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Documento de Trabajo PROFESOR: Ing. José A. VILLANUEVA H.

ANALISIS DECISIONES: MATRIZ DE PAGOS Y ÁRBOLES DE DECISIONES

ADMINISTRACION DE PROYECTOS : PERT - CPM

PROFESOR

: Ing. José Villanueva Herrera

1


Documento de Trabajo PROFESOR: Ing. José A. VILLANUEVA H.

• • •

ÁRBOLES DE DECISIÓN Conceptos Análisis de sensibilidad Árboles de decisión con información nueva.

CONCEPTOS Un árbol de decisión es un recurso gráfico para analizar decisiones bajo riesgo, o sea problemas en donde se han especificado las probabilidades de los estados de la naturaleza. Representación del árbol de decisión: Nodos Punto de decisión Punto Estado de Naturaleza Aristas Alternativas de decisión Eventos del Estado de Naturaleza Criterio Construido el árbol de decisión se determina para cada ramo del árbol su correspondiente valor esperado, análogamente se determina el valor esperado para cada alternativa de decisión. Ejemplo 1 La empresa Cola Sol está por lanzar al mercado un nuevo producto. Las estrategias alternativas de mercadotecnia y producción son: • Agresiva: Inversión alta en marketing, producción e inventarios. • Básica : Inversión moderada en publicidad, producción e inventarios moderados. • Cautelosa: Inversión poca, publicidad solamente en distribución del producto, producción e inventarios mínimos. La gerencia decide clasificar la situación del mercado en fuerte (F) y débil (D). La siguiente tabla muestra las retribuciones en millones de dólares para cada combinación de posibilidades: Alternativas de decisión Agresivo (A) Básico (B) Cauteloso (C) Probabilidades a priori

Situación del Mercado Fuerte Débil 30 -9 20 5 5 14 0,40 0,60

Pág. 2


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El árbol de decisión correspondiente será:

F

2 A F B 3

1 C

D F 4

D Los respectivos valores esperados de las retribuciones en millones de dólares son: F (0.4)(30)= 12.0 2 A

D (0.6)(-9) = -5.4 6.6 F (0.4)(20)= 8.0

B 3

1

D (0.6)(5) = 3.0 11.0

C

F (0.4)(5) = 2.0 4 D (0.6)(14) = 8.4 10.4 Esto es, las retribuciones en millones de dólares para las alternativas son: Alternativa A: 6,6 Alternativa B: 11,0 Alternativa C: 10,4 Luego, la decisión por el criterio de valor esperado es la alternativa B, esto es, usar una estrategia básica en la producción y mercadotecnia. Ejemplo 2. Copeco Industrias debe decidir si construir una planta grande o pequeña para producir un nuevo producto, que se espera que tenga una permanencia en el mercado de 10 años. Una Pág. 3


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planta grande costará $ 2 800 000 en su construcción y puesta en operación, mientras que una planta pequeña costará $ 1 400 000 en su construcción y puesta en marcha. Los estimados de las ventas sobre un período de 10 años es: Tipo de demanda Demanda alta: Demanda moderada: Demanda baja:

Probabilidades 0,5 0,3 0,2

El análisis costo-volumen-utilidad realizado por la gerencia, indica los siguientes estados condicionales bajo las combinaciones de tamaño de planta y de mercado: • Una planta grande con demanda alta producirá utilidades anuales por $ 1 000 000. • Una planta grande con demanda moderada producirá utilidades anuales por $ 600000. • Una planta grande con demanda baja producirá perdidas anuales por $ 200 000, debido a la capacidad ociosa de producción. Una planta pequeña con demanda alta solo producirá utilidades anuales por $ 250000, considerando el costo de las ventas perdidas por incapacidad de atender a los clientes. Una planta pequeña con demanda moderada producirá utilidades anuales de $ 450000, porque el costo de las ventas perdidas sería menor que en 4. Una planta pequeña con demanda baja producirá utilidades anuales de $ 550 000, esto porque el tamaño de la planta y el tamaño del mercado estarían ajustando adecuadamente. ¿Cuál es la alternativa más adecuada para Copeco? Solución Construir Demanda Utilidad Esperada ($) – 10 años Alta

(0.5)(1000000)(10) = 5000000 Moderada

2 Planta Grande

Baja

(0.3)(600000)(10) = 1800000 (0.2)(-200000)(10) = -400000 $ 6400000

1

Alta

Planta Pequeña

(0.5)(250000)(10) = 1250000 Moderada

4

Baja Luego, la utilidad esperada para cada alternativa será: Planta grande: $ 6 400 000 Planta pequeña: $ 3 700 000

Pág. 4

(0.3)(450000)(10) = 1350000 (0.25)(550000)(10) = 1100000 $ 3700000


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Tenemos información sobre los costos de construcción y puesta en operación. Luego, las utilidades netas (utilidad – costos) esperadas serán: Planta grande: Planta pequeña:

$ 6 400 000 - $ 2 800 000 = $ 3 600 000 $ 3 700 000 - $ 1 400 000 = $ 2 300 000

Conclusión: La alternativa de construir la planta grande proporcionar una utilidad neta de $3600000 frente a la utilidad neta de la alternativa de construir la planta pequeña de $2300000. Esto es, la alternativa de construir la planta grande es más rentable (en $1300000) y por consiguiente representa la mejor alternativa de decisión. ÁRBOLES DE DECISIÓN CON INFORMACIÓN NUEVA En esta sección estudiaremos como se usa el teorema de Bayes para incorporar una nueva información al proceso de decisión. El teorema de Bayes será usado para actualizar las probabilidades del estado de naturaleza. Ejemplo 3 Considere los datos del ejemplo 1. Fue recomendada para la empresa Cola Sol implementar la estrategia básica, la cual debe proporcionar una retribución esperada de 11 millones de dólares. El directorio de la empresa ha ordenado que se realice un estudio de mercado para tener mejor información (resultados alentados (E) o desalentador (G)) antes de decidir qué estrategia elegir. El estudio de mercado reporta que: • Si el mercado ha sido fuerte, los resultados del estudio han sido alentadores en un 60% y desalentadores en un 40%. • Si el mercado ha sido débil, los resultados del estudio han sido alentadores en un 30% y desalentadores en un 70%. Con esta información, ayude a Cola Sol a tomar una decisión. Solución Denotemos las alternativas por: A: Agresivo B: Básico C: Cauteloso Denotemos también los eventos por: F, D: Mercado fuerte y débil, respectivamente. E, G: Resultado alentador y desalentador, respectivamente. Los resultados del estudio muestran: P (E|F) = 0,6 P (G|F) = 0,4 P (E|D) = 0,3 P (G|D) = 0,7 El árbol de decisión para este problema está dado por: Pág. 5


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A

F D

B

F D

C

F D

E

30 P(F|E) P(D|E) -9 20 P(F|E) P(D|E) 5 5 P(F|E) P(D|E) 14

P(E)

G

P(G) A

F D

B

F D

C

F D

30 P(F|G) P(D|G) -9 20 P(F|G) P(D|G) 5 5 P(F|G) P(D|G) 14

Observe que ahora no consideramos las probabilidades sobre el mercado fuerte y débil, mas sí las condicionales dada la nueva información sobre los resultados alentadora o desalentadora del mercado. Las probabilidades condicionales: P (F|E), P (D|E), P (F|G) y P (D|G) se determinan usando el Teorema de Bayes.

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Recordemos: P(A|B) = P(B|A)/ P(B) P(F|E)

=

P(E|F) P(F)________ P(E|F) P(F) + P(E|D) P(D)

Entonces: P(F|E) = P(E|F) P(F)/ P(E) P(D|E) = P(E|D) P(D)/ P(E) P(F|G) = P(G|F) P(F)/ P(G) P(D|G) = P(G|D) P(D)/ P(G) Las probabilidades marginales P (E) y P (G) se determinan de la siguiente forma: P (E) = P (E|F).P (F) + P (E|D). P (D) = 0,6 × 0,4 + 0,3×0,6 = 0,42 P (G) = P (G|F).P (F) + P (G|D). P (D) = 0,4 × 0,4 + 0,7×0,6 = 0,58 Luego: P(F|E) = P(E|F) P(F)/ P(E) = (0.6 x 0.4) / 0.42 = 0.57 P(D|E) = P(E|D) P(D)/ P(E) = (0.3 x 0.6) / 0.42 = 0.43 P(F|G) = P(G|F) P(F)/ P(G) = (0.4 x 0.4) / 0.42 = 0.28 P(D|G) = P(G|D) P(D)/ P(G) = (0.7 x 0.6) / 0.42 = 0.72

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Es decir, el valor esperado para cada alternativa es: A

VE = 30 x 0.57 – 9x 0.43 = 13.23

B VE = 20 x 0.57 + 5x 0.43 = 13.55 C VE = 5 x 0.57 + 14x 0.43 = 8.87

E P(E) = 0.42

G

P(G) = 0.48 A

VE = 30 x 0.28 - 9x 0.72 = 1.92

B VE = 20 x 0.28 + 5x 0.72 = 9.2 C VE = 5 x 0.28 + 14x 0.72 = 11.48

El rendimiento esperado al realizar el estudio de mercado y tomar decisión se obtiene considerando la mejor alternativa en cada punto de decisión, esto es: RE = (13,55)(0,42) + (11,48)(0,58) = 12,35 El número arriba es el rendimiento máximo esperado con información de muestra. El valor esperado de la información de muestra (VEIM) es definido de la siguiente manera: VEIM =

(máximo valor esperado con información de muestra) – (máximo valor esperado sin información de muestra) Pág. 8


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El valor esperado de la información perfecta (VEIP) es definido de la siguiente manera: VEIP =

(máximo valor esperado con información perfecta) – (máximo valor esperado sin información perfecta)

