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y1 < y 2 y1 < y 2 y1 < y 2 y1 < y 2 y1 < y 2 y1 y y 2 b ≥ x

TEOREMAS FUERTES DE CONTINUIDAD PARA FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE REAL (Parte II) Autor: Matemático Juan Manuel Pérez Rosales

Capitulo 3. Axioma del Supremo Introducción: Por el axioma del supremo podemos demostrar la existencia de números irracionales tales como

x donde x ∈ R y n impar

n

2 , así como la existencia de

n

x donde x ≥ 0 ∈ R y n par

y

.

3.1 Cotas Superiores e Ínfimos: Definición:

A ⊂ R yb∈R Sea .

b , se dice que

Nótese que:

b≥x↔b>x

o

b que

es una cota superior de

es cota superior del conjunto

b=x A

A

A = ( a, b ) , luego si

si

b≥x

para cualquier

x∈ A

b entonces

o cualquier número mayor

.

Definición:

1


Sea

A⊂ R

cualquier

. Se dice que

x∈ A

Nótese que:

b

A

está acotado inferiormente si existe un número real

b≤ x↔b<x

o

a que

b≤x

siempre se cumple que

b=x

A

es una cota inferior de

tal que para

.

A = ( a, b )

a

, luego si

entonces

o cualquier número menor

.

Observaciones: - Si un conjunto tiene una cota superior, entonces tiene una infinidad de cotas superiores. - Si un conjunto tiene una cota inferior, entonces tiene una infinidad de cotas inferiores. - La cota, superior o inferior de un conjunto, puede o no puede estar en el conjunto.

E = ( − 2,+∞ ) Ejercicio 3.1.1: Verificar que

no está acotado superiormente.

Solución: Sea

b∈ R

y sea

x∈E

:

b Si

es cota superior de

b +1 > b

. Así que

E

b +1 > b

entonces y

b > −2

b≥x

y claramente

b + 1 = x ∈ E = ( − 2,+∞ ) de aquí que

b +1 > b

y

.Como

b∈ R

entonces

.

Por otra parte, sea De lo anterior tenemos que

b > −2

b > b +1

con

b > b +1

b∈R

porque

b≥x

.

, lo cual contradice la tricotómia de

E = ( − 2,+∞ ) los números reales y por lo tanto

Ejercicio 3.1.2: Sea del propio conjunto Solución:

1   B = 3 + n n ∈ N   2  B

no está acotado superiormente. ‫ם‬

. Determine si

B

está acotado superiormente y a partir

dado determine una cota superior de dicho conjunto.


Ya que para cualquier

n∈N

1 1 1 1 ≤ ↔ 3+ n ≤ 3+ n 2 2 2 2

superiormente y

7 ∈B 2

siempre se cumple que

3+ , esto es

1 7 ≤ 2n 2

es una cota superior de

B

cota superior. De manera similar, si

A⊂ R

Diremos que

A⊂ R

, y de aquí que:

para cualquier

n∈N

. Luego

B

está acotado

.‫ם‬

Nota: Por una cuestión de terminología, se dice que

abajo. Si

2n ≥ 2

A⊂ R

está acotado por arriba si tiene una

tiene una cota inferior, se dice que está acotado por

tiene tanto cota superior como inferior, se dice que está acotado.

A⊂ R

es no acotado si carece de una cota superior o de una cota inferior.

A = { x ∈ R x ≤ 6} De lo anterior el conjunto es no acotado pues no está acotado por abajo y aun con el hecho de que está acotado por arriba.

3.2 Supremo e Ínfimo: Definición:

A⊂ R yc∈R

c

Sea , se dice que es el supremo de se satisface las dos condiciones siguientes:

c i).

es cota superior de

A

b ii). Si

es cota superior de

A

c , o que

es la mínima cota superior de

A

,

.

A

, entonces

Nota: El supremo de un conjunto

A

c≤b

b para cualquier

.

SupA , cuando existe, lo denotamos

.

Definición:

3


A ⊂ R yc∈R

c

Sea , se dice que es el ínfimo de se satisface las dos condiciones siguientes:

c i).

es cota inferior de

A

c , o que

es la máxima cota inferior de

A

,

.

b ii). Si

A

A

es cota inferior de

, entonces

Nota: El ínfimo de un conjunto

A

c≥b

b para cualquier

.

InfA , cuando existe, lo denotamos

.

Proposición 3.2.1: i). Si un conjunto ii). Si un conjunto

A⊂R A⊂R

tiene supremo, es único. tiene ínfimo, es único.

Nota: Haremos la demostración del inciso i) dejando como ejercicio el inciso ii). Demostración de i):

c1 y c 2 Supongamos que

son supremos de

c1 Ya que

es supremo de

b superior

de

A

A

A

:

c1 , entonces

es una cota superior de

c2 , y ya que

es cota superior de

A

A

c1 ≤ b y

para toda cota

c2 porque

es supremo de

A

en particular se

c1 ≤ c 2 tiene que

.

c 2 ≤ c1 Análogamente

.

c1 ≤ c 2

c 2 ≤ c1

De lo anterior tenemos que y , entonces por tricotómia visto que el supremo de un conjunto, cuando existe, es único. ‫ם‬

c1 = c 2 . Luego hemos

En el sistema de los números reales todos los conjuntos superiormente acotados tienen supremo, esto es lo que nos dice precisamente el axioma del supremo.


3.3 Axioma del Supremo:. Si

A

es un subconjunto de

R

, si

A

un número real que es el supremo de

A

es no vacío y si

A

es acotado superiormente entonces existe

.

N Teorema 3.3.1: El conjunto de los números naturales,

, no es acotado superiormente.

Demostración:

N Supongamos que

es acotado superiormente:

N ⊂ R y que N ≠ φ Ya que

N y que además por nuestra hipótesis de que

es acotado

N superiormente, entonces por el axioma del supremo

SupN = c Sea

, entonces

c −1

N no es cota superior de

c − 1 < n0

n0 tal que

tiene supremo. y por lo tanto existe un número natural

c < n0 + 1 , entonces se tiene que

( n0 + 1) ∈ N

n0 ∈ N , pero

y también

,

n0 + 1 < SupN = c luego

.

n0 + 1

c Así que los números

y

c < n0 + 1 tienen la propiedad de que

contradice la tricotómia del orden en

R

n0 + 1 < c y

lo cual

.

N

N

Por lo tanto, la hipótesis de que es acotado superiormente es falsa y su negación, acotado superiormente, es verdadera. ‫ם‬

no es

3.4 Teorema 3 Propiedad Arquímidiana de los Números Reales: xyy Sean

números reales cualesquiera, si

nx > y

x>0

n , entonces existe un número natural

tal que

. Demostración:

5


x≠0

Ya que

x −1 ∈ R

entonces existe −1

yx ∈ R de números reales

, luego por la propiedad de cerradura de la multiplicación

yx −1

N y como

no es acotado superiormente, entonces

N superior de

yx

n , luego existe un número natural

nx > y

−1

<n

tal que

no es cota

y < nx y de aquí que

esto es

.‫ם‬ Una consecuencia inmediata del teorema anterior es que para cada número real

n∈N

tal que

1 <ε n

Ejercicio 3.4.1: Sea

ε >0

existe

.

