UNIVERSIDAD DEL QUINDIO FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS Y BELLAS ARTES PROGRAMA CIENCIA DE LA INFORMACIÓN Y LA DOCUMENTACIÓN, BIBLIOTECOLOGÍA Y ARCHIVÍSTICA
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UNIDAD
Métodos de Demostración INTRODUCCIÓN En esta Cuarta Unidad se abordarán los métodos de demostración: Método directo, Indirecto, deductivo e inductivo La demostración es el procedimiento de validación que caracteriza la matemática respecto de las ciencias experimentales y así ocupa un lugar central desde el punto de vista epistemológico en esta disciplina. Por otra parte, y muy lógicamente, también juega un rol central en la enseñanza de la matemática, aunque es un factor de fracaso para muchos estudiantes: su aprendizaje aparece como uno de los más difíciles y menos coronados por el éxito que se encuentran desde el punto de vista de los resultados escolares generales o desde el punto de vista del sentido de la noción que los estudiantes obtienen de la enseñanza.
Uno no debe entonces asombrarse de los numerosos trabajos consagrados a este problema de aprendizaje. Aún cuando ellos apuntan a dar rápidamente a los enseñantes medios para resolver el problema de la enseñanza de la demostración, estos trabajos tienen casi siempre un componente epistemológico, a veces explícito, a veces implícito. Así ocurre que estos trabajos se encuentran y algunas veces se confrontan con las investigaciones epistemológicas que
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pretenden, también ellas, aclarar el problema de la enseñanza de la demostración. Esta confrontación es inevitable, dado el papel de útil en la validación de la demostración en la matemática y, por eso, de su carácter de cuestión epistemológica permanente (que se traduce históricamente en los debates entre matemáticos (ver Lakatos) y no solo entre epistemólogos profesionales que no participan directamente de la creación del saber matemático), hay pocos temas en la matemática cuyo estudio didáctico imponga desde el comienzo elecciones epistemológicas que, por otro lado, están lejos de ser evidentes. Pero la importancia de la demostración en la enseñanza y las dificultades de su aprendizaje constituyen un problema tan urgente que hay un gran riesgo de precipitarse sobre estos problemas de enseñanza tomando como moneda corriente el estatuto de la demostración en la enseñanza, es decir el resultado de la transposición didáctica, sin interrogarse sobre su origen. Así lo que subyace a esta exposición es la transposición didáctica [...]. Esto debe permitirnos evitar la doble ingenuidad del didacta, que reflexionará sobre el problema de la enseñanza de la demostración sin interrogarse sobre su estatuto epistemológico, y la del epistemólogo que, ignorando y aun negando el problema de la transposición, creerá obtener del estudio epistemológico, sin otra mediación, conclusiones directamente aplicables en la clase. Las elecciones epistemológicas están estrechamente ligadas con la transposición didáctica: elegir un tipo de prueba, es una cuestión didáctica pero hay también una elección epistemológica, se elige una validación.
Tomado http://www.bing.com/search?q=importancia%20metodos%20demostracion& 4 Unidad. Métodos de Demostración
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COMPETENCIA GENERAL El programa CIDBA, busca formar profesionales competentes desde una perspectiva teórico-práctica que mediante el manejo de elementos básicos y conceptos lógicos le permitan ampliar su capacidad de análisis ante cualquier situación que se presente. COMPETENCIA ESPECÍFICA a. Competencias Instrumentales o o o o b. o o o o
Capacidad de análisis y síntesis. Conocimientos generales básicos. Capacidad de organizar y planificar. Conocimientos básicos de la profesión. Competencias Interpersonales Capacidad crítica y autocrítica. Habilidades interpersonales. Trabajo en equipo. Compromiso ético.
c. Competencias Sistémicas o o o o o o
Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica. Habilidades de investigación. Capacidad de adaptarse a nuevas situaciones. Habilidad para trabajar de forma autónoma. Iniciativa y espíritu emprendedor. Motivación de logro.
