Issuu on Google+

‫رياضيات ‪1‬‬ ‫رقـ ـ ــم الإي ـ ـ ـ ــداع ‪14٢7/3783 :‬‬ ‫ردمك ‪9960 - 48 - 233 - 2 :‬‬

‫الطبعة الثانية ‪1430‬هـ ‪1431 -‬هـ ‪2009 /‬م ‪2010 -‬م‬

‫الـمــدرس ـ ـ ــة ‪...................................................................................... :‬‬

‫التعليم الثانوي (الربنامج امل�شرتك)‬

‫اسم الطالب ‪..................................................................................... :‬‬

‫(البرنامج الم�شترك)‬

‫الطبعة الثانية‬ ‫‪1430‬هـ ـ ‪1431‬هـ‬ ‫‪2009‬م ـ ‪2010‬م‬


‫(البرنامج الم�شترك)‬ ‫تعديل وتطوير‬ ‫ن ــور بنت �سعيد عـ ــلي باقـ ــادر‬ ‫نجوى بنت رجب محمد ال�شوا‬ ‫�إبت�سام بنت �سعيد عمر من�سي‬ ‫لمـ ــياء بنت عبداهلل يحيى خان‬ ‫�سلمى بنت عبود محمد بايزيد‬ ‫لجنة المراجعة‬

‫�سـ ـ ــامـ ــي بــن �أح ـ ـم ـ ـ ــد رح ـيـ ـ ِّــم‬ ‫ث ـ ـ ــام ـ ــر بن حـ ـ ـم ــد العـيـ ــ�سـ ــى‬ ‫�س ـع ـيـ ــد �سـ ـع ـ ـ ــد الــزهـ ــران ـ ـ ـ ــي‬ ‫الطبـاع ــة‬ ‫مـهـا بنـت عـبـدالعزيـز القـديـر‬ ‫فـ ـ ــوزي ـ ــة بـنـت ح�س ـيـن ب ـ ــاردم‬ ‫�أ�شرف على الت�صميم الفني والتعليمي‬ ‫الطبعة الثانية‬ ‫�أ‪ .‬محمد بن عبد اهلل الب�صي�ص‬

‫‪ 1430‬ـــ ‪ 1431‬هـ‬ ‫‪ 2009‬ـــ ‪2010‬م‬


‫ح‬

‫وزارة التربية والتعليم ‪ 1427 ،‬هـ‬ ‫فهر�سة مكتبة الملك فهد الوطنية �أثناء الن�شر‬

‫وزارة التربية والتعليم‬ ‫ريا�ضيات ‪( 1‬التعليم الثانوي) ‪ -‬الريا�ض ‪1427 ،‬هـ‬ ‫‪� 224‬ص‪�x 27 21 ،‬سم‬ ‫ردمك ‪9960-48-233-2:‬‬ ‫‪ 1‬الريا�ضيات ‪-‬كتب مدر�سية ‪ 2-‬التعليم الثانوي‪-‬ال�سعودية‪-‬‬‫كتب درا�سية �أ‪ ،‬العنوان‬ ‫‪1427/3783‬‬ ‫ديوي ‪510،712‬‬

‫رقم الإيداع ‪1427/3783 :‬‬ ‫ردمك‪9960-48-233-2 :‬‬

‫�أ�شرف على الطباعة والتوزيع‬

‫الإدارة العامة للمقررات المدر�سية‬ ‫لهذا الكتاب قيمة مهمة وفائدة كبيرة فحافظ عليه واجعل نظافته ت�شهد على‬ ‫ح�سن �سلوكك معه ‪.‬‬ ‫�إذا لم تحتفظ بهذا الكتاب في مكتبتك الخا�صة في �آخر العام لال�ستفادة فاجعل‬ ‫مكتبة مدر�ستك تحتفظ به ‪.‬‬ ‫حقوق الطبع والن�شر محفوظة لوزارة التربية والتعليم ـ المملكة العربية ال�سعودية‬

‫موقع‬

‫وزارة التربية والتعليم‬ ‫‪www.moe.gov.sa‬‬

‫موقع‬

‫البوابة التعليمية للتخطيط والتطوير‬ ‫‪http://www.ed.edu.sa‬‬

‫موقع‬

‫�إدارة التعليم الثانوي‬ ‫‪www.hs.gov.sa‬‬

‫البريد الإلكتروني لإدارة التعليم الثانوي‬

‫‪Secondary-Education@curriculum.gov.sa‬‬


‫مقدمة‬ ‫رب العالمين‪ ،‬و ال�صـالة وال�سـالم على �سـ ِّيد المر�سـلين‪ ،‬وعلى �آله و�صحبه �أجـمعين‪،‬‬ ‫الحمد هلل ِ ِّ‬ ‫ومن تبعهم ب�إح�سـانٍ �إلى يوم الدين وبعد ‪...‬‬ ‫ه���ذا كت���اب ريا�ض َّيات ( ‪ ) 1‬في نظام المقررات بالتعليم الثانوي الذي ن�أمل �أن يجيء ُمل ِّبـ ًيا لخطط‬ ‫إخراج جيلٍ قاد ٍر‬ ‫التنمية الطموحة التي تعي�شـها المملكـة العرب َّيـة ال�سـعود َّية وم َّتفقًا مع تطلُّعاتـها في � ِ‬ ‫على مواكبة الع�صر ومتم�شـ ًّيا مع النه�ضة التي تحياهـا‪ ،‬ك ُّل ذلك وفق � ِ‬ ‫التعليم فيهـا‪.‬‬ ‫أهداف و�سـيا�سـ ِة‬ ‫ِ‬ ‫تنظيم محتوى ما َّدة الريا�ضيـَّات على المنطلق ِ‬ ‫ـات العا َّمة الآتية ‪:‬‬ ‫ولقد ا�سـ ُت ِند في‬ ‫ِ‬ ‫الحـاجات الأ�سـا�سـ َّية للطالب‪.‬‬ ‫طرائق تعليم وتعلُّم الريا�ضيـَّات‪.‬‬ ‫الريا�ضي‪.‬‬ ‫�أ�سـاليب التفكير‬ ‫ِّ‬ ‫الريا�ضي من مفهومات وم�صطلحـات وخوارزم َّيـات ومهارات وم�سـائل ريا�ض َّية‪.‬‬ ‫نوع َّية البناء‬ ‫ِّ‬ ‫�أوجه ا�سـتخدامات الريا�ض َّيـات في الحياة العمل َّيـة‪.‬‬ ‫وتبرز مالمح الكتاب في التالي‪:‬‬ ‫‪ -1‬االنط��ل�اق في تنظيم منهـ����ج الريا�ض َّيـات من الأهداف العا َّمة للما َّدة و�أه����داف نظام المقررات بالتعليم‬ ‫الثانوي‪ ،‬بما يتالءم وخ�صائ�ص نـمو الطالب باتِّباع �أ�سـاليب وطرائق ت�سـتند �إلى نظر َّيات التعلُّم المختلفة‪.‬‬ ‫المنطقي والتنظيم‬ ‫الريا�ضي مع الجمع بي����ن التنظيم‬ ‫الحلزوني ف����ي ُمعـالجة الـمحتوى‬ ‫‪ -2‬الأخ����ذ باال تِّجاه‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫ال�سيكولوجي‪.‬‬ ‫ِّ‬ ‫‪ -3‬روعي في عر�ض المو�ضوعات �إبراز المفهومات والمبادئ العلمية والنظر َّيات ‪ ...‬وتمييزها وا�سـتخدامها‬ ‫في مواقف تعليم َّية مختلفة بما ُيعين على تعميق معناها لدى الطالب‪.‬‬ ‫ض����ي للحقائ����ق والنظر َّي����ات‪ ،‬ومراعاة الت����وازن بين المفهوم����ات والمهارات‪.‬‬ ‫‪ -4‬االهتم����ام بالبره����ان الريا� ِّ‬ ‫العلمي في البحث واال�ستق�صاء والو�صول �إل����ى اال�ستنتاجات والقرارات وحل‬ ‫‪ -5‬توظي����ف �أ�ساليب التفكي����ر ِّ‬ ‫الم�شكالت‪.‬‬ ‫‪ -6‬اال�ستم����رار في تعزيز بناء المفهومات باال�ستناد �إل����ى معلومات الطالب ال�سابقة مع التع ُّمق في ذلك بما‬ ‫الذاتي‪.‬‬ ‫يتَّفق وطبيعة المرحلة و�إي�ضاح كل مفهوم من خالل �أمثلة متنوعة؛ لم�ساعدة الطالب على التعلُّم ِّ‬


‫‪� -7‬إب���راز جه���ود علم���اء الريا�ض َّي���ات الع���رب والم�سـلمين و�أثره���م في بن���اء وتطوير العل���وم الريا�ض َّية‬ ‫وتطبيقاتـها‪.‬‬ ‫‪ -8‬رب���ط المفهومات الريا�ض َّية ببيئة الطالب وبالمفهومات التي تق َّدم لـه في الموا ِّد الأخرى‪ ،‬وتوظيـفها‬ ‫المتعددة‪.‬‬ ‫من خالل التطبيقات الحيات َّية‬ ‫ِّ‬ ‫‪ -9‬ت�ضمين المحتـوى مجمـوعة كافية من الأمثـلة والتدريبـات تعقب ك َّل معلومة ريا�ض َّية‪.‬‬ ‫‪� -10‬إثراء المحتـوى بمجموعة تمـارين عا َّمة متنـ ِّوعة في نـهاية ِّ‬ ‫كل وحدة‪� ،‬إ�ضـافة �إلى التمارين التي تلي‬ ‫كل در�س ؛ لتثبيت الحقائق والمهارات وت�أكيد ا�ستمرارية التعلم ‪.‬‬ ‫‪� -11‬إدراج �أن�شطة �إثرائية با�ستخدام الحا�سب الآلي كلما �أمكن ذلك‪.‬‬ ‫‪ -12‬تلخي�ص المفهومات والنظر َّيات ‪ ...‬التي ت�ض َّمنها محتوى ِّ‬ ‫كل وحدة من الوحدات وذلك في نـهايته‪.‬‬ ‫‪� -13‬إدراج قائمة بالإجابات النهائ َّية لبع�ض التمارين ِّ‬ ‫لكل وحدة بـهدف تقويم الطالب لنف�سـه ذاتـ ًّيا‪.‬‬ ‫‪� -14‬إدراج الأهداف التعليمـ َّية ِّ‬ ‫لكل وحدة من وحدات الكتاب في بدايتـها‪.‬‬ ‫‪ -15‬اال�ستعانة بالر�سوم التو�ضيح َّية والأ�شـكال في تو�ضيح المفهومات الريا�ض َّية ك َّلما دعت الحاجة لذلك‪.‬‬ ‫ولقد اُ�سـتفيد حين �إعداد الكتاب ِم َّما يلي‪:‬‬ ‫‪ -1‬تو�صي���ف منهج م���ا َّدة الريا�ض َّيات في نظام المق���ررات بالتعليم الثانوي م���ن الإدارة العا َّمة للمناهج‬ ‫بالتطويرالتربوي بوزارة التربية والتعليم‪.‬‬ ‫ِّ‬ ‫‪ -2‬مق َّررات الريا�ض َّيات بدول مجل�س التعاون لدول الخليج العرب َّية‪ ،‬وبع�ض الدول العرب َّية وغير العرب َّية‪.‬‬ ‫هذا ويقع الكتاب في ثالث وحدات وهي‪:‬‬ ‫‪ -3‬الأ�س�س واللوغاريتمات‪ .‬‬ ‫‪ -2‬ح�ساب المث َّلثات‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪ -1‬المعادالت‪.‬‬ ‫و �إ نَّنا لنرجو التوفيق وال�سـداد من اللهَّ ‪ -‬تعالى ‪ -‬و�أن ُيحـقِّق هذا الكتاب الأهداف الم�أمولة له‪.‬‬ ‫واللهَّ من وراء الق�صد‪.‬‬ ‫لجنـة الت�أليف‬


‫الوحدة‬ ‫الأولى‬

‫المعادالت‬

‫‪ 1-1‬حل معادلة الدرجة الثانية بطريقة �إكمال المر َّبع‬ ‫‪ِّ 2-1‬‬ ‫حل معادلة الدرجة الثانية بالقانون العام‬ ‫‪ 3-1‬ح ُّل نظام معادلتين من الدرجة الثانية في متغ ِّيرين‬ ‫( �أن�شطة �إثرائية ) ا�ستخدام الحا�سب الآلي ِّ‬ ‫لحل المعادالت‬ ‫تعلمت فى هذه الوحدة‬ ‫تماريـن عا َّمـة‬

‫‪4‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪48‬‬

‫الوحدة ح�ساب المثلثات‬ ‫الثانية‬

‫‪1-2‬‬ ‫‪2-2‬‬ ‫‪3-2‬‬ ‫‪4-2‬‬ ‫‪5-2‬‬

‫نبذة ت�أريخ َّية‬ ‫الن�سـب المث َّلث َّية لزاوية حا َّدة‬ ‫العالقات بين الن�سـب المث َّلث َّية الأ�سا�س َّية‬ ‫الن�سـب المث َّلث َّية والآالت الحا�سـبة‬ ‫ح ُّل المث َّلث القائم الزاوية‬ ‫القيا�س الدائري للزوايا‬ ‫تعلمت فى هذه الوحدة‬ ‫تماريـن عا َّمـة‬

‫‪54‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪66‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪91‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪112‬‬


‫الوحدة الأ�س�س واللوغاريتمات‬ ‫الثالثة‬

‫‪1-3‬‬ ‫‪2-3‬‬ ‫‪3-3‬‬ ‫‪4-3‬‬ ‫‪5-3‬‬ ‫‪6-3‬‬ ‫‪7-3‬‬

‫نبذة ت�أريخ َّية‬ ‫قوى ٍ‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫ٍّ‬ ‫الأعداد العلم َّية‬ ‫الجذور‬ ‫الأ�س�س الن�سـب َّية‬ ‫اللوغاريتم‬ ‫اللوغاريتمات الع�شر َّية‬ ‫تطبيقـات‬ ‫تعلمت فى هذه الوحدة‬ ‫تمـارين عا َّمـة‬

‫‪118‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪131‬‬ ‫‪138‬‬ ‫‪157‬‬ ‫‪165‬‬ ‫‪179‬‬ ‫‪188‬‬ ‫‪196‬‬ ‫‪198‬‬


‫الوحدة‬ ‫الوحدة‬ ‫أولــى‬ ‫ا اللأولى‬

‫المعـــادالت‬ ‫‪Equations‬‬

‫الدرو�س‬ ‫(‪ )1-1‬حـــــل معــــــادلة الــدرجــــــة‬ ‫الثانية بطريقة �إكمال املربع ‪.‬‬

‫(‪ )2-1‬حل معادلةالدرجـة الثانيــة‬ ‫بالقانون العام ‪.‬‬ ‫(‪ )3-1‬حـــل نظــــام معـادلـتــــني مـــن‬ ‫الدرجة الثانية فى متغريين ‪.‬‬

‫للمع���ادالت الجبر َّية تطبيق���ات عمل َّية كثيرة‬ ‫تظه���ر �أهم َّيتها ف���ي حلول م�سـائ���ل ٍ‬ ‫عدد من‬ ‫فروع المعرفة ‪ -‬مث���ل‪ -‬االقت�صاد والفيزياء‬ ‫والكيمياء والزراعة والعلوم الهند�سـ َّية‪ .‬ومما‬ ‫يذكر ويفتخر به �أن العالم الم�سلم محمد بن‬ ‫مو�سى الخوارزمي قد تطرق الى حل معادلة‬ ‫الدرج���ة الثانية ف���ي كتابه ال�شهي���ر " الجبر‬ ‫والمقابلة " ‪.‬‬


‫الأهداف‬ ‫درا�سـة هذه الوحد ِة‬ ‫يتوقع منَ الطالب بعدَ‬ ‫ِ‬ ‫� ْأن يكونَ قاد ًرا َعلى � ْأن ‪:‬‬ ‫َ‬ ‫‪َّ -1‬‬ ‫إكمال‬ ‫الدرجة‬ ‫معادلة‬ ‫يحل‬ ‫الثانية ب� ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫املر َّب ِع وبالقانونِ العا ِّم‪.‬‬ ‫َ‬ ‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫العالقة بين‬ ‫‪ -2‬يوجدَ‬ ‫ِ‬ ‫ِّ‬ ‫واحد‬ ‫الثانية في متغ ِّي ٍر‬ ‫الدرجة‬ ‫منَ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ٍ‬ ‫ومعامال ِتها‪.‬‬ ‫َّ‬ ‫الدرجة‬ ‫يحل نظا َم‬ ‫‪-3‬‬ ‫معادلتين منَ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫رين‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫الثانية في متغ ِّي ِ‬ ‫َ‬ ‫‪َّ -4‬‬ ‫معادالت‬ ‫م�سـائل تطبيق َّي ًة على‬ ‫يحل‬ ‫ٍ‬ ‫الثانية‪.‬‬ ‫الدرجة‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬


‫الوحدة الأولى‬

‫‪1-1‬‬

‫حلُّ معادلة الدرجة الثانية بطريقة‬ ‫�إكمال المر َّبع‬

‫للمع���ادالت الجبر َّي���ة تطبيقات عمل َّية كثيرة تظه���ر �أهم َّيتها في حل���ول م�سـائل ٍ‬ ‫عدد من‬ ‫فروع المعرفة ‪ -‬مثل‪ -‬االقت�صاد والفيزياء والكيمياء والزراعة والعلوم الهند�سـ َّية‪ .‬وفي‬ ‫ه���ذه الوحدة �سـيت ُّم عر�ض المع���ادالت الجبر َّية من الدرجة الثاني���ة بمتغ ِّيرٍ ٍ‬ ‫واحد‪ ،‬التي‬ ‫المتو�سـط‪.‬‬ ‫�سـبق �أن در�سـت جانبـًا منها في ال�صف الثالث‬ ‫ِّ‬ ‫ مث ًَال ‪ -‬تو�صف ب�أ نَّها معادلة من الدرجة الأولى؛ ل َّأن �أعلى � ٍّأ�س‬‫المعادلة‬ ‫فيها على المتغ ِّير �أو ( المجهول ) هو العدد ‪� ،‬أ َّما المعادلة‬ ‫فتُ�سـ َّمى معادلة من الدرجة الثانية؛ ل َّأن �أعلى � ٍّأ�س فيها على هو العدد‬ ‫وعا َّمة الأمر‪� ،‬إذا كان لدينا معادلة على ال�صورة التالية‪:‬‬ ‫‪،‬‬ ‫حيث‬ ‫ف� َّإن هذه المعادلة من الدرجة النون َّية �أو � َّإن درجة المعادلة هي العدد‬ ‫معامل‬ ‫ُي�سـ َّمى العدد معامل ‪ ،‬والعدد‬ ‫وهكذا �إلى �أن ن�صل �إلى العدد ‪0‬‬ ‫‪،‬‬ ‫الذي ُي�سـ َّمى الح َّد الثابت وهو معامل �س‪ ، 0‬حيث �س‪0‬‬ ‫ مث ًال‪ -‬هي معادلة من الدرجة الثالثة‪ ،‬معامالتـها هي‪:‬‬‫فالمعادلة‬

‫‪،‬‬

‫بينما المعادلة‬ ‫ ‬ ‫‪،‬‬

‫‪4‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬

‫هي معادلة من الدرجة ال�سـابعة‪ ،‬معامالتـها هي‪:‬‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬

‫‪0 ،‬‬


‫ُّ‬ ‫حل معادلة الدرجة الثانية بطريقة �إكمال المر َّبع‬

‫المعادالت من الدرجة الثانية بمتغ ِّي ٍر واح ٍد‬ ‫العام لـهذه المعادالت هو ‪:‬‬ ‫� َّإن ال�شـكل القيا�س َّـي َّ‬ ‫(‪)1–1‬‬ ‫حيث‬ ‫�أ َّما فمتغ ِّير نريد �إيجاد قيمته التي تُحقِّق المعادلة في مجموعة الأعداد الحقيق َّية‪ ،‬وتُ�سـ َّمى هذه‬ ‫القيمة ح َّل ( �أو جذر ) المعادلة‪.‬‬ ‫لقد �سـبق لك �أن در�ست جان ًبا من ح ِّـل معادالت الدرجة الثانية بمتغ ِّيرٍ واحد في ال�صف الثالث‬ ‫المتو�سط بطريقة التحليل‪ ،‬و�أنَّه لإيجاد مجموعة ِّ‬ ‫حل المعادلة ( ‪ ) 1-1‬بطريقة التحليل ننتقل‬ ‫ِّ‬ ‫منها �إلى معادلة مكافئة لها على ال�صورة‪:‬‬ ‫وذلك يقت�ضي � َّأن‬

‫التي تكافئ النظام‬

‫�أو‬ ‫وذلك يقت�ضي � َّأن‬

‫فتكون مجموعة الحل‬ ‫وعلى �سبيل المثال‪ ،‬لإيجاد مجموعة ِّ‬ ‫حل ٍّ‬ ‫كل من المعادلتين التاليتين في‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪:‬‬

‫يمكن �إتباع الآتي‪:‬‬

‫لحـ ِّل المعادلة ‪: 1‬‬ ‫معامل‬ ‫( العددان ‪ -6 ، -1‬مجموعهما ‪ -7‬وحا�صل �ضربـهما ‪) +6‬‬

‫نرمز لكلمة يكافئ‬ ‫بالرمز‬ ‫ولكلمة يقت�ضي‬ ‫بالرمز‬

‫�أو‬

‫�إذ ًا مجموعة الحل هي‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪5‬‬


‫الوحدة الأولى‬

‫لحـ ِّل المعادلة ‪2‬‬ ‫(العددان ‪ +2،-15‬مجموعهما ‪ -13‬وحا�صل ‪� =-5*6‬ضربـهما ي�ساوي =‪)-30‬‬

‫�أو‬ ‫� ًإذا مجموعة الح ِّـل‬ ‫الحظ �أنَّه يمكننا تحليل الطرف الأيمن من‬ ‫المعادلة ‪ 2‬بطريقــة المقـ�ص كالتالــي ‪:‬‬

‫تدريب (‪)1-1‬‬ ‫أوجد حل ك ٍّل من المعادلتين التاليتين بطريقة التحليل إن أمكن ذلك‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫تو�صلت من التدريب ال�سابق �إلى �أ نَّه لي�س من الممكن ح ُّل المعادلة ‪ 2‬بطريق ـ ــةالتحلي ــل‪.‬‬ ‫لعلك َّ‬

‫وفي البند التالي نحـ ُّل معادلـة الدرجة الثانية بطريقـة �إكمـال المر َّبع ومن ث َّـم ن�سـتنتج القـانـون‬ ‫العام الذي يعطي �صيغة لحلول المعادلة ( ‪ ،) 1 – 1‬بداللة المعامالت‬ ‫َّ‬

‫‪6‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫ُّ‬ ‫حل معادلة الدرجة الثانية بطريقة �إكمال المر َّبع‬

‫ُّ‬ ‫حل المعادلة من الدرجة الثانية بطريقة �إكمال المر َّبع‬ ‫المعادلة من الدرجة الثانية والمكتوبة على ال�صورة ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫حيث‬ ‫يمكن حلُّها بطريقة تُ�سـ َّمى ا�سـتخراج الجذر‪.‬‬

‫�سـنعتبر مجموعة التعوي�ض هي في جميع الحاالت ما لم يذكر خالف ذلك‪.‬‬ ‫�أو بالعدد‬ ‫نالحظ �أ نَّه �إذا ع َّو�ضنا عن المتغير �س في المعادلة ‪ 1‬بالعدد‬ ‫المعادلة ‪ 1‬تتحقَّق ل َّأن‬ ‫وعليه تكون مجموعة الح ِّـل للمعادلة ‪ 1‬هي ‪:‬‬

‫ف� َّإن‬

‫مثال (‪) 1-1‬‬

‫مجموعة الح ِّـل للمعادلة ‪:‬‬

‫هي‬

‫مجموعة الح ِّـل للمعادلة ‪:‬‬

‫هي‬

‫مجموعة الح ِّـل للمعادلة ‪:‬‬

‫هي‬

‫‪2- 2‬‬ ‫‪5- 5‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪6 - 6‬‬

‫�أ َّما �إذا كانت معادلة الدرجة الثانية مكتوبة على ال�صورة ‪:‬‬ ‫حيث‬ ‫�أو بالعدد‬ ‫بالعدد‬ ‫ف�إ نَّنا نالحظ �أ نَّه �إذا ع َّو�ضنا عن المقدار‬ ‫ف� َّإن المعادلة تتحقَّق‪� ،‬أي �أ نَّه يمكن اال�سـتعا�ضة عن المعادلة ‪ 2‬بالنظام المكافئ لـها وهو‪:‬‬ ‫�أو‬ ‫والذي مجموعة ح ِّله هي‬

‫مثال (‪) 2-1‬‬ ‫�أو‬ ‫�أو‬

‫المعادلة‬ ‫فتكون مجموعة الح ِّـل هي‬ ‫مجموعة الح ِّـل للمعادلة‬

‫هي ‪:‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪7‬‬


‫الوحدة الأولى‬

‫�إكمال العبارة �س‪ + 2‬ب �س �إلى مر َّبع كامل ‪:‬‬

‫تع َّرفت فيما �سـبق �إلى المر َّبع الكامل وتحليله‪ ،‬وتمييز العبارة التي تم ِّثل مر َّب ًعا كام ًال والذي يم ِّثل‬ ‫الطرف الأي�سـر في ٍّ‬ ‫كل من المتطابقتين ‪:‬‬

‫فمث ًال العبارة‪:‬‬

‫مر َّبع كامل‪ .‬لمـاذا ؟‬

‫نالح���ظ دائ ًم���ا ف���ي مثل هذه الحال���ة � َّأن الح َّد الثالث ي�س���اوي مر َّبع ن�صف معام���ل �س ( الح َّد‬ ‫حد ثالث‬ ‫الأو�س���ط )؛ لذا فك ُّل عبارة من الدرج���ة الثانية على �صورة �س‪2+‬ب �س يمكن �إ�ضافة ٍّ‬ ‫لـها لت�صبح مر َّب ًعا كام ًال‪.‬‬

‫مثال (‪) 3-1‬‬ ‫؛ لت�صبح مر َّب ًعا كامـ ً‬ ‫ال ‪.‬‬

‫�أكمل العبارة‬

‫الحل‬

‫ن�ضيف ح ًّدا ثال ًثا ي�سـاوي مر َّبع ن�صف‬ ‫كام ًال كالتالي‪:‬‬

‫�أي‬

‫فت�صبح العبارة مر َّب ًعا‬

‫مما �سبق ن�ستنتج ‪:‬‬ ‫كي ت�صبح العبارة‬ ‫فنح�صل على ‪:‬‬

‫الحظ‬

‫‪8‬‬

‫�أن‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫مر َّب ًعا كام ًال ن�ضيف �إليها مر َّبع ن�صف معامل ‪� ،‬أي‬ ‫‪.‬‬


‫ُّ‬ ‫حل معادلة الدرجة الثانية بطريقة �إكمال المر َّبع‬

‫مثال (‪)4-1‬‬ ‫�أكمل العبارة‬

‫الحل‬

‫�إلى مر َّبع كامل‪.‬‬

‫الحظ � َّأن مر َّبع ن�صف معامل‬

‫مثال (‪)5-1‬‬ ‫�أكمل العبارة‬

‫الحل‬

‫�إلى مر َّبع كامل‪.‬‬

‫تدريب (‪)2-1‬‬ ‫�أكمل العبارة‬

‫�إلى مر َّبع كامل‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪9‬‬


‫الوحدة الأولى‬ ‫وفي الأمثلة التالية نتبع طريقة �إكمال المربع لحل معادالت الدرجة الثانية في متغير واحد‬

‫مثال (‪)6-1‬‬ ‫ح ّل المعادلة‬

‫ب�إكمال المر َّبع‪.‬‬

‫الحل‬

‫( �أ�ضفنا �إلى الطرفين )‬ ‫( �أ�ضفنا‬

‫�إلى طرفي المعادلة )‬

‫وب�سـطنا الطرف الأي�سـر )‬ ‫( ح َّللنا الطرف الأيمن ‪َّ ،‬‬ ‫التربيعي للطرفين )‬ ‫( �أوجدنا الجذر‬ ‫َّ‬ ‫( �أوجدنا قيمة )‬

‫� ًإذا للمعادلة جذران همـا ‪:‬‬

‫‪،‬‬

‫مثال (‪) 7-1‬‬ ‫ح ّل المعادلة‬

‫ب�إكمال المر َّبع‪.‬‬

‫الحل‬ ‫( �أ�ضفنا ‪� 2‬إلى الطرفين )‬ ‫( ق�سـمنا الطرفين على )‪ ،‬لمـاذا ؟‬ ‫( �أ�ضفنا‬

‫‪10‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪� ،‬أي‬

‫للطرفين )‬


‫ُّ‬ ‫حل معادلة الدرجة الثانية بطريقة �إكمال المر َّبع‬

‫وب�سـطنا الطرف الأي�سـر )‬ ‫( ح َّللنا الطرف الأيمن َّ‬ ‫التربيعي للطرفين )‬ ‫( �أوجدنا الجذر‬ ‫َّ‬ ‫( �أوجدنا قيمة‬

‫)‬

‫� ًإذا للمعادلة جذران همـا ‪:‬‬

‫(‪)1-1‬‬ ‫يتَّ�ضح مـ َّما �سـبق �أ َّن خطوات ح ِّل معادلة الدرجة الثانية في بطريقة �إكمال المر َّبع هي‪:‬‬ ‫لطرفي المعادلة‪.‬‬ ‫للحد الثابت‬ ‫‪� 1‬إ�ضافة المعكو�س‬ ‫الجمعي ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫‪ 2‬ق�سـمة حدود المعادلة على معامل ‪.‬‬ ‫طرفي المعادلة‪.‬‬ ‫‪� 3‬إ�ضافة مر َّبع ن�صف معامل �إلى‬ ‫ِّ‬ ‫‪ 4‬تحليل الطرف الأيمن وتب�سـيط الطرف الأي�سـر‪.‬‬ ‫التربيعي للطرفين‪.‬‬ ‫‪ 5‬ا�سـتخراج الجذر‬ ‫ِّ‬ ‫جذري معادلة الدرجة الثانية‪.‬‬ ‫معادلتي الدرجة الأولى وكتابة‬ ‫‪ 6‬ح ُّل‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪11‬‬


‫الوحدة الأولى‬

‫تمـاريـن ( ‪) 1-1‬‬ ‫‪ 1‬ح ِّدد الدرجة والمعامالت في ٍّ‬ ‫كل من المعادالت الآتية‪:‬‬

‫د‬ ‫و‬

‫هـ‬

‫‪2‬‬

‫�أوجد مجموعة حل ٍّ‬ ‫كل من المعادالت الآتية بطريقة التحليل‪:‬‬

‫د‬ ‫و‬

‫هـ‬

‫‪3‬‬

‫‪12‬‬

‫� ٌّأي من العبارات التالية مر َّبع كامل ؟‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫ُّ‬ ‫حل معادلة الدرجة الثانية بطريقة �إكمال المر َّبع‬

‫‪� 4‬أ�ضف ح ًّدا ثالثًا ٍّ‬ ‫لكل من العبارات التالية ؛ لت�صبح مر َّب ًعا كام ً‬ ‫ال ‪:‬‬

‫د‬

‫‪ 5‬ح ّل المعادالت التالية في ‪.‬‬ ‫د‬ ‫هـ‬

‫و‬

‫‪ 6‬ح ّل المعادالت التالية في بطريقة �إكمال المر َّبع ‪.‬‬ ‫د‬ ‫هـ‬

‫و‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪13‬‬


‫الوحدة الأولى‬

‫‪2-1‬‬

‫حل معادلة الدرجة الثانية بالقـانون العـــام‬ ‫با�سـتخدام طريقة �إكمال المر َّبع يمكننا �إيجاد مجموعة ِّ‬ ‫الحل لمعادلة الدرجة الثانية‬ ‫في �صورتـها القيا�سـ َّية‪.‬‬

‫نظرية (‪)1-1‬‬ ‫ف� َّإن مجموعة ِّ‬ ‫حل‬

‫�إذا كانت‬ ‫في‬

‫المعادلة‬

‫هي‬

‫البرهان‬ ‫‪ 1‬لإيجاد مجموعة ِّ‬ ‫حل المعادلة‬ ‫�إكمال المر َّبع ‪ :‬ن�ضيف‬

‫حيث‬ ‫�إلى الطرفين فنح�صل على‬

‫‪ 2‬نق�سـم جميع الحدود على ( معامل‬ ‫‪ 3‬ن�ضيف مر َّبع ن�صف معامل‬

‫‪14‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫) فنح�صل على ‪:‬‬

‫�إلى الطرفين فت�صبح المعادلة ‪:‬‬

‫ن َّتبع خطوات‬


‫ُّ‬ ‫حل معادلة الدرجة الثانية بالقانون العام‬ ‫كتابة ٍدالمعادلة على ال�صورة التالية‪:‬‬ ‫الثانية ًال ف�إ نَّه‬ ‫أ�صبح مر َّب ًعا كام‬ ‫منالأيمن �‬ ‫الطرف‬ ‫‪ 4‬حيث � َّإن‬ ‫يمكنواح‬ ‫بمتغ ِّي ٍر‬ ‫الدرجة‬ ‫المعادالت‬

‫التربيعي للطرفين فنح�صل على‪:‬‬ ‫‪ 5‬ن�أخذ الجذر‬ ‫َّ‬

‫( ‪) 2-1‬‬

‫فتكون مجموعة الح ِّـل هي ‪:‬‬

‫(‪)2-1‬‬ ‫ـام‪ ،‬وت�شــير �إلى � َّأن عدد حلــول المعـادلـة‬ ‫‪ 1‬ال�صيغـة ( ‪ ) 2 – 1‬تُ�س ـ َّمى القـانـون الع َّ‬ ‫في ال يمكن �أن يزيد عن اثنين‪.‬‬ ‫‪ُ 2‬ي�سـ َّمى المقدار‬ ‫ونرمز له بالحرف‬

‫مم ِّيز المعادلة‪:‬‬ ‫العام بداللة‬ ‫ويمكننا كتابة القانون ِّ‬

‫فيكون ‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪15‬‬


‫الوحدة الأولى‬ ‫مثال (‪) 8-1‬‬ ‫ح ّل المعادلة‬

‫الحل‬

‫نوجد القيم العدد َّية لـ‬

‫با�سـتخدام القانون العا ِّم‪.‬‬ ‫العام لـها‪ ،‬فيكون‬ ‫وذلك بمقارنة المعادلة بال�شـكل ِّ‬

‫َّثم نح�سـب‬ ‫� ًإذا حلول المعادلة هي ‪:‬‬ ‫�أي � َّأن هناك جذرين للمعادلة هما‪:‬‬

‫حاول �أ ن تح َّل المعادلة ال�سـابقة بطريقة التحليل‬ ‫مثال (‪) 9-1‬‬ ‫ح ّل المعادلة ‪:‬‬

‫الحل‬ ‫العام‪ ،‬فن�ضع المعادلة في �شـكلها القيا�س ِّـي‬ ‫نح ُّل المعادلة بطريقة القانون ِّ‬ ‫طرفي المعادلة لنح�صل على‬ ‫وذلك ب�إ�ضافة (‪� )4-‬إلى‬ ‫ِّ‬

‫� َّإن معامالت المعادلة‬ ‫المم ِّيز‬ ‫� ًإذا حلول المعادلة هي‬

‫واحدا فقط للمعادلة‬ ‫�أي � َّأن هناك جذ ًرا ً‬

‫‪16‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫هي ‪:‬‬


‫ُّ‬ ‫حل معادلة الدرجة الثانية بالقانون العام‬ ‫يمكننا ح ُّل المعادلة ال�سـابقة با�سـتخدام التحليل �إلى العوامل على النحو الآتـي‪:‬‬ ‫طرفي المعادلة بالعدد ( –‪) 1‬؛ لت�صبح‬ ‫ن�ضرب‬ ‫ِّ‬ ‫طرفي المعادلة؛ لنح�صل على‬ ‫ن�ضيف العدد ‪� 4‬إلى‬ ‫ِّ‬ ‫نح ِّلل الطرف الأيمن فيكون ‪:‬‬

‫عليه يوجد جذر واحد ( مك َّرر ) للمعادلة هو‬ ‫العام‪.‬‬ ‫�أ�شرنا في المثالين ال�سـابقين �إلى الحل بطريقة التحليل �إلى عوامل �إ�ضاف ًة �إلى طريقة القانون ِّ‬ ‫وه����ذا ي�ؤك����د � َّأن طريقة التحلي����ل �إلى عوامل هي طريق����ة مفيدة يمكن ا�سـتخدامها ف����ي ِّ‬ ‫حل معادالت‬ ‫الدرجة الثانية متى كانت عملية التحليل �إلى العوامل �أم ًرا ي�سـي ًرا‪.‬‬

‫مثال (‪)10-1‬‬ ‫ح ّل المعادلة‬

‫با�سـتخدام القانون العا ِّم‪.‬‬

‫الحل‬ ‫ن�ضيف المقدار (‬ ‫في هذه الحالة‬

‫طرفي المعادلة وذلك لو�ضعها في �شـكلها القيا�س ِّـي‬ ‫) �إلى ِّ‬

‫العام ‪:‬‬ ‫� ًإذا ح�سـب القانون ِّ‬ ‫� َّإن العدد‬

‫حقيقي مر َّبعه عدد �سـالب‪.‬‬ ‫ال يمكن �أن يكون عد ًدا حقيق ًّيا؛ لأ نَّه ال يوجد عدد‬ ‫ٌّ‬

‫ن�سـتنتج من ذلك � َّأن العددين‬ ‫� ًإذا لي�س هناك ح ٌّل للمعادلة‬

‫غير حقيق َّيين‪.‬‬ ‫في المجموعة ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪17‬‬


‫الوحدة الأولى‬ ‫(‪)3-1‬‬ ‫فيما تق َّدم من الأمثلة يمكن �أن ن�ستنتج �أه ِّمية المم ِّيز في تحديد ع ــدد حلــول المعادل ـ ــة‬ ‫في مجموعة الأعداد الحقيق َّية على النحو التالي‪:‬‬ ‫‪� 1‬إذا كان‬