Ejemplo 4 Determine VEIM y VEIP para el ejemplo 3 Solución a) Recordemos que la mejor decisión presentaba una retribución esperada de 11 millones, luego: VEIM = 12,35 – 11 = 2,35 millones de dólares Este es el máximo valor a pagar por el estudio de mercado (planta piloto). b) Recordemos la tabla de distribuciones par este caso: Alternativas de decisión Agresivo (A) Básico (B) Cauteloso (C) Probabilidades

Situación del Mercado Fuerte Débil 30 -9 20 5 5 14 0,40 0,60

El mejor valor esperado con información perfecta es dado por: 30 × 0,4 + 14 × 0,6 = 20,4 Esto es: VEIP = 20,4 – 11 = 9,4 millones de dólares

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EJERCICIOS Caso 1: Vendedor de periódicos Un canillita compra periódicos al comienzo del día y no sabe cuántos venderá. Al final del día carecen de valor y tiene que desecharlos por lo que si compra más de lo necesario pierde parte de la ganancia correspondiente a lo vendido; si compra menos de lo necesario pierde utilidades potenciales. Si C = US$ 0,10 (costo de un periódico) y P = US$ 0,25 (precio de venta), elaborar la matriz de pagos considerando cuatro posibles acciones; comprar 0, 100, 200 y 300 unidades y suponer que los estados de la naturaleza corresponden a niveles de demanda comparables a las compras. Caso 2: Operación financiera Un inversionista debe tomar la mejor decisión para invertir su dinero sobre la base de la siguiente tabla: Acciones Valores especulativos Acciones Bonos

Estado de la economía Guerra Paz Depresión 20 1 -6 9 8 0 4 4 4

Caso 3: Negocio de la moda Un vendedor puede comprar pantalones a precios referenciales. Si compra 100 unidades, el costo unitario es $ 10. Si compra 200 unidades, el costo unitario es $ 9. Si compra 300 o más unidades, el costo es de $8,5. El precio de venta es de $ 12. Los que quedan sin vender al final de la temporada se rematan a $6. La demanda puede ser de 100, 150 ó 200 unidades, pero si la demanda es mayor que la oferta hay una pérdida de prestigio de $0,50 por cada unidad no vendida. Caso 4: Estrategia de mercado Una empresa puede elegir entre tres estrategias de marketing (A, agresiva, altos inventarios y gran campaña de publicidad nacional; B, básica, solo los productos básicos y publicidad regional; C, cautelosa, inventarios mínimos y publicidad a cargo del vendedor). El mercado puede ser fuerte o débil (probabilidades = 0,45 y 0,55). La matriz de pagos es la siguiente: Condiciones del Mercado Acciones Fuerte Débil A 30 -8 B 20 7 C 5 15 Probabilidades 0,45 0,55 Caso 5: Venta de artesanías Un vendedor de artesanías en una ciudad de la costa peruana descubre que las ventas en julio dependen en gran medida del clima. Para vender debe hacer los pedidos a un

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mayorista de la región en Enero. Este mayorista ofrece paquetes pequeños, medianos y grandes a precios especiales y el vendedor debe elegir alguno de ellos. La tabla de pagos es la siguiente: Acción Pequeño Mediano Grande

Frío 0 -1000 -3000

Estado de la economía Cálido Tórrido Caliente 1000 2000 3000 0 3000 6000 -1000 4000 8000

Caso 6 La constructora VISA S. A. Está realizando una encuesta que le ayudará a evaluar la demanda de su nuevo complejo de condominios en “Los Cerros de La Molina”. La matriz de pagos (en miles de dólares) es la siguiente:

Acción1 Pequeño d1 Mediano d2 Grande d3

Estado de la naturaleza Baja Media Alta s1 S2 S3 0

1000

2000

-1000

0

3000

-3000

-1000

4000

Caso 7. PETROINKA SAC, empresa petrolera que perfora pozos en la selva, requiere cierta pieza que usa en cada pozo la cual está sujeta a rotura accidental y debe ser reemplazada a la brevedad. Es posible transportar piezas de repuesto enviarlas posteriormente si es necesario.

desde el inicio

del

proyecto

o

Se requiere determinar el número de piezas que se debe transportar inicialmente se sabe que: •

El costo de cada pieza es US $ 100

El costo de transporte por pieza es de US $ 50 si el embarque es al inicio y de US $ 150 por pieza si es posterior.

Las piezas transportadas y no usadas deben regresarse por un costo de US $ 50 por transporte por pieza. Considerar que no se van a romper más de 2 piezas. a. Construir la matriz de costos. b. ¿Qué decisión tomaría según el criterio pesimista?

1

Tamaño del complejo o condominio

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c. Utilizando el criterio de Savage (Minimax de la matriz de arrepentimientos),

determine cuál sería la mejor decisión a tomar. d. Asumiendo que todos los sucesos tienen igual probabilidad de ocurrencia.

¿Cuál es el valor esperado de la información perfecta?. PROPUESTA DE SOLUCIÓN DE LOS CASOS ( 1 al 6) Caso 1. (Vendedor de periódicos) Se construye la matriz de pagos:

COMPRAR

Tabla 1.1

0 u. 100 u. 200 u. 300 u.

VENDER 0 u. 0 0*0.25100*0.10 0*0.25200*0.10 0*0.25300*0.10

100 u.

200 u.

300 u.

0 100*(0.25-0.10)

0 100*(0.25-0.10)

0 100*(0.25-0.10)

100*0.25200*0.10 100*0.25300*0.10

200*(0.25-0.10)

200*(0.25-0.10)

200*0.25-300*0.10 300*(0.25-0.10)

Tabla 2

COMPRAR

0 u. 0 u. 100 u. 200 u. 300 u. Prob.

0 -10

VENDER 100 200 u. u. 0 0 15 15

300 u. 0 15

-20

5

30

30

-30

-5

20

45

0.3

0.2

0.4

0.1

Análisis bajo incertidumbre: Sin información probabilística

COMPRAR

Tabla 3

VENDER MAXIMAX MAXIMIN 0 u. 100 u. 200 u. 300 u. 0 u. 0 0 0 0 0 0 100 u. -10 15 15 15 15 -10 200 u. -20 5 30 30 30 -20 300 u. -30 -5 20 45 -30 45

9 Según el criterio de maximax se debe decidir comprar 300 unidades de periódicos.

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9 Según el criterio de maximin se debe decidir comprar 100 unidades de periódicos. Hallando la matriz de arrepentimientos:

COMPRAR

Tabla 4

VENDER MINIMAX 0 u. 100 u. 200 u. 300 u. 0 u. 0 15 30 45 45 100 u. 10 0 15 30 30 200 u. 20 10 0 15 20 300 u. 30 20 10 0 30

9 Según el criterio de minimax conviene comprar 200 unidades de periódicos para tener el minimo arrepentimiento. Análisis bajo riesgo: Con información probabilística. Laplace: Suponga que todos los estados de la naturaleza son igualmente probables: VE(comprar 0 u.)=0 VE(comprar 100 u.)= -10*1/4 + 15*1/4 + 15*1/4 + 15*1/4 = 8.75 VE(comprar 200 u.)= -20*1/4 + 5*1/4 + 30*1/4 + 30*1/4 = 11.25 VE(comprar 300 u.)= -30*1/4 +-5*1/4 + 20*1/4 + 45*1/4 = 7.5 9 Dado que comprar 200 unidades de periódico nos reditúa el mayor valor esperado, elegimos esta alternativa. VME: Criterio del valor medio esperado. Usando las probabilidades asignadas: VE(comprar 0 u.)=0 VE(comprar 100 u.)= -10*0.3 + 15*0.2 + 15*0.4 + 15*0.1 = 7.5 VE(comprar 200 u.)= -20*0.3 + 5*0.2 + 30*0.4 + 30*0.1 = 10 VE(comprar 300 u.)= -30*0.3 +-5*0.2 + 20*0.4 + 45*0.1 = 2.5 9 Según el criterio del valor medio esperado la mejor alternativa es la de comprar 200 unidades de periódicos. POE: Pérdida de la Oportunidad Esperada. Utilizando la matriz de arrepentimientos (tabla 4): VE(comprar 0 u.)= 0*0.3 + 15*0.2 + 30*0.4 + 45*0.1 = 19.5 VE(comprar 100 u.)= 10*0.3 + 0*0.2 + 15*0.4 + 30*0.1 = 12 VE(comprar 200 u.)= 20*0.3 + 10*0.2 + 0*0.4 + 15*0.1 = 9.5 VE(comprar 300 u.)= 30*0.3 +20*0.2 + 10*0.4 + 0*0.1 = 17 9 Según el criterio de Pérdida de la Oportunidad Esperada la mejor alternativa es la de comprar 200 unidades de periódicos. VEIP: Valor Esperado de la Información Perfecta. VEIP = VE con Certeza Total – Pág. 13

VM Óptimo


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(usando los óptimos de la tabla 3) VE con Certeza Total = 0*0.3+15*0.2+30*0.4+45*0.1=19.5 VM Óptimo = VME = 10 VEIP = 9.5 Con lo que se comprueba que e POE tiene el mismo valor que el VEIP. Caso 2. (Operación financiera) Sea la siguiente matriz de pagos:

INVERTIR

Estado de la Economía Guerra Paz Depresió n Valores especulativos Acciones Bonos

20

1

-6

9

8

0

4

4

4

Prob. 0.3 0.5 Análisis bajo incertidumbre: Sin información probabilística

0.2

INVERTIR

Tabla 5

Valores especulativos Acciones Bonos

Estado de la Economía MAXIMAX MAXIMIN Guerra Paz Depresión 20 1 -6 -6 20 9

8

0

9

0

4

4

4

4

4

9 Según el criterio de maximax se debe decidir invertir en Valores especulativos. 9 Según el criterio de maximin se debe decidirinvertir en Bonos. Hallando la matriz de arrepentimientos:

INVERTIR

Tabla 6

Valores especulativos Acciones Bonos

Estado de la Economía MINIMAX Guerra Paz Depresión 0 7 10 10 11

0

4

11

16

4

0

16

9 Según el criterio de minimax, la alternativa que ofrece el mínimo arrepentimiento es la de comprar Valores especulativos.

