Editat per la Societat Catalana de Matemàtiques filial de l’Institut d’Estudis Catalans
Carrer del Carme, 47 08001 Barcelona
Text revisat lingüísticament per la Unitat de Correcció del Servei Editorial de l’IEC
Imprès a Open Print, SL
ISSN: 0214-316-X
Dipòsit Legal: B 19272-1987
Són rigorosament prohibides, sense l’autorització escrita dels titulars del copyright, la reproducció total o parcial d’aquesta obra per qualsevol procediment i suport, incloent-hi la reprografia i el tractament informàtic, la distribució d’exemplars mitjançant lloguer o préstec comercial, la inclusió total o parcial en bases de dades i la consulta a través de xarxa telemàtica o d’Internet. Les infraccions d’aquests drets estan sotmeses a les sancions establertes per les lleis.
Aquestestrajectòriessónsolucionsparticularsdel’anomenat problemade n cossos.Consideremunsistemadereferènciainercial.Elproblemade n cossos delamecànicaclàssicacorresponaladescripciódelmovimentde n masses puntuals m1,m2,...,mn sotalalleid’atracciógravitatòriadeNewton:
mkrk = G n j=1,j=k mj mk r 3 jk (rj rk),k = 1, 2,...,n,
on rk, k = 1,...,n,éslaposiciódecadacos, rjk =|rj rk| ladistànciaentre elscossosdemassa mj i mk,i G laconstantgravitatòria.Fixadaunacondició inicialperacadacos(posicióivelocitat),lasolució (r1(t),..., rn(t)) delsistema d’equacionscontélatrajectòriao òrbita rk(t) decadascun.
on r éselvectordeposiciórelativad’uncosrespecteal’altre.Aquestproblema ésintegrable;aixòvoldirquetenimsuficientsintegralsprimeres(constants sobrelestrajectòries),deformaquecadatrajectòriaésintersecciódeles hipersuperfíciesdenivelli,pertant,tenimunaequació(engeneralimplícita)per alatrajectòria.Lessevessolucions,conegudescoma òrbiteskeplerianes,són còniques:elsdoscossosesmouenenòrbitescirculars,el.líptiques,parabòliques ohiperbòliques.
on ωi,λ> 0(i = √ 1).Diemqueelspuntsd’equilibricol linealssóndeltipus centre × centre × sella.Prenentl’aproximaciólinealdelesequacions (1),les solucionsalvoltantdelspuntsd’equilibriespodenescriuredelaforma
1 cos(ω1t + θ1)
1 sin(ω1t + θ1)
2 cos(ω2t + θ2)
Q(t) = Li + C
, (5)
2 sin
on C éslamatriudevectorspropisassociatsalsvalorspropis(prendrem lapartrealiimaginàriadelsvectorsperavalorspropiscomplexos).Essencialment,elcomportamentéseldedososcil ladorsinestables,on ω1 ésla freqüènciaplana(enelplademovimentdelsprimaris)i ω2 éslafreqüència vertical(movimentforadelpla (x,y)).Elsistemalineal,doncs,exhibeixòrbites periòdiquesdefreqüència ωi, i = 1, 2,òrbitesquasiperiòdiques(si ω1 i ω2 no sóncommensurables),iòrbitesd’escapament(entempsfuturipassat)associadesalsvalorspropisreals.D’unabanda,aplicantelteoremadeLiapunov (vegeu,perexemple,[39]),quanelsvalorspropisnosónproporcionalsentre si,decadapuntcol linealneixenduesfamíliesuniparamètriquesd’òrbites periòdiques,conegudescoma famíliesdeLiapunovplanes (dinsdelmateix plademovimentdelsprimaris)i verticals (viuena R3),onelparàmetrede lesfamíliesésl’energia(o CJ ).Pertant,peracadavalorfixatde h,existeixen duesòrbitesperiòdiques,unadeplanaiunadevertical,almenysperavalors de h propersalvalorenelpuntd’equilibri.Amés,acadanivelld’energia properal’energiadelpuntcol.lineal,existeixunafamíliabiparamètricade tors2-dimensionals,recorregutsperlesanomenades òrbitesdeLissajous,que connectenlesduesfamíliesdeLiapunov.Vegeulafigura5.Quanprenemtots elsnivellsd’energia(enuncertrangproperaldelpuntd’equilibri),obtenimuna varietat4-dimensional,anomenada varietatcentral,onviuentantlesòrbites periòdiquescomlesquasiperiòdiques.Observemquesiprenem ξ1 = ξ2 = 0 enl’expressió (5) obtenimunaparametrització(d’ordre1)delescondicions inicialsdetotesaquestesòrbites.
Figura 5: ÒrbitesperiòdiquesplanaiverticaldeLiapunoviòrbita quasiperiòdicadeLissajousalvoltantdelpuntd’equilibri L1.(Figura cortesiadeJ.M.Mondelo.)
Formalment,si Γ ésunobjecteinvariant(puntd’equilibri,òrbitaperiòdica...)i φt (q) éslasolucióatemps t delPRTCcircularambcondicióinicial q,definim lesvarietatsinestable, W u(Γ ),iestable, W s (Γ ),associadesa Γ ,coma:
enelmateixnivelld’energiaquel’òrbitaperiòdica.Geomètricamentespoden veurecomtubsques’acosten(endavantoendarrereeneltemps)capal’òrbita periòdica.Cadascunadelesvarietatsposseeixtambéduesbranques, W u/s ± ,en uncomportamentsimilaraldelesvarietatsdelspuntsd’equilibri.Vegeula figura7.
Figura 7: EnelPRTCSol-Júpiter,projeccióenelpladeconfiguracions (x,y) delesbranques W u/s ± (Γi) associadesa Γi òrbitaperiòdicaal voltantde Li, i = 1, 2.Esquerra:branquesinternes W u/s + (Γ1) ibranques externes W u/s (Γ2).Dreta:detalldelaregióalvoltantdeJúpiter,ones mostralabranca W u(Γ1) ilabranca W s +(Γ2).Engrisfosclesvarietats estables,engrisclarlesinestables.
ψ(θ,ξ) = φ θ 2π T (q0) + ξΛ θ/(2π)Dφ θ 2π T (q0)v, (6)
on φt (q0) éslasoluciódelPRTCcomençantalacondicióinicial q0 del’òrbita periòdica, T éselseuperíode,i Λ i v sónelvalorielvectorpropidelamatriude monodromia DφT (q0) corresponentsalavarietat(estableoinestable).Aquesta aproximaciód’ordre1delaparametritzaciódelesvarietatsésinvariantpel flux,exceptetermesd’ordredosen ξ,jaque
Figura 10: Exemplesdeconnexionshomo-heteroclíniquesenelPRTC Terra-Llunaenl’espaideconfiguracions (x,y).Esquerra:connexióheteroclínicaentreduesòrbitesperiòdiquesdeLiapunovalvoltantde L1 i L2.Dreta:connexióhomoclínicad’unaòrbitaperiòdicadeLiapunoval voltantde L1.(FiguracortesiadeJ.M.Mondelo.)
ElnombredeviatgesperexplorarelSistemaSolarcreixcontínuament.L’estratègiabàsicaperalsviatgesinterplanetarisdesdelesmissions Pioneer i Voyager delsanyssetantafinsalesmissions Galileo o MarsObserver delsnoranta consisteixaaproximarunasoluciódelproblemade n cossosconcatenanti enllaçantsolucionsdediferentsproblemesdedoscossos—l’anomenatmètode de patchingconics esmentatalaintroducció.Elfetquelesmissionssiguincada copmésexigentsquantalatrajectòriaqueesvolseguirfaqueesnecessitin millorsaproximacions,ielproblemarestringitdetrescossoshadonatresposta aaquestademanda.
Altresexemplesdemissions,enaquestcasambelpunt L2 delsistema Sol-Terracomadestí,sónGaia(ESA,2013),quedesd’unaòrbitaalvoltantdel punt L2 enelsistemaSol-Terraestàfentuncensd’aproximadament1000mi-
lionsd’estrelles,oHerscheliPlanck(ESA,2009).Mésrecentment,tenimlasèrie Chang’edelprogramad’exploraciódelaLlunadel’agènciaespacialxinesa,anomenadaaixípelnomdelaLlunaenlamitologiaxinesa,delaqual,elChang’e2 (2010)haestatestacionadaenalgunmomentenunaòrbitahaloalvoltantdel punt L2.
Figura 13: Esquerra:esquemaaproximatdelestrajectòriesquedescriuenJanusiEpimeteu.Dreta:òrbitadetipusferraduradescritaper l’asteroide2002AA29,enunPRTCSol-Terra.(Font:referència[4].)