‫ف� َّإن للمعادلة جذرين مختلفين هما‬

‫‪� 2‬إذا كان‬

‫ف� َّإن للمعادلة جذرين مت�سـاويين‪ ،‬ك ٌّل منهما ي�سـاوي‬

‫‪� 3‬إذا كان‬ ‫ِّ‬ ‫الحل في ‪.‬‬

‫ف�إ نَّه ال يوجد للمعادلة جذور في‬

‫ونقول‪َّ � :‬إن المعادلة م�سـتحيلة‬

‫الخوارزمي قد تط َّرق �إلى وجود‬ ‫والجدي��� ُر بالذك��� ِر �أ َّن العا ِل َم الم�سـل��� َم محم َد بن مو�سـى‬ ‫َّ‬ ‫الحاالت الثالث في ح ِّل معادلة الدرجة الثانية في م�ؤ َّل ِف ِه ال�شـهير ( الجبر والمقابلة)‪.‬‬

‫مثال (‪)11-1‬‬ ‫�أوجد عدد حلول المعادالت التالية في‬

‫‪:‬‬

‫الحل‬ ‫المعادلة مكتوبة ب�شـكلها القيا�س ِّـي‬ ‫� ًإذا‬ ‫ولـ َّما كان‬

‫لذا ف� َّإن‬

‫� ًإذا‬

‫ن�سـتنتج �أ نَّه يوجد ح َّالن للمعادلة‬

‫‪18‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫في ‪.‬‬


‫ُّ‬ ‫حل معادلة الدرجة الثانية بالقانون العام‬ ‫نكتب المعادلة ب�شـكلها القيا�س ِّـي فت�صبح‬ ‫طرفي المعادلة في‬ ‫لت�سـهيل الح�سـاب؛ ن�ضرب‬ ‫ِّ‬

‫فنح�صل على‪:‬‬

‫في هذه الحالة‬ ‫ن�سـتنتج �أ نَّه ال يوجد ح ٌّل للمعادلة‬

‫‪� ،‬أي ( عدد الحلول = �صف ًرا )‪.‬‬

‫في‬

‫نكتب المعادلة ب�شـكلها القيا�س ِّـي فت�صبح‬

‫� ًإذا‬

‫عليه يوجد ح ٌّل واح ٌد للمعادلة‬

‫في‬

‫جذري المعادلة‬ ‫العالقة بين‬ ‫ِّ‬

‫‪.‬‬

‫ومعامالتـها‬

‫بالعودة �إلى المعادلة ( ‪ ) 1-1‬وهي‬ ‫نجد من الملحوظة ( ‪َّ � ) 3 -1‬أن للمعادلة ( ‪ ) 1-1‬جذرين في‬

‫حيث‬ ‫هما‪:‬‬

‫وبفر�ض � َّأن المم ِّيز‬

‫‪.‬‬

‫العام ( ‪.) 2-1‬‬ ‫ح�سـب القانون ِّ‬ ‫اجعل‬ ‫َّثم اح�سب‬

‫�سـتجد � َّأن ‪:‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪19‬‬


‫الوحدة الأولى‬

‫‪1‬‬

‫( ‪.) 3-1‬‬

‫‪2‬‬

‫( ‪.) 4-1‬‬

‫ويمكن التعبير عن العالقتين ( ‪ ) 3 1-‬و ( ‪ ) 4 –1‬على النحو التالي‪:‬‬ ‫مجموع الجذرين‬ ‫حا�صل �ضرب الجذرين‬

‫‪20‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫معامل‬ ‫معامل‬ ‫الحد الثابت‬ ‫معامل‬


‫ُّ‬ ‫حل معادلة الدرجة الثانية بالقانون العام‬

‫مثال (‪)12-1‬‬ ‫جذري المعادلة‬ ‫بدون حل المعادلة �أوجد مجموع وحا�صل �ضرب‬ ‫ِّ‬

‫الحل‬ ‫بمقارنة المعادلة المعطاة بالمعادلة ( ‪ ) 1-1‬نجد � َّأن‬ ‫� ًإذا مجموع الجذرين‬ ‫حا�صل �ضرب الجذرين‬

‫مثال (‪)13-1‬‬ ‫جذري المعادلة‬ ‫�إذا ُعلم �أ َّن‬ ‫ِّ‬

‫هما ‪ ،‬ف�أوجد‬

‫(بدون حل المعادلة )‪.‬‬

‫الحل‬ ‫جذرا المعادلة‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪21‬‬


‫الوحدة الأولى‬ ‫تدريب (‪)3-1‬‬ ‫في المثال ال�سابق‪� ،‬أوجد‬

‫‪.‬‬

‫والآن �إذا ق�سمنا المعادلة ( ‪ ) 1-1‬على نح�صل على المعادلة المكافئة‬ ‫وبا�سـتخدام العالقتين ( ‪ ) 4-1 ( ، ) 3 -1‬يمكن كتابة هذه المعادلة بال�صورة التالية‪:‬‬ ‫(‪)5–1‬‬

‫الحظ �أنَّنا بتحليل الطرف الأيمن من هذه المعادلة نح�صل على‬ ‫ ‬

‫(‪)6 -1‬‬

‫تو�صل���ت �إلى طريق���ة تكوين معادل���ة الدرجة الثانية في متغ ِّي���ر واحد �إذا‬ ‫لع ًّلَ���ك َّ‬ ‫ُعلم جذراها‪.‬‬ ‫مثال (‪)14-1‬‬ ‫�أوجد المعادلة من الدرجة الثانية التي جذراها‬

‫الحل‬ ‫نفر�ض � َّأن‬ ‫� ًإذا‬

‫وبالتعوي�ض في المعادلة ( ‪ ) 5 – 1‬نح�صل على المعادلة‬

‫تدريب (‪)4-1‬‬ ‫ك ِّون المعادلة من الدرجة الثانية التي جذراها‬

‫‪22‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫ُّ‬ ‫حل معادلة الدرجة الثانية بالقانون العام‬

‫م�سائل تطبيقية‬ ‫مثال (‪)15-1‬‬ ‫�أوجد العددين ال َّلذين مجموعهما ي�سـاوي ومجموع مقلوبيهما ي�سـاوي‬

‫الحل‬

‫نفر�ض � َّأن �أحد العددين هو ‪ ،‬فيكون العدد الآخر هو‬ ‫هو‬

‫‪ ،‬مجموع مقلوبـي العددين بداللة‬

‫� ًإذا‬

‫ِّ‬ ‫العام نجد � َّأن‬ ‫ولحل المعادلة با�سـتخدام القانون ِّ‬ ‫� ًإذا للمعادلة ح َّالن حقيق َّيان هما‪:‬‬

‫� ًإذا العددان هما‬

‫ومن الجدير بالذكر �أنه من المفيد للطالب التحقق من �صحة حل الم�س�ألة التطبيقية‪ ،‬ففي المثال‬ ‫ال�سابق يتم التحقُّق من �صحة الحل ب� َّأن مجمـوع العدديـن‬ ‫ومجموع مقلوبيهما‬ ‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪23‬‬


‫الوحدة الأولى‬

‫مثال (‪)16-1‬‬ ‫عددان فرد َّيان موجبان ومتتاليان مجموع مر َّبعيهما ‪� ، 202‬أوجد هذين العددين‪.‬‬

‫الحل‬

‫نفر�ض � َّأن العدد الأ َّول هو‬ ‫ويكون العدد الذي يليه هو‬

‫فيكون مر َّبعـه‬ ‫و مر َّبعـه‬

‫ومنه‬

‫ِّ‬ ‫العام نقارنـها بال�صورة ( ‪ ) 1-1‬فنجد � َّأن‬ ‫ولحل المعادلة بالقانون ِّ‬

‫وهو مرفو�ض‪ .‬لمـاذا ؟‬ ‫وهو العدد الأ َّول‪.‬‬

‫فيكون العدد التالـي هو‬

‫تحقق من �صحة ِّ‬ ‫الحل‪.‬‬

‫‪24‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫ُّ‬ ‫حل معادلة الدرجة الثانية بالقانون العام‬

‫تمـاريـن ( ‪) 2-1‬‬ ‫‪� 1‬إذا كانت‬

‫ف�أوجـ ــد با�ستخدام القانون العا ِّم حـ َّل ك ٍّـل من المعــادالت الآتية‪:‬‬

‫هـ‬

‫‪2‬‬

‫جذري المعادلة‬ ‫�إذا كان‬ ‫ِّ‬ ‫ٍّ‬ ‫كل من الحاالت الآتيـة‪:‬‬

‫ف�أوجد معادلة الدرجة الثانية في‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪25‬‬


‫الوحدة الأولى‬

‫جذري المعادلة‬ ‫‪� 3‬إذا كان ل ‪ ،‬م‬ ‫ِّ‬ ‫التي جذراها‬ ‫جذري المعادلة‬ ‫‪� 4‬إذا كان العدد ‪� 3‬أحد‬ ‫ِّ‬

‫ف�أوجد معادلة الدرجة الثانية في‬ ‫فما قيمة الجذر الآخر ؟ وما قيمة ؟‬

‫‪ 5‬عددان طبيع َّيان مجموعهما ‪ 20‬ومجموع مر َّبعيهما ‪ ،208‬فما العددان ؟‬ ‫‪ 6‬عددان حقيق َّيان مجموعهما ‪ 3‬وناتج �ضربـهما الواحـد‪� ،‬أوجد هذين العددين ؟‬ ‫‪ 7‬مث َّلث قائم الزاوية الفرق بين طول ِّـي �ضلعيه القائمين ‪� 11‬سم وم�سـاحته ‪� 30‬سم‪ ،2‬اح�سب طول ٍّ‬ ‫كل من‬ ‫�ضلعيه القائمين ‪.‬‬ ‫‪ 8‬قطعتا �أر�ض مر َّبعتا ال�شكل طول �ضلع �إحداهما ن�صف طول �ضلع الأخرى‪ ،‬والفرق بين م�ساحتيهما ‪75‬م‪،2‬‬ ‫اح�سب طول �ضلع ٍّ‬ ‫كل منهما ؟‬

‫‪26‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫ُّ‬ ‫حل نظام معادلتين من الدرجة الثانية في متغيرين‬

‫‪3-1‬‬

‫حـلُّ نظام معادلتين من الدرجة الثانية في متغ ِّيرين‬ ‫المتو�سـطة درا�سـ���ة المعادلة ِّ‬ ‫الخطـ َّي���ة ( معادلة الدرج���ة الأولى في‬ ‫�سب���ق ل���ك في المرحل���ة‬ ‫ِّ‬ ‫حيث‬ ‫متغ ِّيرين ) على ال�صورة‬ ‫ال ي�سـ���اوي ال�صف���ر‪ ،‬و� َّأن مجموع���ة ِّ‬ ‫الحل لـهذه‬ ‫�أع���داد حقيق َّي���ة‪ ،‬و�أح���د المعاملي���ن‬ ‫) يتح َّدد عددها تب ًعا لمجموعة التعوي�ض ٍّ‬ ‫لكل‬ ‫أزواج مرتَّبة (‬ ‫المعادل���ة تتك��� َّون م���ن � ٍ‬ ‫‪ .‬وكذل���ك ح��� ُّل النظام المك َّون م���ن معادلتين ِّ‬ ‫خطـ َّيتين م ًعا �أي ‪ :‬الأزواج التي‬ ‫م���ن‬ ‫تحقِّق المعادلة الأولى والمعادلة الثانية في �آنٍ م ًعا‪ .‬وفي هذا البند نتعرف �إلى معادلة الدرجة‬ ‫الثانية في متغ ِّيرين والتي �صورتـهــا العا َّمة هـي ‪:‬‬ ‫(‪)7–1‬‬

‫حيث‬ ‫ومن �أمثلة ذلك ما يلي‪:‬‬

‫أي�ضــا من �أزواج‬ ‫� َّإن مجموعة الحلِّ لمعادلة الدرجـــة الثانيـــة في متغ ِّيريـــن تتكــ َّون � ً‬ ‫) حي ـ���ث ٍّ‬ ‫تنتم���ي �إل���ى مجموعـ���ة التعوي�ض‪ .‬قد تكون مجموع ــة‬ ‫كل م���ن‬ ‫(‬ ‫���ل خالي��� ًة مثـ���ل مجموعـ ـ���ة ح ِّ‬ ‫الح ِّ‬ ‫وقد تكون مك َّونة من‬ ‫���ل المعادل ـ ـ���ة‬ ‫زوج ٍ‬ ‫والتي يتك َّون حلُّها من الزوج الوحيد ( ‪) 0 ، 0‬‬ ‫وحيد مثل المعادلة‬ ‫ٍ‬ ‫ونحن ب�صدد درا�س ــة الأنظمــة المك َّونة من معادلتين �إحداهـما ِّ‬ ‫خطـ َّية والأخرى من الدرجــة‬ ‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪27‬‬


‫الوحدة الأولى‬ ‫حل النظام ِّ‬ ‫الثانيــة في متغ ِّيريـن‪ ،‬والتي ال تختلف طريقة ح ِّلها عن طريقة ِّ‬ ‫الخط ِّـي‪ ،‬وهي التخلُّ�ص من �أحد‬ ‫واحد تكون قابل���ة ِّ‬ ‫المتغ ِّيري���ن بالو�سـيل���ة المنا�سـب���ة؛ للح�صول على معادلة ف���ي متغ ِّيرٍ ٍ‬ ‫للحل ‪َّ ،‬ثم نح�صل‬ ‫عل���ىقي���مالمتغ ِّي���رالآخ���ربالتعوي����ضف���ي�إح���دىالمعادلتي���نالأ�صل َّيتي���ن‪.‬‬

‫�أ َّو ًال ‪ -‬النظام المك َّون من معادلة ِّ‬ ‫خطـ َّية و�أخرى من الدرجة الثانية‬ ‫مثال (‪)17-1‬‬ ‫�أوجد مجموعة ح ِّل النظام‬

‫الحل‬

‫المو�ضحة في الخطوات التالية‪:‬‬ ‫يمكن ح ُّل مثل هذا النظام بطريقة التعوي�ض‬ ‫َّ‬ ‫‪ )1‬ن�سـتخدم المعادلة ِّ‬ ‫الخطـ َّية وهي الأولى؛ للتعبير عن �أحد المتغ ِّيرين وليكن �ص بداللة الآخر وهو �س ‪:‬‬

‫�ص = �س ‪1 -‬‬

‫تو�صلنا �إليها في الخطوة الأولى‪ ،‬فنح�صل على‬ ‫‪ )2‬نع ِّو�ض عن �ص في المعادلة الثانية بقيمتها التي َّ‬ ‫معادلة من الدرجة الثانية في �س فقط ‪:‬‬ ‫‪ )3‬نوجد ح َّل المعادلة الأخيرة ب�إحدى طرق ِّ‬ ‫حل معادلة الدرجة الثانية في متغ ِّيرٍ ٍ‬ ‫واحد‪ ،‬ولتكن‬ ‫بالتحليل فنجد � َّأن‬ ‫‪ )4‬و�أخي ًرا نح�صل على قيم �ص المناظرة بالتعوي�ض في المعادلة الخطية ‪:‬‬

‫وبذلك تكون مجموعة ِّ‬ ‫الحل هي‬

‫�أعد حل النظام ال�سابق بالتعوي�ض عن‬

‫‪28‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫بداللة‬

‫‪.‬‬


‫ُّ‬ ‫حل نظام معادلتين من ال��رجة الثانية في متغيرين‬

‫مثال (‪)18-1‬‬ ‫�أوجـد مجموعة ح ِّل النظام‬

‫الحل‬

‫ينتج من المعادلة ِّ‬ ‫الخطـ َّية‬

‫� َّأن ‪:‬‬

‫� ًإذا‬

‫( بالتعوي�ض عن‬

‫في المعادلة‬

‫)‬

‫( بتحليل المر َّبع الكامل )‬ ‫بالتعوي�ض عن قيمة‬

‫في المعادلة‬

‫� ًإذا مجموعة ِّ‬ ‫الحل هي‬

‫مثال (‪)19-1‬‬ ‫�أوجـد مجموعة ِّ‬ ‫حل النظام‬

‫الحل‬

‫وبالتعوي�ض عن قيمة‬

‫في المعادلة‬

‫نح�صل على ‪:‬‬

‫الحل ومجموعة ِّ‬ ‫� ًإذا النظام م�سـتحيل ِّ‬ ‫الحل‬ ‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪29‬‬


‫الوحدة الأولى‬

‫ثانياً ‪ -‬النظام المك َّون من معادلتين‪ٌّ ،‬‬ ‫كل منهما من الدرجة الثانية‬ ‫مثال (‪)20-1‬‬ ‫�أوجـد مجموعة ح ِّل النظام‬

‫الحل‬

‫نح�صل على معادلة من الدرجة الأولى – �أ َّو ًال ‪ -‬بطرح المعادلة‬

‫من المعادلة‬

‫� ًإذا‬ ‫َو �أو‬ ‫َو يكافئ �أ ًّيا من النظامين المك َّونين من المعادلتين‬ ‫النظام المك َّون من المعادلتين‬ ‫َو ‪ .‬وبم���ا � َّأن ك ًّال م���ن النظامي���ن الأخيري���ن يت�ض َّم���ن معادلة من الدرجة الأولى فيك���ون حلُّهما �أ�سهل من‬ ‫ح ِّ‬ ‫���ل النظام المعطى‪ ،‬ويكفي ح ُ‬ ‫���ل ٍ‬ ‫واحد من هذه الأنظمة؛ لأ نَّها متكافئة‪ .‬لذل���ك �سـنختار النظام المك َّون من‬ ‫َو وتكون خطوات ِّ‬ ‫الحل كما يلي‪:‬‬ ‫المعادلتين‬ ‫نبد�أ بحذف �أحد المتغ ِّيرين‪ ،‬ولذا نكتب المعادلة على ال�صورة‬ ‫وبالتعوي�ض من المعادلة في المعادلة ينتج � َّأن‬

‫( بالتحليل )‬

‫وللح�صول على قيم‬

‫نع ِّو�ض في المعادلة‬

‫وبذلك تكون مجموعة ِّ‬ ‫الحل هي‬

‫‪30‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫ُّ‬ ‫حل نظام معادلتين من الدرجة الثانية في متغيرين‬

‫م�سائل تطبيقية‬ ‫مثال (‪)21-1‬‬ ‫�أوجـد �أبعاد الم�سـتطيل الذي م�سـاحته ‪� 24‬سم‪ 2‬ومحيطه ‪� 20‬سم‪.‬‬

‫الحل‬

‫عدي الم�سـتطيل هما ‪� :‬س ‪� ،‬ص‬ ‫نفر�ض � َّأن ُب ِّ‬ ‫فيكون لدينا‪:‬‬

‫وهو نظام مك َّون من معادلة من الدرجة الثانية و�أخرى ِّ‬ ‫خطـ َّية‪.‬‬ ‫( من المعادلة ِّ‬ ‫الخطـ َّية بعد الق�سـمة على ‪) 2‬‬ ‫( بالتعوي�ض في‬

‫)‬

‫العام )‬ ‫( بتطبيق القانون ِّ‬

‫فيكون ُبعدا الم�سـتطيل هـما ‪� 6‬سم َو ‪� 4‬سم ‪.‬‬

‫تحقق من �صحة ِّ‬ ‫الحل‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪31‬‬


‫الوحدة الأولى‬ ‫مثال (‪)22-1‬‬ ‫ما هي �أبعاد ال�صفيحة الم�سـتطيلة الالَّزمة لتكوين �صندوق‬ ‫مفتوح بعد اقتطاع المر َّبعـات المب َّينة من �أركـان ال�صفيحة‬ ‫كم��ا ف��ي ال�شـ��كل ( ‪ . ) 1-1‬عل ًم��ا ب��� َّأن م�سـاح��ة ال�صفيحة‬ ‫الأ�صل َّية ‪� 540‬سم‪ 2‬وطول �ضلع كلٍّ من المر َّبعات المقتطعة‬ ‫‪� 5‬سم وحجم ال�صندوق ‪� 850‬سم‪. 3‬‬

‫الحل‬

‫�شـكل ( ‪) 1-1‬‬

‫‪10-‬‬

‫طول ال�صفيحة الأ�صل َّية‪،‬‬ ‫نفر�ض � َّأن‬ ‫عر�ض ال�صفيحة الأ�صل َّية‬ ‫‪540‬‬ ‫فتكون م�سـاحتها‬ ‫وا�ضح من ال�شـكل ( ‪ ) 1-1‬وال�شـكل ( ‪) 2-1‬‬ ‫� َّأن ال�صندوق المفتوح من �أعلى الذي نح�صل عليه بعد اقتطاع‬ ‫الأركان وثنـي الأطراف له الأبعاد التالية‪:‬‬ ‫عر�ض ال�صندوق‬ ‫طول ال�صندوق‬ ‫ارتفاع ال�صندوق‬ ‫فيكون حجم ال�صندوق‬

‫ ‪10‬‬‫�شـكل ( ‪) 2-1‬‬

‫(بالق�سـمة على ‪) 5‬‬

‫والآن نوجد‬

‫َو‬

‫ِّ‬ ‫بحل النظام المك َّون من المعادلتين‬

‫َو‬ ‫( من‬

‫ل َّأن‬

‫( بالتعوي�ض في‬

‫)‬ ‫)‬

‫( بالق�سـمة على‪)10‬‬ ‫طرفي المعادلة في‬ ‫( ب�ضرب‬ ‫ِّ‬ ‫العام )‬ ‫( با�سـتخدام القانون ِّ‬

‫‪32‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫)‬


‫ُّ‬ ‫حل نظام معادلتين من الدرجة الثانية في متغيرين‬

‫عندما‬

‫( بالتعوي�ض في المعادلة‬

‫)‬

‫عندما‬ ‫ن�سـتنتج � َّأن طول ال�صفيحة =‪� 27‬سم وعر�ضها =‪� 20‬سم‬

‫مثال (‪)23-1‬‬ ‫�أُ�سـن���د ُ�سـ َّلم���ان ط���ول �أحدهم���ا ‪ 20‬م‪ ،‬والآخر طوله ‪ 15‬م على حائط بحيث و�ص�ل�ا �إلى االرتفاع نف�سـه‪.‬‬ ‫ف����إذا كان���ت الم�سـافة بين الطرف الأ�سـفل ل���ك ِّل ُ�سـ َّل ٍم والحائط تختلف بمقدار ‪ 7‬م‪ ،‬فما االرتفاع الذي‬ ‫و�صل �إليه ال�سـ َّلمان ؟‬

‫الحل‬

‫ال�سـ َّلم الق�صير كما في ال�شـكل ( ‪) 3-1‬‬

‫نفر�ض � َّأن‬

‫ال�سـ َّلم الطويل‪،‬‬

‫لنفر�ض � َّأن‬

‫االرتفاع الذي و�صل �إليه ال�سـ َّلمان‬

‫�شـكل (‪) 3-1‬‬

‫بتطبيق نظرية فيثاغورث على المث َّلثين القائمين‬ ‫نح�صل على ‪:‬‬

‫وه���و نظ���ام مك َّون م���ن معادلتين من الدرجة الثانية‪� ،‬سـنتخ َّل�ص من‬ ‫من المعادل���ة‬

‫بطرح المعادل���ة‬ ‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪33‬‬


‫الوحدة الأولى‬

‫وبالتعوي�ض في المعادلة‬

‫وحيث � َّإن االرتفاع‬

‫‪34‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫عن قيمة‬

‫نح�صل على‬

‫ال يمكن �أن يكون عد ًدا �سـال ًبا ف� َّإن االرتفاع المطلوب ي�سـاوي ‪ 12‬م‪.‬‬


‫ُّ‬ ‫حل نظام معادلتين من الدرجة الثانية في متغيرين‬

‫تمـاريـن ( ‪) 3-1‬‬ ‫‪� 1‬أوجد مجموعة الح ِّل ٍّ‬ ‫لكل من الأنظمة التالية ‪:‬‬

‫هـ‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪35‬‬


‫الوحدة الأولى‬

‫‪� 2‬أوجد �أبعاد الم�سـتطيل الذي م�سـاحته ‪ 64‬م‪ 2‬ومحيطه ‪ 40‬م ‪.‬‬ ‫‪� 3‬أوجد العددين ال َّلذين حا�صل �ضربـهما ي�سـاوي ‪ 3‬ومجموع مقلوبيهما‬

‫‪.‬‬

‫‪ 4‬حو�ضان للأزهار مر َّبعا ال�شـكل‪ ،‬الفرق بين بعديهما ‪ 3‬م ومجموع م�سـاحتيهما ‪ 89‬م‪ ،2‬فما ُبعد ٍّ‬ ‫كل‬ ‫من هذين الحو�ضين ؟‬ ‫‪ 5‬دائرة طول ن�صف قطرها ‪ ،‬ومر َّبع طول �ضلعه ‪ ،‬ف�إذا كان مجموع محيطيهما ‪� 72‬سم‪ ،‬ومجموع‬ ‫م�ساحتيهما ‪� 203‬سم‪� . 2‬أوجد ك ًّ‬ ‫)‪.‬‬ ‫ال من ‪ ( ،‬عل ًما ب�أ َّن‬

‫‪36‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫ا�ستخدام الحا�سب الآلي لحل المعادالت‬ ‫أنشطة إثرائية يوجد العديد من البرامج الحا�سوبية الم�ساعدة في تعليم وتع ّلم الريا�ضيات ‪ ،‬وغالبية هذه البرامج‬ ‫باللغ���ة االنجليزي���ة �إال �أنَّه يمكن التعامل معها ب�سهولة ‪ ،‬ومن ه���ذه البرامج ‪ Derive 6‬وهو برنامج‬ ‫م�صم���م لإجراء جميع العمليات الريا�ضية‪ ،‬ويتعامل مع المتغي���رات والتعابير الريا�ضية ‪ ،‬فالم�سائل في‬ ‫الجب���ر والهند�س���ة وغيرها من علوم الريا�ضيات يمكن حله���ا با�ستخدام ‪ Derive 6‬بعد تثبيته في‬ ‫جهاز الحا�سب ‪.‬‬ ‫تظهر‬ ‫عن���د فت���ح هذا البرنامج والذي يوجد رم���ز اخت�صاره غالب ًا على �سطح المكتب بال�صورة‬ ‫نافذة البرنامج على ال�شكل التالي ‪:‬‬ ‫�شريط �أدوات الأوامر‬

‫لوحة العر�ض الجبري‬

‫�شريط الإر�شادات‬

‫�شريـ ـ���ط �إدخ ـ ـ ـ���ال‬ ‫التعبي���رات الجبرية‬ ‫(�شريـط الإدخــال)‬

‫�شريط القوائم‬

‫�شريط العنوان‬

‫�شري ـ ـ ـ���ط الرم ـ ـ���وز‬ ‫الريا�ضي���ة و �شريط‬ ‫الرم ـ���وز الإغريقي���ة‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪37‬‬


‫الوحدة الأولى‬ ‫ونالحظ �أنه �إذا قمنا بالنقر على الزر الأيمن في �أي مكان عند �شريط القوائم �أو �شريط الأوامر تظهر قائمة‬ ‫�إظهار الأ�شرطة‬ ‫المو�ضحة في ال�شكل التالي‪:‬‬ ‫وقد و�ضعت عالمة على ي�سار بع�ض الم�سم ّيات‬ ‫ّ‬

‫وفيما يلي نو�ضح طريقة ا�ستخدام هذا البرنامج في �إيجاد حل معادلة الدرجة الثانية في متغير واحد ومن ثم في حل‬ ‫نظام معادلتين من الدرجة الثانية في متغيرين وذلك في مجموعة الأعداد الحقيقية ‪.‬‬

‫�أ َّو ًال‪ -‬ا�ستخدام البرنامج في حل معادلة الدرجة الثانية في متغير واحد‬ ‫ال�ستخدام هذا البرنامج في حل معادلة الدرجة الثانية يمكننا لل�سهولة �إخفاء بع�ض الأ�شرطة التي ال حاجة لنا‬ ‫بها في حـل المعادلـة ومن ذلك‪�:‬شريـط �أدوات الأوامـر و�شريـط الرمـوز الإغريقيــة‪،‬ويتم ذلك ب�إلغــاء عالمــة من‬ ‫قائمة �إظهار الأ�شرطة (وذلك بالنقر عليها) فت�صبح هذه القائمة على ال�صورة المو�ضحة في ال�شكل التالي‪:‬‬

‫‪38‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫مب�س ٍط لنافذة البرنامج ‪:‬‬ ‫وبذلك نح�صل على �شكلٍ َّ‬

‫والمثال التالي يو�ضح كيفية ا�ستخدام البرنامج لحل معادلة الدرجة الثانية ‪:‬‬

‫مثال‬ ‫�أوجد في مجموعة الأعداد الحقيقية حل المعادلة ‪:‬‬

‫الحــل‬ ‫ي�ستخدم لإلغاء‬ ‫المدخالت عند‬ ‫وجود خط�أ ‪.‬‬

‫‪ 1‬ن�ستح�ضر الم�ؤ�شر عند �شريط الإدخال ونقوم ب�إدخال المعادلة م�ستخدمين الرموز (‪) ،/،8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫من �شريط الرموز الريا�ضية �أو من لوحة المفاتيح (باعتبار �أن ‪ ) 2 2= 2‬فنح�صل على ال�شكل التالي‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪39‬‬


‫الوحدة الأولى‬ ‫‪ 2‬نقوم بالنقر على مفتاح الإدخال ‪ Enter‬من لوحة المفاتيح �أو بالنقر على الزر‬ ‫�شريط الإدخال‪ ،‬فنح�صل على ال�شكل التالي ‪:‬‬ ‫الحظ ظهور كلمة ‪ User‬على �شريط الإر�شادات وتعني قيد اال�ستخدام ‪.‬‬

‫الموجود ي�سار‬

‫‪ 3‬نقوم بالنقر على �أيقونة احلل ‪( Solve‬يف �شريط القوائم) اخلا�صة ب�إيجاد حل املعادالت‬ ‫فتظهرقائمة فيها خياران ن�ضع امل�ؤ�شر عند اخليار الأول ‪ Expression‬ويعني التعبري‬ ‫اجلربي ‪ -‬كما يف ال�شكل التايل‪:‬‬ ‫الحظ ظهور عبارة ‪ Solve highlighted expression‬على �شريط الإر�شادات و‬ ‫التي تعني طلب حل التعبير الم�ضاء ‪.‬‬

‫‪40‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫‪ 4‬ننقر حيث و�ضعنا الم�ؤ�شر فيظهر مربع الحوار ‪Solve Expression‬‬ ‫(وذلك بعد اختيار مجال الحل ‪ Real‬الذي يعني مجموعة الأعداد الحقيقية )‬

‫‪ 5‬ننقر على زر الحـل ‪ Solve‬في مربع الحـوار ال�سـابق فنح�صـل على الحـل المو�ضح في ال�شكـل التالي ‪:‬‬ ‫الحظ ظهور العبارة ))‪Simp (Solve #1,x‬‬ ‫وكذلك رمز ال�ساعة على �شريط الإر�شادات وتعني �أنه قد تم الحل ‪.‬‬

‫الحظ �أن للمعادلة ال�سابقة حلاً‬ ‫وحيدا وهذا يتفق مع ما ر�أيناه في مثال (‪)11-1‬‬ ‫ً‬

‫تدريب‬ ‫ا�ستخدم الحا�سب الآلي لإيجاد حل ٍّ‬ ‫كل من المعادالت الآتية في‬ ‫‪1‬‬ ‫وردت في مثال (‪)8-1‬‬

‫‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫وردت في مثال (‪)7-1‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪41‬‬


‫الوحدة الأولى‬

‫ثان ًيا‪ -‬ا�ستخدام البرنامج في حل نظام معادلتين من الدرجة الثانية في متغيرين‬ ‫ال�ستخدام برنامج ‪ Derive 6‬في حل نظام معادلتين من الدرجة الثانية في متغيرين يمكننا لل�سهولة‬ ‫�إخفاء جميع الأ�شرطة من قائمة �إظهار الأ�شرطة ‪ ،‬كما هو مو�ضح في ال�شكل التالي‪:‬‬

‫فنح�صل بذلك على �أب�سط �صورة لنافذة البرنامج ‪:‬‬

‫‪42‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫والمثال التالي يو�ضح كيفية ا�ستخدام البرنامج لحل نظام معادلتين من الدرجة الثانية في متغيرين ‪:‬‬

‫مثال‬ ‫ا�ستخدم الحا�سب الآلي لحل النظام ‪:‬‬

‫الحــل‬

‫‪ 1‬ننقر على �أيقونة الحل ‪ Solve‬في �شريط الأدوات فتظهر قائمة فيها خياران‪،‬ن�ضع الم�ؤ�شر‬ ‫عند الخيار الثاني ‪ System‬كما في ال�شكل التالي‪:‬‬

‫الحظ‪ :‬ظهور عبارة ‪ Solve system of equations‬في �شريط الإر�شادات وتعني حل نظام معادالت‬

‫‪ 2‬ننقر حيث و�ضعنا الم�ؤ�شر فيظهر مربع حوار عنوانه ‪ Solve System Setup‬والذي نحدد به عدد‬ ‫المعادالت في النظام وال�شكل التالي يو�ضح ذلك (الحظ �أن العدد المفتر�ض للمعادالت عليه هو ‪) 2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪43‬‬


‫الوحدة الأولى‬ ‫‪ 3‬ننقر على زر موافق ‪ OK‬في مربع الحوار ال�سابق فنح�صل على مربع حوار �آخر عنوانه ‪Solve 2‬‬ ‫‪ equations‬كما في ال�شكل التالي ‪:‬‬

‫‪ 4‬ندخل المعادلة الأولى في ال�صف الأول ثم ننتقل �إلى ال�صف الثاني با�ستخدام مفتاح الجدولة ‪ Tab‬وندخل‬ ‫المعادلة الثانية كما في ال�شكل التالي‪:‬‬

‫‪44‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫‪5‬‬

‫ننقر على زر ‪ Solve‬في مربع الحوار ال�سابق فنح�صل على حل النظام كما هو مو�ضح في ال�شكل التالي‪:‬‬

‫الحظ �أن الرمـز‬ ‫يدل هنا على حرف‬ ‫العـطــف و ‪ ،‬بين ـمـا‬ ‫يدل الرمز علــى‬ ‫حـرف العـطـف �أو‬

‫تدريب‬ ‫ا�ستخدم الحا�سب الآلي في �إيجاد حل ٍّ‬ ‫كل من الأنظمة التالية‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫مثال (‪)20-1‬‬

‫‪2‬‬

‫مثال (‪)19-1‬‬

‫‪3‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪45‬‬


‫الوحدة الأولى‬

‫‪1‬‬

‫معادلة الدرجة الثانية في متغ ِّيرٍ ٍ‬ ‫واحد والتي �صورتـها العا َّمة‬ ‫لـها ثالث طرق ِّ‬ ‫للحل وهي‪:‬‬

‫حيث‬

‫الطريقة الأولى ‪ :‬التحليل �إلى العوامل‬ ‫المتو�سـطة‪ ،‬وقمنا بالتذكير بـها ل�سـهولة ا�سـتخدامها �إن ك ـ ــان‬ ‫و قد �سـبق درا�سـة هذه الطريقة في المرحلة‬ ‫ِّ‬ ‫التحلي ـ ـ ـ ــل ممكنًا ي�سـي ًرا‪.‬‬ ‫الطريقة الثانية ‪� :‬إكمــال المربــع‬ ‫الطريقة الثالثة ‪ :‬القانــون العـــام وهو ‪:‬‬ ‫تو�صلنا �إل��ى � َّأن المقدار ب‪ 4–2‬جـ وال��ذي ُي�سـ َّمى المم ِّيز‪ ،‬له �أهم َّية في تحديد عدد‬ ‫ومن هذا القانون َّ‬ ‫عنا�صرمجموعة ِّ‬ ‫حل المعادلة ويتلخَّ �ص ذلك في الجدول التالي‪:‬‬ ‫موجب‬ ‫�صفر‬ ‫�سالب‬

‫‪46‬‬

‫عدد عنا�صر مجموعة حل المعادلة‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫�صفر‬

‫‪2‬‬

‫مجموعة ِّ‬ ‫حل معادلة الدرجة الثانية في متغ ِّيرٍ ٍ‬ ‫واحد تتكون من عن�صرين على الأكثر ‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫جذري المعادلة من الدرجة الثانية في متغ ِّيرٍ ٍ‬ ‫واحد ومعامالتـها‪ ،‬وكتابة المعادلة‬ ‫�أمكن �إيجاد العالقة بين ِّ‬ ‫هـما جذرا المعادلة‪.‬‬ ‫حيث‬ ‫بال�صورة‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫‪ 4‬ال�صورة العا َّمة لمعادلة الدرجة الثانية في متغ ِّيرين هي ‪:‬‬ ‫حيث‬

‫لحل نظام مك َّونٍ من معادلتين في متغ ِّيرين �إحداهما ِّ‬ ‫‪ 5‬ق َّدمنا �أمثلة متن ِّوعة ِّ‬ ‫خطـ َّية‪ ،‬والأخرى من‬ ‫الدرجة الثانية وكذلك ِّ‬ ‫لحل نظام مك َّون من معادلتين من الدرجة الثانية في متغ ِّيرين‪.‬‬ ‫واعتمدنا ِّ‬ ‫نظام مكافـئ من النوع الأ َّول‪ ،‬والذي يعتمد‬ ‫لحل النوع الأخير منهما على تحويله �إلى ٍ‬ ‫حلُّـه على التعوي�ض عن قيمة �أحد المتغ ِّيرين بداللة الآخر من المعادلة ِّ‬ ‫الخطـ َّية في معادلة‬ ‫الدرجة الثانية؛ للح�صول على معادلة من الدرجة الثانية في متغ ِّيرٍ ٍ‬ ‫واحد‪� ،‬أو على التعوي�ض عن‬ ‫قيمة �أحد المتغ ِّيرين من �إحدى معادلت ِّـي الدرجة الثانية في المعادلة الأخرى مبا�شـر ًة �إن �أمكن‬ ‫ذلك‪.‬‬ ‫‪ 6‬ا�سـتخدمنا المعادالت ِّ‬ ‫لحل م�سـائل تطبيق َّية من الحياة اليوم َّية التي تـ�ؤول �إلى معادلة من الدرجة‬ ‫الثانية في متغ ِّيرٍ ٍ‬ ‫نظام من معادلتين من الدرجة الثانية في متغ ِّيرين‪.‬‬ ‫واحد �أو �إلى ٍ‬ ‫‪ 7‬ق َّدمنا �أن�شطة �إثرائية في ِّ‬ ‫حل المعادالت با�ستخدام الحا�سب الآلي‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪47‬‬


‫الوحدة الأولى‬

‫تمـاريـن عامة‬ ‫‪ 1‬اختر الإجابة ال�صحيحة فيما يلي‪:‬‬ ‫مجموعة ِّ‬ ‫حل المعادلة‬

