los Números racionales

de numeración, de tal manera que en el momento de argumentar las decisiones tomadas, se pueda recurrir a esos conocimientos. Por ejemplo, ¿qué recursos diferentes les ofrecemos a los alumnos para que puedan explicitar las razones por las que los resultados de multiplicar por la decena en el algoritmo de la multiplicación se deben ubicar en la segunda fila dejando un lugar a la derecha? Disponer de las propiedades del sistema de numeración (en este caso, el valor posicional) y de la multiplicación, que intervienen en el algoritmo convencional, como también de haber tenido oportunidades para comparar ese procedimiento con otros, les puede permitir reconocer y explicitar las razones por las cuales en esa técnica se siguen esos pasos.

En este libro, nos proponemos trabajar con problemas del campo aditivo (problemas que se resuelven con sumas y/o restas), principalmente, correspondientes a los sentidos más complejos, como búsquedas de complementos y comparaciones (más que y menos que). Asimismo, se introducen problemas que requieren analizar y completar información en tablas de doble entrada. Junto a estos problemas, se propone abordar el estudio de diferentes estrategias de cálculo exacto y aproximado de sumas y restas.

La multiplicación y la división se introducen a partir del trabajo con problemas que refieren a cantidades organizadas en grupos de igual cantidad de elementos –problemas de series proporcionales– (Una caja tiene 8 lápices. ¿Cuántos lápices hay en 6 cajas?) y concernientes a distribuciones (repartos y particiones equitativas). Otros de los problemas del campo multiplicativo son los que involucran organizaciones rectangulares y los de combinatoria.

La tabla pitagórica constituye uno de los recursos centrales para el trabajo con repertorios multiplicativos tanto para resolver multiplicaciones como para cálculos con divisiones. Estos y otros repertorios (como las multiplicaciones y divisiones con “números redondos”), junto a diversos procedimientos de cálculo mental y las propiedades de la multiplicación y la división, se proponen como insumos para estudiar los algoritmos de estas operaciones.

Junto con estos problemas, se presentan situaciones que requieren varios pasos y operaciones para resolverlas.

El estudio de la divisibilidad se introduce a partir de problemas que requieren obtener e identificar múltiplos o divisores. A partir de ellos, se propone resolver, mediante diferentes procedimientos, problemas que involucran múltiplos o divisores comunes de dos o más números.

El estudio de la proporcionalidad se presenta a partir de problemas que las y los alumnos han resuelto antes (como el del ejemplo referido a las cajas de lápices), propiciando que, mediante diferentes procedimientos, puedan completar tablas, reconocer las propiedades y usarlas para resolver otros problemas.

Acerca del aprendizaje y la enseñanza de los Números racionales

Las fracciones y las expresiones decimales de números racionales aparecen como números nuevos, que son introducidos en el segundo ciclo. En esta introducción, queremos describir sintéticamente parte de la complejidad que involucran, a la cual, en forma progresiva, los alumnos se irán aproximando. Desde la enseñanza, buscamos apelar, en un inicio, al sentido de los números racionales a partir de la insuficiencia de los números naturales para resolver situaciones en las que hay que continuar repartiendo el resto de una división o expresar una medida cuando la unidad no entra una cantidad entera de veces en el objeto que hay que medir.

En el aprendizaje de los números racionales, juega un papel central la relación con los conocimientos adquiridos hasta el momento a propósito de los números naturales. Estos últimos constituyen un punto de apoyo para estos nuevos aprendizajes. Desde allí, las y los alumnos abordarán las situaciones que se presenten e intentarán extender hacia las fracciones y las expresiones decimales lo que saben sobre los naturales. En consecuencia, al mismo tiempo que permiten una base, este intento de generalización lleva a la producción de errores que son constitutivos de este proceso de desarrollo de los conocimientos porque, así como usan propiedades que son válidas, también, extienden otras que no lo son para los racionales. Por ejemplo, las y los alumnos suelen afirmar que 1 3 es menor que 1 6 porque 3 es menor que 6 o que 1 2 es diferente de 2 4 o que 0,5 es diferente de 0,50 porque se anotan con números diferentes; que entre 2 5 y 3 5 , no hay otro número, porque piensan que los números racionales tienen sucesor como los naturales; que 0,3 es menor que 0,29879 porque tiene menos cifras y, así, extienden el criterio de comparación de números basado en la cantidad de cifras que es válido para los naturales, que la multiplicación siempre “agranda” el número o que la división lo “achica” siguiendo una regularidad que venían observando para los naturales, etcétera.

Como señalamos, estos errores, manifestaciones de una concepción inicial que atribuye a los racionales las propiedades conocidas para los naturales, son parte del proceso de aprendizaje. Para los niños y las niñas, es lógico pensar que, si son números, funcionan como los números que ya conocen. Como componentes del aprendizaje, son errores que persisten y su modificación requiere un trabajo de largo aliento que tiene que asumir la enseñanza.

