الرياضيات3

‫رياضيات ‪3‬‬

‫الـمــدر�ســـــــة ‪...................................................................................... :‬‬

‫رقـ ـ ــم الإي ـ ـ ـ ــداع ‪14٢7/3785 :‬‬ ‫ردمك ‪9960 - 48 - 235 - 9 :‬‬

‫التعليم الثانوي نظام املقررات (م�سار العلوم الطبيعية) الطبعة الثانية ‪1431‬هـ ‪1432 -‬هـ ‪2010 /‬م ‪2011 -‬م‬

‫اال�ســـــــــــــــــم ‪...................................................................................... :‬‬

‫نظام المقررات‬ ‫(م�سار العلوم الطبيعية)‬

‫‪1431‬هـ ـ ‪1432‬هـ‬ ‫‪2010‬م ـ ‪2011‬م‬

‫نظام المقررات‬

‫( م�سار العلـوم الطبيعية )‬ ‫جلنة التعديل والتطوير‬

‫(رئي�سا )‬ ‫�أ‪ -‬نور بنت �سعيد باقادر‬ ‫ً‬

‫�أ‪� -‬إبت�سام بنت �سعيد من�سي‬ ‫�أ‪ -‬ملياء بنت عبد اهلل خان‬

‫�أ‪ -‬جنوى بنت رجب ال�شوا‬ ‫�أ‪� -‬سلمى بنت عبود بايزيد‬

‫جلنة املراجعة‬ ‫�أ‪� -‬سـامي بن �أحمد رحيـِّم‬ ‫�أ‪ -‬ثامر بن حمد العي�سى‬ ‫الطباعة‬ ‫�أ‪� -‬إميان بنت عبداهلل القثمي �أ‪� -‬شادية بنت �أحمد باعزيز‬ ‫�أ‪ -‬مها بنت عبد العزيز القدير‬ ‫�أ�شرف على الت�صميم الفني والتعليمي‬ ‫�أ‪ -‬حممد بن عبداهلل الب�صي�ص‬ ‫‪ 1431‬ـــ ‪ 1432‬هــ‬ ‫‪ 2010‬ـــ ‪2011‬م‬

‫ح‬

‫وزارة التربية والتعليم ‪ 1427 ،‬هـ‬

‫فهر�سة مكتبة الملك فهد الوطنية �أثناء الن�شر‬ ‫وزارة التربية والتعليم‬ ‫ريا�ضيات ‪ (3‬التعليم الثانوي ) ‪ -‬الريا�ض ‪ 1427 ،‬هـ‬ ‫‪� 252‬ص ؛ ‪� 27x21‬سم‬ ‫ردمك ‪ 9 :‬ـ ‪ 235‬ـ ‪ 48‬ـ ‪9960‬‬ ‫‪1‬ـ الريا�ضيات ـ كتب درا�سية ‪2‬ـ التعليم الثانوي ـ ال�سعودية ـ كتب درا�سية‬ ‫�أ‪ .‬العنوان‬ ‫‪1427 /3785‬‬ ‫ديوي ‪510،712‬‬ ‫رقم الإيداع ‪1427 / 3785 :‬‬ ‫ردمك ‪ 9 :‬ـ ‪ 235‬ـ ‪ 48‬ـ ‪9960‬‬ ‫له ��ذا الكتاب قيمة مهم ��ة وفائدة كبيرة فحافظ عليه واجع ��ل نظافته ت�شهد على ح�سن‬ ‫�سلوكك معه ‪.‬‬ ‫�إذا لم تحتفظ بهذا الكتاب في مكتبتك الخا�صة في �آخر العام لال�ستفادة فاجعل مكتبة‬ ‫مدر�ستك تحتفظ به ‪.‬‬ ‫حقوق الطبع والن�شر محفوظة لوزارة التربية والتعليم ـ المملكة العربية ال�سعودية‬

‫موقع‬

‫وزارة التربية والتعليم‬ ‫‪www.moe.gov.sa‬‬

‫موقع‬

‫البوابة التعليمية للتخطيط والتطوير‬ ‫‪http://www.ed.edu.sa‬‬

‫موقع‬

‫�إدارة التعليم الثانوي‬ ‫‪www.hs.gov.sa‬‬

‫البريد الإلكتروني لإدارة التعليم الثانوي‬

‫‪Secondary-Education@curriculum.gov.sa‬‬

‫مقدمة‬

‫الحمد ِ‬ ‫رب العالمين‪ ،‬و ال�صـالة وال�سـالم على �سـ ِّيد المر�سـلين‪ ،‬وعلى �آله و�صحبه �أجـمعين‪،‬‬ ‫هلل ِّ‬ ‫ومن تبعهم ب�إح�س ٍ‬ ‫ـان �إلى يوم الدين وبعد ‪...‬‬ ‫ه���ذا كت���اب ريا�ض َّي���ات ( ‪ ) 3‬ف���ي نظام المق���ررات بالتعلي���م الثانوي الذي ن�أم���ل �أن يج���يء ُمل ِّبـ ًيا لخطط‬ ‫التنمي���ة الطموح���ة التي تعي�شـها المملكـة العرب َّيـة ال�سـعود َّية ومتَّفقًا مع تط ُّلعاتـها في �إخرا ِج ٍ‬ ‫جيل قاد ٍر‬ ‫كل ذلك وفق �أه ِ‬ ‫عل���ى مواكب���ة الع�صر ومتم�شـ ًّيا مع النه�ض���ة التي تحياهـا‪ُّ ،‬‬ ‫التعليم فيهـا‪.‬‬ ‫���داف و�سـيا�سـ ِة‬ ‫ِ‬ ‫تنظيم محتوى هذا الكتاب على المنطلق ِ‬ ‫ـات العا َّمة الآتية ‪:‬‬ ‫ولقد ا�سـ ُت ِند في‬ ‫ِ‬ ‫الحـاجات الأ�سـا�سـ َّية للطالب‪.‬‬ ‫ ‬ ‫طرائق تعليم وتع ُّلم الريا�ضيـَّات‪.‬‬ ‫ ‬ ‫الريا�ضي‪.‬‬ ‫ �أ�سـاليب التفكير‬ ‫ِّ‬ ‫الريا�ضي من مفهومات وم�صطلحـات وخوارزم َّيـات ومهارات وم�سـائل ريا�ض َّية‪.‬‬ ‫نوع َّية البناء‬ ‫ ‬ ‫ِّ‬ ‫ �أوجه ا�سـتخدامات الريا�ض َّيـات في الحياة العمل َّيـة‪.‬‬

‫وتبرز مالمح الكتاب في التالي‪:‬‬

‫‪ -1‬االنطالق في تنظيم منهج الريا�ض َّيات من الأهداف العا َّمة للما َّدة و�أهداف نظام المقررات بالتعليم‬ ‫الثان���وي‪ ،‬بم���ا يتالءم وخ�صائ����ص نـمو الطالب با ِّتب���اع �أ�سـاليب وطرائق ت�سـتند �إل���ى نظر َّيات التع ُّلم‬ ‫المختلفة‪.‬‬ ‫‪ -2‬الأخ���ذ باالتج���اه الحلزون���ي ف���ي معالج���ة المحت���وى الريا�ضي م���ع الجمع بي���ن التنظي���م المنطقي‬ ‫والتنظيم ال�سيكولوجي‪.‬‬ ‫‪ -3‬روع���ي ف���ي عر����ض المو�ضوع���ات �إب���راز المفهوم���ات والمب���ادئ العلمي���ة والنظر َّي���ات ‪ ...‬وتمييزه���ا‬ ‫وا�سـتخدامها في مواقف تعليم َّية مختلفة بما ُيعين على تعميق معناها لدى الطالب‪.‬‬ ‫‪ -4‬االهتمام ببرهان الحقائق والنظر َّيات‪ ،‬ومراعاة التوازن بين المفهومات والمهارات‪.‬‬ ‫‪ -5‬توظي���ف �أ�سالي���ب التفكير العلم ِّ���ي في البحث واال�ستق�ص���اء والو�صول �إل���ى اال�ستنتاجات والقرارات‬ ‫وحل الم�شكالت‪.‬‬ ‫التعمق في ذلك‬ ‫‪ -6‬اال�ستمرار في تعزيز بناء المفهومات باال�ستناد �إلى معلومات الطالب ال�سابقة مع ُّ‬ ‫بم���ا ي َّتف���ق وطبيع���ة المرحل���ة و�إي�ضاح كل مفهوم من خ�ل�ال �أمثلة متنوعة؛ لم�ساع���دة الطالب على‬ ‫الذاتي‪.‬‬ ‫التع ُّلم‬ ‫ِّ‬

‫‪� -7‬إب���راز جه���ود علم���اء الريا�ض َّي���ات الع���رب والم�سـلمي���ن و�أثره���م ف���ي بن���اء وتطوي���ر العل���وم الريا�ض َّية‬ ‫وتطبيقاتـها‪.‬‬ ‫‪ -8‬ربط المفهومات الريا�ض َّية ببيئة الطالب وبالمفهومات التي تق َّدم لـه في الموا ِّد الأخرى‪ ،‬وتوظيـفها‬ ‫من خالل التطبيقات الحيات َّية المتع ِّددة‪.‬‬ ‫‪ -9‬ت�ضمين المحتـوى مجمـوعة كافية من الأمثـلة والتدريبـات تعقب ك َّل معلومة ريا�ض َّية‪.‬‬ ‫‪� -10‬إثرا‪-‬ء المحتـوى بمجموعة تمـارين عا َّمة متنـ ِّوعة في نـهاية ك ِّل وحدة‪� ،‬إ�ضـافة �إلى التمارين التي‬ ‫تلي كل در�س؛ لتثبـيت الحقـائق والمهـارات وت�أكيـد ا�سـتمرار َّية التع ُّلم‪.‬‬ ‫‪� -11‬إدراج �أن�شطة �إثرائية با�ستخدام الحا�سب الآلي كلما �أمكن ذلك‪.‬‬ ‫‪ -12‬تلخي����ص المفهوم���ات والنظر َّي���ات ‪ ...‬الت���ي ت�ض َّمنه���ا محت���وى ك ِّل وح���دة م���ن الوح���دات وذلك في‬ ‫نـهايته‪.‬‬ ‫‪� -13‬إدراج قائمة بالإجابات النهائ َّية لبع�ض التمارين لك ِّل وحدة بـهدف تقويم الطالب لنف�سـه ذاتـ ًّيا‪.‬‬ ‫‪� -14‬إدراج الأهداف التعليمـ َّية لك ِّل وحدة من وحدات الكتاب في بدايتـها‪.‬‬ ‫‪ -15‬اال�ستعان���ة بالر�س���وم التو�ضيح َّي���ة والأ�شـكال ف���ي تو�ضيح المفهومات الريا�ض َّي���ة ك َّلما دعت الحاجة‬ ‫لذلك‪.‬‬

‫ولقد اُ�سـتفيد حين �إعداد الكتاب ِم َّما يلي‪:‬‬

‫‪ -1‬تو�صي���ف منه���ج م���ا َّدة الريا�ض َّيات ف���ي نظام المقررات بالتعلي���م الثانوي م���ن الإدارة العا َّمة للمناهج‬ ‫التربوي بوزارة التربية والتعليم‪.‬‬ ‫بالتطوير‬ ‫ِّ‬ ‫‪ -2‬مق��� َّررات الريا�ض َّي���ات ب���دول مجل����س التعاون ل���دول الخلي���ج العرب َّية‪ ،‬وبع����ض ال���دول العرب َّية وغير‬ ‫العرب َّية‪.‬‬ ‫هذا ويقع الكتاب في �أربع وحدات وهي‪:‬‬ ‫‪ -1‬الم�ض َّلعات ‪ -2 .‬هند�سة المتُّجِ هات ‪ -3 .‬الأعداد المر َّكبة ‪ -4 .‬دوال كثيرات الحدود ‪ .‬‬ ‫و �إ نَّنا لترجو التوفيق وال�سـداد من اهلل ‪ -‬تعالى ‪ -‬و�أن ُيحـقِّق هذا الكتاب الأهداف الم�أمولة له‪.‬‬ ‫ ‬ ‫واهلل من وراء الق�صد‪.‬‬ ‫لجنـة الت�أليف‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬

‫الم�ضلَّعات‬

‫(‪ )1-1‬الم�ض َّلعات المنتظمة ‪10 ................................................‬‬ ‫(‪ )2-1‬ت�شابه الم�ض َّلعات ‪29 ...................................................‬‬ ‫تعلمت في هذه الوحدة ‪48 ..............................................‬‬ ‫تماريـن عا َّمـة ‪49 .......................................................‬‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬ ‫(‪)1-2‬‬ ‫(‪)2-2‬‬ ‫(‪)3-2‬‬ ‫(‪)4-2‬‬ ‫(‪)5-2‬‬

‫هند�سة المتجهات‬

‫المتجهات في الم�ستوي ‪54 .............................................‬‬ ‫ال�ضرب القيا�سي ( ال�ضرب الداخلي ) ‪92 ..............................‬‬ ‫معادلة الم�ستقيم في الم�ستوي ‪98 ......................................‬‬ ‫الإحداثيات في الف�ضاء ‪106 .............................................‬‬ ‫المتجهات في الف�ضاء الإحداثي ‪121 ....................................‬‬ ‫تعلمت في هذه الوحدة ‪140 .............................................‬‬ ‫تماريـن عا َّمـة ‪143 ......................................................‬‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫الأعداد المركبة‬

‫(‪ )1-3‬مجموعة الأعداد المر َّكبة ‪...........................................‬‬ ‫(‪ )2-3‬العمليات على الأعداد المر َّكبة ‪.....................................‬‬ ‫(‪ )3-3‬حل معادالت الدرجة الثانية في مجموعة الأعداد المركبة ‪..........‬‬ ‫تعلمت في هذه الوحدة ‪..............................................‬‬ ‫تماريـن عا َّمـة ‪......................................................‬‬

‫الوحدة‬ ‫الرابعة‬

‫‪150‬‬ ‫‪156‬‬ ‫‪171‬‬ ‫‪178‬‬ ‫‪180‬‬

‫دوال كثيرات الحدود‬

‫(‪ )1-4‬العملياتعلىكثيراتالحدود ‪........................................‬‬ ‫(‪ )2-4‬ق�سمة كثيرات الحدود ‪..............................................‬‬ ‫(‪ )3-4‬النظرية الأ�سا�سية في الجبر ‪.......................................‬‬ ‫�أن�شطة �إثرائية‪......................................................‬‬ ‫تعلمت في هذه الوحدة ‪.............................................‬‬ ‫تماريـن عا َّمـة ‪.....................................................‬‬

‫‪184‬‬ ‫‪199‬‬ ‫‪212‬‬ ‫‪225‬‬ ‫‪229‬‬ ‫‪231‬‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬

‫الم�ضلَّعــــات‬

‫(‪ )1-1‬امل�ضلَّعات املنتظمة‬ ‫(‪ )2-1‬ت�شـابه امل�ضلَّعات‬

‫ن�شاه ��د الم�ضلع ��ات ف ��ي كثي ��ر من‬ ‫الأ�شي ��اء حولنا ‪ ،‬ن�شاهدها في بيوت‬ ‫النح ��ل ‪ ،‬وف ��ي المبان ��ي والمن�ش� ��آت‬ ‫الهند�سي ��ة ‪ ،‬وف ��ى اللوحات وزخرفة‬ ‫الحلي‬ ‫ِّ‬

‫ُيتو َّقع من الطالب بعد درا�سـة هذه الوحدة‬ ‫�أن يكون قاد ًرا على �أن ‪:‬‬ ‫‪ -1‬يُم ِّيز الم�ض َّلع المق َّعر والم�ض َّلع المحدَّب‪.‬‬ ‫‪ -2‬يُم ِّيز الدائرة الداخل َّية والدائرة الخارج َّية‬ ‫منتظم‪.‬‬ ‫لم�ض َّل ٍع‬ ‫ٍ‬ ‫‪ -3‬ير�سم م�ض َّل ًعا منتظ ًما داخل دائر ٍة معلومةٍ‪.‬‬ ‫منتظم بداللة المحيط‬ ‫‪ -4‬يح�سب م�ساحة م�ض َّل ٍع‬ ‫ٍ‬ ‫والعامد‪.‬‬ ‫‪ -5‬يح�سب طول ال�ضلع وطول العامد لبع�ض‬ ‫الم�ض َّلعات المنتظمة‪.‬‬ ‫ُف�سـر معنى ت�شـابه م�ض َّلعين ون�سـبة ت�شابـههما‪.‬‬ ‫‪ -6‬ي ِّ‬ ‫‪ -7‬ي�ستنتج العالقة بين ارتفاعين متناظرين في‬ ‫مث َّلثين مت�شابـهين‪.‬‬ ‫م�ساحتي مث َّلثين مت�شابـهين‬ ‫‪ -8‬ي�ستنتج العالقة بين‬ ‫ِّ‬ ‫مع ِّم ًما ذلك على م�ض َّلعين مت�شابـهين‪.‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫‪1-1‬‬

‫الم�ضلَّعات المنتظمة ‬

‫مـــقــدمـــة‬

‫�أب ��دع الخالق العظيم الكون و�ص َّوره �أجمل ت�صويرٍ بد َّق ٍة متناهي� � ٍة تج َّلت فيها قدرته وعظمته‪ ،‬ولو ت�أ َّملنا‬ ‫ناحي ًة من نواحي تلك العظمة وهي الدقَّة والتماثل واالنتظام في الخلق لوجدنا هند�سـ ًة تفوق ك َّل هند�سـ ٍة‬ ‫وتنا�سـ ًق ��ا يعل ��و ك َّل تنا�سـقٍ ‪ .‬فهذه الأ�شـ ��كال الهند�سـ َّية البديعة التي �أبدعها الخال ��ق نجدها في بلُّورات‬ ‫المعادن وكثيرٍ من الموا ِّد‪ ،‬نجدها في خاليا من النباتات والحيوانات‪ ،‬كما نجدها في بيوت النحل التي‬ ‫�أوح ��ى اهلل لـه ��ا فاتَّخذت من الجبال ومن ال�شـج ��ر بيوتًا متقنة ال�صنع متماثلة ال�شـ ��كل‪ ،‬و�أخي ًرا نجدها‬ ‫ف ��ي ابتكارات الإن�سـان المخلوق الذي وهب ��ه اهلل العقل وم َّيزه على �سـائر خلقه ف�ص َّمم المبانـي وهند�س‬ ‫الحلي في �صو ٍر غاي ًة في الدقَّة والجمال‪.‬‬ ‫المن�شـ�آت ور�سـم اللوحات وزخرف َّ‬

‫وف ��ي هذه الوحدة �سـندر�س خ�صائ�ص الم�ض َّلعات المنتظمة‪ ،‬كم ��ا �سـندر�س ت�شـابه الم�ض َّلعات والعالقة‬ ‫محيطي م�ض َّلعين مت�شابـهين وكذلك بين م�سـاحتيهما‪.‬‬ ‫بين‬ ‫ِّ‬

‫‪10‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الم�ض َّلعـ ــات‬

‫الم�ض َّلع‬ ‫عرف ��ت فيم ��ا �سـبق مفهوم الم�ض َّلع‪ ،‬وعلى �سـبيل المثال ف� �� َّإن ك ًّال من الأ�شـكال في ال�شـكل ( ‪ ) 1-1‬يم ِّثل‬ ‫م�ض َّل ًعا‪.‬‬

‫�شـكل ( ‪) 1-1‬‬

‫قطع م�سـتقيم ٍة �أو �أكثر في الم�سـتوي‪ ،‬بحيث � َّإن‪:‬‬ ‫فالم�ض َّلع هو ا تِّحاد ثالث ٍ‬ ‫القطع الم�سـتقيمة تتقاطع عند �أطرافها فقط‪.‬‬ ‫ك َّل ٍ‬ ‫طرف ينتمي �إلى قطعتين م�سـتقيمتين فقط‪.‬‬ ‫ال توجد قطعتان م�سـتقيمتان ت�شـتركان في ٍ‬ ‫طرف ٍ‬ ‫واحد‪ ،‬على ا�سـتقام ٍة واحد ٍة‪.‬‬ ‫� َّأن ك ًّال من الأ�شـكال في ال�شـكل ( ‪ ) 2-1‬ال يم ِّثل م�ض َّل ًعا ( لماذا ؟ )‬

‫�شـكل ( ‪) 2-1‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪11‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫كما عرفت �أنَّ‪:‬‬ ‫‪ 1‬عنا�صر الم�ض َّلع هي �أ�ضالعه ور�ؤو�سـه وزواياه‪ ،‬حيث‪:‬‬ ‫القطع الم�سـتقيمة الداخلة في تركيب الم�ض َّلع تُ�سـ َّمى �أ�ضالع هذا الم�ض َّلع‪.‬‬ ‫�أطراف �أ�ضالع الم�ض َّلع تُ�سـ َّمى ر�ؤو�س الم�ض َّلع‪.‬‬ ‫ك ُّل زاوي ٍة مح َّدد ٍة ب�ضلعين متجاورين متتاليين في م�ض َّل ٍع تُ�سـ َّمى زاوي ًة لـهذا الم�ض َّلع‪.‬‬ ‫‪ 2‬ك ُّل ر�أ�سـين متتاليين هما طرفا �ضلع‪ ،‬وك ُّل �ضلعين متجاورين ي�شـتركان في ر�أ�س واحد‪.‬‬ ‫‪ 3‬ك ُّل قطع ٍة م�سـتقيم ٍة ت�صل بين ر�أ�سـين غير متتاليين من م�ض َّلع تُ�سـ َّمى قط ًرا لـهذا الم�ض َّلع‪.‬‬ ‫‪ُ 4‬ي�سـ َّم ��ى الم�ض َّل ��ع بح�سـب عدد �أ�ضالعه‪ ،‬فمث ًال في �شـكل (‪ُ )1-1‬ي�سـ َّمى الم�ض َّلع ب جـ م�ض َّل ًعا‬ ‫ثالث ًّيا‪ ،‬د ﻫ و م�ض َّل ًعا رباع ًّيا‪ ،‬ح ط ي ك ل م�ض َّل ًعا خُ ما�سـ ًّيا‪.‬‬ ‫‪ 5‬محيط الم�ض َّلع هو مجموع �أطوال �أ�ضالعه‪.‬‬

‫تدريب (‪)1-1‬‬ ‫أعط مثا ًال في ٍّ‬ ‫ع ِّين ر�ؤو�س و�أ�ضالع ٍّ‬ ‫كل من الم�ض َّلعات الواردة في �شـكل ( ‪ ) 1-1‬وار�سـم �أقطارها َّثم � ِ‬ ‫كل‬ ‫منها على ر�أ�سـين متتاليين وعلى �ضلعين متجاورين‪.‬‬

‫الم�ض َّلع المح َّدب والم�ض َّلع المق َّعر‬

‫نق ��ول ع ��ن م�ض َّل ٍع ما �أ نَّه مح َّد ٌب �إذا وقع بكامله في جه ٍة واح ��د ٍة بالن�سـبة ِّ‬ ‫ـتقيم يحوي �ضل ًعا من‬ ‫لكل م�س ٍ‬ ‫�أ�ضالعه‪� ،‬أ َّما �إذا لم يتحقَّق ذلك ف�إ نَّنا ُن�سـ ِّميه م�ض َّل ًعا مق َّع ًرا‪.‬‬ ‫ففي ال�شـكل ( ‪ ) 3-1‬نالحظ � َّأن الم�ض َّلع ب جـ د ﻫ مق َّع ٌر بينما الم�ض َّلع و ح ط ي مح َّد ٌب‪.‬‬

‫�شـكل ( ‪) 3-1‬‬

‫(‪)1-1‬‬ ‫�إذا ذكرنا م�ض َّل ًعا ف�إنَّنا نعنـي الم�ض َّلع المح َّدب‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الم�ض َّلعـ ــات‬

‫الم�ض َّلع المنتظم‬ ‫المتو�سـطة ب�أ َّن ��ه‪ :‬م�ض َّل ٌع �أ�ضالع ��ه متطابقة وزواياه‬ ‫�سـب ��ق لن ��ا تعريف الم�ض َّل ��ع المنتظم في المرحل ��ة‬ ‫ِّ‬ ‫مت�سـاوية‪.‬‬ ‫ومن �أمثلة الم�ض َّلعات المنتظمة الم�ض َّلعات الواردة في ال�شـكل ( ‪ ) 4-1‬وهي‪:‬‬ ‫‪ 1‬المث َّلث المتطاب ��ق الأ�ضالع؛ حيث � َّإن �أ�ضالعه متطابقة وزواياه مت�سـاوية وقيا�س ٍّ‬ ‫كل منها ي�سـاوي ‪. °60‬‬ ‫‪ 2‬المر َّبع؛ ل َّأن �أ�ضالعه متطابقة وزواياه مت�سـاوية قيا�س ٍّ‬ ‫كل منها ي�سـاوي‪. °90‬‬ ‫‪ 3‬المخ َّم�س ( الخُ ما�سي ) المنتظم‪� ،‬أ�ضالعه الخم�سـة جميعها متطابقة وزواياه مت�سـاوية‪.‬‬ ‫‪ 4‬المث َّمن ( الثماني ) المنتظم‪� ،‬أ�ضالعه الثمانية متطابقة وزواياه مت�سـاوية‪.‬‬

‫�شـكل ( ‪)4-1‬‬

‫(‪)2-1‬‬ ‫من المعلوم �أ نَّه �إذا كانت هي عدد �أ�ضالع م�ض َّل ٍع ما ف� َّإن عدد المث َّلثات الداخلة في تق�سـيمه من �أحد‬ ‫ر�ؤو�سـه ي�سـاوي – ‪ ( 2‬تحقَّق من ذلك بتق�سـيم ٍّ‬ ‫كل من الم�ض َّلعات الواردة في �شـكل ( ‪ ) 4-1‬من‬ ‫الر�أ�س ) ومن َّثم ف� َّإن مجموع قيا�س زوايا الم�ض َّلع ي�سـاوي ( – ‪ °180 × ) 2‬ونتيج ًة لت�سـاوي زوايا‬ ‫الم�ض َّلع المنتظم ف� َّإن ‪:‬‬ ‫منتظم عدد �أ�ضالعه ي�سـاوي‬ ‫قيا�س الزاوية في م�ض َّل ٍع‬ ‫ٍ‬

‫تدريب (‪)2-1‬‬ ‫اح�سب قيا�س زاوية المخ َّم�س المنتظم والمث َّمن المنتظم‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪13‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫منتظم‬ ‫الدائرة الخارج َّية والدائرة الداخل َّية لم�ض َّل ٍع‬ ‫ٍ‬ ‫ليكن ب جـ د ﻫ ‪ ...‬م�ض َّل ًعا منتظ ًما ً‬ ‫معطى‪ ،‬كما في ال�شـكل ( ‪ ،) 5-1‬ولنفر�ض � َّأن مركز الدائرة التي‬ ‫تم ُّر بالنقاط ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ وهي ٌ‬ ‫نقاط لي�سـت على ا�سـتقام ٍة واحد ٍة‪.‬‬ ‫( لع َّلك تذكر طريقة ر�سـم دائر ٍة بمعلوم َّية ثالث ٍ‬ ‫نقاط منها )‪.‬‬ ‫( �أطوال �أن�صاف �أقطار في دائر ٍة واحد ٍة )‪.‬‬ ‫لذا ف� ّإن‬ ‫لن�صل بالر�ؤو�س ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ ‪ ،‬د ‪... ،‬‬ ‫منتظم ٍ‬ ‫واحد )‬ ‫( زاويتا م�ض َّل ٍع‬ ‫ٍ‬

‫بما � َّأن‬ ‫ف� َّإن‬ ‫ولكن‬ ‫� ًإذا‬

‫( لأن‬ ‫‪ ,‬وبما � َّأن‬

‫)‬ ‫منتظم ٍ‬ ‫واحد )‪.‬‬ ‫( �ضلعا م�ض َّل ٍع‬ ‫ٍ‬

‫�شـكل ( ‪)5-1‬‬

‫ف� َّإن المث َّلثين ب ‪ ،‬جـ د متطابقان ( لتطابق �ضلعين وت�سـاوي زاوية مح�صورة بينهما من المث َّلث‬ ‫‪� ،‬أي � َّأن الدائرة التي تم ُّر بالنقـــــــاط‬ ‫الأ َّول مع نظائرها في الثاني ) ‪ ,‬وعليه ف� َّإن‬ ‫أي�ضا بالنقطة د‪.‬‬ ‫‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ تم ُّر � ً‬ ‫وبـهذه الطريقة يمكن �إثبات � َّأن هذه الدائرة تم ُّر ببقية ر�ؤو�س الم�ض َّلع المعطى وتُ�سـ َّمى الدائرة الخارج َّية‬ ‫لـهذا الم�ض َّلع‪.‬‬

‫من جه ٍة �أخرى‪,‬‬

‫منتظم ً‬ ‫معطى كما في ال�شكل ( ‪ ،) 6-1‬ف� َّإن‪:‬‬ ‫�إذا كانت م مركزًا للدائرة الخارج َّية لم�ض َّل ٍع‬ ‫ٍ‬ ‫( �أطوال �أن�صاف �أقطار دائر ٍة واحد ٍة )‬ ‫كذلك‬ ‫منتظم )‬ ‫( الم�ض َّلع‬ ‫وبـهذا تكون المث َّلثات ‪:‬‬ ‫والتي قواعدها �أ�ضالع الم�ض َّلع المنتظم ور�ؤو�سـها عند النقطة متطابقة ؛‬ ‫�شـكل ( ‪)6-1‬‬ ‫م َّما يقت�ضي تطابق ارتفاعاتـها النازلة من ؛‬ ‫وه ��ذا يثب ��ت � َّأن الدائرة التي مركزها ( مركز الدائ ��رة الخارج َّية ) وطول ن�صف قطرها ي�سـاوي طول‬ ‫تم�س جميع �أ�ضالعه من‬ ‫القطعة العموديـَّة المر�سـومة من �إلى �أحد �أ�ضالع الم�ض َّلع المنتظم المعطى ُّ‬ ‫الداخل‪ ،‬وتُ�سـ َّمى الدائرة الداخل َّية لـهذا الم�ض َّلع‪.‬‬

‫‪14‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الم�ض َّلعـ ــات‬ ‫تعريف ( ‪)1 -1‬‬

‫منتظم ً‬ ‫معطى الدائرة الخارج َّية لـه ��ذا الم�ض َّلع ‪ ,‬بينما‬ ‫ُن�س ِّـم ��ي الدائ ��رة التي تم ُّر بر�ؤو�س م�ض َّل � ٍ�ع‬ ‫ٍ‬ ‫تم�س �أ�ضالعه من الداخل الدائرة الداخل َّية‪.‬‬ ‫ُن�سـ ِّمي الدائرة التي ُّ‬

‫(‪)3-1‬‬ ‫منتظم لـهما المركز نف�سـ ��ه و ُي�سـ َّمى هذا المركز‬ ‫‪ 1‬الدائ ��رة الداخل َّية والدائرة الخارج َّي ��ة لم�ض َّل ٍع‬ ‫ٍ‬ ‫مركز الم�ض َّلع المنتظم‪.‬‬ ‫‪ 2‬الزاوي ��ة التي ر�أ�سـها مركز الم�ض َّلع المنتظم و�ضلعاها يح َّدان �ضل ًع ��ا من �أ�ضالع الم�ض َّلع تُ�سـ َّمى‬ ‫زاوي��� ًة مركز َّي���ة لـه ��ذا الم�ض َّلع‪ ،‬وتع ُّد ه ��ذه الزاوية زاوي� � ًة مركز َّي ًة ٍّ‬ ‫لكل من الدائرتي ��ن الداخل َّية‬ ‫ل�ضلع من �أ�ضالعه ‪,‬‬ ‫والخارج َّية للم�ض َّلع مقابل ًة ٍ‬ ‫زاوي� � ٌة مركز َّي� � ٌة للم�ض َّلع ول � ٍّ‬ ‫ً‬ ‫�كل من الدائرتين‬ ‫فمث�ل�ا ‪ :‬ف ��ي ال�شـ ��كل ( ‪ ) 6-1‬نج ��د � َّأن‬ ‫الداخل َّية والخارج َّية له‪.‬‬ ‫المن�صفين العمود َّيين ل�ضلعين متتاليين من‬ ‫‪ 3‬يتح َّدد مركز الم�ض َّلع المنتظم بتحديد نقطة تقاطع‬ ‫ِّ‬ ‫منتظم بتحديد مركز الم�ض َّلع‬ ‫�أ�ض�ل�اع الم�ض َّلع‪ ،‬وبذلك يمكننا ر�سـم الدائ ��رة الخارج َّية لم�ض َّل ٍع‬ ‫ٍ‬ ‫كمركزٍ للدائرة والم�سـافة بين هذا المركز و�أحد ر�ؤو�س الم�ض َّلع كن�صف قطرٍ للدائرة‪.‬‬

‫تعريف ( ‪)2 -1‬‬

‫عام ��د الم�ض َّلع المنتظم هو القطع ��ة الم�سـتقيمة العمود َّية المر�سـومة من المركز �إلى �أحد �أ�ضالع‬ ‫هذا الم�ض َّلع‪.‬‬

‫فمث ً‬ ‫ال ‪ :‬في ال�شـكل ( ‪ ) 7-1‬ك ٌّل من‬ ‫عامدا للمث َّلث المتطابق الأ�ضالع‬ ‫تع ُّد ً‬

‫‪.‬‬ ‫�شـكل ( ‪)7-1‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪15‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫(‪)4-1‬‬ ‫�ضلع من �أ�ضالع الم�ض َّلع ( لماذا ؟ )‬ ‫المن�صف‬ ‫‪ 1‬عامد الم�ض َّلع المنتظم هو جز ٌء من‬ ‫ِّ‬ ‫العمودي ل ِّأي ٍ‬ ‫ِّ‬ ‫منتظم هي �أن�صاف �أقطا ٍر في الدائرة الداخل َّية لـهذا الم�ض َّلع وبذلك يمكننا ر�سـم‬ ‫‪ 2‬عوامد م�ض َّل ٍع‬ ‫ٍ‬ ‫منتظم ً‬ ‫معطى بتحديد مركزه وطول عامده‪.‬‬ ‫الدائرة الداخل َّية لم�ض َّل ٍع‬ ‫ٍ‬

‫تدريب (‪)3-1‬‬ ‫ُار�سـ ��م ك ًّال م ��ن الدائ ��رة الداخل َّي ��ة والدائ ��رة‬ ‫الخارج َّي ��ة للم�ض َّل ��ع المنتظم ب جـ د ﻫ في‬ ‫ال�شـكل ( ‪.) 8-1‬‬ ‫�شـكل ( ‪)8-1‬‬

‫ر�سـم بع�ض الم�ض َّلعات المنتظمة داخل دائر ٍة معلوم ٍة‬ ‫‪ 1‬المر َّبع‬

‫لــنـر�سـ ��م دائــ ��رة ( )‪ ،‬طــــ ��ول ن�صــ ��ف‬ ‫قطره ��ا ونر�س ��م فيه ��ا قطري ��ن متعامدين‬ ‫كم ��ا ف ��ي ال�ش ��كل‬ ‫‪,‬‬ ‫( ‪ ،) 9-1‬ثــ � َّ�م ن�ص ��ل النــق ��اط ‪ ،‬ب‬ ‫ج� �ـ ‪ ،‬د عل ��ى الترتي ��ب فنح�ص ��ل بذل ��ك‬ ‫عل ��ى المر َّب ��ع المطل ��وب‪ ( .‬حي ��ث � َّإن ك َّل‬ ‫رباع � ٍّ�ي قط ��راه متعام ��دان ومتطابق ��ان‬ ‫ومتقاطع ��ان في منت�صفهم ��ا هو مر َّبع )‪.‬‬

‫�شـكل ( ‪)9-1‬‬

‫� َّأن الزاوية المركز َّية المقابلة للدائرة انق�سمت �إلى �أربع زوايا مت�سـاوية‪ ،‬قيا�س ٍّ‬ ‫كل منها‬ ‫‪َّ ,‬ثم تحقَّق عن طريق تطابق المث َّلثات الأربعة التي ر�ؤو�سها م من � َّأن ال ُّرباعي‬ ‫ب جـ د مر َّبع‪.‬‬

‫‪16‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الم�ض َّلعـ ــات‬ ‫‪ 2‬المث َّمن المنتظم‬

‫لنر�سـم الدائرة ( ) التي طــــول ن�صـــف قطرها ونر�ســـــــم فيها القطرين المتعــــــــامدين‬ ‫بالمن�صفات ‪:‬‬ ‫نن�صف الزوايا القائمة‬ ‫ِّ‬ ‫‪َّ​َ ،‬ثم ِّ‬ ‫والتي تتقاطع مع الدائرة في النقاط ‪ :‬ب ‪ ،‬د ‪ ،‬و ‪ ،‬ح‬ ‫توال ًيا ‪ ،‬و�أخي ًرا ن�صل النقاط ‪ ، :‬ب ‪ ،‬جـ ‪ ،‬د ‪ ،‬ﻫ ‪ ،‬و ‪ ،‬ز ‪ ،‬ح ‪ ،‬على الترتيب ‪ ،‬كما في ال�شـكل‬ ‫( ‪ ، ) 10-1‬فنح�صل بذلك على المث َّمن المنتظم المطلوب ‪.‬‬ ‫� َّأن الزاوي ��ة المركز َّي ��ة المقابل ��ة للدائ ��رة‬ ‫انق�سم ��ت �إلى ثماني زوايا مركز َّية مت�سـاوية قيا�س ٍّ‬ ‫كل‬ ‫هـ‬ ‫منها هو ‪:‬‬ ‫و� َّأن‬ ‫( �أطوال �أن�صاف �أقطار في دائر ٍة واحد ٍة ) ؛‬ ‫لذا فـــــــ� َّإن المث َّلثــات الثمــــانية ‪:‬‬ ‫�شـكل ( ‪)10-1‬‬ ‫جميعها متطابقة‬ ‫( لتطابق �ضلعين وت�سـاوي زاوي ٍة مح�صور ٍة بينهما في مث َّل ٍث مع نظائرها في المث َّلثات الأخرى )‪.‬‬ ‫وينتج من تطابق المث َّلثات ما يلي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫وهذا يب ِّين � َّأن المث َّمن في �شـكل ( ‪ ) 10-1‬مث َّمن منتظم‪.‬‬ ‫ـــــظم عدد �أ�ضالعه داخــــــل دائرة‬ ‫على �ضوء ما �سـبق ن�سـتنتج �أ نَّه ب�إمكاننا ر�سـم م�ضــ َّل ٍع منت ٍ‬ ‫( ) بتق�سـي ��م الزاوي ��ة المركز َّي ��ة المقابلة للدائرة �إلى م ��ن الزوايا المركز َّية المت�سـاوية َّثم‬ ‫بر�سـم الأوتار المقابلة لـهذه الزوايا المركز َّية‪.‬‬

‫تدريب (‪)4-1‬‬ ‫مت�سـ ًعا منتظ ًما داخل دائرة ( ) طول ن�صف قطرها ‪� 3‬سم‪.‬‬ ‫ُار�سـم َّ‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪17‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫لع َّلك تُف ِّكر في طريق ٍة �أب�سط لر�سم الم�ض َّلع المنتظم !‬ ‫منتظم عدد �أ�ضالع ��ه داخل دائرة ‪ ،‬وذلك‬ ‫ومب�سط ًة لر�سم م�ض ّل ٍع‬ ‫ٍ‬ ‫�سـنق � ِّ�دم فيم ��ا يلي طريق ًة عا َّم� � ًة َّ‬ ‫اعتما ًدا على العالقة ‪ -‬التي در�ستها في المرحلة المتو�سطة ‪ -‬بين الزوايا المركزية المت�ساوية و الأقوا�س‬ ‫المقابلة لها من جهة‪ ،‬وبين الأقوا�س المتطابقة والأوتار المقابلة لها من جه ٍة �أخرى ( وذلك في الدائرة‬ ‫الواحدة ) ‪.‬‬ ‫ونلخِّ �ص هذه العالقة في العبارة التالية ‪:‬‬

‫ت�ساوي زاويتين مركزيتين‬

‫تطابق قو�سـاهما‬

‫تطابق وتراهما‬

‫انظر ال�شـكل ( ‪ ) 11-1‬والذي فيه ‪:‬‬ ‫يطابق‬

‫منتظم داخل دائر ٍة معلوم ٍة‬ ‫الطريقة العا َّمة لر�سـم م�ض َّل ٍع‬ ‫ٍ‬

‫�شـكل ( ‪)11-1‬‬

‫منتظم عدد �أ�ضالعه داخل دائرة ( ) طول ن�صف قطرها ن َّتبع الخطوات التالية‪:‬‬ ‫لر�سـم م�ض َّل ٍع‬ ‫ٍ‬ ‫قيا�سـها ي�سـاوي‬ ‫‪ 1‬نر�سـم � َّأي زاوي ٍة مركز َّي ٍة ولتكن‬ ‫أقوا�س مت�سـاوية الطول بد ًءا من‬ ‫‪ 2‬نفتح الفرجـار بفتحة قدرها‬ ‫ق�سـم الدائرة �إلى � ٍ‬ ‫وبـها ُن ِّ‬ ‫النقطة ب و انتها ًء بالنقطة ( ب ِّرر هذا الإجراء ) ‪.‬‬ ‫‪ 3‬ن�صل بين نقاط التق�سيم المتتابعة لنح�صل على الم�ض َّلع المطلوب‬ ‫المت�سـع المنتظم داخل دائرة‬ ‫ف ��ي ال�شـ ��كل ( ‪ ) 12-1‬ر�سـمن ��ا َّ‬ ‫( ) طول ن�صف قطرها ‪� 3‬سم با�ستخدام الطريقة العا َّمـة لر�سـم‬ ‫منتظم داخل دائر ٍة معلوم ٍة‪.‬‬ ‫م�ض َّل ٍع‬ ‫ٍ‬

‫تدريب (‪)5-1‬‬

‫�شـكل ( ‪)12-1‬‬

‫ُار�سـ ��م مث َّلثـ ًا منتظ ًم ��ا داخل دائر ٍة وحاول عن طريق تن�صيف الأقوا� ��س الناتجة الح�صول على م�سـ َّد ٍ�س‬ ‫منتظم‪.‬‬ ‫ٍ‬

‫‪18‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الم�ض َّلعـ ــات‬ ‫تدريب (‪)6-1‬‬ ‫ُار�سـم الم�ســـ َّد�س المنتـظم ب جـ د ﻫ و في دائرة ( ) ‪ ،‬طول ن�صـف قطرها‬ ‫جـ ﻫ متطابق الأ�ضالع‪.‬‬

‫‪َّ ,‬ثم �أثبـــــــــت � َّأن‬

‫(‪)5-1‬‬ ‫ـوم داخل‬ ‫المث َّل ��ث النات ��ج من التو�صيل بي ��ن ثالثة ر�ؤو�س غير متتالية م ��ن ر�ؤو�س م�سـ َّد ٍ�س منتظ � ٍ�م مر�س ٍ‬ ‫دائر ٍة‪ ،‬هو مث َّلث متطابق الأ�ضالع داخل هذه الدائرة‪.‬‬

‫مثال (‪)1-1‬‬ ‫وت���ر ف���ي الدائ���رة ( )‪ ،‬طول���ه ي�سـ���اوي ط���ول �ضل���ع الم�سـ َّد����س المنتظم المر�سـ���وم داخ ـ ـ ــل‬ ‫وت���ر �آخ���ر طولـ���ه ي�سـ���اوي ط���ول �ضلع المث َّلث المتطابق الأ�ضالع المر�سـوم داخل‬ ‫الدائ���رة‪،‬‬ ‫الدائ���رة‪ ،‬بحي���ث تك���ون النقطت���ان ‪ ،‬ج���ـ في جهتين مختلفتي���ن بالن�سـبة للم�سـ ـ ــتقي���م ب ‪� .‬أثبت �أ َّن‬ ‫يم ُّر بالمركز ‪.‬‬ ‫الوتر‬

‫الحل‬

‫العمل‪ :‬ن�صل ٍّ‬ ‫بكل من النقاط ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ كما في ال�شـكل ( ‪. ) 13-1‬‬ ‫منتظم فيها‬ ‫وتر في الدائرة ‪ ،‬طوله ي�ساوي طول �ضلع م�س َّد ٍ�س‬ ‫ٍ‬ ‫منتظم ) ‪,‬‬ ‫( زاوية مركز َّية لم�سـ َّد ٍ�س‬ ‫ٍ‬ ‫وت ��ر في الدائ ��رة ‪ ،‬طوله ي�ساوي طول �ضل ��ع مث َّل ٍث متطابق‬ ‫الأ�ضالع فيها ‪.‬‬

‫�شـكل ( ‪)13-1‬‬

‫( زاوية مركز َّية لمث َّل ٍث متطابق الأ�ضالع)‪,‬‬ ‫زاويتان متجاورتان ‪.‬‬ ‫على ا�سـتقام ٍة واحد ٍة‬

‫وتر يم ُّر بالمركز ‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪19‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫تدريب (‪)7-1‬‬ ‫قط ٌر في دائرة ( ) ‪ ،‬طول ن�صف قطرها‬ ‫للقطعة‬

‫‪،‬‬

‫من�صف‬ ‫عمود ِّ‬

‫في ك ‪ ،‬كمـا في ال�شـكل ( ‪) 14-1‬‬ ‫متطابق الأ�ضالع‪.‬‬

‫�أثبت � َّأن‬ ‫( �إر�شـاد‪ُ :‬ار�سـم ن�صف القطر‬

‫)‬ ‫�شـكل ( ‪)14-1‬‬

‫(‪)6-1‬‬ ‫يمكنن ��ا ر�سـ ��م مث َّل ٍث متطابق الأ�ضالع ف ��ي دائرة ( ) بدون قيا�س الزوايا وذل ��ك بر�سـم قطرٍ للدائرة‬ ‫طرفي الوتر بطرف‬ ‫المن�صف لأحد‬ ‫ث � َّ�م بر�سـم الوتر‬ ‫ِّ‬ ‫ن�صفي ه ��ذا القطر عمود ًّيا عليه ‪ ،‬و�أخي ًرا بتو�صيل ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫ن�صف القطر الآخر ( الطرف المغاير للمركز )‪.‬‬

‫م�سـاحة الم�ض َّلع المنتظم‬ ‫نظرية (‪)1-1‬‬ ‫م�سـاحة الم�ض َّلع المنتظم ت�سـاوي ن�صف حا�صل �ضرب محيطه في طول عامده‪.‬‬

‫الـبرهان‬ ‫م�ض َّلع منتظم‪ ،‬محيطه‬ ‫الفر�ض‪:‬‬ ‫المطلوب �إثباته‪ :‬م�سـاحة الم�ض َّلع المنتظم‬ ‫العمل‪ :‬نر�سم الدائرة الخارج َّية للم�ض َّلع المعطى ومركزها ‪,‬‬ ‫كما في ال�شـكل ( ‪.) 15-1‬‬ ‫َّثم ن�صل‬ ‫وطول عامده‬

‫‪20‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الم�ض َّلعـ ــات‬ ‫الإثبات‪:‬‬ ‫م�سـاحة‬ ‫كذلك م�سـاحة‬ ‫وب�صيغ ٍة مكافئ ٍة نح�صـــل على م�ســــــــاحة بقية المث َّلثات‬ ‫المتطابقة التي ر�أ�س ٍّ‬ ‫كل منها م وقاعدته �أحد �أ�ضالع الم�ض َّلع‪.‬‬ ‫م�سـاحة الم�ض َّلع المنتظم مجموع م�سـاحات هذه المث َّلثات المتطابقة‬

‫�شـكل ( ‪)15-1‬‬

‫ولكن‬ ‫� ًإذا م�سـاحة الم�ض َّلع المنتظم‬

‫تدريب (‪)8-1‬‬ ‫منتظم محيطه ‪� 18‬سم وطول عامده ‪� 4‬سم‪.‬‬ ‫�أوجد م�سـاحة م�ض َّل ٍع‬ ‫ٍ‬

‫(‪)7-1‬‬ ‫م�ض َّل ًعا منتظ ًما عدد �أ�ضالعه ‪،‬‬ ‫�إذا كان‬ ‫ط ��ول عامده ‪ ،‬دائرت ��ه الخارج َّية ( ) ‪ ،‬طول ن�صف‬ ‫قطـــــــــــرها ‪ ،‬كما في ال�شكل ( ‪) 16-1‬ف� َّإن‬ ‫ين�صــــــف القاعدة‬ ‫العامـــــد ِّ‬ ‫في‬ ‫وين�صف زاوية الر�أ�س‬ ‫في‬ ‫ِّ‬

‫�شـكل ( ‪)16-1‬‬

‫�أي � َّأن‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪21‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫طول ال�ضلع وطول العامد لبع�ض الم�ض َّلعات المنتظمة‬ ‫‪ 1‬المر َّبع‬ ‫في ال�شـكل ( ‪ ) 17-1‬مر َّب ٌع مر�سو ٌم داخل الدائرة ( )‬ ‫التي طول ن�صف قطرها ‪،‬‬ ‫حيث � َّأن‬ ‫وبتطبيق نظر َّية فيثاغور�س على‬

‫‪ ،‬يكون‬

‫�شـكل ( ‪)17-1‬‬

‫� ًإذا‬ ‫وبما � َّأن‬ ‫� ًإذا‬

‫متو�سـط على الوتر‬

‫في‬

‫القائم الزاوية في ‪.‬‬

‫ن�سـ ـ ــتنتج �أن‪:‬‬ ‫طول �ضلع مر َّب ٍع مر�سوم داخل دائر ٍة طول ن�صف قطرها ي�سـاوي‬ ‫وطول عامده ي�ساوي‬

