y1 < y 2 y1 < y 2 y1 < y 2 y1 < y 2 y1 < y 2 y1 y y 2 b ≥ x
TEOREMAS FUERTES DE CONTINUIDAD PARA FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE REAL (Parte II) Autor: Matemático Juan Manuel Pérez Rosales
Capitulo 3. Axioma del Supremo Introducción: Por el axioma del supremo podemos demostrar la existencia de números irracionales tales como
x donde x ∈ R y n impar
n
2 , así como la existencia de
n
x donde x ≥ 0 ∈ R y n par
y
.
3.1 Cotas Superiores e Ínfimos: Definición:
A ⊂ R yb∈R Sea .
b , se dice que
Nótese que:
b≥x↔b>x
o
b que
es una cota superior de
es cota superior del conjunto
b=x A
A
A = ( a, b ) , luego si
si
b≥x
para cualquier
x∈ A
b entonces
o cualquier número mayor
.
Definición:
1
Sea
A⊂ R
cualquier
. Se dice que
x∈ A
Nótese que:
b
A
está acotado inferiormente si existe un número real
b≤ x↔b<x
o
a que
b≤x
siempre se cumple que
b=x
A
es una cota inferior de
tal que para
.
A = ( a, b )
a
, luego si
entonces
o cualquier número menor
.
Observaciones: - Si un conjunto tiene una cota superior, entonces tiene una infinidad de cotas superiores. - Si un conjunto tiene una cota inferior, entonces tiene una infinidad de cotas inferiores. - La cota, superior o inferior de un conjunto, puede o no puede estar en el conjunto.
E = ( − 2,+∞ ) Ejercicio 3.1.1: Verificar que
no está acotado superiormente.
Solución: Sea
b∈ R
y sea
x∈E
:
b Si
es cota superior de
b +1 > b
. Así que
E
b +1 > b
entonces y
b > −2
b≥x
y claramente
b + 1 = x ∈ E = ( − 2,+∞ ) de aquí que
b +1 > b
y
.Como
b∈ R
entonces
.
Por otra parte, sea De lo anterior tenemos que
b > −2
b > b +1
con
b > b +1
b∈R
porque
b≥x
.
, lo cual contradice la tricotómia de
E = ( − 2,+∞ ) los números reales y por lo tanto
Ejercicio 3.1.2: Sea del propio conjunto Solución:
1 B = 3 + n n ∈ N 2 B
no está acotado superiormente. ם
. Determine si
B
está acotado superiormente y a partir
dado determine una cota superior de dicho conjunto.
Ya que para cualquier
n∈N
1 1 1 1 ≤ ↔ 3+ n ≤ 3+ n 2 2 2 2
superiormente y
7 ∈B 2
siempre se cumple que
3+ , esto es
1 7 ≤ 2n 2
es una cota superior de
B
cota superior. De manera similar, si
A⊂ R
Diremos que
A⊂ R
, y de aquí que:
para cualquier
n∈N
. Luego
B
está acotado
.ם
Nota: Por una cuestión de terminología, se dice que
abajo. Si
2n ≥ 2
A⊂ R
está acotado por arriba si tiene una
tiene una cota inferior, se dice que está acotado por
tiene tanto cota superior como inferior, se dice que está acotado.
A⊂ R
es no acotado si carece de una cota superior o de una cota inferior.
A = { x ∈ R x ≤ 6} De lo anterior el conjunto es no acotado pues no está acotado por abajo y aun con el hecho de que está acotado por arriba.
3.2 Supremo e Ínfimo: Definición:
A⊂ R yc∈R
c
Sea , se dice que es el supremo de se satisface las dos condiciones siguientes:
c i).
es cota superior de
A
b ii). Si
es cota superior de
A
c , o que
es la mínima cota superior de
A
,
.
A
, entonces
Nota: El supremo de un conjunto
A
c≤b
b para cualquier
.
SupA , cuando existe, lo denotamos
.
Definición:
3
A ⊂ R yc∈R
c
Sea , se dice que es el ínfimo de se satisface las dos condiciones siguientes:
c i).
es cota inferior de
A
c , o que
es la máxima cota inferior de
A
,
.
b ii). Si
A
A
es cota inferior de
, entonces
Nota: El ínfimo de un conjunto
A
c≥b
b para cualquier
.
InfA , cuando existe, lo denotamos
.
Proposición 3.2.1: i). Si un conjunto ii). Si un conjunto
A⊂R A⊂R
tiene supremo, es único. tiene ínfimo, es único.
Nota: Haremos la demostración del inciso i) dejando como ejercicio el inciso ii). Demostración de i):
c1 y c 2 Supongamos que
son supremos de
c1 Ya que
es supremo de
b superior
de
A
A
A
:
c1 , entonces
es una cota superior de
c2 , y ya que
es cota superior de
A
A
c1 ≤ b y
para toda cota
c2 porque
es supremo de
A
en particular se
c1 ≤ c 2 tiene que
.
c 2 ≤ c1 Análogamente
.
c1 ≤ c 2
c 2 ≤ c1
De lo anterior tenemos que y , entonces por tricotómia visto que el supremo de un conjunto, cuando existe, es único. ם
c1 = c 2 . Luego hemos
En el sistema de los números reales todos los conjuntos superiormente acotados tienen supremo, esto es lo que nos dice precisamente el axioma del supremo.
3.3 Axioma del Supremo:. Si
A
es un subconjunto de
R
, si
A
un número real que es el supremo de
A
es no vacío y si
A
es acotado superiormente entonces existe
.
N Teorema 3.3.1: El conjunto de los números naturales,
, no es acotado superiormente.
Demostración:
N Supongamos que
es acotado superiormente:
N ⊂ R y que N ≠ φ Ya que
N y que además por nuestra hipótesis de que
es acotado
N superiormente, entonces por el axioma del supremo
SupN = c Sea
, entonces
c −1
N no es cota superior de
c − 1 < n0
n0 tal que
tiene supremo. y por lo tanto existe un número natural
c < n0 + 1 , entonces se tiene que
( n0 + 1) ∈ N
n0 ∈ N , pero
y también
,
n0 + 1 < SupN = c luego
.
n0 + 1
c Así que los números
y
c < n0 + 1 tienen la propiedad de que
contradice la tricotómia del orden en
R
n0 + 1 < c y
lo cual
.
N
N
Por lo tanto, la hipótesis de que es acotado superiormente es falsa y su negación, acotado superiormente, es verdadera. ם
no es
3.4 Teorema 3 Propiedad Arquímidiana de los Números Reales: xyy Sean
números reales cualesquiera, si
nx > y
x>0
n , entonces existe un número natural
tal que
. Demostración:
5
x≠0
Ya que
x −1 ∈ R
entonces existe −1
yx ∈ R de números reales
, luego por la propiedad de cerradura de la multiplicación
yx −1
N y como
no es acotado superiormente, entonces
N superior de
yx
n , luego existe un número natural
nx > y
−1
<n
tal que
no es cota
y < nx y de aquí que
esto es
.ם Una consecuencia inmediata del teorema anterior es que para cada número real
n∈N
tal que
1 <ε n
Ejercicio 3.4.1: Sea
ε >0
existe
.
