Teoremas fuertes de Continuidad part 1 by Juan Manuel

y= f

−1

( x) = x

+6 y= f 2

−1

( x) = x

+ 6 g( x) ∈ D f 2

Curso. “Elaboración de e-books educativos Profesor. Marina Guevara Martínez. Cesandari Román Valdez

Tarea de la actividad 3

Estructura de un e-books

Alumno. Juan Manuel Pérez Rosales. Fecha de entrega.

13 de diciembre de 2013.

TEOREMAS FUERTES DE CONTINUIDAD PARA FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE REAL Autor: Matemático Juan Manuel Pérez Rosales

Diciembre de 2013 INDICE POR TEMAS TEMA

Página 3 4 5 6 6

Índice Dedicatoria Prólogo Capítulo 1 Continuidad Conceptos preliminares 1.1 Vecindades en R 3

R 1.1.1 Ejercicios resumen vecindades en

R 1.2 Métrica Usual en

R 1.2.1 Ejercicios resumen métrica usual en

R 1.3 Conjuntos Abiertos y Cerrados en

R 1.3.3 El Interior de un conjunto y conjuntos Cerrados en

R 1.3.4 El exterior, la Frontera y la Cerradura de un Conjunto en

R 1.3.3 Ejercicios resumen Conjuntos Abiertos y Cerrados en

R 1.4 Conjuntos Acotados y Puntos de Acumulación en 1.4.1 Conjunto Acotado Superiormente1 1.4.2 Conjunto Acotado Inferiormente1 1.4.3 Punto de Acumulación1

R 1 1.4.4 Ejercicios resumen Conjuntos Acotados y Puntos de Acumulación en 1 1.5 Idea intuitiva de función continua. 1.5.1 Definición formal de función continua en un número. 2 1.5.2 Demostración de los teoremas que hacen referencia a las propiedades de continuidad. 2 1.5.3 Ejercicios resumen referentes a funciones continuas y sus propiedades. 4 y 6 Capítulo 2 Discontinuidad Conceptos preliminares 2.1 Definición Básica de Función Real en una variable Real y la Imagen de un Elemento del Dominio 1 y 2 2.1.2 Igualdad de Funciones1 2.1.3 Función Inyectiva1 2.1.4 Funciones monótonas en un intervalo1 2.1.5 Funciones Suprayectivas2 2.1.6 Funciones Biyectivas 2 2.1.7 Función Composición2 2.1.8 Función Inversa2 2.1.9 Ejercicios resumen referentes a los tipos de Función real en una variable real 1 y 2 2.2 Discontinuidad Esencial.4 2.3 Discontinuidad Eliminable4 2.4 Ejercicios resumen referentes a la Discontinuidad Eliminable y la Discontinuidad Esencial 4 y 6 Capitulo 3. Axioma del Supremo Introducción. 3.1 Cotas Superiores e Ínfimos.3 3.2 Supremo e ínfimo.3 3.3 Axioma del Supremo.3 3.4 Teorema Propiedad Arquímidiana de los Números Reales1

14 14 15 17 17 17 18 21 22

24 25 26 26 27 28 29 32 33 33 35 35 35 36 37 38

2 1 3.5 Existencia de 3.6 Ejercicios resumen referentes al capítulo 3.7 Capítulo 4 Teoremas Fuertes de Continuidad Introducción 4.1 Teorema Conservación del Signo de Funciones Continuas1 4.2 Teorema de Bolzano1 4.3 Teoremadel Valor Intermedio para Funciones Continuas1 y 4 4.4 Funciones Acotadas Superior e inferiormente 5 4.5 Cubierta y Subcubiertas de un conjunto 5 4.6 Teorema de Heine-Borel5 4..7 Teorema de Valores Extremos5 4.7 Ejercicios resumen referentes al capítulo IV 2 y 4 Bibliiografia por temas

43 43 43 44 45 48 49 50 53 57 Página

Dedicatoria. Yo aprendí matemáticas desde niño, y a lo largo de mi vida como estudiante aprendí la Ciencia Matemática como un proceso de razonamiento formal. De niño tener que aprender a escribir mis ideas como lo exigía mi profesora Josefina del Barrio de Granaditas, maravillarme de la belleza matemática como la presentaban en el pizarrón mi profesor de secundaría Sanabria y en la preparatoria como lo hacía el profesor Mario. Luego de mi adolescencia en mis estudios profesionales de Matemático con mi profesor Rosalio me acostumbré a escribir con el lenguaje formal las ideas matemáticas y al terminar mis estudios profesionales con el profesor Galván nuevamente aprendí a escribir las matemáticas. Lo que sé de matemáticas es lo que me enseñaron mis queridos profesores que conocí a lo largo de mi vida.

Prologo. El estudio de las Funciones Continuas es un tema que siempre me ha sorprendido, por las consecuencias de aplicación matemáticas que gracias a este tipo de funciones se pueden hacer y sorprender a aquellos que poco o nada saben de la belleza matemática. Con la oportunidad que me da la Universidad Autónoma de Aguascalientes de escribir mi primer “e-book educativo” yo he querido tomar el tema clásico del Análisis Matemático que es el de las Funciones Continuas en una variable real con el fin de que el lector de las carreras de ingeniería pueda consultar los teoremas fuertes de la continuidad de las funciones reales en una variable real que lo preparan los esquemas del conocimiento para formalizar los conceptos de la Derivada y de la Integral.

Capítulo 1: Continuidad Conceptos preliminares. 1.1. Vecindades en

Introducción: La idea de cercanía y de distancia pequeña entre dos números reales nos la proporciona la terminología de vecindades.

x−a <ε Al resolver la desigualdad:

donde

a <k propiedad de operación:

−ε < x − a < ε

es cualquier número positivo vemos que de la

−k <a < k

si y sólo si

, de aquí que

a −ε < x < a +ε

x ∈(a −ε,a + ε ) esto es

(a − ε,a + ε ) todos los números en el intervalo

se sigue que:

con

. Luego el conjunto de

cualquier número positivo constituye una

x−a <ε solución de la desigualdad

. Tiene que ser claro que

x ∈(a −ε,a + ε )

x , esto es: si la distancia de

Diremos que en la recta real , que los separa es pequeña.

es una solución de

a a

es menor que

x, a ∈ R x , si

x−a <ε

x−a

a esta cerca de

significará que la distancia,

a, ε ∈ R Definición: Sean radio

con

es cualquier número positivo, una vecindad con centro en

V ε ( a) = {x ∈ R x − a < ε }

conjunto:

V ε ( a) = {x ∈ R a − ε < a + ε } x ∈V ε ( a )

Nótese que , es pequeña.

Proposición 1.1.1: Si

equivalentemente

x−a <ε si

x−a , entonces x esta cerca de a significa que la distancia,

b∈R

y y si

esta en la vecindad de centro en

b∈R

y radio

ε >0

y =b entonces

Demostración: Por definición de vecindad:

V ε ( b) = {x ∈ R x − b < ε }

y −b < ε se cumple que con

cualquier número positivo. Entonces para tal

y −b = 0 aquí que por la definición de valor absoluto

Ejercicio 1.1.2: Sean la vecindades

( w + z ) − ( p + q)

entonces

y −b ≥ 0 . Ahora, por definición de valor absoluto

0 ≤ y −b <ε

. Si

y ∈V ε ( b )

V ε ( p)

y −b = 0 se sigue que

, de

y=b , luego

, Lugo tenemos que

V ε (q)

, si

.‫ם‬

wε V ε ( p )

zε V ε (q )

. Verificar que:

< 2ε .

Solución: Por la definición de vecindad se sigue que: si

zε V ε (q )

wε V ε ( p )

z−q <ε entonces

Ahora, claramente se sigue que:

( w + z) − ( p + q)

= ( w − p) + ( z − q) ≤ w + z + z − q < ε + ε

w− p <ε entonces

y si

( w + z ) − ( p + q)

< 2ε

Luego:

.‫ם‬

Ejercicio 1.1.3: Sean adecuado para que

α β y

V α (a) V β ( a )

Solución: Por definición de vecindad:

a ∈V α ( a )

. Como para

a ∈V β ( a )

V α (a) V β ( a ) = V ε ( a )

. ¿Cuál será el radio

sea una vecindad de centro en

y radio ?.