‫د‬

‫هـ‬

‫‪48‬‬

‫هي ‪:‬‬

‫المعادلة‬ ‫لـها جذران حقيق َّيان مت�ساويان‬

‫لـها جذران حقيق َّيان مختلفان‬

‫مجموعة ِّ‬ ‫حل المعادلة‬

‫هي ‪:‬‬

‫المعادلة التي لـها جذران مت�سـاويان هي ‪:‬‬

‫مجموعة ِّ‬ ‫حل المعادلة‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫هي ‪:‬‬

‫لي�س لـها جذور حقيق َّية ‪.‬‬


‫مجموعة ِّ‬ ‫حل المعادلة‬

‫و‬

‫هي ‪:‬‬

‫ز �إذا كانت‬

‫ح �إذا كان‬

‫عندما‬

‫أي�ضا عندما‬ ‫و� ً‬

‫جذ ًرا للمعادلة‬

‫‪2‬‬

‫�أوجد قيمة التي تجعل للمعادلة‪:‬‬ ‫مت�ساويين‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫�إذا كان المم َّيز للمعادلة‬

‫ف� َّإن ت�سـاوي ‪:‬‬

‫ف� َّإن ت�سـاوي ‪:‬‬

‫جذرين حقيقيين‬

‫ي�ساوي ف�أوجد‪:‬‬ ‫مجموعة حل المعادلة‪.‬‬

‫قيمة‬

‫‪4‬‬

‫�إذا كان للمعادلة‬

‫‪5‬‬

‫�أوجد مجموعة الح ِّل لما ي�أتي وتحقَّق من �صحة الح ِّل با�ستخدام الحا�سب الآلي‪:‬‬

‫جذران حقيقيان مختلفان‪ ،‬ف�أثبت � َّأن‬

‫‪.‬‬

‫د‬ ‫هـ‬

‫و‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪49‬‬


‫الوحدة الأولى‬

‫جذري المعادلة‬ ‫‪� 6‬إذا كان ل ‪ ،‬م‬ ‫َّ‬

‫هـ‬

‫ف�أوجد ( بدون ح ِّل المعادلة ) القيم التالية‪:‬‬

‫د‬

‫‪7‬‬

‫�أوجد مجموعة الح ِّل ٍّ‬ ‫لكل من الأنظمة الآتية وتحقَّق من �صحة الح ِّل با�ستخدام الحا�سب الآلي ‪:‬‬

‫‪8‬‬

‫�أوجد �أبعاد الم�سـتطيل الذي محيطه ‪� 14‬سم‪ ،‬وطول قطره ي�سـاوي ‪� 5‬سم ‪.‬‬

‫‪ 9‬حو�ضان في حديقة منـزل مر َّبعـا ال�شـكل‪ ،‬الفرق بين بعديهما ‪ 7‬م ومجموع م�سـاحتيهما ‪137‬م‪ 2‬فما ُبعد ِّ‬ ‫كل‬ ‫حو�ض من الأحوا�ض ؟‬ ‫ٍ‬ ‫‪ُ 10‬قذفت كرة ر�أ�سـ ًّيا �إلى �أعلى ف�إذا كانت الم�سـافة التي قطعتها الكرة مق َّدر ًة بالمتر ابتدا ًء من نقطة القذف في زمن‬ ‫ن ثانية تُعطى بالعالقة‬ ‫�أوجد الزمن الذي ت�سـتغرقه الكرة حتى ت�صل �إلى ارتفاع ‪ 25‬متر من نقطة القذف‪.‬‬

‫‪50‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫‪ 11‬لدينا قطعة �أر�ض م�ستطيلة ال�شكل م�ساحتها ‪ 1800‬م‪ ،2‬نريد �أن نق�سمها �إلى ثالث قطع مت�ساوية‪ ،‬كمــا فــي‬ ‫ال�شك ــل ( ‪ ،) 4-1‬ثم ن�س ِّور كل قطعة‪ ،‬ف�إذا كان الطول الإجمالي لل�سـور هو ‪ 240‬م‪ ،‬فما �أبعاد قطعة الأر�ض‬ ‫الأ�صل َّية ؟‬

‫( �شكل ‪)4-1‬‬

‫‪ 12‬ينق�ص �ضعف ُعمر تركي عن ثالثة �أمثال ُعمر ثامر بمقدار ‪� 4‬سنوات ويزيد مجموع مرب َّعي ُعمريهما على‬ ‫�ضعف حا�صل �ضرب ُعمريهما بمقدار ‪� 4‬سنوات‪ .‬فما ُعمر ُك ٍّل منهما ؟‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪51‬‬


‫الوحدة‬ ‫الوحدة‬ ‫الوحدة‬ ‫أولــى‬ ‫الثانـيـة‬ ‫الثانية‬ ‫ا اللأولى‬

‫ح�سـاب المثلَّثات‬ ‫‪Trigonometry‬‬

‫الدرو�س‬

‫الدرو�س‬

‫(‪ )1-2‬الن�سب املثلَّث َّية لزاوية حا َّدة‬

‫(‪ )1-2‬ف�ضاء العينة والحوادث‬

‫(‪ )2-2‬العالقات بني الن�سب املثلَّث َّية الأ�سا�س َّية‬

‫نظريات‬ ‫(‪)2-2‬‬ ‫االحتماللآالت احلا�سبة‬ ‫الن�سب املثلَّث َّية وا‬ ‫(‪)3-2‬‬ ‫(‪ )4-2‬حلُّ املثلَّث القائم الزاوية‬ ‫(‪ )5-2‬القيا�س الدائري للزوايا‬

‫لقد �أب���دع علماء الع���رب والم�سلمين في‬ ‫عل���م ح�س���اب المثلث���ات‪ ،‬ف�إليه���م يرجع‬ ‫الف�ض���ل لمعرف���ة العالقات بي���ن الجيب‬ ‫والمما����س والقاط���ع ونظائره���ا وغيرها‬ ‫الت���ي نراه���ا يومي��� ًا ف���ي كت���ب مدار�سنا‬ ‫وجامعاتنا ‪ ،‬على خالف ما يعتقده البع�ض‬ ‫�أنه���ا من ابتكار علماء الغرب ‪ .‬ويعد علم‬ ‫ح�س���اب المثلثات م���ن �أهم العل���وم التي‬ ‫�أث���رت ف���ي االكت�شاف���ات واالختراع���ات‬ ‫العلمية فهو من الو�سائل الهامة لتب�سيط‬ ‫الكثير من البحوث الطبيعية والهند�سية‬ ‫وال�صناعية ‪.‬‬

‫مو�سوعة نوابغ العرب والم�سلمين في العلوم الريا�ضية ‪ -‬علي عبداهلل الدفاع ‪.‬‬


‫الأهداف‬

‫يتوقع منَ الطالب بعدَ‬ ‫درا�سـة هذه الوحد ِة �أنْ‬ ‫ِ‬ ‫يكونَ قاد ًرا َعلى �أنْ ‪:‬‬

‫يتوقع َ‬ ‫من الطالب بع َد درا�سـ ِة هذه‬ ‫الوحدينِّ ِة َ‬ ‫امل�سلمني ‪:‬يف ن�ش�أة‬ ‫الدو َر الت‬ ‫‪ -1‬يب‬ ‫يكو� َن َّ‬ ‫ْ‬ ‫لعلماءَعلى � ْأن‬ ‫أريخيقاد ًرا‬ ‫أن‬ ‫�‬ ‫علم املث َّلثات وتط ُّوره‪.‬‬

‫���ةللزوايا احلا‬ ‫أ�سا�سب َّية‬ ‫���وم َّلث َّية ال‬ ‫الن�سب املث‬ ‫يف�س َ‬ ‫الع�شوائديَّة‪���.‬ة‬ ‫التجر‬ ‫يح�سب مف َه‬ ‫���ر‬ ‫‪ِّ -21‬‬‫بني الن�سب املث َّلث َّية‬ ‫نة العالقات‬ ‫بع�ض‬ ‫‪ -3‬ي�ستنت‬ ‫والحادثة‪.‬‬ ‫وف�ضاء َجالعي‬ ‫الأ�سا�س َّية ِّللزوايا احلادَّة‪.‬‬ ‫إحدى���ة‬ ‫لتجرب‬ ‫ض���اءلزاوي ٍةالعي‬ ‫‪-42‬يكت‬‫���يإذا ُعلِمتْ �‬ ‫حانَّد ٍة �‬ ‫� َّلث َّية‬ ‫الفاملث‬ ‫الن�سب‬ ‫يوجِ َد‬ ‫���ب َ‬ ‫الن�سب‪.‬‬ ‫هذه‬ ‫ع�شوائية‪.‬‬ ‫اخلا�صة‬ ‫‪ -5‬يوجِ َد قي َم الن�سبِ املث َّلث َّية للزوايا‬ ‫َّ‬ ‫الحوادث‪.‬‬ ‫على‬ ‫‪ُ 3‬يجري بع�ض العمليات‬‫(‪.) °60 ، °45 ، ° 30‬‬ ‫ب�سيطة‬ ‫���االتَّلث َّيةوقوع‬ ‫حوادثٍة والعك�س‬ ‫لزاوي ٍة حا َّد‬ ‫الن�سب املث‬ ‫‪ -64‬يوجِ‬‫يوجد َداحتم َ‬ ‫بة‪.‬احلا�سبة‪.‬‬ ‫مرا َّكلآلة‬ ‫با�ستخدام‬ ‫و�أخرى‬ ‫َّ‬ ‫‪ -7‬يح َّل املثلث القائم الزاوية‪.‬‬ ‫‪ -85‬يحِّ‬‫االحتمال‬ ‫م�س َّل‬ ‫ونظريات واالنخفا�ض‪.‬‬ ‫ماتن زوايا االرتفاع‬ ‫تت�ض َّم‬ ‫يوظ َّلفم�سائل‬ ‫نة‪.‬‬ ‫حوادثإىلمع َّي‬ ‫ل‬ ‫تقدير‬ ‫وقوع الدائري �‬ ‫احتماالتبالتقدير‬ ‫إيجادقيا�س زاوية‬ ‫‪-9‬يحوِّل‬ ‫�ستيني والعك�س‪.‬‬

‫دائرة‪.‬على االحتمال‪.‬‬ ‫تطبيقية‬ ‫يح َّل‬ ‫م�سائلقو�س من‬ ‫يوجِ َد طول‬ ‫‪-106‬‬‫‪ -11‬يوجِ َد م�ساحة قطاع دائري‪.‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫نبذة ت�أريخية‬ ‫كان لح�سـ���اب المث َّلث���ات �أث ٌر كبي ٌر ف���ي الح�ضارة الفرعون َّية عند بناء الأهرام���ات الثالثة‪ ،‬كما كان له‬ ‫ت�أثي��� ٌر كبي��� ٌر على مالحظاتـهم الفلك َّية في ذلك الوقت‪ .‬وكان للبابليي���ن اهتما ٌم كبي ٌر بالفلك وبالتالي‬ ‫ح�سـ���اب المث َّلث���ات‪ .‬ولقد اعتم���د الإغريق على كثير م���ن المعلومات التي و�صلت �إليه���م من البابل ِّيين‬ ‫والم�صر ِّيين وذلك عندما ط َّوروا ال�سـاعة ال�شم�سـ َّية �أو ما ُي�سـ َّمى بالمقيا�س ال�شم�س ِّـي وذلك �سـنة � ٍ‬ ‫ألف‬ ‫وخم�سـمائ ٍة قبل الميالد‪.‬‬ ‫يع َّرف ح�سـاب المث َّلثات على �أ نَّه ( قيا�س المث َّلث )‪ ،‬عل ًما ب�أ نَّه قديم قدم حاجة الإن�سـان ومعرفته‬ ‫بالفلك والهند�سة‪ .‬وبما � َّأن قيا�س المث َّلث مفهوم يدخل تحت الـهند�سة وتطبق مفهوماته في الفلك‪،‬‬ ‫كعلم م�س ٍّ‬ ‫ـتقل‬ ‫ف� َّإن ح�سـاب المث َّلثات يتبع الـهند�سة والفلك ح�سـب اال�سـتخدام والحاجة حتى َّتم ف�صله ٍ‬ ‫ـهجري‪.‬‬ ‫بف�ضل علماء الم�سـلمين خالل نـه�ضة الح�ضارة الإ�سـالم َّية وذلك في القرن الثالث ال ِّ‬ ‫ً‬ ‫التطبيقي له والمتع ِّلق‬ ‫مرتبطا بالجانب‬ ‫كان اهتمام العلماء الم�سـلمين بح�سـاب المث َّلثات كمن �سـبقوهم‬ ‫ِّ‬ ‫اهتماما كبي ًرا بـهذا العلم حتى �أنَّهم َّ‬ ‫نظموا وط َّوروا المعارف‬ ‫بعلم الفلك؛ لذا نجد �أ نَّهم قد اهت ُّموا‬ ‫ً‬ ‫المتع ِّلقة به ح َّتى جعلوا منه عل ًما م�سـتق ًّال عن علم الفلك و�أ�سـ َم ْوه علــم الأن�ســاب وذلك لأ نَّه يقوم‬ ‫على الن�سـب المختلفة النا�شـئة بين �أ�ضالع المث َّلث وهي ما تُ�سـ َّمى الن�سـب المث َّلث َّية‪ ،‬وقد زادوا على‬ ‫الن�سـبتين جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية ظ َّل الزاوية‪ ،‬وو�ضعوا لـهذه الن�سـب جداول ال تزال ت�سـتعمل‬ ‫ٍ‬ ‫تعديالت قليل ٍة‪ .‬كما تم َّكنوا من �إدخال علم الجبر عليه بالطريقة النظر َّية وط َّوروا كثي ًرا‬ ‫ح َّتى الآن مع‬ ‫من المتطابقات المث َّلث َّية‪.‬‬ ‫ومن �أبرز العلماء الم�سـلمين الَّذين كان لـهم �أث ٌر كبي ٌر في تق ُّدم ح�سـاب المث َّلثات مح َّمد بن جابر بن‬ ‫ـاني ( ‪ 317 235-‬ﻫ )‪ ،‬ومحمد بن �إ�سـماعيل بن العبا�س �أبو الوفاء‬ ‫البوزجاني‬ ‫ُّ‬ ‫�سـنان �أبو عبداللهَّ الب َّت ُّ‬ ‫( ‪388 328-‬ﻫ)‪.‬‬ ‫ـاني اكت�شـافه قاعدة �إيجاد ارتفاع ال�شـم�س‪ .‬و ُيع ُّد البوزجانُّي‬ ‫ومن � ِّ‬ ‫أهم المنجزات التي قام بـها الب َّت ُّ‬ ‫العالم الم�سـلم الذي جعل علم ح�سـاب المث َّلثات ي�أخذ �صفة العلم الم�سـ ِّ‬ ‫ـتقل عن علم الفلك‪.‬‬ ‫كعلم م�س ٍّ‬ ‫ـتقل في‬ ‫كما ُيع ُّد ن�صير الدين الطو�س ُّـي ( ‪ 672 - 597‬ﻫ ) �أ َّول من �أظهر ح�سـاب المث َّلثات ٍ‬ ‫كتابه ( �أ�شـكال القطاعات )‪.‬‬ ‫ومع �إنجاز النه�ضة العلم َّية في الم�شـرق برز علماء م�سـلمون في الأندل�س؛ من �أ�شـهرهم �إبراهيم‬ ‫ابن يحيى النقَّا�ش المعروف ب�أبي �إ�سحاق الذي �أوجد مجموعة من الجداول الريا�ض َّية‪ ،‬وجابر بن‬ ‫فالح‪ .‬قام ك ٌّل منهما بح�سـاب جداول الجيب وجيب ال َّتمام‪ ،‬وقام �أحمد بن عبد اللهَّ المعروف بع َّبا�س‬ ‫الحا�سـب بح�سـاب �أ َّول جدول ِّ‬ ‫للظل‪.‬‬ ‫وتم ُّر في حياتنا اليوم َّية كثي ٌر من الم�سـائل والتطبيقات كح�سـاب الم�سـافات بين الأمكنة‪ ،‬وارتفاعات‬ ‫الأبراج والعمارات والأعمدة‪ ،‬ولتنمية الق ُدرات على ِّ‬ ‫حل مثل هذه الم�سـائل والتطبيقات؛ �سـنتناول‬ ‫درا�سـة الن�سـب المث َّلث َّية للزوايا‪.‬‬

‫‪54‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫الـنـ�ســب المث َّلث َّيــة لزاويـة حــادة‬

‫‪1-2‬‬

‫الن�سـب المث َّلثية لزاويـة حــادة‬ ‫م���ن المعل���وم � َّأن الزاوية الحا َّدة هي زاوية قيا�سـه���ا �أكبر من ‪ °0‬و�أ�صغر من‬ ‫‪ °90‬وعلى ال�شـكل ( ‪) 1-2‬‬ ‫القائ���م الزاوية ف���ي ب والذي و َت ُر ُه‬ ‫زاوي���ة ح���ا َّدة ف���ي المث َّل���ث‬ ‫ال�ضلع المجاور لـها‪.‬‬ ‫ال�ضلع المقابل لل َّزاوية ‪،‬‬ ‫ُن�سـ ِّمي‬

‫الوتر‬

‫المقابل‬

‫�أكمل الفراغ ‪ :‬في ال�شكل ( ‪) 1-2‬‬ ‫زاوية حا َّدة في‬ ‫ويكون ‪ ..................‬ال�ضلع المقابل‬ ‫ال�ضلع‬ ‫للزاوية ‪،‬‬ ‫‪ ..................‬لـها‪.‬‬

‫المجاور‬

‫�شـكل ( ‪) 1-2‬‬

‫تدريب (‪)1-2‬‬ ‫حدد ك ًّال من ال�ضلع المقابل وال�ضلع المجاور للزاوية الم�شار �إليها في ِّ‬ ‫كل مثلث قائم في ال�شكل ( ‪) 2-2‬‬ ‫ِّ‬

‫�شـكل ( ‪) 2-2‬‬

‫ن�سـب ًة مث َّلث َّية‪ .‬وعليه ف� َّإن هناك �سـت ن�سـب‬ ‫ُن�س ِّـمي الن�سـبة بين طولي �ضلعين من �أ�ضالع‬ ‫لكل زاوي ٍة حا َّد ٍة‪ -‬يق�صد بالن�سـبة المث َّلث َّية للزاوية الن�سـب���ة المث َّلث َّية لقيا�س الزاوية‪ِّ -‬‬ ‫مث َّلث َّي���ة ِّ‬ ‫ولكل ن�سـب ٍة‬ ‫خا�ص‪.‬‬ ‫خا�ص ورم ٌز ٌّ‬ ‫من هذه الن�سـب ا�سـ ٌم ٌّ‬ ‫و�سـندر�س في هذا الكتاب ثال ًثا من هذه الن�سـب تُع َرف بالن�سـب المث َّلث َّية الأ�سـا�س َّية‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪55‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫الن�سـب المث َّلث َّية الأ�سا�سـ َّية للزاوية الحا َّدة‬ ‫‪ -1‬جيب زاوية حا َّدة‬

‫في ال�شـكل ( ‪) 3-2‬‬ ‫زاوي���ة حا َّدة م�شـتركة بي���ن المث َّلثات القائمة‪:‬‬

‫ال ح���ظ � َّأن هذه المث َّلث���ات مت�شابـه���ة ( لماذا ؟ )‬ ‫و� َّأن ت�شـابه‬

‫�شـكل ( ‪) 3-2‬‬

‫ومنه‬

‫لماذا ؟‬

‫كما � َّأن ت�شـابه‬ ‫ومنه‬ ‫من‬

‫‪،‬‬

‫لماذا ؟‬

‫ينتج � َّأن‪:‬‬

‫�أي � َّأن هذه الن�سـب ثابتة ال تتغير بتغير النقطة على‬ ‫طول ال�ضلع المقابل للزاوية في مث َّلث قائم الزاوية‬ ‫�أي �أن ‪:‬‬ ‫طول الوتَر في هذا المث َّلث‬

‫ن�سـبة ثابتة‬

‫و� َّأن هذه الن�سـبة مرتبطة بالزاوية الحا َّدة في مث َّلث قائم الزاوية‪ُ .‬ن�سـ ِّمي هذه الن�سـبة جيب الزاوية ونرمز‬ ‫لـها بالرمز‬

‫تعريف ( ‪)1 -2‬‬ ‫جيب الزاوية‬

‫‪56‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫طول ال�ضلع المقابل لل َّزاوية في مث َّلث قائم الزاوية‬ ‫طول الوتَر في هذا المث َّلث‬


‫الـنـ�ســب المث َّلث َّيــة لزاويـة حــادة‬ ‫اخت�صا ًرا نكتب ‪:‬‬

‫المقابل‬ ‫الوتَر‬

‫مثال (‪)1-2‬‬ ‫‪� 10‬سم‬

‫‪� 6‬سم‬

‫مث َّلث قائم الزاوية كما في ال�شـكل ( ‪) 4-2‬‬ ‫المقابل‬ ‫الوتَر‬

‫‪� 8‬سم‬

‫المقابل‬ ‫الوتَر‬

‫�شـكل ( ‪) 4-2‬‬

‫مثال (‪)2-2‬‬ ‫من‬

‫مث َّلث قائم الزاوية في‬ ‫‪.‬‬ ‫‪،‬‬

‫فيه‬

‫�سم ‪ُ .‬اح�سـب ك ًّال‬

‫�سم ‪،‬‬

‫الحل‬ ‫المقابل‬ ‫الوتَر‬ ‫لإيجاد‬

‫نط ِّبق نظر َّية فيثاغور�س‬

‫‪� 5‬سم‬

‫من ال�شـكل ( ‪ ) 5-2‬نجد � َّأن‪:‬‬

‫‪� 12‬سم‬

‫�شـكل ( ‪) 5-2‬‬

‫المقابل‬ ‫الوتَر‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪57‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫‪ -2‬جيب تمام زاوية حا َّدة‬

‫بالعودة �إلى �شـكل ( ‪ ) 3-2‬نجد � َّأن‪:‬‬ ‫ت�شـابه‬ ‫ومنه‬ ‫و� َّأن ت�شـابه‬ ‫ومنه‬

‫من‬

‫‪،‬‬

‫ينتج � َّأن‪:‬‬

‫�أي � َّأن هذه الن�سـب ثابتة ال تتغ َّير بتغ ُّير النقطة‬

‫على‬

‫طول ال�ضلع المجاور للزاوية في مث َّلث قائم الزاوية‬ ‫�أي � َّأن ‪:‬‬ ‫طول الوتَر في هذا المث َّلث‬

‫ن�سـبة ثابتة‬

‫قائم الزاوي ِة‪ُ .‬ن�س ِّـمي هذه الن�سـبة جيب تمام الزاوية‬ ‫و� َّأن هذه الن�سـبة مرتبطة بالزاوية الحا َّدة في مث َّلث ِ‬ ‫ونرمز لـها بالرمز جتا‬

‫تعريف ( ‪)2 -2‬‬ ‫جيب تمام الزاوية‬

‫واخت�صا ًرا نكتب ‪:‬‬

‫‪58‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫طول ال�ضلع المجاور لل َّزاوية في مث َّلث قائم الزاوية‬ ‫طول الوتَر في هذا المث َّلث‬ ‫المجاور‬ ‫الوتَر‬


‫الـنـ�ســب المث َّلث َّيــة لزاويـة حــادة‬

‫مثال (‪)3-2‬‬ ‫بالرجوع �إلى المثال ( ‪ ) 1-2‬نجد � َّأن‪:‬‬ ‫المجاور‬ ‫الوتَر‬ ‫المجاور‬ ‫الوتَر‬

‫مثال (‪)4-2‬‬ ‫مث َّلث قائم الزاوية في ب فيه‬

‫�سم‪ُ .‬اح�سب‬

‫�سم ‪،‬‬

‫الحل‬

‫من ال�شـكل ( ‪ ) 6-2‬نجد � َّأن ‪:‬‬ ‫‪� 8‬سم‬

‫المجاور‬ ‫الوتَر‬ ‫المجاور‬ ‫الوتَر‬ ‫ولإيجاد‬

‫‪� 17‬سم‬

‫�شـكل ( ‪)6-2‬‬

‫نط ِّبق نظر َّية فيثاغور�س‬ ‫�سم‪2‬‬

‫�سم‬ ‫� ًإذا‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪59‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫تدريب (‪)2-2‬‬ ‫في المثال ال�سابق‪� ،‬أوجد ما يلي‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫قارن بين الناتجين في ‪. 3 ، 2‬‬

‫‪ -3‬ظـ ُّـل زاوي ٍة حــا َّد ٍة‬

‫بالعودة �إلى �شـكل ( ‪ ) 3-2‬م َّر ًة �أخرى‪ ،‬نجد كذلك � َّأن‪:‬‬ ‫( �أثبت ذلك )‬ ‫�أي � َّأن هذه الن�سـب ثابتة ال تتغ َّير بتغ ُّير النقطة على‬

‫�أي � َّأن ‪:‬‬

‫طول ال�ضلع المقابل للزاوية في مث َّلث قائم الزاوية‬ ‫طول ال�ضلع المجاور للزاوية في هذا المث َّلث‬

‫= ن�سـبة ثابتة‬

‫و� َّأن هذه الن�سـبة مرتبطة بالزاوية الحا َّدة في مث َّلث قائم الزاوية‪ُ .‬ن�س ِّـمي هذه الن�سـبة ظ َّل الزاوية ونرمز‬ ‫لـها بالرمز‬

‫تعريف ( ‪)3 -2‬‬ ‫ظل الزاوية‬

‫واخت�صا ًرا نكتب ‪:‬‬

‫‪60‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫طول ال�ضلع المقابل للزاوية في مث َّلث قائم الزاوية‬ ‫طول ال�ضلع المجاور للزاوية في هذا المث َّلث‬ ‫المقابل‬ ‫المجاور‬


‫الـنـ�ســب المث َّلث َّيــة لزاويـة حــادة‬

‫مثال (‪)5-2‬‬ ‫في ال�شـكل ( ‪ ،) 7-2‬ب جـ د مث َّلث قائم الزاوية في حيث‬ ‫�سم فيكون ‪:‬‬ ‫�سم‬ ‫‪� 7‬سم‬

‫المقابل‬ ‫المجاور‬

‫‪� 5‬سم‬ ‫�شـكل ( ‪) 7-2‬‬

‫مثال (‪)6-2‬‬ ‫في ال�شـكل ( ‪،) 8-2‬‬

‫مث َّلث قائم الزاوية في‬

‫�سم ‪،‬‬

‫الحل‬ ‫ولإيجاد‬

‫‪،‬‬

‫�سم‬

‫‪� 6‬سم‬

‫�أوجد‬

‫�سم‬

‫فيه ‪:‬‬

‫�شـكل ( ‪) 8-2‬‬

‫المقابل‬ ‫المجاور‬ ‫نط ِّبق نظر َّية فيثاغور�س‬

‫�سم‬ ‫� ًإذا‬ ‫المقابل‬ ‫المجاور‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪61‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫مثال (‪)7-2‬‬ ‫دائرة طول ن�صف قطرها‬ ‫�سم‪� .‬أوجد ‪.‬‬

‫�سم‪ُ ،‬ر ِ�س َـم فيها الق ُْط ُر‬

‫و�أُخذت نقطة على الدائرة بحيث‬

‫الحل‬ ‫بما � َّأن‬

‫قطر � ًإذا‬

‫بتطبيق نظر َّية فيثاغور�س يكون‪:‬‬

‫�سم‬

‫( زاوية محيط َّية مر�سـومة على قطر دائرة ) كما في ال�شـكل ( ‪) 9-2‬‬ ‫‪� 15‬سم‬

‫‪� 17‬سم‬

‫�إذ ًا‬

‫المقابل‬ ‫الوتر‬ ‫المجاور‬ ‫الوتر‬ ‫المقابل‬ ‫المجاور‬ ‫المجاور‬ ‫الوتر‬

‫الحظ � َّأن ‪1 :‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪62‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫�شـكل ( ‪)9-2‬‬


‫الـنـ�ســب المث َّلث َّيــة لزاويـة حــادة‬

‫�إيجاد الن�سـب المث َّلث َّية لزاوية حا َّدة �إذا ُعلمت �إحداها‬ ‫�إذا ُعلمت �إحدى الن�سـب المث َّلث َّية لزاوية حا َّدة ف�إ نَّه يمكننا �إيجاد باقي الن�سـب المث َّلث َّية للزاوية وذلك بر�سـم‬ ‫مث َّلث قائم الزاوية �إحدى زاويتيـه الحا َّدتيـن هـي وطـوال �ضلعيه المتع َّلقين بالن�سـبة المث َّلث َّية المعلومة م�سـاويان‬ ‫لح َّديها المناظرين لـهما‪َّ ،‬ثم با�سـتخدام نظر َّية فيثاغور�س نوجد طول ال�ضلع المجهول في المث َّلث ومن َث َّم باقي‬ ‫الن�سـب المث َّلث َّية لـهذه الزاوية‪.‬‬

‫مثال (‪)8-2‬‬ ‫�إذا كان‬ ‫للزاوية‬

‫الحل‬

‫ِ‬ ‫نر�سـم‬

‫وبما � َّأن‬

‫حيث‬

‫‪.‬‬

‫زاوية حا َّدة‪ .‬ف�أوجد باقي الن�سـب المث َّلث َّية‬

‫قائم الزاوية في ‪ ،‬فتكون‬ ‫�إذ ًا المجاور‬ ‫الوتر‬

‫زاوية حا َّدة فيه‪.‬‬

‫�إذ ًا‬

‫�شـكل ( ‪) 10-2‬‬

‫وحدات طول‪ ،‬كان‬ ‫ف�إذا فر�ضنا � ��ّأن‬ ‫وبا�سـتخدام نظر َّية فيثاغور�س يكون‪:‬‬

‫وحدة طول كما في ال�شـكل (‪)10-2‬‬

‫وحدة طول ‪.‬‬ ‫�إذ ًا‬

‫المقابل‬ ‫الوتر‬ ‫المقابل‬ ‫المجاور‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪63‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫مثال (‪)9-2‬‬ ‫�إذا كان‬

‫الحل‬

‫حيث زاوية حا َّدة‪.‬‬

‫اح�سـب قيمة ٍّ‬ ‫كل من‬

‫‪،‬‬

‫ما قيمة الن�سـبِة‬

‫؟ ماذا تالحظ ؟‬

‫‪.‬‬ ‫‪� 3‬سم‬

‫المقابل‬ ‫بما � َّأن‬ ‫المجاور‬ ‫�إذن ِ‬ ‫نر�سـم مث َّلثـًا قائم الزاوية كما في ال�شـكل ( ‪ ) 11-2‬فيكون‬

‫وحدات طول ‪.‬‬ ‫المقابل‬ ‫الوتر‬ ‫المجاور‬ ‫الوتر‬

‫نالحظ �أن‬

‫‪64‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪� 4‬سم‬ ‫�شـكل ( ‪) 11-2‬‬


‫الـنـ�ســب المث َّلث َّيــة لزاويـة حــادة‬

‫تمـاريـن ( ‪) 1-2‬‬ ‫مث َّلث قائم الزاوية في‬

‫‪1‬‬

‫فيه‬

‫مث َّلث قائم الزاوية في‬

‫‪2‬‬

‫�سم ‪،‬‬ ‫فيه‬

‫�سم‪� .‬أوجد‬ ‫�سم‪� .‬أوجد‬

‫�سم ‪،‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫مثلث قائم الزاوية في‬

‫‪ ،‬فيه‬

‫�سم ‪� ،‬أوجد‬

‫�سم ‪،‬‬

‫‪0‬‬ ‫قطر في دائرة ‪،‬‬ ‫�سم‪� .‬أوجد‬

‫‪4‬‬

‫�شبه منحرف فيه‬ ‫�سم ‪،‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫وتَر فيها حيث‬

‫�سم ‪،‬‬

‫�سم ‪ ،‬ر�سـمنا‬

‫‪.‬‬

‫و� َّأن‬ ‫‪ ،‬ف�إذا علمت � َّأن‬ ‫�سم �أوجد جاجـ ‪ ،‬جتا جـ‪ ،‬ظا جـ‬

‫المما�س‬ ‫نقطة خارج دائرة مركزها وطول ن�صف قطرها �سم ‪ُ ،‬ر�سم منها‬ ‫ُّ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪� .‬أوجد‬ ‫الدائرة في ‪ ،‬ف�إذا كان‬

‫‪� 7‬إذا كان‬

‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬

‫بحيث يكون‬

‫ف�أوجد‬

‫�أوجد باقي الن�سـب المث َّلث َّية للزاوية الحا َّدة‬ ‫�إذا كان‬

‫‪� 10‬إذا كان‬

‫‪،‬‬

‫‪� ،‬إذا كان‬

‫زاوية حا َّدة ف�أوجد قيمة‬

‫‪ ،‬فما قيمة الن�سـبِة‬

‫يم�س‬ ‫الذي ُّ‬ ‫‪.‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪.‬‬

‫حيث زاوية حا َّدة ‪0‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪65‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫‪2-2‬‬

‫العالقات بين الن�سب المث َّلث َّية الأ�سا�س َّية‬

‫�أ َّو ًال ‪ -‬العالقة بين جيب وجيب تمام زاويتين متتامتين‬ ‫‪ ،‬و� َّأن ك َّل مث َّلث قائم زاويتاه‬

‫تعلم � َّأن الزاويتين المتتا َّمتين هما الزاويتان ال َّلتان مجموعهما‬ ‫الحا َّدتان متتا َّمتان‪.‬‬ ‫قائم الزاوية في والزاويتان الحا َّدتان‬ ‫في ال�شـكل ( ‪) 12-2‬‬ ‫متتا َّمتان نجد � َّأن‪:‬‬ ‫المقابل‬ ‫الوتر‬

‫�إذا‬ ‫وبالمثل‬

‫المجاور‬ ‫الوتر‬ ‫�شـكل ( ‪) 12-2‬‬

‫�أي � َّأن‪:‬‬ ‫( الزاوية المت ِّممة لـها )‬ ‫( زاوية حا َّدة )‬ ‫( الزاوية المت ِّممة لـها )‬ ‫( زاوية حا َّدة )‬ ‫وحيث � َّإن الزاوية الحا َّدة التي قيا�سـها يكون قيا�س مت ِّممتها (‬ ‫العالقة بين جيب وجيب تمام زاويتين متتا َّمتين على ال�صورة التالية‪:‬‬

‫) ف�إنَّه يمكننا كتابة‬

‫(‪)1-2‬‬ ‫فمث ًال‪:‬‬

‫‪66‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫( لماذا ؟ )‬ ‫( لماذا ؟ )‬


‫العالقات بين الن�سب المثلثية الأ�سا�سية‬

‫مثال (‪)10-2‬‬ ‫في ال�شـكل ( ‪� ) 13-2‬أوجد‬

‫الحل‬

‫قائم الزاوية في � ًإذا‬

‫بما � َّأن‬ ‫ومن‬

‫زاويتان متتا َّمتان ويكون ‪:‬‬

‫القائم الزاوية في نجد � َّأن ‪:‬‬

‫‪� 6‬سم‬

‫‪1‬‬

‫‪� 5‬سم‬

‫�شـكل ( ‪) 13-2‬‬

‫المجاور‬ ‫‪2‬‬ ‫الوتر‬ ‫وبتطبيق نظر َّية فيثاغور�س في‬

‫نجد � َّأن ‪:‬‬

‫�سم‬

‫ثان ًيا ‪ -‬العالقتان الأ�سـا�سـ َّيتان في ح�سـاب المث َّلثات‬ ‫‪ 1‬لتكن‬

‫زاوية حا َّدة في‬

‫القائم الزاوية في‬ ‫المقابل‬ ‫الوتر‬

‫كما في ال�شـكل ( ‪ ) 14-2‬فيكون‬

‫المجاور‬ ‫الوتر‬

‫�شـكل ( ‪) 14-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪67‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫( ح�سـب نظر َّية فيثاغور�س )‬

‫�أي � َّأن‬ ‫ونكتب عاد ًة‬

‫‪،‬‬

‫على ال�شـكل‬

‫على ال�شـكل‬

‫فيكون ‪:‬‬

‫(‪)2-2‬‬ ‫المقابل‬ ‫الوتر‬

‫‪ 2‬بما � َّأن‬

‫المجاور‬ ‫الوتر‬

‫‪،‬‬

‫ف� َّإن هاتين الن�سـبتين موجبتان‬

‫وبما � َّأن الوتَر هو �أطول الأ�ضالع في المث َّلث القائم الزاوية ف� َّإن ك ًّال من هاتين الن�سبتين تكون دائ ًما �أق َّل من‬ ‫الواحد‪.‬‬

‫وبذلك ن�سـتنتج �أنَّه �إذا كانت‪:‬‬ ‫ف�إن‬ ‫المقابل المجاور‬ ‫الوتر‬ ‫الوتر‬

‫و�أن ‪:‬‬ ‫المقابل‬ ‫الوتر‬

‫الوتر‬ ‫المجاور‬

‫المقابل‬ ‫المجاور‬

‫�أى �أن ‪:‬‬ ‫(‪)3-2‬‬

‫‪68‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫العالقات بين الن�سب المثلثية الأ�سا�سية‬

‫تُ�سـ َّمى العالقتان ( ‪ ) 3-2 ( ، ) 2-2‬بالعالقتين الأ�سا�سـ َّيتين في ح�سـاب المث َّلثات و�سـبب هذه‬ ‫الت�سـمية هو � َّأن العالقات المث َّلث َّية الأخرى تعتمد عليهما ‪ ،‬كما �سـترى ذلك م�سـتقب ًال �إن �شـاء اللهَّ ‪.‬‬ ‫وا�سـتنا ًدا �إلى هاتين العالقتين ف�إ نَّه يمكننا �إيجاد الن�سـب المث َّلث َّية لزاوية حا َّدة �إذا ُعلمت �إحداها‬ ‫وذلك بدون ا�سـتخدام المث َّلث القائم الزاوية‪.‬‬

‫مثال (‪)11-2‬‬ ‫�إذا كانت‬

‫الحل‬

‫زاوية حا َّدة بحيث‬

‫�أوجد‬

‫بما � َّأن‬

‫‪.‬‬ ‫( ‪) 2-2‬‬

‫� ًإذا‬

‫ولكن‬

‫؛ ل َّأن‬

‫زاوية حا َّدة‬

‫� ًإذا‬ ‫وبما � َّأن‬

‫( ‪) 3-2‬‬

‫� ًإذا‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪69‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫مثال (‪)12-2‬‬ ‫�أوجد باقي الن�سـب المث َّلث َّية للزاوية الحا َّدة‬

