Deel VII Limieten, asymptoten en continuïteit

Wiskunde In zicht een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs geschreven door

Koen De Naeghel Deel VII Limieten, asymptoten en continuı̈teit

09/04/2022

CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie.

De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk).

Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken.

Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende.

Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie.

Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet.

• De morele rechten van de auteur.

• De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy.

Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

Eerste druk: Versie:

2020

9 april 2022

Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Auteursrecht omslagfoto: stylephotographs/123RF Stockfoto http://nl.123rf.com/profile stylephotographs Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% © Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0

Deel VII

Analyse - Limieten, asymptoten en continuı̈teit y

f (x) = sin

1

−2

−1

1

−1

VII

1 x

2

x

Inhoudsopgave

Deel Limieten, asymptoten en continuı̈teit

1 Limieten van functies

1

1.1 1.2 1.3 1.4

Intuı̈tieve betekenis van limiet . . . . .

Rekenregels voor limieten . . . . . . . .

Praktische berekening van limieten . . .

Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . .

Toepassing 1 - Goniometrische limieten Toepassing 2 - Meetkundige problemen Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

Continuı̈teit van een functie in a . . . . . .

Continuı̈teit van een functie . . . . . . . . .

Fundamentele stellingen . . . . . . . . . . .

Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . .

Toepassing 1 - Wortelstelling . . . . . . . .

Toepassing 2 - Fixpuntstelling van Brouwer Toepassing 3 - Fysische problemen . . . . .

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

2 Asymptoten 2.1 Verticale asymptoot en perforatie 2.2 Horizontale asymptoot . . . . . .

2.3 Schuine asymptoot . . . . . . . . .

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . .

3 11 17 25 25 27 28

38 . . . .

. . . .

. . . .

3 Continuı̈teit 3.1 3.2 3.3 3.4

39 41 43 46

48 48 54 56 58 58 59 60 61

A

Formules van de goniometrie - Overzicht

67

B

Bewijzen van fundamentele stellingen

68

Antwoorden op geselecteerde oefeningen

73

Referentielijst

78

Lorsque les valeurs successivement attribuées à une même variable s’approchent indéfiniment d’une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l’on voudra, cette dernière est appelée la limite de toutes les autres.

Hoofdstuk 1

Louis Augustin Cauchy

, Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique, 1821

Limieten van functies In Deel Precalculus 1 en 2 stonden basisbegrippen van functies en kenmerken van enkele elementaire functies centraal, waaronder veeltermfuncties en rationale, irrationale, exponentiële, logaritmische, goniometrische en cyclometrische functies. Precalculcus gaat, zoals de naam al doet vermoeden, de zogenaamde calculus vooraf.

Wat is calculus?

De calculus vindt zijn oorsprong in de 17e eeuw, als een systeem van sluiproutes om de zogenaamde uitputtingsmethode van Eudoxus toe te passen: een manier die in de Griekse Oudheid werd bedacht om de oppervlakte van een gekromde figuur, zoals een cirkel, te benaderen (zie ook Deel Rijen).1 Naast het berekenen van lengtes, oppervlakten en volumes bleek de calculus ook geschikt om bepaalde meetkundige kenmerken in een punt van een kromme te onderzoeken, zoals raaklijn, normaal en kromming. Ook in de mechanica konden equivalente problemen worden opgelost, waardoor de calculus aan de oorsprong van de wiskundige natuurkunde kwam te liggen.

Het uitzonderlijke succes van de calculus was in de eerste plaats mogelijk omdat het de lange, subtiele argumenten van de uitputtingsmethode verving door korte routineberekeningen (zie figuur onderaan), wat ook de herkomst van het woord calculus verklaart.

Aanvankelijk lag de nadruk op de berekeningen zelf, en niet op hun logische verantwoording. Wiskundigen uit de 17e eeuw waren immers vertrouwd met de uitputtingsmethode van Eudoxus, en hadden er alle vertrouwen in dat ze op die methode konden terugvallen mochten hun resultaten in vraag worden gesteld. De overvloed aan nieuwe resultaten was echter zo groot dat de focus op het rigoreuze aspect verdween. De rekentechnieken waren gestoeld op zogenaamde infinitesimalen, die enkel intuı̈tief werden beschreven als objecten die kleiner zijn dan ieder positief reëel getal, maar toch groter zijn dan nul. Gaandeweg werd de kritiek op deze inuı̈tieve behandeling steeds groter.

S=

Z

0

2π

a2 a2 dφ = 2 2

Z

0

2π

a2 φ dφ = 2

2π 0

2

=a π

Z

a

ã Å x3 2 V = (a − x )π dx = π xa − 3 −a 2

2

a −a

=

4a3 π 3

Ter illustratie: oppervlakte van cirkel en volume van bol bepaald met rekentechnieken van de calculus [23, p.110]. Deze formules werden in de Griekse Oudheid al bewezen door Archimedes, doch de rekentechnieken van de calculus leiden tot een veel kortere redenering, en zijn daarenboven ook meteen toepasbaar op tal van andere figuren, zie Deel Integralen.

1 Het idee van de uitputtingsmethode gaat terug naar Antiphon van Rhamnus (ca. 480-411 v.Chr.), en werd enkele decenia later op punt gezet door Eudoxus van Cnidus (ca. 390-337 v.Chr.), zie [39]. De methode werd succesvol toegepast door Archimedes van Syracuse (287 v.Chr.-212 v.Chr.) die hiermee de oppervlakte en het volume van een bol kon bepalen, alsook de oppervlakte tussen een rechte en een cirkel of parabool. In de 17e eeuw berekende Pierre de Fermat hellingen van raaklijnen en oppervlaktes onder krommen.

De ontdekking van de calculus wordt toegeschreven aan Isaac Newton 1671 (publ. 1736) [29] en Gottfried Wilhelm Leibniz 1684 [27].

VII-1

Pas in de 19e eeuw, toen nieuwe eisen aan de strengheid van de wiskunde werden gesteld, konden de rekentechnieken gerechtvaardigd worden, en dus ook alle resultaten die daaruit voortgevloeid waren. Het concept limiet van een functie stond hierin centraal, en gaf andere basisbegrippen zoals asymptoot, continuı̈teit, afgeleide en integraal een solide basis.2 De vraag Wat is calculus? kan dan ook als volgt beantwoord worden: calculus is de studie van limieten.

In Deel Precalculus 1 en 2 kwamen limieten van functies al zijdelings aan bod. In dit hoofdstuk bespreken we een intuı̈tieve definitie van limiet, voorzien van een interpretatie die formeel kan worden gemaakt. Asymptoten en continuı̈teit van functies worden, in hun brede betekenis, in de volgende hoofdstukken behandeld. In Deel Afgeleiden en Deel Integralen wordt dan de zogenaamde differentiaal- en integraalrekening uitgewerkt.

Een fysisch probleem dat leidt tot het limietbegrip Heel wat wiskundige en fysische problemen zijn te herleiden tot het berekenen van een zogenaamde limiet van een functie: wat gebeurt er met de functiewaarde f (x) naarmate de x-waarde dichter bij een constante a komt te liggen?

Beschouw bijvoorbeeld een object dat op een getallenas beweegt, zodat op elk tijdstip t (in uur) de positie (in kilometer) wordt bepaald door:3 s(t) = −2t2 + 12t − 8.

Zo wordt de plaats van het object op tijdstip t = 1 u gegeven door s(1) = 2 km. De beweging van het object is hieronder schematisch voorgesteld:

t = 6, s = −8 t = 3, s = 10 t = 0, s = −8 −10

t = 1, s = 2 −5

0

5

10

s

We stellen nu de volgende, elementaire vraag: hoe snel beweegt het object op tijdstip t = 1? We kunnen de formule snelheid is afstand gedeeld door tijd gebruiken om de zogenaamde gemiddelde snelheid over een tijdsinterval te berekenen: de mate waarmee de afstand over dat tijdsinterval verandert. Het adjectief gemiddelde benadrukt het feit dat de snelheid niet constant hoeft te zijn over dat interval. Zo vinden we voor het tijdsinterval [1, 2] als gemiddelde snelheid: vgem =

s(2) − s(1) (8 − 2) km = = 6 km/u.

2−1 1u

Voor de kleinere intervallen [1; 1, 2] en [1; 1, 02] verkrijgen we gemiddelde snelheid: vgem =

s(1, 2) − s(1) = 7, 6 km/u 1, 2 − 1

resp.

vgem =

s(1, 02) − s(1) = 7, 96 km/u.

1, 02 − 1

Hoe snel beweegt het object nu op tijdstip t = 1? Om aan deze ogenblikkelijke snelheid betekenis te geven, moeten we spreken over de limiet van de gemiddelde snelheid over steeds kleinere tijdsintervallen. Met behulp van de grafische rekenmachine kunnen we wel raden wat die ogenblikkelijke snelheid is:

In symbolen noteert men dan: s(1 + h) − s(1) = 8 km/u. h Hierbij stelt de variabele h een reëel getal voor (de lengte van het tijdsinterval) dat nadert naar een constante.4 De belangrijkste doelstelling van dit hoofdstuk is om zo’n limiet ook daadwerkelijk te kunnen berekenen. lim

h→0

2 In de tweede helft van de 18e eeuw ontstond de visie dat de calculus gebaseerd hoort te zijn op het limietbegrip. Woordelijke omschrijvingen van dat begrip werden gegeven door Jean-Babtiste le Rond D’Alembert 1765 [11, p.542] en Cauchy 1821 [10] (citaat vorige pagina). De eerste formele, kwantitatieve definitie van limiet kwam van Karl Weierstrass , gepubliceerd door zijn student Heinrich Eduard Heine in 1872 [24], zie [6, p.608], en bekend als de (ϵ, δ)-definitie. Het belang hiervan is dat het een rekenkundige behandeling van limietprocessen mogelijk maakt. De auteur is echter van mening dat een kennismaking met limietbegrip via (ϵ, δ)-definitie didactisch ongeschikt is. Een sluitende theorie van infinitesimalen werd uiteindelijk in 1966 ontwikkeld door Abraham Robinson [30].

3 Het symbool s vindt zijn oorsprong in spatium, het Latijnse woord voor (tussen)ruimte. Letter v verwijst naar de Engelse term velocity.

4 Dit in tegenstelling tot het begrip limiet van een rij, waar het rangnummer n natuurlijke getallen doorloopt en divergeert naar +∞.

De verwantschap tussen limiet van een rij en limiet van een functie wordt uitgedrukt met het zogenaamde rijenkenmerk, zie voetnoot 5.

VII-2

1.1

Intuı̈tieve betekenis van limiet

Beschouw de functie f met als voorschrift

x3 − 1 . x−1 Bij het plotten van de grafiek merken we op dat er bij de x-waarde 1 geen y-waarde hoort. Toch kunnen we ons afvragen wat er gebeurt met de functiewaarden f (x) als x in de buurt van 1 ligt. Meer precies, nadert f (x) tot een specifiek getal L als x nadert tot 1? De laatste schermafdruk suggereert dat dit het geval is. f (x) =

Dankzij Deel Rijen kunnen we dit proces nauwkeurig omschrijven: we laten een rij van x-waarden naderen naar 1, en bekijken de bijbehorende rij van functiewaarden. We kiezen bijvoorbeeld de rij (un ) zoals aangegeven in de linkertabel en linkerfiguur hieronder. We merken op dat die rij van functiewaarden convergeert naar de y-waarde 3. n Als we een andere rij van x-waarden kiezen die convergeert naar 1, bijvoorbeeld met expliciet voorschrift vn = 1− 12 , dan blijkt ook die nieuwe rij van functiewaarden te convergeren naar 3, zie rechterfiguur hieronder.

un

f (un )

0, 75 2, 3125 1, 25 3, 8125 0, 9

2, 71

1, 1

3, 31

0, 95 2, 8525 1, 05 3, 1525

y

y

f

f 4 f (u2 ) .. .

4

3 f (u3 )

3 .. .

f (u1 ) 2

f (v2 ) 22222 f (v1 )

0, 99 2, 9701 1, 01 3, 0301 ↓

↓

1

3

1

1

x u1 u3 1 ... u2

v1

v2 ... 1

x

Deze informatie suggereert de volgende conclusie: voor elke rij die convergeert naar 1 (met elke term ̸= 1) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar 3. Daarom zeggen we dat f (x) nadert tot 3 als x nadert tot 1, en schrijven in symbolen: f (x) → 3

als

x→1

of kortweg:

lim f (x) = 3

x→1

hetgeen we lezen als: de limiet van f (x) als x nadert tot 1 is gelijk aan 3.

In dit voorbeeld kunnen we de limiet ook intuı̈tief berekenen: we herkennen in x3 − 1 een merkwaardig product (zie Deel Parate kennis): x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) dus als x ≈ 1 (met x ̸= 1) dan zal f (x) =

x3 − 1 (x − 1)(x2 + x + 1) = = x2 + x + 1 ≈ 12 + 1 + 1 = 3. x−1 x−1

Op die manier kunnen we het limietgedrag van de functie f in x = 1 intuı̈tief omschrijven: lim f (x) = 3

x→1

betekent:

als x ≈ 1 (met x ̸= 1) dan zal f (x) ≈ 3

Achter zo’n zinsnede schuilt steeds een interpretatie, zoals hierboven vermeld: voor elke rij die convergeert naar 1 (met elke term ̸= 1) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar 3.

VII-3

3 Intuı̈tieve definitie (limiet). Zij f een functie en a, L ∈ R. Zeggen dat de limiet van f in a is gelijk aan L, in symbolen lim f (x) = L

x→a

als x ≈ a (met x ̸= a) dan zal f (x) ≈ L

betekent:

hetgeen we interpreteren als: voor elke rij die convergeert naar a (met elke term ̸= a) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar L.5 Voor a = ±∞ en/of L = ±∞ hanteren we een soortgelijke definitie, en dienen we bij de interpretatie waar nodig de term(en) convergeert te vervangen door divergeert.6 Bij elk geval zeggen we dat de limiet van f in a bestaat.

Voorbeeld 1. Limiet van f in a ∈ R is gelijk aan L ∈ R. Merk op dat de functiewaarde f (a) geen enkele invloed op de waarde van de limiet L heeft. Zo is in onderstaande voorbeelden de functiewaarde in a (als ze bestaat) telkens verschillend, en toch heeft in elk geval de limiet van f in a dezelfde uitkomst L.

y

y f

L

y f

L

x

a

a

lim f (x) = L

f

L

x

lim f (x) = L

x→a

x

a lim f (x) = L

x→a

x→a

Voorbeeld 2. Limiet voor a ∈ R en L = +∞ of L = −∞. Ook hier heeft de functiewaarde f (a) geen enkele invloed op de waarde van de limiet L.

y

y f

f a x

x

a

lim f (x) = −∞

lim f (x) = +∞

x→a

x→a

Voorbeeld 3. Limiet voor a = +∞ en L ∈ R of L = +∞.

y

y

L

y f

f

L f

x lim f (x) = L

x→+∞

x lim f (x) = L

x→+∞

x lim f (x) = +∞

x→+∞

5 Daarbij nemen we stilzwijgend aan dat zo’n rij van x-waarden die naar a convergeert enkel termen u bevat waarvoor f (u ) bestaat. i i Deze interpretatie is een afkorting van de formele betekenis die bekend staat als het rijenkenmerk, en gaat als volgt. Voor a, L ∈ R betekent de uitspraak als x ≈ a (met x ̸= a) dan zal f (x) ≈ L formeel: (1) er bestaat minstens één rij (un ) die convergeert naar a waarbij elke term ui ∈ dom f en ui ̸= a zodanig dat de bijbehorende rij van functiewaarden (f (un )) convergeert naar L, en (2) voor elke andere rij (vn ) die convergeert naar a en waarbij elke term vi ∈ dom f en vi ̸= a, convergeert de rij van functiewaarden (f (vn )) eveneens naar L. Uit deze formele betekenis blijkt dat de schrijfwijze limx→a f (x) enkel zin heeft als aan de voorwaarde (1) van hierboven is voldaan, hetgeen equivalent is met ∀R ∈ R+ 0 : #(]a − R, a + R[ ∩ dom f ) = +∞. In dat geval noemt men a een ophopingspunt van dom f . Is dat niet het geval, dan is de limiet in a niet gedefinieerd. De behandeling voor a = ±∞ en/of L = ±∞ is analoog. Ten slotte vermelden we dat de formele betekenis van hierboven equivalent blijkt te zijn met de (ϵ, δ)-definitie van Weierstrass uit 1872, zie voetnoot 2.

6 Wanneer L = ±∞ dan noemen we de limiet van f in a een oneindige limiet, ook wel oneigenlijke limiet genoemd.

VII-4

Kennen we de grafiek van een functie, dan kunnen we daaruit limieten aflezen. Bij zo’n oefeningen is een goed begrip nodig van de interpretatie van de intuı̈tieve definitie van limiet voor elke rij die convergeert naar a (met elke term ̸= a) geldt dat de rij van functiewaarden convergeert naar L

meer bepaald:

(1) we beschouwen enkel rijen (met elke term ̸= a) waarvoor de functiewaarde van elke term bestaat, en (2) er moet minstens één zo’n rij bestaan.

Voor een verduidelijking verwijzen we naar de formele betekenis in voetnoot 5.

3 Modelvoorbeeld 1. Hieronder staat de grafiek van een functie f . Lees de gevraagde limieten af, en argumenteer telkens je uitkomst door middel van de interpretatie van de intuı̈tieve definitie van limiet.

y 4 3 2 f

−6

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

−5

1

−4

−3

lim f (x) = . . .

want . . .

lim f (x) = . . .

want . . .

lim f (x) = . . .

want . . .

lim f (x) = . . .

want . . .

lim f (x) = . . .

want . . .

lim f (x) = . . .

want . . .

lim f (x) = . . .

want . . .

lim f (x) = . . .

want . . .

lim f (x) = . . .

want . . .

lim f (x) = . . .

want . . .

x→−3

x→−1

x→0

x→1

x→2

x→3

x→4

x→6

x→−∞

x→+∞

−2

−1

1

VII-5

2

3

4

5

6

x

Is het voorschrift van een functie f gegeven, dan kunnen we eerst de grafiek plotten om daarna limieten af te lezen. Expliciet aantonen dat een limiet van f in a niet bestaat, kan door twee verschillende rijen te geven die elk convergeren/divergeren naar a, maar waarvoor de bijbehorende rijen van functiewaarden elk naar een ander getal convergeren. Wat ook kan, is dat je één rij geeft die convergeert/divergeert naar a, maar waarvan de bijbehorende rij van functiewaarden divergeert.

3 Modelvoorbeeld 2. Bepaal de volgende limieten met behulp van de grafiek van de functie. Argumenteer telkens je uitkomst door middel van de interpretatie van de intuı̈tieve definitie van limiet. Wees expliciet. Å ã Å ã 1 1 (b) lim sin (a) lim sin x lim sin x→+∞ x→0 x→0 x x Oplossing. (a) De functie f (x) = sin x is een elementaire functie, zodat we meteen de grafiek van f kunnen schetsen: lim sin x = . . .

want . . .

x→+∞

(b) Het plotten van de functie f (x) = sin( x1 ) levert de volgende schermafdrukken. Bij verder inzoomen is het resultaat eerder teleurstellend te noemen.

Xmin=-10, Xmax=10

Xmin=-1, Xmax=1

Xmin=-0.1, Xmax=0.1

Een plot met het tekstzetprogramma LATEX (package pstricks met optie plotpoints=50000) geeft het gewelddadig gedrag van f rond x = 0 wel prijs.

y

1 f (x) = sin x

1

−1

1

−1

Nu is (vul aan): Å ã 1 lim sin = ... x→0 x

want . . .

VII-6

x

Omgekeerd kunnen we informatie over de grafiek van een functie achterhalen door limieten - voorlopig intuı̈tief - te berekenen. Daarvoor gaan we te werk zoals bij het inleidend voorbeeld van deze paragraaf.

3 Modelvoorbeeld 3. Bepaal telkens de limiet met behulp van een intuı̈tieve berekening. Maak nadien een correcte schets van de grafiek van de functie waarop je de berekende limiet ook kan aflezen.

4x2 − 17x + 15 x→3 x−3

(a) lim (4x − 5)

(b) lim

x→3

Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 4. Gegeven is de grafiek van de functie f (x) =

sin x . x

Zoek met behulp van je grafische rekenmachine de limiet van f in 0, en bepaal daarna deze limiet met behulp van een intuı̈tieve berekening.

y

f (x) =

sin x x

x

Oplossing. Met behulp van de grafische rekenmachine vinden we (vul aan): als x ≈ 0 (met x ̸= 0) dan zal f (x) ≈ . . . zodat lim

x→0

sin x = ... x

We kunnen deze limiet intuı̈tief berekenen door sin x af te schatten. In Deel Complexe getallen hebben we gezien dat voor waarden van x (in radialen) dicht bij 0 geldt: sin x ≈ x,

sin x ≈ x −

1 3 x , 6

sin x ≈ x −

1 3 1 5 x + x , 6 120

Dus als x ≈ 0 (met x ̸= 0) dan zal (vul aan): f (x) =

sin x ≈ ... x VII-7

sin x ≈ x −

1 3 1 5 1 x + x − x7 enzovoort.

6 120 5040

Wanneer we een x-waarde a enkel benaderen met getallen die kleiner zijn dan a, dan spreken we over de linkerlimiet van f (x) als x nadert tot a. Analoog voor de rechterlimiet. De intuı̈tieve betekenis van deze eenzijdige limieten wordt als volgt omschreven.

3 Intuı̈tieve definitie (linker- en rechterlimiet). Zij f een functie en a, L ∈ R. Zeggen dat de linkerlimiet van f in a is gelijk aan L, respectievelijk de rechterlimiet van f in a is gelijk aan L, in symbolen lim f (x) = L

x→ a

betekent:

als x ≈ a (met x < a) dan zal f (x) ≈ L

betekent:

als x ≈ a (met x > a) dan zal f (x) ≈ L

<

lim f (x) = L

x→ a >

hetgeen we interpreteren als: voor elke rij die convergeert naar a (met elke term < a resp. > a) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar L.7 Voor L = ±∞ hanteren we een soortgelijke definitie, en dienen we bij de interpretatie de term convergeert naar L vervangt door divergeert naar +∞ resp. divergeert naar −∞.8 Bij elk geval zeggen we dat de linkerlimiet van f in a bestaat, respectievelijk de rechterlimiet van f in a bestaat.

Voorbeeld 1. Linker- en rechterlimiet voor L ∈ R. Opnieuw heeft de functiewaarde f (a) geen enkele invloed op de waarde van zo’n eenzijdige limiet. De begrippen limiet, linkerlimiet en rechterlimiet in a worden enkel geassocieerd met het gedrag van een functie dicht bij a, niet in a.

y

y f

L

y f

L2 L1

L1

x

a

f

L2

a

lim f (x) = L

x

lim f (x) = L1

x→a

lim f (x) = L1

x→ a

<

x→ a

<

<

lim f (x) = L2

lim f (x) = L

lim f (x) = L2

x→ a

x→a

x→ a

>

>

x

a

>

Voorbeeld 2. Linker- en rechterlimiet voor L = +∞ of L = −∞.

y

y

f

f

x

a

a

x lim f (x) = −∞

lim f (x) = +∞

x→ a

x→a

<

<

lim f (x) = +∞

lim f (x) = +∞

x→ a

x→a

>

>

7 Daarbij nemen we opnieuw stilzwijgend aan dat zo’n rij van x-waarden die naar a convergeert, enkel termen u bevat waarvoor f (u ) i i bestaat. Voor a, L ∈ R betekent de uitspraak als x ≈ a (met x < a) dan zal f (x) ≈ L formeel: (1) er bestaat minstens één rij (un ) die convergeert naar a waarbij elke term ui ∈ dom f en ui < a zodanig dat de bijbehorende rij van functiewaarden (f (un )) convergeert naar L, en (2) voor elke andere rij (vn ) die convergeert naar a en waarbij elke term vi ∈ dom f en vi < a, convergeert de rij van functiewaarden (f (vn )) eveneens naar L. Uit deze formele betekenis blijkt dat de schrijfwijze limx → a f (x) enkel zin heeft als aan de <

voorwaarde (1) van hierboven is voldaan, hetgeen equivalent is met ∀R ∈ R+ 0 : #(]a − R, a[ ∩ dom f ) = +∞. In dat geval noemt men a een linkerophopingspunt van dom f . Is dat niet het geval, dan is de linkerlimiet in a niet gedefinieerd. De behandeling voor rechterlimiet in a en/of L = ±∞ is analoog, met bijbehorende term rechterophopingspunt van dom f . In de literatuur staan de begrippen (linker- en rechter)ophopingspunt ook wel bekend onder de namen verdichtingspunt en limietpunt. Is a zowel een linker- als een rechterophopingspunt van dom f , dan is a noodzakelijk ook een ophopingspunt van dom f . De omgekeerde uitspraak is niet waar.

8 Wanneer L = ±∞ dan noemen we de linker- en rechterlimiet van f in a beide een oneindige limiet, ook wel oneigenlijke limiet genoemd.

VII-8

Opnieuw is een goed begrip nodig van deze intuı̈tieve definities: (1) we beschouwen enkel rijen (met elke term < a resp. > a) waarvoor de functiewaarde van elke term bestaat, en (2) er moet minstens één zo’n rij bestaan.

3 Modelvoorbeeld 1 (vervolg). Hieronder staat de grafiek van een functie f . Lees de gevraagde eenzijdige limieten af, en argumenteer telkens je uitkomst door middel van de interpretatie van hun intuı̈tieve definitie.

y 4 3 2 f

−6 (a)

−5

lim f (x) = 2

x→−3

1

−4

−3

−2

−1

lim f (x) = . . .

x → −3 <

1

2

lim f (x) = . . .

x → −3 >

want . . .

(b)

lim f (x) = /

x→−1

lim f (x) = . . .

x → −1 <

lim f (x) = . . .

x → −1 >

want . . .

(c)

lim f (x) = 3

x→0

lim f (x) = . . .

x→ 0 <

lim f (x) = . . .

x→ 0 >

want . . .

(d)

lim f (x) = 2

x→1

lim f (x) = . . .

x→ 1 <

lim f (x) = . . .

x→ 1 >

want . . .

(e)

lim f (x) = 2

x→2

lim f (x) = . . .

x→ 2 <

lim f (x) = . . .

x→ 2 >

want . . .

