Antología de axiomas de orden en R by Juan Manuel

Curso. “Elaboración de antologías virtuales” Profesor. Claudia Gabriela Martínez Hernández.

Tarea de la actividad VI. Antología “El Orden en R y las Funciones reales en una variable real como una representación de los fenómenos Naturales”

Alumno. Juan Manuel Pérez Rosales. Fecha de entrega. 10 de octubre de 2013.

METADATOS Titulo de la Antología “El Orden en R y las Funciones reales en una variable real como una representación de los fenómenos Naturales. Objetivos. El lector de la antología 1. Conocerá los elementos teóricos básicos referentes a los axiomas de orden en la recta real y de los tipos de función en una variable. 2. Asociará los conceptos básicos del Orden en R y de Función en la modelación de fenómenos de las Ciencias Naturales Descripción y Propósito En la antología, las lecturas, los ejercicios y los problemas a resolver que se han escogido tienen como propósito central que sirvan como actividades de aprendizaje que llevan al estudiante de las materias Matemáticas I o Matemáticas Básicas de de la Universidad Autónoma de Aguascalientes a reforzar sus habilidades en el tratamiento del álgebra y de las gráficas de funciones y así la antología sea útil para que los estudiantes que inician su carrera profesional queden preparados para a cursos formales del cálculo en una variable.

Descripción de la Materia Materia: Matemáticas I o Matemáticas Básicas Programa Educativo: Licenciado en Biología y Carreras que cursan Matemáticas Básicas en la UAA Año del Plan de Estudios: 2012 Área Académica: Matemáticas Básicas Modalidad Educativa: Presencial Datos del Profesor Matemático Juan Manuel Pérez Rosales. Departamento adscrito. Matemáticas y Física. Fecha de Creación 10 de octubre de 2013.

Antología “El Orden en R y las Funciones reales en una variable real como una representación de los fenómenos Naturales”

Autor Juan Manuel Pérez Rosales. Fecha de creación. 10 de octubre de 2013.

PREFACIO La antología que he desarrollado pretende que en los comienzos de los estudios en el nivel universitario el estudiante quede convencido de que solo se puede estudiar matemáticas haciendo matemáticas. Y hacer matemáticas es demostrar los resultados teóricos que son el fundamento de verdad de los procedimientos de resolución de problemas que a lo largo de una carrera profesional tendrá que utilizar en diversos cursos de las diferentes áreas de la matemática, la estadística y la física tendrá que el estudiante habrá de cursar. Las lecturas, los ejercicios y los problemas a resolver que he escogido para ala antología tienen como objetivo central que sirvan como actividades de aprendizaje que llevan al estudiante a reforzar o en su caso desarrollar sus habilidades en el tratamiento del álgebra y de las gráficas de funciones y así la antología sea útil para que los estudiantes que inician su carrera profesional queden preparados para a cursos formales del cálculo en una variable.

INDICE POR TEMAS Portada Prefacio Índice CAPITULO I Axiomas de orden y las desigualdades lineales y no lineales. Contenido: 1.1 Axiomas de Orden 1.2 Resultados Básicos de los Axiomas de Orden Ejemplos y Ejercicios resumen axiomas de orden I.2 El Valor Absoluto y sus Propiedades Básicas. Resultados Básicos del Valor Absoluto Ejercicios resumen valor absoluto Capítulo II: Funciones de variable real como modelación de fenómenos de la naturaleza Contenido:

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II.1 Definición Básica de Función y la Imagen de un Elemento del Dominio II.2 Identificación de Funciones Reales de Variable Real Básicas. II.3 Igualdad de Funciones II.5 Clasificación de funciones II.4 Clasificación de Funciones 1. Función Inyectiva 2. Funciones monótonas en un intervalo 3. Funciones Suprayectivas 4. Funciones Biyectivas 5. Ejercicios resumen Clasificación de funciones II.5 Composición de Funciones. II.6 Función Inversa de una Función Real de Variable real II.7 Función Par y Función Impar. II.8 Operaciones Básicas entre Funciones Reales de Variable Real. Bibliografía y otras fuentes de Consulta.

Páginas 13-15 Páginas 15-18 Página 19 Página 20 Página 21 Página 21 Página 22 Página 22 Página 22 Páginas 22-23 Páginas 24-25 Páginas 26-27 Página 27-28 Página 29

CAPITULO I Axiomas de orden y las desigualdades lineales y no lineales. Introducción. En álgebra una desigualdad es el enunciado de dos cuantidades o dos expresiones que no son iguales, y matemáticamente comparamos las expresiones. Puede ser el caso que una cantidad sea menor que (<), menor o igual a ( ≤ ), mayor que (>) o mayor igual que ( ≥ ) otra cantidad. Las inecuaciones son las expresiones en las que las cantidades que comparamos incluyen variables o incógnitas. 3 x − 6 < 2( 3 x + 6 )

2 x 2 − 3x +1 ≥ 0

Resolver una inecuación o desigualdad significa encontrar el conjunto de todos los números reales para los cuales el enunciado es verdadero. El conjunto de los números reales, denotado por R = ( − ∞,+∞) , juega un papel fundamental en las matemáticas y en particular en el análisis. De hecho muchos conceptos en los espacios topológicos son abstracciones de las propiedades de los conjuntos de números reales. Asumimos que, como consecuencia de nuestros cursos previos de matemáticas, tenemos claro que los números reales son los números con los que de manera usual hacemos la medida de la cantidad o tamaño de los objetos o fenómenos que estamos analizando, y sabemos representar e interpretar los siguientes conjuntos de números reales en la recta real, donde cada número es un punto en dicha recta: La tabla muestra los tipos de intervalo en la recta real. I.1 Axiomas de Orden de los Números Reales Axioma de Tricotomía: Si a, b ∈R una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple: a < b o bien a = b o bien b < a . Axioma de Transitividad: Sean a, b, c ∈R , si a < b y b < c entonces a < c . Axioma de Conservación del Orden Bajo la Adición: Sean a, b, c ∈R , si a < b entonces a + c < b + c . Axioma de Conservación del Orden Bajo la Multiplicación de números positivos: Sean a, b, c ∈R , tales que a < b y 0 < c entonces ac < bc . Resultados Básicos de los Axiomas de Orden Proposición I.1.1: Sean x, y, z , w ∈R tales que x < y y z < w entonces: x + z < y + w . Demostración: ya que x < y y z < w por el axioma de conservación del signo la adición se sigue que: x + z < y + z y y + z < y + w , luego por el axioma de transitividad: x + z < y + w .‫ם‬ 6

