Spistreści
1.3.2.Złożonerozkładyłącznejwartościszkód......................
1.3.4.Dyskretyzacjaciągłychrozkładówpojedynczejszkody..............
2.Modelowaniewypłacalnościzakładuubezpieczeń
2.1.1.Prawdopodobieństworuinyiwspółczynnikdopasowania.............
2.1.3.Rozkładdeficytuwchwiliruiny..........................
2.1.4.Oszacowaniarozkładudeficytu...........................
2.1.5.Ogólnametodauzyskiwaniaoszacowańgórnychidolnych............
2.2.Modelciągłyijegozwiązkizmodelemdyskretnym...................
2.2.1.ZłożonymodelPoissona..............................
2.2.2.Wzórnaprawdopodobieństworuinywnieskończonymhoryzoncie........
2.3.PrzełącznikowymodelSparreAndersena.........................
2.3.1.Wektordopasowania................................
2.3.2.Operatorryzykaijegowłasności..........................
2.3.3.Wzorynaprawdopodobieństworuinywskończonyminieskończonym horyzoncie.....................................
2.3.4.Przykładyzastosowań................................
3.Wprowadzeniedometodnaliczaniaskładekubezpieczeniowych
3.1.Przeglądregułnaliczaniaskładki.............................
3.2.Podstawowewłasnościregułnaliczaniaskładki......................
Przykład1.12
RozkładPoissona.Niech
Przykład1.13 Rozkładdwumianowy.Niech
Przykład1.15
Rozkładlogarytmiczny.Niech
gdzie �� ∈( 0, 1) .Wówczas
Rozkładlogarytmicznyspełniazałożenie 1 . 24 z �� =
Zpowyższychprzykładówwynika,żezałożenie1 24spełniająwszystkierozkłady liczbyszkódrozpatrywanedotejpory.
Codozmiennych,oznaczającychskładnikisumy �� =
�� �� ,będziemyzakładać,że zachodzi
Założenie1.25
Niezależnezmienne �� �� majątensamrozkładarytmetyczny,któryniejestzdegenerowany dojednegoatomuw 0,orazsąniezależneod �� .
Oznaczmy
�� = P( ��1 = ��
Zauważmy,żeprzyzałożeniach1 . 24i1 . 25rozkładsumy �� = �� �� =1 �� �� jestrozkładem arytmetycznym.Zachodziwtedynastępujące
Twierdzenie1.26
(WzórrekurencyjnyPanjera)Jeślispełnionesązałożenia 1 . 24 i 1 . 25,towprzedstawionympowyżejmodelu
gdziewpierwszymwzorzeprzyjmujemyumowę,że �� 0 = 1 dladowolnego �� ∈ R.
Uwaga1.27. AbywpełniskorzystaćzewzoruPanjeradlalosowejliczbyszkód,należy dokonaćdyskretyzacjiciągłegorozkładupojedynczejszkody.Ponieważwartościszkódsą wyrażonewjednostkachpieniężnych(wPolscenajmniejsząjednostkąjest 1 grosz)można
4 . Regułaodchyleniastandardowego �� ( �� ) = E [ �� ]+ �� ������ [ �� ] , gdzie ��> 0–współczynnikładowaniabezpieczeństwa.
5 . Reguławykładnicza �� ( �� ) = 1 �� ln ( E [ �� ���� ]) , gdzie ��> 0–współczynnikawersjidoryzyka.
6 Regułazerowejużyteczności
Dladanejfunkcjiużyteczności �� : R → R definiujemy �� ( �� ) jakorozwiązanie równania �� ( 0) = E [�� ( �� ( �� )− �� )] , cooznacza,żeryzyko �� zeskładką �� ( �� ) matakąoczekiwanąużytecznośćjak brakryzyka.
7 . Reguławypukłejfunkcjistraty
Dladanejfunkcjiniemalejącejiwypukłej �� : R+ → R+ zdefiniujmy
1 ( E [ �� ( �� )]) , gdzie �� 1 ( �� ) = inf { �� ∈ R : �� ( �� ) �� } –uogólnionaodwrotność �� .
8 . Value-at-Risk (VaR,wartośćnarażonanaryzyko)
Dlaustalonego �� ∈( 0, 1) określmy
gdzie �� �� jestdystrybuantązmiennejlosowej �� ,a �� 1 �� jejuogólnionąodwrotnością.
9 . Tail VaR(TVaR,„ogonowa”wartośćoczekiwana)
Dlaustalonego �� ∈( 0, 1) zdefiniujmy
10 . Regułamaksymalnejstraty
11 . RegułaEsschera
Wprowadzeniedometodnaliczania składekubezpieczeniowych
3.1.Przeglądregułnaliczaniaskładki
Niech �� oznaczazmiennąlosową,którajestwielkościąszkody.Nieujemnąskładkę,odpowiadającąszkodzie �� ,będziemyoznaczali 1 przez �� ( �� ) .Formalnierzeczbiorąc, �� ( ) jestnieujemnymfunkcjonałemokreślonymnazbiorzenieujemnychzmiennychlosowych.Poniżejprzedstawiamykilkanaścienajbardziejpopularnychregułdefiniowania składki �� ( )
1 . Składkanetto (netpremium)
�� ( �� ) = E [ �� ] .