1 A = 5 + n n ∈ N 4
InfA = 5 verificar que
.
Solución: Tenemos que verificar que el número 5 satisface las siguientes propiedades: i). 5 es cota inferior de
A
.
b ii). Para cualquier número
b , si
es cota inferior de
Verificación del inciso i): Ya que para cualquier
5+ tenemos que
1 >5 4n
Verificación del inciso ii): Sea
entonces
números reales existe
tal que
A
.
5≥b
.
siempre se cumple que
1 >0 4n
, entonces
.
c −5 > 0
1 < c−5 n0
n0 ∈ N
, entonces
n∈ N
, luego 5 es cota inferior de
c>5
A
y por la propiedad arquímidiana de los
n0 < 4 Ahora bien,
de aquí que
1 ∈A 4 n0
5+ como
1 1 < n0 n0 4
n0
c tenemos que
A
debe ser
b≤5
A
no es cota inferior de
c>5
Hemos visto que ningún número inferior de
, luego
1 < c−5 4 n0
y de aquí que
1 <c 4 n0
y
.
puede ser cota inferior de
5≥b
o sea
5+
A
b , por lo tanto si
es cota
.
De lo anterior tenemos que: i). 5 es cota inferior de
A
.
b ii). Para cualquier número
b , si
es cota inferior de
A
, entonces
5≥b
.
InfA = 5 Por tanto
.ם
Lema 3.4.2: para cada número real
p<x<q
pyq
x existen dos números enteros
tales que
.
Demostración: Sea
x∈R
N , ya que el conjunto de los números naturales,
x < n1 y − x < n 2
n1 y n2 entonces existen
números naturales tales que
p = − n2 y q = n1 Sean
, no es acotado superiormente,
p, q ∈ Z , claramente
− n2 < x < n1 , luego
.
p<x<q y además
.ם
Nota: El principio del buen orden establece que: Si
A⊂ N
y
A
n0 ∈ A
A
no es vacío, entonces
tiene un elemento mínimo. Es decir, existe un elemento
∀n : n ∈ A → n0 ≤ n tal que
.
x Lema 3.4.3: Para cada número real
n , existe un entero
único tal que
n −1 ≤ x < n
.
7
Demostración:
p, q ∈ Z
x Por el lema IV.3.7 sabemos para cada número real
A = { k ∈ N p + k > x} Sea
que existen
tales que
.
A≠φ , vamos a verificar que
p<x<q Ya que
p<x<q
p + ( q − p) > x
q − p∈N
p<q , entonces
:
y
q− p∈ A
y además
, luego
A≠φ por tanto
.
Ahora bien, por el principio del buen orden
k0 ∈ A
k0 ≤ k tal que
Sea
n∈Z
para cualquier
k∈A
n = p + k0 dado por
tienen un elemento mínimo, es decir, existe
.
k0 ∈ A , ya que
x < p + k0 se tiene que
k0 > 1 Consideremos que
A
y supongamos que
n −1 > x
k0 cual contradice que
sea el mínimo elemento de
A
n −1 ≤ x < n
nos lleva
x<n
.
p + ( k 0 − 1) > x entonces debe ser
lo
.
k0 > 1 Así pues, considerar
, luego
a que debe ser
n −1 ≤ x
.ם
Teorema 3.4.4: El conjunto de los números racionales es denso en
R
.
y como
x<n
, entonces
x< y
xyy Esto significa que para dado los números reales racional
r
tales que
x<r< y
tal que
existe almenos un número
.
Demostración:
x, y ∈ R Sean
x< y tales que
números reales existe
y−x>0 , entonces
m∈ N
1 < y − x ↔ 1 < my − mx m
y por la propiedad arquímidianna de los
tal que:
y de aquí que I
1 + mx < my .
mx Por otra parte, por el lema IV.3.8 para el número real
existe
n∈Z
con la propiedad de que II
n −1 ≤ mx < n
n Nótese que luego para tal número
:
n − 1 ≤ mx < n → n − 1 ≤ mx y mx < n ↔ n ≤ mx + 1 y mx < n . Así que
mx < n ≤ mx + 1
Ya que por I
r= Sea
n m
.
1 + mx < my
, claramente
3.5 Existencia de
mx < n < my se tiene entonces que
r
x< y de aquí que
n <y m
.
x<r< y es un número racional, luego escribimos
.ם
2
Recordemos la definición de la raíz
n − esima
de un número:
9
Sea
n∈N
b≥0
y sea
b =a
a∈R
tal que
a≥0
n
y
b , se dice que un número real n
b , si tal es el caso a
es la raíz
n − esima
a
se le denota con el símbolo
a
o bien con
a de
si
1 n
.
La importancia del axioma del supremo radica en que garantiza la existencia de números reales bajo ciertas hipótesis, a continuación se ilustrará este uso demostrando la existencia de un
x2 = 2
x número real positivo
tal que
2 , es decir se probará la existencia de
x Proposición: 3.5.1: Existe un número real
tal que
{
x2 = 2
.
}
A = c ∈ R 0 ≤ c, c 2 < 2 Demostración: Sea el conjunto otra parte
A
está acotado superiormente por 2.Además si
A
x = SupA Con lo anterior, sea Supongamos primero que
Como
, entonces
nótese que
x2 > 2
x >1
, por
2
vemos que
R
1∈ A
por lo que
.
:
:
x2 − 2 > 0
de los números reales existe
tiene supremo en
porque
y >4
y>2
, pero por el axioma del supremo
x2 > 2
A≠φ , claramente
y∉A
.
m∈ N
y además
tal que
x2 − 2 >0 2x
1 x2 − 2 < m 2x
.
, luego por la propiedad arquímediana
2
Ya que
1 2x 1 2x 2 + 2 > x2 − x − = x − m m m m
2x < x2 − 2 m
m∈ N
de tal manera que
. 2
Por otra parte
Ahora bien, si
c∈ A
Con lo anterior
, entonces
1 m
Supongamos ahora que
x2 > 2 x2 < 2
, entonces
2
)
, así que
1 c2 < 2 < x − m
es un cota superior de
Luego no puede ser que
x2 < 2
(
1 2 2 x − > x − x −2 = 2 m
x−
Como
, podemos tomar a tal
A
1 x− > 2 m
.
2
c< x− de aquí que
1 m
.
x = SupA lo que contradice que
.
. :
2 − x2 > 0
y ya que
x >1
propiedad arquímediana de los números reales existe
, entonces
n∈ N
tal que
2 − x2 >0 2x + 1 1 2 − x2 < n 2x + 1
, luego por la
.
2
1 2x 1 1 1 1 2 + 2 = x 2 + 2 x + ≤ x 2 + ( 2 x + 1) x+ = x + n n n n n ya1 que1 n ≤ n2 n
Por
otra
parte,
podemos tomar a tal
como
n∈ N
de tal manera que
,
2x + 1 < 2 − x2 n
.