Se busca proponer desde la enseñanza un recorrido acerca de los números racionales que lleve a alumnas y a alumnos a apropiárselos como herramientas a partir de una práctica matemática de resolución de problemas y de análisis acerca de lo realizado en torno a estos nuevos objetos de conocimiento. Supone un proyecto que abarque, progresivamente, los diferentes contextos (extra e intramatemáticos) en los que cobran sentido las fracciones y los decimales, en tareas que vayan poniendo de relieve los diferentes aspectos que los caracterizan. Las situaciones que se presentan apuntan, entonces, a hacer aparecer las fracciones en situaciones de repartos o medición para las cuales no bastan los enteros. En efecto, un primer sentido, que se aborda, de las fracciones es el de expresar resultados de repartos equitativos de magnitudes continuas (es decir, cuando se puede seguir repartiendo el resto). Este punto de partida intenta dar continuidad al trabajo con la división que se ha realizado desde el primer ciclo e, incluso, en este quinto grado. Permitirá una plataforma para enlazar a futuro la idea de fracción como cociente entre naturales.

La fracción como una relación con una unidad de medida es otro sentido que se aborda. A futuro, en el segundo ciclo y, también, en la escuela media, las fracciones funcionarán en otras clases de problemas, que las hacen jugar como una relación de proporcionalidad directa. En algunos de estos casos, refieren a nociones particulares, como escalas, porcentajes, probabilidades, velocidad, densidad, etc. Otras veces, las fracciones aluden, del mismo modo, a relaciones entre partes que forman un todo (por ejemplo, una mezcla de pintura que se hace con una parte de negro y 4 partes de blanco, tenemos una relación de 1 4 del negro respecto del blanco). La definición inicial de fracción que se propone parte de pensar las fracciones de forma 1 n (de numerador 1 como, por ejemplo, 1 4 , 1 5 , 1 8 , etc.), como la cantidad tal que repetida n veces equivale a 1. Así, por ejemplo, 1 4 de pizza es la parte que, repetida 4 veces, permitiría obtener la pizza entera; 1 8 es la parte que, repetida 8 veces, permitiría armar la unidad; etc. Apoyados en esta idea, luego, se establece la definición general para cualquier fracción m n como la cantidad que repite

m veces 1 n . Así, por ejemplo, 3 4 es la cantidad que repite 3 veces 1 4 . Esta definición, en algún momento del trabajo, se irá vinculando con aquella basada en subdividir la unidad en partes iguales, según indica el denominador, y permitirá tomar la cantidad de partes que indica el numerador. Como esta última definición –históricamente utilizada en la escuela–, ha presentado numerosos inconvenientes porque se centra en un reconocimiento perceptivo y, en que la unidad, se encuentre efectivamente subdividida en partes iguales antes que en las relaciones que intervienen en el concepto de fracción. Muchos niños, por ejemplo, señalan que la parte pintada en este rectángulo es 1 2 porque se encuentra dividido en dos partes:

Por estas razones, se realiza la opción de comenzar desde los sentidos de las fracciones como resultados de un reparto equitativo y como una medida, así como también, desde la puesta en relación de los conocimientos elaborados en uno y otro contexto. A lo largo del trabajo, se hace un fuerte hincapié en el análisis de las relaciones que están involucradas en el funcionamiento de las fracciones: se trata de números que se anotan mediante una relación entre dos números, el mismo número puede anotarse de infinitas maneras equivalentes y es posible tomar decisiones sobre la escritura conveniente para pensar cálculos, comparaciones, etc. Hay situaciones que buscan específicamente hacer emerger los errores mencionados para que puedan ser discutidos y analizados con toda la clase y, así, ir identificando en forma progresiva la especificidad que guardan los números racionales respecto de los naturales. Este trabajo se sostiene a lo largo del segundo ciclo para asumir la persistencia mencionada de las concepciones sobre los naturales al pensar los números racionales.

En quinto grado, se avanza sobre la primera aproximación a las expresiones decimales realizada en cuarto, a propósito de su uso en el contexto del dinero (décimos y centésimos de pesos). Se ha optado por anteponer un trabajo más intenso sobre las fracciones en cuarto grado como base para la construcción del significado de los números decimales. En quinto y sexto grado, se profundiza el tratamiento de estos últimos vinculando el significado de la notación decimal con las fracciones decimales, por un lado, y con el valor posicional del sistema de numeración, por el otro. Es decir, la escritura con coma aparece como una convención que recurre a la organización del sistema de numeración para representar una fracción decimal o una suma de fracciones decimales. Se trata de prolongar el significado de las diferentes posiciones en la notación de los números naturales –y las relaciones que guardan entre sí– hacia los décimos, centésimos, milésimos, etc. Estas relaciones permiten aproximarse a las características de los números decimales y fundamentar las reglas de comparación que vayan elaborando. Este significado permitirá comprender, además, el funcionamiento de las operaciones, facilitará la elaboración de estrategias de cálculo mental con expresiones decimales y permitirá fundamentar las técnicas de cálculo que se aborden.

En quinto y sexto grado, también, se proponen situaciones con números racionales en el contexto de la recta numérica. Hicimos referencia, en Acerca del aprendizaje y la enseñanza del Sistema de numeración escrita de la página 13, a la complejidad y potencia de esta representación para utilizar y reflexionar sobre relaciones numéricas. Se mencionó, entonces, la necesidad de que ese trabajo sea muy acompañado por la o el docente para ayudar a las y los alumnos a comprender la especificidad que introduce (entre otras cosas, a partir de la escala involucrada en