BSCM, 32-2 by Institut d'Estudis Catalans

BUTLLETÍ

DE LA SOCIETAT CATALANA

DE MATEMÀTIQUES

Institut d’Estudis Catalans

Joaquim Bruna i Joan del Castillo Un apunt de matemàtica financera

Enrique Casanovas Ruiz-Fornells Definibilitat en estructures matemàtiques -------------------------------------------

Mihyun Kang i Zdenek Petrášek Grafs aleatoris: teoria i aplicacions, de la naturalesa a la societat

índex Volum 32 • Número 2 • Any 2017

BUTLLETÍ

DE LA SOCIETAT CATALANA DE MATEMÀTIQUES

Institut d’Estudis Catalans

Volum 32 ● Número 2 ● Desembre 2017

BARCELONA 2017

©delsautorsdelsarticles

EditatperlaSocietatCatalanadeMatemàtiques ﬁlialdel’Institutd’EstudisCatalans CarrerdelCarme,47 08001Barcelona

Textrevisatlingüísticament perlaUnitatdeCorrecciódelServeiEditorialdel’IEC.

ImprèsaLimpergraf,SL

ISSN:0214-316-X DipòsitLegal:B19272-1987

Sónrigorosamentprohibides,sensel’autoritzacióescritadelstitularsdel copyright,lareproducciótotaloparciald’aquestaobraperqualsevolprocedimentisuport,incloent-hilareprograﬁa ieltractamentinformàtic,ladistribuciód’exemplarsmitjançantllogueroprésteccomercial,la inclusiótotaloparcialenbasesdedadesilaconsultaatravésdexarxatelemàticaod’Internet. Lesinfraccionsd’aquestsdretsestansotmesesalessancionsestablertesperleslleis.

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.32,núm.2,2017

Índex

JoaquimBrunaiJoandelCastillo

Unapuntdematemàticaﬁnancera................................................101

EnriqueCasanovasRuiz-Fornells

Deﬁnibilitatenestructuresmatemàtiques........................................133

MihyunKangiZdenˇekPetrášek

Grafsaleatoris:teoriaiaplicacions,delanaturalesaalasocietatialcervell...155

Englishsummaries.....................................................................179

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.32,núm.2,2017.Pàg.101–131. DOI:10.2436/20.2002.01.75

Unapuntdematemàticaﬁnancera

JoaquimBrunaiJoandelCastillo

Resum: Capalsanyssetantadelseglepassat,elmóndelesfinancesexperimentà unarevolucióamblageneralitzacióiamblacomercialitzaciódelsproductesfinancers derivatsi,sobretot,amblaintroducciódelmodeldeBlack-Scholesperafer-nelavaloració.L’objectiud’aquestarticleésdescriureaquestmodeld’unamaneraautocontinguda itanelementalcomsiguipossible,seguintbàsicamentCox,RossiRubinstein[6]. AixòrequereixparlarprèviamentdelmodeldeSamuelsonperalsactiussubjacents, queutilitzaelmovimentbrowniàgeomètric.Alfinalfemunesconsideracionssobre lavalidesad’aquestsmodelsicoms’utilitzaavuiendialafórmuladeBlack-Scholes alapràcticadiària.

Paraulesclau: lleinormal,movimentbrownià,processosestocàstics,actiusﬁnancers, valoraciód’opcions,arbitratge,modeldeBlack-Scholes,coberturaderisc.

ClassiﬁcacióMSC2010: 91G20,91G60,91G70.

1Observantelsmercatsﬁnancers

L’economiarealtractadelaproducció,ladistribucióielsintercanvisdebénsi serveis.Aquestsintercanvisvarenfernéixereldiner,justamentperafacilitarlos.Ambeldinerneixenelsinstrumentsfinancers(diferentsformesdediner),elsqualsoriginenlesinstitucionsfinanceres,quetractendeprotegir-loi assegurar-lo.Espotdirquelesfinancesnosónmésquel’estudidel’evolució temporaldelesdiferentsformesdediner.

Unadescripciódelsmercatsﬁnancersperamatemàticshadecomençar amblafórmuladel’interèscompostcontinu,ésadir,lafórmuladelcreixement deldinersenserisc.ThomasEdison(inventori,sobretot,homedenegocis) consideravaqueaquestaeralafórmulamésimportantdelesmatemàtiques.

Anomenem ra eltipusd’interèscompostanual,queenàmbitsﬁnancerses coneixcoma interèsTAE.Siavuitenimunsestalvisenundipòsitbancari D0 enanyssuccessiustindranunvalor

Evidentment,aquestaexpressiótambétésentitperaperíodesdetemps t quenosiguinmúltiplesentersdel’any.Matemàticamentésmésentenedor posar1 + ra = er ,ésadir, r = ln(1 + ra),deformaque

aleshorespodemescriure

dDt dt = rDt ⇐⇒ dDt Dt = rdt, quediuqueeldiner(senserisc)rendeixencadainstantambtaxa r iperaixò r s’anomenal’interèscontinu.Estrictament,comque er ≥ 1 + r ,tenimque ra >r .Defet,atèsque er = lim n→∞ 1 + r n n , r potserinterpretattambécomuntipusd’interèsanualsimple,inicial,quefet compost,pagatdeformacontínua,donalloca ra >r .Avegadessentimparlar deltipusd’interèscompostmensual rm,queevidentmentnoés ra 12 sinódeﬁnit perlaigualtat

1 + ra = (1 + rm)12 .

Desprésdel’interèscomposthemdeparlard’accionsidelaborsa.Quanuna empresanecessitafinançamentperarealitzarunainversiópotacudiralmercat primaridecapitalsperemetretítolsdepropietatovendreaccions.Aquest procedimentpermetobtenirrecursosestablesilaretribucióalsinversorsestà enfunciódelbeneficiqueproduiràlainversió(repartimentdedividends).Per talqueunaempresasiguiautoritzadaavendreaccionsiesdevenirunasocietat peraccions(osocietatanònima)calqueestiguisotmesaacontrolsipresentar deformaregularinformaciósuficientperquèelspossiblescontractantspuguin saberquèelsofereixen.Normalmentnoméslesgransempresess’acullena aquestesexigències.Uncopemeseslesaccions,aquestess’intercanvienen laborsaielseupreus’ajustaal’ofertailademanda.D’aquestamaneraes produeixenoscil.lacionsquerecullendiàriamentelsmitjansdecomunicació.Els índexsborsarisquesovintsentimanomenarenelsmitjansdecomunicació,com aral’Ibex35,elDowJones,etc.,sónmitjanes,engeneralponderadessegons elseunivelld’importància,delsvalorsdelesaccionsdelesempresesquehi entren.

Totiquelaunitatdetempsenfinancesésl’any,lainformacióésseguidaa tempscontinu,iesdiuqueunanotíciadeixadetenirvaloreconòmicalcap d’unquartd’hora.Així,anomenarem S(t) (obé St ,del’anglès stock)elpreud’un determinatactiufinancerenl’instantdetemps t.Esparlade dadesd’alta freqüència quanlesobservacionssónfetesaintervalsinferiorsaldia.Elmés habitual,però,éstreballarambelspreusdelsactiusalfinaldeldia,anomenats preusdetancament

Suposaremdemomentquehemobservatunasèrietemporaldiàriadedades detancament St ,on t prenvalorsentersde0a n.La rendibilitatneta del’actiu enundeterminatdia t és

t = (St St 1)/St 1,

ésadir, St = (1 + Rt )St 1.Aquestaéslarendibilitatalaqualesrefereixen diàriamentelsmitjansdecomunicacióenrelacióamblesempresesoelsíndexs borsaris.Deﬁniremlarendibilitatcontínua,osimplement rendibilitat,com rt = ln(1 + Rt ) = ln St St 1 = st st 1, (2)

on st = ln St s’anomenenels log-preus.PerlafórmuladeTaylor, rt = ln(1 + Rt ) ≈ Rt ,pertant,aquestesquantitatsnoesdiferenciengairedesdelpuntde vistapràctic.

Lafigura1mostral’evoluciódiàriadelspreusdel’Ibexdesdelsseusorígens finsal30dejunydel2016.Aquestésunexempledel’evoluciódeldineramb risc.Potobservar-sequeenaquestasèriequedenreflectitselsimpactessobre elspreusdelesempresesdelsfetseconòmicsipolíticsmésrellevants,que omplenlesplanesdelsmitjansdecomunicació.Perexemple,el10desetembre del1998esprodueixlasuspensiódepagamentsdeldeutedeRússia;això provocaunacaigudadelaborsaespanyolad’11000a7000puntsielsinversors perdenenunsdiesun36 % delsseusestalvis.Aquestesdevenimentvaproduir lacaigudadeLongTermCapitalManagement,empresamodelenaquellsanys assessoradaperMyronScholesiRobertMerton,quehavienestatguardonats el1997ambelPremiNobelperlasevacontribucióalavaloraciódederivats.

Finsamitjansdelseglepassat,elcomportamentdelaborsa,la tendència quesegueixundeterminatactiu,esvaintentarpredirapartirdel’estudide lesgràfiquesdelescotitzacionsdelesempresesodelsíndexstalcomel delafigura1,iextrapolantd’algunaforma.Però,ésclar,aquestesgràfiques descriuenlahistòriapassadaielpassatnodeterminaelfutur.Peraixòles previsionsfetesapartirdegràfiques(quelcomques’anomenal’anàlisitècnica) nosóngairedefiar.Tampocnoésdeterminantenelcomportamentdelpreu delesaccionselconeixementdelsbalanços,comptesderesultatsiinformació exhaustivadelesempreses(elques’anomenal’anàlisifonamental,vegeu[11]). Passaunamicacomenelfutbol,onconèixertotalainformaciórelativaals jugadors,entrenadors,directiusimassasocialdelsclubsnofapasguanyar dinersalestravesses.

Alsanyscinquanta,Markowitz(premiNobelel1990,juntamentambSharpe iMiller)introdueixunaideanovaperal’estudidel’evoluciódelescotitzacions borsàries.Aquestaéslaideade risc,ideaqueenestadísticaconeixemcoma variabilitat.Apartird’aquestmomentlatendènciadeixadeserl’únicobjectiu del’atenciódelsinversors,peracentrar-seenelbinomitendènciairisc. L’estudidelatendènciacontinuafent-sesotaelsnomsd’anàlisitècnica i d’anàlisifonamental,peròlaideademesurarelriscassociataunspossibles guanyscadacopésmésacceptada.

ElstreballsdeMarkowitz,SharpeiLintnersónlabasedelques’anomena avuila teoriamodernadecarteres (portfolios),quetractad’optimitzarelrendimentd’unacarterad’accionsuncopﬁxatuncertnivellderisc.Lateoria mostraclaramentelsavantatgesdediversiﬁcarlesinversions,talcomrecull ladita«Calnoposartotselsousalmateixcistell».Defet,hompotferveure quelamillorinversióenrendavariabledebaixriscésseguirl’índexdelmercat dinsdelapròpiadivisa.Ésadir,dinsdelazonaeuro,comprarunacistella d’accionsquerepliquil’índexEuroStoxx50,deles50empreseseuropeesmés importants.

Ibex35,del1992al2016

Inicidelarecessiómundial(9/8/07)

Atacalestorresbessones(14/9/01)

Explosiódelabombollatecnològica

Crisiﬁnancerarussa(10/9/98)

Brexit(24/6/16)

LehmanBrothers(15/9/08)

CrisideLTCM(setembre1998)

14-gen.-9214-gen.-9414-gen.-9614-gen.-9814-gen.-0014-gen.-0214-gen.-0414-gen.-0614-gen.-0814-gen.-1014-gen.-1214-gen.-1414-gen.-16

Figura 1: Ibex35,desdelcomençamentdel’índexﬁnsamitjans del2016.

2Modelitzaciódelsactiusderendavariable

Donarunmodelútildelsmercatsfinancersnoésunatascafàcil.Adiferència delsmodelsperal’economia,elsmercatsfinancerssónessencialmentimpredictibles;d’aixòenparlaremalasecció9(elnostrecompanyC.Simóacostuma adirquelaraóésquelamalafedelespersonesésdifícilmentmodelitzable matemàticament).Elmodelbàsicques’haacabatimposant,desprésdeltreball deBlackiScholesel1973[4],quedescriuremmésendavant,ésel passeig aleatori.Éssignificatiuconstatarquehemarribataaquestmodeltresquartsde segledesprésqueLouisBachelieressencialmentelformulésenlasevatesi[2]. Efectivament,PaulSamuelsontreballavaalMITalsanyscinquantaquan vatenirnotíciadelatesideLouisBachelier,«Théoriedelaspéculation»,

defensadael29demarçdel1900alaUniversitatdeParís.Aquestatesi, quehaviaquedatoblidada,vatenirunaprofundainfluènciaeneltreballque Samuelsonestavarealitzantiatravésd’elltambévaarribaralseconomistesi enparticularalsseusalumnes,entreelsqualsdestaquenRobertMertoniMyron Scholes,mencionatsanteriorment,elprimerdelsqualsvaferlacontribució fonamental[12].ElquehaviafetBachelier,mésdecinquantaanysenrere, eradonarunmodelperal’evoluciódelsactiusfinancersbasatenelque avuiendiemun passeigaleatori.DesdeSamuelson(premiNobeld’economia el1970,elprimeramericàenaconseguir-lo)elmodelfonamentalperals actiusfinancerspostulaquelesrendibilitatsesdistribueixencomavariables aleatòriesgaussianesindependents.

2.1Elmodeldiscret

Demomentenscentraremenunmodeldiscretenelqualhemﬁxatlaunitattemporald’undia,iutilitzemlanotació St .Mésendavantpassaremala unitattemporald’unany,amblanotació S(t),suposant,coméshabitual,que elnombredediesdenegocidel’anysón250.Així St = S(t/250) peralpreu deldia t, t = 0, 1, 2,...,n

ElpostulatintroduïtperSamuelsonésquelesvariables rt tenenunallei normalisónindependents:

rt ∼ N(µd,σ 2 d ), independents. (3)

Elsparàmetres µd i σd sónelvalormitjàiladesviaciótípicadiaris.Donatque µd i σd nodepenendeltemps t,diremquelasuccessió {rt } és estacionària. Aleshores,iterantapartirde(2),

(4)

ésunasumadevariablesaleatòriesindependents,amblamateixalleinormal. Diremdoncsquelasuccessió {st } ésunprocésambincrementsindependents, estacionarisigaussians,otambéqueésun passeigaleatori(gaussià) amb esperança µd idesviaciótípica σd.Suposantque t = 0corresponaldiainiciali que s0 = ln S0 ésconegut,itenintencomptequelasumadevariablesaleatòries independentsnormalséstambénormal,resultaque st tédistribuciógaussiana, ambesperança,variànciaidesviacióestàndarddonadesper

E(st ) = s0 + tµd,V(st ) = tσ 2 d , sd(st ) = tσd.

Veiem,pertant,que µd éselpendentde E(st ),iperaixòs’anomenatambéla tendència.AquestésundelsresultatsfonamentalsjatrobatperBachelier:els guanys(omillorditl’esperançadeguany),representatsper tµd,creixencom t, ielsriscos,representatsper √tσd,creixencom √t;vegeulaﬁgura2.Ésadir,a llargtermini(t gran)latendènciadominaràsobreelrisc,peraixòesdiuquela borsaésunainversióquecalferallargtermini.

Donatquelaunitatdetempsenﬁnancesésl’any,anualitzaremelsparàmetresapartirde

µa = 250µd,σ 2 a = 250σ 2 d , (5)

on µa representaarala tendència anualdelprocésdelog-preusi σ 2 a laseva variànciaanual,anomenadaenaquestcontext volatilitat.D’aquestaforma,siel tempselmesuremenanys,tindremqueaescalalogarítmica s(t) tédistribució normalambparàmetres s(0) + tµa i √tσa.Unavariablealeatòria Y queésde laforma Y = eX ,amb X unavariablenormal,s’anomena variabledetipuslognormal.Així,aescalanatural S(t) = es(t) téunadistribuciólog-normal.S’hade pararcomptequeelsparàmetresdelalleide s(t) janorepresentenl’esperançai variànciade S(t).Podemcalcularl’esperançade S(t) utilitzantquel’esperança d’unavariablealeatòria g(X),funciód’unaaltravariablealeatòria X ambfunció dedensitat fX ,és

E(g(X)) = g(x)fX (x)dx. (6)

Enelnostrecaspodemescriure S(t) = es(t) = es(0)+tµa+√tσaZ = S(0)etµa e√tσaZ , amb Z normalestàndard N(0, 1).Pertant, E(S(t)) = S(0)etµa 1

icompletantquadratstrobem

E(S(t)) = S(0)et(µa+ 1 2 σ 2 a ) = S

on µ = µa + 1 2 σ 2 a éselvaloresperatdelataxadecreixement(odecreixement) delainversiómantingudadurantunany(compareulafórmulaamb(1)).

Totseguitveuremquèensdiuaquestmodelsobrelesdadesdelafigura1.La sèriehistòricade«preus»diaris St del’Ibex35vadel14degenerdel1992fins al30dejunydel2016,ienaquesttempsl’índexevolucionade S0 = 2693finsa Sn = 8163punts.Elmàximdelasèrieés15895iesprodueixel6denovembre del2007.Sónmésde24anys,aproximadament6000observacions (n = 5942). Apartird’aquestasèriedels St calculemlesrendibilitats rt = ln St St 1 ,quesón mostresdevariablesnormals N(µd,σ 2 d ) independents,segonselmodel (3).A continuaciófemunaestimacióde µd, σd utilitzantelsestimadorshabitualsde lamitjanailavariància(vegeu[13]):

iobtenimunamitjanade

= 1.87 × 10 4 iunadesviacióestàndardde ˆ σd = 1.46 × 10 2;aquestsvalorssón,pertant,unaestimaciódelarendibilitat mitjanadiàriadel’Ibex µd ideladesviacióestàndarddiària σd.Així,apartir de (5),obtenimlesestimacionsdelarendibilitatmitjanaanualidelavolatilitat

Aixòensdiud’unabandaquel’Ibexdurantaquests24anyshaestatpujant, aescalalogarítmica,unamitjanade4.67 % peranyiqueelveritablecreixement anualdel’Ibex, µa,aescalalogarítmica,estrobaambun95 % deconﬁança entre

Realment,peraferprevisionsdefuturensinteressariaconèixer µa,peròamb elconeixementdetotalahistòriadel’índexnoestemsegursniqueaquest valorsiguipositiu!;l’estimemenel4.67%,peròenaquestaestimacióhihaun sorolldel23.02 %.Totiaixò,peraferprevisionsnotenimaltrecamíquefer servirlesestimacionscomsifossinelsvalorsreals,senseoblidarlesincerteses quelesacompanyen.

Elpassegüentésavaluarquinéselvaloresperatd’unainversióde S(0) = S0 = 100enIbexd’acíaunany,utilitzant (7),amb ˆ µ = ˆ µ

Deduïmque E(S(1)) = 100e0 0732 = 107 6,ésadir,avuiendiacalesperarque enunany100eurosenIbexestransforminen107.6euros.

Percomplementarelpossibleoptimismequeelcàlculanteriorhadonatdels valorsesperats,totseguitcalcularemlaprobabilitatdeperdredinersinvertint enIbexaunanyvista, Pr(S(1)<S(0)),utilitzantelsmateixosvalorsestimats delsparàmetres;si Z designalalleinormalestàndard N(0, 1) obtenim

Pr(S(1)/S(0)< 1) = Pr(Z< µa/σa) ≈ 42%, resultatqueseguramentensrefredal’optimisme.

2.2Elmodelcontinu

Finsarahemestatconsiderantperíodesdetempsquesónmúltiplesenters delaunitattemporal.Elmodeldonatper (3) i (4) ésequivalentadirqueels log-preus s(t) sónvariablesnormalsquecompleixen

E[s(t)] = s0 + tµa,V[s(t)] = tσ 2 a , cov[s(t1),s(t2)] = min{t1,t2}σ 2 a , (8)

queenaquestcontextdiscrets’anomena passeigaleatoridiscretigaussià.Aquí, cov(X; Y) designalacovariànciadelesduesvariables X, Y ,queesdeﬁneix per E(XY) E(X)E(Y).Donadalacontinuïtatdelestransaccionsenunàmbit mundial,éslògicplantejar-sesèriestemporalsambincrementsdetempscada copméspetits.Podemsubdividirelsintervalsdiarispassantaintervalsd’una hora,unminut,unsegon,etc.Així,elmodelatempscontinuéselmateix, (8), considerantquelavariable t variacontínuamenta [0, +∞).Enaquestpunt recordemalgunesnocionsgeneralsrellevants(vegeutambé[10]i[14]).

Engeneral,unafamíliadevariablesaleatòries X(t) dependentd’unparàmetre t ∈ [0, +∞) s’anomena procésestocàstic.Seguramentelmésimportantés l’anomenat procésdeWiener (obrowniàestàndard), W(t),caracteritzatperles propietatssegüents:

JoaquimBrunaiJoandelCastillo

• W(0) = 0.

• W(v) W(u) ésindependentde W(t) W(s) sempreque v>u ≥ t>s (incrementsindependents).

• W(t) W(s) tédistribució N(0,t s),peratot t>s (incrementsestacionarisigaussians).

Lademostraciórigorosadel’existènciad’aquestprocésfoufetaperWiener. Tambéestàcaracteritzatdientqueésunprocésgaussiàquecompleix (8) amb µ = 0i σ 2 = 1,

E[W(t)] = 0,V[W(t)] = t, cov[W(t1),W(t2)] = min{t1,t2}.

Aixícomd’unavariablealeatòrian’observemvalors,quesónnúmeros, cadarealització(otrajectòria) ω d’unprocésestocàstic X(t) ésunafunció t → Xω(t),on Xω(t) ésunvalorobservatde X(t).ElprocésdeWienertéquasi peratottrajectòriescontínuesnoderivables(aquínoentremeneltemadelicat deprecisarenquinespaideprobabilitatestandeﬁnideslesvariables W(t)).

El movimentbrownià (aritmètic) B(t) noésmésqueelprocésdeWiener ambtendència µ ivariància σ 2 , B(t) = µt + σW(t).Elnomprovédelbotànic anglèsRobertBrown,quevadescriureelmovimentd’unapetitapartícula(per exemple,elpol.len)totalmentimmersaenunlíquidogas.AlbertEinsteinva explicarsobrebasescientíﬁquesaquestmovimentiposteriormentNorbert Wienervafer-neeltractamentmatemàtic.D’unamanerasimpliﬁcada,un movimentbrowniàésunprocés B(t) amb B(0) = 0talque B(t + s) B(s) té lleinormal N(tµ,tσ 2) iésindependentde B(x),pera x ≤ s

Actualment,desprésdeSamuelson,espostulaqueelslog-preusd’unactiual’instant t, s(t),segueixen,talcomdiu (8),unmovimentbrowniàamb tendència µa ivolatilitat σ 2 a ,paràmetresques’estimencomhemvistanteriorment.Alternativament,homdiuque S(t) = es(t) segueixun browniàgeomètric detendència µ = µa + 1 2 σ 2 a ivolatilitat σ 2 a .ElmodelvaseracceptatpertothomdesprésdeltreballdeBlackiScholes[4]iperaixòendirem modelde Black-Scholes

Elmodeldelmovimentbrowniàera,defet,elproposatperBachelier[2]per alsmercatsfinancers,jaabansqueEinstein,peròelpostulavaperalspreus enllocdefer-hoperalslog-preus.Suposantgaussianitatpera s(t) = ln S(t), talcomesfaavui,s’evitaqueelspreuspuguinarribarasernegatius,iamés elslogaritmestransformenlamultiplicacióensuma.Méssignificativament,el postulatqueladiferència S(t + h) S(t),amb h fix,tinguiunalleiindependent delvaloractual S(t) nos’adiuamblaintuïciófinancera.Quicreuria,per exemple,quelaprobabilitatqueunaaccióqueavuival100passiavaler demà75(unapèrduadel25 %)siguilamateixaquelaprobabilitatquesiavui val200demàpassiavaler175(pèrduadel12.5%)?

Elmodelqueestemdescrivintésestocàstic,peraixònoensdiuquèpassarà, sinó quèpotpassar iambquinaprobabilitat,ensdonaideadecompoden anarlescoses.Unaparticularitatdelmodelésqueespot simular demanera senzillaperavisualitzarescenarisfutursianalitzarsiunaestratègiad’inversió

tépossibilitatsd’èxit.Lafigura2mostral’evoluciódel’Ibexelsdosdarrers anys(líniamésgruixuda)juntamentamb10escenarisalternatiusque apriori erenigualmentprobables;elsintervalsdeconfiançamostrenelcreixement deladesviacióestàndardcoml’arrelquadradadeltemps.Unaaltrapropietat fonamentaldelmodelésqueespot contrastaramblarealitat,talcomhande sertotselsmodelscientífics.Avuiestàal’abastdetothomobtenirdadeshistòriquesdecotitzacionsborsàriesambquècalcularlesrendibilitats;aleshores podemacudiral’estadísticaperobtenirunampliventalldeprovesqueens diransirealmentlesrendibilitatsescomportencomunamostrad’observacions independentsd’unadistribuciónormal.Alasecció9hoseguiremcomentant. Ibex,més10simulacions

Figura 2: Ibex(líniagruixuda)desd’abrildel2015aabrildel2017i 10simulacionsalternatives.Leslíniescontínuessónelsintervalsde conﬁançadel95%.

3Elsderivats.Nociód’arbitratge

Lagranrevolucióenelmóndelesﬁnancesesprodueixambl’apariciódel primermercatorganitzatdederivatsel1973aChicago.ElmateixanyBlack iScholespubliquenelseuprimerarticlesobrelavaloraciód’opcionssense arbitratge,queexplicaremmésendavant.Elgranimpactequevaproduir aquestapublicacióhafetqueelsmodelsambquès’estudienavuielsmercats dederivatssegueixinelllenguatgeestablertenaquestarticle,queesbasaen laversióatempscontinudelmodeldelqualhemparlatalaseccióanterior, introduïtperSamuelsonel1965.RobertMertoniMyronScholesrebrienel1997 elPremiNobelperlessevescontribucionsalavaloraciódederivats.Fischer Blackvamorirel1995.Granpartdelquesegueixacontinuacióespottrobar ampliatenlesreferències[1],[6],[9]i[11].

Pertenirunaperspectivahistòricadelmomentrecordemqueel15d’agost del1971elpresidentNixondeclaralanoconvertibilitatdeldòlarenor.Des delsacordsdeBrettonWoods,eljulioldel1944,esmantenialarelació35$per unçad’or,relacióqueerade310$/unçal’octubredel2002ide1200$/unça l’agostdel2016.Elfetvacomportarelcreixementdelainflacióil’atur.Enel període1974–1975lainflacióeradel12 % alsEUA;al’Estatespanyollainflació vapujardel7 % el1970,finsal26 % el1977.Elmarçdel1973esdecideixenels tipusdecanviflotantsicomençalapujadadelmarcalemany.Esprodueixla crisidelpetrolidel1973ilasuspensiódepagamentsdelspaïsosenviesde desenvolupament.

Elfinaldelaparitator/dòlarvaportargransoscil lacionsdepreusenles matèriesprimeresienelsactiusfinancers.Neixaixílanecessitatdeprotegir-se davantlesgransoscil lacionsdelspreusdelscereals,enparticulardelblat, moltimportantalsEUA.Aixòespotferprivadamentmitjançantun contracte atermini (forward).Perexemple,entreunagricultoriunpastisser,quefixen abansdelasembraelpreuaquèelprimervendràelblatalsegon,uncopsegat. L’agricultors’asseguraunsingressosquelipermetenferinversionsenterres, abonaments,material,etc.Elpastisserpotcomprometre’saunesvendesapreu fixarestaurants,hotels...

Uncontracteaterminiésdoncsuncontractefetatempszeropelqual ensobliguemacomprar/vendreatemps T undeterminatactiu.Quinhade serelpreu?Bé,siatempszerol’actiuval S(0),elpreujustés F = S(0)erT , suposantqueelrendimentdeldinersenseriscés r .Enefecte,si F ≠ S(0)erT , espotfernegocisenserisc:si F<S(0)erT ,unapersonaquetél’actiuelvena preu S(0),posa S(0) albancisignaelcontractedefutur(comacomprador).A temps T ,té S(0)erT dinersalbanc,delsqualsengastarà F pertornaratenir l’actiu.Hapassatdetenirl’actiuatenirl’actiumésunbeneﬁcide S(0)erT F . Isi F>S(0)erT ,algúquenotérespotguanyardinerssensecórrercaprisc: demana S(0) albanc,ambaixòcompral’actiuivenuncontractedefutur.A temps T ,cobrarà F pelseuactiuideurà S(0)erT albanc,amblaqualcosa hauràfetunbeneﬁcide F S(0)erT .Observemqueestemfenttàcitamentuna hipòtesi,queésqueenelmercatsemprepodemoperarsenselimitacionsiala taxalliurederisc.