V α (a ) = { x ∈ R x − a < α } V β (a) = { x ∈ R x − a < β } y

entonces

x ∈V α (a) V β ( a )

que

a∈R

números positivos cualesquiera y sea

V α (a) V β ( a ) ≠ φ

así que de manera natural

ε = min {α , β } tomamos

número

luego

.‫ם‬

1.1.1 Ejercicios resumen vecindades en

Resolver los siguientes problemas:

V ε ( 2) V ε ( − 1) V ε ( 7) 3

1.1: Sean las vecindades

x ∈V ε ( 2 ) y ∈V ε ( − 1) 3

que si 1.2: Sean

con

cualquier número positivo. Haga ver

( x + y + z) − 8 < ε

entonces

números positivos cualesquiera y sea

V α (a )  V β ( a )

para que

z ∈V ε ( 7 )

α β

a∈R

. ¿Cuál será el radio

a sea una vecindad de centro en

y radio

adecuado

I = { x ∈ R 0 < x < 1} 1.3: Sea . Haga ver que para cualquier elemento de una vecindad de centro en él.

se puede construir

1.2 La métrica usual en

a−b Introducción: De manera intuitiva hemos interpretado

como la distancia entre los números

a b reales

y , daremos ahora una definición formal de distancia entre dos números reales.

Definición:

d : R×R → R

es una función métrica o función distancia de valores reales, si para

a , b, c ∈ R d cualesquiera

tiene las siguientes propiedades:

d ( a, b ) ≥ 0

d ( a, b ) = 0 y

ị.)

si y sólo si

a=b

d ( a , b ) = d ( b, a ) ị ị)

d ( a , b ) ≤ d ( a , c ) + d ( c, b ) ị ị ị) Nota:

d ( a, b ) ≥ 0 Si

d se dice que

d ( a, b ) = 0 Si

si y sólo si

es positiva.

a=b

d ( a , b ) = d ( b, a ) Si

d se dice que

es no degenerada.

d se dice que

es simétrica.

d ( a , b ) ≤ d ( a , c ) + d ( c, b ) Si

d se dice que

satisface la desigualdad del triángulo.

x, y , z ∈ R d ( x, y ) = x − y Proposición 1.2.1: Sean Demostración:

es una métrica.

d ( x, y ) = x − y Verificaremos ị.): Ya que

x− y ≥0 por definición de valor absoluto

d ( x, y ) ≥ 0

d ( x, y ) = d ( x , x ) = x − x = 0 = 0

y=x . Por otra parte, sea

, luego

entonces

d De lo anterior

satisface ị.)

d ( x, y ) = x − y = − 1( y − x ) = − 1 y − x = y − x = d ( y, x ) Verificaremos ị ị.): Ya que

d De lo anterior

satisface ị ị.)

Verificaremos ị ị ị):

d ( x, y ) = x − y = x − y + 0 = x − y + z − z = ( x − z ) + ( z − y ) ≤ x − z + z − y Ya que

d ( x , y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z , y ) Esto es:

d De lo anterior

satisface ị ị ị)

d Concluimos entonces que

es una métrica. ‫ם‬

Observación:

d ( a, b ) = a − b

d La función

definida por

en la recta real

a, b ∈ R donde

es una métrica llamada la métrica usual

1.2.1 Ejercicios resumen métrica usual en

2.1: Verificar que la función

d : R×R → R

d ( p, q ) = p − q

d ⊕ ( p, q ) = definida por

p, q, r ∈ R es una métrica para cualesquiera

d ( p, q ) 1 + d ( p, q )

donde

1.3 Conjuntos abiertos y Cerrados en la Recta Real 1.3.1 Tipos de Intervalo en la Recta Real. Introducción: De los cursos básicos de algebra sabemos que los tipos de intervalo en la recta real son:

( a, b ) ⊂ R Intervalo Abierto: por el segmento

x reales

tales que

a< x<b

reales

tales que

a≤ x≤b

Ocasionalmente en

( a, b ) = { x ∈ R a < x < b}

, esto es

Intervalo Cerrado: por el segmento

entendemos el conjunto de todos los números .

[ a, b ] ⊂ R

entendemos el conjunto de todos los números

[ a, b] = { x ∈ R a ≤ x ≤ b}

, esto es

nos encontramos con intervalos semiabiertos:

( a, b] = { x ∈ R a < x ≤ b} Intervalo semiabierto por la izquierda:

[ a, b ) = { x ∈ R a ≤ x < b} Intervalo semiabierto por la derecha:

+∞

−∞

Usamos los símbolos , más infinito o infinito positivo, y , menos infinito o infinito negativo, sin embargo se debe de tener cuidado de no confundir estos símbolos con números reales.

( a,+∞ ) = { x ∈ R x > a} ( − ∞, a ) = { x ∈ R x < a}

[ a,+∞ ) = { x ∈ R x ≥ a} ( − ∞, a] = { x ∈ R x ≤ a}

Para poder estudiar desde un punto de vista más formal los conjuntos abiertos y cerrados de asimilando el interior, la frontera y el exterior de un conjunto, a continuación estableceremos una definición de vecindad en un sentido más estricto de la topología: Sea

V⊂R

y sea

a∈R

V , decimos que

a es una vecindad de

a que el intervalo abierto de centro en

V⊂R

a∈R

existe

ε >0

y radio

si existe un número real

ε >0

tal

V esta contenido en

, esto es:

(a − ε,a + ε ) ⊂ V tal que

Observación por lo estudiado anteriormente una vecindad también la podemos denotar:

con centro en

V ε ( a ) = { x ∈ R x − a < ε } = { x ∈ R a − ε < x < a + ε } = { xεR d ( x, a ) < ε }

y radio

ε >0

Teorema 1.3.1.1: Un Intervalo Abierto es una vecindad de cualquiera de sus puntos.

I = ( a, b ) Demostración: Sea

a, b ∈ R para

ε = min { x − a , x − b }

x y sea

, entonces tenemos que:

cualquier elemento en

. Tomemos

( x −ε, x + ε ) ⊂ I

ε >0

y que

de aquí que

una vecindad de x. ‫ם‬

1.3.2 Punto Interior y Conjuntos Abiertos Definición: Sea

A⊂ R

p∈ A , un punto

es un punto interior de

Sp algún intervalo abierto

el cual esta contenido en

Por el teorema I.5.1.1 podemos decir que: Sea

p sólo si

A⊂ R

Definición: Un conjunto

si y sólo si

pertenece a

p∈Sp ⊂ A . Esto es:

p∈ A p y

es un punto interior de

V esta contenido en una vecindad

la cual esta contenida en

p ∈V ⊂ A . Esto es:

es abierto si y sólo si cada uno de sus puntos es un punto interior.

si y

I = ( a, b ) Ejemplo: El intervalo

es un conjunto abierto.

Justificación: siempre podemos escoger la vecindad

V =A

p∈ A para cada

p ∈V ⊂ A , luego

1.3.3 El interior de un Conjunto y Conjuntos Cerrados. Con lo estudiado anteriormente, hemos visto que desde el punto de vista de la topología

V determina los conjuntos

a los cuales son vecindades de

determina el conjunto de puntos para los cuales Definición: Sea interior de

A⊂ R

.Ahora veremos que un conjunto

es una vecindad.

. El conjunto de todos los puntos interiores de

es llamado el conjunto

IntA y lo denotamos con

De la definición tenemos que cualquiera de sus vecindades

x ∈ IntA

si y sólo si

IntA ⊂ A

Ejemplo: para el intervalo Proposición 1.3.3.1: Si

x es una vecindad de

se tiene que es una vecindad de

IntA , entonces también

a es una vecindad de

(a −ε,a + ε ) ⊂ A

pertenece a

IntI = I

Ya que Si

x y como

I = ( a, b )

Demostración:

a∈R

, entonces existe

ε >0

tal que:

IntA ⊂ A

. Ahora bien, como pertenece a cualquiera de sus vecindades y como el interior de un intervalo abierto es el mismo intervalo abierto se sigue que

( a − ε , a + ε ) ⊂ IntA

IntA de aquí que

a es una vecindad de

.‫ם‬

Teorema 1.3.3.2: La unión de cualquier familia de conjuntos abiertos en abierto.