‫‪.‬‬

‫�إذا علمت � َّأن‬

‫الحل‬ ‫( ح�سـب العالقة ( ‪) ) 3-2‬‬

‫‪1‬‬ ‫( ح�سـب العالقة ( ‪) ) 2-2‬‬

‫وبما � َّأن‬ ‫� ًإذا‬

‫ولكن‬ ‫� ًإذا‬ ‫وبالتعوي�ض عن‬

‫‪70‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫؛ ل َّأن زاوية حا َّدة‬ ‫في العالقة (‪ )1‬نجد � َّأن ‪:‬‬


‫العالقات بين الن�سب المثلثية الأ�سا�سية‬

‫مثال (‪)13-2‬‬ ‫�إذا كان‬

‫الحل‬

‫‪ ،‬فاح�سب قيمة ٍّ‬ ‫كل من‬

‫حيث‬

‫زاوية حا َّدة‪.‬‬

‫من العالقة ( ‪ ) 2-2‬يكون‬

‫ولكن زاوية حا َّدة‬ ‫َّ‬ ‫�إذا‬ ‫وبالتعوي�ض في العالقة المعطاة عن قيمة‬

‫يكون‬

‫ومن العالقة ( ‪ ) 3-2‬يكون ‪:‬‬ ‫الحظ �أنَّه يمكن �إيجــاد قيمة‬

‫مبا�شـرة من الم�سـاواة المعطاة وذلك بق�سـمة طرفيها على‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪71‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫مثال (‪)14-2‬‬ ‫�إذا كانت‬

‫فما قيمة‬

‫زاوية حا َّدة بحيث‬

‫الحل‬ ‫ح�سـب العالقة ( ‪ ) 1-2‬يكون‪:‬‬ ‫وح�سـب العالقة الأ�سا�سـ َّية ( ‪ ) 2-2‬يكون‪:‬‬

‫ولكن‬ ‫�إذا ‬ ‫�إذا ‬

‫تدريب (‪)3-2‬‬ ‫في المثال ال�سـابق �أوجد‬

‫‪72‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫؛ ل َّأن‬

‫زاوية حا َّدة‬


‫العالقات بين الن�سب المثلثية الأ�سا�سية‬

‫تمـاريـن ( ‪) 2-2‬‬ ‫ف�أوجد‬

‫‪� 1‬إذا كان‬ ‫‪� 2‬إذا كان‬

‫‪ ،‬حيث زاويـ ـ ــة حا َّدة‪ ،‬فما قيمة‬

‫‪� 3‬إذا كانت‬

‫‪4‬‬

‫‪.‬‬

‫فما قيمة‬

‫زاوية حا َّدة بحيث‬ ‫مث َّلث قائم الزاوية في‬ ‫�سـم ‪� .‬أوجد‬

‫‪ 5‬با�سـتخدام ال َعالقة‬ ‫في ٍّ‬ ‫كل من الحالتين التاليتين ‪:‬‬

‫؟‬ ‫؟‬

‫ف�إذا كان‬

‫‪ ،‬حيث‬

‫�سم ‪،‬‬

‫‪ .‬اح�سب قيمة‬

‫�إذا كان‬ ‫�إذا كان‬

‫‪6‬‬

‫با�سـتخدام ال َعالقتين الأ�سا�سـ َّيتين ( ‪ ،) 3-2 ( ،) 2-2‬حيث‬ ‫�إذا كان‬

‫اح�سب قيمة ٍّ‬ ‫كل من‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪73‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫‪� 7‬أوجد باقي الن�سـب المث َّلث َّي ــة للزاويــة الح ــا َّدة �س ‪ -‬بدون ا�سـتخدام المث َّلث ‪� -‬إذا كانت ‪:‬‬

‫د‬

‫‪ ،‬ف�أوجــد قيمــة كـ ٍّـل من‬

‫‪� 8‬إذا كان‬

‫‪� 9‬إذا كان‬

‫‪10‬‬

‫‪ ،‬وكانت زاوية حا َّدة‪ ،‬فما قيمة‬

‫�إذا كان‬

‫‪ ،‬ف�أوجد‬

‫‪� 11‬أثبت � َّأن‬

‫‪� 12‬إذا كانت‬

‫‪74‬‬

‫حيث‬

‫؟‬

‫‪.‬‬

‫حيث‬

‫زاوية حا َّدة‪ ،‬ف�أوجد‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪.‬‬

‫‪.‬‬


‫الن�سب المثلثية والآالت الحا�سبة‬

‫‪3-2‬‬

‫الـنـ�ســب المث َّلث َّيــة والآالت الحـا�ســبة‬ ‫قبل �أن نتطرق �إلى كيفية ا�ستعمال الآلة الحا�سبة لإيجاد الن�سب المثلثية للزوايا الحادة �أو لإيجاد‬ ‫خا�ص ٌة كثير ُة اال�سـتعمالِ‬ ‫قيا����س زاوي���ة �إذا علمت �إحدى ن�سبها المثلثية ن�شير الى �أن هناك زوايا َّ‬ ‫نخ�ص منها الزوايا ‪°60 ، °45 ، °30‬‬ ‫من المفيد معرفة ن�سـبِها المث َّلث َّية ُّ‬

‫الن�سب المثلثية لزوايا حادة خا�صة ‪:‬‬ ‫�أ َّو ًال – الن�سـب المث َّلث َّية لزاوية قيا�سـها ‪°45‬‬ ‫لح�سـاب الن�سـب المث َّلث َّية للزاوية‬ ‫في ال�شـكل ( ‪ ) 15-2‬حيث‬

‫‪ ،‬نر�سـم مث َّلثـًا قائم الزاوية ومتطابق ال�ضلعين كالمث َّلث‬ ‫( �أي وحدة طول )‪.‬‬

‫فيكون قيا�س ٍّ‬ ‫كل من الزاويتين الحا َّدتين ‪،‬‬ ‫ويكون‬ ‫لمث َّلث قائم متطابق ال�ضلعين‬ ‫� ًإذا‬

‫ي�سـاوي‬

‫؛ ل َّأن‬

‫وعليه تكون الن�سـب المث َّلث َّية للزاوية والتي قيا�سـها‬ ‫المقابل‬ ‫الوتر‬

‫‪.‬‬ ‫وتَر‬

‫هي‪:‬‬ ‫�شـكل ( ‪) 15-2‬‬

‫المجاور‬ ‫الوتر‬

‫المقابل‬ ‫المجاور‬

‫‪75‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪75‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫ثان ًيا – الن�سـب المث َّلث َّية ٍّ‬ ‫لكل من الزاويتين ‪°60 ، °30‬‬ ‫لإيجاد الن�سـب المث َّلث َّية ٍّ‬ ‫ِ‬ ‫نر�سـم المث َّلث‬ ‫لكل من الزاويتين‬ ‫بحيث يكون طول وت َره ‪ 2‬وحدة طول‬ ‫الثالثين َّـي ال�ستين َّـي‬ ‫كما في ال�شـكل ( ‪ ) 16-2‬فيكون‬ ‫( �ضلع مواجه للزاوية ‪ °30‬في‬

‫)‬

‫( �ضلع مواجه للزاوية ‪ °60‬في‬

‫)‬

‫ومن َّثم تكون الن�سـب المث َّلث َّية للزاوية ‪ °30‬هي‪:‬‬ ‫المقابل‬ ‫الوتر‬ ‫المجاور‬ ‫الوتر‬ ‫المقابل‬ ‫المجاور‬ ‫وتكون الن�سـب المث َّلث َّية للزاوية ‪ °60‬هي‪:‬‬ ‫المقابل‬ ‫الوتر‬ ‫المجاور‬ ‫الوتر‬

‫‪76‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫�شـكل ( ‪) 16-2‬‬


‫الن�سب المثلثية والآالت الحا�سبة‬

‫المقابل‬ ‫المجاور‬ ‫الحظ‪َّ � :‬أن‬ ‫الخا�صة ال�سـابقة‪.‬‬ ‫وفيما يلي جدول بالن�سـب المث َّلث َّية للزوايا‬ ‫َّ‬ ‫الن�سـبة‬

‫( لمـاذا ؟ )‬

‫الزاوية‬

‫جدول (‪)1-2‬‬

‫مثال (‪)15-2‬‬ ‫�أوجد قيمة ما يلي‪:‬‬

‫الحل‬

‫مثال (‪)16-2‬‬ ‫�أثبت � َّأن‬

‫الحل‬ ‫الطرف الأيمن‬

‫الطرف الأي�سـر‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪77‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫آالتالحا�سب ــة‬ ‫المث َّلوا َّثيـل ـ ـ ـآالتـةوال‬ ‫الن�سب‬ ‫الحا�سبة‬ ‫المثلثية‬ ‫الن�سب‬

‫الخا�صة وذلك با�سـتعمال‬ ‫لق���د تم َّكن���ا في البند ال�سـابق من �إيجاد الن�سـب المثلَّث َّي���ة لبع�ض الزوايا‬ ‫َّ‬ ‫خا�ص‪ .‬ونظ ًرا ل�صعوبة الح�صول على الن�سـ���ب المثلَّث َّية لزاوي ٍة ما عن‬ ‫مث َّلث���ات قائمة الزاوية م���ن ٍ‬ ‫نوع ٍّ‬ ‫نتو�صل �إليها بـهذه الطريقة‪ ،‬فقد ُو�ضعت‬ ‫طريق الر�سـم والق��ا�س بالإ�ضافة �إلى عدم دقَّة النتائج التي َّ‬ ‫مت �إحدى ن�سـبها المثلَّث َّية‪،‬‬ ‫جداول لإيجاد الن�سـب المثلَّث َّية للزوايا الحا َّدة �أو لإيجاد قيا�س زاوي ٍة ما ُع ِل ْ‬ ‫ِّ‬ ‫والظل‬ ‫تو�ضح �أجزا ًء من جـداول الجيــب وجيب التمــام‬ ‫والجـ ـ ـ ــداول ( ‪ِّ ) 4-2 ( ،) 3-2 ( ،) 2-2‬‬ ‫مقدمة هذه الوحدة‪ .‬وفي‬ ‫أرقام ع�شـر َّية ) التي �سـبق �أن �أ�شـرنا �إل���ى ن�شـ�أتـها في َّ‬ ‫( مق َّرب��� ًة �إل���ى �أربعة � ٍ‬ ‫ه���ذا الع�ص���ر �أ�صبح ب�إمكاننا اال�سـتغناء عن هذه الجداول با�سـتخ���دام الآالت الحا�سـبة‪ ،‬والتي تتم َّيز‬ ‫ب�سـرعة الأداء ودقَّة النتائج‪.‬‬

‫جزء من جدول الجيب‬

‫فـروق الدقـائـق‬

‫الدرجة‬

‫جدول (‪)2-2‬‬

‫‪78‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫الن�سب المثلثية والآالت الحا�سبة‬

‫جزء من جدول جيب التمام‬ ‫فـروق الدقـائـق‬

‫الدرجة‬

‫جدول (‪)3-2‬‬

‫جزء من جدول جيب الظل‬

‫فـروق الدقـائـق‬

‫الدرجة‬

‫جدول (‪)4-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪79‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫الآلة الحا�سـبة العلم َّية‬

‫( ‪) Scientific Calculator‬‬

‫تعريفها‪ :‬هي �آلة �إلكترون َّية تعمل با�سـتخدام‬ ‫ُّظم المرتبطة بعلم الريا�ض َّيات‬ ‫مجموعة من الن ِ‬ ‫والعلوم الأخرى‪ ،‬ولـها العديد من الأ�شـكال‪ ،‬منها‬ ‫ال�شـكالن ( ‪.) 18-2 ( ،) 17-2‬‬

‫مكوناتهــا ‪:‬‬ ‫تتك���ون الآلة الحا�سـبة العلم َّية من �شـا�ش��� ٍة �إلكترون َّي ٍة تظهر عليها نواتـ ـ ــج العمل َّي���ات‪ ،‬ومجموع ٍة من المفاتيح (الأز َّرة )‬ ‫ل ٍّ‬ ‫خا�صة �أو ِع َّدة وظائف وبتكام���ل وظائف هذه المفاتيح يت ُّم �إجراء العمل َّيات المختلفة التي تقوم بـها‬ ‫���كل منها وظيف ٌة َّ‬ ‫الحا�سـب���ة‪ .‬وق���د ُي�سـتخدم المفتاح الواح���د لعمل َّيتين‪ ،‬غال ًبا ما تك���ون �إحداهما عك�س الأخ���رى‪ .‬تُ�سـ َّمى �إحدى هاتين‬ ‫العمل َّيتي���ن عمل َّي���ة �أ�سـا�س َّي ـ ـ���ة ( �أو عمل َّية �أ�صل َّية ) وهي العمل َّي���ة التي يكون رمزُها مكتو ًبا عل���ى المفتاح ِ‬ ‫نف�سـه‪ .‬بينما‬ ‫تُ�سـ َّم���ى العمل َّية الأخرى عمل َّي ًة غير �أ�سـا�س َّية ( �أو عمل َّي ًة عك�سـ َّي ًة للعمل َّية الأ�صل َّية ) ويكون رمزُها مكتو ًبا �أعلى المفتاح‬ ‫ـوم���ا �إلى ق�سـمين‬ ‫وعل���ى ج�سـ���م الحا�سـب���ة نف�سـه‪ [ .‬قد نجد في بع����ض الآالت الحا�سـبة العلم َّي���ة �سـطح المفتاح مق�س ً‬ ‫العلوي منه رمز العمل َّية غير الأ�سـا�س ّيــة ]‪.‬‬ ‫ـفلي منه رم���ز العمل َّية الأ�سا�سـ َّية وعلى الن�صف‬ ‫ِّ‬ ‫ومكتو ًب���ا على الن�صف ال�س ِّ‬ ‫وتُنفَّذ العمل َّية الأ�سـا�س َّية في الآلة الحا�سـبة العلم َّية بال�ضغط على مفتاحها مبا�شـرةً‪� .‬أ َّما العمل َّية غير الأ�سـا�س َّية فتُنفَّذ‬ ‫خا�ص بالعمل َّيات غير الأ�سـا�س َّية ( العمل َّيات العك�سـ َّية ) ُي�سـ َّمى مفتاح‬ ‫بال�ضغط على مفتاحها بعد ال�ضغط على ٍ‬ ‫مفتاح ِّ‬ ‫العالي ‪SHIFT‬‬ ‫وفي بع�ض الآالت ُي�سـ َّمى مفتاح المعكو�س ورمزُه ‪INV‬‬ ‫اخت�صار كلمة ‪Inverse‬‬ ‫المو�ضحين بال�شـكلي���ن ( ‪ )18-2 ( ،) 17-2‬نج���د � َّأن المفتاح الخا� َّ���ص بالعمل َّيات غير‬ ‫وبالنظ���ر �إل���ى النموذجي���ن َّ‬ ‫الأ�سا�س َّية‬ ‫( العمل َّيات العك�س َّية ) في �أحدهما هو المفتاح ‪SHIFT‬‬ ‫بينما هو في الآخر المفتاح ‪. INV‬‬ ‫توجد بع�ض الآالت الحا�سـبة التي تحتوي المفتاح ‪INV‬‬ ‫بينما ال تحتوي على رموز العمل َّيات العك�سـ َّية للعمل َّيات الأ�صل َّية‪ ،‬ويت ُّم في هذه الآالت تنفيذ العمل َّية العك�سـ َّية بال�ضغط‬ ‫على المفتاح ‪َّ INV‬ثم بال�ضغط على مفتاح العمل َّية الأ�صل َّية‪.‬‬ ‫�شـكل ( ‪) 17-2‬‬

‫‪80‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫�شـكل ( ‪) 18-2‬‬


‫الن�سب المثلثية والآالت الحا�سبة‬

‫طرائق ا�سـتخدامها ‪:‬‬ ‫ِّ‬ ‫خا�صة لال�سـتخدام من�سـجمة مع طريقة ابتكارها ويرافق َّ‬ ‫كل �آل ٍة دليلها الذي ير�شـد على‬ ‫لكل �آلة حا�سـبة طريقة َّ‬ ‫ال�ضروري على من ي�سـتخدم الآل���ة الحا�سـبة العلم َّية �أن يكون ُم ِل ًّما وعلى دراي ٍة ومعرف ٍة‬ ‫طريق���ة ا�ستعمالـها‪ .‬ومن‬ ‫ِّ‬ ‫ونظمهاووظيف���ة ِّ‬ ‫نظام‪ ،‬والعمل َّيات التي يت ُّم �إجرا�ؤها من خ�ل�ال هذا النظام وكيف َّية ِ‬ ‫ب�إمكانا ِته���ا ِ‬ ‫تنفيذها مما‬ ‫كل ٍ‬ ‫ي�ساعد على ا�سـتثمار الآلة ب�أف�ضل ما يمكن‪.‬‬ ‫أهم �سـمات هذا الع�صر‪ ،‬الذي فتح اللهَّ‬ ‫ولع َّل الآلة الحا�سـبة بمقا�ساتـها المختلفة و�أ�شكالـها المتط ِّورة هي من � ِّ‬ ‫علم و ِتقان ٍة م�صدا ًقا لقوله تعالى‪:‬‬ ‫فيه على العقل الب�ش ِّ‬ ‫ـري‪ ،‬فو�صل �إلى ما و�صل �إليه من ٍ‬ ‫‪................‬‬

‫(‪)1‬‬

‫من ا�ستخداماتـها‪:‬‬

‫�إجراء بع�ض العمل َّيات الح�سـاب َّية مثل الجمع والطرح وال�ضرب والق�سـمة و�إيجاد الجذور والرفع �إلى ق َّو ٍة مع َّينة‪،‬‬ ‫والعمل َّيات المركَّبة من اثنين �أو �أكثر من هذه العمل َّيات‪.‬‬ ‫مت �إحدى ن�سـبِها المث َّلث َّية‪.‬‬ ‫�إيجاد الن�سـب المث َّلث َّية لقيا�س � ِّأي زاوي ٍة وكذلك في �إيجاد قيا�س زاوي ٍة ُع ِل ْ‬ ‫ا�سـتخدامات �أخرى �سـتعرفها الحقًا‪.‬‬

‫ا�سـتخدام الآلة الحا�سـبة العلم َّية لإيجاد الن�سـب المث َّلث َّية لزاوي ٍة معلوم ٍة والعك�س‬ ‫قب���ل البدء ف���ي ا�ستخدام الآلة الحا�سبة لإيجاد الن�س���ب المثلثية لزاوية معلومة والعك����س‪ ،‬يلزمنا التعرف على‬ ‫القيا�س ال�ستيني للزوايا‪.‬‬

‫القيا�س ال�ستيني للزوايا‬

‫�سبق لنا ا�ستخدام الدرجة ( ‪ ) °‬كوحدة لقيا�س زاوية معلومة‪ .‬فقيا�س الزاوية القائمة = ‪ °90‬وقيا�س الزاوية‬ ‫الم�ستقيم���ة = ‪ °180‬وهك���ذا‪ ...‬في بع����ض الأحيان يقت�ضي الأمر ا�ستخدام وح���دات �أ�صغر من الدرجة لقيا�س‬ ‫الزاوي���ة ولذل���ك ُق ِّ�سمت الدرجة �إلى �سـتين ج���ز ًءا ُي�سـ َّمى ك ُّل ج ٍ‬ ‫���زء منها دقيق ًة‪ ،‬ويرمز �إل���ى الدقيقة الواحدة‬ ‫بالرمز (َ‪ )1‬وتكون‬ ‫( ‪) 4-2‬‬ ‫ِ‬ ‫من الآي ِة ( ‪) 53‬‬ ‫(‪� )1‬سـ ــور ُة‬ ‫ف�صلت‪َ ،‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪81‬‬


‫الوحدة الثانية‬ ‫وكذل���ك ُق ِّ�سم���ت الدقيقة �إلى �سـت ِّين جز ًءا ُي�سـ َّمى ك ُّل ٍ‬ ‫جزء منها ثاني��� ًة‪ ،‬و ُيرمز �إلى الثانية الواحدة بالرمز (ً‪)1‬‬ ‫وتكون‬ ‫( ‪) 5-2‬‬ ‫ومن ( ‪ ) 5-2 ( ، ) 4-2‬تكون‬

‫( ‪) 6-2‬‬

‫� َّإن وحدات القيا�س الثالث ال�سابقة للزاوية‪ ،‬الدرجة والدقيقة والثانية تُ�سمى وحدات القيا�س ال�ستيني للزاوية‪.‬‬ ‫وللتعبير‪ -‬مث ًال‪ -‬عن ٍّ‬ ‫بالدرجة و�أجزائها نكتب‬ ‫كل من الزاويتين‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫كما يمكننا كتابة الزاوية‬

‫بالدرجات على النحو التالي‪:‬‬

‫نظام لقيا����س الزوايا تت�ضمنها جمي ًعا �أنظمة الآل���ة الحا�سـبة العلم َّية؛‬ ‫وم���ن الجدير ذك��� ُر ُه � َّأن هناك �أكثر من ٍ‬ ‫�إال � َّأن درا�سـتن���ا ف���ي هذا البند مقت�صر ٌة عل���ى النظام ال�ستين ِّـي لقيا�س الزوايا‪ ،‬لذا يل���زم قبل ا�سـتخدام الآلة‬ ‫الحا�سـبة العلم َّية الت�أ ُّكد من �أ نَّها مج َّهز ٌة‬ ‫بالنظام ال�ستين ِّـي والذي رم ُز ُه ‪ DEG‬وقد يظهر على ال�شـا�شة برمزٍ‬ ‫ِ‬ ‫�صغير ‪.‬‬

‫‪82‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫الن�سب المثلثية والآالت الحا�سبة‬

‫‪ ،‬فعلى‬ ‫ولإدخال زاوي ٌة بالدرجة و�أجزائها �إلى الآلة الحا�سـبة ن�سـتخدم مفتاح الدرجة و�أجزائها ورمزه‬ ‫�إلى الآلة ن�سـتخدم المفاتيح الآتية على التوالي من الي�سـار‬ ‫�سـبيل المثال‪ :‬لإدخال الزاوية‬ ‫�إلى اليمين ح�سـب اتِّجاه ال�سـهم‬ ‫فيظهر على ال�شـا�شة‬ ‫ونتع َّرف فيما يلي من خالل الأمثلة التو�ضيح َّية �إلى كيف َّية ا�سـتخدام الآلة الحا�سـبة العلم َّية لإيجاد الن�سـب‬ ‫المث َّلث َّية لزاوي ٍة معلوم ٍة وكذلك لإيجاد قيا�س زاوي ٍة ُعلمت �إحدى ن�سـبها المث َّلث َّية‪.‬‬

‫�أ َّو ًال – ا�سـتخدا ُم الآلة الحا�سـبة العلم َّية لإيجاد الن�سـب المث َّلث َّية لزاوي ٍة معلوم ٍة‬ ‫� َّإن �إيجاد ن�سـب ٍة مث َّلث َّية لزاوي ٍة معلوم ٍة ُيع ُّد من العمليات الأ�سـا�س َّية في الآلة الحا�سـبة العلم َّية‪ .‬ويوجد في الآلة‬ ‫خا�ص ٍة ب�إيجاد الن�سـب المث َّلث َّية لزاوي ٍة معلوم ٍة وهذه المفاتيح هي‪:‬‬ ‫الحا�سـبة العلم َّية ثالثة مفاتيح َّ‬ ‫وهو مفتاح جيب الزاوية ( )‪ ،‬فالرمز ‪ sin‬هو اخت�صار كلمة ‪ sine‬التي تعنـي ( جيب )‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫و ُي�سـتخدم هذا المفتاح لإيجاد وذلك بال�ضغط عليه َّثم �إدخال الزاوية بعد ذلك‪� ( .‬أو قبل ذلك‪ ،‬ح�سـب‬ ‫طريقة ا�سـتعمال الآلة )‪.‬‬ ‫وهو مفتـ ــاح جيب تمام الزاوية ( )‪ ،‬فالرمز ‪ cos‬هو اخت�ص ــار كلمـة ‪ cosine‬التي تعنـ ــي‬ ‫‪2‬‬ ‫وذلك بال�ضغط عليه َّثم �إدخال الزاوية بعد ذلك‪.‬‬ ‫( جيب تمام )‪ ،‬و ُي�سـتخدم هذا المفتاح لإيجاد‬

‫وهو مفتاح ِّ‬ ‫ظل الزاوية ( )‪ ،‬فالرمز ‪ tan‬هو اخت�صار كلمة ‪ tangent‬التي تعنـي ( ظل )‪،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫و ُي�سـتخدم هذا المفتاح لإيجاد وذلك بال�ضغط عليه َّثم �إدخال الزاوية بعد ذلك‪.‬‬

‫مثال (‪)17-2‬‬ ‫با�سـتخدام الآلة الحا�سـبة العلم َّية �أوجد‬

‫العمل‬

‫ن�سـتخدم المفاتيح الآتية على التوالي‬ ‫فيظهر على ال�شـا�شة‬ ‫فيكون الناتج‬

‫أرقام ع�شـر َّي ٍة و�سن َّتبع ذلك في جميع الأمثلة ‪.‬‬ ‫الحظ �أ نَّنا كتبنا الناتج مق َّربـًا لأربع ِة � ٍ‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪83‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫مثال (‪)18-2‬‬ ‫با�سـتخدام الآلة الحا�سـبة العلم َّية‬

‫اح�سب‬

‫العمل‬

‫ن�سـتخدم المفاتيح الآتية على التوالي‬ ‫فيظهر على ال�شـا�شة‬ ‫� ًإذا‬

‫مثال (‪)19-2‬‬ ‫�أوجد قيمة‬

‫العمل‬

‫ن�سـتخدم المفاتيح الآتية على التوالي‬ ‫فيظهر على ال�شـا�شة‬ ‫� ًإذا‬

‫مثال (‪)20-2‬‬ ‫�أوجد قيمة المقدار‬

‫العمل‬

‫ن�سـتخدم المفاتيح الآتية على التوالي‬

‫فيظهر على ال�شـا�شة‬ ‫� ًإذا قيمة المقدار‬

‫‪84‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫الن�سب المثلثية والآالت الحا�سبة‬

‫تدريب (‪)4-2‬‬ ‫�أوجد الن�سـب المث َّلث َّية للزاوية‬

‫مت �إحدى ن�سـبِها المث َّلث َّية‬ ‫ثان ًيا – ا�سـتخدا ُم الآلة الحا�سـبة لإيجاد قيا�س زاوي ٍة ُع ِل ْ‬ ‫تُع ُّد عمل َّية �إيجاد قيا�س زاوي ٍة ُع ِلم جي ُبها �أو جيب ِ‬ ‫تمامها �أو ظلُّها عمل َّية عك�سـ َّية لعمل َّية �إيجاد ٍ‬ ‫جيب �أو جيب‬ ‫تمام �أو ِّ‬ ‫( و ُيقر�أ‪ :‬معكو�س‬ ‫ظل زاوي ٍة معلوم ٍة‪ .‬لذا ف�إ نَّه ُيرمز لقيا�س الزاوية التي جي ُبها بالرمز‬ ‫الجيب للعدد )‬ ‫كما يرمز لقيا�س الزاوية التي جيب ِ‬ ‫( معكو�س جيب التمام للعدد ) وكذلك‬ ‫تمامها بالرمز‬ ‫( معكو�س ِّ‬ ‫الظل للعدد ) �أي � َّأن ‪:‬‬ ‫ُيرمز لقيا�س الزاوية التي ظلُّها بالرمز‬

‫� َّإن عمل َّي���ة �إيج���اد قيا�س زاوي ٍة ُعلمت �إحدى ن�سـبِها المث َّلث َّية تُع ُّد من العمل َّيات غير الأ�سـا�س َّية في الآلة الحا�سـبة‬ ‫العلم َّي���ة ( قد تكون ه���ذه العمل َّيات �أ�سـا�س َّي ٌة في بع����ض الآالت الحا�سـبة ) ‪ .‬ويوجد في الآل���ة الحا�سـبة العلم َّية‬ ‫مكتوب �أعالها الرموز‬ ‫مت �إحدى ن�سـبِها المث َّلث َّية‪ ،‬وهذه المفاتيح‬ ‫خا�صة ب�إيجاد قيا�س زاوي ٍة ُع ِل ْ‬ ‫ٌ‬ ‫ثالث���ة مفاتي���ح َّ‬ ‫الآتية‪:‬‬ ‫وهو مفتاح معكو�س الجيب ٍ‬ ‫لعدد �أي ( مفتاح قيا�س زاوي ٍة ُع ِلم جيبها ) ( )‪ ،‬و ُي�سـتخدم هذا‬ ‫‪1‬‬ ‫وذل���ك بال�ضغط عليه بعد ال�ضغط على مفتاح ‪� SHIFT‬أو مفتاح ‪َّ INV‬ثم �إدخال‬ ‫المفت���اح لإيج���اد‬ ‫العدد ‪.‬‬ ‫وهو مفتاح معكو�س جيب التمام ٍ‬ ‫لعدد �أي ( مفتاح قيا�س زاوية ُع ِلم جيب تمامها ) (‬ ‫‪2‬‬ ‫وذلك بال�ضغط عليه بعد ال�ضغط على مفتاح ‪� SHIFT‬أو مفتاح ‪َّ INV‬ثم‬ ‫و ُي�سـتخدم لإيجاد‬ ‫�إدخال العدد ‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪،‬‬

‫وهو مفتاح معكو�س ِّ‬ ‫الظل ٍ‬ ‫لعدد �أي ( مفتاح قيا�س زاوي ٍة ُع ِلم ظلُّها ) ( )‪ ،‬و ُي�سـتخدم لإيجاد‬ ‫وذلك بال�ضغط عليه بعد ال�ضغط على مفتاح ‪� SHIFT‬أو مفتاح ‪َّ INV‬ثم �إدخال العدد ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪85‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫مثال (‪)21-2‬‬ ‫با�سـتخدام الآلة الحا�سـبة العلم َّية �أوجد قيمة‬

‫العمل‬

‫ن�سـتخدم المفاتيح الآتية على التوالي‬ ‫فيظهر على ال�شا�شة‬

‫‪.‬‬

‫‪SHIFT‬‬

‫� ًإذا‬

‫مثال (‪)22-2‬‬ ‫�أوجد قيا�س الزاوية �س ‪� ،‬إذا كان جا �س =‪0.4‬‬

‫العمل‬

‫‪.‬‬

‫‪SHIFT‬‬

‫ن�سـتخدم المفاتيح الآتية على التوالي‬ ‫فيظهر على ال�شـا�شة‬ ‫وهذا هو قيا�س الزاوية بالدرجات فقط‪ ،‬ولإيجاد قيا�س الزاوية بالدرجة و�أجزائها ن�ضغط على مفتاح الدرجة‬ ‫فيظهر على ال�شـا�شة‬ ‫و�أجزائها‬ ‫� ًإذا‬ ‫( الحظ �أ نَّنا كتبنا الزاوية لأقرب ثاني ٍة و�سـن َّتبع ذلك في جميع الأمثلة )‬

‫مثال (‪) 23-2‬‬ ‫�أوجد قيمة هـ ‪� ،‬إذا ع ِل ْمت �أ َّن ظا هـ = ‪1.130294‬‬

‫العمل‬

‫ن�سـتخدم المفاتيح الآتية على التوالي‬ ‫� ًإذا‬

‫‪86‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪SHIFT‬‬


‫الن�سب المثلثية والآالت الحا�سبة‬

‫مثال (‪)24-2‬‬ ‫�أوجد قيا�س الزاوية الحا َّدة جـ �إذا كان ‪ 4‬جتا جـ=‪1‬‬

‫الحل‬

‫وبا�سـتخدام الآلة الحا�سـبة العلم َّية وبال�ضغط على مفاتيحها وفق التتابع الآتي‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫‪SHIFT‬‬

‫نجد � َّأن‬ ‫وم���ن الجدي���ر بالذكر �أ نَّه يمكن �إدخال العدد �إلى الآل���ة مبا�شـر ًة بد ًال من تحويله �إلى ٍ‬ ‫ـري‪ ،‬وذلك‬ ‫عدد ع�ش ٍّ‬ ‫ال َّلذي���ن ي���د َّالن على ح�صر العدد وعلي���ه يمكن الح�صول على بال�ضغط‬ ‫با�سـتخ���دام المفتاحي���ن‬ ‫على مفاتيح الآلة وفق التتابع الآتي‪:‬‬ ‫‪SHIFT‬‬

‫كما يمكن �إدخال العدد با�سـتخدام المفتاح‬ ‫بال�ضغط على المفاتيح التالية‪:‬‬

‫الخا�ص ب�إدخال الك�سـر االعتيادي فنح�صل على‬ ‫ِّ‬ ‫‪SHIFT‬‬

‫تدريب (‪)5-2‬‬ ‫�أوجد قيمة‬

‫�إذا علمت � َّأن‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪87‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫تمـاريـن ( ‪) 3-2‬‬ ‫‪1‬‬

‫بدون ا�سـتخدام الآلة الحا�سـبة‪� ،‬أثبت � ّأن ‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬

‫‪2‬‬

‫و‬

‫�أوجد القيمة العدد َّية لكلٍّ ِم َّما يلي ( بدون ا�سـتخدام الآلة الحا�سـبة )‬

‫د‬ ‫هـ‬

‫‪3‬‬

‫‪88‬‬

‫�إذا كانت‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫�صحة ما يلي ( بدون ا�سـتخدام الآلة الحا�سـبة )‪.‬‬ ‫ف�أثبت َّ‬


‫الن�سب المثلثية والآالت الحا�سبة‬

‫‪4‬‬

‫مقر ًبا الناتج �إلى � ِ‬ ‫أرقام ع�شـر َّي ٍة‪:‬‬ ‫أربعة � ٍ‬ ‫�أكمل الجدول الآتي ِّ‬ ‫الن�سبة‬

‫الزاوية‬

‫َّثم �أكمل ما ي�أتي ‪:‬‬ ‫تزداد قيمة ٍّ‬ ‫كل من جيب الزاوية‪...........،‬ك َّلما زاد قيا�س الزاوية‪.‬‬ ‫تتناقـ ـ ــ�ص قيم ـ ــة ‪ .....................‬ك َّلم ــا زاد قي ــا�س ال ــزاوية‪.‬‬ ‫‪� 5‬أوجد قيمة كلِّ مقدار فيما يلي با�سـتخدام الحا�سـبة‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬ ‫و‬ ‫ز‬

‫ً‬ ‫ً‬ ‫خاطئة‬ ‫�صائبة و�أ ُّيها‬ ‫‪ 6‬ا�سـتنادًا �إلى نتائج الفقرات الواردة في التمرين (‪ )5‬ال�سـابق حدِّد �أ ًّيا من العبارات التالية‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪89‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫د‬ ‫‪� 7‬أوجد قيمة‬

‫في كلٍّ ِم َّما ي�أتي ‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬

‫و‬

‫ز‬

‫ح‬

‫ط‬

‫‪8‬‬

‫�إذا كان‬

‫‪9‬‬

‫�إذا كان‬

‫‪� 10‬إذا عل ْمت � َّأن‬ ‫‪� 11‬إذا كان‬

‫‪90‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫ف�أوجد ‪.‬‬ ‫فما قيمة ؟‬ ‫فما قيمة‬ ‫ف�أوجد قيمة‬

‫؟‬ ‫؟‬


‫حـ ُّـل المثلث القائم الزاويـة‬

‫‪4-2‬‬

‫ح ـ ـ ُّـل المث َّلــث القائـم الزاويــة‬ ‫ويق�ص ُد ِّ‬ ‫بحل المث َّلث �إيجاد‬ ‫نعلم � َّأن للمث َّلث �سـتة عنا�صر هي ثالثة � ٍ‬ ‫أ�ضالع و ثالث زوايا‪َ .‬‬ ‫العنا�ص���ر المجهول���ة با�سـتخ���دام العنا�صر المعلوم���ة‪ .‬و ُيح ُّل المث َّل���ث �إذا ُع ِل َم منه ثالثة‬ ‫�ضلع على‬ ‫عنا�ص���ر م���ن العنا�صر ال�سـتة ب�شـرط �أن يكون من بين العنا�صر المعلومة طول ٍ‬ ‫ال ِّ‬ ‫أقل؛ لأ نَّه ال يمكن ح ُّل المث َّلث �إذا ُع ِل َم منه قيا�سـات ثالث زوايا ( لماذا ؟ )‪.‬‬ ‫وحي���ث � َّإن درا�سـتن���ا قا�ص���ر ٌة على المث َّل���ث القائم الزاوي���ة‪ ،‬فتُع ُّد الزاوي���ة القائمة �أحد‬ ‫العنا�صر المعلومة وبنا ًء على ذلك ف�إنَّه يمكن ح ُّل المث َّلث القائم الزاوية في حالتين‪:‬‬ ‫ٍ‬ ‫زاوية‪.‬‬ ‫�ضلع وقيا�س‬ ‫�أ َّو ًال‪� -‬إذا ُع ِل َم من المثلَّث طول ٍ‬ ‫وتكون العنا�صر المجهولة في هذه الحالة هي قيا�س زاويته الثالثة وطوال �ضلعي ِه الآخرين‪.‬‬ ‫ثان ًيا‪� -‬إذا ُع ِل َم من المثلَّث طوال �ضلعين‪.‬‬ ‫وتكون العنا�صر المجهولة في هذه الحالة هي طول �ضلعه الثالث وقيا�س زاويتيه الحا َّدتين‪.‬‬

‫الحالة الأولى‪ُّ -‬‬ ‫حل المث َّلث القائم الزاوية �إذا ُعلم منه طول �ضل ٍع وقيا�س زاوي ٍة ‪:‬‬ ‫مثال (‪)25-2‬‬ ‫حل المث َّلث‬

‫القائم الزاوية في‬

‫�إذا كان‬ ‫�سم‪.‬‬

‫‪،‬‬

‫الحل‬

‫ِّ‬ ‫لحل المث َّلث نوجد عنا�صره المجهولة‪ُ ،‬انظر ال�شـكل ( ‪ ) 19-2‬وهي ‪:‬‬ ‫�سم‬

‫‪ 1‬بِما � َّأن الزاويتين‬

‫متتا َّمتان‬

‫�شـكل ( ‪) 19-2‬‬

‫‪2‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪91‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫‪3‬‬

‫الحالة الثانية‪ُّ -‬‬ ‫حل المث َّلث القائم الزاوية �إذا ُع ِل َم منه طوال �ضلعين‬ ‫مثال (‪)26-2‬‬ ‫حل المث َّلث �س �ص ع القائم الزاوية في �ص والذي فيه �س �ص =‪� 8.5‬سم ‪� ،‬س ع = ‪� 10‬سم‪.‬‬

‫الحل‬ ‫العنا�صر المجهولة هي‬

‫المقابل‬ ‫الوتر‬

‫‪1‬‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬

‫‪ُ ،‬انظر ال�شـكل ( ‪) 20-2‬‬ ‫‪� 10‬سم‬

‫؟‬ ‫‪� 8.5‬سم‬ ‫�شـكل ( ‪)20-2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫المجاور‬ ‫الوتر‬