‫‪ 2‬المث َّلث المتطابق الأ�ضالع‬ ‫في ال�شـكل ( ‪ ) 18-1‬مث َّلثٌ متطابق الأ�ضـــــالع مر�سو ٌم داخل دائر ٍة ( ) طول ن�صف قطـــــرها‬ ‫القائم الزاوية في ك ‪ ،‬فيه‬ ‫‪،‬‬ ‫( ح�سـب الملحوظة ( ‪) ) 7-1‬‬

‫‪22‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الم�ض َّلعـ ــات‬ ‫ثالثينـي �ست ِّينـي ‪ ،‬وعليه ف� َّإن‪:‬‬

‫�أي � َّأن‬

‫( �ضل� � ٌع مقابـ� � ٌل للزاوي ��ة‬

‫‪1‬‬ ‫‪ °60‬في‬

‫)‪.‬‬

‫( لماذا ؟ )‬ ‫( �ضل ٌع مقابــ ٌل للزاوية ‪ °30‬في‬

‫‪2‬‬

‫)‬

‫�شـكل ( ‪)18-1‬‬

‫ن�سـ ـ ــتنتج �أن‪:‬‬ ‫مر�سوم داخل دائر ٍة طول ن�صف قطـــــــرها‬ ‫طول �ضلع مث َّل ٍث متطابق الأ�ضالع‬ ‫ٍ‬ ‫وطول عامده ي�سـاوي‬

‫ي�سـاوي‬

‫‪ 3‬الم�سـ َّد�س المنتظم‬ ‫في ال�شـكل ( ‪ ) 19-1‬م�س َّد ٌ�س منتظ ٌم مر�سو ٌم داخل دائرة‬ ‫( ) طول ن�صف قطرها ‪.‬‬ ‫القائـــــ ��م الزاويــــ ��ة ف ��ي ك ثالثينـ ��ي �ست ِّينـــــــي‬ ‫( لمـاذا ؟ )‬ ‫وعليه ف� َّإن‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫( �ضل ٌع مقاب ٌل للزاوية ‪°30‬في‬

‫)‬ ‫�شـكل ( ‪)19-1‬‬

‫‪2‬‬

‫( لماذا ؟ )‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪23‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫ن�سـ ـ ــتنتج �أن‪:‬‬ ‫ـوم داخل دائر ٍة طول ن�صف قطرها‬ ‫طول �ضلع م�سـ َّد ٍ�س‬ ‫ٍ‬ ‫منتظم مر�س ٍ‬ ‫وطول عامده ي�سـاوي‬

‫ي�سـاوي‬

‫(‪)8-1‬‬ ‫ا�سـتن ��ا ًدا �إلى � َّأن طول �ضلع الم�سـ َّد�س المنتظ ��م المر�ســـوم داخل دائر ٍة ي�ســــاوي طول ن�صف قطــــــرها‪،‬‬ ‫و�صـلنا‬ ‫ق�سـمنا محيط الدائرة ( ) �إلى �سـتة � ٍ‬ ‫أقوا�س متطابق ٍة بفتحة فرجا ٍر قدرها ‪َّ ،‬ثم َّ‬ ‫ف� ��إ َّنن ��ا �إذا َّ‬ ‫و�صلنا بين‬ ‫بين نقاط التق�سـيم بالتتابع نكون قد ر�سـمنا م�س َّد�سـًا منتظ ًما داخل الدائرة ( ) ‪� ،‬أ َّما �إذا َّ‬ ‫ث�ل�اث نق ��اط غير متتالي ٍة نكون قد ر�سـمنا مث َّلثــًـا متطاب ��ق الأ�ضالع داخل الدائـــرة ( ) وذلك ح�سـب‬ ‫الملحــوظة ( ‪ُ .) 5-1‬انظر �شـكل ( ‪.) 20-1‬‬

‫�شـكل ( ‪)20-1‬‬

‫مثال (‪)2-1‬‬ ‫�أوجد محيط المث َّلث المتطابق الأ�ضالع المر�سـوم داخل دائر ٍة طول ن�صف قطرها ‪�3‬سم‪.‬‬

‫الحل‬ ‫طول �ضلع المث َّلث المتطابق الأ�ضالع في دائــرة‬ ‫�إ ًذا محيط المث َّلث المتطابق الأ�ضالع في الدائرة‬

‫‪24‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫طول ال�ضلع‬

‫الم�ض َّلعـ ــات‬ ‫مثال (‪)3-1‬‬ ‫ـاحتي الدائرتين الخارج َّية والداخل َّية لمر َّب ٍع طول �ضلعه‬ ‫�أوجد الن�سـبة بين م�س ِّ‬

‫الحل‬ ‫طول �ضلع المر َّبع المر�سـوم داخل دائرة‬ ‫( طول ن�صف قطر الدائرة الخارج َّية )‬ ‫م�سـاحة الدائرة الخارج َّية‬ ‫ن�صف قطر الدائرة الداخل َّية طول عامد المر َّبع‬ ‫م�سـاحة الدائرة الداخل َّية‬ ‫ن�سـبة م�سـاحة الدائرة الخارج َّية �إلى م�سـاحة الدائرة الداخل َّية‬

‫مثال (‪)4-1‬‬ ‫ٌ‬ ‫محاط بدائر ٍة طول ن�صف قطرها ‪�6‬سم‪ ،‬اُح�سب م�سـاحته‪.‬‬ ‫م�سـ َّد ٌ�س منتظ ٌم‬

‫الحل‬ ‫طول �ضلع الم�س َّد�س المنتظم المر�سـوم في دائرة‬ ‫محيط الم�سـ َّد�س‬ ‫م�سـاحة الم�سـ َّد�س المنتظم المر�سـوم في دائرة‬ ‫وحيث � َّأن طول عامد الم�سـ َّد�س المنتظم‬ ‫ف� َّإن م�سـاحة الم�سـ َّد�س‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪25‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫تمارين (‪)1-1‬‬ ‫‪ 1‬ب ِّين � َّأي الم�ض َّلعات الآتية مح َّد ًبا و�أ َّيها مق َّع ًرا ؟‬

‫منتظم ؟‬ ‫عات منتظم ٌة مع ذكر ال�سـبب عندما يكون ال�شـكل م�ض َّل ًعا غير‬ ‫‪ُّ � 2‬أي الأ�شـكال الآتية م�ض َّل ٌ‬ ‫ٍ‬

‫‪ُ 3‬ار�سـم �شـك ًال لم�ض َّل ٍع مح َّد ٍب و�آخر مق َّعرٍ ٍّ‬ ‫لكل من الأنواع الآتية‪:‬‬ ‫�شـك ًال �سـدا�سـ ًّيا‪.‬‬ ‫�شـك ًال خُ ما�سـ ًّيا‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫‪26‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫�شـك ًال ثمان ًّيا‪.‬‬

‫اخت ��ر �أحد ر�ؤو� ��س ِّ‬ ‫كل م�ض َّل ٍع فيما ي�أتـي وار�سـم ك َّل �أقطار ه ��ذا الم�ض َّلع المنطلقة من هذا‬ ‫وحدد عددها‪.‬‬ ‫الر�أ�س ‪ِّ ،‬‬ ‫أ�ضالع‪.‬‬ ‫ـباعي‪ )3 .‬م�ض َّل ٌع ذو ت�سـعة � ٍ‬ ‫‪ )1‬م�ض َّل ٌع ذو اثني ع�شر �ضل ًعا‪ )2 .‬م�ض َّل ٌع �س ٌّ‬ ‫ما عدد الأقطار المنطلقة من �أحد ر�ؤو�س م�ض َّل ٍع ذي �ضل ًعا ؟‬

‫الم�ض َّلعـ ــات‬ ‫‪ُ 5‬اذكر عدد المث َّلثات الداخلة في تق�سـيم ٍّ‬ ‫كل من الم�ض َّلعات التالية من �أحد ر�ؤو�سـه‪.‬‬ ‫نوني‪.‬‬ ‫الم�ض َّلع ال�سباعي‪ .‬الم�ضلع الثماني‪.‬‬ ‫م�ض َّل ٌع ذو �سـتة ع�شر �ضل ًعا‪ .‬د م�ض َّل ٌع ٌّ‬ ‫‪� 6‬أوجد عدد �أ�ضالع م�ض َّل ٍع مجموع قيا�س زواياه الداخل َّية‪.‬‬ ‫‪، °1080‬‬ ‫‪، °1800‬‬ ‫‪، °1620‬‬

‫د‬

‫‪°1980‬‬

‫‪ ،‬هـ‬

‫‪°2340‬‬

‫منتظم �إذا علمت � َّأن قيا�س �إحدى زواياه الداخل َّية هي‪:‬‬ ‫‪� 7‬أوجد عدد �أ�ضالع م�ض َّل ٍع‬ ‫ٍِ‬ ‫‪ ،‬د ‪°170‬‬ ‫‪°162‬‬ ‫‪، °144‬‬ ‫‪، °108‬‬ ‫‪ُ 8‬ار�سـم دائر ًة داخل َّي ًة و�أخرى خارج َّي ًة ٍّ‬ ‫لكل ِم َّما يلي‪:‬‬ ‫مث َّلثٌ متطابق الأ�ضالع طول �ضلعه ‪� 3‬سم‪، .‬‬

‫مر َّب ٌع طول �ضلعه ‪� 4‬سم‪.‬‬

‫‪ُ 9‬ار�سـم الم�ض َّلعات المنتظمة الآتية داخل دائرة ( )‪ ،‬طول ن�صف قطرها ‪� 5‬سم‪.‬‬ ‫م�ض َّل ًعا له اثنا ع�شـر �ضل ًعا ‪.‬‬ ‫مت�سـ ًعا ‪،‬‬ ‫مخ َّم�سـًا ‪،‬‬ ‫َّ‬ ‫‪� 10‬إذا كانت ( ‪ ) 2 ( ، ) 1‬دائرتين طول ن�صف قطر ٍّ‬ ‫كل منهما ‪� 4‬سم‬ ‫با�سـتخدام الطريقة العا َّمة‪ ،‬ار�سـم م�سـ َّد�سـًا منتظ ًما داخل الدائرة ( ‪.) 1‬‬ ‫بدون قيا�س الزوايا‪ ،‬ار�سـم م�سـ َّد�سـًا منتظ ًما داخل الدائرة ( ‪.) 2‬‬ ‫‪ُ 11‬ار�سـم مث َّلثـ ًا متطابق الأ�ضالع في ُك ٍّل من الحاالت التالية‪:‬‬ ‫داخل دائرة ( ‪ ) 1‬طول ن�صف قطرها ‪� 4‬سم با�سـتخدام الطريقة العا َّمة‪.‬‬ ‫داخل دائرة ( ‪ ) 2‬طول ن�صف قطرها ‪� 3‬سم با�سـتخدام الفرجار وبدون قيا�س الزوايا‪.‬‬ ‫داخل دائرة ( ‪ ) 3‬طول ن�صف قطرها ‪� 2‬سم بدون ا�سـتخدام الفرجار وبدون قيا�س الزوايا‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪27‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫منتظم م�سـاحته ت�سـاوي ثالثة �أمثال محيطه‪.‬‬ ‫‪� 12‬أوجد طول العامد لم�ض َّل ٍع‬ ‫ٍ‬ ‫ـوم داخل دائر ٍة طول ن�صف قطرها ‪� 7‬سم‪.‬‬ ‫‪� 13‬أوجد محيط مر َّب ٍع مر�س ٍ‬ ‫منتظم طول �ضلعه ‪� 4‬سم‪.‬‬ ‫‪� 14‬أوجد م�سـاحة م�سـ َّد ٍ�س‬ ‫ٍ‬ ‫‪� 15‬أوجدالن�سـبةبينم�ساحت ِّـيالدائرتينالخارج َّيةوالداخل َّيةلمث َّل ٍثمتطابقالأ�ضالعطول�ضلعه‪�5‬سم‪.‬‬ ‫�ضلع من �أ�ضالعه‪ ،‬ب ِّين � َّأن نقط التن�صيف هي ر�ؤو�س مر َّبع‪.‬‬ ‫‪ 16‬مر َّب ٌع طول �ضلعه ‪2‬ل �سم ُن ِّ�صف ك ُّل ٍ‬ ‫‪ 17‬ب جـ مث َّلثٌ متطابق الأ�ضالع طول �ضلعه ‪� 6‬سم‪ُ ،‬ق ِّ�سـم ُك ٌّل من �أ�ضالعه �إلى ثالثة �أق�سـام مت�ساوية‪.‬‬ ‫منتظم‪.‬‬ ‫برهن � َّأن نقط التق�سـيم هي ر�ؤو�س م�سـ َّد ٍ�س‬ ‫ٍ‬ ‫َّثم ار�سـم المر َّبع المر�سـوم داخلها ‪ .‬وار�سـم العامد‬ ‫‪ُ 18‬ار�سـم دائر ًة ( ) طول ن�صف قطرها‬ ‫�ضلع من �أ�ضالع المر َّبع ‪َّ ،‬ثم م � ِّ�دد العوامد التي ر�سـمتها لتالقي الدائرة‪� ،‬صل ُك ًّال‬ ‫المتـع ِّل ��ق ب ُك ِّل ٍ‬ ‫م ��ن نقـاط التالقـي بر�أ�س ِّـي المر َّبع المجـاورين لـها ‪� .‬أثبت � َّأن الم�ض َّلع الذي ح�صـلت عليـه مث َّم ٌـن‬ ‫�سم‪ ,‬فاح�سب طول �ضلع هذا المث َّمن‪.‬‬ ‫منتـظ ٌم ‪ ،‬و�إذا كـان‬ ‫‪� 19‬شـب ��ه منح � ٍ‬ ‫�رف متطابق ال�سـاقين مر�سـو ٌم داخل دائر ٍة ( )‪ ،‬بحي ��ث يكون ك ٌّل من �سـاقيه �ضل ًعا‬ ‫ـوم داخل‬ ‫ـوم داخل الدائ ��رة‪ ،‬وقاعدته ال�صغ ��رى �ضل ًعا من مر َّب � ٍ�ع مر�س ٍ‬ ‫م ��ن مث َّمنٍ منتظ � ٍ�م مر�س ٍ‬ ‫الدائرة‪.‬‬ ‫�أثبت � َّأن القاعدة الكبرى ل�شـبه المنحرف هذا‪ ،‬قط ٌر في هذه الدائرة‪.‬‬ ‫‪20‬‬

‫دائري طول ن�صف قطر الدائرة الما َّرة بر�ؤو�سـه‬ ‫رباعي‬ ‫ٌّ‬ ‫ٌّ‬ ‫اح�سب ك ًّال من‬

‫‪28‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫باعي‬ ‫َّثم اح�سب م�سـاحة ال ُّر ِّ‬

‫عات‬ ‫الم�ض َّلعـ ــات‬ ‫ت�شـابهالم�ض َّل‬

‫‪2-1‬‬

‫ت�شـابه الم�ضلَّعات‬ ‫عرفت فيما �سـبق � َّأن الم�ض َّلعات تتطابق �إذا تحقَّق ال�شـرطان الآتيان م ًعا‪:‬‬ ‫‪� 1‬أطوال �أ�ضالعهما المتناظرة مت�سـاوية‪.‬‬ ‫‪ 2‬قيا�سـات زواياهما المتناظرة مت�سـاوية‪.‬‬ ‫غي ��ر �أ نَّنا نحتاج ف ��ي حياتنا العمل َّية �إلى عمل نماذج م�صغَّرة �أو مك َّب ��رة لما ن�شـاهده في الواقع‬ ‫وذل ��ك باتخاذ مقيا�س ر�سـم للح�صول على ه ��ذا الت�صغير �أو التكبير مع اتخاد قيا�سـات الزوايا‬ ‫عل ��ى الر�سـم بحي ��ث ت�سـاوي قيا�سـات نظائرها ف ��ي الواقع‪ ،‬وذلك للمحافظة عل ��ى الن�سـبة بين‬ ‫أي�ضا على ت�سـاوي قيا�سـ � ِّ�ي ِّ‬ ‫كل زاويتين متناظرتين‪ ،‬وهذا ي�ؤ ِّدي‬ ‫طول � ِّ�ي ُك ِّل �ضلعين متناظرين‪ ،‬و� ً‬ ‫�إلى � َّأن ال�صورة على الر�سـم تكون م�شابـهة لل�صورة على الطبيعة‪.‬‬

‫ت�شـابه م�ض َّلعين‬ ‫تعريف ( ‪)3 -1‬‬

‫الم�ض َّلعان اللذان لـهما نف�س العدد من الأ�ضالع يكونان مت�شابـهين �إذا وفقط �إذا تحقَّق ال�شـرطان‬ ‫الآتيان م ًعا‪:‬‬ ‫‪ 1‬قيا�سـات زواياهما المتناظرة مت�سـاوية‪.‬‬ ‫‪� 2‬أطوال �أ�ضالعهما المتناظرة متنا�سـبة‪.‬‬ ‫فالم�ض َّلعان ب جـ د ﻫ ‪� ،‬س �ص ع ل م في �شـكل ( ‪ ) 21-1‬يكونان‬ ‫مت�شابـهين‪� ،‬إذا وفقط �إذا كان‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�شـكل ( ‪)21-1‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪29‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫ون�ؤ ِّك ��د هن ��ا �أ َّن ��ه لإثب ��ات ت�شـابه م�ض َّلعي ��ن ال يكفي‬ ‫�شـرطي الت�شـابه دون الآخر ‪ ،‬فمث ً‬ ‫ال ‪ :‬في‬ ‫توافر �أحد‬ ‫ِّ‬ ‫ال�شكل ( ‪ ) 22-1‬المر َّب ��ع والم�سـتطيل ال يت�شابـهان‬ ‫رغ ��م ت�سـاوي قيا�سـات زواياهم ��ا المتناظرة ‪ ،‬وهذا‬ ‫وا�ض� � ٌح ؛ لع ��دم تنا�سـ ��ب �أ�ضالعهم ��ا المتناظ ��رة ‪،‬‬ ‫وكذل ��ك المر َّب ��ع والمع َّي ��ن ف ��ي �شـ ��كل ( ‪ ) 23-1‬ال‬ ‫يت�شابـه ��ان رغم تنا�سب �أط ��وال �أ�ضالعهما ؛ وذلك‬ ‫الختالف قيا�سات زواياهما المتناظرة‪.‬‬

‫�شـكل ( ‪)22-1‬‬

‫�شـكل ( ‪)23-1‬‬

‫تُكتب الم�ض َّلعات المت�شابـهة بترتيب الر�ؤو�س المتناظرة‪.‬‬ ‫فمثال ً‪ :‬في حالة ت�شـابه الم�ض َّلعين المم َّثلين في ال�شـكل ( ‪ ) 21-1‬واللذين فيهما الر�أ�س يناظر الر�أ�س �س ‪،‬‬ ‫الر�أ�س ب يناظــــر الر�أ�س �ص ‪ ،‬الر�أ�س جـ يناظـــر الر�أ�س ع ‪ ،‬الر�أ�س د يناظــر الر�أ�س ل ‪ ،‬الر�أ�س ﻫ يناظر‬ ‫الر�أ�س ‪.‬‬

‫ي�شـابه‬ ‫‪� ،‬أو الم�ض َّلع‬ ‫ي�شـابه الم�ض َّلع‬ ‫نكتب ‪ :‬الم�ض َّلع‬ ‫‪ .‬وهكذا ‪...‬‬ ‫ي�شـابه الم�ض َّلع‬ ‫‪� ،‬أو الم�ض َّلع‬ ‫الم�ض َّلع‬ ‫وف ��ي الواقع � َّإن كتابة الم�ض َّلعات المت�شابـهة بـهذه الكيفي ��ة ت�سـ ِّهل كتابة الن�سـب المت�سـاوية بين الأ�ضالع‬ ‫المتناظرة‪.‬‬ ‫فمث ً‬ ‫ال‪� :‬إذا كان الم�ض َّلع‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪30‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫ي�شـابه الم�ض َّلع‬

‫ف� َّإن‪:‬‬

‫عات‬ ‫الم�ض َّلعـ ــات‬ ‫ت�شـابهالم�ض َّل‬ ‫تعريف (‪)4 -1‬‬ ‫طولي �ضلعين متناظرين في م�ض َّلعين مت�شابـهين ‪ ،‬ن�سـبة الت�شـابه‪.‬‬ ‫ُن�س ِّـمي ن�سـبة ِّ‬ ‫ف�إذا رمزنا بالرمز ث لن�سـبة ت�شـابه الم�ض َّلع‬

‫وتكون ن�سـبة ت�شـابه الم�ض َّلع‬

‫للم�ض َّلع‬

‫للم�ض َّلع‬

‫ف� َّإن‬

‫م�سـاوية‬

‫(‪)9-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫الم�ض َّلعان المتطابقان يكونان مت�شابـهين‪.‬‬ ‫الم�ض َّلعان الم�شابـهان ٍ‬ ‫لثالث مت�شابـهان‪.‬‬ ‫الم�ض َّلع المطابق لأحد م�ض َّلعين مت�شابـهين ي�شـابه الم�ض َّلع الآخر‪.‬‬ ‫� ُّأي م�ض َّلعين منتظمين لـهما نف�س عدد الأ�ضالع يكونان مت�شابـهين ‪ ،‬فمث ً‬ ‫ال ‪ :‬المث َّلثات المتطابقة‬ ‫الأ�ضالع جميعها مت�شابـهة والمر َّبعات جميعها مت�شابـهة وهكذا ‪...‬‬

‫مثال (‪)5-1‬‬ ‫على ال�شـكل ( ‪ ،) 24-1‬الم�ض َّلع‬ ‫�أوجد‬

‫ي�شابه الم�ض َّلع‬

‫الحل‬ ‫الم�ض َّلعان مت�شابـهان‬

‫الأ�ضالع المتناظرة فيهما متنا�سـبة‬

‫�شـكل ( ‪)24-1‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪31‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫ف� َّإن‪:‬‬

‫بما � َّأن‬

‫نظرية (‪)2-1‬‬ ‫�إذا ت�شـابه م�ض َّلعان ف� َّإن ن�سـبة محيطيهما ت�سـاوي ن�سـبة الت�شـابه‪.‬‬

‫الـبرهان‬

‫الفر�ض‪ :‬الم�ض َّلعان‬ ‫ت�سـاوي ث ومحيطاهما‬

‫مت�شابـهان‪ ،‬ن�سـبة ت�شـابه الأ َّول �إلى الثاني‬ ‫على التوالي كما في ال�شـكل ( ‪.) 25-1‬‬

‫�شـكل ( ‪)25-1‬‬

‫المطلوب �إثباته ‪:‬‬

‫‪32‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫عات‬ ‫الم�ض َّلعـ ــات‬ ‫ت�شـابهالم�ض َّل‬ ‫الإ ثبات‪:‬‬ ‫الم�ض َّلعان مت�شابـهان‬

‫الأ�ضالع المتناظرة متنا�سـبة‬

‫�أي � َّأن‬

‫� ًإذا‬

‫مثال (‪)6-1‬‬ ‫الم�ض َّلعان‬

‫مت�شابـهان ‪ ،‬فيهما‬

‫اح�سب محيط الم�ض َّلع‬

‫الحل‬ ‫ن�سـبة ت�شـابه الم�ض َّلع الأ َّول �إلى الم�ض َّلع الثاني‬ ‫محيط الم�ض َّلع الأ َّول‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪33‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫بما � َّأن الم�ض َّلعين مت�شابـهان ف�إنَّه ح�سـب النظر َّية ( ‪) 2-1‬‬

‫� ًإذا‬

‫ت�شـابه المث َّلثات‬ ‫أ�ضالع وثالث زوايا‪ ،‬و� َّأن التعريف ( ‪ ) 3-1‬لم�ض َّلعين مت�شابـهين‬ ‫نعلم � َّأن المث َّلث ما هو �إ َّال م�ض َّلع له ثالثة � ٍ‬ ‫ِّ‬ ‫المتو�سـط ‪ ,‬ف� ��إذا قلنا � َّإن المث َّلثين‬ ‫ال�صف الثالث‬ ‫ي َّتف ��ق م ��ع تعريف مث َّلثين مت�شابـهين الذي تعلمت ��ه في‬ ‫ِّ‬ ‫مت�شابـهان ‪ -‬كما في ال�شـكل ( ‪ - ) 26-1‬ف� َّإن هذا يعنـي‪:‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ 1‬ت�سـاوي الزوايا المتناظرة‪� ،‬أي � َّأن ‪:‬‬ ‫‪ 2‬تنا�سـب الأ�ضالع المتناظرة‪� ،‬أي � َّأن ‪:‬‬

‫�شـكل ( ‪)26-1‬‬

‫وا�سـتنا ًدا �إلى ما �سـبق درا�سـته في هذا المجال نكت�شـف ب�سـهولة �أ نَّه في حالة المث َّلثات المت�شابـهة يكون‬ ‫ال�شـرطان ال�سـابقان متالزمين ؛ �أي � َّأن تحقُّق �أحدهما يعنـي تحقُّق الآخر‪.‬‬

‫‪34‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫عات‬ ‫الم�ض َّلعـ ــات‬ ‫ت�شـابهالم�ض َّل‬ ‫ولع َّلك تتذكَّر الحاالت الثالث لت�شـابه مث َّلثين وهي‪:‬‬ ‫الحالة الأولى ‪ :‬يت�شـابه مث َّلثان �إذا ت�سـاوت زاويتان من �أحدهما مع زاويتين من الآخر‪.‬‬ ‫ففي ال�شـكل ( ‪) 27-1‬‬

‫�شـكل ( ‪)27-1‬‬

‫نتيجة (‪)1-1‬‬ ‫يت�شـابه مث َّلثان قائمان �إذا ت�سـاوت زاوي ٌة حا َّد ٌة من �أحدهما مع زاوي ٍة حا َّد ٍة من الآخر‪.‬‬

‫نتيجة (‪)2-1‬‬ ‫�إذا ُر ِ�سـ ��م م ��ن ر�أ�س القائــمة ف ��ي المث َّلث القائم الزاوية عم ��و ٌد على الوتر‪ ،‬انق�سـم المث َّل ��ث �إلى مث َّلثين‬ ‫مت�شابـهين وكالهما ي�شـابه المث َّلث الأ�صلي‪.‬‬ ‫ف ��ي ال�شـ ��كل ( ‪َّ � ) 28-1‬أن‬ ‫النتيجة( ‪ ) 1-1‬ف� َّإن‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫د ب ي�شـابه‬

‫ب قائ ��م الزاوي ��ة ف ��ي ‪ ،‬د عم ��و ٌد عل ��ى الوت ��ر‪ ،‬وح�سـ ��ب‬

‫ب جـ ؛ لأ نَّهما قائمان وفيهما ب م�شـتركة‪.‬‬

‫د جـ ي�شـابه ب جـ ؛ لأ نَّهما قائمان وفيهما جـ م�شـتركة‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وبما � َّأن المث َّلثين الم�شابـهين ٍ‬ ‫لثالث مت�شابـهان‪ً � ،‬إذا د ب ي�شـابه د جـ‬

‫�شـكل ( ‪)28-1‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪35‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫نتيجة (‪)3-1‬‬ ‫�إذا ُر�سم م�سـتقي ٌم يوازي �أحد �أ�ضالع مث َّل ٍث ويقطع الم�سـتقيمين الحاملين لل�ضلعين الآخرين ف� َّإن المث َّلث‬ ‫أ�صلي‪ُ .‬انظر الأ�شـكال ( ‪ ) 31-1 ( ، ) 30-1 ( ، ) 29-1‬والحظ �أ نَّه في‬ ‫الناتج يكون م�شابـ ًها للمث َّلث ال ِّ‬ ‫ٍّ‬ ‫كل منها يكون د ﻫ ي�شـابه ب جـ وذلك ؛ل َّأن‪:‬‬ ‫‪ 1‬د = ب بالتناظر في ال�شـكلين ( ‪ ) 30-1 ( ، ) 29-1‬وبالتبادل في ال�شـكل ( ‪.) 31-1‬‬ ‫‪ 2‬ﻫ = جـ بالتناظر في ال�شـكلين ( ‪ ) 30-1 ( ، ) 29-1‬وبالتبادل في ال�شـكل ( ‪.) 31-1‬‬

‫�شـكل ( ‪)29-1‬‬

‫�شـكل ( ‪)30-1‬‬

‫�شـكل ( ‪)31-1‬‬

‫الحالة الثانية ‪ :‬يت�شـابه مث َّلثان �إذا ت�سـاوت زاوي ٌة من �أحدهما مع زاوي ٍة من الآخر‪ ،‬وتنا�سـب �ضلعا �أحد‬ ‫�ضلعي الزاوية الأخرى‪.‬‬ ‫هاتين الزاويتين مع ِّ‬ ‫ففي ال�شـكل ( ‪ ) 32-1‬ب ي�شـابه ب ؛ ل َّأن ‪:‬‬

‫�شـكل ( ‪)32-1‬‬

‫‪36‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫عات‬ ‫الم�ض َّلعـ ــات‬ ‫ت�شـابهالم�ض َّل‬ ‫نتيجة (‪)4-1‬‬ ‫يت�شـاب ��ه مث َّلثان قائم ��ان �إذا تنا�سـب �ضلعا الزاوي ��ة القائمة من �أحدهما مع �ضلع � ِّ�ي الزاوية القائمة من‬ ‫الآخر‪ ( .‬لماذا ؟ )‬ ‫الحالة الثالثة‪ :‬يت�شـابه مث َّلثان �إذا تنا�سـبت �أ�ضالعهما‪.‬‬ ‫ففي ال�شـكل ( ‪) 33-1‬‬

‫ب جـ ي�شـابه‬

‫ب جـ ؛ ل َّأن ‪:‬‬

‫�شـكل ( ‪)33-1‬‬

‫نظرية (‪)3-1‬‬ ‫�إذا ت�شـابه مث َّلثان ف� َّإن ن�سـبة ارتفاعين متناظرين فيهما ت�سـاوي ن�سـبة الت�شـابه‪.‬‬

‫الـبرهان‬ ‫الفـر����ض ‪:‬‬ ‫ال�شكل ( ‪. ) 34-1‬‬

‫ي�شـاب ��ه‬

‫‪ [ ،‬ب د ‪ [،‬ب د ارتفاع ��ان متناظ ��ران فيهم ��ا‪ ،‬كمـ ��ا ف ��ي‬

‫�شـكل ( ‪)34-1‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪37‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫المطلوب �إثباته ‪:‬‬

‫الإثبات ‪:‬‬ ‫المث َّلثان ب د ‪ ،‬ب د فيهما‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫( زاويتان متناظرتان في المث َّلثين المت�شابـهين المفرو�ضين )‬

‫‪2‬‬

‫( ك ٌّل منهما قائمة )‪.‬‬

‫وا�سـتنا ًدا �إلى النتيجة ( ‪ ) 1-1‬نجد � َّأن‬

‫ب د ي�شـابه‬

‫بد‬

‫مثال (‪)7-1‬‬ ‫مث َّلثان مت�شابـهان محيطاهما ‪�15‬سم‪�45 ،‬سم على الترتيب‪ ،‬ف�إذا كان طول �أحد االرتفاعات في المث َّلث‬ ‫الأ َّول ‪�3‬سم ف�أوجد طول االرتفاع المناظر له في المث َّلث الثاني‪.‬‬

‫الحل‬

‫ليكن ح محيط المث َّلث الأ َّول ‪ ،‬ح محيط المث َّلث الثاني‪.‬‬ ‫‪15‬‬ ‫بما � َّأن المث َّلثين مت�شابـهان ف� َّإن ن�سـبة الت�شـابه‬ ‫‪45‬‬ ‫ا�سـتنا ًدا �إلى نظرية ( ‪ ) 3-1‬ف� َّإن ‪:‬‬

‫طول االرتفاع في المث َّلث الأ َّول‬ ‫طول االرتفاع المناظر في المث َّلث الثاني‬ ‫‪3‬‬ ‫طول االرتفاع المطلوب‬

‫‪38‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪، 13‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫طول االرتفاع المطلوب = ‪� 9 = 3 × 3‬سم‬

‫عات‬ ‫الم�ض َّلعـ ــات‬ ‫ت�شـابهالم�ض َّل‬

‫ـاحتي م�ض َّلعين مت�شابـهين‬ ‫العالقة بين م�س ِّ‬ ‫نظرية (‪)4-1‬‬ ‫�إذا ت�شـابه مث َّلثان ف� َّإن ن�سـبة م�سـاحتيهما ت�سـاوي مر َّبع ن�سـبة الت�شـابه‪.‬‬

‫الـبرهان‬ ‫الفر�ض‪:‬‬

‫المطلوب �إثباته ‪:‬‬ ‫العمل ‪ :‬نر�سم االرتفاعين‬

‫كما في ال�شكل ( ‪.) 35-1‬‬

‫الإثبات ‪:‬‬ ‫بما � َّأن‬

‫� ًإذا‬

‫ولكن‬ ‫كذلك‬

‫�شـكل ( ‪)35-1‬‬

‫؛ ل َّأن ن�سبة االرتفاعين المتناظرين ت�ساوي ن�سبة الت�شابه (نظرية( ‪.)) 3-1‬‬

‫لذا ف� َّإن‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪39‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫مثال (‪)8-1‬‬

‫الحل‬ ‫لتكن‬

‫�شـكل ( ‪)36-1‬‬

‫م�سـاحة‬

‫م�سـاحة‬

‫بما � َّأن‬ ‫ف� َّإن‬

‫ي�شـابه‬

‫� ًإذا‬

‫لذا ف� َّإن‬ ‫�أي � َّأن‬ ‫فتكون م�سـاحة الم�ض َّلع‬

‫‪40‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫ح�سـب نتيجة‬

‫عات‬ ‫الم�ض َّلعـ ــات‬ ‫ت�شـابهالم�ض َّل‬ ‫نظرية (‪)5-1‬‬ ‫كل منهما �إلى مث َّل ٍ‬ ‫�إذا ت�شـاب ��ه م�ض َّلع ��ان ف�إنَّه يمكن تق�سـي ��م ٍّ‬ ‫ثات تت�شـاب ��ه مع نظائرها في‬ ‫الم�ض َّلع الآخر‪.‬‬

‫الـبرهان‬ ‫�سـنبره ��ن هذه النظر َّية في حالة مخ َّم�سـين‪ .‬ويمكنك بالطريقة نف�سـها �أن تبرهن النظر َّية في حالة � ِّأي‬ ‫م�ض َّلعين مت�شابـهين‪.‬‬ ‫الفـر�ض ‪ :‬الم�ض َّلع ب د ﻫ ي�شـابه الم�ض َّلع ب د ‪،‬‬ ‫المث َّلثات ب ‪،‬‬ ‫ب ‪ ،‬د‪،‬د‬ ‫ال�شـكل ( ‪.) 37-1‬‬

‫د‪ ،‬د ﻫ الداخلة في تق�سيم الم�ض َّلع ب د من الر�أ�س تناظر الـــمـث َّلثات‬ ‫الداخلة في تق�سـيم الم�ض َّلع ب د من الر�أ�س على التوالي‪ ،‬كما في‬

‫�شـكل ( ‪)37-1‬‬

‫المطلوب �إثباته‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪41‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫الإثبات ‪:‬‬ ‫من ت�شـابه الم�ض َّلعين المفرو�ضين نجد � َّأن‬

‫ومن ذلك نح�صل على‬

‫وهو المطلوب �إثباته ثاني ًا‪.‬‬ ‫وبالتالي نح�صل على‬ ‫( لت�شـابه الم�ض َّلعين )‬

‫ولكن‬ ‫من‬

‫� ًإذا‬

‫‪42‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬

‫ي�شـابه‬

‫ينتج � َّأن‬

‫وهو المطلوب �إثباته ثال ًثا‪.‬‬

‫عات‬ ‫الم�ض َّلعـ ــات‬ ‫ت�شـابهالم�ض َّل‬ ‫نظرية (‪)6-1‬‬ ‫�إذا ت�شـابه م�ض َّلعان ف� َّإن ن�سـبة م�سـاحتيهما ت�سـاوي مر َّبع ن�سـبة الت�شـابه‪.‬‬ ‫الـبرهان لالطالع فقط‬ ‫الفـر�ض ‪ :‬الم�ض َّلع ب جـ د ﻫ ي�شـابه الم�ض َّلع ب جـ د ‪ ،‬كما في ال�شـكل ( ‪،) 37-1‬‬ ‫ون�سـبة الت�شـابه = ث‪ ،‬وم�سـاحتا الم�ض َّلعين ‪ ،‬على التوالي‪ ،‬وم�سـاحات المث َّلثات ب جـ ‪ ،‬جـ د‪،‬‬ ‫على التوالي‪.‬‬ ‫المطلوب �إثباته ‪:‬‬ ‫الإثبات ‪� :‬أثبتنا في النظر َّية ( ‪َّ � ) 5-1‬أن‬ ‫وح�سـب النظر َّية ( ‪ )4-1‬ف� َّإن‬

‫من‬

‫ينتج �أ َّن‬ ‫(لماذا ؟)‬

‫لكن‬

‫كذلك‬

‫� ًإذا‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪43‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫مثال (‪)9-1‬‬ ‫�إذا كان ط���وال �ضلعي���ن متناظري���ن ف���ي م�ض َّلعين مت�شابـهي���ن ‪� 3‬سم ‪� 5 ،‬سم ‪ ،‬وكان���ت م�سـاحة الم�ض َّلع‬ ‫الأكبر ت�سـاوي ‪� 100‬سم‪ ، 2‬ف�أوجد م�سـاحة الم�ض َّلع الأ�صغر ‪.‬‬

‫الحل‬

‫لنفر�ض � َّأن ترمز لم�سـاحة الم�ض َّلع الأ�صغر ‪،‬‬ ‫ح�سـب النظر َّية ( ‪ ) 6-1‬ف� َّإن‬

‫ترمز لم�سـاحة الم�ض َّلع الأكبر ‪.‬‬

‫مثال (‪)10-1‬‬ ‫���ث قائم الزاوي���ة م�ض َّلع ٍ‬ ‫�أن�شـ�أن���ا عل���ى �أ�ض�ل�اع مث َّل ٍ‬ ‫���ات مت�شابـه ٍة‪ ،‬بحيث كان���ت �أ�ضالع المث َّل���ث �أ�ضال ًعا‬ ‫متناظ���ر ًة فيه���ا كما في ال�شكل ( ‪� ،) 38-1‬أثب���ت �أ َّن م�سـاحة �سـطح الم�ض َّلع المن�ش�أ على الوتر ي�سـاوي‬ ‫�ضلعي القائمة‪.‬‬ ‫ـطحي الم�ض َّلعين المن�شـ�أين على‬ ‫ِّ‬ ‫ـاحتي �س ِّ‬ ‫مجموع م�س ِّ‬

‫�شـكل ( ‪)38-1‬‬

‫‪44‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫عات‬ ‫الم�ض َّلعـ ــات‬ ‫ت�شـابهالم�ض َّل‬ ‫الحل‬ ‫ترمز لم�سـاحات الم�ض َّلعات‬

‫نفر�ض � َّأن‬

‫على التوالي‪.‬‬

‫بما � َّأن الم�ض َّلع �س ي�شـابه الم�ض َّلع ع ف� َّإن‬

‫وبما � َّأن الم�ض َّلع �ص ي�شـابه الم�ض َّلع ع ف� َّإن‬ ‫بجمع‬

‫نجد � َّأن ‪:‬‬

‫� ًإذا‬ ‫وبما � َّأن‬ ‫� ًإذا‬

‫( نظرية فيثاغور�س )‬ ‫( وهو المطلوب )‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪45‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫تمارين (‪)2-1‬‬ ‫‪ 1‬في ال�شـكل المجاور ‪:‬‬ ‫الم�ض َّلع ب جـ د ي�شـابه الم�ض َّلع �س �ص ع ل ‪،‬‬

‫�أوجد‬ ‫‪ 2‬م�سـتطي�ل�ان مت�شابـهان ُبعدا �أ�صغرهما ‪� 4‬سم ‪� 6 ،‬س ��م‪� .‬أوجد ُبعدي الم�سـتطيل الأكبر �إذا علمت‬ ‫‪.‬‬ ‫� َّأن ن�سـبة الت�شـابه هي‬ ‫‪ 3‬م�ض َّلع ��ان منتظم ��ان مت�شابـهان ذوا ت�سـعة �أ�ضالع‪ ،‬ط ��ول �ضلع الأ َّول ي�سـ ��اوي ‪� 5‬سم وطول �ضلع‬ ‫الثاني ي�سـاوي ‪� 6‬سم‪� .‬أوجد محيط ٍّ‬ ‫كل منهما ون�سـبة الت�شـابه‪.‬‬ ‫‪ 4‬م�ض َّلع ��ان مت�شابـه ��ان فيهما �ضلعان متناظران طوالهما ‪� 12‬سم ‪� 15 ،‬سم على الترتيب‪ ،‬ف�إذا كان‬ ‫محيط الم�ض َّلع الأ�صغر ‪� 30‬سم‪ ،‬ف�أوجد محيط الم�ض َّلع الأكبر‪.‬‬ ‫عدي الم�ستطيل‬ ‫‪ 5‬م�ستطيالن مت�شابـهان الأ َّول ُبعداه ‪� 3‬سم ‪� 5 ،‬سم والثاني محيطه ‪� 30‬سم ‪� ،‬أوجد ُب ِّ‬ ‫الثاني‪.‬‬ ‫‪ 6‬الم�ض َّلعان ب جـ د ﻫ ‪ ،‬ب جـ د ﻫ مت�شابـهان فيهما ب = ‪� 3‬سم ‪ ،‬ب = ‪� 5‬سم ‪ ،‬جـ د =‪� 4‬سم ‪،‬‬ ‫د ﻫ =‪� 6‬سم ‪ ،‬ﻫ = ‪� 8‬سم ‪ ،‬ومحيط الم�ض َّلع ب جـ د ﻫ =‪�52‬سم‪.‬‬ ‫�أوجد �أطوال �أ�ضالعه‪.‬‬ ‫‪ 7‬م�ض َّلع ��ان مت�شابـه ��ان الن�سـب ��ة بين طول � ِّ�ي �ضلعين متناظري ��ن فيهما ‪ 2 : 1‬فما ه ��ي الن�سـبة بين‬ ‫م�ساحتـيهما وما الن�سـبة بين محيطيهما ؟‬

‫‪46‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫عات‬ ‫الم�ض َّلعـ ــات‬ ‫ت�شـابهالم�ض َّل‬ ‫ٍ‬ ‫م�شـابه‬ ‫‪� 8‬إذا كان ط ��ول �أح ��د �أ�ضالع م�ض َّل ٍع م�سـاحته ‪� 196‬سم‪ 2‬هو ‪� 4‬سم ‪ ،‬ف�أوجد م�سـاحة م�ض َّل ٍع‬ ‫له بحيث يكون طول ال�ضلع المناظر ‪� 8‬سم‪.‬‬ ‫‪ 9‬م�ض َّلعان مت�شابـهان الن�سـبة بيـن م�سـاحتيهما ت�سـاوي‬ ‫ي�سـاوي ‪� 4‬سم ‪ ،‬ف�أوجد طول ال�ضلع المناظر له في الأكبر‪.‬‬

‫ف�إذا كان �أحد �أ�ضالع الم�ض َّلع الأ�صغر‬

‫‪ 10‬مث َّلث ��ان مت�شابـه ��ان م�ساحتاهـما ‪� 25‬س ��م‪� 49 ، 2‬سم‪ 2‬على الترتيب ف� ��إذا كان طول االرتفاع في‬ ‫المث َّلث الأ َّول ‪� 4‬سم ‪ ،‬ف�أوجد االرتفاع المناظر له في المث َّلث الآخر‪.‬‬ ‫ف ��ي النقطتي ��ن د ‪ ،‬ﻫ عل ��ى الترتي ��ب ‪،‬‬ ‫‪ 11‬ب مث َّل ��ثٌ ‪ُ ،‬ن ِّ�ص ��ف ال�ضلع ��ان ب ‪،‬‬ ‫�أثب ��ت � َّأن المث َّل ��ث د ﻫ ي�شـابه المث َّلث ب جـ ‪ .‬كم ت�سـ ��اوي م�سـاحة المث َّلث د ﻫ من م�سـاحة‬ ‫المث َّلث ب جـ ؟‬ ‫‪ 12‬ب مث َّلثٌ قائم الزاوية في ب ‪ ،‬فيه ب =‪� 5‬سم ‪ ،‬ب جـ = ‪� 12‬سم ‪ُ ،‬ر�سـم على[ ب ‪،‬‬ ‫�ضلعي ��ن متناظري ��ن فيهما‪ .‬برهن‬ ‫[ م�ض َّلع ��ان مت�شابـه ��ان بحي ��ث كان [ ب ‪[ ،‬‬ ‫ـاحتي هذين الم�ض َّلعين ت�سـاوي ‪. 25‬‬ ‫على � َّأن الن�سـبة بين م�س ِّ‬ ‫‪169‬‬ ‫‪ 13‬ب مث َّلثٌ قائم الزاوية في ب ‪ُ ، °30= ،‬ر�سـمت على �أ�ضالعه ب ‪ ،‬ب ‪،‬‬ ‫أ�ضالعا متناظر ًة في الم�ض َّلع ��ات المت�شابـهة‪.‬‬ ‫م�ض َّلع � ٌ‬ ‫�ات مت�شابـه ٌة بحي ��ث كانت �أ�ضالع المث َّل ��ث � ً‬ ‫�أثبت � َّأن‪:‬‬ ‫م�ساحة الم�ض َّلع الـ ُمن�ش�أ على ال�ضلع [ ب = م�ساحة الم�ض َّلع الـ ُمن�ش�أ على ال�ضلع[جـ‬ ‫م�ساحة الم�ض َّلع الـ ُمن�ش�أ على ال�ضلع [ب جـ = م�ساحة الم�ض َّلع الـ ُمن�ش�أ على ال�ضلع [جـ‬

‫فقطعه في د‪ُ ،‬ر�سـم المث َّلثان المتطابقا‬ ‫‪ 14‬ب مث َّلثٌ قائم الزاوية في ب‪ُ ،‬ر�سـم ب د‬ ‫الأ�ضالع ب ﻫ ‪ ،‬و خـارج ب ‪� .‬أثبت � َّأن الم�ض َّلع ﻫ ب د ي�شـابه الم�ض َّلع و ب‪.‬‬ ‫قطري الدائرتين الخارج َّيتين‬ ‫ن�صفي‬ ‫طولي‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫‪ 15‬بره ��ن �أنَّه �إذا ت�شـابه م�ض َّلعان منتظمان ف� �� َّإن ن�سـبة ِّ‬ ‫ت�سـاوي ن�سـبة الت�شـابه‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪47‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫‪ 1‬ل � ِّ‬ ‫تم�س �أ�ضالعه من‬ ‫�كل م�ض َّل ٍع‬ ‫ٍ‬ ‫منتظم دائرت ��ان �إحداهما خارج َّي ٌة تم ُّر بر�ؤو�سـه‪ ،‬و�أخ ��رى داخل َّي ٌة ُّ‬ ‫الداخل‪ُ ،‬ي�سـ َّمى المركز الم�شـترك للدائرتين مركز الم�ض َّلع المنتظم‪.‬‬ ‫الخا�صة لر�سـم ٍّ‬ ‫كل من المث َّلث‬ ‫منتظم داخل دائر ٍة‪ ،‬بع�ض الطرق‬ ‫‪ 2‬الطريق ��ة العا َّمـ ��ة لر�سـم م�ض َّل ٍع‬ ‫َّ‬ ‫ٍ‬ ‫المتطابق الأ�ضالع والم�سـ َّد�س المنتظم والمث َّمن المنتظم والمر َّبع‪.‬‬ ‫‪ 3‬م�سـاحة الم�ض َّلع المنتظم ت�سـاوي ن�صف حا�صل �ضرب محيطه في طول عامده‪.‬‬ ‫كل م ��ن ال�ضلع والعامد ٍّ‬ ‫‪� 4‬أيج ��اد ط ��ول ٍّ‬ ‫لكل م ��ن ‪ :‬المث َّلث المتطاب ��ق الأ�ضالع والمر َّب ��ع والم�سـ َّد�س‬ ‫المنتظم ‪ ،‬بداللة طول ن�صف قطر الدائرة الخارج َّية ‪.‬‬ ‫يو�ضح ذلك‪.‬‬ ‫والجدول التالي ِّ‬ ‫الم�ض َّلع المنتظم المر�سـوم داخل دائر ٍة طول ن�صف قطرها‬

‫طول �ضلعه طول عامده‬

‫مث َّلثٌ متطابق الأ�ضالع‬

‫‪3‬‬

‫مر َّب ٌع‬

‫‪2‬‬

‫م�سـ َّد ٌ�س منتظ ٌم‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ 5‬مفهوم ت�شـابه م�ض َّلعين و�ضرورة ت�سـاوي زواياهما وتنا�سـب �أ�ضالعهما المتناظرة‪.‬‬ ‫الخا�صة بالن�سـبة‬ ‫‪ 6‬خا�ص َّي� � ًة جديد ًة للمث َّلثات المت�شابـهة تتع َّلق بالن�سبة بي ��ن ارتفاعاتـها والنظر َّية‬ ‫َّ‬ ‫ـاحتي مث َّلثين مت�شابـهين‪.‬‬ ‫بين م�س ِّ‬ ‫‪ 7‬خوا� �َّ�ص �إ�ضافي� � ًة للم�ض َّلعي ��ن المت�شابـهي ��ن تتع َّل ��ق بالن�سـبة بي ��ن محيطيهما وت�شـاب ��ه مث َّلثاتـهما‬ ‫المتناظرة والن�سـبة بين م�سـاحتيهما‪.‬‬

‫‪4848‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪� 1‬أكمل الفراغات فيما يلي‪:‬‬