11
2
Por otra parte
1 2 2 x + < x + (2 − x ) = 2 n
2
, así que
1 x+ < 2 n
.
2
Ahora bien, si
c∈ A
, entonces
1 c2 < x + < 2 n
c< x+ , de aquí que
x lo cual contradice que
sea la mínima cota superior de
De lo anterior, hemos visto que
x2 = 2
x2 > 2
y
x2 < 2
A
1 n
, luego
1 x + ∈ A n
,
.
no son posibles, de aquí que se debe tener que
.ם
{
}
A = c ∈ R 0 ≤ c, c 2 < 2 Con la proposición anterior hemos visto que el conjunto supremo en el sistema de los números racionales y que
2 número
que es el supremo de
A
x2 = 2
no tiene nos lleva a la existencia del
.
3.6 Ejercicios resumen referentes al capítulo 3 8.1. Determine una cota superior y una cota inferior para el conjunto dado:
A = ( − 2,6)
B = [ − 3,5)
C = [ 3,7] .
8.2. Sea conjunto
1 A = n∈ N n A
. Determine si
A
está acotado inferiormente y a partir del propio
dado determine una cota inferior de dicho conjunto.
8.3. Demostrar la siguientes proposiciones:
A⊂R
8.3.1. Si un conjunto
8.3.2. Para cada número real 8.3.3. Si
A
tiene ínfimo, es único.
ε >0
es un subconjunto de
n∈N
existe
R
, si
A
existe un número real que es el ínfimo de
es no vacío y si
A
A
.
es acotado inferiormente entonces
.
x< y
xyy 3.3. Si
tal que
1 <ε n
los son números reales tales que
x<z< y
que
, entonces existe un número irracional
z
tal
.
8.4. Sea
1 A = 12 − n ∈ N n
SupA = 12 verificar que
.
Capítulo 4 Teoremas Fuertes de Continuidad Introducción. Vamos a estudiar y a demostrar de manera intuitiva algunos de los teoremas centrales del cálculo: El teorema de Bolzano y el teorema del Valor Intermedio, estos teoremas se estudian con mayor rigor en el curso de cálculo integral.
4.1 Teorema Conservación del Signo de Funciones Continuas: f Sea
f ( a) ≠ 0
a una función continua en
(a −δ,a + δ )
y supongamos que
f ( a)
f donde
. Existe entonces un intervalo
tiene el mismo signo que
.
Demostración:
f ( a) > 0 Consideremos que
:
13
f Ya que
a es continua en
, entonces por definición de función continua:
a ∈ Df y para cualquier número
ε >0
existe un número
δ >0
con la propiedad de que:
x − a < δ → f ( x) − f ( a) < ε
∀x : x ∈ D f y
.
− δ < x − a < δ → −ε < f ( x ) − f ( a ) < ε Así que
, esto es:
a − δ < x < a + δ → f ( a) − ε < f ( x) < f ( a) + ε , de donde:
x ∈ ( a − δ , a + δ ) → f ( a) − ε < f ( x) < f ( a) + ε .
ε=
f ( a) > 0 Ya que estamos considerando
x ∈ ( a − δ , a + δ ) → f ( a) −
x ∈(a −δ ,a + δ ) →
, tomemos
1 1 f ( a) < f ( x) < f ( a) + f ( a) 2 2
1 3 f ( a) < f ( x) < f ( a) 2 2
f ( x) > 0 De lo anterior mismo signo. ם
1 f ( a) 2
, entonces:
, esto es:
.
(a −δ,a + δ ) en el intervalo
f ( x) y por lo tanto
f ( a) y
tienen el
(a −δ,a +δ )
a Observación: Si existe continuidad a un lado de
, entonces además del intervalo
[ a, a + δ )
existe el correspondiente intervalo mismo signo.
( a − δ , a]
o
f ( x) en el cual
f ( a) y
tienen el
Nota se deja como ejercicio hacer la demostración del teorema anterior para el caso en el que se
f ( a) < 0 considera
.
4.2 Teorema de Bolzano: f Sea
una función continua en cada punto del intervalo cerrado
[ a, b]
f ( b) y
f ( a) y supongamos que
c tienen signos opuestos, existe entonces por lo menos un punto
( a, b )
en el intervalo abierto
f ( c ) = 0. tal que
f ( a) < 0 Demostración: Consideremos
x ∈ [ a, b ]
f ( b) > 0 y
, claramente puede haber muchos valores de
f ( x) = 0 para los cuales
. Nuestro problema es encontrar uno y esto se hará
f ( x) = 0
x determinando el mayor
para el cual
.
A = { x ∈ [ a, b] f ( x ) ≤ 0} Sea
, claramente hay por lo menos un
A≠φ y como los
x∈ A
c Sea
el supremo de
A
están en
[ a, b]
entonces
A
x∈ A
puesto que
luego
está acotado superiormente.
c , esto es
f ( a) < 0
es la mínima cota superior de
A
, tenemos que probar que
f ( c) = 0 :
Si
c∈ A
f ( c) < 0 entonces se tienen tres posibilidades
f ( c) < 0 Consideremos primero que intervalo
Si
c=a
( c − δ , c + δ ) [ c, c + δ ) o
,
: Como
c es el supremo de
, por el teorema IV.3.1 existe un
f ( c)
f donde
.
c es continua
tiene el mismo signo que
, esto se cumpliría para algún
A
f ( c) > 0 y
f
f ( x) < 0 tal que
f ( c) = 0
x>c
.
lo cual no puede ser cierto porque
f ( c) < 0 , luego
no es posible.
15
f ( c) > 0 Consideremos ahora que
(c −δ ,c + δ ) intervalo
Si
c=b
o
tal que
porque
c −δ
es continua
, por el teorema IV.3.1 existe un
f ( c)
f donde
tiene el mismo signo que
x entonces
. Así que
c
: Como
f ( x) > 0 f ( x) > 0
Luego
( c − δ , c]
f
x∈ A
estaría a la derecha de
no puede estar a la derecha
sería un cota superior de
A
c −δ < c
, pero
c −δ
c −δ
.
lo cual no puede ser cierto
.
c y
es la mínima cota superior de
A
,
f ( c) > 0 luego
no es posible.
f ( c) < 0 De lo anterior como como
c≠a
y
c≠b
f ( c) > 0 y
no son posibles solo queda que
f ( a) < 0 con
f ( c) = 0
f ( b) > 0 y
a<c<b
entonces
y además
.ם
Observación:
f El teorema de Bolzano pone de manifiesto que si
f por
x
es una función continua, la curva definida
a b
ha de cortar el eje alguna vez entre y
.
Existen funciones la función para las cuales el teorema de Bolzano no es aplicable.