(f)

lim f (x) = /

x→3

lim f (x) = . . .

x→ 3 <

lim f (x) = . . .

x→ 3 >

want . . .

(g)

lim f (x) = +∞

x→4

lim f (x) = . . .

x→ 4 <

lim f (x) = . . .

x→ 4 >

want . . .

(h)

lim f (x) = /

x→6

lim f (x) = . . .

x→ 6 <

lim f (x) = . . .

x→ 6 >

want . . .

VII-9

3

4

5

6

x

Bestaan linker- en rechterlimiet in a en hebben ze dezelfde waarde, dan bestaat ook de limiet in a, met dezelfde waarde.

Onder bepaalde voorwaarden geldt ook de omgekeerde implicatie.

3 Stelling (eenzijdige limieten).

Zij f een functie en a ∈ R zodat f bestaat in een geperforeerde omgeving van a.9

Dan geldt:

⇔

lim f (x) bestaat

x→a

lim f (x) en lim f (x) bestaan en zijn gelijk x→ a

x→ a

>

<

en in dat geval hebben deze drie limieten dezelfde waarde.

Voorbeeld 1. In elk van de onderstaande voorbeelden bestaat f in een geperforeerde omgeving van a, zodat de stelling van de eenzijdige limieten kan worden toegepast.

y

y f

L

y

f

L2

f

L1 x

a x

a

a

lim f (x) = L

x lim f (x) = −∞

lim f (x) = L1

x→a

x→ a

<

x→a

<

lim f (x) = L

<

lim f (x) = L2

x→a

lim f (x) = +∞

x→ a

>

x→a

>

lim f (x) = L

>

lim f (x) = /

x→a

lim f (x) = /

x→a

x→a

Voorbeeld 2. Wanneer het niet zo is dat f bestaat in een geperforeerde omgeving van a, dan kan de stelling van de eenzijdige limieten niet worden toegepast. In dat geval kan de limiet in a bestaan, zelfs al bestaat de linkerof rechterlimiet in a niet. Dat is het geval als f niet onmiddellijk links van a bestaat of niet onmiddellijk rechts van a bestaat.

y

y

f

L

f

a

a

x

x lim f (x) = −∞

lim f (x) = /

x→ a

x→a

<

<

lim f (x) = L

lim f (x) = /

x→a

x→a

>

>

lim f (x) = −∞

lim f (x) = L

x→a

x→a

9 Met f bestaat in een omgeving van a bedoelen we dat er een R > 0 bestaat waarvoor ]a − R, a + R[ ⊆ dom f . Zo’n waarde a noemt men ook wel een inwendige waarde (of inwendig punt) van dom f . Zeggen dat f bestaat in een geperforeerde omgeving van a betekent dan precies dat f bestaat in een omgeving van a behalve eventueel in a zelf, formeel: ∃R ∈ R+ 0 : ]a − R, a + R[ \ {a} ⊆ dom f . Een geperforeerde omgeving van a wordt ook wel een verminderde omgeving van a, verwijderde omgeving van a of doorprikte omgeving van a genoemd. In de stelling van eenzijdige limieten kan de voorwaarde f bestaat in een geperforeerde omgeving van a nog worden afgezwakt tot: a is zowel een linker- als een rechterophopingspunt van dom f .

VII-10

1.2

Rekenregels voor limieten

Soms kunnen we een limiet van een functie aflezen uit de grafiek van die functie. Andere limieten kunnen we dan weer intuı̈tief berekenen. Toch zijn er heel wat limieten waarvan we de exacte waarde niet op die manier kunnen bepalen, bijvoorbeeld: Äp ä 49x2 − 5x + 7x . lim x→−∞

Het is dus noodzakelijk om limieten van functies ook algebraı̈sch te kunnen berekenen. Net zoals bij limieten van rijen komen ook hier fundamentele limieten van pas, in combinatie met de rekenregels voor limieten.

3 Fundamentele limieten. In Deel Precalculus 1 en 2 kwamen de volgende elementaire functies aan bod.

Verwacht wordt dat je de grafieken van deze functies ten allen tijde onmiddellijk voor de geest kan halen. Op die manier ken je ook de vermelde limieten van deze elementaire functies. Hieruit blijkt ook dat de onderstaande elementaire functies f allemaal aan het volgend kenmerk voldoen: als a ∈ dom f dan is lim f (x) = f (a) x→a

Deze eigenschap zal later essentiëel blijken om limieten van courante functies praktisch te kunnen berekenen.

constante functie

identieke functie

y f (x) = c

y

x

x

lim |x| = . . .

x→+∞

omgekeerde functie

x→+∞

positieve vierkantswortel-functie

y

y √ f (x) = x

1 f (x) = x

x

1 = ... x→0 x 1 = ... lim x→+∞ x

x→−∞

lim x = . . .

lim c = . . .

x

lim |x| = . . .

x→−∞

x→+∞

lim

f (x) = |x|

lim x = . . .

lim c = . . .

x→−∞

1 = ... x→−∞ x 1 lim = . . . x→0 x < 1 lim = . . . → x 0 x >

y

f (x) = x

c

lim

absolute waarde-functie

p derdemachtswortel-functie y √ 3 f (x) = x

x

lim

x→−∞

lim

x→0

√ x = ... √ x = ...

x→0

√ x = ...

>

lim

x→0

lim

x→+∞

lim

√ 3

x = ...

lim

√ 3

x = ...

x→−∞

x→+∞

<

lim

x

√ x = ... √ x = ...

VII-11

exponentiële functie groeifactor 0 < a < 1

exponentiële functie groeifactor a > 1

y

y f (x) = a

x

f (x) = a

x

1

1

x

x

lim ax = . . .

lim ax = . . .

x→−∞

x→−∞

lim ax = . . .

lim ax = . . .

x→+∞

x→+∞

logaritmische functie grondtal 0 < a < 1

logaritmische functie grondtal a > 1

y

y a

a

f (x) = log x

1

lim

a

x→−∞

lim

a

x→ 0

f (x) = log x

x

1

log x = . . .

lim

lim

log x = . . .

a

lim

log x = . . .

log x = . . .

a

log x = . . .

x→ 0

>

>

lim a log x = . . .

lim a log x = . . .

x→0

lim

a

<

x→ 0

x→+∞

log x = . . .

x→ 0

<

lim

a

x→−∞

a

x→0

log x = . . .

lim

x→+∞

VII-12

a

log x = . . .

x

sinusfunctie g

boogsinusfunctie y

y π 2

f (x)=Arcsin x

f (x) = sin x

1 π

π 2

2π

3π 2

x

−1

−1

x

1 − π2

lim sin x = . . .

x→−∞

lim sin x = . . .

x→+∞

lim Arcsin x = . . .

lim Arcsin x = . . .

x → −1

x→−∞

>

lim Arcsin x = . . .

x→−1

<

lim Arcsin x = . . .

x→1

<

lim Arcsin x = . . .

x → −1

lim Arcsin x = . . .

x→1

lim Arcsin x = . . .

lim Arcsin x = . . .

x→1

x→+∞

>

cosinusfunctie g

boogcosinusfunctie y

y

f (x)=Arccos x

π

f (x) = cos x 1 π

π 2

2π

3π 2

π 2

x

−1 −1 lim cos x = . . .

x→−∞

lim cos x = . . .

x→+∞

lim Arccos x = . . .

x→−∞

lim Arccos x = . . .

x → −1 >

lim Arccos x = . . .

x → −1

lim Arccos x = . . .

lim Arccos x = . . .

x→1

<

x→−1

<

lim Arccos x = . . .

x→ 1

x

1

lim Arccos x = . . .

x→ 1

lim Arccos x = . . .

x→+∞

>

tangensfunctie

boogtangensfunctie y

y f (x) = tan x 2

π 2

1 f (x)=Arctan x − π2

π 2

π

x

3π 2

−2

−1

−1

lim tan x = . . . lim tan x = . . .

x→+∞

2

− π2

−2

x→−∞

1

lim tan x = . . .

x→ −π 2 <

lim tan x = . . .

x→ −π 2 >

lim tan x = . . .

x→− π 2

limπ tan x = . . .

x→

< 2

VII-13

limπ tan x = . . .

x→

> 2

lim tan x = . . .

x→ π 2

lim Arctan x = . . .

x→−∞

lim Arctan x = . . .

x→+∞

x

De intuı̈tieve definitie van limiet van een functie laat ons toe om de rekenregels voor limieten van rijen te vertalen naar rekenregels voor limieten van functies. De eigenschap geldt ook voor linker- en rechterlimieten van functies.

3 Eigenschap (rekenregels voor limieten van functies). Zij r ∈ R, f en g functies, a ∈ R of a = ±∞ zodat de limieten van f en g in a beide bestaan. Dan geldt, indien het rechterlid geen onbepaaldheid is:10 (a) (b) (c) (d)

lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x)

limiet van som is som van limieten

lim (f (x) − g(x)) = lim f (x) − lim g(x)

limiet van verschil is verschil van limieten

x→a

x→a

x→a

x→a

(f)

x→a

lim (r · f (x)) = r · lim f (x)

x→a

limiet van veelvoud is veelvoud van limiet

x→a

lim (f (x) · g(x)) =

x→a

Å (e)

x→a

lim

x→a

f (x) g(x)

=

lim (f (x)) =

x→a

lim f (x) · lim g(x)

x→a

limiet van product is product van limieten

x→a

lim f (x)

ã

r

x→a

limiet van quotiënt is quotiënt van limieten

lim g(x)

x→a

r lim f (x)

limiet van macht is macht van limiet

x→a

Schets van het bewijs van (a) voor a ∈ R.

11

Noemen we lim f (x) = L en lim g(x) = M dan betekent dit: x→a

x→a

als x ≈ a (met x ̸= a) dan zal f (x) ≈ L en g(x) ≈ M hetgeen we interpreteren als: voor elke rij (un ) die convergeert naar a (met elke term ̸= a) geldt dat de bijbehorende rijen van functiewaarden (f (un )) en (g(un )) convergeren/divergeren naar L resp. M , i.e. limn→+∞ f (un ) = L en limn→+∞ g(un ) = M . Wegens een rekenregel voor limieten van rijen is nu (als het rechterlid geen onbepaaldheid is) limn→+∞ (f (un ) + g(un )) = L + M , zodat we mogen schrijven: als x ≈ a (met x ̸= a) dan zal f (x) + g(x) ≈ L + M waaruit limx→a (f (x) + g(x)) = L+M . Hiermee is aangetoond dat lim (f (x) + g(x)) = lim f (x)+ lim g(x). x→a

x→a

x→a

Als het functievoorschrift kan uitgedrukt worden met de algebraı̈sche operaties optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling, machtsverheffing en worteltrekking, dan kunnen we een limiet van zo’n functie algebraı̈sch bepalen. Dat kan met behulp van de bovenstaande rekenregels en de fundamentele limieten van hierboven.

3 Modelvoorbeeld 1. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten met behulp van de rekenregels voor limieten.

Schrijf alle tussenstappen op, en verklaar elke overgang. √ √ x2 + 9 x2 + 9 4 (a) lim (2x ) lim (b) lim x→3 x→4 x→4 x x Oplossing.

10 Bij de formulering van deze rekenregels wordt stilzwijgend verondersteld dat de betreffende uitdrukkingen in beide leden bestaan in R: niet delen door nul, geen even machtswortel van een strikt negatief getal enzovoort.

11 Zo’n schets van het bewijs kan formeel worden gemaakt met behulp van de formele betekenis van de interpretatie van de intuı̈tieve definitie van limieten van functies, zie voetnoot 5.

VII-14

In Deel Precalculus 1 en 2 werden de zogenaamde elementaire functies ingevoerd: veeltermfuncties, rationale en irrationale functies, exponentiële en logaritmische functies, goniometrische en cyclometrische functies, alsook de functies die we verkrijgen door hun samenstelling.12 De volgende stelling drukt uit dat voor zo’n functies de limiet in een waarde van het domein eenvoudig te berekenen valt.

3 Stelling (limiet berekenen door substitutie). Zij a ∈ R en f een veeltermfunctie of een rationale, irrationale, exponentiële, logaritmische, goniometrische of cyclometrische functie zodat f bestaat in een linker- of rechteromgeving van a. Dan geldt: (a) lim f (x) = f (a) x→a

(b) lim f (□) = f lim □ x→a

x→a

waarbij □ een willekeurige functie in x voorstelt zodat f bestaat in een linker- of rechteromgeving van limx→a □.

Schets van het bewijs. Het bewijs van (a) volgt uit de fundamentele limieten en de rekenregels voor limieten van functies, zie hierboven. Om (b) aan te tonen, noemen we □ = g(x), limx→a □ = limx→a g(x) = L en f (L) = M .

We moeten aantonen dat limx→a f (g(x)) = M . De schrijfwijze limx→a g(x) = L betekent: als x ≈ a (met x ̸= a) dan zal g(x) ≈ L hetgeen we interpreteren als: voor elke rij (un ) die convergeert naar a (met elke term ̸= a) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden (g(un )) convergeert naar L. Daar f (L) = M bestaat, is L ∈ dom f zodat limx→L f (x) = M wegens (a), hetgeen uitdrukt dat voor elke rij (vn ) die convergeert naar L (met elke term ̸= L) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden (f (vn )) convergeert naar M . Omdat L ∈ dom f , is de eis dat voor zo’n rij (vn ) elke term ̸= L overbodig. Stellen we nu (vn ) = (g(un )) dan convergeert de rij (f (g(un ))) naar M , zodat we mogen schrijven: als x ≈ a (met x ̸= a) dan zal f (g(x)) ≈ M waaruit limx→a f (g(x)) = M . Hiermee is aangetoond dat limx→a f (□) = f (limx→a □).

Voorbeeld 1. f (x) = 2x4 is een veeltermfunctie en f bestaat in een omgeving van 3, zodat lim (2x4 ) = 2 · 34 = 162.

x→3

Voorbeeld 2. f (x) =

√

x is een irrationale functie en f bestaat in een rechteromgeving van 0, zodat √ √ lim x = 0 = 0. x→0

Voorbeeld 3. Bij het berekenen van limieten volgt de verantwoording van overgangen soms uit berekeningen die verderop worden uitgevoerd.

lim ln (cos x) = ln lim cos x want ln x bestaat in een omgeving van lim cos x, zie verder x→0

x→0

= ln(cos 0)

x→0

want cos x is een goniometrische functie die bestaat in een omgeving van 0

= ln 1 = 0 Voorbeeld 4. f (x) = x12 is een rationale functie, maar f (0) bestaat niet. Dus f bestaat niet in een linker- of rechteromgeving van 0. Daarom kan de stelling limiet berekenen door substitutie hier niet worden toegepast.

En inderdaad (vul aan): lim f (x) = . . . terwijl f (0) = . . . x→0

Voorbeeld 5. f (x) = sign(x) bestaat in een omgeving van 0, maar f is geen elementaire functie zodat de limiet van f in 0 niet noodzakelijk gelijk is aan f (0). En inderdaad (vul aan): lim f (x) = . . .

x→0

terwijl

f (0) = . . .

√ √ Voorbeeld 6. f (x) = x + −x is een irrationale functie en f (0) bestaat, maar f bestaat niet in een linker- of rechteromgeving van 0 zodat de limiet in 0 niet noodzakelijk gelijk is aan f (0). En inderdaad (vul aan): lim f (x) = . . .

x→0

terwijl

f (0) = . . .

12 De term elementair verwijst naar de zogenaamde elementaire operaties optelling, vermenigvuldiging, deling en (n-de machts)worteltrekking. Formeel zeggen we dat een functie (in één variabele) een elementaire functie is indien het voorschrift kan opgebouwd worden uit een eindige combinatie van constante functies, elementaire operaties en algebraı̈sche, exponentiële en logaritmische functies en hun inverse functies onder herhaaldelijke samenstelling [40]. Tot de elementaire functies behoren dus ook de zogenaamde hyperbolische ex +e−x , 2

ex −e−x 2

sinh x en de tangens hyperbolicus tanh x = cosh Ä ä x √ 2 (zie Deel Afgeleiden) - en hun inversen, de inverse hyperbolische functies - zoals de arcsinus hyperbolicus Arcsinh x = ln x + x + 1 , de Ä ä Ä ä √ 1+x arccosinus hyperbolicus Arcsinh x = ln x + x2 − 1 en de arctangens hyperbolicus Arctanh x = 12 ln 1−x . Elementaire functies werden

functies - zoals de sinus hyperbolicus sinh x =

de cosinus hyperbolicus cosh x =

tussen 1833 en 1841 in een reeks artikelen geı̈ntroduceerd door Joseph Liouville

VII-15

[39].

Vaak moeten we een limiet van een functie f in a berekenen waarvoor f (a) niet bestaat, zodat limiet berekenen door substitutie niet kan. In dat geval kan het helpen om de limiet te vereenvoudigen door de volgende stelling toe te passen, die precies uitdrukt dat de begrippen limiet, linkerlimiet en rechterlimiet in a enkel geassocieerd worden met het gedrag van een functie dicht bij a, niet in a. Hieronder formuleren we de stelling voor (tweezijdige) limieten van functies. Voor linker- en rechterlimieten van functies is het resultaat analoog.13 3 Stelling (limiet berekenen door vereenvoudiging). Zij f en g functies en a ∈ R zodat f en g beide bestaan in een geperforeerde omgeving van a. Dan geldt:14 als f (x) = g(x) in een geperforeerde omgeving van a dan is lim f (x) = lim g(x) x→a

x→a

Schets van het bewijs voor het geval de limiet van f in a bestaat. Noemen we lim f (x) = L dan betekent dit: x→a

als x ≈ a (met x ̸= a) dan zal f (x) ≈ L hetgeen we interpreteren als: voor elke rij (un ) die convergeert naar a (met elke term ̸= a) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden (f (un )) convergeert/divergeert naar L, i.e. limn→+∞ f (un ) = L. Daar f (x) = g(x) in een geperforeerde omgeving van a, zullen de rijen (f (un )) en (g(un )) op eindig veel termen na gelijk zijn aan elkaar. Bijgevolg is ook limn→+∞ g(un ) = L, zodat we mogen schrijven: als x ≈ a (met x ̸= a) dan zal g(x) ≈ L waaruit lim g(x) = L. Hiermee is aangetoond dat lim f (x) = lim g(x). x→a

x→a

x→a

Voorbeeld 1. We berekenen: 4x2 − 17x + 15 (4x − 5)(x − 3) = lim x→3 x→3 x−3 x−3 lim

= lim (4x − 5) x→3

want 4x2 − 17x + 15 = (4x − 5)(x − 3) wegens stelling limiet berekenen door vereenvoudiging Inderdaad, als x ̸= 3 is (4x − 5)(x − 3) = 4x − 5 x−3 dus de functies (4x − 5)(x − 3) en g(x) = 4x − 5 x−3 zijn gelijk in een geperforeerde omgeving van 3, zodat f (x) =

lim f (x) = lim g(x)

x→3

=4·3−5

x→3

wegens stelling limiet berekenen door substitutie

= 7.

Voorbeeld 2. We berekenen: √ x lim √ = lim x → x 0 x > >

x→ 0

wegens stelling (rechter)limiet berekenen door vereenvoudiging Inderdaad, als x > 0 is √ √ x x x √ √ = √ = x x x

=0

wegens fundamentele limiet.

13 In dat geval vervangt men in de opgave van de stelling de termen geperforeerde omgeving door linkergeperforeerde resp. linkergeperforeerde omgeving.

14 Met het onderdeel lim x→a f (x) = limx→a g(x) bedoelen we in deze context: de limiet van f in a bestaat als en slechts als de limiet van g in a bestaat, en in dat geval is de waarde van beide limieten gelijk. De bovenstaande schets van het bewijs kan eenvoudig vervolledigd worden tot een (formeel) bewijs van deze uitspraak.

VII-16

1.3

Praktische berekening van limieten

In de vorige paragraaf hebben we geleerd dat heel wat limieten van functies algebraı̈sch berekend kunnen worden met behulp van de rekenregels voor limieten van functies, gecombineerd met fundamentele limieten. Om het vele schrijfwerk in te korten is er, net zoals bij limieten van rijen, een praktische berekening van limieten. Toch moeten we enige voorzichtheid aan de dag leggen: waar bij een rij (un ) slechts één type limiet aan bod kwam lim un

n→+∞

onderscheiden we bij een functie f vijf soorten limieten (waarbij a ∈ R): lim f (x),

x→a

lim f (x),

x→−∞

lim f (x),

x→+∞

lim f (x),

x→ a

lim f (x).

x→ a >

<

We zullen de praktische berekening van limieten van functies dan ook in meerdere stappen bespreken. Als eerste komt de limiet van f in a aan bod. Als a ∈ dom f dan laat de stelling limiet berekenen door substitutie ons toe om deze limiet voor een grote klasse van functies te berekenen.

3 Praktische berekening van limiet van een functie in a.15 Zij a ∈ R en f een veeltermfunctie, of een rationale, irrationale, exponentiële, logaritmische, goniometrische of cyclometrische functie, of een eindige samenstelling van deze functies zodat f bestaat in een linker- of rechtergeperforeerde omgeving van a. Om de limiet van f in a te berekenen: lim f (x)

x→a

gaan we invullen: vervang x in f (x) door a. Indien f (a) niet bestaat, dan kan de limiet bepaald worden door (1) de stelling limiet berekenen door vereenvoudiging, of (2) de eenzijdige limieten in a te berekenen (zie verder).

3 Modelvoorbeeld 1. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Bij een limiet van f in a ∈ R mag je aannemen dat f bestaat in een linker- of rechtergeperforeerde omgeving van a. Werk met exacte waarden. Alle tussenstappen opschrijven! Duid daarna de verkregen informatie aan op een schets. √

(a) lim 3 x→2

x2 −4

(c) lim

2

x→−1

(b) limπ sin x

(d) lim

x→2

x→ 3

log (x3 − 15x + 2)

(x − 2)(x + 5) (x − 2)(x + 3)

Oplossing.

15 Bij deze praktische berekening van limiet zijn de voorwaarden op f cruciaal. Zo bestaat de limiet van f (x) = sign(x) in a = 0 niet, √ √ terwijl f (a) = 0. Ook bestaat de limiet van f (x) = x + −x in a = 0 niet, terwijl f (a) = 0. Blindelings toepassen van de praktische berekening zou hier telkens tot een verkeerd antwoord leiden. Is men niet zeker dat f bestaat in een linker- of rechter(geperforeerde) omgeving van a, dan dient men de eenzijdige limieten in a te berekenen, zie Oefening 28.

VII-17

Vervolgens bespreken we de praktische berekening van limieten in ±∞. De eigenlijke procedure steunt op de notatie om de limiet van een functie f in ±∞ te noteren:16 als

lim f (x) = L

dan schrijven we ook:

f (+∞) = L,

lim f (x) = L

dan schrijven we ook:

f (−∞) = L.

x→+∞

als

x→−∞

De rekenregels voor limieten en de fundamentele limieten van functies leren ons hoe we met de symbolen ±∞ moeten rekenen. Zo leiden de volgende limieten (met a, b ∈ R en b > 0, en met m, n ∈ N0 en m > 1): lim (a + x) = ±∞, lim

x→±∞

1 = 0, x

lim x2n = +∞,

lim (bx) = ±∞,

x→±∞

x→±∞

√

m

lim

x→+∞

x = +∞,

lim x2n+1 = ±∞,

x→±∞

√

2n+1

lim

x→−∞

x→±∞

x = −∞,

lim

√

2n

x→−∞

x=/

alvast tot bewerkingen met reële getallen en ±∞ die ook in Deel Rijen werden vastgelegd: a + (±∞) = ±∞, 1 = 0, ±∞

(±∞)2n = +∞,

b · (±∞) = ±∞, √

m

+∞ = +∞,

√

2n+1

(±∞)2n+1 = ±∞, √

2n

−∞ = −∞,

−∞ = /

De andere fundamentele limieten die we in de vorige paragraaf hebben gezien, geven ons ook nog (met a ∈ R+ 0 \ {0}): als a > 1 : als 0 < a < 1 : sin(±∞) = /

cos(±∞) = /

a+∞ = +∞, a+∞ = 0,

a−∞ = 0, a−∞ = +∞,

tan(±∞) = /

a

log (+∞) = +∞, a

log (+∞) = −∞,

Arcsin(±∞) = /

a

log (−∞) = / a

log (−∞) = /

Arccos(±∞) = /

Arctan(±∞) = ±

π 2

Deze bewerkingen moeten in geen geval uit het hoofd geleerd worden! Maak dus geen in te studeren formularium, maar onthoud deze limieten visueel door de grafieken van elementaire functies voor de geest te halen en hun limieten af te lezen.

Met de notaties f (±∞) van hierboven kan de stelling limiet berekenen door substitutie nu uitgebreid worden tot limiet van f in ±∞, hetgeen ons opnieuw toelaat om deze limiet voor een grote klasse van functies te berekenen.

3 Praktische berekening van limiet van een functie in ±∞.17 Zij f een veeltermfunctie of een rationale, irrationale, exponentiële, logaritmische, goniometrische of cyclometrische functie, of een eindige samenstelling van deze functies. Om de limiet van f in ±∞ te berekenen: lim f (x),

x→+∞

lim f (x)

x→−∞

gaan we invullen: vervang x in f (x) door +∞ resp. −∞. Om de uitkomst verder te berekenen houden we, naast de bewerkingen met reële getallen en de symbolen ±∞, ook rekening met de rekenregels voor limieten van functies en de fundamentele limieten uit de vorige paragraaf.

3 Modelvoorbeeld 2. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Werk met exacte waarden. Alle tussenstappen opschrijven! Duid daarna de verkregen informatie aan op een schets. (a) (b)

lim (x3 + 5x2 − 7)

(c)

x→+∞

lim

x→−∞

−8 x3

(d)

lim 5

√ 3

x

x→−∞

lim

x→+∞

1 Arctan(1 − x2 )

Oplossing.

16 Lees

f (+∞) als de limiet van f in +∞, en zeker niet als de functiewaarde van f in +∞ want +∞ is geen getal. Analoog voor f (−∞). bij deze praktische berekening van limiet is de voorwaarde op f van belang, daar na het vervangen van x door ±∞ de uitkomst nog moet berekend worden aan de hand van de bewerkingen die hierboven werden opgesomd.