Proposición I.1.2: Sean m, n ∈R tales que m < n , entonces: − m > − n Demostración: Ya que m < n por el axioma de conservación del orden bajo la adición podemos escribir: m + (−m + ( −n)) < n + ( −m + ( −n)) , por las propiedades asociativa, conmutativa y del inverso aditivo de los números reales, se sigue que: [ m + (−m)] + (−n) < [ n + (−n)] + (−m) Esto es 0 + (−n) < 0 + (−m) . Luego por la propiedad del elemento neutro aditivo tenemos que: − n < − m que equivale a escribir: − m > −n . ‫ם‬ Proposición I.1.3: Sean p, q, r ∈R tales que p < q y r < 0 . Entonces pr > qr . Demostración: Ya que p < q y r < 0 o equivalentemente p < q y − r > 0 luego por el axioma de conservación del orden bajo la multiplicación de números positivos, podemos escribir: p ( −r ) < q ( −r ) , o equivalentemente, − ( pr ) < −(qr ) . De la proposición I.1.2 se sigue que: − ( −( pr )) > −( −( qr )) esto es pr > qr . ‫ם‬ Proposición I.1.4: Sea x ∈ R tal que x ≠ 0 entonces siempre se cumple que x 2 > 0 . Demostración: Ya que x ≠ 0 por el axioma de tricotomía x < 0 o bien x > 0 . Consideremos que x < 0 : Por la proposición I.1.2 se sigue que: − x > 0 . Luego tenemos x < 0 y − x > 0 esto es x < 0 y 0 < −x . Por el axioma de conservación del orden bajo la multiplicación de números positivos se sigue que: x( −x) < 0( −x ) . Esto es − ( xx) < −(0 x) que equivale a escribir: − x 2 < 0 . Luego por la proposición I.1.2 se sigue que − (−x 2 ) > −(0) esto es x2 > 0 . Consideremos ahora que x > 0 : Entonces tenemos que 0 < x y x > 0 .Por el axioma de conservación del orden bajo la multiplicación de números positivos, se sigue que: 0 x < xx . Esto es 0 < x 2 que equivale a escribir: x 2 > 0 . ‫ם‬ Corolario I.1.4.1: 1 > 0 . Demostración: Ya que 1 ≠ 0 por la proposición anterior 12 > 0 y como 12 =1(1) =1 se sigue entonces que 1 > 0 . ‫ם‬ Proposición I.1.5: Sean x, y ∈R .Entonces: a) Si x y y tienen el mismo signo, entonces siempre se cumple que xy > 0 . b) Si x y y son de diferente signo, entonces siempre se cumple que xy < 0 . Demostración a): Consideremos primero que x > 0 y y > 0 . Esto es 0 < x y 0 < y .por el axioma de conservación del orden bajo la multiplicación de números positivos se sigue que: 0 y < xy . Esto es 0 < xy , que equivale a escribir xy > 0 . Consideremos ahora que x < 0 y y < 0 . Por la proposición I.1.3 se sigue que xy > 0 y . Esto es xy > 0 . Demostración b): Consideremos que x > 0 y y < 0 . Esto es 0 < x y y < 0 , por la proposición I.1.3 se sigue que 0 y > xy , esto es 0 > xy que equivale a escribir xy < 0 . Finalmente consideremos que x < 0 y y > 0 . Esto es 0 < y y x < 0 , por la proposición I.1.3 se sigue que x0 > xy , esto es 0 > xy que equivale a escribir xy < 0 . ‫ם‬ Proposición I.1.5: Si n ∈N = {1,2,...} entonces n > 0 . Demostración por Inducción Matemática: Fundamento de Inducción: Tenemos que demostrar que n > 0 es válida para n = 1 . Si n = 1 entonces por el corolario I.1.4.1 n > 0 .

Hipótesis de Inducción: Supongamos que n > 0 para el entero positivo n = k . Así que si n = k es válido k > 0 . Paso de la Inducción: Tenemos que demostrar que k + 1 > 0 : Ya que k > 0 y que 1 > 0 , esto es 0 < k y 0 < 1 . Por la proposición I.1.1 se sigue que 0 + 0 < k + 1 de donde 0 < k + 1 , esto es k + 1 > 0 . ‫ם‬ Proposición I.1.6: Sea x ∈ R tal que x ≠ 0 entonces x y x −1 tienen el mismo signo. Demostración: Ya que x ≠ 0 , por la propiedad del inverso multiplicativo de los números reales, existe x −1 ∈ R tal que xx −1 = 1 .Por el corolario I.1.4.1 se sigue que xx −1 > 0 y por el inciso a) de la proposición 1.1.5 se sigue x y x −1 tienen el mismo signo. ‫ם‬ Proposición I.1.7: Si x ∈ R tal que 0 ≤ x < ε para todo numero positivo ε , entonces x = 0. Demostración: Tenemos que 0 ≤ x < ε , esto es 0 ≤ x y x < ε para todo numero positivo ε . Supongamos que x > 0 . Dado el resultado del ejercicio 1.3 que a 1 1 x < x . Si tomamos ε = x , entonces 2 2 1 x . Con lo anterior tenemos ε = x es un numero 2

continuación se presenta, podemos escribir: 0 < 0 < ε < x de aquí que 0 < ε y

ε<

positivo y que ε < x , lo cual contradice nuestra hipótesis de que numero positivo ε , concluimos entonces que x = 0 . ‫ם‬

x < ε para todo

La tabla muestra un resumen general de las propiedades del proceso operativo para la resolución de las inecuaciones o desigualdades se muestra en la siguiente taba Ejemplos. 1.1 A don José se le paga $ 15000 pesos mensuales al mes más una comisión del 8% sobre sus ventas. ¿Qué ventas mensuales corresponderían a un ingreso mensual entre los $ 23000 y los $ 27000 pesos? Solución. Sea x la cantidad en pesos de las mentas mensuales de don José, entonces 15000 + 0.08 x es su ingreso mensual en pesos. Luego, tenemos que resolver x para 23000 ≤ 15000 + 0.08 x ≤ 27000 Resolviendo se sigue que 23000 − 15000 ≤ 0.08 x ≤ 27000 − 15000 ↔

8000 12000 ≤x≤ ↔ 100000 ≤ x ≤ 150000 0.08 0.08

Entonces las ventas mensuales de don José debe estar entre los $100000 y los 150000 pesos para que su ingreso mensual sea entre los $ 23000 y los $ 27000 pesos. 1.2 Según se ilustra en la figura, si una lente convexa tienen una longitud focal de f centímetros y si un objeto se coloca a una distancia de p centímetros de la lente con p > f , entonces la distancia q desde la lente a la imagen está relacionada con p y 1

, por la fórmula p + q = f Si f = 5 centímetros, ¿Cuán cerca debe estar el objeto de la lente para que la imagen quede a más de 12 cm de la lente? f

Solución. 1

Tenemos que p + q = f y como f = 5 centímetros entonces escribimos p + q = 5 Se quiere determinar los valores de p para los cuales q > 12 . 1

q+ p

Como p + q = 5 ↔ pq = 5 ↔ 5q + 5 p = pq ↔ 5 p = pq − 5q ↔ 5 p = ( p − 5) q ↔ q = p − 5 5p

Ahora bien, ya que q > 12 se sigue qué p − 5 > 12 y como p > f con f = 5 se sigue que p − 5 > 0 con lo anterior: 5p 60 > 12 ↔ 5 P > 12 p − 60 ↔ −12 p + 5 p > 60 ↔ p < Entonces tenemos que p > 5 y p −5 7

60 60 Se sigue que 5< p < . 7 7

Ejercicios I.1 Demostrar las siguientes proposiciones: 1.1. Sean x, y ∈R diferentes de cero y tales que tienen el mismo signo y x < y , 1

entonces: x > y . 1 1.2. Sean x, y ∈R tales que x < y , entonces: x < ( x + y ) < y . 2

1 1.3. Si y ∈R y y > 0 , entonces: 0 < y < y 2

1.4 Sean x, y , z , w ∈R tales que 0 ≤ x < y y 0 ≤ z < w , entonces: xz < yw . 1.5 Sean x, y ∈R y considere que x − ε < y para todo numero positivo ε , entonces: x ≤ y . 1.6 ¿Cuál es la cantidad mínima de alcohol puro que debe añadirse a 24 litros de alcohol de una solución de alcohol al 20% para obtener una mezcla que tenga cuando menos 30% de alcohol? 1.7 Un artesano en Plata desea obtener una aleación que contenga cuando menos 72% de plata y no más de 75%. Determine las cantidades máxima y mínima que debe usar de una aleación de 80% de plata, combinada con otra de 65%, para obtener 30% g de la aleación deseada. 1.8 Se desea cercar un campo rectangular situado en la ribera de un río, no se requiere verja el lado de la corriente. El material para cercar cuesta $8 dólares por pie lineal para los tramos laterales y $16 por pie lineal para le lado paralelo al río. Si el área del campo es de 12000 pie2 y el costo de la cerca no debe de exceder de $ 35do dólares, ¿cuáles son las restricciones sobre las dimensiones del campo? 1.9 Si una temperatura en la escala Fahrenheit es de F grados, y en la escala Celsius es C grados, entonces C =

5 ( F − 32) ¿Cuál es el conjunto de valores de F si C está entre 9

10 y 20. 1.10 Para tratar la arritmia cardiaca, se aplica un medicamento al torrente sanguíneo en forma intravenosa . Supón que la concentración c del fármaco después de t horas está dada por c =

3.5t . Si el nivel terapéutico mínimo es de 1.5 mg/l, indica cuándo t +1

se rebasa este nivel.