4.3 Teorema del Valor Intermedio para Funciones Continuas: f Si la función
f ( a ) y f ( b)
k número
es continua en el intervalo
[ a, b]
entre
Demostración:
f ( a) ≠ f ( b) y si
f ( c) = k
a yb
c existe un número
, entonces para cualquier
entre
tal que
.
f ( x1 ) < f ( x 2 ) Supongamos que
y sea
[ x1 , x 2 ]
una función definida en
un número cualquiera entre
de la siguiente manera,
g ( x1 ) = f ( x1 ) − k < 0
es continua en
g ( x2 ) = f ( x2 ) − k > 0 y
g Aplicando el teorema de Bolzano a
g . Como
se tiene que
g tal y sea
g ( x) = f ( x) − k
[ x1 , x 2 ]
cada punto de
f ( x1 ) y f ( x 2 )
k
.
( x1 , x2 )
c se tiene que existe
en
g ( c) = 0 tal que
, luego
f ( c) = k .ם Observaciones, El teorema del valor intermedio:
f ( a ) y f ( b)
y - Establece que cada recta horizontal que cruce el eje
entre
debe cruzar la gráfica
f de la función continua en un punto, es decir que la función continua
k intermedio
en
x=c
alcanza un valor
.
[ a, b] - Es la razón por la cual la gráfica de una función continua en un intervalo rota, es decir, que es conexa.
no puede estar
- Es la verificación de la existencia de las soluciones de las ecuaciones escritas de la forma
f ( x) = 0
f ( x) = 0 , y se dice que una solución de la ecuación
f
f es una raíz o cero de
. Luego si
f es continua, entonces en cualquier intervalo donde
cambia de signo debe haber un cero de
f . Como consecuencia de los teoremas anteriores tenemos que:
f
lim f ( x ) = f ( a )
a es continua a la derecha de
f
si se cumple que
x →a +
lim f ( x ) = f ( a )
b es continua a la izquierda de
.
si se cumple que
x →b −
.
17
f
lim f ( x ) = f ( c )
c es continua en
x →c
si se cumple que
.
Así que: Una función cuyo dominio incluye al intervalo cerrado
[ a, b]
[ a, b]
se dice que es continua en
( a, b ) si y sólo si es continua en el intervalo abierto
a y continua a la derecha de
y a la
b izquierda de
.
[ a, b ) Por otra parte: Una función cuyo dominio incluye al intervalo semiabierto por la derecha
[ a, b )
es continua en
( a, b ) si y sólo si es continua en el intervalo abierto
y continua a la derecha
( a, b]
a de
. Una función cuyo dominio incluye al intervalo semiabierto por la izquierda
( a, b]
continua en
es
( a, b ) si y sólo si es continua en el intervalo abierto
y continua a la izquierda de
b .
f ( x) = Ejercicio 4.3.1: Determine si la función
( 0,1) , ( − 1,1) , [ 0.1], ( − 1,0], ( − ∞,−1] y (1,+∞ )
x x −1 2
es continua o discontinua en los intervalos
.
Solución:
f ( x) = Tenemos
x x −1
{
de donde
.
( 0,1) ⊂ D f
( 0,1) Para el intervalo
}
D f = x ∈ R x 2 − 1 ≠ 0 = ( − ∞,−1) ∪ ( − 1,1) ∪ (1,+∞ )
2
tenemos que: Como
entonces
( − 1,1) ⊂ D f
( − 1,1) Para el intervalo
tenemos que: Como
Para el intervalo
tenemos que: Como
es continua en
entonces
y ya que:
.
( − 1,1)
f
( 0,1) ⊂ D f
[ 0.1]
( 0,1)
f
es continua en
.
lim+ f ( x ) = lim+
x →0
x →0
lim x x 0 0 x →0 + = = 2 = 0 y f ( 0) = 2 =0 2 2 x − 1 lim+ x − 1 0 − 1 0 −1|
(
x →0
)
lim x x 1 1 x →1− lim f ( x ) = lim− 2 = = 2 = 2 x →1− x →1 x − 1 lim− x − 1 1 − 1 0 x →1
(
)
Y como
no esta definido
[ 0.1]
f De lo anterior,
es discontinua en el intervalo
( − 1,0] . Para el intervalo
tenemos que: Como
( − 1,0) ⊂ D f y ya que:
lim− f ( x ) = lim−
x →0
x →0
lim x x 0 0 x →0 − = = 2 = 0 y f ( 0) = 2 =0 2 2 x − 1 lim− x − 1 0 − 1 0 −1| x →0
(
)
( − 1,0)
f Entonces
es continua en
y a la izquierda de 0. De lo anterior,
( − 1,0] intervalo
. Para el intervalo
discontinua en
( − ∞,−1]
( − ∞,−1]
es discontinua en el
( − ∞,1] ⊄ D f tenemos que: Como
f entonces
es
(1,+∞) . Para el intervalo
(1,+∞ ) ⊂ D f Como
f
(1,+∞ )
f entonces
tenemos que:
es discontinua en
.ם
f Ejercicio 4.3.2: A continuación se indica una función
y un intervalo
[ a, b]
. Determine si el
k teorema del valor intermedio es válido para el valor de
f ( c) = k
c un número
indicado. Si el teorema se cumple, halle
tal que
, si el teorema no es válido indique la razón:
9 f ( x ) = 25 − x 2 para − ,3 y k = 3 2
19
{
}
D f = x ∈ R 25 − x ≥ 0 = [ − 5,5] 2
Solución: Ya que
y como
es continua en todo número de
9 − 2 ,3
9 − 2 ,3 ⊂ [ − 5.5] = D f
f luego
. Por otra parte tenemos que:
2
19 9 9 f ( a ) = f − = 25 − − = 2 2 2
f ( b ) = f ( 3) = 25 − ( 3) = 4 2
y
.
[ a, b]
f De lo anterior tenemos que la función
es
continua en el intervalo
dado y que
f ( a ) ≠ f ( b) , luego se cumplen las hipótesis del teorema del valor intermedio.
−
c Ahora vamos a determinar al número
entre
9 = a y3 = b 2
f ( c) = k = 3 talque
:
f ( c) = k = 3 Haciendo
esto es:
25 − c 2 = 3 ↔ 25 − c 2 = 9 ↔ 16 − c 2 = 0 ↔ ( 4 + c )( 4 − c ) = 0 de donde c = −4 y c = 4 .
Rechazamos
c=4
porque
9 4 ∉ − ,3 2
c De lo anterior el número
n Proposición 4.3.3: Sea
a un número natural y sea
b un único número real no negativo Demostración: Si Supongamos que
a=0 a>0
, entonces :
en cuestión es -4. ם
tal que
b=0
bn = a
un número real no negativo, entonces existe .
es el único número real no negativo tal que
bn = a
.
β Sea
a un número real mayor que
f : [ 0, β ] → R
0<a< βn . Sea
f ( x) = x n
la función definida por
f . Claramente
es continua y
, luego por el teorema del valor intermedio existe un número
b ∈ ( 0, β )
f ( b) = a tal que
, esto es, tal que
Ahora bien, la función
f ( x) = x n
.
