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Lignatec 2/96
sene Bedeckung erreicht werden soll, ist
Figur 23 Lamellenkrümmung auf Kegelschale
= K • dmax wobei K =
1
•
1 - 4. h2 a2. b2
r2
die Gauss'sche Krümmung im Scheitel und dmax der grösste Abstand der Lamelle vom Scheitel bedeutet. Figur 24 I> Elliptisches Paraboloid
Beim geraden Kreiskegel (Figur 23) ist r=
s • tgw sing,
3.2.2
(w = Winkel zwischen Kegelachse und Mantellinie). Nicht abwickelbare Flächen
Unter den nicht abwickelbaren, doppelt gekrümmten Flächen interessieren das Ellipsoid mit Kugel als Spezialfall, das elliptische und das hyperbolische Paraboloid sowie das Konoid (Figur 19 und 20). Das Rotationshyperboloid findet Anwendung bei Kühltürmen. Als Dachfläche ist es kaum geeignet. 3.2.2.1 Das elliptische Paraboloid Das hier in Frage stehende elliptische Paraboloid hat die Gleichung z x2 y2 1- - = — + h a2 b2
h-z
und bz = b
h-z
Die Extremalwerte der Krümmungen findet man im Scheitel. Sie betragen a2 b2 — und r,= • 2h
- 2h
Die Hauptkrümmungsrichtungen und damit die Richtung der beiden Lamellenlagen entsprechen annähernd den Koordinatenachsen. Die Flächennormale, die für die Bestimmung der auftretenden Schnittwinkel im Randbereich oft benötigt wird, hat die Richtung 2h - — x; L
a2
2h — b2
8
52.058
25
wie leicht zu verifizieren ist (z = 0 auf ok Längswand normiert). Die Anwendung der Formeln auf dieses Beispiel führt zu folgenden Ergebnissen: 252 52.0582 r 169 m, r, = — = 39 m 16
16
Alle unter sich parallelen Vertikalebenen schneiden identisch gleiche Parabeln aus der Schale. Horizontalschnitte auf der Höhe z erzeugen Ellipsen mit den Radien az = a
Figur 24 zeigt eine Anwendungsmöglichkeit der elliptischen Paraboloidschale. Die Halle sei durch zwei Vertikalschnitte (Giebelwände mit parabelförmigem Ort) im Abstand von 80 m und durch die Seitenwände mit konstanter Höhe von 12 m abgeschlossen. Die grösste Breite der Halle sei 50m, während jene der Giebelwände 32 m messen sollen. Mit der Wahl der Scheitelhöhe, hier 20 m, ist die Geometrie der Schale definiert. Es ist
y;
•
Die Torsion ist vernachlässigbar klein und die grösste Krümmung, die eine Lamelle in der Schalenebene erleidet, wenn eine geschlos-
1 und - r
4.64.40
1
52.0582.252
165m
Diese Radien liefern für die einzelnen Lamellenquerschnitte die oberen Grenzwerte, für t = 39 m/200 = 0.195 m und für die grösste zulässige Lamellenbreite b = 165 m/200 = 0.825 m und stellen damit baupraktisch keine relevante Begrenzung dar. 3.2.2.2 Das hyperbolische Paraboloid Die für Überdachungen besonders gut geeigneten hyperbolischen Paraboloidschalen (HP-Schalen) werden hier in allgemeiner Form beschrieben. Zur Verwendung gelangen meistens Ausschnitte mit geradliniger Begrenzung, d. h. aus den zwei sich kreuzenden Scharen erzeugender Geraden werden je zwei als Schalenrand definiert. Die Ecken dieses windschiefen Viereckes seien A, B, C und D (Figur 20b). Sie können in ihrer räumlichen Lage zueinander beliebig angenommen werden. Einzige Bedingung ist, dass sie nicht und auch nicht annähernd in einer Ebene liegen.