? WAT IS JOUW VERJAARDAGSBREUK? Wanneer je het getal
738 013 66 660
als decimale vorm schrijft, dan vind je
738 013 = 11, 07 1302 1302 1302 . . . 66 660 Je herkent er de datum van de Guldensporendag in! Hoe maak je zelf zo’n breuk? Elk reëel getal r kan geschreven worden als een decimale vorm r = a0 , a1 a2 a3 a4 . . . waarbij a0 een geheel getal is en a1 , a2 , a3 , a4 , . . . cijfers zijn, die we decimalen noemen. Zo is bijvoorbeeld −
19 = −2, 375 000 00 . . . 8
en
5 = 0, 454 545 45 . . . 11
en
π = 3, 141 592 85 . . .
Soms kunnen we in zo’n decimale vorm een eindig aantal opeenvolgende decimalen aanduiden die zich voortdurend herhalen. In dat geval spreken we van een repeterende decimale vorm. Er is dan altijd een kleinst mogelijke keuze van zo’n reeks opeenvolgende decimalen die we de periode van de decimale vorm noemen. Die periode kan bijvoorbeeld aangeduid worden door te onderlijnen wanneer ze de eerste keer optreedt: −
19 = −2, 375 000 00 . . . 8
en
5 = 0, 454 545 45 . . . 11
De eerste decimale vorm heeft periode 0 en in zo’n geval laat men die nullen meestal weg, maar strikt genomen horen ze er wel te staan! Elk rationaal getal kan geschreven worden in een repeterende decimale vorm. Die kun je terugvinden door de lange deling van de teller met de noemer uit te voeren. In de lagere school heb je geleerd hoe je zo’n staartdeling kan maken. Het omgekeerde is ook waar: elke repeterende decimale vorm stelt een quotiënt van twee gehele getallen voor. Volgend voorbeeld laat zien hoe je dat quotiënt kan terugvinden. q = 1071 1111, 07 1302 1302 . . . 100 q = 1071 1107, 1302 1302 . . . 1 000 000 q = 11 071 302, 1302 1302 . . . Trekken we de laatste vergelijking van de voorlaatste af, dan vinden we 999 900 q = 11 070 195 zodat q=
11 070 195 738 013 = . 999 900 66 660
Op die manier kun je nu ook jouw verjaardagsbreuk te weten komen! 3