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Análisis bajo riesgo: Con información probabilística. Laplace: Suponga que todos los estados de la economía son igualmente probables: VE(Valores especulativos.) = 20*1/3 + 1*1/3 + -6*1/3 = 5 VE(Acciones) = 9*1/3 + 8*1/3 + 0*1/3 = 17/3 VE(Bonos.) = 4*1/3 + 4*1/3 + 4*1/3 = 4 9 Dado que invertir en Acciones nos reditúa el mayor valor esperado, elegimos esta alternativa. VME: Criterio del valor medio esperado. Usando las probabilidades asignadas: VE(Valores especulativos.) = 20*0.3 + 1*0.5 + -6*0.2 = 5.3 VE(Acciones) = 9*0.3 + 8*0.5 + 0*0.2 = 6.7 VE(Bonos.) = 4*0.3 + 4*0.5 + 4*0.2 = 4 9 Según el criterio del valor medio esperado la mejor alternativa es invertir en acciones. POE: Pérdida de la Oportunidad Esperada. Utilizando la matriz de arrepentimientos (tabla 6): VE(Valores especulativos.) = 20*0.3 + 1*0.5 + -6*0.2 = 5.5 VE(Acciones) = 9*0.3 + 8*0.5 + 0*0.2 = 4.1 VE(Bonos.) = 4*0.3 + 4*0.5 + 4*0.2 = 6.8 9 Según el criterio de Pérdida de la Oportunidad Esperada la mejor alternativa es invertir en acciones, ya que así se obtiene la menor perdida de oportunidad. VEIP: Valor Esperado de la Información Perfecta. VEIP = VE con Certeza Total – VM Óptimo (usando los óptimos de la tabla ) VE con Certeza Total = 20*0.3+8*0.5+4*0.2 = 10.8 VM Óptimo = VME = 6.7 VEIP = 4.1 Con lo que se comprueba que e POE tiene el mismo valor que el VEIP. Caso 3. (Negocio de la Moda) Hallando la Matriz de Pagos Tabla 7

COMPRAR

100 u 100 u 200 u 300 u Prob.

100*(12-10) 100*12200*9+100*6 100*12300*8.5+200*6 0.5

VENDER 200 u 100*(12-10)-0.5*100

300 u 100*(12-10)0.5*200

200*(12-9) 200*(12-9)-0.5*100 200*12300*8.5+100*6 0.3

Pág. 15

300*(12-8.5) 0.2


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Tabla 8

COMPRAR

VENDER 100 u 200 u 300 u 100 u 200 150 100 200 u

0

600

550

300 u

-150

450

1050

Prob. 0.5 0.3 0.2 Análisis bajo incertidumbre: Sin información probabilística Tabla 9

VENDER

COMPRAR

100 u 200 u 300 u

MAXIMAX MAXIMIN

100 u 200

150

100

200

100

200 u

600

550

600

0

450

1050

1050

-150

0

300 u -150

9 Según el criterio de maximax se debe decidir comprar 300 pantalones, para ser optimistas. 9 Según el criterio de maximin se debe decidir comprar 100 pantalones, para ser pesimistas. Hallando la matriz de arrepentimientos: Tabla 10

COMPRAR

VENDER MINIMAX 100 u 200 u 300 u 100 u

0

450

950

950

200 u

200

0

500

500

300 u

350

150

0

350

9 Según el criterio de minimax, la alternativa que ofrece el mínimo arrepentimiento es la de comprar 300 unidades de pantalones. Análisis bajo riesgo: Con información probabilística. Laplace: Suponga que todos los estados de demanda son igualmente probables: VE(Comprar 100 u.) = 200*1/3 + 150*1/3 + 100*1/3 = 150 VE(Comprar 200 u.) = 0*1/3 + 600*1/3 + 550*1/3 = 50/3 VE(Comprar 300 u.) = -150*1/3 + 450*1/3 + 1050*1/3 = 450 9 Dado que comprar 300 pantalones nos reditúa el mayor valor esperado, elegimos esta alternativa.

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VME: Criterio del valor medio esperado. Usando las probabilidades asignadas: VE(Comprar 100 u.) = 200*0.5 + 150*0.3 + 100*0.2 = 165 VE(Comprar 200 u.) = 0*0.5 + 600*0.3 + 550*0.2 = 290 VE(Comprar 300 u.) = -150*0.5 + 450*0.3 + 1050*0.2 = 270 9 Según el criterio del valor medio esperado la mejor alternativa es comprar 200 pantalones. POE: Pérdida de la Oportunidad Esperada. Utilizando la matriz de arrepentimientos (tabla 6): VE(Comprar 100 u.) = 0*0.5 + 450*0.3 + 950*0.2 = 325 VE(Comprar 200 u.) = 200*0.5 + 0*0.3 + 500*0.2 = 200 VE(Comprar 300 u.) = 350*0.5 + 150*0.3 + 0*0.2 = 220 9 Según el criterio de Pérdida de la Oportunidad Esperada la mejor alternativa es comprar 200 pantalones, ya que así se obtiene la menor perdida de oportunidad. VEIP: Valor Esperado de la Información Perfecta. VEIP = VE con Certeza Total – VM Óptimo (usando los óptimos de la tabla ) VE con Certeza Total = 200*0.5+600*0.3+1050*0.2 = 490 VM Óptimo = VME = 290 VEIP = 200 Con lo que se comprueba que e POE tiene el mismo valor que el VEIP. Caso 4. (Estrategia de Mercado) Sea la siguiente matriz de pagos:

ACCIONES

Tabla 11 Condiciones de Mercado Fuerte Débil 30 -8

A B

20

7

C

5

15

0.45

0.55

Prob.

ACCIONES

Tabla 12

Fuerte

Débil

A

30

-8

30

-8

B

20

7

20

7

C

5

15

15

5

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9 Según el criterio de maximax se debe decidir aplicar una estrategia de marketing agresiva. 9 Según el criterio de maximin se debe decidir aplicar una estrategia de marketing básica. Hallando la matriz de arrepentimientos: Tabla 13

ACCIONES

Condiciones de Mercado MINMAX Fuerte Débil A

0

23

23

B

10

8

10

C

25

0

25

9 Según el criterio de minimax, la alternativa que ofrece el mínimo arrepentimiento es la de aplicar una estrategia básica. Análisis bajo riesgo: Con información probabilística. Laplace: Suponga que todos las dos condiciones de mercado son igualmente probables: VE(A) = 11 VE(B) = 13.5 VE(C) = 10 9 Dado que Aplicar una estrategia de marketing básica nos reditúa el mayor valor esperado, elegimos esta alternativa. VME: Criterio del valor medio esperado. Usando las probabilidades asignadas: VE(A) = 30*0.45 + -8*0.55 =9.1 VE(B) = 20*0.45 + 7*0.55 = 12.85 VE(C) = 5*0.45 + 15*0.55 = 10.5 9 Según el criterio del valor medio esperado la mejor alternativa es aplicar una estrategia de marketing básica. POE: Pérdida de la Oportunidad Esperada. Utilizando la matriz de arrepentimientos (tabla 13): VE(A) = 0*0.45 + -23*0.55 = 12.65 VE(B) = 10*0.45 + 8*0.55 = 8.9 VE(C) = 25*0.45 + 0*0.55 = 11.25 9 Según el criterio de Pérdida de la Oportunidad Esperada la mejor alternativa es aplicar una estrategia de mercado básica, ya que así se obtiene la menor perdida de oportunidad.

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VEIP: Valor Esperado de la Información Perfecta. VEIP = VE con Certeza Total – VM Óptimo (usando los óptimos de la tabla ) VE con Certeza Total = 30*0.45+15*0.55 = 21.75 VM Óptimo = VME = 12.85 VEIP = 8.9 Con lo que se comprueba que e POE tiene el mismo valor que el VEIP. Caso 5. (Venta de artesanias) Sea la matriz de pagos:

ACCION

Tabla 14

ESTADOS DE LA NATURALEZA Frio Calido Tórrido Caliente Pequeño 0 1000 2000 3000 Mediano -1000 0 3000 6000 Grande -3000 -1000 4000 8000 Prob. 0.3 0.2 0.4 0.1

Análisis bajo incertidumbre: Sin información probabilística

PAQUETE

Tabla 15

Pequeño

ESTADOS DE LA NATURALEZA Frio Calido Tórrido Caliente 0 1000 2000 3000

MAXIMAX MAXIMIN 3000

0

Mediano

-1000

0

3000

6000

6000

0

Grande

-3000

-1000

4000

8000

8000

-3000

9 Según el criterio de maximax se debe decidir por el paquete grande. 9 Según el criterio de maximin se debe decidir por el paquete pequeño o por el paquete mediano. Hallando la matriz de arrepentimientos: Tabla 16 VENDER

PAQUETE

Pequeño Mediano Grande

MINIMAX

Frio

Calido

Tórrido

Caliente

0 1000 3000

0 1000 2000

2000 1000 0

5000 2000 0

5000 2000 3000

9 Según el criterio de minimax conviene comprar el paquete mediano para tener el minimo arrepentimiento.

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Análisis bajo riesgo: Con información probabilística. Laplace: Suponga que todos los estados de la naturaleza son igualmente probables: (0.25) VE(Pequeño.) =1500 VE(Mediano) = 2000 VE(Grande) = 2000 9 Dado que comprar el paquete mediano o el paquete grande nos reditúa los mayores valores esperados, elegimos cualquiera de estas alternativas. VME: Criterio del valor medio esperado. Usando las probabilidades asignadas: VE(Pequeño.)= 1300 VE(Mediano)= 1500 VE(Grande)= 1300 9 Según el criterio del valor medio esperado la mejor alternativa es la de comprar el paquete mediano. POE: Pérdida de la Oportunidad Esperada. Utilizando la matriz de arrepentimientos (tabla 16): VE(Pequeño.)= 1300 VE(Mediano)= 1100 VE(Grande)= 1300 9 Según el criterio de Pérdida de la Oportunidad Esperada la mejor alternativa es la de comprar el paquete mediano. VEIP: Valor Esperado de la Información Perfecta. VEIP = VE con Certeza Total – VM Óptimo (usando los óptimos de la tabla 3) VE con Certeza Total = 2600 VM Óptimo = VME = 1500 VEIP = 1100 Con lo que se comprueba que e POE tiene el mismo valor que el VEIP.