1   A = 5 + n n ∈ N   4 

InfA = 5 verificar que

.

Solución: Tenemos que verificar que el número 5 satisface las siguientes propiedades: i). 5 es cota inferior de

A

.

b ii). Para cualquier número

b , si

es cota inferior de

Verificación del inciso i): Ya que para cualquier

5+ tenemos que

1 >5 4n

Verificación del inciso ii): Sea

entonces

números reales existe

tal que

A

.

5≥b

.

siempre se cumple que

1 >0 4n

, entonces

.

c −5 > 0

1 < c−5 n0

n0 ∈ N

, entonces

n∈ N

, luego 5 es cota inferior de

c>5

A

y por la propiedad arquímidiana de los


n0 < 4 Ahora bien,

de aquí que

1 ∈A 4 n0

5+ como

1 1 < n0 n0 4

n0

c tenemos que

A

debe ser

b≤5

A

no es cota inferior de

c>5

Hemos visto que ningún número inferior de

, luego

1 < c−5 4 n0

y de aquí que

1 <c 4 n0

y

.

puede ser cota inferior de

5≥b

o sea

5+

A

b , por lo tanto si

es cota

.

De lo anterior tenemos que: i). 5 es cota inferior de

A

.

b ii). Para cualquier número

b , si

es cota inferior de

A

, entonces

5≥b

.

InfA = 5 Por tanto

.‫ם‬

Lema 3.4.2: para cada número real

p<x<q

pyq

x existen dos números enteros

tales que

.

Demostración: Sea

x∈R

N , ya que el conjunto de los números naturales,

x < n1 y − x < n 2

n1 y n2 entonces existen

números naturales tales que

p = − n2 y q = n1 Sean

, no es acotado superiormente,

p, q ∈ Z , claramente

− n2 < x < n1 , luego

.

p<x<q y además

.‫ם‬

Nota: El principio del buen orden establece que: Si

A⊂ N

y

A

n0 ∈ A

A

no es vacío, entonces

tiene un elemento mínimo. Es decir, existe un elemento

∀n : n ∈ A → n0 ≤ n tal que

.

x Lema 3.4.3: Para cada número real

n , existe un entero

único tal que

n −1 ≤ x < n

.

7


Demostración:

p, q ∈ Z

x Por el lema IV.3.7 sabemos para cada número real

A = { k ∈ N p + k > x} Sea

que existen

tales que

.

A≠φ , vamos a verificar que

p<x<q Ya que

p<x<q

p + ( q − p) > x

q − p∈N

p<q , entonces

:

y

q− p∈ A

y además

, luego

A≠φ por tanto

.

Ahora bien, por el principio del buen orden

k0 ∈ A

k0 ≤ k tal que

Sea

n∈Z

para cualquier

k∈A

n = p + k0 dado por

tienen un elemento mínimo, es decir, existe

.

k0 ∈ A , ya que

x < p + k0 se tiene que

k0 > 1 Consideremos que

A

y supongamos que

n −1 > x

k0 cual contradice que

sea el mínimo elemento de

A

n −1 ≤ x < n

nos lleva

x<n

.

p + ( k 0 − 1) > x entonces debe ser

lo

.

k0 > 1 Así pues, considerar

, luego

a que debe ser

n −1 ≤ x

.‫ם‬

Teorema 3.4.4: El conjunto de los números racionales es denso en

R

.

y como

x<n

, entonces


x< y

xyy Esto significa que para dado los números reales racional

r

tales que

x<r< y

tal que

existe almenos un número

.

Demostración:

x, y ∈ R Sean

x< y tales que

números reales existe

y−x>0 , entonces

m∈ N

1 < y − x ↔ 1 < my − mx m

y por la propiedad arquímidianna de los

tal que:

y de aquí que I

1 + mx < my .

mx Por otra parte, por el lema IV.3.8 para el número real

existe

n∈Z

con la propiedad de que II

n −1 ≤ mx < n

n Nótese que luego para tal número

:

n − 1 ≤ mx < n → n − 1 ≤ mx y mx < n ↔ n ≤ mx + 1 y mx < n . Así que

mx < n ≤ mx + 1

Ya que por I

r= Sea

n m

.

1 + mx < my

, claramente

3.5 Existencia de

mx < n < my se tiene entonces que

r

x< y de aquí que

n <y m

.

x<r< y es un número racional, luego escribimos

.‫ם‬

2

Recordemos la definición de la raíz

n − esima

de un número:

9


Sea

n∈N

b≥0

y sea

b =a

a∈R

tal que

a≥0

n

y

b , se dice que un número real n

b , si tal es el caso a

es la raíz

n − esima

a

se le denota con el símbolo

a

o bien con

a de

si

1 n

.

La importancia del axioma del supremo radica en que garantiza la existencia de números reales bajo ciertas hipótesis, a continuación se ilustrará este uso demostrando la existencia de un

x2 = 2

x número real positivo

tal que

2 , es decir se probará la existencia de

x Proposición: 3.5.1: Existe un número real

tal que

{

x2 = 2

.

}

A = c ∈ R 0 ≤ c, c 2 < 2 Demostración: Sea el conjunto otra parte

A

está acotado superiormente por 2.Además si

A

x = SupA Con lo anterior, sea Supongamos primero que

Como

, entonces

nótese que

x2 > 2

x >1

, por

2

vemos que

R

1∈ A

por lo que

.

:

:

x2 − 2 > 0

de los números reales existe

tiene supremo en

porque

y >4

y>2

, pero por el axioma del supremo

x2 > 2

A≠φ , claramente

y∉A

.

m∈ N

y además

tal que

x2 − 2 >0 2x

1 x2 − 2 < m 2x

.

, luego por la propiedad arquímediana


2

Ya que

1 2x 1 2x  2 + 2 > x2 − x −  = x − m m m m 

2x < x2 − 2 m

m∈ N

de tal manera que

. 2

Por otra parte

Ahora bien, si

c∈ A

Con lo anterior

, entonces

1 m

Supongamos ahora que

x2 > 2 x2 < 2

, entonces

2

)

, así que

1  c2 < 2 <  x −  m 

es un cota superior de

Luego no puede ser que

x2 < 2

(

1  2 2 x −  > x − x −2 = 2 m  

x−

Como

, podemos tomar a tal

A

1  x−  > 2 m 

.

2

c< x− de aquí que

1 m

.

x = SupA lo que contradice que

.

. :

2 − x2 > 0

y ya que

x >1

propiedad arquímediana de los números reales existe

, entonces

n∈ N

tal que

2 − x2 >0 2x + 1 1 2 − x2 < n 2x + 1

, luego por la

.

2

1 2x 1 1 1 1  2 + 2 = x 2 +  2 x +  ≤ x 2 + ( 2 x + 1) x+  = x + n n n n n  ya1 que1 n  ≤ n2 n

Por

otra

parte,

podemos tomar a tal

como

n∈ N

de tal manera que

,

2x + 1 < 2 − x2 n

.