‫تمارين عامة‬

‫المت�سـع من �أحد ر�ؤو�سـه هو ‪........‬‬ ‫عدد المث َّلثات الداخلة في تق�سـيم َّ‬ ‫قيا� ��س زاوي ��ة الم�سـ َّد� � ٍ�س المنتظ � ٍ�م ي�س ��اوي ‪ ........‬وقيا� ��س الزاوي ��ة المركز َّية له‬ ‫ي�س ��اوي ‪........‬‬ ‫المنتظم‪.‬‬ ‫قيا�س الزاوية المركز َّية لـِ ‪ ........‬ي�سـاوي قيا�س زاوية ا ِلم�سـ َّد ٍ�س‬ ‫ٍ‬ ‫د‬

‫قيا�س الزاوية المركز َّية لمث َّل � ٍ�ث متطابق الأ�ضالع ي�سـاوي �ضعف قيا�س الزاوية المركز َّية‬ ‫لـِ ‪........‬‬

‫هـ الم�ض َّلع المنتظم الذي قيا�س زاويته ي�سـاوي قيا�س زاويته المركز َّية هو ‪.......‬‬ ‫و‬

‫قيا�س زاوية المر َّبع ي�ساوي �ضعف قيا�س الزاوية المركز َّية لـِ ‪........‬‬

‫�وم دا خ ��ل دائر ٍة ط ��ول ن�صف قطر ه ��ا ‪� 8‬سم‬ ‫ز ط ��ول �ضل ��ع م�سـ َّد � � ٍ�س منتظ � ٍ�م مر�سـ � ٍ‬ ‫ي�سـ ��اوي ‪........‬‬ ‫�وم داخل دائر ٍة طول ن�ص ��ف قطرها ‪� 3‬سم‬ ‫ح محي ��ط مث َّل � ٍ�ث متطاب ��ق الأ�ضالع مر�سـ � ٍ‬ ‫ي�سـ ��اوي ‪........‬‬ ‫ط ط ��ول ن�ص ��ف قطر الدائرة الخارج َّي ��ة لمر َّب ٍع طول �ضلعه ‪� 2‬سم ي�سـ ��اوي ‪ ........‬وطول‬ ‫ن�صف قطر الدائرة الداخل َّية له ي�سـاوي ‪........‬‬ ‫ى ط ��ول ن�ص ��ف قطر الدائ ��رة الخارج َّي ��ة لمث َّل ٍث متطاب ��ق الأ�ضالع طول عام ��ده ‪� 4‬سم‬ ‫ي�سـ ��اوي ‪........‬‬ ‫منتظم ت�سـاوي محيطه ف� َّإن طول عامده ي�سـاوي ‪........‬‬ ‫ك �إذا كانت م�سـاحة م�ض َّل ٍع‬ ‫ٍ‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪49‬‬

‫ل الم�ض َّلع ب جـ د في ال�شـكل التالي ي�شـابه الم�ض َّلع �س �ص ع ل ف�إذا كان محيط الم�ض َّلع‬ ‫�س �ص ع ل =‪� 30‬سم ف� َّإن محيـط الم�ض َّلع ب جـ د ي�سـاوي ‪........‬‬

‫م‬

‫م�ساحتي م�ض َّلعين مت�شابـهين ت�سـاوي ‪9‬‬ ‫طولي‬ ‫�إذا كان ��ت الن�سـب ��ة بين‬ ‫‪ 25‬ف� َّإن الن�سـبة بين ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫�ضلعين متناظرين فيهما ت�سـاوي ‪ ........‬والن�سـبة بين محيطيهما ت�سـاوي ‪........‬‬

‫محيطي م�ض َّلعين مت�شابـهين ت�سـاوي ‪ 2‬وكانت م�سـاحة الم�ض َّلع‬ ‫ن �إذا كان ��ت الن�سـب ��ة بيـن‬ ‫ِّ‬ ‫‪3‬‬ ‫الأ َّول‪� 120‬سم‪ ،2‬ف� َّإن م�سـاحة الم�ض َّلع الثاني ت�سـاوي ‪........‬‬ ‫�أوجد عدد �أقطار ٍّ‬ ‫كل من الم�ض َّلعات التالية ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ )1‬الم�سـتطيل‬

‫‪ )2‬المخ َّم�س‬

‫‪ )3‬المث َّمن‬

‫م�ضلع ذي �ضل ًعا =‬ ‫ب �أكمل الفراغ التالي ‪ :‬عدد �أقطار ٍ‬

‫‪2‬‬

‫‪ )4‬المع�شَّ ـر‬

‫(‪)..... - .....‬‬

‫‪� 3‬إذا كان ط ��وال �ضلعي ��ن متناظرين في م�ض َّلعين مت�شابـهين ‪� 2‬سم ‪� 3 ،‬س ��م وكانت م�سـاحة �أ�صغر‬ ‫الم�ض َّلعين ‪� 36‬سم‪ ,2‬ف�أوجد م�سـاحة الم�ض َّلع الآخر‪.‬‬ ‫‪ 4‬طوال �ضلعين متناظرين في م�ض َّلعين مت�شابـهين هـما ‪� 5‬سم ‪� 8 ،‬سم ‪ ،‬ف�إذا كان مجموع م�ساحتيهما‬ ‫‪� 534‬سم‪� , 2‬أوجد م�سـاحة ٍّ‬ ‫كل منهما‪.‬‬ ‫‪� 5‬إطار �صور ٍة م�ستطيل ال�شكل �أبعاده ‪� 1.5 :‬سم ‪� 2.5 ،‬سم على الترتيب‪ُ ،‬يراد تكبيره ِل ُي�صبح طول‬ ‫ال�ضلع الأكبر‪� 10‬سم ‪ ,‬فما هو محيط ال�صورة الكبرى ؟‬ ‫رباعي �أطوال �أ�ضالعه ‪� 3‬سم ‪� 5 ،‬سم ‪� 4 ،‬سم ‪� 6 ،‬سم على الترتيب‪ ،‬ف�إذا كان �أق�صر طول‬ ‫‪ 6‬م�ض َّل ٌع‬ ‫ٌ‬ ‫ٍ‬ ‫م�شـابه له هو ‪� 9‬سم‪ ،‬ف�أوجد �أطوال �أ�ضالع الم�ض َّلع الأكبر‪.‬‬ ‫�ضلع في م�ض َّل ٍع‬

‫‪50‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪ 7‬في ال�شـكل التالي ُمخ َّم�سـان مت�شابـهان‪ ،‬ن�سـبة ت�شـابـهما ت�سـاوي ‪ُ 3‬ق ِّ�سـما �إلى مث َّل ٍ‬ ‫ثات مت�شابـه ٍة‬ ‫‪5‬‬ ‫بحي ��ث م�سـاحة المث َّلث ب ﻫ = ‪� 9‬سم‪ 2‬وم�سـاحة المث َّلث ب جـ ﻫ = ‪� 18‬سم‪ 2‬وم�ســــــاحة المث َّلث‬ ‫جـ د ﻫ = ‪� 27‬سم‪� .2‬أوجد‪:‬‬ ‫م�سـاحة المث َّلثات المناظرة‪.‬‬ ‫ـاحتي المخ َّم�سـين‪.‬‬ ‫ب م�س ِّ‬ ‫ج �إذا ُعل ��م � َّأن طول �أحد �أ�ضالع المخ َّم� ��س الأ�صغر = ‪� 9‬سم‬ ‫ف�أوجد طول ال�ضلع المناظر له في المخ َّم�س الأكبر‪.‬‬

‫ـام مت�سـاوي� � ٍة برهن � َّأن نقاط‬ ‫‪ 8‬مر َّب� � ٌع ط ��ول �ضلعه ‪ 3‬ل �س ��م‪ُ ،‬ق ِّ�سـم ك ٌّل من �أ�ضالعه �إل ��ى ثالثة �أق�س ٍ‬ ‫منتظم‪.‬‬ ‫التق�سيم هي ر�ؤو�س مث َّمنٍ غير‬ ‫ٍ‬ ‫قطري الدائرتين الداخل َّيتين‬ ‫ن�صفي‬ ‫‪ 9‬بره ��ن �أ نَّه �إذا ت�شـابه م�ض َّلعان منتظمان ف� َّإن ن�سـبة طول � ِّ�ي‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫ت�سـاوي ن�سـبة الت�شـابه‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪51‬‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬

‫هند�سة الم َّت ِجهات‬

‫(‪ )1-2‬المت َِّجهات في الم�ستوي‬ ‫(‪ )2-2‬ال�ضرب القيا�سي ( ال�ضرب الداخلي )‬

‫(‪ )3-2‬معادلة الم�ستقيم في الم�ستوي‬ ‫(‪ )4-2‬الإحداثيات في الف�ضاء‬ ‫(‪ )5-2‬المت َِّجهات في الف�ضاء الإحداثي‬

‫تعتمد العل ��وم الفيزيائية والهند�سية‬ ‫عل ��ى الكمي ��ات العددي ��ة والكميات‬ ‫المتجه ��ة و�سوف ندر� ��س المتجهات‬ ‫كمفه ��وم ريا�ض ��ي �ص ��رف م�ستق�ل ًّ�ا‬ ‫عن المفهوم الفيزيائي ويبقى دائم ًا‬ ‫للمفه ��وم الفيزيائ ��ي �أهميت ��ه عن ��د‬ ‫ا�ستخ ��دام المتجه ��ات ف ��ي درا�س ��ة‬ ‫الفيزياء والميكانيكا ‪.‬‬

‫ُيتو َّقع من الطالب بعد درا�سـة هذه الوحدة‬ ‫�أن يكون قاد ًرا على �أن ‪:‬‬ ‫‪ -1‬يع ِّرف القطعة الموجهة في ٍّ‬ ‫كل من الم�ستوي‬ ‫والف�ضاء ويم ِّثلها هند�س ًّيا ‪.‬‬ ‫‪ -2‬يع ِّرف المتجه في ٍّ‬ ‫كل من الم�ستوي والف�ضاء‬ ‫ويم ِّثله هند�س ًّيا‪.‬‬ ‫‪ -3‬يوجد طول متجه معطى في ٍّ‬ ‫كل من الم�ستوي‬ ‫والف�ضاء ويحدِّد اتجاهه في الم�ستوي‪.‬‬ ‫‪ُ -4‬يجري العمليات الجبرية على المتجهات في‬ ‫ٍّ‬ ‫كل من الم�ستوي والف�ضاء ‪.‬‬ ‫‪ُ -5‬يح ِّلل متجه �إلى مجموع ( �أو الفرق بين )‬ ‫متجهين في ٍّ‬ ‫كل من الم�ستوي والف�ضاء ‪.‬‬ ‫‪ُ -6‬يجري هند�س ًّيا عملية جمع ( �أو طرح )‬ ‫متجهين في ٍّ‬ ‫كل من الم�ستوي والف�ضاء ‪.‬‬ ‫‪ -7‬يوجد معادلة الم�ستقيم في ٍّ‬ ‫كل من الم�ستوي‬ ‫والف�ضاء با�ستخدام المتجهات‪.‬‬ ‫‪ -8‬يوجد الزاوية بين م�ستقيمين في ٍّ‬ ‫كل من‬ ‫الم�ستوي والف�ضاء ‪.‬‬ ‫‪ -9‬يوجد معادلة الم�ستوي في الف�ضاء ‪.‬‬ ‫‪ -10‬يدر�س عالقة التوازي والتعامد لمتجهين ‪,‬‬ ‫لم�ستقيمين ‪ ,‬لم�ستقيم وم�ستو ‪ ,‬لم�ستويين‪.‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫‪1-2‬‬

‫المتجهات في الم�ستوي‬ ‫مـــقــدمـــة‬ ‫َّ‬ ‫تعتمد العلوم الفيزيائية والهند�سية على نوعين من الكميات ‪:‬‬ ‫‪ 1‬الكمية القيا�سية ( العددية ) وهي الكمية التي نحتاج لو�صفها �إلى معرفة مقدارها فقط‬ ‫ومن �أمثلتها ‪ :‬الطول والم�سـافة والكتلة ودرجة الحرارة والم�ساحة والحجم وغيرها ‪.‬‬ ‫‪ 2‬الكمي���ة المتَّجِ ه���ة وهي الكمية الت ��ي نحتاج لو�صفها �إلى معرف ��ة مقدارها واتجاهها ومن‬ ‫�أمثلته ��ا ‪ :‬حركة الأج�س ��ام ودوران الأفالك و�ش َّدة المجال المغناطي�س ��ي والقوة وال�سرعة‬ ‫وغيرها ‪.‬‬ ‫وف ��ي هذه الوحدة �سندر�س المتجه ��ات كمفهوم ريا�ضي �صرف م�ستق ًّال ع ��ن المفهوم الفيزيائي‬ ‫ويبقى دائ ًما للمفهوم الفيزيائي �أهميته عند ا�ستخدام المتجهات في درا�سة الفيزياء والميكانيكا ‪.‬‬ ‫وقبل ال�شروع في درا�سة المتجهات يلزمنا درا�سة الجبر على نقط الم�ستوي ‪.‬‬

‫الجبر على نقط الم�ستوي‬

‫علمت من درا�ستك ال�سابقة �أنه يمكننا تمثيل � ِّأي نقطة ن ى ب�إحداثييها و نكتب ‪:‬‬ ‫ن ( �س ‪� ،‬ص ) �أو ن ( �س ‪� ،‬ص ) �أو نكتفي بكتابة ( �س ‪� ،‬ص ) فقط ‪،‬‬ ‫و�أنه ل ِّأي نقطتـين ( �س‪� ، 1‬ص‪� ( ، ) 1‬س‪� ، 2‬ص‪ ) 2‬يكون ‪:‬‬ ‫( �س‪� ، 1‬ص‪� ( ) 1‬س‪� ، 2‬ص‪) 2‬‬ ‫�س‪� 1‬س‪َ 2‬و �ص‪� 1‬ص‪2‬‬

‫تعريف ( ‪)1 -2‬‬ ‫‪ ,‬ف� َّإن حا�صل �ضرب العدد ك في النقطة ن‬ ‫�إذا كانت ن ( �س ‪� ،‬ص ) ى ‪ ,‬ك‬ ‫هو النقطة ‪ :‬ك ‪ .‬ن ك ‪� ( .‬س ‪� ،‬ص ) ( ك �س ‪ ،‬ك �ص )‬

‫‪54‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫هاتفيفيالم�ستوي‬ ‫المتجهات‬ ‫المتَّجِ‬ ‫الم�ستوي‬ ‫مثال (‪)1-2‬‬ ‫�إذا كانت ن‬

‫( ‪ ) 3 ، 1‬ف�أوجد ك ًّ‬ ‫ال من النقاط ‪:‬‬

‫‪ 2‬ن ‪ 3 ,‬ن ‪ )1–( ,‬ن ‪,‬‬

‫ن ‪ × 0 ,‬ن وم ِّثلها جمي ًعا في الم�ستوي الإحداثي ‪.‬‬

‫الحل‬

‫�شـكل ( ‪) 1-2‬‬

‫� َّأن النقاط المم َّثلة في ال�شكل ( ‪ ) 1-2‬جميعها على ا�سـتقامة واحدة ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪55‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫تعريف ( ‪)2 -2‬‬ ‫�إذا كانت‬

‫ف� َّإن مجموعهما هو النقطة ‪:‬‬

‫مثال (‪)2-2‬‬ ‫لتكن‬ ‫ثم م ِّثل النقـاط‬

‫الحل‬

‫‪56‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫�أوجد كـ ًّ‬ ‫ال من النقاط ‪:‬‬ ‫في الم�ســتوي الإحداثي ‪.‬‬

‫هاتفيفيالم�ستوي‬ ‫المتجهات‬ ‫المتَّجِ‬ ‫الم�ستوي‬

‫من تمثيل النقاط‬ ‫ال�شـــــــكل ( ‪َّ � ) 2-2‬أن النقـــطة‬ ‫منت�صف القطعـة‬

‫في‬ ‫تقـــــــع في‬

‫�شـكل ( ‪) 2-2‬‬

‫نتيجة (‪)1-2‬‬ ‫ل ِّأي نقطتين‬ ‫النقطة‬

‫ف� َّإن ‪:‬‬ ‫هي منت�صف‬

‫وذلك ل َّأن ‪:‬‬

‫خوا�ص عملية جمع النقاط‬ ‫‪ 1‬عملية جمع النقاط �إبدالية ؛ لأنه‬ ‫ف� َّإن ‪:‬‬ ‫‪ 2‬عملية جمع النقاط تجميعية ؛ لأنه‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪57‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫‪ 3‬عملية جمع النقاط لها عن�صر محايد هو النقطة‬ ‫ف� َّإن ‪:‬‬ ‫وكذلك يكون‬

‫( من خا�صية الإبدال )‬

‫‪ 4‬يوجد لكل نقطة معكو�س جمعي ؛ لأنه‬

‫وكذلك يكون‬ ‫وهذا يعني � َّأن كل نقطة‬

‫لأنه‬

‫ف� َّإن ‪:‬‬

‫( لماذا ؟ )‬ ‫لها معكو�س جمعي هو النقطة‬ ‫ويرمز له بالرمز‬

‫خوا�ص عملية �ضرب نقطة بعدد حقيقي‬ ‫نظرية (‪)1-2‬‬ ‫�إذا كانت‬

‫د‬ ‫هـ‬

‫الـبرهان‬

‫يترك كتدريب للطالب‬

‫‪58‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫ف� َّإن ‪:‬‬

‫هاتفيفيالم�ستوي‬ ‫المتجهات‬ ‫المتَّجِ‬ ‫الم�ستوي‬ ‫تعريف ( ‪)3 -2‬‬ ‫‪ ,‬ف� َّإن حا�صل طرح النقطة‬

‫�إذا كانت‬ ‫من النقطة ن‪ 1‬هو النقطة ‪:‬‬

‫ن‪2‬‬

‫(‪)1-2‬‬ ‫( لماذا ؟ )‬

‫مثال (‪)3-2‬‬ ‫�إذا كانت‬ ‫‪ 1‬‬

‫ف�إ َّن ‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫تدريب (‪)1-2‬‬ ‫و�ضح من خالل المثـال ال�سـابق � َّأن عملية طرح النقاط غير �إبداليـة ‪.‬‬ ‫ِّ‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪59‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫المتَّجِ هات في الم�ستوي‬ ‫الموجهة‬ ‫القطعة‬ ‫َّ‬ ‫هي قطعة‬ ‫نقطتين مختلفتين في الم�ستوي ف� َّإن‬ ‫تعلم �أنه �إذا كانت‬ ‫ل َّأن ترتيب النقطتين‬ ‫أي�ضا بال�صورة‬ ‫الم�سـتقيم الوا�صلة بينهما ويمكن كتابتها � ً‬ ‫لي�س له داللة في هذه الحالة ‪ ,‬انظر �شكل ( ‪) 3-2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 3-2‬‬

‫بترتيب مع َّين ( من �إلى ب )‬ ‫�إ َّال �أنن ��ا ف ��ي درا�س ��ة المتجه ��ات نحتاج �إلى �أخذ نقاط‬ ‫�أو ( م ��ن ب �إل ��ى ) وت�س َّمى القطعة الم�ستقيمة التي ُينظر �إليه ��ا كمجموعة من النقاط المرتَّبة‬ ‫قطعة م�ستقيمة موجهة �أو اخت�صا ًرا قطعة موجهة‪.‬‬

‫تعريف ( ‪)4 -2‬‬

‫القطع ��ة الم�ستقيمة الموجهة من �إلى ب ه ��ي مجموعة النقاط المرتبة والمنتمية �إلى القطعة‬ ‫والتي مبد�ؤها ( �أ�صلها ) النقطة ونهايتها ( طرفها ) النقطة ب ونرمز‬ ‫الم�ستقيمة‬ ‫‪.‬‬ ‫لـها بالرمز‬ ‫‪.‬‬ ‫ب�أنه طول القطعة الم�ستقيمة‬ ‫ويع َّرف طول‬

‫هذا التعريف يعني � َّأن القطعة الموجهة‬ ‫نقطة المبد�أ واالتجاه من �إلى ب والطول‬

‫‪60‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫تماما بثالثة عنا�صر وهي ‪:‬‬ ‫تتح َّدد ً‬

‫الم�ستوي‬ ‫في الم�ستوي‬ ‫هات في‬ ‫المتتَّجَِّجِ هات‬ ‫الم‬ ‫(‪)2-2‬‬ ‫‪ 1‬نم ِّثل القطعة الموجهة هند�س ًّيا ب�سهم يتجه من نقطة المبد�أ �إلى نقطة النهاية ‪ ,‬انظر �شكل ( ‪) 4-2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 4-2‬‬

‫تنطب ��ق فيه ��ا نقطة المبد�أ على نقطة النهاي ��ة ولي�س لـها اتجاه مع َّين‬ ‫‪ 2‬القطع ��ة الموجه ��ة‬ ‫وطولها ي�ساوي ال�صفر ؛ لذلك ن�سميها القطعة الموجهة ال�صفرية‪.‬‬ ‫ويع َّرف ت�ساوي القطع الموجهة كـما يلي ‪:‬‬

‫تعريف ( ‪)5 -2‬‬ ‫نقول عن قطعتين موجهتين‬

‫�إنهما مت�ساويتان ‪� ,‬إذا كـان ‪:‬‬

‫�أ َّمـا توازي وتعامد القطع الموجهة فيع َّرف با�سـتخدام التوازي والتعامد في الم�ستقيمات كـما يلي ‪:‬‬

‫تعريف ( ‪)6 -2‬‬ ‫لتـكن‬ ‫� َّإن‬

‫نقـــــول‬ ‫قطعتيـــــن موجهتيــــــــــن بحيث‬ ‫‪ ,‬ونقول �إنهما متعامدتان في حالة‬ ‫متوازيتان في حالة‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪61‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫مثال (‪)4-2‬‬ ‫في ال�شكـل ( ‪) 5 -2‬‬

‫بينـما‬

‫لي�سـت موازية ل ٍّأي منـها ‪.‬‬ ‫لهما االتجاه نف�سـه‬

‫نقول �أ َّن‬ ‫و�أ َّن‬

‫م�ضادة لهما في االتجاه ‪.‬‬

‫�أ َّما‬

‫فلي�ست في اتجاه � ٍّأي من هذه القطع الموجهة المتوازية ‪.‬‬

‫وتج���در الإ�ش���ارة �إل���ى �أ َّن‬ ‫الموجهة من اتجا ٍه ما �إلى‬ ‫انظر �شكـل ( ‪) 6-2‬‬

‫يك���ون لهم���ا االتج���اه نف�س���ه �إذا وفق���ط �إذا كانت الزاوية‬ ‫م�ساوية للزاوية الموجهة من االتجاه نف�سه �إلى‬

‫متوازيتان وفي االتجاه نف�سه‬

‫غير متوازيتين ومختلفتان في االتجاه‬

‫متوازيتان ومت�ضادتان في االتجاه‬

‫‪180‬‬ ‫�شـكل ( ‪) 6-2‬‬

‫‪62‬‬

‫�شـكل ( ‪) 5-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الم�ستوي‬ ‫في الم�ستوي‬ ‫هات في‬ ‫المتتَّجَِّجِ هات‬ ‫الم‬ ‫تعريف ( ‪)7 -2‬‬ ‫ونكتب ‪:‬‬ ‫ت�ساير القطعة الموجهة‬ ‫نقول � َّإن القطعة الموجهة‬ ‫لهـما االتجاه نف�سـه ‪.‬‬ ‫�إذا كـان‬ ‫�أي � َّأن القطعتين الموجهتين تكـونان مت�سـايرتين �إذا كـان لهـما الطـول نف�سه واالتجاه نف�سـه ‪.‬‬

‫مثال (‪)5-2‬‬ ‫في ال�شكل ( ‪ ) 7-2‬متوازي �أ�ضالع‬

‫فيه ‪:‬‬

‫لأ َّن القطعتي���ن الموجـهتي���ن‬ ‫مت�ساويتان في الطول ومتوازيتان‬ ‫(م���ن خ�صائ����ص مت���وازي الأ�ض�ل�اع ) كما لهـم���ا االتجاه‬ ‫نف�سه ‪.‬‬

‫�شـكل ( ‪) 7-2‬‬

‫تدريب (‪)2-2‬‬ ‫في المثال ( ‪) 5-2‬‬ ‫؟‬ ‫ما هي القطعة الموجهة الم�سايرة للقطعة الموجهة‬ ‫حددها �إن وجدت ‪.‬‬ ‫هل هناك قطع موجهة �أخرى مت�سايرة ؟ ِّ‬

‫(‪)3-2‬‬ ‫وكانت النقـــاط‬ ‫�إذا كانت‬ ‫متوازي �أ�ضالع ( لماذا ؟ )‬

‫لي�ست على ا�ســـــــتقامة واحدة ف� َّإن‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪63‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫وفي الواقع هناك طريقة عملية تم ِّكننا با�ستخدام الإحداثيات من الحكم على � ِّأي قطعتين موجهتين في‬ ‫الم�ستوي الإحداثي من حيث كونهما مت�سايرتين �أم ال ؟‬ ‫وتت�ضح هذه الطريقة من خالل النظرية التالية ‪:‬‬

‫نظرية (‪)2-2‬‬ ‫�إذا كـانت‬

‫ً‬ ‫نقاطا في الم�ستوي الإحداثي ف� َّإن ‪:‬‬

‫مثال (‪)6-2‬‬ ‫متـ���وازي �أ�ض�ل�اع كـم���ا ف���ي‬ ‫�إذا كـ���ان‬ ‫�شكل ( ‪ ) 8-2‬ف�أثبت با�ستخدام نظرية ( ‪) 2-2‬‬ ‫�أ َّن‬

‫الحل‬

‫تدريب (‪)3-2‬‬ ‫في المثال ال�سـابق ‪ ,‬با�ستخدام نظرية ( ‪� ) 2-2‬أثبت � َّأن ‪:‬‬

‫‪64‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫�شـكل ( ‪)8-2‬‬

‫الم�ستوي‬ ‫في الم�ستوي‬ ‫هات في‬ ‫المتتَّجَِّجِ هات‬ ‫الم‬ ‫مثال (‪)7-2‬‬ ‫لتكن = ( – ‪ , ) 3 , 2‬ب = ( ‪ , ) 1 , 2‬جـ = ( ‪ , ) 2 , 4‬د = ( ‪) 4 , 0‬‬ ‫�أثبت �أ َّن ب جـ د متوازي �أ�ضالع مع التو�ضيح بالر�سم ‪.‬‬

‫الحل‬ ‫يك ��ون ال�ش ��كل ب جـ د مت ��وازي �أ�ضالع �إذا ُوج ��دت فيه قطعتان موجهت ��ان مت�سايرت ��ان ‪ ,‬وباختيار � ِّأي‬ ‫ي�ســـــاعدنا‬ ‫( الر�سم المبدئي‬ ‫قطعتين موجهتين متقابلتين مثل‬ ‫في االختيار ) نجد � َّأن ‪:‬‬

‫متوازي �أ�ضالع‬ ‫يو�ضح ذلـك ‪.‬‬ ‫وال�شكل ( ‪ِّ ) 9-2‬‬

‫�شـكل ( ‪)9-2‬‬

‫مثال (‪)8-2‬‬ ‫�إذا كانـ ـ ــت‬

‫�أوجـ ــد د بحيث تكــون‬

‫الحل‬

‫تدريب (‪)4-2‬‬ ‫�إذا كان ��ت النق ��اط ‪ ,‬ب ‪ ,‬ج� �ـ كمـا في المثال ال�سابق ف�أوجد النقط ��ة د بحيث يكون ب جـ د متوازي‬ ‫�أ�ضالع ‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪65‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫نتيجة (‪)2-2‬‬ ‫�إذا كان ال�شكل و ن‪ 1‬ن ن‪ 2‬متوازي �أ�ضالع ف� َّإن ن = ن‪+ 1‬‬

‫ن‪2‬‬

‫ن‬

‫ن‪2‬‬

‫الـبرهان‬ ‫في ال�شكل ( ‪) 10-2‬‬ ‫و ن‪ 1‬ن ن‪ 2‬متوازي �أ�ضالع‬

‫ن‪ 2‬ن‬

‫و ن‪1‬‬

‫ن‪1‬‬

‫ن ‪ -‬ن‪ = 2‬ن‪ - 1‬و‬ ‫ن = ن‪+ 1‬‬

‫�شـكل ( ‪) 10-2‬‬

‫ن‪2‬‬

‫وعلى �ضوء هذه النتيجة يمكننا تف�سير عملية جمع نقطتين هند�س ًّيا كمـا يلي ‪:‬‬ ‫حا�صل جمع نقطتين ن‪ , 1‬ن‪ 2‬هو ‪:‬‬ ‫الر�أ�س الثالث لمتوازي الأ�ضالع الذي ر�أ�سه الأول و ‪ ,‬ور�أ�سه الثاني ن‪ 1‬ور�أ�سه الرابع ن‪. 2‬‬

‫مثال (‪)9-2‬‬ ‫�إذا كانت ‪ ) 3 , 1 ( = 2 ,) 4 , 1- ( = 1‬ف�أوجد بحيث يكون و‬ ‫ِّ‬ ‫و�ضح �إجابتك بالر�سم‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ 2‬متوازي �أ�ضالع ‪.‬‬

‫الحل‬

‫و‬

‫‪1‬‬

‫‪ 2‬متوازي �أ�ضالع‬ ‫‪+ =1‬‬

‫‪2‬‬

‫= ‪) 1 , 2– ( = ) 3 , 1 ( – ) 4 , 1– ( = -‬‬ ‫انظر �شكل ( ‪) 11-2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 11-2‬‬

‫‪66‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الم�ستوي‬ ‫في الم�ستوي‬ ‫هات في‬ ‫المتتَّجَِّجِ هات‬ ‫الم‬

‫المتجهات في الم�ستوي‬ ‫مثال (‪)10-2‬‬ ‫ف� َّإن ‪:‬‬ ‫�أي � َّأن ‪:‬‬ ‫يو�ضح تمثيل القطع‬ ‫وال�شكل ( ‪ِّ ) 12-2‬‬ ‫في الم�سـتوي الإحـداثي ‪.‬‬

‫�شـكل ( ‪) 12-2‬‬

‫م ِّثل القطعة الموجهة‬

‫بحيث تكون م�سايرة للقطعة الموجهة‬

‫من النقطة‬ ‫م ِّثل القطعة الموجهة ح ط الم�سايرة للقطعة الموجهة ب ‪.‬‬

‫ب ‪.‬‬

‫لعل ��ك تو�صل ��ت �إل ��ى �أنَّ هناك عدد ال نهائي م ��ن القطع الموجهة التي ت�ساير القطع ��ة الموجهة ب ‪.‬‬ ‫ت�س َّمى مجموعة هذه القطع الموجهة المت�سايرة متَّجِ ًها ‪.‬‬

‫تعريف ( ‪)8 -2‬‬ ‫المتج ��ه في الم�ستوي ه ��و مجموعة غير منتهية من القطع الموجه ��ة المت�سايرة ويرمز للمتجه الذي‬ ‫يحوي القطعة الموجهة‬

‫بالرمز‬

‫فيكون‬

‫كما نرمز لمجموعة المتجهات في الم�ستوي بالرمز‬

‫‪.‬‬

‫يو�ضـح هذا التعريف ‪.‬‬ ‫وال�شـكل ( ‪ِّ ) 13-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪67‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫�شـكل ( ‪) 13-2‬‬

‫(‪)4-2‬‬ ‫‪ 1‬المتج ��ه ف ��ي الم�ستوي ه ��و مجموعة غير منتهية من القط ��ع الموجهة المتوازية له ��ا نف�س الطول‬ ‫واالتجاه ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫(لماذا) ؟‬

‫‪3‬‬ ‫وح�سب النظرية ( ‪ ) 2–2‬يمكننا كتابة ‪:‬‬ ‫يم َّثل هند�س ًّيا بالقطعة الموجهة‬ ‫المتجه‬

‫‪68‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫�أو � ِّأي قطعة موجهة �أخرى ت�سايرها ‪.‬‬

‫الم�ستوي‬ ‫في الم�ستوي‬ ‫هات في‬ ‫المتتَّجَِّجِ هات‬ ‫الم‬

‫ال�صورة القيا�سية للمتجه‬ ‫ك ُّل متج ��ه‬

‫يحت ��وي قطع ��ة موجه ��ة مبد�ؤها �أ�صل المحوري ��ن و ( ‪ ) 0 , 0‬وطرفها =‬

‫وهي القطعة الموجهة‬ ‫وبذلك يكون‬

‫( لماذا ؟ )‬

‫=‬

‫�أي � َّأن ‪:‬‬

‫ف�إنه يوجد‬

‫ت�س َّمى ال�صورة‬ ‫بالتمثيل القيا�س ��ي‬ ‫فمث ًال ‪:‬‬ ‫�إذا كان ��ت =‬ ‫ف�إنه توجد نقطة‬ ‫بحيث يكون‬

‫بحيث‬

‫بال�صورة القيا�سية للمتجه‬

‫=‬

‫وي�س َّمى تمثيل المتجه‬

‫=‬ ‫بالقطعة‬

‫=‬ ‫=‬ ‫=‬

‫(‪)5-2‬‬

‫=‬

‫=‬ ‫انظر �شكل ( ‪. ) 14-2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 14-2‬‬

‫يمكن التعبير عن مجموعة المتجهات في الم�ستوي با�ستخدام ال�صورة القيا�سية للمتجه على النحو التالي ‪:‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫و�إذا اخت�صرنا ال�صورة‬ ‫�أن نكتب ‪= :‬‬

‫�إلى ال�صورة ( وت�س َّمى ال�صورة القيا�سـية المخت�صرة للمتجه) ف�إنه يمكننا‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪69‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫التعبير عن المتجهات با�ستخدام الم�صفوفات‬ ‫�إذا ع َّرفن ��ا ال َّدال ��ة د‪:‬‬ ‫نوع التقابل ( لماذا ؟ )‬

‫بالقاع ��دة ‪ :‬ن‬

‫ن ن‬

‫نجـ ��د � َّأن هـ ��ذه ال َّدال ��ة م ��ن‬

‫وه ��ذا يعن ��ي � َّأن هناك تقاب ًال بي ��ن مجموعة المتجهات ف ��ي الم�ستوي ومجموعة نق ��اط الم�ستوي مع َّرفًا‬ ‫بالقاعدة ‪:‬‬ ‫=ن‬

‫ن= ‪-‬‬

‫ن‬

‫لذا ف�إنه من الممكن تحديد بمعرفة �إحداثيي النقطة ب ‪ -‬ويكون من المنا�سب كتابة‬ ‫ون�سميهما ُمر ِّكبتَي‬ ‫ِّ‬ ‫�شكل م�صفوفة عمود من الرتبة ‪ 1 × 2‬عن�صراها هما �إحداثيا النقطة ب‪-‬‬

‫=‬

‫=‬

‫على‬ ‫‪.‬‬

‫=‬

‫ =‬‫(‪)6-2‬‬ ‫‪ 1‬‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫�أي �أنه يت�ساوى متجهان �إذا وفقط �إذا ت�ساوت مركبتاهما ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪� 3‬إذا ع َّرفن ��ا مي ��ل المتج ��ه‬ ‫حيث = =‬

‫‪70‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫=‬ ‫ب�أن ��ه مي ��ل الم�ستقي ��م‬

‫نج ��د � َّأن ‪ :‬ميل المتج ��ه‬

‫=‬

‫‪,‬‬

‫الم�ستوي‬ ‫في الم�ستوي‬ ‫هات في‬ ‫المتتَّجَِّجِ هات‬ ‫الم‬

‫طول المتجه واتجاهه‬ ‫نع ِّرف طول المتجه‬

‫ورمزه‬

‫�إذا كانت =‬ ‫وبفر�ض � َّأن‬

‫ب�أنه الطول‬

‫‪ ,‬وهذا يعني �أنه ‪:‬‬

‫=‬ ‫=ن‬

‫�أم ��ا اتج ��اه المتج ��ه‬

‫=‬ ‫‪ ,‬وعندها يكون‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫=‬

‫ف� َّإن‬

‫‪+‬‬

‫فتح � ِّ�دده الزاوي ��ة الموجه ��ة م ��ن ن�ص ��ف المح ��ور ال�سين ��ي الموج ��ب �إلى‬

‫‪ ,‬حيث =‪360‬‬

‫انظر ال�شكل ( ‪) 15 -2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 15-2‬‬

‫يحدد‬ ‫� َّإن النقطة ن ( ‪ ) ،‬هي النقطة المرتبط بها مثلث المرجع للزاوية ‪ ,‬و موقع هذه النقطة ِّ‬ ‫موقع الزاوية وعليه ف�إنه يمكننا ح�ساب قيمة من العالقة ظـا = ‪ ,‬وفي حالة كون النقطة ن‬ ‫( ‪ ) ،‬واقعة على �أحد المحورين ف� َّإن الزاوية تكون زاوية ربعية وتتح َّدد قيمتها ب�سهولة ‪.‬‬ ‫ى ف� َّإن‬ ‫ومن الجدير ذكره �أنه‬ ‫( لذلك ن�س ِّميه المتجه ال�صفري )‬

‫= ‪ 00‬وطوله ي�ساوي ال�صفر‬

‫ولي�س له اتجاه مع َّين ‪ ,‬ونرمز له بالرمز ‪ 0‬حيث ‪= 0‬‬

‫= نن =‬

‫=‬

‫(‪)7-2‬‬ ‫يمكننا التعبير عن‬

‫بداللة الزاوية على النحو التالي ‪:‬‬

‫=‬

‫(لماذا ؟ )( ‪) 2-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪71‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫مثال (‪)11-2‬‬ ‫كم�صفوف���ة ث��� َّم �أوج���د طول���ه وح��� ِّدد‬

‫�إذا كـان���ت = ( ‪ , ) 1 , 4‬ب = ( ‪ . ) 2- , 1‬فاكت���ب المتج���ه‬ ‫اتجاهه مع التو�ضيح بالر�سم ‪.‬‬

‫الحل‬ ‫=‬ ‫=‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫=‬

‫نحدد الزاوية هـ كما يلي ‪:‬‬ ‫ولتحديد اتجاه المتجه ب ِّ‬ ‫=‬

‫زاوية المرجع للزاوية هي ع = ‪45‬‬

‫=‬

‫و بما � َّأن تقع في الربع الثالث ؛ ل ِّأن ( ‪ ) 3 , 3‬تقع في الربع الثالث ‪.‬‬ ‫� ًإذا = ‪225 = 45 + 180‬‬ ‫وه ��ذا يعن ��ي � َّأن‬ ‫ذلك ‪.‬‬

‫يو�ضح‬ ‫ي�صنع زاوية ‪ 225‬مع االتج ��اه الموجب للمحور ال�سيني وال�شكل ( ‪ِّ ) 16-2‬‬

‫‪225‬‬

‫ن‬ ‫ع ِّبر عن‬

‫بداللة الزاوية‬

‫�شـكل ( ‪) 16-2‬‬

‫تدريب (‪)5-2‬‬ ‫في المثال ال�سابق اكتب‬

‫‪72‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫وحدد اتجاهه ‪.‬‬ ‫كم�صفوفة َّثم �أوجد طوله ِّ‬

‫الم�ستوي‬ ‫في الم�ستوي‬ ‫هات في‬ ‫المتتَّجَِّجِ هات‬ ‫الم‬

‫التوازي والتعامد في المتجهات‬ ‫تعريف ( ‪)9 -2‬‬ ‫‪,‬‬

‫نقول عن المتجهين غير ال�صفريين‬ ‫‪ 1‬متوازيان ونكتب‬

‫�إنهما ‪:‬‬

‫�إذا كان‬ ‫�إذا كان‬

‫‪ 2‬متعامدان ونكتب‬

‫� َّإن هذا التعريف يتوافق مع تعريف التوازي والتعامد للقطع الموجهة ‪.‬‬

‫مثال (‪)12-3‬‬ ‫‪3‬‬‫=‬ ‫‪6‬‬

‫بفر �ض � َّأن‬ ‫ميل‬

‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪4-‬‬

‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬

‫ف�إنه ح�سب الملحوظة ( ‪ ) 6-2‬يكون ‪:‬‬

‫‪ 2- = 4‬ميل‬‫= ‪2‬‬

‫= ‪ 2- = 3-‬ميل‬

‫=‬ ‫وعليه ف� َّإن‬

‫= ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪2-‬‬ ‫= ‪2-‬‬

‫=‪1-‬‬

‫( لماذا ؟ )‬

‫مثال (‪)13-2‬‬ ‫�إذا كان‬

‫= ‪2‬‬ ‫‪5-‬‬

‫=‬

‫الحل‬ ‫=‬ ‫=‬

‫( لماذا ؟ )‬ ‫=‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪73‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫العمليات على مجموعة المتجهات في الم�ستوي‬

‫� َّإن م ��ن فوائ ��د تمثيلنا المتجه ��ات بم�صفوفات �أنن ��ا ن�ستطيع توظي ��ف العمليات الجبرية الت ��ي �سبق لنا‬ ‫درا�ستها على الم�صفوفات في درا�ستنا للمتجهات ‪.‬‬

‫تعريف ( ‪)10 -2‬‬ ‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫ف� َّإن حا�صل �ضرب المتجه‬

‫بالعدد الحقيقي ك هو المتجه ‪:‬‬

‫=‬

‫� َّإن هذا التعريف يعني � َّأن ‪:‬‬

‫‪-‬‬

‫نتيجة (‪)3-2‬‬ ‫=‬

‫مثال (‪)14-2‬‬ ‫وم ِّثل ذلك هند�س ًّيا ‪.‬‬

‫�إذا كـانت = ( ‪ , ) 1 , 5‬ب = ( ‪ ) 3 , 9‬ف�أوجد‬

‫الحل‬ ‫=‬

‫=‬ ‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫يو�ضح التمثيل الهند�سي ٍّ‬ ‫لكل من المتجهات‬ ‫وال�شكل(‪ِّ )17-2‬‬ ‫قيا�س ًّيا وذلك بالقطع الموجهة و ن ‪ ,‬و ن‪ , 1‬و ن‪ 2‬على الترتيب ‪.‬‬

‫‪74‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫=‬

‫=‬ ‫تمثي ًال‬

‫الم�ستوي‬ ‫في الم�ستوي‬ ‫هات في‬ ‫المتتَّجَِّجِ هات‬ ‫الم‬ ‫ن‬

‫ن‬

‫ن‬ ‫ن‬ ‫ن‬

‫ن‬ ‫�شـكل ( ‪) 17-2‬‬

‫والآن يمكننا على �ضوء هذا المثال وا�ستنا ًدا �إلى التعريف ( ‪ ) 10-2‬التو�صل �إلى النتيجة التالية ‪:‬‬

‫نتيجة (‪)4-2‬‬ ‫‪� 1‬إذا كان‬

‫ف� َّإن قيمة‬

‫تحدد اتجاه المتجه‬ ‫ِّ‬ ‫في اتجاه المتجه‬

‫على النحو التالي ‪:‬‬ ‫نف�سه‬

‫في اتجاه م�ضاد للمتجه‬ ‫يو�ضح � َّأن المتجه ‪2‬‬ ‫و ال�شكل (‪ِّ )17 -2‬‬

‫بينما المتجه( )‬

‫في اتجاه المتجه‬

‫في‬

‫اتجاه م�ضاد للمتجه‬ ‫�إذا كان ك = ‪ 0‬ف� َّإن ك ب هو ‪ ...........‬واتجاهه ‪� (.....................‬أكمل الفراغ )‬ ‫يو�ضح � َّأن طول المتجه ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ,‬و ال�شكل ( ‪ِّ ) 17 -2‬‬ ‫=‬ ‫طول المتجه بينما طول المتجه ( ) ي�ساوي ن�صف طول المتجه ‪.‬‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫ي�ساوي �ضعف‬

‫=‬ ‫=‬

‫=‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪75‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫يكون ��ان عل ��ى ا�ستقام ��ة واح ��دة عن ��د تمثيلهما قيا�س ًّيا ‪ ,‬فمن ال�شكل (‪) 17-2‬‬ ‫‪ 3‬ك‬ ‫‪,‬‬ ‫على ا�ستقامة واحدة في تمثيلها القيا�سي حيث‬ ‫يت�ضح � َّأن المتجهات‬ ‫و ‪ ,‬ن ‪ ,‬ن‪ , 1‬ن‪ 2‬على ا�ستقامة واحدة ‪.‬‬ ‫‪ 4‬ك ُّل م�ستقيم يحوي المتجه ك‬ ‫ب َو و ن‪ 2‬ب‬ ‫و ن‪1‬‬

‫يكـون موازيـًا للم�ستقيم‬

‫‪ ,‬ومن ال�شكـل ( ‪ ) 17-2‬يت�ضـح � َّأن‬

‫تو�ضح � َّأن ناتج �ضرب متجه بعدد حقيقي هو متجه موازٍ له ‪.‬‬ ‫والنظرية التالية ِّ‬

‫نظرية (‪)3-2‬‬ ‫جـ د �إذا وفقط �إذا كان‬

‫‪ ,‬جـ د متجهان غير �صفريين‪,‬‬

‫= ك جـ د حيث‬

‫ك‬

‫تدريب (‪)6-2‬‬ ‫‪) -3‬‬ ‫=( ‪2‬‬

‫في المثال ( ‪ ) 12-2‬تحقَّق من � َّأن ‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫(‪)8-2‬‬ ‫=‬

‫ل ِّأي متجهين غير �صفريين‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪� 1‬إذا كان ��ت �إح ��دى مركبت ��ي‬ ‫ت�ساوي ال�صفر‪.‬‬ ‫في‬

‫ت�س ��اوي ال�صف ��ر ف� �� َّإن ‪:‬‬

‫‪� 2‬إذا كا ن ��ت ك ٌّل م ��ن مركبت ��ي‬

‫مغا ي ��رة لل�صف ��ر ف� �� َّإن ‪:‬‬

‫ٍ‬ ‫وعندئذ ك =‬

‫ففي المثـال ( ‪ ) 12-2‬يمكن ا�ستنتاج � َّأن‬

‫كما يمكن ا�ستنتاج � َّأن‬

‫‪76‬‬

‫‪1‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫نجد �أنه ‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪,‬‬

‫مت�ضادان في االتجاه ب� َّأن ك = ‪3-‬‬

‫المركبة المناظرة‬

‫=‬ ‫ب� َّأن ‪3-‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬‫‪.‬‬

‫الم�ستوي‬ ‫في الم�ستوي‬ ‫هات في‬ ‫المتتَّجَِّجِ هات‬ ‫الم‬ ‫مثال (‪)15-2‬‬ ‫الموازي للمتجه =‬

‫�أوجد المتجه‬

‫= ‪ 10‬وحدات ‪.‬‬

‫‪� ,‬إذا علمت �أ َّن‬

‫الحل‬ ‫=‬

‫نظرية ( ‪) 3-2‬‬

‫=‬

‫=‬ ‫=‬

‫نتيجة ( ‪) 4-2‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫=‬

‫( معطى )‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬ ‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫في اتجاه ‪� ,‬أ َّما في حالة ك = ‪ 2‬فيكون في اتجاه م�ضاد ِلـ‬

‫�أنه في حالة ك = ‪ 2‬يكون‬

‫‪.‬‬

‫تعريف ( ‪)11 -2‬‬ ‫�إذا كان‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫� َّإن هذا التعريف يعني � َّأن ‪:‬‬

‫مح�صلتهما ) هو المتجه ‪:‬‬ ‫ف� َّإن مجموعهما ( ِّ‬

‫=‬ ‫=‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪77‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫مثال (‪)16-2‬‬ ‫=‬ ‫�إذا كـانت =‬ ‫�أوجد ‪ +‬وم ِّثل ذلك هند�س ًّيا ‪.‬‬

‫=‬

‫=‬

‫الحل‬

‫=‬ ‫‪+‬‬

‫=‬ ‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬ ‫=‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫=‬

‫=‬

‫يو�ضـح التمثيل الهند�سي ٍّ‬ ‫لكل من المتجهات‬ ‫وال�شكل ( ‪ِّ ) 18-2‬‬ ‫قيا�س ًّيا وذلك بالقطع الموجهة [ و ن‪ [ , 1‬و ن‪ [ , 2‬و ن على الترتيب ‪.‬‬

‫‪+‬‬

‫تمثي ًال‬

‫‪+‬‬

‫�شـكل ( ‪) 18-2‬‬

‫� َّأن ال�شكل و ن‪ 1‬ن ن‪ 2‬متوازي �أ�ضالع ؛ ل َّأن فيه قطعتين موجهتين مت�سايرتين مثل [ ن‪ 1‬ن‬

‫حيث ن – ن‪= ) 3 , 2 ( = ) 1 , 4 ( – ) 4 , 6 ( = 1‬‬ ‫أي�ضا � َّأن مجموع المتجهين ن‪ , 1‬ن‪ 2‬هو ن قط ٌر في متوازي الأ�ضالع ‪.‬‬ ‫والحظ � ً‬

‫‪ [ ,‬و ن‪2‬‬

‫ن‪2‬‬

‫وعل ��ى �ض ��وء هذا المثال ف�إنه يمكننا ا�ستخدام ما ي�س َّمى بطريقة متـ���وازي الأ�ضالع للح�صول على مجـموع‬ ‫متجـهين‬ ‫تو�ضحهاالنظريـةالتـالية‪:‬‬ ‫هند�سـ ًّياوالتي ِّ‬ ‫‪+‬‬

‫‪78‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الم�ستوي‬ ‫في الم�ستوي‬ ‫هات في‬ ‫المتتَّجَِّجِ هات‬ ‫الم‬ ‫نظرية (‪)4-2‬‬ ‫�إذا كان ‪ ,‬جـ د متجهين في الم�سـتوي وكان هـ ن‪ 1‬ن ن‪ 2‬متوازي �أ�ضالع‬ ‫حيث هـ ن‪ = 1‬ب ‪ ,‬هـ ن‪ = 2‬جـ د ف� َّإن ‪ :‬ب ‪ +‬جـ د = هـ ن‬

