BSCM, 31-1 by Institut d'Estudis Catalans

BUTLLETÍ

DE LA SOCIETAT CATALANA

DE MATEMÀTIQUES

Institut d’Estudis Catalans

índex

q Vladimir Koltchinskii, Richard Nickl, Sara van de Geer i Jon A. Wellner L’obra matemàtica d’Evarist Giné

q Elitza Maneva

Les matemàtiques al darrere de les criptomonedes 31

q M. Rosa Massa-Esteve

Nous resultats i procediments en les matemàtiques del segle XVII: càlcul de màxims a Pietro Mengoli (1626/1627–1686) 51

q Günter M. Ziegler

Matar mosques a canonades 73

q English summaries 91

Volum 31 • Número 1 • Any 2016

BUTLLETÍ

DE LA SOCIETAT CATALANA DE MATEMÀTIQUES

Institut d’Estudis Catalans

Volum 31 ● Número 1 ● Juny 2016 BARCELONA

©delsautorsdelsarticles

EditatperlaSocietatCatalanadeMatemàtiques ﬁlialdel’Institutd’EstudisCatalans CarrerdelCarme,47 08001Barcelona

Textrevisatlingüísticament perlaUnitatdeCorrecciódelServeiEditorialdel’IEC.

ImprèsaLimpergraf,SL

ISSN:0214-316-X DipòsitLegal:B19272-1987

Sónrigorosamentprohibides,sensel’autoritzacióescritadelstitularsdel copyright,lareproducciótotaloparciald’aquestaobraperqualsevolprocedimentisuport,incloent-hilareprograﬁa ieltractamentinformàtic,ladistribuciód’exemplarsmitjançantllogueroprésteccomercial,la inclusiótotaloparcialenbasesdedadesilaconsultaatravésdexarxatelemàticaod’Internet. Lesinfraccionsd’aquestsdretsestansotmesesalessancionsestablertesperleslleis.

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.31,núm.1,2016

Índex

VladimirKoltchinskii,RichardNickl,SaravandeGeeriJonA.Wellner L’obramatemàticad’EvaristGiné....................................................5

ElitzaManeva

Lesmatemàtiquesaldarreredelescriptomonedes...............................31

M.RosaMassa-Esteve

Nousresultatsiprocedimentsenlesmatemàtiquesdelsegle xvii: càlculdemàximsaPietroMengoli(1626/1627–1686).............................51

GünterM.Ziegler

Matarmosquesacanonades........................................................73 Englishsummaries......................................................................91

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.31,núm.1,2016.Pàg.5–29. DOI:10.2436/20.2002.01.64

L’obramatemàticad’EvaristGiné

VladimirKoltchinskii,RichardNickl,SaravandeGeeriJonA.Wellner

Resum: Enaquestarticleesfaunrepàsdelescontribucionsdel’EvaristGinéala teoriamodernadelaprobabilitatidel’estadísticamatemàticaenuncontextinfinitodimensional.Lesseccionscorresponenalesàreesenlesqualsvatenirunaparticipació méssignificativa:probabilitatenespaisdeBanach,processosempírics,elbootstrap, U-estadísticsi U -processos,iestadísticamatemàtica.Esfaèmfasial’impulsquela sevaobrahadonatalateoriaactualdelaprobabilitat,l’estadísticamatemàticaitambé al’aprenentatgeautomàtic(machinelearning).Améscontéunresumbiogràficila llistacompletadelessevespublicacions.Haestaescritenocasiódelasevamort.

Paraulesclau: probabilitatsenespaisdeBanach,teoremadellímitcentral,processos empírics,bootstrap, U -estadístics,estimaciódedensitats.

ClassiﬁcacióMSC2010: 60B12,60G15,60E15,62F40,62G07.

1Introducció

EvaristGiné,obéEvaristGiné-Masdéu(1944–2015),vaseruncontribuïdor influent,brillantiprolíficalateoriamodernadelaprobabilitatidel’estadística matemàtica,queesvacentrarenelsproblemesquesorgeixenenuncontext infinitodimensional.Lasevaobrahatingutunimpacteimportantenlateoria modernadelaprobabilitat,enl’estadísticamatemàticai,recentment,tambéen l’aprenentatgeautomàtic.Aquestarticleésunintentdedescriurelesaportacionsmatemàtiquesmésrellevantsd’EvaristGinéil’hemdividitendiverses seccionscadascunadelesqualsesdedicaaunaàreadetreballsignificativa: probabilitatenespaisdeBanach, processosempírics, elbootstrap, U -estadístics i U -processos,i estadísticamatemàtica.Alfinaldel’articleespottrobarun resumbiogràficiunallistadelespublicacionsd’EvaristGiné,incloent-hiels seusquatrellibres.