COMRAR

Caso 6. (Constructora Visa S.A.) Sea la siguiente matriz de pagos: Tabla 17 ESTADO DE LA NATURALEZA Baja Media Alta Pequeño 0 1000 2000 Mediano

-1000

0

3000

Grande

-3000

-1000

4000

0.3

0.4

0.3

Prob.

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Análisis bajo incertidumbre: Sin información probabilística Tabla 18

INVERTIR

ESTADO DE LA NATURALEZA MÁXIMAX MAXIMIN Baja Media Alta Pequeño

0

1000

2000

2000

0

Mediano

-1000

0

3000

3000

-1000

Grande

-3000

-1000

4000

4000

-3000

9 Según el criterio de maximax se debe por comprar el paquete mediano. 9 Según el criterio de maximin se debe decidir por comprar el paquete mediano. Hallando la matriz de arrepentimientos: Tabla 19

Estado de Deamanda MÍNIMAX Baja Media Alta INVERTIR

Peueño

0

0 2000

2000

Mediano 1000

1000 1000

1000

Grande

2000

3000

3000

0

9 Según el criterio de minimax, la alternativa que ofrece el mínimo arrepentimiento es la de legir la lternativa Mediana. Análisis bajo riesgo: Con información probabilística. Laplace: Suponga que todos los estados de la economía son igualmente probables: VE(Pequeño) = 1000 VE(Mediano) = 2000 VE(Grande) = 0 9 Dado que comprar el dominio mediano nos reditúa el mayor valor esperado, elegimos esta alternativa. VME: Criterio del valor medio esperado. Usando las probabilidades asignadas: VE(Pequeño) = 1000 VE(Mediano) = 600 VE(Grande) = -100 9 Según el criterio del valor medio esperado la mejor alternativa es comprar el condominio pequeño. POE: Pérdida de la Oportunidad Esperada. Utilizando la matriz de arrepentimientos (tabla 6): VE(Pequeño) = 600 Pág. 21


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VE(Mediano) = 1000 VE(Grande) = 1700 9 Según el criterio de Pérdida de la Oportunidad Esperada la mejor alternativa es comprar u condominio pequeño, ya que así se obtiene la menor pérdida de oportunidad. VEIP: Valor Esperado de la Información Perfecta. VEIP = VE con Certeza Total – VM Óptimo (usando los óptimos de la tabla de pagos ) VE con Certeza Total = 1600 VM Óptimo = VME = 1000 VEIP = 600 Con lo que se comprueba que e POE tiene el mismo valor que el VEIP.

Ejercicios para resolver: PREGUNTA 1 TELEFÉ SAC debe decidir entre dos posibles estrategias para el lanzamiento de un nuevo producto: • Estrategia 1 (E1): Inversión alta en marketing, producción e inventarios elevados. • Estrategia 2 (E2): Inversión moderada en publicidad, producción e inventarios moderados. La gerencia decide clasificar la situación del mercado en Fuerte, Estable y Recesivo. La siguiente tabla muestra las retribuciones en millones de dólares para cada combinación de posibilidades. Alternativas de decisión E1 E2 Probabilidad

Situación del mercado Fuerte Estable Recesivo 60 30 (16) 30 27 10,5 0,20 0,45 0,35

El directorio de la compañía ha dispuesto que se realice un estudio de mercado a un costo de 100 antes de tomar una decisión sobre la estrategia a seguir. El estudio de mercado reporta que: • Si el mercado ha sido fuerte, los resultados del estudio han sido alentadores en un 65% y desalentadores en un 35%. • Si el mercado ha sido estable, los resultados del estudio han sido alentadores en un 45% y desalentadores en un 55%. • Si el mercado ha sido recesivo, los resultados del estudio han sido alentadores en un 20% y desalentadores en un 80%. 1. 2. 3. 4.

Presente el árbol de decisión a priori y a posteriori. ¿Qué decisión debe tomar TELEFE? ¿Cuál es el valor esperado de la información de la muestra? ¿La prueba de mercado es infinita? Explique su posición. Pág. 22


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PREGUNTA 2 Observe otra vez la tabla de retribuciones de la segunda pregunta. Suponga que se especifica las siguientes probabilidades para los estados de la naturaleza: P (F) = 0,3; P (E) = 0,6; P (R) = 0,1 a) b)

Suponga que no se conocen P (F) y P (E), pero se estima que P(R) 0,1. Trace el rendimiento neto, en dólares, en función de P (E) para las dos decisiones de la misma gráfica y encuentre el rango de P (E) para el cual cada decisión es la óptima. Trace en una misma gráfica el rendimiento esperado en función de P (E) para las dos decisiones, y encuentre el rango de P (E) para la cual cada decisión es la óptima.

Ejercicios para resolver: 1. La distribución de ventas de cámaras fotográficas para una tienda en Chacarilla es dada por: Ventas por día (unidades) 20 25 40 60 Frecuencia (días) 10 30 50 10 a) b) c) d)

Si se almacena 25 cada día. ¿Cuál es su utilidad esperada por día? ¿Cuál sería la utilidad por día con un inventario de 60 unidades? ¿Qué cantidades se debe comprar cada día para maximizar las utilidades esperadas? ¿Cuánto se debe pagar por información de pronósticos de las ventas de mañana?

2. Un veterinario compra vacunas de inmunización contra la rabia, el lunes cada semana. Debido a las características de esta vacuna, se debe usar el viernes a más tardar o desecharse. La vacuna cuesta $7 por dosis y el veterinario cobra $10 por dosis. En el pasado, el veterinario ha administrado vacuna contra la rabia en las siguientes cantidades: Dosis usada por semana Frecuencia (semana)

25 15

40 20

50 10

75 5

3. Rodolfo es un heladero que vive a 60 kilómetros de la playa. El número de helados depende mucho del estado del tiempo; el pronóstico más reciente indica una posibilidad de 0,3 de buen tiempo. Si hace un buen tiempo Rodolfo va al a playa, él gana $90 en promedio por día; si se queda en casa su utilidad es de $40. Si el tiempo es malo, él gana solo $10 en la playa contra $25 en casa. Determine la tabla de beneficios y recomiende si se debe quedarse en casa o irse a la playa. ¿Cuánto podría pagar Rodolfo por una buena información de pronóstico del clima de mañana? 4. La empresa Codorniz recibe órdenes en promedio por 6000 docenas de huevos de codorniz a la semana. La desviación estándar de las órdenes semanales es de 425

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docenas. La docena de huevos cuesta $7 y se revende por $10. Si los huevos no se embarcan a más tardar en una semana, su fertilidad se ve disminuida y solo es posible ser vendido como de segunda calidad a $1 por docena. Calcule la orden de huevos semanal óptima para la empresa. 5. Joel es dueño de un camión muy viejo que usa para entrega de encomiendas. Si se entrega fuera de la ciudad, puede promediar $100 por viaje si el camión no se le descompone. Si se descompone, las reparaciones, el retraso y la grúa reducen su utilidad a $20. Si se queda en la ciudad, gana $60 por viaje, pero se le reduce a $30 si el camión se descompone. Determine cuál debería ser la probabilidad de descompostura para que Joel le resulte indiferente donde entrega. 6. Gilberto es un comerciante de casacas. En el comienzo de la temporada de invierno, Gilberto está decidiendo cuántas casacas comprará. Él ha usado los registros de ventas para formular la siguiente tabla de utilidades condicionales: Tamaño de la orden de compra (unidades) Demanda Probabilidad 2 4 6 8 10 12 2 0,1 50 100 0 -20 -60 -100 4 0,3 50 100 50 0 -20 -60 6 0,2 50 100 150 120 80 0 8 0,2 50 100 150 200 16 120 10 0,1 50 100 150 200 250 190 12 0,1 50 100 150 200 250 300 Usando el criterio de máxima verosimilitud, ¿qué cantidad debe comprar Gilberto? 7. CARE es un centro caritativo de alimentos que proporciona a familias pobres comidas sanas preparadas en forma diaria. Cada familia paga $1 por comidas que cuestan en promedio $3 de preparación. Si las comidas preparadas en un momento dado no son consumidas, se desperdician. Si la demanda es mayor que las comidas preparadas, a cada familia que no puede dársele de comer se le da $3 para comprar su comida en otra parte. La demanda posible de comida y los costos asociados de preparación y pago a las familias que no alcanzaron comidas son los siguientes:

Demanda 4 5 6 7 8 9

4 -8 -11 -14 -17 -20 -23

Número de comidas preparadas 5 6 7 8 -11 -14 -17 -20 -10 -13 -16 -19 -13 -12 -15 -18 -16 -15 -14 -17 -19 -18 -17 -16 -22 -21 -20 -19

9 -23 -22 -21 -20 -19 -18

CARE desea minimizar sus gastos. Si usa el criterio de racionalidad, ¿cuántas comidas debe preparar?

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ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS PERT-CPM 1. Definición conceptual • Un proyecto es la búsqueda de la solución inteligente al planeamiento de un problema tendente a resolver una necesidad humana. • En forma específica y a nivel de negocios, un proyecto es un plan para materializar o concretar una alternativa empresarial. • La administración de proyectos consiste en administra el planeamiento, programación y control en la ejecución de un proyecto. Tipos de modelos Las variables principales en los problemas de decisión son: El problema de decisión es:

CIERTO

SENCILLO

Modelos de caso

INCIERTO Análisis de decisiones (árboles de decisión)

COMPLEJO

Modelos de caso Programación lineal y entera

Simulación

DINÄMICO

Modelos de inventarios Modelos PERT (rutas críticas) Programación dinámica

Modelos de inventarios Modelos de colas Procesos de Markov Programación dinámica

2. Técnicas para administrar un proyecto PERT

CPM

Técnica de revisión y evaluación de programas P = Program E = Evaluation R = Review T = Technique Método de la ruta crítica C = Critical P = Path M = Method

• El método PERT, desarrollado a fines de la década 1950 por Navy Special Projects Office en colaboración con la consultora Booz, Allen y Hamilton. • El CPM fue desarrollado en 1957 por J.E. Kelly, de Remington Randy y M.R. Walker de Du Pont. • Todo software que administra proyectos utiliza estas dos técnicas. El software más usado por las empresas para la administración de proyectos es el MS-PROJECT.