OBJETIVO GENERAL:
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Conocer la importancia de los métodos de demostración citados. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Comprender cada uno de los métodos de demostración. Desarrollo de ejercicios prácticos que ejemplifiquen la capacidad de análisis. CONTENIDOS
METODOS DE DEMOSTRACION METODO DIRECTO METODO INDIRECTO METODO DEDUCTIVO METODO INDUCTIVO
Métodos de Demostración La demostración es un razonamiento o serie de razonamientos que prueban la validez de un nuevo conocimiento estableciendo sus conexiones necesarias con otros conocimientos. Cuando un conocimiento queda demostrado, entonces se le reconoce como válido y es admitido dentro de la disciplina correspondiente. La demostración es el enlace, entre los conocimientos recién adquiridos y el conjunto de los conocimientos anteriores. El enlace entre los conocimientos recién adquiridos y los anteriores están constituidos por una sucesión finita de proposiciones que o bien son postulados o bien son conocimientos cuya validez se ha inferido de otras proposiciones, mediante operaciones lógicas perfectamente coordinadas. La demostración permite explicar unos conocimientos con otros y por tanto es una prueba Rigurosamente racional.
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Sabemos que todas las proposiciones de una teoría matemática se clasifican en dos tipos: las aceptadas sin demostración que son las definiciones (donde no hay nada por demostrar) y los axiomas o postulados (que se toman como proposiciones de partida) y las deducidas, llamadas teoremas (que son proposiciones cuya validez ya ha sido probada). No siempre tenemos evidencia directa de la validez de un teorema. Eso depende en parte de su grado de complejidad y de nuestra mayor o menor familiaridad con su contenido. Un teorema requiere demostración cuando no hay evidencia de su validez.
METODO DIRECTO Habitualmente, quien argumenta aporta razones en favor de una tesis. Esto es lo que se llama una demostración directa. Se muestran las premisas que conducen directamente a la conclusión: Todo número par es divisible por dos. Quince no es divisible por dos. Luego quince no es número par. En otras palabras el método de Demostración Directa, nos dice que si tenemos dos hipótesis una A y otra B estas deben cumplirse o deben ser verdaderas. El método de demostración directo tiene como fundamento lógico la Regla de Inferencia clásica o esquema argumentativo válido llamado: Modus Ponens que nos dice: [P ^ (P → Q)] → Q Que en palabras significa: si la hipótesis P es verdadera y la hipótesis P implica Q es verdadera, entonces la conclusión Q es verdadera. Podemos decir que una frase sencilla como “Hay un examen de Lógica, me voy a poner a estudiar” entonces tenemos que “Hay un examen de Lógica” (p) y “me voy a poner a estudiar” (q) p → q es lógico que si Hay un examen de Lógica, me voy a poner a estudiar es verdadero ya que hay una relación de causa y efecto.
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La Demostración directa consiste en demostrar la validez del teorema directamente. Es decir, si la proposición p es verdadera y la implicación (p → q) es verdadera, entonces q es verdadera. Demostrar que “si estudio Lógica, entonces pasaré la materia”. Si estudio Lógica gano las Tareas asignadas. (V) Si gano las Tareas asignadas obtengo buenas notas. (V) Si obtengo buenas notas paso la materia. (V) Luego Si estudio Lógica, entonces paso la materia (l.q.q.d.) l.q.q.d. = Lo Que Queda Demostrado.
Demostrar que “si voy a la Universidad, entonces tendré una mejor calidad de vida”. Si voy a la Universidad obtengo una profesión. (V) Si tengo una profesión ganaré más dinero. (V) Si gano más dinero obtendré una mejor calidad de vida. (V) Luego si voy a la Universidad, entonces tendré una mejor calidad de vida. (l.q.q.d.) Como observamos en los ejemplos anteriores, una sucesión de proposiciones (premisas) verdaderas, nos lleva a una conclusión verdadera.
