100996745

Spis treści

Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1. Modelowanie ryzyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 9 14 22 22 26 31 36 38

1.1. Model ryzyka indywidualnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. Funkcje generujące momenty i kumulanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3. Model ryzyka łącznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1. Liczba szkód w portfelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2. Złożone rozkłady łącznej wartości szkód . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.3. Wzór rekurencyjny Panjera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.4. Dyskretyzacja ciągłych rozkładów pojedynczej szkody . . . . . . . . . . . . . .

1.3.5. Funkcja generująca prawdopodobieństwo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Modelowanie wypłacalności zakładu ubezpieczeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1. Model dyskretny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1. Prawdopodobieństwo ruiny i współczynnik dopasowania . . . . . . . . . . . . .

2.1.2. Własności operatora ryzyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.3. Rozkład deficytu w chwili ruiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.4. Oszacowania rozkładu deficytu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.5. Ogólna metoda uzyskiwania oszacowań górnych i dolnych . . . . . . . . . . . .

2.2. Model ciągły i jego związki z modelem dyskretnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1. Złożony model Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2. Wzór na prawdopodobieństwo ruiny w nieskończonym horyzoncie . . . . . . . .

2.3. Przełącznikowy model Sparre Andersena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1. Wektor dopasowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.2. Operator ryzyka i jego własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.3. Wzory na prawdopodobieństwo ruiny w skończonym i nieskończonym horyzoncie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.4. Przykłady zastosowań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4. Metoda top-down . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Wprowadzenie do metod naliczania składek ubezpieczeniowych . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1. Przegląd reguł naliczania składki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2. Podstawowe własności reguł naliczania składki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 41 42 46 48 49 54 57 58 61 62 66 67 73 77 79 83 83 85

5

ROZDZIAŁ 1. MODELOWANIE RYZYKA

Przykład 1.12 Rozkład Poissona. Niech 𝑝 𝑛 = 𝑒 −𝜆

𝜆𝑛 , 𝑛!

𝜆 > 0,

𝑛 = 0, 1, . . . .

Wówczas dla 𝑛 ∈ N

𝑝𝑛 𝜆 𝑛 (𝑛 − 1)! 𝜆 = = . 𝑝 𝑛−1 𝑛! 𝜆 𝑛−1 𝑛 Zatem dla rozkładu Poissona 𝑎 = 0, 𝑏 = 𝜆 w założeniu 1.24.

Przykład 1.13 Rozkład dwumianowy. Niech

𝑚 𝑛 𝑝 (1 − 𝑝) 𝑚−𝑛 , 𝑝𝑛 = 𝑛 Wówczas

𝑝 ∈ (0, 1),

𝑛 = 0, 1, . . . 𝑚.

𝑚 𝑝 𝑛 (1 − 𝑝) 𝑚−𝑛 𝑝𝑛 𝑛 𝑛−1 = 𝑚 𝑝 𝑛−1 𝑝 (1 − 𝑝) 𝑚−𝑛+1 𝑛−1

(𝑛 − 1)!(𝑚 − 𝑛 + 1)! 𝑝 𝑛!(𝑚 − 𝑛)!

1− 𝑝 𝑚−𝑛+1 𝑝 = 𝑛 1− 𝑝 𝑝 (𝑚 + 1) 𝑝 1 , gdzie 𝑞 = 1 − 𝑝. =− + 𝑞 𝑞 𝑛 =

A zatem dla rozkładu dwumianowego 𝑎 = − 𝑞𝑝 , 𝑏 = (𝑚 + 1) 𝑞𝑝 .

Przykład 1.14 Rozkład ujemny dwumianowy. Niech 𝑟 > 0, 𝑝 ∈ (0, 1), 𝑞 = 1 − 𝑝 oraz

𝑟 +𝑛−1 𝑟 𝑛 𝑝 𝑞 , 𝑛 = 0, 1, 2 . . . . 𝑝𝑛 = 𝑛 Wówczas

𝑟 +𝑛−1 𝑟 +𝑛−1 𝑟 −1 𝑝𝑛 𝑛 𝑞=𝑞+ 𝑞. = 𝑟 +𝑛−2 𝑞 = 𝑝 𝑛−1 𝑛 𝑛 𝑛−1

A zatem dla rozkładu ujemnego dwumianowego 𝑎 = 𝑞, 𝑏 = (𝑟 − 1)𝑞.

32

1.3. MODEL RYZYKA ŁACZNEGO ˛

Przykład 1.15 Rozkład logarytmiczny. Niech 𝑝𝑛 = −

𝛽𝑛 1 , ln(1 − 𝛽) 𝑛

𝑛 = 1, 2, . . . ,

gdzie 𝛽 ∈ (0, 1). Wówczas

𝛽 𝑝𝑛 = 𝛽− . 𝑝 𝑛−1 𝑛 Rozkład logarytmiczny spełnia założenie 1.24 z 𝑎 = 𝛽 i 𝑏 = −𝛽.