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3. Fases 3.1. Planeación • Se inicia descomponiendo el proyecto en actividades, determinando el nivel de precedencia entre las actividades y estimando el tiempo de ejecución de cada actividad. • El primer objetivo de esta fase es construir la RED DE ACTIVIDADES, para luego aplicar la técnica de la ruta crítica, determinando así el tiempo esperado para llevar a cabo el proyecto. • Determinando además las actividades criticas y no críticas. 3.2. Programación • Debe mostrar los tiempos de iniciación y terminación de cada actividad. Debe construir un cuadro de tiempos más tarde y tiempos más rápidos, calculando las holguras correspondientes a cada actividad. 3.3. Control • Hacer uso de la red y de la gráfica de tiempos para elaborar reportes periódicos del progreso de la ejecución del proyecto. Puede incluir un nuevo programa en relación con las actividades que faltan ejecutarse. 4. Definición de red de actividades • Es una representación de dos aspectos muy particulares de cualquier proyecto, que son: a) Una relación de precedencia entre las diferentes actividades del proyecto y, b) La duración de cada actividad. 5. Definición de actividad • Es un trabajo que se debe realizar como parte de un proyecto, que requiere tiempo y recursos para su ejecución. Se especifican mediante eventos.

Evento Final

Evento Inicial

6. Eventos • Un evento representa un punto en el tiempo y especifica la terminación de algunas actividades y/o el comienzo de nuevas actividades. • Un evento puede ser el evento inicial de un conjunto de actividades o puede ser el evento final de un conjunto de actividades. 7. Objetivo de la red de actividades • Identificar a todas aquellas actividades cuyo retraso en su ejecución retrasaría la terminación del proyecto. • Es decir, encontrar la RUTA CRÍTICA.

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Diagrama de Gantt El diagrama de Gantt es un diagrama de barras en el que se muestran las fechas de comienzo y finalización de las actividades y las duraciones estimadas. Sin embargo, no aparecen dependencias.

El diagrama de Gantt es la forma habitual de presentar el plan de ejecución de un proyecto, recogiendo en las filas la relación de actividades a realizar y en las columnas la escala de tiempos que estamos manejando, mientras la duración y situación en el tiempo de cada actividad se representa mediante una línea dibujada en el lugar correspondiente

Actividad 1

Actividad 2

Actividad 3

Actividad 4

Mes 0

Mes 1

Mes 2

Mes 3

Mes 4

Mes 5

Como ventaja tendríamos la facilidad de construcción y comprensión, y el mantenimiento de la información global del proyecto. Como desventaja, que no muestra relaciones entre tareas ni la dependencia que existe entre ellas, y que el concepto de porcentaje de realización es un concepto subjetivo. Diagrama de redes El diagrama de red se utiliza como parte del estudio y programación de actividades, las cuales están generalmente asociadas a proyectos. El diagrama muestra la secuencia de actividades, en forma ordenada y que permite calcular los tiempos de duración de actividades y el seguimiento de su ejecución. Existen varias técnicas de diagrama de red, en la presente tomaremos una de ellas que consideramos la más sencilla de aplicar. El tipo de diagrama que utilizaremos es el PDM (Precedence Diagramming Method) y se basa en la utilización de una red en la que figuran las actividades en los nodos y los arcos representan demoras de tiempo entre los puntos (comienzo o fin de nodo) que unen, a la vez que muestran las dependencias. Permiten reflejar distintas relaciones de precedencia entre tareas. Para mostrar cómo se elabora una red de actividades tomemos el siguiente ejemplo: se tiene que realizar un traslado de oficinas y se desea hacerlo de manera eficiente, para lo Pág. 27


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cual se ha determinado las actividades a realizar, su duración en días y las secuencias de actividades, las cuales se muestran a continuación. Actividad A B C D E F G H I J

Descripción

Elegir local de oficinas Crear plan organizacional y financiero Determinar requerimiento de personal Diseñar local Construir el interior Elegir personal a mudar Contratar nuevos empleados Mudar registros, personal clave, etc. Hacer arreglos financieros Entrenar a nuevo personal

Actividades predecesoras Inmediatas B A, C D C F F B H, E, G

Duración 3 5 3 4 8 2 4 2 5 3

Para el diseño del diagrama de red, se debe tomar en cuenta las siguientes reglas de construcción: 9

Cada actividad se representa con un rectángulo

9

Siempre se inicia el diagrama con un rectángulo Inicio y finaliza en un rectángulo Fin.

9

Si una o más actividades no tienen una actividad precedente, se considera precedente el rectángulo Inicio.

9

Si una o más actividades no tienen actividades consecuentes, entonces todas ellas finalizan en el rectángulo Fin.

9

La conexión entre una actividad y sus precedentes es a través de flechas cuyo sentidos indican la secuencia temporal o dependencia entre dichas actividades.

9

El diagrama se elabora de izquierda a derecha, evidenciando la secuencia temporal y dependencia de las actividades.

9

Las flechas de conexión entre las actividades se pueden cruzar pero, para un diagrama claro es mejor evitar en lo posible dichos cruces.

Desarrollando la red de actividades del ejemplo, tendremos:

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A C

Inicio

D

E

F

G

B

J

H

Fin

I

En el diagrama también podemos agregar los tiempos de duración de la actividad con la finalidad de determinar la duración total de las actividades. Cada rectángulo que representa una actividad se modificará de la siguiente manera:

A t it d t ir

t tt t tr

Donde: d t it t tt t ir t tr

duración de la actividad inicio más temprano de la actividad finalización más temprana de la actividad inicio más tardío de la actividad finalización más tardía de la actividad

Para el ejemplo, la red quedaría como sigue:

A 0 3 3 5 8

C 5 8 35 5 8

Inicio

D 8 12 4 8 12

E 12 20 8 12 20

F 8 10 2 14 16

G 10 14 4 16 20

B 0 5 5 0 5

H 10 12 2 18 20

I 5 10 5 18 23

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J 20 23 3 20 23

Fin


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Actividades críticas Una actividad es crítica cuando no se pueden cambiar los tiempos de comienzo y finalización sin modificar la duración total del proyecto. La secuencia de actividades críticas determina la ruta crítica. En el ejemplo, la ruta crítica es: B-C-D-E-J Holguras La holgura de una actividad es el margen suplementario de tiempo que tenemos para determinar esa actividad. Las actividades críticas no tiene holgura.

Las fechas de inicio y terminación más próximas Fecha de inicio más próxima (PI) Fecha más próxima de terminación (PT) Si: PI = Fecha de inicio más próxima de la actividad dada PT = Fecha más próxima de terminación de dicha actividad t = Duración esperada de la misma.

PT = PI + t

Regla (de la fecha más próxima de terminación) La fecha PI para cualquier actividad que parta de un nodo concreto es la mayor de las fechas PT de todas las actividades que terminen en ese nodo. Las fechas de inicio y terminación tardío Si: LI = Fecha de inicio tardío de una actividad dada LT = Fecha de terminación tardía de dicha actividad t = Duración esperada de la misma.

LI = LT - t

Regla (de la fecha más lejana de terminación) La fecha LT de cualquier actividad que entre a un nodo concreto es la menor de las fechas LI de todas las actividades que salgan del mismo. Redes de tiempo constante 1. Cálculo de tiempos para eventos: • tij: Tiempo para terminar la actividad desde el evento i hasta el evento j. • Ej: Tiempo más próximo en que puede ocurrir el evento j basándose en la terminación de todas las actividades predecesoras. • Lj: Tiempo más lejano en que puede ocurrir j sin retrasar la terminación del proyecto. • tij viene dado como dato de duración del evento. • Los Ej se calculan en secuencia comenzando por el inicio de la red hacia el final.

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• Algoritmo: - Establezca que Ej = 0 para el evento inicial. - Establezca que Ej = maxi (Ei + tij) en donde la maximización se presenta para todos los eventos i que sean predecesores inmediatos del evento j. • Los Lj se calculan con una visión de retrospección. • Definir Ln = En. Hacemos el último tiempo más próximo calculado anteriormente como el último tiempo tardío. • Li = mini (Lj – tij) donde la minimización se presenta para todos los eventos j que sean sucesores inmediatos del evento i. • Los tiempos anteriores se calculan comenzando con el último evento de la red. 2. Cálculo de tiempos para actividades: • ES (a) = Tiempo más próximo para iniciar una actividad. • EF (a) = Tiempo más próximo de termino de una actividad. • LS (a) = Tiempo más lejano de inicio de una actividad. • LF (a) = Tiempo más lejano de término de una actividad. Algoritmo: • ES(a) = 0 para las actividades iniciales • EF(a) = ES (a) + t(a) • ES(a) = máximo de (EF[todas las predecesoras de a]) • t(a) = duración de la actividad • LF(a) = mín (LS[todos los sucesores de a]) • LS(a) = LF(a) – t(a) • Holgura Total = LS(a) – ES(a) = LF(a) – EF(a). • Holgura Libre = Mín (ES[todos los sucesores de a] – EF(A) Redes PERT PERT = Program Evaluation Review Technique. PERT: tiene tres estimadores de tiempo. To = tiempo inicial. Tm = tiempo más probable. Tp = tiempo pesimista. Te = tiempo esperado Cálculo del tiempo esperado