Aquest«fernegocisenserisc»esconeixambelterme arbitratge.Perentendremillorelconcepteposemunaltreexemple.Unindustrial,alcapde90dies, hadepagarunmiliódelliuresaunproveïdor.Peradisminuirlaincertesa, farà,avui,uncontracteaterminiambunbancperacomprarunmiliódelliuresd’aquía T = 90dies,aunadeterminadataxadecanvi F .Quinataxade canvi F semblajusta?Miremelpreud’unalliuraesterlinaenunapublicació especialitzada.Podemllegir:

Avui: S = 1.322euros.

A90dies: F = 1.333euros.

L’industrialpagaràlalliuraesterlinaaunpreulleugeramentsuperiorald’avui; però,d’onsurtaquestpreu F ?Téaveureambla diferència entreelsrendiments r , s deldinersenseriscalsEstatsUnitsialRegneUnit.Hadeser F = Se(r s)T .Sinoésaixí,podemfer arbitratge,negocisensearriscar.Enefecte,si FesT <SerT ,aniremaunbancanglès,demanarem X lliuresenpréstec, lesconvertimen XS eurosqueposemenunbancespanyol.Almateixtemps femuncontractedefuturaEspanyaperacomprar XesT lliures.Atemps T tindrem XSerT eurosalbancespanyol,delsquals XFesT elsutilitzaremper acomprar XesT lliuresquetornaremalbancanglèsperpagareldeute.Hem guanyat X(SerT FesT ) eurossensearriscarres.Isi FesT >SerT ,aniremaun bancespanyolidemanarem XSe sT eurosenpréstec,queutilitzarempera comprar Xe sT lliures,queposaremenunbancanglès.Almateixtempsvenem uncontracteperalacomprade X lliures.Atemps T ,tindrem X lliuresalbanc anglès,quedonaremalcompradordelcontracteaterminiper XF euros.En aquestmomenthauremdepagar XSerT sT albancespanyol,iensquedaun beneﬁcinet.

Hihacontractesaterminisobrematèriesprimeres,or,plata...finsarribar als futurs sobreíndexsiproductesfinancers.El1992s’obreaBarcelonaia Madridelmercatespanyoldefutursfinancers,elMEFF.Peraquellesdateses construïatambéperprimercopl’índexIbex35delaBorsaespanyola.Lescoses evolucionendepressadesprésdelesúltimescrisisdel1987i1989.Escreen elsprimersfonsd’inversióilaborsas’obrealspetitsestalviadors.

Consideraremambuncertdetallunproductederivatconcret,una opció decompraovenda.Unaopciódecompra(calloption)d’undeterminatactiu ﬁnancerésuncontractefetatempszeroquedonaalcompradoreldreta compraratempsdevenciment T (expirationdate,maturity)unaunitatde l’actiuapreu K (exerciseprice,strikeprice).Hemd’emfatitzarelfetbàsicque ésqueenaquesttipusdecontracteelcompradortéeldretdecomprarperòno l’obligaciódefer-ho,adiferènciadelcontractedefutur.Així,siatemps T el preudel’actiués S(T)>K,elcompradorexerceixl’opció,ielvenedorlihade vendrel’actiuapreu K.Sielpreudel’actiués S(T)<K,l’opciónoésexercidai notécapvalor.Elvenedordel’opciócorreunriscevident,perquèatemps T ,si elcompradorl’exerceix,hauràdevendreelsactiuspersotadelpreudemercat. Naturalment,elcompradorhad’abonaralvenedoruna prima C peratenirel dretdecompraiqued’algunamaneraserveixialvenedorperacobrir-sedel risc.Una opciódevenda (putoption)donaeldretavendre.Lesopcions europees nomésespodenexerciralvenciment,lesopcions americanes espodenexercir enqualsevolmomentabansdelvenciment.

Elcompradordel’opciópotserelnostreindustrialquefaunaopciópera adquirirelmiliódelliuresatemps T = 90dies;lescompraràambindependènciadesilalliurahapujatobaixatielquebuscaésreduirlaincertesaacanvi depagarlaprima.Peròtambépotserunespeculadorquefaunaaposta,queli costa C atemps T = 0;si S(T)>K exerceixl’opció,compraapreu K i,venent immediatamentapreudemercat,faunbeneﬁcide S(T) K (delqualhade descomptar C).Si S(T)<K,nol’exerceixihaperdutl’aposta(i C).

Engeneral,elsderivatsserveixenperacobrirriscos,detectar-los,traspassarlosiposar-lospreu.Elsriscosnodesapareixen,estraslladen.Siinicialment serveixenperaprotegir-sed’algunrisc,automàticamentserveixenperainvertiroperaespecularitambéserveixenperamouremésdepressaelsdiners (palanquejament).Elsexemplesmésimportantssónelscontractesatermini (forwards),elsfuturs,lesopcions,lespermutesﬁnanceres(swaps,quegeneralmentserveixenperacanviartipusﬁxospervariables),elsCDS(swapderiscde crèdit,o,enanglès, creditdefaultswap),etc.

Espodendistingirtresformesdereduirelrisc,ambinstrumentsfinancers específics:cobrir-se,assegurar-seodiversificar-se.Cobrir-seésreduirelrisc depèrdueselevadesacanvidereduirlespossibilitatsdeguanyselevats. Assegurar-sevoldircanviarunapèrduapetita(prima)iseguraacanvidereduir lespossibilitatsd’unapèrduafuturaelevada.Diversificar,finsallàonespot, ésreduirlavariabilitatdeladistribuciódeguanysipèrduestotmantenintla rendibilitat.

4Elvalord’unaopció

Lapreguntaésllavors:quinhadeserelvalorde C?Aixòs’hadedecidira partirdelvalor S(0) del’actiuatempszero,de K,de T i,ésclar,utilitzantun model.Siutilitzemelmodeldescritalasecció2,enprincipipodríemraonar delaformasegüent.

Segonsaquestmodel,sil’actiuatempszeroval S(0),lalleide ln S(T) és normalambesperança ln S(0) + Tµa idesviaciótípica √Tσa.Elvalordel’opció enl’instant T ,elbeneﬁciqueenpottreureelcomprador,és max(S(T) K, 0), ihemd’esperarquevalgui E(max(S(T) K, 0)),quelcomquepodríemcalcular perquèconeixemlalleide ln S(t) utilitzantlafórmula (6).Aleshores,sembla naturalpensarqueelpreuquehemdedemanarperl’opcióenl’instant0sigui aquellaquantitatquecol locadaatempszeroalbanc,senserisc,doniatemps T elvalordel’opcióatemps T ,aixòés,

e rT E(max(S(T) K, 0)).

Engeneral,aquestaoperació—ladecalcularatempszeroelvalordequelcom queatemps T téuncertvalor—s’anomena descomptar

Bé,doncsmalgratqueaixòenspuguisemblarnatural,aquestanoésla soluciócorrecta,perquèengeneraldonaoportunitatd’arbitratge,defernegocisenserisc.Perveureaixò,consideremunasituaciómoltméssenzillaon aplicaremunargumentdiferent,elcorrecte,iveuremquenoportaalmateix resultat.

Suposemque S(0) = 100iqueelvaloratemps T = 1és

S(1) = 150ambprobabilitat p, S(1) = 70ambprobabilitat1 p.

Elvalorde p formapartdelmodel,delamateixaformaqueenelmodel continuespostulalalleide ln S(T).Peròcomaraveurem,ésirrellevant,

tansolsintervindranelspossiblesvalorsde S(1),perònopas p.Suposem que K = 130ivolemdeterminarelvalordelaprima C.Podempensar,com abans,queelcompradordel’opcióésl’industrialqueatemps T = 1necessita 100unitatsd’unadeterminadadivisa,queavuival1euro,iqued’aquíaunany hauràpujata1 5obébaixata0 70.L’industrialadquireixaunbancunaopció peracomprar100unitatsdeladivisaa T = 1ambcost K = 130,pagantuna prima C,adeterminar.Sihapujata1.5,l’industrialexerceixl’opcióicompra a1 30i,sihabaixat,noexerceixl’opcióicompraa0 70.Ambaixò,acanvide pagarlaprima,hareduïtlaincertesa,elrisc,perquèd’unrangd’oscil.lació de70a150sensel’opcióhapassataunrangde70a130ambl’opció.

Posem-nosenlaposiciódelvenedor,ivolemdissenyarunaestratègia percobrir-nosdelrisc.Dissenyemunacarteraamb y opcionsvenudesa preu C i x actiuscompratsa100cadascú,atempszero.Desprésdesignarel contracte,tindrem Cy 100x en cash,queposemalbanc,i x actius.Elvalor d’aquestacartera(opcionsvenudesiactius)atemps1depèndesi S(1) = 150o S(1) = 70.Enelprimercas,cadaactiuval150,peròpercadaopcióhiperdem 150 130 = 20(ladiferènciaentreelvalorrealdel’actiuatemps1ielpreu K pelqualenshemcompromèsavendre’l),pertanttenim150x 20y.Enel segoncas,elcompradornoexerciràlesopcions,éscomsinoexistissinitenim unvalorde70x.Enresum,elvalordelacarteraatemps T = 1és

150x 20y si S(1) = 150, 70x si S(1) = 70, mentrequetindrem (Cy 100x)(1 + ra) albanc,on ra designaelTAEanual. Sitriem x, y deformaqueaquestsdosvalorssiguiniguals,

150x 20y = 70x,y = 4x hemeliminatlaincertesa.Observemqueelvalorde p nohiintervépas.Aleshores,hauremfetunguanyde

70x + (4xC 100x)(1 + ra) = x(1 + ra) 70 1 + ra 100 + 4C , onl’expressió E entreparèntesihadeserzero: C = 25 70 4(1 + ra) = 5(3 + 10ra) 2(1 + ra) .

Si C ésdiferentd’aquestvalor,hihaoportunitatd’arbitratge,perquèsi E> 0, prenem x positiu,ésadir,comprem x accionsivenem4x opcions,isi E< 0,prenem x negatiu,ésadir,venem x accionsicomprem4x opcions. Siraonéssimcomabans,tindríemqueelvalordel’opcióatemps1és

20si S(1) = 150, 0si S(1) = 70, ambvaloresperat20p itrobaríem C = 20p 1+ra ,queengeneralésdiferentdel valoranterior,elcorrecte.

Aquestexemple,tansenzill,conté,defet,laclaudelasolucióenelcas general,talcomveuremalesseccionssegüents.Laideademuntarunacartera neutralalriscés genialmentsenzilla,compassasovintenmatemàtiques.Fixemnosdemomentquelasoluciópera C nodepèndelalleide S(1),sinóque tansolsésconseqüènciad’imposarlaimpossibilitatd’arbitratge.Tambéens ensenyaqueelvenedordel’opciónoespotquedarsenseferresdesprésde cobrarlaprima,sinóquehadecobrir-sedelriscdissenyantaquestacartera.A lasecció8tornaremaparlard’aquestaideade cobertura

5Elteoremadelnoarbitratge.Laprobabilitatneutralalrisc

Aunprobabilista,elfetqueelcàlculde C enl’exempleanteriorsiguiindependentdelalleide S(1) noelpotdeixarindiferent;hadeferunesforçpera tornar-hiaintroduirlaprobabilitat,peradefensarlaprofessió.Aixòéspossible fer-hoiensportaràaunaltreconcepteinteressanticlau,eldela probabilitat neutral

Consideremunexperimentamb M resultatspossibles, j = 1, 2,...,M,ique espodenfer N apostessobreelresultat;al’aposta i = 1, 2,...,N,sisurt j,hi haunguany/pèrduade ri(j).

Una estratègiad’aposta ésunvector X = (x1,x2,...,xN ),on xi éslaquantitatqueesjugaenla i-èsimaaposta.Sisurt j,elguanytotalés

R(j) = N i=1 xiri(j).

Enaquestasituació,tenimelresultatsegüent,lademostraciódelqualés unaaplicaciósenzilladelteoremadedualitatenprogramaciólineal.

Teorema. Obéhihaunvectordeprobabilitat P = (p1,p2,...,pM ) (ésadir, p1 + p2 +···+ pM = 1)talque

M j=1 pj ri(j) = 0,i = 1, 2,...,N,

obéhihaunaestratègiad’aposta X = (x1,x2,...,xN ) talque

N i=1 xiri(j)> 0,j = 1, 2,...,M.

Ésadir,obéhihaunesprobabilitats pj = P(X = j) deformaquetotesles apostessónjustes(ambesperançadeguanyzero)obéhihaunaestratègiaque donaunguanysegur.

Apliquemaixòal’exempleanterior.Enelstermesdelteoremaanterior, elresultatdel’experimentéselvalorde S(1).Hihadosresultatspossibles,

S(1) = 150o S(1) = 70iduesapostesperfer:comprarunactiu(les100unitats deladivisa)ocomprarunaopcióatempszero.Elteoremaensdiuquenohi hapossibilitatd’arbitratgesihiha p,0 <p< 1,deformaqueelvaloresperat delesduesapostesészero(designant p laprobabilitatque S(1) = 150).

Elvalordescomptatd’unactiuatemps1és

L’esperançadeguanycomprantunactiués

Elvalord’unaopcióatemps1és max(S(1) 130, 0) i,pertant,descomptat és

il’esperançadeguanyd’aquestaestratègiaés

d’onobtenim,sivolemquel’esperançadeguanysiguizero,que C = 5(3+10ra) 2(1+ra) , comabans.Ésadir, C hadeser,talcomhavíemintuïtinicialment,elvalor esperatdel’opcióatemps1,descomptatatempszero,però respectedela probabilitatneutralalrisc.

Aquestaobservació—lareapariciód’unaprobabilitatimposadapelno arbitratge—ésfonamentalienspermetràpassard’aquestexempletansenzill alcasgeneral.

6Aproximacióperunprocésbinomialmultiperíode

Elquevolemferaraésaproximarl’incrementde S(0) a S(T) permoltssaltets, N,comelconsideratalaseccióanterior,ésadir,queencadaetapal’actiu noméstinguiduespossibilitats,obaixaropujar.Prenentlogaritmes,icom queelmodelpostulaque ln S(T) ln S(0) télleinormald’esperança Tµa i desviaciótípica σa√T ,aixòcorresponaaproximarunalleinormalpersumes devariablesindependentsidènticamentdistribuïdesquenomésprenendos valors.Estracta,pertant,d’uncasparticulardelteoremacentraldellímit.

Siguidoncs X unavariablenormaldemitjana µa ivariància σ 2 a (desprésja canviarem µa per Tµa i σ 2 a per Tσ 2 a ).Lavolemaproximarper Y1 + Y2 +···+ YN ,

onles Yi sónindependents,cada Yi amblleidicotòmica(tipusBernoulli) Yi =+ε ambprobabilitat q, Yi =−ε ambprobabilitat1 q.Podempensar enunpasseigaleatori,onencadamoment i = 1, 2,...,N,ensdesplacema ladreta ε centímetresambprobabilitat q ocapal’esquerra ε centímetres ambprobabilitat1 q.Perveurequinaéslatriacorrectade ε, q igualarem lesesperancesivariànciesde X i Y1 +···+ YN .Comque E(Yi) = ε(2q 1) i E(Y 2 i ) = ε2,tenimVar(Yi) =

Llavors 2q 1 4q(1 q) = µaε σ 2 a , pertanthemdeprendre ε = λσa,on λ notéunitatsicaltriar q deformaque 2q 1 4q(1 q) = λµa σa Si τ = λ µa σa ,lasolucióexactaés

Comque N ésgran, τ éspetitipodemfer,persimpliﬁcar,l’aproximació √1 + 4τ 2 ≈ 1 + 2τ 2,amblaqualcosatriem q = 1 2 (1 + τ),τ = 1 √N µa σa ,ε = σa √N .

Elteoremacentraldellímitaﬁrmaquequan N →∞, (Y1 + Y2 +···+ YN ) E(Y1 + Y2 +···+ YN ) Var(Y1 +···+ YN ) → Z,

on Z denotalalleinormalestàndardilaconvergènciaésendistribució(defet, estractadelaversiódelteoremacentraldellímitperaesquemestriangulars, perquèlalleidecada Yi tambédepènde N).Amblatriade q anteriorhomté E(Y1 + Y2 +···+ YN ) = εN(2q 1) = µa, Var(Y1 + Y2 +···+ YN ) = σ 2 a 1

amblaqualcosaquan N →∞, Y1 + Y2 +···+ YN → N(µa,σ 2 a ).

Aixòs’anomenal’aproximaciódelalleinormalperunpasseigaleatori

Apliquem-hoalnostrecas;canviem µa per Tµa i σ 2 a per Tσ 2 a iposem ∆ = T N . Tenim N variables Y1,Y2,...,YN independentsamblamateixallei

Yi =+σa√∆ ambprobabilitat q = 1 2 1 + µa σa √∆ , Yi =−σa√∆ ambprobabilitat1 q.

Aquestpasseigaleatorienelslog-preusestradueixenelfetquecada ∆ unitats detempselpreudel’actiupujaperunfactor u ambprobabilitat q obaixaper unfactor d ambprobabilitat1 q amb u = eσa√∆ i d

,ésadir,

uSi ambprobabilitat q,

u Si ambprobabilitat1 q, i = 0,...,N 1.

Aquestprocésdiscretitzats’anomena procésbinomialen N etapes,ihem vistquequan N →∞ téperlímitelbrowniàgeomètric.

7LafórmuladeBlack-Scholes

Elquehemaprèsabansalasecció5ésquelaprobabilitat q hadesersubstituïdaacadapasperlaprobabilitatneutralalrisc p.Calculem-la.

L’estratègiadecomprarunactiual’instant i ivendre’lal’instant i + 1 tindriaunaesperançadeguany

puSi + (1 p)dSi 1 + r ∆ Si, queészeroquan p = 1 + r ∆ d u d = 1 +

Laimpossibilitatd’arbitratgeenshafetreemplaçar q per p.Desfentelcamí, considerem,pertant,novamentles Si i Y1,Y2,...,YN amb q canviatper p.La variable Y1 + Y2 +···+ YN ,quan N →∞,tindràperlímitunalleinormalde paràmetres

lim N E(Y1) +···+ E(YN ) = lim N Nσa ∆(2p 1), lim N Nσ 2 a ∆4p(1 p),

límitsquearaprocedimacalcular.Posem s = √∆ i ∆ = s2;utilitzantel desenvolupamentdeTaylordel’exponencialtrobemque

Pertant,elslímitsanteriorsvalen

Enconseqüència,sotalaprobabilitatneutralalrisc, S(t) ésunbrownià geomètricdeparàmetres α, σa.Aixòvoldirque,conegut S(0),podemescriure S(T) = S(0)eW ,amb W normaldemitjana αT ivariància σ 2 a T ,ilaconclusióés queelcost C del’opcióquenodonallocaarbitratgeéselvalordescomptat delvaloresperatatemps T , C = e rT E(max(S(0)eW K, 0)),

amb W = αT + σa√TZ,i Z normalestàndard.

Espotdonarunaexpressióexplícitaentermesde Φ,lafunciódedistribució delanormalestàndard,

Utilitzant(6)

= e

Laintegralésenl’intervaldeﬁnitper αT + σa√Tx> ln K S(0) ,ésadir, x>η = ln K S(0) αT σa√T ;pertant,

Aladarreraintegralcompletemquadratsal’exponentifemelcanvi y = x σa√T peraobtenirﬁnalment

C = C(K,T,r,σa,S0) =−e rT KΦ( η) + S(0)e

Habitualments’utilitzalanotació

ω =−η + σa√T = log( S(0) K ) + rT + σ 2 a T 2 σa√T , demaneraquelafórmuladeBlack-Scholess’escriuﬁnalment

C(K,T,r,σa,S0) = S(0)Φ(ω) Ke rT Φ(ω σa√T). (9)

8Equacionsdiferencialsestocàstiques.

L’equaciódeBlack-Scholes

ElqueensplantegemenaquestaseccióésreformularelsmodelsdeSamuelson ideBlack-Scholesentermesd’equacionsdiferencials.Elquefaremseràmirarnoselpreu C del’opciócomafuncióde T i S0 (queconseqüentmentara denotaremper S),suposantqueelsaltrestresparàmetressónconstants. Veuremquecompleixunaequacióenderivadesparcials,l’equaciódeBlackScholes,queresultasermatemàticamentequivalental’equaciódedifusiódela calor.Aquestmodelpermetretrobarlafórmulapera C,peròalhorapermet comprendre,entempscontinu,l’estratègiadecobertura.

Comqueelmodelinclouunacomponentestocàstica,nodeterminista,aniremapararauna equaciódiferencialestocàstica.Elmarcmatemàticperafer-ne untractamentrigoróséssoﬁsticat,peròaquíintentaremexplicar-nel’essencial sensetecnicismes.Parlard’equacionsdiferencialsésparlardederivades,de taxesdecanvi,delesvariables.Laderivadad’unafunciódeterminista f(t) és quelcomqueenspermetentendrel’essencialdelspetitsincrements,

f(t + dt) f(t) ≈ f(t)dt.

Aquí,l’objectevariableésunprocésestocàstic X(t) quedepèndeltemps; elquevariaamb t ésunavariablealeatòria.Perònoparlaremdederivades, sinóqueintentarementendredirectamentl’estructuradelspetitsincrements, elquepodríemanomenarla diferencialestocàstica.Elprocésinversenelcas determinista,elpasdeladerivadaalaprimitiva,esfaamblateoriadela integraciódeRiemann.Enelcasestocàsticaquestpasinversesfaambuna einamatemàticaanomenadala integralestocàstica,queaquínonecessitarem. ComencemambelprocésdeWiener W(t) devariància1.Peraunincrement ∆t, W(t + ∆t) W(t) ésunavariablenormald’esperançazeroivariància ∆t,queescriurem

∆W(t) = ∆tZ, on Z ésnormalestàndard(estrictament,ésunavariablequedepènde t amb llei N(0, 1)).Aixòescompleixtantsi ∆t éspetitcomsiésgran;elfetque lasumadevariablesnormalsindependentstambéhosigui(ambesperançala sumad’esperancesivariàncialasumadevariàncies)implica,defet,quesival pera ∆t petitstambévalpera ∆t grans.Fent ∆t → 0escrivim

dW(t) = dtZ.

Pertant,hompotdeﬁnirelprocésdeWienercomaquellquetéincrementsestacionarisindependentsicompleixl’equacióanterior.Unbrownià generalizat B(t) detendència µa ivariància σ 2 a éselquecompleix

dB(t) = µa dt + σa dtZ = µa dt + σa dW(t).

Hemdepensarque µa dt éslapartdeterministai σa√dtZ lapartestocàstica, demitjanazero.Fixem-nosque dB dt noexisteixencapsentit(ésadir,lesvariablesaleatòries ∆B ∆t notenenlímitenelsentitdeconvergènciaenprobabilitat niencapaltre;defet,unarealització,unatrajectòria Xω(t) delprocés,no ésgairebémaiderivable).Arabé,síqueéscertqueunprocésdeWienerté trajectòriescontínues,quasisegurament.Fentunparèntesi,comentemque Einsteinsuposava,igualqueBachelier,queincrementsindependentsiestacionaris,amb w0 = 0,automàticamentdonaventrajectòriescontínuesquasi segurament.Realmentnoésaixí,comvaposardemanifestPaulLévy.Amb leshipòtesisanteriors,gaussianitatimplicatrajectòriescontínues;increments independentsitrajectòriescontínuestambéimpliquengaussianitat.Peròexisteixenprocessosambincrementsindependentsiestacionaris,amb w0 = 0, quenosóngaussiansinotenentrajectòriescontínues.Enfísicalahipòtesi decontinuïtatdelestrajectòriesésdeltotnecessària;pensem,perexemple, enelgradepol len.Eneconomialescosescanvien,jaqueésperfectament assumiblequeelspreusd’unmercatﬁnancersofreixinsalts.Actualments’han recuperatperalesﬁnancesresultatsdeLévysobreprocessosambincrements independentsiestacionaris,elsanomenats processosdeLévy,quefauntemps erensimplescuriositatsmatemàtiques.

Miremaracomcanviaunbrowniàgeomètriccom S(t).Recordemque,conegut S(t), ln S(t + ∆t) ln S(t) télleinormald’esperança µa∆t ivariància σ 2 a ∆t, ésadir, S(t + ∆t) = S(t)eµa ∆t+σa√∆tZ ;pertant, S(t + ∆t) S(t) = S(t) eµa ∆t+σa√∆tZ 1 .

UtilitzanteldesenvolupamentdeTaylordel’exponencialtrobemque

S(t + ∆t) S(t) S(t) = µa ∆t + σa ∆tZ + 1 2 (µa

S(t + ∆t) S(t) S(t) = µa ∆t + σa ∆tZ + 1 2

2 +··· ,

2 a ∆tZ 2+ + termesd’ordresuperiora ∆t. (10)

Quèésl’essenciald’aquestdesenvolupament,quinaés ladiferencialestocàstica?Sianalitzemelcasdelbrowniàgeneralitzat,veiemquelapartdeterminista téescala dt mentrequelapartestocàsticatémitjanazeroiescala √dt.Això éselqueaquíprendremcomadeﬁniciódediferencialestocàstica:si V(S,t) és qualsevolfuncióde S, t,lasevadiferencial dV(t) s’obtéfentunpetitincrement ∆t a t,obtenimundesenvolupamentde V(S(t + ∆t),t) V(S(t),t) onhi

hauràtermesen ∆t ien √∆t tandeterministescomestocàstics(oninterpretem queelstermesestocàsticstenentotsesperançazero,ditd’unaaltramanera incorporeml’esperançaalstermesdeterministes)ienellímitquan ∆t → 0, ensquedemsolamentambelstermesen ∆t deterministesielstermesen √∆t estocàstics.

Apliquemaquestadeﬁnicióaldesenvolupament (10).Pelquefaatotelque segueix,hemderecordarquetractemamblleisdevariables conegut S(t).Els dosprimerstermesclaramententrenaladiferencial;sobreeltercer,observem queésuntermeestocàsticambesperança 1 2 σ 2 a ∆t,perquè E(Z 2) = E(Z)2 + Var(Z) = 1;pertant,escrivim

Eldarrertermeésestocàsticambmitjanazeroid’ordre ∆t ipertant,ésd’ordre superioril’hemdedescartar(estrictament,hompotveurequetendeixazero ennormaquadràtica).Ditd’unaaltramanera,podempensarque 1 2 σ 2 a ∆tZ 2 es famésimésdeterministaigualalasevaesperançaquan ∆t esfapetit.Tot plegatdona

S(t + ∆t) S(t) S(t) = µa + 1 2 σ 2 a ∆t + σa ∆tZ + termesd’ordresuperior, queescrivim,fent ∆t → 0, dS(t) S(t) = µa + 1 2 σ 2 a dt + σa dtZ, otambé

dS(t) S(t) = µa + 1 2 σ 2 a dt + σa dW(t).

Aquestaésl’equaciódiferencialestocàsticaquegovernaelbrowniàgeomètric.Estrictamentparlantdiuquelalleide dS(t),conegut S(t),és S(t)(µa + 1 2 σ 2 a )dt + S(t)σa dW(t).Prenentesperancestrobem

E(dS(t)|S(t)) = S(t) µa + 1 2 σ 2 a dt, oneltermeesquerreésl’esperançade dS(t) condicionadaper S(t).Tornanta prendreesperances,iutilitzantque E(E(X|Y)) = E(X) tenimque

E(dS(t)) = E(S(t)) µa + 1 2 σ 2 a dt, queésl’equaciódeterminista

d(E(S(t))) dt = E(S(t)) µa + 1 2 σ 2 a ,

desolució E(S(t)) = S(0)e(µa+ 1 2 σ 2 a )t .Elresultatéscoherentambelquehavíem vista(7).

Uncopvistal’equaciódiferencialestocàsticasatisfetapelspreus S(t), podemanalitzarcomvariainstantàniamentelvalor V dequalsevolproducte ﬁnancerlaincertesadelqualnomésdepènde S (homdiu contingentamb S). Pensem,pertant,quinaéslataxadevariacióde V enuncertmoment t quan l’actiuval S(t).Hemdeconsiderarl’increment ∆V enunintervaldetemps ∆t petit,fer ∆t → 0iquedar-nossolamentambelstermesdeterministesd’ordre dt ielsestocàsticsd’ordre √dt.PerlafórmuladeTaylor

Tenimque

;pertant,conservanttansolselstermes en ∆t o √∆t,resulta

Arabé,comabans,lavariable

,ladescomponemcomasumadelasevaesperança,queés

,mésunterme estocàsticd’ordre ∆t,quedesapareixquanfem

→ 0.Ambtotplegattrobem quelavariacióde V és

Aquestaderivacióésuncasparticular,simpliﬁcat,delqueesconeixcoma fórmulad’Itô enelcàlculdiferencialestocàstic.L’observacióquelavariació dC téexactamentlamateixacomponent dW d’incertesaque S seràimportanten elquesegueix.