‫�سم‪.‬‬

‫‪92‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫حـ ُّـل المثلث القائم الزاويـة‬

‫تطبيقات عمل َّية على ح ِّل المث َّلث القائم‬ ‫من التطبيقات العمل َّية على ِّ‬ ‫حل المث َّلث القائم ح�سـاب ارتفاعات بع�ض‬ ‫الأج�سـ���ام وكذلك ح�سـاب الأبعاد بين الأج�سـام وذلك عندما نتم َّكن‬ ‫خا�صة متع ِّلقة بـها تُ�سـ َّمى في كثيرٍ من الحاالت زوايا‬ ‫من قيا�س زوايا َّ‬ ‫خا�ص‬ ‫ارتفاع �أو زوايا انخفا�ض‪ .‬وي�سـتخدم لقيا�س هذه الزوايا جها ٌز ٌّ‬ ‫ُي�سـ َّمى جهاز ( الثيودوليت )‪ُ .‬انظر �شـكل (‪)21-2‬‬

‫�شـكل (‪)21-2‬‬

‫زاويـة االرتفـاع وزاويـة االنخفــا�ض‬

‫�إذا نظر را�ص ٌد من نقطة �إلى ج�س ٍـم ما عند نقطة جـ‬ ‫أفقي للرا�صد وكانت‬ ‫غير منتمي ٍة �إل���ى م�سـتوى النظر ال ِّ‬ ‫أفقي ف� َّإن‪:‬‬ ‫النقطة ب واقع ٌة في م�سـتوى النظر ال ِّ‬ ‫[ جـ ُي�سـ َّمى �شـعاع ر�صد الج�سـم �أو �شـعاع الر�صد‪،‬‬ ‫أفقي‪،‬‬ ‫[ ب ُي�سـ َّمى �شـعاع النظر ال ِّ‬ ‫أفقي �أو ال�شـعاع ال ُّ‬ ‫���ي كما في‬ ‫و�إذا كان���ت ج���ـ �أعل���ى م�سـت���وي النظر الأفق ِّ‬ ‫ال�شـكل ( ‪ ) 22-2‬ف� َّإن ب جـ هي الزاوية الحا�صلة‬ ‫بي���ن [ ج���ـ ‪ [ ،‬ب �أي ( بي���ن �شـع���اع ر�ص���د‬ ‫أفقي ) تُ�سـ َّمى زاوية ارتفاع جـ‬ ‫الج�س���م و�شـعاع النظر ال ِّ‬ ‫بالن�سـبة �إلى ‪.‬‬ ‫أفقي كما في‬ ‫�أ َّما �إذا كانت جـ �أ�سـفل م�سـتوى النظر ال ِّ‬ ‫ال�شـ���كل ( ‪ ) 23-2‬ف����إنَّ ب جـ تُ�سـ َّمى زاوية انخفا�ض‬ ‫بالن�سـبة �إلى ‪.‬‬

‫�شعاع الر�صد‬ ‫زاوية االرتفاع‬ ‫ال�شعاع الأفقي‬

‫الرا�صد‬

‫�شـكل ( ‪) 22-2‬‬

‫ال�شعاع الأفقي‬ ‫زاوية االنخفا�ض‬

‫الرا�صد‬

‫�شعاع الر�صد‬ ‫�شـكل ( ‪)23-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪93‬‬


‫الوحدة الثانية‬ ‫وعلى �سـبيل المثال‪:‬‬ ‫ـخ�ص من نقط ٍة في م�سـتوى قاعدة مئذن ٍة �إلى ق َّمة‬ ‫�إذا نظ���ر �ش ٌ‬ ‫المئذن���ة كما في ال�شـكل ( ‪ ،) 24-2‬ف� َّإن الزاوية الحا�صلة بين‬ ‫ن�ص���ف الم�ستقيم البادئ من العي���ن �إلى ق َّمة المئذنة ( �شـعاع‬ ‫ر�ص���د ق َّمة المئذنة )‪ ،‬ون�صف الم�سـتقي���م البــادئ من العي ــن‬ ‫أفقي ) تُ�سـ َّمى زاوية ارتفاع‬ ‫�إلــى قاع���دة المئذن ــة ( ال�شـعاع ال ِّ‬ ‫ق َّمة المئذنة‪ ،‬واخت�صا ًرا زاوية ارتفاع المئذنة‪.‬‬ ‫برج �إلى ٍ‬ ‫قارب على �سطح البحر‬ ‫ـخ�ص من فوق ٍ‬ ‫�أ َّما �إذا نظر �ش ٌ‬ ‫وفي م�ستوى قاعدة البرج كما في ال�شـكل( ‪) 25-2‬‬ ‫أفقي‬ ‫ف� َّإن الزاوية الحا�صلة بين �شـعاع ر�صد القارب وال�شـعاع ال ِّ‬ ‫تُ�سـ َّمى زاوية انخفا�ض القارب‪.‬‬

‫�شعاع الر�صد‬

‫زاوية االرتفاع‬ ‫ال�شعاع �أفقي‬

‫�شـكل (‪)24-2‬‬

‫زاوية االنخفا�ض‬ ‫�شعاع الر�صد‬ ‫�شـكل (‪)25-2‬‬

‫(‪)1-2‬‬ ‫‪� 1‬إذا كان هو قيا�س زاوية ارتفاع بالن�سـبة �إلى‬ ‫وكان هو قيا�س زاوية انخفا�ض بالن�سـبة �إلـى‬ ‫كما في ال�شـكل ( ‪ ) 26-2‬ف� َّإن‬ ‫ل َّأن الزاويتين متبادلتان‬ ‫فمث ًال في ال�شـكل ( ‪ ) 25-2‬زاوية انخفا�ض القارب بالن�سـبة‬ ‫�إلى ق َّمة البرج ت�سـاوي زاوية ارتفاع البرج بالن�سـبة �إلى‬ ‫القارب‪.‬‬ ‫‪ 2‬الزاوي���ة الت���ي ت�صنعها الأ�شـع���ة المتوازي���ة لل�شـم�س مع‬ ‫أفقي الما ِّر بنقط ٍة ما في وقت مع َّينٍ تُ�سـ َّمى‬ ‫الم�سـت���وي ال ِّ‬ ‫زاوية ارتفاع ال�شـم�س‪.‬‬

‫‪94‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫المئذنة‬

‫�شعاع �أفقي‬

‫�شعاع �أفقي‬ ‫�شـكل (‪)26-2‬‬

‫البرج‬


‫حـ ُّـل المثلث القائم الزاويـة‬

‫مثال (‪)27-2‬‬ ‫من نقطة ‪ ،‬تبعد عن قاعدة مئذن ٍة ‪ 75‬مت ًرا‪ ،‬نجد �أ َّن زاوية ارتفاع ق َّمتها ‪ .522‬فما ارتفاع المئذنة ؟‬

‫الحل‬

‫نفر�ض � َّأن ارتفاع المئذنة هو‬ ‫ُانظر �شكل ( ‪) 27-2‬‬ ‫المقابل‬ ‫المجاور‬

‫قمة المئذنة‬

‫‪،‬‬

‫القاعدة‬

‫�شـكل (‪)27-2‬‬

‫� ًإذا ارتفاع المئذنة‬

‫م‬

‫( با�سـتخدام الحا�سـبة والتقريب لأربعة �أرقام ع�شـر َّية )‬ ‫( بالتقريب لرقمين ع�شـر َّيين )‬

‫مثال (‪)28-2‬‬ ‫مبنى يرتفع عن �سـطح الأر�ض ‪ 98‬مت ًرا‪ ،‬عند ال�صعود �إلى �سـطح المبنى والنظر �إلى الج َّهة الأخرى من‬ ‫ال�شـارع وجد �أ َّن زاوية االنخفا�ض ‪ .568 َ 10‬فما عر�ض ال�شـارع ؟‬

‫الحل‬

‫المقابل‬ ‫المجاور‬

‫المبنى‬

‫هو عر�ض ال�شـارع‪ُ ،‬انظر �شـكل ( ‪) 28-2‬‬ ‫نفر�ض � َّأن‬ ‫بما � َّأن زاوية انخفا�ض بالن�سـبة �إلى ت�سـاوي زاوية ارتفاع‬ ‫بالن�سـبة �إلى‬ ‫‪:‬‬ ‫� ًإذا في المث َّلث‬

‫م‬

‫عر�ض ال�شارع‬ ‫�شـكل (‪)28-2‬‬

‫م‬ ‫� ًإذا عر�ض ال�شـارع‬ ‫( ال حظ �أ نَّه يمكننا �إيجاد عر�ض ال�شـارع بح�سـاب ِّ‬ ‫ظل الزاوية المت ِّممة لزاوية االنخفا�ض )‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪95‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫مثال (‪)29-2‬‬ ‫أر�ض �أفقي ٍة في ٍ‬ ‫�إذا كان ارتفاع نخل ٍة ر�أ�سـ َّي ٍة ي�سـاوي ‪20‬مت ًرا وكان طول ظ ِّلها على � ٍ‬ ‫وقت ما‬ ‫ي�سـاوي ‪ 12‬مت ًرا‪ .‬فما زاوية ارتفاع ال�شـم�س في هذا الوقت ؟‬

‫الحل‬

‫‪ ،‬طول ِّ‬ ‫ظل النخلة‬ ‫نفر�ض � َّأن ارتفاع النخلة‬ ‫فيكون المطلوب �إيجاد زاوية ارتفاع ال�شـم�س وهي ‪،‬‬ ‫ُانظر �شـكل ( ‪.) 29-2‬‬

‫�‬

‫شعاع‬

‫ال�ش‬

‫م�س‬

‫� ًإذا‬

‫‪ 20‬م‬

‫‪ 12‬م‬ ‫ظل النخلة‬ ‫�شـكل (‪)29-2‬‬

‫تدريب (‪)6-2‬‬ ‫في المثال ال�سـابق كم يكون طول ِّ‬ ‫ظل النخلة على الأر�ض �إذا كانت زاوية ارتفاع ال�شـم�س‬

‫‪96‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪.‬‬


‫حـ ُّـل المثلث القائم الزاويـة‬

‫مثال (‪)30-2‬‬ ‫ُ�سـ َّلم طوله �أمتار يرتكز على ٍ‬ ‫حائط ر�أ�س ٍّـي بحيث يميل على �أر�ض �أفق َّي ٍة بزاوي ٍة قيا�سـها‬ ‫�أوجد ُبعد ٍّ‬ ‫ال�سـ َّلم على الحائط والأر�ض عن نقطة تالقي الحائط والأر�ض‪.‬‬ ‫كل من نقطتي ارتكاز ُ‬

‫‪،‬‬

‫الحل‬

‫‪،‬‬ ‫ال�سـ َّلم‬ ‫نفر�ض � َّأن طول ُ‬ ‫ال�س َّلم على الحائط عن نقطة تالقي الحائط والأر�ض‬ ‫ُبعد نقطة ارتكاز ُ‬ ‫ال�س َّلم على الأر�ض عن نقطة تالقي الحائط والأر�ض‬ ‫ُبعد نقطة ارتكاز ُ‬ ‫ُانظر �شـكل ( ‪.) 30-2‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪1‬‬

‫م‬ ‫الحائط‬

‫الأر�ض‬

‫�شـكل ( ‪) 30-2‬‬

‫‪2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪97‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫تمـاريـن ( ‪) 4-2‬‬ ‫‪1‬‬

‫ِّ‬ ‫حل المث َّلث‬

‫القائم الزاوية في ‪ ،‬والذي فيه‬

‫�سم ‪،‬‬

‫‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫ِّ‬ ‫حل المث َّلث‬

‫عندما يكون‬

‫�سم ‪،‬‬

‫‪.‬‬

‫القائم الزاوية في‬

‫‪3‬‬

‫مثلث قائم الزاوية في ‪� ،‬إذا كان‬ ‫‪.‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪4‬‬

‫مث َّلث قائم الزاوية في‬ ‫‪.‬‬ ‫‪،‬‬

‫�سم ‪� ،‬أوجد ك ًال من‬

‫‪،‬‬

‫وفيه‬

‫‪� .‬أوجد ك ًّال من‬

‫�سم ‪،‬‬

‫‪5‬‬

‫ِّ‬ ‫حل المث َّلث‬

‫القائم الزاوية في‬

‫�إذا كان‬

‫�سم ‪،‬‬

‫‪6‬‬

‫ِّ‬ ‫حل المث َّلث‬

‫القائم الزاوية في‬

‫�إذا كان‬

‫�سم ‪،‬‬

‫‪7‬‬

‫ِّ‬ ‫حل المث َّلث‬

‫القائم الزاوية في ‪ ،‬والذي فيه‬

‫�سم ‪،‬‬

‫�سم‪.‬‬ ‫�سم‬ ‫�سم‬

‫‪�ُ 8‬سـ َّل���م طو ُله ‪� 4‬أمتار يرتك���ز على �أر�ض �أفق َّي ٍة ب�أحد طرفيه ويرتكز بطرف���ه الآخر على ٍ‬ ‫حائط ر�أ�س ٍّـي‪،‬‬ ‫‪� .‬أوجد ُبعد ٍّ‬ ‫ِ‬ ‫كل من نقطتي االرتكاز‬ ‫قيا�سـها‬ ‫ال�سـ َّل���م يمي���ل على‬ ‫الحائط بزاوي ٍة ُ‬ ‫ف����إذا كان ُّ‬ ‫عن نقطة تالقي الحائط بالأر�ض‪.‬‬ ‫‪� 9‬إذا كان ط���ول ظ ِّ‬ ‫���ل نخل ٍة ر�أ�سـ َّي ٍة على �أر�ض �أفقية ي�سـاوي ‪ 40.4‬م عندما كانت زاوية ارتفاع ال�شم�س‬ ‫فما ارتفاع النخلة ؟‬ ‫‪ 10‬من نقطة تب ُعد عن قاعدة مئذن ٍة‬

‫‪98‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫مت ًرا‪ ،‬وجدنا � َّأن زاوية ارتفاع ِق َّمتها‬

‫‪ .‬فما ارتفاع المئذنة؟‬


‫حـ ُّـل المثلث القائم الزاويـة‬ ‫‪ُ 11‬ر ِ�ص َدت زاوية انخفا�ض ٍ‬ ‫ارتفاعه‬ ‫قارب من ق َّمة برج‬ ‫ُ‬ ‫ُبعد القارب عن قاعدة البرج‪.‬‬

‫�أوجد‬

‫قيا�سـها‬ ‫مت ًرا عن �سطح البحر فكان ُ‬

‫م�سـا ٌح من �سـطح منزلٍ � َّأن زاوية ارتفاع ق َّمة �شـجر ٍة با�سـق ٍة ‪ ،‬وزاوية انخفا�ض قاعد ِتها‬ ‫َ‬ ‫وجد َّ‬ ‫‪12‬‬ ‫البع ُد بين المنزل وال�شـجرة مت ًرا‪ .‬فما ارتفاع ٍّ‬ ‫كل من المنزل وال�شـجرة ؟‬

‫‪ .‬ف�إذا كان‬

‫ارتفاعه مت ًرا‪ ،‬ر�صد رج ٌل قريتين واقعتين في جهتين مختلفتين من البرج وعلى ا�سـتقامة‬ ‫برج‬ ‫ُ‬ ‫‪ 13‬من ق َّمة ٍ‬ ‫على الترتيب‪ ،‬فما هو البع ُد بين القريتين؟‬ ‫‪،‬‬ ‫قاعدته‪ ،‬فوجد � َّأن زاويتي االنخفا�ض‬ ‫ِ‬ ‫ارتفاعها‬ ‫ر�صد رج ٌل مئذن ًة من نقط ٍة على �سـطح الأر�ض فوجد � َّأن زاوية‬ ‫َ‬ ‫‪14‬‬ ‫المئذنة على ِّ‬ ‫ِ‬ ‫ارتفاعها‬ ‫الخط الم�سـتقيم الوا�صل بينهما وجد � َّأن زاوية‬ ‫فاح�سب طول الم�سـافة التي قطعها الرجل‪.‬‬ ‫‪ 12‬مت ًرا‪ُ ،‬‬

‫‪ ،‬و َل َّما تق َّدم الرجل نحو‬ ‫‪ .‬ف�إذا كان ارتفاع المئذنة‬

‫أفقي الما ِّر بقاعدة ِّ‬ ‫التل وجد � َّأن زاويتي ارتفاع‬ ‫علم‬ ‫ُ‬ ‫‪� 15‬سـارية ٍ‬ ‫ارتفاعها �أمتار فوق ٍّتل‪ ،‬ومن نقط ٍة في الم�سـتوي ال ِّ‬ ‫فاح�سب ارتفاع ِّ‬ ‫التل عن �سـطح الأر�ض‪.‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ق َّمة ال�سـارية وقاعدتـها‬ ‫على الترتيب‪ُ .‬‬ ‫يقع عمود بين نقطتين تب ُعدان عن ِ‬ ‫متر‪ ،‬من النقطة اليمنى وجد � َّأن زاوية ارتفاع ق َّمة العمود‬ ‫بع�ضهما‬ ‫‪16‬‬ ‫النقطة الي�سـرى وجد � َّأن زاوية ارتفاعه ‪ .‬فما ارتفاع هذا العمود ؟‬

‫‪17‬‬

‫‪،‬‬

‫‪ .‬ومن‬

‫نقطتان على �شـاطئ نـهرٍ ‪ ،‬والم�سـافة بينهما مت ًرا‪ ،‬نقط ٌة على ال�شـاطئ الآخـر‪،‬‬ ‫‪ .‬فما عر�ض النهر؟‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪99‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫‪5-2‬‬

‫القيــا�س الدائـ ــري للزواي ـ ــا‬ ‫تع َّرفن���ا على النظام ال�ستيني لقيا�س الزوايا وا�ستخدمنا الدرجة كوحدة لقيا�س‬ ‫الزوايا في هذا النظام‪.‬‬ ‫وف���ي هذا الدر�س نتع َّرف نظام ًا �آخر لقيا�س الزواي���ا ُي�سمى القيا�س الدائري �أو‬ ‫التقدير الدائري‪.‬‬

‫وحدة القيا�س الدائري للزوايا‬ ‫نعل���م �أنَّه في الدائ���رة الواحدة �إذا تطابق قو�س���ان ت�ساوت الزاويت���ان المركزيتان المقابلتان‬ ‫لهما‪ ،‬وعليه ف�إنَّه كلما كبر قو�س ( �أو �صغر ) كبرت الزاوية المركزية ( �أو �صغرت ) بالن�سبة‬ ‫(دورة كاملة) ؛ ف�إنه‬ ‫نف�سه���ا‪ .‬وحي���ث � َّأن قيا�س الزاوية المركزية المقابلة للدائرة هو‬ ‫في الدائرة ( ‪ ) ،‬يكون‪:‬‬ ‫لأي زاوية مركزية‬

‫وبفر�ض � َّأن الزاوية‬

‫طول القو�س المقابل للزاوية‬ ‫محيط الدائرة‬ ‫قو�سا طوله كما في ال�شكل ( ‪ ) 31-2‬نح�صل على‪:‬‬ ‫تقابل ً‬

‫�شـكل ( ‪)31-2‬‬

‫‪100‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫القيا�س الدائري للزواي ــا‬ ‫وحيث �أن ك ًال من الب�سط والمقام مقدار ثابت ال يتوقف على طول ن�صف قطر الدائرة التي ُر�سمت فيها‬ ‫مقدا ًرا ثابتًا‬ ‫ن�ستنتج � َّأن‬ ‫الزاوية‬ ‫لذا ف�إنَّه يمكن اتخاذ قيا�س هذه الزاوية وحدة لما ي�س َّمى بالقيا�س الدائري للزوايا و ُي�س َّمى بالراديان ومن‬ ‫هنا ن�ستخل�ص التعريف التالي‪:‬‬

‫تعريف ( ‪)4 -2‬‬ ‫الراديان ( وحدة القيا�س الدائري للزوايا ) هو‪:‬‬ ‫قيا�س زاوية مركزية تقابل قو�س ًا من دائرة طوله م�سا ٍو لطول ن�صف قطر تلك الدائرة‪.‬‬ ‫ويمكننا الح�صول على القيا�س ال�ستيني لزاوية قيا�سها ‪ 1‬راديان با�ستخدام الآلة الحا�سبة �إذ يوجد فيها‬ ‫فبا�ستخدام‬ ‫مفتاح مكتوب �أعاله الرمز والذي يقر�أ (باي) ويعني ط‪ ،‬وحيث �أن الراديان‬ ‫مفاتيح الآلة وفق التتابع التالي‪:‬‬ ‫‪SHIFT‬‬

‫فيظهر على ال�شـا�شة‬ ‫فيكون الراديان‬

‫العالقة بين القيا�س ال�ستيني والدائري للزاوية‬ ‫بما � َّأن الراديان‬ ‫� ًإذا راديان‬ ‫ف�إذا كان قيا�س زاوي ٍة ما بالقيا�س الدائري راديان وبالقيا�س ال�ستيني‬

‫ف� َّإن‬

‫وعليه ف� َّإن‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫راديان‬

‫‪2‬‬

‫وبالعك�س‬

‫�أي �أنَّ���ه لتحوي���ل قيا����س زاوية معلوم���ة من تقدير �ستيني �إلى تقدير دائري ن�ضرب ف���ي‬ ‫لتحويل قيا�س زاوية ما من تقدير دائري �إلى تقدير �ستيني ن�ضرب في‬ ‫وتج���در الإ�ش���ارة هن���ا �إلى �أنه عن���د ا�ستعمال الحرف للدالل���ة على الزاوية ف�إنن���ا نفتر�ض �أن الوحدة‬ ‫الم�ستعملة في قيا�س هذه الزاوية هي الراديان ‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪101‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫مثال (‪)31-2‬‬ ‫�أوجد القيا�س الدائري للزوايا التي قيا�ساتـها‪:‬‬

‫الحل‬

‫(‪)1-2‬‬ ‫�إذا كان قيا����س الزاوية بالدرجات ال�صحيحة كما في المثال ال�سابق‪ ،‬ف�إنَّنا نكتفي بالتعبير عن‬ ‫القيا�س الدائري لها بداللة ط ‪.‬‬ ‫نو�ضح كيفية ا�ستخدام الآلة الحا�سبة لإيجاد القيا�س الدائري لزاوية معطاة‪.‬‬ ‫وفيما يلي ِّ‬

‫مثال (‪)32-2‬‬ ‫�أوجد القيا�س الدائري ٍّ‬ ‫لكل من الزاويتين ‪:‬‬

‫الحل‬ ‫ن�ستخدم الآلة الحا�سبة وفق التتابع التالي‪:‬‬ ‫‪SHIFT‬‬

‫فيظهر على ال�شـا�شة‬ ‫ويكون‬

‫‪102‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫راديان‬


‫القيا�س الدائري للزواي ــا‬

‫ن�ستخدم الآلة وفق التتابع التالي‪:‬‬ ‫‪SHIFT‬‬

‫راديان‬

‫ويكون‬

‫تدريب (‪)7-2‬‬ ‫�أوجد با�ستخدام الآلة الحا�سبة التقدير الدائري ٍّ‬ ‫لكل من الزوايا التالية‪:‬‬ ‫( تحقَّق من الإجابة بالعودة �إلى حل فقرة ب من المثال ال�سابق )‬

‫مثال (‪)33-2‬‬ ‫ح ِّول القيا�سات الدائرية الآتية �إلى قيا�س �ستيني‪:‬‬ ‫راديان‬

‫الحل‬

‫راديان‬ ‫وبا�ستخدام الآلة الحا�سبة على النحو التالي‪:‬‬

‫‪SHIFT‬‬

‫فيظهر على ال�شـا�شة‬ ‫فيكون راديان‬ ‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪103‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫تدريب (‪)8-2‬‬ ‫يو�ضح القيا�س الدائري وال�ستيني لبع�ض الزوايا التي يكثر ا�ستعمالـها‬ ‫الجدول التالي ِّ‬ ‫الزاوية بالدرجات‬ ‫الزاوية بالرديان‬

‫تحقَّق من �صحة كل قيا�س دائري مقابل لقيا�س �ستيني معطى في هذا الجدول ‪.‬‬

‫طول قو�س دائرة‬ ‫عرفنا �أن الزاوية المركزية التي قيا�سها راديان ًا واحد ًا في الدائرة ( ‪ ) ،‬تقابل قو�س ًا من الدائرة‬ ‫طوله ؛ وعليه ف�إن الزاوية المركزية التي قيا�سها راديان في هذه الدائرة تقابل قو�س ًا من الدائرة‬ ‫انظر �شكل ( ‪) 32 – 2‬‬ ‫طوله‬ ‫راديان‬

‫‪ 1‬راديان‬

‫طول القو�س =‬

‫�شـكل ( ‪)32-2‬‬

‫وحدة‬

‫طول القو�س =‬

‫وبهذا نكون قد ا�ستنتجنا قانون ًا لح�ساب طول قو�س في دائرة ( ‪،‬‬ ‫راديان وهو‪:‬‬ ‫( ‪) 7-2‬‬

‫وحدة‬

‫) يقابل زاوية مركزية قيا�سها‬

‫نتيجة (‪)1-2‬‬ ‫القيا�س الدائري لزاوية مركزية مقابلة لقو�س طوله ل في دائرة طول ن�صف قطرها‬ ‫الحقيقي‬

‫‪104‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫هو العدد‬


‫القيا�س الدائري للزواي ــا‬

‫مثال (‪)34-2‬‬ ‫اح�سب طول القو�س المقابل لزاوية مركزية قيا�سها ‪ 1.4‬راديانًا في دائرة طول ن�صف قطرها ‪� 5‬سم‪.‬‬

‫الحل‬

‫�سم‪.‬‬

‫مثال (‪)35-2‬‬ ‫�أوجد بالتقدير ال�ستيني قيا�س زاوية مركزية تقابل قو�ساً طوله ‪ 6‬ط �سم من محيط دائرة طول‬ ‫ن�صف قطرها ‪� 8‬سم ‪.‬‬

‫الحل‬ ‫راديا ًنا‬ ‫بالتقدير ال�ستيني‬

‫مثال (‪)36-2‬‬ ‫كم تبلغ الم�سافة التي تقطعها نقطة على طرف عقرب الدقائق خالل خم�س دقائق‪� ،‬إذا كان طول‬ ‫)‪.‬‬ ‫هذا العقرب �سم‪( .‬‬

‫الحل‬

‫يدور عقرب الدقائق دورة كاملة خالل �ساعة واحدة ( �أي ‪ 60‬دقيقة زمنية ) ‪.‬‬ ‫وعليه ف�إن الزاوية التي ي�صنعها خالل خم�س دقائق هي ‪:‬‬ ‫راديا ًنا‬ ‫�إذ ًا‬

‫�سم‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪105‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫م�ســاحة القط ــاع الدائـ ــري‬ ‫�سبق لنا التعرف على مفهوم القطاع الدائري بالن�سبة لدائرة معلومة‪ ،‬فالقطاع الدائري هو جزء من‬ ‫�سطح دائرة مح�صور بين قو�س ون�صفي قطرين ما َّرين بنهايتي ذلك القو�س‪ -‬انظر �شكل ( ‪.) 33-2‬‬ ‫تُ�س َّمى الزاوية المركزية المح�صورة بين ن�صفي القطرين والتي تقابل قو�س القطاع بزاوية القطاع‪،‬‬ ‫‪.‬‬ ‫المظلل في ال�شكل ( ‪ ) 33–2‬هي‬ ‫فزاوية القطاع‬ ‫الحظ في ال�شكل ( ‪َّ � ) 33-2‬أن الدائرة تنق�سم �إلى قطاعين دائريين ‪:‬‬ ‫الأ َّول‪ :‬قطاع دائري �أ�صغر يمثله الجزء المظلل ‪.‬‬ ‫والثاني‪ :‬قطاع دائري �أكبر يمثله الجزء المتبقي من الدائرة غير المظلل ‪.‬‬ ‫�شـكل ( ‪)33-2‬‬

‫ولإيجاد م�ساحة القطاع الدائري نق�سم �سطح الدائرة �إلى قطاعات دائرية متطابقة عددها ‪360‬قطاع ـ ـ ًا‬ ‫من‬ ‫دائري ًا‪ ،‬فتكون زاوية كل قطاع هي وبذلك تكون م�ساحة القطاع الذي زاويته هي‬ ‫م�ساحة الدائرة ‪.‬‬ ‫م�ساحة القطاع الذي زاويته‬ ‫م�ساحة القطاع الذي زاويته‬ ‫‪ ،‬حيث هو التقدير الدائري للزاوية التي قيا�سها‬

‫وبما � َّأن‬

‫� ًإذا م�ساحة القطاع الذي زاويته راديا ًنا‬ ‫وبهذا نكون قد ا�ستنتجنا قانون ًا لح�ساب م�ساحة القطاع الدائري الذي زاويته راديان ًا في دائرة ( ‪) ،‬‬ ‫وهو‪:‬‬ ‫م�ساحة القطاع الدائري‬

‫( ‪) 8-2‬‬

‫وعلى �ضوء هذه القاعدة وبالإفـادة من النتيجة ( ‪ ) 1 - 2‬نتو�صل �إلى النتيجة التالية ‪:‬‬

‫نتيجة (‪)2-2‬‬ ‫في الدائرة ( ‪ ) ،‬م�ساحة القطاع الدائري الذي طول قو�سه ت�ساوي‬

‫‪106‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫القيا�س الدائري للزواي ــا‬

‫مثال (‪)37-2‬‬

‫وطول ن�صف قطر دائرته‬

‫اح�سب م�ساحة القطاع الدائري الذي قيا�س زاويته‬ ‫)‬ ‫(حيث‬

‫�سم‬

‫الحل‬

‫قيا�س زاوية القطاع بالراديان‬ ‫�إذ ًا م�ساحة القطاع الدائري‬ ‫�سم‪2‬‬

‫مثال (‪)38-2‬‬ ‫�أوجد طول قو�س قطاع دائري م�ساحته ‪� 125‬سم‪ 2‬مر�سوم داخل دائرة ( م ‪� 10 ،‬سم )‬

‫الحل‬

‫م�ساحة القطاع الدائري‬

‫�سم‬

‫تدريب (‪)9-2‬‬ ‫اح�سب م�ساحة القطاع الدائري الذي قيا�س زاويته ‪ 5135‬وطول قطر دائرته ‪� 8‬سم‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪107‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫تمـاريـن ( ‪) 5-2‬‬ ‫‪1‬‬

‫ح ِّول القيا�سات الآتية �إلى تقدير دائري ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫ح ِّول القيا�سات الآتية �إلى قيا�س �ستيني ‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫زاوية مركزية هـ في دائرة طول ن�صف قطرها‬ ‫الآتية‪:‬‬ ‫�سم ‪،‬‬

‫هـ‬

‫د‬

‫د‬

‫هـ‬

‫راديان‬

‫و‬

‫راديان‬

‫تح�صر قو�ساً طوله ل ‪� ،‬أوجد طول القو�س في الحاالت‬ ‫�سم ‪،‬‬

‫راديان‬

‫�سم ‪،‬‬

‫‪4‬‬

‫و‬

‫زاوية مركزية في دائرة طول ن�صف قطرها ‪ ،‬تح�صر قو�ساً طوله ل ‪� ،‬أوجد ك ً‬ ‫ال من القيا�سين الدائري‬ ‫وال�ستينـي لهذه الزاوية في الحاالت الآتية‪:‬‬ ‫�سم ‪،‬‬ ‫�سم ‪،‬‬

‫�سم‬

‫�سم ‪،‬‬

‫�سم‬

‫�سم‬

‫قو�سا طوله‪�22‬سم في دائر ٍة طول ن�صف قطرها ‪� 5‬سم‪.‬‬ ‫‪� 5‬أوجد القيا�س الدائري وال�ستيني لزاوية مركزية تقابل ً‬

‫‪108‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫القيا�س الدائري للزواي ــا‬

‫‪ 6‬قو�س في دائرة طوله‬ ‫)‪.‬‬ ‫(‬

‫�سم ويقابل زاوية مركزية قيا�سها‬

‫‪ ،‬فما طول ن�صف قطر الدائرة‬

‫‪ 7‬في ٍّ‬ ‫كل من التمرينين (‪ )3‬و(‪ )4‬اح�سب م�ساحة القطاع الدائري ‪.‬‬ ‫‪ 8‬قطاع دائري م�ساحته‬ ‫بالتقدير ال�ستيني ‪.‬‬ ‫‪ 9‬قطاع دائري قيا�س زاويته‬

‫�سم‪ 2‬في دائرة طول ن�صف قطرها‬

‫وم�ساحته‬

‫‪� 10‬أوجد م�ساحة قطاع دائري في دائرة ( ‪،‬‬

‫�سم‪� ،‬أوجد قيا�س زاويته المركزية‬

‫م‪� ، 2‬أوجد طول قو�س القطاع ‪.‬‬

‫�سم ) �إذا كان محيط القطاع ي�ساوي‬

‫‪ 11‬بندول طوله �سم يت�أرجح طرفه على قو�س دائري طوله‬ ‫البندول ‪.‬‬

‫�سم ‪.‬‬

‫�سم ‪� ،‬أوجد قيا�س الزاوية التي يتذبذب خاللها‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪109‬‬


‫الوحدة الثانية‬

‫‪ 1‬عر�ضنا نبذ ًة ت�أريخي ًة للتعريف بف�ضل العلماء الم�سـلمين في ن�شـ�أة علم المث َّلثات وتطويره‪.‬‬ ‫‪ 2‬ع َّرفنا الن�سـب المث َّلث َّية الأ�سا�سـ َّية للزاوية الحا َّدة با�سـتعمال المث َّلث القائم الزاوية وهي‪:‬‬ ‫المقابل‬ ‫الوتر‬

‫المجاور‬ ‫الوتر‬

‫‪ 3‬ق َّدمنا طريقتين لإيجاد الن�سـب المث َّلث َّية لزاوي ٍة حا َّد ٍة‬

‫المقابل‬ ‫المجاور‬

‫مت �إحدى هذه الن�سـب‪.‬‬ ‫�إذا ُع ِل ْ‬

‫بر�سـ���م مث َّل ٍث قائ���م الزاوية �إحدى زاويتيه الحا َّدتي���ن وطوال �ضلعيه المتع ِّلقي���ن بالن�سـبة المث َّلث َّية‬ ‫المعلومة م�سـاويان لح َّديهما المناظرين لـهما َّثم با�سـتخدام نظرية فيثاغور�س‪.‬‬ ‫باال�سـتناد �إلى العالقتين الأ�سا�سـ َّيتين في ح�سـاب المث َّلثات‪.‬‬ ‫‪ 4‬ا�سـتنتجنا العالقة بين جيب وجيب تمام زاويتين متتا َّمتين وهي على �إحدى ال�صورتين التاليتين‪:‬‬

‫كما ا�سـتنتجنا العالقتين الأ�سا�سـ َّيتين في ح�سـاب المث َّلثات وهما‪:‬‬

‫‪110‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫با�سـتعمال مث َّل ٍث قائم الزاوية طول ٍّ‬ ‫كل من �ضلعي القائمة فيه‬ ‫‪� 5‬أوجدنا قي ًما دقيق ًة لن�سـب الزاوية‬ ‫با�سـتعمال المث َّلث الثالثينـي ال�ستينـي الذي ط ـ ــول وتَـره‬ ‫‪،‬‬ ‫وحدة طول‪ ،‬ولن�سـب الزاويتين‬ ‫وحدة طول‪.‬‬ ‫‪� 6‬شـرحنا كيف َّية �إيجاد قيم الن�سـب المث َّلث َّية للزوايا وكيف َّية �إيجاد قيم الزوايا التي ُع ِلمت �إحدى ن�سـبها المث َّلث َّية‬ ‫وذلك با�سـتخدام الآلة الحا�سـبة العلم َّية‪.‬‬

‫‪ 7‬ا�سـتنتجنا �أ نَّه يمكن ح ُّل المث َّلث القائم الزاوية في حالتين‪:‬‬ ‫�ضلع وقيا�س زاوي ٍة‪.‬‬ ‫�إذا ُع ِل َم منه طول ٍ‬ ‫�إذا ُع ِل َم منه طوال �ضلعين‪.‬‬ ‫الحل في ِّ‬ ‫و�ضحنا طريقة ِّ‬ ‫كل حال ٍة م�سـتخدمين في ذلك الآلة الحا�سـبة العلم َّية‪.‬‬ ‫ُث َّم َّ‬ ‫‪8‬‬

‫ٍ‬ ‫كتطبيقات عمل َّي ٍة على‬ ‫ق َّدمنا ح َّل بع�ض الم�سـائل الحيات َّية التي تت�ض َّمن زوايا االرتفاع وزوايا االنخفا�ض‬ ‫ِّ‬ ‫حل المث َّلث القائم الزاوية‪.‬‬

‫‪ 9‬ع َّرفنا الراديان ( وحدة قيا�س الزوايا بالتقدير الدائري )‪ ،‬وعرفنا �أنَّه للتحويل من تقدير �ستيني �إلى‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ،‬وللتحويل من تقدير دائري �إلى تقدير �ستيني ن�ضرب في‬ ‫تقدير دائري ن�ضرب في‬ ‫‪ 10‬ا�ستخدمنا الآلة الحا�سبة للتحويل من قيا�س زاوية بالدرجات �إلى قيا�س بالراديان‪ ،‬والعك�س‪.‬‬ ‫‪ 11‬في دائرة ( ‪،‬‬

‫) ‪ ،‬ا�ستنتجنا القوانين التالية‪:‬‬

‫حيث قيا�س الزاوية المركزية المقابلة للقو�س بالتقدير الدائري‪.‬‬ ‫طول القو�س‬ ‫حيث قيا�س زاوية القطاع بالتقدير الدائري‪.‬‬ ‫م�ساحة القطاع الدائري‬ ‫حيث طول قو�س القطاع‬ ‫م�ساحة القطاع الدائري‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪111‬‬


‫الوحدة الأولى‬

‫تمـاريـن عامة‬ ‫‪� 1‬ضع عالمة‬

‫�إذا كان‬ ‫�إذا كان‬

‫�أو عالمة‬

‫عن يمين ما يلي‪:‬‬

‫ف� َّإن‬

‫�إذا كان‬

‫‪،‬‬

‫ف� َّإن‬

‫�إذا كانت قيا�س زاوية قطاع دائري بالراديـ ـ ــان‬ ‫م�ساحة الدائرة‪.‬‬ ‫ف� َّإن م�ساحة القطاع‬