• ElPRTCel.líptic:unadelesprimeresmilloreséstenirpresentqueels primarisesmouenenòrbitesel.líptiques(enllocdecirculars)alvoltant delllurcentredemasses,ambunaexcentricitat e = 0.Enaquestcas,prenentunescoordenadesadequades,rotatòriesipulsants(esdivideixper ladistànciaentreelsprimarisalllargdeltemps),elsistemad’equacions diferencialsques’obtéésnoautònom,peròperiòdic.Aquestproblema depèndedosparàmetres µ ∈ (0, 0 5] i e ∈ (0, 1],itéelsmateixospunts d’equilibri Li, i = 1,..., 5,totiquecanvial’estabilitatdepenentde µ i e ([48]).Tambédeixadetenirlaintegralprimera,ilesòrbitesperiòdiquesapareixenaïllades(peravalorsde µ i e fixats)enllocd’agrupar-se enfamílies(compassaalproblemacircular).Aquestmodel,perexemple,s’usaperal’estudidelsasteroidestroiansapartirdeladinàmicaal voltantdelspunts L4 i L5 ([31]).
Lema 1 ([15,lema2.5]). Duesbases B ={b1,...,bm} i B ={b1,...,bm} de Rn generenelmateixreticle Λ si,inoméssi,existeixunamatriuunimodular U (i.e. invertiblea Mm×m(Z))talque B = B U.Enaquestcasdiremquelesbases B i B sónequivalents.
Prova. Enefecte,suposemque U ésunamatriuunimodulard’ordre n.Aleshores: Λ(B) = Λ(B ) B = B · U (B ) 1B = U . ✷
2.2Regionsfonamentals
Donatunreticle Λ,una regiófonamental de Λ ésunsubconjunt F ⊆ Rn talque ∀x ∈ Λ elconjunt x + F ={x + y | y ∈ F } generaunaparticióde Rn,ésadir:
x∈Λ x + F = Rn .
Donatunreticle Λ(B),definimel paral.lelepípedefonamental associata B comelconjunt P(B) ={ i zibi | zi ∈ [0, 1)}
Lema 4 ([15,lema2.10]). Consideremunreticle Λ(B) iunaregiófonamental F delreticle Zn.Aleshoreselconjunt B F ={B z | z ∈ F } ésunaregió fonamentalde Λ(B).Enparticular, P(B) ésunaregiófonamentalde λ(B)
Proposició 14 ([11,proposició12]). Siconsideremduesbases B ={b1,...,bn} i D ={d1,...,dn} duals,lesbases B ={πi(bi),...,πi(bn)} i D ={di,...,dn} tambésónduals,peratot i ∈{1,...,n}
Proposició 15 ([16,afirmació7]). Considerem B ={b1,...,bn} unabaseila sevabaseortogonal,obtingudamitjançantelprocedimentdeGram-Schmidt, B ={b1 ,...,bn }.Consideremtambélabasedual D ={d1,...,dn} de B ila sevabaseortogonal,obtingudamitjançantelprocedimentdeGram-Schmidt, D ={d1 ,...,dn}.Aleshores,peratot i ∈{1,...,n} escompleix di = bi bi 2 .
1. Elproblemadelabase:apartird’unconjuntdevectors B,determinarun subconjuntquegeneriunabase B pera Λ.Aquestésunproblemaque espotresoldre,entempspolinòmic,calculantHNF(B).
2. Elproblemadelesbasesequivalents:donadesduesbasesreticulars B i B ,determinarsisónequivalents.Aquestproblemaespotresoldre,en tempspolinòmic,calculant H = HNF(B), H = HNF(B ) icomprovantsi H = H .
3. Elproblemadelaunió:donadesduesbasesreticulars B i B ,determinar unabaseperalreticleméspetitquecontinguitant Λ(B) com Λ(B ) Elreticlemínimésgeneratper B := B ∪ B ,demaneraquepodem determinarunabasesicalculemHNF(B )
4. Elproblemadelasubbase:donadesduesbasesreticulars B i B ,determinarsi Λ(B ) ⊆ Λ(B).Aquestproblemaespotreduiralsproblemesde launióidelesbasesequivalents;enefecte: Λ(B ) ⊆ Λ(B) si,inomés si, Λ(B ∪ B ) = Λ(B).Sivolemcomprovarlainclusió,noméscalcalcular HNF(B ∪ B ),HNF(B) icomprovarsilesformescoincideixen.
5. Pertinençaaunreticle:donat v ∈ Zn,determinarsi v ∈ Λ(B).Aquest problemapotreduir-sealproblemadelasubbasetotcomprovantsi Λ(v) ⊆ Λ(B).Elproblemaespotresoldreperaunconjuntdevectors {v1,...,vk} totcalculant HNF(B),calculantdesprés,peracada i ∈{1, 2,...,k},HNF(B ∪ vi),icomprovantsiHNF(B) = HNF(B ∪ vi)
Considerem B ={b1,...,bm}⊂ Rn unabasei B ={b1 ,...,bm} lasevabase associadaobtingudaambelprocedimentdeGram-Schmidt.Diremque B és δ-LLLreduïda,pera 1 4 <δ< 1,sisatisfàlescondicionssegüents:
1. Condiciódemida: ∀1 ≤ i ≤ n i j<i: |µi,j |≤ 1 2 ,on µi,j sónelscoeficients involucratsenelprocedimentdeGram-Schmidt.
Totiquel’aplicacióoriginaldel’algorismeeralafactoritzaciódepolinomis sobre Q,lesaplicacionsmésdestacablesdel’algorismeLLLtambéinclouenla criptoanàlisidelssistemescriptogràficsbasatsenreticlesjaquel’algorismeLLL resollaversióexactadelproblemaSVPentemps2O(n2) [1]itambétéunpaper importantenlaresoluciódelaversióaproximadadelproblemaCVPentemps d’ordre2O(n) (vegeu[10,teorema6.73]peraunareferència).
3Codis
3.1Conceptesbàsics
Un missatge ésunaseqüènciafinitad’elementsd’uncosfinit Fq d’ordre q, pera q = pr on p ésunnombreprimeri r ∈ N.Un codi C delongitud n és unconjunt C ⊂ Fn q .Si C noméstéunelement,diremque C ésuncoditrivial. Siprenem q = 2parlaremdecodisbinaris.Elselements c ∈ C s’anomenen paraulescodi
Elprocésdecodificaciód’unmissatgeespotinterpretarcomunaaplicació injectiva,queanomenem codificador, f : Fk q → Fn q ,pera n>k> 0.Uncodi delongitud n éslaimatge f(Fk q) := C ⊂ Fn q .Uncodificadortéassociadauna funcióinjectiva g : Fn q → Fk q talque g ◦ f = Id,1 queanomenarem descodificador
Exemple. Pertaldemotivarelspropersconceptesenscentrarenenunasituació enquèvolemcodificarunmissatge a ∈ Fk q mitjançantuncodificador f : Fk q → Fn q .Elresultatésunelement f(a) ∈ C,queésenviatatravésd’uncanal. Elcodiarribaaldescodificadorassociat g,queretornaunmissatgeambla forma g(b) ∈ Fk q.Siguin q = 2, k = 1, n = 3i C = (0, 0, 0),(1, 1, 1) ∈ F3 2 Suposemqueelmissatge«No»escorresponamb0iqueescodificacom f(0) = (0, 0, 0).Suposemqueunmissatge«Sí»escorresponamb1iquees codificacom f(1) = (1, 1, 1).Enviemun«No»atravésd’uncanalquegenera interferènciestalsqueeldescodificadorrepelcodi (0, 1, 0).Ésraonablepensar queeldescodificadorretornielmissatge«No»jaquel’element (0, 1, 0) ∈ F 3 2 és méssemblanta (0, 0, 0) quenopasa (1, 1, 1) jaque (0, 1, 0) i (0, 0, 0) només difereixenenunacomponent,mentreque (0, 1, 0) i (1, 1, 1) difereixenendues. Enaquestcasdiremqueelcodihacorregitunerror.
Donatsdoselements x,y ∈ Fn q ,la distànciadeHamming és d(x,y) = #{1 ≤ i ≤ n | xi ≠ yi}= w(x y).
Exemple. Pera x = (1, 1, 1) i y = (0, 1, 0) tenim d(x,y) = w(1, 0, 1) = 2.
Si C ésuncodinotrivial,ladistànciamínimade C és minx≠y∈C d(x,y);el pesmínimésminx∈C−{0} w(x)
Un (n,m,d)-codiésuncodiamblongitud n, m paraulescodi idistància mínima d.Elcodi C del’exempleésun (3, 2, 3)-codi.
Elradidecobrimentd’uncodi C és ρ(C) = maxx∈Fn q minc∈C d(x,c).Observemqueelconcepteformalitzalaideadecomd’allunyatestàunelement rebut x ∈ Fn q dela paraulacodi méspropera.
Donatuncodi C ⊂ Fn q delongitud n,el codiestès associatés
C := (c1,...,cn+1) | (c1,...,cn) ∈ C,cn+1 = n i=1 ci .