‫الـبرهان‬

‫�سنكتفي ب�إثبات هذه النظرية في الم�ستوي الإحداثي عندما تكون هـ هي نقطة الأ�صل ( وهذه هي الحالة التي‬ ‫ن‬ ‫ت�ستخدم عاد ًة )‬ ‫و ن‪ 1‬ن ن‪ 2‬متوازي �أ�ضالع‬ ‫ن‬ ‫ن = ن‪+ 1‬‬

‫ن‪2‬‬

‫ن‬

‫و ن = و ن‪ + 1‬و ن‪ = 2‬ب ‪ +‬جـ د‬ ‫انظر ال�شكل ( ‪) 19-2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 19-2‬‬

‫(‪)9-2‬‬

‫‪َّ � 1‬إن هذه النظرية ال تناق�ش الحالة التي يكون فيها ب ‪ //‬جـ د والتي فيها تكون النقاط و ‪ ,‬ن‪ , 1‬ن‪ 2‬على‬ ‫ا�ستقامة واحدة مما يتعذر معه �إن�شاء متوازي الأ�ضالع ‪.‬‬ ‫‪ 2‬هـ ن‪ 1‬ن ن‪ 2‬متوازي �أ�ضالع‬ ‫‪ 3‬ا�ستن ��ا ًدا �إل ��ى طريقة متوازي الأ�ضـالع يمكننا تحليل المتج ��ه ب هند�س ًّيا �إلى مجموع متـجهين‬ ‫)يو�ضـح‬ ‫مبد�ؤهم ��ا وذل ��ك بجع ��ل ب قط ًرا في متـوازي �أ�ضـالع ن‪ 1‬ب ن‪ , 2‬وال�شـكل ( ‪ِّ 20-2‬‬ ‫تحـليلين مختـلفين للمتـجه ب ‪.‬‬ ‫هـ ن =‬

‫م ِّثل تحلي ًال�آخر للمتجه‬

‫هـ ن‪ + 1‬هـ ن‪2‬‬

‫= ن ‪ +‬ن‬

‫�شـكل ( ‪) 20-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪79‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫نتيجة (‪)5-2‬‬

‫( قاعدة المثلث )‬

‫ل ِّأي مثلث ب جـ يكون ‪:‬‬

‫الـبرهان‬ ‫باختيار د بحيث يكون د = ب جـ كما في ال�شكل ( ‪) 21-2‬‬ ‫يكون ب جـ د متوازي �أ�ضالع ؛ ل َّأن د‬

‫ب جـ‬

‫�شكل ( ‪) 21-2‬‬

‫( ملحوظة ( ‪) ) 9-2‬‬

‫ومن الجدير بالذكر �أنه يمكننا ب�سهولة التحقق جبر ًيا من � َّأن ‪:‬‬

‫‪, ,‬‬

‫وذلك ب� َّأن ‪:‬‬ ‫�أكمل الفراغ فيما يلي ‪:‬‬ ‫‪........... ...........‬‬ ‫والآن �إذا ت�أملن ��ا قاعدة المثلث يت�ضح لنا � َّأن مجموع متجهين‬ ‫متتاليي ��ن ب ‪ ,‬ب ه ��و متج ��ه مبد�ؤه ( مبد�أ المتجه‬ ‫الأول ) وطرف ��ه ( ط ��رف المتجه الثاني ) وعلى �ضوء هذه‬ ‫القاع ��دة يمكنن ��ا تقديم طريق ��ة هند�سية جدي ��دة لجـمع � ِّأي‬ ‫�شكل ( ‪) 22-2‬‬ ‫متجـهين ب ‪ ,‬جـ د تُـعرف‬ ‫بطريق���ة المثل���ث ويت ��م فيه ��ا تعيـين نقطة هـ في الم�ستوي ‪ُ ,‬ير�سم منه ��ا متجه هـ ن = ب ثم ُير�سم‬ ‫من ن متجه‬

‫فيكون ب‬ ‫كما في ال�شكل (‪)22-2‬‬

‫‪80‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الم�ستوي‬ ‫في الم�ستوي‬ ‫هات في‬ ‫المتتَّجَِّجِ هات‬ ‫الم‬ ‫مثال (‪)17-2‬‬ ‫لتكن = ( ‪ , ) 0 , 4‬ب = ( ‪ , ) 1 , 3- ( = , ) 1 , 8‬د = ( ‪ ) 4 , 1-‬كما في المثال ( ‪. ) 16-2‬‬ ‫م ِّثل ب ‪ +‬جـ د هند�س ًّيا با�ستخدام طريقة المثلث بحيث تكون ب �أحد �أ�ضالع المثلث ‪.‬‬

‫الحل‬

‫�شـكل ( ‪) 23-2‬‬

‫�أننا م َّثلنا المتجه جـ د بالقطعة ب هـ الم�سايرة للقطعة جـ د (يمكن تحديد هـ جبر ًّيا اعتما ًدا على � َّأن‬ ‫وب�إكم ��ال ر�س ��م المثل ��ث ب ح�صلن ��ا عل ��ى ب‬

‫د المم َّث ��ل بالقطع ��ة‬

‫‪ .‬انظ ��ر �شـ ��كل ( ‪) 23-2‬‬

‫(‪)10-2‬‬ ‫ا�ستنا ًدا �إلى قاعدة المثلث في جمع متجهين ‪ ,‬يمكننا تحليل � ِّأي متجه ب �إلى مجموع متجهين متتاليين‬ ‫يو�ضح تحليلين مختلفين للمتجه ب ‪.‬‬ ‫مبد�أ الأول منهما هو وطرف الثاني هو ب وال�شكل ( ‪ِّ ) 24-2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 24-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪81‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫خوا�ص جمع المتجهات و�ضربها بعدد حقيقي‬ ‫اعتما ًدا على خوا�ص عمليتَي جمع الم�صفوفات و�ضربها بعدد حقيقي يمكننا ا�ستنتاج ما يلي ‪:‬‬ ‫‪ 1‬‬

‫( عملية جمع المتجهات �إبدالية )‬ ‫(عملية جمع المتجهات تجميعية )‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫وهذا يعني � َّأن لعملية جمع المتجهات عن�صر محايد هو‬

‫‪4‬‬

‫وهذا يعني � َّأن ِّ‬ ‫لكل متجه‬ ‫بالرمز‬

‫معكو�س جمعي هو‬

‫ونكتب‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬

‫(‪)11-2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫لهما الطول نف�ســــه ومت�ضــــــــادان في االتجاه‬ ‫هو المعكو�س الجمعي‬ ‫‪� 2‬إذا كانت‬

‫‪82‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫على ا�ستقامة واحدة ‪ ,‬ف� َّإن ‪:‬‬

‫ويرمز له‬

‫الم�ستوي‬ ‫في الم�ستوي‬ ‫هات في‬ ‫المتتَّجَِّجِ هات‬ ‫الم‬ ‫مثال (‪)18-2‬‬ ‫ثالث نقاط في الم�ستوي لي�ست على ا�ستقامة واحدة وكانت‬

‫�إذا كانت‬ ‫منت�صف‬ ‫�أثبت �أ َّن ‪:‬‬

‫الحل‬

‫�شـكل ( ‪) 25-2‬‬

‫في ال�شكل ( ‪ ) 25-2‬نجد � َّأن‬

‫( قاعدة المثلث )‬

‫وكذلك‬

‫( قاعدة المثلث )‬

‫وبجمع‬

‫و‬

‫نح�صل على ‪:‬‬ ‫)‬

‫هو المعكو�س الجمعي‬ ‫( ل َّأن‬ ‫( خا�صية العن�صر المحايد )‬ ‫وعلى �ضوء هذا المثال نتو�صل للنتيجة التالية ‪:‬‬

‫نتيجة (‪)6-2‬‬ ‫�إذا كان‬ ‫المتجهين‬

‫متو�س ��ط ف ��ي المثل ��ث‬ ‫كما يلي ‪:‬‬

‫ف�إن ��ه يمك ��ن التعبي ��ر ع ��ن المتج ��ه‬

‫بدالل ��ة‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪83‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫مثال (‪)19-2‬‬ ‫متوازي �أ�ضالع ‪ ,‬هـ نقطة خارجه ‪ ,‬م نقطة‬ ‫تقاطع قطريه ‪ ,‬كما بال�شكـل ( ‪� ) 26-2‬أثبت �أ َّن ‪:‬‬ ‫�شـكل ( ‪) 26-2‬‬

‫الحل‬

‫متو�سط في‬

‫منت�صف‬

‫كذلك منت�صف‬

‫متو�سط في‬

‫مثال (‪)20-2‬‬ ‫ليكن‬ ‫�أثبت �أ َّن ‪:‬‬ ‫‪ 1‬‬

‫مثلثًا ولتكن‬

‫هما منت�صفا ال�ضلعين‬

‫على الترتيب ‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫الحل‬ ‫( قاعدة المثلث )‬ ‫( لماذا ؟ )‬ ‫( قاعدة المثلث )‬

‫�شـكل ( ‪) 27-2‬‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ا�ستخل�ص من هذا المثال خا�صية هند�سية للمثلث �سبق لك درا�ستها في المرحلة المتو�سطة ‪.‬‬

‫‪84‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫المتَّجِ هات في الم�ستوي‬ ‫تعريف ( ‪)12 -2‬‬ ‫ف� َّإن حا�صــل طرح المتجه‬

‫�إذا كان‬

‫من المتجه‬

‫هو المتجه ‪:‬‬

‫مثال (‪)21-2‬‬ ‫�أوجد‬

‫�إذا كان‬

‫مع التو�ضيح بالر�سم ‪.‬‬

‫الحل‬

‫يو�ض ��ح التمثي ��ل الهند�س ��ي ل � ٍّ‬ ‫�كل من ‪:‬‬ ‫وال�ش ��كل( ‪ِّ ) 28-2‬‬ ‫تمثي ًال قيا�ســــــــ ًّيا بالقطع‬ ‫على التـــرتيب‬ ‫الموجهة ‪:‬‬

‫و� َّأن‬

‫� َّأن ال�شكل‬ ‫هو �أحد �أ�ضالعه‪.‬‬

‫هو متوازي �أ�ضالع ( لماذا ؟ )‬ ‫�شـكل ( ‪) 28-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪85‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫(‪)12-2‬‬ ‫‪� 1‬إذا كان‬ ‫وكـان‬ ‫ف� َّإن ‪:‬‬

‫متوازي �أ�ضالع كما في ال�شكل ( ‪) 29-2‬‬ ‫هـما ال�صورتان القيا�سـيتان للمتجـهين‬ ‫على الترتيب وحيث � َّأن ‪:‬‬ ‫�شـكل ( ‪) 29-2‬‬

‫‪ 2‬ا�سـتنا ًدا �إلى طريقة المثلث لجم ��ع متجــهين ف�إنه يمكـــــــننا‬ ‫هند�ســـ ًّيا وذلك ب�أن نوجد نقطـــة‬ ‫�إيجـاد‬ ‫فنح�صل على المثلث‬ ‫بحيث يكـون‬ ‫كما في ال�شكل ( ‪ ) 30-2‬ويكون ‪:‬‬ ‫‪ 3‬يمكن تحليل المتجه �إلى فرق بين متجهين لهما المبد�أ‬ ‫نف�س ��ه وليكن ن بحي ��ث يكون ط ��رف الأول منهما ب وطرف‬ ‫الثاني ‪ ,‬ونكتب‬ ‫انظر �شكل ( ‪) 31-2‬‬ ‫وف ��ي الم�ستوي الإحداثي �إذا ا�سـتبدلنا النقطة و بالنقطة ن‪,‬‬ ‫يكـون ‪:‬‬ ‫واخت�صا ًرا نكتب‬ ‫انظر �شكل ( ‪. ) 32-2‬‬ ‫‪ 4‬ل ِّأي متجهين‬

‫�شـكل ( ‪) 30-2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 31-2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 32-2‬‬

‫يكون ‪:‬‬

‫( ت�سمى هذه المتباينة بمتباينة المثلث )‬ ‫وذلك ل َّأن مجموع المتجهين ( �أو الفرق بينهما ) يمكن تمثيله ب�أحد �أ�ضالع مثلث �ضلعاه الآخران‬ ‫يمثالن هذين المتجهين انظر ال�شكل ( ‪) 33-2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 33-2‬‬

‫متى يكون ‪:‬‬

‫‪86‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الم�ستوي‬ ‫في الم�ستوي‬ ‫هات في‬ ‫المتتَّجَِّجِ هات‬ ‫الم‬ ‫مثال (‪)22-2‬‬ ‫ل ِّأي �شكل رباعي ب جـ د �أثبت �أ َّن ‪:‬‬

‫الحل‬ ‫الطرف الأيمن‬ ‫( تعريف عملية الطرح )‬ ‫( خا�صية التجميع )‬ ‫( قاعدة المثلث )‬ ‫( خا�صية المعكو�س )‬

‫الطرف الأي�سر‬

‫مثال (‪)23-2‬‬ ‫�إذا كان‬ ‫ف�أثبت ما يلي ‪:‬‬ ‫‪ 1‬‬

‫مثلث فيه‬

‫على الترتيب‬

‫منت�صفات‬ ‫‪2‬‬

‫الحل‬ ‫‪ 1‬‬

‫منت�صف‬ ‫منت�صف‬ ‫بجمع‬

‫( لماذا ؟ )‬ ‫يكون ‪:‬‬

‫( نتيجة(‪) )26-2‬‬ ‫‪ 2‬بطرح‬

‫من‬

‫�شـكل ( ‪) 34-2‬‬

‫يكون ‪:‬‬

‫ا�ستنتج من المطلوب الأول م�س َّمى ال�شكل‬

‫( ملحوظة ( ‪) ) 12-2‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪87‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫‪ 1‬لتكن‬

‫تمارين (‪)1-2‬‬

‫�أوجد‬ ‫منت�صف‬

‫‪� 2‬أوجد النقطة ن بداللة النقطة فيما يلي ‪:‬‬

‫‪ 3‬بفر�ض � َّأن‬

‫‪4‬‬

‫�أثبت � َّأن ‪:‬‬

‫‪ ,‬ب ‪ ,‬جـ ثالث نقاط ‪ .‬اكتب جميع القطع الموجهة التي تع ِّينها هذه النقط ‪.‬‬

‫‪� 5‬إذا كانت ( –‪ , ) 3 ، 1‬ب ( ‪ , ) 5 ، 4‬جـ ( ‪ ) 3 ، 2‬ف�أوجـد ن = ( �س ‪� ،‬ص ) بحيث ‪:‬‬ ‫د‬

‫هـ‬

‫و�ضـح �إجابتك بالر�سم )‬ ‫( ِّ‬

‫‪ 6‬لتكـن‬ ‫�أثبت � َّأن ال�شكـل ب جـ د متوازي �أ�ضـالع ‪.‬‬ ‫‪ 7‬هل يمكن ترتيب النقط‬ ‫بحيث تكون ر�ؤو�س متوازي �أ�ضـالع ‪.‬‬

‫‪88‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫و‬

‫الم�ستوي‬ ‫في الم�ستوي‬ ‫هات في‬ ‫المتتَّجَِّجِ هات‬ ‫الم‬ ‫‪ 8‬بفر�ض � َّأن = ( ‪ , ) 4 ، 2‬ب = ( –‪ , ) 2 ، 1‬جـ = ( ‪ , ) 4 ، 5‬د = ( –‪) 2– , 1‬‬ ‫�أوجد منت�صف ٍّ‬ ‫كل من القطع‬ ‫�أنها تك ِّون ر�ؤو�س متوازي �أ�ضالع ‪ ,‬مع التو�ضيح بالر�سم ‪.‬‬

‫و�أثب ��ت‬

‫�أوجد النقطة هـ بحيث يكون ال�شكل هـ د ب متوازي �أ�ضالع ‪ ,‬مع التو�ضيح بالر�سم ‪.‬‬ ‫ف�أوج ��د ف ��ي ٍّ‬ ‫كل م ��ن الح ��االت التالي ��ة‬

‫‪� 9‬إذا كان ��ت‬ ‫مع التو�ضيح بالر�سم ‪:‬‬ ‫ال�شكل‬

‫متوازي �أ�ضالع‬

‫ال�شكل‬

‫متوازي �أ�ضالع‬

‫‪ 10‬اكتب ك ًّال من المتجهات التالية على ال�صورة‬

‫ال�شكل‬ ‫د‬

‫متوازي �أ�ضالع‬

‫منت�صف‬

‫وم ِّثلها تمثي ًال قيا�س ًّيا ‪:‬‬

‫د‬ ‫‪� 11‬إذا كان‬

‫وكان‬

‫ف�أوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل من �س ‪� ،‬ص ‪.‬‬

‫‪� 12‬إذا كانت‬ ‫�أوجد طول واتجاه ٍّ‬ ‫كل من المتجهات ‪:‬‬ ‫تحقق من � َّأن ‪:‬‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪89‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫‪� 13‬إذا كان‬

‫وحدات ف�أوجد‬

‫‪ 14‬ل ِّأي متج ��ه غي ��ر �صف ��ري‬

‫‪� ,‬أثب ��ت � َّأن ط ��ول المتج ��ه‬

‫ي�ساوي الوحدة ‪,‬‬

‫ثم �أوجد هذا المتجه عندما‬ ‫‪ 15‬ليكن لدينا المتجهات‬

‫و�ضح �إجابتك بالر�سم ‪:‬‬ ‫ب ِّين � َّأي العبارات الآتية �صائبة و�أ َّيها خاطئة مع التعليل ثم ِّ‬

‫هـ‬

‫‪� 16‬إذا كان‬

‫لهما االتجاه نف�سه‬

‫د‬

‫مت�ضادان في االتجاه‬

‫و‬

‫وحدات ‪ ,‬ف�أوجد‬

‫‪ 17‬ب�أخذ المتجهات في تمرين‬

‫في ٍّ‬ ‫كل من الحاالت التالية ‪:‬‬

‫‪� ,‬أوجد ما يلي مع التو�ضيح بالر�سم‬

‫د‬ ‫هـ‬

‫‪90‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫و‬

‫لهما االتجاه نف�سه‬

‫الم�ستوي‬ ‫في الم�ستوي‬ ‫هات في‬ ‫المتتَّجَِّجِ هات‬ ‫الم‬ ‫‪� ,‬أوجد ‪:‬‬

‫‪ 18‬لتكن‬

‫د‬ ‫و‬

‫هـ‬

‫‪ 19‬با�ستخدام ال�شكل المجاور ‪ ,‬والذي فيه ك ٌّل من الأ�شكال ‪:‬‬ ‫متوازي �أ�ضـالع‬ ‫�أكمل الفراغ بالمتجه المنا�سب في ٍّ‬ ‫كل مما يلي ‪:‬‬ ‫‪)1‬‬

‫‪)2‬‬

‫‪)3‬‬

‫‪)4‬‬

‫‪)5‬‬

‫‪)6‬‬

‫‪)7‬‬

‫‪)8‬‬

‫�أوجد قيمة ك �إذا كان‬ ‫‪� 20‬إذا كان‬

‫ف�أوجد‬

‫الذي يحقق المعادلة ‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪91‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫‪2-2‬‬

‫ال�ضرب القيا�سي ( ال�ضرب الداخلي )‬ ‫قبل التعريف بال�ضرب القيا�سي لمتجهين يلزمنا التعريف بمفهوم الزاوية بين متجهين ‪:‬‬

‫تعريف ( ‪)13 -2‬‬

‫ف ��ي الم�ست ��وي الإحداث ��ي ‪� ,‬إذا كان ب ‪ ,‬د متجهي ��ن غي ��ر �صفريي ��ن و �صورتاهما‬ ‫القيا�سيت ��ان المخت�صرت ��ان هما ن‪ , 1‬ن‪ 2‬على الترتيب ف�إننا نع ِّرف الزاوية بينهما ب�أنها‬ ‫‪180‬‬ ‫الزاوية ن‪ 1‬و ن‪ 2‬ونرمز لقيا�سها بالرمز حيث ‪.‬‬ ‫يو�ضح مفهوم الزاوية بين المتجهين ب ‪ ,‬د‬ ‫ال�شكل ( ‪ِّ ) 35 -2‬‬

‫(‪)13-2‬‬

‫ ‬

‫�شـكل ( ‪)35-2‬‬

‫�إذا كان ب ‪ //‬د ف� َّإن ‪:‬‬ ‫‪� 0‬إذا كان ب ‪ ,‬جـ د في اتجاه واحـد ‪.‬‬ ‫‪� 180‬إذا كان ب ‪ ,‬جـ د مت�ضادان في االتجاه‪ .‬انظر ال�شكل ( ‪) 36-2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 36-2‬‬

‫‪92‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الداخلي )‬ ‫ال�ضرب‬ ‫القيا�سي (‬ ‫ال�ضرب المتَّجِ‬ ‫الم�ستوي‬ ‫هات في‬

‫تعريف ( ‪)14 -2‬‬

‫في الم�ستوي الإحداثي ‪ ,‬ل ِّأي متجهين غير �صفريين‬ ‫ال�ضرب القيا�سي لهما ب�أنه العدد الحقيقي‬

‫‪,‬‬

‫‪ ,‬قيا�س الزاوية بينهما هـ نع ِّرف حا�صل‬ ‫=‬

‫‪ .‬جـ د جتـا‬

‫ونع ِّرف حا�صل ال�ضرب القيا�سي للمتجه ب بالمتجه ال�صفري ب� َّأن ب‬

‫( ‪) 3-2‬‬

‫‪� = 0‬صفر‬

‫ي�س َّم ��ى هذا ال�ضرب بال�ضرب القيا�سي ؛ ل َّأن نات ��ج �ضرب المتجهين يكون كمية قيا�سية‪ .‬ومن المنا�سب‬ ‫هنا التذكير ب� َّأن ناتج �ضرب العدد الحقيقي ك بالمتجه ب هو متجه ( �أي كمية متجهة ) ‪.‬‬

‫نتيجة (‪)7-2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 2‬‬

‫‪-+‬‬ ‫( لأنه ح�سب الملحوظة ( ‪ ) 13-2‬ب ‪ //‬جـ د‬ ‫وعليه ف� َّإن‬

‫‪180 ، 0‬‬

‫جتا = ‪) 1 ±‬‬

‫( لماذا ؟ )‬

‫(‪)14-2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ب فيكون ( ب )‪ =2‬ب ‪.‬‬

‫ن�ستخدم الرمز ( ب )‪ 2‬للداللة على ب‬

‫�إذا ت�أملنا التعريف ( ‪ ) 14-2‬يت�ضح لنا �صعوبة �إيجاد قيمة ال�ضرب القيا�سي ب جـ د والتي تكمن في‬ ‫تحديد قيا�س الزاوية بين المتجهين ب ‪ ,‬جـ د �إال � َّأن الملحوظة ( ‪ ) 7-2‬ت�س ِّهل ذلك كثي ًرا حيث يمكننا‬ ‫با�ستخدامها التعبير عن ال�ضرب القيا�سي لمتجهين بداللة مركبتيهما كما في النظرية التالية ‪:‬‬

‫نظرية (‪)5-2‬‬ ‫�إذا كان ب =‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ف� َّإن ‪ :‬ب‬

‫= �س‪� 1‬س‪� + 2‬ص‪� 1‬ص‪) 4-2 ( 2‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪93‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫الـبرهان‬

‫بالنظر �إلى ال�شكل ( ‪ ) 37-2‬نالحظ � َّأن ‪–2 = :‬‬

‫‪1‬‬

‫وبالتالي ف� َّإن ‪:‬‬

‫�شـكل ( ‪)37-2‬‬

‫( ح�س ��ب الملحوظ ��ة ( ‪) ) 7-2‬‬

‫فيك ��ون بذل ��ك ‪:‬‬

‫مثال (‪)24-2‬‬ ‫بالرجوع �إلى مثال ( ‪ ) 12-2‬حيث ب =‬ ‫ب‬

‫‪ ,‬جـ د =‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫يمكننا �إثبات �أ َّن‬

‫‪ ,‬ب ‪ //‬جـ د وذلك اعتما ًدا على النتيجة ( ‪ ) 7-2‬والنظرية ( ‪ ) 5-2‬كما يلي ‪:‬‬

‫‪ 1‬ب‬

‫؛ لأ َّن‬

‫= ‪2 × -3‬‬

‫‪� =6 6 - = 1 × 6‬صفر‬

‫‪ 2‬‬ ‫وهذا يعني �أ َّن‬ ‫� َّأن الإ�شارة ال�سالبة في الم�ساواة ال�سابقة تد ُّل على � َّأن ب ‪ ,‬جـ د في اتجاهين مت�ضادين ‪.‬‬ ‫ق ��ارن ‪ -‬م ��ن حيث ال�سهولة ‪ -‬بين الأ�سلوبين الم َّتبعين لإثبات ت ��وازي المتجهين في هذا المثال وفي‬ ‫مثال ( ‪. ) 12-2‬‬

‫‪94‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الداخلي )‬ ‫ال�ضرب‬ ‫القيا�سي (‬ ‫ال�ضرب المتَّجِ‬ ‫الم�ستوي‬ ‫هات في‬ ‫نقدم بع�ض خوا�ص ال�ضرب القيا�سي‬ ‫وفيما يلي ِّ‬

‫نظرية (‪)6-2‬‬ ‫( خا�صية الإب ��دال )‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫( خا�صي ��ة توزيع ال�ض ��رب القيا�سي على جمع ( �أو طرح ) المتجه ��ات )‬ ‫‪3‬‬ ‫( خا�صي ��ة ال�ضرب بعدد حقيق ��ي )‬

‫الـبرهان‬ ‫( يترك كتدريب للطال ��ب )‬ ‫�إر�ش���اد ‪:‬‬ ‫‪, 1‬‬ ‫افر�ض �أن‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫واح�سب طرفي كل م�ساواة واردة في النظرية ‪.‬‬

‫مثال (‪)25-2‬‬

‫الحل‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪95‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫قيا�س الزاوية بين متجهين في الم�ستوي‬ ‫يمكنن ��ا بالإف ��ادة من �صيغتي ال�ضرب القيا�سي ( ‪ ) 4-2 ( , ) 3-2‬ا�ستنتاج القاعدة التالية لإيجاد قيا�س‬ ‫الزاوية بين متجهين غير �صفريين ب ‪ ,‬جـ د ‪.‬‬ ‫‪180‬‬ ‫( ‪) 5-2‬‬

‫مثال (‪)26-2‬‬ ‫�أوجد قيا�س الزاوية بين المتجهين‬

‫‪1-‬‬

‫الحل‬

‫‪-2‬‬ ‫‪1-‬‬

‫‪1‬‬‫‪2-‬‬

‫‪10‬‬‫‪1‬‬‫( ع زاوية المرجع للزاوية )‬ ‫= زاوية في الربع الثاني ؛‬

‫‪96‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪2-‬‬

‫الداخلي )‬ ‫ال�ضرب‬ ‫القيا�سي (‬ ‫ال�ضرب المتَّجِ‬ ‫الم�ستوي‬ ‫هات في‬

‫تمارين (‪)2-2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2-‬‬

‫‪3-‬‬

‫ثم ا�ستنتج المتجهات المتعامدة من بين المتجهات‬

‫‪2‬‬

‫�أوج ��د قيم ��ة ك الت ��ي تجع ��ل المتجهي ��ن‬

‫‪� 3‬أوج ��د قيا� ��س الزاوي ��ة بين ٍّ‬ ‫كل من المتجهين‬

‫متعامدي ��ن ‪.‬‬ ‫فيما يل ��ي ‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫‪8‬‬‫د‬ ‫هـ‬ ‫‪� 4‬أوجد قيا�س الزاوية في المثلث ب حيث‬

‫و‬ ‫( ‪ , ) 1- , 3‬ب (‪, ) 1 , 3-‬‬

‫(‪)5,1‬‬

‫‪ 5‬ب ج� �ـ مثل ��ث ر�ؤو�س ��ه ه ��ي ( ‪ , ) 3 , 2‬ب ( ‪ , ) 1- , 4‬ج� �ـ ( ‪� ) 0 , 6‬أثبت با�ستخدام‬ ‫ال�ضرب القيا�سي � َّأن المثلث قائم الزاوية في ب ثم �أوجد قيا�س ٍّ‬ ‫كل من زاويتيه الأخريين ‪.‬‬ ‫‪� 6‬أثبت � َّأن‬ ‫‪� 7‬إذا كان ب جـ د مرب ًعا ف�أثبت � َّأن ‪:‬‬ ‫‪� 8‬أثبت � َّأن‬ ‫ت�س َّمى هذه المتباينة بمتباينة كو�شي ‪� -‬شوارتز ‪Cauchy- Schwarz‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪97‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫‪3-2‬‬

‫معادلة الم�ستقيم في الم�ستوي‬ ‫ف ��ي هذا البند ن�ستخدم المتجهات ال�ستنتاج �صيغ ��ة جديدة لمعادلة الخط الم�ستقيم‬ ‫تو�ضح ذلك ‪:‬‬ ‫والنظرية التالية ِّ‬

‫نظرية (‪)7-2‬‬ ‫وكان ل هو الم�ستقيم‬ ‫�إذا كانت ‪ ,‬ب � َّأي نقطتين في الم�ستوي الإحداثي بحيث‬ ‫المار بالنقطة ب والموازي للم�ستقيم ف� َّإن � َّأي نقطة ن ل تكون على ال�صورة ‪:‬‬ ‫( ‪) 6-2‬‬ ‫وبالعك� ��س ‪� :‬إذا كانت ن نقطة في الم�ستوي الإحداثي تحقق المت�ساوية ( ‪ ) 6-2‬ف� َّإن‬ ‫ن ل‪.‬‬

‫الـبرهان‬

‫�أو ًال‪ -‬نفر�ض � َّأن النقطة ن ل‬ ‫في الحالة ن = ب ف� َّإن ن = ك ‪ +‬ب حيث ك = ‪0‬‬ ‫كما في ال�شكل ( ‪) 38-2‬‬ ‫وفي الحالة ن ب ف� َّإن ب ن = ل ب ن‬

‫�شـكل ( ‪)38-2‬‬

‫ثاني ًا ‪ -‬نفر�ض العك�س ‪� ,‬أي نفر�ض � َّأن ‪:‬‬ ‫فينتج � َّأن ‪:‬‬ ‫ف� َّإن‬

‫وحيث � َّأن‬ ‫يوجد‬

‫‪98‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫هو‬ ‫بحيث‬

‫�أي � َّأن‬

‫‪ .‬وبذلك نكون قد �أثبتنا � َّأن ‪:‬‬

‫الم�ستوي‬ ‫فيالم�ستوي‬ ‫الم�ستقيمفي‬ ‫معادلةالمتَّجِ هات‬ ‫بالمعادل���ة النقطي���ة للم�ستقي ��م ل الم ��ار بالنقط ��ة ب‬ ‫ت�س َّم ��ى ال�صيغ ��ة ن= ك ‪ +‬ب حي ��ث‬ ‫والموازي للم�ستقيم وهذه المعادلة تعيـِّن لك ِّـل قيمة من قيم ك نقطة من نقط الم�ستقيم ل ومن ثم‬ ‫فهي تع ِّيـن جميع نقط الم�ستقيم ل ‪.‬‬ ‫كما ت�س َّمى ال�صيغة‬

‫حيث‬

‫بالمعادلة المتجهة للم�ستقيم ل ‪.‬‬

‫وبفر�ض � َّأن النقط‬ ‫ف� َّإن المعادلة النقطية للم�ستقيم ل ت�صبح على ال�صورة ‪:‬‬ ‫كما ت�صبح المعادلة المتجهة على ال�صورة ‪:‬‬ ‫ومن ذلك يمكن الح�صول على المعادلتين ‪:‬‬ ‫وت�س َّميان بالمعادلتين الو�سيطيتين للم�ستقيم ل ‪.‬‬ ‫فمن الممكن كتابة المعادلتين الو�سيطيتين على ال�صورة ‪:‬‬ ‫والتي ت�س َّمى بالمعادلة المتماثلة للم�ستقيم ل ‪.‬‬ ‫وبفر�ض �س ≠ �س‪ 2‬ف�إننا نح�صل على المعادلة‬

‫‪ ,‬حيث‬

‫ميل‬

‫ميل ل‬

‫وهي المعادلة الم�ألوفة للم�ستقيم بمعلومية ميله ونقطة عليه ‪.‬‬

‫مثال (‪)27-2‬‬ ‫�إذا كان الم�ستقيم ل يمر بالنقطة ب ( ‪ ) 2 , 0‬مواز ًيا الم�ستقيم حيث = ( ‪) 1 , 3‬‬ ‫�أوجد ثالث نقاط مختلفة من نقاط الم�ستقيم ل ‪.‬‬ ‫�أوجد المعادلة النقطية للم�ستقيم ل ‪.‬‬ ‫ب ِّين موقع ٍّكل من النقطتين ‪6-‬‬ ‫و�ضح �إجابتك بالر�سم‪.‬‬ ‫بالن�سبة للم�ستقيم ل ثم ِّ‬

‫الحل‬ ‫المعادلة النقطية للم�ستقيم ل هي ‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪99‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫بم ��ا � َّأن كل ع ��دد حقيقي ك يع ِّين نقطة ن على ل ‪ ,‬ف�إننا للح�صول على ثالث نقاط مختلفة على ل‬ ‫نختار ثالث قيم مختلفة للعدد ك ولتكن ‪ 1- , 2 , 1 :‬ثم نع ِّو�ض عن ٍّ‬ ‫كل منها في المعادلة النقطية‬ ‫فنح�صل على النقاط المطلوبة وهي ‪:‬‬ ‫( ‪ ) 1 , 3- ( , ) 4 , 6 ( , ) 3 , 3‬على الترتيب ‪.‬‬ ‫بما � َّأن‬ ‫لتحديد موقع النقطة ‪ 6-‬بالن�سبة للم�ستقيم ل نفر�ض � َّأن ‪6- :‬‬ ‫‪2-‬‬

‫‪6-‬‬

‫‪2‬‬‫‪. 6-‬‬

‫وهذا يعني �أنه توجد قيمة للعدد ك‪ 1‬تحقق الم�ساواة‬ ‫ولتحديد موقع النقطة‬

‫بالن�سبة للم�ستقيم ل نفر�ض � َّأن ‪:‬‬

‫‪1‬‬‫وهذا يعني �أنه ال توجد قيمة للعدد ك‪ 2‬تحقق الم�ساواة‬ ‫وهذا يعني �أنه ال توجد قيمة للعدد ك‪ 2‬تحقق الم�ساواة‬

‫�شـكل ( ‪)39-2‬‬

‫‪100‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫( ‪ ) 1 , 5‬ل انظر ال�شكل ( ‪) 39-2‬‬ ‫ل انظر ال�شكل ( ‪) 39-2‬‬

‫الم�ستوي‬ ‫فيالم�ستوي‬ ‫الم�ستقيمفي‬ ‫معادلةالمتَّجِ هات‬ ‫مثال (‪)28-2‬‬ ‫�أوج���د المعـادل���ة النقطي���ة والمعـادل���ة المتجه���ة والمعـادلتي���ن الو�سيطيتي���ن والمعـادل���ة المتماثل���ة‬ ‫و يوازى المتجه‬

‫للم�ستقيم ل الذي يمر بالنقطة‬

‫الحل‬

‫الم�ستقيم ل يوازي‬ ‫فتكون المعادلة النقطية للم�ستقيم ل هي ‪:‬‬

‫وتكون المعادلة المتجهة هي ‪:‬‬ ‫والمعادلتان الو�سيطيتان هما‬ ‫ومن ثم تكون المعادلة المتماثلة هي ‪:‬‬

‫نتيجة (‪)8-2‬‬

‫‪ 1‬المعادلة النقطية للم�ستقيم‬ ‫تكون على ال�صورة ‪:‬‬

‫( �أي الم�ستقيم المار ب�أ�صل المحورين وبالنقطة )‬ ‫(لماذا؟)‬

‫‪ 2‬يمكننا كتابة المعادلة النقطية للم�ستقيم ل المار بالنقطتين ب ‪ ,‬جـ على ال�صورة ‪:‬‬ ‫وذلك ب�أن نع َّد هذا الم�ستقيم ما ًّرا بالنقطة ب ومواز ًيا‬ ‫انظر �شكل ( ‪. ) 40-2‬‬ ‫و يمكننا كذلك كتابة هذه المعادلة على �إحدى‬ ‫ال�صور الثالث الآتية ‪:‬‬

‫�شـكل ( ‪)40-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪101‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫� َّأن ك ًّال م ��ن ال�ص ��ور الأرب ��ع المختلفة ال�سابقة تم ِّثل الم�ستقيم ل ؛ حيث �أنه ب�أخذ � ِّأي قيمة للعدد ك‬ ‫والتعوي�ض عنها في المعادالت الأربع نح�صل على �أربع نقاط مختلفة كلها تقع على الم�ستقيم ل ‪.‬‬

‫مثال (‪)29-2‬‬ ‫�أوجد المعادلة النقطية والمعادلتين الو�سيطيتين للمحور ال�سيني ‪.‬‬

‫الحل‬

‫بم ��ا � َّأن المح ��ور ال�سين ��ي يم ��ر ب�أ�ص ��ل المحورين و بنقطة و لتك ��ن ( ‪ - ) 0 , 1‬مث ًال ‪ -‬ف� �� َّإن المعادلة‬ ‫النقطية للمحور ال�سيني تكون على ال�صورة ‪:‬‬ ‫المعادلتين الو�سيطيتين للمحـور الـ�سيني هما‬ ‫� َّأن هاتين المعـادلتين الو�سيطيتين للمحـور ال�سيني موافقتان لكون مجموعة نقاط المحور ال�سيني‬ ‫هي‬

‫مثال (‪)30-2‬‬ ‫�إذا كانت ( ‪ , ) 1 , 2‬ب ( ‪ ) 7 , 2-‬ف�أوجد المعادلة النقطية والمعادلة المتجهة والمعادلة المتماثلة‬ ‫للم�ستقيم ب‪.‬‬

‫الحل‬

‫المعادلة النقطية للم�ستقيم ب على ال�صورة ‪:‬‬ ‫وحيث � َّأن‬ ‫‪2‬‬‫تكون المعادلة النقطية للم�ستقيم ب هي ‪:‬‬ ‫‪4-‬‬

‫والمعادلة المتجهة هي ‪:‬‬ ‫والمعادلة المتماثلة هي ‪:‬‬

‫‪102‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪4-‬‬

‫‪-4‬‬ ‫‪-4‬‬

‫الم�ستوي‬ ‫فيالم�ستوي‬ ‫الم�ستقيمفي‬ ‫معادلةالمتَّجِ هات‬ ‫مثال (‪)31-2‬‬ ‫�إذا كان‬

‫وكان‬ ‫‪1-‬‬

‫‪6‬‬‫ف�أثبت � َّأن ‪:‬‬

‫الحل‬ ‫المعادالت الثالث المعطاة‬

‫يوازي‬

‫يوازي‬

‫‪ 1‬‬

‫يوازي‬

‫‪6-‬‬

‫( اذكر �سب ًبا �آخر )‬

‫‪2‬‬

‫‪6-‬‬

‫‪ ( .‬اذكر �سب ًبا �آخر )‬

‫الزاوية بين م�ستقيمين‬ ‫تعريف ( ‪)15 -2‬‬ ‫نع ِّرف قيا�س الزاوية بين الم�ستقيمين‬ ‫ب�أنه قيا�س الزاوية بين المتجهين‬

‫مثال (‪)32-2‬‬

‫‪1-‬‬

‫�أوجد قيا�س الزاوية بين الم�ستقيمين‬

‫‪4-‬‬

‫الحل‬ ‫بما � َّأن قيا�س الزاوية بين ل‪َ 1‬و ل‪ 2‬هو قيا�س الزاوية هـ بين‬

‫‪1-‬‬

‫� ًإذا جتا‬ ‫وحيث � َّأن‬

‫‪1-‬‬

‫‪1‬‬‫‪180‬‬

‫( با�ستخدام الآلة الحا�سبة )‬

‫هل الم�ستقيمان ل‪ ,1‬ل ‪ 2‬متقاطعان ؟‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪103‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫تمارين (‪)3-2‬‬ ‫‪� 1‬أوجد المعادلة النقطية والمعادلة المتجهة والمعادلتين الو�سيطيتين ٍّ‬ ‫لكل من ‪:‬‬ ‫المحور ال�صادي ‪.‬‬ ‫الم�ستقيم المار بالنقطة ( ‪ ) 4 , 3‬مواز ًيا المحور ال�سيني ‪.‬‬ ‫الم�ستقيم المار بالنقطة ( ‪ ) 1 , 2-‬مواز ًيا المحور ال�صادي ‪.‬‬ ‫‪� 2‬أوجد المعادلة النقطية والمعادلة المتجهة والمعادلتين الو�سيطيتين والمعادلة المتماثلة ٍّ‬ ‫لكل من‬ ‫الم�ستقيمات الآتية ‪:‬‬ ‫الم�ستقيم المار بالنقطة ب = ( ‪ ) 2 , 5-‬مواز ًيا الم�ستقيم حيث = ( ‪) 3- , 2‬‬ ‫‪3‬‬‫الم�ستقيم المار بنقطة الأ�صل موازي ًا المتجه‬ ‫‪7‬‬ ‫الم�ستقيم المار بالنقطتين ( ‪ , ) 7 , 1‬ب ( ‪) 6 , 2-‬‬ ‫د‬

‫الم�ستقيم المار بالنقطتين ‪) 3- , 4- ( ,‬‬

‫‪� 3‬إذا كان ��ت المعادل ��ة النقطي ��ة للم�ستقيم ل هي ‪� ( :‬س ‪� ،‬ص ) = ك ( ‪,) 2- , 3 ( ) 3- ,2-‬‬ ‫ف�أثبت � َّأن ( ‪ ) 1 , 5‬ل بينما ( ‪ ) 7- , 3-‬ل‪ ,‬و�إذا كانت ( �س‪) 4 , 1‬‬

‫ل ف�أوجد �س‪1‬‬

‫‪� 4‬أوج ��د المعادل ��ة المتجه ��ة للم�ستقي ��م ل ال ��ذي يم ��ر بالنقط ��ة ب = ( ‪ ) 1- , 3-‬وي ��وازي‬ ‫حيث = ( ‪ )2-, 2‬ومن ثم ع ِّين النقطة جـ الواقعة على الم�ستقيم ل والتي �إحداثيها ال�سيني‬ ‫ي�ساوي ‪. 9‬‬ ‫‪� 5‬أثبت � َّ​ّأن الم�ستقيمين ل‪ ,1‬ل‪ 2‬متوازيان حيث ‪:‬‬

‫‪104‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الم�ستوي‬ ‫فيالم�ستوي‬ ‫الم�ستقيمفي‬ ‫معادلةالمتَّجِ هات‬ ‫‪� 6‬إذا كان = ( ‪ , ) 3 , 3-‬ب = ( ‪ ) 0 , 4 ( = , ) 2- , 1‬ف�أوجد معادلة الم�ستقيم ل‪ 1‬الوا�صل‬ ‫ف�أثب ��ت � َّأن‬ ‫بي ��ن ومنت�ص ��ف[ ب ‪ ,‬و�إذا كان ل‪ : 2‬ن = ك (‪,) 7 , 2 ( )10- ,1-‬‬ ‫ل‪ 1‬ل‪2‬‬ ‫‪� 7‬أوجد قيا�س الزاوية بين الم�ستقيمين في ٍّ‬ ‫كل مما يلي حيث ك‬

‫‪.‬‬

‫د‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪105‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫‪4-2‬‬

‫الإحداثيات في الف�ضاء‬ ‫ماه َّية الف�ضاء‬

‫ُيطلق معظم الريا�ضيين م�س َّمى الف�ضاء على العالم الذي نعي�ش فيه والذي يحتوي جميع الأج�سام‬ ‫والم�ستويات والأ�شكال الهند�سية وبذلك يكون ‪:‬‬ ‫الف�ضاء مجموعة غير منتهية من النقاط لي�ست جميعها في م�ست ٍو واحد ‪.‬‬ ‫وقبل البدء بدرا�سة الإحداثيات في الف�ضاء يلزمنا تذ ُّكر بع�ض المفاهيم والعالقات في الهند�سة‬ ‫الم�ستوية والتع ُّرف على مفاهيم وعالقات هند�سية جديدة في الف�ضاء ‪.‬‬

‫الأو�ضاع الن�سبية للم�ستقيمات والم�ستويات في الف�ضاء ‪.‬‬ ‫�أ َّو ًال ‪ -‬الأو�ضاع الن�سبية لم�ستقيمين في الف�ضاء‬ ‫‪ 1‬التقاطع‬

‫يك ��ون الم�ستقيمان ل‪ , 1‬ل‪ 2‬متقاطعي ��ن �إذا ا�شتركا في نقطة‬ ‫واح ��دة ‪ .‬ففي المكع ��ب المم َّثل في ال�ش ��كل ( ‪ ) 41-2‬يكون‬ ‫ماذا نق ��ول عن الم�ستقيمي ��ن �إذا ا�شتركـا ف ��ي �أكثر من‬ ‫نقطة ؟‬

‫‪106‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫�شـكل ( ‪) 41-2‬‬

‫الف�ضاء‬ ‫الإحداثياتالمتفيَّجِ هات‬ ‫‪ 2‬التوازي‬ ‫يكون الم�ستقيمان ل‪ , 1‬ل‪ 2‬متوازيين ونكتب ل‪ // 1‬ل‪� 2‬إذا وقعا في‬ ‫م�ستو واحد وكان‬

‫كما في �شكل ( ‪) 42-2‬‬ ‫وهذه هي حـالة التطابق‬

‫�شـكل ( ‪) 42-2‬‬

‫تذ َّك ��ر و�أكم ��ل الفراغ في ن� ��ص العالقة التالي ��ة بين الم�ستقيم ��ات في الم�ست ��وي والتي تبقى‬ ‫�صحيحة في الف�ضاء ‪:‬‬

‫تحقق عمل ًّيا من � َّأن ‪:‬‬ ‫�أي م�ستقيمين متقاطعين وكذلك �أي م�ستقيمين متوازيين يم ُّر بهما م�ست ٍو واحد ‪.‬‬

‫‪ 3‬التخالف‬ ‫لماذا تُن�ش�أ ج�سور الم�شاة ؟‬ ‫يك ��ون الم�ستقيمان ل‪ , 1‬ل‪ 2‬متخالفين �إذا لم يقعا في‬ ‫م�ستــــــــــــــــ ٍو واحد ‪� ,‬أي �إذا كــــان ‪ :‬ل‪ 1‬ل‪َ = 2‬و‬ ‫ل‪ // 1‬ل‪ 2‬كم ��ا ف ��ي ال�ش ��كل ( ‪ ) 43-2‬وه ��ذا يعني‬ ‫� َّأن الم�ستقيمين �إذا لم يكونا متقاطعين وال متوازيين‬ ‫فهما متخالفان ‪.‬‬ ‫ماذا نق ��ول عن الم�ستقيمين اللذي ��ن ال ي�شتركان في‬ ‫� ِّأي نقطة ؟‬ ‫ما هو و�ضع الم�ستقيمين ل‪ , 1‬ل‪ 2‬في �شكل ( ‪ ) 44-2‬؟‬ ‫� ِأ�شر �إلى م�ستقيمين متوازيين و�آخرين متخالفين في‬ ‫غرفة ال�صف ‪.‬‬

‫�شـكل ( ‪) 43-2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 44-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪107‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫ثانياً ‪ -‬الأو�ضاع الن�سبية لم�ستقيم وم�ست ٍو في الف�ضاء ‪.‬‬ ‫‪ 1‬التقاطع‬ ‫يك ��ون الم�ستقي ��م ل والم�ستوي ى متقاطعي ��ن �إذا ا�شتركا في‬ ‫انظ ��ر‬ ‫نقط ��ة واح ��دة ‪� ,‬أي �إذا كـ ��ان‬ ‫ال�شـكل ( ‪) 45-2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 45-2‬‬

‫�أن ��ه �إذا ا�شت ��رك الم�ستقي ��م مع الم�ستوي في �أكثر من‬ ‫نقطة ف� َّإن الم�ستقيم �سيقع بكامله في الم�ستوي فيكون ل ى ‪,‬‬ ‫كما في �شـكل ( ‪) 46-2‬‬

‫‪ 2‬التوازي‬

‫�شـكل ( ‪) 46-2‬‬

‫يكون الم�ستقيم ل موازي ًا للم�ستوي ى ونكتب ل ‪ //‬ى‬ ‫�إذا كان‬

‫كما في �شكل ( ‪) 47-2‬‬ ‫(�أي حالة وقوع ل في الم�ستوى ى)‬

‫� ِأ�ش ��ر في غرفة �صفك �إلى م�ستقيم يتقاطع مع �سقف الغرفة‬ ‫و�آخر يوازيه وال يقع فيه ‪.‬‬

‫�شـكل ( ‪) 47-2‬‬

‫قم ب�إجراء خطوات الن�شاط التالي ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ار�س ��م عل ��ى كرا�ست ��ك م�ستقي ًم ��ا ل ثم ارف ��ع قلمك فوق‬ ‫الكرا�سة بحيث يوازي الم�ستقيم ل كما في �شكل ( ‪. ) 48-2‬‬ ‫هل يبدو القلم مواز ًيا للكرا�سة ؟‬ ‫‪� 2‬أدر القلم بحيث يظ ُّل مواز ًيا للكرا�سة دون الم�ستقيم ل ‪.‬‬ ‫ه ��ل يمكنك ر�س ��م م�ستقيم �آخر عل ��ى الكرا�سة بحيث‬ ‫يوازي القلم في الو�ضع الجديد ؟‬ ‫لعلك تو�صلت �إلى النتيجة التالية ‪:‬‬ ‫نقول � َّإن ل ‪ //‬ى �إذا وفقط �إذا ُوجد على الأقل‬