‫ف� َّإن‬

‫‪ٌّ � 2‬أي من العالقات التالية ممكن ٌة و�أ ُّيها م�سـتحيل ٌة مع ذكر ال�سـبب ( حيث جـ زاوي ٌة حا َّدة )‪.‬‬ ‫د‬ ‫‪ 3‬اختر الإجابة ال�صحيحة ٍّ‬ ‫لكل ِم َّما يلي‪:‬‬ ‫�إذا كان‬

‫‪112‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪،‬‬

‫ف�إن‬


‫د‬ ‫هـ‬

‫يدخل وقت �صالة الظهر عندما ت�صير زاوية ارتفاع ال�شـم�س م�ساوي ًة‬

‫‪ 4‬بدون ا�سـتخدام الآلة الحا�سـبة العلم َّية‪� ،‬أثبت �أنَّ‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬

‫و‬

‫‪� 5‬إذا كانت‬

‫بحيث‬

‫‪� 6‬إذا كانت‬

‫زاوي ًة حا َّدةً‪،‬‬

‫‪7‬‬

‫فيه‬

‫فما قيمة‬ ‫�سم ‪،‬‬

‫�أوجد الن�سـب المث َّلث َّية للزاوية‬ ‫‪� 8‬إذا كان‬

‫فما قيمة الزاوية‬

‫‪.‬‬

‫؟‬

‫؟‬ ‫�سم‬

‫‪.‬‬ ‫حيث زاوي ٌة حا َّدةٌ‪ ،‬ف�أوجد‪ -‬بدون ا�سـتخدام الآلة الحا�سـبة‪ -‬قيمة‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪113‬‬


‫الوحدة الأولى‬ ‫‪� 9‬إذا كانت ‪ ،‬زاويتين حا َّدتين وكان‬ ‫‪.‬‬

‫ف�أوجد قيمة‬ ‫‪� 10‬إذا كان‬

‫‪11‬‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬

‫حيث ‪ ،‬زاويتان حا َّدتان‪ ،‬ف�أوجد قيمة المقدار‬

‫مثلَّثٌ قائم الزاوية في‬ ‫طول ٍّ‬ ‫كل من‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬

‫‪ ،‬فيه‬

‫�سم ‪� ،‬أوجد‪:‬‬

‫‪،‬‬

‫‪.‬‬

‫‪� 12‬أوجد قيمة الزاوية الحا َّدة �س في ٍّ‬ ‫كل من الحاالت التالية ‪:‬‬ ‫�إذا كان‬

‫‪ 13‬ح ِّل المث َّلث‬

‫القائم الزاوية في‬

‫�إذا كان‪:‬‬

‫�سم ‪،‬‬ ‫�سم ‪،‬‬ ‫�سم ‪،‬‬

‫مع َّين‪ ،‬طوال قطريه‬ ‫‪14‬‬ ‫‪.‬‬ ‫قيا�س الزاوية‬ ‫م�س ٌ‬ ‫ـتطيل فيه‬ ‫‪15‬‬ ‫�أوجد ُبعدي الم�سـتطيل‪.‬‬

‫���114‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫�سم‬

‫‪،‬‬

‫هما‬

‫�سم ‪،‬‬

‫‪ ،‬طول ٍّ‬ ‫كل من قطريه‬

‫�سم ‪� .‬أوجد‬

‫�سم ‪.‬‬


‫‪ 16‬طائرة تحلق على ارتفاع‬ ‫بزاوية انخفا�ض‬

‫م فوق �سطح الأر�ض‪� ،‬شاهد قائد الطائرة ج�سماً على الأر�ض‬ ‫‪� .‬أوجد ُبعد الج�سم عن م�سقط الطائرة على الأر�ض‪.‬‬

‫ي�س طول ظ ِّل بناي ٍة عندما كانت زاوية ارتف ـ ـ ــاع ال�شـم�س‬ ‫‪ِ 17‬ق َ‬ ‫زاويـ ــة ارتفـ ـ ـ ــاع ال�شـم�س فكان الفرق بي ــن القيا�سـين‬

‫ُث َّم �أُعيد القيـ ـ ــا�س عندمـ ـ ـ ـ ــا كانت‬ ‫مت ـ ـ ًرا ‪� .‬أوجد ارتفاع البناية‪.‬‬

‫‪ 18‬باخرتان غادرتا الميناء في الوقت نف�سـه‪ ،‬الأولى �أبح َرتْ ب�سـرعة كم ‪� /‬ساعة في ا ِّتج ــاه‬ ‫�شـمال �شـرقي‪ ،‬والثانية �أبح َرتْ ب�سـرعة ‪ 50‬كم ‪� /‬ساعة في ا تِّجاه جنوب �شـرقي‪.‬‬ ‫بع�ضهم ــا بع ـ ــد ثــالث �سـ ــاع ـ ـ ٍ‬ ‫كم تبع ـُدان عن ِ‬ ‫ـات م ــن مغـ ـ ـ ــادرة الميناء‪.‬‬ ‫‪ 19‬اح�سب م�ســاحة القط ـ ــاع الدائري وط ـ ــول قو�سه‪� ،‬إذا كان محيط الدائرة المر�سوم فيها القطاع‬ ‫‪.‬‬ ‫�سم وقيا�س زاويته‬ ‫‪،‬‬ ‫‪ ) ( 20‬دائرة طول ن�صف قطرها �سم ‪ ،‬نقطـ ــة خارجه ــا‪ُ ،‬ر�س ـ ــم‬ ‫مما�سـ ـ ـ ـ ــان للدائرة ‪ ،‬طول ك ِّل منهما �سم‪ ،‬اح�سب م�ساحة المنطق ــة المح�صـ ــورة بين‬ ‫َّ‬ ‫ـا�سين والقـو�س الأ�صغر‬ ‫المم ِّ‬ ‫متما�سة ومتطابقة‬ ‫‪ 21‬في ال�شكل المجاور ثالث دوائر‬ ‫َّ‬ ‫طول ن�صف قطر ك ِّل منها ‪� 5‬سم ‪� ،‬أوج ـ ـ ــد م�ساح ـ ــة‬ ‫المنطقة المح�صورة بينها ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪115‬‬


‫الوحدة‬ ‫الثالـثـة الأ�س�س واللوغاريتمات‬

‫‪The Exponents and Logarithms‬‬

‫الدرو�س‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫(‪ )1-3‬قوى ٍ‬ ‫ٍّ‬ ‫(‪ )2-3‬الأعداد العلم َّية‬ ‫(‪ )3-3‬اجلذور‬ ‫(‪ )4-3‬الأ�س�س الن�سـب َّية‬ ‫(‪ )5-3‬اللوغاريتم‬ ‫(‪ )6-3‬اللوغاريتمات الع�شر َّية‬ ‫(‪ )7-3‬تطبيقات‬

‫ �إذا كانت كلم���ة الجبر التي �أطلقها‬ ‫الريا�ضي الم�سـل���م مح َّمد بن مو�سـى‬ ‫العال���م‬ ‫ُّ‬ ‫الخوارزم���ي ( ‪164‬ﻫ – ‪235‬ﻫ ) م���ن خالل‬ ‫كتاب ِه الجب���ر والمقابلة قد �أخذت مكانـها في‬ ‫مختل���ف لغات العال���م بلفظته���ا العرب َّية ف� َّإن‬ ‫مفهوم���ات �أخ���رى لن���ا ‪ -‬نح���ن الم�سـلمين‪-‬‬ ‫الف�ض���ل في �إيجاده���ا اكت�شـافً���ا �أو ابتكا ًرا �أو‬ ‫ً‬ ‫نق�ل�ا من ح�ضارات �سـالفة بعد التعديل الذي‬ ‫�أعطاها ال���روح والمرونة‪ .‬نذك���ر على �سـبيل‬ ‫المث���ال ال الح�صر � َّأن م�صطلح ( جذر ) في‬ ‫الجبر يعود في �أ�صله �إلى اللغة العرب َّية‪.‬‬


‫الأهداف‬ ‫درا�سـة هذه الوحد ِة � ْأن يكونَ قاد ًرا‬ ‫يتوقع منَ الطالب بعدَ‬ ‫ِ‬ ‫َعلى � ْأن ‪:‬‬

‫‪-1‬يب ِّيـ ـ ــنَ الـ ـ ـ ــدو َر الت�أريخـ َّـي للعلمــاء الم�سـلمين في درا�سـة‬ ‫الجذور والعمل َّيات عليها‪.‬‬ ‫يف�سـ َر مفهو َم ال ِّأ�س والق َّو ِة‪.‬‬ ‫‪ِّ -2‬‬ ‫يب�س َـط مقادي َر ريا�ض َّية با�سـتخدام قوانين الأ�س�س‪.‬‬ ‫‪ِّ -3‬‬ ‫ويف�سـر‬ ‫الحقيقي‬ ‫‪ -4‬يم ِّي َز ال�صور َة القيا�سـ َّية للعدد‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫مدلولـها‪.‬‬ ‫التربيعي والتكعيب َّـي لعدد با�سـتخدام‬ ‫‪ -5‬يوجِ َد الجذ َر‬ ‫َّ‬ ‫الآلة الحا�سـبة‪.‬‬ ‫خوا�ص الجذور النون َّية ب�ش ٍ‬ ‫ـكل عا ٍّم‪.‬‬ ‫‪ -6‬يم ِّي َز‬ ‫َّ‬ ‫يب�س َـط مقادي َر ريا�ض َّية تت�ض َّمن جذو ًرا نون َّية‪.‬‬ ‫‪ِّ -7‬‬ ‫‪ -8‬يذك َر قوانينَ الأ�س ِـ�س الن�سـب َّية‪.‬‬ ‫يب�س َـط مقادي َر ريا�ض َّية تت�ض َّمن �أ�س ًـ�سا ن�سـب َّية‪.‬‬ ‫‪ِّ -9‬‬ ‫‪ -10‬يع ِّر َف اللوغاريتم واللوغاريتم الع�شري‪.‬‬ ‫‪ -11‬ي�ستخد َم قوانين اللوغاريتمات في تب�سيط مقادير‬ ‫جبر َّية‪.‬‬ ‫‪ -12‬ي�ستخد َم الآلة الحا�سبة في �إيجاد اللوغاريتم الع�شري‬ ‫لعدد‪ ،‬وفي �إيجاد عدد ُعلم لوغاريتمه الع�شري‪.‬‬ ‫‪ -13‬يح َّل معادالت �أ�سية ومعادالت لوغاريتم َّية‪.‬‬ ‫‪ -14‬يح َّل م�سائل تطبيق َّية على اللوغاريتمات‪.‬‬


‫الوحدة الثالثة‬

‫نبذة ت�أريخية‬ ‫� َّإن درا�سـ���ة الج���ذور ت�سـتدعي التذكي���ر بِما في تراثنا الم�شـرق‪ ،‬خالل الع�ص���ر الذهبي لح�ضارتنا‬ ‫الإ�سـالم َّي���ة م���ن �أثر كبير في ابتكار العديد م���ن المفهومات والرموز والم�صطلح���ات الواردة في علم‬ ‫خا�صة‪.‬‬ ‫الجبر عا َّم ًة وفي الجذور ب�صور ٍة َّ‬ ‫الريا�ضي الم�سـلم مح َّمد ب���ن مو�سـى الخوارزمي ( ‪164‬ﻫ‬ ‫ف����إذا كانت كلمة الجب���ر التي �أطلقها العالم‬ ‫ُّ‬ ‫– ‪235‬ﻫ ) م���ن خ�ل�ال كتاب ِه الجبر والمقابلة ق���د �أخذت مكانـها في مختلف لغات العالم بلفظتها‬ ‫العرب َّي���ة ف���� َّإن مفهومات �أخرى لنا ‪ -‬نحن الم�سـلمين‪ -‬الف�ضل في �إيجاده���ا اكت�شـافًا �أو ابتكا ًرا �أو نق ًال‬ ‫م���ن ح�ضارات �سـالفة بعد التعديل الذي �أعطاها الروح والمرون���ة‪ .‬نذكر على �سـبيل المثال ال الح�صر‬ ‫ق�سـم الكم َّيات‬ ‫� َّأن م�صطل���ح ( ج���ذر ) في الجبر يعود في �أ�صل���ه �إلى اللغة العرب َّي���ة‪� ،‬إذ � َّإن‬ ‫الخوارزمي َّ‬ ‫َّ‬ ‫الجبر َّية �إلى ثالثة �أنواع‪:‬‬ ‫ج���ذر ويق�ص���د به �س‪ ،‬ومال ويق�صد ب ِه �س‪ ،2‬ومفرد وهو الع���دد �أي ( الكم َّية الخالية من �س)‪ .‬كما كان‬ ‫���ي على دراية متينة بالقواعد الجبر َّية لإجراء عمل َّيتي ال�ضرب‪ ،‬والق�سـمة على الجذور فنراه‬ ‫الخوارزم ُّ‬ ‫يق���ول مث ًال في كتابه الجبر والمقابلة‪ « :‬ل�ضرب جذر كذا في جذر كذا �ضربت �أحد العددين في الآخر‬ ‫و�أخذت جذر المبلغ »‪.‬‬ ‫وهذا يعني‬ ‫كما جاء في كتاب ِه هذا قوله‪:‬‬

‫أردت �أن تق�سـ���م جذر ت�سـعة على جذر �أربعة ف�إنَّك تق�سـم ت�سـعة على �أربعة فيكون اثنين ورب ًعا‬ ‫« �إن � َ‬ ‫فجذرها هو ما ي�صيب الواحد وهو واحد ون�صف»‪.‬‬ ‫وهذا يعني‬ ‫ويكون بذلك ط َّبق القاعدة‬

‫�إنَّما كان من ابتكارنا‪� ،‬إ نَّه الحرف ج ‪� ،‬أ َّول حرف من كلمة جذر‬ ‫التربيعي‬ ‫و� َّإن رمز الجذر‬ ‫َّ‬ ‫العرب َّية‪ ،‬ويبدو � َّأن �أ َّولَ من ا�سـتعمله لـهذا الغر�ض هو �أبو الح�س ـ ـ ــن علـ ــي بن محم ـ ـَّد القل�ص ـ ـ ـ ـ ــادي‪،‬‬ ‫الأندل�س ــي‪ 825 ( ،‬ﻫ‪ 891 -‬ﻫ )‪.‬‬

‫‪118‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫وهكذا بقيت الجيم العرب َّية نف�سـها م�سـتعمل ًة كرمز للجذر في مختلف‬ ‫فمث ًال تعني‬ ‫ ‬ ‫لغ���ات العال���م‪ ،‬فف���ي مختل���ف اللغ���ات الأوروب َّي���ة تج���د ً‬ ‫و� َّإن‬ ‫مث�ل�ا‬ ‫علماءن���ا ه���م �أ َّول من �أدخ���ل �ضمن م�صطلح���ات الريا�ض َّيات مفهوم الجذر الأ�ص���م ويق�صدون به جذر‬ ‫‪ ،‬و�إنَّهم برعوا في �إيجاد عالقات بين الجذور ال�صم‪ ،‬فالعالقة ‪:‬‬ ‫العدد الذي ال يكون مر َّب ًعا مثل‬

‫والت���ي �سـنوردها فيم���ا بعد يظهر لنا من الن�صو�ص الت�أريخي���ة� َّأن �أ َّول من �أوجدها هو �أب���و كامل �شـجاع‬ ‫ب���ن �أ�سـل���م الم�ص���ري ( ‪236‬ﻫ‪318 -‬ﻫ )‪ .‬كم���ا � َّأن القل�ص���ادي �شـرح بدقَّة متناهية طريق���ة �إيجاد القيمة‬ ‫التربيعي لأي ٍ‬ ‫عدد معطى‪.‬‬ ‫التقريب َّية للجذر‬ ‫ِّ‬ ‫المتوفى في بغداد عام ‪1175‬م ) هو �أ َّول‬ ‫وم���ن الثابت � َّأن العالم الريا�ضي الم�سـلم ال�سـمو�أل المغربي (‬ ‫َّ‬ ‫من ا�سـتعمل الأ�س�س ال�سـالبة‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪119‬‬


‫الوحدة الثالثة‬

‫‪1-3‬‬

‫قـ ـ ــوى ع ــد ٍد حـقيـق ـ ـ ٍّـي‬

‫المتو�سـطة‪ ،‬ك ًّال من الأ�سـ�س والجذور التربيع َّية حيث تع َّرفت‬ ‫�سـبق لك �أن در�سـت في المرحلة‬ ‫ِّ‬ ‫�إلى قوى ٍ‬ ‫�صحيحا‪ ،‬كما تع َّرفت �إلى الجذر‬ ‫عدد ُك ٍّلي �أو ن�سب ٍّـي‪ ،‬عندما يكون ال ُّأ�س عد ًدا كل ًّيا �أو‬ ‫ً‬ ‫���ي ٍ‬ ‫لعدد غير �سـال���ب‪ .‬وعندما تع َّرفت �إل���ى مجموعة الأعداد الحقيق َّي���ة ‪ ،‬ر�أيت � َّأن‬ ‫التربيع ِّ‬ ‫خ�صائ�ص العمل َّيات في مجموعة الأعداد الن�سبـ َّية هي نف�سـها في ‪.‬‬ ‫وكما ر�أينا في درا�سـتنا لقوى عدد ن�سب ٍّـي‪ ،‬ف�إ نَّه في حالة وجود حا�صل �ضرب ع َّدة عوامل مت�سـاوية‬ ‫مثل‪:‬‬ ‫( الحظ � َّأن لدينا في هذا المثال �أربعة عوامل كل منها‬ ‫نكتبه اخت�صا ًرا‬

‫)‪ ،‬فبد ًال من كتابته بال�شكل ال�سابق‬

‫�أي � َّأن‬

‫وعليه يكون‬

‫وهو مر َّبع العدد‬

‫وكذلك ف� َّإن‬ ‫أي�ضا‬ ‫و� ً‬

‫تعريف ( ‪)1 -3‬‬

‫�إذا كان‬

‫وهو مك َّعب العدد‬

‫ف� َّإن‪:‬‬

‫عام ًال كل منها‬

‫العدد ي�سـ َّمى الأ�سـا�س والعدد ي�سـ َّمى الأ�س والمقدار ي�سـ َّمى القوة النون َّية للعدد‬

‫‪120‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫قـوى عـدد حقيقــي‬ ‫المتو�سـطة في حالة قوى عدد ن�سب ٍّـي‪ ،‬ف�إنَّه يمكننا تقديم التعريف التالي‪:‬‬ ‫وكما ر�أينا في المرحلة‬ ‫ِّ‬

‫تعريف ( ‪)2 -3‬‬

‫ف� َّإن‪:‬‬

‫�إذا كان‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫�صحيحا‪ ،‬ونلخِّ �ص ذلك‬ ‫حقيقي‪� ،‬إذا كان ال ُّأ�س عد ًدا‬ ‫وبالتعريفي���ن ( ‪ ) 2-3 ( ،) 1-3‬نك���ون قد ع َّرفنا قوة عدد‬ ‫ً‬ ‫ٍّ‬ ‫بِما يلي‪:‬‬

‫تعريف ( ‪)3 -3‬‬

‫ف� َّإن‪:‬‬

‫�إذا كان‬

‫عام ًال كل منها‬ ‫عندما‬ ‫عندما‬ ‫عندما‬

‫(‪)1-3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫كمية غير معينة‪.‬‬

‫ن�ستخدم الرمز‬ ‫للداللة على ال�شمول‬ ‫والعموم مثل كلمة ‪:‬‬ ‫لكل ‪ ،‬مهما كان ‪� ،‬أ ًّيا‬ ‫كان ‪... ،‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪121‬‬


‫الوحدة الثالثة‬ ‫مثال (‪)1-3‬‬ ‫‪1‬‬

‫مر َّبع العدد‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫حيث‬

‫‪4‬‬

‫المتو�سـطة عندما تك���ون الأ�س�س‬ ‫و�سـنع ِّم���م قواني���ن ق���وى ع���دد ن�سب ٍّـي الت���ي در�سـتها في المرحل���ة‬ ‫ِّ‬ ‫حقيقي‪ ،‬وذلك من خالل النظرية التالية‪:‬‬ ‫�أعدا ًدا �صحيحة على قوى عدد‬ ‫ٍّ‬

‫نظرية (‪)1-3‬‬ ‫�إذا كان ‪ ،‬ب‬ ‫تعني مجموعة‬ ‫الأع���������داد الحقيق َّية‬ ‫م�ستثنى منها ال�صف ـ ــر‪،‬‬ ‫وعا َّمة الأمر ف� َّإن ‪:‬‬ ‫( الف���رق بي���ن‬ ‫مجموعتي���ن َو )‬ ‫ه���ي المجموع���ة الت���ي‬ ‫عنا�صرها تنتمي �إلى‬ ‫وال تنتم���ي �إل���ى ‪� ،‬أي‬ ‫� َّأن‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫�شـريطة �أن ال ينعدم �أي مقدار يقع بالمقام‪ ،‬كما ال ينعدم �أي مقدار مرفوع �إلى ال ِّأ�س �صفر‪.‬‬

‫البرهان‬

‫‪� 1‬أو ًال‪ -‬عندما‬

‫�إذ ًا‬

‫‪122‬‬

‫‪ ،‬م‪،‬‬

‫‪3‬‬

‫َو‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫ف� َّإن‪:‬‬


‫قـوى عـدد حقيقــي‬

‫ثانياً‪ -‬عندما‬ ‫عام ًال كل منها‬

‫عام ًال كل منها‬

‫عام ًال‬ ‫( تعريف (‪) )3-3‬‬

‫ثالثًا‪ -‬عندما‬ ‫حيث‬

‫نفر�ض‬

‫( من ثان ًيا )‬ ‫( تعريف ( ‪) ) 3-3‬‬

‫راب ًعا‪ -‬عندما‬ ‫نفر�ض‬

‫حيث‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪123‬‬


‫الوحدة الثالثة‬ ‫عام ًال كل منها‬

‫عام ًال كل منها‬

‫خام�سـًا‪ -‬عندما‬ ‫البـرهان مماث ٌل للحالة ال�سـابقة‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫( تعريف (‪) )3-3‬‬ ‫من (‪)1‬‬

‫‪ 3‬في حالة‬ ‫عام ًال كل منها‬

‫من (‪)1‬‬

‫وفي حالة‬ ‫‪ 5 ، 4‬يترك برهانـهما للطالب‪.‬‬

‫‪124‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫( يترك تمرينًا للطالب )‬


‫قـوى عـدد حقيقــي‬

‫مثال (‪)2-3‬‬

‫�أوجد الجواب ب�أب�سـط �صورة‪.‬‬

‫حيث‬

‫الحل‬

‫مثال (‪)3-3‬‬ ‫اخت�صر المقدار‬

‫حيث‬

‫الحل‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪125‬‬


‫الوحدة الثالثة‬ ‫مثال (‪)4-3‬‬ ‫حيث‬

‫�أثبت � َّأن‬

‫الحل‬ ‫الطرف الأيمن‬

‫الطرف الأي�سر‬

‫مثال (‪)5-3‬‬ ‫حيث‬

‫�أثبت � َّأن‬

‫الحل‬

‫لإثبات �صحة الم�سـاواة ف�إ نَّنا �سـنكتب ك ًّال من الب�سـط والمقام كحا�صل �ضرب عوامل وذلك لنتمكن من تطبيق‬ ‫نظرية ( ‪) 1-3‬‬

‫الطرف الأيمن‬ ‫حيث‬

‫الطرف الأي�سـر‬

‫‪126‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫قـوى عـدد حقيقــي‬

‫تمـاريـن ( ‪) 1-3‬‬ ‫‪� 1‬ضع عالمة‬

‫�أو عالمة‬

‫عن يمين ما يلي‪:‬‬

‫حقيقي �إلى القوة �صفر‪ ،‬ف� َّإن الناتج ي�سـاوي الواحد‪.‬‬ ‫�إذا رفعنا � َّأي عدد‬ ‫ٍّ‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪127‬‬


‫الوحدة الثالثة‬ ‫‪ 2‬اختر الإجابة ال�صحيحة لك ِّل فقرة ِم َّما يلي‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫ف� َّإن‪:‬‬

‫مقدا ًرا غير مع َّرف‬ ‫ف� َّإن‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪� 3‬إذا كان‬

‫‪� 4‬إذا كانت‬

‫ف� َّإن‬

‫ف� َّإن‬ ‫�صفر‬

‫‪� 5‬إذا كانت‬

‫ف� َّإن‬

‫�صفر‬ ‫‪� 3‬أوجد ناتج ٍّ‬ ‫كل ِم َّما يلي‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬

‫‪128‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫و‬


‫قـوى عـدد حقيقــي‬

‫ز‬

‫ح‬

‫ط‬

‫ي‬

‫‪4‬‬

‫�ضع ك ًّ‬ ‫ال ِم َّما يلي في �أب�سـط �صورة با�سـتخدام قوانين الأ�س�س‪ ،‬بحيث ت�صبح فيها الأ�س�س موجبة وعلى‬ ‫افترا�ض �أ َّن المتغ ِّيرات �أعداد حقيق َّية ٌّ‬ ‫كل منها ال ي�سـاوي ال�صفر‪:‬‬ ‫د‬ ‫هـ‬

‫و‬

‫ز‬

‫ح‬

‫ط‬

‫ي‬

‫ك‬

‫ل‬

‫م‬

‫ن‬

‫‪� 5‬إذا كانت‬

‫فب�سـط ك ًّ‬ ‫ال ِم َّما يلي‪:‬‬ ‫‪ِّ ،‬‬

‫د‬ ‫هـ‬

‫و‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪129‬‬


‫الوحدة الثالثة‬

‫‪� 6‬إذا كانت‬

‫‪� 7‬إذا كانت‬

‫د‬

‫‪130‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪ ،‬ف�أثبت �أنَّ‪:‬‬

‫ف�أوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل ِم َّما يلي‪:‬‬


‫الأعــداد العلمي ـ ــة‬

‫‪2-3‬‬

‫الأع ـ ــداد العلمي ـ ـ ـ ـ ـَّة‬ ‫ف���ي كثيرٍ من الم�سـائل العلم َّية نتعامل مع �أعداد مكتوبة بال�صورة الأ�سـ َّية با�سـتخدام قوى‬ ‫الع�شـرة‪ .‬فمث ًال‪:‬‬

‫‪� 1‬سـرعة ال�ضوء في الفراغ تُكتب بال�صورة‬

‫م ‪ /‬ثانية بد ًال من‬

‫‪ 2‬ن�صف قطر ذ َّرة الـهيدروجين ُيكتب بال�صورة‬

‫م ‪ /‬ثانيـة‪.‬‬ ‫مت ًرا‪.‬‬

‫مت ًرا بد ًال من‬

‫وفي حقيقة الأمر‪َّ � ،‬إن ا�سـتخدام قوى العدد ع�شـرة هو طريقة متداولة لكتابة الأعداد الموجبة الكبيرة‬ ‫ج ًّدا �أو ال�صغيرة ج ًّدا والتي تُ�سـ َّمى بالأعداد العلم َّية؛ لكثرة ا�سـتخدامها في مختلف مجاالت العلوم‪.‬‬ ‫وتـهدف هذه الطريقة �إلى اخت�صار كتابة الأعداد وت�سـهيل حفظها‪.‬‬ ‫وكم���ا ر�أينا في المثالين ال�سـابقين؛ ف���� َّإن �أ ًّيا من الأعداد العلم َّية ُيكتب عاد ًة على ال�صورة التالية والتي‬ ‫الحقيقي الموجب ‪:‬‬ ‫تُ�سـ َّمى بال�صورة القيا�سـ َّية للعدد‬ ‫ِّ‬ ‫حيث‬

‫(‪)2-3‬‬ ‫بالطريقة العادية ن َّتبع‬

‫���ي الموج���ب والمعط���ى في ال�ص���ورة القيا�سـ َّي���ة‬ ‫لكتاب���ة الع���دد الحقيق ِّ‬ ‫التالي‪:‬‬ ‫‪� 1‬إذا كان الع���دد موج ًب���ا نح�سـ���ب نات���ج �ض���رب العدد ف���ي وذلك بنقل الفا�صل���ة الع�شـر َّية نحو‬ ‫عد ًدا من المنازل م�سـاو ًيا لـ ‪.‬‬ ‫اليمين‬ ‫‪� 2‬إذا كان العدد �سـال ًبا نح�سـب ناتج ق�سـمة العدد ﻫ على‬ ‫‪.‬‬ ‫عد ًدا من المنازل م�سـاو ًيا ِﻟ‬ ‫الي�سـار‬

‫وذلك بنقــل الفا�صــلة الع�شـ ــر َّية نحـ ــو‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪131‬‬


‫الوحدة الثالثة‬ ‫مثال (‪)6-3‬‬ ‫اكتب الأعداد التالية بطريقة الأعداد العادية ‪:‬‬ ‫متو�سـط ُبعد القمر عن الأر�ض‬ ‫قطر نواة ذ َّرة‬

‫كلم‪.‬‬ ‫ملم‪.‬‬

‫الحل‬ ‫متو�سـط ُبعد القمر عن الأر�ض‬ ‫ِّ‬ ‫(‬ ‫عدد المنازل ال�صحيحة‬ ‫قطر نواة ذ َّرة‬

‫كلم‬

‫كلم‪.‬‬

‫ملم‬ ‫عدد الأ�صفار يمين الفا�صلة الع�شـر َّية مبا�شـرة = ‪) 11‬‬

‫(‪)3-3‬‬ ‫الحقيقي الموجب نم ِّيز حالتين‪:‬‬ ‫لتحديد قيمة في ال�صورة القيا�سـ َّية للعدد‬ ‫ِّ‬ ‫‪ 1‬العدد �أكبر من الواحد‬ ‫وفي هذه الحالة يكون العدد �صف ًرا �أو عد ًدا موج ًبا ينق�ص بواحد عن عدد المنازل ال�صحيحة للعدد ‪.‬‬ ‫‪ 2‬العدد‬

‫�أ�صغر من الواحد‬

‫ف���ي ه���ذه الحالة يكون العدد عد ًدا �سـال ًبا قيمته المطلقة تزيد بواح���د عن عدد الأ�صفار الواقعة يمين‬ ‫الفا�صلة الع�شـر َّية مبا�شـر ًة للعدد ‪.‬‬

‫‪132‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫الأعــداد العلمي ـ ــة‬

‫مثال (‪)7-3‬‬ ‫�ضع الأعداد العلم َّية التالية في �صورة قيا�سـ َّية‪.‬‬ ‫قطر ال�شـم�س‬

‫كلم‬ ‫كلم‬

‫متو�سـط ُبعد الأر�ض عن ال�شـم�س‬ ‫ِّ‬ ‫ملم‬

‫طول �أحد �أنواع البكتريا‬ ‫غم‬

‫الـهباء‬

‫الحل‬ ‫قطر ال�شـم�س‬ ‫( عدد المنازل ال�صحيحة‬

‫كلم‬

‫كلم‬ ‫)‬

‫متو�سـط ُبعد الأر�ض عن ال�شـم�س‬ ‫ِّ‬ ‫طول �أحد �أنواع البكتريا‬

‫كلم ( لماذا ؟ )‬ ‫ملم‬

‫( عدد الأ�صفار يمين الفا�صلة الع�شـر َّية مبا�شـرة‬ ‫الـهباء‬ ‫جدا‬ ‫ه���و وح���دة �صغيرة ً‬ ‫لقيا����س ال���وزن‪ ،‬تو�ص���ل‬ ‫�إليه���ا علم���اء الطبيع���ة‬ ‫الم�سـلم���ون‪ ،‬ف���ي �أثن���اء‬ ‫ع�صرنا الزاهر‪.‬‬

‫الـهباء‬

‫غم‬

‫)‬ ‫غم ( لماذا ؟ )‬

‫بع�ضا من الم�سـائل العلم َّية التي تتط َّلب �إج���راء عمل َّيات ح�سـاب َّية على �أعداد‬ ‫و�سـنناق����ش فيما يل���ي ً‬ ‫علم َّية في �صورتـها القيا�سـ َّية‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪133‬‬


‫الوحدة الثالثة‬

‫مثال (‪)8-3‬‬ ‫�إذا علمت �أ َّن الميكرون ( الميكرومتر ) هو وحدة قيا�س الأطوال و�أ َّن المليمتر ي�سـاوي ‪ 310‬ميكرون‪،‬‬ ‫ف�أوجد بالميكرون في الثانية �سـرعة ال�صوت في الـهواء �إذا كانت ت�سـاوي ‪ 344‬م‪/‬ث‬

‫الحل‬ ‫م‪/‬ث‬

‫م‪/‬ث‬ ‫ملم‪/‬ث‬ ‫ميكرون‪/‬ث‬

‫ميكرون‪/‬ث‬

‫مثال (‪)9-3‬‬ ‫اكت�شـ���ف العلم���اء �أ َّن المادة تتح َّول �إلى طاقة‪ ،‬والمعادلة الت���ي اكت�شـفها ( �آين�شـتاين ) للعالقة‬ ‫‪ ،‬حي���ث ك الكتل���ة مق��� َّدرة‬ ‫بي���ن الطاق���ة وكتل���ة الم���ادة المعا ِدل���ة لـه���ا ه���ي الطاق���ة‬ ‫بالكيلو غرام ‪� ،‬سـرعة ال�ضوء‬ ‫م‪/‬ث وحينئ ٍ���ذ تك���ون الطاق���ة مق��� َّدرة بالج���ول‪� .‬أوج���د الطاق���ة الت���ي تع���ادل‬ ‫وت�سـ���اوي‬ ‫كلغ‪.‬‬ ‫�إلكترونًا واح ًدا‪ ،‬عل ًما ب�أ َّن كتلة الإلكترون هي‬

‫الحل‬ ‫الطاقة‬

‫جو ًال‬

‫‪134‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫الأعــداد العلمي ـ ــة‬

‫مثال (‪)10-3‬‬

‫النجم‪،‬‬ ‫�س���ور ُة‬ ‫ِ‬ ‫الآية (‪.)49‬‬

‫‪ِّ ،‬‬ ‫وال�شـ ْع��� َرى اليمان َّي���ة نج���م يبع���د ع���ن الأر�ض م�سـافة ق َّدرها‬ ‫يوما يلزم لو�صول وم�ضـ ــة مــن ِّ‬ ‫ال�شـ ْعـ ـ ــرى‬ ‫كيلومتر‪ .‬فكم ً‬

‫ق���ال تعال���ى‪:‬‬ ‫العلماء بحوالي‬ ‫�إلى الأر�ض؟‬ ‫( �سـرعة ال�ضوء‬

‫م‪/‬ث )‪.‬‬

‫الحل‬ ‫ُبعد ِّ‬ ‫ال�شـ ْع َرى عن الأر�ض =‬

‫م‬

‫كلم‬

‫وبما � َّأن الزمن= الم�سافة‬ ‫ال�سرعة‬ ‫� ًإذا الزمن الالزم لو�صول وم�ضة من ِّ‬ ‫ال�شـ ْعرى �إلى الأر�ض‬

‫ثانية‬

‫الزمن الالزم لو�صول وم�ضة من ِّ‬ ‫ال�شـ ْعرى �إلى الأر�ض بالأيام‬ ‫يوما‬ ‫ً‬ ‫عدد الأيام الالزمة لو�صول وم�ضة من ِّ‬ ‫ال�شـ ْعرى �إلى الأر�ض‬

‫يوما‪.‬‬ ‫ً‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪135‬‬


‫الوحدة الثالثة‬

‫تمـاريـن ( ‪) 2-3‬‬ ‫‪ 1‬اكتب الأعداد التالية في �صورة قيا�سـ َّية‪.‬‬ ‫�سـرعة جواد ال�سـباق حوالي‬

‫متر‪� /‬سـاعة‬

‫�سـرعة عربة ال�سـباق حوالي‬

‫متر‪� /‬سـاعة‪.‬‬

‫�سـرعة طائرة نفَّاثة حوالي‬

‫متر‪� /‬سـاعة‪.‬‬ ‫متر‪� /‬سـاعة‬

‫د �سـرعة مكوك الف�ضاء حوالي‬

‫متر‪� /‬سـاعة‬

‫هـ �سـرعة الأر�ض في فلكها حوالي‬ ‫ملم‪.‬‬

‫و طول �أحد �أنواع البكتريا ي�سـاوي‬ ‫ز معامل التم ُّدد الطولي للنحا�س هو‬ ‫ح معامل التم ُّدد الحقيقي لزيت الزيتون هو‬ ‫ط كتلة الإلكترون ت�سـاوي‬

‫ملغم‪.‬‬

‫‪ 2‬اكتب الأعداد التالية بطريقة الأعداد العادية‪.‬‬ ‫متو�سـط كثافة الأر�ض‬ ‫ِّ‬ ‫متو�سـط ُبعد القمر عن الأر�ض‬ ‫ِّ‬

‫كلم‬

‫متو�سـط طول ن�صف قطر القمر‬ ‫ِّ‬

‫م‪.‬‬

‫د كتلة البروتون‬

‫ملغم‬

‫هـ كتلة النيترون‬

‫غم‪.‬‬

‫و كتلة ذرة الكربون‬

‫‪136‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫كلغم لكل متر مكعب‪.‬‬

‫غم‪.‬‬


‫الأعـ ــداد العلميـ ــة‬

‫‪� 3‬ضع عالمة‬

‫عن يمين العبارات التالية‪:‬‬

‫�أو عالمة‬

‫بليو ًنا‬

‫كلغم‬

‫‪4‬‬

‫يتح��� َّرك قط���ار ب�سـرع���ة‬ ‫مدينتين قدرها‬

‫غرام‬

‫متر‪.‬‬

‫‪ 5‬تنت�شـ���ر �أم���واج الرادي���و ب�سـرع���ة‬ ‫واحدة‪.‬‬

‫مت���ر‪� /‬ساع���ة‪ ،‬اح�سب الزمن الذي ي�سـتغرقه القطار لقطع م�سـافة بين‬ ‫م‪/‬ث ‪� ،‬أوج���د الم�سـاف���ة التي تقطعه���ا موجة الراديو خالل �سـاعة‬

‫‪ 6‬ف���ي التمري���ن ال�سـابق �أوج���د الزمن الالزم لو�ص���ول �إ�شـارة مر�سـل���ة من الأر����ض بالراديو �إلى مركب���ة ف�ضاء تبعد‬ ‫م عن مو�ضع االت�صال على الأر�ض‪.‬‬ ‫‪ 7‬ت�صل وم�ضة ال�ضوء المنطلقة من نجم ( الن�سـر الواقع ) �إلى الأر�ض خال ل‬ ‫م ‪ /‬ث )‪.‬‬ ‫هذا النجم عن الأر�ض ( �سـرعة ال�ضوء‬