[ 0, β ] es creciente en
es inyectiva en
bn = a
bn = a
f ( 0) < f ( β ) porque
[ 0, β ]
f
propiedad de que
, así que
f ( 0) < a < f ( β )
por I se tiene que
y por lo tanto
I
y mayor que 1, entonces
0<a<β <βn
0<β siempre que
b ∈ ( 0, β ) , luego el elemento
es el único elemento con la
.ם
n Nota: se deja como ejercicio demostrar que: Si
a un número natural impar y si
b número real negativo, entonces existe un único número real negativo
es cualquier
b =a n
tal que
.
4.4 Funciones Acotadas Superior e inferiormente A ⊂ Df
f Definición: Sea
una función real de variable real y sea
A
superiormente en
f ( A) = { f ( x ) x ∈ A}
si el conjunto
A ⊂ Df
Definición: Sea
una función real de variable real y sea
A
f ( A) = { f ( x ) x ∈ A}
si el conjunto
f . Se dice que
A ⊂ Df una función real de variable real y sea
Ejemplo 4.4.1: Sea
f . Se dice que
f ( A) = { f ( x ) x ∈ A}
si el conjunto
es acotada
es acotado inferiormente.
f Definición: Sea
es acotada
es acotado superiormente.
f
inferiormente en
f . Se dice que
es acotada en
A
es acotado.
sen : R → R
definida por
x senx
.
21
Ya que
−1 ≤ senx ≤ senx
para cualquier
g : ( 0,2) → R Sea
definida por
Ya que
0 < x2 < 4
x∈R
g ( x) = x 2
sen , entonces la función
es acotada en todo
R
.
.
x ∈ ( 0,2) para cualquier
( 0,2)
g , entonces la función
es acotada en
.ם
4.5 Cubierta y Subcubiertas de un conjunto
{ A i ∈ I}
I⊂N
i
Definición: Una familia de conjuntos es una colección de la forma cada
i ∈ I Ai ,
Definición: Sea
donde
y para
es un conjunto.
A
A
un conjunto. Una cubierta de
C = {U i i ∈ I } , es una familia de conjuntos
A ⊂ U i = { x x ∈ U i para algún i ∈ I } i∈I
con la propiedad de que
.
R
Si todos los conjuntos en cuestión son subconjuntos de
C de
y si además cada miembro de la familia
C es un intervalo abierto, entonces diremos que
es una cubierta abierta de
A
.
n
C Si
es una cubierta abierta de
entonces se dice que
C′
A
{
y si
j =1
y
C es una subcubierta de
; si además
C′
n∈N
sea
1 U n = ,1 n
A = ( 0,1)
C es una cubierta abierta de
.
Ui ,
C es una subcubierta finita de
.
C = {U n n ∈ N } y sea
U i ∈C ′
está formado por un número
C′ , entonces se dice que
Ejercicio 4.4.2: Para cada
i).
}
C ′ = U i1 , U i2 , , U in ⊂ C
C finito de miembros de
A ⊂ U ij =
. Verificar que:
1 ,1 n∈N n
( 0,1) = ii).
.
Solución i):
A = ( 0,1) Sea
y sea
1 U n = ,1 n
Ya que para cualquier
x∈ A
para cada
tenemos que
n∈N x>0
:
, entonces por la propiedad
arquímidiana de los números reales tenemos que existe
x ∈ ( 0,1) entonces
C = {U n n ∈ N }
luego
1 x ∈ ,1 n∈N n
n∈N
1 <x n
tal que
1 ,1 n∈N n
, y ya que
x <1
,
( 0,1) ⊂ y por lo tanto
, de lo anterior
A = ( 0,1) es una cubierta abierta de
.
Solución ii):
Ya
que
para
cada
n∈ N
siempre
se
cumple
1 ,1 ⊂ ( 0,1) n
que
,
luego
1 ∞ 1 ,1 = n=1 n ,1 ⊂ ( 0,1) n∈N n 1 ∞ 1 ,1 = ,1 n∈N n n =1 n
( 0,1) ⊂ Por otra parte, por el inciso i) tenemos que
1 ,1 n∈N n
.
( 0,1) = De lo anterior
.ם
4.6 Teorema Heine – Borel: 23
Sea
K
C un intervalo cerrado y acotado, y sea
una subcubierta finita que cubre a
K = [ a, b ]
En otras palabras: Si
K
con
abierto de la forma
K
C , entonces
tiene
.
− ∞ < a < b < +∞
[ a, b ] ⊂
(α i , β i )
es una cubierta abierta de
i∈I
y si
C = {U i i ∈ I } y si
Ui siendo
{U
Ui
un intervalo i1
, U i2 , , U in
}
, entonces existe una colección n
[ a, b] = K ⊂
C
j =1
de miembros de
Uij
con la propiedad de que
.
Demostración:
C = {U i i ∈ I } Sea
una cubierta abierta de
para cualquier
i∈I
K = [ a, b ]
U i = (α i , β i ) , y supongamos que cada
.
S Vamos a considerar al conjunto
definido de la siguiente manera:
S = { x ∈ [ a, b] [ a, x ] se puede cubrir con un número finito de miembros de C} .
S Nótese que
es el conjunto cuyos miembros son todos aquellos elementos para los cuales exista
{U
i1
, U i2 , , U in
una subcolección finita
}
C de miembros de
con la propiedad de de que
n
[ a, x ] ⊂
j =1
U ij .
S Probaremos que
Ya que
es no vacío y que es acotado superiormente:
a ∈ [ a, b ]
[ a, b ] ⊂
i∈I
y que
a ∈ Ui
Ui se tiene que
[ a, a ] = { a} ∈ U i
a ∈ U i0
0
. Así que
y de aquí que
a∈S
i∈I
i0 ∈ I , luego existe
S ≠φ y por tanto
.
tal que
Por otra parte, consideremos para cualquier
x∈S
S , entonces
es acotado superiormente y en
S virtud del axioma del supremo se sigue que
tiene supremo en
R
.
c = SupS Sea
.
c∈S
Probaremos ahora que Ya que
a∈S
c ∈ [ a, b ]
, entonces
:
a≤c
b y ya que
S es cota superior de
, entonces
c≤b
, luego
.
[ a, b ] ⊂ Por otra parte, como
(
U ic = α ic , β ic
c ∈ U ic
i∈I
se sigue que
)
y como
c ∈ Ui
Ui
i∈I
. Así que
tal que i1
,U i2 , , U in
S no es cota superior de
colección finita
S , luego por la definición de
}
tal que
α ic
α ic < x1 ≤ c
x1 ∈ S
{U
y de aquí que existe
α ic < c < β ic se tiene que
y por lo tanto existe
ic ∈ I
, existe una
C de miembros de
con la propiedad de que
I
n
[ a, x1 ] ⊂
j =1
Uij
α ic < x1 ≤ c < β ic , pero
, luego II
[ x1 , c] ⊂ U i
U i j ∪ U ic j =1
c
.
n
[ a, c] = [ a, x1 ] ∪ [ x1 , c] ⊂ De I y II se sigue que
De lo anterior, hemos visto que como además
c ∈ [ a, b ]
Probaremos ahora que
[ a, c]
, entonces
c=b
C está cubierto por una colección finita de miembros de
c∈S
: Ya que
.
y
.
c≤b
, tenemos dos posibilidades o
c<b
o
c=b
.