Un codilineal ésunsubespaivectorialde Fn q .Unaformaalternativade definir-loésmitjançantsuccessionsexactes,laqualcosaensconduiràaalguns conceptesfonamentals.Enefecte,consideremlasuccessióexactacurta:
0 → Fk q A → Fn q B → Fn k q → 0.
Perserexacta,tenim rk(A) = k, rk(B) = n k i B ◦ A = 0.D’unaaltra banda:
1. Definim C := A(Fk q) ⊂ Fn q .L’aplicaciólineal A esdescriuambunamatriu demida n × k.Lessevescolumnesformenunabasede C.Lamatriu AT s’anomena matriugeneratriu
2. Perserunasuccessióexacta, C = ker(B),pertant, x ∈ C Bx = 0. L’aplicació B esdefineixambunamatriudemida (n k) × n,lesfiles delaqualsónlesrelacionsquedefineixen C.Lamatriu B repelnomde matriudeparitat o decontrol.Donatunelement x ∈ Fn q ,la síndrome de x és Bx ∈ Fn k q .
Teorema 29 ([24,teorema6.1.3]). Uncodilineal C delongitud n éscíclicsi,i noméssi,ésunidealde Fn q [x]/(xn 1)
Si C ésuncodicíclic,aleshorestenimque,comqueésunidealde Fn q [x]/ (xn 1): c(x) = c0 + c1x +···+ cn 1xn 1 ∈ C ⇒ x · c(x) ∈ C,arabé: x · c(x) = cn 1 + c0x +···+ cn 2xn 2 .
Perserunidealprincipal,existeixunpolinomimònic g ∈ Fn q [x]/(xn 1) ambgraumínimquegeneral’ideal.Aquestpolinomirepelnomde polinomi generador
Ladescomposicióenfactorsirreductiblesde xn 1 = f1(x) ··· ft (x) ens portaalconceptede codicíclicmaximal,queésuncodigeneratper fi(x) ique denotaremper M + i ,pera i = 1,...,t.Elscodisgeneratsper xn 1 fi(x) rebenelnom de codiscíclicsminimals ielsdenotaremper Mi
Teorema 30 ([24,teorema6.4.1]). Peratotcodicíclic C existeixunelement c ∈ C únic,anomenat idempotent,queéselneutredelproductede C
Teorema 31 ([24,teorema6.4.3]). Si C1, C2 sóncodiscíclicsambidempotents c1 i c2 respectius,aleshores:
(3) L’idempotentgeneradordelcodi fi1 (x) ··· fir (x) és 1 + θi1 (x) +···+ θir (x)
3.3CodisdeGoppailasevadescodificació
Sigui L ={γ0,γ1,...,γn 1}⊂ Fq talque g(γi) ≠ 0pera0 ≤ i ≤ n 1,essent g(x) unpolinomimònicdegrau t sobre Fq.Un codideGoppa Γ (L,g),amb polinomideGoppa associat g(x) = t i=0 gixi,éselconjunt (c0,...,cn 1) ∈ Fn p talsque n 1 i=0 ci x γi ≡ 0 mod g(x).Sifem hj := (g(γj )) 1,unamatriude paritatpera Γ (L,g) és(vegeu[24]):
Teorema 33 ([24,teorema9.2.7]). Amblesnotacionsanteriors,uncodideGoppa Γ (L,g) tédistànciamínimamésgranoigualque t + 1 idimensiómésgrano igualque n mt.
ConsideremuncodideGoppa Γ (L,g),una paraulacodi c=(c0,c1,...,cn 1)∈ Γ (L,g) iunmissatge r = (r0,r1,...,rn 1) ∈ Fn p .Sigui e = r c = (e0,e1,...,en 1)
Considerem M :={0 ≤ i ≤ n 1 | ei ≠ 0}.Suposemque deg(g(x)) = t ique #M = e ≤ t/2.Consideremunpolinomi S(x) talque
S(x) ≡ n 1 i=0 ei x γi mod q, deg(S(x))<t.
Definimelpolinomi localitzadord’errors com σ(x) := i∈M x γi.Definim el polinomiavaluador d’errorscom ω(x) := i∈M ei j∈M−{i}(x γj ). Consideremelproducte Sσ : S(x)σ(x) = n 1 i=0 ei x γi i∈M x γi ≡ n 1 i=0 ei j∈M−{i} x γi ≡ ω(x) mod g(x).
Sigui K uncos,una corbael.líptica ésunparell (E,OE ),on E ésunacorba a P2 K nosingulardegènere1i OE ∈ E ésunpuntdistingit.Si K éstalque char(K) ≠ 2, 3,unacorbael.lípticapotserdescrita2 mitjançantl’equacióde Wierstrass
E :={(x : y : z) ∈ P2 K | y 2z = x3 + axz + bz3}, on a,b ∈ K i4a3 + 27b2 ≠ 0.Aquestadarreracondicióésnecessàriapertal d’evitarsingularitats.Enaquestcas, OE = (0:1:0).
Sifemelcanvidevariables x z x, y z y obtenimla formaafí
Sigui C unacorbaprojectivaplanadonadaper f(x,y,z) = 0amb f ∈ K[x,y,z] irreductiblesobrelaclausuraalgebraica.El cosdefuncions K(C) és elconjuntdefuncionsracionals g h talque
• Elspolinomis g, h sónhomogenisa K[x,y,z] itenenelmateixgrau.
• f h
• g1 h1 ≡ g2 h2 f | (g1h2 g2h1).
Donadaunacorbaprojectivaplana C,diremqueunafuncióracional f = g h , amb g,h ∈ K[x,y,z],ésdefinida,oqueés regular,enunpunt P ∈ C(K) si h(P) ≠ 0.
Si C1, C2 sóncorbesprojectivesplanesdefinidessobre K,unaaplicació racional φ : C1 → C2 ésunaterna φ = (φx : φy : φz) ∈ P2 K(C1) talqueperatot punt P ∈ C1(K) on φ ésregulartenim φ(P) ∈ C2(K). Consideremunparelldecorbesprojectivesplanes C1, C2.Unaaplicació racional φ : C1 → C2 regularentot P ∈ C1(K) s’anomena morfismeentre C1 i C2.
El grau d’unaisogènia φ : E1 → E2 és deg(φ) := max{p(x),q(x)}.Sila isogèniaéstalque d dx p(x) q(x) ≠ 0diremque φ és separable.Altramentdiremque φ és inseparable.
Exemple. Consideremuncosfinit Fq d’ordre q.Donadaunacorbael.líptica E sobre Fq,l’aplicaciódeFrobenius πE : E → E,(x,y) (xq,y q) ésunaisogènia degrau q.
Mantenintlesnotacionsdel’exemple,latraçadel’aplicaciódeFrobeniuses defineixcom τE = q +1 #E(Fq).ElpolinomicaracterísticdeFrobeniusassociat a E éselpolinomi pE (x) = x2 τE x + q.
Exemple. Considerem (E,OE ) unacorbael lípticai n ∈ Z,aleshoresl’aplicació [n] : E → E,P [n]P = P +···+ P n vegades ésunaisogènia.
Exemple. El problemadellogaritmediscretsobrecorbesel.líptiques requereix trobar n ∈ Z talque Q = [n](P),donatsdospunts P , Q enunacorbael.líptica E Aquestproblemaespotreformularcomelproblemadetrobar,donats P i Q de E(K),laisogènia φ : E → E talque φ(P) = Q.L’algorismedeShorresolel problemadellogaritmediscretambunalgorismepolinòmicenunordinador quàntic.
Proposició 47 ([8,proposició25.1.6]). Consideremunsubgrupfinit G ⊂ E(K) on E ésunacorbael.lípticasobre K donadaperl’equaciódeWeierstrass.Una isogèniaseparable φ : E → E amb ker(φ) = G espotescriurecom
=
,
amb P = (xP ,yP ), Q = (xQ,yQ) i P + Q = (xP +Q,yP +Q) iessentlacorba E : y 2 = x3 + a x + b on
4.3Polinomismodulars
Elspolinomismodularssónunaformaalternativaperalcàlculdenuclis.Donat unenter l> 2,unpolinomimodularésunpolinomi Φl(x,y) ∈ K[x,y] peral qualunparell j1,j2 ∈ K satisfà Φl(j1,j2) = 0si,inoméssi,existeixencorbes el.líptiques E1, E2 sobre K talsque j(E1) = j1, j(E2) = j2 iperalesquals existeix φ ∈ Hom(E1,E2) degrau l.
• Donatunnúmeroprimer p,unabaseestàndardperal’àlgebra dequaternions Bp,∞,ramificadaen p i ∞4 i E,unacorbael.líptica supersingularsobreuncosfinit Fp2 d’ordre p2,trobarunabaseper al’ordremaximal O de Bp,∞ talqueEnd(E) O.