1.11La densidad de la población D en personas/milla2 de una gran ciudad está 5000 x relacionada con la distancia x desde el centro de la ciudad por D = 2 ¿En que x + 36 partes de la ciudad la densidad de la población rebasará las 400 personas/milla2 I.2 El Valor Absoluto y sus Propiedades Básicas. Introducción. Para medir la distancia entre dos puntos de la recta real, en matemáticas, usamos el concepto de valor absoluto. La propiedad de tricotomía garantiza que si x ∈ R y x ≠ 0 entonces exactamente uno de los números x o − x es positivo. El valor absoluto de x ≠ 0 se define como el número que sea positivo de los dos x o − x . El valor absoluto de 0 se define como 0 . Definición: Si x ∈ R , el valor absoluto de x, que denotamos

, esta definido por:

 x si x ≥ 0 x = − x si x < 0

Por ejemplo: 6 =6 y −6 =−(−6) =6 Nótese que esta definición implica de manera natural si x ∈ R : x =0 si x = 0 , x ≥0 y que x = −x En términos de geometría, el valor absoluto de x es su distancia desde cero, sin importar el sentido de la misma. En general, x −y es la distancia entre x y y sin considerar dirección alguna, o sea sin importar cual número es mayor. Resultados Básicos del Valor Absoluto Proposición I.2.1: Si x ∈( −∞,0] entonces siempre se cumple que x ≤ x . Demostración: Ya que x ≤ 0 , por definición de valor absoluto x ≥0 , entonces tenemos: x ≤ 0 y 0 ≤ x . Luego por el axioma de orden de transitividad se sigue que x ≤ x .‫ם‬ Proposición I.2.2: Si x ∈[0,+∞) entonces siempre se cumple que −x ≤ x Demostración: Ya que x ≥ 0 , por definición de valor absoluto x ≥0 , entonces tenemos: 0 ≤ x y 0 ≤ x . De aquí que − x ≤ 0 y 0 ≤ x . Luego por el axioma de orden de transitividad se sigue que −x ≤ x .‫ם‬ Nótese que de las dos proposiciones anteriores se sigue que si a ∈ R entonces

a ≤a

Proposición I.2.3: Si m, n ∈R y son no negativos, entonces siempre se cumple que: mn =m n .

Demostración: Ya que m ≥ 0 y n ≥ 0 , por definición de valor absoluto: m =m y n =n , de aquí que m n =mn . Por otra parte, como 0 ≤ m y 0 ≤ n por el axioma de conservación del orden bajo la multiplicación de números positivos se sigue que 0n ≤ mn , esto es 0 ≤ mn . Por la propiedad de cerradura de la multiplicación de números reales y por la definición de valor absoluto se sigue que: mn =mn . Con lo

anterior tenemos que: m igualdad se concluye que

n =mn

, luego por la propiedad transitiva de la esto es ‫ם‬

mn = mn

m n = mn

mn =m n .

Proposición I.2.4: Sean m, n ∈R con m > 0 y n > 0 y tales que m 2 > n 2 , entonces siempre se cumple que: m > n . Demostración: Ya que m 2 > n 2 con m > 0 y n > 0 , esto es n 2 < m 2 con 0 < m y 0 < n por el axioma de conservación del orden bajo la adición tenemos que: n 2 + (−m 2 ) < m 2 + (−m 2 ) con 0 + (−m) < m + (−m) y 0 < n , que equivale a escribir: n 2 − m 2 < 0 con − m < 0 y 0 < n , esto es: ( n + m )( n − m ) < 0 con − m < n . De lo anterior se tiene que ( n + m )( n − m ) < 0 con 0 < n + m de donde tenemosque n − m < 0 de aquí que n < m , esto es: m > n . ‫ם‬ Teorema I.2.5 Desigualdad del Triangulo: Sean p, q ∈R siempre se cumple que p +q ≤ p + q . Demostración: Sean p y q números reales cualesquiera. Por el ejercicio 2,3 se tiene 2 que: p + q = ( p + q ) 2 = p 2 + 2 pq + q 2 . Ahora bien, de las proposiciones I.2.1 y I.2.2 2 sabemos que si a ∈ R entonces a ≤ a , de aquí que: p + q ≤ p 2 + 2 pq +q 2 . Por el 2 2 2 ejercicio 2.3 y la proposición I.2.3 podemos escribir: p +q ≤ p +2 p q + q , esto 2 2 2 2 es p + q ≤ ( p + q ) o equivalentemente ( p + q ) ≥ p + q . Finalmente, por la definición de valor absoluto se tiene que p ≥0 , q ≥0 y p +q ≥0 y por la proposición I.2.4 concluye que ( p + q ) ≥ p + q , esto es p +q ≤ p + q . ‫ם‬ Corolario I.2.6: Desigualdad del Triangulo Invertido: Sean m, n ∈R siempre se cumple que m − n ≤ m −n . Demostración: Sean m y n números reales cualesquiera. Ya que: m = m + 0 = m − n + n = ( m + ( −n) ) + n . Por la propiedad de cerradura de la suma de números reales y por el teorema 1.2.5 se sigue que: m ≤ ( m + (−n) ) + n . Por el axioma de conservación de orden bajo la adición m + ( − n ) ≤ ( m + (−n) ) + n + ( − n ) de donde se sigue que: m − n ≤ (m −n ) . ‫ם‬ Observación: En los cursos ordinarios de algebra se estudian las siguientes propiedades de operación del valor absoluto: Sean a, k ∈R con k > 0 entonces: a <k si y sólo si − k < a < k a ≤k si y sólo si − k ≤ a ≤ k a >k si y sólo si a > k o bien a < −k a ≥k si y sólo si a ≥ k o bien a ≤ −k Ejercicios I.2 Demostrar las siguientes proposiciones: 2.1: Sea x ∈ R y x ≠ 0 , entonces siempre se cumple que x ≠0 . 2.2: Sea x ∈ R demostrar que −x = x . 2 2.3: m ∈ R y m ≠ 0 , entonces siempre se cumple que m 2 = m . 2.4: Sean r , s ∈R , entonces siempre se cumple que: −( r − s ) ≤ r −s . 2.5: Sean x, y ∈R , entonces siempre se cumple que: x − y ≤ x −y . 2.6: Sean x, y ∈R con y ≠ 0 , siempre se cumple que: 2.7: Sean a1 , a 2 ,...a n ∈R , siempre se cumple que:

x x = y y

a1 + a 2 + a n ≤ a1 + a 2 + + a n

CAPITULO II Funciones de variable real como modelación de fenómenos de la naturaleza.