Unaspectequedónaunitatalamajorpartdel’obrad’EvaristGinéésla combinaciómagistraldetècniquesd’anàlisirealid’anàlisifuncionalambidees Latraducciód’aquestarticledel’originalenanglèshaestatfetapelseditorsdel Butlletí irevisada perFredericUtzet.

VladimirKoltchinskii,RichardNickl,SaravandeGeeriJonA.Wellner

fonamentalsdelateoriadelaprobabilitat:EvaristGinéteniaunconeixement profunddelestècniquesanalítiques,lesqualsaplicavasovintambunasimplicitatmoltenginyosaalsproblemesdeprobabilitat.Almateixtempsera unprobabilistaversàtilideformacióclàssicaquedominavadiversesàrees centrals,desdeteoremeslímitidesigualtatsperasumesdevariablesaleatòries independentsﬁnsaprocessosgaussiansil’argumentacióambmartingales.

2Elspilarsbàsicsdel’obrad’EvaristGiné

2.1Latesidoctoral

EvaristGinévaescriurelasevatesidoctoralsotaladirecciódeRichardM.DudleyalMassachusettsInstituteofTechnology(MIT).Delatesienvansortircinc articlesnotables:dosdelsquals[A1, A5]vanserpublicatsals AnnalsofProbability ierenelresultatdelafeinafetacomaestudiantdepostgrau.L’article[A1] elvaconduircapal’àreaquedescrivimalasecciósegüent,il’article[A5]encollaboracióambR.Kleinestabliapropietatsenellímitdelavariacióquadràtica deprocessosambincrementsgaussians,generalitzantresultatsdeDudley[9] peralmovimentbrownià.

Peròeltemaprincipaldelatesivaserlaconstrucciódetestsestadístics computablesperaobservacionsqueprenenvalorsenunavarietatdeRiemann compacta,quevaaparèixerals AnnalsofStatistics l’any1975(vegeu[A4]). L’editorqueesvaencarregard’aquestarticlefonamentalvaserLucienLeCam, elqualvaconsiderarqueteniaunnivellmatemàtictanaltquel’únicrevisor ambquivapoderpensarvaserRichardDudley!Aquestarticle,defet,vaobrir l’àread’estudidelstestsdeSobolev,quehaestatimportantdesd’aleshoresen elcampdel’estadísticadireccional,ivarequerireldesenvolupamentd’alguns resultatsmatemàticsd’interèsindependent,comaraunaprovadelfetqueuna boladeSobolevdeﬁnidasobrequalsevolvarietatdeRiemanncompactasatisfà elteoremadellímitcentralempíric(i.e.,ésunaclassede P -Donsker—vegeu lasubsecció2.3peramésinformació—).Enaquestaèpocalamaquinàriadels processosempíricsgeneralsnoestavadisponibleencara,peròEvaristGinése’n vasortirambunareduccióintel ligentdelproblemaalteoremadellímitcentral a C(S) (l’espaidelesfuncionscontínuessobreunespaimètriccompacte S) fentservirlateoriadeladualitatperalsespaisdeSobolev.Latesitambé requerialaprovad’algunesidentitatsenanàlisigeomètricalesqualsvanser publicadesenunarticleseparat[A3]ivanportarEvaristGinéapublicarun articlegenuïnamentaplicat[A2],quevaaparèixeral JournalofGeology.Espot dir,sensdubte,queaquestatesivaserabsolutamentexcepcionalpelseuabast iperlasevaprofunditat.

2.2ProbabilitatenespaisdeBanach

Partintdel’article[A1]queerapartdelasevatesi,EvaristGinéesvaendinsar enundelsproblemescandentsdelateoriadelaprobabilitatdelsanyssetanta:

laformulaciódelsteoremesclàssicsdellímitperasumes n i=1 Xi devariables aleatòriescentrades,independentsiidènticamentdistribuïdes Xi queprenen valorsenunespaideBanach B dedimensióinﬁnita.Perexemple,el teorema dellímitcentral (TLC):peraunavariablealeatòriagaussianaadequada G que prenvalorsa B homvolprovarelteoremadelímitdistribucional

Mentrequeperaespaisdedimensiófinitaunacondiciónecessàriaisuficient peralavalidesadelTLCésque E X1 2 siguifinita,enespaisdedimensió infinitanoésaixíilespropietatsgeomètriquesdel’espaideBanachentren enjocd’unamaneraessencial.Lestècniquesmatemàtiquesdesenvolupadesen aquestaàreadurantaquestperíodevanserfonamentalsperamoltscamps delesmatemàtiquesactuals,comaral’anàlisifuncionalgeomètrica,laconcentraciódemesures,l’aprenentatgeestadístic(statisticallearning)ol’estadística matemàtica.