3. Càlculdel’anelld’endomorfismes:consideremunnúmeroprimer p i n> 0.Peraunacorbael.lípticasupersingular E sobreuncosfinit Fpn , d’ordre pn,calcularl’anelld’endomorfismesEnd(E)
4.6.1LacorrespondènciadeDeuring Considerem H una Q-àlgebrafinitamentgenerada.Un ordre R de H ésunsubanellde H queésfinitamentgenerat coma Z-mòdulitalque H = R ⊗ Q.
on x1,...,xN ∈ Sd i s> 0.Elproblemaquetractaremserà,nol’energiad’un nombreconcretdepunts,sinóelcomportamentasimptòticdel’energiaminimal quanelnombredepunts N creix.
Figura 1: Elssòlidsplatònics.
Puntsd’energiamínimaiempaquetamentsd’esferes 155
Siconsideremelsdosvalorslímitdelparàmetre s ∈ (0, +∞) obtenimdos problemesparticularmentinteressants.Quan s → 0obtenimunpotenciallogarítmic,enelsentitque d ds |s=0(t s ) =− log t.Elspunts x1,...,xN ∈ Sd,que minimitzenl’energialogarítmica
Quan s →+∞ obteniml’anomenat problemadeTammes,o delmillorempaquetament,queconsisteixatrobarlesconfiguracionsde N punts x1,...,xN ∈ Sd quefanmàximaladistànciamínima
Noésdifícildemostrarqueperatot d ≥ 2, N i s> 0hihaconfiguracionsdepunts x∗ 1 ,...,x∗ N ∈ Sd queassoleixenl’energiamínima,queescriurem Es (Sd,N), Es (Sd,N) = min x1 ,...,xN ∈Sd Es (Sd , {x1,...,xN }) = Es (Sd , {x∗ 1 ,...,x∗ N }).
Figura 2: Setantapuntsminimitzantsdel’energiadeCoulomba S2 .
JordiMarzo
Observemqueperaesferes Sd amb d ≥ 3tampochihaconfiguracions universalmentbones.Enefecte,SchläfliiCoxetervandemostrarquenoméshi ha6polítopsconvexosregularsa R4 ipera d> 4nomésn’hiha3(lesgeneralitzacionsdeltetraedre,delcubidel’octaedre).Unaaltramostrad’aquesta faltadebonesdistribucionséslainexistència,excepteenunspocscasos,de quadraturesdeTxebixovminimalsal’esfera[1,2].
Talcomhemavançat,elnostreobjectiuaraésestudiarelcomportament asimptòtic,quan N →+∞,del’energiamínima Es (Sd,N).Laideageneralés quel’energiamínimadiscreta,siaugmentaelnombredepunts,convergeixcap al’energiamínimacontínua.Tambéveuremquehihaunagrandiferènciaentre potencialsdellargabast0 <s<d ipotencialsdecurtabast s ≥ d.
Argumentsclàssicsdeteoriadelpotencialqueinvolucrenl’anomenat diàmetretransfinitgeneralitzatdePólyaiSzegö demostrenquesi0 <s<d lim N→+∞ Es (Sd,N) N 2 = Sd Sd 1 |x y |s dσ(x)dσ(y),
on σ éslamesuradesuperfícienormalitzadaa Sd.Peraunademostració mésmodernaespotconsultar[24,p.28].Així,si x∗ 1 ,...,x∗ N ∈ Sd minimitza l’energiad’exponent0 <s<d,unaprimeraaproximaciódelcomportament asimptòticés Es (Sd,N) = i≠j 1 |x∗ i x∗ j
Observemqueaquestresultatéscerttambéperavarietatssuaus d dimensionals X⊂ Rd+1 siconsidereml’energiamínimadiscretaa X icanviem σ per l’anomenada mesurad’equilibri,queéslaqueminimitzaelpotencialdeRiesz continu X X 1 |x y |s dµ(x)dµ(y), entretoteslesmesures µ deprobabilitata X.
Recordemquehemcomençatl’articleambelproblemadeThomsonal’esferaiqueeldesenvolupamentdel’energiamínimaperapotencialsdecurtabast, deparàmetre s>d,enshaportatadefinirlaconstant Cs,d,alteorema2.1.Un noulímitquan s →+∞,alteorema4.1,enshafetconsiderarl’empaquetament d’esferesilaconstant ∆d quehemvistques’hapogutdeterminarperauns pocsvalorsde d.
5Cotesdeladensitatambprogramaciólineal
Perintroduirelsdarrersresultats,necessitaremdefiniralgunsconceptes.Donadaunafuncióprouregulariambdecreixementràpid,formalmentdelaclasse deSchwartz f ∈S(Rd),definimlasevatransformadadeFouriercom
ˆ f(y) = Rd f(x)e 2πix y dx,y ∈ Rd .
Espotveureque ˆ f ∈S(Rd) iquepodemrecuperarlafuncióoriginalfentuna antitransformada
f(x) = Rd ˆ f(y)e2πix y dy.
Entermesfísics,siinterpretemunafunciócomunsenyal f(x),unsoo unaimatge,lasevatransformadadeFourier ˆ f(y) ensendonalafreqüència. Entreunafuncióilasevatransformadahihaunarelaciómoltestreta.En particular,unafuncióilasevatransformadanopodenestartotesduesben localitzades.Enefecte,espotveure,perexemple,quesi d = 1,latransformada d’unafuncióqueészeroforad’unintervalésenterai,pertant,elsseuszeros noespodenacumular.Unaltreexempled’aquestcomportamentésque,per a α> 0,si
f(x) = e πα|x|2 , aleshores ˆ f(y) = 1 αd/2 e π |y |2 α ,
Aixídoncs,peraprofitaraquestresultat,l’estratègianaturaléstractarde trobarfuncions f ∈S(Rd) quecompleixinlescondicionsanteriors(podem suposarquesónradials)amb r = r(f) tanpetitcomsiguipossible.Aquí trobem,denou,unprincipid’incertesa,jaquelescondicionssobre f i ˆ f van encontradelfetque r = r(f) siguimoltpetit.Arabé,fixadaunadimensió, quinéselvalormínim?Espotassolir?Alseutreballdel2003,CohniElkies nomésvanpodertrobarlafuncióòptimaenelcastrivialdedimensió1,onla funció
Comaactualitzaciódedarrerahora,voldriamencionarqueelsmateixos autorsquevandemostrarl’optimalitatdelaxarxadeLeechhandemostrat que E8 i Λ24 són,defet,universalmentòptims,enelsentitqueminimitzenno nomésl’energiadonadapelpotencialdeRiesz,sinóladetotpotencialdonat perunafunciócompletamentmonòtona[15].
ElproblemadelscodisdeGauss. Sigui γ unacorbatancada,alpla,amb unnombrefinitdepuntsd’autointersecció;usarem n perdenotaraquest nombre.Enaquestspuntslacorbaestallademaneranotangencial.Assignem, acadapuntd’intersecció,unsímbold’entre {s1,s2,s3,... } demanerainjectiva (cadapuntd’intersecciórepunúnicsímbol),iseleccionemunpuntdela corba γ iunsentitperrecorre-la.Recorremla γ ianotemelssímbolsdels diferentspuntsd’interseccióquetrobem.Aixògeneraunaparaulade2n lletres en n símbols(vegeulafigura1comaexemple).Demaneramésgeneral,podem tenirunconjuntdecorbestancadesalplaformantuntotalde n puntsde tall;enaquestcascadacorbageneraunaparaulade,possiblement,diferent llargada,ielconjuntdecorbesgeneraunparàgrafoncadasímbolapareixun totaldeduesvegades(2n lletresentretoteslesparaulesi n símbolsentotal). Suposaremquenohihacorbesisoladesi,pertant,nohihacapsubconjunt estrictedeparaulesambaquestespropietats.Mésformalment,
Definició 1 (CodideGauss,paràgrafdeGauss). Un paràgrafdeGauss ω demida n estàformatperunconjuntde2n lletres L ={l1,...,l2n},unconjuntde n símbols S ={s1,...,sn},unaaplicaciódos-a-u J : L → S quedetermina quinparelldelletrescorresponacadasímbol,iunaaplicacióbijectiva N : L → L quedeterminalalletrasegüenta ω.
Cadaòrbitade N ésuna paraula.Tambédemanemquecapsubconjunt deparaulessiguiunparàgrafdeGausspersimateix.Enelcasdeteniruna únicaparaulausemelterme codideGauss.
Figura 1: Corbarepresentablealpla.Elpuntinicialestàrepresentatper unafletxaque,alhora,n’indicaelsentitderecorregut.
Figura 3: Nustrèvol,puntinicialderecorregutalafletxa,icodide Gaussnopla.