Totseguitaplicaremaquestllenguatgedelcàlculdiferencialestocàsticper trobarnovamentelcost C(S,T) d’unaopció,suposantcomabansqueperseguimquenohihagioportunitatd’arbitratge.Faremexactamentelmateixque abanshemfetalasecció4,posant-nosenlasituaciódelvenedord’opcionsi cobrint-nosdelrisc.Al’instant t0 = 0,formemunacarteraconsistenten b0 opcionsvenudesi a0 actiusdelsubjacent.Aquestacarteral’aniremredistribuint, comprantovenentlesopcionsielsactiusinstantàniament,demaneraquea l’instant t tindrem a(t) actiusi b(t) opcions, a(0) = a0, b(0) = b0.Itriarem a(t), b(t) deformaqueescompleixinduescoses:quenotinguiriscmentre evolucionaiquesiguiautoﬁnançada.Aixòdarrervoldirqueencadainstant elsincrements da(t), db(t) escompensenenelsentitque

C(S(t),t)db(t) + S(t)da(t) = 0.

Aquestaequacióensdonalaproporcióentre da i db encadainstant. Aquestacarteratéunvaloral’instant t donatper Π(t) = b(t)C(S(t),t) + a(t)S(t).Comqueésautoﬁnançada,tévariació

dΠ = bdC + adS + Cdb + Sda = bdC + adS, iutilitzantlesequacionspera dC, dS,iquetenen lamateixapartestocàstica veiemque

dΠ = b

aS +

Pertalquenotinguirisctriem a =−b ∂C ∂S ialeshoresaquestacartera evolucionaràdeterminísticamentsegons

dΠ = b

+ 1 2 ∂2

Arabé,comquearanohihaincertesa,elrendimentde Π hauriadeser eldeldinersenserisc,ataxad’interès r ,ésadir, dΠ = r Π dt,d’ons’obté l’equacióenderivadesparcials

Aquestaés l’equaciódeBlack-Scholes,satisfetaper C = C(S,t),sivolemque nohihagipossibilitatd’arbitratge.Elqueestractaaraéssimplementdetrobar lasolucióquecompleix C(S,T) = max(S K, 0).Fentunscanvisdefunció idevariableconvenients(queinclouencanviarladirecciótemporal),aquest problemaésequivalentaldeladifusiódelacalor,ésadir,elderesoldre l’equació

∂t(x,t) = 1 2 ∂2

2 u(x,t),u(x, 0) = f(x).

Lasoluciód’aquestaequacióéslaconvoluciódeladadainicial f ambelnucli dedifusiógaussià u(x,t) = 1 √2πt +∞ −∞ f(y)e (x y)2 2t dy.

Desfenttotselscanvisdevariableidefunciós’arribaal’expressiótrobada a(9).

9Entrelateoriailapràctica

Alesseccionsanteriorshemexplicatunmodelperalsactiusﬁnancersil’hem utilitzatperaobtenirl’equaciódeBlack-Scholes.

Arabé,elsactiusﬁnancersnoescomportenexactamentcomelsmodels quefemservirperaestudiar-los.Entreelsmodelsmatemàticsilarealitat semprehihadesajustos,quenoenshand’impedirseguirutilitzantmodels perquèconstitueixenunabonaformadecomprendreelmónreal.FischerBlack, parlantdelasevafórmula,deiaqueelsorpreniaquecaptéstantl’interèsde lagent.Hoatribuïaalasimplicitatdeleshipòtesis,toticonsiderar-lespoc realistes.Afegiaqueelmodelerabocomaprimeraaproximacióirecomanava queabansdebuscarunanovafórmulaestreballésennousmètodesd’estimar lavolatilitat.

Elsactiusﬁnancerssobreelsqualsescontractenderivatspresentenanomaliesbendescritesalaliteratura(vegeu[5]),queesresumeixenentrespunts: primer,ladistribuciódelesrendibilitatspresentamésvalorsextremsqueels queprediuladistribuciónormal;després,atravésdelesestimacionss’observenvolatilitatsquenosónconstantssinómésaviatestocàstiques,i,ﬁnalment, s’observendependènciesentreelsquadrats(oelsvalorsabsoluts)delesrendibilitats,totiseraquestesessencialmentnocorrelacionades(recordemquesi unescertesvariablesaleatòriessónindependents,funcionsqualssevoldeles mateixesvariablestambéhosón).

Observantrendibilitatsdiàriesquedaclarquelahipòtesidenormalitatno escompleix;totiaixò,siutilitzemelmodel (3) perarendibilitatsmensuals,el teoremacentraldellímitfaqueelcomportaments’ajustiproubéalmodelnormal.Podríemdirqueamitjàterminilahipòtesidenormalitatnoésrestrictiva, encaraqueenfallarlahipòtesiexactas’obrelaportaaunproblemaimportant. Sotanormalitatlanocorrelacióésequivalentalaindependènciaperòengeneralelresultatnoéscert:teòricamentéspossiblequelesrendibilitatssiguin nocorrelacionadesperòquehihagiunacertadependènciaentreelles,com havíemexplicat.Aixòportaaldebatdelqueentermeseconòmicss’anomena l’eﬁciènciadelsmercats.

9.1Eﬁciènciadelsmercats

SeguintFischerBlack,diremqueunmercatéseficientperaunactiusino podenobtenirbeneficislespersonesquenoteneninformacióespecialsobrela companyia,isiésdifícilobtenir-nefinsitotapersonesqueteneninformació especial,perquèelpreus’ajustaràpidamentalseuvalortanaviatcomla informacióesdevédisponible.

L’eficiènciadelsmercatsésfonamentalperasabersiespotpredirelcomportamentfuturdelsactius,queésunapeçaclaudelateoria.Enàmbits econòmicsesparladela«hipòtesidelmercateficient»entressentits:l’eficiènciafeblecorresponalaimpossibilitatd’obtenirbeneficisapartirdetota lainformacióhistòricadelspreusodelesrendibilitats;l’eficiènciasemiforta afirmaaquestaimpossibilitatquantambés’incorporatotalainformaciópú-

blicadisponible;l’eﬁciènciafortaincloutambélaimpossibilitatperatotala informació(públicaoprivada)conegudaperqualsevolparticipantdelmercat. Lahipòtesid’eﬁciènciahaestatdefensadapelsinvestigadorsmésprestigiosos, desd’EugeneFamaaFischerBlack.

Aquestsconceptesesformulenmatemàticamentdelamanerasegüent:l’eficiènciafeblecorresponalanoexistènciad’autocorrelacióentrelesrendibilitats il’eficiènciaforta,alaindependènciad’aquestesrendibilitats.L’eficiènciasemifortaseriaunasituacióintermèdiaques’anomena diferènciademartingala i quenotractaremaquí.

Peraclarirunamicacoms’analitzaaquestconcepte,introduiremalgunes ideesdelsprocessosestacionaris.Esdiuqueunasèrietemporal {yt } (una famíliadevariablesaleatòriesindexadespertempsdiscret)ésestacionàriasi escompleixenleshipòtesissegüents:

1.L’esperançaésconstantperatot t, E[yt ] = µ.

2.Lavariànciatambéésconstantperatot t, V[yt ] = γ0.

3. Lesautocovariànciesnomésdepenendeladistànciatemporalentrelesobservacions,inodepenendeltemps t, cov[yt ,yt+k] = γk (k = 0, 1, 2,...).

Unpasseigaleatori (8) nocompleixcapdeleshipòtesisdeprocésestacionari, encanvisíquelescompleixelprocésformatperlessevesdiferències,les rendibilitats {rt };vegeu (3).Aquestpuntmarcaunadiferènciasubstancial entreelsmodelsques’utilitzeneneconomia(processosestacionaris)ielsque s’utilitzenenﬁnances(passeigsaleatoris);s’acostumaadirqueeneconomia espodenferprevisionsperònopasenﬁnances.

Elprocésestacionarimésrepresentatiuésl’anomenat procésautoregressiud’ordre 1, AR(1).Suposant,persimpliﬁcar,quelatendènciaészero,un procésAR(1) s’escriu:

yt = ρyt 1 + εt , (11)

onlesinnovacions εt esdistribueixencomunanormalambmitjanazeroi variància σ 2,i |ρ| < 1.Escrivintcadaobservacióentermesdel’anteriorobtenim deformarecurrent

t = εt + ρεt 1 +···+

Calculemaralavariànciamarginal(nocondicional)

Si ρ = 1,queéselcasdelpasseigaleatori,lavariànciaesfainﬁnitainomés podemparlardelavariànciacondicional,ﬁxatelvalorpresent, s0

Diguemdepassadaqueelprocés AR(1) ésunprocésdeMarkov,enelsentit queelpassatnoaportacapinformaciósobreelfuturquenoestiguirecollida enelpresent;hopodemveureenlafórmula (11),on yt nomésdepènde yt 1, totiquelescorrelacionsambobservacionsanteriorsnosónpaszero.Aixòen generals’expressaenles autocorrelacionsparcials.Lesautocorrelacionsiles autocorrelacionsparcials(delesqualsnoseguiremparlant)podenestimar-sea partirdelamostrad’unprocésiproporcionenels correlogrames,quesónuna radiograﬁadelmodelsubjacentienmoltscasospermetenidentiﬁcar-lo.

Enscentraremaraaanalitzarlasèriedel’Ibex35consideradaanteriorment pertaldeveurefinsaquinpunts’ajustaaunpasseigaleatori.Volemcontrastar empíricamentsilesrendibilitatssónrealmentnocorrelacionades,comindicala hipòtesifebledemercateficient,ifinsitotsilesrendibilitatssónindependents, comdiulahipòtesiforta.Peracontrastarsil’autocorrelaciócorresponentaun certretardészero(ρk = 0),podemutilitzarelresultatasimptòtic

on ˆ ρk ésl’autocorrelacióestimadadelaformahabitual.

Enlafigura3hihadibuixadeslesautocorrelacionsempíriquesfinsal’ordre15(segmentsverticals)delesrendibilitatsdel’Ibex(primergràfic)ideles rendibilitatsdel’Ibexelevadesalquadrat(segongràfic).Leslínieshoritzontalsdepuntsmarquenelsintervalsdeconfiançadel99 % apartirdelresultat asimptòticanterior.

autocorr.rendibilitatIBEX

Figura 3: Autocorrelacionsempíriquesfinsal’ordre15(segmentsverticals)delesrendibilitatsdel’Ibex(gràficsuperior)idelesrendibilitats del’Ibexalquadrat(gràficinferior).

Lesautocorrelacionsdelesrendibilitatsdel’Ibexsóntotesdinsdelabanda formadapelsintervalsdeconfiança,fetqueindicaquepodemacceptarque sónnocorrelacionadestalcomdemanalahipòtesifebledemercateficient.Si escomplíslahipòtesifortad’independència,aleshoreshauríemd’observarno correlacióperaqualsevolfunciódelesrendibilitats,enparticularperales rendibilitatselevadesalquadrat.Elsegongràficmostraclaramentqueaixòno éscert.Amésveiemelcomportamentcaracterísticdescritalaliteraturade rendibilitatsnocorrelacionades,peròrendibilitatsalquadratpersistentment positivesinonul.les.Unintentd’explicaraquestcomportamenthaconduït aldesenvolupamentdelsmodelsARCH,GARCHielsmodelsdevolatilitat estocàstica.

Elsresultatsobtingutsportenalaconclusióqueenelsmercatsmoderns l’eficiència,encaraquesiguifeble,sinoésexactamentcerta,ésmoltpròxima aser-ho.Sienunmomentdonatelspreusnoreflecteixenelvalorexacte,ies produeixunasituaciód’arbitratge,ràpidamentalgúentreuprofitiestornaa l’equilibri.Aixílespossiblesineficiènciesestornensensevaloreconòmic,si mésnoperalpetitinversor.Lahipòtesid’eficiènciaportaalaconclusiódel comportamentaleatoridelsmercatsi,pertant,alaimpossibilitatdelaseva predicció.Aixòcondueixanegartotautilitatal’anàlisitècnica.Malkiel[11]fins itotridiculitzaelfetdientqueunmicoambunbastóobtindriaelsmateixos resultatsqueunqualificatprofessionaldeWallStreet.Enqualsevolcas,sembla quemoltpocsprofessionals(menysdel25 %)delsfonsd’inversiópodenbatre almercat(ésadir,obtenirmillorrendibilitatquel’Ibexenelcasespanyol)i,a més,aquellsqueunanyhofandifícilmenthofanal’anysegüent,demanera queelsimpleatzarexplicaelsseusèxits.

9.2Volatilitatimplícita

Enfinances,comhemvist,elparadigmadelmovimentbrowniànoéscompletamentcert,nilesrendibilitatsesdistribueixenexactamentcomunanormalni sónrealmentindependents,encaraquenosiguincorrelacionades.Amés,el comportamentdelsderivatsamplificamoltelcomportamentdelssubjacents sobreelsqualssesustenten.Aquestsfetsestradueixenenunavaloraciódels derivatsfetaatravésdelafórmuladeBlackiScholesque,totiserunabona primeraaproximació,noéssuficientmentacurada;vegeu[3].

SianalitzemlafórmuladeBlackiScholes (9) veiemquedepèndecinc paràmetresambcomportamentsdiversos.Eltempsd’exercicidel’opció T ielseupreu K venenﬁxatsenelcontracte;delsaltrestresparàmetresel quemenysafectaelpreudel’opcióéseltipusd’interès r queespotobtenir delmercat,perexemple,ambl’interèsdeleslletresalmateixvencimentque l’opció;elquemésafectal’opcióéselpreudelsubjacent S0,peròaquestvalor ésconegutdeformacontínuaencadamoment.Aixíresultaqueelparàmetre críticéslavolatilitat σ ,l’estimaciódelaqualdemanaunhistòricdepreus. Espodriaplantejarferunaestimaciódelavolatilitatiutilitzarlafórmulade Black-Scholes.Alapràctica,però,esfaalrevés:elspreusdelesopcionsno

s’obtenenpasaplicantlafórmuladeBlack-Scholes,éselmercatmateixquiposa elpreu,seguintsimplementlalleidel’ofertailademanda.Illavorss’utilitza lafórmuladeBlack-Scholesperaferjustamentunaestimaciódelavolatilitat, identiﬁcantelvalorde σa peralquallafórmuladeBlack-Scholesdonariael valorobservatdemercat.Elresultatéselques’anomena volatilitatimplícita Perexemple,ambelsvalors S = 10700, T = 20/250, r = 0.01podembuscar pera K = 10000quinvalordelavolatilitatfaquelafórmuladeBlack-Scholes sigui762(enllocde740);elresultatobtingutnumèricamentés ˆ σ = 0 235. Aquestresultatdelavolatilitatfaquelafórmuladoniexactamentelpreu observatalmercat;realmenthihaunarelacióbijectivaentreelspreusdeles opcionsilesvolatilitats.Elsespecialistesdiuenquelavolatilitatimplícitaés aquellvalorincorrecteque,posataunafórmula«incorrecta»,donaelresultat correcte.

Pertald’il.lustrarelqueestemdienthembuscatalMEFFpreusd’opcions decompra(call)sobrel’Ibexeldia24d’abrildel2017ambvencimentel17de maig.Alataula1hemconsideratvalorsde K entre10000i10800aincrements de100puntsihemutilitzatelsmateixosparàmetres S = 10700, T = 20/250, r = 0 01.Lasegonalíniaindicaelvalordemercatde C,laquartalavolatilitat implícitacorresponentaaquestsvalors.Veiemqueelsvalorsoscil.lenalvoltant de0 2;laterceralíniaésllavorselvalorde C calculatambaquestvalorde σa mitjançantlafórmuladeBlack-Scholes(tambépodríemtriar σa deformaque lasèrieobtingudamitjançantBlack-Scholess’ajustimilloralasèriedevalorsde mercat).Elsajustossónbastantbons,peròs’observaqueperavalorspetits de K lafórmuladeBlack-Scholessubestimaiperavalorsgranssobreestima. Aquestcomportamentnoéscasual,sinóques’observadeformasistemàtica entotselsmercats,talcomcomentaremacontinuació.

Taula 1: Preusobservats(call),elspreuscalculatsamblafórmulade

Black-Scholes(BS)ilesvolatilitatsimplícites(vol.impl.).

Lavolatilitatimplícitaésdiferentperacadavalorde K queconsiderem, mentrequeelmodeldeBlack-Scholesutilitzalamateixavolatilitatperatots elsvalorsde K (ide T ).Sidibuixemlavolatilitatimplícitaenfuncióde K quanutilitzemlafórmuladeBlack-Scholesenelspreusdelesmonedes,s’obté unacorbaambunperﬁlquadràtic(smile)i,quanlautilitzemenelsvalors delesaccionsoíndexs,comenelcaspresentdel’Ibex,s’obtéunacorba decreixent(skew).

Eldesajustdelafórmulaentermesdelesvolatilitatsimplícitesespot estudiartambéenfunciódeltemps T ienfunciósimultàniamentde K i T ,

laqualcosadonallocalques’anomena superfíciedevolatilitat.Lasuperfície devolatilitatsinterpolalesdadesdemercatdelsderivatsi,aleshores,permet deduirpreusperavalorsde T i K delsqualsnoestinguinvalorsdemercat (peramésinformació,vegeuGatheral[7]).

Enresum,lafórmuladeBlack-Scholesésimportantperquèdeterminael llenguatgedelesﬁnances;elsvalorsdelessevesderivades,queavaluenla sensibilitat,tenennompropi(delta,gamma,vega,ro...).Elgestord’unacartera generalmentvolestar deltaneutral peranoveure’smassaafectatpelcanvi depreusdelssubjacents,icalcomprarovendreelssubjacentscorresponents (aixòsigniﬁcaquemuntaunacarteraneutraltalcomhemexplicatalasecció8, apartirde ∆ = ∂C ∂S ).Lescarteresd’actiusesgestionenatravésdederivats perquèéslamaneramésràpidaibaratadefer-ho.Pensem,perexemple,enl’or, noescompraivenordirectamentsinófutursialtresderivatssobreaquest metallquesónregistresinformàticsméssenzillsd’emmagatzemar.Elmateix passaambaltresmercaderiescomelpetrolioelblat;tambélesaccionssón méscaresdegestionarquelesopcionssobrelesmateixesaccions.Elsíndexs coml’Ibex,l’EuroStoxx50oelDowJonesnoespodencomprar,peròsíquees venenderivatssobreaquestsíndexsqueserveixenperagestionarlescarteres devalors.

9.3Diaadiadelagestiódelriscenunaentitatﬁnancera

Laterminologiaanglesas’imposa,iavuienlesentitatsfinancerestothomparla de frontoffice (o tradingfloor)perreferir-sealqueabansse’ndeia tresoreria, queésonels traders comprenivenenactius,persatisferlesdemandesdels clientsigestionarlessevescarteresilesdelpropibanc.El middleoffice el formalagentquevigilenelsriscosenquèpodenincórrerels traders del front office,quenaturalmentestanregulats,idetoteslesposicionsdel’entitaten general,peratrametrelainformaciócorresponentdinsdelapròpiaentitat, itambéalsupervisor,queavuiéselBancCentralEuropeu.Éstambéaquíon treballenelsanalistes,comelsmatemàtics,queelaborenelsmodelsqueels traders necessiten.Eltreballd’administracióigestiódelsdocumentsques’han deprepararperaacreditartoteslesoperacionsdecompravenda,elscontractes ilesqüestionsjurídiquesquese’nderivenesfadesdel backoffice.

L’actuacióalllargdeldiaestàenmansdels traders,queparlenambels clientsitanquenlesoperacionsalmercat.Elprimerquenecessitenquan començaeldiaéssaberelspreusdemercat,peraixòelbancestàsubscrita lesplataformesquecontenenaquestainformacióatempscontinu(Reuterso Bloomberg).Alavegadahandeconèixerlacorbadetipusd’interès,quees calculaapartirdelsbons,ilasuperfíciedevolatilitatdelsderivats,quetambé escalculacadamatíiesdistribueixatotselsquihand’operarambderivats. Aquestafeina,aixícoml’ajustdelsparàmetresdelsmodelsdevaloracióa partirdelspreusdemercat,queesllegeixenaBloombergiReuters,esprepara desdel middleoﬃce.Lafunciódeldepartamentéstambéveurecomafectael movimentdelstipusd’interèsenelsbeneﬁcisielcapitaldel’entitat.L’ajust

delsparàmetresesrealitzaambhoresdetreballnocturndelsordinadorsa partirdelspreusdetancamentdeldia.Aixídesdeprimerahoradelmatíes treballaambelsmodelsajustatsatemps«n 1».

DiàriamentesdescarreguenelspreusdeBloombergis’insereixenenla basededadespròpia.S’inclouenpreusdetancamentd’equity (accionsiíndexs borsaris),detipusd’interès, commodities (matèriesprimeres)icorbesFXde canvisdemoneda,defutursde commodities,volatilitatsimplícitesidividends d’algunssubjacentsconcrets.Esvalorenlesoperacionsderendaﬁxa,notes estructuradesiderivatssobre equity,tipusd’interès,tipusdecanvi,matèries primeresiinﬂació.Escalculenlessuperfíciesdevolatilitat,potserelsparàmetresdeHeston[8]d’algunsderivatsdel’Ibexol’EuroStoxx.Escalibrenels modelsdeHull&Whiteperalsderivatsdetipusd’interès.Finalment,totsels càlculsfetss’insereixenenlesbasesdedadespròpiesialgunsescarreguen tambéalesplataformesesmentades.

Referències

[1] Avellaneda,M.;Laurence,P. QuantitativeModelingofDerivativeSecurities.FromTheorytoPractice.BocaRaton,FL:Chapman&Hall/CRC, 2000.

[2] Bachelier,L. «Théoriedelaspéculation». Ann.Sci.ÉcoleNorm.Sup.(3), 17(1900),21–86.

[3] Badescu,A.;delCastillo,J.;Ortega,J.-P. «Hedgingoftimediscrete auto-regressivestochasticvolatilityoptions». Ann.Econ.Stat.,123–124 (2016),271–306.

[4] Black,F.;Scholes,M. «Thepricingofoptionsandcorporateliabilities». J. Polit.Econ.,81(3)(1973),637–654.

[5] Cont,R. «Empiricalpropertiesofassetreturns:stylizedfactsandstatisticalissues». Quant.Finance,1(2)(2001),223–236.

[6] Cox,J.C.;Ross,S.A.;Rubinstein,M. «Optionpricing:asimpliﬁedapproach». J.Financ.Econ.,7(3)(1979),229–263.

[7] Gatheral,J. TheVolatilitySurface:APractitioner’sGuide.NovaJersey: Wiley-Interscience,2006.

[8] Heston,S. «Aclosed-formsolutionforoptionswithstochasticvolatility withapplicationstobondandcurrencyoptions». Rev.Financ.Stud.,6(2) (1993),327–343.

[9] Hull,J.C. Options,Futures,andOtherDerivatives.9aed.EUA:Pearson, 2015.

[10] Jolis,M. «ProbabilitatiAnàlisi,unsgransamics». MatMat,treballnúm.2 (2013),26p. http://mat.uab.cat/matmat/PDFv2013/v2013n02.pdf

[11] Malkiel,B.G. UnpaseoaleatorioporWallStreet.10aed.Madrid:Alianza Editorial,2013.

[12] Merton,R.C. «Theoryofrationaloptionpricing». BellJ.Econom.and ManagementSci.,4(1973),141–183.

[13] Taylor,S.J. AssetPriceDynamics,VolatilityandPrediction.Princeton,NJ: PrincetonUniversityPress,2005.

[14] Valdivia,A. «Matemàticaﬁnanceraentempsdecrisi». Butlletídela SocietatCatalanadeMatemàtiques,29(2)(2014),167–197.

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona {bruna,castillo}@mat.uab.cat

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.32,núm.2,2017.Pàg.133–153. DOI:10.2436/20.2002.01.76

Deﬁnibilitatenestructuresmatemàtiques

EnriqueCasanovasRuiz-Fornells

Resum: Discutimlanociódedefinibilitatderelacions,funcionsielementsd’una estructuramatemàticamitjançantelllenguatgeformaldelalògicadeprimerordreen elcontextdelateoriademodels.Atravésdel’exposiciód’unasèried’exemplesde problemesdedefinibilitatbasatsensistemesnumèricsfamiliarsperatotmatemàtic, mostremquel’anàlisidelacomplexitatdelesrelacionsdefiniblesenunaestructura aportainformacióvaluosasobreqüestionsdedecidibilitaticategoricitatdelaseva teoria.

Paraulesclau: deﬁnibilitat,teoriademodels,axiomes,decidibilitat,categoricitat.

ClassiﬁcacióMSC2010: 03C07,03C40,03C45.

1Introducció

Eneldesenvolupamentdequalsevoldisciplinamatemàticaéshabitualalternar l’enunciatilademostraciódeteoremesamblaintroducciódedefinicions.Mitjançantunadefiniciós’introdueixlanotacióquepermetabreujarelsenunciats posteriorsifacilitar-nelacomprensió.Nocalgairediscussiósobreelscriteris quehandecomplirlesdefinicions,mésenllàquehand’evitarcircularitatsi que,enelcasdeladefiniciód’operacions,handedemostrar-seprèviament unescondicionsd’existènciaiunicitatdelsvalors.Unaaltracosadiferentés explicarquèsignificaqueunobjectematemàticconcret,comunnúmeronaturalorealounarelacióentrenúmeros,siguidefinible.Peraaixòenprimer lloccalaclarirelcontext,especificarenquindominid’objectesonúmeros estemtreballant,quinesaltresnocionsespressuposenjaintroduïdesienquin llenguatgepotenunciar-seladefinició.Peròfinsitotdesprésdetotaixòpoden sorgirproblemes.

Unaversiópreliminard’aquestarticleesvaexposaralalliçóinauguraldelcurs2016–2017dela FacultatdeMatemàtiquesiInformàticadelaUniversitatdeBarcelona.

Aprincipisdelsegle xx,enelcontextdelacrisidefonamentsdelesmatemàtiques,esvandonaraconèixerdiversesparadoxesrelativesaladefinibilitat. El1906B.Russellescriul’article[16],enelqualexposal’anomenada paradoxa deBerry.Potformular-secoml’observacióqueelmenornúmeronaturalque noésdefiniblemitjançantmenysdedissetparaulesdel’idiomacatalàés,com s’apreciacomptantparaulesdelafraseanterior,definiblemitjançantsetze paraules.Russell,queatribueixaquestaparadoxaaunbibliotecaridelabibliotecaBodleiand’OxfordanomenatM.G.G.Berry,enuncialaparadoxaentermes defrasesdemenysdedivuitsíl.labesdel’idiomafrancès.Unaaltraparadoxa similarqueRusselldiscuteixésla paradoxadeRichard,proposadaoriginàriamentperJ.Richarda[14].Enaquestcasesconsiderentotselsnúmerosreals definibles,ise’nfaunallista r0,r1,... ordenant-losd’acordamblalongitudde lasevadefinicióid’acordambunordreespecificatperalesdefinicionsque tinguinlamateixalongitud,perexemple,aplicantl’ordrelexicogràficenaquest cas.Mitjançantelmètodedediagonalitzacióespotdefiniracontinuacióun númeroreal r quedifereixde rn enel n-èsimdígitdecimal,unnúmeroreal definiblequenoapareixenlallistadetotselsnúmerosrealsdefinibles.

Alavistad’aquestsexemples,ésnaturalsospitarquelanociódenúmero definibleéspocrigorosaihadeserevitadaenelsraonamentsmatemàtics. El1931A.Tarskiconstata,a[23],queaquestaésl’opiniógeneraldelsmatemàticsiesproposaargumentarencontraenuncasparticular.Enelcitatarticle, Tarskimostraqueelsconjuntsdefiniblesdenúmerosrealsenelgrupordenat additiurealsóncaracteritzablescomaunionsfinitesd’intervals(incloent-hi semirectes)ipunts.ElllenguatgequeTarskiespecificaperquèespuguinescriurelespossiblesdefinicionsésunllenguatgeformal,elllenguatgedela lògicadeprimerordre.Moltpocsanysdesprés,elmateixTarskivamostrar queéspossibledefinirlanociódeveritatperaenunciatsd’aquestllenguatge ambtotageneralitatiprecisió:espotdefinirrigorosamentunarelació tal queperacadaestructuramatemàtica M,peracadafórmuladelalògicade primerordre ϕ(x1,...,xn) icadaènupla a1,...,an d’elementsdel’univers odominide M, M ϕ(a1,...,an) siinoméssi ϕ(x1,...,xn) éscertaa M enfercorrespondrelesvariables x1,...,xn amb a1,...,an.Comindicarem mésendavant,apartird’aquestanocióésfàcilcaracteritzarlesrelacions,les operacionsielselementsdefiniblesenl’estructura M.Lesparadoxesdela definibilitatnosorgeixenquanelllenguatgeenelqualesdonenlespossibles definicionséselllenguatgeformaldelalògicadeprimerordre.