11


2

Por otra parte

1  2 2  x +  < x + (2 − x ) = 2 n  

2

, así que

1  x+  < 2 n 

.

2

Ahora bien, si

c∈ A

, entonces

1  c2 <  x +  < 2 n 

c< x+ , de aquí que

x lo cual contradice que

sea la mínima cota superior de

De lo anterior, hemos visto que

x2 = 2

x2 > 2

y

x2 < 2

A

1 n

, luego

1  x + ∈ A n 

,

.

no son posibles, de aquí que se debe tener que

.‫ם‬

{

}

A = c ∈ R 0 ≤ c, c 2 < 2 Con la proposición anterior hemos visto que el conjunto supremo en el sistema de los números racionales y que

2 número

que es el supremo de

A

x2 = 2

no tiene nos lleva a la existencia del

.

3.6 Ejercicios resumen referentes al capítulo 3 8.1. Determine una cota superior y una cota inferior para el conjunto dado:

A = ( − 2,6)

B = [ − 3,5)

C = [ 3,7] .

8.2. Sea conjunto

1  A =  n∈ N n  A

. Determine si

A

está acotado inferiormente y a partir del propio

dado determine una cota inferior de dicho conjunto.


8.3. Demostrar la siguientes proposiciones:

A⊂R

8.3.1. Si un conjunto

8.3.2. Para cada número real 8.3.3. Si

A

tiene ínfimo, es único.

ε >0

es un subconjunto de

n∈N

existe

R

, si

A

existe un número real que es el ínfimo de

es no vacío y si

A

A

.

es acotado inferiormente entonces

.

x< y

xyy 3.3. Si

tal que

1 <ε n

los son números reales tales que

x<z< y

que

, entonces existe un número irracional

z

tal

.

8.4. Sea

1   A = 12 − n ∈ N  n  

SupA = 12 verificar que

.

Capítulo 4 Teoremas Fuertes de Continuidad Introducción. Vamos a estudiar y a demostrar de manera intuitiva algunos de los teoremas centrales del cálculo: El teorema de Bolzano y el teorema del Valor Intermedio, estos teoremas se estudian con mayor rigor en el curso de cálculo integral.

4.1 Teorema Conservación del Signo de Funciones Continuas: f Sea

f ( a) ≠ 0

a una función continua en

(a −δ,a + δ )

y supongamos que

f ( a)

f donde

. Existe entonces un intervalo

tiene el mismo signo que

.

Demostración:

f ( a) > 0 Consideremos que

:

13


f Ya que

a es continua en

, entonces por definición de función continua:

a ∈ Df y para cualquier número

ε >0

existe un número

δ >0

con la propiedad de que:

x − a < δ → f ( x) − f ( a) < ε

∀x : x ∈ D f y

.

− δ < x − a < δ → −ε < f ( x ) − f ( a ) < ε Así que

, esto es:

a − δ < x < a + δ → f ( a) − ε < f ( x) < f ( a) + ε , de donde:

x ∈ ( a − δ , a + δ ) → f ( a) − ε < f ( x) < f ( a) + ε .

ε=

f ( a) > 0 Ya que estamos considerando

x ∈ ( a − δ , a + δ ) → f ( a) −

x ∈(a −δ ,a + δ ) →

, tomemos

1 1 f ( a) < f ( x) < f ( a) + f ( a) 2 2

1 3 f ( a) < f ( x) < f ( a) 2 2

f ( x) > 0 De lo anterior mismo signo. ‫ם‬

1 f ( a) 2

, entonces:

, esto es:

.

(a −δ,a + δ ) en el intervalo

f ( x) y por lo tanto

f ( a) y

tienen el

(a −δ,a +δ )

a Observación: Si existe continuidad a un lado de

, entonces además del intervalo

[ a, a + δ )

existe el correspondiente intervalo mismo signo.

( a − δ , a]

o

f ( x) en el cual

f ( a) y

tienen el

Nota se deja como ejercicio hacer la demostración del teorema anterior para el caso en el que se

f ( a) < 0 considera

.


4.2 Teorema de Bolzano: f Sea

una función continua en cada punto del intervalo cerrado

[ a, b]

f ( b) y

f ( a) y supongamos que

c tienen signos opuestos, existe entonces por lo menos un punto

( a, b )

en el intervalo abierto

f ( c ) = 0. tal que

f ( a) < 0 Demostración: Consideremos

x ∈ [ a, b ]

f ( b) > 0 y

, claramente puede haber muchos valores de

f ( x) = 0 para los cuales

. Nuestro problema es encontrar uno y esto se hará

f ( x) = 0

x determinando el mayor

para el cual

.

A = { x ∈ [ a, b] f ( x ) ≤ 0} Sea

, claramente hay por lo menos un

A≠φ y como los

x∈ A

c Sea

el supremo de

A

están en

[ a, b]

entonces

A

x∈ A

puesto que

luego

está acotado superiormente.

c , esto es

f ( a) < 0

es la mínima cota superior de

A

, tenemos que probar que

f ( c) = 0 :

Si

c∈ A

f ( c) < 0 entonces se tienen tres posibilidades

f ( c) < 0 Consideremos primero que intervalo

Si

c=a

( c − δ , c + δ ) [ c, c + δ ) o

,

: Como

c es el supremo de

, por el teorema IV.3.1 existe un

f ( c)

f donde

.

c es continua

tiene el mismo signo que

, esto se cumpliría para algún

A

f ( c) > 0 y

f

f ( x) < 0 tal que

f ( c) = 0

x>c

.

lo cual no puede ser cierto porque

f ( c) < 0 , luego

no es posible.

15


f ( c) > 0 Consideremos ahora que

(c −δ ,c + δ ) intervalo

Si

c=b

o

tal que

porque

c −δ

es continua

, por el teorema IV.3.1 existe un

f ( c)

f donde

tiene el mismo signo que

x entonces

. Así que

c

: Como

f ( x) > 0 f ( x) > 0

Luego

( c − δ , c]

f

x∈ A

estaría a la derecha de

no puede estar a la derecha

sería un cota superior de

A

c −δ < c

, pero

c −δ

c −δ

.

lo cual no puede ser cierto

.

c y

es la mínima cota superior de

A

,

f ( c) > 0 luego

no es posible.

f ( c) < 0 De lo anterior como como

c≠a

y

c≠b

f ( c) > 0 y

no son posibles solo queda que

f ( a) < 0 con

f ( c) = 0

f ( b) > 0 y

a<c<b

entonces

y además

.‫ם‬

Observación:

f El teorema de Bolzano pone de manifiesto que si

f por

x

es una función continua, la curva definida

a b

ha de cortar el eje alguna vez entre y

.

Existen funciones la función para las cuales el teorema de Bolzano no es aplicable.