2.2Grafsimapes
Enaquestarticleentendremun grafdirigit comunaparellaformadaperun conjuntde vèrtexs V iunmulticonjuntd’arestes E = (V ×V,f),on f : V ×V → N indica,peracadaparellordenat (u,v) ∈ V × V ,elnombred’aparicionsa E. Denotemlesarestespelsparellsordenatsipermetemqueelgraftinguillaços, oparellsdelaforma (u,u).Enelnostrecas,tant V com E sónfinits. Enungrafdirigit,l’aresta (u,v) denotal’arestade u a v iésdiferent del’arestade v a u o (v,u).Usaremelterme grafnodirigit perreferirnosaungrafdirigitonhemoblidatlesdireccions;enaquestcasdenotarem per {u,v} l’arestaentre u i v:l’aresta {u,v} éspresentalgrafsielgrafdirigit
contél’aresta (u,v) obél’aresta (v,u).Dosvèrtexs u i v esdiuquesón adjacents si (u,v) obé (v,u) sónarestesdelgraf.
Ungraf(dirigitonodirigit)és connex sientredosvèrtexsdiferentsqualssevol vi i vf hihaun camí entreells:unconjuntdevèrtexs vi = v1,v2,...,vk 1, vk = vf talsquel’aresta (vj ,vj+1) obél’aresta (vj+1,vj ) pertanyena E.Enel nostrecasnomésconsideremgrafsconnexos.Encertscontextosensseràútil parlardediferentsorientacions(odireccions)delesarestesenunmateixgraf nodirigit;usarem σ perdenotarunaorientaciódelesarestes.
Enungrafdirigit,un camíeulerià ésunaordenaciódelesarestesdel graf E = ((v1,v2),(v3,v4),...,(v2|E|−1,v2|E|)) talque v2i = v2i+1 i v1 = v2|E|; aixòés,uncamídirigitpassapertoteslesarestesdelgrafunúniccop.Siel grafcontéuncamíeuleriàesdiuqueelgrafés eulerià.
Una immersiód’ungraf G enunasuperfície Σ ésunconjuntdecorbes U (tantescomarestesen E)ipunts P (tantscomvèrtexsen V )a Σ talsque lacorba (v1,v2) té v1 comapuntinicial, v2 comapuntfinal,nopassaper capaltrevèrtex,iduescorbesnoméss’intersequenenvèrtexs.Laimmersió és 2-cellular sicadapeçaconnexaa Σ \ [U∪P] (eliminantelspuntsdela superfíciepertanyentsalgraf)éshomeomorfaaundiscobert2-dimensional. Un mapa ésungrafimmers2-cel lularmentenunasuperfíciecompactaisense vora.Nomésconsideraremsuperfíciesorientables.Lespeceshomeomorfesa discssónles cares delmapa.Sielgrafimmersésungrafdirigit(otambédit graforientat),aleshorespodememfatitzaraquestfetiparlarde mapadirigit o mapaorientat;nousareml’adjectiusielcontextdeixaclarsielgrafimmersés orientatono.
Al’horaderepresentarelsmapessobresuperfíciesorientablesdemanera combinatòriaésméscòmodedividirlesarestesdelgrafen«meitatsd’aresta» odards.Llavors,ungrafespotveurecomunconjuntdevèrtexs V ,unconjunt dedards D ambunnombreparelld’elements,unainvolució ι : D → D sense puntsfixos(ι2 éslaidentitat)iunaaplicaciód’incidència A : D → V .L’aplicació ι aparellaelsdardsformantlesarestes,i A ensindicaaquinvèrtexhemd’adherir eldard.Sil’arestaésdirigida,signemelsdardsamb«+»o« »demaneraquea l’aresta (v1,v2) eldardincidenta v1 ésnegatiu(surt)ieldardincidenta v2 és positiu(entra).Enelcasdemapesorientats,usem σ perdenotarl’assignació designesoposatsalsdosdardsd’unaarestademaneraquel’arestadelgraf subjacentestàdirigidadelvèrtexincidentaldardnegatiucapalvèrtexincident aldardpositiu;peraltrabanda,unaassignaciódesignesoposatsalsdosdards d’unmapageneraunaorientaciódelesarestesdelgraf(delvèrtexincidental dardnegatiucapalvèrtexincidentaldardpositiu).
Donatelmapa M corresponentaunaimmersiódelgraf G alasuperfície orientable Σ,podemusarl’orientacióde Σ perinduirunordrecíclicdels dards(arestes)alvoltantd’unvèrtexde G.Siretallemundiscsuficientment petitcentratenunvèrtexdetalmaneraqueeldisccontéunúnictrosde corbaconnexperacadadard,aleshoresl’orientacióenspermetinduirun ordrecircular,seguintelsentitantihorarirespecteal’orientaciópositivadela superfície,alsdardsincidentsalvèrtex.Vegeulafigura4.Podemidentificar lescaresde Σ \ G amblaseqüènciad’arestesenordrecircularquecomponen
Observemquepodemrevertiraquestaconstrucció:siperacadavèrtex v de G donemunordrecíclicalsdardsindicentsa v,podemgenerarunmapa M queéslaimmersiódelgraf G enunasuperfícieorientable.Codifiquemaquests ordrescíclicscomelsciclesenquèdescomponunapermutacióentreels dards τ : D → D:podemidentificarelsciclesde τ ambelsvèrtexsde G.Definim lescarescomlaseqüènciadedards (d1,...,dk) talque di = τ 1ιdi 1.Ésadir, teninteldard di 1,l’aplicació ι enstraslladaalasevaparella(al’altrabanda del’aresta),il’aplicació τ 1 ensdonal’anteriordardenl’ordrecíclicdedards alvoltantdelvèrtexcorresponent.Siadherimdiscsalesarestescorresponents alaseqüènciadedardsqueformenlescaresespectant-nel’ordenació,obtenim unasuperfíciecompactasensevora.Vegeulafigura5.
Cares delmapa: {ci}
5: Caresd’unmapa.
Ambunamicad’imaginaciópodemveurequelasuperfícieésorientable ielgrafhiestàimmers2-cel.lularmentiinduintelmateixordrecíclicdeles arestesalvoltantdelsvèrtexsqueeldonatper τ [8].Ditd’unaaltramanera: laimmersióde G a Σ determinaunívocamentunordrecíclic τ i,amésamés,
Definició 3 (Grafigrafenriquitd’uncodideGauss,). Sigui ω uncodi (ounparàgraf)deGaussnosignaten n símbols {s1,...,sn} i2n lletres {l1,...,l2n}. El grafde ω ésungrafdirigit4-regular Gr(ω) = (V,E) = G on:
• V(G) sónelssímbolsde ω: {s1,...,sn}
• Posemuna (sj ,si) si si segueix sj enl’ordrecíclicinduïtper ω.Més precisament, E(G) éselconjuntd’arestes {(J(li),J(N(li)))}i∈[2n],on J(·) ensdonaelsímboldelalletra li i N(·) ensdonalasegüentlletra de ω.
Enriquim elgraf G aparellant,peracadavèrtex s0,l’aresta (si,s0) amb (s0,sj ) si hihatreslletres l1, l2 i l3 talsque J(l1) = si, J(l2) = s0, J(l3) = sj i l2 = N(l1), l3 = N(l2).Ésadir,lestreslletressónconsecutivesa ω.
Exemple 4. ElgrafenriquitdelcodideGaussdelafigura6vedonatpels vèrtexs V ={a,b,c,d},lesarestes
E ={(a,b),(b,c),(c,d),(d,b),(b,a),(a,d),(d,c),(c,a)}={e0,e1,...,e7} il’aparellament {ei,ei+1} amb i ∈ [0, 7] iíndexsmòdul8.
8 Suposantque,donatsunvèrtex u iunaarestaadjacent a = (u,v),podemaccedirala informaciódelvèrtex v entempsconstant,ialesarestessegüentianteriora a entemps constant.
Donatquepodemexaminarles2n possiblesmaneresdesignarlaparaula en n símbolsdemaneraexhaustiva,iquepodemdeterminarsiésunmapa plaonoenunnombred’operacionslinealen n,podemresoldrelaqüestió2i, pertant,laqüestió1usantforçabrutaenunnombred’operacionsdel’ordre de n2n.Laqüestióinteressantalgorítmicamentés,doncs,ladedonaruna respostapositivaonegativaensubstancialmentmenysoperacionsque Cn2n , on C ésunaconstant.Comveurem,podremdeterminarsiuncodideGaussés realitzablealplaentempslinealen n,queéselmateixordrequedeterminar siuncodideGausssignatéspla.
Lamaneraestàndarddedibuixarundiagramadecordesésdisposarels 2n puntsalcerclepla,detalmaneraqueelcercledibuixalesarestesdela vorail’aparellamentperfecteesdibuixaal’interior.El grafd’intersecció I d’undiagramadecordes C éselgrafquetéunvèrtexperacadaarestade l’aparellament,idosvèrtexsa I sónadjacentssilesrespectivesarestesestallen a C.Vegeulafigura8.
Figura 8: Exempledediagramadecordes,mateixdiagramadecordes amblesinterseccionsremarcades,igrafd’intersecciódeldiagramade cordesanterior.