17 Ook

VII-18

Ten slotte bespreken we de praktische berekening van de linker- en rechterlimiet van een functie f in a ∈ R. Ook hier steunt de werkwijze op een alternatieve notatie om limieten te noteren. Daarvoor voeren we symbolen a+ en a− in:18 als

lim f (x) = L

dan schrijven we ook:

x→ a

als

lim f (x) = L

dan schrijven we ook:

x→ a

lim f (x) = L

of kortweg:

f (a+ ) = L,

lim f (x) = L

of kortweg:

f (a− ) = L.

x→a+

>

x→a−

<

Opnieuw leren de rekenregels voor limieten en de fundamentele limieten van functies ons hoe we met de symbolen a+ en a− moeten rekenen. Zo leiden de volgende fundamentele limieten: lim

x→ 0 >

1 = +∞, x

lim

x→ 0 <

1 = −∞, x

lim

x→ 0

√

x=0

en

lim

x→ 0

>

√

x=/

<

alvast tot de bewerkingen 1 = +∞, 0+

1 = −∞, 0−

√

0+ = 0

en

√

0− = /

19 De andere fundamentele limieten geven ons verder nog (met a ∈ R+ 0 \ {0}):

als a > 1 : a log 0+ = −∞,

a

log 0− = /

en

als 0 < a < 1 : a log 0+ = +∞,

a

log 0− = /

Opnieuw onthoud je deze en andere bewerkingen aan de hand van de grafieken van elementaire functies. Met de notaties f (a± ) van hierboven kan de stelling limiet berekenen door substitutie nu uitgebreid worden tot linker- of rechterlimiet van f in a. Zo kunnen ook de eenzijdige limieten voor een grote klasse van functies berekend worden.

3 Praktische berekening van limiet van een functie in a± . Zij a ∈ R en f een veeltermfunctie of een rationale, irrationale, exponentiële, logaritmische, goniometrische of cyclometrische functie, of een eindige samenstelling van deze functies. Om de rechter- of linkerlimiet van f in a te berekenen: lim f (x),

x→ a >

lim f (x)

x→ a <

gaan we invullen: vervang x in f (x) door a+ resp. a− . Om de uitkomst verder te berekenen houden we, naast de bewerkingen met reële getallen en de symbolen a± en ±∞, ook rekening met de rekenregels voor limieten van functies en de fundamentele limieten uit de vorige paragraaf.

3 Modelvoorbeeld 3. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Werk met exacte waarden. Alle tussenstappen opschrijven! Duid daarna de verkregen informatie aan op een schets. (a) lim

x → 0 x2 <

(b) lim p x→ <

1

3 −x

(c) lim

x→ 0

1 3

log (x2 )

<

√

− 5x (x − 1)(x2 + x − 4)

(d) lim x→ >

π

1 sin x

Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 4. Bereken algebraı̈sch de volgende limiet door afzonderlijk de linker- en rechterlimiet te berekenen. lim ln(x2 − 9) x→3

Oplossing.

18 Daar

f (a+ ) een kortschrift is voor limx → a f (x), hoor je f (a+ ) te lezen als de rechterlimiet van f in a, en zeker niet als de functiewaarde >

van f in a+ want a+ is geen getal. Analoog voor f (a− ).

19 Deze opsomming van bewerkingen met a± is geenszins volledig, zie bijvoorbeeld Oefening 31.

VII-19

Bij de praktische berekening van limieten zijn volgende tussenuitkomsten onbepaald (zie ook Deel Rijen):20 ∞ ∞

,

Å ã 0 , 0

(∞ − ∞) ,

(0 · ∞) ,

00 ,

∞0 ,

(1∞ )

In Deel Afgeleiden zien we een algemene methode om de meeste onbepaaldheden op te heffen.21 Voor rationale en irrationale functies kunnen enkel de volgende onbepaaldheden voorkomen: Å ã ∞ 0 , (∞ − ∞) , (0 · ∞) . , ∞ 0 Voor een (eenzijdige) limiet van een rationale functie f in a ∈ R kun je zo’n onbepaaldheid opheffen door te vereenvoudigen, en teller en noemer te ontbinden in factoren.

3 Modelvoorbeeld 5. Bereken algebraı̈sch de volgende limiet. Alle tussenstappen opschrijven! Controleer daarna met behulp van je grafische rekenmachine. lim

x → 2 11x2 >

x2 − 2x − x3 − 32x + 28

Oplossing.

Controle met behulp van de grafische rekenmachine.

Y=

VARS Y-VARS 1:Func.

Y1

20 In dat geval kan men niet meteen beslissen wat de werkelijke uitkomst is van de limiet! Net daarom plaatst men zo’n onbepaaldheid

tussen haakjes. Dat 00 etc. om het even welke waarde kan hebben, werd voor het eerst opgemerkt door Leonhard Euler 1755.

21 De algemene methode om onbepaaldheden op te heffen, wordt de regel van de l’Hospital genoemd.

VII-20

Voor de limiet van een rationale functie f in ±∞ kun je een onbepaaldheid opheffen door het voorschrift te manipuleren (zie ook Deel Rijen): 7 3 7 3 5− − 2 5x2 − 7x − 3 ∞ x x = 5 − −∞ − +∞ = 5 − 0 − 0 = − 5 . lim = lim = 6 6 x→−∞ −2x2 + 6 x→−∞ ∞ −2 + 0 2 −2 + +∞ −2 + 2 x Deze berekening leidt tot het inzicht dat zo’n rationale functie dezelfde limiet in ±∞ heeft als de functie die we verkrijgen door de hoogstegraadstermen in teller en noemer te beschouwen: 5 5x2 − 7x − 3 ∞ 5x2 5 = lim = = lim =− . x→−∞ −2 x→−∞ −2x2 + 6 x→−∞ −2x2 ∞ 2 lim

Veralgemenen leidt tot een uitbreiding van onze lijst van fundamentele limieten van functies.

3 Fundamentele limieten (vervolg). Zij d, e ∈ N en ai , bi ∈ R. (a) De limiet van een veeltermfunctie in ±∞ wordt bepaald door de hoogstegraadsterm: lim (a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + ad xd ) = lim ad xd

x→±∞

x→±∞

(b) De limiet van een rationale functie in ±∞ wordt bepaald door de hoogstegraadsterm van de teller en de hoogstegraadsterm van de noemer: Å lim

x→±∞

a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + ad xd b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + be xe

ã

ad xd x→±∞ be xe

= lim

3 Modelvoorbeeld 6. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Alle tussenstappen opschrijven! Duid de verkregen informatie aan op een schets. (a)

(b)

lim (x3 + 5x2 − 7)

(c)

−7x5 − 28x + 56 x→−∞ 3x2 − 2x + 8

lim (x3 + 5x2 − 7)

(d)

8x5 − 3x2 x→+∞ 2x6

x→+∞

x→−∞

Oplossing.

VII-21

lim

lim

Ook voor de overige onbepaaldheden bij limieten van rationale en irrationale functies kunnen er vuistregels toegepast worden. Die illusteren we aan de hand van volgend modelvoorbeeld.

3 Modelvoorbeeld 7. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Bij een limiet van f in a ∈ R mag je aannemen dat f bestaat in een linker- of rechtergeperforeerde omgeving van a. Alle tussenstappen opschrijven! Controleer daarna met behulp van je grafische rekenmachine. √ p 2x + 3 − x (a) lim 2020 x5 − 2019 x4 + 541 (c) lim x→−∞ x→3 x−3 √ Äp ä x2 − 1 (d) lim 4x2 − 5x + 8 − 2x (b) lim x→+∞ x→−∞ x Oplossing.

Controle met behulp van de grafische rekenmachine.

Y=

VARS

Y-VARS

1:Function

VII-22

In het onderstaande schema vatten we de vuistregels samen die tot nu toe aan bod kwamen om een onbepaaldheid bij een limiet van een rationale of irrationale functie aan te pakken. Hierbij verwijzen (1), (2) en (3) naar de richtlijnen onderaan. Na het toepassen van de vuistregels, onderneemt men een nieuwe poging om de limiet te berekenen door opnieuw de praktische berekening toe te passen (invullen). Is de uitkomst nog steeds onbepaald, dan worden de vuistregels opnieuw toegepast. lim f (x)

lim f (x), lim f (x), lim f (x)

x→ a <

x→ a >

x→±∞

x→a

x − a afzonderen in teller en noemer (1)(2), vereenvoudigen

▷ veelterm op veelterm? ▷ neem hoogstegraadstermen ▷ geen veelterm op veelterm? ▷ x afzonderen in teller en noe▷ mer (3), vereenvoudigen

(∞ − ∞)

breuken gelijknamig maken, vereenvoudigen

▷ ▷ ▷ ▷ ▷ ▷

(0 · ∞)

als quotiënt schrijven, vereenvoudigen

als quotiënt schrijven, vereenvoudigen

∞ Å0ã , ∞ 0

veelterm? neem hoogstegraadsterm geen veelterm? als quotiënt schrijven, x afzonderen in teller en noemer (2), vereenvoudigen

(1) Is de getalwaarde van een veelterm in x = a gelijk aan nul, dan is die veelterm deelbaar door x − a (kenmerk van deelbaarheid). Gebruik het schema van Horner om het quotiënt bij deling van die veelterm door x − a te vinden. √ √ (2) Om bij een √ vorm√ □ ± △ een factor af te zonderen, vermenigvuldig je teller en noemer met de toegevoegde tweeterm □ ∓ △. √ (3) Om bij een vorm □ een factor x af te zonderen, schrijf je: ® … … … √ √ x als x ≥ 0 □ □ □ 2 2 = |x| en maak je gebruik van |x| = □= x · 2 = x · x x2 x2 −x als x < 0.

Is f geen rationale of irrationale functie, dan kunnen ook de volgende onbepaaldheden voorkomen:

00 ,

∞0 ,

(1∞ )

In heel wat gevallen kun je zo’n onbepaaldheid opheffen door de limiet te herschrijven als een macht van e. In Deel Afgeleiden wordt deze techniek uitvoerig behandeld. Daarom houden we het hier op één voorbeeld.

3 Modelvoorbeeld 8. Ga na dat de volgende limiet leidt tot de vermelde onbepaaldheid. Bereken daarna algebraı̈sch de limiet. Alle tussenstappen opschrijven! Controleer je antwoord met behulp van je grafische rekenmachine.

7 lim x ln x = 00 x→ 0 >

Oplossing.

VII-23

Het kan voorkomen wat de praktische berekening van limieten niet tot een resultaat leidt, en dat ook de vorige vuistregels niet toegepast kunnen worden, bijvoorbeeld:22 Å ã 1 ? = 0 · sin(+∞) = 0 · / = ? lim x sin x→ 0 x > In sommige gevallen kan de limiet van zo’n functie bepaald worden door deze functie in een (geperforeerde) omgeving van a in te sluiten tussen twee andere functies, waarvan de limiet in a wel algebraı̈sch berekend kan worden. De werkwijze steunt op het volgend resultaat met gevolg, waarvan analoge formuleringen gelden voor eenzijdige limieten en/of het geval dat a = ±∞. Een (schets van het) bewijs is telkens gelijklopend aan dat van de eerdere stelling limiet berekenen door vereenvoudiging.

3 Stelling (limiet van een ongelijkheid). Zij f en g functies en a ∈ R zodat de limieten van f en g in a beide bestaan. Dan geldt:23 als f (x) ≤ g(x) in een geperforeerde omgeving van a dan is lim f (x) ≤ lim g(x) x→a

x→a

3 Gevolg (insluitstelling voor functies).24 Zij f , g en h functies en a ∈ R met de eigenschap dat in een geperforeerde omgeving van a geldt: f (x) ≤ g(x) ≤ h(x).

Dan geldt: (i) als lim f (x) = L en lim h(x) = L met L ∈ R, dan ook lim g(x) = L, x→a

x→a

x→a

(ii) als lim f (x) = +∞ en lim h(x) = +∞, dan ook lim g(x) = +∞, x→a

x→a

x→a

(iii) als lim f (x) = −∞ en lim h(x) = −∞, dan ook lim g(x) = −∞. x→a

x→a

x→a

Å ã 1 . Bepaal algebraı̈sch de limiet van 3 Modelvoorbeeld 9. Gegeven is de grafiek van de functie f (x) = x sin x f in 0 met behulp van de insluitstelling voor functies.

y

f (x) = x sin

1 x

x

Oplossing.

de rechterlimiet van f (x) = sin x1 in 0 niet bestaat, mag de rekenregel limiet van product is product van limieten initieel niet toegepast worden.

23 Hierbij gaan we uit voor de hand liggende ongelijkheden tussen een reëel getal L en de symbolen ±∞, met name −∞ ≤ L ≤ +∞.

24 De insluitstelling (voor functies) wordt in de volksmond ook wel de sandwichregel genoemd. De Engelse term voor insluitstelling is squeeze theorem.

22 Omdat

VII-24

1.4

Toepassingen

Toepassing 1 - Goniometrische limieten In het begin van dit hoofdstuk kwamen enkele limieten van goniometrische functies aan bod, die we bepaald hebben aan de hand van een intuı̈tieve berekening. Zo vonden we in Modelvoorbeeld 4 uit §1.1 dat de limiet van onderstaande functie f in 0 gelijk is aan 1. De waarde van die limiet kun je ook aflezen uit de grafiek.

y 1

f (x) =

sin x x

x

Omdat deze limiet fundamenteel blijkt in een verdere opbouw van de calculus (zie Deel Afgeleiden), zullen we dit nu ook algebraı̈sch berekenen. Dat doen we aan de hand van een meetkundig argument.

3 Stelling (bijzondere goniometrische limiet).

Er geldt: lim

x→0

sin x = 1. x

Bewijs. Neem x ∈ 0, π2 willekeurig. Dan is x de kleinst positieve hoekwaarde in radialen van een hoek α in het eerste kwadrant, zie onderstaande figuur. Nu is x de lengte van de cirkelboog die hoort bij de hoek α, zodat (vul de verantwoordingen aan): sin x < x < tan x

y ⇒

1 <

x 1 < sin x cos x

lim 1 ≤ lim

1 x ≤ lim → x 0 sin x cos x >

⇒

x→ 0

⇒

x 1 ≤ lim ≤ 1 x → 0 sin x >

⇒

x lim = 1. x → 0 sin x >

>

x→ 0 >

want . . .

1

wegens . . .

sin x want . . .

α O

Nu is f een even functie zodat ook lim

x→ 0 <

x = 1. sin x

Inderdaad, . . .

Wegens de stelling van de eenzijdige limieten mogen we besluiten dat lim

x→0

Welnu,

lim

x→0

sin x = ... x

VII-25

tan x

x

x = 1. sin x

1

x

Deze bijzondere goniometrische limiet kan nu ingezet worden om andere goniometrische limieten te berekenen, bijvoorbeeld door de techniek substitutie van de variabele toe te passen. We illustreren deze werkwijze met een voorbeeld: Å ã sin(x − 3) 0 noem t = x − 3 als x → 3 dan x − 3 → 3 − 3 lim = x→3 x−3 0 dan is x = t + 3 dus t → 0 sin t = lim t→0 t = 1.

Andere limieten kunnen dan weer berekend worden door het bijbehorend functievoorschrift te manipuleren (zie stelling limiet berekenen door vereenvoudiging). Daarbij kunnen de formules van de goniometrie uit Deel Goniometrie van pas komen, zie Bijlage A. Beschouw bijvoorbeeld de limiet van de volgende functie f in 0. Ook deze limiet kan met een intuı̈tieve berekening gevonden worden, zie Oefening 9 van dit hoofdstuk. Je kan die limiet ook aflezen uit de grafiek.

y

f (x) =

1 − cos x x

x

We kunnen deze limiet nu ook algebraı̈sch berekenen aan de hand van de voorgaande goniometrische limiet. Beide limieten worden in de wiskunde gezien als bijzondere goniometrische limieten.

3 Stelling (bijzondere goniometrische limieten - vervolg).

Er geldt: lim

x→0

1 − cos x = 0. x

Bewijs. We hebben (vul de verantwoordingen aan): 1 − cos x lim = x→0 x

Å ã 0 1 − cos x 1 + cos x = lim · x→0 0 x 1 + cos x

want . . .

sin2 x x→0 x(1 + cos x)

want . . .

sin x sin x · lim x→0 x x→0 1 + cos x

want . . .

= lim

= lim = ...

3 Modelvoorbeeld. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Alle tussenstappen opschrijven! Controleer daarna met behulp van je grafische rekenmachine. sin(3x) x→0 x

(b) lim

(a) lim

t→0

Oplossing.

VII-26

1 − cos t sin t

Toepassing 2 - Meetkundige problemen In de vorige toepassing hebben we een limiet berekend aan de hand van een meetkundig argument. Omgekeerd kunnen limieten nu ook meetkundige problemen oplossen. Dit illusteren we met een vraagstuk, waarvan het eindantwoord vaak als paradoxaal wordt ervaren.25 3 Probleem.26 In de figuur hieronder zie je (een deel van) de cirkel met straal 1 en middelpunt M (1, 0). Een punt A bevindt zich op de y-as zodat |OA| = h < 2. Laat B het punt op de cirkel zijn zodat de lengte van de ˜ ook gelijk is aan h. Noem P het snijpunt van de rechte AB met de x-as. Wat gebeurt er met P als h boog BO nadert tot 0?

y A B

h

O

h

1

2

P

x

(a) Probeer eerst intuı̈tief en met nattevingerwerk een idee te krijgen voor de limietpositie van het punt P . (b) Bepaal de coördinaten van de punten A en B, en stel de vergelijking van de rechte AB op. (c) Toon aan dat de positie van het punt P gegeven wordt door Å ã h − h cos h co(P ) = ,0 . h − sin h (d) Welke (eenzijdige) limiet moet je nu berekenen om het probleem op te lossen? (e) Bepaal deze limiet met behulp van je grafische rekenmachine. (f) Bepaal deze limiet met behulp van een intuı̈tieve berekening. (g) Wat is nu de limietpositie van het punt P ?

Oplossing.

25 In deze context wijst de term paradoxaal niet op een onduidelijkheid of onvolkomenheid (in de wiskunde), maar wel op een situatie of probleemstelling waarbij het eerste antwoord dat in ons opkomt meestal fout is. Dat we sommige situaties in de wiskunde als verrassend ervaren, komt omdat onze intuı̈tie - de directe waarneming van feiten, scherp en snel inzicht onafhankelijk van enig redeneerproces - zijn grenzen kent. Zie ook [13].

26 Dit vraagstuk werd ontleend aan [33] en [13, pagina 40]. De (eenzijdige) limiet die in dit probleem aan bod komt, kan algebraı̈sch berekend worden met behulp van de zogenaamde regel van de l’Hospital, zie Deel Afgeleiden.

VII-27

Oefeningen 1 Limieten van functies

Basis ⋆

⋆⋆ 8 9 10

1.1 Intuı̈tieve betekenis van limiet

1 2 3 4

5 6 7

1.2 Rekenregels voor limieten

14 15

16

1.3 Praktische berekening van limieten

19 20 21

22 23 24 25

1.4 Toepassingen

32 33

33

Verdieping ⋆ ⋆⋆

Uitbreiding ⋆ ⋆⋆

11 12

13

17

18

26 27 28

29

30

34

33 35 36

31

37

Oefeningen bij §1.1 B

Oefening 1. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Hierbij stelt f telkens een functie voor en a, L ∈ R. Indien vals, geef een tegenvoorbeeld (aanduiden op de grafiek van een functie f ). (a) Als f (a) = L dan is lim f (x) = L.

(c) Als lim f (x) bestaat, dan bestaat f (a).

(b) Als lim f (x) = L dan is f (a) = L.

(d) Als f (a) bestaat, dan bestaat lim f (x).

x→a

x→a

x→a

B

x→a

Oefening 2. Hieronder staat de grafiek van een functie f . Lees de gevraagde limieten af. (a) (b)

y

lim f (x)

x→−∞

4

lim f (x)

f

x → −1 <

3 (c)

lim f (x)

x → −1

2

>

(d) lim f (x)

1

x→−1

(e) lim f (x) x→ 2

−4

<

−3

−2

−1

(f) lim f (x)

1

2

3

x

4

−1

x→ 2 >

−2

(g) lim f (x) x→2

(h)

B

−3

lim f (x)

x→+∞

Oefening 3. Bepaal de volgende limieten met behulp van de grafiek van de functie. (a)

(b)

6x2 − 2x x→+∞ 2x2 + 2x − 1

(c)

x2 + 4 x → −3 x + 3 <

(d) lim ⌊x⌋

lim

lim

lim

x→+∞

x→ 3 <

x2 − 3x x2 x2

x2 x2

(e)

lim (⌊x⌋ − x)

x → −1 >

|x| x→ 0 x <

(f) lim VII-28

x2 x2

(g) lim

x→ 0 >

sin x x2

õ (h) lim

x→1

2 1 + x4

û

B

Oefening 4. Schets de grafiek van een functie f waarvoor geldt dat ▷ dom f = [−6, 6], en ▷ f (−2) = 3, en ▷ de limiet van f in −2 bestaat maar is verschillend van f (−2), en ▷ de linker- en rechterlimiet van f in 1 bestaan maar zijn verschillend van elkaar.

B⋆

Oefening 5. Gegeven is de functie f met als (meervoudig) functievoorschrift  2 x −1 als x < 0,    f (x) = 1 als x = 0,    3x + 2 als x > 0.

Bepaal de limiet van f in 0 met behulp van de grafiek van de functie.

B⋆

Oefening 6. Bepaal telkens de limiet met behulp van een intuı̈tieve berekening. Werk met exacte waarden. Maak nadien een correcte schets van de grafiek van de functie waarop je de berekende limiet ook kan aflezen. (a) lim (x − 5) x→3

x2 x2

(b) lim (1 − 2t) t→−1

x2 − 4 x→2 x − 2

(d) lim

x4 − 2x3 − x2 x→0 x2

x2 x2

(e) lim

x2 (c) lim (t − 1) 2 t→−1 x 2

B⋆

(f) lim

t→2

(t + 4)(t − 2)4 (3t − 6)2

Oefening 7. Bepaal telkens de limiet met behulp van een intuı̈tieve berekening. x2 x2

(c) lim (t2 − x2 )

x2 x2

(d) lim

(a) lim (x2 + 2x − 1) x→−2

(b) lim (x2 + 2t − 1) x→−2

B⋆⋆

p

t→−1

x2 x2

x2 − t 2 x→−t x + t

Oefening 8. Hieronder staat de grafiek van een functie f . Lees de gevraagde limieten af, en argumenteer telkens je uitkomst door middel van de interpretatie van de intuı̈tieve definitie van (eenzijdige) limiet. (a) (b)

y

lim f (x)

x→−∞

f 4

lim f (x)

x → −1 <

3 (c)

lim f (x)

x → −1 >

2

(d) lim f (x) x→−1

1

(e) lim f (x) x→ 0 <

−4

−3

−2

−1

1

x→ 0

−1

(g) lim f (x)

−2

(f) lim f (x) >

x→0

(h)

−3

lim f (x)

x→+∞

VII-29

2

3

4

x

B⋆⋆

Oefening 9. Gegeven is de grafiek van de functie 1 − cos x . x Zoek met behulp van je grafische rekenmachine de limiet van f in 0, argumenteer je uitkomst door middel van de interpretatie van de intuı̈tieve definitie van limiet en bepaal daarna deze limiet met behulp van een intuı̈tieve berekening. y 1 − cos x f (x) = x f (x) =

x

B⋆⋆

Oefening 10. Hieronder staat de grafiek van een functie f . Lees de gevraagde limieten af, en argumenteer telkens je uitkomst door middel van de interpretatie van de intuı̈tieve definitie van (eenzijdige) limiet. (a) (b)

lim f (x)

(g) lim f (x)

(m) lim f (x)

(s) lim f (x)

lim f (x)

(h)

(n) lim f (x)

(t) lim f (x)

x→−∞

x→−3

x → −4 <

(c)

x→−1

lim f (x)

x → −2

x→ 0

<

lim f (x)

(i)

x → −4 >

x→1

x→ 3

<

lim f (x)

<

(o) lim f (x)

x → −2

(u) lim f (x)

x→ 0

>

>

x→ 3 >

(d) lim f (x)

(j) lim f (x)

(p) lim f (x)

(v) lim f (x)

(e)

(k)

(q) lim f (x)

(w) lim f (x)

x→−4

x→−2

lim f (x)

x → −3 <

(f)

x→0

lim f (x)

x → −1

x→ 1

<

lim f (x)

(l)

x → −3 >

x→3

x→ 5

<

lim f (x)

>

(r) lim f (x)

x → −1

(x)

x→ 1

>

>

y 4 3 2 f 1

−4

−3

−2

−1

1 −1 −2 −3

VII-30

2

3

4

x

lim f (x)

x→+∞

V

Oefening 11. Gegeven is de functie f met als (meervoudig) functievoorschrift ( 3 − p x2 als x > 1 f (x) = x−1 als x ≤ 1, waarbij p ∈ R. Bepaal de waarde(n) van p waarvoor de limiet van f in 1 bestaat.

V

Oefening 12. Gegeven is de grafiek van de functie Å ã 1 . f (x) = x sin x Zoek met behulp van je grafische rekenmachine de limiet van f in ±∞, argumenteer je uitkomsten door middel van de interpretatie van de intuı̈tieve definitie van limiet en bepaal daarna deze limieten met behulp van een intuı̈tieve berekening.

y 1

1 f (x) = x sin x

x

U⋆⋆

Oefening 13 (limieten van de Dirichletfunctie). Beschouw de Dirichletfunctie:27 ® 1 als x ∈ Q, f (x) = 0 als x ∈ / Q. Bepaal de volgende limieten met behulp van de grafiek van de functie. Argumenteer telkens je uitkomst door middel van de interpretatie van de intuı̈tieve definitie van limiet. Wees expliciet. (a) lim f (x)

(c)

(b) lim √ f (x)

(d)

x→5

x→ 2

lim f (x)

x→1,41

lim f (x)

x→+∞

Oefeningen bij §1.2 B

Oefening 14. Gegeven zijn functies f en g waarvoor lim f (x) = 4

x→3

en

lim g(x) = 8.

x→3

Bereken algebraı̈sch de volgende limiet met behulp van de rekenregels voor limieten. Schrijf alle tussenstappen op, en verklaar elke overgang.