Introducción: Las funciones son las herramientas principales en la descripción matemática del mundo del mundo real. Es decir es con las funciones como hacemos la representación simbólica matemática de los fenómenos del mundo de los cuales vamos a establecer la medida o la cantidad o tamaño de lo que se busca medir. Las funciones matemáticas también llamados modelos matemáticos son la representación simbólica matemática de las leyes que los científicos establecen como resultado del análisis científico y también son la representación geométrica de los conceptos geométricos que desde la antigüedad utiliza el ser humano. Bajo la función lo que se estudia es, el cambio de las variables que participan en el modelo matemático y la descripción geométrica de los puntos que define la función. Con las funciones es común discutir situaciones como; La temperatura a la cual hierve el agua cuando depende de la altitud sobre el nivel del mar. El interés que se paga por una inversión que depende del tiempo que dure ésta. Cuando describimos la función f con la fórmula o modelo y = f ( x ) llamamos a x la variable independiente y a y la variable dependiente pues el valor de y de pende, mediante , de la elección de x . Cuando x cambia o varia, también lo hace y . Una forma tal vez útil para visualizar la dependencia entre las variables que participan en la función f es pensando que la función es como una especie de máquina que acepta entradas un número x y que produce como salida el número f ( x ) que es el número y II:1 Definición Básica de Función y la Imagen de un Elemento del Dominio Definición Básica: Si a cada elemento de un conjunto A se le hace corresponder, de algún modo, un elemento único de un conjunto B , se dice que esa correspondencia es una función . Denotando esta correspondencia por f y escribiendo f : A → B que se lee f es una función de A en B . El conjunto A se llama dominio de la función f . El Conjunto B se llama codominio de la función f .

Observación: Se quiere que la correspondencia f : A → B sea tal que no exista ambigüedad alguna: Un elemento y sólo un elemento de B a de corresponder a cada elemento de A . No se vale que dos elementos distintos o más de B correspondan a un mismo elemento de A . Si se vale que dos o más elementos distintos de A correspondan a un mismo elemento de B . La Imagen de un Elemento del Dominio bajo una Función: Sea la función f : A → B . Si al elemento a ∈ A le corresponde el elemento b ∈ B , decimos que la imagen de a bajo la función f es b y denotamos f ( a ) = b . Nota: Aunque la definición de función que tenemos nos permite identificar de manera adecuada la correspondencia de los elementos en el dominio a los elementos del codominio, para fines del cálculo necesitamos de una función que nos permita construir e identificar la gráfica de dicha función, por lo anterior establecemos las siguientes definiciones que nos permitirán visualizar el concepto de gráfica de una función real en una variable real: Sea f : A → B Definida por y = f ( x ) * Una función f de un conjunto A en un conjunto B , es un subconjunto de A × B que tiene las siguientes propiedades: 1) Para elemento x de A existe un elemento y de B tal que ( x, y ) ∈ f . 2) Si ( x, y ) ∈ f y ( x, z ) ∈ f entonces y = z . Al conjunto A se le llama dominio de f y se denota con D f ; al conjunto B se le llama codominio de f y se denota con C f . Al único elemento y de B asociado con el elemento x de A se le llama imagen de x bajo f y se le denota con f ( x ) o de manera más usual y = f ( x ) . Al conjunto de todas las imágenes { f ( x ) x ∈A} se le llama el rango o recorrido de f y se denota R f . ** Una función es un conjunto de parejas ordenadas de números reales x y y , que denotamos: ( x, y ) , en el cual no hay dos parejas ordenadas distintas que tengan el mismo primer elemento. El conjunto de todos los valores posibles de x se llama dominio de la función. El conjunto de todos los valores posibles de y se llama codominio o contradominio o rango de la función. Al tener la función f : A ⊆ R → B ⊆ R definida por y = f ( x ) , decimos que: x y y son las variables de la función. x la variable independiente y y la variable dependiente. f ( x ) es la regla o fórmula de correspondencia o modelo matemático que hace corresponder a cada elemento x de A ⊆ R un único elemento y de B ⊆ R . Como x y y son números reales decimos que f es una función real de variable real. Nótese que: Si f es una función real de variable real: - La gráfica de f es el conjunto de parejas ordenadas ( x, y ) consideradas como un conjunto de puntos en R 2 . - Lo común es conocer la regla de recurrencia y = f ( x ) y a partir de esta determinar el

dominio de f que sabemos puede ser un subconjunto de R o bien todo R y el cual denotaremos con D f . Diremos que x ∈D f si y sólo si para tal x la regla de recurrencia f ( x ) es valida, esto es: los valores de x son tales que no llevan a f ( x ) a una forma indeterminada tales como:

nùmero o bien 0

indice par

nùmero negativo

Geométricamente x ∈ D f ⊆ R se identifica en el eje x . Por otra parten el codominio o contradominio o rango de la función f , que denotamos R f , lo común es establecerlo a partir de los valores de x ∈D f . Geométricamente y ∈ R f ⊆ R se identifica en el eje y . Si se tiene la gráfica de f decimos que: x ∈D f si al extenderse a partir del eje x se identifica al punto ( x, y ) en la gráfica de f . y ∈R f si al extenderse a partir del eje y

se identifica al punto ( x, y ) en la gráfica de f . f Un punto ( x, y ) de la gráfica de también se puede denotar con ( x, f ( x ) ) .

Ejemplos Ejercicios II.1: Haga un bosquejo de la gráfica de la función dada y determine su dominio y contradominio:  − 4 si x < 2  II.1.1: y = f ( x ) = −1 si − 2 ≤ x ≤ 2  3 si 2 < x  x + 2 si x ≠ 3 y = g ( x) =   2 si x = 3

II.1.3: y = h( x ) =

II.1.2:

+ 3x − 4)( x 2 − 5 x + 6) ( x 2 − 3 x + 2 ) ( x − 3)

II:2 Identificación de Funciones Reales de Variable Real Básicas. Introducción: A continuación presentaremos algunas funciones que serán de importancia por su frecuente recurrencia y que nos serán de utilidad para ilustrar algunas propiedades de las funciones. Función Identidad: La función f : A ⊆ R → A ⊆ R definida por f ( x ) = x , esto es, la función que hace corresponder a cada elemento de A el mismo elemento, se llama función idéntica o función identidad. Geométricamente es una recta que pasa por el origen a 45 0 .

Función Constante: La función f : A ⊆ R → B ⊆ R definida por , esto es, la función que hace f ( x) = c corresponder a cada elemento de A el mismo elemento c ∈ B , se llama función constante. Geométricamente es una recta paralela al eje x que pasa por el el punto ( 0, c ) . Función Valor Absoluto: La función

f :A⊆R→B⊆R

definida por

 x si x ≥ 0 se llama función valor f ( x) = x =  − x si x ≤ 0

absoluto. Geométricamente son las rectas forman una V . Función Raíz Cuadrada: La función f : A ⊆ R → B ⊆ R definida por , esto es, la función en la que x es el f ( x) = x número no negativo cuyo cuadrado es x Observación: En los cursos no formales de álgebra se suele establecer que de a 2 = b se llega a a = ± b . Para nosotros tener y 2 = x nos establecer a las funciones: La función y = f ( x ) = x y la y = g ( x) = − x . Más adelante estableceremos los de función implícita y función

permite función conceptos explicita.

Función Polinomial: La

función

f ( x ) = a n x + a n −a x n

f n −1

definida

+  + a 2 x 2 + a1 x + a 0

por

donde: a n , a n −a ,  , a 2 , a1 , a 0 ∈ R y n es un entero no negativo se denomina función polinomial. La gráfica corresponde a la de la función polinomial f ( x ) = x 4 − 4 x 2 + x + 1 . En particular:

Si n = 1 esto es f ( x ) = a1 x + a 0 la función se denomina lineal. 2 Si n = 2 esto es f ( x ) = a 2 x + a1 x + a 0 la función se denomina cuadrática.