T

E

= T0

Var =

+ 4T m + T P 6

(T P −T 0) 6 Pág. 31

2


Ejemplo Documento de Trabajo A continuación seA.daVILLANUEVA la red PERT PROFESOR: Ing. José H. y las tres dimensiones de tiempo de cada actividad. Actividades Precedencia Duración (días) Calcular: To Tm Tp 9 Hallar tiempo para determinar T(E) A 4 6 10 9 Hallar la varianza total Var B 3 5 9 9 Hallar la Ruta critica C B 5 7 12 9 Cual es la probabilidad de que el D A, C 4 8 10 proyecto se termine en dos días E D 2 3 6 posteriores. F C 2 4 8 G F 1 2 9 H F 4 6 8 I B 2 4 10 J H, E, G 6 8 12 Varianza E (T) = Suma de los tiempos esperados en la ruta crítica. Var(T) = Suma de las varianzas en la ruta crítica Método de la Ruta crítica CPM CPM supone una compensación entre el tiempo y el costo. CPM usa una función de tiempo costo. La idea es que una actividad se puede determinar en un menor costo si se gasta más dinero. La red se desarrolla usando tiempo y costos normales y luego se ajusta de acuerdo a los requerimientos de tiempos y costo. Función tiempo-costo

Limite de Costo

Costo

Costo normal

Limite de tiempo

Tiempo normal

Tiempo

Pág. 32


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Ejemplo Calcule el tiempo y costo normal del siguiente proyecto Actividad 1-2 1-3 1-4 2-4 3-4

Tiempo Normal 3 2 6 4 3

Costo Normal

Tiempo límite

Costo límite

$ 40 $ 50 $ 100 $ 80 $ 60

1 3 4 2 1

$ 80 $ 120 $ 140 $ 130 $ 140

EJERCICIOS PARA RESOLVER Para cada uno de los ejercicios siguiente, calcular la rede de actividades del proyecto, la duración del proyecto (días) y la ruta critica. 1. EJERCICIO ACTIVIDADES PRECEDENCIA DURACION A 3 B 5 C A 6 D A, B 7 E B 3 F C 5 G C 8 H D,E 2 I D,G 7 J F,H,I 6 K F,H,I 4

2. EJERCICIO ACTIVIDADES PRECEDENCIA DURACION A 5 B 7 C 7 D A 8 E A,B,C 9 F C 4 G E 6 H D,G 5 I F 6 J E, F 8 K H,I 10 L J, I 11

3. EJERCICIO ACTIVIDADES PRECEDENCIA DURACION A 7 B A 3 C A 5 D B 8

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E F G H I J K L M N O P Q R S

B C C,D F F G E, G, H E, G, H I,J,K J K,J L, M, N L, M, N O P,Q

6 9 10 3 2 5 7 8 9 7 5 12 4 6 8

4. Para reparar in carro, un taller ha hecho los siguientes estimados de las actividades que se deben llevar a cabo con el tiempo en días.

A B C D E F G H I J

ACTIVIDAD

PRECEDENCIA

TIEMPO OPTIMISTA

TIEMPO MAS PROBABLE

TIEMPO PESIMISTA

Desarmado del motor Planchado Inspección del motor Masillado Rectificado Compra de repuestos Pintado Armado del motor. Prueba del motor. Pulido.

A B C C D F,E H G

1 2 1 1 2 1 1 2 1 2

2 3 1 1 4 3 2 4 1 2

3 4 1 1 6 5 3 6 1 2

a) Hacer el diagrama de flechas PERT. b) Calcular el tiempo esperado para cada actividad. c) Hallar las holguras de cada actividad, y señalar la ruta crítica. 5. Una compañía de bienes raíces SERPICO INMOBILIARIA SAC, ayuda a particulares a vender su casa. Para realizar una venta, deben llevarse a cabo las siguientes actividades: Tiempo (días) TAREA DESCRIPCIÓN A B C D E

Inspección de la casa Evaluación de la casa Realización de la investigación de propiedad Obtención del comprobante de no adeudo de impuestos Obtención del permiso de venta

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Optimista

Más probable

Pesimista

6 4 12

10 5 15

18 8 30

8

11

22

7

10

15


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F G H I J

Encontrar un comprador Consecución de una hipoteca Obtención de los documentos legales Presentación de los documentos en Registros Públicos Cierre final

4 4 8 8

6 7 10 10

8 10 20 25

10

15

35

La evaluación se hace después de la inspección. Para obtener los permisos de venta, primero se debe obtener el comprobante de no adeudo de impuestos. No se puede tener al comprador hasta que la casa haya sido inspeccionada y evaluada, la investigación sobre el dueño ha terminado y se han obtenido los permisos de venta. Después de que ya se tiene el comprador, pueden prepararse los documentos legales y el comprador obtener una hipoteca. Ya que se han obtenido los documentos legales, éstos pueden ser presentados al municipio. El cierre final puede realizarse ya que se obtiene la hipoteca y se archivan en Registros Públicos los documentos legales. 1. 2. 3. 4.

¿Cuántas actividades precedentes en total se deben establecer? ¿Cuál es el tiempo esperado de terminación del proyecto? ¿Cuál es la desviación estándar para la ruta crítica? La dueña de una casa desea saber cuánto tiempo debe permitir para tener una probabilidad de 90% de vender su casa. 5. ¿Cuál es la probabilidad de vender una casa en un lapso de nueve semanas? 6. PALERMO SAC, es una cadena de restaurantes y desea adquirir un sistema de control de gestión. Usted ha reunido la siguiente información acerca del proyecto de adquisición: Precedente(s) Actividad Inmediato(s) A B

Duración (días) 6 2

C D E F

A A B,C D

6 8 9 3

G H I J K L

D E, F

7 4 6 5 9 4

G,H I I J

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M N

K L, M

2 8

Se desea determinar : A) Construya una red para el proyecto de adquisición. B) Determine el tiempo de terminación del proyecto en su totalidad y la ruta crítica. 7. MINERA SOL SAC tiene prospecto minero en Batán Grande que está compuesto por 11 actividades, A, B, C, D, E, F, G, H, I ,J ,K, cuyas duraciones esperadas son respectivamente (expresados en semanas) 9, 4, 8, 5, 10, 4, 6, 10, 8, 4, 2, y entre las cuales existen las siguientes relaciones de precedencia inmediata: - Las actividades A, B y C pueden comenzar simultáneamente después del tiempo de preparación del proyecto. - La actividad D necesita para su realización que hayan sido terminadas las B y J. - Solamente cuando haya finalizado la actividad A podrán dar comienzo las J y H. - La actividad E comenzará una vez acabadas las B y J. - La actividad I necesita de H para su realización. - Una vez terminada la actividad C, podrá comenzar la F. - Para iniciar la actividad K es necesario acabar previamente las E, F y G. - Las actividades G e I comenzarán una vez finalizada la D. - La tarea G necesita de H para su realización. Se desea, a partir de los datos anteriores, y sin considerar el tiempo de preparación del proyecto: a) Dibujar el grafo correspondiente b) Determinar la duración del proyecto ; y determinar las holguras de cada actividad y determinar las actividades críticas 8. Se tiene la siguiente información de ganancias mensuales en soles por recreación en el mar de acuerdo a tres estados de la naturaleza para dos diferentes acciones que puede tomar el gerente de un club turístico. SUCESOS BUEN TIEMPO ACCIONES DEPORTES ACUÁTICOS PASEOS EN YATE PROB. OCURRENCIA

40,000 70,000 0.25

TIEMPO VARIABLE

MAL TIEMPO

30,000 20,000 0.50

20,000 0 0

a) ¿Qué actividad daría el valor de ganancia esperando máximo? b) ¿Cuál es el valor de la información perfecta?(lo máximo que puedo pagar por la información). Pág. 36


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c) Si un laboratorio pudiera crear el cima que uno deseara. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar como máximo por este servicio?. d) Si no confía en los problemas, usando el criterio de Hurwitz. ¿Para que valores del criterio de optimismo se elegirá cada una de las acciones?. 9. Arnoldo Arriesgado por fin ha encontrado un negocio fácil y rentable. Resulta que el Sr. Usuro ha aceptado darle como máximo $400 diarios a las 6 de la mañana, para que los preste informalmente por un día por paquetes de $100 en el mercado mayorista. Los informales que se prestan deben pagarle al final del mismo día, el capital mas 50% de interés, y Arnoldo debe devolver obligatoriamente en la noche su capital al Sr. Usuro mas 10% de interés, de manera que Arnoldo podría ganar hasta $160 en un día (40% del capital máximo), ya que el corte con todo el riesgo. Arnoldo sabe que puede colocar todo el dinero que lleve, pero él quiere saber: a) Si asignara 65%, 20%, 5% y 0% como probabilidad de que lo estafen con 0.1, 2, 3y 4 préstamos diariamente, ¿Cuál seria la óptima cantidad de dinero a prestarse y llevar?. b) Si no confiara en las probabilidades subjetivas, ¿Cuánto es la cantidad de paquetes de dinero de $100 que lleva diariamente con criterio pesimista?. 10. La firma MARPLE está planeando la introducción de un nuevo producto, sin embargo el costo para estar en condiciones de fabricar una de las piezas componentes del producto es muy alto, por lo que MAPLE está en la duda de si comprar este componente en lugar de fabricarlo, o si gastar en la matriz por una sola vez y luego tener ya costo variables unitarios bajos comparado al precio de compra. La matriz muestra la utilidad neta en dólares para tres niveles de demanda. DEMANDA DECISION HACER EL COMPONENTE COMPRAR EL COPON PROB. DE OCURRENCIA a) b)

BAJA

MEDIANA

ALTA

11,000 15,000 0.4

32,000 30,000 0.3

53,000 45,000 0.3

Con los datos anteriores dibuje un árbol de decisión y úselo para decidir si MARPLE debe fabricar o comprar el componente. ¿Cuál seria el V.E.I.P si es que se decidiera usar el criterio de razón suficiente?.