» lim f 2 (x) · 3 g(x) x→3

27 Johann Dirichlet 1829 [14]. De grafiek van de Dirichletfunctie wekt de illusie van twee horizontale rechten op, namelijk de x-as en de rechte y = 1, maar vertoont in werkelijkheid oneindig veel onderbrekingen. De Dirichletfunctie is bijzonder omdat voor elke x-waarde de limiet van f in x niet bestaat, hoewel voor elke x-waarde de functiewaarde in x wel bestaat. Bijgevolg is de Dirichletfunctie in geen enkele x-waarde continu (zie Hoofdstuk 3) en dus ook in geen enkele x-waarde afleidbaar (zie Deel Afgeleiden). De Dirichletfunctie is ook over geen enkel interval Riemann-integreerbaar (zie Deel Integralen). Omdat f (x) = 0 op een aftelbaar aantal x-waarden na, zegt men dat f bijna overal 0 is. Om die reden is de functie wel Lebesgue-integreerbaar, zodat de oppervlakte tussen de grafiek van f en de x-as als nul kan worden geı̈nterpreteerd (zie Deel Integralen).

VII-31

B

Oefening 15. Gegeven zijn functies f , g en h waarvoor lim f (x) = 3,

x→+∞

lim g(x) = 7

x→+∞

lim h(x) = −4.

en

x→+∞

Bereken algebraı̈sch de volgende limieten met behulp van de rekenregels voor limieten. Schrijf telkens alle tussenstappen op, en verklaar elke overgang. Werk met exacte waarden. (a)

(b)

B⋆

lim (f (x) · g(x))

x→+∞

4 · h(x)3 p x→+∞ f (x)2 + g(x)

lim (h(x) − 3 · g(x)) lim

x→+∞

(d)

lim

x→+∞

h(x) · g(x)2 + 2 · f (x)

4 · h(x)3 p x→+∞ f (x)2 + g(x) lim

Oefening 16. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten met behulp van de rekenregels voor limieten. Schrijf telkens alle tussenstappen op, en verklaar elke overgang. Werk met exacte waarden. (a) lim 3x2 − 2x x→4

V

(c)

x2 x2

4x3 + 1 x→−3 7 − 2x2

(b) lim

Oefening 17. Geef telkens een voorbeeld van functies f en g, en een reëel getal a dat aan het gevraagde voldoet. (a) De limieten van f en g in a bestaan beide niet, maar de limiet van f + g in a bestaat wel. (b) De limieten van f en g in a bestaan beide niet, maar de limiet van f · g in a bestaat wel.

V⋆

Oefening 18. Zij f en g functies die voldoen aan de volgende voorwaarde: ∀x ∈ R : f (x) g(x) = 1.

Verder is lim g(x) = 0 voor een zekere a ∈ R. x→a

(a) Bewijs dat de limiet van f in a niet bestaat in R. (b) Geef een voorbeeld van zo’n functies f en g, en een reëel getal a dat aan de gegevens voldoet.

Oefeningen bij §1.3 B

Oefening 19. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten in a ∈ R. Je mag telkens aannemen dat de functie bestaat in een linker- of rechtergeperforeerde omgeving van a. Werk met exacte waarden en vereenvoudig je eindresultaat zoveel als mogelijk. Alle tussenstappen opschrijven! Controleer daarna met behulp van je grafische rekenmachine. Å ã x+4 1 1+x x→1 7

(d) lim ln xe5x+7

(a) lim

(b) lim e

√

x→0

x→1

x2 −5x+14

(e) limπ x→ 4

x2 − x x→0 x

B

1 − cos2 x x sin(2x) Å

(c) lim

(f) lim

x→2

x2 x2

16 4 − 2 x −4 x−2

ã

Oefening 20. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten in ±∞. Werk met exacte waarden en vereenvoudig je eindresultaat zoveel als mogelijk. Alle tussenstappen opschrijven! Controleer daarna met behulp van je grafische rekenmachine. Äp ä

(a) lim −2x3 + 5x2 + 18 (d) lim 3x2 + 7x − 2022 + x x→−∞

(b)

(c)

x→+∞

1000 √ x→+∞ x lim

lim

x→−∞

1 3

log (−x3 )

(e) x2 x2

lim 2−3x

x→−∞

2

−3 x

x2

Å ã 1 (f) lim cos x→+∞ x VII-32

2

B

Oefening 21. Bereken algebraı̈sch de volgende eenzijdige limieten. Werk met exacte waarden en vereenvoudig je eindresultaat zoveel als mogelijk. Alle tussenstappen opschrijven! Controleer daarna met behulp van je grafische rekenmachine. Å ã Å ã 1 1−x 1−x (a) lim 2 lim ln (e) lim ln x→ 0 x x→ 3 x→ 3 (x − 3)(x + 1) (x − 3)(x + 1) < < < 5 1 limπ x − 7x→ tan x > 2

(b) lim

x→ 7 >

(f) limπ x→

> 2

3 x → 1 x(1 − x) >

» x Arccos(4 − x) x→ 3 x >

(c) lim

(g) lim

x+4 (d) lim p x→ 1 x(x − 1) < B⋆

(h) lim Arctan (ln(−x)) x→ 0 <

Oefening 22. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Bij een limiet van f in a ∈ R mag je aannemen dat f bestaat in een linker- of rechtergeperforeerde omgeving van a. Werk met exacte waarden en vereenvoudig je eindresultaat zoveel als mogelijk. Alle tussenstappen opschrijven! Duid daarna de verkregen informatie aan op een schets. (a)

(b)

−2x3 − 5x2 + 18

lim

x→−∞

lim

x→−∞

1 · x5 − 7 x

(k)

x2 − 4 x→−∞ x − 2

x→3

x2 − 4 x→ 2 x − 2 >

(d)

(e)

√

lim

x→+∞

x→−∞

(f) lim

√

x→ 0 >

(g) lim

√

x→3

Å (h) lim

x→ 2 >

(m)

√

x2 − 4x − 3 x→ 3 x−3 <

2x + 3 − x x−3

x3 + 9x2 + 3x x→−∞ −6x2 + 6

(q)

x3 + 9x2 + 3x x → −1 −6x2 + 6 <

lim

lim

x2 + 6x + 9 x→−2 x2 − 4x + 4

(r) lim

4x3 − 3x2 − x x→ 0 x4 >

x3 + 2x + 6 x→ 2 x2 − 4 > x→2

(p)

ã

(s) lim

(i) lim

(j) lim √

x2 − 4 3x3 − 2x2 + x − 2022 lim x→ 2 x − 2 >

(o) lim

x

4 1 − x2 − 4 x − 2

x→−∞

x2 − 9 x2 + 7 − 4

(n) lim

3x2 − 7x x

7x − x

lim

1 · x5 − 7 x

x2 − x x→0 x

3x2 − 7x x

√

lim

lim

x→−∞

(l) lim √

lim

(c) lim

B⋆

1 tan x

x−2 x+2−2

8 − 2x x→4 x2 − 16

(t) lim

Oefening 23. Beschouw de functie f (x) =

|x| . x

(a) Bereken algebraı̈sch de limiet van f in 0 door afzonderlijk de linker- en rechterlimiet te berekenen. (b) Bereken algebraı̈sch de limiet van f in ±∞. (c) Maak een correcte schets van de grafiek van f waarop je de voorgenoemde limieten ook kan aflezen.

VII-33

B⋆

Oefening 24. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Werk met exacte waarden en vereenvoudig je eindresultaat zoveel als mogelijk. Alle tussenstappen opschrijven! Controleer daarna met behulp van je grafische rekenmachine. Äp ä ä Ä p (a) lim 3x2 − 7x + 2 − x (c) lim −x + 1 − x2 − 3x + 1 x→−∞

(b)

B⋆

x→+∞

Äp

lim

x→+∞

3x2 − 7x + 2 − x

ä

(d)

Ä ä p −x + 1 − x2 − 3x + 1

Oefening 25. Bereken algebraı̈sch de volgende (eenzijdige) limieten. Werk met exacte waarden en vereenvoudig je eindresultaat zoveel als mogelijk. Alle tussenstappen opschrijven! Controleer daarna met behulp van je grafische rekenmachine. x2 − 5x + 2021 (a) lim 3 log x→+∞ 3x2 − 7x + 2022 Å

(b) lim 3 x→ 5

Å ã√x3 −7x+12 1 lim x→+∞ 3

ã

√ x2 −8x+15

Å ã√x3 −7x+12 1 (d) lim x→+∞ 3 (e)

>

(c) lim

x→ 3

1 2

Å log

<

B⋆⋆

lim

x→−∞

x2 − 9 −x2 + 4

√

x+3

lim 2 3−x lim 3

x→−∞

x→ 5 >

Å

ã (f)

x2 −8x+15

lim Arctan

x→+∞

−3x2 + 2 x−7

ã lim

x→ 3 <

1 2

Å log

x2 − 9 −x2 + 4

ã

Oefening 26. Gegeven is de grafiek van de functie Å ã 1 . x

f (x) = x cos (a) Bereken algebraı̈sch de limiet van f in ±∞.

(b) Zoek met behulp van je grafische rekenmachine de limiet van f in 0. (c) Toon aan dat voor elke x ∈ R0 geldt: − |x| ≤ f (x) ≤ |x|, en duid de meetkundige betekenis aan op de figuur. (d) Bepaal algebraı̈sch de limiet van f in 0 met behulp van de insluitstelling voor functies. Alle tussenstappen opschrijven!

1 y f (x) = x cos x

x

B⋆⋆

Oefening 27. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Bij een limiet van f in a ∈ R mag je aannemen dat f bestaat in een linker- of rechtergeperforeerde omgeving van a. Werk met exacte waarden en vereenvoudig je eindresultaat zoveel als mogelijk. Alle tussenstappen opschrijven! Controleer daarna met behulp van je grafische rekenmachine. x3 − 8 x→2 x2 − 4

(e) lim

x2 + 3x − 10 x→2 x2 + x − 6

(f) lim

(a) lim

(b) lim

(c) lim √ x→ 1 <

√

x2 + 5 x3 − 5x + 4

x3 − x + x2 − 1 (d) lim x → −1 3x2 + 6x + 3 <

5x3 + 69x2 + 231x − 49 x→−7 3x2 + 19x − 14 x2 − 3x x → 3 −x3 + 12x2 − 41x + 42 > x3 − x2 − x + 1 x→1 x3 + x2 − x − 1

(g) lim

(h) lim 4 x→−2

VII-34

q

x3 +5x2 +8x+4 x3 +8x2 +21x+18

B⋆⋆

Oefening 28. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten door afzonderlijk de linker- en rechterlimiet te berekenen.

Werk met exacte waarden en vereenvoudig je eindresultaat zoveel als mogelijk. Alle tussenstappen opschrijven! Duid daarna alle verkregen informatie aan op een schets. (a) lim

x→−3

p

9 − x2 √

4x − 8 x2 + x − 6

4x − 8 (b) lim ln x3 − 6x2 + 11x − 6 √ x→1 x2 + x − 6 (c) lim

1 2

x→1

Å log

(d) lim √ x→1

V

x2 − 1 x2 − 4

(f) lim

4x − 8 x2 + x − 6

√ 3

x→0

1 + 2x − x2 + x(x − 2)

√

(g) lim 5 x→1

√

x2 + 5 x2 − 5x + 4

(h) lim

x3 −6x2 +9x−4

Å

7

log

x→−5

√ 3

lim

1−x

1 2

x→1

x2 + 6x + 5 x2 − 4x − 2

x2 − 1 log x2 − 4 Å

ã

ã

Oefening 29. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Hierbij is a ∈ R. Bij de limiet van f in a mag je aannemen dat f bestaat in een linker- of rechtergeperforeerde omgeving van a. Werk met exacte waarden en vereenvoudig je eindresultaat zoveel als mogelijk. Alle tussenstappen opschrijven! Controleer daarna met behulp van je grafische rekenmachine. √ x−1 x2 − 3ax + 2a2 (c) lim √ (a) lim 2 x→a x + 2ax − 3a2 x→ 1 x+3−2 > (d)

√ 3

lim

x→−∞

x3 − x2 3x

Oefening 30. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Bij een limiet van f in a ∈ R mag je aannemen dat f bestaat in een linker- of rechtergeperforeerde omgeving van a. Werk met exacte waarden en vereenvoudig je eindresultaat zoveel als mogelijk. Alle tussenstappen opschrijven! Controleer daarna met behulp van je grafische rekenmachine. √ √ √ 3 7x + 6 − 3 x− 2 (a) lim √ (c) lim √ x→3 x→2 4 x − 4 2 x−3 (b) lim

√ 3

x→2

U

x→2

ã

2x + a √ (b) lim x → 1 2x − x+3 >

V⋆

(e) lim √

1 + 2x − x2 + x(x − 2)

√ 3

1−x

√ √ 3x − 7 − 5x − 17 √ (d) lim √ x→5 3x − 8 − 17 − 2x

Oefening 31 (bewerkingen met reële getallen en de symbolen a± ). Lees uit de grafieken van elementaire functies de volgende fundamentele limieten af, en noteer tot welke bewerkingen met reële getallen en de symbolen a± ze leiden. Hierbij zijn a, b, c ∈ R en m, n ∈ N0 met m > 1. (a) lim x x→ a

(g) lim xn x→ a

>

(b) lim x x→ a

>

(h) lim

x→ 0

(i) lim

(c) lim (c + x)

(j) lim

x→ 0

√

2n

x

<

<

x→ a

x

<

>

(e) lim bx

√

2n+1

x→ 0

x→ a

x→ a

x

>

<

(d) lim (c + x)

√

m

(k) limπ tan x x→

> 2

>

(l) limπ tan x

(f) lim bx x→ a

x→

< 2

<

VII-35

Oefeningen bij §1.4 Oefening 32. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Bij een limiet van f in a ∈ R mag je aannemen dat f bestaat in een linker- of rechtergeperforeerde omgeving van a. Werk met exacte waarden. Alle tussenstappen opschrijven!

B

(a) lim

x→0

cos x x+1

(e) limπ θ cos θ θ→ 2

sin x x→0 2x

(f) lim

tan x x

7x − sin x x→0 x

(g) lim

sin(2t) tan t

3x tan x x→0 sin x

(h) lim

(b) lim

x→0

(c) lim

t→0

cos2 t t→0 1 + sin t

(d) lim

Oefening 33. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten door een goniometrische formule te gebruiken of door de techniek substitutie van de variabele toe te passen. Bij een limiet van f in a ∈ R mag je aannemen dat f bestaat in een linker- of rechtergeperforeerde omgeving van a. Å ã cos x 1 sin(3θ) B⋆ (f) limπ lim x sin B (a) lim π x→−∞ x→ 2 x − θ→0 x 2θ 2 lim x sin

23x x→0 tan (4x)

Å ã 1 x

B⋆ (g) lim

B

(b)

B

(c) limπ

cos2 x 1 + cos(2x)

V

(h) lim

sin(7x) sin(−13x)

B⋆ (d) lim

sin x sin(5x) 3x2

V

(i) lim

sin(4x) tan x

cos(4x) − cos(2x) x→0 sin(5x) − sin(3x)

V

(j) lim

x→−∞

x→ 2

x→0

B⋆ (e) lim B⋆⋆

x→0

x→0

x2 x→0 2(1 − cos x)

Oefening 34. In de figuur hieronder zie je (een deel van) de cirkel met straal 1 en middelpunt M (1, 0). Een punt A bevindt zich op de y-as zodat |OA| = h < 2. Laat B het punt op de cirkel zijn zodat |OB| ook gelijk is aan h. Noem P het snijpunt van de rechte AB met de x-as. Wat gebeurt er met P als h nadert tot 0? y

A B

h h

O

1

2

P

(a) Bepaal de coördinaten van de punten A en B, en stel de vergelijking van de rechte AB op. (b) Toon aan dat de positie van het punt P gegeven wordt door Å ã h2 √ ,0 . co(P ) = 2 − 4 − h2 (c) Welke (eenzijdige) limiet moet je nu berekenen om het probleem op te lossen? (d) Bepaal deze limiet met behulp van je grafische rekenmachine. (e) Bereken algebraı̈sch deze limiet. (f) Wat is nu de limietpositie van het punt P ?

VII-36

x

V

Oefening 35. Voor elke x > 0 beschouwen we de vierhoek Q met als hoekpunten A(x, 0), B(0, 1), C(−x, 0) en D(0, 1).

Wanneer we de middens van de zijden van deze vierhoek met elkaar verbinden, dan verkrijgen we een rechthoek R. Bereken algebraı̈sch de limiet van de verhouding van de omtrekken van deze twee figuren als x nadert tot 0: lim

x→ 0 >

V

omtrek van Q . omtrek van R

√ Oefening 36. Voor elke x > 0 beschouwen we het punt P (x, f (x)) waarbij f (x) = x. Noem S de driehoek met als hoekpunten O(0, 0), A(1, 0) en P . Noem T de driehoek met als hoekpunten O(0, 0), B(0, 1) en P . (a) Bereken algebraı̈sch de limiet van de verhouding van de omtrekken van deze twee figuren als x nadert tot 0: omtrek van S .

0 omtrek van T

lim

x→ >

(b) Bereken algebraı̈sch de limiet van de verhouding van de oppervlakten van deze twee figuren als x nadert tot 0: oppervlakte van S . x → 0 oppervlakte van T > lim

U

Oefening 37 (limiet van een rij versus limiet van een functie). Is (un ) een rij, dan kan men in een expliciet voorschrift van die rij de discrete variabele n vervangen door de continue variabele x, waardoor men een functievoorschrift f (x) verkrijgt. Zo leidt bijvoorbeeld de rij Å ãn 1 1 1 1 1 (un ) = , , , , . . . met als expliciet voorschrift un = 2 4 8 16 2 tot de exponentiële functie

Å ãx 1 . f (x) = 2

Meetkundig betekent dit: de punten die bij de grafische voorstelling van de rij (un ) horen, liggen op de grafiek van de functie f , zoals onderstaande figuur duidelijk maakt. In dit voorbeeld is de limiet van de rij (un ) gelijk aan de limiet van de functie f in +∞.

f

y n 1 lim un = lim =0 n→+∞ n→+∞ 2

1

x 1 lim f (x) = lim =0 x→+∞ x→+∞ 2

(un ) 1

2

x

3

In deze oefening laten we zien dat de limiet van een rij (un ) niet altijd gelijk is aan de limiet van de bijbehorende functie f in +∞, zodat men uit de waarde van de eerste limiet niet zomaar de waarde van de tweede limiet mag besluiten.28 Beschouw daartoe de volgende rij (un ) met gegeven expliciet voorschrift, en de bijbehorende functie f : un = sin(πn)

en

f (x) = sin(πx).

(a) Schets de grafiek van de rij (un ) en de grafiek van de functie f in één assenstelsel. (b) Bereken de limiet van de rij (un ) en de limiet van de functie f in +∞, en laat daarmee zien dat lim sin(πn) ̸= lim sin(πx).

n→+∞

x→+∞

28 Dit volgt uit het rijenkenmerk, i.e. de interpretatie van de intuı̈tieve definitie van limiet, zie voetnoot 5: zeggen dat lim x→+∞ f (x) = L betekent limn→+∞ f (vn ) = L voor elke rij (vn ) die divergeert naar +∞. Zeggen dat limn→+∞ f (vn ) = L voor de ene rij vn = n (die inderdaad divergeert naar +∞) volstaat in het algemeen niet om te besluiten dat limn→+∞ f (vn ) = L voor elke rij vn die divergeert naar +∞. Dat wordt hierboven geı̈llustreerd met de functie f (x) = sin(πx).

VII-37

Hoofdstuk 2

Asymptoten In Deel Precalculus 1 hebben we de begrippen asymptoot en perforatie voor veeltermfuncties en rationale functies intuı̈tief benaderd. Limieten van functies laten ons nu toe om die begrippen precies te omschrijven, en dit voor alle functies. Als inleidend voorbeeld beschouwen we de functie f waarvan de grafiek hieronder gegeven is.

y

f

3 2 1

−4

−3

−2

−1 −1

1

2

3

4

x

−2 −3 −4

▷ Uit de grafiek van f lezen we af (vul aan): lim f (x) = . . .

x→ 2

en

<

lim f (x) = . . .

x→ 2 >

Omdat minstens één van de eenzijdige limieten van f in 2 gelijk is aan ±∞, noemen we de rechte x = 2 een verticale asymptoot aan de grafiek van f . Teken en benoem deze rechte in bovenstaand assenstelsel.

Verder is (vul aan): lim f (x) = . . .

x → −2

en

<

lim f (x) = . . .

x → −2 >

zodat ook de rechte x = −2 een verticale asymptoot aan de grafiek van f is. Duid dit aan in het assenstelsel. ▷ Uit de grafiek van f lezen we af (vul aan): lim f (x) = . . .

x→ 1

en

<

lim f (x) = . . .

x→ 1 >

Omdat f (1) niet bestaat, maar de eenzijdige limieten in 1 beide wel bestaan en hetzelfde reëel getal zijn, zeggen we: de grafiek van f bereikt een perforatie in x = 1. ▷ Uit de grafiek van f lezen we af (vul aan): lim f (x) = . . .

x→−∞

en

lim f (x) = . . .

x→+∞

Omdat minstens één van deze limieten bestaat in R, zeggen we dat de grafiek van f een horizontale asymptoot bereikt. Meer specifiek zeggen we: de rechte y = 1 is een horizontale asymptoot voor x → −∞ aan de grafiek van f . Ook deze asymptoot tekenen en benoemen we in het assenstelsel hierboven (voer dit uit).

VII-38

2.1

Verticale asymptoot en perforatie

In deze paragraaf geven we een precieze omschrijving van de begrippen verticale asymptoot en perforatie. Daarna laten we zien hoe je voor een grote klasse van functies alle verticale asymptoten en perforaties algebraı̈sch kan berekenen.

Op die manier kun je informatie over de grafiek van f achterhalen.

3 Definitie (verticale asymptoot). Zij f een functie en a ∈ R. We zeggen dat de rechte x = a een verticale asymptoot (kortweg V.A.) aan de grafiek van f is indien minstens één van de eenzijdige limieten van f in a gelijk is aan +∞ of gelijk is aan −∞, in symbolen: lim f (x) = ±∞

lim f (x) = ±∞

of

x→ a

x→ a

<

>

Voorbeeld. Voor elk van de onderstaande functies f is de rechte x = a een verticale asymptoot aan de grafiek van f . Dat duiden we aan door de rechte x = a te tekenen en te benoemen. Merk op dat het al of niet bestaan van de functiewaarde f (a) geen enkele invloed heeft op het al of niet hebben van een verticale asymptoot x = a.

y

y

V.A. x = a

y

V.A. x = a

V.A. x = a

L

x

x

a

x

a

f

a

f

lim f (x) = +∞

f

lim f (x) = L 6= ±∞

lim f (x) = /

x→ a

x→a

<

x→ a

<

lim f (x) = −∞

<

lim f (x) = −∞

x→ a

lim f (x) = −∞

x→ a

>

x→a

>

dus x = a is V.A.

>

dus x = a is V.A.

dus x = a is V.A.

3 Definitie (perforatie). Zij f een functie en a ∈ R. We zeggen dat de grafiek van f een perforatie in a bereikt indien f (a) niet bestaat, maar de eenzijdige limieten in a beide wel bestaan en hetzelfde reëel getal zijn, in symbolen: a ̸∈ dom f

lim f (x) = lim f (x) ∈ R

en

x→ a

x→ a

<

>

Voorbeeld. In de linkerfiguur hieronder bereikt de grafiek van de functie f een perforatie in a. Voor de twee andere figuren is dat niet het geval.

y

y

y

f

f

x

a

a

a 6∈ dom f

a ∈ dom f

lim f (x) = lim f (x) ∈ R

dus geen perforatie in x = a

x→ a <

x→a >

dus perforatie in x = a VII-39

f

x

x

a lim f (x) 6= lim f (x)

x→ a <

x→a >

dus geen perforatie in x = a

Om verticale asymptoten en perforaties van een functie f (algebraı̈sch) te berekenen, zullen we ons beperken tot de zogenaamde elementaire functies: veeltermfuncties, rationale en irrationale functies, exponentiële en logaritmische functies, goniometrische en cyclometrische functies, alsook de functies die we verkrijgen door hun samenstelling. Is een rechte x = a een verticale asymptoot aan de grafiek zo’n functie f , dan blijkt f (a) niet te bestaan.1 Door eerst het domein van f te berekenen, kunnen we op die manier de kanshebbers a voor een verticale asymptoot of perforatie in a achterhalen.

3 Praktische berekening. Zij f een veeltermfunctie, of een rationale, irrationale, exponentiële, logaritmische, goniometrische of cyclometrische functie, of een eindige samenstelling van deze functies. Om alle verticale asymptoten en perforaties van f te berekenen, gaan we als volgt te werk.

(1) Bereken dom f .

(2) De kanshebbers voor een V.A. of perforatie in a zijn de randwaarden van dom f die niet tot dom f behoren.

(3) Bereken voor elk van die kanshebbers a beide eenzijdige limieten lim f (x)

en

x→ a

lim f (x).

x→ a >

<

Als minstens één van deze eenzijdige limieten gelijk is aan ±∞, dan is de rechte x = a een V.A. aan de grafiek van f . Is daarentegen de uitkomst van beide eenzijdige limieten hetzelfde reëel getal, dan bereikt de grafiek van f een perforatie in x = a. In elk ander geval is er geen V.A. of perforatie in x = a.

3 Modelvoorbeeld. Gegeven is de functie f (x) =

x2 − 4 √ . (x − 2) x

(a) Bepaal algebraı̈sch de eventuele verticale asymptoten en/of perforaties aan de grafiek van f . (b) Duid op een assenstelsel de verkregen informatie over de grafiek van f aan. (c) Plot de grafiek van f met je grafische rekenmachine, en maak een correcte schets van de grafiek waarop je de verkregen informatie aanduidt en benoemt.

Oplossing.

Controle met behulp van de grafische rekenmachine bij (a).

Y=

VARS

Y-VARS

1:Function

1 Bij andere, niet-elementaire functies kan het voorkomen dat een rechte x = a een verticale asymptoot aan de grafiek van f is, terwijl toch a ∈ dom f . Dat is bijvoorbeeld het geval met de functie uit het inleidend voorbeeld van dit hoofdstuk.

VII-40

2.2

Horizontale asymptoot

Een horizontale asymptoot van een functie f beschrijft het gedrag op oneindig. Ook hier geven we een nauwkeurige omschrijving. De praktische werkwijze ligt voor de hand.