4.3 Teorema del Valor Intermedio para Funciones Continuas: f Si la función

f ( a ) y f ( b)

k número

es continua en el intervalo

[ a, b]

entre

Demostración:

f ( a) ≠ f ( b) y si

f ( c) = k

a yb

c existe un número

, entonces para cualquier

entre

tal que

.


f ( x1 ) < f ( x 2 ) Supongamos que

y sea

[ x1 , x 2 ]

una función definida en

un número cualquiera entre

de la siguiente manera,

g ( x1 ) = f ( x1 ) − k < 0

es continua en

g ( x2 ) = f ( x2 ) − k > 0 y

g Aplicando el teorema de Bolzano a

g . Como

se tiene que

g tal y sea

g ( x) = f ( x) − k

[ x1 , x 2 ]

cada punto de

f ( x1 ) y f ( x 2 )

k

.

( x1 , x2 )

c se tiene que existe

en

g ( c) = 0 tal que

, luego

f ( c) = k .‫ם‬ Observaciones, El teorema del valor intermedio:

f ( a ) y f ( b)

y - Establece que cada recta horizontal que cruce el eje

entre

debe cruzar la gráfica

f de la función continua en un punto, es decir que la función continua

k intermedio

en

x=c

alcanza un valor

.

[ a, b] - Es la razón por la cual la gráfica de una función continua en un intervalo rota, es decir, que es conexa.

no puede estar

- Es la verificación de la existencia de las soluciones de las ecuaciones escritas de la forma

f ( x) = 0

f ( x) = 0 , y se dice que una solución de la ecuación

f

f es una raíz o cero de

. Luego si

f es continua, entonces en cualquier intervalo donde

cambia de signo debe haber un cero de

f . Como consecuencia de los teoremas anteriores tenemos que:

f

lim f ( x ) = f ( a )

a es continua a la derecha de

f

si se cumple que

x →a +

lim f ( x ) = f ( a )

b es continua a la izquierda de

.

si se cumple que

x →b −

.

17


f

lim f ( x ) = f ( c )

c es continua en

x →c

si se cumple que

.

Así que: Una función cuyo dominio incluye al intervalo cerrado

[ a, b]

[ a, b]

se dice que es continua en

( a, b ) si y sólo si es continua en el intervalo abierto

a y continua a la derecha de

y a la

b izquierda de

.

[ a, b ) Por otra parte: Una función cuyo dominio incluye al intervalo semiabierto por la derecha

[ a, b )

es continua en

( a, b ) si y sólo si es continua en el intervalo abierto

y continua a la derecha

( a, b]

a de

. Una función cuyo dominio incluye al intervalo semiabierto por la izquierda

( a, b]

continua en

es

( a, b ) si y sólo si es continua en el intervalo abierto

y continua a la izquierda de

b .

f ( x) = Ejercicio 4.3.1: Determine si la función

( 0,1) , ( − 1,1) , [ 0.1], ( − 1,0], ( − ∞,−1] y (1,+∞ )

x x −1 2

es continua o discontinua en los intervalos

.

Solución:

f ( x) = Tenemos

x x −1

{

de donde

.

( 0,1) ⊂ D f

( 0,1) Para el intervalo

}

D f = x ∈ R x 2 − 1 ≠ 0 = ( − ∞,−1) ∪ ( − 1,1) ∪ (1,+∞ )

2

tenemos que: Como

entonces

( − 1,1) ⊂ D f

( − 1,1) Para el intervalo

tenemos que: Como

Para el intervalo

tenemos que: Como

es continua en

entonces

y ya que:

.

( − 1,1)

f

( 0,1) ⊂ D f

[ 0.1]

( 0,1)

f

es continua en

.


lim+ f ( x ) = lim+

x →0

x →0

lim x x 0 0 x →0 + = = 2 = 0 y f ( 0) = 2 =0 2 2 x − 1 lim+ x − 1 0 − 1 0 −1|

(

x →0

)

lim x x 1 1 x →1− lim f ( x ) = lim− 2 = = 2 = 2 x →1− x →1 x − 1 lim− x − 1 1 − 1 0 x →1

(

)

Y como

no esta definido

[ 0.1]

f De lo anterior,

es discontinua en el intervalo

( − 1,0] . Para el intervalo

tenemos que: Como

( − 1,0) ⊂ D f y ya que:

lim− f ( x ) = lim−

x →0

x →0

lim x x 0 0 x →0 − = = 2 = 0 y f ( 0) = 2 =0 2 2 x − 1 lim− x − 1 0 − 1 0 −1| x →0

(

)

( − 1,0)

f Entonces

es continua en

y a la izquierda de 0. De lo anterior,

( − 1,0] intervalo

. Para el intervalo

discontinua en

( − ∞,−1]

( − ∞,−1]

es discontinua en el

( − ∞,1] ⊄ D f tenemos que: Como

f entonces

es

(1,+∞) . Para el intervalo

(1,+∞ ) ⊂ D f Como

f

(1,+∞ )

f entonces

tenemos que:

es discontinua en

.‫ם‬

f Ejercicio 4.3.2: A continuación se indica una función

y un intervalo

[ a, b]

. Determine si el

k teorema del valor intermedio es válido para el valor de

f ( c) = k

c un número

indicado. Si el teorema se cumple, halle

tal que

, si el teorema no es válido indique la razón:

 9  f ( x ) = 25 − x 2 para − ,3 y k = 3  2 

19


{

}

D f = x ∈ R 25 − x ≥ 0 = [ − 5,5] 2

Solución: Ya que

y como

es continua en todo número de

 9  − 2 ,3

 9  − 2 ,3 ⊂ [ − 5.5] = D f

f luego

. Por otra parte tenemos que:

2

19  9  9 f ( a ) = f  −  = 25 −  −  = 2  2  2

f ( b ) = f ( 3) = 25 − ( 3) = 4 2

y

.

[ a, b]

f De lo anterior tenemos que la función

es

continua en el intervalo

dado y que

f ( a ) ≠ f ( b) , luego se cumplen las hipótesis del teorema del valor intermedio.

c Ahora vamos a determinar al número

entre

9 = a y3 = b 2

f ( c) = k = 3 talque

:

f ( c) = k = 3 Haciendo

esto es:

25 − c 2 = 3 ↔ 25 − c 2 = 9 ↔ 16 − c 2 = 0 ↔ ( 4 + c )( 4 − c ) = 0 de donde c = −4 y c = 4 .

Rechazamos

c=4

porque

 9  4 ∉ − ,3  2 

c De lo anterior el número

n Proposición 4.3.3: Sea

a un número natural y sea

b un único número real no negativo Demostración: Si Supongamos que

a=0 a>0

, entonces :

en cuestión es -4. ‫ם‬

tal que

b=0

bn = a

un número real no negativo, entonces existe .

es el único número real no negativo tal que

bn = a

.


β Sea

a un número real mayor que

f : [ 0, β ] → R

0<a< βn . Sea

f ( x) = x n

la función definida por

f . Claramente

es continua y

, luego por el teorema del valor intermedio existe un número

b ∈ ( 0, β )

f ( b) = a tal que

, esto es, tal que

Ahora bien, la función

f ( x) = x n

.