‫‪108‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫�شـكل ( ‪) 48-2‬‬

‫ى بحيث ل ‪//‬‬

‫الف�ضاء‬ ‫الإحداثياتالمتفيَّجِ هات‬ ‫انظر �شكل ( ‪ ) 49-2‬الذي فيه ‪:‬‬ ‫و�أكمل الفراغ ‪:‬‬ ‫والآن يمكننا كتابة العالقة التالية ‪:‬‬ ‫�إذا كان ل ‪ //‬ى وكان‬

‫�شـكل ( ‪) 49-2‬‬

‫ى ف�إن ل ‪ ,‬يكونان متوازيين �أو متخالفين ‪.‬‬

‫ثال ًثا ‪ -‬الأو�ضاع الن�سبية لم�ستويين في الف�ضاء‬ ‫‪ 1‬التقاطع‬

‫�إذا تقاطع م�ستويان ى‪ ,1‬ى‪ 2‬ف�إنهما يتقاطعان في خط م�ستقيم ‪.‬‬ ‫ففي المكعب المم َّثل في �شكل ( ‪ ) 50-2‬ى‪ 1‬ى‪ = 2‬ل‬

‫‪ 2‬التوازي‬

‫�شـكل ( ‪) 50-2‬‬

‫يكون الم�ستويان ى‪ ,1‬ى‪ 2‬متوازيين ونكتب ى‪// 1‬‬ ‫�إذا كان‬

‫ى‪2‬‬

‫كما في ال�شكل ( ‪) 51-2‬‬ ‫وهذه حالة التطابق‬

‫� ِأ�ش ��ر ف ��ي غرفة �صف ��ك �إل ��ى م�ستويي ��ن متوازيي ��ن و�آخرين‬ ‫وحدد خط التقاطع ‪.‬‬ ‫متقاطعين ِّ‬

‫�شـكل ( ‪) 51-2‬‬

‫تدريب (‪)7-2‬‬ ‫في المو�شور المم َّثل بال�شكل ( ‪) 52-2‬‬ ‫ح � ِّ�دد العالقة بي ��ن ِّ‬ ‫و�سم خ ��ط التقاطع في حالة‬ ‫كل زوج من الم�ستويات ِّ‬ ‫التقاطع‬ ‫ى‪ , 3‬ى‪4‬‬ ‫ى‪ , 2‬ى‪3‬‬ ‫ى‪ , 1‬ى‪2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 52-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪109‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫مفهوم التعامد في الف�ضاء‬

‫‪ 1‬التعامد بين م�ستقيمين في الف�ضاء ‪:‬‬

‫لعلك تذكر العالقة التالية التي در�ستها على الم�ستقيمات في الم�ستوي ‪.‬‬

‫يو�سع‬ ‫وه ��ذه العالقة في الواقع تع َّمم في الف�ضاء ‪ ,‬مما ِّ‬ ‫مفه ��وم التعام ��د بي ��ن الم�ستقيم ��ات في الف�ض ��اء �إلى‬ ‫الم�ستقيمات المتخالفة ‪.‬‬ ‫فف ��ي ال�ش ��كل ( ‪ ) 53-2‬ل‪ 1‬ل‪ 3‬عل ��ى الرغ ��م من‬ ‫�أنهما متخالفان‬ ‫� ِأ�شر في غرفة �صفك �إلى م�ستــــــقيمين متخالفين‬ ‫ومتعامدين ‪.‬‬

‫�شـكل ( ‪) 53-2‬‬

‫‪ 2‬التعامد بين م�ستقيم وم�ست ٍو في الف�ضاء‬

‫ب� ِّأي و�ضع ت�ضع الم�سمار على‬ ‫لوح خ�شبي لتث ِّبت الم�سمار ؟‬ ‫يق ��ال � َّإن الم�ستقيم ل عمودي‬ ‫�شـكل ( ‪) 54-2‬‬ ‫على الم�ستوي ى الذي يقطعه‬ ‫في نقطة ونكتب ل ى �إذا كان ل عمود ًّيا على‬ ‫جميع الم�ستقيمات الواقعة في ى‬ ‫والتي تمر بالنقطة ‪ .‬انظر �شكل ( ‪) 54-2‬‬ ‫قم ب�إجراء خطوات الن�شاط التالي ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ار�سم على كرا�ستك ثالثة م�ستقيمات ل‪ ,1‬ل‪, 2‬‬ ‫ل‪ 3‬متقاطعة في ‪.‬‬ ‫�شـكل ( ‪) 55-2‬‬ ‫‪� 2‬ض ��ع �س � َّ�ن قلم ��ك عل ��ى الكرا�سة عن ��د النقطة‬ ‫بحيث ي�صنع القلم زاوية قائمة مع ٍّ‬ ‫كل من ل‪ ,1‬ل‪ 2‬كما في ال�شكل ( ‪) 55-2‬‬ ‫( الح ��ظ �أنَّ القل ��م �إذا كان مائ ًال على الكرا�س ��ة فقد ي�صنع زاوية قائمة مع �أح ��د الم�ستقيمين دون الآخر )‬ ‫‪ 3‬تحقق با�ستخدام مثلث الر�سم من � َّأن القلم عمودي على ل‪. 3‬‬ ‫لعلك تو�صلت �إلى النتيجة التالية ‪:‬‬ ‫ل‬

‫‪1‬‬

‫الم�ستقي ��م العمودي عل ��ى م�ستقيمي ��ن متقاطعين عند‬ ‫نقطة التقاطع يكون عمود ًّيا على م�ستويهما ‪.‬‬

‫‪110‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫ل‬

‫‪2‬‬

‫ل‬

‫‪3‬‬

‫الف�ضاء‬ ‫الإحداثياتالمتفيَّجِ هات‬ ‫والآن يمكنك بالإفادة من مفهوم التعامد في الف�ضاء ا�ستنتاج مايلي‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫يو�ضح هذه النتيجة ‪.‬‬ ‫و�شكل ( ‪ِّ ) 56-2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫�شـكل ( ‪) 56-2‬‬

‫‪ 3‬التعامد بين م�ستويين في الف�ضاء‬ ‫�إذا كان ى‪ 1‬ى‪ = 2‬ل ف� َّإن ى‪ 1‬يكون عمود ًّيا على ى‪ 2‬ونكتب ى‪ 1‬ى‪� 2‬إذا وجد‬ ‫ل‪ 2‬ى‪ 2‬بحيث ل‪ 1‬ل ‪ ,‬ل‪ 2‬ل ‪ ,‬ل‪ 1‬ل‪ 2‬انظر �شكل ( ‪. ) 57-2‬‬

‫ى‪, 1‬‬

‫ل‪1‬‬

‫انظر �شكل ( ‪ ) 58-2‬لتقنع نف�سك ب� َّأن ‪:‬‬ ‫ى‪1‬‬

‫ى‪� 2‬إذا ُوجد م�ستقيمان ل‪ , 1‬ل‪ 2‬بحيث‬

‫�شـكل ( ‪) 57-2‬‬

‫ل‪1‬‬

‫ى‪, 1‬‬

‫ل‪2‬‬

‫ى‪, 2‬‬

‫ل‪1‬‬

‫ل‪2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 58-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪111‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫تعيين الف�ضاء‬ ‫تعلم � َّأن الم�ستقيم ل يتع َّين بمعلومية نقطتين مختلفتين ‪ ,‬ب عليه ‪� ,‬أو بمعلومية نقطة عليه وم�ستقيم‬ ‫عمودي عليه ‪� ,‬أو بمعلومية نقطة عليه وم�ستقيم موازٍ له ‪ .‬انظر �شكل ( ‪) 59-2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 59-2‬‬

‫وق ��د يرم ��ز للم�ستقي ��م ل بحرفي ��ن فنق ��ول ‪ -‬مث�ل ً�ا ‪-‬‬ ‫الم�ستقيم ب ‪.‬‬ ‫وتعلم كذلك � َ​َّأن الم�ستوي ى يتع َّين بمعلومية ثالث نقاط‬ ‫مختلف ��ة ‪ ,‬ب ‪ ,‬ج� �ـ عليه ولي�ست واقع ��ة على ا�ستقامة‬ ‫�شـكل ( ‪) 60-2‬‬ ‫واح ��دة ‪� ,‬أو بمعلومية نقط ��ة ا عليه وم�ستقيم ل عمودي‬ ‫عليه‪ .‬انظر �شكل ( ‪) 60-2‬‬ ‫وفي الحقيقة � َّإن �إمكانية تعيين الم�ستوي بثالث نقاط مختلفة عليه لي�ست على ا�ستقامة واحدة يعني �أنه‬ ‫يمكن كذلك تعيين الم�ستوي ب�أحد الأمور التالية ‪:‬‬ ‫‪ 1‬م�ستقيم ونقطة ال تنتمي �إليه‬ ‫‪ 2‬م�ستقيمين متقاطعين‬ ‫‪ 3‬م�ستقيمين متوازيين‬ ‫وق ��د �سب ��ق للطالب التحقق م ��ن الأمرين (‪� )3( , )2‬أما الأمر الأول فهو وا�ض ��ح بكون الم�ستقيم يحوي‬ ‫نقطتين مختلفتين عليه ‪.‬‬ ‫وق ��د يرم ��ز للم�ست ��وي بثالث ��ة �أح ��رف فنق ��ول ‪ -‬مث�ل ً�ا ‪-‬‬ ‫الم�ست ��وي ‪ 1‬ب ج� �ـ ‪� ,‬أو بحرفي ��ن كبيري ��ن ٍّ‬ ‫كل منهما يرمز‬ ‫لم�ستقي ��م ‪ .‬فنرم ��ز ‪ -‬مث ًال ‪ -‬للم�ست ��وي الإحداثي بالرمز‬ ‫لماذا يكون حامل �آلة الت�صوير عاد ًة بثالثة �أرجل ؟‬ ‫لماذا قد يت�أرجح مقعد ذو �أربعة �أرجل بينما يقف ثابتًا مقعد له ثالثة �أرجل ؟‬

‫‪112‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الف�ضاء‬ ‫الإحداثياتالمتفيَّجِ هات‬

‫والآن كيف يتع َّين الف�ضاء ؟‬ ‫يتع َّي ��ن الف�ض ��اء بمعلومية �أربع نقاط مختلفة عليه لي�ست جميعها في م�ست ٍو واحد ‪ .‬انظر �شكل ( ‪) 61-2‬‬ ‫ويحوي الف�ضاء �أربعة م�ستويات مختلفة على الأقل ‪ ,‬ففي �شكل ( ‪� ) 61-2‬أربعة م�ستويات مختلفة هي ‪:‬‬ ‫‪ .‬ويمكــــــن للطالب ب�سهولة ا�ستنتاج � َّأن الف�ضاء يتع َّين كذلك‬ ‫بمعلومية م�ست ٍو ى وم�ستقيم ل عمودي على هذا الم�ستوي ‪ .‬انظر �شكل ( ‪) 62-2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 61-2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 62-2‬‬

‫النظام الإحداثي للف�ضاء‬ ‫متقاطعي ��ن ف ��ي‬ ‫‪,‬‬ ‫نعل ��م � َّأن الم�ست ��وي الإحداث ��ي ين�ش� ��أ م ��ن تقاط ��ع محوري ��ن متعامدي ��ن‬ ‫نقط ��ة الأ�ص ��ل ‪ .‬و� َّأن � َّأي نقط ��ة ن في الم�ستوي الإحداثي يرتب ��ط بها زوج مرتب وحيد م ��ن الأعـــــــــــداد‬ ‫ثنائي البعد ‪.‬‬ ‫الحقيقي ��ة ( � ��س ‪�� � ،‬ص ) مم ��ا يتيح لنا ت�سمية هذا النظام الإحداثي بالم�ست ��وي‬ ‫ويمكننا تعميم نظ ��ام الم�ستوي الإحداثي ثنائي‬ ‫البعد لتمثيل النقاط في الف�ضاء وذلك ب�إ�ضافة‬ ‫محور ثالث يتقاطع مع المحورين ‪،‬‬ ‫ف ��ي نقطة الأ�صل ‪ ,‬وبفر� ��ض � َّأن المحاور الثالثة‬ ‫متعام ��دة مثنى مثنى ولها نف� ��س وحدة الطول ‪,‬‬ ‫�شـكل ( ‪) 63-2‬‬ ‫ف�إنن ��ا نح�صل عل ��ى النظام الإحداث ��ي للف�ضاء‬ ‫ثالثي الأبعاد ‪ .‬انظر �شكل ( ‪) 63-2‬‬ ‫ونو ُّد �أن ن�شير هنا �إلى �أنه من الممكن ت�سمية المحاور الثالثة في نظام‬ ‫الف�ضاء الإحداثي بطريقة مختلفة‬ ‫كم ��ا في ال�ش ��كل ( ‪� , ) 64 -2‬إ َّال �أننا في هذا الكت ��اب �سن َّتبع الطريقة‬ ‫الواردة في �شكل ( ‪) 63 -2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 64-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪113‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫�أنه يمكنك ا�ستخدام يدك اليمنى لتمثيل الف�ضاء‬ ‫مو�ضح في �ش ��كل ( ‪ ) 65-2‬؛ حي ��ث ي�شير �أ�صبع‬ ‫كم ��ا ه ��و َّ‬ ‫الو�سط ��ى �إل ��ى الجزء الموج ��ب من المح ��ور ‪ ,‬وي�شير‬ ‫الإبه ��ام �إلى الجزء الموجب من المحور ‪ ,‬بينما ي�شير‬ ‫ال�سبابة �إلى الجزء الموجب من المحور ‪.‬‬

‫�شـكل ( ‪) 65-2‬‬

‫� َّإن كل زوج م ��ن المحاور الثالثة يقع في م�ست ٍو واحد ي�س َّمى‬ ‫الم�ست ��وي الإحداث ��ي له ��ذا ال ��زوج ‪ ,‬فيك ��ون لدين ��ا ثالثة‬ ‫م�ستويات �إحداثية هي ‪:‬‬ ‫الم�ستوي الإحداثي‬ ‫الم�ستوي الإحداثي‬ ‫الم�ستوي الإحداثي‬ ‫وجميع هذه الم�ستويات تلتقي في نقطة الأ�صل ‪ .‬انظر �شكل ( ‪) 66 -2‬‬ ‫�شـكل ( ‪) 66-2‬‬ ‫وه ��ذه الم�ستوي ��ات الثالثة تق�سم الف�ض ��اء �إلى ثمانية �أج ��زاء ك ٌّل منها ي�س َّمى ُثم ًن ��ا ‪ ,‬وال ُثمن المح�صور‬ ‫بالأجزاء الموجبة من المحاور ي�س َّمى ال ُثمن الأول ‪� ,‬أما باقي الأثمان فال يوجد لها ترتيب مع َّين ‪.‬‬ ‫�إذا كان م ��ن ال�صعب عليك تخ ُّيل هذه الم�ستويات الثالث ��ة ومعنى ال ُثمن الأول فلع َّل الإجراء التالي‬ ‫ي�س ِّهل عليك ذلك ‪:‬‬ ‫انظ ��ر �إلى �أحد الأركان ال�سفلية في غرفة وت�ص َّور �أنه نقطة الأ�صل للف�ضاء ‪� .‬سيكون الحائط الذي‬ ‫‪ ,‬والحائ ��ط الذي على ي�سارك ج ��ز ًءا من الم�ســـتوي‬ ‫عل ��ى يمين ��ك ج ��ز ًءا من الم�ســت ��وي‬ ‫‪ .‬ويكون بذلك جزء الحجرة الظاهر‬ ‫‪� ,‬أ َّما �أر�ض الغرفة ف�ستكون جز ًءا من الم�ستوي‬ ‫في �شكل ( ‪ ) 67-2‬مم ِّث ًال لل ُثمن الأول في الف�ضاء ‪.‬‬

‫الحائط الأيمن‬

‫الح‬

‫الم�ستوى‬

‫ائط‬ ‫الأي�س‬

‫ر‬

‫الم�ستوى‬

‫الأر�ض‬

‫�شـكل ( ‪) 67-2‬‬

‫‪114‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫ال‬

‫م�ستوى‬

‫الف�ضاء‬ ‫الإحداثياتالمتفيَّجِ هات‬

‫والآن لتكن ن نقطة في الف�ضاء الإحداثي‬ ‫كما في ال�شكل ( ‪ ) 68-2‬ف� َّإن هناك م�ست ٍو‬ ‫واحد ى‪ 1‬يمر بالنقطة ن مواز ًيا الم�ستوي‬ ‫�ص�ص ويقطع ال�م�ح��ور‬ ‫في نقطة ن‪1‬‬ ‫هو �س ‪ ,‬ي�س َّمى‬ ‫�إحداثيها على المحور‬ ‫العدد �س با لإ حـداثي ال�سيني للنقطة‬ ‫ن ‪ ،‬وبالمثل هناك م�ستوي واح��د ى‪ 2‬يمر‬ ‫ويقطع‬ ‫بالنقطة ن مواز ًيا الم�ستوي‬ ‫المحور ���ص في نقطة ن‪� 2‬إحداثيها على‬ ‫المحور هو �ص ‪ ,‬ي�ســـ َّمى �ص بالإحداثي‬ ‫�شـكل ( ‪) 68-2‬‬ ‫أي�ضا م�ستوي‬ ‫ال�صادي للنقطة ن وهناك � ً‬ ‫واحد ى‪ 3‬يمر بالنقطة ن مواز ًيا الم�ستوي‬ ‫‪ .....‬ويقطع ال �م �ح��ور‬ ‫ف��ي نقطة ن ‪3‬‬ ‫�إحداثيها على المحور‪.....‬هو ع ‪ ,‬ي�س َّمى ع بالإحداثي ‪ .....‬للنقطة ن ( �أكمل الفراغ )‬ ‫وبذلك تكون �إحداثيات النقطة ن هي الثالثي المرتب من الأعداد الحقيقية ( �س ‪� ،‬ص ‪ ,‬ع ) وهذا يعني‬ ‫أي�ضا ‪ ,‬فكل ثالثي‬ ‫� َ​َّأن كل نقط ��ة ف ��ي الف�ضاء الإحداثي تم ِّثل ثالثي مرتب واحد فق ��ط ‪ ,‬والعك�س �صحيح � ً‬ ‫مرت ��ب ( �س ‪� ،‬ص ‪ ,‬ع ) يم َّث ��ل بنقطة واحدة في الف�ضاء الإحداثي ‪ .‬وهكذا نجد �أنه يمكن تعريف تقابل‬ ‫ت‪:‬‬ ‫ترمز لمجموعة نقاط الف�ضاء الثالثي ‪ ,‬وترمز ‪ 3‬لمجموعة الثالثيات المرتبة من الأعداد‬ ‫حيث‬ ‫الحقيقية ‪.‬‬ ‫ومن ثم ف�إنه يمكننا كتابة ما يلي ‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪115‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫من ال�شكل ( ‪� ) 68-2‬أنه في الف�ضاء الإحداثي يكون ‪:‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫�إحداثي نقطة الأ�صل هو ( ‪) 0 , 0 ، 0‬‬ ‫�إحداثي ��ات النق ��اط ن‪ , 1‬ن‪ , 2‬ن‪ 3‬الواقع ��ة عل ��ى المحاور‬ ‫‪ ,‬على الترتيب هي ‪:‬‬ ‫الإحداثية ‪,‬‬ ‫ن‪� ( 1‬س ‪ , ) 0 , 0 ،‬ن‪� ، 0 ( 2‬ص ‪ , ) 0 ,‬ن‪ , 0 ، 0 ( 3‬ع )‬ ‫�إحداثي ��ات النق ��اط ‪ ,‬ب ‪ ,‬ج� �ـ الواقع ��ة عل ��ى الم�ســــــــــتويات الإحــداثي ��ة‬ ‫على الترتيب هي ‪:‬‬ ‫( �س ‪� ،‬ص ‪ , ) 0 ,‬ب ( �س ‪ , 0 ،‬ع ) ‪ ,‬جـ ( ‪� ، 0‬ص ‪ ,‬ع ) ‪.‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫مم ��ا �سب ��ق نجد �أن ��ه يمكننا و�صف المح ��اور الإحداثي ��ة الثالثة وكذل ��ك الم�ستوي ��ات الإحداثية الثالثة‬ ‫با�ستخدام الثالثيات المرتبة ‪ ,‬فنكتب مث ًال‪:‬‬ ‫‪ 1‬المحور‬ ‫�أو المحور‬ ‫‪ 2‬الم�ستوي‬ ‫�أو الم�ستوي‬

‫تدريب (‪)8-2‬‬ ‫ِ�صف با�ستخدام الثالثيات المرتبة الم�ستوي‬

‫‪.‬‬

‫تدريب (‪)9-2‬‬ ‫اكتب �إحداثيات ر�ؤو�س المكعب المم َّثل في �شكل ( ‪) 69-2‬‬ ‫�إذا علمت � َّأن طول �ضلع المكعب وحدة واحدة ‪.‬‬ ‫�شـكل ( ‪) 69-2‬‬

‫‪116‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الف�ضاء‬ ‫الإحداثياتالمتفيَّجِ هات‬ ‫تحديد نقطة في الف�ضاء الإحداثي‬ ‫لتحدي ��د موقع نقطة في الف�ض ��اء الإحداثي ولتكن ن ( ‪ - ) 4 , 2 ، 3‬مث ًال ‪ -‬يمكننا اتباع الخطــــــــــوات‬ ‫والمو�ضـــــــحة في �شكل ( ‪: ) 70-2‬‬ ‫التالية‬ ‫ّ‬ ‫‪ 1‬ابت ��دا ًء م ��ن النقط ��ة المقابل ��ة للعدد‬ ‫‪ 3‬عل ��ى المح ��ور نتح ��رك بمقدار‬ ‫وحدتي ��ن في االتج ��اه الموجب للمحور‬ ‫‪ 1‬ونح � ِّ�دد بذل ��ك النقط ��ة ن‪ 1‬عل ��ى‬ ‫‪.‬‬ ‫الم�ستوي‬ ‫ماهو �إحداثي النقطة ن‪ 1‬؟‬ ‫‪ 2‬نر�س ��م م ��ن النقط ��ة ن‪ 1‬م�ستقي ًم ��ا ل‬ ‫يوازي المحور ‪.‬‬ ‫‪ 3‬نح � ِّ�دد النقط ��ة ن ( ‪ ) 4 , 2 ، 3‬عل ��ى‬ ‫الم�ستقيم ل ب�أن نتحرك على الم�ستقيم‬ ‫�شـكل ( ‪) 70-2‬‬ ‫ل من النقطة ن‪ 1‬بمقدار ‪ 4‬وحدات في‬ ‫االتجاه الموجب للمحور ‪.‬‬ ‫( الحظ �أن ��ه يمكننا تحديد النقطة ن‬ ‫على الم�ستقيم ل ب�أن نر�سم من النقطة‬ ‫ن‪ 2‬المقابلة للع ��دد ‪ 4‬على المحور ‪U‬‬ ‫م�ســــتقي ًما مـــــــواز ًيا للقـــــطعة و ن‪1‬‬ ‫فيقط ��ع الم�ستقي ��م ل ف ��ي النقطة ن ‪,‬‬ ‫كما في ال�شكل ( ‪) ) 71-2‬‬ ‫بالإفادة من الخطـ ��وات ال�سـابقة ‪,‬‬ ‫اقت ��رح طريقة لتحدي ��د �إحداثيات‬ ‫النقط ��ة ن المم َّثلة ف ��ي �شــــــــــــــكل‬ ‫( ‪) 68-2‬‬ ‫اقت ��رح طريقة �أخرى لتحديد موقع‬ ‫م�ستفيدا من‬ ‫النقط ��ة ( ‪) 4 , 2 ، 3‬‬ ‫ً‬ ‫�شـكل ( ‪) 71-2‬‬ ‫ال�شكل ( ‪) 68-2‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪117‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫تدريب (‪)10-2‬‬ ‫حدد موقع النقطة ن ( –‪ ) 7 , 3 ، 1‬في الف�ضاء ‪.‬‬ ‫ِّ‬ ‫لعل ��ك الحظ ��ت � َّأن النقط ��ة ن تبع ��د عن الم�ستوي‬ ‫للمحور ‪.‬‬ ‫ماهو ُبعد النقطة ن عن ٍّ‬ ‫كل من الم�ستويين‬

‫بمق ��دار ‪ 7‬وحدات في االتجاه الموجب‬ ‫‪,‬‬

‫؟‬

‫مثال (‪)33-2‬‬ ‫في ال�شكل ( ‪ ) 69-2‬يمكننا و�صف ٍّ‬ ‫كل من‬

‫كما يلي ‪:‬‬

‫مثال (‪)34-2‬‬ ‫م ِّث���ل ف���ي الف�ض ـ ـ ـ ـ���اء مجـ ـ ــموع���ة نقط الم�ستوي ى الذي يوازي الم�سـ ـ ــتوي‬ ‫( ‪ ,) 5 , 0 ، 0‬ثم ِ�صف ى با�ستخدام الثالثيات المرتبة‪.‬‬

‫ويم ـ ــر بالنقطة‬

‫الحل‬

‫يو�ضح تمثيل الم�ستوي ى في الف�ضاء ‪.‬‬ ‫ال�شكل ( ‪ِّ ) 72-2‬‬ ‫�شـكل ( ‪) 72-2‬‬

‫مثال (‪)35-2‬‬ ‫ِ�ص���ف مجموع���ة نقاط �سق���ف الحجرة التي �أبعادها ‪ 7‬م ‪ 4 ,‬م ‪ 3 ,‬م‬ ‫با�ستخدام الثالثيات المرتبة ‪.‬‬

‫الحل‬

‫�شـكل ( ‪) 73-2‬‬

‫�إذا تخ َّيلن ��ا � َّأن الحج ��رة مم َّثل ��ة ف ��ي الف�ضاء كما في ال�ش ��كل ( ‪ ) 73-2‬ف� َّإن �سقف الحج ��رة والذي ُيع ُّد‬ ‫‪ ,‬يو�صف بالمجموعة ‪:‬‬ ‫ج ��ز ًء ا م ��ن الم�ستوي الم ��ار بالنقطة ( ‪ ) 0 , 3 ، 0‬والموازي للم�ست ��وي‬ ‫ِ�صف مجموعة نقاط �أر�ض هذه الحجرة با�ستخدام الثالثيات المرتبة ‪.‬‬

‫‪118‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الف�ضاء‬ ‫الإحداثياتالمتفيَّجِ هات‬

‫تمارين (‪)4-2‬‬ ‫‪� 1‬ضع عالمة ( ) �أو عالمة ( ) عن يمين العبارات التالية ‪:‬‬ ‫� ُّأي م�ستقيمين يعي ِّنان م�ستو ًيا ‪.‬‬ ‫�إذا وازى م�ستقيم م�ستو ًيا فهو يوازي كل م�ستقيم في الم�ستوي‬ ‫الم�ستقيمان الموازيان لثالث في الفراغ يعي ِّنان م�ستو ًيا ‪.‬‬ ‫�إذا احتوى م�ستوي م�ستقيمين فالبد من تقاطعهما ‪.‬‬ ‫الم�ستقيمان ل‪ , 1‬ل‪ 2‬يتوازيان �إذا كان ل‪ , 1‬ل‪ 2‬واقعين في م�ست ٍو واحد ‪.‬‬ ‫مجموعة الم�ستقيمات الموازية لم�ست ٍو واحد تكون متوازية ‪.‬‬ ‫يتطابق م�ستويان �إذا ا�شتركا في ثالث نقاط لي�ست على ا�ستقامة واحدة ‪.‬‬ ‫الم�ستوي‬ ‫ثالث وحدات في االتجاه ال�سالب ‪.‬‬ ‫النقطة ( ‪ ) 2 , 3 – ، 1‬تبعد عن الم�ستوي‬ ‫‪ 2‬ا�ستخ ��دم ال�شكل التالي والذي يم ِّثل �صندوق على �شكل متوازي م�ستطيالت مرفوع الغطاء لتقرن‬ ‫كل زوج معطى في القائمة ( ) بما ينا�سبه من و�ضع في القائمة ( ب )‪.‬‬

‫القائمة ) (‬

‫القائمة ( ب (‬

‫جـ د ‪ ,‬جـ هـ‬

‫متوازيان‬

‫ا د ‪ ,‬هـ و‬

‫منطبقان‬

‫جـ د ‪,‬‬

‫ى‪2‬‬

‫متقاطعان في جـ‬

‫هـ و ‪,‬‬

‫ى‪1‬‬

‫متقاطعان في د‬

‫ى‪, 3‬‬

‫ى‪4‬‬

‫متقاطعان في جـ د‬ ‫متخالفان‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪119‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫‪ 3‬باال�ستفادة من متوازي الم�ستطيالت المم َّ​ّثل بال�شكل‬ ‫المجاور �أوجد مايلي ‪:‬‬ ‫�إحداثيات النقط ‪ ,‬ب ‪ ,‬د ‪ ,‬ح‬ ‫حدد ُبعد النقطة جـ عن الم�ستوي‬ ‫ِّ‬ ‫با�ستخ ��دام الإحداثي ��ات الثالثي ��ة ِ�ص ��ف‬ ‫مجموعة نقاط ٍّ‬ ‫كل من ‪:‬‬ ‫‪ 4‬مت ��وازي م�ستطيالت في ال ُثمن الأول �أوجهه موازية لم�ستوي ��ات الإحداثيات الثالثة و�أحد ر�ؤو�سه‬ ‫يق ��ع على نقطة الأ�ص ��ل ور� ٌأ�س �آخر يقع على النقطة ( ‪ , ) 5 , 4 ، 2‬ار�سم متوازي الم�ستطيالت ‪,‬‬ ‫و�أوجد �إحداثيات باقي ر�ؤو�سه ‪.‬‬ ‫‪ 5‬ع ِّين النقط التالية في الف�ضاء الثالثي ‪:‬‬

‫‪�ِ 6‬صف مجموعات النقط التالية با�ستخدام الثالثيات المرتبه في الف�ضاء ‪ ,‬مع الر�سم حيثما �أمكن‬ ‫ذلك ‪.‬‬ ‫ويقطع المحور في النقطة ( ‪) 0 , 2 ، 0‬‬ ‫الم�ستوي الموازي للم�ستوي‬ ‫في النقطة ( ‪) 0 , 0 ، 3‬‬ ‫ويقطع المحور‬ ‫الم�ستوي الموازي للم�ستوي‬ ‫وي ��وازي المحور وعلى م�سافة ‪ 6‬وحدات‬ ‫الم�ستقي ��م الواق ��ع ف ��ي الم�ست ��وي‬ ‫منه ‪.‬‬ ‫د النقاط التي �إحداثيها ال�سيني ي�ساوي �إحداثيها ال�صادي و�إحداثيها العيني ي�ساوي �صفر ‪.‬‬ ‫‪�ِ 7‬صف مجموعات النقط التالية ثم م ِّثلها في الف�ضاء وعلى ال�شكل نف�سه ‪.‬‬

‫‪120‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫إحداثي‬ ‫الف�ضاءتاَّجِلهات‬ ‫المتَّجِ هات في الم‬

‫‪5-2‬‬

‫المتَّجِ هات في الف�ضاء الإحداثي‬ ‫الجبر على نقط الف�ضاء‬ ‫� َّإن جميع العمليات التي در�ستها على نقط الم�ستوي تع َّمم على نقط الف�ضاء الإحداثي وعليه‬ ‫يمكننا كتابة التعريف التالي ‪:‬‬

‫تعريف ( ‪)16 -2‬‬ ‫�إذا كانت‬ ‫نقطتين في الف�ضاء ‪,‬‬

‫ف� َّإن ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫وكم ��ا ف ��ي الم�ست ��وي ف� �� َّإن مجم ��وع النقطتي ��ن‬ ‫‪.‬‬ ‫الأ�ضـالع و‬

‫يف�سر هند�س ًّيا ب�أن ��ه الر�أ�س جـ لمتوازي‬ ‫َّ‬

‫تدريب (‪)11-2‬‬ ‫�إذا كانت = ( ‪ , ) 1– , 3 ، 2‬ب = ( ‪ , ) 2 , 5 ، 0‬ف�أوجد ما يلي ‪:‬‬

‫جـ بحيث يكون و ب جـ متوازي �أ�ضالع‬ ‫مالذي تم ِّثله النقطة‬

‫هند�س ًّيا ؟‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪121‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫المتجهات في الف�ضاء الإحداثي‬ ‫عند درا�سة عالقة الت�ساير على القطع الموجهة في الم�ستوي ‪ ,‬ا�ستخدمنا الإحداثيات‬ ‫لتحديد القطع الموجهة المت�سايرة ؛ وذلك ح�سب نظرية ( ‪ ) 2-2‬وفي الواقع تبقى‬ ‫هذه النظرية �صحيحة في الف�ضاء ‪� ,‬أي �أنه ‪:‬‬ ‫�إذا كانت النقاط ‪ ,‬ب ‪ ,‬جـ ‪ ,‬د في الف�ضاء ف� َّإن ‪:‬‬

‫مثال (‪)36-2‬‬ ‫لتكن ( ‪ , ) 0 , 2 ، 0‬ب ( ‪ , ) 4 , 2 ، 0‬جـ ( ‪� ) 0 , 0 ، 3‬أوجد ن بحيث تكون‬

‫الحل‬

‫في ال�شكل ( ‪َّ � ) 74-2‬أن ب ن جـ متوازي �أ�ضالع‬ ‫في م�ست ٍو واحد ‪.‬‬ ‫‪� ,‬أي � َّأن‬ ‫والآن �إذا ت�أ َّملن ��ا ال�شكل ( ‪ ) 75-2‬نجد � َّأن القطعة الموجهة‬ ‫ت�ساير كـ ًّال من القطع الموجهة ‪:‬‬

‫�شـكل ( ‪) 74-2‬‬

‫� َّأن القطع الموجهة ‪:‬‬ ‫يجمعها م�ستوي واحد بينما‬ ‫ال يجمعهم م�ستوي واحد‬ ‫وه ��ذا يعني �أنه في الف�ضاء الإحداث ��ي لي�س من ال�ضروري‬ ‫�أن تقع � ُّأي ثالث قطع موجهة مت�سايرة في م�ست ٍو واحد ‪.‬‬ ‫م ِّث ��ل عل ��ى ال�ش ��كل ( ‪ ) 75-2‬القط ��ع الموجه ��ة ‪:‬‬ ‫ت�ساير القطعة الموجهة‬ ‫ِ�صف مجموعة جميع القطع الموجهة التي ت�ساير القطعة الموجهة‬

‫‪122‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫�شـكل ( ‪) 75-2‬‬

‫والت ��ي ك ٌّل منه ��ا‬

‫إحداثي‬ ‫الف�ضاءتاَّجِلهات‬ ‫المتَّجِ هات في الم‬

‫تعريف ( ‪)17 -2‬‬ ‫المتج ��ه في الف�ضاء الإحداثي ه ��و مجموعة غير منتهية من القط ��ع الموجهة المت�سايرة ويرمز‬ ‫للمتجه الذي يحوي القطعة الموجهة‬

‫فيكون ‪:‬‬

‫بالرمز‬

‫ونرمز لمجموعة المتجهات في الف�ضاء بالرمز‬ ‫وكما هو الحال في الم�ستوي نجد في الف�ضاء الإحداثي � َّأن ‪:‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫يم َّثل هند�س ًّيا بالقطعة‬

‫‪2‬‬

‫�أو � ِّأي قطعة موجهة �أخرى م�سايرة لها ‪.‬‬

‫واخت�صارها حيث‬ ‫هي‬ ‫‪ 3‬ال�صورة القيا�سية للمتجه‬ ‫ع ِّبر عن المجموعة با�ستخدام ال�صورة القيا�سية المخت�صرة للمتجه ‪.‬‬ ‫‪ 4‬هناك تقابل بين المجموعتين‬

‫‪،‬‬

‫ُيع َّرف بالقاعدة ‪:‬‬

‫وبهذا يمكننا التعبير عن المتجه ن بالم�صفوفة‬

‫والتعبير عن ب بالم�صفوفة‬

‫حيث‬ ‫ع ِّبر عن المتجه‬

‫في الف�ضاء با�ستخدام الم�صفوفة ‪ .‬ماذا ن�س ِّمي هذا المتجه وما رمزه ؟‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪123‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫‪ 5‬طول المتجه‬

‫هو الطول‬

‫والذي رمزه‬

‫‪ ,‬و ُيعطى بالقانون ‪:‬‬

‫حيث‬ ‫�أثبت �صح ��ة القان ��ون ال�سابق وذل ��ك بتطبيق‬ ‫ثم على‬ ‫نظرية فيثاغورث على المثلث‬ ‫في �شكل ( ‪) 76-2‬‬ ‫المثلث‬ ‫�أنه بداللة �إحداثيات النقطتين ‪:‬‬ ‫�شـكل ( ‪) 76-2‬‬

‫وهذه ال�صيغة تع ِّبر عن ال ُبعد بين النقطتين‬

‫في الف�ضاء ‪.‬‬

‫تدريب (‪)12-2‬‬ ‫�إذا كانت = ( –‪ , ) 6 , 2 ، 4‬ب = ( ‪ , ) 9 , 2 ، 0‬اكتب المتجه ب كم�صفوفة ثم �أوجد طوله ‪.‬‬ ‫على �ضوء ما �سبق يمكننا تعريف العمليات على المتجهات في الف�ضاء الإحداثي على النحو التالي ‪:‬‬

‫تعريف ( ‪)18 -2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫ه ��ذا و� َّإن جمي ��ع الخوا�ص على عملي ��ات جمع المتجهات و�ضربه ��ا بعدد حقيقي وال�ض ��رب القيا�سي في‬ ‫الم�ستوي تبقى �صحيحة في الف�ضاء ‪.‬‬

‫‪124‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫إحداثي‬ ‫الف�ضاءتاَّجِلهات‬ ‫المتَّجِ هات في الم‬ ‫تدريب (‪)13-2‬‬ ‫�أثبت �صحة القاعدة ‪:‬‬

‫حيث‬ ‫ومن َّثم ا�ستنتج � َّأن ‪:‬‬

‫( �س ِّم هذه الخا�صية )‬

‫مثال (‪)37-2‬‬ ‫�إذا كانت‬ ‫ف�أوجد مايلي ‪:‬‬ ‫د‬

‫الحل‬

‫د‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪125‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫تدريب (‪)14-2‬‬ ‫في المثال ال�سابق تحقَّق من � َّأن ‪:‬‬

‫( �س ِّم هذه الخا�صية )‬

‫توازي المتجهات وتعامدها في الف�ضاء الإحداثي ‪:‬‬ ‫لتعميم النظرية ( ‪ ) 3-2‬على الف�ضاء الإحداثي نقول ‪:‬‬ ‫في الف�ضاء الإحداثي ف� َّإن ‪:‬‬

‫ل ِّأي متجهين غير �صفريين‬

‫كي ��ف تحك ��م ف ��ي الف�ض ��اء الإحداثي على كون المتجهين المتوازيين‬ ‫�أم مت�ضادان في الإتجاه ؟‬ ‫وعلى وفق الملحوظة ( ‪ ) 8-2‬ن�صوغ الملحوظة التالية ‪:‬‬

‫(‪)15-2‬‬ ‫ل ِّأي متجهين غير �صفريين في الف�ضاء الإحداثي‬ ‫‪� 1‬إذا �ساوت مركبتان من‬

‫ال�صفر ف� َّإن ‪:‬‬

‫المركبتان المناظرتان في‬

‫‪126‬‬

‫ت�ساويان ال�صفر‬

‫‪� 2‬إذا �ساوت �إحدى مركبتي‬

‫ال�صفر ‪ ,‬ولتكن �س‪ - 0 = 1‬مث ًال ‪ -‬ف� َّإن ‪:‬‬

‫‪� 3‬إذا كانت ك ٌّل من مركبات‬

‫مغايرة لل�صفر ف� َّإن ‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫في اتجا ٍه واحد‬

‫إحداثي‬ ‫الف�ضاءتاَّجِلهات‬ ‫المتَّجِ هات في الم‬ ‫مثال (‪)38-2‬‬ ‫�إذا كان‬

‫ف�أوجد قيمة ع التي تجعل‬

‫الحل‬

‫حل �آخر ‪ :‬ح�سب الملحوظة ( ‪ ) 15-2‬يكون ‪:‬‬

‫تدريب (‪)15-2‬‬ ‫ب ِّين ما �إذا كان المتجهان‬

‫متوازيين �أم ال ؟‬

‫والآن بتعميم القاعدة ( ‪ ) 5-2‬لقيا�س الزاوية بين متجهين في الف�ضاء الإحداثي على النحو التالي ‪:‬‬

‫�إذا كان‬

‫متجهين غير �صفريين في الف�ضاء الإحداثي ف�إنَّ ‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪127‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫نجد � َّأن النتيجة ( ‪ ) 7-2‬تبقى �صحيحة في الف�ضاء الإحداثي ‪� .‬أي �أنه ‪:‬‬ ‫لكل متجهين غير �صفريين‬

‫في الف�ضاء الإحداثي يكون ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ماهي داللة ٍّ‬ ‫كل من الإ�شارتين ‪ ±‬في العالقة ( ‪) 7-2‬‬

‫مثال (‪)39-2‬‬ ‫�أوجد قيا�س الزاوية بين المتجهين‬

‫الحل‬

‫تدريب (‪)16-2‬‬ ‫�أعد حل مثال ( ‪ ) 38-2‬با�ستخدام العالقة ( ‪) 7-2‬‬ ‫في المثال ( ‪� ) 38-2‬أوجد قيمة ع التي تجعل‬

‫‪128‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫إحداثي‬ ‫الف�ضاءتاَّجِلهات‬ ‫المتَّجِ هات في الم‬ ‫معادلة الم�ستقيم في الف�ضاء‬ ‫تمت ��د التعميم ��ات في الم�ستوي عل ��ى الف�ضاء لت�شم ��ل معادلة الم�ستقي ��م ‪ .‬وهكذا نجد في‬ ‫الف�ضاء � َّأن معادلة الم�ستقيم ل المار بالنقطة ب موازي ًا الم�ستقيم تكتب على �إحدى‬ ‫ال�صيغ التالية ‪:‬‬ ‫‪ 1‬المعادلة النقطية للم�ستقيم ل ‪:‬‬ ‫‪ 2‬المعادلة المتجهة للم�ستقيم ل ‪:‬‬ ‫بفر�ض � َّأن ن = ( �س ‪� ،‬ص ‪ ,‬ع ) ‪� ( = ,‬س‪� ، 1‬ص‪ , 1‬ع‪ , ) 1‬ب = ( �س ‪� ، 2‬ص ‪ , 2‬ع ‪ ) 2‬اكتب‬ ‫المعادلة المتجهة للم�ستقيم ل ‪.‬‬

‫‪ 3‬المعادالت الو�سيطية للم�ستقيم ل ‪:‬‬

‫‪ 4‬المعادلتان المتماثلتان للم�ستقيم ل ‪:‬‬

‫تدريب (‪)17-2‬‬ ‫�أوج ��د المعادلة النقطية والمعادلة المتجهة والمعادالت الو�سيطية والمعادلتين المتماثلتين للم�ستقيم ل‬ ‫الذي يمر بالنقطة ( ‪ ) 2 , 1- ، 0‬ويوازي المتجه =‬ ‫‪4-‬‬

‫تدريب (‪)18-2‬‬ ‫ا�ستنتج المعادلة النقطية للم�ستقيم‬ ‫للمحور‬

‫‪.‬‬

‫في الف�ضاء ‪ ,‬ثم �أوجد المعادلة النقطية والمعادالت الو�سيطية‬

‫تدريب (‪)19-2‬‬ ‫ا�ستنتج المعادلة النقطية للم�ستقيم ب جـ في الف�ضاء ‪.‬‬ ‫بكم �صورة يمكن كتابة هذه المعادلة النقطية ؟‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪129‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫الزاوية بين م�ستقيمين في الف�ضاء‬ ‫� َّإن تعريف ( ‪ ) 15-2‬لقيا�س الزاوية بين م�ستقيمين ينطبق على الم�ستقيمين في الف�ضاء ‪ ,‬مع مالحظة‬ ‫� َّأن التعريف هنا ال ي�ستبعد كون الم�ستقيمين متخالفين ‪.‬‬

‫مثال (‪)40-2‬‬ ‫�أوجد قيا�س الزاوية بين الم�ستقيمين ‪:‬‬

‫الحل‬ ‫بما � َّأن قيا�س الزاوية بين ل‪ , 1‬ل‪ 2‬هو قيا�س الزاوية بين‬

‫� َّأن الم�ستقيمين ل‪ , 1‬ل‪� 2‬إما متقاطعان �أو متخالفان ‪.‬‬

‫تدريب (‪)20-2‬‬

‫تذكَّر �أنه في الف�ضاء‬

‫يتقاطع مع‬

‫تدريب (‪)21-2‬‬ ‫اختر الإجابة ال�صحيحة للعبارة التالية ‪:‬‬ ‫�إذا كان الم�ستقي ��م ل ‪ //‬كم ��ا في ال�شكل‬ ‫( ‪ ) 77-2‬ف� َّإن ‪:‬‬ ‫الم�ستقيم ل والمحور ( متقاطعان ‪ ,‬متعامدان ‪ ,‬متوازيان )‬

‫‪130‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫�شـكل ( ‪)77-2‬‬

‫إحداثي‬ ‫الف�ضاءتاَّجِلهات‬ ‫المتَّجِ هات في الم‬ ‫معادلة الم�ستوي في الف�ضاء‬ ‫با�ستخدام مفهوم التعامد يمكننا ا�ستنتاج معادلة الم�ستوي ى العمودي على متجه معلوم وغير �صفري‬ ‫‪ ,‬ويمر بنقطة معلومة ب = ( �س ‪� ، 2‬ص ‪ , 2‬ع ‪. ) 2‬‬ ‫ف� ��إذا فر�ضن ��ا � َّأن النقط ��ة ن = (‬

‫) � ُّأي نقط ��ة عل ��ى الم�ست ��وي ى غي ��ر النقط ��ة ب ‪ ,‬كم ��ا في‬

‫ال�شكل ( ‪ ) 78 2-‬نجد � َّأن ‪:‬‬

‫�شـكل ( ‪)78-2‬‬

‫وهي المعادلة العامة للم�ستوي ويمكن كتابتها على ال�صورة المخت�صرة ‪:‬‬

‫( ‪) 9-2‬‬

‫(‪)16-2‬‬ ‫‪ 1‬معادل ��ة الم�ستوي هي معادلة من الدرجة الأولى ف ��ي ثالثة متغيرات �س ‪� ,‬ص ‪ ,‬ع وت�س َّمى معادلة‬ ‫خطية في ثالثة متغيرات ‪� ( .‬سبق لك درا�سة هذا النوع من المعادالت ‪ .‬متى و�أين ؟ )‬ ‫‪ 2‬كل متجه عمودي على الم�ستوي ى يكون على ال�صورة ‪ :‬ك‬ ‫‪ 3‬المعادلة العامة للم�ستوي المار بالنقطة عمود ًّيا على المتجه‬

‫( لماذا ؟ )‬ ‫هي ‪:‬‬

‫ب ( ‪) 10-2‬‬ ‫ن=‬ ‫‪ 4‬ت�س َّمى ال�صيغة ‪:‬‬ ‫بالمعادلة القيا�سية للم�ستوي المار بالنقطة ب عمود ًّيا على المتجه ‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪131‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫مثال (‪)41-2‬‬ ‫�أوجد معادلة الم�ستوي الذي يمر بالنقطة ( ‪ ) 4 , 0 ، 6 -‬والعمودي على المتجه‬

‫‪.‬‬

‫الحل‬ ‫بفر� ��ض � َّأن =‬

‫‪ ,‬ب = ( ‪ , ) 4 , 0 ، 6 -‬ف�إن َّن ��ا بتطبي ��ق المعادل ��ة القيا�سي ��ة ‪:‬‬

‫نح�صل على المعادلة المطلوبة وهي ‪:‬‬

‫�أنه يمكننا تمثيل معادلة هذا الم�ستـوي كما‬ ‫في �ش ��كل ( ‪ , ) 79-2‬وذلك ب�إيجاد نقط تقاطعه‬ ‫مع المحاور الإحداثية الثالثة على النحو التالي ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ن‪ 1‬نقطة التقاطع مع المحور‬

‫‪:‬‬

‫‪ 2‬ن‪ 2‬نقطة التقاطع مع المحور‬

‫‪:‬‬

‫‪ 3‬ن‪ 3‬نقطة التقاطع مع المحور‬

‫‪132‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪:‬‬

‫�شـكل ( ‪)79-2‬‬

‫ن=‬

‫ب‬

‫إحداثي‬ ‫الف�ضاءتاَّجِلهات‬ ‫المتَّجِ هات في الم‬ ‫مثال (‪)42-2‬‬ ‫�أوجد معادلة الم�ستوي الإحداثي‬

‫‪.‬‬

‫الحل‬ ‫لكي نتمكن من تطبيق المعادلة القيا�سية للم�ستوي ‪ ,‬نختار متج ًها عمود ًّيا على الم�ستوي‬ ‫يمر بنقطة الأ�ص ��ل وعمودي على المحور‬ ‫ونقط ��ة ب تق ��ع علي ��ه ‪ .‬وحي ��ث � َّأن الم�ستوي‬ ‫�أب�سط اختيار يكون ‪:‬‬

‫‪,‬‬ ‫ف� َّ​ّإن‬

‫أي�ضا‬ ‫� َّأن هذه المعادلة هي على ال�صورة العامة لمعادلة الم�ستوي المار ب�أ�صل المحورين ‪ .‬وهي � ً‬ ‫في تدريب ( ‪ ) 8-2‬ب� َّأن ‪:‬‬ ‫و�صفت به نقاط الم�ستوي‬ ‫موافقة لما‬ ‫َ‬ ‫في الف�ضاء الثالثي هي في الواقع‬ ‫والآن لعلك تذكر � َّأن المعادلة �س = ‪ 0‬والتي م َّثلت الم�ستوي‬ ‫تم ِّثل معادلة المحور في الم�ستوي الإحداثي ( ف�ضاء ثنائي البعد ) بينما تم ِّثل �إحداثي نقطة الأ�صل‬ ‫( ف�ضاء �أحادي البعد ) ‪ .‬انظر �شكل ( ‪) 80-2‬‬ ‫على المحور‬