METODO INDIRECTO Hay casos, sin embargo, en que no podemos probar la conclusión por derecho y efectuamos un rodeo, la Demostración Indirecta, por alguno de los caminos siguientes: a. por Eliminación: Consiste en probar la verdad o conveniencia de una proposición mostrando que todas las otras hipótesis posibles son falsas o inconvenientes. Este es el patrón que siguen los argumentos por enumeración, los disyuntivos y los dilemas. Son argumentos disyuntivos los que como primera premisa ofrecen un juicio disyuntivo en el que se afirman dos posibilidades incompatibles separadas por la conjunción o de modo
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que si se afirma una se excluye la otra: Estuvo allí o no estuvo. Para resolver cuál de las posibilidades es cierta (verosímil, conveniente) disponemos de dos caminos: negar una o afirmar la contraria: Si consta que el tribunal fue comprado, lo fue o por Hábito o por Opiánico. Si demuestro que no lo fue por Hábito, pruebo que lo fue por Opiánico; y, si hago ver que lo fue por Opiánico, eximo a Hábito de culpabilidad. Cicerón. Empleamos los juicios disyuntivos en toda clase de cuestiones, bien enfrentado alternativas diferentes (Tuvo que ser o el lunes o el jueves), bien una afirmación y su negación (Estuvo o no estuvo). De esta manera exponemos todas las controversias: La televisión es buena o no es buena para los niños, sean conjeturas, valoraciones o definiciones: es posible o no es posible; se llama así o asa; es útil o inútil. Ofrecemos dos alternativas incompatibles, cada una de las cuales se analiza por separado, generalmente mediante un argumento condicional: Nos hemos quedado sin luz en casa o en todo el barrio. Si es en todo el barrio no habrá luz en la calle. Si es en casa, habrá saltado el fusible. En los argumentos por enumeración actuamos como si se tratara de disyuntivas ampliadas. Ofrecemos todas las soluciones posibles de un determinado problema para escoger entre ellas la buena: O vas a Madrid, o vas a Sevilla o te quedas en Santiago. Supuesto que la enumeración sea completa y las diversas alternativas, incompatibles, argumentaremos exactamente igual que si se tratara de una disyuntiva: afirmamos uno de sus términos o negamos todos los demás. S es A o B o C Pero no es B ni es C Luego es A El asesino hubo de ser: o Pedro, o Carlos, o Andrés. - Si hubiera sido Pedro, tuvo que estar presente, pero estaba de viaje. Luego no fue Pedro. - Si hubiera sido Andrés, tuvo que manejar el arma, pero no pudo, porque es paralítico. Luego no fue Andrés. En conclusión: si no han sido ni Pedro ni Andrés, tuvo que ser Carlos. Así argumenta Allan Poe en Los crímenes de la calle Morgue:
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Los asesinos tuvieron que salir por la puerta, por la chimenea o por la ventana de la habitación trasera. Sabemos que no utilizaron la puerta porque había testigos. No cabe un ser humano por el hueco de la chimenea. Si estas dos posibilidades son imposibles, necesariamente tuvieron que salir por la ventana aunque esté cerrada por dentro. Sólo nos falta demostrar que esta aparente imposibilidad no es tal en la realidad. Como es obvio, el argumento no se resuelve si nuestra exclusión es parcial: La avería tenía que ser por un fallo de la batería, de la delco o de las bujías. Le he cambiado las bujías, así que ahora el coche tiene que ir bien. Los dilemas son una variedad de argumento disyuntivo caracterizada porque las dos posibilidades que se consideran conducen al mismo resultado. Una de dos, intenta irritarnos o no. Si lo intenta, no debemos enfadarnos, porque le proporcionaríamos una satisfacción que no merece. Si no lo intenta, tampoco debemos enfadarnos, porque sería hacerle una injusticia. Luego en ningún caso debemos enfadarnos. Su empleo y sus aplicaciones no difieren por lo demás de lo ya señalado para los argumentos disyuntivos. Otras formas de argumentación indirecta la ofrecen el argumento ex-silentio o por el silencio y el argumento ex-contrarii o por los contrarios. b. Por reducción al absurdo: Este procedimiento emplea una disyunción en la que incluimos el supuesto contrario. Prueba que una conclusión es cierta porque su contradictoria sería falsa o absurda. Como dos cosas contradictorias no pueden ser ciertas, si se demuestra que una es falsa, será cierta la otra. “Reducción a” significa “Convertir en”. El nombre (ad absurdum ducens) sugiere que por este procedimiento se conduce a quien niega la verdad de la tesis a consecuencias absurdas o inconvenientes. Supongamos, como usted dice, que el Presidente del Gobierno no estaba enterado del asunto. Si el Presidente no se entera de los asuntos de su competencia, es que no se interesa por su tarea, lo cual además de absurdo, es falso.