3 Definitie (horizontale asymptoot). Zij f een functie en b ∈ R. We zeggen dat de rechte y = b een horizontale asymptoot (kortweg H.A.) voor x → −∞ (resp. x → +∞) aan de grafiek van f is indien: lim f (x) = b

x→−∞

resp.

lim f (x) = b

x→+∞

Voorbeelden. Merk op dat de grafiek van een functie f een of meerdere snijpunten met een horizontale asymptoot kan hebben. Er kunnen zelfs oneindig veel snijpunten zijn. De grafiek kan ook twee verschillende horizontale asymptoten hebben. Tot slot kan de grafiek ook (gedeeltelijk) samenvallen met een horizontale asymptoot.

y

y f

f H.A. y = L

H.A. y = L

L

L

x

x

lim f (x) = L

lim f (x) = /

x→−∞

x→−∞

dus y = L is H.A. voor x → −∞

dus geen H.A. voor x → −∞

lim f (x) = L

lim f (x) = L

x→+∞

x→+∞

dus y = L is H.A. voor x → +∞

dus y = L is H.A. voor x → +∞

y H.A. y =

π 2

y π 2

H.A. y = 1

1

f (x) = sign(x)

f (x) = Arctan x x − π2

−1

H.A. y = − π2

lim f (x) = −

x→−∞

x

π π lim f (x) = −1 2 x→−∞ 2

π 2 π 2 dus

dus y = − π2 is H.A. voor x → −∞

lim f (x) =

x→+∞

dus y =

π 2

H.A. y = −1

y = −1 is H.A. voor x → −∞

π 2

π π lim f (x) = 1 2 x→+∞ 2 π 2 dus

is H.A. voor x → +∞

VII-41

y = 1 is H.A. voor x → +∞ π2

π 2

Het (algebraı̈sch) berekenen van horizontale asymptoten houdt in dat de limieten van f in ±∞ berekend worden.

Willen we hiervoor de praktische werkwijze uit Hoofdstuk 1 toepassen, dan beperken we ons tot elementaire functies.

3 Praktische berekening. Om alle horizontale asymptoten van een functie f te berekenen, gaan we als volgt te werk (hieronder voor x → +∞, analoog voor x → −∞).

(1) Bereken lim f (x). x→+∞

(2) Als deze limiet bestaat en gelijk is aan een reëel getal b, dan is de rechte y = b een H.A. voor x → +∞ aan de grafiek van f . In elk ander geval is er geen H.A. voor x → +∞.

3 Modelvoorbeeld. Beschouw de functie f (x) =

p 9x2 + x − 3x.

(a) Bepaal algebraı̈sch de eventuele horizontale asymptoten aan de grafiek van f . (b) Duid op een assenstelsel de verkregen informatie over de grafiek van f aan.

Oplossing.

Controle met behulp van de grafische rekenmachine bij (a).

VII-42

2.3

Schuine asymptoot

In deze laatste paragraaf bespreken we schuine asymptoten. De definitie wordt opgebouwd in het volgende voorbeeld.

3 Op ontdekking. Beschouw de functie f met onderstaande grafiek (volle lijn). In hetzelfde assenstelsel is ook de rechte y = 2x + 1 getekend (stippellijn).

y

f

x

y = 2x + 1 (a) Duid op de figuur een positieve x-waarde aan. Hoe kun je het verschil f (x) − (2x + 1) uit de figuur aflezen?

(b) Wat gebeurt er met het getal f (x) − (2x + 1) als x divergeert naar +∞?

(c) We noemen rechte y = 2x + 1 een schuine asymptoot voor x → +∞ aan de grafiek van f omdat (vul aan): lim . . . ...

3 Definitie (schuine asymptoot). Zij f een functie en a, b ∈ R met a ̸= 0. We zeggen dat de rechte y = ax + b een schuine asymptoot (kortweg S.A.) voor x → −∞ (resp. x → +∞) aan de grafiek van f is indien: lim

x→−∞

f (x) − (ax + b) = 0

resp.

lim

x→+∞

f (x) − (ax + b) = 0

Voorbeeld 1. Net zoals bij een horizontale asymptoot kan de grafiek van een functie f een of meerdere snijpunten met een schuine asymptoot hebben. Controleer de uitkomst van de onderstaande limieten.

y

y S.A. y = x S.A. y = x x

f (x) = x − lim

x→±∞

x

1 x2

f (x) = x −

f (x) − x = 0

lim

x→±∞

dus y = x is S.A. voor x → ±∞

f (x) − x = 0

1 − 2x x2

dus y = x is S.A. voor x → ±∞ VII-43

Voorbeeld 2. De grafiek van een functie f kan ook twee verschillende schuine asymptoten hebben, of één horizontale asymptoot en één schuine asymptoot. Controleer de uitkomst van de onderstaande limieten.

y

y

f (x) = x − 2 Arctan x

S.A. y = x + π

f (x) =

p x2 + x + x

x

x H.A. y = − 21

S.A. y = x − π S.A. y = 2x +

1 1 lim f (x) − (x + π) = 0 x→−∞ 2 2

1 2 dus

lim f (x) = −

x→−∞

y = x − π is S.A. voor x →

1 2

dus y = − 12 is H.A. voor x → −∞

y = x + π is S.A. voor x → −∞ 12

1 1 lim f (x) − (x − π) = 0 2 x→+∞ 2

1 2 dus

1 2

lim

x→+∞

+∞ 12

f (x) − 2x +

dus y = 2x +

1 2

1 =0 2

is S.A. voor x → +∞

Om voor een gegeven functie de schuine asymptoten algebraı̈sch te berekenen, steunen we op de volgende eigenschap die we formuleren voor de limieten in +∞. Voor de limieten in −∞ is het resultaat met bijbehorend bewijs analoog.

3 Eigenschap. Zij f een functie en a, b ∈ R met a ̸= 0. Dan geldt:  f (x)   =a  lim

x→+∞ x lim f (x) − (ax + b) = 0 ⇔

x→+∞    lim f (x) − ax = b x→+∞

Bewijs. Veronderstel eerst dat lim

x→+∞

lim

x→+∞

f (x) − (ax + b) = 0. Dan geldt (vul aan):

f (x) − (ax + b) = 0

⇒

x→+∞

⇒

...

⇒

...

lim

f (x) − ax − lim b = 0 x→+∞

want . . .

Verder is dan ook (vul aan): lim

x→+∞

f (x) − (ax + b) = ... x

Å

⇒

x→+∞

⇒

x→+∞

lim

lim

f (x) b −a− x x

x→+∞

x→+∞

= ...0

f (x) b = . . . a + lim x→+∞ x x

Omgekeerd, stel dat lim

lim

ã

f (x) = a en lim f (x) − ax = b. Dan is (vul aan): x→+∞ x

f (x) − ax − b = 0

⇒

x→+∞

⇒

...

lim

f (x) − ax − lim b = 0

VII-44

x→+∞

want . . .

Dankzij de vorige eigenschap kunnen schuine asymptoten nu ook berekend worden. Op die manier kunnen we grafieken van functies beter begrijpen.

3 Praktische berekening. Om alle schuine asymptoten van een functie f te berekenen, gaan we als volgt te werk (hieronder voor x → +∞, analoog voor x → −∞). f (x) . x (2) Als deze limiet bestaat en gelijk is aan een reëel getal a, bereken dan lim (f (x) − ax).

(1) Bereken lim

x→+∞

x→+∞

(3) Als ook deze limiet bestaat en gelijk is aan een reëel getal b, dan is de rechte y = ax + b een S.A. voor x → +∞ aan de grafiek van f . In elk ander geval is er geen S.A. voor x → +∞.

3 Modelvoorbeeld (vervolg). Beschouw de functie p f (x) = 9x2 + x − 3x.

In een vorig modelvoorbeeld hebben we berekend dat de rechte y = aan de grafiek van f is.

1 6

een horizontale asymptoot voor x → +∞

(a) Bepaal algebraı̈sch de eventuele schuine asymptoten aan de grafiek van f . (b) Duid op een assenstelsel de verkregen informatie over de grafiek van f aan. ⋆

(c) Plot de grafiek van f met je grafische rekenmachine, en maak een correcte schets van de grafiek waarop je de verkregen informatie aanduidt en benoemt.

Oplossing.

Controle met behulp van de grafische rekenmachine bij (a).

VII-45

Oefeningen 2 Asymptoten 2.1 Verticale asymptoot en perforatie 2.2 Horizontale asymptoot 2.3 Schuine asymptoot

1 2

Basis ⋆

⋆⋆

3 4

5 6

Verdieping ⋆ ⋆⋆

Uitbreiding ⋆ ⋆⋆

7 8 9

10

Oefeningen bij §2.1 - §2.3 B

Oefening 1. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Verklaar telkens je antwoord. (a) Er bestaat een functie f waarbij de grafiek zowel een verticale asymptoot heeft als een perforatie bereikt. (b) Als de grafiek van een functie f een H.A. voor x → +∞ heeft, dan heeft ze geen S.A. voor x → +∞. (c) Als de grafiek van een functie f een H.A. voor x → +∞ heeft, dan heeft ze geen S.A. voor x → −∞. (d) Als f een constante functie is, dan heeft de grafiek van f geen asymptoten. (e) Als f een periodieke functie is, dan bereikt de grafiek van f geen perforaties. (f) Als a ∈ R en f een functie is met a ̸∈ dom f en lim f (x) ∈ R, dan bereikt de grafiek van f een perforatie in a. x→a

B

Oefening 2. Ga telkens algebraı̈sch na dat de vermelde rechte een asymptoot aan de grafiek van f is. (a) f (x) =

x−1 met V.A. x = −2 x2 − 4

(b) f (x) = 5x − 8 met S.A. y = 5x − 8 voor x → ±∞ (c) f (x) = 7 − (d) f (x) = 2 B⋆

3x met H.A. y = 7 voor x → ±∞ − 7x + 8

p x2 − 4x + 3 met S.A. y = −2x + 4 voor x → −∞

Oefening 3. Bepaal algebraı̈sch de eventuele verticale asymptoten en perforaties aan de grafiek van f . Maak nadien een correcte schets van de grafiek van f waarop je de verkregen informatie aanduidt en benoemt. (a) f (x) =

B⋆

5x2

2 + 2 ln x x

(b) f (x) =

x sin x

Oefening 4. De concentratie van een bepaald medicijn in het bloed van een patiënt wordt gegeven door p C(t) = t2 + 0, 5 t − t

met C de concentratie (in mg/cm3 ) en t de tijd (in uren) na het toedienen van het medicijn, met t ≥ 0. (a) Bereken algebraı̈sch naar welke waarde de concentratie in het bloed streeft naarmate de tijd na de inspuiting verstrijkt. (b) Maak een correcte schets van de grafiek van C waarop je de verkregen informatie aanduidt en benoemt.

B⋆⋆

Oefening 5. Bepaal telkens algebraı̈sch alle eventuele asymptoten en perforaties aan de grafiek van de functie. Duid nadien op een assenstelsel de verkregen informatie over de grafiek van f aan, en controleer met behulp van je grafische rekenmachine. (a) f (x) =

x2 x+2

x4 − 8x2 2x2 p (c) f (x) = x2 − 1

(b) f (x) =

(d) f (x) =

x2 − x − 6 x2 − 1

2x3 − 2 x2 − 8x + 7 p (f) f (x) = x2 − 4x + 3 + x

(e) f (x) =

VII-46

B⋆⋆

Oefening 6. Bepaal telkens algebraı̈sch alle eventuele asymptoten en perforaties aan de grafiek van de functie. Hanteer de praktische berekening. Maak daarna een correcte schets van de grafiek van f waarop je de verkregen informatie aanduidt en benoemt. (a) f (x) = x +

1 x

(f) f (x) =

(b) f (x) =

cos x x

(g) f (x) = e−x

(c) f (x) =

1 ln x

(h) f (x) = Arctan(1 − x2 )

Å ã 1 (d) f (x) = Arccos x (e) f (x) =

V

x3 |3 − x2 |

√

x−

√

2

1

(i) f (x) = e x

x−1

(j) f (x) =

1 Arcsin x

Oefening 7. Gegeven is een rationale functie f (x) =

x2 + ax + b cx2 + dx + e

waarbij a, b, c, d, e ∈ R.

1 Bepaal de waarde(n) van a, b, c ,d en e waarvoor de rechten y = , x = −2 en x = 1 asymptoten aan de grafiek van 2 f zijn en zodat −3 en 2 nulwaarden van f zijn.

V

Oefening 8. Gegeven is een rationale functie met voorschrift f (x) =

ax2 + bx + 4 x+c

waarbij a, b, c ∈ R.

Bepaal de waarde(n) van a, b en c zodat de rechten x = 2 en y = x + 4 asymptoten aan de grafiek van f zijn.

V

Oefening 9. Gegeven is de functie f (x) =

U⋆

x ax2 + bx + c

waarbij a, b, c ∈ R.

Bepaal de waarde(n) van a, b en c waarvoor de rechte x = 2 een asymptoot aan de grafiek van f is, de grafiek van f een perforatie in x = 0 bereikt en het punt P −2, − 81 tot de grafiek van f behoort.

Oefening 10 (relativistische massa). Massa is een natuurkundige grootheid die een eigenschap van materie aanduidt: de hoeveelheid van een stof. De rustmassa m0 is de massa van een object dat zich in rust bevindt. Daarnaast kent men in de speciale relativiteitstheorie de zogenaamde relativistische massa (ten opzichte van een waarnemer), die afhankelijk is van de snelheid v die het object ten opzichte van die waarnemer heeft, en is gelijk aan:2 mv = »

m0 1−

v2 c2

waarbij c = 299 792 458 m/s staat voor de lichtsnelheid. De energie die men nodig heeft om een object met rustmassa m0 > 0 vanuit rust tot een snelheid v < c (ten opzichte van een waarnemer) te brengen, is gelijk aan E = mv c2 .

Albert Einstein (1879 - 1955)

(a) Schets de grafiek van de functie mv in de variabele v ≥ 0. (b) Bereken algebraı̈sch alle asymptoten en perforaties aan de grafiek van die functie mv . (c) Toon aan dat om een object met rustmassa m0 > 0 vanuit rust tot de lichtsnelheid te brengen, er een oneindige hoeveelheid energie nodig is.

2 De speciale relativiteitstheorie is een natuurkundige theorie gepubliceerd door Albert Einstein in 1905 [18], met als fundamentele hypothese dat de lichtsnelheid in vacuüm hetzelfde is voor alle waarnemers die met constante snelheid bewegen [39].

VII-47

We suggest the phrase given by some unknown mathematician: “When you draw a continuous function, the chalk never separates from the blackboard”.

Menahem Friedman en Abraham Kandel, Calculus Light, 2011 [20, p.87]

Hoofdstuk 3

Continuı̈teit In wetenschappen staat het begrip continu voor een proces dat zonder abrupte veranderingen verloopt, een kenmerk dat we bij heel wat verschijnselen rondom ons kunnen aanvoelen. Zo zal bij een object dat zich verplaatst de snelheid op een continue manier veranderen in functie van de tijd.1 Om het kenmerk continuı̈teit precies te omschrijven, moeten we ons echter wenden tot de wiskunde. Meer bepaald laat het begrip limiet ons toe om dit te doen. Anderzijds kunnen heel wat eigenschappen van limieten van functies eenvoudiger verwoord worden dankzij het concept continuı̈teit.

3.1

Continuı̈teit van een functie in a

Als inleidend voorbeeld beschouwen we het (wiskundig) proces om een decimale voorstelling van het getal π 2 te benaderen. Daarbij kiezen we een benadering van π, en kwadrateren het resultaat. Als we π met tien of meer decimalen benaderen, dan lijkt onze benadering van π 2 te stagneren. Ook het kwadraat van de voorgeprogrammeerde waarde van π geeft hetzelfde resultaat (voer uit).

In werkelijkheid is onze rekenmachine te beperkt om dit proces nog verder uit te voeren, en stagneert ons benaderingsproces van π 2 niet. Zo vinden we met een computerrekenpakket zoals Maple: 2 3, 141 592 653 58 = 9, 869 604 401 027 825 886 816 4.

We vertrouwen er echter op dat steeds betere benaderingen van π zullen leiden tot steeds betere benaderingen van π 2 .

Dit proces hoort ook niet af te hangen van de manier waarop we π benaderen. Zo konden we evengoed starten met 3

,

3, 142

,

3, 141 593 ,

3, 141 592 654

enzovoort.

Voeren we de functie f (x) = x2 in, dan kunnen we dit kenmerk intuı̈tief omschrijven: als x ≈ π dan zal f (x) ≈ f (π) hetgeen we als volgt interpreteren: voor elke rij die convergeert naar π, geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar f (π). Dit kenmerk van de functie f en het getal π zullen we omschrijven als f is continu in π.

Samengevat: 1 betekent: als x ≈ π dan zal f (x) ≈ f (π) f is continu in π x De gelijkenis met het begrip limiet is treffend: continuı̈teit geeft weer dat de limietwaarde L gelijk is aan de functiewaarde f (π) lim f (x) = L

x→π

betekent:

als x ≈ π (met x ̸= π) dan zal f (x) ≈ L

Dit verband zal ons toelaten om continuı̈teit na te gaan door een limiet te berekenen.

Toch zijn de begrippen limiet en continuı̈teit wezenlijk verschilend. Zo moet bij f is continu in π de functiewaarde f (π) bestaan, terwijl dat bij de limiet van f in π niet hoeft. Dat wordt ook bij hun interpretatie duidelijk gemaakt: waar we bij continuı̈teit alle rijen toegelaten die convergeren naar π, beperken we ons bij limiet tot rijen die convergeren naar π maar waarbij elke term verschillend is van π.

1 Er zijn echter ook processen die niet continu zijn, zoals bijvoorbeeld degene die het resultaat zijn van een telling: 0, 1, 2 enzovoort. In dat geval spreken we van een discreet veranderingsproces, zie Deel Rijen.

VII-48

3 Intuı̈tieve definitie (continuı̈teit van een functie in a). Zij f een functie en a ∈ R. Zeggen dat f is continu in a

1 x

betekent:

als x ≈ a dan zal f (x) ≈ f (a)

hetgeen we interpreteren als: voor elke rij die convergeert naar a geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar f (a).2 Is f niet continu in a, dan zeggen we ook wel: f is discontinu in a.

Voorbeeld 1. De functie f met onderstaande grafiek is continu in a.

y f

f (a)

x

a f is continu in a

Voorbeeld 2. Wil f continu zijn in a, dan moet f (a) bestaan. Dus als a ̸∈ dom f , dan is f niet continu in a. Dat is het geval bij onderstaande voorbeelden.

y

y

y

f

f

f a x

x

a

x

a

f is discontinu in a

f is discontinu in a

f is discontinu in a

Voorbeeld 3. Ook als f (a) bestaat, kan f niet continu zijn in a. In tegenstelling tot het limietbegrip heeft de functiewaarde f (a) wel degelijk een invloed op de continuı̈teit in a.

y

y

f (a)

f (a)

f

f

a

a

x

x

f is discontinu in a

f is discontinu in a

2 Daarbij nemen we stilzwijgend aan dat zo’n rij van x-waarden die naar a convergeert enkel termen u bevat waarvoor f (u ) bestaat. i i Net zoals bij de intuı̈tieve definitie van limiet is ook deze interpretatie een afkorting van een formele betekenis die bekend staat als het rijenkenmerk voor continuı̈teit, en gaat als volgt. Voor a ∈ R betekent de uitspraak als x ≈ a dan zal f (x) ≈ f (a) formeel: (1) er bestaat minstens één rij (un ) die convergeert naar a waarbij elke term ui ∈ dom f zodanig dat de bijbehorende rij van functiewaarden (f (un )) convergeert naar f (a), en (2) voor elke andere rij (vn ) die convergeert naar a en waarbij elke term vi ∈ dom f , convergeert de rij van functiewaarden (f (vn )) eveneens naar f (a). Uit deze formele betekenis blijkt dat de uitspraak f is continu in a enkel zin heeft als f (a) bestaat, i.e. a ∈ dom f . Op die manier is automatisch aan voorwaarde (1) voldaan, daar men bij a ∈ dom f steeds de constante rij (un ) = a, a, a, . . . kan beschouwen, waarvan de rij van bijbehorende functiewaarden (f (un )) = f (a), f (a), f (a), . . . vanzelfsprekend convergeert naar f (a). Is a ̸∈ dom f dan is f niet continu in a. De formele betekenis van hierboven blijkt equivalent met de zogenaamde (ϵ, δ)-definitie. Een bewijs van deze equivalentie kan gevonden worden in [23, p.205, Theorem 3.3]. Deze eerste formele, kwantitatieve . In 1872 [24] publiceerde zijn student Heinrich Eduard Heine deze definitie, definitie van continuı̈teit kwam van Karl Weierstrass gebaseerd op de lezingen van Weierstrass, zie [1, p.178]. Een woordelijke doch exacte omschrijving van het begrip continuı̈teit gaat echter terug naar Bernard Bolzano 1817 [3, p.11] en onafhankelijk herformuleerd door Louis Augustin Cauchy [10, p.34-35], zie [19].

VII-49

Kennen we de grafiek van een functie, dan kunnen we daaruit de continuı̈teit in elke x-waarde aflezen. Bij zo’n oefeningen is een goed begrip nodig van de interpretatie van de intuı̈tieve definitie van continuı̈teit voor elke rij die convergeert naar a geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar f (a) meer bepaald: (1) we beschouwen enkel rijen waarvoor de functiewaarde van elke term bestaat, en (2) er moet minstens één zo’n rij bestaan.

Van zodra a ∈ dom f dan is meteen aan voorwaarde (2) voldaan, daar we dan de constante rij a, a, a, . . . kunnen beschouwen. Voor een verduidelijking verwijzen we naar de formele interpretatie in voetnoot 2.

3 Modelvoorbeeld 1. Hieronder staat de grafiek van een functie f . Pas telkens aan tot een ware uitspraak (schrappen wat niet past) en argumenteer het al of niet continu zijn door middel van de interpretatie van de intuı̈tieve definitie van continuı̈teit: de functie f is

y 4 3 2 f

−6

−5

1

−4

−3

−2

−1

(a)

continu/discontinu in −3

want . . .

(b)

continu/discontinu in −1

want . . .

(c)

continu/discontinu in 0

want . . .

(d)

continu/discontinu in 1

want . . .

(e)

continu/discontinu in 2

want . . .

(f)

continu/discontinu in 4

want . . .

(g)

continu/discontinu in 6

want . . .

1

VII-50

2

3

4

5

6

x

Hebben we voor een functie f en a ∈ R dat de limiet van f in a bestaat en gelijk is aan f (a), dan is f continu in a.

Onder bepaalde voorwaarden geldt ook de omgekeerde implicatie.

3 Stelling (continuı̈teit en limiet).

Zij f een functie en a ∈ R zodat f bestaat in een linker- of rechtergeperforeerde omgeving van a.3

Dan geldt:

⇔

f is continu in a

lim f (x) en f (a) bestaan en zijn gelijk

x→a

Voorbeeld 1. In elk van de onderstaande voorbeelden bestaat f in een linker- of rechtergeperforeerde omgeving van a, zodat de stelling van continuı̈teit en limiet kan worden toegepast.4

y

y f

f (a)

y f

f (a)

x

a

x

a

lim f (x) = f (a)

x→a

f is continu in a

f is continu in a

lim f (x) = /

x→a

f is discontinu in a y

y f (a)

f

x

a

lim f (x) = f (a)

x→a

y

f

f (a)

f (a)

f

f

a

a

x

x

a

lim f (x) 6= f (a)

lim f (x) 6= f (a)

f (a) = /

x→a

f is discontinu in a

x

x→a

f is discontinu in a

f is discontinu in a

3 Voorbeeld 2. Wanneer het niet zo is dat f bestaat in een linker- of rechtergeperforeerde omgeving van a, dan kan de stelling van continuı̈teit en limiet niet worden toegepast. In dat geval kan f continu zijn in a, zelfs al bestaat de limiet in a niet. Dat is het geval als f niet onmiddellijk links van a bestaat en niet onmiddellijk rechts van a bestaat. Men noemt a dan een geı̈soleerd punt van dom f .5

y f

f (a)

a

x

lim f (x) = /

x→a

f is continu in a 3 Met f bestaat in een linkergeperforeerde omgeving van a bedoelen we dat er een R > 0 bestaat waarvoor ]a − R, a[ ⊆ dom f . Analoog voor f bestaat in een rechtergeperforeerde omgeving van a. In de stelling van continuı̈teit en limiet kan de voorwaarde f bestaat in een linker- of rechtergeperforeerde omgeving van a nog worden afgezwakt tot: a is een linker- of rechterophopingspunt van dom f .

4 Zoals gebruikelijk betekent een schrijfwijze als lim x→a f (x) = f (a) voluit: linker- en rechterlid bestaan en zijn aan elkaar gelijk.

5 Formeel is a een geı̈soleerd punt van dom f als er een R > 0 bestaat waarvoor ]a − R, a + R[ ∩ dom f = {a}.

VII-51

Net zoals we bij limieten van functies kunnen spreken over linker- en rechterlimiet, kent ook het begrip continuı̈teit een eenzijdig analogon.

3 Intuı̈tieve definitie (linker- en rechtercontinuı̈teit). Zij f een functie en a ∈ R. Zeggen dat 1 x 1 f is rechtscontinu in a x

f is linkscontinu in a

betekent:

als x ≈ a (met x ≤ a) dan zal f (x) ≈ f (a)

betekent:

als x ≈ a (met x ≥ a) dan zal f (x) ≈ f (a)

hetgeen we interpreteren als: voor elke rij die convergeert naar a (met elke term ≤ a resp. ≥ a) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar f (a).6 3 Voorbeeld. Ook eenzijdige continuı̈teit wordt beı̈nvloed door het al of niet bestaan en de waarde van f (a).

Hieronder hebben we geschrapt wat niet past.

y

y f

f (a)

y f

f (a)

x

a

x

a

f

f (a)

x

a

f is linkscontinu/rechtscontinu

f is linkscontinu/rechtscontinu

f is linkscontinu/rechtscontinu

continu/discontinu in a

continu/discontinu in a

continu/discontinu in a

y y

y

f (a)

f

f

x

a

x

a

f

f (a)

a

x

f is linkscontinu/rechtscontinu

f is linkscontinu/rechtscontinu

f is linkscontinu/rechtscontinu

continu/discontinu in a

continu/discontinu in a

continu/discontinu in a

Hebben we voor een functie f en a ∈ R dat de linker- of rechterlimiet van f in a bestaat en gelijk is aan f (a), dan is f linkscontinu resp. rechtscontinu in a. Onder bepaalde voorwaarden geldt ook de omgekeerde implicatie.