[ 0, β ] es creciente en

es inyectiva en

bn = a

bn = a

f ( 0) < f ( β ) porque

[ 0, β ]

f

propiedad de que

, así que

f ( 0) < a < f ( β )

por I se tiene que

y por lo tanto

I

y mayor que 1, entonces

0<a<β <βn

0<β siempre que

b ∈ ( 0, β ) , luego el elemento

es el único elemento con la

.‫ם‬

n Nota: se deja como ejercicio demostrar que: Si

a un número natural impar y si

b número real negativo, entonces existe un único número real negativo

es cualquier

b =a n

tal que

.

4.4 Funciones Acotadas Superior e inferiormente A ⊂ Df

f Definición: Sea

una función real de variable real y sea

A

superiormente en

f ( A) = { f ( x ) x ∈ A}

si el conjunto

A ⊂ Df

Definición: Sea

una función real de variable real y sea

A

f ( A) = { f ( x ) x ∈ A}

si el conjunto

f . Se dice que

A ⊂ Df una función real de variable real y sea

Ejemplo 4.4.1: Sea

f . Se dice que

f ( A) = { f ( x ) x ∈ A}

si el conjunto

es acotada

es acotado inferiormente.

f Definición: Sea

es acotada

es acotado superiormente.

f

inferiormente en

f . Se dice que

es acotada en

A

es acotado.

sen : R → R

definida por

x  senx

.

21


Ya que

−1 ≤ senx ≤ senx

para cualquier

g : ( 0,2) → R Sea

definida por

Ya que

0 < x2 < 4

x∈R

g ( x) = x 2

sen , entonces la función

es acotada en todo

R

.

.

x ∈ ( 0,2) para cualquier

( 0,2)

g , entonces la función

es acotada en

.‫ם‬

4.5 Cubierta y Subcubiertas de un conjunto

{ A i ∈ I}

I⊂N

i

Definición: Una familia de conjuntos es una colección de la forma cada

i ∈ I Ai ,

Definición: Sea

donde

y para

es un conjunto.

A

A

un conjunto. Una cubierta de

C = {U i i ∈ I } , es una familia de conjuntos

A ⊂  U i = { x x ∈ U i para algún i ∈ I } i∈I

con la propiedad de que

.

R

Si todos los conjuntos en cuestión son subconjuntos de

C de

y si además cada miembro de la familia

C es un intervalo abierto, entonces diremos que

es una cubierta abierta de

A

.

n

C Si

es una cubierta abierta de

entonces se dice que

C′

A

{

y si

j =1

y

C es una subcubierta de

; si además

C′

n∈N

sea

1  U n =  ,1 n 

A = ( 0,1)

C es una cubierta abierta de

.

Ui ,

C es una subcubierta finita de

.

C = {U n n ∈ N } y sea

U i ∈C ′

está formado por un número

C′ , entonces se dice que

Ejercicio 4.4.2: Para cada

i).

}

C ′ = U i1 , U i2 , , U in ⊂ C

C finito de miembros de

A ⊂  U ij =

. Verificar que:


1   ,1 n∈N  n 

( 0,1) =  ii).

.

Solución i):

A = ( 0,1) Sea

y sea

1  U n =  ,1 n 

Ya que para cualquier

x∈ A

para cada

tenemos que

n∈N x>0

:

, entonces por la propiedad

arquímidiana de los números reales tenemos que existe

x ∈ ( 0,1) entonces

C = {U n n ∈ N }

luego

1  x ∈   ,1 n∈N  n 

n∈N

1 <x n

tal que

1   ,1 n∈N  n 

, y ya que

x <1

,

( 0,1) ⊂  y por lo tanto

, de lo anterior

A = ( 0,1) es una cubierta abierta de

.

Solución ii):

Ya

que

para

cada

n∈ N

siempre

se

cumple

1   ,1 ⊂ ( 0,1) n 

que

,

luego

1  ∞ 1    ,1 = n=1  n ,1 ⊂ ( 0,1) n∈N  n  1  ∞ 1   ,1 =   ,1 n∈N  n  n =1  n 

( 0,1) ⊂  Por otra parte, por el inciso i) tenemos que

1   ,1 n∈N  n 

.

( 0,1) =  De lo anterior

.‫ם‬

4.6 Teorema Heine – Borel: 23


Sea

K

C un intervalo cerrado y acotado, y sea

una subcubierta finita que cubre a

K = [ a, b ]

En otras palabras: Si

K

con

abierto de la forma

K

C , entonces

tiene

.

− ∞ < a < b < +∞

[ a, b ] ⊂ 

(α i , β i )

es una cubierta abierta de

i∈I

y si

C = {U i i ∈ I } y si

Ui siendo

{U

Ui

un intervalo i1

, U i2 ,  , U in

}

, entonces existe una colección n

[ a, b] = K ⊂ 

C

j =1

de miembros de

Uij

con la propiedad de que

.

Demostración:

C = {U i i ∈ I } Sea

una cubierta abierta de

para cualquier

i∈I

K = [ a, b ]

U i = (α i , β i ) , y supongamos que cada

.

S Vamos a considerar al conjunto

definido de la siguiente manera:

S = { x ∈ [ a, b] [ a, x ] se puede cubrir con un número finito de miembros de C} .

S Nótese que

es el conjunto cuyos miembros son todos aquellos elementos para los cuales exista

{U

i1

, U i2 ,  , U in

una subcolección finita

}

C de miembros de

con la propiedad de de que

n

[ a, x ] ⊂ 

j =1

U ij .

S Probaremos que

Ya que

es no vacío y que es acotado superiormente:

a ∈ [ a, b ]

[ a, b ] ⊂ 

i∈I

y que

a ∈ Ui

Ui se tiene que

[ a, a ] = { a} ∈ U i

a ∈ U i0

0

. Así que

y de aquí que

a∈S

i∈I

i0 ∈ I , luego existe

S ≠φ y por tanto

.

tal que


Por otra parte, consideremos para cualquier

x∈S

S , entonces

es acotado superiormente y en

S virtud del axioma del supremo se sigue que

tiene supremo en

R

.

c = SupS Sea

.

c∈S

Probaremos ahora que Ya que

a∈S

c ∈ [ a, b ]

, entonces

:

a≤c

b y ya que

S es cota superior de

, entonces

c≤b

, luego

.

[ a, b ] ⊂  Por otra parte, como

(

U ic = α ic , β ic

c ∈ U ic

i∈I

se sigue que

)

y como

c ∈  Ui

Ui

i∈I

. Así que

tal que i1

,U i2 ,  , U in

S no es cota superior de

colección finita

S , luego por la definición de

}

tal que

α ic

α ic < x1 ≤ c

x1 ∈ S

{U

y de aquí que existe

α ic < c < β ic se tiene que

y por lo tanto existe

ic ∈ I

, existe una

C de miembros de

con la propiedad de que

I

n

[ a, x1 ] ⊂ 

j =1

Uij

α ic < x1 ≤ c < β ic , pero

, luego II

[ x1 , c] ⊂ U i

 U i j  ∪ U ic  j =1 

c

.

n

[ a, c] = [ a, x1 ] ∪ [ x1 , c] ⊂  De I y II se sigue que

De lo anterior, hemos visto que como además

c ∈ [ a, b ]

Probaremos ahora que

[ a, c]

, entonces

c=b

C está cubierto por una colección finita de miembros de

c∈S

: Ya que

.

y

.

c≤b

, tenemos dos posibilidades o

c<b

o

c=b

.