S Si n = 3 esto es f ( x ) = a3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x + a 0 la función se denomina cúbica. 15

Función Racional: La función f definida por

f ( x) =

p( x ) donde q( x )

p ( x ) y q ( x ) son polinomios se denomina función

racional. La grafica corresponde a la de la función x2 + x − 2 racional f ( x ) = 3 x − x 2 − 2x

Función Algebraica: Una función algebraica es la formada por un número finito de operaciones algebraicas en la función identidad y la función constante. Estas operaciones incluyen la adición, la sustracción, la multiplicación, la división, la potenciación y la radicación. La grafica corresponde a la de la función algebraica f ( x) =

)

− 3x + 1 x4 +1

Funciones Trascendentes: Se denominan funciones trascendentes a aquellas funciones que están expresadas en términos de funciones trigonométricas o logarítmicas o exponenciales. De este tipo de funciones y de sus inversas se hace referencia en los cursos de cálculo. Ejemplos 2.2.1 Se desea cercar un terreno situado en la ribera de un río y no se requiere cercar en el lado del mismo. El material para cerca cuesta $8 pesos por metro para los dos extremos y $12 pesos por metro para el lado paralelo al río, se van a usar 3600 pesos para la cerca en total. Considerando que x metros es la longitud de un extremo del terreno, expresar el número de metros cuadrados del área del terreno en función de x . Solución. Como x metros es la longitud de un extremo del terreno si consideramos que y es la longitud del terreno paralela al río, entonces la medida del área del terreno cercado está dada por A = xy metros2.

Y el costo de a cerca del terreno esta dada por 2(8 x ) +12 y = 3600 pesos de donde se sigue que y =

3600 − 16 x 4 = 300 − x . 12 3

4 x está dada por A( x ) = xy = x 300 − x  3   y x Para el dominio de la función, claramente las longitudes y no pueden ser números negativos y 0 es el valor mínimo de x . Por otra parte si y = 0 de 2( 8 x ) +12 y = 3600 3600 = 225 . De lo anterior x ∈ DDo min io = [ 0,225] se tiene que x =

De lo anterior A en función de

2.2.2 Una caja rectangular con base cuadrada tiene por volumen 125 unidades de volumen. Exprese el área total de su superficie A como una función de la longitud de una arista x de su base. Solución. Para una caja rectangular con una arista de longitud x y de altura y tiene por volumen V = xxy = x 2 y y en nuestro caso V = x 2 y = 125 El Área total de la superficie de la caja está dada por

A = área del fondo y de la tapa de la caja + área de loas cuatro paredes verticales de la caja A = xx + xx + 4 xy = x 2 + 4 xy

125  125  A = x 2 + 4 xy = x 2 + 4 x 2  2 luego x  x  Por tanto, el área total de su superficie A como una función de la longitud de una 2 Ahora bien, como V = x y = 125 → y =

arista

x de su base está dada por A( x ) = x 2 + 500 x

Para el dominio de la función, claramente las longitudes x y y no pueden ser números negativos y tampoco 0 . De lo anterior x ∈ DDo min io = ( 0, ∞ ) = 0 < x < ∞ . 2.2.3 El peso aproximado del cerebro de un ser humano es directamente proporcional a su peso corporal, y una persona que pese 150 libras tiene un peso de cerebro aproximado a 4 libras. Expresar él número de libras del peso aproximado del cerebro de una persona en función del peso de su cuerpo. Solución Si x es el peso de una persona, k una constante de proporcionalidad, y si f (x ) denota el peso aproximado de una persona, entonces se sigue que: f ( x ) = kx

2.2.4 Dado que 0 C es igual a 32 F , y un cambio de temperatura de 1 C a un cambio de 1.8  F , exprese la temperatura C Celsius como función de la temperatura Fahrenheit F . 



II.3 Igualdad de Funciones: Introducción: Anteriormente hemos visto que los elementos fundamentales de una función son su dominio y su rango, ahora veremos como participan estos elementos para poder establecer si dos funciones dadas son o no son iguales. Definición: Dos funciones f y g son iguales si: D f = D g y f ( x ) = g ( x ) para todo x ∈D f . Ejemplo II.3.1: Determine si las funciones dadas son iguales:

 x 2 − 25 si x ≠ 5  3 x+5 x − 125 f ( x) =  y g ( x) = 2 x + 5 x + 25  2 si x = 5  15 Solución: Sabemos que f = g si: D f = D g y f ( x ) = g ( x ) para todo x ∈D f . Análisis del Dominio: Para

función

si x = 5 entonces f ( x) = Df = R .

tiene

que: si x ≠ 5 entonces f ( x ) =

2 , de aquí que: 15

siempre que x ∈D g

x ∈ { ( − ∞,5) ∪ ( 5,+∞ ) ∪ { 5}} = R . Luego

x+5 sea valida. x + 5 x + 25 sea el número complejo dado por

Para la función g se tiene que: x ∈D g siempre que g ( x ) = Como x 2 + 5 x + 25 = 0

x 2 − 25 x 3 − 125

− 5 ± 5 3i Luego D g = R . 2

Así que D f = D g . Análisis de las Imágenes: Sea x ∈D f :

( x + 5)( x − 5) = x + 5 = g( x ) x 2 − 25 = . 3 x − 125 ( x − 5) ( x 2 + 5 x + 25) x 2 + 5 x + 25 x +5 5+5 10 2 Si x = 5 como g ( x ) = 2 se sigue que g ( x ) = 2 = = = f ( x) . x + 5 x + 25 5 + 5( 5) + 25 75 15 Si x ≠ 5 entonces f ( x ) =

Así que f ( x ) = g ( x ) para todo x ∈D f . De lo anterior tenemos que f = g . ‫ם‬ Ejercicios II.3 Determine si las funciones dadas son iguales: II.3.1: II.3.2:

f ( x) = f ( x) =

 x 2 +1    x −3  x 2 − 25

( x − 3) 2

y g ( x ) = x −3 .

y g ( x) =

x2 +1

( x − 3) 2 ( x 2 − 25)

II.4 Clasificación de Funciones: Inyectiva, Monótona, Suprayectiva y Biyectiva. II.4.1: Función Inyectiva o Uno a Uno y Función Monótona en un Intervalo. Funciones Inyectivas: Sea f : A → B . Se dice que f es inyectiva o uno a uno si siempre que x ≠ y entonces f ( x ) ≠ f ( y ) para cualesquier x, y ∈A . Ejemplo II.4.1.1: Sea h : R → R definida por 3 h( x ) = x + 7 x − 8 . Determinar si h es inyectiva. Solución:

Sean x, y ∈R y supongamos que x ≠ y , esto es x < y o x > y . Si x < y tenemos que: Como x 3 < y 3 y 7 x < 7 y se sigue que: x 3 + 7 x < y 3 + 7 y aun más x 3 + 7 x − 8 < y 3 + 7 y − 8 . Luego h( x ) ≠ h( y ) porque h( x ) < h( y ) . Ahora bien: Si x > y tenemos que: Como x 3 > y 3 y 7 x > 7 y se sigue que: x3 + 7x > y 3 + 7 y x3 + 7x − 8 > y3 + 7 y − 8 . aun más Luego h( x ) ≠ h( y ) porque h( x ) > h( y ) . Por lo anterior se concluye que h es inyectiva. ‫ם‬ Nota: Geométricamente f es inyectiva si al trazar una recta horizontal esta recta interseca a la gráfica de f en a lo más un punto. Función Creciente: Una función f es creciente en A ⊂ D f si y sólo si para cualesquiera f ( x ) < f ( y ) siempre que x < y x , y ∈A .

Función Decreciente: Una función f es decreciente en A ⊂ D f si y sólo si para cualesquiera f ( x ) > f ( y ) siempre que x < y x , y ∈A .

Si una función f es creciente o decreciente en un intervalo entonces se dice que f es monótona en el intervalo. Proposicion II.4.1.2: Si f es una función creciente en A.