3 Stelling (eenzijdige continuı̈teit en eenzijdige limiet).

Zij f een functie en a ∈ R zodat f bestaat in een linker- resp. rechtergeperforeerde omgeving van a.7 Dan geldt respectievelijk:

1 x

⇔

x→ a

1 ⇔ f is rechtscontinu in a x

x→ a

f is linkscontinu in a

lim f (x) en f (a) bestaan en zijn gelijk <

lim f (x) en f (a) bestaan en zijn gelijk >

6 Daarbij

nemen we stilzwijgend aan dat zo’n rij van x-waarden die naar a convergeert enkel termen ui bevat waarvoor f (ui ) bestaat.

Voor a ∈ R betekent de uitspraak als x ≈ a (met x ≤ a) dan zal f (x) ≈ f (a) formeel: (1) er bestaat minstens één rij (un ) die convergeert naar a waarbij elke term ui ∈ dom f en ui ≤ a zodanig dat de bijbehorende rij van functiewaarden (f (un )) convergeert naar f (a), en (2) voor elke andere rij (vn ) die convergeert naar a en waarbij elke term vi ∈ dom f en vi ≤ a, convergeert de rij van functiewaarden (f (vn )) eveneens naar f (a). Uit deze formele betekenis blijkt dat de uitspraak f is linkscontinu in a enkel zin heeft als f (a) bestaat, i.e. a ∈ dom f . Op die manier is automatisch aan voorwaarde (1) voldaan, daar men bij a ∈ dom f steeds de constante rij (un ) = a, a, a, . . . kan beschouwen, waarvan de rij van bijbehorende functiewaarden (f (un )) = f (a), f (a), f (a), . . . vanzelfsprekend convergeert naar f (a). Is a ̸∈ dom f dan is f niet linkscontinu in a. De behandeling voor rechtercontinuı̈teit in a is analoog.

7 De voorwaarde f bestaat in een linker- resp. rechtergeperforeerde omgeving van a kan nog worden afgezwakt tot: a is een linker- resp. rechterophopingspunt van dom f .

VII-52

Ook de stelling van eenzijdige limieten kent nu een analogon voor continuı̈teit, die ook geldig blijkt wanneer a een geı̈soleerd punt van dom f is. Het resultaat kan rechtstreeks aan de hand van de voorgaande intuı̈tieve definities en hun interpretaties beredeneerd worden.

3 Stelling (eenzijdige continuı̈teit). Zij f een functie en a ∈ R. Dan geldt: f is continu in a

1 x

⇔

1 f is linkscontinu in a en f is rechtscontinu in a x

Ook nu kunnen we de intuı̈tieve definitie gebruiken om uit de grafiek van een functie eenzijdige continuı̈teit af te lezen.

3 Modelvoorbeeld 2. Hieronder staat de grafiek van een functie f . Pas telkens aan tot een ware uitspraak (schrappen wat niet past) en argumenteer het al of niet links- of rechtscontinu zijn door middel van de interpretatie van de intuı̈tieve definitie van continuı̈teit: de functie f is

y 4 3 2 f

−6

−5

1

−4

−3

−2

−1

1

2

3

(a)

continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in −3

want . . .

(b)

continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in −1

want . . .

(c)

continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 0

want . . .

(d)

continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 1

want . . .

(e)

continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 2

want . . .

(f)

continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 4

want . . .

(g)

continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 6

want . . .

VII-53

4

5

6

x

3.2

Continuı̈teit van een functie

Kennen we van een functie het voorschrift, dan kunnen we de continuı̈teit in a algebraı̈sch nagaan door limieten te berekenen. Op die manier verkrijgen we informatie over de grafiek van f .

3 Modelvoorbeeld 1. Ga algebraı̈sch na of de volgende functie continu is in 1. Maak nadien een correcte schets van de grafiek van f .  2   2x − 2 als x ̸= 1 x−1 f (x) =   4 als x = 1 Oplossing.

Een volgende stap is om bij een gegeven functievoorschrift f (x) alle a ∈ R te bepalen waarvoor f continu is in a. Die vraag kan voor sommige functies erg lastig zijn. Toch is ze essentiëel, daar het antwoord belangrijke informatie over de grafiek prijsgeeft.

Wil een functie f continu zijn in een waarde a, dan moet f (a) bestaan, i.e. a ∈ dom f . Functies die in elke waarde van hun domein continu zijn, behoren tot een klasse van functies die zich in zekere zin goed gedragen.

3 Definitie (continuı̈teit van een functie). Een functie f is continu als f continu is in elke a ∈ dom f .

Voorbeeld 1. In elk van de onderstaande voorbeelden is f continu.

y

y

y

f

f

f

x

x

f is continu

x

f is continu

f is continu

Voorbeeld 2. In elk van de onderstaande voorbeelden is f niet continu, omdat er telkens een waarde a van het domein te vinden is zodat f niet continu is in a. y y y

f (a)

f

f

f

x

x

x f is niet continu

f is niet continu

f is niet continu

De intuı̈tieve definitie van continuı̈teit in a laat ons toe om de rekenregels voor limieten van rijen te vertalen naar de invloed van continuı̈teit in a bij de (algebraı̈sche) bewerkingen van functies die we in Deel Precalculus 1 hebben gezien.

3 Stelling (continuı̈teit bij bewerkingen van functies). Zij f en g continue functies en r ∈ R. Dan zijn ook de volgende functies continu: f + g,

f − g,

r · f,

f r,

f · g,

f , g

f ◦ g,

g ◦ f.

Schets van het bewijs. Net zoals bij een (schets van het) bewijs van de rekenregels voor limieten van functies uit Hoofdstuk 1, toon men aan: (1) als f en g beide continu zijn in a ∈ R, dan zijn ook de functies f + g, f − g, r · f , f r , f · g en fg continu in a, onder voorbehoud dat a tot het domein van de nieuwe functie behoort, en (2) als f continu is in a en g continu is in f (a), dan is de samengestelde functie g ◦ f eveneens continu in a. Uit de definitie continuı̈teit van een functie volgt nu het gestelde.

VII-54

Wanneer we bovenstaande stelling combineren met de fundamentele limieten die we in Hoofdstuk 1 hebben gezien, verkrijgen we dat elke elementaire functie continu is, wat ook meteen de term elementair rechtvaardigt. Als tweede gevolg vermelden we een verfijning van een resultaat dat al in Hoofdstuk 1 aan bod kwam: limiet berekenen door substitutie.

3 Gevolg 1 (continuı̈teit van elementaire functies). Zij f een veeltermfunctie, of een rationale, irrationale, exponentiële, logaritmische, goniometrische of cyclometrische functie, of een eindige samenstelling van deze functies. Dan is f continu.

3 Gevolg 2 (limiet van een samenstelling). Zij a ∈ R en f een functie. Dan is

lim f (□) = f lim □ x→a

x→a

waarbij □ een willekeurige functie in x voorstelt zodat lim □ bestaat in R en zodat f continu is in lim □. x→a

x→a

3 Modelvoorbeeld 2. Gegeven is de functie f (x) = sin

Å ã 1 + 7x2 . x

(a) Is f continu? Verklaar je antwoord. (b) Bepaal alle a ∈ R waarvoor f continu is in a.

Oplossing.

Heel wat stellingen die we in het vervolg van dit hoofdstuk en in Deel Afgeleiden en Deel Integralen zullen zien, vermelden eigenschappen van functies die zich goed gedragen over een interval. De volgende definitie is dan ook bedoeld om die stellingen goed te kunnen formuleren. Daarbij zal de rol van het gesloten interval essentieel blijken.8 3 Definitie (continuı̈teit van een functie over een interval). Zij f een functie en a, b ∈ R met a < b.

We zeggen:

▷ f is continu over ]a, b[ als f continu is in elke c ∈ ]a, b[,

▷ f is continu over [a, b[ als f continu is in elke c ∈ ]a, b[ en rechtscontinu is in a,

▷ f is continu over [a, b] als f continu is in elke c ∈ ]a, b[ en rechtscontinu is in a en linkscontinu is in b.

Analoge definities gelden voor intervallen van de vorm ]a, b], [a, +∞[, ]a, +∞[, ]−∞, b] en ]−∞, b[.

3 Modelvoorbeeld 3. Gegeven is de functie f (x) =

1 . x

(a) Is f continu? (b) Is f continu over [0, 1]? (c) Is f continu over ]0, 1]?

Verklaar telkens je antwoord.

Oplossing.

8 Dat

komt al aan bod in Bijlage B, waar wordt aangetoond dat het beeld van een gesloten interval onder een continue functie opnieuw een gesloten interval is (waarbij een singleton {r} wordt opgevat als een gesloten interval [r, r]). Men gaat eenvoudig na dat een soortgelijk kenmerk voor een ander type interval niet aan de orde is.

VII-55

3.3

Fundamentele stellingen

Heel wat meetkundige kenmerken gaan enkel op voor grafieken van continue functies. In deze paragraaf behandelen we twee hoofdresultaten. Hoewel ze beide evident lijken, spelen ze een fundamentele rol in een strenge opbouw van de calculus, zie ook Deel Afgeleiden en Deel Integralen. Bewijzen van deze twee stellingen zijn bevat in Bijlage B. Dat een functie f continu is over [a, b] betekent intuı̈tief dat de grafiek van f geen sprongen vertoont tussen a en b, zodat we de grafiek van f kunnen tekenen zonder onze pen op te heffen. Bijgevolg zou de functie f elke waarde tussen f (a) en f (b) moeten bereiken. De precieze formulering van deze bewering gaat als volgt.

3 Tussenwaardestelling van Bolzano.9 Zij f een functie, r ∈ R en a, b ∈ R met a < b. Als: (1) f is continu over [a, b], en (2) r is een waarde strikt tussen f (a) en f (b), dan bestaat er minstens één c ∈ ]a, b[ waarvoor f (c) = r.

Meetkundige betekenis. Indien een functie f en een getal r voldoen aan de voorwaarden (1) en (2) dan is er minstens één punt op de grafiek van f met abscis in ]a, b[ en ordinaat r (duid aan).

y

Bernard Bolzano (1781 - 1848)

f f (b)

r

f (a) a

b

x

Voorbeeld. Als een functie f en een waarde r ∈ R niet aan beide voorwaarden (1) en (2) voldoen, dan kan de tussenwaardenstelling van Bolzano niet worden toegepast. In dat geval kan het zo zijn dat er geen c ∈ ]a, b[ bestaat waarvoor f (c) = r.

y

y

y

f (b)

f (b)

f (b)

f

f

r

f

r

f (a)

f (a)

f (a) r

a

t

b

x

a

b

x

a

b

x

f is niet continu in t ∈ ]a, b[

f is niet rechtscontinu in a

r ligt niet tussen f (a) en f (b)

er bestaat geen c ∈ ]a, b[ waarvoor f (c) = r

er bestaat geen c ∈ ]a, b[ waarvoor f (c) = r

er bestaat geen c ∈ ]a, b[ waarvoor f (c) = r

9 Voor het eerst geformuleerd en aangetoond door Bolzano 1817 [3] voor het bijzonder geval r = 0, waaruit het algemeen geval eenvoudig kan worden afgeleid door f (x) − r te beschouwen in plaats van f (x). Dat bijzonder geval zullen we verderop de wortelstelling noemen, en blijkt dus equivalent te zijn met de tussenwaardestelling van Bolzano. Omdat de meetkundige betekenis van de tussenwaardestelling evident lijkt, werd dit resutaat - zonder schroom - al voor 1817 gebruikt, onder meer door Carl Friedrich Gauss in enkele van zijn bewijzen van de zogenaamde hoofdstelling van de algebra, zie [5, p.414]. De eerste die een duidelijk begrip van de tussenwaardestelling had, en meteen ook een intuı̈tief begrip van continuı̈teit, was Simon Stevin . Hij beredeneerde dat een veelterm niet van teken kan veranderen zonder een nulwaarde te bereiken. Zie [25, p.4-4] en [5, p.414]. Het was echter Bolzano die als eerste de noodzaak van een bewijs van de tussenwaardestelling inzag, en daarmee voor de eerste keer significante delen van de grondslagen van de reële analyse beschreef, zie [23, p.182] en [16, p.92]. Het bewijs van Bolzano wordt door sommigen als ondeugdelijk beschouwd daar hij geen precieze notie van het begrip reëel getal had. Een bewijs van tussenwaardestelling dat daaraan voldoet, verscheen pas bij Karl Weierstrass 1874 [37]. Zie [32, p.286].

VII-56

Naast de tussenwaardestelling van Bolzano vermelden we nog een tweede hoofdresultaat over continue functies. De meetkundige betekenis is opnieuw evident. Een rigoureus bewijs ligt allerminst voor de hand, zie Bijlage B. 3 Extremumstelling van Weierstrass.10 Zij f een functie en a, b ∈ R met a < b. Als f continu is over [a, b] dan bereikt f minstens één keer haar kleinste waarde m en minstens één keer haar grootste waarde M over [a, b].

In symbolen: ∃c, d ∈ [a, b] : ∀x ∈ [a, b] : f (c) ≤ f (x) ≤ f (d) . |{z} |{z} m

M

Meetkundige betekenis. Indien een functie f continu is over [a, b] dan heeft de grafiek van f een globaal minimum P (c, m) en een globaal maximum Q(d, M ) over [a, b] (duid aan).

y Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897)

f

a

b

x

Voorbeeld. Als een functie f niet continu is over [a, b] dan kan de extremumstelling van Weierstrass niet worden toegepast. In dat geval kan het zo zijn dat de grafiek van f geen globaal minimum of geen globaal maximum over [a, b] heeft. Mogelijk is f zelfs niet begrensd over [a, b].11

y

y

y

f

a

t

f

b

x

a

f

b

x

a

b

x

f is niet continu in t

f is niet rechtscontinu in a

f is niet rechtscontinu in a

de grafiek van f heeft geen maximum over [a, b]

de grafiek van f heeft geen minimum over [a, b]

de grafiek van f heeft geen maximum over [a, b]

f is begrensd over [a, b]

f is begrensd over [a, b]

f is niet begrensd over [a, b]

10 Deze stelling kwam voor als Hauptlehrsatz in Weierstrass’ lezingen van 1861 [36], en werd gepubliceerd door Georg Cantor in 1870 [9], zie [23, p.206]. De extremumstelling van Weierstrass werd echter al eerder geformuleerd en bewezen door Bernard Bolzano in de jaren 1830 maar pas gepubliceerd in 1930 [4], zie [31, p.304].

11 Met f is begrensd over [a, b] bedoelen we formeel: ∃l, U ∈ R : ∀x ∈ [a, b] : l ≤ f (x) ≤ U . Als f continu is over [a, b] dan volgt uit de extremumstelling van Weierstrass dat f begrensd is over [a, b], met bijvoorbeeld l = m de minimale waarde van f en U = M de maximale waarde van f over [a, b]. In het bijzonder is elke functie die minstens één keer haar kleinste waarde m en minstens één keer haar grootste waarde M over [a, b] bereikt, ook begrensd. Het omgekeerde is echter niet waar: een functie f kan begrensd zijn over [a, b], waarbij de grafiek van f geen globaal maximum of globaal minimum bereikt (zie linkervoorbeeld hierboven). De extremumstelling van Weierstrass impliceert dat zo’n functie f niet continu is over [a, b].

VII-57

3.4

Toepassingen

Toepassing 1 - Wortelstelling Passen we de tussenwaardestelling van Bolzano toe voor r = 0, dan kunnen we het bestaan van nulwaarden van continue functies aantonen.12 Een nulwaarde c van een functie f is een oplossing van de vergelijking f (x) = 0. Daar een oplossing van een vergelijking ook wel een wortel genoemd wordt, verklaart dit de naam van het volgende resultaat.

3 Wortelstelling. Zij f een functie en a, b ∈ R met a < b. Als: (1) f is continu over [a, b], en (2) 0 is een waarde strikt tussen f (a) en f (b), dan bestaat er minstens één c ∈ ]a, b[ waarvoor f (c) = 0.

Intuı̈tieve betekenis. Als we een punt onder de x-as met een punt boven de x-as verbinden zonder onze pen op te heffen, dan zal deze grafiek de x-as minstens één keer snijden (voer uit zodat je de grafiek van een functie f verkrijgt). y

a b

x

3 Modelvoorbeeld. Toon telkens met behulp van de wortelstelling aan dat de functie f minstens één reële nulwaarde heeft. Controleer nadien met behulp van je grafische rekenmachine. (a) f (x) = −3x5 + 3x + 3

(b) f (x) = x − cos x

Oplossing.

De redenering van het modelvoorbeeld (a) hierboven laat zich meteen veralgemenen tot alle veeltermfuncties met oneven graad.

3 Gevolg. Elke reële veelterm met oneven graad heeft minstens één reële nulwaarde.

Bewijs. Het volstaat om de uitspraak aan te tonen voor reële veeltermen met oneven graad en hoogstegraadsterm gelijk aan 1 (ga na). Is f (x) = xk + ak−1 xk−1 + · · · + a1 x + a0 met k ∈ N oneven en ai ∈ R dan is: lim f (x) = lim xk = (±∞)k = ±∞.

n→±∞

n→±∞

Hieruit volgt het bestaan van a, b ∈ R zodat f (a) < 0 < f (b). Tevens is f een veeltermfunctie, dus f is continu in elke x-waarde van zijn domein R, zodat f continu is over [a, b]. Uit de wortelstelling volgt nu het bestaan van een c ∈ ]a, b[ waarvoor f (c) = 0, zodat f minstens één nulwaarde heeft.

12 Eens een nulwaarde van een continue functie f in een bepaald interval [a, b] gelokaliseerd is, kan de werkwijze uit het bewijs van de tussenwaardestelling van Bolzano in Bijlage B gebruikt worden om die nulwaarde te benaderen. Deze manier van werken wordt ook wel de halveringsmethode of bisectiemethode genoemd. De twee functies in het modelvoorbeeld hierboven geven aan dat er wel degelijk behoefte is om nulwaarden van functies te benaderen, daar wij hun nulwaarden niet algebraı̈sch kunnen bepalen.

VII-58

Toepassing 2 - Fixpuntstelling van Brouwer In de wiskunde slaat de term fixpuntstelling (of dekpuntstelling) op een resultaat dat er voor een functie f dat aan bepaalde voorwaarden voldoet minstens één punt p is waarvoor f (p) = p.13 Onder de honderden fixpuntstellingen die de wiskunde kent, is de fixpuntstelling van Brouwer wellicht het meest bekend. De eendimensionale versie hiervan is een toepassing op de tussenwaardestelling van Bolzano. Hoewel dit geval intuı̈tief duidelijk is, kan het toch minder evidente problemen oplossen, zoals we in Toepassing 3 zullen zien.14 3 Fixpuntstelling van Brouwer (eendimensionaal geval).

Zij f een functie en a, b ∈ R met a < b. Als: (1) f continu is over [a, b], en (2) a ≤ f (x) ≤ b voor elke x ∈ [a, b], dan is er minstens één c ∈ [a, b] waarvoor f (c) = c, een fixpunt van f over [a, b] genaamd.

Intuı̈tieve betekenis. Als we in een vierkant zoals hieronder een punt op de linkerzijde met een punt op de rechterzijde verbinden zonder onze pen op te heffen, dan zal deze grafiek elke diagonaal minstens één keer snijden (voer uit zodat je de grafiek van een functie f verkrijgt).

y b

a

Luitzen Egbertus Jan (1881 - 1966) Brouwer

D

C

A

B a

b

x

Bewijs. Als f (a) = a of f (b) = b, dan zijn we klaar. Voor het vervolg van het bewijs mogen we dus aannemen dat a < f (a) en f (b) < b. Beschouw de hulpfunctie h(x) = x − f (x). Deze functie h voldoet aan de twee voorwaarden van de wortelstelling, want: (1) h is continu over [a, b] want f en g(x) = x zijn continu over [a, b], en (2) 0 is een waarde tussen h(a) en h(b) want h(a) = a − f (a) < 0 en h(b) = b − f (b) > 0.

Wegens de wortelstelling bestaat er minstens één c ∈ ]0, 1[ waarvoor h(c) = 0, waaruit volgt dat f (c) = c.

3 Modelvoorbeeld. Toon met behulp van de fixpuntstelling van Brouwer aan dat de volgende vergelijkingen een reële oplossing hebben. Voorzie telkens je redenering van een vierkant met bijbehorende grafiek. (a) 2−x = x

(b) sin x = x

Oplossing.

13 In deze context spreekt men van een punt p, daar zo’n functie f niet noodzakelijk een reële functie in één variabele is, maar algemeen een verband is dat met elk element van een verzameling A hoogstens één ander element van A associeert. Veelal is die verzameling A een (gesloten en begrensde) deelverzameling van Rn , meetkundig opgevat als een n-dimensionale ruimte, waarbij de elementen p ∈ A ⊆ Rn logischerwijze punten worden genoemd.

14 Het driedimensionale geval van de fixpuntstelling van Brouwer werd in 1904 bewezen door Piers Bohl [2]. Vervolgens bewees Brouwer ditzelfde geval in 1909 [7]. Jacques Hadamard bewees het algemene geval in 1910 [22]. Brouwer vond hier in 1912 een alternatief bewijs voor [8]. Zie [39]. Veralgemeningen van deze stelling staven de verrassende uitspraken dat het altijd ergens op aarde volmaakt windstil is, dat er na het kammen van een behaarde bol altijd een kruintje is, en dat hoe lang je ook roert in een kopje koffie er altijd een punt van de vloeistof is dat zich weer op precies dezelfde plek bevindt als aan het begin [26]. Voor verrassende gevolgen van het eendimensionale geval van de fixpuntstelling van Brouwer, de wortelstelling en de tussenwaardestelling van Bolzano verwijzen we naar Toepassing 3 en Oefening 18, 19 en 20.

VII-59

Toepassing 3 - Fysische problemen Heel wat fysische grootheden worden beschreven door een functie in plaats of tijd, die continu is. Bijvoorbeeld: 3 de windsnelheid, temperatuur en luchtdruk op een plaats op aarde verandert continu in functie van die plaats, 3 de lengte van een veer die opspringt, verandert continu in functie van de tijd, 3 de aantrekkingskracht die een object op bepaalde hoogte boven het aardoppervlak ondervindt, verandert continu in functie van de hoogte, 3 de snelheid van een rijdende auto verandert continu in functie van de tijd.

Binnen een geschikte context kunnen we daarop de tussenwaardestelling van Bolzano toepassen. Ter illustratie bespreken we twee problemen die in een niet homogene of niet gelijkmatige situatie als verrassend worden ervaren.

3 Probleem 1. Twee massa’s worden met elkaar verbonden door een dunne veer, die niet noodzakelijk homogeen is. De veer wordt uitgerokken tot een lengte van 1m, en op een getallenas gelegd zoals aangegeven op nevenstaande figuur (bovenste deel). Daarna wordt het systeem losgelaten, zodat de veer inkrimpt zoals op de figuur hiernaast te zien is (onderste deel). Daar de veer niet noodzakelijk homogeen is, hoeft deze inkrimping niet gelijkmatig te gebeuren.

Toon aan dat er een punt op de veer is die op dezelfde plaats ligt als voorheen.

Oplossing. Beschouw een waarde x ∈ [0, 1]. Wanneer de veer uitgerokken is, hoort bij deze x-waarde een welbepaald punt P op de veer. Na het loslaten van de veer, heeft dit punt P mogelijk een andere plaats op de getallenas gekregen. De bijbehorende waarde noteren we nu met f (x).

Welnu,

3 Probleem 2. Een dunne metalen ring wordt opgewarmd, zodat de temperatuur in elk punt van de ring opgedreven wordt. Die opwarming hoeft niet gelijkmatig te gebeuren, zodat op elk moment verschillende punten van de ring een verschillende temperatuur kunnen hebben. Toon aan dat er op elk tijdstip t steeds twee punten op de ring zijn die recht tegenover elkaar liggen en waarvoor de temperatuur in die twee punten hetzelfde is.

Oplossing. We voeren een assenstelsel in met als oorsprong het middelpunt van de ring, en zodat de straal van de ring gelijk is aan 1. Bij elke hoekwaarde θ ∈ [0, 2π] hoort nu een punt P van de cirkel met als coördinaten co(P ) = (cos θ, sin θ).

De temperatuur in zo’n punt P zullen we met T (θ) noteren. Beschouw nu de functie f (θ) = T (θ) − T (θ + π).

Welnu,

VII-60

Oefeningen 1 Continuı̈teit

Basis ⋆

Verdieping ⋆ ⋆⋆

⋆⋆

3.1 Intuı̈tieve betekenis van continuı̈teit 3.2 Continuı̈teit van een functie

1 2 3

4 5

6 7 8

9

3.3 Fundamentele stellingen 3.4 Toepassingen

14 15

16 17

18

19

Uitbreiding ⋆ ⋆⋆ 10

11 12

13

20

Oefeningen bij §3.1 en §3.2 B

Oefening 1. Zij a, b ∈ R met a < b. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken en verklaar telkens je antwoord. (a) Als een functie f continu is in a, dan bestaat f (a). (b) Als een functie f bestaat in a, dan is f continu in a. (c) Als een functie f continu is in a dan bestaat de limiet van f in a. (d) Als een functie f continu is over [a, b] dan bestaat de limiet van f in a.

B

Oefening 2. Gegeven is volgende grafiek van een functie f . Pas telkens aan tot een ware uitspraak (schrappen wat niet past): de functie f is (a) continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in −2, (b) continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 1, (c) continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 2, (d) continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 4, (e) continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 5.

y 4 3 2 f 1

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

−1 −2 V.A. x = 1

B

Oefening 3. Schets de grafiek van een functie f die aan elk van de volgende voorwaarden voldoet: ▷ dom f = [0, 6], en ▷ f (0) = f (2) = f (4) = f (6) = 2, en ▷ f is continu in elke waarde van dom f behalve in x = 2, en ▷ lim f (x) = 1 en lim f (x) = 3. x→ 2 <

x→ 5 >

VII-61

B⋆

Oefening 4. Pas telkens aan tot een ware uitspraak (schrappen wat niet past) en maak een correcte schets van de grafiek van f .

1 (a) f (x) = is continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 0 x (b) f (x) = ⌊x⌋ is continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 1 (c) f (x) = sign(x) is continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 0 (d) f (x) =

B⋆

|x| is continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 0 x

Oefening 5. Beschouw de functies f (x) = sin

Å ã 1 x

en

g(x) = sign(x).

Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Verklaar telkens je antwoord.

B⋆⋆

(a) f is continu in 0

(e) g is continu in 0

(b) f is continu over [0, 1]

(f) g is continu over [0, 1]

(c) f is continu over ]0, 1]

(g) g is continu over ]0, 1]

(d) f is continu

(h) g is continu

Oefening 6. Hieronder staat de grafiek van een functie f . Pas telkens aan tot een ware uitspraak (schrappen wat niet past) en argumenteer het al of niet continu, linkscontinu of rechtscontinu zijn door middel van de interpretatie van de intuı̈tieve definitie van continuı̈teit: de functie f is (a) continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in −4, (b) continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in −3, (c) continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in −2, (d) continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in −1, (e) continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 0, (f) continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 1, (g) continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 3, (h) continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 5.

y

V.A. x = 3

4 3 2 f 1

−4

−3

−2

−1

1 −1 −2 −3

VII-62

2

3

4

x

B⋆⋆

Oefening 7. Pas telkens aan tot een ware uitspraak (schrappen wat niet past) en argumenteer telkens algebraı̈sch je antwoord. Maak ook een correcte schets van de grafiek van f . (a) f (x) = x2 − 3x + 2 is continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 4 (b) f (x) =

x2 − 4 is continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 2 x−2

(c) f (x) = x − |x| is continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 0 (d) f (x) = ⌊x − 3⌋ is continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 5 (e) f (x) = 3 sign(2x − 1) is continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in (f) f (x) =

4−x √ is continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 4 2− x

  sin x als x ̸= 0 x (g) f (x) =  0 als x = 0  3   x − 8 als x ̸= 2 (h) f (x) = x2 − 4   3 als x = 2 ®

(i) f (x) =

B⋆⋆

is continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 0

sin(πx)

als 0 < x < 1

ln x

als 1 < x < 2

is continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 2

is continu/linkscontinu/rechtscontinu/discontinu in 1

Oefening 8. Bepaal telkens algebraı̈sch alle waarden a ∈ R waarvoor de functie f continu is in a.   ( − 1 x − |x|    x − |x|  2 (x−3) 10 als x ̸= 3 x x x (a) f (x) = 2 (e) f (x) = f (x) = f (x) =   x −1 2 2 0 als x = 3    x − |x| 1 + cos x x (b) f (x) = f (x) =  3 + sin x 2    x − |x| 1 x (c) f (x) = √ f (x) = 4  10 + x 2

(d) f (x) = 10

V

1 2

1 − (x−3) 2

   x − |x| x f (x) =  2

(f) f (x) =

x − |x| x

   x − |x| x (g) f (x) =  2

als x ̸= 0 als x = 0

   x − |x| x (h) f (x) = x cosec x f (x) =  2

Oefening 9. Gegeven zijn de volgende functies met (meervoudig) functievoorschrift, waarbij a, b ∈ R. Bepaal telkens de waarde(n) van a en b waarvoor de functie continu is. Voorzie je redenering van een schets.   −1 als x ≤ 0   (  −1   ax − 16 als x < 4 (a) f (x) = f (x) = ax + b (b) f (x) = ax + b als 0 < x < 1     x3 − 2x2 als x ≥ 4   1 1 als x ≥ 1

VII-63

U

Oefening 10 (soorten discontinuı̈teit). Zij f een functie en a ∈ R zodat f bestaat in een omgeving van a, maar f niet continu is in a. Dan noemen we a een:15 (a) ophefbare discontinuı̈teit als de limiet van f in a bestaat in R, maar verschillend is van f (a); (b) sprongdiscontinuı̈teit als de linker- en rechterlimiet van f in a beide bestaan in R, maar verschillend zijn; (c) essentiële discontinuı̈teit als de linker- of rechterlimiet van f in a niet bestaat in R.

U⋆

Ga telkens na welk type discontinuı̈teit er optreedt. Voorzie je redenering van een schets.  2 als x < 1  (a) a = 2 en f (x) = ⌊x⌋ x (c) a = 1 en f (x) = 0 als x = 1 Å ã     sin 1 2 − x als x > 1 als x ̸= 0 x (b) a = 0 en f (x) = √ √  (d) a = 3 en f (x) = x − 3 + −x + 3 + 1 0 als x = 0

Oefening 11 (zwaartekracht). Als gevolg van de gravitatiewet van Newton is de zwaartekracht dat een object ten gevolge van de aarde ondervindt, gelijk is aan:16  GM mr   als r < R   R3 F (r) =     GM m als r ≥ R, r2 met

gravitatiewet van Newton

▷ R de straal van de aarde en r de afstand tussen object en middelpunt aarde, ▷ m de massa van het object en M de massa van de aarde, ▷ G de gravitatieconstante van Cavendish.17

Hierbij werd de aarde gemodelleerd als een homogene bol. (a) Bepaal de aantrekkingskracht van een massa dat zich achtereenvolgens op het aardoppervlak, in het middelpunt van de aarde en op een heel erg grote afstand van de aarde bevindt. (b) Toon aan dat F continu is in functie van r. Maak daarbij een schets van de grafiek van F .

U⋆

Oefening 12 (dopplereffect). Het dopplereffect is de waargenomen verandering van frequentie van geluid, licht of andere golfverschijnselen, door een snelheidsverschil tussen de bron (zender) en de waarnemer (ontvanger).18 Voor de waargenomen frequentie fw geldt:  fb · v   als de golfbron nadert naar de waarnemer toe v − v b fw =    fb · v als de golfbron zich verwijdert van de waarnemer, v + vb

met fb de frequentie van de golf die de bron uitzendt, v de snelheid waarin de golf zich voortplant in het medium en vb de (absolute waarde van) snelheid van de bron ten opzicht van de waarnemer.

Om het dopplereffect te begrijpen, bedenken we dat de bron golfjes uitzendt.

Een ambulance rijdt met loeiende sirene voorbij Jan aan een snelheid van 90 km/u. De snelheid van het geluid in lucht is er 330 m/s, en voor de eenvoud van de oefening nemen we aan dat het uitgezonden sirenegeluid een constante frequentie van 6000 Hz heeft. (a) Schets de grafiek van de frequentie die Jan waarneemt in functie van de tijd t. (b) Is de waargenomen frequentie continu op het tijdstip dat de ambulace Jan voorbij rijdt? Verklaar je antwoord.

15 Bij een ophefbare discontinuı̈teit volstaat het om de functie in a te herdefiniëren als f (a) = lim x→a f (x) opdat de nieuwe functie continu zou zijn in a, vandaar de benaming ophefbaar.

16 Ontdekt door Isaac Newton en in 1687 gepubliceerd in zijn Principia [28], een van de invloedrijkste publicaties ooit verschenen in de exacte wetenschappen.

17 In de periode 1797-1798 slaagde Henry Cavendish er als eerste in om de aantrekkingskracht tussen twee massa’s experimenteel te meten en dus de gravitatieconstante G te bepalen. Toch blijft deze constante een van de minst nauwkeurig bepaalde natuurkundige constanten, met maar drie of vier significante cijfers, zie [39].

18 Genoemd naar Christian Doppler , die in 1842 dit verschijnsel voor zowel licht- als geluidsgolven beschreef [15]. In 1845 werd het dopplereffect experimenteel getoetst door de Nederlandse meteoroloog Christophorus Buys Ballot . Hij deed dat door een groep hoornisten bij Utrecht in een open spoorwagon met hoge snelheid langs een groep waarnemers te laten rijden. Na de opkomst van het wegverkeer is zo’n proefopstelling niet meer nodig om het dopplereffect bij geluid te constateren: voor een (stilstaande) waarnemer daalt de toonhoogte van het geluid van een snel voorbijrijdend voertuig duidelijk tijdens het passeren [39].

VII-64

U⋆⋆

Oefening 13 (pathologische functies). Een object wordt pathologisch genoemd als het afwijkende, onregelmatige of tegenintuı̈tieve eigenschappen heeft, op zo’n manier dat zich √ onderscheid van wat beschouwd wordt als een typisch object in dezelfde categorie.19 Zo werd het irrationaal getal 2 ten tijde van zijn ontdekking als een pathologisch getal beschouwd.

In deze oefening komen drie pathologische functies aan bod, vergezeld van hun tegenintuı̈tieve kenmerken in verband met continuı̈teit.20 Onderstaande figuur stelt een benadering van hun grafieken voor. Merk op dat het domein van elk van die functies gelijk is aan R.

y

y

g

y f

1

1

h

1

√ 2 b

b

1

x

b

b b b

2

x

√ − 2

b

bb

b

b b

b b

b

b

b

b b

b b

b

b

b

b b

b b

b b

b b

b b

b b

b

b

b b

b b

b

b

1

b

b b

b

b

b

b b

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b b bb bb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb b bb bb b b b b b b b b bb b b b b b b bb bb bb bb bb b b b bb bb b b b b b bb b b bb bb b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb b bb bbb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb bbbbb bbb bbbbb bbb bbbbb bbb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bb b bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbb b b b b b b b b b b b b b b b b b bbb b b b b b b b bb b b b b b b b b bb b b bb b b b b b b bbb b b b b b b b b b b b bbb b b b bb b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b bb b b b b b bb b b b b bbb b b b b b bb b b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b bbbb b b b b b b b b b b bbb b bbbbbb bbbbbbbbbb bb b bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bb b b b b bb b b b b b b b bb b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b bbb b b b b b b b b b bb b b b b b b b bb b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b bbb b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b b bb b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bbb b b b b b bb b b b b b bb b b b b b b b b b bbb b b b b b bb b b b bb b b b b bb b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b bbbb b b b b b b b b b b b bbb b b bbbbbb bb b b b b bb b b b b b b b bb b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b bbb b b b b b b b b b bb b b b b b b b bb b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b bbb b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b b bb b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bbb b b b b b bb b b b b b bb b b b b b b b b b bbb b b b b b bb b b b bb b b b b bb b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b bbbb b b b b b b b b b b b bbb b b bbbbbb b b bbbbbbbbbbbbbbbbbb b b bbbbbbbbbbbbbbbbbb b b bbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bb b bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb b b b b b bbbbbbbbbbbbbbbb b b b b b bbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bb b b b b bbbbbbbbbbbbbbbbbb b bbbbbbbbbbbbbbbbbbbb b bbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb b b b b bbbbbbbb b b b bbbbbb b b b b bbbbb b bb bbb b bb b b b b bb b b b b bb b bb b b b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b bb b bb b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b bb bb b b b b bb b bbbbbbbbbbbbbbbbbb b b b bbbbbbbb b b b bbbbbb b b b bbbbb b bb bbb b b b b b b b bb b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b bb b bb b b b bb b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb b b bb b b b bb b b b b b b bb b b bb b b b b b b bb b b b b bb b bb b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b bb b b b b b b b b bb bb b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b b bb bb b b b b bb b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b bb bb b b bb b b b b b b bb b b bbbbbbbbbbbbbbbbbb b b b bbbbbbbb b b b bbbbbb b b b bbbbb b bb bbb b b b b b b b bb b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b bb b bb b b b bb b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb b b bb b b b bb b b b b b b bb b b bb b b b b b b bb b b b b bb b bb b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b bb b b b b b b b b bb bb b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b b bb bb b b b b bb b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b bb bb b b bb b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bbbbbbbbbbbbbbbb b bbbbbbbbbbbbbbbb b b bbbbbbbbbbbb b b bbbbbbbbbbbb b b bbbbbbbbbbbb bb bbbbbbbbbbbbbb b bbbbbbbbbbbbbb b bbbbbbbbbbbbbb b bb bbbbbbbbbb b b bbbbbbbbbb b b bbbbbbbbbb

1

2

x

(a) Toon aan dat de Dirichletfunctie in geen enkele x-waarde continu is:21 ® 1 als x ∈ Q, f (x) = 0 als x ∈ / Q. (b) Toon aan dat de volgende functie continu is in 0, en discontinu is in elke andere x-waarde: ® x als x ∈ Q, g(x) = −x als x ∈ / Q. (c) Gegeven is de functie van Thomae:22  1 p   als x ∈ Q waarbij x = met p, q ∈ N en ggd(p, q) = 1 en q > 0, q h(x) = q   0 als x ∈ / Q.

Men kan aantonen dat voor elke a ∈ R de limiet van h in a gelijk is aan 0. Toon aan dat h continu is in elk irrationaal getal, en discontinu is in elk rationaal getal.

Oefeningen bij §3.3 en §3.4 B

Oefening 14. Beschouw de functie

1 + 3. x−1 Impliceert de tussenwaardestelling van Bolzano het bestaan van een c ∈ [−2, 2] waarvoor f (c) = 3? Verklaar je antwoord. f (x) =

B

Oefening 15. Een telefoonmaatschappij rekent 12 eurocent om een telefoonverbinding tot stand te brengen, vermeerdert met 8 eurocent per begonnen minuut. Zo kost een telefoongesprek van 2 minuten 0, 28 EUR en een kost een gesprek van 2 minuten en 5 seconden 0, 36 EUR. Noem K(t) de kostprijs van een telefoongesprek dat precies t minuten duurt, waarbij t > 0. (a) Maak een correcte schets van de grafiek van de functie K. (b) Is de functie K continu? Verklaar je antwoord.

telefooncentrale (1967)

(c) Impliceert de tussenwaardestelling van Bolzano het bestaan van een telefoongesprek tussen 1 en 2 minuten dat precies 0, 25 EUR kost? Verklaar je antwoord.

19 Ontleend aan [39, 38]. In de Nederlande taal kent het woord pathologisch de synoniemen abnormaal, pathisch en ziekelijk, en de antoniemen normaal, doorsnee, courant. In de wiskunde gebruikt men als antoniem vaak de Engelse term well-behaved.

20 Toch kent ook de pathologie in de wiskunde zijn grenzen. Zo heeft Vito Volterra in 1881 ontdekt dat de verzameling van discontinuı̈teiten van een functie niet om het even welke deelverzameling van R kan zijn [35]. Zo bestaat er geen functie f die continu is in elk rationaal getal, en discontinu is in elk irrationaal getal. Een tegenhanger van de functie van Thomae is er dus niet. Dit geeft aan dat de verzameling van de rationale getallen en de verzameling van de irrationale getallen intrinsiek onverwisselbaar zijn. Zie [17, p.177-182].

21 Voor het eerst beschreven door Johann Dirichlet 1829 [14].

22 Deze functie wordt ook wel de popcornfunctie genoemd, en werd in 1875 Ontdekt door Carl Johannes Thomae [34, p.14].

VII-65

B⋆

B⋆

Oefening 16. Toon telkens met behulp van de wortelstelling aan dat de functie f minstens één reële nulwaarde over het vermelde interval heeft. Controleer nadien met behulp van je grafische rekenmachine. (a) f (x) = −x3 − x + 5 over [1, 2]

(c) f (x) =

√

(b) f (x) = x100 + 3x99 + 1 over [−1, 0]

(d) f (x) =

ò ï x 5π + sin x − 1 over 0, 10 2

Oefening 17. Toon telkens zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine aan dat de vergelijking minstens één reële oplossing heeft. (a) x4 − 3x + 1 = 0 (b)

B⋆⋆

1

x − 16 x + 1 over [1, 4]

x =6 x2 − 2x + 1

x =6 x2 − 2x + 1

x =6 x2 − 2x + 1 x (d) e−x + 2 = x 2 =6 x − 2x + 1 (c) x2022 = x2021 + 1

Oefening 18. Beschouw een begrensd gebied D dat zich in het eerste kwadrant bevindt. Voor elke hoek θ in het eerste kwadrant bestaat er een rechthoek die aan de vier zijden aan dit gebied grenst, en waarvan twee tegenoverliggende zijden een hoek θ met de x-as maken, zoals aangegeven op onderstaande figuur. Toon aan dat er een hoek θ is waarvoor die rechthoek een vierkant is. Bijgevolg kan elk begrensd gebied omschreven worden door een vierkant.

Aanwijzing. Beschouw het verschil van lengte en breedte.

V

Oefening 19. Op een rechthoekige tafel staat een bord, met daarin een portie aardappelen, een portie rode kool en een braadworst. (a) Toon aan dat je met één rechte snede de portie aardappelen in twee gelijke porties kan verdelen, op zo’n manier dat je loodrecht en evenwijdig met de onderste tafelrand snijdt. (b) Toon aan dat je met één rechte snede zowel de portie aardappelen als de portie rode kool in twee gelijke porties kan verdelen, op zo’n manier dat je loodrecht snijdt. (c) Toon aan dat je met één rechte snede zowel de portie aardappelen, de portie rode kool als de braadworst in twee gelijke porties kan verdelen.

V⋆

Oefening 20. Een wandelaar start om 4 u. ’s morgens met het beklimmen van een heuvel, en bereikt de top op het middaguur. De volgende dag keert hij langs precies hetzelfde pad terug. Hij vetrekt om 5 u. ’s morgens en beëindigt zijn afdaling omstreeks 11 u. ’s morgens. Toon aan dat er een plaats op het pad is waarop zijn uurwerk op beide dagen dezelfde tijd aangaf.

VII-66

Bijlage A Formules van de goniometrie - Overzicht definities

def

sin α cos α

cot α =

def

1 cos α

cosec α =

tan α = sec α =

def

def

grondformule

sin2 α + cos2 α = 1

aanverwanten

1 + tan2 α =

som- en verschilformules

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

1 cos2 α

formules van Carnot

1 + cot2 α =

sin2 α = a

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

2 tan α 1 − tan2 α

1 − cos(2α) 2 … =±

halveringsformules

sin

t-formules

sin α =

2t 1 + t2

cos α =

1 − t2 1 + t2

tan α =

2t 1 − t2

2

1 sin2 α

cos(2α) = cos2 α − sin2 α

sin(2α) = 2 sin α cos α tan(2α) =

1 sin α

tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β

tan(α ± β) = verdubbelingsformules

cos α sin α

cos2 α =

1 − cos a 2

cos

met t = tan

a 2

1 + cos(2α) 2 … =±

α 2

(formules van Simpson)

ã Å ã a+b a−b sin a + sin b = 2 sin cos 2 2 Å ã Å ã a+b a−b cos cos a + cos b = 2 cos 2 2

product-naar-som formules

sin p cos q =

Å ã 1 sin(p + q) + sin(p − q) 2

cos p sin q =

cos p cos q =

Å ã 1 cos(p + q) + cos(p − q) 2

sin p sin q = −

Å

som-naar-product formules

1 + cos a 2

ã Å ã a−b a+b sin a − sin b = 2 sin cos 2 2 Å ã Å ã a−b a+b cos a − cos b = −2 sin sin 2 2 Å

Å ã 1 sin(p + q) − sin(p − q) 2

(omgekeerde formules van Simpson)

VII-67

Å ã 1 cos(p + q) − cos(p − q) 2

Bijlage B Bewijzen van fundamentele stellingen In een strenge opbouw van de theorie van de calculus spelen de volgende stellingen een fundamentele rol:1 (i) tussenwaardestelling van Bolzano, (ii) extremumstelling van Weierstrass, (iii) stelling van Rolle, (iv) middelwaardestelling van Lagrange, (v) middelwaardestelling van Cauchy, (vi) bestaansstelling van primitieve functies, (vii) hoofdstelling van de calculus.

Als eerbetoon aan het historisch en wiskundig belang van deze zeven stellingen, worden ze in deze cursus ook expliciet bewezen. In deze bijlage zullen we stellingen (i) en (ii) aantonen. Stellingen (iii) tot en met (v) worden in Deel afgeleiden besproken. Stellingen (vi) en (vii) komen in Deel Integralen aan bod, onder de namen hoofdstelling 1 en hoofdstelling 2 van de integraalrekening.

Om de tussenwaardestelling van Bolzano en extremumstelling van Weierstrass rigoureus aan te tonen, moet men gebruik maken van eigenschappen die raken aan de grondslagen van de reële analyse. Wij zullen steunen op een kenmerk van de reële getallen, dat ook al (zonder bewijs) in Deel Rijen werd vermeld.2 Het geeft aan dat reële getallen wezenlijk andere eigenschappen hebben dan bijvoorbeeld de rationale getallen.3 We formuleren het kenmerk voor een stijgende rij. Hieruit kan eenvoudig de duale eigenschap voor een dalende rij worden afgeleid.

3 Fundamenteel kenmerk van de reële getallen. Elke reële rij die stijgend en naar boven begrensd is, convergeert naar een reëel getal.

De bewijzen die hierna aan bod komen, maken gebruik van de zogenaamde bisectiemethode waarbij intervallen worden gehalveerd om een reëel getal met een bepaald kenmerk te lokaliseren. Dit principe werd ook door Bolzano gehanteerd, maar kwam al voor in de elementen van Euclides.

Als eerste tonen we de tussenwaardestelling van Bolzano aan. Voor de volledigheid vermelden we hieronder nog eens de formulering van deze stelling uit Hoofdstuk 3.

3 Tussenwaardestelling van Bolzano.

Zij f een functie, r ∈ R en a, b ∈ R met a < b. Als: (1) f is continu over [a, b], en (2) r is een waarde strikt tussen f (a) en f (b), dan bestaat er minstens één c ∈ ]a, b[ waarvoor f (c) = r.

1 Deze

Bernard Bolzano (1781 - 1848)

opsomming is geenszins volledig, maar raakt enkel een selectie van hoofdresultaten aan waarvan de formulering in de loop van de derde graad aan bod komt. De indrukwekkende stamboom van stellingen die nodig zijn om de hoofdstelling van de calculus rigoureus te bewijzen vanuit de definitie van reële getallen, limieten en de logica, is bijvoorbeeld terug te vinden in [23, p.242].

2 Dit kenmerk is equivalent met het zogenaamde supremumprincipe (zie voetnoot 5) waarvan een formeel bewijs steunt op een feitelijke constructie van de reële getallen. Dat laatste kan bijvoorbeeld als de verzameling van limieten van convergente rijen van rationale getallen, een constructie vanuit zogenaamde cauchy-rijen. Een andere, gelijkwaardige constructie verloopt aan de hand van zogenaamde sneden van Dedekind [12]. Naar eigen zeggen bedacht Richard Dedekind zijn definitie van reële getallen uit frustratie, omdat hij niet in staat was om het bovenstaand kenmerk van de reële getallen aan zijn studenten uit te leggen. Zie [21, p.475].

3 Men gaat eenvoudig na dat de rationale getallen niet aan dit kenmerk voldoen. Zo is de rij (u ) bepaald door u = 2 en u n n = 1 1 (un−1 + u 2 ) voor n > 1 een stijgende rij van rationale getallen die naar boven begrensd is, maar niet convergeert naar een rationaal 2 n−1 √ getal. De rij convergeert immers naar het reëel getal 2, zie Deel VI Rijen.

VII-68

Bewijs. We zullen aannemen dat f (a) ≤ f (b). Het bewijs voor het geval f (a) > f (b) verloopt analoog.

Noem c0 = a+b 2 . Als f (c0 ) = r, dan is het bewijs voltooid. Als f (c0 ) ̸= r dan is ofwel f (c0 ) < r, ofwel f (c0 ) > r. In het eerste geval noemen we a1 = c0 en b1 = b, in het tweede geval noemen we a1 = a en b1 = c0 .

In elk geval is:

y f f (b)

(i) a ≤ a1 ≤ b1 ≤ b, en 1 (ii) lengte [a1 , b1 ] is van lengte [a, b], en 2 (iii) f (a1 ) < r < f (b1 ).

r

1 Noem c1 = a1 +b 2 . Als f (c1 ) = r, dan is het bewijs voltooid. Als f (c1 ) ̸= r dan is f (c1 ) < r ofwel f (c1 ) > r. In het eerste geval noemen we a2 = c1 en b2 = b1 , in het tweede geval noemen we a2 = a1 en b2 = c1 .

In elk geval is:

f (a) a b 1 a1

(i) a ≤ a1 ≤ a2 ≤ b2 ≤ b1 ≤ b, en 1 (ii) lengte [a2 , b2 ] is van lengte [a, b], en 4 (iii) f (a2 ) < r < f (b2 ).

Zo gaan we verder. Ofwel vinden we na een eindig aantal halveringen van [a, b] een waarde c ∈ [a, b] waarvoor f (c) = r, en omdat f (a) < r < f (b) is c ̸= a en c ̸= b zodat in feite c ∈ ]a, b[. In dat geval is het bewijs voltooid.

b

x

b1

b 2 a2

b2

b 3 a3

b3 c

halveringen van [a, b] bepalen rijen (an ) en (bn ) met limiet c

Ofwel is dit niet het geval. Dan verkrijgen we voor elke n ∈ N0 : (i) a ≤ a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · ≤ an ≤ bn ≤ · · · ≤ b3 ≤ b2 ≤ b1 ≤ b, en 1 (ii) lengte [an , bn ] is n van lengte [a, b], en 2 (iii) f (an ) < r < f (bn ).

Wegens (i) is (an ) = a1 , a2 , a3 , . . . een stijgende rij die naar boven begrensd is door b. Het fundamenteel kenmerk van de reële getallen impliceert dat (an ) convergeert naar een reëel getal α ≤ b. Analoog convergeert de dalende rij (bn ) naar een reëel getal β ≥ a.

Wegens (ii) is |bn − an | =

|b−a| 2n

voor elke n ∈ N0 . Derhalve is:

lim |bn − an | = lim

n→+∞

n→+∞

|b − a| |b − a| |b − a| = +∞ = =0 2n 2 +∞

zodat uit de rekenregels voor limieten van rijen volgt: 0 = lim |bn − an | = n→+∞

lim bn − lim an = |β − α| .

n→+∞

n→+∞

Bijgevolg is α = β. Noem deze waarde c. We zullen aantonen dat f (c) = r.

Wegens (iii) is f (an ) < r < f (bn ) voor elke N0 . Passen we de insluitstelling voor rijen toe, dan vinden we: lim f (an ) ≤ r ≤ lim f (bn ).

n→+∞

n→+∞

Nu is (an ) een rij die convergeert naar α = c. Wegens het gegeven is f continu over [a, b]. Daar a ≤ c ≤ b, zal wegens de intuı̈tieve definitie van (eenzijdige) continuı̈teit de rij van functiewaarden (f (an )) convergeren naar f (c). Analoog convergeert ook de rij (f (bn )) naar f (c). De voorgaande ongelijkheden geven dan: f (c) ≤ r ≤ f (c) zodat f (c) = r. Op die manier hebben we aangetoond dat er een c ∈ [a, b] bestaat waarvoor f (c) = r, en omdat f (a) < r < f (b) is c ̸= a en c ̸= b zodat in feite c ∈ ]a, b[.