( Ai ) i∈J

Demostración: Sea

una familia de subconjuntos abiertos de

es un conjunto

Ai tales que cada

es un

A =  Ai

A=φ

i∈J

conjunto abierto y denotemos con entonces

unión de la familia de conjuntos abiertos. Si

φ es abierto, ya que no hay punto en

a ∈ Ai

A≠φ Ahora bien, consideremos que

y sea

Ai por la proposición I.5.1.1,

el cual no sea punto interior.

para algún

Ai . Ya que cada

es abierto

A =  Ai

a es una vecindad de

i∈J

, luego

es un conjunto abierto.‫ם‬

De lo estudiado anteriormente tenemos que los conjuntos abierto en generalizan los intervalos abiertos, la correspondiente generalización de intervalos cerrados son los conjuntos cerrados. Definición: Sea abierto.

A⊂ R A ,

es un conjunto cerrado si y solo si su complemento

A = [ a, b ] Ejemplo:

A c = ( − ∞, a ) ∪ ( b,+∞ )

es un conjunto cerrado ya que

es un conjunto

y vemos que

es la

( − ∞, a ) ( b,+∞) unión de los conjuntos abiertos

1.3.4 El Exterior, la Frontera y la Cerradura de un Conjunto. Sea

A⊂ R

, desde el punto de vista de la topología

A IntA

El Interior de

El Exterior de

ExtA = IntA

se divide en tres conjuntos:

que es el conjunto de puntos interiores de

ExtA :

que es el conjunto de puntos interiores en

Nótese que:

La Frontera de

fr( A)

IntA

que es el conjunto de puntos que no pertenecen al

y tampoco

ExtA pertenecen al

R ( a, b )

Ejemplo: Considere los siguientes intervalos en

[ a, b] ( a, b] [ a, b )

de las definiciones

( a, b ) anteriores se tiene que: El Interior de cada uno de los conjuntos dados es

y la Frontera para

{ a, b} uno de estos conjuntos es

A⊂ R

La Clausura o Cerradura de un conjunto

los conjuntos cerrados que contienen a

De manera más general se dice que

, que se denota con

es la intersección de todos

fr ( A)

IntA se obtiene agregando al

los puntos de

, esto

A = IntA ∪ fr ( A) es:

A = ( 0,1) Ejemplo:

entonces

A = [ a, b]

Las definiciones de Interior, exterior, frontera y cerradura las podemos establecer en términos de vecindades: Sea

A⊂ R

entonces:

x ∈ IntA ↔ A

es una vecindad de

x ∈ ExtA ↔ A c

es una vecindad de

x ∈ fr ( A) ↔

x las vecindades de

x↔

cada vecindad de

Proposicion 1.3.4.1: Sea

interseca a

A⊂ R

interseca a

no intersecan a

las vecindades de

x cada vecindad de

x∈ A ↔

x↔

no intersecan a

, A es Cerrado si y sólo si

A A =

. .

16 Demostración:

Supongamos que

es cerrado: entonces

A = IntA ∪ fr( A) luego

ExtA = A c

es abierto y además

y como

A= A A A

Consideremos ahora que que

: Ya que

A c = ExtA = IntA c

IntAc

y como

es abierto se sigue

es cerrado. ‫ם‬

1.3.3 Ejercicios resumen Conjuntos Abiertos y Cerrados en 3.1: Sea 3.2: Sea

a∈R

y sean

a∈M

N y

M ⊂N

a vecindades de

. Si

, entonces

M ∩N

a es una vecindad de

N , entonces también

es una vecindad de

a . 3.3: Justifique porque la recta real R es un conjunto abierto.

φ 3.4: Justifique porque el conjunto 3.5:

es abierto si y sólo si

es un conjunto abierto.

A = IntA

3.6: La intersección de cualquier familia de conjuntos cerrados en

1.4 Conjuntos Acotados y Puntos de Acumulación en 1.4.1 Conjuntos Acotados en

es un conjunto cerrado.

Introducción: Desde el punto de vista de la topología se tiene que: * El conjunto

a elementos

de los números reales es totalmente ordenado; esto significa que dados dos

b y

una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple:

a < b, a = b, b < a . ** El conjunto

de los números reales eses completo en el siguiente sentido:

A⊂ R

Si puede ser que también que no.

Ejemplo 1.4.1.1: El conjunto

tenga un elemento máximo y un elemento mínimo, pero puede ser

A = [ a, b ]

donde

a<b

b y tiene como elemento máximo

A = ( a, b ) Por otra parte, el conjunto máximo. ‫ם‬

donde

( a, b ) Ejercicio 1.4.1.2: Verificar que

que esta en

donde

a tiene como elemento mínimo .

a<b

que esta en

no tiene elemento mínimo ni elemento

no tiene elemento mínimo.

Solución:

( a, b ) Supongamos que

donde

d ∈ ( a, b ) y se cumple que

a−d 2

y es tal que

a<b

a<d <b

a−d ∈ ( a, b ) 2

( a, b ) elemento mínimo de

d tiene elemento mínimo el cual llamaremos

, Entonces:

d . Ahora bien, existe un numero entre a y

a−d <d 2

, por ejemplo

d . Lo anterior claramente contradice que

( a, b ) , luego

no tiene elemento mínimo. ‫ם‬

Conjunto Acotado Superiormente Un conjunto

de números reales está acotado superiormente, o tiene cota superior, si existe un

c número real

con la propiedad de que:

Para cualquier

x∈ A

siempre se cumple que

x≤c

A = ( a, b ) Ejemplo 1.4.1.3: Para el conjunto es cota superior de

donde

a<b b ,

b o cualquier número mayor que

.‫ם‬

Conjunto Acotado Inferiormente Un conjunto

de números reales está acotado inferiormente, o tiene cota inferior, si existe un

c número real Para cualquier

con la propiedad de que:

x∈ A

siempre se cumple que

x≥c

A = ( a, b ) Ejemplo 1.4.1.4: Para el conjunto es cota inferior de

donde

a<b a ,

a o cualquier número menor que

.‫ם‬

De manera más general diremos que: Un conjunto cualquier

A⊂ R

x∈ A

c está acotado si existe un número real

x≤c siempre se cumple que

, esto es

con la propiedad de que para

−c ≤ x ≤ c

Observación:

( a,+∞ )

( − ∞, a ) no está acotado superiormente y

no está acotado inferiormente.

Nótese que:

c Si algún número

es cota superior de

es cota inferior de

c entonces cualquier número mayor que

también

c Si algún número

A⊂ R

c entonces cualquier número menor que

también

19 Lo anterior implica que: La existencia de una cota superior de un conjunto asegura infinitas cotas superiores. La existencia de una cota inferior de un conjunto asegura infinitas cotas inferiores.

A = ( a, b ) Dado el conjunto

donde

a<b

se tiene que:

b El conjunto de cotas superiores tiene un elemento mínimo que es supremo de

b , así el número

se llama

a Por otra parte, el conjunto de cotas inferiores tiene un elemento máximo que es

se llama el ínfimo de

, así el número

I.4.2 Puntos de Acumulación Definición: Sea

A⊂ R

p∈R . Un punto

es un punto de acumulación o un punto límite de

V sólo si cada conjunto abierto

que contenga a

contiene por lo menos un punto de

si y

p diferente de

, es decir:

p ∈V

V Sea

abierto y

p ,

es punto de acumulación de

A⊂ R

si se cumple que

A ∩ {V − { p}} ≠ φ .

( a, b )

Ya sabemos que en los intervalos abiertos son conjuntos abiertos y sabemos que un intervalo abierto es una vecindad de cualquiera de sus puntos. 0

Vε ( p )

Denotaremos con

y radio

ε >0

quitando del conjunto al

Vε ( p )

p punto

a la vecindad de centro en

y diremos que

p es una vecindad agujereada porque se ha quitado a

Con lo anterior, la definición de punto de acumulación la podemos establecer de la siguiente manera:

Sea

subconjunto de

p y sea

p un número real. Se dice que

es un punto de acumulación del

conjunto

A ∩ Vε ( p ) ≠ φ si

Nota: Al conjunto de puntos de acumulación del conjunto conjunto derivado de

Ejemplo I.4.2.1: Sea

, denotado por

A′

, es llamado el

A = [ a, b ]

p cualquier punto

es punto de acumulación de

En efecto:

p∈ A Si

ε >0

siempre podemos determinar un número

que sea

, independientemente de lo pequeño

A ∩ Vε ( p ) ≠ φ , con la propiedad de que

. Luego

fuera de

porque siempre existe un número Proposición I.4.2.1: Sea pertenecen a

A = [ a, b ]

q Observación: Ningún punto

A = A′

A⊂ R

ε >0 A

es punto de acumulación de

lo anterior

A ∩ Vε ( q ) = φ , con tal que

.‫ם‬

es cerrado si todos los puntos de acumulación de

Demostración:

A⊂ R

Sea un conjunto cerrado y supongamos que se sigue que:

p es punto de acumulación de

, entonces

p Cada conjunto abierto que contiene a

contiene puntos de

p diferentes de

p existir un conjunto abierto que contiene a punto interior de

totalmente contenido en

. Ahora bien, por ser

cerrado

, luego no puede

y de aquí que

p ∉ Ac es abierto y

no es

p∈ A luego

.‫ם‬

+ ∞ y de − ∞ Vecindades de

( a,+∞)

( − ∞, a )

Para los conjuntos de números bajo la siguiente consideración:

En el conjunto orden de

R # = R ∪ { − ∞,+∞}

definiendo

* La vecindad de

+∞

+ ∞ y de − ∞

definimos las vecindades de

, que llamaremos de los reales extendidos, se entenderá el

− ∞ < x < +∞

para cualquier

determinada por el número

x∈R

M ≥0

será el conjunto:

( M ,+∞] = VM ( + ∞ ) = { x ∈ R # x > M } . ** La vecindad de

−∞

determinada por el número

será el conjunto:

[ − ∞,− R ) = VR ( − ∞ ) = { x ∈ R # x < − R} .

+ ∞ y de − ∞ Nótese que las vecindades agujereadas 0

conjuntos

V M ( + ∞ ) = ( M ,+∞ )

quedaran determinadas por los

V R ( − ∞ ) = ( − ∞ ,− R )

1.4.4 Ejercicios resumen Conjuntos Acotados y Puntos de Acumulación en

( a, b ) 4.1: Verificar que

donde

a<b

no tiene elemento máximo.

4.2: Sea

1  A =  n es cualquier entero positivo  n 

y determine 4.3: Sea

determine

A′

. Verificar que 0 es punto de acumulación de

el conjunto de los números enteros. Verificar que

Z′

no tiene puntos de acumulación y

4.4: Demostrar que si el conjunto un conjunto cerrado.

contiene a todos sus puntos de acumulación entonces

1.5 Idea intuitiva de función continua. Introducción:

f ( x) Intuitivamente, una función continua se describe a menudo como aquella función cuya gráfica pude dibujarse sin levantar el lápiz. En las siguientes figuras se describen gráficas de

a funciones que no son continuas en

a , estoes que son discontinuas en el número

f ( x) Desde el punto de vista analítico, se dice que cumplen las tres condiciones siguientes:

a es continua en el número

lim f ( x )

f ( a) ii)

si y sólo si se

lim f ( x ) = f ( a ) x→a

x→ a

existe

iii)

a Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen para el número

, se dice que la función es

a discontinua en

1.5.1 Definición formal de función continúa en un número. Definición de Función Continua en un Número:

f Una función

es continua en el punto

existe una vecindad

si y sólo si

f ( D f ∩ Vδ ( a ) ) ⊂ Vε ( f ( a ) )

Vδ ( a ) tal que

Vε ( f ( a ) )

a ∈ Df

y si para toda vecindad , esto es:

a ∈ Df

a es

continua

sólo

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∋ ∀x : x ∈ D f ∩ Vδ ( a ) → f ( x ) ∈ Vε ( f ( a ) ) O equivalentemente:

a es continua en el punto

si y sólo si

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∋ ∀x : x ∈ D f y x − a < δ → f ( x ) − f ( a ) < ε

a ∈ Df y

a Nótese que en la definición dada no se exige que sea un punto de acumulación de puede o no puede ser un punto de acumulación del dominio de la función.

a ∈ Df Diremos que si

a y

a , así

no es punto de acumulación de

entonces:

∃δ > 0 ∋ D f ∩ {Vδ ( a ) − { a}} = φ

x ; esto es el único número o punto

que satisface que

D f ∩ { ( a − δ , a + δ ) − { a} } = φ

x ∈ Df y x − a < δ = (a −δ,a + δ ) para el cual

es el mismo

a número

1.5.2 Demostración de los teoremas que hacen referencia a las propiedades de continuidad. f Teorema 1.5.2.1: Sea

una función real de variable real y sea

Df punto de acumulación de

f , entonces

a∈R

a ∈ Df . Si

y si

a es continua en

Demostración: Tenemos que probar que

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∋ ∀x : x ∈ D f y x − a < δ → f ( x ) − f ( a ) < ε

a ∈ Df si Sea

y si

ε >0

dado arbitrariamente:

no es

a ∈ Df Ya que

a y

no es punto de acumulación de

entonces existe un número

x ∈ Df y x − a < δ

x cual el único punto número o punto

que satisface que

es a saber

f ( x) − f ( a) = f ( a) − f ( a) = 0 < ε para el cual

, así pues para tal número

∀x : x ∈ D f y x − a < δ → f ( x ) − f ( a ) < ε

f , luego

x=a

se tiene que

es continua en

.‫ם‬

Teorema 1.5.2.2: Sea

una función real de variable real y sea

f , entonces:

δ >0

para el

f Df

δ >0

es continua en

lim f ( x ) = f ( a )

a ∈ Df

a si y sólo si

un punto de acumulación de

x→a

Demostración:

f Supongamos primero que

a ∈ Df y además dado

a es continua en

ε >0

, entonces:

arbitrariamente existe un número

∀x : x ∈ D f y x − a < δ → f ( x ) − f ( a ) < ε

particular para tal número

con la propiedad de que

a . Como

δ >0

es un punto de acumulación de

se cumple que:

lim f ( x ) = f ( a )

∀x : x ∈ D f y 0 < x − a < δ → f ( x ) − f ( a ) < ε

x →a

, de aquí que

x→a

Ya que la propiedad de que A

x→a

lim f ( x ) = f ( a ) sea

lim f ( x ) = f ( a )

a ∈ Df Supongamos ahora que

ε >0

dado arbitrariamente, entonces existe un número

∀x : x ∈ D f y 0 < x − a < δ → f ( x ) − f ( a ) < ε .

δ >0

con

f ( x ) ∈ Vε ( f ( a ) )

x ∈ Df Ahora

bien

como

vemos

f ( x) − f ( a) = f ( a) − f ( a) = 0 < ε , así que para

x=a

que

se cumple

x=a

Luego tenemos que

∀x : x ∈ D f y x − a < δ → f ( x ) − f ( a ) < ε

a ∈ Df y

entonces

f , de aquí que entonces

es continua en

a .‫ם‬

f yg Teorema 1.5.2.3: Sean

funciones reales de variable real y sea

, entonces las funciones

. Si

son

además

entonces también

a también son continuas en

f g

g( a) ≠ 0

f + g o f − g o fg cualquiera de las funciones

denotara

f yg

a ∈ Df

a son continuas en

a ∈ D fΘg

entonces

a luego: Si

y si además

f g

fΘg entonces también

, y si

a es continua en

fΘg Demostración: Denotemos con

Ya que

f yg

f + g , f − g y fg

a continuas en

a∈R

a ∈ Dg y

luego para nuestra notación

D fΘ g

fΘg

no es punto de acumulación de

por el teorema IV.1.1 la función

a es continua en

D fΘ g

a Por otra parte, si

Df de

es punto de acumulación de

Dg como de

f yg y como

lim f ( x ) = f ( a )

a entonces

a son continuas en

lim g ( x ) = g ( a )

x →a

x→a

, de aquí que:

lim [ fΘg ]( x ) = lim f ( x ) Θ lim g ( x ) = f ( a ) Θg ( a ) = [ fΘg ]( a ) x→a

x →a

es punto de acumulación tanto

se tiene por el teorema IV.1.2 que

fΘg Luego

a es continua en

.‫ם‬

Teorema 1.5.2.4: Si

es una función continua en un punto

es un punto de acumulación de

lim f ( g ( x ) ) = f  lim g ( x )   x → x0 

x → x0

y si

, y si

lim [ f  g ] ( x ) = f ( y 0 )

D f g

x0 además

lim g ( x ) = y 0

y0 ∈ R

x → x0

entonces

, esto es

x → x0

Demostración: Sea

ε >0

dado arbitrariamente:

Ya que

η >0

f es

continua

f ( y ) − f ( y0 ) < ε

, existe un número

y ∈ D f ∩ Vη ( y 0 ) siempre que

lim g ( x ) = y 0

η >0

x → x0

Por otra parte, ya que

, para tal número

tal que

x ∈ Dg ∩ V δ ( x0 ) siempre que

x ∈ D f  g ∩ V δ ( x0 ) Sea

x ∈ Dg y g ( x ) ∈ D f , entonces

tanto

lim f ( g ( x ) ) = f  lim g ( x )   x → x0 

g ( x ) ∈ Vη ( y 0 ) , luego tenemos que

lim [ f  g ]( x ) = f ( y 0 )

f ( g ( x) ) − f ( y0 ) < ε lo

δ >0

existe un número

g ( x) − y0 < η

por

con la propiedad de que

x → x0

luego

esto

x → x0

.‫ם‬

g Corolario 1.5.2.5: Si la función

f g la función

es continua en

a es continua en

g( a)

a y la función

es continua en

entonces

g Demostración: Ya que

lim g ( x ) = g ( a )

a es continua en

x→a

entonces

. Y como

es continua en

g( a) , en virtud del teorema IV.1.4 se sigue que:

(

)

lim [ f  g ]( x ) = lim f ( g ( x ) ) = f lim g ( x ) = f ( g ( a ) ) = [ f  g ]( a ) x→a

x →a

f g Luego

a es continua en

.‫ם‬

lim f ( x ) = L

h ∈ D f ( a + h ) Proposición 1.5.2.6: Sea

lim f ( a + h ) = L

x →a

, si

h →0

entonces

Demostración:

lim f ( x ) = L x →a

Ya que número

entonces por definición de límite: Para cualquier número

λ >0

tal que

x ∈ Df

Y ya que

Luego para

existe un

∀x : x ∈ D f y 0 < x − a < δ → f ( x ) − L < ε

h ∈ D f ( a + h ) y

Si redefinimos

ε >0

entonces:

x=a+h

de aquí que

h = x−a

h ∈ D f ( a + h ) con

, claramente si

x→a

entonces

h→0

x ∈ Df y

vemos que:

0 < ( a + h) − a < δ → f ( a + h) − L < ε

0 < h − 0 < δ → f ( a + h) − L < ε esto es:

lim f ( a + h ) = L h →0

De lo anterior

.‫ם‬

a Corolario 1.5.2.7: Si

lim f ( a + h ) = f ( a )

a en

es un punto de acumulación de

h →0

si y sólo si

Demostración:

f entonces:

es una función continua

f Supongamos primero que redefinimos

x=a+h

lim f ( x ) = f ( a )

a es una función continua en

x→a

, entonces

. Si

lim f ( a + h ) = f ( a ) h →0

, en virtud de la proposición IV.1.6, tenemos que

lim f ( a + h ) = f ( a )

h = x−a

h →0

Supongamos ahora que

, si redefinimos

lim f ( x ) = f ( a )

, en virtud de la

lim f ( x ) = f ( a )

x→a

proposición IV.1.6 tenemos que

x→a

, luego

.‫ם‬

f ( x ) = senx y g ( x ) = cos x Teorema 1.5.2.8: Las funciones

son continuas en toda la recta real.

Nota: Haremos la demostración para el caso de la función coseno dejando como ejercicio el caso de la función seno.

lim cos x = cos a con a ∈ R x→a

Demostración: Queremos probar que

lim cos x

a Sea

x→a

cualquier número real y consideremos el límite

En virtud del corolario IV.1.7 redefiniendo

x→a

entonces

h→0

x=a+h

h = x−a

de aquí que

, claramente si

lim cos x = lim cos( a + h ) x→a

h →0

luego

, con lo anterior verificaremos que

lim cos( a + h ) = cos a h →0

cos( α + β ) = cos α cos β − senαsenβ De la identidad trigonométrica

podemos escribir

lim cos( a + h ) = lim ( cos a cosh − senasenh ) = lim cos a lim cosh − lim sena lim senh = h →0

h→0

h →0

cos a cos 0 − senasen 0 = cos a (1) − sena ( 0 ) = cos a

h →0

lim cos x = cos a con a ∈ R x→a

Luego

.‫ם‬

1.5.3 Ejercicios resumen referentes a funciones continuas y sus propiedades.

29 Demostrar las siguientes proposiciones: 5.1. Una función polinomial o polinómica es continua en todo número. 5.2. Una función racional es continua en todo número de su dominio.

5.3 Si

f ( x) = n x

n donde

es cualquier entero positivo, entonces

a es continua en

si:

a i).

es cualquier número positivo.

a ii).

n es cualquier número negativo o cero y

lim f ( a + h ) = L

h ∈ D f ( a + h ) 5.4. Sea

es impar.

lim f ( x ) = L

h →0

, si

x →a

entonces

f ( x ) = senx 5.5. La función

es continua en toda la recta real.

5.6. Determine en que puntos son continuas las funciones dadas:

f ( x) =

1 − 3x x−2

g ( x) =

x +1 x − 4x + 3

h( x ) = csc 2 x

s( x ) = tan x

5.7. Para la función dada haga un bosquejo de la función, determine su dominio y determine para que valores de la variable independiente la función es discontinua:

f ( x) =

x2 + x − 6 x+3

 x2 + x − 6  g ( x ) =  x + 3 si x ≠ −3  1 si x = 3

 3 + x si x ≤ h( x ) =  − x + 3 si x > 1

Capítulo 2 Discontinuidad Conceptos preliminares

2.1 Definición Básica de Función Real en una variable Real y la imagen de un elemento del dominio. Definición Básica: Si a cada elemento de un conjunto un elemento único de un conjunto

, se dice que esa correspondencia es una función.

f :A→B

f Denotando esta correspondencia por

se le hace corresponder, de algún modo,

y escribiendo

f que se lee

es una función

El conjunto

f se llama dominio de la función

. El Conjunto

se llama codominio de la función

f .

f :A→B Observación: Se quiere que la correspondencia alguna: Un elemento y sólo un elemento de vale que dos elementos distintos o más de que dos o más elementos distintos de

sea tal que no exista ambigüedad

a de corresponder a cada elemento de

correspondan a un mismo elemento de

. No se

. Si se vale

La Imagen de un Elemento del Dominio bajo una Función:

f :A→B Sea la función

. Si al elemento

a la imagen de

bajo la función

a∈ A

le corresponde el elemento

, decimos que

f ( a) = b

b es

b∈B

y denotamos

Nota: Aunque la definición de función que tenemos nos permite identificar de manera adecuada la correspondencia de los elementos en el dominio a los elementos del codominio, para fines del cálculo necesitamos de una función que nos permita construir e identificar la gráfica de dicha función, por lo anterior establecemos las siguientes definiciones que nos permitirán visualizar el concepto de gráfica de una función real en una variable real:

f :A→B Sea

y = f ( x) Definida por

* Una función de un conjunto siguientes propiedades:

x 1) Para elemento

en un conjunto

existe un elemento

Al conjunto

que tiene las

( x, y ) ∈ f de B tal que

f se le llama dominio de

y se denota con

Cf y se denota con bajo

; al conjunto

se le llama

y . Al único elemento

x de B asociado con el elemento

f ( x)

x se le llama imagen de

A× B

y=z entonces

f codominio de

, es un subconjunto de

( x, y ) ∈ f ( x, z ) ∈ f 2) Si

y se le denota con

{ f ( x ) x ∈ A}

conjunto de todas las imágenes

y = f ( x) o de manera más usual

. Al

f se le llama el rango o recorrido de

y se denota

Rf .

x y ** Una función es un conjunto de parejas ordenadas de números reales

, que denotamos:

( x, y ) , en el cual no hay dos parejas ordenadas distintas que tengan el mismo primer elemento.

x El conjunto de todos los valores posibles de

se llama dominio de la función.

y El conjunto de todos los valores posibles de función.

se llama codominio o contradominio o rango de la

y = f ( x)

f :A⊆ R→B⊆ R Al tener la función

x y y

definida por

, decimos que:

x son las variables de la función.

la variable independiente y

la variable dependiente.

f ( x) es la regla o fórmula de correspondencia o modelo matemático que hace corresponder a

A⊆ R

x cada elemento

un único elemento

x y Como

B⊆R

son números reales decimos que

es una función real de variable real.