Elnostrepropòsitenaquestarticleésil.lustraralgunsaspectesdelateoria demodelsaprofitantl’exposicióderesultatssobredefinibilitatenestructures matemàtiques.La teoriademodels éslabrancadelalògicamatemàticaen laquals’investiguenlesestructuresambajudadelsllenguatgesformalsde primerordre.S’hiestudienlesteoriesmatemàtiquesielsseus models,quesón lesestructuresenlesqualssóncertselsenunciatsdelesteories.Latesique defensemésquel’anàlisidelesrelacionsdefiniblesenunaestructuraaporta informacióessencialperaentendreproblemesdedecidibilitaticategoricitat deteoriesi,mésgeneralment,contribueixaposaruncertordreenelsdife-

rentstipusdeteoriesienlaclassificaciódelsseusmodels.Exemplificarem constantmentlesnostresafirmacionsambestructuresmatemàtiquesqueens sónmoltfamiliarsatotsiqueprovenendel’aritmètica,delateoriadegrupsi delateoriadecossos.

2Preliminars

Peraladiscussióil’exposiciódelsresultatsnecessitemintroduirambuna certaprecisiólanociód’estructuramatemàticaidelllenguatgedeprimerordre associat.Nohofaremambtotelrigor,entenentqueellectorinteressatconeix aqueststemesobéentindràprouambunadescripciósuccinta,suﬁcientpera seguirl’argumentació.Peramésdetallsesrecomanaacudiraunmanualde lògica,comperexempleeldeH.B.Enderton[3].Lesestructuresmatemàtiques sónelsobjectesambelsqualshabitualmentelsmatemàticstreballen:conjunts enelsqualsestanestablertesunesrelacionsiunesoperacions.Ésimportant tenirbenpresentquenonoméselcanvideconjunt,sinótambéelcanvi,addició osupressiód’operacionsorelacions,determinauncanvid’estructura.Noés elmateixdiscutirelsnúmerosnaturalsamblasuma,queamblasumaiel producte.

Si M ésunconjunti n ≥ 1ésunnúmeronatural,amb M n ensreferim alproductecartesiàde M iterat n vegades: M ×···× M.Enaltrestermes, M n éselconjuntdetoteslesènuples (a1,...,an) quepodenobtenir-seamb elements ai de M

Una estructura ésunobjectematemàticdelaforma

M= (M,R1,R2,...,f1,f2,...,c1,c2,...), on

• M ésunconjuntnobuit,l’univers del’estructura.

• Ri ⊆ M ni ésunarelacióa M.

• fi : M mi → M ésunaoperacióa M.

• ci ∈ M ésunelementdestacatde M,unaconstantde M.

Unaestructurapottenirpoquesomoltesrelacions,operacionsielements destacatsihipodenfaltaralgunsd’aquestsingredients.Algunsexemples familiarscontribuiranamillorar-nelacomprensió:

• Elscossosdenúmerosracionals (Q, +, , · , 0, 1),denúmerosreals (R, +, ,, 0, 1) idenúmeroscomplexos (C, +, ,, 0, 1).

• Grups,comeldelsenters (Z, +, 0) oeldePrüfer (Zp∞ , +, 0),igrups ordenatscom (Z, +,<, 0) o (Q, +,<, 0).

• Conjuntsordenats,com (Q,<) i (Z,<).

• Elsnúmerosnaturalsambdiversesoperacionsirelacions,com (N, +, 0), (N,S) (on S éslafunciósuccessor)i (N, +, ·,<, 0, 1)

Implícitamenthemacceptatquelesrelacions,lesoperacionsilesconstants d’unaestructuraespodenenumerarmitjançantnúmerosnaturals.Aixònoés sempreaixíiensfaperdreunamicadegeneralitat,peròtambéenspermetrà eliminaralgunstecnicismesenl’enunciatderesultats.Entotcas,elsexemples mésnaturalssónd’aquesttipusoﬁnsitotméssimples,imoltsovinttenen nomésunnombreﬁnitderelacions,d’operacionsid’individusdestacats.

Enlògicamatemàticas’utilitzenllenguatgesformalsdeprimerordreper acaracteritzar,enlamesuradelpossible,lesestructuresperlesqualshom s’interessaiperaestudiar-neelsconjunts,lesrelacionsilesoperacions.Un llenguatgedeprimerordre apropiatperal’estructura M faúsdesímbols corresponentsalesrelacions,funcionsielementsdestacatsdel’estructura aixícomdevariables,quantiﬁcadorsiconnectorslògics.Sempreté,amés,un símbolperalaigualtat,ambelqualespodenconstruirequacions.Alapràctica, moltsovintnodistingimambnotaciódiferentlesrelacions,lesoperacionsi elselementsdestacatsd’unaestructuradelssímbolsdelllenguatgeformalque s’usenperaanomenar-los.

Els termes delllenguatgesónlesexpressionsques’obtenenapartirde lesconstantsidelesvariablesmitjançantl’aplicaciódelssímbolscorresponents alesoperacions.Perexemple, (0 + x) (z + (y + x)) ésuntermedelllenguatge del’aritmètica.Les fórmules s’obtenenpermitjàdelsconnectorsbooleans ¬ , ∧, ∨, → , ↔ imitjançantquantificadorselementals ∀x, ∃x apartirdeles fórmules atòmiques,quealseutornesdefineixencomaequacionsentretermes t1 = t2 i predicacionsbàsiquesentretermesdelaforma Ri(t1,...,tni ).Els enunciats són fórmulesenlesqualstoteslesvariablesqueapareixenhanestatquantificades. Lesvariablesqueenunafórmulanos’hanquantificatesdiuen variableslliures. Éshabitualusarlanotació ϕ(x1,...,xn) perareferir-seaunafórmulales variableslliuresdelaqualestiguinenlallista x1,...,xn.Ésimportanttenir benpresentqueelspossiblesvalorsdelesvariablessónelementsdel’univers del’estructura,nosubconjuntsseusoobjectesméscomplexos.

Elsenunciatsdelllenguatgeformalde M sónsempreocertsofalsos en M,laqualcosanovoldirquetinguemunalgorismeperadecidirencada cassihosónono.Eltenimenelcasdelesestructuresfinites,perònoen general.Perexemple,si Prim(y) éslafórmula1 <y ∧∀z1z2 (y = z1 z2 → (z1 = 1 ∨ z1 = y)),llavorsl’enunciat ∀x ∃y(x<y ∧ Prim(y)) significaa (N, +,,<, 0, 1) quehihaprimersarbitràriamentgransi,pertant,quehiha infinitsnúmerosprimers,quesabemqueéscert.Noobstantaixò,l’enunciat ∀x (1+1+1+1+1 <x →∃u ∃v ∃w(x = u+v+w∧Prim(u)∧Prim(v)∧Prim(w))) expressaenaquestamateixaestructuraquetotnúmeromajorquecincéssuma detresprimers.EstractadelaconjecturadeGoldbach,quenosabemsiés certaono.

Escrivim M σ perindicarquel’enunciat σ éscerta M.Undelsgrans mèritsdeTarskiconsisteixaproporcionarunadeﬁniciómatemàticamentinobjectabledelarelació ,larelacióde satisfacció.Ésunadeﬁniciórecursiva quesegueixlesfasesdeconstrucciódel’enunciat.Comqueelsenunciatses construeixenmitjançantunprocésrecursiuapartirdefórmulesatòmiques

ambconnectorsiquantiﬁcacions,ienlesfasesintermèdiesdelprocésnoes tenenenunciats,sinófórmulesambvariableslliures,caldeﬁnirlarelaciódesatisfaccióperaaquestes.Llavors,fafaltatambéconsiderarunallistad’elements del’estructuraquecorresponguialesvariableslliuresdelafórmula.Recordem quelanotació ϕ(x1,...,xn) indicaquelesvariableslliuresdelafórmula ϕ sónenlallista x1,...,xn.Perexemple,enelllenguatged’anells ϕ(x,y) pot serlafórmula ∃z(x = y + z z),quediuque x éslasumade y ambun quadrat.Escrivim M ϕ(a1,...,an) perindicarquelafórmulaéscerta M en fercorrespondrelesvariables x1,...,xn ambelselements a1,...,an ∈ M,ésa dir,quelaènupla (a1,...,an) satisfà lafórmulaa M.Perexemple,lafórmula ϕ(x,y) queacabemdedonarlasatisfanenelcosrealtotselsparells (a,b) denúmerosrealstalsque a ≥ b;peròenelcoscomplexlasatisfantotsels parellsdenúmeroscomplexossenserestriccions.

Unavegadaesdisposadelanociódeveritatenunaestructura,espot introduirlanocióde conseqüèncialògica.Esdiuqueunenunciat σ ésconseqüènciad’unconjuntd’enunciats Σ (oque Σ implica σ )si σ éscertaentotesles estructuresenlesqualssóncertstotselsenunciatsde Σ.Enlalògicadeprimer ordretenimun teoremadecompletitud,quegaranteixquelesconseqüències lògiquesde Σ,enelsentitanterior,sónprecisamentelsenunciatsquesón demostrablesapartirdelsenunciatsde Σ.

3Teories

Lesteoriessónconjuntsd’enunciats.Ésconvenientqueelsenunciatsquesiguin conseqüèncialògicad’unateoria T ,elsseus teoremes,esconsiderintambé elementsde T .Peraixò,esdeﬁneixuna teoria comunconjuntd’enunciats T quetélapropietatquetoteslessevesconseqüències(enelllenguatgede T ) pertanyena T .Uncasparticularéseldela teoriad’unaestructura M;ésel conjunt Th(M) formatpelsenunciatsdelseullenguatgeformaldeprimer ordrequesóncertsenaquestaestructura,ésadir:

Th(M) ={σ |M σ }.

Esdiuqueunaestructura M ésun model d’unateoria T sitotselsenunciats de T sóncertsa M,ésadir,si T ⊆ Th(M). Unadelesportesd’entradaalateoriademodelsestraspassaenobservar queduesestructurespodentenirlamateixateoriainoserisomorfes.Pera explicaraquestfetid’altresquevindrantotseguitnecessitaremparlarde duesrelacionsentreestructures,la isomorﬁa, ,il’equivalènciaelemental, ≡. Ambduess’estableixenentreestructuresquetenenelmateixllenguatge.La nociód’isomorﬁaéslaques’usahabitualmentenàlgebra.

•M N siinoméssihihaunabijecció f entreelsuniversos M i N quetransformalesrelacions,operacionsiconstantsde M enles corresponentsde N ,ésadir,peracadarelació Ri de M, f(Ri) = {(f(a1),...,f(an)) | (a1,...,an) ∈ Ri} éslacorresponentrelacióde N , idemanerasimilarperaoperacionsiindividusdestacats.

•M≡N siinoméssielsenunciatsdelllenguatgeformaldeprimer ordrequesóncertsa M ia N sónelsmateixos,ésadir,siinoméssi Th(M) = Th(N )

Observemque M N indicaque M i N sónindistingiblesperlesseves propietatsmatemàtiques,mentreque M≡N diusimplementquenolespodemdistingirmitjançantlespropietatsquepodenexpressar-seenelllenguatge formaldelalògicadeprimerordre.Aquestesnocionspertanyenalsaspectes méselementalsdelateoriademodels.Comatextdereferènciaperaaquestes qüestionsi,engeneral,peratotelquesegueix,recomanemelllibredeK.Tent iM.Ziegler(vegeu[25]).

Lespreguntesinicialsque,desdelaperspectivadelateoriademodels, homespotplantejarsobreunaestructura M inclouenmoltprobablementles següents:

1.Éspossibleespeciﬁcarunallistad’axiomesperalateoriade M?

2.Existeixunalgorismeperadecidirquinsenunciatssóncertsa M?

3.Quinessónlesestructures N talsque M≡N ?

4.Quinesrelacions,operacionsielementssóndeﬁniblesa M?

Hemd’explicarquèésunallistad’axiomesihemd’acabardeprecisarquè signiﬁcaserdeﬁnible.Elnostrepropòsitésmostrarcoml’últimapregunta estàmoltrelacionadaamblesanteriors.Avancemalgunainformaciósobreles respostespossibles:

• Lesduesprimerespreguntes,adequadamentformulades,sónequivalents imoltsovintnotenenrespostapositiva.

• Excepteencasostrivials,larespostaalatercerapreguntaésquenosón únicamentlesestructuresisomorfesa M

Donar axiomes peraunateoriavoldirescolliralgunsdelsseusenunciats demaneraqueelsaltress’obtinguinapartird’aquestscoma teoremes,coma enunciatsdemostrats.Enunsentittrivial,sempreéspossibletrobarunconjunt d’axiomesperaunateoria:n’hihaprouambprendrecomaaxiomestots elsenunciatsdelateoria.Això,clarament,notéinterès.Volemunconjunt simpled’axiomes,siéspossibleﬁnit.Aquestaexigènciaespottraduirenelfet que,almenys,espuguideterminarambprecisió,mitjançantalgunalgorisme, quinsenunciatssónaxiomesiquinsnohosón.Aquestadiscussiópressuposa quetenimuncontextefectiu,ésadir,uncontextenelqualtésentitaplicar algorismes,i,pertant,elsenunciatsdelllenguatgedeprimerordreesdonende manerasintàcticamentveriﬁcableilesllistesd’axiomespodensergenerades demaneracomputable.Diremqueunateoria T és axiomatitzable siéspossible donarunallistaefectiva(generadaperunalgorisme)d’axiomespera T .La teoria T és decidible siexisteixalgunalgorismeaplicablealsenunciatsdel llenguatgeformalperaresoldresisónonoteoremesde T .Finalment,la teoria T és completa si,peracadaenunciat σ delllenguatgeformalde T ,obé σ ésunteoremade T obéhoés ¬σ

Lateoria Th(M) d’unaestructura M éssempreunateoriacompleta.Pera aquesttipusdeteories,axiomatitzabilitatidecidibilitatsónequivalents:espot donarunallistaefectivad’axiomessiinoméssihihaunalgorismeperadecidir quinsenunciatssónelsseusteoremes.Aixònopassa,engeneral,ambteories incompletes.Perexemple,l’aritmèticadePeanodeprimerordre,delaqual desprésparlaremdetalladament,ésaxiomatitzableperòindecidible.D’altra banda,encaraqueperaunateoriacompletaaxiomatitzabilitatidecidibilitat sónequivalents,noésobvicomespotobtenirunbonconjuntd’axiomesa partird’unalgorismededecisióperalsteoremes,nitampocésobvicomes potobtenirunbonalgorismededecisióperalsteoremesapartird’unallista efectivad’axiomes.

Comésbensabut,K.Gödelvademostrarel1931(vegeu[5])quenoés possibleaxiomatitzarl’aritmètica,ésadir,lateoriacompletade (N, +, ·,<, 0, 1) L’aritmèticadePeanodeprimerordrenoésmésqueunfragmentd’aquesta teoria.Contràriamentaaixò,A.Tarskivamostrarel1951(vegeu[23]i[24]) quelateoriadelcosdelsnúmeroscomplexossíqueésdecidibleitambé vademostrarladecidibilitatdelateoriadelcosordenatdelsnúmerosreals. Enelprimercas,lasevateoriaésladelscossosalgebraicamenttancatsde característicazero,ienelsegon,ésladelscossosordenatsrealstancats,és adir,elscossosordenatsquesatisfanelteoremadelvalorintermedipera polinomis.

Pelquefaalaquartapregunta,ladescripciódelesrelacionsdefinibles encasosconcrets,elmètodeméshabitualestàbasatenl’eliminaciódequantificadors.Engeneralnoésfàcildirquinesrelacionssóndefiniblesenuna estructura M,peròtenimmoltesmésopcionsd’èxitcaracteritzantlesrelacions definiblesmitjançantfórmulessensequantificadors,jaque,alcapialafi, sónsimplementlescombinacionsbooleanesdelesrelacionsdefiniblesmitjançantfórmulesatòmiques.Queunateoria T tinguieliminaciódequantificadors significaqueperacada n ≥ 1icadafórmula ϕ(x1,...,xn) delllenguatge de T existeixunafórmulasensequantificadors ψ(x1,...,xn) peralaqual T implica ∀x1 ...xn (ϕ(x1,...,xn) ↔ ψ(x1,...,xn)).Silateoria Th(M) té eliminaciódequantificadorspodemaspirarasolucionarelproblemadela caracteritzaciódelesrelacionsdefinibles.Tarskivademostrarquelesteories delcoscomplexidelcosrealordenatqueacabemd’esmentarteneneliminaciódequantificadors.Gràciesaaixò,sabemquinssónelssubconjuntsde C definiblesa (C, +, , · , 0, 1):sónelssubconjuntsfinitsielsseuscomplementaris.Ielssubconjuntsdefiniblesde Cn (lesrelacions n-àriesdefinibles)són elsconjuntsconstruïblesdelatopologiadeZariski.Pelquefaalsnúmeros reals,elssubconjuntsde R definiblesa (R, +, ,,<, 0, 1) sónlesunionsfinites d’intervals(incloent-hisemirectes)ipunts.Ilesrelacions n-àriesdefiniblessón elssubconjuntssemialgebraicsde Rn.Encanvi,enelcasde (N, +,,<, 0, 1) notenimeliminaciódequantificadorsilesrelacionsdefiniblessónd’unagran complexitat.

Devegadeslateoriadel’estructura M queensinteressanotéeliminacióde quantiﬁcadors,peròpodemampliarelllenguatgedemaneranatural,afegint-hi

relacions,operacionsoelementsdefiniblessenseparàmetres,demaneraque finalments’obtinguiunaestructuralateoriadelaqualtinguieliminacióde quantificadors.Iaixòpotbastarperaobtenirunacaracteritzacióraonable delesrelacionsdefiniblesa M.Aixòéselquepassaenelcasdelcosreal (R, +, ,, 0, 1),jaqueafegintlarelaciód’ordre < s’obtéelcosordenatreal,la teoriadelqualsíquetéeliminaciódequantificadors.

4Axiomatització

Araespeciﬁcaremalgunsconjuntsd’axiomesperaalgunesteoriesd’interès especial.Entotselscasos,l’axiomatitzaciós’estableixenelllenguatgeformal delalògicadeprimerordre.Comencemambl’aritmèticadePeano,elsistema formalhabitualperal’aritmètica.Téelsaxiomessegüents:

1. ∀xy(x + 1 = y + 1 → x = y).

2. ∀xx + 1 ≠ 0.

3. ∀xx + 0 = x.

4. ∀xyx + (y + 1) = (x + y) + 1.

5. ∀xx · 0 = 0.

6. ∀xyx (y + 1) = (x y) + x

7. ∀xy(x<y ↔∃z(x + z = y ∧ z ≠ 0))

8.Principid’inducció:peracadafórmula ϕ(x1,...,xn,y)

∀x1 ...xn (ϕ(x1,...,xn, 0) ∧∀y(ϕ(x1,...,xn,y) → → ϕ(x1,...,xn,y + 1)) →∀yϕ(x1,...,xn,y)).

Devegadesesprefereixusarlafunciódesuccessió S(x) = x + 1encomptes delnúmero1(definibleperlasevabandacom1 = S(0))iesprefereixenunciar elsistemad’axiomesenelllenguatge {S, +,, 0,<}.Simplementcalcanviar lesexpressionsdelaforma t + 1per S(t) enelsaxiomes.Elsaxiomes1i2 especifiquenque S ésunafuncióinjectivaique0noformapartdelseu recorregut.Elsaxiomes3i4donenladefiniciórecursivadelasuma,iels axiomes5i6,ladefiniciórecursivadelproducte.L’ordre < s’introdueixa l’axioma7mitjançantunadefinicióexplícita.Defet,l’ordreésperfectament prescindible,ipodríempresentarl’aritmèticasensetenir-loencompte.

Al’axioma8espresentaelprincipid’induccióenformad’esquemaaxiomàtic.Hihatantesinstànciesparticularsdel’axiomacomfórmulesdelllenguatge deprimerordre.Nopotsubstituir-seperunúnicaxiomaquequantifiquisobre conjuntsdenúmerosnaturalsjaque,comhemindicat,enelllenguatgede primerordrenoméspodemquantificarsobreelementsdel’universdel’estructura.Elsmatemàticssovintestanacostumatsaformularelprincipid’inducció mitjançantunúnicaxiomaquequantificasobreconjuntsdenúmerosnaturals, peròaquestaformadelprincipid’inducciónopotexpressar-seenlalògica deprimerordre;lasevaformulaciópertanyalateoriadeconjuntsoala

lògicadesegonordre.D’altrabanda,reﬂexionant-hiunamica,esveuqueles aplicacionshabitualsdelprincipid’induccióenlademostraciódeteoremes aritmètics,encaraqueaparentments’efectuïnperasubconjuntsarbitrarisde N, enrealitatesfanperasubconjuntsdeﬁniblesisón,peraixò,casosparticulars delnostreesquema8.

Comjahemavançatabans,Gödelvademostrarqueaquestsistemad’axiomesdel’aritmèticadePeanoésinsuﬁcientperal’aritmèticacompleta,noés unallistad’axiomespera Th(N, +, ·,<, 0, 1).Noobstantaixò,síqueserveix peralagranmajoriadelsproblemesaritmèticshabituals,inoésfàciltrobar enunciatsaritmèticscertsquenopodenserobtingutscomateoremesseus. Atèsquenoésunateoriacompleta,noespotconcloureladecidibilitatde l’aritmèticadePeanoapartirdelasevaaxiomatitzabilitat.Jas’hacomentat abansqueamésésunateoriaindecidible.Ésclarquinssónelsaxiomes,però nohihacapalgorismequeensserveixiperadirquinssónelsseusteoremes. Fixem-nosenlateoriadecossos,ienparticularenelscossosrealicomplex. Éshabitualenteoriademodelstractarelscossosenelllenguatged’anells {+, , · , 0, 1} ilateoriadecossosordenatsenelllenguatged’anellsordenats {+, , ·,<, 0, 1}.Notenim,pertant,l’operaciódedivisiódisponibledemanera explícita,totiqueindirectamentpuguemparlar-ne.Nos’hipodriaafegirde maneraimmediata,jaqueésunaoperacióparcial.Podriaafegir-s’hideﬁnintla divisióperzerod’unamaneraarbitrària.Perònohihacapnecessitatdefer-ho, simplementn’hihaprouambelllenguatged’anellsperatotselspropòsits,i totésméssimpleenaquestllenguatge.

La teoriadecossos téunallistasenzillaibastantprevisibled’axiomes.N’hi haprouambespeciﬁcarque0 ≠ 1,que + i · sónoperacionsassociativesi commutatives,que ésdistributivarespectea +,que0ésl’elementneutre enlasumaique x ésl’oposatde x respectedelasuma,que1ésl’element neutredelproducteiquetotelementdiferentdezerotéuninversrespectedel producte.Ensestalviemdonarlallistad’aquestsaxiomes,quesónconegutsde sobres.

Lateoriade cossosalgebraicamenttancats s’obtéafegintalateoriade cossoselsaxiomesquegaranteixenl’existènciadezerosdetotselspolinomis noconstants.Aixòpotaconseguir-seambelsenunciatssegüentsperacada n ≥ 1:

∀y0 ...yn yn ≠ 0 →∃x n i=0 yixi = 0 .

Observemqueenaquestaúltimafórmulalapotència xi ésunaabreviació delproductede x ambsimateix i vegades,mentrequeelsubíndexde yi ésel quecorresponal’enumeraciódelesvariables y0,...,yn.

Lateoriadels cossosalgebraicamenttancatsdecaracterísticaunnúmero primer p, ACFp,s’obtéafegintamésl’axiomaquedeterminalacaracterística:

ϕp := 1 + 1 +···+ 1 p vegades = 0

Lateoriadels cossosalgebraicamenttancatsdecaracterísticazero, ACF0, s’obtéafegintalateoriadecossosalgebraicamenttancatselsaxiomes ¬ϕp peracadaprimer p

ACF0 éslateoriadelcoscomplexi ACFp éslateoriadelcos Fp,laclausuraalgebraicadelcosde p elements Fp.Són,pertant,teoriescompletes axiomatitzablesiperaixòteoriesdecidibles.

Lateoriade cossosrealstancats potformular-seenelllenguatged’anellso eneld’anellsordenats.Laversiósenseordreéslateoria RCF ,ques’axiomatitza afegintalateoriadecossoselsaxiomessegüents:

1. ∀x1 ...xn x2 1 +···+ x2 n ≠ 1peracada n ≥ 1.

2. ∀x∃y(y 2 = x ∨ y 2 =−x).

3. ∀y0 ...y2n+1 (y2n+1 ≠ 0 →∃x 2n+1 i=0 yixi = 0) pera n ≥ 0.

Noésnecessariespeciﬁcarlacaracterística,jaqueelsaxiomesdel’apartat1 jaimpliquenquenopotserunnúmeroprimer.Elscossosenelsqualsvalen aquestsaxiomesesdiuen formalmentreals.Al’apartat2espostulal’existència d’arrelsquadradesial’apartat3esgaranteixl’existènciadezerosdepolinomis degrausenar.

RCF éslateoriade (R, +, ,, 0, 1).Comenelcasdelcoscomplex,vaser Tarskiquihovademostrar.Icomenelcascomplex,lateoriaéscompletai axiomatitzableiperaixòdecidible.

Consideremaralateoriadelcosrealambordre,quetél’avantatged’eliminar elsquantiﬁcadors.Lateoria RCOF delcosordenatreal (R, +, , ·,<, 0, 1) es potaxiomatitzarafegintsimplementa RCF ladeﬁnicióexplícitadel’ordre:

∀xy(x<y ↔ x ≠ y ∧∃zx + z2 = y).

Alternativamentpodemaxiomatitzar RCOF partintdelateoriade cossos ordenats,quetéelsaxiomessegüentsaddicionalsalsdelateoriadecossos:

1. ∀xx<x.

2. ∀xyz(x<y ∧ y<z → x<z)

3. ∀xy(x<y ∨ x = y ∨ y<x).

4. ∀xyz(x<y → x + z<y + z)

5. ∀xyz(x<y ∧ 0 <z → x · z<y · z).

S’afegeixenllavorsaxiomesquegaranteixenquetotpolinomiquepassade positiuanegatiuenunintervaltéunzeroenl’interval.Aixòespotaconseguir ambelsaxiomessegüentsperacada n ≥ 0:

Lesdemostracionsdeladecidibilitatd’aquestesteoriesdecossosquees vandonaroriginàriamentesbasavenenmètodesefectiusd’eliminacióde quantiﬁcadors.

5Deﬁnibilitat

Aracomentaremambmésdetallalgunesqüestionsdedefinibilitat.Lamanera mésdirectad’explicarquèsignificaqueunarelació,unaoperacióounelement d’unaestructurasiguidefinibleésapel.lantalesfórmulesdelllenguatgeformal deprimerordrequeespodenferservirperadonarlesdefinicions.

Unarelació R ⊆ M n és deﬁnible a M sobreelconjunt A ⊆ M (és A-deﬁnible a M)sihihaunafórmula ϕ(x1,...,xn) enelllenguatgeampliatambnoms peralselementsde A talque

R ={(a1,...,an) ∈ M n |M ϕ(a1,...,an)}, ésadir, R estàformadaperlesènuplesde M quesatisfanlafórmulaa M.Enel casd’unaoperació,esdiuqueésdefiniblesihoéselseugrafi,finalment,diem queunelement a ésdefiniblesihoéselseuconjuntunitari {a}.Esdiuqueels elementsde A queapareixenenlafórmulasón paràmetres deladefinició.

Devegadesnofemservirparàmetresenlesdefinicions.Unarelació,operació oindividués definiblesenseparàmetres a M siés A-definibleperalcas A = ∅.Aixòsignificasimplementqueenlafórmula ϕ(x1,...,xn) queusemper adefinirnofemservircapnomaddicional.Hihaunagrandiferènciaentre definirambparàmetresosense.Perexemple,totconjuntfinit {a1,...,an} ésdefinibleambparàmetresenqualsevolestructuraquecontinguielsseus elements:n’hihaprouambconsiderarladisjunció (x = a1 ∨···∨ x = an); perònoésnormalqueelsconjuntsfinitspuguindefinir-sesenseparàmetres.

Ladefinibilitatestàmoltrelacionadaamblainvariància.Unarelació,una operacióounindividusón invariants a M sielsautomorfismesde M els respecten.Lesrelacions,operacionsiindividusdefiniblessenseparàmetres sóninvariants,peròelrecíprocnoéscertengeneral.Encomentaremalgun exemplemésendavant,itambédonaremexemplesenelsqualslainvariància iladefinibilitatsenseparàmetrescoincideixen.Engeneral,podemferservir queunarelaciónoésinvariantperademostrarquenoésdefiniblesense paràmetres.