25


Supongamos que

c<b

:

De nuestro análisis anterior tenemos que

α ic < x1 ≤ c < β ic

[ x1 , c] ⊂ U i

II

para algún

, como

c < x 2 < β ic

x2 , entonces existe

ic ∈ I

c

tal que

 U i j  ∪ U ic  j =1 

c<b

y ya que

c < x2 < b y como

, luego

n

[ a, c] ⊂ 

[ c, x 2 ] ⊂ U i

c

y como

 U i j  ∪ U ic  j =1 

, entonces:

n

[ a, x 2 ] = [ a, c ] ∪ [ c, x 2 ] ⊂ 

.

x2 Nótese que el número

mencionar, como

Así que, suponer

 c ± β ic c ± b  x 2 = min  ,  2   2 c<b

párrafo anterior lo podríamos definir, por

.

[ a, x 2 ] no lleva a ver que

c < x2 < b

C miembros de

mencionado en el

está cubierto por una colección finita de

x2 ∈ S

, y como

entonces

x2 ∈ S , luego tendríamos que

x2 > c y

lo

c = SupS cual no es posible porque

.

Tenemos entonces que la hipótesis de como

c∈S

, entonces

b∈S

c<b

nos lleva a una contradicción por tanto

b y concluimos que

C cubre con un número finito de miembros de

.‫ם‬

S es el supremo de

y por lo tanto que

c=b

[ a, b]

,y se


Teorema 4.6.1 de Acotación:

[ a, b]

f Si

es una función real de variable real continua en el intervalo

número real

f ( x) < k

k >0

con la propiedad de que

para cualquier

, entonces existe un

x ∈ [ a, b ]

.

Demostración:

y ∈ [ a, b ] Sea

:

[ a, b]

f Ya que

es una función continua en

y , en particular es continua en

y de aquí que existe

δy > 0 el número

con la propiedad de que:

x ∈ [ a, b] ∩ Vδ y ( y )

f ( x) − f ( y) < 1 = ε siempre que

.

f ( x) − f ( y) ≤ f ( x) − f ( y) Por la desigualdad del triangulo invertido se sigue que

x, y ∈ [ a, b ] ∩ Vδ y ( y )

f ( x) − f ( y) < 1 particular se cumple que

, luego en

con

I

, y de aquí que

x ∈ [ a, b] ∩ Vδ y ( y )

f ( x) < 1 + f ( y) para cualquier

.

Vδ y ( y )

y ∈ [ a, b ] De lo anterior, hemos visto que para cada

existe un intervalo abierto

para el

cual se cumple I,

{ y1 , y 2 ,, y n } Luego por el teorema de Heine-Borel se sigue existe una colección finita n

miembros de

[ a, b]

[ a, b ] ⊂  con la propiedad de que

II

i =1

δ yi ( y i )

de

f ( x ) < 1 + f ( yi ) y tal que

x ∈ [ a, b] ∩ Vδ y ( y i ) i

.

27


k = max {1 + f ( y1 ) ,1 + f ( y 2 ) , ,1 + f ( y n )} Sea

:

Por II existe

i0

(y ) i0

, y de aquí que por I tenemos que

para el cual

( )

( )

f ( x ) < 1 + f y i0 x ∈ [ a, b ]

x ∈ [ a, b] ∩ Vδ y

i0 = {1,2, , n}

f ( x) < k

1 + f y i0 ≤ k , como

, concluimos entonces que

para cualquier

.‫ם‬

4.7 Teorema de Valores Extremos: f Si

es una función real de variable real continua en el intervalo

{ f ( x ) x ∈ [ a, b]}

, entonces el conjunto

x1 , x 2 ∈ [ a, b] tiene ínfimo y supremo; aún más existen

f ( x1 ) = Inf { f ( x ) x ∈ [ a, b]}

para cualquier

[ a, b]

x ∈ [ a, b ]

con la propiedad de que

f ( x 21 ) = Sup{ f ( x ) x ∈ [ a, b]}

y

f ( x1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x 2 ) .

Así que

.

Haremos la demostración del teorema para el caso del ínfimo dejando como ejercicio el caso del supremo.

f

[ a, b]

Demostración: Ya que

es una función continua en

conjunto

es acotado tanto superiormente como inferiormente pues existe

{ f ( x ) x ∈ [ a, b]}

{ f ( x ) x ∈ [ a, b]}

conjunto

para cualquier

, luego en virtud del axioma del supremo el

tiene ínfimo y supremo.

m Denotemos con

k >0

x ∈ [ a, b ]

− k < f ( x) < k tal que

, por el teorema de acotación el

al ínfimo y con

Demostraremos que existe

M

x1 ∈ [ a, b ]

{ f ( x ) x ∈ [ a, b]} al supremo del conjunto

.

f ( x1 ) = m = Inf { f ( x ) x ∈ [ a, b]} tal que

:


x ∈ [ a, b ]

f ( x) ≠ m Supongamos que

para cualquier

{ f ( x ) x ∈ [ a, b]}

para cualquier

1 f ( x) − m

para cualquier

x ∈ [ a, b ]

g : [ a, b ] → R

. Sea

o sea que

f . Ya que

es una función continua en

x ∈ [ a, b ]

para cualquier

{ g ( x ) x ∈ [ a, b]}

x ∈ [ a, b ]

m+

y como

c>0

para cualquier

m+ , entonces

x ∈ [ a, b ]

1 >m c

{ f ( x ) x ∈ [ a, b]}

m sea la máxima cota inferior del conjunto

, luego

contracción,

por

tanto

f ( x1 ) = m = Inf { f ( x ) x ∈ [ a, b]}

es

1 c

es una

lo cual contradice el hecho

.

Con lo anterior hemos visto que la hipótesis de que una

para cualquier

m+

f ( x) ≠ m

a

,

1 ≤c f ( x) − m

, o sea que

1 ≤ f ( x) c

{ f ( x ) x ∈ [ a, b]} de que

una cota superior de

para cualquier

cota inferior de

y

{ g ( x ) x ∈ [ a, b]}

x ∈ [ a, b ]

g ( x) ≤ c

y de aquí tenemos que

[ a, b]

es continua en

c

y

y como

, luego por el teorema de acotación, el conjunto

es acotado superiormente. Sea

c>0

[ a, b]

g nunca se anula, tenemos que

g( x) > 0

y de aquí que

la función definida por

f ( x) − m

f ( x) − m > 0

ínfimo del conjunto

x ∈ [ a, b ]

para cualquier

x ∈ [ a, b ]

f ( x) − m > 0

entonces

es el

m < f ( x) , se tiene pues que

g ( x) =

m , como

verdad

para cualquier que

existe

x ∈ [ a, b ]

x1 ∈ [ a, b ]

conduce tal

que

.‫ם‬

29


f Teorema 4.6.1: de la Continuidad Uniforme: Si

[ a, b]

el intervalo

es una función real de variable real continua en

[ a, b]

f , entonces

es uniformemente continua en el intervalo

f Esto es:

δ >0

tiene la propiedad de que para cualquier número real

f ( x) − f ( y) < ε tal que

siempre que

Demostración: Sea

ε >0

ε >0

, existe un número real

x− y <δ y

.

dado arbitrariamente:

[ a, b]

f Ya que

x, y ∈ [ a, b ]

.

es una función continua en

, para el número

ε 2

y ∈ [ a, b ]

y para cada

existe

δy > 0 con la propiedad de que:

f ( x) − f ( y) <

I

ε 2

x ∈ [ a, b] ∩ Vδ y ( y ) siempre que

.