Nótese que:

f Si

es una función real de variable real:

( x, y )

f - La gráfica de puntos en

es el conjunto de parejas ordenadas

consideradas como un conjunto de

y = f ( x) - Lo común es conocer la regla de recurrencia

y a partir de esta determinar el dominio

f de

que sabemos puede ser un subconjunto de

o bien todo

y el cual denotaremos con

Df .

x ∈ Df Diremos que

si y sólo si para tal

indice par

la regla de recurrencia

es valida, esto es: los

f ( x)

x valores de

f ( x)

son tales que no llevan a

a una forma indeterminada tales como:

nùmero 0

nùmero negativo

bien

x ∈ Df ⊆ R Geométricamente

x se identifica en el eje

f Por otra parten el codominio o contradominio o rango de la función

x ∈ Df común es establecerlo a partir de los valores de

, que denotamos

, lo

y ∈ Rf ⊆ R Geométricamente

y se identifica en el eje

f Si se tiene la gráfica de

decimos que:

x ∈ Df

( x, y )

x si al extenderse a partir del eje

y ∈ Rf

se identifica al punto

( x, y )

y si al extenderse a partir del eje

( x, y ) Un punto

se identifica al punto

f en la gráfica de

( x, f ( x ) )

f de la gráfica de

f en la gráfica de

también se puede denotar con

2.1.2 Igualdad de Funciones. Introducción: Anteriormente hemos visto que los elementos fundamentales de una función son su dominio y su rango, ahora veremos como participan estos elementos para poder establecer si dos funciones dadas son o no son iguales.

Definición: Dos funciones

f ( x) = g ( x)

D f = Dg

son iguales si:

x ∈ Df para todo

Ejemplo 2.1.2.1: Determine si las funciones dadas son iguales:

 x 2 − 25 si x ≠ 5  3 f ( x ) =  x − 125  2 si x = 5  15

g ( x) = y

f ( x) = g ( x)

D f = Dg

f =g Solución: Sabemos que

x+5 x + 5 x + 25 2

si:

si x = 5 entonces f ( x) =

2 15

para todo

si x ≠ 5 entonces f ( x ) =

f Análisis del Dominio: Para la función

x ∈ Df

se tiene que:

x ∈ { ( − ∞,5) ∪ ( 5,+∞ ) ∪ { 5}} = R , de aquí que:

x 2 − 25 x 3 − 125

Df = R . Luego

g Para la función

se tiene que:

x + 5 x + 25 = 0

siempre que

x+5 x + 5 x + 25 2

x ∈ Dg

Dg = R

g ( x) =

x ∈ Dg

siempre que

sea el número complejo dado por

sea valida. Como

− 5 ± 5 3i 2

Luego

D f = Dg . Así que

Análisis de las Imágenes:

x ∈ Df Sea

x 2 − 25 ( x + 5)( x − 5) = x + 5 = g( x ) Si x ≠ 5 entonces f ( x ) = 3 = x − 125 ( x − 5) x 2 + 5 x + 25 x 2 + 5 x + 25

(

Si x = 5 como g ( x ) =

)

x+5 5+5 10 2 se sigue que g ( x ) = 2 = = = f ( x) x + 5 x + 25 5 + 5( 5) + 25 75 15 2

f ( x) = g( x) Así que

x ∈ Df para todo

f =g . De lo anterior tenemos que

.‫ם‬

2.1.3 Funciones Inyectivas: f :A→B Sea

x≠ y

f . Se dice que

f ( x) ≠ f ( y )

es inyectiva o uno a uno si siempre que

entonces

x, y ∈ A para cualesquier

Ejemplo 2.1.3.1: Sea

h:R → R

definida por

x≠ y

x, y ∈ R Solución: Sean

h( x ) = x 3 + 7 x − 8

y supongamos que

h . Determinar si

x< y o x> y , esto es

es inyectiva.

x3 < y3 y 7x < 7 y

x< y Si

tenemos que: Como

x3 + 7x < y 3 + 7 y se sigue que:

aun más

h( x ) ≠ h( y ) porque h( x ) < h( y )

x3 + 7x − 8 < y 3 + 7 y − 8 . Luego

x3 > y3 y 7x > 7 y

x>y Ahora bien: Si

tenemos que: Como

se sigue que:

h( x ) ≠ h( y ) porque h( x ) > h( y )

x3 + 7x − 8 > y3 + 7 y − 8 aun más

x3 + 7x > y 3 + 7 y

. Luego

h Por lo anterior se concluye que

es inyectiva. ‫ם‬

f Nota: Geométricamente

es inyectiva si al trazar una recta horizontal esta recta interseca a la

f gráfica de

en a lo más un punto.

2.1.4 Funciones monótonas en un intervalo. Función Creciente:

Una función

f ( x) < f ( y)

A ⊂ Df

f es creciente en

si y sólo si

x<y siempre que

para

x, y ∈ A cualesquiera

Función Decreciente:

Una función

f ( x) > f ( y)

A ⊂ Df

f es decreciente en

si y sólo si

x< y siempre que

para

x, y ∈ A cualesquiera

Si una función es creciente o decreciente en un intervalo entonces se dice que monótona en el intervalo.

A ⊂ Df

f Proposicion II.4.1.2: Si

es una función creciente en

f entonces

es inyectiva en

36 Demostración:

A ⊂ Df

f Sea

una función creciente en

x< y o y<x . Por ser

y sean

f ( x) < f ( y )

x≠ y

x, y ∈ A

creciente

tales que

esto es:

f ( y) < f ( x) o

, en cualquier caso se tiene que

f ( x) ≠ f ( y )

x, y ∈ A ⊂ D f . Con lo anterior hemos visto que dados

f ( x) ≠ f ( y) que

f , de aquí que

s inyectiva en

x≠ y y tales que

implica

.‫ם‬

2.1.5 Funciones Suprayectivas: f :A→B Se dice que una función

es suprayectiva o que mapea

f :A→B

y∈B es suprayectiva si para cada

existe

x∈ A

f ( A) = B en, si

. Esto es,

f ( x) = y tal que

Nota: A las funciones suprayectivas también se les llama funciones sobre o sobreyectivas.

Rf = B

f :A→ B Proposición 2.1.5.1: La funcion

es suprayectiva si y sólo si

Demostración:

y∈B

f :A→B Sea

una función suprayectiva, entonces para cualquier

x∈ A

y ∈ R f = { f ( x ) x ∈ A}

f ( x) = y talque

, luego

y ∈ Rf que

y∈B de aquí que para cualquier

B ⊂ Rf lo cual significa que

Rf ⊂ B y ya que

Rf = B Supongamos ahora que

x∈ A

, entonces cada elemento es suprayectiva. ‫ם‬

se tiene

Rf = B entonces

f ( x)

y∈B

f y por lo tanto

existe un elemento

es de la forma

para algún

h : [ − 1,1] → [ − 1,1] Ejercicio II.4.2.2: Determine si la función suprayectiva.

definida por:

h( x ) = x 3

Solución:

{

}

Rh = { h( x ) x ∈ [ − 1,1]} = x 3 x ∈ [ − 1,1] = [ − 1,1] = h( [ − 1,1] ) h Ya que

es suprayectiva. ‫ם‬

2.1.6 Función Biyectiva: f :A→B Una función

es biyectiva o es una biyección si es tanto inyectiva como suprayectiva.

f ( x ) = 3x − 9

f :R→R Ejercicio 2.1.6.1 Determine si la función

definida por:

es biyectiva.

Solución:

f Ya sabemos que una funcion

es biyectiva si es tanto inyectiva como suprayectiva.

f Análisis de que

sea inyectiva:

f ( x) = f ( y)

x, y ∈ R Sean

y supongamos que

, entonces se sigue que:

3x − 9 = 3 y − 9 ↔ 3x = 3 y ↔ x = y

x, y ∈ R , hemos visto pues que para cualesquiera

f ( x) = f ( y )

x=y implica que

f Luego

f Análisis de que

sea suprayectiva:

es inyectiva.

con

y ∈ Rf Sean

y+9 3

x ∈ Df

x . Vemos que

es tal que

 y +9  y +9 f ( x) = f   = 3 −9 = y +9−9 = y  3   3  y ∈ Rf existe

. De lo anterior

tal que

tiene la propiedad de que

f , luego

es suprayectiva.

f De lo anterior, hemos visto que

se cumple que:

f ( x) = y

x ∈ Df

para cualquier

x y además para tal

f es tanto inyectiva como suprayectiva, luego

es biyectiva. ‫ם‬

2.1.7 Función Composición. f ( x) Introducción: Es frecuente hacer la composición de funciones encontrando primero

g ( f ( x) )

g aplicando

para obtener

f ( x) , pero esto es sólo posible cuando

; por tanto se debe suponer que el dominio de

Definición: para las funciones de

para

f se lee

g f la función compuesta

definida por

g f

esta contenido en el dominio de

( g  f )( a ) = g ( f ( a ) )

g:B→C

f :A→B A

pertenece al dominio

g de

y luego

a∈ A

es la función

g seguida de

g:R→R

f :R→R Para las funciones reales de variable real:

la regla de recurrencia de la

g composición de

con

es:

{

x ∈ Dg  f = x ∈ D f f ( x ) ∈ Dg

( g  f )( x ) = g ( f ( x ) ) para todo

} .