Lescontribucionsd’EvaristGinéenaquestaàreavansersubstancials;van donarllocaunsvintarticlesivanculminarenelseuprimerllibre, TheCentral LimitTheoremforRealandBanachValuedRandomVariables,publicatel1980. Elseutreballenaquestcamp,queelvaduratermeencol laboracióamb diversoscoautors,entreelsqualsAlejandrodeAcosta,AloisioAraujoiJoel Zinn,incloulafórmuladeLévy-Khintchineperalleisinﬁnitamentdivisiblesen espaisdeBanachicaracteritzacionsdeldominid’atracciód’unalleinormalen espaisdeBanach[A9, A12],aixícomteoremesdeconvergènciademoments enelTLCenespaisdeBanach[A13]ielTLCperaalgunsespaisdefuncions especíﬁcs[A7,A15,A20,A27,A33].

Unaaplicacióelegantd’aquestsmètodesalateoriade conjuntsaleatoris (vegeu[17, 25])apareixal’article[A31]escritencol.laboracióambMarjorie HahniJoelZinn:si B ésunespaideBanachseparable,podemconsiderarel conjunt K(B) detotselssubconjuntsde B compactesinobuits,elqualés unespaimètriccompletrespectedeladistànciadeHausdorff δ.Amés,la sumadeMinkowskiésunaoperacióbendefinidaa K(B) ipodemfinsitot definirunanormaposant A = sup{ a B : a ∈ A}.Un conjuntcompacte aleatori ésqualsevolvariablealeatòriaboreliana X queprenvalorsa K(B),i lasevaesperança EX espotdefinirenelsentitdeBochner.Fentserviruna reducciómoltintel.ligentalTLCpera C(S) ambunaeleccióadequadade S, al’article[A31]esprovaelteoremadellímitcentralperaconjuntsaleatoris: perexemple,si B = Rd , E X < ∞ isiels Xi sónconjuntscompactesaleatoris independentsiidènticamentdistribuïts,llavors

convergeixendistribuciócapaunadeterminadanormad’unprocésgaussià. Aixímateixesprovaunresultatperalcasque B tédimensióinﬁnita.

2.3Processosempírics

Lestècniquesperal’estudidelaprobabilitatenespaisdeBanachesvan desenvoluparprincipalmentperaespaisseparables,laqualcosaésmolt raonableperquèlesdistribucionsdeprobabilitatenespaismètricscompletsper forçatenenlasevamassaconcentradaessencialmentenconjuntscompactes (i.e. sónmesuresdeRadon).Almateixtemps,unproblemaclauqueeraobertal ﬁnaldelsanyssetantaeraelteoremadellímitcentralpera processosempírics indexatsperclassesabstractes F defuncions f : S → R,on S ésunespai mostralarbitrarienelqualvariablesaleatòriesindependentsiidènticament distribuïdes X1,...,Xn ambllei P prenenelsseusvalors.

La mesuraempírica Pn := n 1 n j=1 δXj ésunestimadornaturaldelallei desconeguda P iésimportantsabercomdepròximesestanlesmitjanesmostrals Pnf = n 1 n j=1 f(Xj ) delesmitjanesreals Pf = Ef(X),uniformement sobreunaclassegran F defuncions f .Alﬁnaldelsanysseixantaiprincipi delssetanta,VapnikiChervonenkis,motivatsperaplicacionsalateoriaestadísticadelreconeixementdepatrons(unapartdelqueavuiendiaesconeix per teoriadel’aprenentatgeestadístic),vanobtenircondicionsnecessàriesi suﬁcients,sorprenentsperalalleiuniformedelsgransnúmerosperamesures empíriques(elproblemadeGlivenko-Cantelli) sup f ∈F |Pnf Pf |→ 0quan n →∞ q.s.

enelcasque F={IC : C ∈C}, on C ésunaclassedesubconjuntsmesurables de S.Méstardvanestendreaquestsresultatsaclassesdefuncionsuniformementacotades[36].Tanmateix,l’extensiódelfamós«teoremadeDonsker», ésadir,elteoremadellímitcentralperaprocessosempíricsclàssicssobre larecta,almateixcontextgeneralesmanteniaoberta.Ennotacióactualels processosempíricsgeneralss’escriuen f νn(f) = n1/2(Pnf Pf) = 1 √n n i=1 (f(Xi) Ef(X)),f ∈F,