A ⊂ D f entonces f es inyectiva en

Demostración: Sea f una función creciente en A ⊂ D f y sean x, y ∈A tales que x ≠ y esto es: x < y o y < x . Por ser f creciente f ( x ) < f ( y ) o f ( y ) < f ( x ) , en cualquier caso se tiene que f ( x ) ≠ f ( y ) . Con lo anterior hemos visto que dados x, y ∈ A ⊂ D f y tales que x ≠ y implica que f ( x ) ≠ f ( y ) , de aquí que f s inyectiva en A . ‫ם‬ I.4.2 Funciones Suprayectivas y Funciones Biyectivas. Funciones Suprayectivas: Se dice que una función f : A → B es suprayectiva o que mapea A en, si f ( A) = B . Esto es, f : A → B es suprayectiva si para cada y ∈B existe x ∈ A tal que f ( x ) = y . Nota: A las funciones suprayectivas también se les llama funciones sobre o sobreyectivas. Proposición II.4.2.1: La funcion f : A → B es suprayectiva si y sólo si R f = B . Demostración: Sea f : A → B una función suprayectiva, entonces para cualquier y ∈B existe un elemento x ∈ A talque f ( x ) = y , luego y ∈ R f = { f ( x ) x ∈ A} de aquí que para cualquier y ∈B se tiene que y ∈R f lo cual significa que B ⊂ R f y ya que R f ⊂ B entonces R f = B .

Supongamos ahora que R f = B , entonces cada elemento y ∈B es de la forma f ( x ) para algún x ∈ A y por lo tanto f es suprayectiva. ‫ם‬ Ejercicio II.4.2.2: Determine si la función h : [ −1,1] →[ −1,1] definida por: h( x ) = x 3 es suprayectiva. Solución: 3 Ya que Rh = {h( x ) x ∈ [ −1,1]} = { x x ∈ [ − 1,1]} = [ −1,1] = h( [ − 1,1] ) , h es suprayectiva. ‫ם‬ Función Biyectiva: Una función f : A → B es biyectiva o es una biyección si es tanto inyectiva como suprayectiva. Ejercicio II.4.2.3: Determine si la función f : R → R definida por: f ( x ) = 3 x − 9 es biyectiva. Solución: Ya sabemos que una funcion f es biyectiva si es tanto inyectiva como suprayectiva. Análisis de que f sea inyectiva: Sean x, y ∈R y supongamos que f ( x ) = f ( y ) , entonces se sigue que: 3 x − 9 = 3 y − 9 ↔ 3x = 3 y ↔ x = y , hemos visto pues que para cualesquiera x, y ∈R con f ( x ) = f ( y ) implica que x = y Luego f es inyectiva. Análisis de que f sea suprayectiva: y +9 Sean y ∈R f y x = . Vemos que

x es tal que

x ∈D f y además para tal

x se

3  y +9  y +9  = 3  − 9 = y + 9 − 9 = y . De lo anterior f tiene la cumple que: f ( x ) = f  3    3 

propiedad de que para cualquier y ∈R f existe x ∈D f tal que f ( x ) = y , luego f es suprayectiva. De lo anterior, hemos visto que f es tanto inyectiva como suprayectiva, luego f es biyectiva. ‫ם‬ Ejercicios Resumen II .4. 4.1: Determine si la función f : R → R Definida por f ( x ) = 6x 2 es inyectiva. 4.2: Determine si la función g : R → R Definida por g ( x ) = 5 x − 3 es inyectiva. 4.3: Demostrar que: Si f es una función decreciente en A ⊂ D f entonces f inyectiva en A . 4.4: Determine si la función f ( x ) = ( 7 x − 8) 9 + 3 es invectiva. 4.5: Determine si la función f : R → R definida por: f ( x ) = x 2 es suprayectiva. 4.6: Determine si la función g : P ⊕ → N definida por: g ( p ) =

p , donde P ⊕ es el 2

conjunto de los números naturales pares, suprayectiva. 9 4.7: Determine si la función f : R → R definida por: f ( x ) = (5 x 3 + 3) + 8 es biyectiva.

II.5 Composición de Funciones. 20

Introducción: es frecuente hacer la composición de funciones encontrando primero f ( x ) y luego aplicando g para obtener g ( f ( x ) ) , pero esto es sólo posible cuando f ( x ) pertenece al dominio de g ; por tanto se debe suponer que el dominio de f esta contenido en el dominio de g . Definición: para las funciones f : A → B y g : B → C la función compuesta g  f es la función de A a C definida por ( g  f )( a ) = g ( f ( a ) ) para a ∈ A . g f

se lee f seguida de g .

Para las funciones reales de variable real: f : R → R y g : R → R la regla de recurrencia de la composición de g con f es: para todo ( g  f )( x ) = g ( f ( x ) )

{

}

x ∈ Dg  f = x ∈ D f f ( x ) ∈ Dg .

Se debe tener cuidado en el orden ya que ( g  f )( x ) = g ( f ( x ) ) y ( f  g )( x ) = f ( g ( x ) ) son funciones diferentes. Ejercicio II.5.1: Sean las funciones dadas por f ( x ) =

x +1 1 y g ( x) = . x −1 x

Determine g  f y f  g , en cada caso obtenga el dominio de la función resultante. Solución; Vamos a obtener g  f : Ya sabemos que: ( g  f )( x ) = g ( f ( x ) ) para todo x ∈ D g  f = {x ∈ D f f ( x ) ∈ D g } , luego

1 x −1 = x −1 x + 1 x + 1 así que ( g  f )( x ) = g ( f ( x ) ) = x +1 x −1 x +1 1 f ( x) = entonces D f = {x ∈ R x ≠ 1} y g ( x ) = entonces x −1 x

( g  f )( x ) = g ( f ( x ) ) =

Ya que

D g = { x ∈ R x ≠ 0} .

Luego tenemos que D g  f = {x ∈ D f f ( x ) ∈ D g } = {x ∈ R x ≠ −1, x ≠ 1} . Vamos a obtener f  g : Ya sabemos que: ( f  g )( x ) = f ( g ( x ) ) para todo x ∈ D f  g = {x ∈ D g g ( x ) ∈ D f } , luego

(

1 1+ x +1 1+ x x +1 f  g )( x ) = f ( g ( x ) ) = x = x = así que ( f  g )( x ) = f ( g ( x ) ) = 1 1− x 1− x 1− x −1 x x

donde D f  g = {x ∈ D g g ( x ) ∈ D f } = { x ∈ R x ≠ 0, x ≠ 1} . ‫ם‬ Proposición II.5.2: Sean las funciones f : A → B y g : B → C tales que f y g son suprayectivas, entonces g  f : A → C es también suprayectiva. Demostración: Sea c cualquier elemento de C : Ya que g es suprayectiva, existe b en B tal que g ( b ) = c y ya que f es suprayectiva, existe a en A tal que f ( a ) = b .