VII-69

Als tweede luik van deze bijlage, richten we ons tot de extremumstelling van Weierstrass. Deze stelling verrijkt een ander, fundamenteel resultaat die wij eerst zullen behandelen.

3 Stelling (begrensdheid). Zij f een functie en a, b ∈ R met a < b. Als f continu is over [a, b] dan is f begrensd over [a, b], in symbolen:4 ∃l, U ∈ R : ∀x ∈ [a, b] : l ≤ f (x) ≤ U. Meetkundige betekenis. Indien een functie f continu is over [a, b] dan kan de grafiek van f tussen twee horizontale rechten y = l en y = U worden omvat. Bijgevolg is bld f ⊆ [l, U ].

y y=U

f

y=l a

b

x

Bewijs. Veronderstel, uit het ongerijmde, dat f niet begrensd is over [a, b]. Noem c0 = a+b 2 . Dan is f niet begrensd over minstens één van de intervallen [a, c0 ] en [c0 , b]. In het eerste geval noemen we a1 = a en b1 = c0 , in het tweede geval noemen we a1 = c0 en b1 = b. In elk geval is: (i) a ≤ a1 ≤ b1 ≤ b, en 1 (ii) lengte [a1 , b1 ] is van lengte [a, b], en 2 (iii) f is niet begrensd over [a1 , b1 ].

1 Noem c1 = a1 +b 2 . Dan is f niet begrensd over minstens één van de intervallen [a1 , c1 ] en [c1 , b1 ]. In het eerste geval noemen we a2 = a1 en b2 = c1 , in het tweede geval noemen we a2 = c1 en b2 = b1 . In elk geval is:

(i) a ≤ a1 ≤ a2 ≤ b2 ≤ b1 ≤ b, en 1 (ii) lengte [a2 , b2 ] is van lengte [a, b], en 4 (iii) f is niet begrensd over [a2 , b2 ].

Zo gaan we verder, en verkrijgen we voor elke n ∈ N0 : (i) a ≤ a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · ≤ an ≤ bn ≤ · · · ≤ b3 ≤ b2 ≤ b1 ≤ b, en 1 (ii) lengte [an , bn ] is n van lengte [a, b], en 2 (iii) f is niet begrensd over [an , bn ].

Net zoals in het bovenstaande bewijs van de tussenwaardestelling van Bolzano, impliceren (i) en (ii), dankzij het fundamenteel kenmerk van de reële getallen, de convergentie van de rijen (an ) en (bn ) naar hetzelfde reëel getal dat we c noemen.

Wegens (iii) wordt f over [an , bn ] niet naar onder begrensd door f (c) − 1 of niet naar boven begrensd door f (c) + 1, en dit voor elke n ∈ N0 . Met andere woorden, ∀n ∈ N0 : ∃xn ∈ [an , bn ] : f (xn ) < f (c) − 1 of f (xn ) > f (c) + 1.

Op die manier vinden we een rij (xn ). Omdat an ≤ xn ≤ bn voor elke n ∈ N0 , volgt uit de insluitstelling voor rijen dat de rij (xn ) convergeert naar c. De intuı̈tieve definitie van (eenzijdige) continuı̈teit impliceert dat de rij van functiewaarden (f (xn )) convergeert naar f (c). Dit betekent: de termen van de rij (f (xn )) liggen zo dicht als men wil bij f (c), op voorwaarde dat hun rangnummer maar groot genoeg is. Dit is in strijd met onze constructie van de rij (xn ), die stelt dat |f (xn ) − f (c)| > 1 voor elk rangnummer n.

4 De

letters l en U verwijzen naar lower bound en upper bound, de Engelse termen voor ondergrens en bovengrens.

VII-70

De vorige stelling kan als volgt worden verwoord: is een functie f continu over een gesloten interval [a, b], dan is het beeld van [a, b] onder f een deelverzameling van een gesloten interval. De extremumstelling van Weierstrass verfijnt deze uitspraak: het beeld van [a, b] onder f is zelf een gesloten interval. Voor de meetkundige betekenis, voorbeelden en gevolgen verwijzen we opnieuw naar Hoofdstuk 3.

3 Extremumstelling van Weierstrass.

Zij f een functie en a, b ∈ R met a < b. Als f continu is over [a, b] dan bereikt f minstens één keer haar kleinste waarde m en minstens één keer haar grootste waarde M over [a, b], in symbolen: ∃c, d ∈ [a, b] : ∀x ∈ [a, b] : f (c) ≤ f (x) ≤ f (d) . |{z} |{z} m

M

Bewijs. 5 We tonen aan dat f minstens één keer haar grootste waarde M over [a, b] bereikt. Het bewijs voor de uitspraak over de kleinste waarde m is analoog.

Wegens voorgaande stelling is f alvast begrensd over [a, b], i.e. ∃l, U ∈ R : ∀x ∈ [a, b] : l ≤ f (x) ≤ U. Zo’n l en U die aan deze eigenschap voldoen, noemen we een ondergrens resp. bovengrens van f over [a, b]. We beweren nu dat er een kleinste bovengrens van f over [a, b] bestaat: een waarde M ∈ R waarvoor geldt dat:

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897)

(1) ∀x ∈ [a, b] : f (x) ≤ M , en

(2) ∀M ′ < M : ∃x ∈ [a, b] : M ′ < f (x).

Om het bestaan van zo’n kleinste bovengrens van f over [a, b] aan te tonen, beschouwen we een ondergrens l en een bovengrens U van f over [a, b], waarvan het bestaan hierboven verzekerd werd. Merk op dat l zeker geen bovengrens van f over [a, b] is, daar bijvoorbeeld l ≤ f (a). In het bijzonder is l < U . Om te bewijzen dat zo’n kleinste bovengrens M bestaat, maken we weerom gebruik van de bisectiemethode. Het verschil met de twee voorgaande bewijzen is evenwel dat we deze keer intervallen halveren op de y-as, zie figuur op de volgende pagina.

Noem B0 = l+U 2 . Dan is ofwel B0 een bovengrens van f over [a, b], ofwel niet. In het eerste geval noemen we l1 = l en U1 = B0 , in het tweede geval noemen we l1 = B0 en U1 = U . In elk geval is: (i) l ≤ l1 ≤ U1 ≤ U , en 1 (ii) lengte [l1 , U1 ] is van lengte [l, U ], en 2 (iii) l1 is geen bovengrens van f over [a, b] en U1 is wel een bovengrens van f over [a, b].

1 Noem B1 = l1 +U 2 . Dan is ofwel B1 een bovengrens van f over [a, b], ofwel niet. In het eerste geval noemen we l2 = l1 en U2 = B1 , in het tweede geval noemen we l2 = B1 en U2 = U1 . In elk geval is:

(i) l ≤ l1 ≤ l2 ≤ U2 ≤ U1 ≤ U , en 1 (ii) lengte [l2 , U2 ] is van lengte [l, U ], en 4 (iii) l2 is geen bovengrens van f over [a, b] en U2 is wel een bovengrens van f over [a, b].

Zo gaan we verder, en verkrijgen we voor elke n ∈ N0 : (i) l ≤ l1 ≤ l2 ≤ l3 ≤ · · · ≤ ln ≤ Un ≤ · · · ≤ U3 ≤ U2 ≤ U1 ≤ U , en 1 (ii) lengte [ln , Un ] is n van lengte [l, U ], en 2 (iii) ln is geen bovengrens van f over [a, b] en Un is wel een bovengrens van f over [a, b].

5 In

de literatuur wordt deze stelling vaak door middel van het zogenaamde supremumprincipe bewezen, dat stelt: elke niet lege deelverzameling X van R die naar boven begrensd is, heeft een kleinste bovengrens. Die kleinste bovengrens van X noemt men dan het supremum van X, in symbolen sup X. In het bovenstaande bewijs maken we gebruik van het voorgenoemde fundamenteel kenmerk van de reële getallen: elke reële rij die stijgend en naar boven begrensd is, convergeert naar een reëel getal. In het vervolg van deze voetnoot argumenteren we dat deze twee kenmerkende eigenschappen van R gelijkwaardig zijn. Onze redenering in het bovenstaande bewijs waarbij we het bestaan van een kleinste bovengrens M van f over [a, b] aantonen, komt neer op een bewijs dat de niet-lege en naar boven begrensde deelverzameling bld f = {f (x) | x ∈ [a, b]} van R een kleinste bovengrens heeft, i.e. M = sup(bld f ). Een gelijkaardige redenering bewijst dat het supremumprincipe uit het fundamenteel kenmerk van de reële getallen volgt. De omgekeerde implicatie is klassiek: is (un ) een reële rij die stijgend en naar boven begrensd is, dan is X = {un | n ∈ N} een niet lege en naar boven begrensde deelverzameling van R, die wegens het supremumprincipe een kleinste bovengrens sup X = a heeft. Dan geldt voor elke ϵ > 0 dat a − ϵ geen bovengrens van X is, zodat er een rangnummer N bestaat met a − ϵ < uN ≤ a. Daar (un ) stijgend is, geldt dan meteen ook dat a − ϵ < an ≤ a voor elk rangnummer n ≥ N . Formeel (en kwantitatief) verwoord: ∀ϵ > 0 : ∃N ∈ N0 : ∀n ∈ N0 : n ≥ N ⇒ |a − un | < ϵ. Beschijvend (en kwalitatief) wordt dit: de termen van de rij (un ) liggen zo dicht als men wil bij a, op voorwaarde dat hun rangnummer maar groot genoeg is. Dit drukt precies uit dat de rij (un ) convergeert, en wel naar a = sup X.

VII-71

Net zoals in het bovenstaande bewijs van de tussenwaardestelling van Bolzano, impliceren (i) en (ii), dankzij het fundamenteel kenmerk van de reële getallen, de convergentie van de rijen (ln ) en (Un ) naar hetzelfde reëel getal dat we M noemen.

y U4

U3

U2

U1 U

M l4

l3 l2 l1 f

l a

b

x

halveringen van [l, U ] bepalen rijen (ln ) en (Un ) met limiet M

Om aan te tonen dat M voldoet aan (1), nemen we een willekeurige x ∈ [a, b]. Wegens (iii) is f (x) ≤ Un voor elke n ∈ N0 . Passen we de stelling limiet van een ongelijkheid voor rijen toe, dan vinden we f (x) ≤ lim Un n→+∞

waaruit volgt dat f (x) ≤ M . We besluiten dat M voldoet aan (1).

Om aan te tonen dat M voldoet aan (2), beschouwen we een willekeurige M ′ < M . Daar de rij (ln ) convergeert naar M , liggen de termen van de rij (ln ) zo dicht als men wil bij M , op voorwaarde dat hun rangnummer maar groot genoeg is. Er bestaat dus een rangnummer N ∈ N0 zodat M − lN < M − M ′ . Dan is M ′ < lN < M .

Wegens (iii) is lN geen bovengrens van f over [a, b]. We kunnen dus een x ∈ [a, b] vinden waarvoor lN < f (x).

Voor deze x-waarde geldt dan ook dat M ′ < f (x). Daarmee is aangetoond dat dat M voldoet aan (2).

Samengevat hebben we bewezen dat M een kleinste bovengrens van f over [a, b] is. We beweren nu dat de functie f deze waarde M ook bereikt. We moeten dus bewijzen: ∃d ∈ [a, b] : f (d) = M. Veronderstel, uit het ongerijmde, dat f (x) ̸= M voor elke x ∈ [a, b]. Daar M een bovengrens van f over [a, b] is, geldt dan meteen ook dat f (x) < M voor elke x ∈ [a, b]. Beschouw nu de functie g(x) =

1 .

M − f (x)

Omdat f continu is over [a, b], is dan ook g continu over [a, b]. De voorgaande stelling impliceert dat g begrensd is over [a, b], zodat: 1 ∃B ∈ R : ∀x ∈ [a, b] : ≤ B. M − f (x) Zo’n B ∈ R is strikt positief, want f (x) < M voor elke x ∈ [a, b]. Op deze manier verkrijgen we voor elke x ∈ [a, b]: 1 ≤B M − f (x)

⇒

1 ≤ B (M − f (x))

⇒

1 ≤ M − f (x) B

⇒

f (x) ≤ M −

1 .

B

Dit zou betekenen dat we een bovengrens M ′ = M − B1 van f over [a, b] gevonden hebben die kleiner is dan de kleinste bovengrens M van f over [a, b], zie (2). Een strijdigheid.

VII-72

Antwoorden op geselecteerde oefeningen Hoofdstuk 1 (1) (a) (b) (c) (d)

vals vals vals vals

(2) (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)

−∞ −2 3 / 3 3 3 3

(3) (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)

3 −∞ +∞ 2 0 −1 +∞ /

1 − cos x =0 x→0 x

(9) lim

(10) (a) / (b) / (c) / (d) / (e) / (f) −2

(g) −2

(h) −1 (i) /

(j) −1

(k) / (l) / (m) / (n) / (o) 2

(p) 2 (q) 1 (r) 1

(5) lim f (x) = /

(s) 1

x→0

(6) (a) (b) (c) (d) (e) (f) (7) (a) (b) (c) (d) (8) (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)

−2 3 0 4 −1 √ 6 9 −1 2t + 3 1 − x2 −2t +∞ 2 2 2 +∞ 0 / −3

(t) +∞ (u) −∞ (v) /

(w) / (x) / (11) p = 3 Å ã 1 =1 (12) lim x sin x→±∞ x (13) (a) / (b) / (c) / (d) / (14) 32 (15) (a) 21 (b) −25

(c) −190 256 √ (d) − 9+ 7 VII-73

(16) (a) 40 107 (b) 11

(24) (a) +∞ (b) +∞ (c) −∞ 1 (d) − 2

1 (19) (a) √ 16 807 (b) e

√

14

(25) (a) −1

(c) −1

(b) 1

(d) 12 2 (e) π (f) −1

(c) +∞ (d) 0 1 (e) 2 (f) −

(20) (a) +∞ (b) 0

(26) (a)

(c) −∞

π 2

lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞

x→+∞

(d) +∞

(b) lim f (x) = 0

(e) 0

(d) lim f (x) = 0

x→0 x→0

(f) 1

(27) (a) 3 7 (b) 5 (c) +∞ 2 (d) − 3 (e) 0 3 (f) 4 (g) 0

(21) (a) +∞ (b) +∞ (c) −∞

(d) /

(e) +∞ (f) 0 (g) 0 (h) −

π 2

(h) 1

(22) (a) +∞

(28) (a) 0

(b) −∞

(b) −∞

(c) 4 √ (d) 3 √ (e) − 3

(c) +∞

(d) +∞ (e) 0

(f) +∞ 2 (g) − 3 1 (h) − 4 (i) +∞

(f) / (g) / (h) −∞

 1 − x2 − 3ax + 2a2 4 = (29) (a) lim 2 x→a x + 2ax − 3a2  1

(j) 4 (k) +∞

 −∞     2x + a 4 √ = (b) lim x → 1 2x −  7 x+3  >   +∞

(l) 8 (m) −∞ (n) −1

(o) +∞

(p) +∞ (q) −∞ 1 (r) 16 (s) −∞ 1 (t) − 4 (23) (a) lim f (x) = −1, lim f (x) = 1, lim f (x) = / x→ 0 <

(b)

x→−∞

x→ 0 >

x→0

lim f (x) = 1, lim f (x) = −1

x→+∞

x→−∞

(c) 2 1 (d) 3 7 (30) (a) 27 1 (b) − 2 √ 4 (c) 2 2 √ 14 (d) − 10 VII-74

als a ̸= 0 als a = 0 als a < −2 als a = −2 als a > −2

(32) (a) 1 1 (b) 2 (c) 6 (d) 0 (e) 0 (f) 1 (g) 2 (h) 1 (33) (a) (b) (c) (d) (e)

3 2 1 1 2 5 3 0

(f) 1 23 (g) 4 (h) −

7 13

(i) 4 (j) 1 Å (34) (a) co(A) = (0, h), co(B) = h2 √ h→ 0 2 − 4 − h2 >

h2 h p 4 − h2 , 2 2

ã en AB : y =

√

4 − h2 − 2 x+h h

(c) lim (d) 4 (e) 4

(b) De limietpositie van P is het punt met coördinaten (4, 0).

(35) 2 (36) (a) 1 (b) +∞

Hoofdstuk 2 (1) (a) waar (b) waar (c) vals (d) vals (e) vals (f) vals (3) (a) De rechte x = 0 is een verticale asymptoot aan de grafiek van f . (b) De grafiek van f bereikt een perforatie in x = 0 en voor elke k ∈ Z0 is de rechte x = kπ een verticale asymptoot aan de grafiek van f .

(4) (a) De concentratie in het bloed streeft naar 0, 25 mg/cm3 .

(5) (a) De rechte x = −2 is een verticale asymptoot aan de grafiek van f en de rechte y = x − 2 is een schuine asymptoot voor x → ±∞ aan de grafiek van f . (b) De grafiek van f bereikt een perforatie in x = 0.

VII-75

(c) De rechte y = x is een schuine asymptoot voor x → +∞ aan de grafiek van f en de rechte y = −x is een schuine asymptoot voor x → −∞ aan de grafiek van f .

(d) De rechten x = −1 en x = 1 zijn verticale asymptoten aan de grafiek van f en de rechte y = 1 is een horizontale asymptoot voor x → ±∞ aan de grafiek van f .

(e) De grafiek van f bereikt een perforatie in x = 1, de rechte x = 7 is een verticale asymptoot aan de grafiek van f en de rechte y = 2x + 16 is een schuine asymptoot voor x → ±∞ aan de grafiek van f . (f) De rechte y = 2 is een horizontale asymptoot voor x → −∞ aan de grafiek van f en de rechte y = 2x − 2 is een schuine asymptoot voor x → +∞ aan de grafiek van f .

(6) (a) De rechte x = 0 is een verticale asymptoot aan de grafiek van f en de rechte y = x is een schuine asymptoot voor x → ±∞ aan de grafiek van f . (b) De rechte x = 0 is een verticale asymptoot aan de grafiek van f en de rechte y = 0 is een horizontale asymptoot voor x → ±∞ aan de grafiek van f . (c) De rechte x = 1 is een verticale asymptoot aan de grafiek van f en de rechte y = 0 is een horizontale asymptoot voor x → +∞ aan de grafiek van f .

(d) De rechte y =

π 2

is een horizontale asymptoot voor x → ±∞ aan de grafiek van f .

(e) De rechte y = 0 is een horizontale asymptoot voor x → +∞ aan de grafiek van f . √ √ (f) De rechten x = − 3 en x = 3 zijn verticale asymptoten aan de grafiek van f en de rechte y = x is een schuine asymptoot voor x → ±∞ aan de grafiek van f .

(g) De rechte y = 0 is een horizontale asymptoot voor x → ±∞ aan de grafiek van f .

(h) De rechte y = − π2 is een horizontale asymptoot voor x → ±∞ aan de grafiek van f .

(i) De rechte x = 0 is een verticale asymptoot aan de grafiek van f en de rechte y = 1 is een horizontale asymptoot voor x → ±∞ aan de grafiek van f .

(j) De rechte x = 0 is een verticale asymptoot aan de grafiek van f .

(7) a = 1, b = −6, c = 2, d = 2 en e = −4 (8) a = 1, b = 2 en c = −2 (9) a = 2, b = −4 en c = 0

(10) (b) De rechte v = c is een verticale asymptoot aan de grafiek van mv .

Hoofdstuk 3 (1) (a) waar (b) vals (c) vals (d) vals (2) (a) continu, linkscontinu en rechtscontinu (b) discontinu (c) rechtscontinu en discontinu (d) continu, linkscontinu en rechtscontinu (e) linkscontinu en discontinu (4) (a) discontinu (b) rechtscontinu en discontinu (c) discontinu (d) discontinu (5) (a) vals (b) vals (c) waar (d) waar (e) vals (f) vals (g) waar (h) vals VII-76

(6) (a) discontinu (b) continu, linkscontinu en rechtscontinu (c) discontinu (d) continu, linkscontinu en rechtscontinu (e) continu, linkscontinu en rechtscontinu (f) continu, linkscontinu en rechtscontinu (g) discontinu (h) continu, linkscontinu en rechtscontinu (7) (a) continu, linkscontinu en rechtscontinu (b) discontinu (c) continu, linkscontinu en rechtscontinu (d) rechtscontinu en discontinu (e) discontinu (f) discontinu (g) discontinu (h) continu, linkscontinu en rechtscontinu (i) discontinu (8) (a) a ∈ R \ {1, −1} (b) a ∈ R

(c) a ∈ ]−10, +∞[

(d) a ∈ R \ {3} (e) a ∈ R

(f) a ∈ R0

(g) a ∈ R0

(h) a ∈ R \ {0, ±π, ±3π, ±5π, . . .} (9) (a) a = 12 (b) a = 2 en b = −1 (10) (a) sprongdiscontinuı̈teit (b) essentiële discontinuı̈teit (c) ophefbare discontinuı̈teit (d) geen discontinuı̈teit (11) (a) respectievelijk

GM m , 0 N en 0 N R2

(12) (b) niet continu (14) nee (15) (b) nee (c) nee

VII-77

Referentielijst [1] E.D. Bloch, The Real Numbers and Real Analysis, Springer New York, 2010.

[2] P. Bohl, Über die Bewegung eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage, Journal für die reine und angewandte Mathematik 127 (3/4), p. 179–276, 1904.

[3] B. Bolzano, Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Wenhen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege, Abhandlungen der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften, Prague, 1817.

[4] B. Bolzano, Functionenlehre, edited by K. Rychlik, Royal Bohemian Academy of Sciences, Prague, 1930.

[5] N. Bourbaki, General topology, Chapters 1-4, Springer-Verlag, Berlin, 1989.

[6] C. B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & Sons, New York, 1968.

[7] L.E.J. Brouwer, Continuous one-one transformations of surfaces in themselves, Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, Proceedings of the Section Sciences, Vol. 11, p. 788-798, 1909.

[8] L.E.J. Brouwer, Über Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, Mathematische Annalen, Vol. 71, p. 97-115, 1912.

[9] G. Cantor, Beweis, dass für jeden Werth von x durch eine trigonometrische Reihe gegebene Function f (x) sich nur auf eine einzige Weise in dieser Form darstellen lässt, Journal reine u. angew.Math. (Crelle), 72, p. 139-142, 1870.

[10] A.L. Cauchy, Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique premiere partie Analyse Algebrique, Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi, 1821.

[11] J. le. R. d’Alembert, Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, mis en ordre et publié par M. Diderot & par M. D’Alembert, tome neuvieme, à Neufchastel, Vol. 9, 1765 [12] R. Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig: Friedrich Vieweg, 1872.

[13] K. De Naeghel, H. Eggermont, S. Schatteman, Verrassende wiskunde, Uitwiskeling 32/3, p. 24-53, 2016.

[14] G.L. Dirichlet, Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données, Journal für die reine und angewandte Mathematik 4, 157-169, 1829.

[15] C. Doppler, Über das farbige Licht der Doppelsterne und einiger anderer Gestirne des Himmels, Borrosch & André, Prag, 1842.

[16] P. Dugac, Histoire du théorème des accroissements finis, Archives Internationales d’Histoire des Sciences 30, 86-101, 1980.

[17] W. Dunham, The calculus gallery, Princeton University Press, 2005.

[18] A. Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik 17, p. 891-921, 1905.

[19] W. Felscher, Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta, The American Mathematical Monthly, Vol. 107, p. 844-862, 2000.

[20] M. Friendman, A. Kandel, Calculus Light, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2011.

[21] F.Q. Gouvêa, Review Calculus Reordered: A History of the Big Ideas by David M. Bressoud, The American Mathematical Monthly, Vol. 127(5), p. 470-477, 2020.

[22] J. Hadamard, Note sur quelques applications de l’indice de Kronecker, p. 437-477 in J. Tannery, Introduction à la théorie des fonctions d’une variable avec une Note de M. Hadamard, Vol. 2, deuxième édition, A. Hermann & Fils, Paris, 1910.

[23] E. Hairer, G. Wanner, Analysis by its history, Springer-Verlag, New York, 1996.

VII-78

[24] H.E. Heine, Die Elemente der Functionenlehre, Jornal für die Reine und Angewandte Mathematik, 74, p. 172-188, 1872.

[25] C. Impens, Analyse I, Universiteit Gent, uitgave 1996-1997.

[26] A. Jaspers, De grondlegger van de topologie inspireert nog steeds, NEMO Kennislink, 2016. Beschikbaar op https://www.nemokennislink.nl/kernwoorden/topologie/ .

[27] G.W. Leibniz, Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quænec fractas, nec irrationales quantitates moratur, & singulare pro illis calculi genus, Acta Eruditorum 3, p. 467-473, Leibzig, 1684.

[28] I. Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica, London: William Dawson & Sons, 1687.

[29] I. Newton, The Method of Fluxions and Infinite Series: With Its Application to the Geometry of Curve-lines, Henry Woodfall, London, 1736.

[30] A. Robinson, Non-standard Analysis, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1966.

[31] P. Rusnock, A. Kerr-Lawson, Bolzano and uniform continuity, Historia Mathematica, Vol. 32(3), p. 303-311, 2005.

[32] J. Stillwell, Mathematics and its history, Springer, New-York, 1989.

[33] S. Symens, B. Windels, Paradoxen in de wiskunde, Centrum voor Nascholing Onderwijs, 2008.

[34] K.J. Thomae, Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale, Halle, 1875.

[35] V. Volterra, Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate discontinue, Giornale di Matematiche, Vol. 19, p.

76-86, 1881.

[36] K. Weierstrass, Differential Rechnung, Vorlesung an dem Königlichen Gewerbeinstitute, manuscript 1861, typewritten by H.A. Schwarz, Math. Bibl.Humboldt, Universit¨at Berlin, 1861.

[37] K. Weierstrass, Einleitung in die Theorie der analytischen Functionen, Summer Semester 1874. Nota’s door G. Hettner, Mathematische Institut der Universität Göttingen.

[38] Website The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon, https://mathvault.ca/math-glossary/ [39] Website Wikipedia, http://en.wikipedia.org/

en http://en.wikipedia.org/

[40] Website Wolfram, https://mathworld.wolfram.com/

VII-79

.

.

.