Składkanettonieuwzględniawycenyryzyka.
2 . Reguławartościoczekiwanej
�� ( �� ) = ( 1 + �� ) E [ �� ] , gdzie ��> 0–współczynnikładowaniabezpieczeństwa(safetyloadingcoefficient ).
3 Reguławariancji �� ( �� ) = E [ �� ]+ �������� [ �� ] , gdzie ��> 0–współczynnikładowaniabezpieczeństwa.
1 Symbol �� jestużywanytakżedooznaczeniastałej3.14 ... .Ponieważdotyczytotylkowzorunagęstość rozkładunormalnego,niemaryzykakolizjioznaczeń.
Założenie5.16
Zmiennalosowa Θ�� odpowiadaprofilowiryzykaw �� -tejgrupiedla �� = 1, 2,...,�� .Ponadto ( �� ) przyzadanym Θ�� zmiennelosowe ������ , �� = 1, 2,...,�� ,sąwarunkowoniezależne oraz
( �� ) ������ ;
( �� ) zmiennelosowe Θ1 ,..., Θ �� sąniezależneimajątensamrozkład,apary ( Θ1 , �� 1 ) ,..., ( Θ �� , �� �� ) sąniezależne,gdzie �� �� = ( ���� 1 ,...,������ ) jest �� -letnią obserwacjąstandaryzowanychłącznychszkódw �� -tejgrupieryzyka.
ModelBühlmanna–Straubaodpowiadanastępującemumechanizmowilosowania warstwowego.Wpierwszymlosowaniuwybieramyprofilryzykadla �� -tejgrupyryzyka, zgodniezrozkłademzmiennejlosowej Θ�� .Wylosowanyparametrryzykaokreślarozkładzmiennychlosowych ������ w �� -tejgrupiewdrugimlosowaniu.Wtensposóbmożna modelowaćbardziejzłożonyportfelheterogeniczny,niżwpunkcie5 . 4 . 1,gdzieparametr ryzykabyłwspólnydlacałegoportfela,podczasgdyobecniejestonwspólnytylkodla �� -tejgrupyryzykairóżnisięmiędzygrupami.
Przykład5.2
Przypuśćmy,żeskumulowaneszkody �� ���� majązłożonyrozkładPoissona(patrzdefinicja 1 . 17)ointensywności �� ( Θ�� ) ������ ,awielkośćpojedynczychszkód �� marozkład ���� ,który niezależyod Θ�� .Ponieważ ��
,poskorzystaniuzwzoru (1.24) otrzymujemy
PostępującpodobniedladrugiejkumulantyzłożonegorozkładuPoissonaorazkorzystajączwzoru (1.24),otrzymujemy
Zatemzałożenie5.16jestspełnionez
Interesowaćnasbędzieindywidualnaskładkanetto
�� ] .Wcelujejestymacjibędziemywykorzystywaćportfelowąskładkęnetto
5.4.NAJLEPSZYLINIOWYESTYMATORSKŁADKIINDYWIDUALNEJ
którajestwartościąoczekiwanąstandaryzowanejłącznejszkodywcałymportfelu.Podobniejakwpoprzednichrozdziałach,będziemychcielidlakażdego �� = 1, 2,...,�� wyestymowaćskładkęindywidualnąnetto �� ( Θ�� ) ,wykorzystującdostępnedanewpostaci wektorów �� �� ,gdzie �� �� = ( ���� 1 ,...,������ ) .Obserwacje ������ sąznanena �� latwsteczdla każdejgrupyryzyka.Jakoestymatorindywidualnejskładkinettoprzyjmiemyfunkcję liniowąobserwacji
gdzie �� ���� , �� = 0, 1,...,�� ,sątakdobranymiwspółczynnikamirzeczywistymi,aby �� ( Θ�� ) = �� ( Θ�� ) stanowiłydekompozycjęznanejskładkiportfelowej �� na �� -tągrupęryzyka.Ponieważ Θ�� jestzmiennąlosowąoraz E [ �� ( Θ�� )] = �� ,średniobiorąc �� ( Θ�� ) powinno równieżdawać �� ,czyli E [ �� ( Θ�� )] = �� .Oznaczmyprzez L klasęestymatorówliniowych,danychwzorem(5.24),którespełniajątenwarunek.Niech L 0 ⊆L będzieklasą estymatorów jednorodnych,dlaktórych �� �� 0 = 0.Wklasach L i L 0 dobierzemywspółczynnikiestymatora �� ( Θ�� ) wtensposób,abyzminimalizowaćśredniokwadratowąstratę E �� �� =1 �� ( Θ�� )− �� ( Θ�� ) 2 .Wykorzystamywtymcelunastępującylemat.
Lemat5.17
Jeślispełnionejestzałożenie 5 16 orazestymator �� ( Θ�� )∈L ,to
�� ( Θ�� )− �� ( Θ�� ) 2 .
Dowód. Ponieważestymator �� ( Θ�� ) wykorzystujedane �� �� = ( ���� 1 ,...,������ ) ,zzałożenia 5 . 16
Podobnieniezależność Θ1 ,..., Θ �� implikujedla ��
�� równość
Zzałożenia5 16wynikarównież,żedla �� ≠ �� mamy
Uwzględniającpowyższe