Éspossibletambécaracteritzarlesrelacionsdefiniblesenunaestructura sensenecessitatd’utilitzarelllenguatgeformal.Espotevitarlalògicai,en llocd’introduirlanociódedefinibilitatmitjançantfórmulesimitjançantla relació desatisfacció(comacabemdefer),podemadoptarlapresentació següentdeladefinibilitat:

Sigui M= (M,R1,R2,...,f1,f2,...,c1,c2,...) unaestructuraisigui A ⊆ M Espotveurefàcilmentquelesrelacions R ⊆ M n A-deﬁniblesa M sónels elementsde Dn,on (Dn | n ∈ N,n> 0) éslamenorcol lecciódesubconjunts Dn ⊆P(M n) talque:

1. {a}∈ D1 peracada a ∈ A i {c1}, {c2},... ∈ D1.

2. Ri ∈ Dn si Ri ⊆ M n .

3. fi ∈ Dn+1 si fi : M n → M.

4. {(a,a) | a ∈ M}∈ D2

5. Cada Dn éstancatrespectedelesoperacionsbooleanes:si R,S ∈ Dn, aleshores

R ∩ S,R ∪ S,R S ∈ Dn

6.Si R ∈ Dn+1,aleshores

dom(R) ={(a1,...,an) | (a1,...,an,b) ∈ R peraalgun b ∈ M}∈ Dn.

7.Si R ∈ Dn,aleshores

R × M ={(a1,...,an,b) | b ∈ M i (a1,...,an) ∈ R}∈ Dn+1.

8.Si R ∈ Dn i π ésunapermutacióde {1,...,n},aleshores

Rπ ={(aπ(1),...,aπ(n)) | (a1,...,an) ∈ R}∈ Dn.

Observeuque1–4especifiquennomésqueunesdeterminadesrelacionssón A-definibles,mentreque5–8donenprocedimentsperaobtenirrelacions A-definiblesapartird’altresrelacions A-definibles.Lesrelacions A-definibles1–4 sónlaigualtat,lesrelacionspròpiesde M,elsgrafsdelessevesoperacions ielsconjuntsunitaris,tantdelselementsde A comdelselementsdestacats de M.Elsprocedimentsdegeneraciódenovesrelacions A-definiblessónoperacionsbooleanes,projeccions(odominis),productescartesiansireordenacions d’ènuplesassociadesapermutacionsd’índexs.

Consideremalgunsexemplesdedefinibilitatsenseparàmetresenestructuresfamiliars.Ésclarque0ésdefiniblea (N,S) mitjançantlafórmula ∀y ¬S(y) = x.Illavorscadanúmeronaturaltambéésdefinible:n’hiha prouambaplicar S a0elnombreadequatdevegades.Però0noésdefinible senseparàmetresa (Z,S),jaquenoésinvariant:hihaautomorfismesd’aquesta estructuraquetransformen0enqualsevolaltreenter.Elmateixpassaambels altresenters,capésdefiniblesenseparàmetres.

A (N, +) síqueespotdefinirsenseparàmetreselzero,iamésl’ordre icadanúmeronatural:0esdefineixmitjançant x + x = x,l’ordre x<y esdefineixamb ∃z(x + z = y ∧ z ≠ 0),elnúmero1esdefineixamb0 < x ∧¬∃y(0 <y ∧ y<x) icadanúmeronatural n ≥ 2esdefineixamb x = 1 +···+ 1(n vegades).Unaconseqüènciadelfetquepuguemdefinirsense paràmetreselzero,l’ordreil’uésquenonoméslateoriade (N, +, ·,<, 0, 1) noésaxiomatitzable,sinóquetampochoéslade (N, +,).Engeneral,siles relacions,operacionsielementsdestacatsd’unaestructura M sóndefinibles senseparàmetresenunaaltraestructura N quetéelmateixunivers,llavors l’axiomatitzabilitatdeTh(N ) implical’axiomatitzabilitatdeTh(M)

Nototselsresultatssobredefinibilitatesresolendemanerasenzilla,exhibintunafórmulabreu.Perexemple,Gödelvamostrarel1931a[5]que l’exponenciació(igualquetoteslesfuncionsrecursives)ésdefiniblesense paràmetresa (N, +,),peròlafórmulaqueladefineixniésbreunis’enténbé senseexplicacionsaddicionals.

6Aritmètica

L’aritmèticadelasumaielproductetéunagrancomplexitat:nopodem axiomatitzar-lanidonarunalgorismequedecideixiquinssónelsenunciats aritmèticsquesóncerts.Noobstantaixò,siprescindimdelproducteiens quedemúnicamentamblasuma,lescosescanvienradicalment.M.Presburger vamostrarel1930(vegeu[12])quelateoriade (N, +) ésdecidible.Iamésva indicarcomespotampliarelllenguatgeformalmitjançantdeﬁnicionsde maneraquehihagieliminaciódequantiﬁcadors.Lateoriaesdiu aritmèticade Presburger enelseuhonor.

L’aritmèticadePresburgertéeliminaciódequantificadorssis’afegeixen alllenguatge0,1, < ilesrelacions(tambédefiniblessenseparàmetres)de congruènciamòdul n peracadanatural n ≥ 2.Larelaciódecongruència ≡n esdefineixa (N, +) mitjançantlafórmula ϕ(x,y) següent:

z(x = y + z +···+ z n vegades )

z(y = x + z +···+ z n vegades ).

Unsistemad’axiomesperal’aritmèticadePresburgers’obtérestringint l’axiomàticadel’aritmèticadePeanoalllenguatge {+, 0, 1},eliminantladefiniciórecursivadelproductei,siesvoltenireliminaciódequantificadors,fent servirlesdefinicionsdel’ordre < idelescongruències ≡n.

Unaltrefragmenttractabledel’aritmèticaésl’aritmèticadelproducte. Th.Skolemvademostrarel1930(vegeu[22]i[2])quelateoriade (N, ·) és decidible(i,pertant,axiomatitzable).Enconseqüència,lasumanoésdefinible senseparàmetresa (N, ·) ielproductenohoésa (N, +).Observeuque,no obstantaixò,elproducteésinvarianta (N, +).J.Robinsonvademostrarel1949 a[15]quelasumaésdefiniblesenseparàmetresa (N,,S) ia (N,,<),i, pertant,lesteoriesd’aquestesestructuresnosónaxiomatitzables;tambéva demostrarquelasumaielproductesóndefiniblesapartirdel’operació S desuccessoridelarelaciódedivisibilitat.Peradefinirlasuma x + y = z a (N,,S) espotutilitzarlafórmula

S(x · z) · S(y · z) = S((z · z) · S(x · y)).

Comque S ésdeﬁnibleapartirdel’ordre,aixòexplicaquetambélasumapugui deﬁnir-sea (N,,<)

J.L.Lagrangevaestablirel1770quetotnúmeronaturaléssumadequatre quadrats.Unaconseqüènciaésqueelconjunt N delsnúmerosnaturalsésdefiniblesenseparàmetresa (Z, +, ·) i,pertant,lasevateorianoésaxiomatitzable. Mésrecentment,el1949,Robinsonvademostrarque N ésdefiniblesense paràmetresenelcos (Q, +, · , , 0, 1) i,pertant,lateoriad’aquestcostampoc ésaxiomatitzable(vegeu[15]).Engeneral,sil’universd’unaestructura M és definiblesenseparàmetresenunaestructura N ilesoperacions,relacionsi constantsde M sóntambédefiniblessenseparàmetresa N (perexemple,si sónlarestricciódelesde N al’univers M de M),llavorsl’axiomatitzabilitat de N implical’axiomatitzabilitatde M

Elnúmero1noésdefiniblesenseparàmetresa (Z, +) (jaquenoésinvariant),peròelnúmero0síquehoés;tampocsóndefinibles < i N enno serinvariants.Sihiafegimelnúmero1,lescosescanvien.L’ordreenter < segueixsenseserdefiniblesenseparàmetresa (Z, +, 0, 1),peròjanopodem ferservirl’argumentquenoésinvariant.Defet,ésinvariant.Laraóperlaqual noespotdefinirl’ordreenaquestcasésmésprofunda.Lesteoriesde (Z, +, 0), (Z, +, 0, 1) i (Z, +,<, 0, 1) sónaxiomatitzables,sónvariacionsdel’aritmèticade Presburger.Peròenelsdosprimerscasoslesteoriessón estables,iunadeles característiquesdelesteoriesestablesésquenos’hipotdefinircapordreno trivial.Entotstrescasoséspossibleobtenireliminaciódequantificadorssis’hi afegeixl’aplicació a a ilesrelacionsdecongruència ≡n,totesdefinibles senseparàmetres.

Resumintlasituacióquehemtrobatenl’aritmètica:

• Sónaxiomatitzables(idecidibles)lesteoriesde (N, +),de (N,),de (Z, +), de (Z, +, 1) ide (Z, +,<, 1).

• Nosónaxiomatitzables(nidecidibles)lesteoriesde (N, +, ·),de (N, ·,S), de (N,,<),de (Z, +,) nide (Q, +,, , 0, 1)

7Cossos

Jahemcomentatquequanunateoriatéeliminaciódequantificadorssolser relativamentsenzilldescriurelessevesrelacionsdefinibles,jaquehabitualment lesfórmulessensequantificaciósónmanejablesicomprensibles.Enelcontext delateoriadecossoshihanombrososresultatsd’eliminaciódequantificadors. Enelscasosmésnotablesl’eliminaciótéllocdirectamentenelllenguatge d’anellsoenelllenguatged’anellsordenats.

Tarskivademostrarel1951a[24]quelateoriadelcoscomplex (C, +, · , , 0, 1) (lateoria ACF0 delscossosalgebraicamenttancatsdecaracterísticazero) téeliminaciódequantificadors.A.Macintyrevademostrarel1971a[7]quesi lateoriad’uncostéeliminaciódequantificadorsenelllenguatged’anells,el cosésalgebraicamenttancat.Tarskivademostrartambéel1951quelateoria de (R, +, · , ,<, 0, 1) (lateoria RCOF delscossosordenatsrealstancats)té eliminaciódequantificadors.L’ordre < ésnecessariperaaixò.A.Macintyre, K.McKennaiL.vandenDriesvandemostrarel1983(vegeu[8])queaquest ésfonamentalmentl’úniccas:silateoriad’uncosordenattéeliminacióde quantificadorsenelllenguatged’anellsordenats,elcosésrealtancat.

Ni N ni Z ni Q sóndefiniblessenseparàmetresa (R, +, · , , 0, 1).Siho fossin,lacomplexitatlògicadel’aritmètical’heretarienelsnúmerosrealsila sevateorianoseriaaxiomatitzable.Pelmateixmotiu,tampocsóndefinibles senseparàmetresa (C, +, · , , 0, 1).Però,perunaltremotiu,sabemfinsitot queaquestsconjuntstampocespodendefinirenaquestscossosambl’ajuda deparàmetres.Laraóésque,gràciesal’eliminaciódequantificadors,coneixem moltbéelsconjuntsqueespodendefinirambparàmetresenaquesttipus d’estructures:sónúnicamentelsconjuntsfinitsielscofinitsenelcoscomplex

isónlesunionsﬁnitesd’intervalsidepuntsenelcosreal.Peròd’aixòen parlaremmésendavant.

Curiosament, Z síqueésdeﬁniblesenseparàmetresenelcosexponencial complex (C, +, · , ,ex , 0, 1) i,pertant,lasevateorianoésaxiomatitzable.Es potdeﬁnir Z amblafórmula ϕ(x) següent:

∀yz(z · z =−1 ∧ ey z = 1 → ex y z = 1).

8Categoricitat

Enscentraremaraenlaterceradelespreguntesquehemformulatalprincipi, larelativaal’isomorfismeil’equivalènciaelemental.Laqüestiómésimmediata éssilesteoriescompletesdeprimerordredeterminen,excepteisomorfisme, elsseusmodelsilesestructuresquelessatisfan.Tambéaquíladefinibilitathi téalgunacosaaveure.

Necessitemparlarunamicadecardinalitatsinfinitesperapoderparlarde categoricitat,peròenslimitaremalsprerequisitsmínims.Dosconjunts A, B tenenlamateixagrandàriaocardinalitat(|A|=|B|)quanexisteixunabijecció entreells.L’ordre |A|≤|B| entrecardinalitatsesdefineixperl’existència d’unafuncióinjectivade A a B.Elsnúmeroscardinals0, 1, 2,..., ℵ0, ℵ1,... comencenambelsnúmerosnaturalsicontinuenamblescardinalitatsdels conjuntsinfinits.Elmenornúmerocardinalinfinités ω =ℵ0 =|N|=|Z|=|Q|. Acadacardinalelsegueiximmediatamentunaltreenl’ordre.Elsuccessor de ℵ0 és ω1 =ℵ1,elprimercardinalnonumerable.Elcardinaldelcontinués |R|=|C|= 2ℵ0 ≥ℵ1.Untextbàsiciclarsobreaqueststemesés[4].

Nopassamaiquetotselsmodelsd’unateoriacompletasiguinisomorfs entresi,tretqueestiguemenelcastrivial(aaquestefecte)delateoriad’una estructurafinita.Enaltresparaules,noméslesteoriesdelesestructuresfinites sóncategòriques.AixòésdegutalteoremadeLöwenheim-Skolem:si M ésuna estructurainfinita,llavorsperacadacardinalinfinit κ hihaunaestructura N decardinalitat κ talque M≡N .Versionsparcialsd’aquestteoremaesdeuen aL.Löwenheim(1915)iT.Skolem(1928),peròlaversiócompletaésposteriori téaportacionsd’A.Tarski.Comquelateoriade M témodelsdecardinalitats infinitesdiverses,témodelsnoisomorfsperraonsmoltpoderoses.Podem considerarcasosconcrets.Perexemple,sesapque (R, +,<, 0) ≡ (Q, +,<, 0) però(perraonsdecardinalitat) (R, +,<, 0) (Q, +,<, 0).Demanerasimilar, si Q éslaclausuraalgebraicade Q, (C, +,, , 0, 1) ≡ (Q, +,, , 0, 1) i,altra vegadaperraonsdecardinalitat, (C, +, · , , 0, 1) (Q, +, · , , 0, 1).

Unsuccedaniforçasatisfactoridelacategoricitatéslacategoricitaten cardinal.Diemqueunateoriaés κ-categòrica sitéalgunmodeldecardinalitat κ itotselsseusmodelsdecardinalitat κ sónisomorfs.M.Morleyvademostrar el1965a[10]queunateoria T éscategòricaenuncardinal ≥ℵ1 siinomés siéscategòricaentotselscardinals ≥ℵ1.Pertant,lesopcionsesredueixen a ℵ0-categoricitati ℵ1-categoricitat(categoricitatentotselscardinals ≥ℵ1). Unexempledeteoria ℵ0-categòricai ℵ1-categòricaelconstitueixenelsespais

vectorialsinﬁnitssobre Fp.Elsespaisvectorialsestractendeduesmaneres alternativesenlateoriademodels.Laprimeraopcióseriaconsiderarque l’universéslauniódelsvectorsambelselementsdelcos,afegint-hiunpredicat perseparar-los.Segonslasegonaopció,queéslaméshabitualiéslaqueaquí considerem,l’universestariaformatexclusivamentpelsvectors.Elselements delcosintervenenindirectament,mitjançantlesoperacionsdeproducteper unescalar.Lesoperacionssónlasumadevectorsielsproductes v λ v associatsalselements λ delcos.

Existeixenteoriesno ℵ0-categòriquesperòsí ℵ1-categòriques,perexemple, lateoriadelscossosalgebraicamenttancatsdecaracterísticazerooladels espaisvectorialssobre Q.Tambéhihateories ℵ0-categòriquesquenosón ℵ1-categòriques.L’ordredenssenseextrems,queéstantlateoriade (Q,<) comlade (R,<),ilateoriadelesàlgebresdeBoolesenseàtomsensóndos exemples.Finalment,hihatambéteoriesquenosóncategòriquesencap cardinal,comlateoria RCF delscossosrealstancats.

Sesabenforçacosesdelesteories ℵ0-categòriques.Hihaunresultatcèlebre queC.Ryll-Nardzewskivademostrarel1959a[17]iquelescaracteritzaen termesdelnombrederelacionsdeﬁniblesquetenen:

Lescondicionssegüentssónequivalentsperaunateoria T = Th(M):

1. T és ℵ0-categòrica.

2. Peracada n ≥ 1,noméshihaunnombreﬁnitderelacions R ⊆ M n que siguindeﬁniblessenseparàmetresa M.

3. Peracada A ⊆ M finit,noméshihaunnombrefinitdesubconjunts X ⊆ M quesiguin A-definiblesa M.

Espotdemostrarapartird’aixòquesi M ésunaestructuranumerablei lasevateoriaés ℵ0-categòrica,llavorstotarelacióinvariantde M ésdeﬁnible a M senseparàmetres.

Veuremenlasecciósegüentquetambél’anàlisidelesrelacionsdeﬁnibles téaveureambla ℵ1-categoricitat.

9Minimalitatio-minimalitat

Esdiuquel’estructura M és minimal sitotselssubconjuntsdelseuunivers M quesóndefiniblesambparàmetressónobéfinitsobécofinits.Observeuque aixòsignificaquenomésespodendefinirelsconjuntsqueenqualsevolcassón definiblessempre(ambajudadelsímbold’igualtat).D’altrabanda,lesestructuresminimalspodentenirrelacionsenàriesdefiniblesdegrancomplexitat pera n ≥ 2;noméss’imposaunalimitacióenelcas n = 1.Unaestructura M és fortamentminimal quanésminimalitambéhoéstotaestructura N≡M Perexemple, (N,<) ésminimal,perònoésfortamentminimal.Unateoriaés fortamentminimalsielsseusmodelshosón,ésadir,sienelsseusmodelsels únicsconjuntsdefiniblesambparàmetressónelsfinitsielscofinits.W.Marsh vademostrarel1966quelesteoriesfortamentminimalssón ℵ1-categòriques. Aquestresultatvaserincorporatal’article[1]deJ.T.BaldwiniA.H.Lachlan.

Entrelesteoriesquehemconsiderathihaexemplesquesónfortament minimals.L’exempleméselementaléseldelateoriad’unconjuntinﬁnit.En aquestcasl’estructuraesredueixalseuunivers,nohihamésrelacionsque laigualtatinohihaoperacionsnielementsdestacats.Tambélateoriade qualsevolespaivectorialésfortamentminimal.Ihosóntambélesteories ACF0 i ACFp decossosalgebraicamenttancats,lesteoriesdelsuccessorenels númerosnaturalsienelsenters, Th(N,S) i Th(Z,S),ilateoriadelsgrups abelianssensetorsióTh(Q, +) = Th(R, +)

Laminimalitattéaltresconseqüènciesestructurals.J.Reinekevademostrar el1975a[13]quetotgrupminimalésabelià.A.Macintyrevademostrarel1971 a[7]quetotcosambteoria ℵ1-categòricaésalgebraicamenttancatiperaixò fortamentminimal.Hihaunaconjecturaobertasobreaquesttema,laconjecturadePodewski,segonslaqualtotcosminimalésalgebraicamenttancat. F.O.Wagnervademostrarel2000a[28]quelaconjecturadePodewskiéscerta quanlacaracterísticaésunnúmeroprimer.

Lesestructuresordenadesnosónmaifortamentminimals.Peròhihauna nocióanàlogaalaminimalitatques’adaptademaneranaturalalesestructures totalmentordenades:la o-minimalitat.VaserintroduïdaperA.PillayiC.Steinhornel1986a[11]inspirant-seenunstreballsprevisdeLouvandenDries,i avuiendiaconstitueixunaàreaautònomadelateoriademodels,estretament associadaalageometriaalgebraicareal.Untextdereferènciaés[27].

Unaestructuratotalmentordenadaés o-minimal sielsúnicsconjunts definiblesambparàmetressónunionsfinitesd’intervals(incloent-hisemirectes) ipunts.Aixòsignificaqueelsconjuntsdefiniblessónelsqueserienenqualsevol casdefiniblessitinguéssimeliminaciódequantificadorsenelllenguatgede l’ordre.Adiferènciadelquepassaenelcasminimal,siunaestructuraés o-minimal,toteslesestructuresquelisónequivalentstambéhosónies diuquelasevateoriacompletaéso-minimal.Pertant,notésentitdistingir entreo-minimalifortamento-minimal.Sónestructureso-minimalsl’ordre delsracionals (Q,<) ielcosordenatdelsnúmerosreals (R, +, ,,<, 0, 1).No obstant,l’aritmèticadelsenters (Z, +, , ·,<, 0, 1) noéso-minimal.A.Pillay iC.Steinhornvandemostrarel1986quesiunanellordenatéso-minimal, llavorséselementalmentequivalentalcosordenatreal.

Tarskivaplantejarel1967silateoriadelcosexponencialreal (R, +, , ·,ex , <, 0, 1) ésaxiomatitzable.El1996A.J.Wilkievademostrarque (R, +, ,,ex ,<, 0, 1) éso-minimal(vegeu[30]).LaconjecturadeSchanuelperalsrealsdiuquesi r1,...,rn ∈ R sónlinealmentindependentssobre Q,elgraudetranscendència de Q(r1,...,rn,er1 ,...,ern ) sobre Q ésmajoroigualque n.A.Macintyrei A.J.Wilkievandemostrarel1996a[9]quesilaconjecturadeSchanueléscerta, lateoriade (R, +, , ·,ex ,<, 0, 1) ésaxiomatitzable.Peròaquestaconjectura estàllunydeserresolta.L.vandenDriesvamostrarel1984a[26]quela teoriade (R, +, ,,ex ,<, 0, 1) notéeliminaciódequantiﬁcadorsiA.J.Wilkie vademostrara[30]queés model-completa,ésadir,quetotafórmulaés equivalentaunafórmuladelaforma ∃y1,...,ym ϕ(x1,...,xn,y1,...,ym), ona ϕ nohihaquantiﬁcadors.Lamodel-completitudésunacondiciósobre

lacomplexitatdelesrelacionsdeﬁniblesnotanbonacoml’eliminacióde quantiﬁcadors,peròprousatisfactòriaenmoltscasos.

10Dimensióiestabilitat

Elsmodelsdelesteoriesfortamentminimalsielsdelesteorieso-minimals tenenunadimensióqueesdeﬁneixentermesdegeometriacombinatòria.

Un operadordeclausuraﬁnitari ésunconjunt X juntamentambunaoperació cl queassignaacadasubconjunt A de X unaltresubconjunt cl(A) de X (laseva clausura)icompleixlescondicionssegüents:

1. A ⊆ cl(A)

2.Si A ⊆ B,aleshores cl(A) ⊆ cl(B)

3. cl(cl(A)) ⊆ cl(A).

4.Si a ∈ cl(A),aleshoresexisteix A0 ⊆ A ﬁnittalque a ∈ cl(A0).

Una pregeometria ésunoperadordeclausuraﬁnitariquecompleixaddicionalmentla condiciód’intercanvi:si a,b ∈ X i a ∈ cl(A ∪{b}) cl(A),llavors b ∈ cl(A ∪{a}).Enunapregeometriadiemque a ∈ X és independent de A ⊆ X si a ∈ cl(A).Diemque A ⊆ X és independent sicada a ∈ A ésindependent de A {a}.Una base de A ⊆ X ésunsubconjuntindependentmaximalde A Toteslesbasesde A tenenelmateixcardinal,queesdiu dimensió de A.

La clausuraalgebraica d’unsubconjunt A d’unaestructura M éselconjunt acl(A) ⊆ M formatpelselementsde M quepertanyenaalgunconjunt finitdefinitmitjançantunafórmulaambparàmetresen A.Laterminologia estàmotivadapelparal.lelismequehihaamblaclausuraalgebraicaenuncos, obtingudaafegintzerosdepolinomis.L’univers M ambl’operació acl ésun casparticulard’operadordeclausurafinitari.Si M ésfortamentminimalo éso-minimal,laclausuraalgebraica acl compleixlacondiciód’intercanvii, pertant,defineixunapregeometriaa M.Enelcontexto-minimal,laclausura algebraica acl(A) coincideixamésambla clausuradefinible dcl(A),queés lacol lecciódelselementsde M quesón A-definibles.Pertant,enlesestructuresfortamentminimalsienlesestructureso-minimalstenimunadimensió algebraica(ésadir,provinentdel’operador acl declausuraalgebraica)ben definida.

Enunaestructurafortamentminimal M,ladimensióalgebraicaésun invariantquedeterminal’isomorﬁsme:si N≡M,llavors M N siinomés si M i N tenenlamateixadimensió.Aixòexplicaperquèlesteoriesfortament minimalssón ℵ1-categòriques:ladimensiód’unmodeldecardinalitat ℵ1 hade ser ℵ1

Enunaestructurao-minimal,ladimensiónoéssuﬁcientperadeterminar l’isomorﬁsme.Sesapquesi M ésunaestructuraordenada,peracadacardinal κ ≥ℵ1,existeixen2κ estructuresdecardinalitat κ quesónelementalment equivalentsa M perònosónisomorfesentresi.

Ladiferènciadecomportamentdeladimensióentrelesteoriesfortament minimalsileso-minimalstéaveureambelfetquelesprimeressón teoriesestables,mentrequelessegonessóninestables.Unamaneradedefinirl’estabilitat d’unateoriaésentermesdelainexistènciadedeterminatsgrafs:unateoriaés establesiencapdelsseusmodels M existeixunarelaciódefinible R queordeni totalmentunsubconjuntinfinit X ⊆ M n,ésadir,elgrafque R defineixenel conjuntd’ènuplesde X ésunordretotald’aquestconjunt X.Peròelconjunt X mateixnohadesernecessàriamentdefinibleipotserquelarelació R no defineixinitansolsunordrea M n.Òbviament,qualsevolestructuraquetingui unordredefiniblenotrivialtéunateoriainestable.Lanociódeteoriaestablei, pertant,lateoriadel’estabilitat,vaserintroduïdaperS.Shelahel1969a[18]. L’obrafonamentalsobrel’estabilitatéselllibre[20]deShelah.Lateoriade l’estabilitatésunconjuntdenocionsitècniquesdestinadesal’anàlisidels modelsdelesteoriesestables.Sónexemplesdeteoriesestableslesdelsmòduls, enparticularelsgrupsabelians,lesteoriesdelscossosseparablementtancats, lesteoriesdelscossosdiferencialmenttancatsi,enparticular,lesteories ACF0, ACFp, Th(Z, +, 0, 1) i Th(Z, +, 0) jadiscutidesanteriorment.Esconjecturaque totcoslateoriadelqualésestablehadeserseparablementtancat.

Enelsúltimsanyslesnocionspròpiesdel’estabilitats’hanadaptatal’estudid’estructuresinestables.Enaquestsentittenenunaimportànciaespecial les teoriessimples iles teoriesNIP.Lesprimeresinclouenlesestablesivan serinicialmentconsideradesperS.Shelaha[19]idesprésredescobertesi desenvolupadesperB.KimiA.Pillayapartirde1995(vegeu[6]ieltext[29] deF.O.Wagner).Exemplesimportantsd’estructuresambteoriessimplessón elscossospseudoﬁnitsielscossosambautomorﬁsmesgenèrics.Lesteories d’estructuresordenadesnosónsimples.

LesteoriesNIPinclouentambélesestables,peròmoltesd’aquestessón compatiblesambunordre.Defet,toteslesteorieso-minimalssónNIP.Un textrecentdereferènciasobreteoriesNIPéselllibre[21]deP.Simon.El casméselementaldelesteoriesNIPelconstitueixenlesanomenades teories dp-minimals.Noinclouentoteslesestables,peròsílesfortamentminimals, leso-minimals,l’aritmèticadePresburgeriexemplesnous,comaralesteories delscossos p-àdics.

Lesrecerquesmésrecentsvanmoltmésenllàdelesteoriessimplesiles teoriesNIP.G.Conanthadissenyatunmapa,queespotvisitara http://www. forkinganddividing.com/,enelqualesdibuixenelstipusprincipalsde teoriesqueavuis’analitzen,iesrepresentencomapuntsd’aquestmapaalguns exemplesimportants.L’anomena elmapadel’universdelateoriademodels.

Agraïments

AgraeixoaladoctoraCarmeCascante,exdeganadelaFacultatdeMatemàtiques delaUniversitatdeBarcelona,lainvitacióqueemvaferperadonarlalliçóen quèesbasaaquestarticle.

Referències

[1] Baldwin,J.T.;Lachlan,A.H. «Onstronglyminimalsets». J.Symbolic Logic,36(1971),79–96.

[2] Cegielski,P. «Théorieélémentairedelamultiplicationdesentiersnaturels».A: ModelTheoryandArithmetic (París,1979–1980).Berlín;Nova York:Springer,1981,44–89.(LectureNotesinMath.;890)

[3] Enderton,H.B. AMathematicalIntroductiontoLogic.NovaYork;Londres: AcademicPress,1972.

[4] Enderton,H.B. ElementsofSetTheory.NovaYork;Londres:Academic Press[HarcourtBraceJovanovich,Publishers],1977.