δy Así que en particular para tal número

f ( x) − f ( y) <

II

ε 2

se cumple que :

x ∈ [ a, b ] ∩ V δ y ( y ) 2

siempre que

.

Vδ y ( y )

y ∈ [ a, b ] Con lo anterior, tenemos que para cada cumple

2

existe un intervalo

II, luego por el teorema de Heine-Borel, existe una colección finita

para el cual se

{ y1 , y 2 ,, y n } de

[ a, b]

miembros de n

[ a, b ] ⊂  III

i =1

con la propiedad de que:

V δ yi ( y i )

f ( x ) − f ( yi ) <

2

y tal que

ε 2

x ∈ [ a, b ] ∩ V δ y i ( y i ) 2

siempre que

.


Sea

δy  δ y δ y δ = min  1 , 2 , , n  2   2 2

Debido a

III

y a que

y sean

x ∈ [ a, b ]

( )

x ∈ [ a , b ] ∩ V δ y i y i0 0

x, y ∈ [ a , b ] tales que

:

i0 = {1,2, , n} , existe un elemento

x − y i0 ≤

2

x− y <δ

, o sea que

para

el cual

δ yi0 2

.

( )

f ( x ) − f y i0 < Con lo anterior tenemos que por I se sigue que

IV

ε 2

.

Por otra parte, como

y − y i0 = y − x + x − y i0 ≤ y − x + x − y i0 < δ +

δ yi

0

2

δ yi

0

2

Luego para cualquier

δ yi

0

2

= δ yi

0

( )

( )

y ∈ [ a, b] ∩ V yi0 y i0

+

.

f y i0 − f ( y ) < se tiene por I que V

ε 2

.

Finalmente por IV y V se sigue que:

( ) ( ) ε ε f ( x) − f ( y ) + f ( y ) − f ( y ) < + = ε 2 2

f ( x ) − f ( y ) = f ( x ) − f y i0 + f y i0 − f ( y ) ≤ ≤

i0

i0

f ( x) − f ( y) < ε Se ha visto pues que:

siempre que

x, y ∈ [ a , b ]

x− y <δ y

.‫ם‬

Continuidad de la Función Inversa:

31


f Lema 4.6.2: Si

f

−1

f es una función es una función creciente entonces la función inversa de

,

: Rf → Df también es creciente.

Demostración:

Rf

f Sea

es una función es una función creciente entonces y sean elementos cualesquiera de −1

f Supongamos que y que

( y1 ) ≥

f

−1

( y2 )

:

( ( y )) ≥ f ( f ( y )) = y

y1 = f f Entonces tenemos que y

−1

.

−1

1

2

2

, es decir tenemos

y1 ≥ y 2 y

lo cual no es posible porque contradice el axioma de tricotomia de los números reales,

y1 ≥ y 2 así que no puede cumplirse simultáneamente que y

cuando

f

f función creciente, por lo tanto creciente. ‫ם‬

f

es creciente y implica que

−1

( y1 ) <

es una función es una

f

−1

( y2 )

f , luego

−1

es

f Se deja como ejercicio demostrar que Si

f f función inversa de

−1

es una función es una función decreciente entonces la

: Rf → Df

,

también es decreciente.

Teorema 4.6.3 De la Continuidad de la Función Inversa: Sea una función monótona y continua en

f (I) continua en el intervalo

.

I

I⊂R

f :I →R un intervalo y sea

f , entonces la función inversa de

es monótona y


f Nota: Haremos la demostración para el caso en el que

es creciente dejando como ejercicio en

f el caso que

es decreciente. Es decir, probaremos que:

f Si

I

es una función real de variable real continua y creciente en un intervalo

f (I)

f función inversa de

es una función continua y creciente en el intervalo

f Demostración: Supongamos que

f

−1

existe

: f (I) → I

f

−1

tiene que

−1

−1

y que

es creciente. Sea

I

0 < ε1 < ε tal que

y tal que

. Sea

[f

, entonces

f ( x0 − ε 1 )

−1

y

un punto interior de

, denotemos con

f continua y creciente en

I

se tiene que

f ( x0 − ε 1 ) < y0 < f ( x0 + ε 1 )

f (I) están en

, entonces se

dado arbitrariamente y tomemos un

( y 0 ) − ε 1 , f −1 ( y0 ) + ε 1 ] ⊂ I

. Por ser

f ( x0 + ε 1 )

, entonces por el lema IV.4.13

f (I)

ε >0

[ x0 − ε 1 , x0 + ε 1 ] ⊂ I

( y0 )

I

.

y0

es un punto interior de

número

x0 = f

f

es creciente en el intervalo

( y0 )

ε1

, entonces la

y además

.

δ = min { y 0 − f ( x0 − ε 1 ) , f ( x0 + ε 1 ) − y 0 } Sea

, entonces:

δ ≤ y 0 − f ( x0 − ε 1 )

δ ≤ f ( x0 + ε 1 ) − y 0 y

f ( x0 − ε 1 ) ≤ y0 − δ

, de donde se sigue que:

y 0 + δ ≤ f ( x0 + ε 1 ) y

y de aquí que:

f ( x0 − ε 1 ) ≤ y 0 − δ < y 0 + δ ≤ f ( x0 + ε 1 ) .

y ∈ ( y0 − δ , y0 + δ ) Sea

: Entonces tenemos que:

f ( x0 − ε 1 ) ≤ y0 − δ < y < y 0 + δ ≤ f ( x0 + ε 1 )

y∈ f (I) y además

.

33


x0 = f

−1

( y0 )

Como

se sigue que:

( y 0 ) − ε 1 = x0 − ε 1 = = f −1 ( f ( x 0 − ε 1 ) ) ≤ f −1 ( f ( y 0 − δ ) ) < = x 0 + ε 1 = f −1 ( y 0 ) + ε 1 f

−1

f

−1

( y0 ) − ε1 <

f

−1

( y) <

f

−1

f

−1

( y) <

f

−1

( y0 + δ ) ≤

f

−1

( f ( x0 + ε 1 ) ) =

( y0 ) + ε 1

Luego

.