11. Dentro del stock de medicinas que tiene la veterinaria “EL ARCA DE NOE”, se encuentran las vacunas de inmunización contra la rabia. Debido a las características de la vacuna, estas se compran en cajas (10 vacunas por caja) el lunes de cada semana y las vacunas que no son usadas se desechan el domingo. La vacuna cuesta $ 7.00 por dosis y el veterinario cobra $ 10.00 por

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la misma dosis. Si en la veterinaria se tiene la siguiente información estadística para las últimas 40 semanas: Cantidad de cajas 0 usadas x semana Cantidad redondeada de 0 vacunas usadas Número de semanas en 0 que esto ocurrió

1

2

3

4

5

6

10

20

30

40

50

60

6

12

10

9

3

0

a) ¿Cuántas cajas se debe comprar usando el valor esperado?. b) ¿Cuál es el máximo valor de la información perfecta? Problemas de programación de actividades 1. Se tiene que realizar un traslado de oficinas y requiere hacer de manera eficiente, para lo cual se ha determinado las actividades a realizar, su duración en días, las secuencias respectivas, las cuales se muestran a continuación. Actividad A B C D E F G H I J

Descripción

Predecesores Inmediatos

Elegir local de oficinas Crear plan organizacional y financiero Determinar requerimiento de personal Diseñar local Construir el interior Elegir personal a mudar Contratar nuevos empleados Mudar registros, personal clave, etc. Hacer arreglos financieros Entrenar a nuevo personal

B A, C D C F F B H, E, G

Duración 3 5 3 4 8 2 4 2 5 3

Se pide: a) Elabore un diagrama de redes en donde muestre los tiempos de inicio y de término más temprano y más tarde de cada actividad así como el tiempo estimado de duración del proyecto. b) Elabore una tabla donde indique las actividades de la ruta crítica y las holguras de cada actividad. c) Si lo que en realidad se tiene son los estimados de los tiempos optimista (a), pesimista (b) y más probable (m) para cada actividad, tal como aparece en el siguiente cuadro, resuelva los acápites a y b. Actividad A B

Tiempo optimista (a) 1 3

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Tiempo más probable (m) 3 4.5

Tiempo pesimista (b) 5 9


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C D E F G H I J

2 2 4 1 2.5 1 4 1.5

3 4 7 1.5 3.5 2 5 3

4 6 16 5 7.5 3 6 4.5

d) ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto dure más de 1 día del tiempo esperado.

2. Coleman Inc. distribuye diversos productos alimenticios que se venden a través de tiendas de comestibles y supermercados. La empresa recibe pedidos directamente de cada una de las tiendas individuales, un pedido típico solicita la entrega de varias caja de bienes varios que abarcan de 20 a 50 productos diferentes. Debido a los elevados costos de mano de obra, se piensa automatizar la operación de almacén instalando un sistema de control de pedidos controlado por computadora. El director de administración de materiales de Coleman Inc. Fue designado administrador del proyecto y luego de las consultas pertinentes ha realizado una lista de actividades asociadas con el proyecto. También se ha incluido los tiempos estimados de duración de cada una de las actividades: Actividad A B C D E F G H I J K

Descripción Determinar necesidades de equipo Obtener cotizaciones de los proveedores Seleccionar proveedor

Sistema de pedidos Diseñar nueva disposición física del almacén Diseñar almacén Diseñar interfase con la computadora Interfase con la computadora Instalar sistema Capacitar a los operadores del sistema Probar el sistema

Predecesor inmediato A, B C C E C D, F, G D, F H I, J

Tiempo estimado 6 10 4 14 10 6 10 6 8 4 4

Elabore apropiadamente el diagrama de red de actividades del proyecto e indique el tiempo óptimo estimado de duración del proyecto, la ruta crítica con las actividades que la componen y las holguras de cada una de las actividades.

3. Office Automation S.A. ha desarrollado una propuesta para la introducción de un nuevo sistema computarizado de oficinas que mejorará el procesamiento de palabras y las comunicaciones entre oficinas para la empresa en particular. Dentro de la Pág. 39


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propuesta aparece una lista de actividades que deben realizarse para determinar el nuevo sistema de oficinas. Utilice la siguiente información relevante en relación con las actividades: Tiempo Actv. A B C D E F

Descripción Necesidad del plan Ordenar el equipamiento Instalar el equipo Instalar el laboratorio de capacitación Llevara a cabo el curso de capacitación Probar el sistema

Actv. A B C D E F

Descripción Necesidad del plan Ordenar el equipamiento Instalar el equipo Instalar el laboratorio de capacitación Llevara a cabo el curso de capacitación Probar el sistema

Predecesor Optimista Inmediato 7 A 4 B 6 A 3 D 8 C,E 1

Tiempo apresurado 8 6 7 6 8 3

Más probable 9 7 10 6 9 3

Costo Normal 30 120 100 40 50 60

Pesimista 17 16 14 15 16 5

Costo apresurado 70 150 160 50 75 -

a. Desarrolle la red del proyecto. b. Elabore una tabla donde indique el tiempo esperado de las actividades, el tiempo esperado del proyecto, las actividades que componen la ruta crítica así como las holguras de cada actividad., c. ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto demore más de 32 semanas? d. Si la empresa desea terminar el proyecto en 26 semanas, ¿qué decisiones de apresuramiento recomendaría usted para cumplir con el tiempo deseado de terminación al menor costo posible?, ¿Cuál sería el nuevo costo del proyecto? e. Desarrolle el modelo de programación lineal para las decisiones de apresuramiento para cumplir con el plazo apresurado de terminación del proyecto. 4. La tabla siguiente contiene una lista de las actividades y los requisitos de secuencia, las cuales comprenden las actividades necesarias para la elaboración de trabajo de fin de curso (los tiempos están en horas). Act Descripción A B C D E F

Investigación literaria Formulación de temas Selección de comité Propuesta formal Selección de empresa, contacto Informe de avances

Actividades Tiempo precedentes optimista Ninguna Ninguna B C A, D D

Pág. 40

2 3 1 2 2 3

Tiempo Tiempo Costo Costo más pesimista normal acelerado probable (US$) (US$) 3 4 12 20 4 5 40 50 2 3 30 40 3 4 14 20 3 4 45 60 4 5 20 35


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G H I J K L M

Investigación formal Recopilación de datos Análisis de datos Conclusiones Borrador (sin conclusiones) Versión final Examen oral

A, D E G, H I G J, K L

1 4 2 2 2 3 1

2 5 3 3 3 4 2

3 6 4 4 4 5 3

30 10 15 10 12 40 30

30 25 30 12 20 50 40

a. Elabore el diagrama de red de las actividades presentadas indicando en él los tiempos de inicio y de finalización más temprano y más tarde, las holguras y la ruta crítica. b. Elabore un cuadro en el que se indique el máximo de horas de compresión y el costo por hora de compresión para cada actividad. Considere para cada actividad al tiempo esperado como el tiempo normal y al tiempo optimista como el tiempo acelerado. c. ¿Cuál es la probabilidad que el proyecto dure entre 28 y 31 horas? d. ¿Cuál sería el costo del trabajo si tuviese que acabar en 27 horas? 5. Basándose en la siguiente red de actividades, se da la duración de cada una de ellas (en horas). Así mismo se dan las estimaciones de costos de terminación en tiempo de compresión y tiempo normal de las actividades, los que corresponden respectivamente a los tiempos optimista y esperado.

D

E

F

H

B INICIO

A C

J G

Actividad A B C D E F G H I J

Tiempo optimista 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1

Tiempo más probable 2 3 3 5 2 1 1 3 4 5

FIN

Tiempo pesimista 3 5 10 8 3 1 1 5 6 9

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I

Costo de compresión ($) 60 20 60 30 20 25 18 72 44 37

Costo Normal ($) 40 12 48 24 10 25 18 46 30 25


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a. Calcule el valor esperado de la duración del proyecto. b. ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto dure menos de 14,2 horas? c. Prepare una tabla de que muestre el máximo de horas de compresión y el costo por hora de compresión para cada actividad. d. ¿Cuál sería el costo del proyecto si tuviese que concluirlo en 15 horas?, ¿en 12 horas?, ¿en 10 horas?. Para cada caso indique las actividades que reduciría su duración y el respectivo tiempo de reducción. 6. Usted tiene un proyecto con la relación de actividades que incluye, los tiempos estimados de duración de cada actividad (en semanas) y las actividades que preceden a cada una de ellas. Actividad A B C D E F G H I J K L

Tiempo de duración (semanas) 1 2 3 4 3 5 5 7 4 6 2 5

Predecesores Ninguno A A B C C D, E, F F G, H G, H I J

A partir de esta información: a. Elabore un diagrama de redes en donde muestre los tiempos de inicio y de término más temprano y más tarde de cada actividad así como el tiempo estimado de duración del proyecto. b. Elabore una tabla donde indique las actividades de la ruta crítica y las holguras de cada actividad. c. Determine qué ocurre con el tiempo de fin del proyecto en el caso que la actividad D y H se tarden 2 semanas más de lo esperado cada una. 7. Se desea ampliar las instalaciones industriales de y para tal fin se ha contratado los servicios de Enigma Arquitectos que ha presentado una propuesta que se resume en el siguiente cuadro: Actividad a.- preparación de terreno b.- cimientos c.- encofrado d.- plomería exterior e.- colado f.- instalación eléctrica g.- plomería interior

Act. Tiempo prec. óptim. 1 a 2 b 6 c 1 c 4 c 3 d 4

Tiempo más prob 2 3,5 9 4,5 5,5 7,5 6

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Tiempo pesim. 3 8 18 5 10 9 10