[5] Gödel,K. «ÜberformalunentscheidbareSätzederPrincipiaMathematica undverwandterSystemeI». Monatsh.Math.Phys.,38(1)(1931),173–198.

[6] Kim,B.;Pillay,A. «Simpletheories».JointAILA-KGSModelTheoryMeeting (Florence,1995). Ann.PureAppl.Logic,88(2–3)(1997),149–164.

[7] Macintyre,A. «On ω1-categoricaltheoriesofﬁelds». Fund.Math.,71(1) (1971),1–25.

[8] Macintyre,A.;McKenna,K.;vandenDries,L. «Eliminationofquantiﬁersinalgebraicstructures». Adv.inMath.,47(1)(1983),74–87.

[9] Macintyre,A.;Wilkie,A.J. «Onthedecidabilityoftherealexponential ﬁeld».A: Kreiseliana.Wellesley,MA:AKPeters,1996,441–467.

[10] Morley,M. «Categoricityinpower». Trans.Amer.Math.Soc.,114(1965), 514–538.

[11] Pillay,A.;Steinhorn,C. «Deﬁnablesetsinorderedstructures.I». Trans. Amer.Math.Soc.,295(2)(1986),565–592.

[12] Presburger,M. «ÜberdieVollständigkeiteinesgewissenSystemsder ArithmetikganzerZahlen,inwelchemdieAdditionalseinzigeOperation hervortritt».A: ComptesRendusPremierCongrèsdesMathématicienesdes PaysSlaves.Varsòvia,1930,92–101,395.

[13] Reineke,J. «MinimaleGruppen». Z.Math.LogikGrundlagenMath.,21(4) (1975),357–359.

[14] Richard,J. «Lesprincipesdesmathématiquesetleproblèmedesensembles». Rev.généraledesSc.,16(12)(1905),541–542.

[15] Robinson,J. «Deﬁnabilityanddecisionproblemsinarithmetic». J.SymbolicLogic,14(1949),98–114.

[16] Russell,B. «Lesparadoxesdelalogique». Rev.demétaphys.etdemorale, 14(1906),627–650.

[17] Ryll-Nardzewski,C. «Onthecategoricityinpower ≤ℵ0». Bull.Acad. Polon.Sci.Sér.Sci.Math.Astr.Phys.,7(1959),545–548.

[18] Shelah,S. «Stabletheories». IsraelJ.Math.,7(1969),187–202.

[19] Shelah,S. «Simpleunstabletheories». Ann.Math.Logic,19(3)(1980), 177–203.

[20] Shelah,S. ClassiﬁcationTheoryandtheNumberofNonisomorphicModels 2aed.Amsterdam:North-HollandPublishingCo.,1990.(StudiesinLogic andtheFoundationsofMathematics;92)

[21] Simon,P. AGuidetoNIPTheories.Chicago,IL:AssociationforSymbolic Logic;Cambridge:CambridgeScientiﬁcPublishers,2015.(LectureNotesin Logic;44)

[22] Skolem,Th. ÜbereinigeSatzfunktioneninderArithmetik.Oslo:IkommisjonhosJ.Dybwad,1931.(Norskevidenskaps-akademiiOslo.Skrifter.I. Mat.-naturv.klasse;7)

[23] Tarski,A. «Surlesensemblesdéﬁnissablesdenombresréels.I». Fund. Math.,17(1931),210–239.

[24] Tarski,A. ADecisionMethodforElementaryAlgebraandGeometry.2aed. Berkeley;LosAngeles,Calif.:UniversityofCaliforniaPress,1951.

[25] Tent,K.;Ziegler,M. ACourseinModelTheory.LaJolla,CA:Association forSymbolicLogic;Cambridge:CambridgeUniversityPress,2012.(Lecture NotesinLogic;40)

[26] vandenDries,L. «RemarksonTarski’sproblemconcerning (R, +,, exp)». A: LogicColloquium’82 (Florence,1982).Amsterdam:North-Holland,1984, 97–121.(Stud.LogicFound.Math.;112)

[27] vandenDries,L. TameTopologyando-minimalStructures.Cambridge: CambridgeUniversityPress,1998.(LondonMathematicalSocietyLecture NoteSeries;248)

[28] Wagner,F.O. «Minimalﬁelds». J.SymbolicLogic,65(4)(2000),1833–1835.

[29] Wagner,F.O. SimpleTheories.Dordrecht:KluwerAcademicPublishers, 2000.(MathematicsanditsApplications;503)

[30] Wilkie,A.J. «Modelcompletenessresultsforexpansionsoftheordered ﬁeldofrealnumbersbyrestrictedPfaﬃanfunctionsandtheexponential function». J.Amer.Math.Soc.,9(4)(1996),1051–1094.

DepartamentdeMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdeBarcelona e.casanovas@ub.edu

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.32,núm.2,2017.Pàg.155–178. DOI:10.2436/20.2002.01.77

Grafsaleatoris:teoriaiaplicacions,delanaturalesa alasocietatialcervell

MihyunKangiZdenˇekPetrášek

Resum: Lateoriadelsgrafsaleatoristractadelespropietatsasimptòtiquesdels grafsdotatsd’unadeterminadadistribuciódeprobabilitat;perexemple,estudiacom evolucional’estructuradelescomponentsd’ungrafaleatoriuniformeamesuraqueel nombred’arestesaugmenta.Desdel’inicidelateoriadelsgrafsaleatoris,formulada perErd˝osiRényifamésdecinquantaanys,s’hanintroduïtiestudiatdiversosmodels degrafsaleatoris.Mentrestantlateoriadegrafss’haanatobrintcamíenaltresciències comunafontmoltricademodelsperadescriureaspectesfonamentalsd’unventall moltamplidefenòmensdegrancomplexitat.Aquestarticleésunaintroduccióala teoriadelsgrafsaleatorisielsseusprogressosrecents(ambèmfasienlatransició defaseielsfenòmenscrítics,untemafavoritdelprimerautor)ialesaplicacions d’aquestateoria.

Estractad’unaversióampliadadel’article«Randomgraphs:fromnaturetosociety tothebrain»[35]publicatal SeoulIntelligencer,unnúmeroespecialdel Math.Intelligencer,editatenocasiódelCongrésInternacionaldeMatemàticsquevatenirlloca Seüll’any2014.

Paraulesclau: componentgegant,transiciódefase,teoremeslímit,grafsaleatoris. ClassiﬁcacióMSC2010: 05C80,05C65.

1Grafsaleatorisd’Erd˝os-Rényi

1.1Elcomençament

Erd˝osiRényivaniniciarlateoriadelsgrafsaleatorisenelseuarticle«On randomgraphsI.»[26],publicatel1959,enelqualvanconsiderar,entrealtres qüestions,elproblemadetrobarlaprobabilitatqueungrafaleatorisigui connex,ilaprobabilitatquelacomponentmésgrand’ungrafaleatoricobreixi gairebétotselsvèrtexs.Enunarticleposteriortitulat«Ontheevolutionof randomgraphs»,ipublicatel1960[27],Erd˝osiRényivandescobrirqueungraf Aquesttreballvaaparèixerenanglèsambeltítol«Randomgraphs:theoryandapplicationsfrom naturetosocietytothebrain»a InternationaleMathematischeNachrichten,227(2014),1–24, revistadelaSocietatAustríacadeMatemàtiques.Agraïmalseditorsd’aquestarevistaelpermís perapublicar-nelatraduccióalcatalàfetapelseditorsirevisadaperMarcNoy.

MihyunKangiZdenˇekPetrášek

aleatoriexperimentauncanvidràsticenelnombredevèrtexsdelacomponent mésgranquanelnombred’arestesésaproximadamentlameitatdelnombre devèrtexs,ésadir,hihauna transiciódefase enl’evoluciód’ungrafaleatori davantde l’apariciódelacomponentgegant.

Abansdepassaradiscutirelfenomendelatransiciódefaseambmésdetall, introduïmalgunesdeﬁnicionsbàsiques.Ungraf G = (V,E) ésunparellque consisteixenunconjunt V delsvèrtexs(onodes)iunconjunt E delesarestes (olínies),quesónsubconjuntsdedoselementsde V .Elnombred’arestes incidentsaunvèrtexs’anomenael grau delvèrtex.Unasuccessiódevèrtexs diferents (v1,...,vk) enlaqualcadaparellconsecutiudevèrtexsformauna arestas’anomenaun camí de v1 a vk si v1 ≠ vk,is’anomenaun cicle si v1 = vk. Esdiuqueunvèrtex v és accessible desd’unaltrevèrtex w sihihauncamíde v a w.L’accessibilitatésunarelaciód’equivalènciailesclassesd’equivalència sónles components de G.Elnombredevèrtexsquehihaenunacomponent ésl’ordre delacomponent.Siungrafnoméstéunacomponent,esdiuqueés connex.Ungrafconnexsensecicless’anomenaun arbre,iungrafsensecicles ésun bosc.Ungrafconnexquetinguiexactamentuncicles’anomena unicíclic.

1.2Modelsd’Erd˝os-Rényidegrafsaleatoris

Sotaelnomde grafsaleatorisd’Erd˝os-Rényi esconeixentresmodelsdegrafs aleatoris:

(1) Elgrafaleatoriuniforme G(n,m) ésungrafelegituniformemental’atzar d’entreelconjuntdetotselsgrafsquetenencomaconjuntdevèrtexs [n] :={1,...,n} i m arestes,peraunenter0 ≤ m ≤ n 2 .

(2) Elgrafaleatoribinomial G(n,p) ésungrafquetécomaconjuntdevèrtexs [n],enelqualcadaparelldevèrtexsestàunitperunaarestade maneraindependentambprobabilitat p,peraunnúmeroreal0 ≤ p ≤ 1.

(3) Elprocésd’Erd˝os-Rényi {Gn(m) : m = 0,..., n 2 } començaambun graf Gn(0) queté n vèrtexsaïllatsicaparesta,iacadapas1 ≤ m ≤ n 2 s’afegeixunanovaaresta,demaneraaleatòria,aungraf Gn(m 1) que evolucionaaunnougraf Gn(m).Elgraf Gn(m) obtingutambelprocés d’Erd˝os-Rényiestàdistribuïtcomelgrafaleatoriuniforme G(n,m)

Elstresmodelsanteriorssónessencialmentequivalentsquanelsparàmetres seseleccionenadequadament,ésadir,si m = p n 2 .Elgrafaleatoriuniforme ielgrafaleatoribinomialhavienestatestudiatsprèviament,entred’altres, perGilbert[29].UnquartdesegledesprésBollobás[13]vaobservarqueel grafaleatoriuniforme G(n,m) espotconsiderarcomungraf Gn(m) creatpel procésd’Erd˝os-Rényi.

Quandiscutimpropietatsdelsgrafsaleatorisd’Erd˝os-Rényifaremservir laparametrització m = tn/2o p = t/(n 1),demaneraque t representael grauesperatd’unvèrtex,itractaremambpropietatsqueescompleixen amb granprobabilitat (abreujat agp),enelsentitquelasevaprobabilitattendeix a1quanelnombre n devèrtexstendeixcapainﬁnit.

1.3Apariciódelacomponentgegant

Undelsdescobrimentsmésimportantsd’Erd˝osiRényi[27]tractadel’aparició delatransiciódefaseenl’ordredelacomponentmésgran:ditd’unamanera breu,l’ordredelacomponentmésgranenelgrafaleatorid’Erd˝os-Rényipassadel’ordrelogarítmicallinealquanelgrauesperatpassaper1(perexemple, de0.99a1.01)amesuraques’afegeixenarestes.

Pertaldesermésprecisos,consideremelgrafaleatorid’Erd˝os-Rényiamb grauesperat t> 0.Sielgrauesperat t ésméspetitqueelvalorcrític1,llavors agp elgrafaleatorid’Erd˝os-Rényiestàformatperarbresicomponents unicícliquesilacomponentmésgranésunarbred’ordre O(log n);aquestes componentss’anomenen«petites».Encanvi,sielgrauesperat t ésmésgran que1,aleshores agp hihaunaúnicacomponentmàximad’ordrelineal(anomenadala componentgegant),mentrequetoteslesaltressónarbresobé componentsunicícliquesd’ordre O(log n);enaltresparaules,toteslescomponentstretdelagegantsón«petites».Sielgrauesperat t ésigualalvalor crític1,llavors agp l’ordredelacomponentmésgranés Θ(n2/3)

Laraóperlaqualelgrauesperatiguala1éstancrucialdecaraal’aparició delacomponentgegantenelgraf G(n,p) vasermoltbenexplicadaper Karp[40],quevautilitzarelprocéssegüentdedescobertadelescomponents basatencercad’amplada.Donatunvèrtex v,primerdescobrimelsseusveïns (diguemfills)de v.Desprésdescobrimelsveïnsdecadascundelsveïnsde v, l’undesprésdel’altre.Icontinuemaixífinsquenoquedinmésvèrtexsa lacomponentde v.Ésadir,d’unamaneraaproximada,enelmomentque k = o(n) vèrtexshanestatexplorats,elnombredefillsdecadavèrtexésuna variablealeatòriabinomialambparàmetres n k i p,i,pertant,d’esperança (n k)p ∼ t.Comqueladistribucióbinomial Bi(n k,p) convergeixcapala distribuciódePoisson Po(t) ambmitjana t = p(n 1),quan n →∞ i t ésuna constantfixada,podemaproximarelprocésdedescobertadecomponentspel procésderamificaciódeGalton-Watsonambdistribuciódedescendentsdonada per Po(t);escomençaambunorganismeunisexualqueengendraunnombre aleatoridefillsd’acordamb Po(t),icadascundelsfillsindependentment engendraunnombrealeatoridefillsd’acordamb Po(t),iaixísuccessivament. Lateoriaclàssicadelsprocessosderamificaciódiuquesi t< 1,llavorsamb probabilitat1elprocéss’acaba;aixòcorresponalescomponentspetitesde G(n,p).D’altrabanda,si t> 1,ambprobabilitatpositivaelprocéscontinua persempre.Laprobabilitatdesupervivènciaésl’únicasoluciópositiva, ρ = ρ(t) ∈ (0, 1),del’equació

1 ρ = e tρ . (1)

Aquestaprobabilitatdesupervivènciacorresponalaprobabilitatqueunvèrtex aleatoride G(n,p) estiguialacomponentgegant.Aquestpuntdevistaes potjustiﬁcarrigorosamentidonaquequan t> 1,llavors agp l’ordredela componentgegantde G(n,p) és ρn + o(n)

Figura 1: Transiciódefasealgrafaleatorid’Erd˝os-Rényi.

1.4Finestracríticadelatransiciódefase

D’acordambelresultatd’Erd˝osiRényi,l’ordredelacomponentmésgranpassa delogarítmicasublinealidesprésal’ordrelineal;mésprecisamentcanvia de O(log n) a Θ(n2/3) ia Θ(n),segonssielgrauesperat t compleix t< 1, t = 1,obé t> 1.Erd˝osiRényidescriuenaquestfenomencomun«doble salt»ielconsiderencomundelsfetsméssorprenentsenrelacióambelsgrafs aleatoris.

Aixòportaadiversespreguntesnaturals: hiharealmentsalts? Ditd’una altramanera,latransiciódefaseenelgrafaleatorid’Erd˝os-Rényiésdiscontínua?Obééscontínua?Enelcasquesiguicontínua,latransiciódefaseés «suau»obété«punxes»?Comdegranhauriadeserladiferènciaentreelgrau esperatd’unvèrtexielvalorcrític1,pertaldepoderdistingirl’ordredela componentmésgrandel’ordredelasegonacomponentmésgran?

Bollobás[13]vaprovarquedefetnohihaunsalt,sinóquehihauna transiciódefasesuauambtresfasesdiferents quanelnombred’arestesés aproximadamentigualalameitatdelnombredevèrtexs:lafasesubcrítica enlaqual agp hihamoltescomponentspetitesd’ordregairebéigual;lafase críticaenlaqual agp hihapoquescomponentsgransd’ordresemblantmòdul unfactorconstant,ilafasesupercrítica,laqualescaracteritzapelfetque agp hihaunacomponentdemidamàximaqueésmoltmésgranquelasegona componentmésgran.ElresultatdeBollobásvasermilloratperŁuczak[44].

Pertald’establirelsresultatsdeBollobásiŁuczak,consideremelgraf aleatoribinomial G(n,p) amb p = t n 1 ,on t = 1 ± pera = (n)> 0que compleix → 0,demaneraqueelgrauesperattendeixcapa1.Pertaldeveure comderàpidtendeix capazero,sigui ω(n) unafuncióquetendeixicapa inﬁnitarbitràriamentapocapocamb n isigui = (n) complint ω(n) ≤ 3 n.

Ditd’unaaltramanera,fem → 0i 3n →∞.Si t = 1 ,llavorspera qualsevolenterpositiuﬁxat i, agp l’ordredela i-èsimacomponentmésgranés, asimptòticament,2 2 log( 3 n),queésunaquantitatconsiderablementmenor que n2/3.D’altrabanda,si t = 1 + , agp l’ordredelacomponentmésgranés, asimptòticament,2 n,queéssubstancialmentmésgranque n2/3,il’ordrede lasegonacomponentmésgranéssubstancialmentméspetitaque n2/3 .

Quan 3 n = Θ(1),Aldous[4]vadonarunadescripcióprecisadelasuccessiódelsordres(reescalatsper n2/3)delescomponentsmésgrans,fent servirprocessosmultiplicatiuscoalescentsiunasuccessiódelongitudsdeles excursionsd’unmovimentbrowniàinhomogeniireﬂectant.

1.5Teoremesdellímitperalacomponentgegant

Espotdiralgunacosaméssobreladistribuciódel’ordredelacomponent gegantquanelgrauesperat t ésmésgranque1?

Sigui I ⊂ (1, ∞) unintervalcompacte, p = p(n) unasuccessiótalque t = p(n 1) ∈ I peratot n isigui ρ = ρ(t) ∈ (0, 1) l’únicasoluciópositivade l’equació(1).Denotemper L1(t) l’ordredelacomponentgegantde G(n,p).

Elprimerteoremalímitperalacomponentgegantésuna lleifortadels gransnúmeros queasseguraqueperaqualssevol δ1,δ2 > 0,existeix n0 ∈ N talqueperaqualsevol n ≥ n0, 1 δ2 ≤ P L1(t) n ρ ≤ δ1 ≤ 1 + δ2

Aixídoncs,elvalortípicde L1(t) espotdeterminar,tretdeﬂuctuacions d’ordre o(n)

Unapreguntanaturaléssiespotcaracteritzarladistribucióde L1(t) d’una maneramésprecisa.Deﬁnim µ = µ(ρ,n) i σ = σ(t,ρ,n) com µ := ρn i σ := ρ(1 ρ) (1 t(1 ρ))2 n.

Espotprovarque σ 1(L1(t) µ) convergeixendistribuciócapa N(0, 1), on N(0, 1) denotaladistribuciónormalestàndard.Aixòdonaun teoremade límitcentral pera L1(t):peraqualssevol a<b amb a,b ∈ R iqualsevol δ> 0, existeix n0 ∈ N talqueperatot n ≥ n0 1 δ √2π b a exp t2 2 dt ≤ P a ≤ L1(t) µ σ ≤ b ≤ 1 + δ √2π b a exp t2 2 dt.

D’aquestamaneraespotestimarelvalorde L1(t) ﬁnsaunerrorde o(σ) = o(√n).

Defet,espotdeduirunresultatencaramésfort,un teoremadelímitlocal pera L1(t):peraqualsevolintervalcompacte J ⊂ R iqualsevol δ> 0,existeix n0 ∈ N talquepera n ≥ n0 i k ∈ N quecompleixi σ 1(k µ) ∈ J,llavors

1 δ σ √2π exp (k µ)2 2σ 2 ≤ P[L1(t) = k] ≤ 1 + δ σ √2π exp (k µ)2 2σ 2 .

AquestsresultatsvanserestablertsperStepanov[64]iPitteliWormald[54] fentservirtècniquesdecomptatge,ivansertornatsaprovarperBehrisch, Coja-OghlaniKang[10]aplicantelmètodedeSteinalnombretotaldevèrtexs foradelacomponentgegant.

Encarasónvàlidsresultatsmoltmésforts.Stepanov[64]iPitteliWormald[54]provenun teoremadelímitlocalperaladistribucióconjunta del nombredevèrtexsid’arestesdelacomponentgegant.Behrisch,Coja-Oghlan iKang[10]obtenentambéaquestteoremafentservirl’anomenada exposició enduesvoltes itècniquesderegularització,aixícoml’anàlisideFourier.Sigui E(t) elnombred’arestesdelacomponentgegantde G(n,p),deﬁnim

µe : = t(1 (1 ρ)2) 2 n,

σe := t2(1 ρ)2(2 (2t 1)ρ(1 ρ)) (1 t(1 ρ))2 + t(1 (1 ρ)2) 2 n,

σj := t(1 ρ)(1 (1 ρ)2 + tρ(1 ρ)) (1 t(1 ρ))2 n2

Llavorsperatotparelld’intervalscompactes J,Je ⊂ R itot δ> 0existeix n0 ∈ N talqueperaqualsevol n ≥ n0 ienters k, ∈ N quecompleixin σ 1(k µ) ∈ J i σ 1 e ( µe) ∈ Je homté (1 δ)Φ(k, ) ≤ P[L1(t) = k and E(t) = ] ≤ (1 + δ)Φ(k, ), on

Φ(k, ) := 1

Pelquefaateoremesdelímitlocalsenlasituacióméssoﬁsticadadel règimsupercrític quan t = 1 + pera = (n)> 0quecompleix → 0i 3n →∞,BollobásiRiordan[17]donenunaprovanovaisenzillaperalallei fortadelsgransnúmerosperal’ordredelacomponentgegant,fentservirel procésderamiﬁcaciódeGalton-Watson.PitteliWormald[54]estableixenun teoremadelímitcentralperal’ordredelacomponentgegant,sempreenrègim supercrític,comptantgrafsconnexos.Elseuresultatvasertornataprovar recentmentperBollobásiRiordan[18],fentservirpasseigaleatoriiarguments demartingales.

2Generalitzacionsdelsgrafsaleatorisd’Erd˝os-Rényi

Desdeltreballiniciald’Erd˝osiRényi[27],s’hanestudiatambdetalldiversos modelsdegrafsaleatoris.Perexemple,s’hanestudiatelshipergrafsaleatoris, elsgrafsplanarsaleatoris,elsprocessosdegrafsaleatorisielsgrafsaleatorisno homogenis.Totseguitfemunrepàsbreudecadascund’ells.

2.1Hipergrafsaleatoris

Unadelesgeneralitzacionsmésnaturalsdelsgrafsaleatorisd’Erd˝os-Rényi G(n,p) ésl’hipergrafaleatori k-uniforme Hk(n,p),queésunhipergrafamb conjuntdevèrtexs [n] enelqualcadascunadeles n k possiblesarestes(és adir,elssubconjuntsde k elementsde [n])apareixdemaneraindependent ambprobabilitat p.

Diemqueunvèrtex v enunhipergraf H ésaccessibledesde w (obéque v i w estanconnectats)siexisteixunasuccessiód’arestes (e1,...,e ) talque v ∈ e1, w ∈ e i ei ∩ ei+1 =∅ peratot1 ≤ i ≤ 1.L’accessibilitatésuna relaciód’equivalènciailesclassesd’equivalèncias’anomenenles components de H.

Elsfenòmensdetransiciódefaseesvandescobrirtambéenelshipergrafs aleatoris.Elpuntcríticd’apariciódelacomponentgegantde Hk(n,p) vaser determinatperprimeravegadaperSchmidt-PruzaniShamira[61].D’una maneramésprecisa,sigui p = t(k 1) 1 n 1 k 1 1 ,pera t> 0.Schmidt-Pruzan iShamirvanprovarquesi t< 1,llavors agp elnombredevèrtexsdela componentmésgranés O(log n),peròsi t> 1,llavors agp hihaunaúnica componentquecontéunnombredevèrtexslinealen n.Defet,encarase sapmés: agp elnombredevèrtexsdelacomponentgegantés ρn + o(n),on ρ = ρ(k,t) ∈ (0, 1) ésl’únicasoluciópositivadel’equació 1 ρ = exp(t((1 ρ)k 1 1)).

Quan k = 2,aixòcorresponalresultatesmentatenelcasd’ungraf.

KarońskiiŁuczak[39]vanestudiarlatransiciódefaseenlafasesupercrítica inicial,quan t = 1 + o((log n/n loglog n)1/3),ivanprovarunteoremadelímit localperalnombredevèrtexsdelacomponentmésgran.Behrisch,CojaOghlaniKang[11]vanestablirteoremesdelímitcentralilocalperalnombre devèrtexsdelacomponentmésgranquan t> 1 + peraun > 0fixat arbitràriamentpetit.Amésamésvanobtenirelteoremadelímitlocalper aladistribucióconjuntadelnombredevèrtexsidelnombred’arestesdela componentmésgrande Hk(n,p).Comunaaplicació,Behrisch,Coja-Oghlani Kang[11]vantrobarunafórmulaasimptòticaperalaprobabilitatque Hk(n,p) siguiconnex.Ambaquestafinalitatfanservirpuntsdevistanouspurament probabilístics,comara l’exposiciódelesarestesenduesrondes,elmètodede Steinil’anàlisideFourier.BollobásiRiordan[18]vanprovaracontinuacióque ladistribuciódelnombredevèrtexsdelacomponentmésgrantendeixcapa unadistribuciónormalpera t = 1 + quan = (n)> 0compleix 3n →∞, ésadir,duranttotelrègimsupercrític.

Aqueststeoremesdelímitlocalestanmoltrelacionatsambel nombre asimptòticd’hipergrafsconnexosi k-uniformes amb n vèrtexsi m arestes. Fentservirenumeraciócombinatòria,Karo´nskiiŁuczak[39]trobenelnombre asimptòticd’hipergrafsconnexos k-uniformesambunnombredonatdevèrtexs id’arestesenelrègimquasisupercríticquan m n k 1 log n loglog n .Behrisch,CojaOghlaniKangtrobenelresultatcorresponentapartirdelteoremadelímit

localperalrègimestrictamentsupercríticquan m n k 1 = Θ(n),iBollobás iRiordan[19]considerendespréselrègimsupercrític m n k 1 = o(n).Satoi Wormald[60]tambéobtenenelnombreasimptòticd’hipergrafsconnexos 3-uniformesfentservircors(cores,enanglès)inuclisquan n1/3log2 n m n 2 n.

2.2Hipergrafsaleatoriscomacomplexossimplicialsaleatoris

Elshipergrafsaleatorisespodeninterpretarcomacomplexossimplicials aleatoris;perexemple,elshipergrafsaleatoris3-uniformesespodenveurecom a2-complexossimplicialsaleatoris,considerantelssubconjuntsde3elements coma2-cel.lestriangularsielssubconjuntsde2elementscoma1-cel.les. Lespropietatstopològiquesdelscomplexossimplicialsaleatoris—talscom lacol.lapsabilitatil’anul.laciódel’homologiadedimensiómàxima—vanser investigades,perexemple,a[5,6,43].

Motivatsenpartperl’estudidelscomplexossimplicialsaleatoris,consideraremlaconnectivitatd’ordresuperior.Lanociódeconnectivitatd’ordre superiorenhipergrafsés,detotesmaneres,ambiguaidefethihadiverses deﬁnicionspossibles.Perexemple,podemprendrelaquevansuggerirBollobás iRiordan[18],ésadir,la j-placonnectivitat:unsubconjuntde j elements J1 esdiuqueés accessible desd’unaltresubconjuntde j elements J2 siexisteix unasuccessiód’arestes (E1,...,E ) talque J1 ⊆ E1, J2 ⊆ E i |Ei ∩ Ei+1|≥ j peracada i = 1,..., 1.L’accessibilitatésunarelaciód’equivalènciaen elssubconjuntsde j elementsilesclassesd’equivalèncias’anomenen j-pla componentsconnexes osimplement j-components.Elcas j = 1corresponala nociódeconnexióperavèrtexs.

Alavistadel’apariciód’una j-componentgegantperaqualsevol1 ≤ j ≤ k 1,Cooley,KangiPerson[25]vanmostrarque Hk(n,p) experimenta unatransiciódefasealllindar pk,j := 1 (k j) 1 (n j k j ). Sigui p = t pk,j pera t> 0isigui Lj (t) elnombredesubconjuntsde j elementscontingutsala j-componentmésgrande Hk(n,p).Peraun > 0ﬁxat,arbitràriamentpetit, Cooley,KangiPersonvanprovarque agp Lj (t) = Ω( nj ) iquelacomponent gegantésúnicasi t = 1 + ,però Lj (t) = O( 2 log n) si t = 1 .