‫ثانيـ ــة‪� .‬أوجــد ُبع ـ ــد‬

‫‪ 8‬يقط���ع مك���وك الف�ضاء ثالثين مليون متر في ال�سـاع���ة‪ ،‬ففي الوقت الذي يتح َّرك خالله بـه���ذه ال�سـرعة‪� ،‬أوجد ما‬ ‫يقطعه المكوك با��ثانية الواحدة‪ ( .‬ق ِّرب الجواب �إلى �أقرب متر )‪.‬‬ ‫‪ 9‬اح�سب الزمن الالزم لكي تقطع نب�ضة الحا�سـب الآلي م�سـافة‬ ‫�سم‪/‬ث‪.‬‬

‫�سم �إذا علمت � َّأن �سـرعــة انتقــال النب�ضــة هي‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪137‬‬


‫الوحدة الثالثة‬

‫‪3-3‬‬

‫الـجـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــذور‬ ‫المتو�سـط الجذور التربيع َّي���ة‪ ،‬و�سـنلخ�ص ما �سـبق لك‬ ‫ال�صف الثال���ث‬ ‫ِّ‬ ‫در�سـ���ت في َّ‬ ‫درا�سـته عنها في النقاط التالية‪:‬‬

‫الجذور التربيعية‬ ‫الحقيقي‬ ‫التربيعي للعدد‬ ‫�أ َّو ًال‪ -‬مفهوم الجذر‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجذور التربيع ّي ِة ف� َّإن العدد‬ ‫‪� -1‬إذا كان‬ ‫‪1‬‬ ‫َّ‬ ‫ُي�سـ َّمى الجذر‬ ‫التربيعي للعدد ويرمز له بالرمز‬ ‫َّ‬

‫الذي يحقِّق المعادلة‬ ‫ومن ذلك ا�سـتنتجنا � َّأن‪:‬‬

‫‪،‬‬

‫ل َّأن‬ ‫�إذا كان‬

‫( �أي‬

‫) ف� َّإن للمعادلة‬

‫جذرين هما‬

‫‪-،‬‬

‫؛ ل َّأن ك َّل‬

‫حقيقي موجب هو مر َّبع لعددين حقيقيين متناظرين في الجمع‪� ( .‬أحدهما معكو�س جمعي للآخر )‬ ‫عدد‬ ‫ٍّ‬ ‫فمث ًال المعادلة‬ ‫�إ َّال � َّأن‬ ‫وعليه يكون‪:‬‬

‫لـها جذران حقيقيان هما‬ ‫فقط‪.‬‬ ‫وهذا يعني � َّأن‬ ‫وهذا يعني � َّأن‬

‫وهذا ما تع ِّممه القاعدة ‪� :‬إذا كان‬

‫‪138‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫ف� َّإن‬

‫؛ ل ّأن‬

‫َو‬


‫الج ـ ـ ــذور‬ ‫حقيقي موجب‪.‬‬ ‫حقيقي هو عدد‬ ‫حقيقي؛ ل َّأن مر َّبع � ِّأي عدد‬ ‫تربيعي‬ ‫الحقيقي ال�سـالب جذر‬ ‫‪ 2‬لي�س للعدد‬ ‫ِّ‬ ‫ٍّ‬ ‫ٌّ‬ ‫ٌّ‬ ‫ٌّ‬ ‫فمث ًال‪:‬‬ ‫حقيقي مر َّبعه‬ ‫؛ لأنَّه ال يوجد عدد‬ ‫ٌّ‬

‫الحظ‬

‫ثان ًيا‪ -‬العمل َّيات على الجذور التربيع َّية‬ ‫‪ 1‬ال�ضرب والرفع �إلى ق َّوة‪ ،‬والق�سـمة ‪:‬‬ ‫ف� َّإن‪:‬‬

‫�إذا كان‬ ‫‪1‬‬ ‫وعا َّمة الأمر‬

‫حيث‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫حيث‬

‫فمث ًال‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪139‬‬


‫الوحدة الثالثة‬ ‫‪ 2‬تب�سيط الجذور التربيع َّية بالتحليل‬ ‫الفردي المغاير للواحد ( �إن وجدت‬ ‫التربيعي ب�أب�سـط �شـكل‪ ،‬نح ِّلل العوامل ذات ال ِّأ�س‬ ‫لكتاب���ة الج���ذر‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫أ����س ٍّ‬ ‫كل منها ي�سـاوي الواحد‪َّ .‬ثم نخرج من داخل‬ ‫زوجي بعوامل � ٍّ‬ ‫)‪� ،‬إل���ى حا�ص���ل �ضرب عوامل ذات � ٍّأ�س ٍّ‬ ‫���ي ( بعد �إيجاد جذره���ا )‪ ،‬ونبقي العوامل الت���ي � ُّأ�س ٍّ‬ ‫كل منها‬ ‫الج���ذر جمي���ع العوامل ذات ال ِّأ�س الزوج ِّ‬ ‫التربيعي‪.‬‬ ‫ي�سـاوي الواحد‪ ،‬داخل الجذر‬ ‫ِّ‬ ‫فمث ًال‪:‬‬

‫حيث‬

‫‪ 3‬جمع الجذور التربيع َّية المت�شابـهة‬ ‫المب�سـطة مت�شابـهة �إذا بقيت العوامل نف�سـها داخل �إ�شـارات الجذور التربيع َّية‬ ‫تكون الجذور التربيع َّية َّ‬ ‫فمث ًال‪:‬‬ ‫هما جذران مت�شابـهان؛ ل َّأن‬

‫نب�سـطها �أ َّو ًال‪ُ ،‬ث َّم نجمع عوامل الجذور المت�شابـهة بعد تب�سـيطها‪.‬‬ ‫ولجمع الجذور التربيع َّية ِّ‬ ‫فمث ًال‪:‬‬

‫‪ 4‬تن�سـيب مقام ك�سـر ( انطاق المقام )‬ ‫التربيعي من مقام ك�سـر تجعل هذا المقام عد ًدا ن�سبـيا وتُ�سـ َّمى هذه العمل َّية‬ ‫� َّإن عمل َّية �إزالة الجذر‬ ‫ِّ‬ ‫عمل َّية تن�سـيب المقام‪.‬‬

‫‪140‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫الج ـ ـ ــذور‬ ‫ولتن�سـيب مقام ك�سـر نم ِّيز حالتين‪:‬‬ ‫تربيعي‬ ‫حد واحد بجذر‬ ‫مقام الك�سـر يت�ألَّف من ٍّ‬ ‫ٍّ‬ ‫‪ ،‬ن�ضرب ب�سـط الك�سـر ومقامه بالعدد‬ ‫فمث ًال‪ :‬لتن�سـيب مقام الك�سـر‬

‫فيكون‬

‫تربيعي )‬ ‫مقام الك�سـر يت�ألَّف من ح َّدين بجذرين تربيع ِّيين ( �أو �أحدهما بجذر‬ ‫ٍّ‬ ‫ف���ي ه���ذه الحالة ن�ضرب ك ًّال م���ن الب�سـط والمقام ف���ي مرافق المق���ام؛ ل َّأن حا�صل �ض���رب �أي مقدارين‬ ‫مترافقين هو دائ ًما عدد ن�سب ٌّـي‪ ،‬ذلك � َّأن‬ ‫فمث ًال‪:‬‬

‫�إيجاد الجذر التربيعي لمقدار يحتوي على جذر‬

‫مثال (‪)11-3‬‬ ‫اح�سب‬

‫الحل‬

‫الحقيقي‬ ‫ثم ا�ستنتج �شك ًال �آخر لكتابة العدد‬ ‫ِّ‬

‫ن�ستنتج من ذلك � َّأن‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪141‬‬


‫الوحدة الثالثة‬ ‫وعا َّمة الأمر يمكننا ا�سـتنتاج القاعدة التالية‪:‬‬ ‫ف� َّإن‪:‬‬

‫�إذا كان‬ ‫‪1‬‬

‫(‪)1-3‬‬

‫‪2‬‬

‫(‪)2-3‬‬

‫وق���د �سـب���ق �أن �أ�شـرن���ا ف���ي مق َّدمة ه���ذه الوحدة �إلى ه���ذه القاعدة الت���ي �أوجده���ا العالم الم�سـل���م �أبو كامل‬ ‫ال�صم‪.‬‬ ‫الم�صري لجمع وطرح الجذور ُّ‬

‫تدريب (‪)1-3‬‬ ‫�أثبت القاعدة ال�سـابقة‪ ،‬على ن�سـق ما �أجريناه في المثال ( ‪.) 11-3‬‬

‫(‪)2-3‬‬ ‫على �ضوء القاعدة ال�سـابقة ي َّت�ضح � َّأن‬ ‫وذلك ل َّأن‬ ‫فمث ًال‪:‬‬ ‫حيث ‪:‬‬

‫مثال (‪)12-3‬‬ ‫�ضع ك ًّال ِم َّما يلي في �أب�سـط �صورة‪:‬‬

‫الحل‬ ‫لتطبيق العالقة (‪ ،)2-3‬نبحث عن عددين‬ ‫و‬

‫‪142‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫بحيث يكون‬


‫فيكون العددان‬

‫هما‬

‫( تحقَّق من ذلك ِّ‬ ‫بحل المعادلتين ال�سـابقتين )‬

‫� ًإذا‬

‫مثال (‪)13-3‬‬ ‫ط ِّبق طريقة �أبي كامل الم�صري في طرح الجذرين الآتيين‪:‬‬ ‫مع تب�سـيط الناتج �إن �أمكن ‪.‬‬

‫الحل‬

‫� ًإذا‬

‫ومن الجدير بالذكر � َّأن الجذرين‬ ‫�صحة ِّ‬ ‫الحل ال�سـابق على النحو التالي‪:‬‬ ‫من َّ‬ ‫( الحظ � َّأن‬

‫هما جذران مت�شابـهان‪ ،‬لذا ف�إ نَّه يمكننا هنا التحقُّق‬

‫)‬

‫تدريب (‪)2-3‬‬ ‫ط ِّبق طريقة �أبي كامل الم�صري في جمع الجذرين الآتيين‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪143‬‬


‫الوحدة الثالثة‬

‫ا�ستخدام الآلة الحا�سـبة لإيجاد الجذر التربيعي للعدد الحقيقي الموجب‬ ‫الحقيقي الموجب عمل َّية �أ�سـا�س َّية ف���ي معظم الآالت الحا�سـبة‪،‬‬ ‫التربيعي للع���دد‬ ‫ُتع��� ُّد عمل َّي���ة ا�سـتخراج الجذر‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫‪.‬‬ ‫ومفتاح هذه العمل َّية هو‬ ‫و�سـي َّت�ضح من خالل الأمثلة التالية � َّأن ا�سـتخدام الآلة الحا�سـبة لإيجاد قيم الجذور التربيع َّية للأعداد المر َّبعة‬ ‫الكبي���رة ج��� ًّدا �أو ال�صغيرة ج ًّدا هو �أ�سـرع و�أ�سـهل من طريقة تحلي���ل هذه الأعداد‪ ،‬كما � َّأن ا�سـتخدامها ُيم ِّكننا‬ ‫ال�صم )‪.‬‬ ‫من �إيجاد قيم الجذور التربيع َّية للأعداد غير المر َّبعة التي ال يمكن �إيجادها بالتحليل ( الجذور ُّ‬

‫مثال (‪)14-3‬‬ ‫�أوجد الجذرين التربيعيين‬ ‫بالتحليل �إلى عوامل‪.‬‬ ‫با�سـتعمال الآلة الحا�سـبة‪.‬‬

‫الحل‬

‫با�سـتخدام الآلة الحا�سـبة نجد � َّأن‬

‫‪144‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪:‬‬


‫الج ـ ـ ــذور‬

‫مثال (‪)15-3‬‬

‫�أوجد با�سـتخدام الآلة الحا�سـبة الجذور التربيع َّية التالية ( مق ِّر ًبا الناتج لأربعة �أرقام ع�شـر َّية ) ‪:‬‬

‫الحل‬ ‫� ًإذا‬

‫( لأقرب �أربعة �أرقام ع�شـر َّية )‬

‫الحظ‬

‫‪،‬‬

‫(‬ ‫�أقرب �إلى‪1‬منه �إلى‪)2‬‬

‫� ًإذا‬

‫( لأقرب �أربعة �أرقام ع�شـر َّية )‬

‫( الحظ � َّأن‬

‫� ًإذا‬

‫�أقرب �إلى منه �إلى )‬

‫( لأقرب �أربعة �أرقام ع�شـر َّية )‬

‫تدريب (‪)3-3‬‬ ‫�أوجد الجذور التربيع َّية الآتية با�سـتخدام الآلة الحا�سـبة‪.‬‬ ‫ـري واحد )‬ ‫( مق ِّر ًبا الناتج لأقرب رقم ع�ش ٍّ‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪145‬‬


‫الوحدة الثالثة‬

‫‪ -2‬الجذور التكعيبية‬ ‫� َّإن مك َّعب العدد هو العدد �أي � َّأن‬ ‫فنقول‪َّ � :‬إن العدد هو الجذر التكعيب ُّـي للعدد ونكتب‪:‬‬

‫تعريف ( ‪)4 -3‬‬

‫الجذ ُر التكعيب ُّـي ٍ‬ ‫الحقيقي‬ ‫حقيقي هو العدد‬ ‫لعدد‬ ‫ٍّ‬ ‫ُّ‬ ‫�أي � َّأن‬

‫الذي يحقِّق المعادلة‬

‫(‪)5-3‬‬ ‫من التعريف ال�سـابق ن�سـتنتج � َّأن‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫لأن‬

‫‪2‬‬

‫ف� َّإن‬

‫‪3‬‬

‫ف� َّإن‬

‫‪� 4‬إذا كان‬ ‫فمث ًال‬ ‫وذلك يعنـي � َّأن‬

‫تدريب (‪)4-3‬‬ ‫�أوجد قيمة‬

‫‪146‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫فمث ًال‬ ‫فمث ًال‬

‫قاب ًال الق�سـمة على ف� َّإن‬ ‫لأن‬

‫لأن‬ ‫لأن‬ ‫( لماذا ؟ )‬


‫الج ـ ـ ــذور‬

‫�ضرب الجذور التكعيب َّية وق�سـمتها‬

‫كما هي الحال في الجذور التربيع َّية ف�إ نَّه يمكننا كتابة القاعدة التالية‪:‬‬ ‫ف� َّإن‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫(‪)6-3‬‬ ‫ف� َّإن‬

‫( لماذا ؟ )‬

‫مثال (‪)16-3‬‬

‫د‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪147‬‬


‫الوحدة الثالثة‬

‫ا�ستخدام الآلة الحا�سـبة لإيجاد الجذر التكعيبي للعدد الحقيقي‬ ‫�أمكننا في المثال ال�سـابق �إيجاد قيمة ٍّ‬ ‫لكل من الجذرين التكع ِّيبيين‬ ‫ولكن هذه الطريقة لم ِ‬ ‫ناتجا ل ٍّأي من الجذرين التكع ِّيبيين‬ ‫بطريقة تحليل العدد �إلى عوامل‪َّ ،‬‬ ‫تعط ً‬ ‫الق�سـمة على ‪.‬‬

‫بل ب�سـَّطتهما فقط؛ وذلك لكون �أحد الأ�س�س في التحليل لم يقبل‬

‫وكم���ا ا�سـتخدمن���ا الآل���ة الحا�سـبة لإيجاد الج���ذور التربيع َّية للأع���داد الحقيق َّية الموجبة‪ ،‬ف�إنَّ���ه يمكننا كذلك‬ ‫ا�سـتخدامها لإيجاد الجذور التكعيب َّية للأعداد الحقيق َّية‪ .‬وتع ُّد عملية ا�سـتخراج الجذر التكعيب ِّـي عمل َّية �أ�سـا�س َّية‬ ‫في معظم الآالت الحا�سـبة ومفتاحها هو‬ ‫الحقيقي‬ ‫و�سـي َّت�ض���ح من خالل المثال التالي � َّأن ا�سـتخدام الآل���ة الحا�سـبة لإيجاد قيمة الجذر التكعيب ِّـي للعدد‬ ‫ِّ‬ ‫المك َّعب �أ�سـهل و�أ�سـرع من طريقة تحليل العدد �إلى عوامل‪ ،‬كما � َّأن ا�سـتخدامها يم ِّكننا من �إيجاد قيمة الجذر‬ ‫التكعيب ِّـي للأعداد غير المك َّعبة �أي ( التي ال يمكن �إيجادها بالتحليل )‪.‬‬

‫مثال (‪)17-3‬‬ ‫با�سـتخدام الآلة الحا�سـبة �أوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل من الجذرين التكع ِّيبيين‬

‫الحل‬ ‫�إذا‬

‫�إذا‬

‫‪148‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫( لأقرب �أربعة �أرقام ع�شرية )‬


‫الج ـ ـ ــذور‬

‫‪ -3‬الجذور النونية‬ ‫تعريف ( ‪)5 -3‬‬ ‫�إذا كان‬ ‫الحقيقي‬

‫النوني للعدد ورمزه‬ ‫‪ ،‬ف� َّإن الجذر‬ ‫َّ‬

‫هو العدد‬

‫الذي يحقِّق المعادلة‬

‫�شـريطة �أن يكون‬ ‫في التعبير‬ ‫ف� َّإن دليل الجذر‬

‫�إذا كان عد ًدا زوج ًّيا‪.‬‬

‫ن�س ِّـمي دليل الجذر‪ ،‬المجذور‪،‬‬ ‫ال يكتب على يمين عالمة الجذر‪� ،‬أي‬

‫التربيعي‬ ‫عالمة الجذر‪ ،‬وكما ر�أينا في الجذر‬ ‫ِّ‬ ‫‪.‬‬ ‫يكتب‬

‫نتيجة (‪)1-3‬‬ ‫من التعريف ( ‪ ) 5-3‬ن�سـتنتج ما يلي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪� 2‬إذا كان زوج ًّيا وكان موج ًبا‪ ،‬ف� َّإن للمعادلة‬ ‫‪.‬‬ ‫والآخر �سـالب وهو‬ ‫؛ ل َّأن‬ ‫لـها جذران هما‬ ‫فمث ًال المعادلة‬ ‫لـها هو‬

‫جذرين؛ �أحدهما موجب وهو‬

‫‪،‬‬

‫ويكون الجذر الموجب‬

‫‪� ،‬أ َّما الجذر ال�سـالب فهو‬

‫الحظ � َّأن ‪:‬‬ ‫وهذا يعني � َّأن‬

‫حقيقي‬ ‫وعا َّمة الأمر ف�إ نَّه ل ِّأي عدد‬ ‫ٍّ‬

‫يكون‬

‫حيث عدد زوجي‬

‫( ‪) 3-3‬‬

‫حقيقي يحقِّق المعادلة‬ ‫‪� 13‬إذا كان زوج ًّيا وكان �سـال ًبا ف�إ نَّه ال يوجد عدد‬ ‫ٌّ‬ ‫نوني للعدد في هذه الحالة‪.‬‬ ‫�أي �أ نَّه ال يوجد جذر ٌّ‬ ‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪149‬‬


‫الوحدة الثالثة‬ ‫فمث ًال‪ :‬المعادلة‬ ‫‪� 14‬إذا كان‬ ‫للمعادلة‬ ‫فمث ًال‪ :‬المعادلة‬

‫حقيقي‪ ،‬لذا ف� َّإن‬ ‫لي�س لـها جذر‬ ‫ٌّ‬ ‫حقيقي ‪ ،‬ويكون‬ ‫ل ِّأي عدد‬ ‫ٍّ‬

‫فرد ًّيا‪ ،‬ف�إنَّه يمكن �إيجاد‬

‫ويكون‬

‫لـها جذر وحيد هو ؛ ل َّأن‬ ‫يعني � َّأن‬

‫الحظ � َّأن‬ ‫وعلى العموم‬ ‫حقيقي‬ ‫ل ِّأي عدد‬ ‫ٍّ‬

‫فردي‬ ‫حيث عدد ٌّ‬

‫يكون‬

‫�شـريطة �أن يكون‬

‫‪15‬‬

‫( ‪) 4-3‬‬

‫مع َّرفًا‪.‬‬

‫فمث ًال‪:‬‬ ‫كذلك ف� َّإن‬ ‫ولكن‬

‫( لماذا ؟ )‬

‫(‪)7-3‬‬ ‫يمكننا دمج العالقتين ( ‪ ) 4-3 ( ، ) 3-3‬في ال�صورة التالية‪:‬‬

‫وبفر�ض‬

‫�إذا كان‬

‫عد ًدا زوج ًّيا‬

‫�إذا كان‬

‫عد ًدا فرد ًّيا‬

‫نجد � َّأن‪:‬‬ ‫�إذا كان‬ ‫�إذا كان‬

‫‪150‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫عد ًدا زوج ًّيا‬ ‫عد ًدا فرد ًّيا‬

‫هو الجذر الوحيد‬


‫الجذور‬ ‫وهذا يقودنا �إلى التعميم التالي‪:‬‬

‫�إذا كان‬

‫بحيث يقبل الق�سـمة على ف� َّإن‪:‬‬ ‫�إذا كان‬ ‫�إذا كان‬

‫عد ًدا زوج ًّيا‬ ‫عد ًدا فرد ًّيا‬

‫مثال (‪)18-3‬‬ ‫�ضع ك ًّ‬ ‫ال ِم َّما ي�أتي في �أب�سـط �صورة ‪:‬‬

‫د‬

‫الحل‬

‫د‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪151‬‬


‫الوحدة الثالثة‬ ‫تدريب (‪)5-3‬‬ ‫�أوجد قيمة المقدار‬

‫خ�صائ�ص الجذور‬

‫الخا�صتين المب َّينتين بالنظر َّية‬ ‫وكم���ا ه���و الحال في الج���ذور التربيع َّية والتكعيب َّية‪ ،‬ف�إ َّن للجذور ب�شـكل ع���ا ِّم‬ ‫ِّ‬ ‫التالية‪:‬‬

‫نظرية (‪)2-3‬‬ ‫ف� َّإن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫( حيث‬

‫�إذا كان‬

‫زوج ًيا )‬

‫�إذا كان‬

‫زوج ًيا‬

‫�إذا كان‬

‫فرد ًيا‬

‫حيث‬

‫البرهان‬

‫الخا�صة الثانية للطالب )‬ ‫الخا�صة الأولى ونترك برهان‬ ‫( �سنكتفي بالبرهان على‬ ‫َّ‬ ‫َّ‬

‫تكون العالقة‬ ‫نوني للمقدار‬ ‫هو جذر ٌّ‬ ‫وفي الحقيقة‪:‬‬

‫�صحيحة فيما �إذا �أثبتنا � َّأن‪:‬‬ ‫�صحيحا �إذا كان‬ ‫ويكون ذلك‬ ‫ً‬ ‫ح�سـب فقرة ( ‪ ) 4‬من نظرية ( ‪) 1-3‬‬ ‫النوني‪.‬‬ ‫ح�سـب تعريف الجذر‬ ‫ِّ‬

‫وعلى ن�سـق هذا البرهان ف�إ نَّه يمكننا برهنة النتيجة التالية‪:‬‬

‫‪152‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫الجذور‬

‫نتيجة (‪)2-3‬‬ ‫ف� َّإن‪:‬‬ ‫حيث‬

‫�إذا كان‬

‫و�إذا و�ضعنا‬

‫زوج ًّيا‪.‬‬

‫وكان عدد هذه العوامل م‬

‫ف�إنَّنا نح�صل على العالقة‬

‫(‪)5-3‬‬

‫والخا�صة (‪)2‬‬ ‫‪ ،‬وذلك ا�سـتنا ًدا �إلى التعريف ( ‪) 3-3‬‬ ‫َّ‬

‫ويمكننا �إثبات � َّأن هذه العالقة �صحيحة‬ ‫من نظرية ( ‪.) 2-3‬‬

‫في فقرة (د) من مثال‬ ‫وتجدر الإ�شارة هنا �إلى � َّأن ت�سـاوي قيمتي الجذرين‪:‬‬ ‫(‪ )18-3‬لم يكن م�صادف ًة ‪ ،‬بل هو في حقيقة الأمر ناتج عن العالقة (‪ )5-3‬ال�سـابقة‪.‬‬

‫تدريب (‪)6-3‬‬ ‫على �ضوء العالقة ( ‪� ،) 5-3‬أوجد قيمة‬

‫مثال (‪)19-3‬‬ ‫�ضع ك ًّ‬ ‫ال ِم َّما يلي في �أب�سـط �صورة ‪:‬‬

‫د‬

‫الحل‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪153‬‬


‫الوحدة الثالثة‬

‫د‬

‫الحظ �أ نَّنا اعتمدنا في تب�سـيط الجذور ال�سـابقة على خ�صائ�ص الجذور والملحوظة ( ‪.) 5-3‬‬

‫تدريب (‪)7-3‬‬ ‫على وفق طريقة تب�سـيط الجذور التربيع َّية بالتحليل؛ ُ�صغ طريق ًة لتب�سـيط الجذور النون َّية‪.‬‬

‫‪154‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫الج ـ ـ ــذور‬

‫تمـاريـن ( ‪) 3-3‬‬ ‫‪ 1‬ح ِّول �إلى مجموع جذرين �أو فرق جذرين ‪:‬‬

‫د‬ ‫وب�سـط الناتج �إن �أمكن‪.‬‬ ‫‪ 2‬ط ِّبق طريقة �أبي كامل الم�صري في جمع ( �أو طرح ) الجذور ُّ‬ ‫ال�صم ِّ‬

‫د‬

‫‪3‬‬

‫�صحة الناتج عندما يكون ذلك ممكنًا‪.‬‬ ‫في التمرين ال�سـابق تحقَّق من َّ‬

‫‪ 4‬بدون ا�سـتخدام الآلة الحا�سـبة �أوجد �إن �أمكن قيمة ٍّ‬ ‫كل من ‪:‬‬

‫هـ‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪155‬‬


‫الوحدة الثالثة‬ ‫ب�سـط ك ًّ‬ ‫ال من الجذور التالية‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ِّ‬

‫هـ‬

‫حيث‬

‫حيث‬

‫‪6‬‬

‫اخت�صر ك ًّ‬ ‫ال ِم َّما يلي لأب�سـط �صورة ‪:‬‬

‫هـ‬

‫‪7‬‬

‫حيث‬

‫حيث‬

‫حيث‬

‫با�سـتخدام الآلة الحا�سـبة �أوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل ِم َّما يلي ( مق ِّر ًبا الناتج لأربعة �أرقام ع�شـر َّية ) ‪:‬‬ ‫هـ‬

‫‪156‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫الأ�ســ�س الن�ســبيـة‬

‫‪4-3‬‬

‫الأ�س ــ�س الن�سـ ــب َّية‬ ‫حقيقي عندما كانت الأ�سـ�س �أعدا ًدا �صحيحة‪،‬‬ ‫در�سـنا في الدر�س ( ‪ ) 1-3‬قوى عدد‬ ‫ٍّ‬ ‫الحقيقي ذات الأ�سـ�س الن�سـب َّية‪.‬‬ ‫وامتدا ًدا لذلك ندر�س هنا قوى العدد‬ ‫ِّ‬

‫تعريف (‪)6 -3‬‬ ‫�إذا كان‬

‫ف� َّإن‬

‫وال يكون عد ًدا حقيق ًّيا �إذا كان �سـال ًبا‪ ،‬عد ًدا زوج ًيا‪.‬‬

‫مثال (‪)20-3‬‬ ‫�أوجد �إن �أمكن قيمة ُك ٍّل ِم َّما يلي‪:‬‬

‫الحل‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪157‬‬


‫الوحدة الثالثة‬ ‫(‪)8-3‬‬ ‫ونرمز له بالرمز‬

‫على �ضوء التعريف ( ‪ ) 6-3‬والعالقة ( ‪ ) 5-3‬ن�سـتنتج � َّأن‬

‫�شـريطة �أن يكون‬

‫�إذا كان‬

‫عد ًدا زوج ًّيا‪ ،‬وذلك يعني �أن يكون‬

‫عد ًدا حقيق ًّيا‬

‫فمث ًال‪:‬‬

‫( تحقَّق من ذلك )‬

‫بينما‬

‫( لمـاذا ؟ )‬

‫وبذلك يمكننا تقديم التعريف التالي‪:‬‬

‫تعريف (‪)7 -3‬‬ ‫عد ًدا ن�سـب ًّيا حيث‬

‫�إذا كان‬

‫مع َّرفًا ف� َّإن‬

‫بحيث يكون‬

‫وكان‬ ‫‪،‬‬

‫مع َّرف‪.‬‬

‫مثال (‪)21-3‬‬ ‫�أوجد قيمة‪:‬‬

‫الحل‬ ‫�أو‬

‫د‬

‫‪158‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫د‬


‫الأ�ســ�س الن�ســبيـة‬ ‫والآن بعد �أن ق َّدمنا تعريفًا لق َّو ٍة � ُّأ�سـها عد ٌد ن�سب ٌّـي ف�إ نَّه يمكننا تعميم النظر َّية ( ‪ ) 1-3‬بحيث ت�شـمل قوى‬ ‫حقيقي عندما تكون الأ�سـ����س �أعدا ًدا ن�سـب َّية‪ .‬وتجدر الإ�شـارة �إلى �أ نَّ���ه يجب توخِّ ي ال َّدقة والحذر قبل‬ ‫ع���دد‬ ‫ٍّ‬ ‫تطبي���ق � ٍّأي م���ن قوانين الأ�سـ�س الن�سـب َّي���ة؛ وذلك بالت�أكد من � َّأن جميع الق���وى المت�ض ِّمنة في القانون المراد‬ ‫ا�سـتخدامه مع َّرفة �أ�ص ًال‪ .‬فعلى �سـبيل المثال‪:‬‬ ‫غير مع َّرفة‬ ‫؛ ل َّأن‬ ‫لح�سـاب‬ ‫ال يمكننا تطبيق القانون‬ ‫الحظ �أ َّن‬ ‫بينما‬ ‫وهذا يعني � َّأن‪:‬‬ ‫وف���ي حقيقة الأمر‪َّ � ،‬إن تعميم قواني���ن الأ�سـ�س ال�صحيحة لت�شـمل الأ�سـ�س الن�سـب َّية �سـيم ِّكننا من تب�سـيط‬ ‫ـنو�ضح ذلك من خالل‬ ‫الكثي���ر من المقادي���ر الريا�ض َّية‬ ‫المت�ضمن���ة �أ�س ًـ�سا ن�سـب َّية �أو ج���ذو ًرا نون َّي���ة‪ ،‬و�س ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫الأمثلة التالية‪.‬‬

‫مثال (‪)22-3‬‬ ‫با�سـتخدام قوانين الأ�سـ�س الن�سـب َّية‪� ،‬أوجد قيمة ُك ٍّل من المقادير التالية‪:‬‬

‫الحل‬

‫وتج���در الإ�شـ���ارة هنا �إلى �أ نَّه يمكنك ح َّل التدريب ( ‪ ) 4-3‬على ن�سـق ما �أجريناه في هذا المثال بينما‬ ‫ال يمكنك اتِّباع ذلك ِّ‬ ‫لحل التدريب ( ‪ .) 5-3‬لماذا ؟‬ ‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪159‬‬


‫الوحدة الثالثة‬ ‫تدريب (‪)8-3‬‬ ‫�أثبت � َّأن‬

‫مثال (‪)23-3‬‬ ‫با�سـتخدام قوانين الأ�سـ�س الن�سـب َّية‪ ،‬اخت�صر ك ًّ‬ ‫ال ِم َّما يلي لأب�سـط �صورة ‪:‬‬ ‫حيث‬ ‫حيث‬ ‫حيث‬

‫الحل‬

‫‪160‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫الأ�ســ�س الن�ســبيـة‬

‫مثال (‪)24-3‬‬ ‫�أثبت �أ َّن‬

‫حيث‬

‫الحل‬ ‫الطرف الأيمن‬

‫الطرف الأي�سر‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪161‬‬


‫الوحدة الثالثة‬

‫تمـاريـن ( ‪) 4-3‬‬ ‫‪ 1‬اكتب الأعداد التالية على �صيغة جذور ‪:‬‬ ‫ب�سـط الجذور التالية ُث َّم اكتب ك ًّ‬ ‫ـري ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ال منها على هيئة ق َّوة � ُّأ�سـها عد ٌد ع�ش ٌّ‬ ‫ِّ‬

‫‪� 3‬أوجد‪� -‬إن �أمكن‪ -‬قيمة ُك ٍّل من‪:‬‬

‫هـ‬

‫‪162‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫الأ�ســ�س الن�ســبيـة‬

‫‪ 4‬اخت�صر الناتج في �أب�سـط �صورة فيما يلي‪:‬‬

‫هـ‬

‫‪� 5‬ضع ك ًّ‬ ‫ال ِم َّما يلي في �أب�سـط �صورة‪ ،‬على افترا�ض �أ َّن‬ ‫حيث‬

‫هـ‬

‫حيث‬

‫حيث‬

‫حيث‬ ‫حيث‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪163‬‬


‫الوحدة الثالثة‬ ‫حيث‬ ‫حيث‬ ‫حيث‬

‫حيث‬ ‫‪ 6‬اخت�صر ك ً‬ ‫ال مما يلي ‪:‬‬

‫‪،‬‬

‫‪ ،‬حيث‬ ‫‪ ،‬حيث‬

‫‪.‬‬

‫‪،‬‬

‫‪.‬‬

‫حيث‬

‫‪� 7‬أثبت �أن ‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ ،‬حيث‬

‫‪ ،‬حيث‬

‫‪164‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫حيث‬

‫‪.‬‬


‫اللوغـ ـ ـ ــاريت ـ ــم‬

‫‪5-3‬‬

‫اللوغـ ـ ـ ـ ـ ــاريتـ ــم‬ ‫در�سنا الأ�س�س وتعاملنا مع ال�صورة الأ�س َّية‬ ‫‪ ،‬هو الأ�سا�س ‪ ،‬هو ال ُّأ�س ‪،‬‬

‫حيث‬ ‫هو الناتج ‪.‬‬

‫و�سنقبل هنا ب�أن ال َّأ�س يمكن �أن يكون عد ًدا حقيق ًّيا ‪ ،‬كما �سنقبل ب�صحة قوانين الأ�س�س‬ ‫ ‬ ‫ف���ي ه���ذه الحالة ‪ .‬وفي هذه الوحدة نتع َّرف على �صور ٍة �أخرى غير ال�صورة الأ�س َّية تم ِّكننا من‬ ‫أ����س �س �إذا ُع ِل���م ك ٌّل من ‪���� ،‬ص وتُعرف بال�ص���ورة اللوغاريتم َّية‬ ‫الح�ص���ول عل���ى قيم���ة ال ِّ‬ ‫وهي ‪:‬‬ ‫لوغاريتم العدد للأ�سا�س وتُكتب اخت�صا ًرا على ال�صورة ‪:‬‬ ‫وفيما يلي بع�ض ال�صور الأ�س َّية وال�صور اللوغاريتم َّية المناظرة لها‪:‬‬

‫ال�صورة الأ�سية‬

‫ال�صورة اللوغاريتمية‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪165‬‬


‫الوحدة الثالثة‬ ‫تعريف (‪)8 -3‬‬ ‫‪ ،‬ف� َّإن ِّ‬ ‫لكل‬

‫�إذا كان‬

‫حقيقي‬ ‫يتع َّين عد ٌد‬ ‫ٌّ‬

‫بحيث يكون‬

‫(‪)9-3‬‬ ‫ف���� َّإن‬ ‫‪،‬‬ ‫‪ 1‬يمك���ن �أن نع ِّب���ر ع���ن تعري���ف اللوغاريت���م بقولن���ا ‪� :‬إذا كان‬ ‫لوغاريتم العدد للأ�سا�س هو ال ُّأ�س الذي يجب �أن نرفع �إليه الأ�سا�س لنح�صل على العدد ‪.‬‬ ‫‪ ،‬وذلك ل َّأن‪:‬‬

‫‪ 2‬ا�شترطنا في التعريف ال�سابق � َّأن‬ ‫لي�س له معنى لبع�ض قيم‬ ‫فمث ًال‪� :‬إذا كان‬

‫ف� َّإن‬

‫ال معنى له في عندما‬

‫وهذا يعني � َّأن‬

‫وحيدا ) ‪.‬‬ ‫غير معينٍ ( لي�س ً‬

‫‪ 1‬بما � َّأن العبارتين‬

‫‪،‬‬

‫نتيجة (‪)3-3‬‬

‫بالتعوي�ض عن‬

‫‪.‬‬

‫متكافئتان ف�إنَّه ‪:‬‬

‫من ال�صورة الأ�س َّية في ال�صورة اللوغاريتم َّية ينتج لدينا ‪:‬‬ ‫( ‪) 6-3‬‬

‫وبالتعوي�ض عن‬

‫من ال�صورة اللوغاريتم َّية في ال�صورة الأ�س َّية ينتج لدينا ‪:‬‬ ‫( ‪) 7-3‬‬

‫‪ 2‬بما � َّأن‬ ‫وبما � َّأن‬

‫‪166‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫ف� َّإن‬ ‫ف� َّإن‬

‫�أي �أن لوغاريتم العدد ي�ساوي �صفـ ًرا مهما كـان الأ�سـ ـ ــا�س ‪.‬‬ ‫�أي �أنَّه �إذا ت�ساوى العدد والأ�سا�س ف�إن اللوغاريتم ي�ساوي الواحد ‪.‬‬


‫اللوغـ ـ ـ ــاريت ـ ــم‬

‫‪� 3‬إذا كان ك ٌّل من‬

‫ف� َّإن‬

‫‪،‬‬

‫ويمكن �إثبات ذلك على النحو التالي ‪:‬‬ ‫�أ َّوال‪ -‬نثبت � َّأن‬ ‫وذلك بفر�ض‬ ‫فيكون‬

‫حيث‬ ‫وهذا يعني � َّأن‬

‫‪،‬‬

‫ثان ًيا‪ -‬نثبت � َّأن‬ ‫وذلك بفر�ض‬ ‫فيكون‬

‫‪،‬‬

‫الحظ‪� :‬أنه لأي عبارتين ‪،‬‬

‫وهذا يعني � َّأن‬ ‫ف�إن ‪:‬‬

‫تعني �أن ‪:‬‬

‫َو‬

‫مثال (‪)25-3‬‬ ‫اكتب ال�صورة اللوغاريتم َّية المقابلة لل�صورة الأ�س َّية في ٍّ‬ ‫كل ِم َّما يلي ‪:‬‬

‫الحل‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪167‬‬


‫الوحدة الثالثة‬ ‫مثال (‪)26-3‬‬ ‫ع ِّبر ع َّما ي�أتي ب�صور ٍة �أ�س َّي ٍة ‪:‬‬

‫الحل‬

‫مثال (‪)27-3‬‬ ‫�أوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل من ‪:‬‬

