. En el segundo recurso, se ofrece una situación similar con un octógono. Sin embargo, al analizar los ángulos de los triángulos, se puede ver uno de cada uno confluyen en el mismo vértice. Es por eso que será necesario restar un giro completo a la suma de los ocho triángulos para conseguir la suma de los ángulos interiores. Las puestas en común tendrían que girar no sólo en el número de cada suma, sino en las dos cuestiones que mencionamos antes: un polígono puede dividirse en varios triángulos cuando es necesario, por ejemplo, calcular la suma de sus ángulos interiores y la suma de los ángulos interiores de un polígono depende de la cantidad de lados/ángulos que tiene.

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Guía docente Estrada A Dúo 5 es un proyecto ideado y realizado por el Departamento Editorial de Editorial Estrada S. A. Gerenta editorial: Judith Rasnosky Coordinadora de Arte: Natalia Otranto

Matemática Autores: Beatriz Moreno (coord. autoral), M. Teresita Chelle, M. Emilia Quaranta, Gloria Robalo y Marcos Varettoni Editora del área de Matemática: Evelyn Orfano Correctora: Pilar Flaster Diseño de maqueta y diagramación: Ana G. Sánchez Fotografías: Archivo Multimedia Macmillan Education y 123RF

Editorial Estrada S.A., 2021 Editorial Estrada S.A. forma parte del Grupo Macmillan. Av. Blanco Encalada 104 – San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina. Internet: www.editorialestrada.com.ar Obra registrada en la Dirección Nacional del Derecho de Autor. Hecho el depósito que marca la Ley 11.723. ISBN: Material de distribución gratuita. Prohibida su venta.

La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo (inadi) con los editores de texto. Las personas que hicimos este libro estamos comprometidas con los valores de la diversidad, la igualdad y la no discriminación. Por eso, buscamos que el lenguaje utilizado en nuestros textos sea inclusivo y esté libre de estereotipos. Solo usamos el masculino genérico para facilitar la lectura en aquellos casos en los que no hemos encontrado una mejor alternativa.

No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo y escrito del editor. Su infracción será penada por las leyes 11.723 y 25.446.

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Numeración

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Acerca del aprendizaje y la enseñanza de la Medida

de la Geometría

Algunas preguntas acerca de las características del libro y las razones didácticas que nos llevaron a incluirlas

los Números racionales

las Operaciones

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de excepcionalidad y diversidad