Tantenelcas(ii)comenel(iii),siensaturemjustabansd’arribaralpuntdetall iprenemunapetitadreceracapalabrancaquecanviadedirecció,aleshores eliminemelpuntdetall(vegeucomlafiguracentralalafigura9estransforma enlesfigureslateralssenseelpuntdetall).Així,enaplicar(ii)o(iii)alpunt detall s,podemdirquelescorbes«estoquen»a s sensetallar-se,obéquees tallentangencialmenta s,obéquehemdesfetelpuntdetall s.
SitenimuncodideGauss
ω = Xs1s0s2Ys3s0s4Z,
on X, Y i Z sónparaules,iconsideremelpuntdetall s0,aleshoresl’efecte d’aplicar(i)deixalaparaulainvariant.Siapliquem(ii), ω estransformaenel paràgraf
Xs1s4Z s2Ys3
i s0 hadesaparegut:l’hem«desfet»o«resolt». Sifemelcanvi(iii),obtenimlaparaula
Xs1s3Ys2s4Z,
on Y denotalaparaula Y ambleslletresenordreinvertit: abc...t = t...cba Enaquestcas,hemcanviatelsentitdelstramsdecorbaentreleslletresde Y . Enelscasos(ii)i(iii),idegutalfetqueensinteressaràdereconstruiro desferaquestesoperacions,usarem
Xs1s0s4Z s0 s2Ys3 obé Xs1s0s3Ys2s0 s4Z
perdenotarqueelsnouscodisdeGausscomparteixenelpuntdetall s0 i denotarlasevalocalitzacióabansdedesfereltall.Consideremque s0 i s0 són dospuntsdelacorba(olescorbes)diferentsdelplaquejanosónpuntsde tall;alternativament,podemconsiderarque s0 i s0 ésunpuntd’interseccióon lescorbesestallentangencialmentinoescreuen(esbesen).
Usant(iii)Usant(ii)
Figura 9: «Simplificació»delcodideGauss:eliminemencreuamentsi doneminformacióalternativaamblaqualrecuperar-los.
3.1Referelspuntsdetall
Pertald’invertirl’operació(ii)calquelapartdelacorbaquepassaper si ila quepassaper si tinguinsentitscongruents.Pertaldedesfer(iii)calquelapart delacorbaquepassaper si ilaquepassaper si tinguinsentitsoposats.Vegeu lafigura9.
Canviantelsentitiladirecció:aplicant(iii). Aplicantuncop(iii)auncodi deGaussrepresentatper γ obtenimunaaltracorba.Ésclarqueelresultatfinal d’aplicarsempreelcriteri(iii)seràunanovacorbasensepuntsdetall γ (vegeu lapartesquerradelafigura9olafigura10).Si γ ésalpla,aleshores γ també seràalpla,ésadir, γ ésunacircumferènciadeformadaalpla.Siendesferels nusosdeformemlacorbaelmínimpossibleimantenimelsnouspunts si i si propersalpuntdetalloriginal si,aleshorespodemconnectar si i si ambuna cordaaddicionalsenseobtenirnouspuntsdetall.
ésuncodideGaussrealitzable,i γ unacorbaqueelrealitza,aleshoressi desfemelpuntdetall s1 usant(iii)generemdospuntsnous s1, s1 itramsde corba t1s1t3 i t2s1t4.Si s1 i s1 sónpropersa s0 alpla,aleshorespodemafegir unacordaentre s1 i s1 sensecrearcappuntdetalladdicional.Repetintaquest procésseqüencialmentobtenimlanovaparaula ω queté,perdiagramade cordes,elmapaobtingutmitjançantl’addiciódelescordesentre si i si .Aquest diagramaésplajaquehemdesfettotselspuntsdetallinon’hemcreatde nousenafegirlescordes.
Si ω ésrealitzablealpla,aleshores(a)sesatisfà. Veureaquestapartésequivalentaveurelaproposició2.A γ lesdueslletresambelmateixsímbol a generenunasubcorbatancada.
delletresde ω delmateixsímbol s1 divideixlaparaulaenduesparts A1 i A2. Llavors,duescòpiesdelsímbol si estanadiferentspartssiinoméssi s1 i si són adjacentsalgrafd’interseccióde ω.(L’aresta sj deldiagramadecordesno creual’aresta s1 quanelssímbolsestanniats;vegeualafigura8arestesde a i de c.)Pertant,cadavèrtexdelgrafd’intersecciótégrauparellsiinoméssiel nombredelletresentrecadaparelldelletresdelmateixsímbolésparell.
Denotemper Xi eldiagramadecordesde ωi.Denotemper Mi, i = n,n 1,..., 1, 0,elmapaobtingutderefereltall si+1 a Mi+1.Enparticular, Mn ésel mapaassociataldiagramadecordes Xn.Lataula1(parcialmentil.lustradaala figura11)resumeixelsdiferentstipusdetallsentrelescordesrelacionades amb si+1 iduescordesgenèriques st i sj abansidesprésd’aplicar(iii):si sj i si+1 noestallen,aleshoreslarelaciódetallentre sj i st nocanviaen capgirar si+1;si sj i si+1 estallen,aleshores sj i st canvienelseuestatdetall segonssi st talla sj+1 ono.Delataula1endeduiremlesafirmacions (2), (3), (4)descritesmésavall. Tall (sj ,si+1)
Xi i Xi+1
sj talla si+1 i
sj notalla
(st ,si+1)
Xi
st talla si+1 i st talla
talla si+1
(st ,si+1)
Xi+1
j st talla
(st ,sj )
Xi+1
notalla
i+1 st talla sj st notalla si+1
t talla sj
st notalla si+1
talla
talla
t notalla
t notalla si+1 st talla sj
t notalla sj st notalla si+1 st notalla sj
t notalla si+1 st talla sj
st notalla si+1 st notalla sj st notalla si+1 st notalla sj
Taula 1: Taularesumdel’efectededesferelpuntdetall si+1 de Xi a Xi+1.
s(1) t,1
si+1,2
s(1) t,1
s(3) t,2
s(2) t,2
sj,1
s(2) t,1
s(4) t,1
s(4) t,2
Capgirem si+1
si+1,1
s(3) t,1
sj,2
s(4) t,2
si+1,2
s(1) t,2
s(4) t,1
s(2) t,1
sj,1
s(2) t,2
s(3) t,2
s(1) t,1
si+1,1
s(3) t,1
sj,2
Figura 11: Il.lustraciódelataula1.
A Xi,l’aresta si+1 estallaamb unnombreparelld’arestesd’entre {si+2,...,sn} (2)
Veurem (2) mitjançantunargumentinductiuen i mésrestrictiu:tot sj amb j ≥ i + 1tallaunnombreparelld’arestesd’entre {si+2,...,sn} a Xi.El cas i = 0éscertperlacondiciódeGauss.Suposem,doncs,que sj tallaun nombreparelld’arestesa {si+1,...,sn} aldiagramadecordes Xi de ωi idividim l’argumentendospetitscasos:
Si sj notalla si+1,aleshores,usantlataula1, sj talla st amb t ≥ i + 2a Xi+1 siinoméssi sj talla st a Xi.Lahipòtesid’inducciófalaresta.
Si sj talla si+1,aleshores S denotaelconjuntd’arestesd’entre {si+2,...,sn}\ {sj } quetalla si+1.Delahipòtesid’inducciódeduïmqueunnombreparell d’arestesd’entre {si+2,...,sn} talla si+1.Pertant, |S| éssenar.Perlataula1,la paritatdelconjuntd’arestesd’entre S quetallaa sj a Xi ia Xi+1 ésdiferent. Aixòdarrer,afegitalfetquelesarestesquetalla sj d’entre {si+2,...,sn}\{sj }\S éselmateixa Xi ia Xi+1,que sj talla si+1,iquehihaunnombreparelld’arestes quetallen sj d’entre {si+1,...,sn} a Xi (perlahipòtesid’inducció),faqueel nombred’arestesquetallen sj d’entre {si+2,...,sn} a Xi+1 siguitambéparell. Resseguintl’argumentde(2)veiemtambé(3)i(4).
Si sj notalla si+1 aldiagramadecordes Xi de ωi, aleshoreslaparitatdelnombredetallsde sj amb lesarestes {si+1,si+2,...,sn} a Xi éselmateixque laparitatdelnombredetallsentre sj amb lesarestes {si+2,...,sn} a Xi+1.
Si sj talla si+1 aldiagramadecordes Xi de ωi,i j<i + 1, aleshoreslaparitatdelnombredetallsde sj amb lesarestes {si+1,si+2,...,sn} a Xi ésdiferentde laparitatdelnombredetallsentre sj amb lesarestes {si+2,...,sn} a Xi+1.