25
Supongamos que
c<b
:
De nuestro análisis anterior tenemos que
α ic < x1 ≤ c < β ic
[ x1 , c] ⊂ U i
II
para algún
, como
c < x 2 < β ic
x2 , entonces existe
ic ∈ I
c
tal que
U i j ∪ U ic j =1
c<b
y ya que
c < x2 < b y como
, luego
n
[ a, c] ⊂
[ c, x 2 ] ⊂ U i
c
y como
U i j ∪ U ic j =1
, entonces:
n
[ a, x 2 ] = [ a, c ] ∪ [ c, x 2 ] ⊂
.
x2 Nótese que el número
mencionar, como
Así que, suponer
c ± β ic c ± b x 2 = min , 2 2 c<b
párrafo anterior lo podríamos definir, por
.
[ a, x 2 ] no lleva a ver que
c < x2 < b
C miembros de
mencionado en el
está cubierto por una colección finita de
x2 ∈ S
, y como
entonces
x2 ∈ S , luego tendríamos que
x2 > c y
lo
c = SupS cual no es posible porque
.
Tenemos entonces que la hipótesis de como
c∈S
, entonces
b∈S
c<b
nos lleva a una contradicción por tanto
b y concluimos que
C cubre con un número finito de miembros de
.ם
S es el supremo de
y por lo tanto que
c=b
[ a, b]
,y se
Teorema 4.6.1 de Acotación:
[ a, b]
f Si
es una función real de variable real continua en el intervalo
número real
f ( x) < k
k >0
con la propiedad de que
para cualquier
, entonces existe un
x ∈ [ a, b ]
.
Demostración:
y ∈ [ a, b ] Sea
:
[ a, b]
f Ya que
es una función continua en
y , en particular es continua en
y de aquí que existe
δy > 0 el número
con la propiedad de que:
x ∈ [ a, b] ∩ Vδ y ( y )
f ( x) − f ( y) < 1 = ε siempre que
.
f ( x) − f ( y) ≤ f ( x) − f ( y) Por la desigualdad del triangulo invertido se sigue que
x, y ∈ [ a, b ] ∩ Vδ y ( y )
f ( x) − f ( y) < 1 particular se cumple que
, luego en
con
I
, y de aquí que
x ∈ [ a, b] ∩ Vδ y ( y )
f ( x) < 1 + f ( y) para cualquier
.
Vδ y ( y )
y ∈ [ a, b ] De lo anterior, hemos visto que para cada
existe un intervalo abierto
para el
cual se cumple I,
{ y1 , y 2 ,, y n } Luego por el teorema de Heine-Borel se sigue existe una colección finita n
miembros de
[ a, b]
[ a, b ] ⊂ con la propiedad de que
II
i =1
δ yi ( y i )
de
f ( x ) < 1 + f ( yi ) y tal que
x ∈ [ a, b] ∩ Vδ y ( y i ) i
.
27
k = max {1 + f ( y1 ) ,1 + f ( y 2 ) , ,1 + f ( y n )} Sea
:
Por II existe
i0
(y ) i0
, y de aquí que por I tenemos que
para el cual
( )
( )
f ( x ) < 1 + f y i0 x ∈ [ a, b ]
x ∈ [ a, b] ∩ Vδ y
i0 = {1,2, , n}
f ( x) < k
1 + f y i0 ≤ k , como
, concluimos entonces que
para cualquier
.ם
4.7 Teorema de Valores Extremos: f Si
es una función real de variable real continua en el intervalo
{ f ( x ) x ∈ [ a, b]}
, entonces el conjunto
x1 , x 2 ∈ [ a, b] tiene ínfimo y supremo; aún más existen
f ( x1 ) = Inf { f ( x ) x ∈ [ a, b]}
para cualquier
[ a, b]
x ∈ [ a, b ]
con la propiedad de que
f ( x 21 ) = Sup{ f ( x ) x ∈ [ a, b]}
y
f ( x1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x 2 ) .
Así que
.
Haremos la demostración del teorema para el caso del ínfimo dejando como ejercicio el caso del supremo.
f
[ a, b]
Demostración: Ya que
es una función continua en
conjunto
es acotado tanto superiormente como inferiormente pues existe
{ f ( x ) x ∈ [ a, b]}
{ f ( x ) x ∈ [ a, b]}
conjunto
para cualquier
, luego en virtud del axioma del supremo el
tiene ínfimo y supremo.
m Denotemos con
k >0
x ∈ [ a, b ]
− k < f ( x) < k tal que
, por el teorema de acotación el
al ínfimo y con
Demostraremos que existe
M
x1 ∈ [ a, b ]
{ f ( x ) x ∈ [ a, b]} al supremo del conjunto
.
f ( x1 ) = m = Inf { f ( x ) x ∈ [ a, b]} tal que
:
x ∈ [ a, b ]
f ( x) ≠ m Supongamos que
para cualquier
{ f ( x ) x ∈ [ a, b]}
para cualquier
1 f ( x) − m
para cualquier
x ∈ [ a, b ]
g : [ a, b ] → R
. Sea
o sea que
f . Ya que
es una función continua en
x ∈ [ a, b ]
para cualquier
{ g ( x ) x ∈ [ a, b]}
x ∈ [ a, b ]
m+
y como
c>0
para cualquier
m+ , entonces
x ∈ [ a, b ]
1 >m c
{ f ( x ) x ∈ [ a, b]}
m sea la máxima cota inferior del conjunto
, luego
contracción,
por
tanto
f ( x1 ) = m = Inf { f ( x ) x ∈ [ a, b]}
es
1 c
es una
lo cual contradice el hecho
.
Con lo anterior hemos visto que la hipótesis de que una
para cualquier
m+
f ( x) ≠ m
a
,
1 ≤c f ( x) − m
, o sea que
1 ≤ f ( x) c
{ f ( x ) x ∈ [ a, b]} de que
una cota superior de
para cualquier
cota inferior de
y
{ g ( x ) x ∈ [ a, b]}
x ∈ [ a, b ]
g ( x) ≤ c
y de aquí tenemos que
[ a, b]
es continua en
c
y
y como
, luego por el teorema de acotación, el conjunto
es acotado superiormente. Sea
c>0
[ a, b]
g nunca se anula, tenemos que
g( x) > 0
y de aquí que
la función definida por
f ( x) − m
f ( x) − m > 0
ínfimo del conjunto
x ∈ [ a, b ]
para cualquier
x ∈ [ a, b ]
f ( x) − m > 0
entonces
es el
m < f ( x) , se tiene pues que
g ( x) =
m , como
verdad
para cualquier que
existe
x ∈ [ a, b ]
x1 ∈ [ a, b ]
conduce tal
que
.ם
29
f Teorema 4.6.1: de la Continuidad Uniforme: Si
[ a, b]
el intervalo
es una función real de variable real continua en
[ a, b]
f , entonces
es uniformemente continua en el intervalo
f Esto es:
δ >0
tiene la propiedad de que para cualquier número real
f ( x) − f ( y) < ε tal que
siempre que
Demostración: Sea
ε >0
ε >0
, existe un número real
x− y <δ y
.
dado arbitrariamente:
[ a, b]
f Ya que
x, y ∈ [ a, b ]
.
es una función continua en
, para el número
ε 2
y ∈ [ a, b ]
y para cada
existe
δy > 0 con la propiedad de que:
f ( x) − f ( y) <
I
ε 2
x ∈ [ a, b] ∩ Vδ y ( y ) siempre que
.