‫�شـكل ( ‪)80-2‬‬

‫وهكذا نجد �أنه ال يمكن تحديد ما تم ِّثله المعادلة �س = ‪ 0‬دون معرفة �أبعاد الف�ضاء الذي تم َّثل فيه هذه‬ ‫المعادلة ‪.‬‬

‫تدريب (‪)22-2‬‬ ‫ب ِّين ما الذي تم ِّثله المعادلة �ص = ‪ 4‬في الف�ضاء الثالثي مع التو�ضيح بالر�سم ‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪133‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫مثال (‪)43-2‬‬ ‫�أوجد معادلة الم�ستوي المار بالنقطة ( ‪ ) 3 , 1- ، 7‬ومواز ًيا للم�ستوي ى ‪� 2 :‬س ‪� -‬ص ‪ +‬ع = ‪. 4 -‬‬

‫الحل‬ ‫المتجه‬

‫عمودي على‬

‫معادلة الم�ستوي‬

‫أي�ضا على الم�ستوي المطلوب وليكن‬ ‫عمودي � ً‬

‫(لماذا ؟)‬

‫هي ‪:‬‬

‫قارن بين معادلتي‬ ‫وهك ��ذا نجد �أن ��ه من الممكن الإفادة من معادلتي م�ستويين لدرا�سة عالق ��ة التوازي �أو التعامد بينهما ‪.‬‬ ‫والنتيجة التالية تو�ضح ذلك‬

‫نتيجة (‪)9-2‬‬ ‫اللذان معادلتاهما ‪:‬‬ ‫�إذا كان لدينا الم�ستويان‬ ‫َ�س‪� 1‬س ‪�َ +‬ص‪� 1‬ص ‪َ +‬ع‪ 1‬ع = َجـ ف� َّإن ‪:‬‬ ‫�س‪� 1‬س ‪� +‬ص‪� 1‬ص ‪ +‬ع‪ 1‬ع = جـ‬ ‫‪1‬‬

‫(لماذا ؟) و ح�سب الملحوظة (‪ )15-2‬نجد �أنه في‬ ‫حالة كون ٍّ‬ ‫كل من �س‪� , 1‬ص‪ , 1‬ع‪ 1‬مغايرة لل�صفر ف� َّإن ‪:‬‬ ‫ع ِّبر عن �شرط التوازي في ٍّ‬ ‫كل من الحالتين الأخريتين من الملحوظة ( ‪) 15-2‬‬

‫‪2‬‬

‫( لماذا ؟ )‬ ‫‪...... .......‬‬

‫‪134‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫( �أكمل الفراغ )‬

‫إحداثي‬ ‫الف�ضاءتاَّجِلهات‬ ‫المتَّجِ هات في الم‬ ‫مثال (‪)44-2‬‬ ‫متوازيين �أم متعامدين في ٍّ‬ ‫كل من الحالتين التاليتين ‪:‬‬

‫ب ِّين ما �إذا كان الم�ستويان‬

‫الحل‬ ‫بتطبيق النتيجة ( ‪ ) 9-2‬نجد � َّأن ‪:‬‬

‫بو�ضع معادلة‬

‫على ال�صورة العامة تكون‬

‫‪� :‬س ‪� -‬ص = ‪0‬‬

‫فيكون �س‪�َ 1‬س‪� 1‬ص‪�َ 1‬ص‪ 1‬ع‪َ 1‬ع‪� = 1 × 0 0 × ) 1- ( 0 × 1 = 1‬صفر‬ ‫( في الم�ستقيم‬

‫� َّأن الم�ستوي ‪� :‬ص= �س هو م�ستوي يتقاطع مع الم�ستوي‬ ‫ل ‪� :‬ص = �س ) ويحوي المحور ‪.‬‬ ‫والآن يمكننا على ن�سق النتيجة ( ‪ ) 9-2‬تقديم النتيجة التالية لتو�ضيح عالقتي التوازي والتعامد‬ ‫بين م�ست ٍو وم�ستقيم في الف�ضاء بداللة معادلتيهما ‪.‬‬

‫نتيجة (‪)10-2‬‬ ‫�إذا كان لدينا الم�ستقيم ل والم�ستوي اللذان معادلتاهما ‪:‬‬ ‫ل ‪ :‬ن = ك (�س‪� ، 1‬ص‪ , 1‬ع‪�( + )1‬س ‪� ، 2‬ص ‪ , 2‬ع ‪ )2‬حيث ك‬

‫‪,‬‬

‫‪�َ :‬س‪� 1‬س ‪�َ +‬ص‪� 1‬ص ‪َ +‬ع‪ 1‬ع = َ‬

‫ف� َّإن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫�صفر‬

‫( لماذا ؟ )‬

‫‪� ( .....................‬أكمل الفراغ )‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪135‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫‪2‬‬

‫( لماذا ؟ )‬ ‫ع ِّبر عن ال�شرط في ٍّ‬ ‫كل من الحاالت الثالث في الملحوظة ( ‪) 15-2‬‬

‫مثال (‪)45-2‬‬ ‫ف���ي ٍّ‬ ‫كل م���ن الحالتي���ن التاليتي���ن وحيث ك‬ ‫عمود ًّيا عليه ‪.‬‬

‫ب ِّين ما �إذا كان الم�ستقيم ل مواز ًيا الم�ستوي �أم‬

‫الحل‬

‫بتطبيق النتيجة ( ‪ ) 10-2‬نجد �أ َّن ‪:‬‬

‫تدريب (‪)23-2‬‬ ‫�إذا كان‬

‫فاختر الإجابة ال�صحيحة فيما بين القو�سين لكل فقرة مما يلي ‪:‬‬ ‫الم�ستويان‬

‫‪,‬‬

‫( متوازيان ‪ ,‬متعامدان ‪ ,‬غير متوازيين وغير متعامدين )‬

‫الم�ستقيم ل والم�ستوي‬

‫‪136‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫( متوازيان ‪ ,‬متعامدان ‪ ,‬متقاطعان )‬

‫إحداثي‬ ‫الف�ضاءتاَّجِلهات‬ ‫المتَّجِ هات في الم‬

‫تمارين (‪)5-2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫ف�أوجد ن في كل حالة مما يلي ‪:‬‬ ‫د‬

‫هـ‬

‫و‬

‫ز‬

‫ح‬

‫ط‬

‫‪ 3‬بالإفادة من معطيات تمرين [ ‪� 2‬أوجد ‪:‬‬ ‫د‬

‫هـ‬

‫و‬

‫ز‬

‫ح‬

‫ط‬

‫ى‬

‫ك‬

‫ل‬

‫‪� 4‬إذا كان‬

‫ف�أوجد قيمة �س في كال الحالتين ‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪137‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫‪5‬‬ ‫�أوجد قيا�س الزاوية بين المتجهين في ٍّ‬ ‫كل مما يلي ‪:‬‬ ‫�سم متجهين متعامدين و�آخرين متوازيين وذلك بالإفادة من نتائج فقرة‬ ‫ِّ‬ ‫‪� 6‬أوجد المعادلة النقطية ثم المعادلة المتجهة والمعادالت الو�سيطية ٍّ‬ ‫لكل من الم�ستقيمات التالية‪:‬‬ ‫المحور‬ ‫الم�ستقيم المار بالنقطة ( ‪ ) 5 - , 2 ، 0‬وفي اتجاه المتجه‬ ‫الم�ستقيم المار بالنقطتين ‪) 3 , 2 ، 4- ( ,‬‬ ‫د‬

‫الم�ستقيم المار بالنقطة ( ‪ ) 1 , 3 ، 2 -‬مواز ًيا للمحور‬

‫‪� 7‬أوجد المعادالت المتجهة والو�سيطية والمتماثلة ٍّ‬ ‫لكل من ‪:‬‬ ‫الم�ستقيم المار بالنقطة ب ( ‪ ) 1 , 2 ، 3‬مواز ًيا المتجه =‬ ‫‪)0,3،0(,) 2 ,‬‬

‫الم�ستقيم المار بالنقطتين ( ‪، 1-‬‬

‫‪ 8‬ادر�س التوازي والتعامد ٍّ‬ ‫لكل من �أزواج الم�ستقيمات التالية ‪,‬‬

‫‪� 9‬أوجد قيا�س الزاوية بين الم�ستقيمين التاليين ‪,‬‬ ‫ل‪: 1‬‬

‫‪138‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫=ك‬

‫‪+‬‬

‫‪ ,‬ل‪: 2‬‬

‫=ك‬

‫‪+‬‬

‫إحداثي‬ ‫الف�ضاءتاَّجِلهات‬ ‫المتَّجِ هات في الم‬ ‫‪� 10‬أوجد معادلة ٍّ‬ ‫كل من الم�ستويات التالية ‪:‬‬ ‫الم�ستوي المار بالنقطة ( ‪ ) 2 , 1- ، 3‬وعمودي على المتجه‬ ‫الم�ستوي المار بالنقطة ( ‪ ) 4 , 3- ، 1‬ويوازي الم�ستوي الإحداثي‬ ‫الم�ستوي المار بالنقطة ( ‪ ) 1 , 1- ، 1‬ومواز ًيا للم�ستوي ى ‪� 3 :‬س ‪� 2 +‬ص ‪ -‬ع = ‪2-‬‬ ‫‪ 11‬ب ِّين ما �إذا كان الم�ستويان‬

‫متوازيين �أم متعامدين في ٍّ‬ ‫كل مما يلي ‪:‬‬

‫د‬ ‫‪ 12‬ب ِّين ما �إذا كان الم�ستقيم ل والم�ستوي متوازيين �أم متعامدين في ٍّ‬ ‫كل مما يلي ‪,‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪139‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫‪ 1‬الكمية القيا�سية والكمية المتجهة ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 3‬عملي ��ة جم ��ع النق ��اط ف ��ي الم�ست ��وي �إبدالي ��ة وتجميعي ��ة وعن�صره ��ا المحاي ��د ه ��و النقط ��ة‬ ‫= ( ‪ ) 0 ، 0‬والمعكو� ��س الجمعي للنقطة ن هو النقط ��ة ‪ -‬ن ‪.‬‬ ‫‪ 4‬خوا�ص عملية �ضرب نقطة بعدد حقيقي وذلك في الم�ستوي ‪.‬‬ ‫‪ 5‬مفهوم القطـعة الموجهة وت�ساير قطعتين موجهتين و� َّأن القطعتين الموجهتين‬ ‫تكونان مت�سايرتين �إذا وفقط �إذا كان‬ ‫‪ 6‬المتجه في الم�ستوي هو مجموعة غير منتهية من القطع الموجهة المت�سايرة ‪.‬‬ ‫‪َّ � 7‬أن ال�ص ��ورة ن حي ��ث ن = ب ‪�� � (= -‬س ‪� ،‬ص ) هي ال�صورة القيا�سية للمتجه ب و�أنه يمكن‬ ‫التعبير عن المتجه ب بم�صفوفة العمود‬

‫‪8‬‬

‫‪140‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪.‬‬

‫المتَّجِ هات‬ ‫‪9‬‬

‫‪� 10‬أن ��ه با�ستخدام طريق ��ة متوازي الأ�ضالع ( �أو طريقة المثلث ) �أمكنن ��ا �إيجاد مجموع متجهين‬ ‫والف ��رق بينهم ��ا هند�س ًّي ��ا كم ��ا �أمكننا تحلي ��ل متجه �إل ��ى مجموع متجهي ��ن �أو الف ��رق بينهما‪.‬‬ ‫‪ 11‬حا�ص ��ل ال�ض ��رب القيا�سي للمتجهي ��ن غير ال�صفريين ب ‪ ,‬جـ د ف ��ي الم�ستوي ي�ساوي حا�صل‬ ‫�ض ��رب طو َل ��ي المتجهي ��ن في جيب تمام قيا�س الزاوي ��ة بينهما ويرمز له بالرمز ب‬

‫ج� �ـ د‬

‫‪ 12‬عملية ال�ضرب القيا�سي للمتجهات �إبدالية وتتوزع على عملية جمع ( �أو طرح ) المتجهات ‪.‬‬ ‫‪ 13‬يكون المتجهان غير ال�صفريين ب =‬

‫‪ ,‬جـ د =‬

‫متوازيين �إذا وفقط �إذا تحقَّق‬

‫� ٌّأي من ال�شروط التالية ‪:‬‬

‫ويكون هذان المتجهان متعامدين �إذا وفقط �إذا تحقَّق � ٌّأي من ال�شرطين التاليين ‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪141‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫‪ 14‬لإيجاد قيا�س الزاوية بين المتجهين‬

‫هـ‬

‫ن�ستخدم القانون ‪:‬‬

‫هـ ‪180‬‬

‫‪ 15‬ا�ستخدام هند�سة المتجهات في �إثبات خوا�ص هند�سية ‪.‬‬ ‫‪ 16‬المعادلة النقطية للم�ستقيم ل المار بالنقطة ب والموازي للم�ستقيم وهي ‪:‬‬ ‫ن = ك ‪ +‬ب حيث ك ‪ ,‬وكيفية �إيجاد المعادلة المتجهة والمعادلتين الو�سيطيتين والمعادلة‬ ‫المتماثلة للم�ستقيم ل ‪ .‬و�إيجاد المعادلة النقطية لم�ستقيم يمر بنقطتين ‪.‬‬ ‫‪ 17‬قيا�س الزاوية بين الم�ستقيمين‬ ‫ل‪ : 1‬ن = ك ‪ + 1‬ب‪ , 1‬ل ‪ : 2‬ن = ك ‪ + 2‬ب‪ 2‬حيث ك‬

‫‪.‬‬

‫وذلك ب�إيجاد قيا�س الزاوية بين المتجهين‬ ‫‪ 18‬مفهوم الف�ضاء ومفاهيم وعالقات هند�سية جديدة في الف�ضاء ‪.‬‬ ‫‪ 19‬النظام الإحداثي في الف�ضاء وو�صف مجموعة نقاط في الف�ضاء با�ستخدام الثالثيات المرتبة ‪.‬‬ ‫‪ 20‬المعادلة العامة للم�ســـــــــتوي ى في الف�ضـــــــاء بمعلوميــــــــة متجه‬ ‫( �س‪� ،2‬ص‪ , 2‬ع‪ ) 2‬يمر بها وهذه المعادلة هي ‪:‬‬

‫‪142‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫عمودي عليه و نقطـــة‬

‫المتَّجِ هات‬

‫تمارين عامة‬ ‫‪� 1‬ضع عالمة ( ) �أو عالمة ( ) عن يمين العبارات التالية ‪:‬‬ ‫ي�صنع زاوية قيا�سها ( ‪ ) 30-‬مع االتجاه الموجب للمحور ال�سيني ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪143143‬‬

‫�إذا كان المتجهان‬

‫يح�صران بينهما زاوية قيا�سها‬

‫وكان‬

‫�إذا لم يقع الم�ستقيمان ل‪ , 1‬ل‪ 2‬في م�ست ٍو واحد فال يمكن �أن يتقاطعا‬ ‫الم�ستقيمان العموديان على ثالث في الف�ضاء متوازيان‬ ‫� ُّأي م�ستقيم وم�ستوي �إما �أن يتقاطعا �أو يتوازيا‬ ‫ن َِ�صف مجموعة نقاط المحور ب�أنها‬

‫‪ 2‬اختر الإجابة ال�صحيحة مما بين القو�سين فيما يلي ‪:‬‬ ‫�إذا كان ك ٌّل من الأ�شكال‬ ‫متوازي �أ�ضالع كما في ال�شكل المجاور ف� َّإن د ي�ساوي‪:‬‬

‫�إذا كانت د منت�صف [ ب جـ في ب جـ كما في ال�شكل المجاور‬ ‫ف� َّإن جـ ي�ساوي ‪:‬‬

‫‪144‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫ف� َّإن ن ت�ساوي ‪ , 15 , 5 , 9 ( :‬ال �شيء مما �سبق )‬ ‫د‬ ‫ف� َّإن قيا�س الزاوية بين‬ ‫هـ‬

‫‪ 3‬في التمارين من [‪� 3‬إلى [‪ 7‬لتكن = ( ‪ , ) 3- , 1‬ب = ( ‪ , ) 2 , 1-‬جـ = ( ‪) 4 , 3‬‬ ‫اح�سب ما يلي ‪:‬‬

‫مو�ض ًحا �إجابتك بالر�سم ‪:‬‬ ‫‪ 4‬اكتب المتجهات ب ‪ ,‬ب جـ ‪ ,‬جـ كم�صفوفات ثم �أوجد ما يلي ِّ‬ ‫‪ 5‬في ٍّ‬ ‫كل مما يلي �أوجد النقاط د = ( �س ‪� ،‬ص ) التي تحقق ال�شرط المعطى ‪:‬‬ ‫‪ +‬ب = جـ ‪ +‬د‬ ‫ب د = جـ‬ ‫د تك ِّون مع النقاط ‪ ,‬ب ‪ ,‬جـ ر�ؤو�س متوازي �أ�ضالع (مع التو�ضيح بالر�سم )‬ ‫د‬

‫د‬

‫هـ‬

‫د م�ضاد في االتجاه للمتجه ب جـ‬

‫ب جـ = ‪0‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪145‬‬

‫‪� 6‬إذا كانت هي قيا�س الزاوية بين ب ‪ ,‬ب جـ فاح�سب جتا ‪ ,‬جا ‪.‬‬ ‫‪� 7‬أوج ��د المعادلة المتجه ��ة للم�ستقيم ل المار بالنقطة جـ والموازي للمتجه ب ثم ع ِّين النقطة د‬ ‫على الم�ستقيم ل والتي �إحداثيها ال�سيني ي�ساوي �إحداثيها ال�صادي ‪.‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪ 9‬لتكن ( ‪ , ) 1- , 4‬ب ( ‪ ) 0 , 9 ( , ) 2 , 6‬ر�ؤو�س المثلث ب ‪ ,‬با�ستخدام ال�ضرب القيا�سي‬ ‫�أثبت � َّأن المثلث ب جـ قائم الزاوية ثم �أوجد قيا�سي الزاويتين الأخريتين ‪.‬‬ ‫‪ 10‬ب جـ د �شكل رباعي فيه �س منت�صف [ ب ‪� ,‬ص منت�صف [ ب جـ ‪ ,‬ع منت�صف [ جـ د ‪,‬‬ ‫م منت�صف [ د �أثبت � َّأن ‪ :‬ب ‪ +‬د جـ ‪ +‬جـ ب ‪ +‬د = ‪ ( 2‬ع �س ‪ +‬م �ص )‬ ‫‪ 11‬ب جـ مثلث فيه ب = جـ ‪ ,‬د نقطة على [ ب جـ ‪� ,‬أثبت � َّأن ‪:‬‬ ‫د عمودي على ب جـ‬

‫ين�صف الزاوية‬ ‫د ِّ‬

‫‪� 12‬إذا كانت ر�ؤو�س المثلث ب جـ هي ( ‪ , ) 3 , 2 , 1-‬ب ( ‪ , ) 0 , 1- , 4‬جـ ( ‪) 1- , 1- , 0‬‬ ‫ف�أوجد ‪:‬‬ ‫المعادلة المتجهة للم�ستقيم الوا�صل بين ومنت�صف [ ب جـ‬ ‫المعادلة المتجهة للم�ستقيم الوا�صل بين ب ومنت�صف [ جـ‬ ‫با�ستخدام ال�ضرب القيا�سي اثبت � َّأن المثلث ب جـ قائم الزاوية ‪.‬‬ ‫د �أوجد قيا�س الزاويتين الأخريتين في المثلث ب جـ ‪.‬‬

‫‪146‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪� 13‬إذا كان ل‪ 1‬يم ��ر بالنقطتي ��ن ( ‪ ) 7 , 8 , 8 ( , ) 5- , 1- , 2‬والم�ستقي ��م ل‪ 2‬يم ��ر بالنقطتي ��ن‬ ‫( ‪ ) 2 , 8 , 8 ( , ) 6- , 2 , 4‬ف�أثبت � َّأن ل‪ // 1‬ل‪. 2‬‬ ‫‪� 14‬أثبت � َّأن معادلة الكرة التي مركزها النقطة ‪� (2‬س‪� ، 1‬ص‪ ,1‬ع‪ ) 1‬ون�صف قطرها هي ‪:‬‬ ‫( �س – �س‪� ( 2) 1‬ص – �ص‪ ( 2) 1‬ع – ع‪= 2) 1‬‬

‫‪2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪147‬‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫الأعداد المركَّبة‬

‫(‪ )1-3‬مجموعة الأعداد المر َّكبة‬ ‫(‪ )2-3‬العمليات على الأعداد المر َّكبة‬ ‫(‪ )3-3‬حل معادالت الدرجة الثانية في‬ ‫مجموعة الأعداد المر َّكبة‬

‫تطرق الخوارزمى في كتابة "الجبر‬ ‫والمقابلة" �إلى حل معادالت الدرجة‬ ‫الثاني ��ة و�أ�ش ��ار �إل ��ى وج ��ود ح ��االت‬ ‫ث�ل�اث‪ :‬ف�إم ��ا �أن يك ��ون للمعادل ��ة‬ ‫ج ��ذران مختلف ��ان ‪� ،‬أو �أن يك ��ون‬ ‫له ��ا ج ��ذران مت�ساوي ��ان �أو �أن تكون‬ ‫الم�س�أل ��ة م�ستحيلة ‪ ،‬وه ��ذا ما نعبر‬ ‫عنه في ه ��ذه الوحدة ب� �� َّأن للمعادلة‬ ‫جذرين تخيليين‪.‬‬

‫ُيتو َّقع من الطالب بعد درا�سـة هذه الوحدة‬ ‫�أن يكون قاد ًرا على �أن ‪:‬‬ ‫‪ُ -1‬يع ِّرف العدد المر َّكب ومرافقه وقيا�سه‪.‬‬ ‫‪ُ -2‬يجري العمليات الجبرية الأربع على الأعداد‬ ‫المر َّكبة‪.‬‬ ‫‪ -3‬يوجد المعكو�س ال�ضربي للعدد المر َّكب‪.‬‬ ‫‪ -4‬يوجد الجذور التربيعية للعدد المر َّكب‪.‬‬ ‫‪ -5‬يحل معادالت الدرجة الثانية في مجموعة‬ ‫الأعداد المر َّكبة‪.‬‬

‫الوحدة الثالثة‬

‫‪1-3‬‬

‫مجموعة الأعداد المركَّبة‬ ‫� َّإن ح ��ل المعادالت من الم�سائل المهمة في الجبر‪ ،‬وقد عرفنا �سابقًا �أنه يوجد في مجموعة‬ ‫الأع ��داد الحقيقي ��ة حل واحد ل َّأي معادلة من الدرجة الأول ��ى في متغير واحد‪ ،‬وعند درا�سة‬ ‫معادل ��ة الدرجة الثانية في متغير واحد وجدنا �أنه لبع� ٍ��ض منها حلول في مجموعة الأعداد‬ ‫الحقيقي ��ة في حين � َّأن بع�ضها الآخ ��ر لي�س له حل في هذه المجموعة وهي المعادالت �سالبة‬ ‫الممي ��ز والت ��ي �أطلق عليها العال ��م الم�سلم الخوارزم ��ي م�س َّمى « المع ��ادالت الم�ستحيلة ‪.‬‬ ‫ونظ ًرا �إلى ظهور هذه المعادالت في كثير من التطبيقات الفيزيائية والهند�سية فقد ظهرت‬ ‫الحاجة �إلى تو�سيع مجموعة الأعداد الحقيقية �إلى مجموعة �أكبر منها هي مجموعة الأعداد‬ ‫المركبة والتي �ستكون مو�ضوع درا�ستنا في هذه الوحدة ‪.‬‬ ‫«‬

‫العدد التخيلي‬

‫هي من �أب�سط معادالت الدرجة الثانية‬ ‫� َّإن المعادلة‬ ‫م�ستحيل ��ة الح ��ل في ؛ وذلك لأنه لي�س للعدد الحقيق ��ي ال�سالب ( – ‪ ) 1‬جذر تربيعي حقيقي‬ ‫ونرم ��ز له بالرمز و‬ ‫‪ .‬ولح ��ل ه ��ذه المعادل ��ة نفتر� ��ض وجود ع ��دد غير حقيقي ي�ساوي‬ ‫ن�سميه عد ًدا تخيل ًّيا ‪.‬‬ ‫وفيم ��ا يل ��ي نقدم التعريف الأ�سا�س ��ي لهذا العدد والذي ُيع� � ُّد اللبنة الأ�سا�سية ف ��ي بناء مجموعة‬ ‫الأعداد المركَّبة‪.‬‬

‫تعريف ( ‪)1 -3‬‬ ‫العدد التخيلي‬ ‫�سنفتر�ض � َّأن العدد‬ ‫العدد كما يلي ‪:‬‬

‫وهكذا ‪...‬‬

‫‪150‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫هو العدد الذي يحقِّق المعادلة‬ ‫يحقِّق الخوا�ص الجبرية للأعداد الحقيقية ؛ وبهذا ن�ستطيع ح�ساب قوى‬

‫بةبة‬ ‫المر َّك‬ ‫أعدادالمر َّك‬ ‫مجموعةلالأعداد‬ ‫ا‬ ‫�أكمل الجدول التالي‪:‬‬

‫لعل ��ك الحظ ��ت � َّأن ق ��وى الع ��دد ت ذات الأ�س الطبيعـ ��ي تعطي �إح ��دى القيم‬ ‫وهذه القيم تتكرر ب�صفة دورية كلما زاد الأ�س بمقدار ‪.4‬‬ ‫نق�سم على ‪ 4‬فيكون‬ ‫وعليه ف�إننا لإيجاد حيث‬ ‫�إذا كانت تقبل الق�سمة على ‪4‬‬ ‫�إذا كان باقي ق�سمة على ‪ 4‬هو ‪ ،‬حيث‬ ‫فمث ً‬ ‫ال ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫تقبل الق�سمة على ‪4‬‬ ‫؛ ل َّأن باقي ق�سمة ‪ 131‬على ‪ 4‬هو ‪3‬‬

‫تدريب (‪)1-3‬‬ ‫اكتب ك ًّال مما ي�أتي في �أب�سط �صورة ‪:‬‬ ‫ومن الجدير بالذكر �أنه يمكن كتابة جذر � ِّأي عدد حقيقي �سالب بداللة وفق التعريف التالي‪:‬‬

‫تعريف ( ‪)2 -3‬‬ ‫�إذا كان‬

‫ف� َّإن‬

‫مثال (‪)1-3‬‬

‫اكتب‬

‫بداللة‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪151‬‬

‫الوحدة الثالثة‬

‫مجموعة الأعداد المر َّكبة‬ ‫تعريف ( ‪)3 -3‬‬ ‫العدد المركَّب هو عدد على ال�صورة‬ ‫‪ُ ،‬ي�س َّمى الجزء الحقيقي للعدد‬ ‫المركَّبة بالرمز فتكون‪:‬‬

‫ً‬ ‫فمث�ل�ا‪ :‬الع ��دد‬ ‫العدد الحقيقي ‪.3‬‬

‫حيث‬ ‫الجزء التخيلي للعدد ونرمز لمجموعة الأعداد‬

‫ه ��و ع ��دد مرك ��ب جز�ؤه الحقيقي هو العدد الحقيق ��ي ‪ 2‬وجز�ؤه التخيلي هو‬

‫(‪)1-3‬‬ ‫؛ �إذ � َّأن َّ‬ ‫كل‬ ‫مجموعة الأعداد الحقيقية مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد المركبة �أي � َّأن‬ ‫‪ ،‬ويكون �صف ��ر الأعداد الحقيقية �صف ًرا‬ ‫ع ��دد حقيق ��ي � ��س يمك ��ن كتابته على ال�ص ��ورة‬ ‫للأعداد المركبة‪.‬‬

‫مثال (‪)2-3‬‬ ‫اكتب ك ًّ‬ ‫ال من الأعداد التالية على ال�صورة‬ ‫د‬

‫الحل‬

‫‪152‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫هـ‬

‫و‬

‫بةبة‬ ‫المر َّك‬ ‫أعدادالمر َّك‬ ‫مجموعةلالأعداد‬ ‫ا‬ ‫د‬ ‫هـ‬

‫؛ ل َّأن باقي ق�سمة العدد ‪ 101‬على ‪ 4‬ي�ساوي ‪1‬‬

‫و‬

‫؛ ل َّأن تطبيق الخا�صية‬ ‫م�شروط ب�أن يكون‬

‫تعريف ( ‪)4 -3‬‬ ‫يت�ساوى عددان مركبان �إذا وفقط �إذا ت�ساوى جزءاهما الحقيقيان وت�ساوى جزءاهما التخيليان‪،‬‬ ‫�أي �أنه‬

‫(‪)2-3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬مجموعة الأعداد المركبة غير مرتَّبة‪ ،‬فال يمكن �أن نقول � َّأن العـــدد المــــركب‬ ‫�أو �أ�صغر منه ‪ ،‬كما �أنه ال يمكن �أن نقول � َّأن عد ًدا مركـ ًبا‬ ‫�أكبر من العدد المركب‬ ‫ما هو موجب �أو �سالب‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪153‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫مثال (‪)3-3‬‬ ‫�أوجد قيم �س ‪� ،‬ص الحقيقية التي تحقِّق ما ي�أتي ‪:‬‬

‫الحل‬ ‫من تعريف ( ‪ ) 4-3‬نجد � َّأن ‪:‬‬

‫تدريب (‪)2-3‬‬ ‫�أوجد قيم �س ‪� ،‬ص الحقيقيين التي تحقِّق الم�ساواة ‪:‬‬

‫‪154‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫بةبة‬ ‫المر َّك‬ ‫أعدادالمر َّك‬ ‫مجموعةلالأعداد‬ ‫ا‬

‫تمارين (‪)1-3‬‬ ‫‪ 1‬اكتب ما ي�أتي في �أب�سط �صورة ‪:‬‬ ‫د‬ ‫‪ 2‬ع ِّبر عن ٍّ‬ ‫كل مما يلي بال�صورة‬

‫و‬

‫هـ‬

‫‪ ،‬عل ًما ب� َّأن‬ ‫د‬

‫هـ‬

‫و‬

‫ز‬

‫طـ‬

‫ي‬

‫ك‬

‫ح‬

‫‪� 3‬أوجد �س ‪� ،‬ص الحقيقيين فيما يلي ‪:‬‬

‫د‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪155‬‬

‫الوحدة الثالثة‬

‫‪2-3‬‬

‫العمليات على الأعداد المركبة‬ ‫ف ��ي هذا البند ُنع� � ِّرف العمليات على الأعداد المركبة بحيث تكون هذه التعاريف متفقة مع‬ ‫النتائ ��ج الت ��ي نح�صل عليها لو ط َّبقنا القواعد الجبرية عل ��ى الأعداد المركبة كما نط ِّبقها‬ ‫على الأعداد الحقيقية‪.‬‬

‫عملية الجمع على‬ ‫تعريف ( ‪)5 -3‬‬ ‫�إذا كان‬ ‫ف� َّإن حا�صل جمعهما هو العدد المركب‪:‬‬

‫� َّإن هذا التعريف يعني � َّأن جمع عددين مركبين يتم بجمع الجزئين الحقيقيين م ًعا وجمع الجزئين‬ ‫التخيليين م ًعا ؛ �أي �أنـهما يجمعان كمقدارين جبريين ‪.‬‬

‫مثال (‪)4-3‬‬

‫خوا�ص عملية الجمع على‬

‫‪ 1‬عملية جمع الأعداد المركبة �إبدالية ؛ لأنه‬

‫( عملية الجمع على �إبدالية )‬ ‫( تعريف ( ‪) ) 5-3‬‬

‫‪156‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫المركبة‬ ‫أعدادالمر َّكبة‬ ‫علىلالأعداد‬ ‫العمليات ا‬ ‫‪ 2‬عملية جمع الأعداد المركبة تجميعية ؛ لأنه‬

‫( عملية الجمع على تجميعية )‬

‫‪ 3‬عملية الجمع على‬

‫لها عن�صر محايد هو ال�صفر ؛ لأنه‬

‫‪ 4‬يوجد لكل عدد مركب‬

‫معكو�س جمعي يرمز له بالرمز‬

‫فمث ً‬ ‫ال ‪ :‬المعكو�س الجمعي للعدد‬ ‫و المعكو�س الجمعي للعدد‬ ‫وكذلك المعكو�س الجمعي للعدد ‪ 2‬هو – ‪ ، 2‬وهذا يتفق مع كون العدد ‪ 2‬عد ًدا حقيق ًيا‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪157‬‬

‫الوحدة الثالثة‬

‫عملية الطرح على‬ ‫تعريف ( ‪)6 -3‬‬ ‫�إذا كان‬ ‫ف� َّإن حا�صل طرح‬

‫من‬

‫هو العدد المركب‪:‬‬

‫مثال (‪)5-3‬‬

‫تدريب (‪)3-3‬‬ ‫�إذا كان‬ ‫ف�أوجد ك ًّال من ك‪ – 1‬ك‪ ، 2‬ك‪ – 2‬ك‪ 1‬ثم قارن بينهما‪ .‬ماذا تالحظ ؟‬

‫عملية ال�ضرب على‬ ‫تعريف ( ‪)7 -3‬‬ ‫�إذا كان‬ ‫ف� َّإن حا�صل �ضربهما هو العدد المركب‪:‬‬

‫‪158‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫المركبة‬ ‫أعدادالمر َّكبة‬ ‫علىلالأعداد‬ ‫العمليات ا‬ ‫ومن الجدير بالذكر �أنه يمكننا الح�صول على ناتج ال�ضرب الوارد في التعريف ( ‪ ) 7-3‬ب�ضرب العددين‬ ‫ك‪ ، 1‬ك‪ 2‬كمقدارين جبريين مع التعوي�ض عن ت‪ 2‬بالعدد ( – ‪. ) 1‬‬

‫مثال (‪)6-3‬‬

‫�أنه با�ستخدام القواعد الجبرية يمكن �إجراء عملية ال�ضرب ال�سابقة كما يلي ‪:‬‬

‫�أنه با�ستخدام القواعد الجبرية يكون‪:‬‬

‫د‬

‫خوا�ص عملية ال�ضرب على‬ ‫اعتم ��ا ًدا عل ��ى خوا�ص عملية ال�ضرب في و بطريق ��ة م�شابهة لطريقة �إثبات خوا�ص عملية الجـــــمع‬ ‫على يمكننا �إثبات الخوا�ص التالية ‪:‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪159‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫‪ 1‬عملية ال�ضرب على‬

‫�إبدالية‪� ،‬أي �أنه‬

‫‪ 2‬عملية ال�ضرب على‬

‫تجميعية‪� ،‬أي �أنه‬

‫‪ 3‬عملية ال�ضرب تتوزع على عملية الجمع في‬

‫‪ 4‬عملية ال�ضرب على‬

‫�أي �أنه‬

‫لها عن�صر محايد هو العدد واحد �أي �أنه‬

‫تدريب (‪)4-3‬‬ ‫�أوجد‬ ‫خا�صية الإبدال لعملية ال�ضرب في‬

‫وقارن الناتج بناتج فقرة ( ) من مثال ( ‪ ) 6-3‬للتحقق من‬ ‫‪.‬‬

‫عملية الق�سمة على‬

‫لإجراء عملية ق�سمة عددين مركبين يلزمنا تقديـم بع�ض التعريفات الأ�سا�سية المتعلقة بالعدد المركب ‪.‬‬

‫مرافق العدد المركب‬ ‫تعريف ( ‪)8 -3‬‬ ‫ل ِّأي ع ��دد مرك ��ب‬ ‫و يرمز له بالرمز ‪.‬‬

‫‪160‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫ُي�س َّم ��ى الع ��دد المرك ��ب‬

‫مراف ًق ��ا للع ��دد‬

‫المركبة‬ ‫أعدادالمر َّكبة‬ ‫علىلالأعداد‬ ‫العمليات ا‬ ‫مثال (‪)7-3‬‬

‫د‬

‫(‪)3-3‬‬ ‫‪ ،‬وفي الواقع ف�إنه ‪:‬‬ ‫) � َّأن‬ ‫وجدنا في المثال ال�سابق فقرة ( د ) ( حيث‬ ‫؛ ذل ��ك � َّأن العددين المترافقين ال يختلف ��ان �إ َّال في �إ�شارة الجزء التخيلي‬ ‫يكون‬ ‫منهما‪.‬‬

‫تدريب (‪)5-3‬‬ ‫و�ضح متى يكون‬ ‫ِّ‬

‫خوا�ص العدد المركب ومرافقه‬ ‫‪ 1‬مرافق المرافق ل ِّأي عدد مركب هو العدد المركب نف�سه ؛ ذلك � َّأن ‪:‬‬ ‫‪ 2‬مجموع � ِّأي عدد مركب مع مرافقه هو عدد حقيقي ؛ ذلك � َّأن ‪:‬‬ ‫‪ 3‬الفرق بين � ِّأي عدد مركب و مرافقه هو عدد مركب جز�ؤه الحقيقي �صفر ؛ ذلك � َّأن ‪:‬‬

‫‪ 4‬حا�صل �ضرب � ِّأي عدد مركب بمرافقه هو عدد حقيقي ؛ ذلك � َّأن ‪:‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪161‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫تدريب (‪)6-3‬‬ ‫حقِّق الخوا�ص ال�سابقة للعدد المركب‬

‫‪0‬‬

‫مثال (‪)8-3‬‬ ‫ح ِّلل العدد ‪� 13‬إلى عاملين مركبين‪.‬‬

‫الحل‬ ‫في الواقع يمكن �إجراء هذا التحليل بع َّدة طرق منها‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫� ِ‬ ‫أعط ثالث طرق �أخرى لتحليل العدد ‪� 13‬إلى عاملين مركبين ‪.‬‬

‫القيمة المطلقة للعدد المركب ( قيا�س العدد المركب )‬ ‫تعريف ( ‪)9 -3‬‬ ‫ي�س َّمى العدد الحقيقي‬ ‫ل ِّأي عدد مركب‬ ‫�أي � َّأن‬ ‫للعدد ( �أو قيا�س العدد ك ) ويرمز له بالرمز‬

‫(‪)4-3‬‬ ‫يت�ضح من التعريف ال�سابق ما يلي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪162‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫( لماذا ؟ )‬

‫بالقيمة المطلقة‬

‫المركبة‬ ‫أعدادالمر َّكبة‬ ‫علىلالأعداد‬ ‫العمليات ا‬ ‫مثال (‪)9-3‬‬

‫ومن المعلوم � َّأن‬

‫المعكو�س ال�ضربي للعدد المركب‬ ‫ا�ستنا ًدا �إلى � َّأن‬

‫وبفر�ض � َّأن‬

‫وحيث � َّإن‬ ‫هو العدد المركب‬

‫ف�إنه يمكننا كتابة‪:‬‬

‫يكون‪:‬‬

‫ف�إننا ن�ستنتج � َّأن المعكــــــــو�س ال�ضــربي للعدد المركب‬

‫ورمزه‬

‫وهذا يعني � َّأن ‪:‬‬

‫و� َّأن ‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪163‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫مثال (‪)10-3‬‬

‫مبا�شر ًة بالتعوي�ض في القــــــــانون ( ‪ ) 2-3‬كما يمكننا �إيجـــــاد‬ ‫�أنه يمكن الح�صول على‬ ‫على النحو التالي ‪:‬‬ ‫بال�ضرب في‬

‫وه ��ذا يتف ��ق م ��ع ك ��ون‬ ‫العدد – ‪ 4‬عد ًدا حقيق ًيا‪.‬‬ ‫والآن يمكننا تعريف عملية الق�سمة على‬

‫تعريف ( ‪)10 -3‬‬

‫�إذا كان‬

‫كما يلي ‪:‬‬ ‫ف� َّإن ناتج ق�سمة‬

‫ومن هذا التعريف ومن القانون ( ‪ ) 1-3‬ن�ستنتج � َّأن ‪:‬‬

‫‪164‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫على‬

‫هو العدد المركب ‪:‬‬

‫المركبة‬ ‫أعدادالمر َّكبة‬ ‫علىلالأعداد‬ ‫العمليات ا‬

‫�أنه يمكننا �إيجاد‬

‫ب�ضرب ٍّ‬ ‫كل من الب�سط والمقام في‬

‫فيكون‪:‬‬

‫مثال (‪)11-3‬‬ ‫ف�أوجد‬

‫�إذا كان‬

‫الحل‬

‫�أنه يمكننا �إيجاد‬

‫ب�ضرب ٍّ‬ ‫كل من الب�سط والمقام في‬

‫على النحو التالي‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪165‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫مثال (‪)12-3‬‬ ‫ف�أثبت �أ َّن‬

‫�إذا كان‬

‫الحل‬

‫� ًإذا‬

‫‪166‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫عددان مترافقان ‪.‬‬

‫عددان مترافقان‪.‬‬

‫المركبة‬ ‫أعدادالمر َّكبة‬ ‫علىلالأعداد‬ ‫العمليات ا‬

‫تمارين (‪)2-3‬‬ ‫‪� 1‬أوجد ناتج ٍّ‬ ‫كل مما ي�أتي ‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬

‫و‬

‫ز‬

‫ح‬

‫‪� 2‬أوجد حا�صل ال�ضرب في ٍّ‬ ‫كل مما ي�أتي ‪:‬‬ ‫د‬ ‫هـ‬

‫و‬

‫ز‬

‫ح‬

‫ط‬ ‫‪� 3‬أوجد المعكو�س الجمعي والمعكو�س ال�ضربي والمرافق والقيمة المطلقة ٍّ‬ ‫لكل من الأعداد المركبة‬ ‫التالية ‪:‬‬ ‫د‬ ‫‪ 4‬ما هو العدد المركب الذي ي�ساوي معكو�سه الجمعي ؟ وما هو العدد المركب الذي ي�ساوي معكو�سه‬ ‫ال�ضربي ؟‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪167‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫‪ 5‬اح�سب ناتج الق�سمة‬

‫في ٍّ‬ ‫كل من الحاالت الآتية‪:‬‬

‫‪� 6‬ضع ك ًّال مما ي�أتي على ال�صورة‬

‫د‬ ‫هـ‬ ‫و‬ ‫ز‬ ‫ح‬ ‫ط‬ ‫ي‬ ‫ك‬

‫‪168‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫المركبة‬ ‫أعدادالمر َّكبة‬ ‫علىلالأعداد‬ ‫العمليات ا‬ ‫‪� 7‬أوجد �س ‪� ،‬ص الحقيقيين فيما يلي‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬ ‫و‬

‫‪� 8‬أوجد ك في ٍّ‬ ‫كل من الحاالت التالية ‪:‬‬

‫‪ 9‬ح ِّلل المقادير التالية �إلى عوامل مركبة ‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪169‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫‪ 10‬ليكن‬ ‫�أوجد قيمة‬ ‫‪� 11‬إذا كان‬

‫�أثبت � َّأن‬ ‫ف�أثبت � َّأن‬

‫‪� 12‬أثبت � َّأن‬ ‫‪� 13‬إذا كانت‬

‫ف�أثبت � َّأن‬ ‫ف�أثبت � َّأن ك ‪ ،‬ل مترافقان ثم �أوجد‬

‫‪� 14‬إذا كانت‬ ‫قيمة المقدار‬

‫‪� 15‬أثبت �صحة العبارة في ِّ‬ ‫كل حالة مما ي�أتي بطريقة جبرية حيث‬

‫د‬

‫‪170‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫هـ‬

‫و‬

‫ز‬

‫ح‬

‫حل معادالت الدرجة الثانية‬ ‫أعدادالمر َّكبة‬ ‫في مجموعةااللأعداد‬ ‫المركبة‬

‫‪3-3‬‬

‫حل معادالت الدرجة الثانية فى‬ ‫مجموعة الأعداد المركبة‬ ‫الجذور التربيعية للعدد المركب‬ ‫الذي يحـــــــــــقِّق‬ ‫‪ ،‬ف� َّإن العــــــدد الحــــــقيقي‬ ‫عـــــرفنا �أنه �إذا كــــان‬ ‫ي�س َّمى الجذر التربيعي للعدد ‪.‬‬ ‫المعادلة‬ ‫الذي يحقِّق‬ ‫عـــد ًدا مركـ ًبا ف� َّإن العــــــدد المركب‬ ‫وبالمثل �إذا كان‬ ‫المعادلة‬ ‫‪ ،‬و�سنرى من خالل الأمثلة التالية � َّأن لكل‬ ‫ي�س َّمى الجذر التربيعي للعدد المــــركب‬ ‫جذرين تربيعيين ك ًّال منهما على ال�صورة‬ ‫عدد مركب‬ ‫ويحقِّق المعادلة‬

‫مثال (‪)13-3‬‬ ‫�أوجد الجذور التربيعية للعدد‬

‫الحل‬ ‫نفر�ض � َّأن الجذر التربيعي للعدد‬

‫هو‬

‫فيكون‬

‫( لماذا ؟ )‬ ‫والآن نوجد �س ‪� ،‬ص بحل النظام المك َّون من المعادلتين ‪،‬‬ ‫حيث‬ ‫على‬ ‫وذلك ب�أن نق�سم طرفي المعادلة‬

‫( لماذا ؟ )‬

‫فنجد � َّأن‬ ‫ث َّـم بالتعوي�ض عن �ص من المعادلة‬

‫في المعادلة‬

‫نح�صل على‪:‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪171‬‬

‫الوحدة الثالثة‬

‫( لي�س لهذه المعادلة حل ل َّأن �س عدد حقيقي )‬

‫وبالتعوي�ض عن‬

‫في المعادلة‬

‫� ًإذا جذرا العدد‬

‫هما‬

‫نح � ِّ�ذر هن ��ا م ��ن التعوي� ��ض ع ��ن‬ ‫مما ينتج عنه قي ًما ال تحقق المعادلة‬

‫نجد � َّأن‪:‬‬

‫في المعادلة‬

‫تدريب (‪)7-3‬‬ ‫تحقَّق من �صحة حل مثال ( ‪ ) 13-3‬بتربيع ٍّ‬ ‫كل من الجذرين ‪.‬‬ ‫�أوجد الجذور التربيعية للعدد‬

‫‪172‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫والتي فيها �ص من الدرجة الثانية‬

‫حل معادالت الدرجة الثانية‬ ‫أعدادالمر َّكبة‬ ‫في مجموعةااللأعداد‬ ‫المركبة‬ ‫حل معادالت الدرجة الثانية في مجموعة الأعداد المركبة‬ ‫علمت �سابقًا عند درا�سة حل معادلة الدرجة الثانية‪:‬‬

‫� َّأن حل المعادلة يعتمد على قيمة‬ ‫با�ستخدام القانون العام‬ ‫و يكون‬ ‫فيكون للمعادلة جذران حقيقيان مت�ساويان �إذا كان‬ ‫المميز‬ ‫بينما ال يـــــكون لها حل في �إذا كان‬ ‫لها جــذران حقيقيان مختلفان �إذا كــان‬ ‫و�سن ��رى من خ�ل�ال الأمثلة الآتية � َّأن للمعادلة من الدرجة الثانية ج ��ذران في مجموعة الأعداد المركبة‬ ‫دائ ًما بغ�ض النظر عن قيمة المميز‪.‬‬

‫مثال (‪)14-3‬‬ ‫�أوجد جذور المعادلة‬

‫الحل‬ ‫با�ستخدام القانون العام ِّ‬ ‫لحل معادلة الدرجة الثانية‪ :‬حيث‬

‫يكون‪:‬‬

‫� ًإذا للمعادلة جذران هما‬ ‫تحقَّق من �صحة الحل بالتعوي�ض في المعادلة المعطاة‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪173‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫مثال (‪)15-3‬‬ ‫حل المعادلة‬

‫الحل‬ ‫با�ستخدام القانون العام لحل معادلة الدرجة الثانية نجد � َّأن ‪:‬‬

‫مثال (‪)16-3‬‬ ‫�أوجد مجموعة حل المعادلة‬

‫الحل‬ ‫في ه ��ذا المثال ال �ضرورة ال�ستخدام القانون العام حيث يمكنن ��ا كتابة المعادلة على ال�صورة‬ ‫فيكون ‪:‬‬ ‫�أنه يمكننا كذلك حل هذه المعادلة على النحو التالي ‪:‬‬

‫تدريب (‪)8-3‬‬ ‫حل ك ًّال من المعادالت التالية في‬

‫‪174‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪:‬‬

‫حل معادالت الدرجة الثانية‬ ‫أعدادالمر َّكبة‬ ‫أعداد‬ ‫ا‬ ‫المركبة‬ ‫مجموعةلال‬ ‫في‬ ‫(‪)5-3‬‬ ‫من القانون العام والأمثلة ال�سابقة نالحظ الخا�صيتين التاليتين لجذري معادلة الدرجة الثانية ( ‪.) 5-3‬‬ ‫‪� 1‬إذا كان الجذران غير حقيقيين ف�إنهما مترافقان‪� ،‬أي �أنه �إذا كان‬ ‫هو الجذر الآخر لها‪.‬‬ ‫�أحد جذري المعادلة ف� َّإن‬ ‫‪ 2‬مجموع الجذرين‬

‫‪ ،‬وحا�صل �ضرب الجذرين‬

‫ولعل ��ك تذكر ا�ستخدامنا للخا�صية (‪ )2‬في مقرر ريا�ضي ��ات (‪ )1‬لإيجاد معادلة الدرجة الثانية‬ ‫بمعلومية جذريها الحقيقيين ؛‬ ‫ذلك � َّأن المعادلة ( ‪ ) 5-3‬تكافئ المعادلة‪:‬‬