‫الحل‬ ‫بما � َّأن‬ ‫بما � َّأن‬ ‫بما � َّأن‬

‫� ًإذا‬ ‫� ًإذا‬ ‫� ًإذا‬

‫الحظ‪� :‬أنَّه يمكن ا�ستخدام العالقة ( ‪ِّ ) 6-3‬‬ ‫لحل المثال ال�سابق كما يلي‪:‬‬

‫‪168‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫اللوغـ ـ ـ ــاريت ـ ــم‬

‫قــوانين اللوغاريتمـ ــات‬ ‫‪ -1‬لوغاريتم حا�صل �ضرب عددين‬ ‫�إذا ت�أ َّملنا الجدول التالي‪:‬‬

‫نالحظ � َّأن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫لوغاريتمي‬ ‫معلوم ي�ساوي مجموع‬ ‫تو�ضح � َّأن لوغاريتم حا�صل �ضرب عددين ل ٍ‬ ‫والنظرية التالية ِّ‬ ‫أ�سا�س ٍ‬ ‫ِّ‬ ‫العددين لنف�س الأ�سا�س‪.‬‬

‫نظرية (‪)3-3‬‬ ‫�إذا كان‬

‫ف� َّإن‪:‬‬

‫البرهان‬

‫نفر�ض‬ ‫� ًإذا‬

‫( من تعريف اللوغاريتم )‬

‫� ًإذا‬ ‫� ًإذا‬

‫( لماذا ؟ )‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪169‬‬


‫الوحدة الثالثة‬ ‫نتيجة (‪)4-3‬‬ ‫�إذا كانت‬

‫البرهان‬

‫متروك كتدريب للطالب ‪.‬‬

‫مثال (‪)28-3‬‬

‫‪ -2‬لوغاريتم خارج ق�سمة عددين‬ ‫في الجدول الآتي‪:‬‬

‫نالحظ � َّأن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪170‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫ف� َّإن‪:‬‬


‫اللوغـ ـ ـ ــاريت ـ ــم‬ ‫معلوم ي�ساوي لوغاريتم المق�سوم لهذا‬ ‫تو�ضح � َّأن لوغاريتم خارج ق�سمة عددين ل ٍ‬ ‫والنظرية التالية ِّ‬ ‫أ�سا�س ٍ‬ ‫مطروحا منه لوغاريتم المق�سوم عليه لنف�س الأ�سا�س ‪:‬‬ ‫الأ�سا�س‬ ‫ً‬

‫نظرية (‪)4-3‬‬ ‫ف� َّإن‪:‬‬

‫�إذا كانت‬

‫البرهان‬

‫متروك كتدريب للطالب‪.‬‬

‫مثال (‪)29-3‬‬

‫نتيجة (‪)5-3‬‬ ‫حيث‬ ‫ل َّأن‬

‫�صفر‬

‫مثال (‪)30-3‬‬

‫‪ -3‬لوغاريتم عد ٍد مرفو ٍع ل ٍّأ�س‬ ‫من النتيجة ( ‪ ) 4 – 3‬نجد � َّأن ‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪171‬‬


‫الوحدة الثالثة‬ ‫( من المرات )‬

‫تو�ضح � َّأن لوغاريتم ٍ‬ ‫حقيقي ي�ساوي حا�صل �ضرب ال ِّأ�س في لوغاريتم‬ ‫مرفوع ل ِّأي � ٍّأ�س‬ ‫عدد‬ ‫والنظرية التالية ِّ‬ ‫ٍ‬ ‫ٍّ‬ ‫هذا العدد لنف�س الأ�سا�س‪.‬‬

‫نظرية (‪)5-3‬‬ ‫�إذا كانت‬

‫ف� َّإن‪:‬‬

‫البرهان‬ ‫فيكون‬

‫( من تعريف اللوغاريتم )‬

‫( من تعريف اللوغاريتم )‬

‫مثال (‪)31-3‬‬

‫وهذا يتفق مع النتيجة ( ‪. ) 5 – 3‬‬

‫‪172‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫اللوغـ ـ ـ ــاريت ـ ــم‬

‫نتيجة (‪)6-3‬‬ ‫�إذا كانت‬

‫ف�إن‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫مثال (‪)32-3‬‬ ‫اخت�صر ما ي�أتي‪:‬‬

‫الحل‬

‫وبطريق ٍة �أخرى ف� َّإن‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪173‬‬


‫الوحدة الثالثة‬ ‫مثال (‪)33-3‬‬ ‫�إذا علمت � َّأن‬

‫ف�أوجد‪:‬‬ ‫د‬

‫الحل‬

‫د‬

‫تدريب (‪)9-3‬‬ ‫�إذا كان‬

‫‪174‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫ف�أوجد‬


‫اللوغـ ـ ـ ــاريت ـ ــم‬

‫مثال (‪)34-3‬‬ ‫�أثبت �أ َّن ‪:‬‬

‫الحل‬ ‫الطرف الأيمن‬

‫الطرف الأي�سر‬ ‫الطرف الأيمن‬

‫الطرف الأي�سر‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪175‬‬


‫الوحدة الثالثة‬

‫تمـاريـن ( ‪) 5-3‬‬ ‫‪ 1‬اكتب ال�صورة اللوغاريتم َّية المقابلة لل�صورة الأ�س َّية في ٍّ‬ ‫كل ِم َّما ي�أتي ‪:‬‬

‫‪ 2‬اكتب ال�صورة الأ�س َّية المقابلة لل�صورة اللوغاريتم َّية في ٍّ‬ ‫كل ِم َّما ي�أتي ‪:‬‬

‫‪� 3‬أوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل من ‪:‬‬

‫عن يمين العبارات التالية عل ًما ب�أ َّن الأ�سا�س ٍّ‬ ‫لكل من اللوغاريتمات‬ ‫‪� 4‬ضع عالمة �أو عالمة‬ ‫المعطاة هو عدد حقيقي موجب ال ي�ساوي الواحد‪:‬‬

‫‪176‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫اللوغـ ـ ـ ــاريت ـ ــم‬

‫‪ 5‬اكتب المقادير التالية كمجموع �أو فرق لوغاريتمات عل ًما ب�أ َّن جميع المتغيرات الواردة تم ِّثل �أعدا ًدا‬ ‫حقيق َّية موجبة ‪:‬‬

‫‪ 6‬ف���ي ٍّ‬ ‫كل ِم َّم���ا ي�أتي اكت���ب العبارة المعطاة على �شكل لوغاريتم لمقدار واحد عل ًما ب�أ َّن جميع المتغيرات‬ ‫الواردة تم ِّثل �أعدا ًدا حقيق َّية موجبة ‪:‬‬

‫‪� 7‬إذا علمت �أ َّن‬

‫ف�أوجد ‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪177‬‬


‫الوحدة الثالثة‬ ‫‪� 8‬أوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل من ‪:‬‬

‫هـ‬

‫‪� 9‬أثبت �صحة ٍّ‬ ‫كل ِم َّما يلي‪:‬‬

‫هـ‬

‫‪178‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫اللوغـاريتمات الع�شرية‬

‫‪6-3‬‬

‫اللوغاريتمات الع�شــر َّية‬ ‫در�ست فيما �سبق لوغاريتمات الأعداد لأ�سا�سات مختلفة ‪ ،‬وتكون اللوغاريتمات‬ ‫مفي���دة ج���د ًا في العملي���ات الح�سابية عندما تك���ون للأ�سا����س ‪ 10‬؛ وذلك ل َّأن‬ ‫النظام العددي الذي ن�ستخدمه في حياتنا اليومية �أ�سا�سه ‪ِ 10‬م َّما يم ِّكننا من‬ ‫كتابة � ِّأي عدد حقيقي موجب على ال�صورة القيا�س َّية ‪:‬‬

‫تُ�س َّم���ى لوغاريتمات الأعداد للأ�سا����س باللوغاريتمات الع�شر َّية �أو اللوغاريتمات المعتادة وقد اتفق‬ ‫ويمكنن���ا �إيجاد‬ ‫على ال�ص���ورة‬ ‫عل���ى ع���دم كتاب���ة الأ�سا����س �إذا كان م�ساو ًي���ا فنكت���ب‬ ‫‪ ،‬فمث ًال‪:‬‬ ‫ ‬ ‫اللوغاريتمات الع�شر َّية لقوى العدد مبا�شرة اعتما ًدا على كون‬

‫كما يمكننا �إيجاد اللوغاريتم الع�شري لأي عدد موجب �س ‪� ،‬إذا لم يكن �س م�ساو ًيا �إحدى قوى‬ ‫الع�شرة ‪ ،‬ب�أن نكتب �س على ال�صورة ‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪179‬‬


‫الوحدة الثالثة‬ ‫ومن ثم ن�ستخدم جداول ت�سمى الجداول اللوغاريتم َّية ال�ستخراج قيمة‬ ‫وم���ن الجدي���ر بالذكر � َّأن القيم التي نح�ص���ل عليها من الجداول هي قيم مق َّرب���ة وتب ًعا لدرجة التقريب‬ ‫نجد نماذج ِع َّدة لهذه الجداول‪ِّ ،‬‬ ‫ولكل جدولٍ طريق ٌة ال�ستعماله تكون موجود ًة في مقدمة ذلك الجدول ‪.‬‬ ‫جهدا ووقتًا ‪.‬‬ ‫ه���ذا ويمكننا با�ستخدام الآلة الحا�سبة اال�ستغناء عن الج���داول اللوغاريتم َّية التي تتطلب ً‬

‫الع�شري‬ ‫ا�ستخدام الآلة الحا�سبة في �إيجاد اللوغاريتم‬ ‫ِّ‬

‫الع�شري ل ِّأي ٍ‬ ‫حقيقي ٍ‬ ‫موجب ُيع ُّد من العمليات الأ�سا�س َّية في الآلة الحا�سبة العلم َّية‬ ‫عدد‬ ‫� َّإن �إيجاد قيمة اللوغاريتم‬ ‫ِّ‬ ‫ٍّ‬ ‫خا�ص ب�إيجاد اللوغاريتم‬ ‫الع�شري وهذا المفتاح هو ‪Log‬‬ ‫ِّ‬ ‫ويوجد في الآلة الحا�سبة العلم َّية مفتا ٌح ٌّ‬ ‫والرم���ز ‪ Log‬ه���و اخت�صار كلمة ‪ ، Logarithm‬وي�ستخدم هذا المفتاح لإيجاد لو�س وذلك بال�ضغط‬ ‫عليه ُث َّم �إدخال العدد �س بعد ذلك ( ح�سب طريقة ا�ستخدام الآلة )‪.‬‬

‫مثال (‪)35-3‬‬ ‫با�ستخدام الآلة الحا�سبة �أوجد قيمة ُك ٍّل ِم َّما ي�أتي‪:‬‬

‫الحل‬ ‫لإيجاد‬

‫ن�ضغط على مفاتيح الآلة الحا�سبة وفق التتابع الآتي ‪:‬‬

‫فيظهر على ال�شا�شة‬ ‫الحظ ‪� :‬أنَّنا كتبنا الناتج مق َّر ًبا لأربعة �أرقام ع�شرية و�سن َّتبع ذلك في جميع الأمثلة ‪.‬‬ ‫لإيجاد‬ ‫فيظهر على ال�شا�شة‬

‫‪180‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫ن�ضغط على مفاتيح الآلة الحا�سبة وفق التتابع الآتي ‪:‬‬


‫اللوغـاريتمات الع�شرية‬

‫مثال (‪)36-3‬‬ ‫ا�ستخدم الآلة الحا�سبة لإيجاد لو ‪ُ 5.6‬ث َّم �أوجد قيمة ُك ٍّل ِم َّما ي�أتي بدون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة‪:‬‬

‫الحل‬ ‫با�ستخدام الآلة الحا�سبة نجد � َّأن‬ ‫الحظ � َّأن‬

‫الحظ � َّأن‬

‫و� َّأن‬

‫و�أن َّ‬

‫الحظ � َّأن‬

‫الحظ � َّأن‬

‫و� َّأن‬

‫و� َّأن‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪181‬‬


‫الوحدة الثالثة‬

‫الع�شري‬ ‫ا�ستخدام الآلة الحا�سبة في �إيجاد عدد ُع ِلم لوغاريتمه‬ ‫ُّ‬

‫� َّإن عملي���ة �إيج���اد ع ٍ‬ ‫���ري ُتع��� ُّد م���ن العملي���ات غي���ر الأ�سا�س َّي���ة ف���ي الآل���ة‬ ‫���دد ُعل���م لوغاريتم���ه الع�ش ُّ‬ ‫الحا�سب���ة العلم َّي���ة ( ق���د تك���ون ه���ذه العمل َّي���ة �أ�سا�س َّي���ة ف���ي بع����ض الآالت ) ويوج���د ف���ي الآل���ة الحا�سب���ة‬ ‫���وب �أع�ل�اه الرم���ز ي�ستخ���دم ع���اد ًة لإيج���اد � ِّأي ق���وة م���ن ق���وى الع�ش���رة وذل���ك بال�ضغ���ط‬ ‫مفت���ا ٌح مكت ٌ‬ ‫أ����س ) وحي���ث �أن‬ ‫علي���ه ( بع���د ال�ضغ���ط عل���ى مفت���اح‪� SHIFT‬أو ‪ُ ) INV‬ث َّ‬ ‫���م �إدخ���ال الع���دد ( ال ِّ‬ ‫الع�شري ‪.‬‬

‫ف� َّإن المفتاح المكتوب �أعاله‬

‫ي�ستخدم لإيجاد ٍ‬ ‫عدد ُعلم لوغاريتمه‬

‫مثال (‪)37-3‬‬ ‫با�ستخدام الآلة الحا�سبة �أوجد قيمة �س �إذا كان ‪:‬‬

‫الحل‬ ‫ن�ستخدم المفاتيح المب َّينة بالتتابع الآتي‪:‬‬

‫� ًإذا‬ ‫ن�ستخدم المفاتيح المب َّينة بالتتابع الآتي‪:‬‬ ‫� ًإذا‬ ‫الحظ‪� :‬أنَّنا ا�ستخدمنا المفتاح‬ ‫لأجل ذلك‬

‫لإدخال الإ�شارة ال�سالبة كمـ ـ ـ ــا يمكن ا�ستخـ ـ ــدام المفت ـ ــاح‬

‫ومن الجدير بالذكر �أنَّه يمكننا ح�ساب قيم لوغاريتمات غير ع�شر َّية بتحويلها �إلى لوغاريتمات ع�شر َّية وذلك‬ ‫ا�ستناد ًا �إلى نظرية تغيير �أ�سا�س اللوغاريتم التالية ‪:‬‬

‫‪182‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫اللوغـاريتمات الع�شرية‬

‫نظرية (‪)6-3‬‬ ‫ف� َّإن‪:‬‬

‫�إذا كانت‬

‫البرهان‬ ‫بما � َّأن‬

‫من العالقة ( ‪) 7-3‬‬

‫من نظرية ( ‪) 5-3‬‬

‫مثال (‪)38-3‬‬ ‫�أوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل ِم َّما ي�أتي با�ستخدام الآلة الحا�سبة ‪:‬‬

‫الحل‬ ‫ال�ستخدام الآلة الحا�سبة نع ِّبر عن اللوغاريتم المعطى بداللة لوغاريتمات ع�شر َّية‬ ‫ح�سب النظرية ( ‪) 6-3‬‬

‫ن�ستخدم مفاتيح الآلة المب َّينة على التوالي‪:‬‬ ‫� ًإذا‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪183‬‬


‫الوحدة الثالثة‬ ‫ن�ستخدم مفاتيح الآلة المب َّينة على التوالي‪:‬‬ ‫� ًإذا‬

‫(‪)10-3‬‬ ‫�أ�شرنا �سابق ًا �إلى � َّأن �أهمية اللوغاريتمات برزت قبل اختراع الحا�سبات في �إجراء العمليات الح�سابية المعقَّدة‪،‬‬ ‫خوا�ص اللوغاريتمات وا�ستخدام الجداول‬ ‫فقد ك��نت الطريقة الوحيدة لإيجاد نواتج مثل هذه العمليات تعتمد على ِّ‬ ‫نو�ضح – على �سبيل المثال – طريقة ا�ستخدام اللوغاريتمات لإيجاد قيمة المقدار ‪:‬‬ ‫اللوغاريتم َّية‪ .‬وفيما يلي ِّ‬

‫حيث ن�ضع‬ ‫فيكون‬

‫وبا�ستخدام الآلة الحا�سبة ( بد ًال من الجداول ) وفق التتابع التالي ‪:‬‬

‫يظهر على ال�شا�شة‬ ‫ُث َّم نوجد �س الذي لوغاريتمه لم يزل على ال�شا�شة بال�ضغط على المفاتيح ‪:‬‬

‫‪184‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫اللوغـاريتمات الع�شرية‬

‫� ًإذا قيمة المقدار‬

‫هى‬

‫ومن الجدير ذكره � َّأن الآلة الحا�سبة تحتوي على المفاتيح التالية ‪:‬‬ ‫الذي ي�ستخدم لإيجاد مربع عدد ‪.‬‬ ‫الذي ي�ستخدم لإيجاد مكعب عدد ‪.‬‬ ‫الذي ي�ستخدم لإيجاد الجذر النوني لعدد ‪.‬‬ ‫ويمكنن���ا با�ستخدام هذه المفاتيح ح�ساب قيمة المقدار ال�سابق مبا�شر ًة دون و�ساطة اللوغاريتمات وذلك على‬ ‫النحو التالي ‪:‬‬

‫ونو ُّد � َّأن ن�شير هنا �إلى �أنَّه يمكننا اال�ستعا�ضة عن المفتاحين‬ ‫ي�ستخدم لإيجاد قوة عدد وذلك ب�إدخال العدد ُث َّم ال�ضغط على المفتاح‬

‫بالمفتاح‬

‫‪،‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫والذي‬

‫ُث َّم �إدخال القوة ‪.‬‬

‫وهك���ذا ن���رى � َّأن الآلة الحا�سبة جعلت اللوغاريتمات �أداة عتيقة في الح�سابات ذات النطاق الوا�سع ‪،‬‬ ‫ومن ُث َّم انتقلت �أهمية اللوغاريتمات في الح�سابات �إلى �أهميتها في درا�سة الدوال اللوغاريتم َّية التي هي‬ ‫�أ�سا�س َّي���ة في الريا�ضيات البحت���ة والريا�ضيات التطبيق َّية في العلوم الأخرى مثل العلوم البيولوج َّية وعلم‬ ‫الطبيعة وعلم االقت�صاد و�سترى ذلك م�ستقب ًال �إن �شاء اهلل تعالى ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪185‬‬


‫الوحدة الثالثة‬

‫تمـاريـن ( ‪) 6-3‬‬ ‫‪� 1‬أوجد بدون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة قيمة ٍّ‬ ‫كل من ‪:‬‬

‫‪ 2‬با�ستخدام الآلة الحا�سبة �أوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل ِم َّما ي�أتي‪:‬‬

‫‪ 3‬ا�ستخدم الآلة الحا�سبة في �إيجاد لو ‪ُ 68.26‬ث َّم �أوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل ِم َّما ي�أتي بدون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة‪.‬‬

‫‪ 4‬با�ستخدام الآلة الحا�سبة �أوجد قيمة �س في ٍّ‬ ‫كل ِم َّما ي�أتي ‪:‬‬

‫‪186‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫اللوغـاريتمات الع�شرية‬

‫‪� 5‬أوجد با�ستخدام الآلة الحا�سبة قيمة ٍّ‬ ‫كل من ‪:‬‬

‫‪� 6‬أثبت �أ َّن‬

‫‪� 7‬أوجد با�ستخدام الآلة الحا�سبة ناتج ٍّ‬ ‫كل ِم َّما ي�أتي ‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪187‬‬


‫الوحدة الثالثة‬

‫تطـبيـق ـ ـ ـ ـ ــات‬

‫‪7-3‬‬

‫بع�ضا من التطبيقات العلم َّية عل���ى اللوغاريتمات وفي‬ ‫ف���ي هذا الدر�س نناق����ش ً‬ ‫نو�ضح كيفية ِّ‬ ‫حل المعادالت الأ�س َّية ( المعادالت التي يكون ال ُّأ�س‬ ‫�سبيل ذلك �سوف ِّ‬ ‫المت�ضمنة‬ ‫فيه���ا محتو ًيا على المتغي���ر ) والمعادالت اللوغاريتم َّي���ة ( المعادالت‬ ‫ِّ‬ ‫لوغاريتمات ) وذلك بالإفادة من مفهوم اللوغاريتم وقوانين اللوغاريتمات ‪.‬‬

‫حل المعادالت الأ�س َّية واللوغاريتم َّية‬ ‫تن�ص على �أنَّه ‪:‬‬ ‫ا�ستنا ًدا �إلى الفقرة ( ‪ ) 3‬من النتيجة ( ‪ ) 3-3‬والتي ُّ‬ ‫�إذا كان ك ٌّل من‬

‫وبفر�ض � َّأن‬

‫ف� َّإن‪:‬‬ ‫حيث‬ ‫( ‪) 8-3‬‬

‫نجد ب�سهولة � َّأن‬

‫مثال (‪)39-3‬‬ ‫�أوجد قيمة �س �إذا علمت �أن‬

‫الحل‬

‫من العالقة ( ‪) 8-3‬‬

‫‪188‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫تطبيـق ـ ــات‬

‫مثال (‪)40-3‬‬ ‫حل المعادلة‬

‫الحل‬

‫مثال (‪)41-3‬‬ ‫الحل‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪189‬‬


‫الوحدة الثالثة‬ ‫مثال (‪)42-3‬‬ ‫حل المعادلة‬

‫الحل‬

‫من العالقة ( ‪) 8-3‬‬

‫مثال (‪)43-3‬‬ ‫حل المعادلة‬

‫الحل‬

‫ولكن‬ ‫�إذًا ُّ‬ ‫حل المعادلة هو‬

‫‪190‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫مرفو�ض ( لماذا ؟ )‬


‫تطبيـق ـ ــات‬

‫مثال (‪)44-3‬‬ ‫حل في ك ًّ‬ ‫ال من المعادلتين ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫الحل‬ ‫‪1‬‬

‫وبا�ستخدام الآلة الحا�سبة وفق التتابع التالي‪:‬‬

‫نجد � َّأن‬

‫‪2‬‬

‫وبا�ستخدام الآلة الحا�سبة‬ ‫نجد � َّأن‬

‫تدريب (‪)10-3‬‬ ‫حل كلاً من المعادلتين التاليتين حيث‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪191‬‬


‫الوحدة الثالثة‬

‫تطبيقية‬ ‫م�سائل‬ ‫تـطــبيـقــية‬ ‫مـ�ســـــائـل‬ ‫مثال (‪)45-3‬‬ ‫‪ H‬حيث‬ ‫�إذا علمت �أ َّن ال َّأ�س‬ ‫الهيدروجيني (‪ )PH‬للمحلول ُيع َّرف بالعالقة (‪)PH‬‬ ‫َّ‬ ‫الهيدروجيني للخ ِّل حيث‬ ‫‪ H‬يم ِّثل تركيز �أيون الهيدروجين في لترٍ من ال�سائل‪� ,‬أوجد ال َّأ�س‬ ‫َّ‬ ‫‪H‬‬

‫الحل‬ ‫الهيدروجيني ِّ‬ ‫للخل هو ‪:‬‬ ‫ال ُّأ�س‬ ‫َّ‬

‫( با�ستخدام الآلة )‬

‫مثال (‪)46-3‬‬ ‫تتح َّلل ما َّدة ُم�ش َّع ٌة بحيث تنق�ص كتلتها مع مرور الوقت ح�سب العالقة ‪:‬‬

‫حيث‬

‫هي الكتلة الأ�صل َّية ‪،‬‬ ‫هي الكتلة بعد مرور �سنة ‪،‬‬ ‫( ثابت ) ‪،‬‬ ‫خا�ص ِّ‬ ‫لكل ما َّد ٍة ُم�ش َّع ٍة ‪ ،‬هو الزمن ‪.‬‬ ‫ٌ‬ ‫ثابت ٌّ‬ ‫ف�إذا كانت الكتلة الأ�صل َّية لع ِّين ٍة من ما َّدة ُم�ش َّع ٍة ت�ساوي ‪ 200‬غرام والكتلة النهائ َّية منها (بعد مرور ‪� 10‬سنوات)‬ ‫ت�ساوي ‪ 100‬غرام ف�أوجد الثابت ل لـهذه الما َّدة ‪.‬‬

‫‪192‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫تطبيـق ـ ــات‬

‫الحل‬

‫( بالق�سمة على ‪) 200‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪193‬‬


‫الوحدة الثالثة‬

‫تمـاريـن ( ‪) 7-3‬‬ ‫‪ 1‬حل المعادالت الآتية‪:‬‬

‫هـ‬

‫‪ 2‬حل المعادالت الآتية‪:‬‬

‫هـ‬

‫‪194‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫تطبيـق ـ ــات‬

‫‪� 3‬إذا كان عدد البكتيريا في تجمع لها بعد مرور ن �ساعة ُيعطى ح�سب العالقة ‪:‬‬ ‫ف�أوجد هذا العدد بعد �ساعتين ‪.‬‬ ‫‪� 4‬إذا كــانـت العالقــة‬ ‫�شدته ( ) ف�أوجد عندما تكون‬

‫تربط بين م�ستوى التفاوت ( ) لل�صوت مع م�ستوى‬

‫‪� 5‬إذا �أمكن تحديد �شدة الإ�ضاءة ( ) لج�سم بالعالقة‬ ‫الج�سم بالبو�صة ف�أوجد �شدة �إ�ضاءة ج�سم ُبعده عن نقطة معينة ي�ساوي‬

‫حيث‬ ‫بو�صة ‪.‬‬

‫ُبعد‬

‫‪ 6‬ي�ستخ���دم مقيا����س ( ريخت���ر ) لقيا����س �ش���دة زل���زال ن�سبة �إلى وا�ضع القيا����س ف����إذا كان م ‪ ،‬م هما قراءتا‬ ‫‪2 1‬‬ ‫على الترتيب بحيث يكون‬ ‫مقيا�س ( ريختر ) لزلزالين �شدتاهما‬ ‫وكانت قراءة الجهاز في زلزالين الأول وقع �سنة ‪1906‬م والثاني �سنة ‪1952‬م هما ‪ 7.5 ، 8.25‬على الترتيب‪،‬‬ ‫�أوجد الن�سبة بين قوتي الزلزالين ‪.‬‬

‫‪7‬‬ ‫�أوجد ‪ PH‬لع�صير الطماطم �إذا ُع ِلم �أ َّن ‪H‬‬ ‫�أوجد ‪ H‬لمحلول � َّأ�سه الهيدروجيني ‪PH‬‬ ‫( ا�ستخدم العالقة ‪PH‬‬

‫‪) H‬‬

‫‪� 8‬إذا احتاج���ت كتل���ة ‪ 50‬غ���م من الراديوم �إل���ى ‪� 5615‬سنة لت�صبح ‪ 5‬غرامات نتيج���ة التحلل الإ�شعاعي ح�سب‬ ‫حيث الكتلة الأ�صلية ‪،‬‬ ‫العالقة‬ ‫الحياة للمادة الم�ش َّعة‪� ،‬أوجد فترة ن�صف الحياة لهذه المادة ‪.‬‬

‫الكتلة النهائية بعد �سنة ‪ ،‬فترة ن�صف‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪195‬‬


‫الوحدة الثالثة‬

‫تو�ضح دور العلماء الم�سـلمين في اكت�شـاف الجذور والتعامل معها‪.‬‬ ‫‪ 1‬ق َّدمنا نبذة ت�أريخ َّية ِّ‬ ‫�صحيحا‪ُ ،‬ث َّم ع َّممنا قوانين قوى ع���دد ن�سبـي لت�شـمل قوى عدد‬ ‫حقيقي عندما يكون ال ُّأ�س ع���د ًدا‬ ‫‪ 2‬ع َّرفن���ا ق َّوة ع���دد‬ ‫ً‬ ‫ٍّ‬ ‫حقيقي عندما تكون الأ�س�س �أعدا ًدا �صحيحة‪.‬‬ ‫ٍّ‬ ‫الحقيقي الموجب وهي‬ ‫‪ 3‬تع َّرفنا �إلى ال�صورة القيا�سـ َّية للعدد‬ ‫ِّ‬ ‫حيث‬ ‫وا�سـتخدمناها في كتابة الأعداد العلم َّية الكبيرة وال�صغيرة‪.‬‬ ‫���ي لمقدار يحت���وي على جذر‪.‬‬ ‫���م َّ‬ ‫‪ 4‬ذكَّرن���ا بالج���ذور التربيع َّي���ة وتب�سـيطه���ا‪ُ ،‬ث َّ‬ ‫و�ضحن���ا كيفية �إيجاد الج���ذر التربيع ِّ‬ ‫حقيقي و�أكَّدنا � َّأن ِّ‬ ‫حقيقي جذ ًرا تكعيب ًّي���ا‪ُ .‬ث َّم ق َّدمنا قاعدة �ضرب الجذور‬ ‫لكل عدد‬ ‫���ي لعدد‬ ‫‪ 5‬ع َّرفن���ا الجذر التكعيبـ ِّ‬ ‫ٍّ‬ ‫ٍّ‬ ‫التكعيب َّية وق�سـمتها‪.‬‬ ‫‪ 6‬ا�سـتخدمن���ا الآلة الحا�سـبة لإيج���اد الجذور التربيع َّية للأعداد الحقيق َّية الموجبة وكذلك لإيجاد الجذور التكعيب َّية‬ ‫للأعداد الحقيق َّية‪.‬‬ ‫حيث‬

‫الحقيقي‬ ‫النوني للعدد‬ ‫‪ 7‬ع َّرفنا الجذر‬ ‫ِّ‬ ‫َّ‬ ‫الحقيقي �س الذي يحقِّق المعادلة‬ ‫على �أ نَّه العدد‬ ‫ُّ‬

‫مع مالحظة �أنَّه في حالة كون‬

‫عد ًدا زوج ًّيا تكون‬ ‫‪8‬‬

‫بحيث م يقبل الق�سـمة على‬

‫تو�صلنا �إلى �أ نَّه �إذا كان‬ ‫َّ‬ ‫�إذا كان‬

‫زوج ًيا‬

‫�إذا كان‬

‫فرد ًيا‬

‫ف� َّإن‬

‫‪196‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫‪ 9‬ع َّممن���ا خ�صائ����ص الج���ذور التربيع َّي���ة والتكعيب َّي���ة لت�شـم���ل الج���ذور النون َّي���ة على النح���و التالي‪:‬‬ ‫�إذا كان زوجي ًا )‬ ‫(حيث‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫�إذا كان‬

‫زوج ًيا‬

‫�إذا كان‬

‫فرد ًيا‬

‫حيث‬

‫‪ 10‬ا�سـتنا ًدا �إلى خ�صائ�ص الجذور النون َّية �أمكننا تب�سـيط بع�ض الجذور النون َّية‪.‬‬ ‫‪ 11‬ع َّرفنا الق َّوة ذات الأ�س الن�سب ِّـي‬ ‫على النحو التالي‪:‬‬ ‫حيث‬

‫ومن ُث َّم ع َّرفنا القوة ذات الأ�س الن�سب ِّـي‬

‫مع َّرف‬

‫‪ 12‬ع َّممنا قواني���ن الأ�س�س ال�صحيحة على الأ�س�س الن�سـب َّية وا�سـتخدمنا هذه القوانين في تب�سـيط مقادير‬ ‫مت�ضمنة �أ�س ًـ�سا ن�سـب َّية �أو جذو ًرا نون َّية‪.‬‬ ‫ِّ‬ ‫‪ 13‬ع َّرفنا اللوغاريتم على النحو التالي ‪� :‬إذا كان‬

‫ف� َّإن لوغاريتم العدد للأ�سا�س هو ال ُّأ�س الذي يجب �أن نرفع �إليه الأ�سا�س لنح�صل على العدد‬

‫‪ 14‬ا�ستنتجنا �أنَّه �إذا كان ُك ٌّل من‬

‫‪.‬‬

‫ف� َّإن‪:‬‬ ‫تو�صلنا �إلى العالقة‪:‬‬ ‫ومن ذلك َّ‬

‫والتي ا�ستخدمناها في ِّ‬ ‫حل بع�ض المعادالت الأ�س َّية‪.‬‬

‫‪ 15‬عر�ضنا قوانين اللوغاريتمات وا�ستخدمناها في ِّ‬ ‫حل بع�ض التدريبات ‪.‬‬ ‫‪ 16‬ا�ستخدمنا الآلة الحا�سبة في �إيجاد قيم لوغاريتمات ع�شر َّية ‪ ,‬كما ح�سبنا قيم لوغاريتمات غير ع�شرية‬ ‫بتحويلها �إلى لوغاريتمات ع�شرية‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪197‬‬


‫تمـاريـن عامة‬ ‫‪1‬‬

‫�ضع عالمة‬

‫�أو عالمة‬

‫عن يمين ما يلي ‪:‬‬

‫حيث‬ ‫�إذا كان‬

‫‪198‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫ف�إن‬


‫حيث‬ ‫حيث‬

‫حيث‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪199‬‬


‫‪ 2‬اختر الإجابة ال�صحيحة فيما يلي‪:‬‬

‫العدد‬

‫يكتب في ال�صورة القيا�سـ َّية على ال�شـكل‬

‫�إذا علمت �أ َّن قطري ال�شـم�س والقمر هما على الترتيب‬ ‫ف�إ َّن ن�سـبة قطر ال�شـم�س �إلى قطر القمر هي‬

‫هـ‬

‫‪200‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫كلم‬


‫غير مع َّرف‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪201‬‬


‫اذا كانت‬

‫ف�إن‬

‫هو‬

‫حل المعادلة‬

‫مجموعة حل المعادلة‬

‫‪202‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫هى‬


‫‪ 3‬اخت�صر لأب�سـط �صورة‪.‬‬

‫حيث‬ ‫‪ ،‬حيث‬

‫‪� 4‬أثبت �صحة ما يلي‪:‬‬ ‫حيث‬ ‫‪ ،‬حيث‬ ‫‪ 5‬ع ِّين قيم التي تجعل ك ًّ‬ ‫ال ِم َّما ي�أتي عد ًدا حقيق ًّيا‪:‬‬

‫هـ‬ ‫‪ 6‬اكت�شـف الخط�أ في البرهان التالي‪:‬‬

‫� ًإذا‬

‫ومنه‬

‫وبالتالي‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪203‬‬


‫‪7‬‬

‫بدون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة �أثبت �أنَّ‪:‬‬

‫حيث‬

‫‪8‬‬

‫�أوجد بدون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة قيمة المقدار‪:‬‬

‫‪� 9‬أوجد قيمة‬

‫في ُك ٍّل من الحاالت التالية‪:‬‬

‫حيث‬

‫‪ 10‬حل المعادلة اللوغاريتمية التالية‪:‬‬ ‫حيث‬ ‫حيث‬ ‫‪ 11‬يتناق�ص ثمن �آلـ ــة نتيجــة ا�ستعمالهـ ـ ــا بمع َّدل ‪� ٪7‬سنو ًيــا ح�سب العـ ــالقة‬ ‫الثمن الأ�صلي‪ ،‬ب الثمن بعد ن �سنة ‪ ،‬المعدل المئوي ال�سنوي لنق�صان الثمن ‪� .‬أثبت �أ َّن ثمن الآلة‬ ‫ينق�ص �إلى ن�صف ثمنها الأ�صلي قبل مرور ‪� 10‬سنوات من ا�ستعمالها‪.‬‬

‫‪204‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫�أجـوبة بع�ض التـمارين‬ ‫الوحدة‬ ‫الأولى‬

‫المعادالت‬

‫‪11‬‬

‫( ‪) -‬‬ ‫‪ 4‬الح ُّد الثالث‬

‫‪5‬‬ ‫م�سـتحيل ُة ِّ‬ ‫الحل ‪.‬‬ ‫هـ‬

‫‪6‬‬

‫هـ‬

‫‪21‬‬

‫( ‪) -‬‬

‫‪1‬‬

‫م�سـتحيل ُة ِّ‬ ‫الحل ‪.‬‬

‫هـ‬

‫م�سـتحيل ُة ِّ‬ ‫الحل ‪.‬‬ ‫م�سـتحيل ُة ِّ‬ ‫الحل ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪205‬‬


‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪ 34‬الجذر الآخر‬ ‫‪ 5‬العددان هما‬ ‫‪ 6‬العددان هما‬ ‫�ضلعي القائمة ‪:‬‬ ‫‪ 7‬طوال ِّ‬

‫�سم‬

‫�سم‬

‫‪ 8‬طول �ضلع �إحداهما م ‪ ،‬طول �ضلع الأخرى‬

‫م‪.‬‬

‫‪31‬‬

‫( ‪) -‬‬

‫‪1‬‬

‫هـ‬

‫‪ 2‬البعدان هما‬ ‫‪ 3‬العددان هما‬ ‫‪ُ 4‬بعد الحو�ض الأكبر‬

‫‪206‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪ُ ،‬بعد الحو�ض الأ�صغر ‪.‬‬


‫تمارين عامة‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫هـ‬

‫‪6‬‬ ‫هـ‬

‫‪7‬‬ ‫‪977‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪ 8‬ال ُبعدان هما �سم ‪� ،‬سم‪.‬‬ ‫‪ُ 9‬بعد الأ َّول = م و ُبعد الثاني =‬ ‫ثانية ‪،‬‬

‫‪296‬‬ ‫‪13‬‬

‫م‪.‬‬

‫ثانية‬

‫‪10‬‬ ‫‪� 11‬أبعاد قطعة الأر�ض الأ�صل َّية‬ ‫�سنوات‬ ‫�سنوات‬ ‫‪12‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪207‬‬


‫الوحدة‬ ‫الثانية‬

‫ح�سـاب المثلَّثات‬

‫‪12‬‬

‫( ‪) -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪22‬‬

‫( ‪) -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪208‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬


‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫د‬

‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪209‬‬


‫‪32‬‬

‫( ‪) -‬‬

‫‪2‬‬

‫د‬

‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪42‬‬

‫( ‪) -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪210‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫م‬

‫م‬

‫هـ‬


211


)1

212


213


214


‫‪5‬‬ ‫هـ‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪53‬‬

‫( ‪) -‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬

‫‪215‬‬


‫‪8‬‬

‫هـ‬

‫‪73‬‬

‫( ‪) -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫هـ‬

‫‪2‬‬ ‫هـ‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪216‬‬

‫ريا�ضيات (‪)1‬‬



الرياضيات1