Z powyższych przykładów wynika, że założenie 1.24 spełniają wszystkie rozkłady liczby szkód rozpatrywane do tej pory. 𝑁

Co do zmiennych, oznaczających składniki sumy 𝑆 = 𝑋 𝑗 , będziemy zakładać, że 𝑗=1

zachodzi Założenie 1.25 Niezależne zmienne 𝑋 𝑗 mają ten sam rozkład arytmetyczny, który nie jest zdegenerowany do jednego atomu w 0, oraz są niezależne od 𝑁.

Oznaczmy

𝑓𝑛 = P (𝑋1 = 𝑛),

𝑛 = 0, 1, 2, . . . .

Zauważmy, że przy założeniach 1.24 i 1.25 rozkład sumy 𝑆 =

𝑁

𝑗=1

𝑋 𝑗 jest rozkładem

arytmetycznym. Zachodzi wtedy następujące Twierdzenie 1.26 (Wzór rekurencyjny Panjera) Jeśli spełnione są założenia 1.24 i 1.25, to w przedstawionym powyżej modelu P (𝑆 = 0) =

∞

𝑛=0

𝑝 𝑛 𝑓0𝑛 ,

𝑘

1 𝑗 P (𝑆 = 𝑘) = 𝑎 + 𝑏 𝑓 𝑗 P (𝑆 = 𝑘 − 𝑗), 1 − 𝑎 𝑓0 𝑗=1 𝑘

(1.29) 𝑘 = 1, 2, . . . ,

(1.30)

gdzie w pierwszym wzorze przyjmujemy umowę, że 𝑐0 = 1 dla dowolnego 𝑐 ∈ R. Uwaga 1.27. Aby w pełni skorzystać ze wzoru Panjera dla losowej liczby szkód, należy dokonać dyskretyzacji ciągłego rozkładu pojedynczej szkody. Ponieważ wartości szkód są wyrażone w jednostkach pieniężnych (w Polsce najmniejszą jednostką jest 1 grosz) można 33

ROZDZIAŁ 3. WPROWADZENIE DO METOD NALICZANIA SKŁADEK UBEZPIECZENIOWYCH

4. Reguła odchylenia standardowego

𝜋(𝜉) = E[𝜉] + 𝛽 𝑉 𝑎𝑟 [𝜉], gdzie 𝛽 > 0 – współczynnik ładowania bezpieczeństwa.

5. Reguła wykładnicza 1 𝜋(𝜉) = ln(E[𝑒 𝛼 𝜉 ]), 𝛼 gdzie 𝛼 > 0 – współczynnik awersji do ryzyka.

6. Reguła zerowej użyteczności Dla danej funkcji użyteczności 𝑈 : R → R definiujemy 𝜋(𝜉) jako rozwiązanie równania 𝑈 (0) = E[𝑈 (𝜋(𝜉) − 𝜉)], co oznacza, że ryzyko 𝜉 ze składką 𝜋(𝜉) ma taką oczekiwaną użyteczność jak brak ryzyka.

7. Reguła wypukłej funkcji straty Dla danej funkcji niemalejącej i wypukłej 𝑣 : R+ → R+ zdefiniujmy 𝜋(𝜉) = 𝑣−1 (E[𝑣(𝜉)]), gdzie 𝑣−1 (𝑡) = inf{𝑥 ∈ R : 𝑣(𝑥) 𝑡} – uogólniona odwrotność 𝑣.

8. Value-at-Risk (VaR, wartość narażona na ryzyko) Dla ustalonego 𝛼 ∈ (0, 1) określmy 𝜋(𝜉) = 𝑉 𝑎𝑅 𝛼 (𝜉) = inf{𝑥 : P (𝜉 > 𝑥) 𝛼} = inf{𝑥 : P (𝜉 𝑥) 1 − 𝛼} = 𝐹 𝜉−1 (1 − 𝛼), gdzie 𝐹 𝜉 jest dystrybuantą zmiennej losowej 𝜉, a 𝐹 𝜉−1 jej uogólnioną odwrotnością.

9. Tail VaR (TVaR, „ogonowa” wartość oczekiwana) Dla ustalonego 𝛼 ∈ (0, 1) zdefiniujmy 𝜋(𝜉) = 𝑇𝑉 𝑎𝑅 𝛼 (𝜉) = E[𝜉 |𝜉 𝑉 𝑎𝑅 𝛼 (𝜉)].

10. Reguła maksymalnej straty 𝜋(𝜉) = inf{𝑥 : P (𝜉 > 𝑥) = 0} = 𝑒𝑠𝑠𝑢 𝑝(𝜉).

11. Reguła Esschera

84

𝜉𝑒 ℎ 𝜉 , 𝜋(𝜉) = E E[𝑒 ℎ 𝜉 ]

ℎ > 0.