(4)
Començantareferelstallsa Xn de ωn = ω observemque,sipodemrefer irefemeltall sj ,il’arestade si tallalade sj amb i<j a Xj ,aleshoresel sentitrelatiuentrelesbranquesdelacorbaa si i si canvia.Alhora,laparitat delnombred’arestesque si tallaa Xj 1 d’entre {sj ,...,sn} canviarespectedel nombred’arestesd’entre {sj+1,...,sn} que si tallaa Xj .Comquecomencem ambunnombreparelldetalls,0,elssentitssónoposatsperatotsels si (comencemambunacorbatancadasensetallsalpla),icanviemdeparitat unnombreparelldecops(elnombredetallsde si a Xi entre {si+1,...,sn} ésparell),elnombredecanvisdesentitésparelli,pertant,comquehem començatamborientacionsoposades,quanvolemrefereltall si aquesttindrà orientacionsoposades.Pertant,podremrefertotselstallsiobtenimuna representacióde ω0 = ω alpla.Aixòconcloulademostració. ✷
ObservemquelasegüentarestaacadacercledeSeifertestàdefinidade maneraúnicasielgrafprovéd’uncodioparàgrafdeGaussnosignat.Pertant, elscerclesdeSeifertdescomponenlesarestesdelgrafde ω enciclesdirigits tancats C1,...,Cr .Denotemper C elconjuntdecerclesdeSeifert.
Definició 11 (GrafimapadeSeifertd’unparàgrafdeGauss). Sigui Ω el grafenriquitd’uncodi(oparàgraf)deGauss ω,aleshores Sf(Ω) = Sf(ω) és el mapadeSeifert M = (V,D) amb:
• Hihaundard d percadalletrade ω.Ésadir, |D|= 2n.Dosdardsformen unaarestasilesrespectiveslletrescomparteixensímbol.
• Sielcercle Ci estàformatperl’ordrecíclicdelletres (l1,...,lt ),aleshores eldard dlj associatalalletra lj , j ∈{1,...,t},ésincidentalvèrtex Ci i l’ordrecíclicdelsdardsalvoltantde Ci és (dl1 ,...,dlt ).
Unasignatura ω+ de ω = ...l1l0
on l0 i l0 tenenelmateixsímbol s0,orientalesarestesde Sf(ω) delamanerasegüent(vegeulafigura14peralcercledeSeifertilafigura2peral signe/orientaciódelpuntdetall):
• Si ω+ signa s0 positivament(+),aleshoresl’arestade s0 vade C1 a C2
• Si ω+ signa s0 negativament( ),aleshoresl’arestade s0 vade C2 a C1
Proposició 14. Sigui ω unparàgrafdeGaussrealitzablealpla,isigui Ω un mapaorientatplaquerealitza ω.Suposemqueelplaestàorientat.Aleshores:
(a) QualsevolcercledeSeifert c de Ω ésunacorbatancadaalplasenseautointerseccions.L’orientaciódelesarestesde Ω elsdonaunaorientació. Enparticular, c tél’orientacióhoràriaoantihorària(respectedel’orientaciódelpla).
(d) Siguin c1, c2 elsdoscerclesdeSeifertde Ω queestoquena v.Siguin c+ 1 i c+ 2 elsdardsde Ω quevancapa v de c1 i c2 respectivament.Denotem per c1 and c2 elsdardsquedeixen v de c1 i c2 respectivament.Aleshores tenimlessegüentssituacionsrelativesentrelacontencióde c1, c2 iles sevesorientacions:
Interior/Exterior ⇒ Orientació de c1 ⇒ Orientació de c2 ⇒ Rotació de v a Ω ⇒ Orientacióde l’aresta v a Sf(Ω)
c1 al’interiorde c2 antihorària antihorària (c+ 1 ,c+ 2 ,c2 ,c1 ) de c2 a c1
c1 al’interiorde c2 horària horària (c+ 2 ,c+ 1 ,c1 ,c2 ) de c1 a c2
c1 al’exteriorde c2 antihorària horària (c+ 1 ,c+ 2 ,c2 ,c1 ) de c2 a c1
c1 al’exteriorde c2 horària antihorària (c+ 2 ,c+ 1 ,c1 ,c2 ) de c1 a c2
Taula 2
(e) CadacercledeSeifertquenoésvèrtexdetallalmapadeSeifertde ω és unacara(possiblementlacaraexterior)delmapa Ω.
3. Considereml’arbredeblocs2-connexosde M (mésconcretament,delgraf subjacenta M)[6,proposició3.1.2].Elspuntsd’articulaciódel’arbresón elspuntsdetallde M
Arrelemelblocde v0 a v0.
L’arreld’unbloc2-connex B éselvèrtexde B quedesconnectalaresta de B respectea v0,l’arreldelmapa M.
L’arreld’unaunióconnexadeblocs2-connexos {B1,...,Bs } vedonada perl’arrelmésproperaa v0;aixòés,si vi éselvèrtexarrelde Bi,aleshores l’arrelde {B1,...,Bs } éselvèrtex vi talque d(vi,v0) = minj∈[s] d(vj ,v0).
4. Sigui v unvèrtexde M isiguin B0,B1,...,Bk lescomponentsconnexesa M \{v},i L1,...,Lr elsllaçosde v 10 Peratot i ∈ [0,k],denotemper Bi elgrafinduïtper V(Bi ) ∪{v},senseelsllaçosde v. B0 contéelvèrtex v0.
Siguin d1,...,dt elsdardsordenatscíclicamentde M incidentsa v.Sigui Sv elgrafqueté {d1,...,dt ,B0,B1,...,Bk,L1,...,Lr } comaconjuntde vèrtexs.Comaarestes: Bi ésadjacenta dj siinoméssil’aresta {dj ,ι(dj )} de M pertanya Bi.Tambéconnectem di amb di+1,índexsmòdul t,detal maneraque d1,...,dt formauncicle. Li ésadjacentalsvèrtexs dj , dj si inoméssi Li éselllaç {dj ,dj } a M.
Peratotvèrtex v,quesiguidetalloquecontinguillaços(ésadir, tot v talque k ≥ 1obé r ≥ 1),obési v = v0,decidiremsi B ∈ {B0,B1,...,Bk,L1,...,Lr } és dins de v obé fora de v delamanerasegüent:
(a) Si Sv ésplanar,sigui Mv unaimmersióplanade Sv .Elcicle (d1,...,dt ) a Mv determinaduescaresalpla,lacara exterior ilacara interior
Unvèrtexde {B0,...,Bk,L1,...,Lr } ésa dins de v siestrobaala carainterior,iés fora siestrobaalacaraexterior.
Si v ≠ v0,aleshores B0 ésalacaraexteriorde Mv Si v = v0,aleshores B0 ésalacarainteriorde Mv0
(b) Si Sv noésplanar,aleshores M noésunmapadeSeifertd’un paràgrafdeGaussrealitzablealpla. Enaquestcas,denotemper Dv undibuixplade Sv ambelnombre mínimd’encreuamentsentrelesarestesde Sv amblacondicióque lesarestesdelcicle d1,...,dt noestallenduesadues.11
Delesduescaresinduïdesper v a Dv (pelcicle d1,...,dt ),declarem quelacaraqueconté B0 éslacaraexterioriquel’altracaraésla interior(llevatdelcasque v = v0,llavors B0 ésalacarainterior).
5. Donatunbloc2-connex B ambarrel v,ordenemelsvèrtexsde B d’acord amblesdistànciesa v.Sigui l(v) elcolorde v:
(a) Si B ésdinsde v,aleshoresacoloremelsvèrtexsadistància i de v ambcolor l(v) + i + 1 mod 2(detalmaneraqueelsveïnsde v tenen elmateixcolorque v).
(b) Si B ésforade v,aleshoreselsvèrtexsadistància i de v rebenel color l(v) + i mod2.
(c) Elparedelvèrtex u a B éselmínimveíde v (enl’ordenaciótotalque hemdonatalsvèrtexs)queésestrictamentméspropera v0 que u.
10Elscasosinteressantssón v = v0 o v unpuntdetall,oquecontinguillaços.
Proposició 15 (Propietatsde Alg(·)). Sigui M unmapaconnex.Aleshores
(a) Alg(M) donaunaorientacióalesarestesde M
(b) Siguin {M1,...,Mq},totselspossiblesmapesorientatsque Alg(M) dona comasortida(perexemple,segonslesdiferentstriesdemapaplaper a Sv alpas4(a)).Suposemqueelmapaobtingutusantladefinició12a M1 éspla.Aleshores,usantladefinició12a Mi obtenimunmapaplapera tot i ∈ [q].