Ahora bien, como ( g  f )( x ) = g ( f ( x ) ) para x ∈ A , entonces: ( g  f )( a ) = g ( f ( a ) ) = g ( b ) = c . De lo anterior hemos visto que: para cualquier elemento c de C existe a en A con la propiedad de que ( g  f )( a ) = c , luego g  f es suprayectiva. ‫ם‬ Ejercicios II.5: 5.1: Sean las funciones dadas por f ( x ) = x y g ( x ) = x 2 −1 . Determine g  f y f  g , en cada caso obtenga el dominio de la función resultante. II.6 Funciones Inversas Introducción: Sabemos que si f : A → B es una función f es el conjunto {( x, y ) x ∈ A, y ∈B} donde no hay dos parejas ordenadas distintas que tengan el mismo primer elemento. En general el conjunto obtenido al intercambiar el primer miembro y el segundo miembro de las parejas ordenadas de f : {( y, x ) y ∈B, x ∈ A} no es una función. Sin embargo, si f es biyectiva el conjunto: {( y , x ) y ∈B, x ∈ A} es una función llamada la inversa de f y que se denota con f −1 . En la notación ordinaria de las funciones f −1 se relaciona con f de la siguiente manera: x = f −1 ( y ) si y sólo si y = f ( x ) . Definición: una función f : A → B tiene función inversa si existe una función g : B → A con la propiedad de que: g  f = I A y f  g = I B . Esto es, g ( f ( x ) ) = x para todo x ∈ A y f ( g ( y ) ) = y para todo y ∈B . Si tal función existe, a g se le llama la inversa de f . Observación: Con I A estamos denotando a la función Identidad o Idéntica I A : A → A , la función identidad hace corresponder a cada elemento de de su dominio el mismo elemento. De manera similar tenemos I B . Notación: Si f : A → B tiene función inversa la denotaremos con f −1 , y escribiremos f −1 : B → A donde para cualquier b ∈ B se tendrá que f −1 ( b ) ∈ A simpre que exista x ∈ A con la propiedad de que x = f −1 ( b ) luego f −1 ( f ( x ) ) = x = f ( f −1 ( x ) ) . Proposición II. 6.1: Una función f : A → B tiene función inversa si f es biyectiva. Demostración: Sea f −1 : B → A la función inversa de f . Verificaremos que f sea inyectiva: Sean x, y ∈A y supongamos que f ( x ) = f ( y ) , ya que la función inversa de f es f −1 se sigue que f −1 ( f ( x ) ) = f −1 ( f ( y ) ) , pero f −1 ( f ( x ) ) = x y f −1 ( f ( y ) ) = y de aquí que x = y . Con lo anterior hemos visto que f ( x ) = f ( y ) implica x = y para cualesquiera x, y ∈A , luego f es inyectiva. Verificaremos que f es suprayectiva: Sea y ∈B , ya que la función inversa de f es f −1 entonces f −1 ( y ) ∈ A , luego existe x ∈ A con la propiedad de que x = f −1 ( y ) y f ( x ) = f ( f −1 ( y ) ) = y . Con lo anterior hemos visto que para cualquier y ∈B existe x ∈ A tal que f ( x ) = y , luego f es suprayectiva. De lo anterior tenemos que f es tanto inyectiva como suprayectiva y por lo tanto f es biyectiva. ‫ם‬ Función Inversa de una Función Real de Variable Real:

Sea f : R → R definida por y = f ( x ) . Sabemos que f tiene función inversa f −1 siempre que f sea biyectiva. Luego si f es biyectiva: f es el conjunto de pares ordenados de números reales ( x, y ) y f −1 es el conjunto de pares ordenados de números reales ( y, x ) , esto es: x = f −1 ( y ) si y sólo si y = f ( x ) . Con lo anterior tenemos que: El dominio de f es el rango de f −1 y el rango de f es el dominio de f −1 . * Desde el punto de vista del proceso operativo: Dada y = f ( x ) con f biyectiva, para obtener f −1 : i). Se despeja x de y = f ( x ) ii). Despejada x , se intercambian x y y , esto es: x se redefine como y , x = y , y y se redefine como x , y= x. iii). Las funciones f y f −1 deben ser tales que f −1  f = I y f  f −1 = I esto es f −1 ( f ( x ) ) = x y f ( f −1 ( x ) ) = x ** Desde el punto de vista geométrico: Ya que la gráfica de f es el conjunto de puntos ( x, y ) mientras que la gráfica de f −1 es el conjunto de puntos ( y, x ) , y como se redefinió y = x , entonces las gráficas de f y f −1 son simétricas a la recta y=x. Ejercicio II.6.2: Para la función definida por y = f ( x ) = 2 x − 6 obtenga: El dominio y el rango de f . La función inversa f −1 . Comprobar su resultado. Solucion: Vamos a determinar el Dominio y el Rango de f : Ya que y = f ( x ) = 2 x − 6 tenemos D f = { x ∈ R 2 x − 6 ≥ O} = { x ∈ R x ≥ 3} = [3,+∞) . Y ya que y = 2 x −6 de donde y 2 = 2 x − 6 y como x ∈[3,+∞) entonces R f = [0,+∞) . Vamos a verificar si f tiene inversa: Sabemos que f tiene función inversa f −1 siempre que f sea biyectiva, esto es, siempre que f sea tanto inyectiva como suprayectiva. Análisis de que f sea inyectiva: Sean x, y ∈D f = [3,+∞) y supongamos que f ( x ) = f ( y ) entonces se sigue que: 2 x − 6 = 2 y − 6 ↔2 x − 6 = 2 y − 6 ↔2 x = 2 y ↔x = y . Hemos visto pues que f ( x ) = f ( y ) implica x = y para cualesquiera x, y ∈D f , luego f es inyectiva. Análisis de que f sea suprayectiva: y2 + 6 Sea y ∈ R f = [0,+∞) y sea x = . Claramente x ∈D f = [3,+∞) y además para tal

x siempre se cumple que:

 y2 + 6   y2 + 6   = 2  − 6 = f ( x ) = f   2   2 

)

+6 −6 =

y2 = y .

Hemos visto pues que f tiene la propiedad de que para cualquier y ∈R f existe x ∈D f tal que f ( x ) = y , luego f es suprayectiva. Con lo anterior hemos visto que f es biyectica y por lo tanto tiene función inversa. Vamos a determinar la función inversa f −1 : Tenemos y = f ( x ) = 2 x − 6 con D f = [3,+∞) y R f = [0,+∞) Así que al despejar x de y = 2 x −6 obtenemos: y = 2x − 6 ↔ y 2 = 2x − 6 ↔ x =

Ahora redefiniendo x = y , y

y2 + 6 2 2 y = x tenemos y = x + 6 , de lo anterior se concluye

x2 + 6 que: y = f −1 ( x ) = donde D f = [0,+∞) y R f = [3,+∞) . 2 Nótese que: D f = R f y que R f = D f . Comprobación: f −1  f = I f  f −1 = I Se debe cumplir que: y esto −1 −1 f ( f ( x) ) = x y f ( f ( x) ) = x . x2 + 6 −1 ( ) y = f x = 2 x − 6 Tenemos que y y = f ( x) = de donde vemos que: 2 −1

−1

 f )( x ) = f

−1

( f ( x) ) = (

2x − 6 2

)

( 2 x − 6) + 6 = 2 x = x 2

( f  f )( x ) = f ( f ( x ) ) = −1

−1

 x2 + 6   − 6 = 2  2 

)

+6 −6 =

x2 = x

Con lo anterior hemos visto que siempre se cumple que: f

−1

 f =I y f  f

−1

=I . ‫ם‬

Ejercicios II.6: 6.1: Demostrar que si f : A → B tiene función inversa está es única. 6.2: Demostrar que si f : A → B es biyectiva entonces f tiene función inversa. 6.3: Para la función definida por y = f ( x ) =

x + 1 obtenga: El dominio y el rango de 2

. La función inversa f −1 . Comprobar su resultado. Haga un bosquejo en el mismo plano R 2 de las gráficas de f , f −1 y de y = x . f

II.7 Función Par y Función Impar. Definición: i). Se dice que una función f es una función par si para cualquier x ∈Df se cumple que f ( − x ) = f ( x ) . ii). Se dice que una función f es una función impar si para cualquier x ∈Df se cumple que f ( − x ) = − f ( x ) . Observación: 24