Rozdział 3

Wprowadzenie do metod naliczania składek ubezpieczeniowych

3.1. Przegląd reguł naliczania składki Niech 𝜉 oznacza zmienną losową, która jest wielkością szkody. Nieujemną składkę, odpowiadającą szkodzie 𝜉, będziemy oznaczali1 przez 𝜋(𝜉). Formalnie rzecz biorąc, 𝜋(.) jest nieujemnym funkcjonałem określonym na zbiorze nieujemnych zmiennych losowych. Poniżej przedstawiamy kilkanaście najbardziej popularnych reguł definiowania składki 𝜋(.).

1. Składka netto (net premium) 𝜋(𝜉) = E[𝜉].

Składka netto nie uwzględnia wyceny ryzyka.

2. Reguła wartości oczekiwanej 𝜋(𝜉) = (1 + 𝛽)E[𝜉], gdzie 𝛽 > 0 – współczynnik ładowania bezpieczeństwa (safety loading coefficient).

3. Reguła wariancji 𝜋(𝜉) = E[𝜉] + 𝛽𝑉 𝑎𝑟 [𝜉], gdzie 𝛽 > 0 – współczynnik ładowania bezpieczeństwa.

1Symbol 𝜋 jest używany także do oznaczenia stałej 3.14 . . . . Ponieważ dotyczy to tylko wzoru na gęstość rozkładu normalnego, nie ma ryzyka kolizji oznaczeń.

83

ROZDZIAŁ 5. TEORIA ZAUFANIA

Założenie 5.16 Zmienna losowa Θ𝑖 odpowiada profilowi ryzyka w 𝑖-tej grupie dla 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝐼. Ponadto (𝑎) przy zadanym Θ𝑖 zmienne losowe 𝑋𝑖 𝑗 , 𝑗 = 1, 2, . . . , 𝑛, są warunkowo niezależne oraz E[𝑋𝑖 𝑗 |Θ𝑖 ] = 𝑚(Θ𝑖 ), 𝑉 𝑎𝑟 [𝑋𝑖 𝑗 |Θ𝑖 ] =

𝜎 2 (Θ𝑖 ) ; 𝑤𝑖 𝑗

(𝑏) zmienne losowe Θ1 , . . . , Θ𝐼 są niezależne i mają ten sam rozkład, a pary (Θ1 , 𝑿 1 ), . . . , (Θ𝐼 , 𝑿 𝐼 ) są niezależne, gdzie 𝑿 𝑖 = (𝑋𝑖1 , . . . , 𝑋𝑖𝑛 ) jest 𝑛-letnią obserwacją standaryzowanych łącznych szkód w 𝑖-tej grupie ryzyka.

Model Bühlmanna–Strauba odpowiada następującemu mechanizmowi losowania warstwowego. W pierwszym losowaniu wybieramy profil ryzyka dla 𝑖-tej grupy ryzyka, zgodnie z rozkładem zmiennej losowej Θ𝑖 . Wylosowany parametr ryzyka określa rozkład zmiennych losowych 𝑋𝑖 𝑗 w 𝑖-tej grupie w drugim losowaniu. W ten sposób można modelować bardziej złożony portfel heterogeniczny, niż w punkcie 5.4.1, gdzie parametr ryzyka był wspólny dla całego portfela, podczas gdy obecnie jest on wspólny tylko dla 𝑖-tej grupy ryzyka i różni się między grupami.

Przykład 5.2 Przypuśćmy, że skumulowane szkody 𝑆𝑖 𝑗 mają złożony rozkład Poissona (patrz definicja 1.17) o intensywności 𝜆(Θ𝑖 )𝑤𝑖 𝑗 , a wielkość pojedynczych szkód 𝑌 ma rozkład 𝐹𝑌 , który nie zależy od Θ𝑖 . Ponieważ 𝑋𝑖 𝑗 = 𝑆𝑖 𝑗 /𝑤𝑖 𝑗 , po skorzystaniu z wzoru (1.24) otrzymujemy E[𝑋𝑖 𝑗 |Θ𝑖 ] = 𝜆(Θ𝑖 )E[𝑌 |Θ𝑖 ].

Postępując podobnie dla drugiej kumulanty złożonego rozkładu Poissona oraz korzystając z wzoru (1.24), otrzymujemy 𝑉 𝑎𝑟 [𝑋𝑖 𝑗 |Θ𝑖 ] =

𝜆(Θ𝑖 ) E[𝑌 2 |Θ𝑖 ]. 𝑤𝑖 𝑗

Zatem założenie 5.16 jest spełnione z 𝑚(Θ𝑖 ) = 𝜆(Θ𝑖 )E[𝑌 |Θ𝑖 ] oraz 𝜎 2 (Θ𝑖 ) = 𝜆(Θ𝑖 )𝐸 [𝑌 2 |Θ𝑖 ].