δy Así que en particular para tal número
f ( x) − f ( y) <
II
ε 2
se cumple que :
x ∈ [ a, b ] ∩ V δ y ( y ) 2
siempre que
.
Vδ y ( y )
y ∈ [ a, b ] Con lo anterior, tenemos que para cada cumple
2
existe un intervalo
II, luego por el teorema de Heine-Borel, existe una colección finita
para el cual se
{ y1 , y 2 ,, y n } de
[ a, b]
miembros de n
[ a, b ] ⊂ III
i =1
con la propiedad de que:
V δ yi ( y i )
f ( x ) − f ( yi ) <
2
y tal que
ε 2
x ∈ [ a, b ] ∩ V δ y i ( y i ) 2
siempre que
.
Sea
δy δ y δ y δ = min 1 , 2 , , n 2 2 2
Debido a
III
y a que
y sean
x ∈ [ a, b ]
( )
x ∈ [ a , b ] ∩ V δ y i y i0 0
x, y ∈ [ a , b ] tales que
:
i0 = {1,2, , n} , existe un elemento
x − y i0 ≤
2
x− y <δ
, o sea que
para
el cual
δ yi0 2
.
( )
f ( x ) − f y i0 < Con lo anterior tenemos que por I se sigue que
IV
ε 2
.
Por otra parte, como
y − y i0 = y − x + x − y i0 ≤ y − x + x − y i0 < δ +
δ yi
0
2
≤
δ yi
0
2
Luego para cualquier
δ yi
0
2
= δ yi
0
( )
( )
y ∈ [ a, b] ∩ V yi0 y i0
+
.
f y i0 − f ( y ) < se tiene por I que V
ε 2
.
Finalmente por IV y V se sigue que:
( ) ( ) ε ε f ( x) − f ( y ) + f ( y ) − f ( y ) < + = ε 2 2
f ( x ) − f ( y ) = f ( x ) − f y i0 + f y i0 − f ( y ) ≤ ≤
i0
i0
f ( x) − f ( y) < ε Se ha visto pues que:
siempre que
x, y ∈ [ a , b ]
x− y <δ y
.ם
Continuidad de la Función Inversa:
31
f Lema 4.6.2: Si
f
−1
f es una función es una función creciente entonces la función inversa de
,
: Rf → Df también es creciente.
Demostración:
Rf
f Sea
es una función es una función creciente entonces y sean elementos cualesquiera de −1
f Supongamos que y que
( y1 ) ≥
f
−1
( y2 )
:
( ( y )) ≥ f ( f ( y )) = y
y1 = f f Entonces tenemos que y
−1
.
−1
1
2
2
, es decir tenemos
y1 ≥ y 2 y
lo cual no es posible porque contradice el axioma de tricotomia de los números reales,
y1 ≥ y 2 así que no puede cumplirse simultáneamente que y
cuando
f
f función creciente, por lo tanto creciente. ם
f
es creciente y implica que
−1
( y1 ) <
es una función es una
f
−1
( y2 )
f , luego
−1
es
f Se deja como ejercicio demostrar que Si
f f función inversa de
−1
es una función es una función decreciente entonces la
: Rf → Df
,
también es decreciente.
Teorema 4.6.3 De la Continuidad de la Función Inversa: Sea una función monótona y continua en
f (I) continua en el intervalo
.
I
I⊂R
f :I →R un intervalo y sea
f , entonces la función inversa de
es monótona y
f Nota: Haremos la demostración para el caso en el que
es creciente dejando como ejercicio en
f el caso que
es decreciente. Es decir, probaremos que:
f Si
I
es una función real de variable real continua y creciente en un intervalo
f (I)
f función inversa de
es una función continua y creciente en el intervalo
f Demostración: Supongamos que
f
−1
existe
: f (I) → I
f
−1
tiene que
−1
−1
y que
es creciente. Sea
I
0 < ε1 < ε tal que
y tal que
. Sea
[f
, entonces
f ( x0 − ε 1 )
−1
y
un punto interior de
, denotemos con
f continua y creciente en
I
se tiene que
f ( x0 − ε 1 ) < y0 < f ( x0 + ε 1 )
f (I) están en
, entonces se
dado arbitrariamente y tomemos un
( y 0 ) − ε 1 , f −1 ( y0 ) + ε 1 ] ⊂ I
. Por ser
f ( x0 + ε 1 )
, entonces por el lema IV.4.13
f (I)
ε >0
[ x0 − ε 1 , x0 + ε 1 ] ⊂ I
( y0 )
I
.
y0
es un punto interior de
número
x0 = f
f
es creciente en el intervalo
( y0 )
ε1
, entonces la
y además
.
δ = min { y 0 − f ( x0 − ε 1 ) , f ( x0 + ε 1 ) − y 0 } Sea
, entonces:
δ ≤ y 0 − f ( x0 − ε 1 )
δ ≤ f ( x0 + ε 1 ) − y 0 y
f ( x0 − ε 1 ) ≤ y0 − δ
, de donde se sigue que:
y 0 + δ ≤ f ( x0 + ε 1 ) y
y de aquí que:
f ( x0 − ε 1 ) ≤ y 0 − δ < y 0 + δ ≤ f ( x0 + ε 1 ) .
y ∈ ( y0 − δ , y0 + δ ) Sea
: Entonces tenemos que:
f ( x0 − ε 1 ) ≤ y0 − δ < y < y 0 + δ ≤ f ( x0 + ε 1 )
y∈ f (I) y además
.
33
x0 = f
−1
( y0 )
Como
se sigue que:
( y 0 ) − ε 1 = x0 − ε 1 = = f −1 ( f ( x 0 − ε 1 ) ) ≤ f −1 ( f ( y 0 − δ ) ) < = x 0 + ε 1 = f −1 ( y 0 ) + ε 1 f
−1
f
−1
( y0 ) − ε1 <
f
−1
( y) <
f
−1
f
−1
( y) <
f
−1
( y0 + δ ) ≤
f
−1
( f ( x0 + ε 1 ) ) =
( y0 ) + ε 1
Luego
.