En la definición anterior entenderemos que − x ∈Df siempre que x ∈Df . Desde el punto de vista geométrico: Si f es una función par entonces ( − x, f ( − x ) ) = ( − x, f ( x ) ) , luego la gráfica de f es simétrica con respecto al eje y . Si f es una función impar entonces ( − x, f ( − x ) ) = ( − x,− f ( x ) ) , luego la gráfica de f es simétrica con respecto al origen 0 = ( 0,0 ) . Ejemplos II.7.1: La función Identidad: f : R → R definida por f ( x ) = x , es una función impar. La función Valor Absoluto:

f : R →R

 x si x ≥ 0 es una − x si x ≤ 0

definida por f ( x ) = x = 

función par. La función Seno: f : R → [ −1,1] definida por f ( x ) = senx es una función impar. La función Coseno: La función Seno: f : R → [ −1,1] definida por f ( x ) = cos x es una función par. Proposición II.7.2: i). El producto de dos funciones pares es una función par. ii). El producto de dos funciones impares es una función par. iii). El producto de una función par y una función impar es una función impar. Demostración de i); Sea f ( x) = g1 ( x ) g 2 ( x ) donde g1 y g 2 son las funciones pares dadas, entonces: f ( − x ) = g1 ( − x ) g 2 ( − x ) = g1 ( x ) g 2 ( x ) = f ( x ) . Hemos visto que f ( − x ) = f ( x ) luego la función f ,que ha sido definida como el producto de dos funciones pares, es una función par. Demostración de ii); Sea f ( x) = g1 ( x ) g 2 ( x ) donde g1 y g 2 son las funciones impares dadas, entonces: f ( − x ) = g1 ( − x ) g 2 ( − x ) = ( − g 1 ( x ) ) ( − g 2 ( x ) ) = − { − g 1 ( x ) g 2 ( x ) } = g 1 ( x ) g 2 ( x ) = f ( x ) . Hemos visto que f ( − x ) = f ( x ) luego la función f ,que ha sido definida como el producto de dos funciones impares, es una función par. Demostración de iii); Sea f ( x ) = g1 ( x ) g 2 ( x ) donde g1 es una función par y g 2 es una función impar, entonces: f ( − x ) = g1 ( − x ) g 2 ( − x ) = g1 ( x ) ( − g 2 ( x ) ) = − ( g1 ( x ) g 2 ( x ) ) = − f ( x ) . Hemos visto que f ( − x ) = − f ( x ) luego la función f ,que ha sido definida como el producto de una función par y una función impar, es una función impar. ‫ם‬ Ejercicios II.7: 8.1: Sean f y g funciones impares. Determine si f  g es una función par o impar o ninguna de las dos. 8.2: Demostrar que cualquier función f se puede escribir como la suma de dos funciones componentes, de las cuales una es par y la otra es impar. 8.3: Determine si la función dada es una función par o impar o ninguna de las dos. 25

f ( x) = 4 x 5 + 3 x 3 − 2 x

g ( x) = −

1− x2 2 h( x ) = ( x − 1) 2 x +1

θ ( x ) = tan x

I.8 Operaciones Básicas entre Funciones Reales de Variable Real. f

Si f y g son funciones reales de variable real entonces: f + g , f − g , fg y g son también funciones cuyos dominios son: D f +g = D f −g = D fg = D f ∩ D g y D f = D f ∩ D g − { x ∈ D g g ( x ) = 0} g

( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x) ( f − g )( x ) = f ( x ) − g ( x )  para ( fg )( x ) = f ( x ) g ( x ) 

, y cuyas reglas de correspondencia están dadas por:

f x ∈ D f ∩ D g y  g

Ejercicio II.8.1: Sean las funciones

f ( x) = f

 f ( x) ( x ) = para cualquier x ∈ D f . g( x)  g

1 x y g ( x) = . Determinar las x +1 x −2

siguientes funciones: f + g , f − g , fg , g y f obteniendo en cada caso el dominio de la función resultante. Solución: Tenemos: f ( x ) =

1 x +1

donde D f = R − { −1} y g ( x ) =

x donde Dg = R − { 2} . x −2

Ya que ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) para cualquier x ∈ D f ∩ D g , se sigue que:

+ g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) =

D f +g = R − { −1,2} .

1 x 1( x − 2 ) + x( x + 1) x 2 + 2x − 2 + = = x +1 x − 2 ( x + 1)( x − 2) ( x + 1)( x − 2)

y claramente

Ya que ( f − g )( x ) = f ( x ) − g ( x ) para cualquier x ∈ D f ∩ D g , se sigue que:

1 x 1( x − 2 ) − x( x + 1) − x2 − 2 − = = con D f −g = R − {−1,2} . x +1 x − 2 ( x + 1)( x − 2) ( x + 1)( x − 2) Ya que ( fg )( x ) = f ( x ) g ( x ) para cualquier x ∈D f ∩ D g , se sigue que: f ( x) − g ( x) =

f ( x) g ( x) =

1 x 1( x ) x = = y claramente D fg = R − {−1,2} . x + 1 x − 2 ( x + 1)( x − 2 ) ( x + 1)( x − 2 )

f 

f ( x)

Ya que  g ( x ) = g ( x ) para cualquier x ∈ D f = D f ∩ D g − { x ∈ D g g ( x ) = 0} se sigue   g 1 f ( x) 1( x − 2) x−2 D f = R − { − 1,0,2} = x +1 = = que: y claramente . g x g ( x) x( x + 1) x( x + 1) x−2 g g ( x) Ya que  f ( x ) = f ( x ) para cualquier x ∈ D g = D g ∩ D f − { x ∈ D f f ( x ) = 0} se sigue   f x g ( x) x( x + 1) x 2 + x D g = R − { − 1,2} = x−2 = = que: y claramente .‫ם‬ f 1 f ( x) 1( x − 2 ) x−2 x +1

Ejercicios II.8: 7.1. Sean las funciones

las siguientes

funciones:

dominio de la

f ( x ) = x y g ( x ) = x 2 −1 . Determinar f g f + g , f − g , fg , y obteniendo en cada caso el g f

función resultante. 7.2. Sean las funciones

f ( x) = f

x +1 x −1 y g( x) = . Determinar las siguientes x −1 x +1 g

funciones: f + g , f − g , fg , g y f función resultante. 7.3. Sean las funciones

f ( x) = f

obteniendo en cada caso el dominio de la

x +2 x2 − 4 y g ( x) = . Determinar las siguientes x x g

funciones: f + g , f − g , fg , g y f función resultante.

obteniendo en cada caso el dominio de la

Bibliografía y otras fuentes de Consulta. 1. Calculus. Volumen 1. Tom M. Apostol . Segunda Edición 1982. Editorial REVERTÉ, S.A. 2. Calculus. Volumen 1. Michael Spivak. 1981. Editorial REVERTÉ, S.A. 3. Análisis Matemático. Volumen 1. N.B. Haaser, J.P. LaSalle y J. A. Sullivan. Decimocuarta Reimpresión 1985. Editorial Trillas. 4. Análisis Real. N.B. Haaser y J. A. Sullivan. Primera Edición 1978. Editorial Trillas. 5. Elements of General Topology. Sze-Tsen Hu. Second Printing 1965. Holden-Day , Inc. 6. El Cálculo con Geometría Analítica. L. Leithold. Cuarta Edición 1982. Editorial Harla. 7. Cálculo. Volumen 1. Larson. Hostetler. Edwards. Quinta Edición 1995. McGrawHill. 9. Cálculo con una Introducción a los Vectores. Phillip C y Curtis Jr. 1976 Editorial Limusa. 10. Cálculo con Geometría Analítica. G. B. Thomas y R. S. Finney. Sexta Edición. Addison-Wesley Iberoamericana. 11. Cálculo con Geometría Analítica. C. H. Edwards y D. E. Penney. Cuarta Edición 1994. Prentice- Hall. Otras fuentes de Consulta. Graficador de funciones matemáticas:

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