( g  f )( x ) = g ( f ( x ) ) Se debe tener cuidado en el orden ya que funciones diferentes.

(f y

 g )( x ) = f ( g ( x ) ) son

f ( x) = Ejercicio 2.1.7.1: Sean las funciones dadas por

g f Determine

x +1 x −1

g ( x) = y

1 x

f g y

, en cada caso obtenga el dominio de la función resultante.

Solución:

( g  f )( x ) = g ( f ( x ) )

g f Vamos

obtener

{

x ∈ Dg  f = x ∈ D f f ( x ) ∈ Dg

f ( x) = Ya que

x +1 x −1

que:

( g  f )( x ) = g ( f ( x ) ) =

} ,

( g  f )( x ) = g ( f ( x ) ) =

sabemos

luego

1 x −1 = x +1 x +1 x −1

para

todo

así

que

x −1 x +1 g ( x) =

D f = { x ∈ R x ≠ 1} entonces

{

1 x

D g = { x ∈ R x ≠ 0} entonces

}

D g  f = x ∈ D f f ( x ) ∈ D g = { x ∈ R x ≠ −1, x ≠ 1} Luego tenemos que

( f  g )( x ) = f ( g ( x ) )

f g Vamos

obtener

{

x ∈ D f g = x ∈ Dg g ( x ) ∈ D f

}

sabemos

que:

para

(

1 1+ x +1 1+ x f  g )( x ) = f ( g ( x ) ) = x = x = 1 1− x 1− x −1 x x

luego

( f  g )( x ) = f ( g ( x ) ) = x + 1 así que

{

}

D f  g = x ∈ D g g ( x ) ∈ D f = { x ∈ R x ≠ 0, x ≠ 1} donde

.‫ם‬

1− x

todo

g:B→C

f :A→B Proposición 2.1.7.2:

Sean las funciones

tales que

g y

son

g f :A→C suprayectivas, entonces

es también suprayectiva.

c Demostración: Sea

C cualquier elemento de

Ya que

es suprayectiva, existe

g ( b) = c

tal que

y ya que

es suprayectiva, existe

f ( a) = b tal que

( g  f )( x ) = g ( f ( x ) ) Ahora bien, como

para

x∈ A

, entonces:

( g  f )( a ) = g ( f ( a ) ) = g ( b ) = c

c . De lo anterior hemos visto que: para cualquier elemento

a existe

( g  f )( a ) = c con la propiedad de que

g f , luego

es suprayectiva. ‫ם‬

2.1.8 Función Inversa. f :A→B

{( x, y ) x ∈ A, y ∈ B}

Introducción: Sabemos que si es una función es el conjunto donde no hay dos parejas ordenadas distintas que tengan el mismo primer elemento. En general el conjunto obtenido al intercambiar el primer miembro y el segundo miembro de las parejas

{( y, x ) y ∈ B, x ∈ A}

f ordenadas de

no es una función. Sin embargo, si

{( y, x ) y ∈ B, x ∈ A}

conjunto:

es una función llamada la inversa de

En la notación ordinaria de las funciones −1

( y)

f x= f

es biyectiva el

−1

y que se denota con

−1

f se relaciona con

de la siguiente manera:

y = f ( x) si y sólo si

f :A→B Definición: una función

tiene función inversa si existe una función

g  f = IA propiedad de que:

g:B→ A

f  g = IB y

con la

g ( f ( x) ) = x Esto es,

para todo

x∈ A

f ( g( y)) = y y

y∈B para todo

g . Si tal función existe, a

f se le llama la inversa de

IA : A → A

Observación: Con estamos denotando a la función Identidad o Idéntica , la función identidad hace corresponder a cada elemento de de su dominio el mismo elemento. De

IB manera similar tenemos

f :A→B Notación: Si

−1

f tiene función inversa la denotaremos con

:B→ A donde para cualquier

x= f

−1

con la propiedad de que

( b)

b∈B

se tendrá que

−1

luego

( f ( x) ) = x =

−1

( b) ∈ A

( ( x) )

f f

Proposición 2.1.8.1: Una función

−1

:B→ A

−1

( f ( y)) = y

f se sigue que

de aquí que

x, y ∈ A

( y) ∈ A

−1

( f ( x) ) =

−1

( f ( y))

, ya que la

f , pero

( f ( x) ) = x

. Con lo anterior hemos visto que

x=y implica

f , luego

es inyectiva.

y∈B es suprayectiva: Sea

, luego existe

−1

f ( x) = f ( y)

f −1

f ( x) = f ( y) y supongamos que

−1

para cualesquiera

x=y

Verificaremos que

es biyectiva.

x, y ∈ A sea inyectiva: Sean

función inversa de

x∈ A

la función inversa de

Verificaremos que

simpre que exista

tiene función inversa si

Demostración: Sea

, y escribiremos

−1

f :A→B

−1

x∈ A

, ya que la función inversa de

x= f

−1

con la propiedad de que

y∈B Con lo anterior hemos visto que para cualquier suprayectiva.

existe

x∈ A

( y)

−1

f es

entonces

( ( y)) = y

f ( x) = f f

−1

f ( x) = y tal que

f , luego

f De lo anterior tenemos que ‫ם‬

f es tanto inyectiva como suprayectiva y por lo tanto

es biyectiva.

Función Inversa de una Función Real de Variable Real:

y = f ( x)

f :R→R Sea

definida por

f . Sabemos que

−1

tiene función inversa

siempre que

f sea biyectiva. Luego si

es biyectiva:

( x, y )

f es el conjunto de pares ordenados de números reales

f y

−1

es el conjunto de pares

( y, x ) ordenados de números reales

x= f f

−1

( y)

, esto es:

y = f ( x) si y sólo si

−1

f . Con lo anterior tenemos que: El dominio de

f y el rango de

es el dominio de

es el rango de

−1

* Desde el punto de vista del proceso operativo:

y = f ( x) Dada

con

biyectiva, para obtener

, se intercambian

como

x y=x ,

f iii). Las funciones

( f ( x) ) = x

ii). Despejada

−1

y = f ( x)

x i). Se despeja

, esto es:

se redefine como

−1

( ( x) ) = x

y f f

y x=y

f deben ser tales que

−1

** Desde el punto de vista geométrico:

−1

f =I

ff y

−1

se redefine

=I esto es

( x, y )

f Ya que la gráfica de

es el conjunto de puntos

( y, x ) conjunto de puntos

y=x

simétricas a la recta

−1

mientras que la gráfica de

y=x , y como se redefinió

es el

f , entonces las gráficas de

−1

son

Ejercicio 2.1.8.2: Para la función definida por

y = f ( x) = 2x − 6

f El dominio y el rango de

. La función inversa

obtenga:

−1

. Comprobar su resultado.

f Solucion: Vamos a determinar el Dominio y el Rango de

Ya que

y = f ( x) = 2x − 6

D f = { x ∈ R 2 x − 6 ≥ O} = { x ∈ R x ≥ 3} = [ 3,+∞ ) tenemos

de donde

R f = [ 0,+∞ )

x ∈ [ 3,+∞ )

y 2 = 2x − 6

y = 2x − 6 Y ya que

y como

entonces

f Vamos a verificar si

tiene inversa:

f Sabemos que tiene función inversa sea tanto inyectiva como suprayectiva.

f siempre que

f sea biyectiva, esto es, siempre que

x, y ∈ D f = [ 3,+∞ )

f Análisis de que

−1

sea inyectiva: Sean

f ( x) = f ( y) y supongamos que

2x − 6 = 2 y − 6 ↔ 2x − 6 = 2 y − 6 ↔ 2x = 2 y ↔ x = y entonces se sigue que:

f ( x) = f ( y) Hemos visto pues que inyectiva.