Cooley,KangiKoch[24]vanestudiarambmésdetalllacomponentgegant enelrègimsupercríticivanveurequequan t = 1 + pera = (n)> 0que compleixi → 0i 3n →∞, agp Lj (t) = (1 + o(1))2 1 (k j) 1 n j Pera k = 2, j = 1,elllindarielnombredevèrtexsdelacomponentgegantcoincideixen ambelsdelcasd’ungraf: p2,1 = 1 n 1 i agp L1(t) = (1 + o(1))2 n.

Aquestsresultatsplantegendiversesqüestions.Quèpodemdirde Lj (t) en elrègimcríticquan t = 1?Isobreelnombredesubconjuntsde j elementscontingutsenlasegona j-componentmésgranenelrègimsupercrític?Quinaésla distribuciódelnombredesubconjuntsde j elementscontingutsenla j-componentgegant?Hihateoremesdelímitcentralolocalperala j-component gegant?

2.3Grafsplanarsaleatoris

Ungrafesdiuqueés planar siespotsubmergirenelplasensecreuarcapparell d’arestes.Undelsresultatsmésconegutssobregrafsplanarséselteorema delsquatrecolors:diuquedonadaunaseparaciódelplaenregions,posem països,elspaïsosespodenacolorirfentservirquatrecolorsdemaneraque dospaïsosambfronteracomunanotinguinelmateixcolor.

Elsgrafsplanarsaleatorisvandespertaruninterèsconsiderabledesque McDiarmid,StegeriWelshvanobtenirpropietatsasimptòtiquesimportants delsgrafsplanars[48]iGiméneziNoyvandeterminarelnombreasimptòtic exactedegrafsplanarsetiquetats[30].

Quanelnombred’arestes éspetit,elgrafaleatorité moltescomponentspetites.

Amesuraques’afegeixenarestesemergeixuna componentgegant (en negre).

El graud’unvèrtex éselnombre d’arestesadjacents.Elvèrtexmésgran decolorgrisdeBtéelmàximgrau9.

L’ordred’unacomponent éselnombredevèrtexsqueconté.LacomponentdecolornegredeBtéordre30,lescomponentsdeAtenenordres5(gris),4(negre),3(blanc),2(quadradetgris)i1(grisclar).

El diàmetre d’ungrafconnexéslamés grandelesdistànciesentredosvèrtexs.LacomponentmésgrandeAté diàmetretres,ladeBquatre,ladeC dosiladeDvuit.

Els grafsplanars espodendibuixarenelplade maneraquelesarestesno estallin.

Enunaxarxa mónpetit,ladistància mínimatípicaentredosvèrtexsdela componentgranés«petita», i.e. la componentmésgrantéundiàmetre petit(marcatambunalíniagrisamés gruixudaaBiD).

Ungraualtd’agrupament voldirque qualsevolentornd’unvèrtexmoltprobablementésconnex,comenlacomponentgrisadeC.

Lesxarxesdelmónrealsovinttenen diàmetre petitiungraualtd’agrupament

Figura 2: Conceptesbàsicsdeteoriadegrafs.

Consideremungrafplanaraleatoriuniforme P(n,m),elegituniformemental’atzarentretotselsgrafsplanarsetiquetatsamb n vèrtexsi m arestes.

KangiŁuczak[36]vanprovarque,sorprenentment,hiha dosperíodescrítics enl’evoluciód’ungrafplanaraleatori.Elprimertéllocquanesformala componentgegant;aixòpassaquan m = n/2 + O(n2/3),demaneraanàlogaal casdelgrafaleatoriuniforme G(n,m).Elsegonperíodecríticd’ungrafplanar aleatoriapareixquanlacomponentgegantcobreixgairebétotselsvèrtexs;això passaquan m = n + O(n3/5).

Talcomhemvistalasubsecció1.3,desprésd’expressarelsresultatsen termesde G(n,m),lacomponentgegantde G(n,m) emergeixsobtadament pera m = n/2 + O(n2/3).Si m = n/2 + s i n s −n2/3,llavors agp G(n,m) estàformatperarbresaïllatsicomponentsunicícliques,demanera queésungrafplanar,ilasevacomponentmésgranésunarbred’ordre (1 + o(1)) n2 2s2 log |s|3 n2 .D’altrabanda,si n2/3 s n,llavors agp G(n,m) contéexactamentunacomponentcomplexa(anomenadala componentgegant) d’ordre (4 + o(1))s,mentrequelasegonacomponentmésgranés agp un arbred’ordre (1 + o(1)) n2 2s2 log s3 n2 ;laqualcosamostraunasimilitudremarcable entreelgrafsubcríticielgrafsupercríticdesprésdetreurelacomponent gegant.Amés,si s n2/3,llavors agp G(n,m) contéunacòpiatopològica de K3,3 i,pertant,noésplanar.Recordemqueunacomponentesdiucomplexa sicontémésd’uncicle.

Unaaltraestructuraaleatòriarellevantperalcomportamentd’ungraf planaraleatori P(n,m) ésunboscaleatoriuniforme F(n,m),ésadir,unbosc elegituniformemental’atzarentretotselsboscosetiquetatsamb n vèrtexsi m arestes.ŁuczakiPittel[46]vandescobrirque,malgratquelacomponent gegantde F(n,m) apareixa m = n/2 + O(n2/3),elcomportamentcrític de F(n,m) ésunamicadiferentdelde G(n,m) quan n2/3 s n.Sigui m = n/2 + s.Si s −n2/3,llavorslesestructuresde F(n,m) ide G(n,m) sónsimilars,ésadir,l’ordredel’arbremésgrande F(n,m) és agp (1 + o(1)) n2 2s2 log |s|3 n2 .Totiaixí,enlafasesupercrítica,quan n2/3 s n,l’arbre gegantde F(n,m) és agp d’ordre (2 + o(1))s,queésaproximadament lameitat del’ordredelacomponentmésgrande G(n,m),mentrequeelsegonarbre mésgrande F(n,m) ésd’ordre Θ(n2/3),queésmoltmésgranqueeldela segonacomponentmésgrande G(n,m).

ŁuczakiKangvanveurequeﬁnsa m = n/2 + s amb n2/3 s n (ésa dir,elrègimsupercríticdelprimerperíodecrític),elcomportamentde P(n,m) éssimilaralcomportamentde F(n,m).Ditd’unaaltramanera, agp l’ordre delacomponentcomplexamésgranés (2 + o(1))s,mentrequelasegona componentmésgranté Θ(n2/3) vèrtexs.Pertant,adiferènciade G(n,m),no hihasimilitudentreelgrafplanarsubcríticielgrafplanarsupercríticdesprés detreurelacomponentgegant.

Elsegonperíodecríticenl’evolucióde P(n,m) nocorresponatransicions defasea F(n,m) ia G(n,m).Pertaldeveureperquè P(n,m) presentael segontipusdecomportamentcrític,observemqueelnombremàximd’arestes de F(n,m) és n 1,mentrequeelde P(n,m) és3n 6,i,pertant,lataxade creixementdel’ordredelescomponentscomplexesde P(n,m) hadecanviar enalgunpunt.ŁuczakiKangvanprovarqueaixòpassaquan m = n + O(n3/5).

Demaneramésprecisa,posem m = n + t,on t = o(n).Si t −n3/5 però n/2 + t n2/3,lacomponentgegantde P(n,m) conté agp n (2 + o(1))|t| vèrtexs,mentrequepera n3/5 t n2/3 lacomponentgegantconté n (α + o(1))(n/t)3/2 vèrtexsperaalgunaconstant α> 0queespotdeterminar. Lacondiciópocconvenientque t n2/3 ésconseqüènciadelmètodede demostracióiprobablementespotsubstituirper t n.

2.4Processosdegrafsaleatoris

Unamodiﬁcaciónaturaldelprocésd’Erd˝os-Rényiéslaclassedeprocessos aleatorisbasadaenelmodeldel poderdelesopcionsmúltiples,quearaes coneixenambelnomde processosd’Achlioptas.Encadapasdelsprocessos d’Achlioptasestrienal’atzar dues omésarestespotencialsi,d’acordambuna regladeterminada,se’ntriaunais’afegeixalgrafqueevoluciona.

Unaqüestiónaturaléssabersihihaunareglasenzillaquecanviaeltemps críticperal’apariciódelacomponentgegant.Laregladelproductevaser suggeridacomlamésapropiadaperaretardareltempscrític:laregladel producteseleccionaentrelesduesarestespotencialslaqueminimitzael productedelesmidesdelescomponentsdelsseusvèrtexsextrems.Poc després,BohmaniFriezevanmostrarqueunareglaméssimple,coneguda com elprocésdeBohman-Frieze,retardaeltempscrític[12]:silaprimera arestauneixdosvèrtexsaïllats,s’afegeixalgrafenevolució;encascontrari s’hiafegeixlasegonaaresta.Elseutreballvamostrarqueaquestareglatan senzillaretardal’apariciódelacomponentgegant,ésadir,elpuntcríticde latransiciódefaseenelprocésdeBohman-Friezeésestrictamentmésgran que1.Ivainiciartreslíniesderecercaimportantsenelcampdelsprocessos d’Achlioptas.

Laprimeralíniatractadecomprovarlapotènciaielslímitsdelsprocessos d’Achlioptas.Finsaquinpuntpodemacceleraroretardarlatransiciódefase? Quantpodemretardarlaformaciód’unciclehamiltonià?Aquestesqüestions espodenplantejarenelcontextoriginald’unprocésd’Achlioptasobéenelcas oﬀ-line quetoteslesparellesd’arestesestandonadesalprincipiidesprésse’n falatria.Sovintelsresultatsespodengeneralitzaralcasqueencadaetapa espresenten arestesenllocde2,on ésunaconstantﬁxada.Elsresultats recentstenenaveuremésaviatambelretarddelatransiciódefase,lafaltade subgrafspetitsil’acceleraciódel’apariciódecicleshamiltonians.

Lasegonalíniaderecercacomportal’elecciód’unareglad’Achlioptasﬁxai l’exploraciódelsdetallssubtilsdel’evoluciódelgraf.Perexemple,Spenceri Wormald[62]iJansoniSpencer[34]vanexaminarl’estatdelprocésdeBohmanFriezedesprésde m = tn/2iteracions.SpenceriWormald[62]vanprovarque hihauntempscrític tc ∼ 1.176enelqualelprocésdeBohman-Friezepassaper unatransiciódefase:enlaregiósubcrítica t = tc (peraunaconstant > 0) lacomponentmésgranésd’ordre O(log n),mentrequeenlaregiósupercrítica t = tc + hihaunacomponentgegantd’ordre Ω(n).JansoniSpencer[34]van estudiarlafasequasisupercríticaamb t = tc + peraunaconstantpetita > 0

ivanprovarque agp lacomponentmésgranésd’ordre Θ( n),il’ordredela segonacomponentmésgranés Θ( 2 log n).Kang,PerkinsiSpencer[37]van mirarambdetallladistribuciódelamidadelacomponentpròximaalaregió crítica.Defet,elprocésdeBohman-Friezeésladenominaciócurtad’unaclasse moltàmpliadereglesd’Achlioptas,lesanomenades reglesdemidalimitada introduïdesperSpenceriWormald[62].Enunareglademidalimitada,l’elecció entrelesduesarestesnomésdepèndelamidadelescomponentsqueespoden connectaratravésd’aquestesduesarestes,itoteslescomponentsd’ordremés granque K s’handetractardelamateixamanera,peraunaconstantﬁxada K. Laterceralíniaderecercavaorientadaaentendreambdetallelcomportamentd’unaclassegeneraldeprocessosd’Achlioptas.Ladistribuciódeles midesdelescomponentsenlesreglesdemidalimitadajas’haviadeterminat[58, 59].L’interèspelsprocessosd’Achlioptasvaaugmentarmoltíssimquan Achlioptas,D’SouzaiSpencer[1]vanconjecturar,sobrelabasedenombroses simulacions,queperaaquestsprocessoslaregladelproducteescomportade maneramoltdiferentdecomhofaperalprocésd’Erd˝os-Rényi.Esprodueix l’anomenada percolacióexplosiva;end’altresparaules,l’ordredelacomponent mésgran«salta»del’ordresublinealal’ordrelinealenelspassossublinealsdel procés.PeròRiordaniWarnkevanprovarqueaixònoeraaixí[57, 58]:latransiciódefaseperaunaclassemoltgrandeprocessosd’Achlioptasgeneralitzats, inclosalaregladelproducte,éscontínua.

Malgratl’estudiintensiuques’hadutatermeenrelacióambelsprocessos d’Achlioptas,elcomportamentdetallatdeladistribuciódelamidadeles componentsenmoltsprocessosd’Achlioptasencaranoesconeix.Quèméses potdirsobrelafasedetransicióperalaregladelproducte?Quinéseltemps críticperal’apariciódelacomponentgegant?Comésdegranlacomponent gegantpocdesprésdelpuntcrític?Quinaéslamidadelaﬁnestracrítica?

2.5Grafsaleatorisnohomogenis

Unaaltrageneralitzaciónatural,benestudiada,delgrafaleatorid’Erd˝os-Rényi sónelsgrafsaleatorisambunasuccessiódegrausdonada—unexemple degrafsaleatorisnohomogenis.Łuczak[45]iChungiLu[23]vanestudiar l’estructuradelescomponentsd’ungrafaleatoriambunasuccessiódonadade graus.Latransiciódefaseenelsgrafsaleatorisambunasuccessiódonada degraushaestattractadaextensament,entred’altres,perMolloyiReed[50, 51], Newman,StrogatziWatts[52],KangiSeierstad[38],iRiordan[56].

Consideremunasuccessió D={d0(n),d1(n),... },amb di(n) = 0pera i ≥ n,i i≥0 di(n) = n.Elvalor di(n) representaelnombredevèrtexsdegrau i en ungrafd’ordre n.Consideremaraungrafaleatoriuniforme Gn(D) quetingui D comasuccessiódegraus.Sotaunacondiciódèbilderegularitatpera D, λi(n) := di(n)/n convergeixcapaunaconstant:posem λ∗ i = limn→∞ λi(n) i Q(D) = i≥1 i(i 2)λ∗ i .MolloyiReed[50, 51]vanprovarquesi Q(D)< 0, llavors agp toteslescomponentsde Gn(D) sónd’ordre Θ(log n),mentre quesi Q(D)> 0,llavors agp Gn(D) contéunaúnicacomponentgegant

d’ordre Θ(n).KangiSeierstad[38]vanestudiarlafasecríticaquan i≥1 i(i 2)λi(n) convergeixcapa0.Pertald’establircomderàpidlaquantitat i≥1 i(i 2)λi(n) convergeixcapa0,anomenem τn elzeromésgrandelafunció

Qn(x) := i≥1 i(i 2)λi(n)xi,ésadir, Qn(τn) = 0.KangiSeierstadvan determinarl’ordredelacomponentmésgranenunrègimdèbilmentsupercrític ambunallacunalogarítmica,ésadir,quan (1 τn)n1/3 log n.Aquíel paràmetre1 τn fapera Gn(D) elmateixpaperque t 1fapera G(n,p) quan p = t/(n 1).Mésrecentment,Riordan[56]hadeterminatl’amplada exactadelaﬁnestracríticailadistribuciólímitdel’ordreasimptòticdela componentmésgranquanelgraumàximestàacotat.

Enlesúltimesdècadess’haobservatquedeterminadesxarxesdelmón real—queapareixenenl’economia,lafísicailesciènciessocials—pertanyen alaclassedelesanomenades xarxesmónpetit,queescaracteritzenperun agrupamentalt (laqualcosavoldirqueelsvèrtexsestanmoltconnectats, almenyslocalment,entreells)iun diàmetrepetit (quevoldirquetotsels vèrtexsdelaxarxaespodenunirglobalmentpercaminscurts,demaneraque totselsvèrtexsespodenconnectarmitjançantunnombrerelativamentpetitde passos).Amésamés,elnombredeconnexions(ésadir,elgraud’unvèrtex)en moltesxarxesdelmónrealsegueixuna lleidedistribuciódepotències.Aquesta propietat,entred’altres,vamotivarelmodeldeconnexiópreferencialintroduït iestudiat,perexemple,perAlbertiBarabási[2,7].

Pertaldemodelitzarianalitzarxarxesdelmónreal,s’hanintroduïtun grannombredegrafsaleatorisaixícomelsseusmodelsestocàstics,imolts d’aquestssóncasosespecialsdels grafsaleatorisnohomogenis introduïts perBollobás,JansoniRiordan[15],onelsvèrtexssóndetipusdiferents,ila probabilitatderealitzarunaarestadepèndeltipusdelsseusvèrtexsextrems. Enparticular,lesarestesapareixenindependentmentielnombred’arestesés linealenelnombredevèrtexs.Entrealtrescoses,Bollobás,JansoniRiordan[15] vandeterminarelpuntcríticdelafasedetransicióil’ordredelacomponent gegantdesprésdelatransició,relacionantelseumodelambprocessosde ramiﬁcaciómultitipus.

3Àreesrelacionadesiaplicacions

Elsgrafsaleatorishanestatmoltestudiatsdesdelasevaintroducció,is’han convertitenundelstemescentralsdelesmatemàtiquesactuals,enpartdegut alfetqueestaníntimamentrelacionatsambdiversesestructuresdiscretes aleatòriescomarasuperfíciesaleatòries,aplicacionsaleatòries,matriusaleatòries,problemesaleatorisdesatisfactibilitat,elsmodelsd’IsingidePottsi lapercolació,ienpartperquèsónútilsperamodelitzar,analitzariresoldre problemesestructuralsialgorísmicsqueapareixenalesmatemàtiques,ala informàticateòrica,alesciènciesnaturals,alesciènciessocialsialesciències delavida[2].L’estudiintensiudelesestructuresaleatòriesdiscretes,enparticularl’estudidelsseusfenòmensdetransiciódefase,haintegratdiverses àreesd’investigació,comaralamatemàticadiscreta,lateoriadelaprobabilitat, lainformàticateòricailafísicaestadística.

3.1Transiciódefase

Latransiciódefaseésuncanvisobtatenlespropietatsd’unaestructuracomplexaproduïtperl’alteraciód’unparàmetrecrític.S’observaenmoltscontextos delesmatemàtiquesidelesciènciesnaturals.Aquíhemvistlatransicióde faseendiversosmodelsdegrafsaleatorisenlessubseccions1.3–2.5.

Lestransicionsdefaseambquètothomestàmésfamiliaritzatsónles del’aigua:degel(sòlid)aaigua(líquid)id’aiguaavapor(gas).Hihadues temperaturescrítiques:zerograusCelsius,elpuntdecongelaciódel’aigua, icentgrausCelsius,elpuntd’ebulliciódel’aigua.Atemperaturesbaixes, enl’estatsòlid,elsàtomsilesmolèculesinteractuenintensamentambels seusveïnsiestanmoltcompactiﬁcats,típicamentenunpatróregular.A temperaturesintermèdies,lesinteraccionsesdebiliten,iaixòprovocauncanvi d’ordreconstantperòdepocabast.Iatemperaturesaltes,lesmolècules gairebénointeractuenimostrenunpatródispers,altamentdinàmicibastant aleatori—vegeulaﬁgura3.Elfetintrigantésqueaquestscanvisinduïtsperla temperaturanoesprodueixendemaneracontínuasinóqueesmanifestendos saltssobtats—transicionsdefase—enlestemperaturesdefusióid’ebullició.

temperaturabaixa dens,ordenat

temperaturamitjana semidispers

temperaturaalta dispers,irregular

Figura 3: Organitzaciód’àtomsomolèculesadiferentstemperatures.

Unexemplebenconegutqueposademanifestlatransiciódefaseésla percolació.Enfísica,enlaciènciadematerialsienlageografia,lateoriade lapercolaciótractadeqüestionsrelacionadesambelpasd’unfluidod’ungasa travésd’unmitjàporósobédesordenat.Espotaplicaranombrososproblemes sensecaprelacióaparent,perexemple,elscanvisenlasuperfíciedelaterra produïtsperlameteorologiaoperl’erosió,lapropagaciódelfocenelsboscos, elfuncionamentdelfiltred’unacigarretaod’unacafetera.

Suposemques’abocaunlíquidasobred’unmaterialporós.Ellíquidserà capaçd’anardelapartsuperioralapartinferior?Aquestproblemafísic espotmodelarmatemàticamentamb percolaciód’enllaços:cadaenllaç(o arestaoconnexió)entrecadadosveïnsenunreticlequadratespotobrir (demaneraquedeixapassarellíquid)ambunaprobabilitat p,obéespot

tancarambprobabilitat1 p,demaneraindependententreells.Lapercolació d’enllaçosenelgrafcomplet Kn (ésadir,elgrafamb n vèrtexsi n 2 arestes) ésprecisamentelgrafaleatoribinomial G(n,p).Unaltremodelútilésla percolaciódellocs,enelqualcadallocestàocupatambprobabilitat p obéestà buitambprobabilitat1 p.

Lareformulaciómatemàticadelaqüestióanteriorés:peraun p donat, quinaéslaprobabilitatquehihagiuncamíobertquevagidesdelapart superioralainferior?Ésinteressantelfetqueperaunreticleinﬁnithihaun valorcrític pc talquepera p méspetitque pc laprobabilitatqueuncamícom l’anteriorexisteixiés0,mentrequepera p mésgranque pc laprobabilitat és1.Enalgunscasos pc espotcalcularexplícitament.Perexemple,perala percolaciód’enllaçosenelreticlequadratdeduesdimensions Z2 , pc = 1/2,un fetquevaserunaqüestióobertadurantmésdevintanysiquevaserﬁnalment resoltperKestenacomençamentsdelsanysvuitanta[41].

p = 0 45

p = 0 55

Figura 4: Percolaciód’enllaçosenunreticlequadratdedimensió2per adosvalorsdelaprobabilitat p queexisteixiunenllaçentredosllocs. Al’esquerra: p persotadelllindardepercolació pc = 0 5;nohihacap camíqueconnectidoscostatsoposatsdelquadrat.Aladreta: p per sobredelllindardepercolació;hihauncamíqueconnectaelcostatde daltambeldebaixdelquadrat(ieldel’esquerraambeldeladreta).

Desafortunadament,elcàlculexactede pc peralamajoriadegrafsreticulats inﬁnitsnosesapfer.Peraunadiscussiómésdetalladadelapercolacióes podenconsultarelsllibrestitulats Percolation deGrimmett[31]ideBollobási Riordan[16].

3.2Ciènciessocials

L’anàlisidelacomunicacióidelesinteraccionshumanesmitjançantlateoriade grafsdeterminísticsialeatorisésunaeinaimportantenlesciènciessocials.Un delsexemplesmésanticsimésbenconegutséselfenomendels«sisgrausde separació»descritfaanysa[49]:duespersonesqualssevolespodenconnectar perunacadenadeconegutsformadaenmitjanapersispersones.Demanera anàlogaalgrafaleatorid’Erd˝os-Rényi,elgrafdelesconeixenceshumanestéun diàmetrepetit.Però,adiferènciadelgrafaleatorid’Erd˝os-Rényi,téun coeﬁcient d’agrupament elevat,cosaqueelconverteixenuna«xarxamónpetit».La possibilitatqueduespersonesquetenenunamiccomútambéesconeguin entreellsésmoltmésaltaqueenungrafaleatori.Moltesxarxesd’interaccions humanestenenaquestaestructura,perexemple,laxarxadecoautorscientíﬁcs, conegudaentreelsmatemàticsatravésdelconceptedenúmerod’Erd˝os.

L’extensiódel’úsd’Internetenlanostravidadiàriahabeneficiatmolt lesciènciessocials:elspatronsdel’activitathumanaaInternet,talcomla navegacióatravésdepàgineswebolacomunicaciódinsdecomunitatsvirtuals, sónunafontdedadesmoltrica.Enunexemplerecent,l’anàlisidelspatronsdels jocsinteractitusaInternethaidentificatgrupsdejugadorsquecoincideixen amblesfronteresdelesregionsculturalstradicionalsdelaXina[67].Tot iqueaquestacoincidèncianoéssorprenentensimateixa,elfetqueels grupsdejugadorsespuguinidentificarianalitzarsenseutilizarlainformació geogràficaésútil.ElcomportamentaInternetespotferservirperatrobargrups culturalmentdiferents,supervisar-nel’aparicióil’evolució,lesinteraccions, ladistribuciógeogràfica,etc.L’estructuradexarxailadinàmicad’aquests grupspotajudarapredir-neeldesenvolupamentfuturilasevainfluènciaenla societatmésenllàdelslímitsd’Internet.

Elpatródelamobilitathumanaésrellevantencontextosdiferents,per exemple,téconseqüènciesevidentsenlapropagaciódemalaltiesinfeccioses. Modelitzarelsdesplaçamentshumanscomadifusióenelgrafaleatorid’Erd˝osRényinotéencomptelesrestriccionsgeogràﬁques,lesquals,adiferència delcasdelacomunicacióperInternet,tenenaraunpapermoltimportant.

D’altrabanda,elpasseigaleatorienunreticleregularnegligeixl’efectedels saltssigniﬁcatiusquepermetlanavegacióaèria.Enunexperimentinteressant peraposardemanifestlamobilitathumana,lacirculaciódebitlletsdebanc vasersupervisadapervoluntarisfentservirwebsdeseguiment.L’anàliside lesdadesvaposardemanifestundecreixementsegonslalleidepotències deladistribuciódelesdistànciesrecorregudes[20].Lapresènciadesaltsde llargadistànciasigniﬁcaquelapropagaciódemalaltiesatravésd’aquesta xarxaésunprocésràpidisuperdifusiu.Curiosament,lapropagaciódeles plaguesaEuropaenelsegle xiv novaseguiraquestatendència,laqualcosa suggereixl’absènciad’enllaçosdellargabastipertantunaestructuradiferent delscontacteshumansal’època[47].

L’estructuradelaxarxadeterminal’eﬁcàciadeladivulgaciódelainformació odelesmalaltiesatravésseu[28].Ladivulgacióseràméseﬁcientenunaxarxa

benconnectada(ungrafambdiàmetrepetit),enlaqualdosindividusqualssevol noestangairellunyl’undel’altre,obéunagrupamentelevatésunapropietat mésrellevantdelaxarxa?Unexperimentenelqualesvacrearunacomunitat aInternetambunaestructuracontroladadelaxarxavaposardemanifest queuncomportamenthumàdeterminats’escampamésllunyimésdepressa silaxarxatéunagrupamentaltquenopassiésaleatòria[22].Elreforçde múltiplesveïnsésimportantpertalqueunindividuadoptiuncomportament, ienconseqüènciaperalasevadifusió.Unescenarisimilarespotaplicarpera ladifusiód’unamalaltiaquerequereiximúltiplescontactes,adiferènciad’una malaltiacontagiosaqueestransmetambunúniccontacte.Unaltretreball recentidentiﬁcamodelsambunapartdelaxarxaalaqualnoespodràarribar mai[69];lamidad’aquestapartdepènaltravegadadel’estructuradelaxarxa. Totesaquestesrecerquestenenimplicacionsal’horadedissenyarestratègies peraladistribuciód’informacióoperalescampanyesdevacunació[65]. Durantlaredacciód’aquestarticlevaesclataral’Àfricaoccidentalunaepidèmia moltgreud’Ebola.L’estructuravariabledelesxarxesdelscontactessocials enlesdiferentscomunitatsdelaregióafectadaesfaservirperaexplicari predirlesdiferènciesentreelspaïsosimplicatspelquefaaladifusióiel desenvolupamentposteriordelamalaltia[42].

3.3Xarxesartiﬁcials

Gransestructurescomplexesqueestrobenalanaturalesasovintestanformadesperinteraccionsindividualsnocorrelacionadesentreungrannombre delsseuscomponents;enconseqüèncianohadesersorprenentqueelsgrafs aleatorisproporcioninmodelsadequatsperamoltesd’elles.D’altrabanda,les estructuresartificialsespodenpensarcomelresultatd’undissenyracional optimitzatambunafinalitatdeterminada;aixòfariapensarenunaestructura regularsensegaireespaiperal’atzar(circuitselèctrics,xarxesdetelefonia mòbil).Malgrataixò,moltescreacionshumanesqueespodeninterpretarcom unaxarxamanifestenungrauelevatd’aleatorietat,sovintdegutalfetquees desenvolupenalllargdeltemps(comlesxarxesd’Internet)operquècopienuna xarxapreexistent(perexemple,lesxarxesd’aeroports,lesxarxeselèctriques) obéperquèestansubjectesal’atzaroad’altresrestriccions.Pertant,els grafsaleatorisamblescaracterístiquesbenseleccionadespodenservircoma modelsútilsperal’evolucióielfuncionamentdemoltesestructurescomplexes artificials.

Espotguanyarenperspectivasis’estudienelsefectesdelainteraccióentre duesomésxarxes.Silainteraccióéstalquel’eliminaciód’unvèrtexd’unaxarxa potproduirl’eliminaciódevèrtexsenl’altraxarxa,unacadenad’eliminació devèrtexspotportaraunafragmentacióagranescalaenlesduesxarxes.Un exemplebenconegutd’uncol.lapsededuesxarxesacobladeséseldel’apagada elèctricaaItàlia,l’any2003,quanunafalladaenlescentralselèctriquesva provocarlacaigudadelaxarxad’Internetquecontrolavalaxarxaelèctrica[21]. L’estudidelesxarxesinterdependentspotajudaradissenyarxarxesresistents aaqueststipusdefracassos[55].