Tiempo reducido 1 2 7 3 4 5 3

Costo normal 1800 3200 6200 4100 2600 2100 1800

Costo reducido 2300 3600 7300 4900 3000 2400 2200


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h.- paredes exteriores i.- rejas j.- pintura exterior k.- pisos l.- pintura interior m.- decoración exterior n.- decoración interior

e f, g d, h i i j k, l

5 3 5 4 1 1 5

6.5 9 8 4 5.5 2 5.5

11 9 17 4 7 3 9

4 6 6 3 3 1 3

9000 4300 2000 1600 2500 1000 3300

9600 4600 2500 1800 3000 1500 4000

De acuerdo a lo mostrado se le pide: a. Elabore el diagrama de red y la duración óptima esperada y la ruta crítica b. Calcule la probabilidad que el proyecto se termine después de 47 días. c. Considerando el tiempo esperado de las actividades como tiempo normal de duración, formule el problema de programación lineal para la reducción del tiempo de término del proyecto a 40 días. 8. Como administrador del proyecto, se enfrenta a la red de actividades de la siguiente figura:

Inicio

A

B

C

D

F

H

G

I

E J

FIN

Los estimados de tiempo optimistas, más probable y pesimistas de las actividades así como los costos normales y de compresión se muestran en la siguiente tabla: Actividad A B C D E F G H I J

Optimista (semanas) 2 3 1 1 4 4 1 2 1 2

Más probable (semanas) 3 5 2 2 8 4 2 3 3 2

Pesimista (semanas) 4 7 3 9 12 4 3 4 17 2

Costo normal 20 50 15 8 13 30 45 22 45 40

Costo de Compresión 30 72 30 20 21 30 52 34 65 40

a. Calcule el tiempo esperado y la desviación estándar de cada actividad suponiendo una distribución beta de probabilidad. b. Especifique la ruta crítica y el tiempo esperado de conclusión del proyecto.

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c. Suponiendo que los tiempos de las actividades son independientes y que la suma de cualquier combinación de ellas está normalmente distribuida, calcule la probabilidad de que las actividades de la ruta crítica concluyan antes de los 25 semanas. e) Si el tiempo normal y de compresión corresponden al tiempo esperado y tiempo optimista y se quiere reducir el proyecto en 7 semanas, ¿Cuánto costaría esta reducción y qué actividades reducirían su duración? f) Formule el modelo de programación lineal para que el proyecto dure como máximo 15 semanas al menor costo posible. 9. Como administrador de un proyecto, usted tiene la red de actividades mostrada en la figura, los tiempos de actividad asociados, las estimaciones de costos en tiempo normal y acelerado indicados en el cuadro.

B Inicio

A

D

E

F

H

C

J G

Actividad A B C D E F G H I J

Tiempo Normal (días) 3 4 2 3 3 4 2 5 3 3

FIN

Tiempo Acelerado (días) 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2

I Costo Normal (US$) 12 40 30 14 45 20 30 10 15 10

Costo Acelerado (US$) 20 50 40 20 60 35 30 25 30 12

A partir de esta información: a. Detalle en un cuadro los tiempos de inicio y de finalización más temprano y más tarde, así como las holguras, el máximo de días de compresión y el costo por día de compresión para cada actividad. b. Determine la ruta crítica y el costo del proyecto. c. ¿Cuál sería el costo del proyecto si tuviese que acabar en 16 días? d. Formule un modelo de programación lineal que determine el menor costo del proyecto para una fecha límite de 15 días. Pág. 44


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10. Como administrador de un proyecto usted tiene una serie de actividades mostrada en la siguiente tabla, así como los tiempos de actividad asociados y las estimaciones de costos en tiempo normal y acelerado indicados en el cuadro. Act. A B C D E F G H I J

Act. Tiempo Preced. Optimista A B B A A, D, E C, F E G, H E

1 1 5 1 7 2 4 5 1 3

Tiempo más Probable 3 3 5 4 8 4 5 7 2 3

Tiempo Pesimista 5 5 5 7 9 6 6 9 3 3

Tiempo Normal (horas) 3 3 5 4 8 4 5 7 2 3

Tiempo Acelerado (horas) 1 1 5 1 7 2 4 5 1 3

Costo Normal (US$) 50 20 15 8 30 13 45 40 22 10

Costo Acelerado (US$) 72 30 15 20 40 23 50 56 28 10

a. Elabore el diagrama de red de las actividades presentadas. b. Detalle en un cuadro los tiempos de inicio y de término más temprano y más tarde de cada actividad, el máximo de horas de compresión y el costo por hora de compresión para cada actividad, la ruta crítica y el costo del proyecto. c. Si el contrato del proyecto estipula una multa si el proyecto demora más de 24 horas ¿Cuál es la probabilidad que el administrador del proyecto tenga que pagar multa? d. Determine las actividades que aceleraría, el número de horas que aceleraría y el costo total del proyecto si tuviese que acabar en 19 horas. e. Formule un modelo de programación lineal que determine el costo del proyecto para un tiempo límite de 17 horas. 11. La siguiente tabla muestra las actividades de un proyecto y sus tiempos optimistas, pesimistas y más probables (en días). Actividad A B C D E F G H I J K

Predecesor inmediato A C D E B, F,G B, F, G H I

Tiempo optimista 2 18 3 6 5 8 5 3 10 15 13

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Tiempo más probable 8 20 7 9 6 10 7 8 12 20 16

Tiempo pesimista 14 22 11 12 7 12 9 13 14 25 19


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Calcule la probabilidad de terminar el proyecto antes de los 60 días.

12. En la siguiente tabla se muestra la lista de actividades para la elaboración de un nuevo paquete de análisis de mercado que se utilizará en Global S.A. El programa se utilizará para evaluar los puntos de venta potenciales (estaciones de gasolina) en función de su localización y otras características. ¡Error! Marcador no definido.Activid ad

Tiempo Acelerado (horas)

Descripción

A B C D E

Diseñar el procesador de información Escribir el procesador de información Diseñar el paquete de análisis. Escribir el paquete de análisis Introducir el sistema.

Costo Normal (dólares)

20 30 30 15 111

644 480 1000 288 4 800

A continuación se muestra el modelo de Programación Lineal que se diseñó para recortar el tiempo de terminación del proyecto a190 horas, así como su respectiva solución. Yi: Xi: XFIN:

Cantidad de horas a reducir la actividad i (A,B,C,D,E) Tiempo de finalización más temprano de la actividad i (A,B,C,D,E) Tiempo de finalización del Proyecto

Min 13 YA + 24 YB + 10 YC + 8 YD + 16 YE st YA <= 12 YB <= 10 YC <= 20 YD <= 9 YE <= 9 XFIN = 190 XA + YA >= 32 XC + YC >= 50 XB - XA + YB >= XD - XC + YD >= XE - XB + YE >= XE - XD + YE >= XE - XFIN = 0

40 24 120 120

End OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)

48.00000

VARIABLE YA YB YC YD YE XFIN XA XC XB XD XE ROW 2) 3) 4) 5)

VALUE 0.000000 0.000000 0.000000 2.000000 2.000000 190.000000 32.000000 50.000000 72.000000 72.000000 190.000000 SLACK OR SURPLUS 12.000000 10.000000 20.000000 7.000000

REDUCED COST 5.000000 16.000000 2.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 DUAL PRICES 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

Pág. 46


Documento de Trabajo PROFESOR: Ing. José A. VILLANUEVA H. 6) 7.000000 7) 0.000000 8) 0.000000 9) 0.000000 10) 0.000000 11) 0.000000 12) 0.000000 13) 0.000000 14) 0.000000

0.000000 16.000000 -8.000000 -8.000000 -8.000000 -8.000000 -8.000000 -8.000000 16.000000

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

VARIABLE YA YB YC YD YE XFIN XA XC XB XD XE

ROW 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

CURRENT COEF 13.000000 24.000000 10.000000 8.000000 16.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

CURRENT RHS 12.000000 10.000000 20.000000 9.000000 9.000000 190.000000 32.000000 50.000000 40.000000 24.000000 120.000000 120.000000 0.000000

OBJ COEFFICIENT RANGES ALLOWABLE ALLOWABLE INCREASE DECREASE INFINITY 5.000000 INFINITY 16.000000 INFINITY 2.000000 2.000000 5.000000 5.000000 8.000000 INFINITY INFINITY 5.000000 INFINITY 2.000000 INFINITY 5.000000 INFINITY 5.000000 8.000000 INFINITY INFINITY

RIGHTHAND SIDE RANGES ALLOWABLE INCREASE INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY 2.000000 2.000000 7.000000 2.000000 7.000000 2.000000 7.000000 2.000000

ALLOWABLE DECREASE 12.000000 10.000000 20.000000 7.000000 7.000000 7.000000 2.000000 2.000000 2.000000 2.000000 2.000000 2.000000 7.000000

a. ¿Cuanto sería el aumento porcentual del costo total inicial del proyecto, si se programara para que sea terminado en 190 horas? b. Se solicita que sustente según el reporte del programa LINDO, ¿cuánto costaría reducir el proyecto en 4 horas más? c. Basándose en el modelo presentado, se le solicita construir la red del proyecto, indicando la ruta crítica. d. Considerando la programación de actividades iniciales con la duración normal de las actividades, que el tiempo de cada una de las actividades siguen la distribución beta y que la desviación estándar del tiempo esperado de culminación del proyecto es 8 horas; ¿cuál sería la probabilidad que el proyecto sea terminado antes de 196 horas?

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Documento de Trabajo PROFESOR: Ing. José A. VILLANUEVA H.

Anexo Zα es el valor cuya probabilidad acumulada es igual a α en una distribución normal estandarizada. Ejemplo : Z = 2.33 => 2.3 + 0.03 => α = 0.9901α = 95% = 0.95 => Z 95% = 1.6 + 0.05 = 1.65 D istrib u cio n N o rm al Acu m u lad a E stan d arizad a

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3

0.00 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.9987 0.9990 0.9993 0.9995

0.01 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.9987 0.9991 0.9993 0.9995

0.02 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.9987 0.9991 0.9994 0.9995

0.03 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.9988 0.9991 0.9994 0.9996

0.04 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.9988 0.9992 0.9994 0.9996

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0.05 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996

0.06 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996

0.07 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9995 0.9996

0.08 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9996

0.09 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997


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