f Análisis de que

sea suprayectiva:

x, y ∈ D f

x=y implica

para cualesquiera

f , luego

y2 + 6 2

y ∈ R f = [ 0,+∞ ) Sea

y sea

x ∈ D f = [ 3,+∞ )

. Claramente

y además para tal

 y2 + 6   y2 + 6    f ( x) = f   = 2 2  − 6 = 2    

)

+6 −6 =

y2 = y

siempre se cumple que:

y ∈ Rf

f Hemos visto pues que

f ( x) = y

tiene la propiedad de que para cualquier

x ∈ Df existe

tal que

f , luego

es suprayectiva.

f Con lo anterior hemos visto que

es biyectica y por lo tanto tiene función inversa.

f Vamos a determinar la función inversa

Tenemos

y = f ( x) = 2x − 6

tenemos

f =I

ff

−1

( f ( x) ) = (

2x − 6 2

R f −1 = D f y que

. Comprobación: Se −1

esto es

)

( f ( x) ) = x

( 2 x − 6) + 6 = 2 x = x 2

y2 + 6 2

, de lo anterior se concluye que: donde

D f −1 = R f

y = f ( x) = 2x − 6

que

 f ( x) = f

x2 + 6 2

. Nótese que: −1

debe cumplir que:

)

y = 2x − 6 ↔ y 2 = 2x − 6 ↔ x =

R f −1 = [ 3,+∞ ) f

y=x

−1

con

R f = [ 0,+∞ )

obtenemos:

Ahora redefiniendo

Tenemos

D f = [ 3,+∞ )

x=y D f −1 = [ 0,+∞ )

y = 2x − 6

x Así que al despejar

−1

donde

( ( x) ) = x

y f f

−1

vemos

que:

 x2 + 6   − 6 = 2  2 

( f  f )( x ) = f ( f ( x ) ) = −1

−1

)

+ 6 − 6 = x2 = x

−1

f =I

Con lo anterior hemos visto que siempre se cumple que:

ff

−1

.‫ם‬

2.1.9 Ejercicios resumen referentes a los tipos de Función real en una variable real 6.1 Haga un bosquejo de la gráfica de la función dada y deprime su dominio y contradominio:

 − 4 si x < 2  f ( x ) = − 1 si − 2 ≤ x ≤ 2  3 si 2 < x 

;

 x + 2 si x ≠ 3 g ( x) =   2 si x = 3

h( x ) =

(

)(

+ 3x − 4 x 2 − 5 x + 6 x 2 − 3 x + 2 ( x − 3)

)

6.2 Determine si las funciones dadas son iguales:

 x2 +1    x−3  f ( x) = x 2 − 25

y g ( x) =

x2 +1 ( x − 3) 2 x 2 − 25

(

)

f ( x) =

Definida por

f ( x ) = 6x 2

Definida por

es inyectiva.

A ⊂ Df

f 6.4.1: Demostrar que: Si

es inyectiva.

g ( x) = 5x − 3

g:R→R 6.3.2: Determine si la función

y g ( x) = x − 3

f :R→R 6.3.1: Determine si la función

( x − 3) 2

es una función decreciente en

f entonces

es inyectiva en

f ( x ) = ( 7 x − 8) + 3 9

6.4.2: Determine si la función

es invectiva.

f :R→R 6.5.1 : Determine si la función

definida por:

f ( x) = x 2

es suprayectiva.

g( p) =

⊕

g:P → N 6.5.2: Determine si la función definida por: los números naturales pares, suprayectiva.

f :R→R 6.5.3: Determine si la función

definida por:

f ( x) = x

p 2

, donde

(

)

P⊕

f ( x) = 5x 3 + 3 + 8

g ( x) = x 2 − 1

6.6: Sean las funciones dadas por y cada caso obtenga el dominio de la función resultante.

es el conjunto de

es biyectiva.

g f . Determine

f g y

, en

f :A→B 6.7.1: Demostrar que si

tiene función inversa está es única.

f :A→B 6.7.2: Demostrar que si

f es biyectiva entonces

y = f ( x) = 6.7.3: Para la función definida por

obtenga: El dominio y el rango de

. Comprobar su resultado. Haga un bosquejo en el mismo plano

−1

función inversa gráficas de

x +1 2

tiene función inversa.

−1

. La de las

y=x y de

2.2 Discontinuidad Eliminable y Discontinuidad Esencial. Introducción:

f Sea

lim f ( x )

a una función discontinua en el número

f ( a ) ≠ lim f ( x )

f ( a)

x→ a

o bien

x→ a

, pero para el cual

f no existe. Si

a fuese redefinida en

f ( a ) = lim f ( x ) x→ a

se dice que la discontinuidad es eliminable.

2.3 Discontinuidad Esencial. Definición:

existe, entonces de tal manera que

lim f ( x ) = L

f Sea

f ( a)

→a

una función tal que

pero

no está definida. Se puede definir una nueva

F ( x) función

usando la regla :

 f ( x ) si x ∈ D f F ( x) =   L si x = a F ( x) Esta función,

, llamada la extensión continua de

f misma gráfica de

, pero

es continua en

F ( x) no tiene agujero. Además

f ( x) es igual a

lim f ( x )

x→ a

Cuando

no existe se dice que la discontinuidad de

f ( x) = Ejercicio 2.3.1: Haga ver que la función

9x 2 − 4 3x − 2

, es decir, para

x≠a

tiene la .

a en

es esencial.

a= es discontinua en el número

2 3

f ( a) luego determine si la discontinuidad es eliminable o esencial, si es eliminable defina manera que la discontinuidad desaparezca.

Solución: Ya que

2 9  − 4 0 3 2 f ( a) = f   =   =  3  3 2  − 2 0   3

Y que:

9x 2 − 4 ( 3x + 2)( 3x − 2) = lim ( 3x + 2) = 3 lim x + lim 2 = 3 2  + 2 = 4 = lim   2 3x − 2 2 2 2 2 3x − 2 x→ x→ x→ x→ x→ 3

lim f ( x ) = lim x →a

De lo anterior tenemos:

2 f ( a) = f   3

x≠ Ahora si consideramos

2 3

lim f ( x ) = lim f ( x ) x→a

no está definida y que

f ( x) = vemos que:

x→

2 3

existe.

9 x 2 − 4 ( 3 x + 2)( 3 x − 2) = = 3x + 2 3x − 2 3x − 2

F ( x ) = 3x + 2 Entonces la función

f ( x) es igual a

para

lim F ( x ) = lim ( 3 x + 2 ) = 3 lim x + lim 2 = 4 x →a

x→

2 3

x→

2 3

x→

2 3

a= es continua en

2 3

x≠

2 3

y además como

2 2 F ( a ) = F   = 3  + 2 = 4 3 3

, vemos que

donde tiene un valor de 4.

lim f ( x ) = 4 x→a

Luego tenemos que: Como que ser igual a 4. ‫ם‬

la discontinuidad es eliminable y

 9 − x 2 si x ≤ 2 f ( x) =  3x + 2 si x > 2

Ejercicio 2.3.2: Haga ver que la función

a=2

F ( x)

2 f ( a) = f   3

tendrá

es discontinua en el número

, luego determine si la discontinuidad es eliminable o esencial, si es eleiminable defina

f ( a) de manera que la discontinuidad desaparezca.

f ( a ) = f ( 2) = 9 − ( 2) = 5 2

Solución: Ya que

Y que:

lim f ( x ) = lim+ ( 3 x + 2 ) = 3 lim+ x + lim+ 2 = 3( 2) + 2 = 8

x →a +

x →2

(

)

x →2

lim f ( x ) = lim− 9 − x 2 = lim− 9 − lim− x 2 = 9 − ( 2) = 5

x →a −

x →2

x→ 2

x→2

lim f ( x ) = lim f ( x )

f ( a ) = f ( 2) De lo anterior tenemos:

x→a

está definida y que

x→2

no existe.

lim f ( x ) = lim f ( x ) x→ a

Ya que

x→2

no existe la discontinuidad es esencial. ‫ם‬

2.4 Ejercicios resumen referentes a la Discontinuidad Eliminable y la Discontinuidad Esencial

f ( x) Haga ver que la función

a indicada es discontinua en el número

dado, luego determine si la

f ( a) discontinuidad es eliminable o esencial, si es eleiminable defina discontinuidad desaparezca.

7.1)

3− x +9 f ( x) = x

para

a=0

y 7.2)

 x 2 − 4 si x ≤ 2 f ( x) =  si x > 2 x

de manera que la

para

a=2