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Luego el Presidente estaba enterado. Dicho en términos esquemáticos: Si no es A, habrá que aceptar que es no-A Si fuera no-A, entonces se daría no-B Pero se da B Luego no puede ser no-A Luego es A La capacidad de volar no puede considerarse como esencial en las aves, porque si lo fuera, el pingüino no sería un ave, pero lo es. Si consideramos estables únicamente a las parejas que firman un compromiso público, serían estables los matrimonios que duran dos meses, lo que es absurdo. Si fuera cierto lo que se supone, serían verdad sus consecuencias. Como éstas son falsas (o estúpidas, o inconcebibles, o indeseables, o contradictorias con lo que se afirma o con lo que se sabe), se concluye que no es verdad el supuesto (porque sostenerlo conduce al absurdo), y que la verdad es lo contrario, lo que se trataba de demostrar. Si determinar la culpabilidad de un acusado fuera cosa sencilla no se precisarían tantas personas en un jurado. Pero se precisan, luego no debe ser cosa sencilla. No escapan estos argumentos a nuestro gusto por la simplificación. En la vida real es rarísimo tropezar con una reducción al absurdo completa, porque alcanza la ridiculez de lo obvio: O me ha puesto la zancadilla usted o ha sido otra persona. Si ha sido otra persona debiera estar aquí. Pero no está. Luego no ha sido otra persona. En conclusión: ha sido usted. Lo resumimos en una sola frase que da por sobreentendido todo el razonamiento:
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Si no ha sido usted, habrá sido el nuncio.
METODO DEDUCTIVO Este método es el propio de la Lógica. Se basa en 16 premisas lógicas y las aplica siguiendo un razonamiento de lo general a lo particular. Las conclusiones se obtienen siempre sin necesidad de comprobar. El método deductivo es el propio de las ciencias empíricas. Todas ellas trabajan con objetos reales. Se dan ciertas premisas (hipótesis) y se aplican las reglas de procedimiento científico. Estas hipótesis son aceptadas bajo la condición de ser luego comprobadas
METODO INDUCTIVO Es un procedimiento ante todo empírico, esto es, basado en la observación. José observa una gran concentración de cuervos. Todos los que ve son negros y recuerda haber visto siempre cuervos negros. Concluye, por lo tanto que los cuervos son negros aunque no afirma que siempre y en todo lugar son negros. Contrario al método anterior, este dirige el proceso desde lo particular a lo general. Tiene el grave peligro de la generalización y es el mecanismo habitual del prejuicio.
Para mayor claridad a los temas planteados consulte la bibliografía y los siguientes enlaces: Métodos de demostración: http://es.scribd.com/doc/178456/Demostracion-por-el-metodo-directo Método Directo: Método Indirecto:
http://www.epler.umich.mx/salvadorgs/matematica… http://racionalismo.org/razon/absurdo.php
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EVALUACIÓN La evaluación para esta Cuarta y última Unidad será así: Tarea 4: Una nota de la Evaluación con valor del 100% Foro: 2 puntos sobre la nota de cada unidad (opcional)
CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES Para el desarrollo de nuestra lógica analice el acertijo propuesto para ésta Unidad. Tarea 4: Para el desarrollo de ésta Cuarta Unidad, se planteará una evaluación que estará disponible hasta el 20 de Mayo.
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