‫والتي تعني � َّأن ‪:‬‬

‫و الآن يمكننا بالإفادة من الخا�صية (‪� )1‬إيجاد معادلة الدرجة الثانية �إذا ُعلم جذر غير حقيقي‬ ‫واحد من جذريها‪.‬‬

‫مثال (‪)17-3‬‬ ‫�أوجد معادلة الدرجة الثانية التي �أحد جذريها‬

‫الحل‬ ‫بما � َّأن‬ ‫� ًإذا مرافقه‬ ‫ويكون معامل‬

‫جذر للمعادلة المطلوبة‬ ‫جذر �آخر لها‪.‬‬ ‫مجموع الجذرين‬

‫والحد الثابت حا�صل �ضرب الجذرين‬ ‫� ًإذا المعادلة هي ‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪175‬‬

‫الوحدة الثالثة‬

‫تمارين (‪)3-3‬‬ ‫‪� 1‬أوجد الجذور التربيعية ٍّ‬ ‫لكل من الأعداد التالية ‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬

‫و‬

‫ز‬

‫ح‬

‫‪� 2‬أوجد جذور المعادالت التالية في‬

‫‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬

‫و‬

‫ز‬

‫ح‬

‫ط‬

‫ي‬

‫ك‬

‫ل‬

‫‪ 3‬في ٍّ‬ ‫كل مما يلي �أوجد معادلة الدرجة الثانية التي �أحد جذريها ‪:‬‬ ‫د‬

‫‪176‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫حل معادالت الدرجة الثانية‬ ‫أعدادالمر َّكبة‬ ‫أعداد‬ ‫ا‬ ‫المركبة‬ ‫مجموعةلال‬ ‫في‬ ‫و‬

‫هـ‬ ‫ز‬ ‫‪� 4‬إذا كان‬

‫�أحد جذري المعادلة‬

‫ف�أوجد قيمة ب ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪177‬‬

‫الوحدة الثالثة‬

‫‪ 1‬العدد التخيلي ت وقوى هذا العدد وكتابة جذر � ِّأي عدد حقيقي �سالب بداللة ت‪.‬‬ ‫‪ 2‬العدد المركب ك ورمز مجموعة الأعداد المركبة‬

‫‪ 3‬ل ِّأي عدد مركب‬

‫‪� 4‬إذا كان‬

‫‪ 5‬عملي ��ة الجم ��ع على‬ ‫للعدد المركب‬

‫‪178‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫حيث‬

‫ف� َّإن ‪:‬‬

‫بحيث‬

‫ف� َّإن ‪:‬‬

‫�إبدالي ��ة وتجميعية وعن�صرها المحايد هو ال�صف ��ر والمعكو�س الجمعي‬ ‫هو العدد المركب‬

‫الأعداد المر َّكبة‬ ‫‪ 6‬عملي ��ة ال�ض ��رب على‬ ‫للعدد المركب‬

‫�إبدالية وتجميعي ��ة وعن�صرها المحايد هو الواحد والمعكو�س ال�ضربي‬ ‫‪ 0‬هو العدد المركب ‪:‬‬

‫كذلك ف� َّإن عملية ال�ضرب تتوزع على عملية الجمع في‬

‫‪.‬‬

‫‪� 7‬إيجاد الجذور التربيعية للعدد المركب ‪.‬‬ ‫‪ 8‬ح ��ل معادلة الدرج ��ة الثاني ��ة ذات المعامالت الحقيقية والت ��ي مميزها �سال ��ب‪ ،‬و �إيجاد معادلة‬ ‫الدرجة الثانية �إذا ُعلم جذر غير حقيقي واحد من جذريها‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪179‬‬

‫تمارين عامة‬ ‫‪� 1‬ضع عالمة ( ) �أو عالمة ( ) عن يمين العبارات التالية ‪:‬‬ ‫مجموعة الأعداد ال�صحيحة هي مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد المركبة ‪.‬‬ ‫جز�ؤه الحقيقي ي�ساوي ‪َ 1‬و جز�ؤه التخيلي ي�ساوي –‪. 1‬‬

‫العدد المركب‬ ‫مرافق العدد‬ ‫القيمة المطلقة للعدد ت‪ 5‬ت�ساوي ‪. 1‬‬

‫جذرا معادلة الدرجة الثانية مترافقان دائ ًما ‪.‬‬ ‫�إذا كان‬

‫جذ ًرا للمعادلة‬

‫المعكو�س ال�ضربي للعدد‬ ‫‪� 2‬ضع ًّ‬ ‫خطا تحت الإجابة ال�صحيحة في ٍّ‬ ‫كل مـما يلي ‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬

‫‪180‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫ف� َّإن‬

‫ت�ساوي �صفر ‪.‬‬

‫و‬ ‫ز‬ ‫ح مجموعة حل المعادلة‬

‫‪� 3‬ضع ك ًّال مـما ي�أتي على ال�صورة‬

‫‪� 4‬أوجد الجذور التربيعية للعدد المركب‬ ‫‪� 5‬أوجد مجموعة حل المعادالت الآتية في‬

‫‪� 6‬إذا كان‬ ‫ف�أوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل من‬

‫‪:‬‬

‫هما جذرا المعادلة‬ ‫بفر�ض �أنـهما حقيقيان موجبان‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪181‬‬

‫الوحدة‬ ‫الرابعة‬

‫دوال كثيرات الحدود‬

‫(‪ )1-4‬العمليات على كثيرات الحدود‬ ‫(‪ )2-4‬ق�سمة كثيرات الحدود‬ ‫(‪ )3-4‬النظرية الأ�سا�سية في الجبر‬

‫م ��ن الثاب ��ت �أن الريا�ض ��ي الم�سل ��م‬ ‫�أبابك ��ر الكرخ ��ي المتوف ��ى ع ��ام‬ ‫‪ 421‬ه� �ـ ومن خالل كتاب ��ه الم�شهور‬ ‫(الفخ ��رى) ق ��ام بدرا�س ��ة منهجية‬ ‫للأ�س� ��س الجبري ��ة وانتق ��ل بعده ��ا‬ ‫�إل ��ى تطبي ��ق العملي ��ات الح�سابي ��ة‬ ‫على المفردات والعب ��ارات الجبرية‬ ‫وانته ��ى �أخير ًا �إلى انت‬ ‫العر�ض الأول فى‬ ‫ذا ك‬ ‫جبر كثيرات �إ‬ ‫الحدود‪ .‬ت �أنه‬ ‫ف�أثب‬

‫ي‬

‫كون‪:‬‬

‫ُيتو َّقع من الطالب بعد درا�سـة هذه الوحدة‬ ‫�أن يكون قاد ًرا على �أن ‪:‬‬ ‫‪ -1‬يع ِّرف دالة كثيرة الحدود ويحدِّد درجتها‬ ‫ومعامالت حدودها‪.‬‬ ‫‪ -2‬يجمع دوال كثيرات الحدود‪.‬‬ ‫‪ -3‬يطرح دالة كثيرة حدود من �أخرى‪.‬‬ ‫‪ -4‬ي�ضرب دالة كثيرة حدود ب�أخرى‪.‬‬ ‫‪ -5‬يق�سم دالة كثيرة حدود على �أخرى‪.‬‬ ‫‪ -6‬يوجد باقى ق�سمة كثيرة حدود على كثيرة حدود‬ ‫من الدرجة الأولى با�ستخدام نظرية الباقى‪.‬‬ ‫‪ -7‬يثبت قابلية ق�سمة كثيرة حدود على كثيرة‬ ‫حدود من الدرجة الأولى با�ستخدام نظرية‬ ‫العوامل‪.‬‬ ‫‪ -8‬يوجد جذور دالة كثيرة حدود‪.‬‬ ‫‪ -9‬يح ِّلل دالة كثيرة حدود �إلى عوامل من الدرجة‬ ‫الأولى في ‪.‬‬ ‫‪ -10‬يوجد دالة كثيرة حدود بمعلومية جذورها‪.‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ á©HGôdG IóMƒdG

‫العمليات على كثيرات الحدود‬ ‫مق َّدمة وتعاريف‬ ‫عرفت من درا�ستك في المرحلة المتو�سطة � َّأن كثيرة الحدود هي عبارة ريا�ضية ناتجة‬ :‫ فمث ًال العبارات‬،‫من جمع ح َّدين جبريين غير مت�شابـهين �أو �أكثر‬

á```aƒ``Ø°üªdG

5-2 1-4 1-4

º«¶æàd πFÉ`°Sh øY åëÑdG Ωõ∏à`` `°SG ä’ÉéªdG ≈sà` ` °T »a É¡YƒæJh äÉeƒ∏©ªdG Iôãc s¿EG äÉaƒØ°üªdG tó©oJh ,áLÉëdG óæY É¡eGóîà`` `°SG πu¡`°ùj mπµ`` `°ûH É¡¶ØMh äÉeƒ∏©ªdG √òg ójhõàd á`` `°ù«FôdG .‫الترتيب‬ Ö«dÉ`` `°SC’‫على‬ G øe‫الثالثة‬ tó©J ɪc ,É¡ª«¶æJh ák dÉs©a Ik‫هي‬ GOCG ،‫الثانية‬ ،‫لأولى‬äÉeƒ∏©ªdG ‫من الدرجة ا‬¢VôY ‫»حدود‬a‫كثيرات‬ äÉaƒØ` ` °üªdGh ` s°UÉîdG‫و�ضرب‬ èeGôÑdG‫وطرح‬ π`` ª‫جمع‬ Yh äÉeƒ∏©ªdÉH B’G� Ö` ‫حدود على‬áª∏c ‫™كثيرة‬ªL ‫ق�سمة‬ ‫وكذلك‬ ‫ح ��دود‬.¬H‫ال‬á`‫كثيرات‬ ‫أي�ضا عمليات‬ ‫` `در�س‬°SÉëdG ‫كم ��ا‬ ً »``�d‫�ت‬ ,á«Lƒdƒ«ÑdG Ωƒ∏©dG π`` ãe Im ô«ãc Ωƒ∏Y »a ¬à«ªgCG RôÑJ w»` `°VÉjQ Ωl ƒ¡Øe »gh áaƒØ`` °üe m ‫ وفي ه ��ذه الوحدة ندر�س كثيرات الح ��دود والعمليات عليه ��ا وخوا�صها ب�شكل �أعمق‬،‫ح ��د جبري‬ á`°Sóæ¡dGh ,AÉjõ«ØdGh ,AÉ°üME’G º∏Yh ,OÉ°üàb’G º∏Yh ,¢ùØædG º∏Yh ,´ÉªàL’G º∏Yh .‫واحد‬.‫متغير‬ ‫الحدود’في‬ ‫بكثيرات‬ ‫�شمولية و�سن‬ ‫�أكثر‬É‫و‬H á«fhôàµdE G áÑ`°SÉëdG ä’B’‫ُعنى‬ G Ö«côJ »ah É¡YGƒfC ‫ �سنالحظ �أنه عند التعوي�ض عن المتغير �س‬12 + ‫ �س‬5 + 2‫ �س‬3 - 3‫ �س‬4 ‫لو ت�أ َّملنا كثيرة الحدود‬ ،‫نح�صل على قيمة حقيقية وحيدة مناظرة لكثيرة الحدود‬áaƒØ°üªdG ‫ب� ِّأي عدد حقيقي‬ óMCG3»a °ûFÉYh‫القيمة‬ ÖæjR ‫�ون‬ :äÉÑdÉ£dG ً 12 = 12 +äGQÉÑàN’G )0( 5 + 2)0( - 3ø∏°üM )0( 4 =ºjôeh ‫ح ��دود‬áªWÉah ‫لكثيرة ال‬á`‫العددية‬ � ‫ تك‬0= ‫�س‬s¿CG ‫�د‬¢VôØæd � ‫ عن‬:‫فمث�ل�ا‬ , 72,= 85 ó«MƒàdG OÉe 3»a- 388 84 ,75‫لكثيرة‬ :Ö«JôàdG ≈∏Y‫القيمة‬ á«JB’G‫تكون‬ äÉ`L2QódG .‫ وهكذا‬...42 12 +, )2( 5 + 2Is)2( )2(, 70, 4 = ‫الحدود‬ ‫العددية‬ = ‫∏≈�س‬Y‫وعند‬ s¿CG ßMÓJ ∂∏©d AÉjõ«ØdG IsOÉe »a 84, 58, 76, 60, äÉ«°VÉjôdG IsOÉe »a 90, 63 ‫دالة د‬ ‫الحدود هذه ت‬ َّ‫يعني �أن‬ OGOõjh ,É¡æ«H áfQÉ≤ªdG hCG ÉgôtcòJ ≈∏Y Gôk «ãc:óYÉ` °ùj‫ُع ِّي’ن‬äÉeƒ∏©ªdG √ò¡d‫كثيرة‬ ¢Vô©dG Gòg‫وهذا‬ ¿CG øµªªdG øeh á«`` `°SGQódG OGƒªdG OóYh äÉÑdÉ£dG OóY IOÉjõH ák Hƒ©`` °U ôeC’G Gòg :»JB’Éc mπ«£à`°ùe m∫hóL »a ák ªs¶æe äÉeƒ∏©ªdG √òg ¢Vô©J

¢SQódG±GógCG áaƒØ°üŸG ±ô©àj . É¡YGƒfCG õ«Áh äÉaƒØ°üŸG Ωóîà°ùj äÉ``fÉ`` ` ` ` ` «` H π``«` ã` ª` à` d IQƒ``°` ü` H á``«` ` ` ` Ø` °` Uh .᪶æe

:‫ويمكننا التعبير عن هذه القاعدة بال�صيغة التالية‬

ºjôe 88 90 84

áªWÉa

á°ûFÉY

ÖæjR

áÑdÉ£dG

IsOÉe áLQO 70 84 75 ó«MƒàdG 63 72 85 äÉ«°VÉjôdG ‫وهذه ال�صيغة‬ 58 :‫الريا�ضي التالي‬ 76 ‫التعريف‬60‫ت�ساعدنا على �إعطاء‬ AÉjõ«ØdG )3( ‫ريا�ضيات‬

(2) äÉ«°VÉjQ

184

232

‫الحدود‬ ‫كثيرات الحدود‬ ‫على كثيرات‬ ‫العملياتدوال‬ ‫تعريف ( ‪)1 -4‬‬ ‫تُ�س َّمى الدالة د ‪:‬‬

‫التي قاعدتـها‪:‬‬

‫ن عدد �صحيح غير �سالب ( ن‬

‫) دالة كثيرة حدود في المتغير �س من الدرجة ن‪.‬‬

‫� َّإن هذا التعريف يعني �أنه في قاعدة دالة كثيرة الحدود ال يكون المتغير في مقام ك�سر �أو تحت جذر‪.‬‬

‫مثال (‪)1-4‬‬ ‫ُّ‬ ‫كل دالة من الدوال التالية هي دالة كثيرة حدود‪:‬‬

‫بينما ك ٌّل من الدالَّتين‪:‬‬

‫لي�ست دالة كثيرة حدود‪ ( .‬لماذا ؟ )‬

‫(‪)1-4‬‬ ‫‪ 1‬م ��ن التعري ��ف ( ‪ ) 1-4‬يت�ضح � َّأن ك ًّال من المجال والمجال المقاب ��ل ل ِّأي دالة كثيرة حدود د هو‬ ‫تماما بمعرفة كثيرة الحدود د ( �س ) ‪.‬‬ ‫مجموعة الأعداد الحقيقية ‪ ،‬لذلك ف� َّإن د تتح َّدد ً‬ ‫لـ ��ذا يمكـنن ��ا اخـت�صا ًرا ا�سـتخدام العـبارة ( كـثيرة الحـدود د ( �س ) ) للداللـة عـلى( دالة كثيرة‬ ‫الحدود د التي قاعدتـها د ( �س ) = ن �س ن ‪ +‬ن‪� -1‬س ن‪�1 + ...+ -1‬س ‪) 0 +‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪185‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫‪ 2‬ف ��ي التعـري ��ف ( ‪ ) 1-4‬ت�سـ َّم ��ى الأعـ ��داد ن‪ ،‬ن‪ 1 ، ... ، 1-‬بمعـام�ل�ات �س ن ‪� ،‬س ن‪� ، ... ، 1-‬س‬ ‫على الترتيب‪ ،‬وي�س َّمى ن بالمعـامل الرئي�سى كما ي�س َّمى ‪ .‬بالحـ ِّد الثـابت‪ ،‬ونع ُّد الحـد الثـابت ‪0‬‬ ‫معـام ًال لـ �س‪( 0‬لماذا ؟) ‪.‬‬ ‫وبذلك نجد � َّأن عدد معامالت كثيرة الحدود من الدرجة ن هو ن ‪. 1 +‬‬ ‫‪ 3‬ف ��ي تعري ��ف دالة كثيرة الحدود م ��ن الدرجة ن يمكن �أن يكون � ٌّأي م ��ن المعامالت ن‪، ... ، 1-‬‬ ‫م�ساو ًي ��ا لل�صف ��ر‪� ،‬أ َّما ن فه ��و دائ ًما ال ي�ساوي ال�صف ��ر‪ ،‬و�إذا كان �أحد معام�ل�ات كثيرة الحدود‬ ‫د ( �س ) وليكن ك = �صف ًرا ف� َّإن الحد ك �س ك يمكن حذفه عند كتابة د ( �س )‪.‬‬

‫‪0‬‬

‫ف� �� َّإن د ( ) ت�س َّم ��ى كثي ��رة الح ��دود الثابت ��ة ( �أو الدال ��ة‬ ‫‪� 4‬إذا كان ��ت د ( )= ‪، .‬‬ ‫الثابت ��ة ) ‪ ،‬وتك ��ون درجته ��ا م�ساوية ال�صفر ب�شرط �أن يك ��ون ‪� ، 0 ≠ 0‬أ َّما �إذا كان ‪� = 0‬صف ًرا‬ ‫ف� َّإن د ( �س ) ت�س َّمى كثيرة الحدود ال�صفرية �أو ( الدالة ال�صفرية ) ولي�س لـها درجة مح َّددة وال‬ ‫معامل رئي�س (لماذا ؟) ‪.‬‬ ‫هذا و�إذا كان ‪ 1 = 0‬ف� َّإن د ( �س ) ت�س َّمى كثيرة الحدود الواحدية‪.‬‬ ‫‪ 5‬دوال كثي ��رات الحدود م ��ن الدرجة الأولى ت�س َّم ��ى دوا ًّال خطية والتي من الدرج ��ة الثانية ت�س َّمى‬ ‫دوا ًّال تربيعية �أ َّما التي من الدرجة الثالثة فت�س َّمى دوا ًّال تكعيبية ‪.‬‬ ‫‪ 6‬يمكننا ا�ستعمال � ِّأي رموز �أخرى مثل ﻫ ( �س ) ‪� ( ،‬س ) ‪� ... ،‬إلخ للتعبير عن كثيرات الحدود‪ ،‬وكذلك‬ ‫يمكن ا�ستعمال الرموز م ‪ ،‬ل ‪� ... ،‬إلخ لدرجات كثيرات الحدود‪ ،‬والرموز بم ‪ ،‬بم‪ ،... ،1-‬ب‪� 0‬أو غيرها‬ ‫للمعامالت‪.‬‬

‫ف� َّإن د ( ) هي �صورة تحت ت�أثير الدالة د ونوجد‬ ‫‪� 7‬إذا كانت د دالة كثيرة حدود وكانت‬ ‫د ( ) ب�أن نع ِّو�ض في د ( �س ) بالقيمة بد ًال من �س ‪.‬‬

‫مثال (‪)2-4‬‬ ‫لتكن‬ ‫ح ِّدد درجة د ( �س ) ثم اكتب معامالتـها مبيـنًا المعامل الرئي�س والحد الثابت فيها‪.‬‬

‫‪186‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الحدود‬ ‫كثيرات الحدود‬ ‫على كثيرات‬ ‫العملياتدوال‬ ‫الحل‬ ‫د ( �س ) من الدرجة ال�ساد�سة ‪،‬‬ ‫معامالتـها‪:‬‬ ‫المعامل الرئي�س هو‬

‫مثال (‪)3-4‬‬ ‫اكتب كثيرة الحدود د ( �س ) التي معامالتـها هي‪:‬‬ ‫وحدد درجتها َّثم �أوجد‬ ‫ِّ‬

‫الحل‬

‫د ( �س ) من الدرجة الرابعة‪.‬‬

‫تدريب (‪)1-4‬‬ ‫�أوجد كثيرة الحدود د (�س) من الدرجة الثانية �إذا كان ‪:‬‬ ‫�أوجد كثيرة الحدود د (�س) من الدرجة الثالثة ومعامالتـها هي ‪:‬‬

‫ثم �أوجد د ( �س ) وقارنـها بـ د ( �س ) ماذا تالحظ ؟‬ ‫ليكن لدينا � ُّأي كثيرة حدود من الدرجة الرابعة د ( �س ) على ال�صورة‪:‬‬ ‫�أوجد د ( �س ) وقارنـها مع د ( �س ) ‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪187‬‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫ت�ساوي كثيرتي حدود‬ ‫تعريف ( ‪)2 -4‬‬ ‫�إذا كانت د ( �س ) ‪� ( ،‬س ) كثيرتي حدود بحيث ‪:‬‬

‫ف�إننا نقول � َّأن د (�س) ت�ساوي (�س) ونكتب د (�س) = (�س) �إذا وفقط �إذا تحقَّق ال�شرطان‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫( �أي � َّأن لـهما الدرجة نف�سها )‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫(�أي � َّأن المعامالت المتناظرة فيهما مت�ساوية)‪.‬‬

‫مثال (‪)4-4‬‬ ‫�إذا كانت‬ ‫ف�أوجد قيم‬

‫الحل‬ ‫المعامالت المتناظرة مت�ساوية ‪.‬‬

‫ينتج � َّأن‬ ‫‪،‬‬ ‫وبـجمع المعادلتين‬ ‫نجد � َّأن‪:‬‬ ‫وبالتعوي�ض عن قيمة ب في المعادلة‬

‫تدريب (‪)2-4‬‬

‫‪188‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الحدود‬ ‫كثيرات الحدود‬ ‫على كثيرات‬ ‫العملياتدوال‬

‫بع�ض العمليات على كثيرات الحدود‬

‫�ضرب كثيرة حدود بعدد حقيقي‬ ‫مثال (‪)5-4‬‬

‫�إذا كانت د ( �س ) = ‪� 4‬س‪� 3 – 5‬س‪ 7 + 2‬ف�إنه يمكننا ‪ -‬من درا�ستنا ال�سابقة ‪ -‬التو�صل �إلى �أنَّ‪:‬‬ ‫وه ��ذا يعن ��ي � َّأن حا�صل �ضرب كثيرة الحدود د ( �س ) بالعدد الحقيقي ‪ 2‬هو كثيرة الحدود الناتجة من‬ ‫د ( �س ) بعد �ضرب معامالتـها بالعدد ‪. 2‬‬ ‫ول ِّأي كثيرة حدود د ( �س ) على النحو التالي‪:‬‬ ‫ويمكننا تعميم ذلك ل ِّأي‬

‫تعريف ( ‪)3 -4‬‬ ‫�إذا كانت كثيرة الحدود‬ ‫ف�إننا ُنع ِّرف ك ‪ .‬د (�س)ب�أنه كثيرة الحدود‪:‬‬

‫(‪)2-4‬‬ ‫هي كثيرة الحدود ال�صفرية‪.‬‬

‫ف� َّإن‬ ‫في التعريف ( ‪� ) 3-4‬إذا كان‬ ‫�أ َّما �إذا كان ك ≠ �صفر ف� َّإن ك ‪ .‬د ( �س ) هي كثيرة حدود لـها درجة د ( �س ) نف�سها ومعامالتـها هي‪:‬‬

‫جمع كثيرات الحدود‬ ‫مثال (‪)6-4‬‬ ‫�إذا كانت‬ ‫ف�إننا نجد من درا�ستنا ال�سابقة � َّأن‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪189‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫�أي � َّأن حا�ص ��ل جم ��ع كثيرت ��ي الح ��دود د (�س ) ‪�( ،‬س) هو كثيرة ح ��دود ناتجة من جمع الحـدود‬ ‫المت�شابـهة في ٍّ‬ ‫كل من د ( �س ) ‪� ( ،‬س ) �أ َّما الحدود غير المت�شابـهة فتبقى كما هي في حا�صل الجمع‬ ‫ويمكننا تعميم ذلك في التعريف التالي‪:‬‬

‫تعريف ( ‪)4 -4‬‬

‫�إذا كانت د ( �س ) ‪� ( ،‬س ) كثيرتي حدود من الدرجة ن ‪ ،‬م على الترتيب ( ن م ) بحيث تكون‪:‬‬

‫ف� َّإن حا�صل الجمع‬

‫هو كثيرة حدود من الدرجة ن وتتع َّين كما يلي‪:‬‬

‫(‪)3-4‬‬ ‫في التعريف ( ‪� ) 4-4‬إذا كانت ك ٌّل من د ( �س ) ‪� ( ،‬س ) من الدرجة ن ف� َّإن‪:‬‬ ‫وتكـ ��ون درجـــــــــ ��ة ( د ( � ��س ) ‪ +‬ﻫ ( � ��س ) ) ت�سـاوي ن �إذا كـان ��ت ن‪ +‬ب ن≠ �صـفر ‪� ،‬أ َّما �إذا كـانت‬ ‫ف� َّإن درجة ( د ( �س )‪ +‬ﻫ ( �س ) ) تكون �أ�صغر من ن ‪ ،‬فمث ًال‪� :‬إذا كانت ك ٌّل من‬ ‫د ‪ ،‬ﻫ ‪ ،‬كثيرة حدود من الدرجة الثالثة حيث‪:‬‬

‫ف� َّإن‬ ‫�أي � َّأن‬ ‫بينما‬

‫أي�ضا‪.‬‬ ‫من الدرجة الثالثة � ً‬ ‫من الدرجة الأولى‬

‫وعا َّم ��ة الأم ��ر ف� �� َّإن درجة (د ( �س ) ‪� ( +‬س )) ال يمكن �أن تزيد ع ��ن الدرجة الكبرى من بين درجتي‬ ‫د ( �س ) ‪ ،‬ﻫ ( �س )‬

‫‪190‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الحدود‬ ‫كثيرات الحدود‬ ‫على كثيرات‬ ‫العملياتدوال‬

‫خوا�ص عملية جمع كثيرات الحدود‬

‫� َّإن خوا� ��ص عملية جمع كثي ��رات الحدود هي نف�سها خوا�ص عملية جمع الأع ��داد الحقيقية ؛ذلك � َّأن عملية‬ ‫جمع كثيرات الحدود تتم بجمع معامالت الحدود المت�شابـهة ( والتي هي في واقع الأمر �أعداد حقيقية )‪.‬‬ ‫ويمكن تلخي�ص هذه الخوا�ص فيما يلي‪:‬‬ ‫ف� َّإن‪:‬‬ ‫عملية جمع كثيرات الحدود �إبدالية ؛ �أي �أنه ل ِّأي كثيرتي حدود‬ ‫ف� َّإن‪:‬‬

‫عملية جمع كثيرات الحدود تجميعية؛�أي �أنه ل ِّأي ثالث كثيرات حدود‬

‫كثي ��رة الح ��دود ال�صفرية هي العن�صر المحايد في عملية جمع كثي ��رات الحدود ؛ �أي �أنه ل ِّأي كثيرة‬ ‫حدود د ( �س ) ف� َّإن‪:‬‬ ‫ِّ‬ ‫د‬ ‫لكل كثيرة حدود د (�س) يوجد معكو�س جمعي يرمز له بالرمز‬ ‫وفي الواقع يمكننا الح�صول على المعكو�س الجمعي لدالة كثيرة حدود بتغيير �إ�شارات حدودها جمي ًعا‪،‬‬ ‫فالمعكو�س الجمعي للدالة‬

‫تدريب (‪)3-4‬‬ ‫تحقَّق من � َّأن‪:‬‬ ‫تحقَّق من � َّأن المعكو�س الجمعي لـ‬

‫تدريب (‪)4-4‬‬ ‫�إذا كانت‬ ‫ف�أثبت �أنه‬

‫يكون‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪191‬‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫طرح كثيرات الحدود‬ ‫تعريف ( ‪)5 -4‬‬ ‫ل ِّأي كثيرتي حدود د ( �س ) ‪� ( ،‬س ) ف� َّإن‪:‬‬ ‫حيث‬

‫هي المعكو�س الجمعي لـ‬

‫مثال (‪)7-4‬‬ ‫لتكن‬

‫الحل‬

‫تدريب (‪)5-4‬‬ ‫� ِ‬ ‫أعط مثا ًال يب ِّين � َّأن عملية طرح كثيرات الحدود لي�ست تجميعية وال �إبدالية ولي�س لـها عن�صر مـحايد‪.‬‬

‫‪192‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الحدود‬ ‫كثيرات الحدود‬ ‫على كثيرات‬ ‫العملياتدوال‬

‫�ضرب كثيرات الحدود‬ ‫مثال (‪)8-4‬‬ ‫�إذا كانت د ( �س ) = �س ‪� ( ،1 -‬س ) = �س‪� + 2‬س ‪ 2 +‬فمن درا�ستنا ال�سابقة نجد �أنَّ‪:‬‬

‫�أي � َّأن حا�صـ ��ل �ضـ ��رب كثيرت ��ي الح ��دود د ( �س ) ‪� ( ،‬س ) هو كثيرة ح ��دود درجتها ت�ساوي مجـموع‬ ‫درجـتي د ( �س ) ‪� ( ،‬س ) ( الدرجة الثالثة )‪.‬‬ ‫ويمكننا تعريف عملية �ضرب كثيرتي حدود على النحو التالي‪:‬‬

‫تعريف ( ‪)6 -4‬‬ ‫�إذا كانت د(�س) ‪�( ،‬س) كثيرتي حدود غير �صفريتين من الدرجة ن ‪ ،‬م على الترتيب بحيث � َّإن‪:‬‬

‫ف� َّإن حا�صل ال�ضرب د ( �س ) ‪� ( .‬س ) هو كثيرة حدود من الدرجة ن ‪ +‬م وتتع َّين كما يلي‪:‬‬

‫(‪)4-4‬‬ ‫‪ 1‬حا�صل �ضرب كثيرة الحدود ال�صفرية ب� ِّأي كثيرة حدود هو كثيرة الحدود ال�صفرية‪.‬‬ ‫‪ 2‬بع ��د �إجراء عملية �ضرب كثيرتي ح ��دود ح�سب التعريف ( ‪ ) 6-4‬ف�إننا نجمع الحدود المت�شابـهة‬ ‫لنح�صل على كثيرة الحدود التي تم ِّثل حا�صل ال�ضرب في �أب�سط �صورها‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪193‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫تدريب (‪)6-4‬‬ ‫ف�أثبت � َّأن‪:‬‬

‫�إذا كانت‬

‫� َّإن الخوا�ص الواردة في التدريب ال�سابق يمكن �إثباتـها ل ِّأي كثيرات حدود اختيارية د ( �س ) ‪� ( ،‬س)‪،‬‬ ‫(�س) لنح�صل على النظرية التالية‪:‬‬

‫نظرية (‪)1-4‬‬ ‫ل ِّأي كثيرات حدود د ( �س ) ‪� ( ،‬س ) ‪�( ،‬س ) يكون ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫( خا�صية الإبدال )‬ ‫( خا�صية التجميع )‬

‫‪3‬‬ ‫( خا�صية توزيع ال�ضرب على الجمع )‬

‫وم ��ن الجـدي ��ر بالذكـر � َّأن العن�صـ ��ر المحـايد ف ��ي عمـلية �ضـرب كـثي ��رات الحـدود هو كـثي ��رة الحـدود‬ ‫الواحـدية د ( �س ) = ‪ ( 1‬لماذا ؟ )‬ ‫ال�ضربي لكثيرة الحدود الثابتة‬ ‫و� َّأن المعكو�س‬ ‫َّ‬

‫هي كثيرة الحدود‬

‫بينما كثيرات الحدود غير الثابتة وكثيرة الحدود ال�صفرية فلي�س ل ٍّأي منها معكو�س �ضربي‪ ( .‬لماذا ؟ )‬

‫‪194‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الحدود‬ ‫كثيرات الحدود‬ ‫على كثيرات‬ ‫العملياتدوال‬

‫تمارين (‪)1-4‬‬ ‫فحدد درجتها‪.‬‬ ‫‪ٌّ � 1‬أي من الدوال التالية كثيرة حدود‪ ،‬و�إذا كانت كذلك ِّ‬

‫د‬ ‫هـ‬ ‫و‬ ‫‪ 2‬ف ��ي ٍّ‬ ‫حدد درجة كثيرة الح ��دود د (�س) واكتب معامالتـه ��ا مب ِّيـنًا المعامل الرئي�س‬ ‫كل مـم ��ا ي�أتي ِّ‬ ‫والحد الثابت فيها‪.‬‬

‫د‬ ‫هـ‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪195‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫‪ 3‬اكتب كثيرة الحدود د ( �س ) التي معامالتـها هي ‪:‬‬

‫د‬

‫جميع المعامالت �أ�صفار ما عدا‬

‫‪ 4‬في ِّ‬ ‫كل فقرة من تـمرين [‪ 2‬اح�سب د ( ‪ ، ) -1‬د ( ‪) 0‬‬ ‫كثيرة حـدود من الدرجـة الثالثة‪ ،‬وكان‬

‫‪� 5‬إذا كانت‬ ‫فما قيمة ب ؟‬ ‫‪� 6‬إذا كانت‬ ‫‪� 7‬إذا ت�ساوت كثيرتا الحدود‬

‫ف�أوجد‬ ‫حيث‪:‬‬

‫فما قيمة ٍّ‬ ‫كل من‬ ‫‪� 8‬إذا ت�ساوت كثيرتا الحدود‬ ‫ف�أوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل من‬ ‫‪� 9‬أوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل من م ‪ ،‬ن بحيث‪:‬‬

‫‪196‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫حيث‪:‬‬

‫الحدود‬ ‫كثيرات الحدود‬ ‫على كثيرات‬ ‫العملياتدوال‬ ‫‪10‬‬ ‫�أوجد ما يلي‪:‬‬

‫د‬ ‫‪ 11‬في ِّ‬ ‫حدد درجة كثيرة الحدود الناتجة وقارنـها مع درجتي‬ ‫كل فقرة من تـمرين ‪ِّ 10‬‬

‫‪� 12‬إذا كانت‬ ‫ف�أوجد ما يلي‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬

‫و‬

‫‪ 13‬في ٍّ‬ ‫كل مـما يلي �أوجد‬

‫د‬ ‫هـ‬ ‫و‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪197‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫‪� 14‬إذا كانت‬ ‫المعطى‪:‬‬

‫ف�أوجد في ٍّ‬ ‫كل مـما ي�أتي‬

‫التي تحقِّق ال�شرط‬

‫د‬ ‫هـ‬ ‫و‬ ‫‪ 15‬لتكن‬

‫حقِّق الخوا�ص التالية ‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬ ‫وطول ��ه بالأمت ��ار‬ ‫‪ 16‬قطع ��ة �أر� ��ض عل ��ى �ش ��كل م�ستطي ��ل عر�ض ��ه بالأمت ��ار‬ ‫�أوجد محيط وم�ساحة قطعة الأر�ض بداللة �س ‪َّ ،‬ثم �أوجد المحيط‬ ‫والم�ساحة عندما �س = ‪5‬‬

‫‪198‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الحدود‬ ‫كثيراتالحدود‬ ‫ق�سمةكثيرات‬ ‫دوال‬

á©HGôdG IóMƒdG

‫ق�سمة كثيرات الحدود‬ ‫در�س ��ت في المرحلة المتو�سطة ق�سمة حد جبري على �آخر وق�سمة كثيرة حدود على حد‬

á```aƒ``Ø°üªdG

‫ وفي هذا البند �سندر�س ق�سـمة كـثيرة حـدود على �أخرى ولعله من المنا�سب �أن‬،‫جب ��ري‬ ‫ ب عددين كليين وكان ال‬، ‫نب ��د�أ بالتذكي ��ر بقابلية ق�سمة عدد كلي على �آخر ف�إذا كان‬

2-4 1-4

‫ي�س ��اوي ال�صف ��ر ف�إننا نقول � َّأن ب يقبل الق�سمة عل ��ى �إذا وفقط �إذا ُوجد عدد كلي جـ‬ ä’ÉéªdG ‫يق�ســــــــم ب‬º«¶æàd ‫�ول � َّإن‬πFÉ` � ‫ونقـ‬°Sh øY åëÑdG‫�ب‬Ωõ∏à` � ‫`�ة` نكت‬°�SG‫الحال‬ ‫≈�ي ه ��ذه‬s�à‫و` `ف‬°،T ‫»ـ‬a � �‫ ج‬É¡YƒæJh . = ‫ب‬äÉeƒ∏©ªdG ‫ بحي ��ث‬Iôãc s¿EG äÉaƒØ°üªdG tó©oJh ,áLÉëdG óæY É¡eGóîà`` `°SG πu¡`°ùj mπµ`` `°ûH É¡¶ØMh äÉeƒ∏©ªdG √òg ‫ ويكــــون‬5 ×ójhõàd 3=15á`‫` َّ`أن‬°‫ل‬ù«FôdG 3 ‫ل ��ى‬Ö«dÉ` ‫`س `ــمة ع‬°�‫الق‬ ‫مثـ‬15‫فالعدد‬äÉeƒ∏©ªdG )‫س ��م ل� �ـ ب‬¢VôY �‫»أو( قا‬a� ák dÉs©a Ik GOCG SC’G ‫يقبل‬øe tó©J‫ ًال‬ɪc ,É¡ª«¶æJh áª∏c ™ªL üªdGh‫حدود‬ .¬H á`‫كثيرة‬ ` s°UÉîdG èeGôÑdG äÉeƒ∏©ªdÉH dB’G Ö`` `°SÉëdG ‫قابلية ق�سمة عدد‬ ‫ُ�شابه‬äÉaƒØ` ‫�`أخرى ت‬°‫على‬ ‫ق�سمة‬ ‫قابلية‬π`‫�` َّإن‬ª‫�ع‬Yh� ‫الواق‬ ‫=``» وف ��ي‬5 ,á«Lƒdƒ«ÑdG Ωƒ∏©dG π`` ãe Im ô«ãc Ωƒ∏Y m »a ¬à«ªgCG RôÑJ w»` `°VÉjQ Ωl ƒ¡Øe »gh áaƒØ`` °üe :‫التالي‬ ‫التعريف‬ ‫يمكننا تقدي‬ ‫ وب‬،‫آخر‬º∏Yh � ‫على‬,´ÉªàL’G ‫ كلي‬º∏Yh á`°Sóæ¡dGh ,AÉjõ«ØdGh ,AÉ°üME’G º∏Yh ‫ـم‬,OÉ°üàb’G º∏Yh‫ـهذا‬,¢ùØædG . á«fhôàµdE’G áÑ`°SÉëdG ä’B(’G‫تعريف‬ Ö«côJ »ah É¡YGƒfCÉH )7 -4

¢SQódG±GógCG áaƒØ°üŸG ±ô©àj . É¡YGƒfCG õ«Áh äÉaƒØ°üŸG Ωóîà°ùj äÉ``fÉ`` ` ` ` ` «` H π``«` ã` ª` à` d IQƒ``°` ü` H á``«` ` ` ` Ø` °` Uh .᪶æe

‫ ف�إننا نقول � َّإن د ( �س ) تقبل‬0 ≠ ) ‫ ( �س ) كثيرتي حدود بحيث ( �س‬، ) ‫�إذا كانت د ( �س‬ áaƒØ°üªdG :‫الق�سمة على ( �س ) �إذا وفقط �إذا ُوجدت كثيرة حدود ك ( �س ) تـحقِّق العالقة‬ äGQÉÑàN’G óMCG »a ø∏°üM ºjôeh áªWÉah á`°ûFÉYh ÖæjR :äÉÑdÉ£dG s¿CG ¢VôØæd , 72, 85 , ó«MƒàdG IsOÉe »a‫هذه‬88‫وفي‬ , 70, 84 ,75 :Ö«JôàdG ≈∏Y á«JB’G äÉ`LQódG ≈∏Y :‫الحالة نكتب‬ s¿CG ßMÓJ ∂∏©d AÉjõ«ØdG IsOÉe »a 84, 58, 76, 60, äÉ«°VÉjôdG IsOÉe »a 90, 63 OGOõjh ,É¡æ«H áfQÉ≤ªdG hCG ÉgôtcòJ ≈∏Y Gôk «ãc óYÉ`°ùj ’ äÉeƒ∏©ªdG √ò¡d ¢Vô©dG Gòg ¿CG øµªªdG øeh á«`` `°SGQódG OGƒªdG OóYh äÉÑdÉ£dG OóY IOÉjõH ák Hƒ©`` °U ôeC’G Gòg :»JB’Éc mπ«£à`°ùe m∫hóL »a ák ªs¶æe äÉeƒ∏©ªdG √òg ¢Vô©J

ºjôe 88 90 84

áªWÉa

á°ûFÉY

ÖæjR

áÑdÉ£dG

IsOÉe)5-4( áLQO 70 84 75 :‫ ) � َّأن‬7-4ó«MƒàdG ( ‫ن�ستنتج من التعريف‬ 63 72 85 äÉ«°VÉjôdG . ) ‫ درجة ( �س ) يجب �أن تكون �أ�صغر من �أو ت�ساوي درجة د ( �س‬1 58 76 60 AÉjõ«ØdG

‫ كثي ��رة الحـ ��دود ال�صفرية تقبل الق�سمة على � ِّأي كثي ��رة حـدود �أخرى ( �س ) ولكن ال يمكن ل ِّأي‬2 .‫كثيرة حـدود د ( �س ) �أن تقبل الق�سمة على كثيرة الحدود ال�صفرية‬

199

)3( ‫ريا�ضيات‬

(2) äÉ«°VÉjQ

232

‫الوحدة الرابعة‬ ‫مثال (‪)9-4‬‬ ‫�إ َّن كثيرة الحدود‬ ‫كثيرة حدود‬

‫لوجود‬

‫تقبل الق�سمة على‬ ‫بحيث يكون‪:‬‬ ‫( بالتحليل )‬

‫�أي � َّأن‬ ‫وكذلك ف� َّإن‬ ‫أي�ضا‬ ‫و� ً‬

‫تقبل الق�سمة على‬ ‫تقبل الق�سمة على � ِّأي عدد‬

‫( لماذا ؟ )‬ ‫؛ ل َّأن‪:‬‬

‫(‪)6-4‬‬ ‫‪ 1‬ف ��ي التعري ��ف ( ‪� ) 7-4‬إذا كان ��ت د ( �س ) ≠ ‪ 0‬ف� َّإن ك ًّال م ��ن ﻫ ( �س ) ‪ ،‬ك ( �س ) يع ُّد قا�سـ ًما‬ ‫( عام�ل ً�ا ) لكثي ��رة الح ��دود د ( �س ) ؛ففي المثال ( ‪ ) 9-4‬ك ٌّل من ( �س ‪� ( ، ) 2 -‬س ‪ ) 3 -‬يع ُّد‬ ‫عام ًال لكثيرة الحدود د ( �س )‪.‬‬ ‫‪ 2‬كـ� � ُّل كـثي ��رة حـ ��دود د ( �س ) تقـبل الق�سـمة عـل ��ى � ِّأي عـدد حـقيقي ≠ ‪ 0‬لأن ��ه في هـذه الحـالة‬ ‫د ( �س ) = × ( ‪ .‬د ( �س ) )‬

‫تدريب (‪)7-4‬‬ ‫�أوجد قا�سـ ًما لكثيرة الحدود‬

‫الق�سمة الإقليد َّية لكثيرة الحدود‬

‫تعلم �أنه يمكن ق�سمة � ِّأي عدد كلي ب على � ِّأي عدد كلي �آخر ≠ ‪ 0‬فنح�صل على خارج ق�سمة ك وباقي‬ ‫ق�سمة ( قد تكون ك �أو م�ساوي ًة لل�صفر ) �أو بعبارة �أخرى نح�صل على ال�صورة‪:‬‬ ‫والتي تم ِّثل ق�سمة �إقليدية على‬

‫‪200‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الحدود‬ ‫كثيراتالحدود‬ ‫ق�سمةكثيرات‬ ‫دوال‬ ‫فمث ً‬ ‫ال ‪ :‬عند ق�سمة ‪ 20‬على ‪ 3‬يكون لدينا ‪2 + 6 × 3 = 20 :‬‬ ‫أي�ضا في كثيرات الحدود �أن ُنجري عملية الق�سمة ل ِّأي كثيرة حدود د ( �س ) على � ِّأي‬ ‫وفي الواقع يمكننا � ً‬ ‫كثيرة حدود �أخرى ( �س ) ≠ ‪ 0‬لنح�صل على خارج ق�سمة ك ( �س ) وباقي ق�سمة ( �س ) ‪.‬‬ ‫نقدم نظرية الق�سمة الإقليدية لكثيرات الحدود‪:‬‬ ‫وفيما يلي ِّ‬

‫نظرية (‪)2-4‬‬ ‫�إذا كانت د ( �س ) ‪� ( ،‬س ) كـثيرتي حـدود بحيث � َّأن ( �س ) ≠ ‪ 0‬ف�إنه يوجد كـثيرتا‬ ‫حـدود ك (�س) ‪�( ،‬س) بحيث‪:‬‬ ‫وتكون (�س) �إ َّما ت�ساوي كثيرة الحدود ال�صفرية �أو تكون درجتها �أق َّل من درجة ( �س )‪.‬‬ ‫ت�س َّمى د ( �س ) المق�سوم ‪� ( ،‬س ) المق�سوم عليه ‪ ،‬ك ( �س ) خارج الق�سمة �أ َّما ( �س )‬ ‫فت�س َّمى باقي الق�سمة‪.‬‬

‫(‪)7-4‬‬ ‫‪ 1‬درجة المق�سوم د ( �س ) = درجة خارج الق�سمة ك ( �س ) ‪ +‬درجة المق�سوم عليه ( �س )‪.‬‬ ‫‪ 2‬د ( �س ) تقبل الق�سمة على‬

‫هي كثيرة الحدود ال�صفرية‪ ( .‬لماذا ؟ )‬

‫‪� 3‬إذا كان ��ت درج ��ة المق�س ��وم د ( �س ) درج ��ة المق�سـوم عليه ( �س ) ف� َّإن خارج الق�ســــمة‬ ‫ك ( �س ) هو كثيرة الحدود ال�صفرية وباقي الق�سمة ( �س ) = د ( �س )‪.‬‬ ‫فمث ً‬ ‫ال ‪ :‬خـارج ق�سمة كثيرة الحدود‬

‫على كـثيرة الحـدود‬

‫هو ك ( �س ) = ‪ 0‬وباقي الق�سمة ( �س ) = ‪� 2‬س ‪1 +‬‬

‫�أي �أنه يمكننا كتابة‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪201‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫والآن نتع َّرف على طريقة الق�سمة المط َّولة لكثيرات الحدود‪ ،‬حيث ُنجري عملية ق�سمة م�شابـهة لعملية‬ ‫يو�ضح هذه الطريقة‪.‬‬ ‫الق�سمة المط َّولة على الأعداد الكلية والمثال التالي ِّ‬

‫مثال (‪)10-4‬‬ ‫لإيـجـ ـ���اد خـ���ارج وباق���ي ق�س ـ ـم���ة د ( ����س ) = ‪� 3‬س‪� 7 – 1 + 3‬س ‪ 2‬على ﻫ ( �س ) = �س ‪ُ 2 -‬نجـري عملية‬ ‫الق�سمة المط َّولة وفقًا للخطوات التالية‪:‬‬ ‫‪ 1‬نر ِّت ��ب حدود كثيرتي الحدود د (�س) ‪ ،‬ﻫ ( �س )‬ ‫تنازل ًّي ��ا ح�س ��ب قوى �س مع و�ضع �صف ��ر مكان � ِّأي‬ ‫قوة للمتغير �س غير موجـودة في د ( �س )‪.‬‬ ‫‪ 2‬نق�سـ ��م الحـ ��د الأول في المق�س ��وم ( ‪� 3‬س‪ ) 3‬على‬ ‫الح ��د الأول في المق�سـوم عليه ( �س ) فينتج الحـد‬ ‫الأول من خـارج الق�سـمة ( ‪� 3‬س‪.) 2‬‬ ‫‪ 3‬ن�ضرب الحد الأول من خارج الق�سمة ( ‪� 3‬س‪ ) 2‬في‬ ‫المق�س ��وم عليه (� ��س – ‪ )2‬ون�ضع حا�صل ال�ضرب‬ ‫( ‪�� � 3‬س‪� 6 – 3‬س‪ ) 2‬تحت المق�ســـوم بحيث تكـــون‬ ‫الحدود المت�شابـهة تحت بع�ضها‪.‬‬ ‫‪ 4‬نطـ ��رح حا�صـل ال�ض ��رب من المق�سـ ��وم فنح�صـل‬ ‫على ناتج الطرح (– �س‪. ) 1 + 2‬‬ ‫جديدا بد ًال م ��ن المق�سوم الأ�صلي ونك ِّرر الخطوات (‪، )2‬‬ ‫‪ 5‬نع� � ُّد نات ��ج الطرح (– �س‪) 1 + 2‬‬ ‫مق�سوما ً‬ ‫ً‬ ‫(‪ )4( ، )3‬حتى نح�صل على باقٍ درجته تكون �أقل من درجة المق�سوم عليه‪.‬‬ ‫وبذلك يكون خـارج ق�سـمة د ( �س ) على ( �س ) هو ك ( �س ) = ‪� 3‬س‪� – 2‬س – ‪ 2‬بينما باقـي‬ ‫�صحة الق�سمة نجد � َّأن‪:‬‬ ‫الق�سـمة ( �س ) = – ‪ 3‬وللتحقُّق من َّ‬