Totiquelesxarxeslliuresd’escala,comaraInternet,sónresistentsenfront del’eliminacióaleatòriad’unvèrtex,sónmoltsensiblesauntipusd’atac: l’eliminaciódirigidad’unvèrtexdegraumoltalt[3].Elconeixementd’aquest fetespotutilizarperatrobarlesmaneresdecontrolarladifusiódevirusa travésd’Internetoperaidentiﬁcarelspuntsdèbilsisensiblesdelaxarxaque requereixenunaproteccióespecialcontraelsatacs.Entendrelespropietatsde l’estructurasubjacentalaxarxapotajudaralapràcticaadissenyarunaxarxa ambunbonequilibrientreefectivitat,redundància,robustesaicost.

3.4Ciènciesdelavida

Elsprogressosrecentsenlesciènciesdelavidahangeneratunagranquantitat dedades:s’hanseqüenciatelsgenomesd’organismessencers,s’hanidentiﬁcat proteïnesielspatronsdelessevesinteraccions,s’hanrepresentatxarxes metabòliquesassociadesalesreaccionsbioquímiques.L’anàlisidetalladade lesxarxesd’interacciógènicaiproteicaenshauriad’ajudaraentendreles propietatsdelaxarxaqueestandeterminadesperlasevaestructuraagran escalamésquenopaspelsdetallsdelesinteraccionsindividuals,perexemple, comaugmentaelriscdepatirunamalaltiaunacombinaciódemutacionsde diversesproteïnes,dequinamaneralatopologiadelaxarxad’unaproteïna n’afectalarobustesacontramutacionsaleatòries,obécomlaxarxapothaver evolucionatalllargdeltemps[8].

Sovintlesxarxesbiològiquessónlliuresd’escalaimostrenunadistribució moltàmpliadelgraudelsvèrtexs.Aquestesxarxessónrobustesenfrontde l’eliminaciód’unvèrtextriataleatòriament[3],unapropietatimportantdecara alaresistènciaal’eliminacióaleatòriad’unamutacióunitària,perexemple,que faqueunaproteïnanofacielseuefecte.

Enelsgrafsquerepresentenxarxesbiològiques,algunssubgrafs(anomenats motius)espodenidentificarcomasubunitatsquecompleixenunafunció bendefinida.Enconseqüència,l’anàlisid’unaxarxabiològicaentermesdels subgrafspotposardemanifestsubunitatsdesconegudesfinsaraiqueens podenajudaraentendrelafuncionalitatd’unagranxarxa[32].

3.5Elcervell

Lateoriadelsgrafsdeterministesobéaleatorisenspotajudaradescriure,ien elfuturesperemquetambéaentendre,laqueésprobablementl’estructura méscomplexadelanaturalesa:elcervell[53].Laxarxadeneuronesinterconnectadesdelcervellhaestatmodelitzadacomungrafaleatoriambdiverses propietats(perexemple,ésunaxarxalliured’escala).Mentrequeel«cervell» d’unsimplecuc C.elegans,unorganismemodelàmpliamentestudiat,està formatper302neuronesconnectadesperunes7300sinapsis,ihaestatrepresentatambdetall[66],elcervellhumàcontéaproximadament1011 neurones, ambunnombredesinapsisdifícild’estimar(1014–1015?)inodiguemderepresentar.Lamaneracomlesneuronesestanconnectadesiinteractuenentre ellesdeterminaengranmaneraelfuncionamentdelcervell.Perexemple,hiha

evidènciesquel’estructuradeconnectivitatfuncionaldinsdelcervellcanvia enpacientsamblamalaltiad’Alzheimer:lesxarxesd’activitatpresentenun nivelld’agrupamentmésbaixis’assemblenmésaunaxarxaaleatòriaque lesd’uncervellsa[63].Elsestudisexperimentalsdel’activitatespontàniadel cervell—l’anàlisidepicselèctricsproduïtsperlesneurones,idelamidaila duradadelesallausd’activitatneuronal—sovintdonenresultatsqueespoden descriureambdistribucionsamblleidepotències(lliured’escala).Aixòha portatalahipòtesiqueelcervell,vistcomunaxarxadeneurones,potoperar enunestatcrític,unestatpròximaunafasedetransició.Aixòésrellevant, atèsquediversespropietatsdelesxarxesrelacionadesambl’eﬁciènciadela comunicació,ambelrangdinàmicderesposta,etc.,s’optimitzenenelpunt crític[9].

Figura 5: Elgrafquerepresentalesconnexionsentrelesneuronesdel C.elegans.Lamidailatonalitatdegrisdelsvèrtexsescorresponenamb elseugrau.Lesdadesestantretesde[68].

4Conclusió

Aquestarticlehapretèsdonarunaideadel’evoluciódelcampdelsgrafs aleatorisalllargdelsúltimscinquantaanys,desdelaprimeradefiniciódegraf aleatorifinsaunateoriamatemàticaricaambaplicacionsamoltesdisciplines científiques.S’hadedir,detotesmaneres,queaquestarticlenoésunrepàs exhaustiudelateoriadelsgrafsaleatoris,sinómésaviatunrecullbreud’alguns temesiresultatsespecialsquetenenuninterèsparticularperalsautors.

Desd’unpuntdevistateòric,s’haposatdemanifestdemaneraespecial elfenomenfascinantdelatransiciódefaseentermesdel’apariciód’una componentgegantenungrafaleatori.Malgrataixò,hihatambéaltresqüestions importantsiinteressantsdelsgrafsaleatoris,comarasubgrafspetits,cicles llargs,diàmetre, cliques,conjuntsindependentsielnúmerocromàtic,percitarneunesquantes.Peraunadescripcióméscompletad’aqueststemesellector potconsultardosllibresexcel.lentssobregrafsaleatoris:eldeBollobás[14]iel deJanson,ŁuczakiRuci´nski[33].

Desdelpuntdevistadelesaplicacions,lateoriadelsgrafsaleatoriss’ha mostratadequadaperaladescripcióil’anàlisid’estructurescomplexesque apareixenarreudesdelanaturalesaﬁnsalasocietat,ﬁnsitotenelcervell. D’altrabanda,diversesaplicacionscontinuenmotivantiguiantl’estudidels grafsaleatoris.

L’expansiódelateoriadelsgrafsaleatorisilessevesaplicacionsmostra unaaltravegadacomlesideesmatemàtiquesmésabstractesenspodenajudar aentendreel«mónreal».

Agraïments

Laprimeraautorahatingutl’ajudadel’AustrianScienceFund(FWF):P26826N26iW1230.AquelltreballhatingutparcialmentelsuportdeNAWIGraz.

Referències

[1] Achlioptas,D.;D’Souza,R.M.;Spencer,J. «Explosivepercolationin randomnetworks». Science,323(5920)(2009),1453–1455.

[2] Albert,R.;Barabási,A.-L. «Statisticalmechanicsofcomplexnetworks». Rev.ModernPhys.,74(1)(2002),47–97.

[3] Albert,R.;Jeong,H.;Barabási,A.-L. «Errorandattacktoleranceof complexnetwork». Nature,406(6794)(2000),378–382.

[4] Aldous,D. «Brownianexcursions,criticalrandomgraphsandthemultiplicativecoalescent». Ann.Probab.,25(2)(1997),812–854.

[5] Aronshtam,L.;Linial,N. «Whendoesthetophomologyofarandom simplicialcomplexvanish?». RandomStructuresAlgorithms,46(1)(2015), 26–35.

[6] Aronshtam,L.;Linial,N.;Łuczak,T.;Meshulam,R. «Collapsibilityand vanishingoftophomologyinrandomsimplicialcomplexes». Discrete Comput.Geom.,49(2)(2013),317–334.

[7] Barabási,A.-L.;Albert,R. «Emergenceofscalinginrandomnetworks». Science,286(5439)(1999),509–512.

[8] Barabási,A.-L.;Gulbahce,N.;Loscalzo,J. «Networkmedicine:anetworkbasedapproachtohumandisease». Nat.Rev.Genet.,12(1)(2011),56–68.

[9] Beggs,J.M.;Timme,N. «Beingcriticalofcriticalityinthebrain». Front. Physiol.,3(2012),article163,14pàg.

[10] Behrisch,M.;Coja-Oghlan,A.;Kang,M. «Theorderofthegiantcomponentofrandomhypergraphs». RandomStructuresAlgorithms,36(2) (2010),149–184.

[11] Behrisch,M.;Coja-Oghlan,A.;Kang,M. «Locallimittheoremsforthe giantcomponentofrandomhypergraphs». Combin.Probab.Comput., 23(3)(2014),331–366.

[12] Bohman,T.;Frieze,A. «Avoidingagiantcomponent». RandomStructures Algorithms,19(1)(2001),75–85.

[13] Bollobás,B. «Theevolutionofrandomgraphs». Trans.Amer.Math.Soc., 286(1)(1984),257–274.

[14] Bollobás,B. RandomGraphs.2aed.Cambridge:CambridgeUniversity Press,2001.(CambridgeStudiesinAdvancedMathematics;73)

[15] Bollobás,B.;Janson,S.;Riordan,O. «Thephasetransitionininhomogeneousrandomgraphs». RandomStructuresAlgorithms,31(1)(2007), 3–122.

[16] Bollobás,B.;Riordan,O. Percolation.NovaYork:CambridgeUniversity Press,2006.

[17] Bollobás,B.;Riordan,O. «Asimplebranchingprocessapproachtothe phasetransitionin Gn,p». Electron.J.Combin.,19(4)(2012),article21, 8pàg.

[18] Bollobás,B.;Riordan,O. «Asymptoticnormalityofthesizeofthegiant componentinarandomhypergraph». RandomStructuresAlgorithms, 41(4)(2012),441–450.

[19] Bollobás,B.;Riordan,O. «Countingconnectedhypergraphsviathe probabilisticmethod». Combin.Probab.Comput.,25(1)(2016),21–75.

[20] Brockmann,D.;Hufnagel,L.;Geisel,T. «Thescalinglawsofhuman travel». Nature,439(7075)(2006),462–465.

[21] Buldyrev,S.V.;Parshani,R.;Paul,G.;Stanley,H.E.;Havlin,S. «Catastrophiccascadeoffailuresininterdependentnetworks». Nature, 464(7291)(2010),1025–1028.

[22] Centola,D. «Thespreadofbehaviorinanonlinesocialnetworkexperiment». Science,329(5996)(2010),1194–1197.

MihyunKangiZdenˇekPetrášek

[23] Chung,F.;Lu,L. «Connectedcomponentsinrandomgraphswithgiven expecteddegreesequences». Ann.Comb.,6(2)(2002),125–145.

[24] Cooley,O.;Kang,M.;Koch,C. «Thesizeofthegiantcomponentsin randomhypergraphs».Manuscrit.

[25] Cooley,O.;Kang,M.;Person,Y. «Giantcomponentsinrandomhypergraphs».Manuscrit.

[26] Erd˝os,P.;Rényi,A. «OnrandomgraphsI.». Publ.Math.Debrecen,6(1959), 290–297.

[27] Erd˝os,P.;Rényi,A. «Ontheevolutionofrandomgraphs». MagyarTud. Akad.Mat.KutatóInt.Közl.,5(1960),17–61.

[28] Eubank,S.;Guclu,H.;Kumar,V.S.A.;Marathe,M.V.;Srinivasan,A.; Toroczkai,Z.;Wang,N. «Modellingdiseaseoutbreaksinrealisticurban socialnetworks». Nature,429(6988)(2004),180–184.

[29] Gilbert,E.N. «Randomgraphs». Ann.Math.Statist.,30(1959),1141–1144.

[30] Giménez,O.;Noy,M. «Asymptoticenumerationandlimitlawsofplanar graphs». J.Amer.Math.Soc.,22(2)(2009),309–329.

[31] Grimmett,G. Percolation.2aed.Berlín:Springer,1999.(Grundlehrender MathematischenWissenschaften;321)

[32] Guimerà,R.;Amaral,L.A.N. «Functionalcartographyofcomplexmetabolicnetworks». Nature,433(7028)(2005),895–900.

[33] Janson,S.;Łuczak,T.;Ruci´nski,A. RandomGraphs.NovaYork:WileyInterscience,2000.(Wiley-InterscienceSeriesinDiscreteMathematicsand Optimization)

[34] Janson,S.;Spencer,J. «PhasetransitionsformodiﬁedErd˝os-Rényiprocesses». Ark.Mat.,50(2)(2012),305–329.

[35] Kang,M. «Randomgraphs:fromnaturetosocietytothebrain».Número especialdel Math.Intelligencer dedicatalSEOULICM2014,Springer, 42–44.

[36] Kang,M.;Łuczak,T. «Twocriticalperiodsintheevolutionofrandom planargraphs». Trans.Amer.Math.Soc.,364(8)(2012),4239–4265.

[37] Kang,M.;Perkins,W.;Spencer,J. «TheBohman-Friezeprocessnear criticality». RandomStructuresAlgorithms,43(2)(2013),221–250.

[38] Kang,M.;Seierstad,T.G. «Thecriticalphaseforrandomgraphswitha givendegreesequence». Combin.Probab.Comput.,17(1)(2008),67–86.

[39] Karo´nski,M.;Łuczak,T. «Thephasetransitioninarandomhypergraph». J.Comput.Appl.Math.,142(1)(2002),125–135.

[40] Karp,R.M. «Thetransitiveclosureofarandomdigraph». RandomStructuresAlgorithms,1(1)(1990),73–93.

[41] Kesten,H. PercolationTheoryforMathematicians.Boston,Mass.:Birkhäuser,1982.(ProgressinProbabilityandStatistics;2)

[42] Kiskowski,M.A. «Descriptionoftheearlygrowthdynamicsof2014West AfricaEbolaepidemic».Preprint(2014).Disponiblea arXiv:1410.5409.

[43] Linial,N.;Meshulam,R. «Homologicalconnectivityofrandom2-complexes». Combinatorica,26(4)(2006),475–487.

[44] Łuczak,T. «Componentbehaviornearthecriticalpointoftherandom graphprocess». RandomStructuresAlgorithms,1(3)(1990),287–310.

[45] Łuczak,T. «Sparserandomgraphswithagivendegreesequence».A: RandomGraphs.Vol.2(Pozna´n,1989).NovaYork:Wiley-Intersci.Publ., Wiley,1992,165–182.

[46] Łuczak,T.;Pittel,B. «Componentsofrandomforests». Combin.Probab. Comput.,1(1)(1992),35–52.

[47] Marvel,S.A.;Martin,T.;Doering,C.R.;Lusseau,D.;Newman,M.E.J. «Thesmall-worldeﬀectisamodernphenomenon».Preprint(2013).Disponiblea arXiv:1310.2636v1

[48] McDiarmid,C.;Steger,A.;Welsh,D.J.A. «Randomplanargraphs». J. Combin.TheorySer.B,93(2)(2005),187–205.

[49] Milgram,S. «Thesmall-worldproblem». PsychologyToday,1(1)(1967), 61–67.

[50] Molloy,M.;Reed,B. «Acriticalpointforrandomgraphswithagiven degreesequence».A: ProceedingsoftheSixthInternationalSeminaron RandomGraphsandProbabilisticMethodsinCombinatoricsandComputerScience,“RandomGraphs’93” (Pozna´n,1993). RandomStructures Algorithms,6(2–3)(1995),161–179.

[51] Molloy,M.;Reed,B. «Thesizeofthegiantcomponentofarandomgraph withagivendegreesequence». Combin.Probab.Comput.,7(3)(1998), 295–305.

[52] Newman,M.E.J.;Strogatz,S.H.;Watts,D.J. «Randomgraphswith arbitrarydegreedistributionsandtheirapplications». Phys.Rev.E,64(2) (2001),026118.

[53] Papo,D.;Buldú,J.M.;Boccaletti,S.;Bullmore,E.T. «Introduction: Complexnetworktheoryandthebrain». Phil.Trans.R.Soc.B,369(2014), 20130520.

[54] Pittel,B.;Wormald,N.C. «Countingconnectedgraphsinside-out». J. Combin.TheorySer.B,93(2)(2005),127-172.

[55] Quill,E. «Whennetworksnetwork:Oncestudiedsolo,systemsdisplay surprisingbehaviorwhentheyinteract». ScienceNews,182(6)(2012), 18–25.

[56] Riordan,O. «Thephasetransitionintheconﬁgurationmodel». Combin. Probab.Comput.,21(1-2)(2012),265–299.

[57] Riordan,O.;Warnke,L. «Explosivepercolationiscontinuous». Science, 333(6040)(2011),322–324.

[58] Riordan,O.;Warnke,L. «Achlioptasprocessphasetransitionsarecontinuous». Ann.Appl.Probab.,22(4)(2012),1450–1464.

[59] Riordan,O.;Warnke,L. «TheevolutionofsubcriticalAchlioptasprocesses». RandomStructuresAlgorithms,47(1)(2015),174–203.

[60] Sato,C.M.;Wormald,N. «Asymptoticenumerationofsparseconnected 3-uniformhypergraphs».Preprint(2014).Disponiblea arXiv:1401.7381

[61] Schmidt-Pruzan,J.;Shamir,E. «Componentstructureintheevolutionof randomhypergraphs». Combinatorica,5(1)(1985),81–94.

[62] Spencer,J.;Wormald,N. «Birthcontrolforgiants». Combinatorica,27(5) (2007),587–628.

[63] Stam,C.J.;deHaan,W.;Daffertshofer,A.;Jones,B.F.;Manshanden,I.; vanCappellenvanWalsum,A.M.;Montez,T.;Verbunt,J.P.A.;de Munck,J.C.;vanDijk,B.W.;Berendse,H.W.;Scheltens,P. «Graph theoreticalanalysisofmagnetoencephalographicfunctionalconnectivity inAlzheimer’sdisease». Brain,132(1)(2009),213–224.

[64] Stepanov,V.E. «Theprobabilityoftheconnectednessofarandom graph Gm(t)». Theor.ProbabilityAppl.,15(1970),55–67.

[65] Takeuchi,F.;Yamamoto,K. «Eﬀectivenessofrealisticvaccinationstrategiesforcontactnetworksofvariousdegreedistributions». J.Theoret. Biol.,243(1)(2006),39–47.

[66] Varshney,L.R.;Chen,B.L.;Paniagua,E.;Hall,D.H.;Chklovskii,D.B. «Structuralpropertiesofthe Caenorhabditiselegans neuronalnetwork». PLoSComput.Biol.,7(2)(2011),1001066.

[67] Wang,X.;Mao,W.;Liu,C. «Gamesandculture:Usingonline-gaming datatoclusterChineseregionalcultures».Preprint(2013).Disponiblea arXiv:1310.0621.

[68] Watts,D.J.;Strogatz,S.H. «Collectivedynamicsof‘small-world’ networks». Nature,393(6684)(1998),440–442.

[69] Zhang,Z.-K.;Zhang,C.-X.;Han,X.-P.;Liu,C. «Emergenceofblindareas ininformationspreading». PLoSONE,9(4)(2014),e95785.

TechnischeUniversitätGraz

InstitutfürOptimierungundDiskreteMathematik

Steyrergasse 30

8010 Graz,Austria kang@math.tugraz.at,z.petrasek@tugraz.at

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.32,núm.2,2017.Pàg.179–180

Englishsummaries

JoaquimBrunaandJoandelCastillo

AnoteonFinancialMathematics

Around1970,thefinancialworldunderwentarevolutionwiththecommercializationoftheso-calledderivativefinancialproductsand,aboveall,the introductionoftheBlack-Scholesmodeltovaluethem.Theaimofthisarticle istodescribethismodelinaself-containedandmostbasicmannerpossible, essentiallyfollowingthediscreteapproachofCox,RossandRubinstein.To doso,itisfirstnecessarytodescribetheSamuelsonmodelfortheunderlying asset,basedongeometricBrownianmotion.Inthefinalsection,wecomment ontheaccuracyofthesemodelsandonhowtheBlack-Scholesformulaisused intheeverydaypractice.

Keywords: normallaw,Brownianmotion,stochasticprocesses,ﬁnancialassets, optionpricing,arbitration,Black-Scholesmodel,riskcoverage.

MSC2010SubjectClassiﬁcation: 91G20,91G60,91G70.

EnriqueCasanovasRuiz-Fornells

Deﬁnabilityinmathematicalstructures

Wediscussthenotionofdefinabilityofrelations,functionsandelementsof amathematicalstructurewiththehelpoftheformallanguageoffirst-order logicandwithintheframeworkofmodeltheory.Wegivesomeexamplesof definabilityissuesinnumericalsystemswhicharefamiliartoeverymathematicianandweshowhowtheanalysisofthecomplexityofdefinablerelationsina structureprovidesvaluableinformationonthedecidabilityandcategoricity problemsofitstheory.

Keywords: deﬁnability,modeltheory,axioms,decidability,categoricity.

MSC2010SubjectClassiﬁcation: 03C07,03C40,03C45.

MihyunKangandZdenˇekPetrášek

Randomgraphs:theoryandapplicationsfromnaturetosocietytothebrain

Thetheoryofrandomgraphsdealswithasymptoticpropertiesofgraphs equippedwithacertainprobabilitydistribution;forexample,itstudieshow thecomponentstructureofauniformrandomgraphevolvesasthenumberof edgesincreases.SincethefoundationofthetheoryofrandomgraphsbyErd˝os andRényiﬁvedecadesago,variousrandomgraphmodelshavebeenintroduced andstudied.Graphtheoryhasmeanwhilefounditswayintoothersciences asarichsourceofmodelsdescribingfundamentalaspectsofabroadrange ofcomplexphenomena.Thisarticleisagentleintroductiontothetheoryof randomgraphsanditsrecentdevelopments(withfocusonthephasetransition andcriticalphenomena,afavouritetopicoftheﬁrstauthor)andapplications. Thisisanextendedversionofthearticleentitled«Randomgraphs:from naturetosocietytothebrain»[35]publishedin SeoulIntelligencer,aspecial issueofthe MathematicalIntelligencer,ontheoccasionofInternationalCongressofMathematiciansinSeoulin2014.

Keywords: giantcomponent,phasetransition,limittheorems,randomgraphs.

MSC2010SubjectClassiﬁcation: 05C80,05C65.

Instruccionsperalsautors

Elsarticlessotmesosapublicaciós’hand’enviaralseditorsoaqualsevol membredelcomitèeditorial,percorreuelectrònic,preferentmentenformat PDF.Elsoriginalshandecontenirlaversióanglesadeltítol,unresumbreuen catalàienanglès,paraulesclauencatalàienanglèsielscodisdelaclassiﬁcació permatèriesMSC2010.

Lesversionsdeﬁnitivesdelsarticlesacceptatss’handepresentarencodiTEX,preferentmentenl’estilLATEXpropidel Butlletí.Aquestestilespot obteniralespàgineswebdelaSocietatCatalanadeMatemàtiques(SCM).Fem notarqueenaquestapublicaciós’utilitzapreferentmentelpuntperaseparardecimals,enllocdelacomarecomanadaperl’IEC,perpoderfacilitarla comprensiódelesexpressionsmatemàtiques.Pertald’accelerarelprocésde producció,espregaalsautorsquesegueixinlesindicacionscontingudesenel documentd’exemple.

Laversióenpaperdel Butlletí s’imprimeixenblancinegre.Quanun articlecontinguifiguresencoloriesconsidericonvenient,l’autorproporcionarà unaversiódelsgràficssubstituintelcolorpertonsdegrisosilíniesdegruix variable.Aixímateixmodificaràelscomentarisquefacinreferènciaalcolorde lesfigures.Enqualsevolcasel Butlletí publicaràl’originalencolorenelseu formatelectrònic.

Elsautorsdelsarticlespublicatsal Butlletí enreteneneldretdecòpia (copyright)iautoritzenl’IECadifondre’ls,tantatravésdelapublicacióimpresa commitjançantelsportalsdigitalspropisod’altresambquès’estableixinels convenisoportunsaaquestefecte.Ésresponsabilitatdelsautorsassegurar queesdisposadelsdretsdereproducciódelsgràﬁcsidelesﬁguresquehi apareguin.CadaautorrebràunacòpiaenPDFd’altaqualitatdelaversiódigital delseuarticleiunexemplarimprèsdelnúmerodel Butlletí enelquales publiqui.

Lacorrespondènciaadministrativarelacionadaambel Butlletí s’had’adreçaral’SCM.

JuliàCufí(editorencap)

Comitèeditorial

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona jcuﬁ@mat.uab.cat

BartomeuColl

Dep.deMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdelesIllesBalears tomeu.coll@uib.cat

NúriaFagella

Dep.deMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdeBarcelona fagella@maia.ub.es

ArmengolGasull

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona gasull@mat.uab.cat

AntoniGuillamon

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatPolitècnicadeCatalunya antoni.guillamon@upc.edu

GáborLugosi

ICREAiDepartamentd’Economia UniversitatPompeuFabra gabor.lugosi@upf.edu

RosaCamps(editoraadjunta)

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona rcamps@mat.uab.cat

MarcNoy

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatPolitècnicadeCatalunya marc.noy@upc.edu

FrancescPlanas

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatPolitècnicadeCatalunya francesc.planas@upc.edu

AgustíReventós

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona agusti@mat.uab.cat

JoanSaldaña

Dep.d’Informàtica,Mat.AplicadaiEstadística UniversitatdeGirona joan.saldana@udg.edu

MartaSanz-Solé

Dep.deMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdeBarcelona marta.sanz@ub.edu

SocietatCatalanadeMatemàtiques

La SocietatCatalanadeMatemàtiques(SCM) ésunasocietatﬁlialdel’Institutd’EstudisCatalans,quecontinualesactivitatsdelaSecciódeMatemàtiques delaSocietatCatalanadeCiències,quefoufundadaperl’Institutl’any1931. Lesﬁnalitatsdel’SCM són:elconreudelesciènciesmatemàtiques,l’extensió delseuconeixementenlasocietatcatalana,elfomentdelseuensenyament idelasevainvestigacióteòricaiaplicada,aixícomlapublicaciódetotamena detreballsques’adeqüinaaquestsobjectius.L’SCM desenvolupalesseves activitatsenlesterresdellenguaiculturacatalanes.Elcatalàés,doncs,la llenguapròpiadel’SCM ilaqueésusadanormalmententotselsseusactesi publicacions.

L’SCM editalespublicacionsperiòdiques SCM/Notícies i ButlletídelaSocietat CatalanadeMatemàtiques.Elssocisdel’SCM reben,gratuïtament,aquestes duespublicacions.

L’SCM téconvenisdereciprocitatambdiversessocietatsmatemàtiquesd’arreudelmón,mitjançantelsqualselssocisdel’SCM obtenenunareduccióenla quotadesocid’aquestessocietats.Aixímateix,elssocisdel’SCM podenfer-se socisdelaSocietatMatemàticaEuropeapagantunaquotacomplementària.

LaJuntaDirectivadel’SCM estàconstituïdaperlespersonessegüents:

President:XavierJarqueiRibera

Vicepresident:EnricVenturaiCapell

Adjuntadelavicepresidència:IolandaGuevaraiCasanova

Secretari:AlbertRuiziCirera

Tresorera:NatàliaCastellanaiVila

Vocals:NúriaFagellaiRabionet,JosepGranéiManlleu,Agustí ReventósiTarrida,CarlesRomeroiChesa,OriolSerraiAlbó,Esther Silberstein,ManelUdinaiAbelló

Delegatdel’IEC:JoanGirbauiBadó

L’adreçadel’SCM éscarrerdelCarme,47,08001Barcelona.Telèfon:933 248583.Fax:932701180.Correuelectrònic: scm@iec.cat.Adreçaweb: http://scm.iec.cat.

Butlletí

de la Societat Catalana de Matemàtiques publica, en llengua catalana, exposicions matemàtiques de qualitat, que puguin interessar a un nombre elevat de lectors. Es donarà prioritat a aquells treballs en què destaquin la claredat d’exposició i l’interès general del tema. El està obert a tots els camps de la matemàtica i també als aspectes matemàtics de les ciències experimentals, la tecnologia, l’economia, etc., així com a altres àrees, com la història, la didàctica i la filosofia, sempre que els treballs tinguin un component matemàtic important. També tenen cabuda al aquells articles que desenvolupin un aspecte significatiu de la problemàtica de la professió matemàtica al nostre país.

Butlletí tots

El Butlletí números,

publica un volum a l’any, dividit en dos números, que es trameten gratuïtament a tots els socis. El es publica també en format electrònic. L’edició electròpot obtenir-se des del portal de revistes científiques en línia de l’IEC o http://scm.iec.cat

Butlletí nica del Butlletí al servidor . tiques.