Laplanaritatde Ω indueixunaorientacióhorària/antihoràriaalscercles deSeifert(segonsl’orientaciódelesarestesinduïdaper ω il’orientaciópositivadelpla),iunarelaciód’interior/exteriorentredoscerclesdeSeifert,pel fetdesercorbestancadesalplaquenoestallenentreelles.Usantlapart(e) delaproposició14, Sv ésungrafplanarperatotvèrtexdetall v de Sf(ω). Encaramés;perlasegonapartdel’afirmació1,juntamentambl’argumentjust posterioralaprovadel’afirmació1,podemconcloureque Ω indueixunmapa plaperatotsels Sv ,on v ésunvèrtexdetallde Sf(ω) o v = v0.Llavors,tenim lessegüentsrelacionsentre Ω,Sf(ω) ielsmapesplansinduïtsper Ω a Sv :
1. Si c ésuncercledeSeifertquecomparteixunpuntdetallamb v a ω (v i c sónadjacentsa Sf(ω)),i c ésal’interior/exteriorde v a Ω,aleshores c ésal’interior/exteriorde v alaimmersióplanade Sv induïdaper Ω. Aquestfetespotveureatravésdelsargumentsdel’afirmació1.
Aixòtambésucceeixamblauniódeblocs2-connexosqueconté c, Bc , a Sf(ω) \ v:totselscerclesde Bc \ v sónal’interior/exteriorde v a Ω sii noméssisónal’interior/exteriorde v a Sv .
2. Totselscerclessónal’interiorde v0.Aixòpassaatot Sv itambéa Ω ja que v0 defineixlacaraexteriorde Ω.
c tél’orientacióhorària/antihoràriaa Ω siinoméssil’algoritmeacoloreix c ambelcolor0/1.
Aquestacondicióéscertapera v0.Suposemque v téaquestapropietati vegemquèpodemdirde Sv .Si c ésveíde v,aleshoresusemlesparts1 i2anteriorsperobtenirlataula3;alacinquenacolumnaveiemquel’algoritme Alg(Sf(ω)) produeixl’ordenaciódelesarestesalmapadirigit Sf(ω) coincidentamblaqueindueix Ω viadefinició11.
Or. v a Ω/Color. de v perAlg() c int./ext.a v a Ω/Sv ⇒ Or.de c a Ω Coloració de c perAlg() ⇒ Or. {c,v} aSf(ω)
antihorària/1 c al’interiorde v c antihorària 1 de v a c antihorària/1 c al’exteriorde v c horària 0 de c a v horària/0 c al’interiorde v c horària 0 de c a v horària/0 c al’exteriorde v c antihorària 1 de v a c
Taula 3: Laprimeracolumnailasegonaimpliquenlatercerailaquarta. Laprimerailaquarta,juntamentambelfetque v éselparede c, impliquenlacinquena.
Siusemlapart3concloemquelacoloracióalarestadeblocs2-connexos tambééslacorrectajaquelacoloracióespropaga,canviantelcolor,segons ladistànciacreixenta v sabentqueelvèrtexsempreésexterioraundeja acoloritquenoés v.Observemqueenaquestscasoselscolorssóndiferents entrelesarestesi,pertant,nocalusareldesempatpare/fillal’horadedecidir ladirecciódel’aresta.
Assignemcolors {0, 1} alsvèrtexsseguint Alg(M).Per(b)podemdefinirel mapamiggiratdecadabloc2-connex N.Per(c)elsmiggiremihitrobem elmapapla N .Denotemper N elmapacreatapartirde N subdividintles arestesde N ,afegintarestesdirigidessegonsl’orientaciócíclicadelesarestes alvoltantdelsvèrtexsde N entreelsnousvèrtexs(cadavèrtexde N genera uncicledirigit,elqueseràelcercledeSeifertcorresponent),ieliminantles arestesielsvèrtexsde N;aquestaoperaciócreaunnoumapaplaoncadacicle afegitdefineixunacaraonhihaunúnicvèrtexoriginalde N
A N podemdibuixarelciclesdetalmaneraquesegueixinl’orientació indicadaperlacoloració {0, 1} de Alg( ).Efectivament,totselsciclesqueno són v obétenentotslamateixaorientacióantihorària/horàriaa N ila1/0 de Alg(·),obétotslestenendiferents(deguta(b),al’operaciódecapgirar N capa N ,ialamaneraenquèhemcreat N apartirde N ).Encasquela tinguindiferent,podem«veureelpladesdesota»iaixòinverteixl’orientació horària/antihoràriadelscercles.Finalment,si v téunaorientaciódiferenta N quel’assignadaperl’algoritme,aleshores Alg(ω) elcoloraigualqueelsseus veïns,i N ésal’interiorde v.Aixídoncs,determinemquelacaraassociadaa v éslacaraexteriorimodifiquemeldibuixde N demaneraquenoméscanviï l’orientacióhorària/antihoràriadelcicleassociata v (jaquel’anteriorcara exteriornoestavaassociadaacapcercledeSeifert,usem v per«embolcallar» oencerclarlarestade N ).Usem,doncs, v per«enganxar» N alarestadel mapatrobatanteriorment.Donatque Sv ésplanar,aixònocreacapnoutall,i elmapaonelbloc2-connex N s’haafegitcontinuaessentpla.
Aixídoncs,obtenimunarepresentacióplanade ω. ✷
5.5Demostraciódelaproposició15
Part(d). L’hemvistalademostraciódelteorema16.
Part(a). L’algoritmeassignaunvèrtexcomaarreldelgrafiunpareindependentmentdesi M ésbipartito Sv ésplanar,peratot v.L’orientaciódecada arestaquedadeterminadapercomhemtriatl’arrel,pelcolordelsvèrtexs,iel colordelpare.
Part(e). Useml’afirmaciósegüent:
Afirmació 1. Sigui σ unaorientaciódelesarestesde M, v unvèrtexde M i Sv elgrafdefinitalpas4.Si Mv(M,σ) ésunmapaenunasuperfícieorientable degènere k,aleshoreselgraf Sv tégènereorientable ≤ k. 13
Figura 16: Dalt:diferentspossiblesimmersionsplanesde Sv icomes transformenl’unaenl’altra.Baixesquerra/dreta:representacióamb B1, B2 i B3 dins/forade v a Sv
14 Elgraf G ésunmenordelgraf H sipodemobtenir G mitjançantunaseqüènciad’operacions d’eliminaciód’arestesidevèrtexsodecontracciód’arestes,lesqualsespodenduratermeen ungrafimmersenunasuperfíciesenseaugmentar-neelgènere(vegeu[37,p.463]).
Cara1 Cara2
Cara1 Cara2
Part(c). Assumimquepodemconstruirunaestructuradedadesenlaqual podemvisitarunveíconcretd’unvèrtexde M entempsconstant.Elnombrede componentsconnexesde M espotobtenirentempslinealenelnombre de |V(M)|+|E(M)| usantunacercaenprofunditat(vegeu,perexemple,el treballdeHopcroftiTarjan[22,figura1]).Donarunordretotalarbitraria lesarestesivèrtexsde M hopodemferenunnombrelineald’operacions en |E(M)|+|V(M)|.Comprovarqueelgrafésbipartittambétéuncostlineal jaqueelnombred’aresteséslineal.Elcàlculdeladescomposicióenblocs 2-connexosde M,aixícomelconjuntdepuntsdetall,espotrealitzarentemps linealenelnombrede |V(M)|+|E(M)| (vegeuHopcroftiTarjan[22,figura2]).
Sigui W = v detalla M o v0 V(Sv ) elconjuntdetotselsvèrtexsde Sv .Cada arestade M genera,comamolt,dosvèrtexsa W .Usem[23]perdeterminar sicada Sv ésplanaritrobar-neunaimmersióentempslinealen |W |.Si algun Sv noésplanar,usem(e)perdeterminarque ω noésrepresentable alplail’algoritmeacabaentempslineal.Sitot Sv éspla,entenimimmersions planesentempslinealen |E(M)|,aixòassignaunpareacadavèrtexde M il’orientaciódelesarestesde M entempslineal;ambaquestaorientació σ trobemelmapaorientat Mv(M,σ) (querepresenta ω)iendeterminemlaseva planaritatentempslineal.Usant(b),(c)ilaprimerapartdelteorema16,si ω ésrepresentablealpla, Mv(M,σ) ésplail’algoritmedonaunarepresentació planade ω entempslinealen |E(M)|+|V(M)|.
Figura 17: Correspondènciaentrel’orientaciócíclicadelesarestescap a2,3,4,5alvoltantdelpuntdetall1enlarepresentacióde ω iles immersionsplanesde Sv .
La SCM editalespublicacionsperiòdiques SCM/Notícies i Butlletídela SocietatCatalanadeMatemàtiques.Elssocisdela SCM reben,gratuïtament, aquestesduespublicacions.
La SCM téconvenisdereciprocitatambdiversessocietatsmatemàtiques d’arreudelmón,mitjançantelsqualselssocisdela SCM obtenenunareduccióenlaquotadesocid’aquestessocietats.Aixímateix,elssocisdela SCM podenfer-sesocisdelaSocietatMatemàticaEuropeapagantunaquota complementària.