De lo anterior tenemos que

y ∈ ( y0 − δ , y0 + δ ) Para cualquier

f implica que

−1

( y ) ∈ ( f −1 ( y 0 ) − ε 1 , f −1 ( y 0 ) + ε 1 )

, así que

f (I)

f la función inversa de

es una función continua y creciente en el intervalo

.‫ם‬

4.7 Ejercicios resumen referentes al capítulo IV

f ( a) < 0 9.1. Considerando el caso

f Sea

, demostrar la siguiente proposición:

f ( a) ≠ 0

a una función continua en

(a −δ,a + δ )

y supongamos que

f ( a)

f donde

. Existe entonces un intervalo

tiene el mismo signo que

.

9.2. Determine si la función dada es continua o discontinua en los intervalos indicados:

f ( x) =

1 paea los intervalos ( 0,4] y [1,9] x .

g ( x ) = x 2 − 9 paea los intervalos ( - ∞,-3) , ( - ∞,-3], ( 3,+∞ ) , [ 3,+∞ ) y ( - 3,3) .

[ a, b]

f 9.3. A continuación se indica una función

y un intervalo

. Determine si el teorema del

k valor intermedio es válido para el valor de

c indicado. Si el teorema se cumple, halle un número

f ( c) = k tal que

, si el teorema no es válido indique la razón:


9.3.1)

f ( x ) = x 2 - 2x para [1,5] y k = 8 f ( x) =

9.3.3)

. 9.3.2)

4 1 para [ − 3,1] y k = x+2 2

f ( x ) = x 3 − 2 x + 1 para [ − 2,2] y k = 1

.

.

n 9.4. Demostrar la siguiente proposición: Si

a un número natural impar y si

b real negativo, entonces existe un único número real negativo

tal que

es cualquier número

bn = a

.

f 9.5. Demostrar la siguiente proposición para el caso del supremo: Si variable real continua en el intervalo supremo; aún más existen

[ a, b]

x1 , x 2 ∈ [ a, b]

f ( x 21 ) = Sup{ f ( x ) x ∈ [ a, b]}

es una función real de

{ f ( x ) x ∈ [ a, b]}

, entonces el conjunto

tiene ínfimo y

f ( x1 ) = Inf { f ( x ) x ∈ [ a, b]}

con la propiedad de qué

y

.

x ∈ [ a, b ]

f ( x1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x 2 ) Así que

para cualquier

.

f 9.6. Si

f

−1

f es una función es una función decreciente entonces la función inversa de

,

: Rf → Df también es decreciente.

f 9.7. Si

es una función real de variable real continua y decreciente en un intervalo

, entonces la

f (I)

f función inversa de

I

es una función continua y decreciente en el intervalo

Bibliografia por temas 35


No de Unidad

Nombre de la Unidad

I

Temas de la Unidad

Subtemas de la Unidad

Fuentes del Tema/ Subtema

Función Continua

Definición de Función Continua en un número Propiedades de una función continua Ejercicios para el Lector

Discontinuidad Eliminable

Discontinuidad Eliminable

2. Calculus. Volumen 1. Michael Spivak. 1981. Editorial REVERTÉ, S.A. 2. Calculus. Volumen 1. Michael Spivak. 1981. Editorial REVERTÉ, S.A. 4. El Cálculo con Geometría Analítica. L. Leithold. Cuarta Edición 1982. Editorial Harla. 6. Cálculo. Volumen 1. Larson. Hostetler. Edwards. Quinta Edición 1995. McGraw-Hill. 4. El Cálculo con Geometría Analítica.L. Leithold. Cuarta Edición 1982. Editorial Harla. 4. El Cálculo con Geometría Analítica. L. Leithold. Cuarta Edición 1982. Editorial Harla. 4. El Cálculo con Geometría Analítica. L. Leithold. Cuarta Edición 1982. Editorial Harla. 6.Cálculo. Volumen 1. Larson. Hostetler. Edwards. Quinta Edición 1995. McGraw-Hill.

CONTINUIDAD

II

Discontinuidad

Discontinuidad Esencial Discontinuidad Esencial Ejercicios para el Lector

Cotas Superiores e Ínfimos III Axioma del Supremo

Cota Superior Cota Inferior

Supremo e Ínfimo

Mínima cota Superior Máximo cota Inferior

Axioma del Supremo

Axioma del Supremo Continuidad en un Intervalo Ejercicios para el Lector

IV

Teoremas Fuertes de Continuidad

Teorema Conservación del signo de funciones continuas Teorema de Bolzano

Conservación del signo de funciones continuas Teorema de Bolzano

Teorema del Valor Intermedio para funciones continuas

Teorema del Valor Intermedio para funciones continuas

Teorema de Valores Extremos

Teorema de Valores Extremos

Teorema de Heine - Borel

Teorema de Heine - Borel

Teorema de Acotación

Teorema de Acotación

Teorema de Valores Extremos Teorema de la continuidad Uniforme Teorema de la Continuidad de la función Inversa

Teorema de Valores Extremos Teorema de la Continuidad Uniforme Ejercicios para el Lector

3. Elements of General Topology. Sze-Tsen Hu. Second Printing 1965. Holden-Day , Inc. 3. Elements of General Topology. Sze-Tsen Hu. Second Printing 1965. Holden-Day , Inc. 3. Elements of General Topology. Sze-Tsen Hu. Second Printing 1965. Holden-Day , Inc. 3. Elements of General Topology. Sze-Tsen Hu. Second Printing 1965. Holden-Day , Inc. 3. Elements of General Topology. Sze-Tsen Hu. Second Printing 1965. Holden-Day , Inc. 1. Calculus. Volumen 1. Tom M. Apostol . Segunda Edición 1982. Editorial REVERTÉ, S.A. 7. Theory and Problems of General Topology. S. Lipschutz. 1965. Shaum Publishing Company. 1. Calculus. Volumen 1. Tom M. Apostol . Segunda Edición 1982. Editorial REVERTÉ, S.A. 1. Calculus. Volumen 1. Tom M. Apostol . Segunda Edición 1982. Editorial REVERTÉ, S.A. 1. Calculus. Volumen 1. Tom M. Apostol . Segunda Edición 1982. Editorial REVERTÉ, S.A. 4. El Cálculo con Geometría Analítica. L. Leithold. Cuarta Edición 1982. Editorial Harla. 1. Calculus. Volumen 1. Tom M. Apostol . Segunda Edición 1982. Editorial REVERTÉ, S.A. 5. Elementary Analysis: The Theory of Calculus. K. A. Ross. 1980 Springer-Verlag. 5. Elementary Analysis: The Theory of Calculus. K. A. Ross. 1980 Springer-Verlag. 5. Elementary Analysis: The Theory of Calculus. K. A. Ross. 1980 Springer-Verlag. 5. Elementary Analysis: The Theory of Calculus. K. A. Ross. 1980 Springer-Verlag. 1. Calculus. Volumen 1. Tom M. Apostol . Segunda Edición 1982. Editorial REVERTÉ, S.A. 2. Calculus. Volumen 1. Michael Spivak. 1981. Editorial REVERTÉ, S.A. 4. El Cálculo con Geometría Analítica. L. Leithold. Cuarta Edición 1982. Editorial Harla.

Teoremas fuertes de continuidad parte2  

Segunda parte de las notas que hacen referencia a los teoremas centrales de continuidad para funciones reales en una variable real

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