Interesować nas będzie indywidualna składka netto 𝜋Θ𝑖 = 𝑚(Θ𝑖 ) = E[𝑋𝑖 𝑗 |Θ𝑖 ]. W celu jej estymacji będziemy wykorzystywać portfelową składkę netto 𝜋 = E[𝜋Θ𝑖 ] = 𝑚 0 , 146

5.4. NAJLEPSZY LINIOWY ESTYMATOR SKŁADKI INDYWIDUALNEJ

która jest wartością oczekiwaną standaryzowanej łącznej szkody w całym portfelu. Podobnie jak w poprzednich rozdziałach, będziemy chcieli dla każdego 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝐼 wyestymować składkę indywidualną netto 𝑚(Θ𝑖 ), wykorzystując dostępne dane w postaci wektorów 𝑿 𝑖 , gdzie 𝑿 𝑖 = (𝑋𝑖1 , . . . , 𝑋𝑖𝑛 ). Obserwacje 𝑋𝑖 𝑗 są znane na 𝑛 lat wstecz dla każdej grupy ryzyka. Jako estymator indywidualnej składki netto przyjmiemy funkcję liniową obserwacji 𝑛

𝑚(Θ ) = 𝑎 + 𝑎 𝑖 𝑗 𝑋𝑖 𝑗 , (5.24) 𝑖 𝑖0 𝑗=1

gdzie 𝑎 𝑖 𝑗 , 𝑖 = 0, 1, . . . , 𝐼, są tak dobranymi współczynnikami rzeczywistymi, aby

𝜋(Θ𝑖 ) = 𝑚(Θ 𝑖 ) stanowiły dekompozycję znanej składki portfelowej 𝜋 na 𝑖-tą grupę ryzy𝜋(Θ𝑖 ) powinno ka. Ponieważ Θ𝑖 jest zmienną losową oraz E[𝜋(Θ𝑖 )] = 𝜋, średnio biorąc

również dawać 𝜋, czyli E[ 𝜋(Θ𝑖 )] = 𝜋. Oznaczmy przez L klasę estymatorów liniowych, danych wzorem (5.24), które spełniają ten warunek. Niech L0 ⊆ L będzie klasą estymatorów jednorodnych, dla których 𝑎 𝑖0 = 0. W klasach L i L0 dobierzemy współczynniki estymatora 𝜋(Θ𝑖 ) w ten sposób, aby zminimalizować średniokwadratową stratę 𝐼

2 𝜋(Θ𝑖 ) . Wykorzystamy w tym celu następujący lemat. 𝜋(Θ𝑖 ) − E 𝑖=1

Lemat 5.17 Jeśli spełnione jest założenie 5.16 oraz estymator 𝜋(Θ𝑖 ) ∈ L, to E

𝐼

𝜋(Θ𝑖 ) 𝜋(Θ𝑖 ) −

2

=

𝑖=1

𝐼

2

E 𝜋(Θ𝑖 ) − 𝜋(Θ𝑖 ) .

𝑖=1

Dowód. Ponieważ estymator 𝜋(Θ𝑖 ) wykorzystuje dane 𝑿 𝑖 = (𝑋𝑖1 , . . . , 𝑋𝑖𝑛 ), z założenia 5.16 2

𝜋(Θ𝑖 ) 𝜋(Θ E dla 𝑖 ≠ 𝑘. 𝑘) = 𝜋 Podobnie niezależność Θ1 , . . . , Θ𝐼 implikuje dla 𝑖 ≠ 𝑘 równość E [𝜋(Θ𝑖 )𝜋(Θ 𝑘 )] = 𝜋 2 .

Z założenia 5.16 wynika również, że dla 𝑖 ≠ 𝑘 mamy 2

E 𝜋(Θ𝑖 ) 𝜋(Θ 𝑘) = 𝜋 .

Uwzględniając powyższe

𝜋(Θ𝑖 ), 𝜋(Θ 𝑘 ) − 𝜋(Θ 𝐶𝑜𝑣 𝜋(Θ𝑖 ) − 𝑘) = E

𝜋(Θ𝑖 ) − 𝜋(Θ𝑖 )

𝜋(Θ 𝑘 ) − 𝜋(Θ 𝑘)

= E [𝜋(Θ𝑖 )𝜋(Θ 𝑘 )] − E 𝜋(Θ𝑖 ) 𝜋(Θ 𝑘 ) − E 𝜋(Θ 𝑘 ) 𝜋(Θ𝑖 ) + E 𝜋(Θ𝑖 ) 𝜋(Θ 𝑘 ) = 0,

dla 𝑖 ≠ 𝑘.

147