De lo anterior tenemos que
y ∈ ( y0 − δ , y0 + δ ) Para cualquier
f implica que
−1
( y ) ∈ ( f −1 ( y 0 ) − ε 1 , f −1 ( y 0 ) + ε 1 )
, así que
f (I)
f la función inversa de
es una función continua y creciente en el intervalo
.ם
4.7 Ejercicios resumen referentes al capítulo IV
f ( a) < 0 9.1. Considerando el caso
f Sea
, demostrar la siguiente proposición:
f ( a) ≠ 0
a una función continua en
(a −δ,a + δ )
y supongamos que
f ( a)
f donde
. Existe entonces un intervalo
tiene el mismo signo que
.
9.2. Determine si la función dada es continua o discontinua en los intervalos indicados:
f ( x) =
1 paea los intervalos ( 0,4] y [1,9] x .
g ( x ) = x 2 − 9 paea los intervalos ( - ∞,-3) , ( - ∞,-3], ( 3,+∞ ) , [ 3,+∞ ) y ( - 3,3) .
[ a, b]
f 9.3. A continuación se indica una función
y un intervalo
. Determine si el teorema del
k valor intermedio es válido para el valor de
c indicado. Si el teorema se cumple, halle un número
f ( c) = k tal que
, si el teorema no es válido indique la razón:
9.3.1)
f ( x ) = x 2 - 2x para [1,5] y k = 8 f ( x) =
9.3.3)
. 9.3.2)
4 1 para [ − 3,1] y k = x+2 2
f ( x ) = x 3 − 2 x + 1 para [ − 2,2] y k = 1
.
.
n 9.4. Demostrar la siguiente proposición: Si
a un número natural impar y si
b real negativo, entonces existe un único número real negativo
tal que
es cualquier número
bn = a
.
f 9.5. Demostrar la siguiente proposición para el caso del supremo: Si variable real continua en el intervalo supremo; aún más existen
[ a, b]
x1 , x 2 ∈ [ a, b]
f ( x 21 ) = Sup{ f ( x ) x ∈ [ a, b]}
es una función real de
{ f ( x ) x ∈ [ a, b]}
, entonces el conjunto
tiene ínfimo y
f ( x1 ) = Inf { f ( x ) x ∈ [ a, b]}
con la propiedad de qué
y
.
x ∈ [ a, b ]
f ( x1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x 2 ) Así que
para cualquier
.
f 9.6. Si
f
−1
f es una función es una función decreciente entonces la función inversa de
,
: Rf → Df también es decreciente.
f 9.7. Si
es una función real de variable real continua y decreciente en un intervalo
, entonces la
f (I)
f función inversa de
I
es una función continua y decreciente en el intervalo
Bibliografia por temas 35
No de Unidad
Nombre de la Unidad
I
Temas de la Unidad
Subtemas de la Unidad
Fuentes del Tema/ Subtema
Función Continua
Definición de Función Continua en un número Propiedades de una función continua Ejercicios para el Lector
Discontinuidad Eliminable
Discontinuidad Eliminable
2. Calculus. Volumen 1. Michael Spivak. 1981. Editorial REVERTÉ, S.A. 2. Calculus. Volumen 1. Michael Spivak. 1981. Editorial REVERTÉ, S.A. 4. El Cálculo con Geometría Analítica. L. Leithold. Cuarta Edición 1982. Editorial Harla. 6. Cálculo. Volumen 1. Larson. Hostetler. Edwards. Quinta Edición 1995. McGraw-Hill. 4. El Cálculo con Geometría Analítica.L. Leithold. Cuarta Edición 1982. Editorial Harla. 4. El Cálculo con Geometría Analítica. L. Leithold. Cuarta Edición 1982. Editorial Harla. 4. El Cálculo con Geometría Analítica. L. Leithold. Cuarta Edición 1982. Editorial Harla. 6.Cálculo. Volumen 1. Larson. Hostetler. Edwards. Quinta Edición 1995. McGraw-Hill.
CONTINUIDAD
II
Discontinuidad
Discontinuidad Esencial Discontinuidad Esencial Ejercicios para el Lector
Cotas Superiores e Ínfimos III Axioma del Supremo
Cota Superior Cota Inferior
Supremo e Ínfimo
Mínima cota Superior Máximo cota Inferior
Axioma del Supremo
Axioma del Supremo Continuidad en un Intervalo Ejercicios para el Lector
IV
Teoremas Fuertes de Continuidad
Teorema Conservación del signo de funciones continuas Teorema de Bolzano
Conservación del signo de funciones continuas Teorema de Bolzano
Teorema del Valor Intermedio para funciones continuas
Teorema del Valor Intermedio para funciones continuas
Teorema de Valores Extremos
Teorema de Valores Extremos
Teorema de Heine - Borel
Teorema de Heine - Borel
Teorema de Acotación
Teorema de Acotación
Teorema de Valores Extremos Teorema de la continuidad Uniforme Teorema de la Continuidad de la función Inversa
Teorema de Valores Extremos Teorema de la Continuidad Uniforme Ejercicios para el Lector
3. Elements of General Topology. Sze-Tsen Hu. Second Printing 1965. Holden-Day , Inc. 3. Elements of General Topology. Sze-Tsen Hu. Second Printing 1965. Holden-Day , Inc. 3. Elements of General Topology. Sze-Tsen Hu. Second Printing 1965. Holden-Day , Inc. 3. Elements of General Topology. Sze-Tsen Hu. Second Printing 1965. Holden-Day , Inc. 3. Elements of General Topology. Sze-Tsen Hu. Second Printing 1965. Holden-Day , Inc. 1. Calculus. Volumen 1. Tom M. Apostol . Segunda Edición 1982. Editorial REVERTÉ, S.A. 7. Theory and Problems of General Topology. S. Lipschutz. 1965. Shaum Publishing Company. 1. Calculus. Volumen 1. Tom M. Apostol . Segunda Edición 1982. Editorial REVERTÉ, S.A. 1. Calculus. Volumen 1. Tom M. Apostol . Segunda Edición 1982. Editorial REVERTÉ, S.A. 1. Calculus. Volumen 1. Tom M. Apostol . Segunda Edición 1982. Editorial REVERTÉ, S.A. 4. El Cálculo con Geometría Analítica. L. Leithold. Cuarta Edición 1982. Editorial Harla. 1. Calculus. Volumen 1. Tom M. Apostol . Segunda Edición 1982. Editorial REVERTÉ, S.A. 5. Elementary Analysis: The Theory of Calculus. K. A. Ross. 1980 Springer-Verlag. 5. Elementary Analysis: The Theory of Calculus. K. A. Ross. 1980 Springer-Verlag. 5. Elementary Analysis: The Theory of Calculus. K. A. Ross. 1980 Springer-Verlag. 5. Elementary Analysis: The Theory of Calculus. K. A. Ross. 1980 Springer-Verlag. 1. Calculus. Volumen 1. Tom M. Apostol . Segunda Edición 1982. Editorial REVERTÉ, S.A. 2. Calculus. Volumen 1. Michael Spivak. 1981. Editorial REVERTÉ, S.A. 4. El Cálculo con Geometría Analítica. L. Leithold. Cuarta Edición 1982. Editorial Harla.