‫‪202‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الحدود‬ ‫كثيراتالحدود‬ ‫ق�سمةكثيرات‬ ‫دوال‬ ‫مثال (‪)11-4‬‬ ‫�أوجد خارج الق�سمة والباقي عند ق�سمة‬ ‫على‬

‫الحل‬ ‫ن َّتبع الخطوات الواردة في المثال ال�سابق فنجد � َّأن ‪:‬‬

‫� ًإذا خارج الق�سمة ك ( �س ) = �س‪ ، 1 + 2‬الباقي ( �س ) = ‪0‬‬ ‫�صحة الق�سمة‪.‬‬ ‫تحقَّق من َّ‬

‫تدريب (‪)8-4‬‬ ‫با�سـتخدام الق�سـمة المطـ َّولة �أوجد خـارج الق�سـمة والباقي عند ق�سـمة‬ ‫�أوجـد كـثيرة الحـدود د ( �س ) التي �إذا ق�سـمناها على‬ ‫كـان خـارج الق�سمة‬

‫وباقي الق�سمة‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪203‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫نظر َّيتا الباقي والعوامل‬ ‫�سندر� ��س ف ��ي هذا البند طريقة مخت�ص ��رة لإيـجاد باقي ق�سم ��ة � ِّأي كثيرة حدود على‬ ‫كثيرة حدود من الدرجة الأولى‪.‬‬

‫مثال (‪)12-4‬‬ ‫�إذا كانت‬ ‫ف�إننا ب�إجـ ��راء عملية الق�سـمة‬ ‫المطـ َّولة لـ د ( �س ) على ( �س ) نـجد � َّأن الباقي‬ ‫( �س )=‪ -4‬الحظ � َّأن ( ‪�=) 1‬صفر ‪،‬‬

‫�إذا كانت‬ ‫ف�إننا ب�إجـراء عملية الق�سمة المطـ َّولة لـ د ( �س )‬ ‫على ﻫ ( �س ) نـجد � َّأن الباقي‬ ‫الحظ � َّأن‬ ‫و� َّأن‬

‫‪204‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫( �س )‬

‫الحدود‬ ‫كثيراتالحدود‬ ‫ق�سمةكثيرات‬ ‫دوال‬ ‫يو�ضح النظرية التالية‪:‬‬ ‫� َّإن المثال ال�سابق ِّ‬

‫نظرية (‪ )3-4‬نظرية الباقي‬ ‫باقي ق�سمة كثيرة الحدود‬ ‫هو دالة ثابتة قيمتها ت�ساوي‬ ‫� َّأن‬

‫هو العدد الذي يجعل ﻫ ( �س ) = �صفر ‪.‬‬

‫الـبرهان‬

‫بـما � َّأن درجة الباقي ( �س ) يجب �أن تكون �أ�صغر من درجة المق�سوم عليه ( �س )= �س‪ +‬ب‪ ،‬وحيث‬ ‫� َّأن المق�سوم عليه من الدرجة الأولى ف� َّإن درجة الباقي ( �س ) تكون �صف ًرا ( قد تكون درجة الباقي غير‬ ‫مح َّددة وذلك عندما تكون ( �س ) = �صفر )‪.‬‬ ‫�أي � َّأن ( �س ) دالة ثابتة‪.‬‬

‫وحيث � َّأن‬

‫ح�سب النظرية ( ‪.) 2-4‬‬

‫ف� َّإن‬

‫ل َّأن ( �س ) دالة ثابتة‪.‬‬

‫(‪)8-4‬‬ ‫باقي ق�سمة‬

‫مثال (‪)13-4‬‬ ‫با�ستخدام نظرية الباقي �أوجد باقي ق�سمة د ( �س ) على ﻫ ( �س ) في ٍّ‬ ‫كل من الحاالت التالية‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪205‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫الحل‬ ‫بو�ضع‬ ‫� ًإذا الباقي‬ ‫تكون‬

‫بو�ضع‬ ‫� ًإذا الباقي‬ ‫بو�ضع‬

‫يكون‬

‫� ًإذا الباقي‬ ‫( �أكمل الفراغ )‬ ‫التو�صل �إلى � َّأن‬ ‫�أنه يمكننا ُّ‬ ‫ب� َّأن الباقي‬

‫تقبل الق�سمة على‬

‫وعا َّمة الأمر ف�إنه يمكننا ا�سـتنا ًدا �إلى نظرية الباقي وفقرة ‪ )2‬من ملحـوظة ( ‪ ) 7-4‬ا�ستنتاج � َّأن � َّأي‬ ‫كـثيرة حدود د ( �س ) تقـبل الق�سـمة عـلى‬ ‫= �صفر ‪ ،‬وبـهذا يمكننا تقديـم النظرية التالية‪:‬‬ ‫�إذا وفقـط �إذا كـانت‬

‫نظرية (‪ )4-4‬نظرية العوامل‬ ‫عـام ًال من عـوامل كثيرة‬

‫تكـون‬ ‫الحدود د ( �س ) �إذا وفقط �إذا كان‬

‫(‪)9-4‬‬ ‫تكون‬ ‫وعليه يمكننا كتابة � َّأن ‪:‬‬

‫‪206‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫حيث‬

‫�إذا وفقط �إذا كان‬ ‫عام ًال من عوامل‬ ‫تقبل الق�سمة على‬ ‫عامل من عوامل‬

‫الحدود‬ ‫كثيراتالحدود‬ ‫ق�سمةكثيرات‬ ‫دوال‬ ‫مثال (‪)14-4‬‬ ‫ف���ي ٍّ‬ ‫كل مـم���ا يل���ي ا�ستخ���دم نظري���ة العوام���ل لتب ِّي���ن �أ َّن ( �س ) عام���ل من عوامل د ( ����س ) ثم ح ِّلل‬ ‫د( �س ) �إلى عاملين‪:‬‬

‫الحل‬ ‫بو�ضع‬ ‫� ًإذا‬ ‫على‬ ‫بو�ضع‬ ‫� ًإذا‬ ‫على‬

‫عامل من عـوامل‬ ‫ن�ستنتج � َّأن‪:‬‬

‫وب�إجـراء عملية الق�سمة المط َّولة لـِ‬ ‫وبذلك نكون ح َّللنا‬

‫�إلى عاملين‪.‬‬

‫تكون‬ ‫عامل من عـوامل‬ ‫ن�ستنتج � َّأن‪:‬‬

‫�أن ��ه يمك ��ن تحلي ��ل‬ ‫قانون الفرق بين مربعي ح َّدين فتكون‬

‫‪ ،‬وب�إجراء عملية الق�سمة المط َّولة لـِ‬

‫�إل ��ى عاملي ��ن كل منهم ��ا م ��ن الدرجة الثانية با�ستخدام‬

‫تدريب (‪)9-4‬‬ ‫ادر�س قابلية ق�سمة كثيرة الحدود‬

‫على ‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪207‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫مثال (‪)15-4‬‬ ‫ف�أوجد قيمة‬

‫�إذا كانت‬

‫بـحيث تكون‬

‫عام ً‬ ‫ال من عوامل‬

‫الحل‬ ‫عام ًال من عوامل‬

‫(‪)10-4‬‬ ‫حيث‬

‫�إذا كانت‬

‫‪ 1‬‬

‫تقبل الق�سمة على‬

‫‪2‬‬

‫تقبل الق�سمة على‬

‫ف� َّإن ‪:‬‬ ‫ل َّأن‬ ‫في حالة � َّأن ن عد ًدا زوج ًّيا فقط ل َّأن ‪:‬‬ ‫�إذا كان زوج ًّيا‪.‬‬ ‫�إذا كان فرد ًّيا‪.‬‬

‫فمث ًال ‪:‬‬

‫تقبل الق�سمة على ٍّ‬ ‫كل من‬

‫وال تقبل على‬ ‫تقبل الق�سمة على‬ ‫بينما ‪:‬‬ ‫وفي الواقع يمكننا ب�إجراء الق�سمة المط َّولة ا�ستنتاج المتطابقة التالية‪:‬‬

‫وت�س َّم ��ى ه ��ذه المتطابق ��ة بـمتطابقة الف���رق بين مكعبـ���ي ح َّدي���ن ‪ ،‬ومنها يمكنك ب�سهول ��ة ا�ستنتاج‬ ‫المتطابقة التالية التي تُعرف بـمتطابقة مجموع مكعبـي ح َّدين‬

‫تدريب (‪)10-4‬‬ ‫ح ِّلل ك ًّال من الدالتين الآتيتين �إلى عاملين ‪:‬‬

‫‪208‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الحدود‬ ‫كثيراتالحدود‬ ‫ق�سمةكثيرات‬ ‫دوال‬

‫تمارين (‪)2-4‬‬ ‫‪ 1‬با�سـتخ ��دام الق�سمة المط َّول ��ة �أوجد خارج الق�سمة والباقي عند ق�سمة كثي ��رة الحدود د ( �س ) على‬ ‫كثيرة الحدود ﻫ ( �س ) في ٍّ‬ ‫كل من الحاالت التالية ‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬ ‫و‬ ‫ز‬ ‫‪2‬‬

‫�إذا كان‬

‫عام ًال لكثيرة الحدود‬

‫ف�أوجد العامل الآخر‪.‬‬

‫‪� 3‬إذا كان‬ ‫‪ 4‬بطريقتين مـختلفتين �أوجد باقي ق�سمة‬

‫ف�أوجد‬ ‫على‬

‫فيما ي�أتي ‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪209‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫‪ 5‬ا�ستخدم نظرية الباقى لإيجاد باقى ق�سمة‬

‫‪ 6‬بطريقتين مـختلفتين ب ِّين � َّأن‬

‫على‬

‫تقبل الق�سمة على‬

‫‪ 7‬با�ستخدام نظرية العوامل ب ِّين � َّأن‬

‫فيما يلى ‪:‬‬

‫فيما ي�أتي ‪:‬‬

‫فيما يلي ‪:‬‬

‫عامل من عوامل‬

‫‪� 8‬أوجد قيمة بـحيث يكون باقي ق�سـمة كـثيرة الحـدود‬ ‫ي�ساوي ‪. 6‬‬ ‫على‬ ‫‪� 9‬أوجد قيم التي تجعل‬

‫عام ًال من عوامل‬

‫‪ 10‬ح ِّلل ك ًّال من الدالتين التاليتين �إلى عاملين ‪:‬‬

‫‪210‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫حيث‬

‫الحدود‬ ‫كثيراتالحدود‬ ‫ق�سمةكثيرات‬ ‫دوال‬ ‫‪ 11‬قطـعة �أر�ض م�سـتطيلة ال�شـكل م�سـاحتها‬ ‫�أوجد طولـها بداللة‬ ‫وعر�ضـها‬ ‫‪� 12‬صـندوق على �شكل متوازي م�ستطيالت حجمه‬ ‫وارتفاعه‬

‫‪� ،‬أوجد م�ساحة قاعدته بداللة‬

‫‪ 13‬منطـق ��ة مثـلث ��ة متطـابق ��ة ا لأ�ضـالع م�سـاحته ��ا‬ ‫وارتفا عـه ��ا‬

‫�أو ج ��د مـحيطه ��ا بدال ل ��ة‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪211‬‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫النظرية الأ�سا�سية فى الجبر‬

‫‪5-2‬‬ ‫‪3-4‬‬

‫جذور كثيرات الحدود‬ ‫ـيدا في ‪� ،‬أ َّما معـادلة الدرجـة‬ ‫جـذ ًرا وح ً‬ ‫�صفر فلها �إ َّما جذران مـختلفان �أو جذر مكرر �أو لي�س لـها‬

‫تعلم � َّأن لمعـادلة الدرجـة الأولى‬ ‫الثـانية‬ ‫جذور في ‪.‬‬ ‫وم ��ن الوا�ض ��ح � َّأن الطرف الأيـمن ف ��ي معادلة الدرجة الأولى ما هو �إال كثي ��رة حدود من الدرجة‬ ‫الأولى‪ ،‬كما � َّأن الطرف الأيـمن في معادلة الدرجة الثانية هو كثيرة حدود من الدرجة الثانية‪.‬‬ ‫يو�ضح مفهوم الجذر ل ِّأي كثيرة حدود‬ ‫والتعريف التالي ِّ‬

‫تعريف ( ‪)8 -4‬‬ ‫يقال للعدد ب�أنه جذر ( �أو �صفر ) لكثيرة الحدود د ( �س ) �إذا كان‬ ‫� َّإن هذا التعريف يعني � َّأن جذر كثيرة الحدود د ( �س ) هو جذر للمعادلة د ( �س ) �صفر‬

‫(‪)11-4‬‬ ‫من التعريف ( ‪ ) 8-4‬ومن ملحوظة ( ‪ ) 9-4‬نـجد � َّأن‪:‬‬ ‫جذر لكثيرة الحدود‬ ‫وهذا يعني �أنه توجد كثيرة حدود‬ ‫حالتان ‪:‬‬ ‫‪� 1‬إذا كان‬ ‫� َّأن خـارج ق�سمة‬ ‫‪� 2‬إذا كان‬ ‫الحدود‬

‫‪212‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫تقبل الق�سمة على‬ ‫بحيث‬

‫ويكون لدينا‬

‫ف� َّإن ي�س َّمى جـذ ًرا ب�س ً‬ ‫ـيطا لكـثيرة الحدود‬ ‫ال يقبل الق�سمة على‬ ‫وهو‬ ‫على‬

‫وهذا يعني‬

‫ف� َّإن ي�س َّمى جذ ًرا م�ضاعفًا ( �أي مكر ًرا مرتين �أو �أكثر ) لكثيرة‬

‫الجبر‬ ‫كثيراتفى‬ ‫دواللأ�سا�سية‬ ‫النظرية ا‬ ‫الحدود‬ ‫مثال (‪)16-4‬‬ ‫العدد ‪ 3‬هو جذر لكثيرة الحدود‬ ‫تقبل الق�سمة على‬

‫�أي � َّأن‬

‫ل َّأن‬ ‫توجد كثيــــرة حــــــدود‬ ‫�إلى عوامل ينتج � ّأن‬

‫وبتـحليل‬ ‫�أي � َّأن‬ ‫�صفر وبالتالي ف� َّإن ‪ 3‬هو جذر ب�سيط لكثيرة الحدود‬ ‫العدد (‪ )1 -‬هو جذر لكثيرة الحدود‬ ‫توجد كثيرة حدود‬ ‫تقبل الق�سمة على‬ ‫بحيث‬ ‫نح�صل على‬ ‫على‬ ‫وبق�سمة‬ ‫وحيث � َّأن ك (– ‪� )1‬صفر ف� َّإن العدد (– ‪ )1‬يكون جذ ًرا م�ضاعفًا‬ ‫لكثيرة الحدود‬ ‫نـجد � َّأن‬ ‫�أنه بتحليل‬

‫بحيث‬ ‫ووا�ضـــــــــح � َّأن‬

‫( لماذا ؟ )‬

‫والجدير بالذكر � َّأن العالم الم�سلم عمر بن �إبراهيم الخ َّيام الني�سابوري قد‬ ‫عـال ��ج المعادالت التكعيبية معالجة منهجية منتظم ��ة نادرة في نوعها عبر‬ ‫الع�صور وتو�صل �إلى �إيـجاد جذور كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة‪.‬‬

‫مثال (‪)17-4‬‬ ‫�أوجد جذور كثيرات الحدود التالية ‪:‬‬

‫الحل‬ ‫� ًإذا جذر كثيرة الحدود‬

‫� ًإذا جذرا كثيرة الحدود‬

‫هما‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪213‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫مثال (‪)18-4‬‬ ‫ث��� َّم �أوج���د‬

‫�أثب���ت �أ َّن الع���دد ‪ 2‬ه���و ج���ذر لكثي���رة الح���دود‬ ‫الجذور الأخرى لـها‪.‬‬

‫الحل‬

‫� ًإذا العدد ‪ 2‬هو جذر لكثيرة الحدود‬ ‫وب�إجراء عملية الق�سمة المط َّولة لكثيرة الحدود‬ ‫� ًإذا‬ ‫وبو�ضع‬ ‫قيم �س التي تحقِّق المعادلة‪:‬‬ ‫� ًإذا الجذران الآخران لـِ‬ ‫هما‬

‫تقبل الق�سمة على ( �س – ‪) 2‬‬ ‫يكــون خارج الق�ســـــمة هو‬ ‫على‬ ‫تكون الجذور الأخرى لـ‬

‫نظرية (‪)5-4‬‬ ‫�إذا كانت‬ ‫تقبل الق�سمة على كثيرة الحدود‬

‫الـبرهان‬ ‫بما � َّأن‬

‫جذر لكثيرة الحدود‬

‫جذو ًرا مختلفة لكثيرة حدود د ( �س ) ف� َّإن د ( �س )‬

‫ف�إنه توجد كثيرة حدود‬ ‫وبالتعوي�ض عن �س بالجذر‬

‫وبالتالي ف� َّإن‬

‫هو جذر لكثيرة الحدود‬

‫وعليه ف� َّإن ‪:‬‬ ‫وحيث � َّأن‬ ‫وبالتالي يوجد‬

‫بحيث‬

‫ومنه يوجد‬ ‫ف� َّإن‬

‫وباال�ستمرار على نف�س المنوال نح�صل �أخي ًرا على كثيرة حدود‬ ‫ومن هذه النظرية نح�صل على النتيجة التالية‪:‬‬

‫‪214‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫تقبل الق�سمة على‬

‫بحيث‬ ‫يكون‪:‬‬ ‫بحيث‬

‫ومنه نح�صل على‬ ‫بحيث ‪:‬‬ ‫وبالتالي يكون‬

‫هي‬

‫الجبر‬ ‫كثيراتفى‬ ‫دواللأ�سا�سية‬ ‫النظرية ا‬ ‫الحدود‬ ‫نتيجة (‪)1-4‬‬ ‫كثي ��رة ح ��دود درجته ��ا‬

‫�إذا كان ��ت‬ ‫المختلفة‪.‬‬

‫ف� �� َّإن لـه ��ا عل ��ى الأكث ��ر ن من الجذور الحقيقية‬

‫الـبرهان‬

‫ه ��ي الج ��ذور الحقيقي ��ة المختلف ��ة لكثي ��رة الحــ ��دود د ف�إن ��ه يمكنن ��ا من‬ ‫لتك ��ن‬ ‫ا�ستنتاج �أنه‬ ‫النظرية ( ‪ ) 5-4‬وبجـــــــعل‬ ‫بحيث‬ ‫يوجد كثيرة حدود‬ ‫وحيث � َّأن‬

‫ومنه‬

‫ ‬

‫( لماذا ؟ ) ف� َّإن‬

‫وبالتالي تكون ‪:‬‬

‫�أي � َّأن عدد الجذور المختلفة هو ن على الأكثر‪.‬‬

‫الجذور ال�صحيحة لكثيرة الحدود‬

‫لتك ��ن‬ ‫�أعداد �صحيحة‪.‬‬ ‫�صحيحا �س‪ 1‬مث ًال‪ ،‬يكون ‪:‬‬ ‫�إذا فر�ضنا � َّأن لـِ د ( �س ) جذ ًرا‬ ‫ً‬

‫كثي ��رة ح ��دود معامالتـه ��ا جميعه ��ا‬

‫� ًإذا‬ ‫ومن الوا�ضح � َّأن الطرف الأيمن هو حا�صل �ضرب عددين �صحيحين �أحدهما �س‪ 1‬ومن ذلك ن�ستنتج � َّأن‬ ‫�س‪ 1‬قا�سم للحد الثابت وعليه يمكننا تقديـم القاعدة التالية‪:‬‬ ‫�إذا كانت د ( �س ) كثيرة حدود ذات معامالت �صحيحة و ُوجد لـها جذر‬ ‫�صحيح كان هذا الجذر قا�سـ ًما للحد الثابت فيها‪.‬‬ ‫وبالإفادة من هذه القاعدة يمكننا تعيين الجذور ال�صحيحة ل ِّأي كثيرة حدود معامالتـها �أعداد �صحيحة‪،‬‬ ‫نحدد قوا�سم الحد الثابت جميعه ��ا ونع ِّو�ض بـهذه القوا�سم على التوالي في‬ ‫وذل ��ك بالتجريب ويكفي �أن ِّ‬ ‫�صحيحا لـها‪.‬‬ ‫كثيرة الحدود‪ ،‬فالقا�سم الذي يجعل قيمة كثيرة الحدود �صف ًرا يكون جذ ًرا‬ ‫ً‬ ‫وفي الواقع � َّإن الح�صول على جذر �صحيح لكثيرة الحدود ي�ساعد في تعيين باقي الجذور والأمثلة التالية‬ ‫تو�ضح ذلك‪.‬‬ ‫ِّ‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪215‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫مثال (‪)19-4‬‬ ‫�أوجد جذور كثيرة الحدود‬

‫الحل‬ ‫نب ��د�أ بتعيي ��ن الجذور ال�صحيحة ‪� -‬إن وجدت ‪ -‬بمعلومية قوا�سم الحد الثابت ( – ‪ ) 5‬وهي ‪5 ، 1– ، 1‬‬ ‫‪ 5 – ،‬وبالتجريب نـجد � َّأن‬ ‫� ًإذا ( –‪ ) 1‬هو جذر لكثيرة الحدود‬ ‫تقبل الق�سمة على‬ ‫وب�إجراء عملية الق�سمة المط َّولة لكثيرة الحدود‬

‫على‬

‫يكـــــون خارج الق�ســــمة هو‬

‫� ًإذا‬ ‫( بالتحليل )‬ ‫تكون‬

‫وبو�ضع‬

‫� ًإذا جذور كثيرة الحدود د ( �س ) هي‬ ‫� َّأن ( –‪ ) 1‬هو جذر م�ضاعف ( مكرر مرتين ) لـ د ( �س )‬

‫مثال (‪)20-4‬‬ ‫ح ِّل���ل كثي���رة الح���دود‬ ‫الدرجة الأولى‬

‫‪216‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫�إل���ى عوام���ل م���ن‬

‫الجبر‬ ‫كثيراتفى‬ ‫دواللأ�سا�سية‬ ‫النظرية ا‬ ‫الحدود‬ ‫الحل‬ ‫نع ِّي ��ن الجــــــذور ال�صحيحة ‪� -‬إن وجدت ‪ -‬لكثي ��رة الحدود د ( �س ) بـمعلومية قوا�ســــــم الحــد الثابــــت‬ ‫( – ‪ ) 3‬وهي ‪ 3 ، 3 – ، 1 ، 1– :‬وبالتجريب نـجد � َّأن‬ ‫� ًإذا ‪ 3 ، 1‬هما جذران لكثيرة الحدود‬ ‫تقبل الق�سمة على‬ ‫وب�إجراء عملية الق�سمة المط َّولة لكثيرة الحدود‬ ‫يكون خارج الق�سمة هو‬ ‫� ًإذا‬ ‫اكت�شف الخط�أ عند تحليل كثيرة الحدود‬

‫على النحو التالي‪:‬‬

‫� ًإذا‬

‫(‪)12-4‬‬ ‫وكانت جذورها هي‪:‬‬ ‫�إذا كان لدينا كثيرة حدود من الدرجة ن معاملها الرئي�س‬ ‫ف� َّإن تحليلها �إلى عوامل من الدرجة الأولى يكون على ال�صورة‪:‬‬

‫تدريب (‪)11-4‬‬ ‫ح ِّلل كثيرة الحدود‬ ‫الدرجة الأولى ‪.‬‬

‫�إلى عوامل من‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪217‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫مثال (‪)21-4‬‬ ‫حاوي���ة ب�ضائ���ع عل���ى �ش���كل مت���وازي م�سـتطي�ل�ات ينق����ص عر�ضه���ا‬ ‫مترين ع���ن طولـها ‪ ،‬وينق�ص ارتفاعها مت ًرا واح ًدا عن‬ ‫طولـها ‪� ،‬أوجد �أبعاد الحاوية �إذا كان حجمها ‪ 6‬م‪. 3‬‬

‫الحل‬ ‫نفر�ض � َّأن �س تم ِّثل طول الحاوية ‪ ،‬فيكون ‪:‬‬ ‫( � ��س – ‪ ) 2‬يم ِّثل عر�ضه ��ا و ( �س – ‪ ) 1‬ارتفاعها انظر‬ ‫�شكل ( ‪) 1 - 4‬‬ ‫حجم متوازي الأ�ضالع الطول × العر�ض × االرتفاع‬

‫�شـكل ( ‪) 1-4‬‬

‫وبالتحليل نـجد � َّأن ‪:‬‬ ‫و�ضح خطوات �إجراء هذا التحليل )‬ ‫( ِّ‬

‫وهذا م�ستحيل في‬ ‫ن�ستنتج � َّأن طول الحاوية‬ ‫تحقَّق من �صحة الحل‪.‬‬

‫‪218‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫وعر�ضها‬

‫وارتفاعها‬

‫( لماذا ؟ )‬

‫الجبر‬ ‫كثيراتفى‬ ‫دواللأ�سا�سية‬ ‫النظرية ا‬ ‫الحدود‬ ‫النظرية الأ�سا�سية في الجبر‬ ‫علم ��ت �ساب ًق ��ا � َّأن جـ ��ذور كثيرة الحـدود د ( �س ) هي ج ��ذور للمعادلة د ( �س ) �صفر‬ ‫وبالتالي �إذا كانت المعـادلة د ( �س ) ‪ 0‬م�ستحيلة الحل في ف� َّإن كثيرة الحــــــدود د‬ ‫( �س ) لي�س لـها جــــذور في ‪ ،‬فمثـــــــ ًال ‪ :‬كـثيــــرة الحـدود د( �س ) �س‪ 1 2‬لي�س لـها‬ ‫�صفر‪ ،‬ولكن �إذا‬ ‫ف� َّإن‬ ‫� ُّأي جـــــــذر حقيقي لأنه ل ِّأي‬ ‫و�سعن ��ا مـج ��ال ه ��ذه الدالة لي�شمل مـجموعة الأعداد المر َّكب ��ة ف� َّإن الو�ضع يـختلف‬ ‫َّ‬ ‫�سنقدمها بدون برهان لت�ض ُّمنها‬ ‫ـمام ��ا و�سيت�ضح ذلك من خالل النظرية التالي ��ة والتي ِّ‬ ‫ت ً‬ ‫�أفكا ًرا فوق م�ستوى هذا الكتاب‪.‬‬

‫نظرية (‪ )6-4‬النظرية الأ�سا�سية في الجبر‬ ‫� ُّأي كثيرة حدود درجتها �أكبر من ال�صفر ال ب َّد �أن يكون لـها جذر مركَّب واحد على الأقل‪.‬‬ ‫� َّأن � َّأي جذر حقيقي هو جذر مركَّب ل َّأن‬ ‫وف ��ي الواق ��ع يمكـننا من ه ��ذه النظرية الح�صـول عل ��ى النتيجة التالية التي تـح � ِّ�دد عدد الجذور‬ ‫المركَّبة‪ ،‬والمقابلة للنتيجة ( ‪ ) 1-4‬في حالة الجذور الحقيقية‪.‬‬

‫نتيجة (‪)2-4‬‬ ‫� ُّأي كثيرة حدود درجتها‬ ‫الجذور مـختلفة )‪.‬‬

‫لـها بال�ضبط ن من الجذور المركَّبة ( لي�س من ال�ضروري �أن تكون‬

‫مثال (‪)22-4‬‬ ‫كثيرة الحدود‬

‫لـها جذر واحد هو‬

‫كثيرة الحدود‬

‫لـها الجذران المركَّبان‬

‫�أنه يمكننا تحليل كثيرة الحدود‬ ‫� َّإن ك ًّال من‬

‫ل َّأن ‪:‬‬ ‫�إلى عاملين كالتالي‪:‬‬

‫ُيع ُّد عام ًال من الدرجة الأولى في‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪219‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫كثيرة الحدود‬

‫لـها ثالثة جذور مركَّبة هي ‪:‬‬ ‫( بتحليل الفرق بين مكعبي ح َّدين )‬ ‫( با�ستخدام القانون العام )‬

‫ومن َّثم يمكننا تحليل‬

‫�إلى عوامل من الدرجة الأولى في‬

‫كما يلي ‪:‬‬

‫مثال (‪)23-4‬‬ ‫�أوجد جذور كثيرة الحدود التالية ث َّم ح ِّللها �إلى عوامل من الدرجة الأولى في‬

‫الحل‬

‫� ًإذا جذور‬

‫هي‬

‫( مك َّرر م َّرتين )‬

‫� ًإذ‬ ‫� َّأن الجذري ��ن المركَّبي ��ن ف ��ي ٍّ‬ ‫كل من المثالي ��ن ( ‪ ) 23-4 ( ، ) 22-4‬مترافقان‪ ،‬وقد �سبق �أن‬ ‫عرف ��ت في وحدة الأعداد المركبة � َّأن جذري معادلة الدرج ��ة الثانية المركَّبين يكونان مترافقين وذلك‬ ‫هو جذر لـها‬ ‫ج ��ذ ًرا للدال ��ة التربيعي ��ة ف� �� َّإن مرافق ��ه‬ ‫يعن ��ي �أن ��ه �إذا كان‬ ‫أي�ضا وهذه حالة خا�صة من النظرية التالية ‪:‬‬ ‫� ً‬

‫‪220‬‬

‫(‪ )1‬ت�س َّمى هذه الجذور الثالثة جذو ًرا تكعيبية للعدد واحد في‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الجبر‬ ‫أ�سا�سية في‬ ‫النظرية ا‬ ‫الحدود‬ ‫دواللكثيرات‬ ‫نظرية (‪)7-4‬‬ ‫�إذا كان‬

‫جـــــــذ ًرا مركَّـ ًبا لكثيرة الحــــــدود د ( �س ) ف� َّإن مرافقـــه‬ ‫أي�ضا‪.‬‬ ‫هو جذر لـها � ً‬

‫�أنه في حالة‬ ‫نتو�صل �إل ��ى النتيجة التالية والتي تُم ِّكننا من معرف ��ة متى نحكم بوجود جذر‬ ‫وعل ��ى �ض ��وء هذه النظرية َّ‬ ‫حقيقي لكثيرة حدود من درجة مع َّينة‪.‬‬

‫نتيجة (‪)3-4‬‬ ‫�إذا كانت د ( �س ) كثيرة حــــدود من الدرجة ن حيث ن عدد فردي ف� َّإن د ( �س ) ال ب َّد و�أن يكون لـها‬ ‫على الأقل جذر حقيقي واحد‪.‬‬ ‫ا�ستخدم مثال ( ‪ ) 22-4‬للتحقُّق من النتيجة ( ‪.) 3-4‬‬

‫مثال (‪)24-4‬‬ ‫�أوجد في ٍّ‬ ‫كل مـما يلي كثيرة الحدود د ( �س ) ب�أق ِّل درجة ممكنة بـحيث يكون ‪:‬‬ ‫لـها الجذور‬ ‫ومعاملها الرئي�س‬ ‫لـها الجذور‬

‫الحل‬

‫جذر لكثيرة الحدود د ( �س )‬ ‫بـما � َّأن‬ ‫نظرية ( ‪) 7-4‬‬ ‫ ‬ ‫جذر �آخر لـها‬ ‫� ًإذا‬ ‫� ًإذا جذور كثيرة الحدود د ( �س ) هي ‪:‬‬ ‫وبالتالي ف� َّإن د ( �س ) تقبل الق�سمة على‬

‫نظرية ( ‪) 5-4‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪221‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫ولكي تكـون درجـة د ( �س ) �أقـل ما يمـكن فـال بـ َّد �أن تكـون درجـة ك ( �س ) م�سـاوية ال�صـفر‬ ‫�أي � َّأن‬ ‫بـما � َّأن جذور كثيرة الحدود د ( �س ) هي ‪3– ، 2 ، 1‬‬ ‫ف� َّإن كثيرة الحدود د ( �س ) تكون ب�أقل درجة �إذا كانت على ال�صورة‬

‫ولكي يكون المعامل الرئي�س لـِ د ( �س ) ي�ساوي ‪ 3‬ن�ضع‬

‫‪222‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫فتكون‬

‫الجبر‬ ‫أ�سا�سية في‬ ‫النظرية ا‬ ‫الحدود‬ ‫دواللكثيرات‬

‫تمارين (‪)3-4‬‬ ‫‪� 1‬أوجد جذور ( �أ�صفار ) كثيرات الحدود التالية ‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬ ‫و‬ ‫‪ 2‬ح ِّل ��ل كثي ��رات الح ��دود في الفقرات من (ب) �إل ��ى (و) في تـمرين‬ ‫الأولى‪.‬‬

‫�إل ��ى عوامل من الدرجة‬

‫‪� 3‬أوج ��د دال ��ة كـثي ��رة الحدود من الدرج ��ة الثالثة بـحيث يك ��ون ‪ 2- ، 1-‬جذرين لـه ��ا ويكون باقي‬ ‫ق�سمتها على ( �س – ‪ ) 1‬ي�ساوي ‪ ، 18‬وباقي ق�سمتها على �س هو ‪. 2‬‬ ‫‪ 4‬ثالث ��ة �أع ��داد �صحيح ��ة حا�صل �ضربـها ي�س ��اوي ‪� ، 54‬إذا علم ��ت � َّأن العدد الثان ��ي يقل عن الأول‬ ‫بـمقدار ‪ 7‬و� َّأن العدد الثالث يقل عن الثاني بـمقدار ‪� ، 3‬أوجد هذه الأعداد ‪.‬‬ ‫‪ 5‬قطـع ��ة من ال ��ورق المقـ َّوى مربعة ال�شـ ��كل طول �ضلعها ‪� 9‬س ��م ‪ُ ،‬قطع من �أركانـه ��ا الأربعة �أربعة‬ ‫مفتوحا‪� .‬أوجد طول �ضلع المربع‬ ‫مربع ��ات مت�ساوية الم�ساحة َّثم ُثنيت �أ�ضالعها لتك� � ِّون �صندو ًقا‬ ‫ً‬ ‫المقطوع لكي يكون حجم ال�صندوق ‪� 27‬سم‪. 3‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪223‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫‪ 6‬ح ِّلل كثيرات الحدود التالية �إلى عوامل من الدرجة الأولى في‬

‫‪� 7‬أوجد في ٍّ‬ ‫كل مـما يلي كثيرة الحدود د ( �س ) ب�أقل درجة بـحيث يكون ‪:‬‬ ‫لـها الجذور‬ ‫لـها الجذور‬ ‫تقبل الق�سمة على كثيرة الحدود‬

‫‪224‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫ومعاملها الرئي�س‬ ‫ولـها الجذر‬

‫كثيرات �إثرائية‬ ‫دوال �أن�شطة‬ ‫الحدود‬

‫�أن�شطة �إثرائية‬ ‫ا�ستخدام الحا�سب الآلي لإيجاد جذور كثيرات الحدود وتحليلها �إلى عوامل‬ ‫�سب ��ق لن ��ا ا�ستخدام برنامج‬

‫لح ��ل المعادالت ‪ ،‬و لتمثيل معادلة الدرجة الثانية في متغيرين ‪ ،‬كما‬

‫ا�ستخدمناه لإجراء بع�ض التطبيقات على الم�صفوفات ‪ ،‬وفيما يلي ن�ستخدم هذا البرنامج لإيجاد جذور‬ ‫يو�ضحان ذلك ‪:‬‬ ‫كثيرة الحدود ‪ ،‬و لتحليلها �إلى عوامل ‪ .‬و المثالين التاليين ِّ‬

‫مثال (‪)25-4‬‬ ‫�أوجد جذور كثيرة الحدود التالية في‬

‫‪:‬‬

‫الحل‬ ‫بعد فتح البرنامج نقوم باتباع التالي ‪:‬‬ ‫‪ 1‬نكت ��ب كثي ��رة الحدود في �شريط الإدخال ‪ ،‬ثم ندخله ��ا بالنقر على مفتاح الإدخال ‪ Enter‬في‬ ‫لوحة المفاتيح ‪،‬‬ ‫الموج ��ود ي�س ��ار �شريط الإدخال ) ‪ ,‬فنح�ص ��ل على ال�شكل التالي ‪:‬‬ ‫( �أو بالنق ��ر عل ��ى زر‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪225‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫( في �شريط القوائم ) فتظهر قائمة فيها خياران نقوم بالنقر‬ ‫‪ 2‬ننقر على �أيقونة الحل‬ ‫على الخيار الأول و هو ‪ ( Expression‬و يعني التعبير الجبري ) فيظهر مربع حوار عنوانه‬ ‫‪ Solve Expression‬كما في ال�شكل التالي ‪:‬‬ ‫� َّأن مج ��ال الح ��ل االفترا�ض ��ي علي ��ه ه ��و ‪ Complex‬الذي يعن ��ي مجموعة الأعداد‬ ‫المركبة‬

‫‪ 3‬ننق ��ر عل ��ى زر الـحـ ��ل‬ ‫الحدودالمو�ضحة في ال�شكل التالي ‪:‬‬ ‫َّ‬

‫‪226‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫ف ��ي مرب ��ع الحـ ��وار ال�ساب ��ق فنح�ص ��ل عل ��ى جـذور كثيرة‬

‫كثيرات �إثرائية‬ ‫دوال �أن�شطة‬ ‫الحدود‬ ‫مثال (‪)26-4‬‬ ‫ح ِّلل كثيرة الحدود التالية �إلى عوامل من الدرجة الأولى في‬

‫‪:‬‬

‫الحل‬ ‫نقوم بكتابة كثيرة الحدود و �إدخالها كما في خطوة (‪ )1‬في المثال ال�سابق ثم نتبع التالي ‪:‬‬ ‫( ف ��ي �شري ��ط القوائ ��م ) ‪ ،‬فتظه ��ر قائم ��ة فيها عدة‬ ‫‪ 1‬ننق ��ر ف ��وق �أيقون ��ة التب�سي ��ط‬ ‫خي ��ارات وبالنقــــــــ ��ر عل ��ى الخي ��ار الراب ��ع ‪ ( Factor‬ويعن ��ي ح ِّل ��ل ) ‪ ،‬يظه ��ر مربع حوار‬ ‫عنـــــــوان ��ه ‪ Factor Expression‬نـختــــــــــ ��ار منه نـمــط التحــــــلي ��ل الذي نريـده وهــــــــــو‬ ‫‪ ( Complex polynomial‬وال ��ذي ي�سم ��ح بتحليل كثيرة الح ��دود �إلى عوامل من الدرجة‬ ‫الأولى في ) كما في ال�شكل التالي ‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪227‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫في مربع الحـوار ال�سابق فنح�صل على ناتج تـحليل كثيرة‬ ‫‪ 2‬ننقر على زر التحليل‬ ‫المو�ضح في ال�شكل التالي ‪:‬‬ ‫الحدود �إلى عوامل من الدرجة الأولى في‬ ‫َّ‬

‫با�ستخدام الحا�سب الآلي تـحقَّق من �صحة حل تدريب ( ‪. ) 11-4‬‬

‫‪228‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫دوال كثيرات الحدود‬

‫‪ 1‬دالة كثيرة الحدود من الدرجة ن هي دالة‬

‫قاعدتـها ‪:‬‬

‫حيث‬ ‫‪� 2‬إذا كانت د ( �س ) ‪ ،‬ﻫ ( �س ) كثيرتي حدود ف� َّإن د ( �س ) ﻫ ( �س ) �إذا وفقط �إذا كانت لـهما‬ ‫الدرجة نف�سها ومعامالتـهما المتناظرة مت�ساوية‪.‬‬ ‫‪ 3‬عمليات جمع وطرح و�ضرب كثيرات الحدود و�أهم خوا�ص هذه العمليات‪.‬‬ ‫‪ 4‬نق ��ول � َّإن كثي ��رة الحدود د ( �س ) تقبل الق�سم ��ة على كثيرة الحدود ﻫ ( �س ) ≠ ‪� 0‬إذا وفقط �إذا‬ ‫ُوجدت كثيرة حدود ك ( �س ) تـحقِّق العالقة‬ ‫‪� 5‬إذا كانت د ( �س ) ‪ ،‬ﻫ ( �س ) كثيرتي حدود ‪ ،‬ﻫ ( �س ) ≠ ‪ 0‬ف�إنه توجد كثيرتا حدود ك ( �س )‬ ‫‪� ( ،‬س ) بـحيث تكون ‪:‬‬

‫‪ 6‬الق�سمة المط َّولة لإجراء عملية ق�سمة كثيرة حدود على �أخرى‪.‬‬ ‫‪ 7‬نظرية الباقي‪:‬‬ ‫باقي ق�سمة كثيرة الحدود د ( �س ) على‬ ‫هو دالة ثابتة قيمتها ت�ساوي‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪229‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫‪ 8‬نظرية العوامل ‪:‬‬ ‫تكـون‬ ‫�إذا وفقط �إذا كان‬ ‫‪9‬‬

‫عامـ ًال من عـوامل د ( �س )‬

‫جذر لكثيرة الحدود‬ ‫تقبل الق�سمة على‬ ‫عام ًال لكثيرة الحدود‬

‫‪� 10‬إذا كانت‬ ‫الق�سمة على‬

‫جذو ًرا مـختلفة لكثيرة الحدود د ( �س ) ف� َّإن د ( �س ) تقبل‬

‫‪� 11‬إذا كان ��ت د ( � ��س ) كثيرة حدود ذات معامالت �صحيحة ووجد لـها جذر �صحيح كان هذا الجذر‬ ‫قا�سـ ًما للحد الثابت فيها‪ ،‬واال�ستفادة من ذلك تعيين جذر �صحيح لكثيرة الحدود ذات المعامالت‬ ‫ال�صحيحة ومن َّثم تعيين باقي الجذور‪.‬‬ ‫‪ 12‬كثي ��رة الح ��دود الت ��ي درجته ��ا‬ ‫مختلفة‪.‬‬

‫لـه ��ا بال�ضبط‬

‫من الج ��ذور المركَّبة التي قد ال تكون‬

‫‪ 13‬تحليل كثيرات حدود معطاة �إلى عوامل من الدرجة الأولى في‬

‫‪.‬‬

‫ج ��ذ ًرا لكثي ��رة الح ��دود ف� �� َّإن مرافق ��ه‬ ‫‪� 14‬إذا كان‬ ‫و� َّأن � َّأي كثيرة حدود درجتها عدد فردي لـها جذر حقيقي واحد على الأقل‪.‬‬

‫ه ��و ج ��ذر �آخ ��ر لـها‬

‫‪� 15‬أن�شط ��ة �إثرائي ��ة ا�ستخدمن ��ا فيها الحا�سب الآل ��ي ؛لإيـجاد ج ��ذور كثيرة الح ��دود ولتحليلها �إلى‬ ‫عوامل‪.‬‬

‫‪230‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫دوال كثيرات الحدود‬

‫تمارين عامة‬ ‫‪� 1‬ضع عالمة ( ) �أو عالمة ( ) عن يمين العبارات التالية ‪:‬‬ ‫هي كثيرة حدود ‪.‬‬ ‫هي دالة تربيعية في ‪.‬‬ ‫المعامل الرئي�س لكثيرة الحدود‬ ‫بـحيث‬

‫�إذا كانت‬ ‫�إذا كانت‬ ‫ف� َّإن درجة‬

‫�إذا كانت د ( �س ) ‪ ،‬ﻫ ( �س ) كثيرتا حدود من الدرجة الخام�سة والثالثة على الترتيب ف� َّإن‬ ‫خـارج ق�سـمة د ( �س ) على ﻫ ( �س ) هو كثيرة حدود من الدرجة الثانية‪.‬‬ ‫�إذا كانت‬ ‫ف� َّإن درجة كثيرة الحدود‬

‫هي باقي ق�سمة كثيرة الحدود‬

‫باقي ق�سمة‬ ‫هو �صفر لكثيرة الحدود‬ ‫‪ 3‬هو �صفر مكرر مرتين لكثيرة الحدود‬ ‫جذر كثيرة الحدود‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪231231‬‬

‫لكثيرة الحدود‬ ‫كثيرة الحدود‬ ‫هو جذر حقيقي‪.‬‬ ‫‪� 2‬إذا كانت‬

‫جذران مركَّبان هما‬ ‫لـها �سبعة جذور مركَّبة �أحدها على الأقل‬

‫ف�أوجد ‪:‬‬

‫‪� 3‬إذا كانت‬ ‫التي تـحقِّق ال�شرط المعطى ‪:‬‬

‫ف�أوجد في ٍّ‬ ‫كل مـما ي�أتي كثيرة الحدود ﻫ ( �س )‬

‫د‬ ‫‪� 4‬إذا كانت‬ ‫ف�أوجـد قيمـة ٍّ‬ ‫كل من‬ ‫‪� 5‬إذا كانـــــــت‬ ‫ﻫ(–‪)3‬‬ ‫‪ 6‬ب ِّين � َّأن‬

‫‪232‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫فما قيـــــمـة‬ ‫لي�س �أحد عوامل‬

‫‪ 7‬ف ��ي ٍّ‬ ‫كل مـم ��ا ي�أت ��ي ناق�ش ه ��ل جذر لكثيرة الحدود د ( �س ) �أم ال ؟ وف ��ي حالة �أنه جذر �أوجد‬ ‫باقي الجذور‪.‬‬

‫‪� 8‬أوجد ك ًّال من م ‪ ،‬ل التي تـجعل د ( �س ) تقبل الق�سمة على ﻫ ( �س ) في ٍّ‬ ‫كل مـما ي�أتي ‪:‬‬

‫‪ 9‬ح ِّلل كثيرات الحدود التالية �إلى عوامل من الدرجة الأولى على حقل الأعداد المركَّبة وتـحقَّق من‬ ‫�صحة الحل با�ستخدام الحا�سب الآلي‪.‬‬

‫‪� 10‬صندوق على �شكل متوازي م�ستطيالت حجمه‬ ‫�سم ‪ ،‬وعر�ضه‬ ‫كان طول ال�صندوق‬

‫�سم‪� ، 3‬إذا‬ ‫�سم ‪� .‬أوجد ارتفاعه بداللة �س ‪.‬‬

‫م‪، 3‬‬ ‫‪ 11‬خـ� � َّزان عل ��ى �ش ��كل مـت ��وازي م�سـتطي�ل�ات حجـم ��ه‬ ‫م ‪� .‬أوجد قيمة �س التي تجعل م�ساحة �أر�ضية الخ َّزان ت�ساوي ‪ 32‬م‪. 2‬‬ ‫وارتفاعه‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪233‬‬

‫الوحدة الم�ضلَّعات‬ ‫الأولى‬

‫( ‪)1 -1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫هـ‬

‫د‬

‫‪6‬‬

‫د‬

‫‪7‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪13‬‬

‫‪14‬‬

‫‪20‬‬

‫‪15‬‬

‫م�ساحة الرباعي‬

‫( ‪)2 -1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3‬محيط الم�ضلع الأول = ‪� 45‬سم ‪ ،‬محيط الم�ضلع الثاني = ‪� 54‬سم ‪ ،‬ن�سبة الت�شابه =‬ ‫‪ 4‬محيط الم�ضلع الأكبر = ‪� 37.5‬سم‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪234‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪10‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪235‬‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬

‫هند�سة المتجهات‬

‫( ‪)1 -2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫د‬

‫هـ‬

‫و‬

‫‪8‬‬ ‫د‬

‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫المتجه‬ ‫طولة‬ ‫زاويته‬ ‫‪13‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪17‬‬ ‫د‬

‫‪236‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫هـ‬

‫و‬

‫‪18‬‬ ‫د‬

‫و‬

‫هـ‬

‫‪19‬‬ ‫‪20‬‬

‫( ‪)2 -2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫د‬

‫و‬

‫هـ‬

‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫( ‪)3 -2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬

‫د‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪237‬‬

‫( ‪)5 -2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د‬

‫هـ‬

‫و‬

‫ز‬

‫ح‬

‫ط‬

‫‪3‬‬

‫د‬

‫هـ‬

‫و‬

‫ز‬

‫ح‬

‫ط‬

‫ي‬

‫ك‬

‫ل‬

‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪238‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫متعامدان‬

‫متوازيان‬

‫غير متوازيين وغير متعامدين‬

‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬

‫متوازيان‬

‫متعامدان‬

‫متوازيان‬

‫‪12‬‬

‫متوازيان‬

‫متعامدان‬

‫متوازيان‬

‫د متعامدان‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫د‬

‫هـ‬

‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪239‬‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫الأعداد المركبة‬

‫( ‪)2 -3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د‬

‫هـ‬

‫و‬

‫ز‬

‫ح‬

‫ط‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫د‬

‫هـ‬

‫و‬

‫ز‬

‫ح‬

‫ط‬

‫ي‬

‫ك‬

‫‪7‬‬ ‫د‬ ‫و‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪240‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫( ‪)3 -3‬‬ ‫‪1‬‬

‫د‬ ‫و‬ ‫ز‬ ‫ح‬ ‫‪2‬‬ ‫و‬

‫د‬ ‫ز‬

‫ح‬

‫ط‬

‫ي‬

‫ك‬

‫ل‬

‫‪3‬‬

‫=‬ ‫=‬

‫=‬ ‫=‬

‫و‬ ‫‪4‬‬

‫د‬ ‫و‬

‫=‬ ‫=‬

‫=‬ ‫=‬ ‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪241‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪242‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫الوحدة‬ ‫الرابعة‬

‫دوال كثيرات الحدود‬

‫( ‪)1 -4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫د‬

‫هـ‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫د‬ ‫‪12‬‬ ‫د‬ ‫هـ‬

‫و‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪243‬‬

‫‪13‬‬

‫د‬ ‫هـ‬ ‫و‬

‫( ‪)2 -4‬‬ ‫‪1‬‬

‫د‬ ‫هـ‬ ‫و‬ ‫ز‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫‪11‬‬

‫‪12‬‬

‫‪13‬‬

‫‪244‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫( ‪)3 -4‬‬ ‫‪1‬‬

‫د‬ ‫هـ‬ ‫و‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬

‫‪245‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪246‬‬

‫ريا�ضيات (‪)3‬‬