ilaqüestióéssabersi νn convergeixcapaunprocésgaussià (GP (f) : f ∈F) uniformementen f ∈F .Totiqueaprimeravistasemblaqueestractad’un problemamoltabstracte,lestècniquesqueesnecessitenperresoldre’lhan tingutunimpactemoltfortenlateoriaactualdel’estadísticaienlateoria del’aprenentatge.Enunarticlefonamental[10],Dudleyvaestudiaraquest tipusdeteoremeslímit,ivamostrarqueﬁnsitotenelcasméssenzillenel qual F estàformadaperindicadorsd’unaclasse C desubconjuntsdel’espai euclidià,esrequereixentècniquesmoltdiferentsdelesques’utilitzenen probabilitatsenespaisdeBanach.Aixòésdegutenpartalfetqueelsprocessos empíricsgeneralment no esconcentrenenalgunespaideBanachdefuncions contínues (peraalgunamètrica)sobre F —noméscalpensar,perexemple, enlafunciódedistribucióempírica F={1(−∞,t] : t ∈ Rd}—ique,coma conseqüència,l’espaideBanach ∞(F) delesfuncionsacotadessobre F enel

qualles νn prenenvalorsnoéspossible.Dudley[10]vaestudiarelteoremadel límitcentralperaprocessosempíricsindexatsperunaclassedeconjunts C ilavaanomenarunaclassedeDonskerperalallei P de X1,...,Xn sielTLC eracertperalaclasse.Vaestablircondicionssuﬁcientsperalapropietat deDonskerentermesdel’entropiamètricaamb bracketing de C ivaprovar quelesclassesdeconjuntsdeVapnik-Chervonenkis(unanocióquetambéva introduirDudley)erenclassesdeDonskerperaqualsevolllei P quecompleixi nomésunescondicionsdemesurabilitatadequades.

DesprésdelacontribuciódecisivadeDudley,V.Koltchinskii[18]vadonar unconjuntmoltútildecondicionssuﬁcientsperalavalidesadelTLCpera processosempíricsentermesd’entropiesaleatòriesdeclassesdefuncionsi D.Pollard[31]vaferelmateixentermesdelesentropiesuniformes.LeCam[19] vaobtenircondicionssuﬁcientsperalTLCenclassesdeconjuntsentermes d’entropiesaleatòries.

Aquestescondicionserend’untipussemblantalesquevandonarVapniki Chervonenkisperaleslleisdelsgransnúmeros.Lesprovesd’aquestsresultats esbasavenenelqueavuis’anomenendesigualtatsdesimetritzacióperales probabilitatsdelescues.Unargumentdecondicionamentpermetiareduir lescotesperalesnormesdelsupremdelsprocessosempíricsacotespera unprocéssubgaussià(condicionadamenta X1,...,Xn)deltipussegüent: F f n 1 n j=1 εj f(Xj ), onles {εj } sónvariablesaleatòriesdeRademacherindependentsiidènticamentdistribuïdesiindependentsdeles {Xj }. Aquestprocés subgaussià(queactualments’anomenaprocésdeRademacher)estavacontrolat perlesentropiesdeconjuntsaleatoris {(f(X1),...,f(Xn)) : f ∈F}⊂ Rn

L’entradad’EvaristGinéal’escenaridelsprocessosempíricsnopodiahaver estatmésimpressionant:vaseratravésd’unarticledesetantapàgines[A34] publicatperinvitaciódels AnnalsofProbability el1984iescritconjuntament ambJoelZinn.Enaquestarticlenonomésvanprovarresultatsmoltdefinitius peralTLCperaprocessosempírics,sinóquetambévanintroduirtècniques novesipotentsenaquestaàreaivandesenvoluparfinsalaperfeccióles tècniquesfetesserviranteriorment.Enparticular,elmètodedesimetrització utilitzatperKoltchinskii[18],Pollard[31]iLeCam[19]vaaconseguirlaseva versiódefinitivagràciesalesduesmagnífiquesdesigualtatsdesimetrització deGiné-Zinnqueesfanservirdesd’aleshores,ilareducciódel’acotaciódel procésempírical’acotaciódelprocésdeRademachervaserestudiadaentota lasevaextensió.Amésamés,aquestatècnicalavancombinarambaltres einesdelateoriadeprobabilitatsenespaisdeBanach,comaraladesigualtat delmultiplicadordegudaaPisier,il’articlevaestablirconnexionsentrela teoriaemergentdelsprocessosempíricsiuncosextensdeliteraturasobre probabilitatsenespaisdeBanach.Laideadelasimetritzaciógaussianaobé deRademachervialadesigualtatdelmultiplicadordePisiervatenirunpaper importanteneltreballposteriordeGiné,tambéencol.laboracióambZinn, sobreel bootstrap peraprocessosempírics(vegeulasubsecció2.4).

Resultatsespecíﬁcsnotablesdel’articledeGinéiZinndel1984contenen lesversionsﬁnalssobrelescondicionsd’entropiaaleatòriaperalteorema

VladimirKoltchinskii,RichardNickl,SaravandeGeeriJonA.Wellner

dellímitcentralperaprocessosempírics,lademostraciódelanecessitat d’aquestescondicionsperaclassesdeconjunts(lanecessitatdelescondicions entermesdelsnúmeros shattering deVapnik-Chervonenkisvaserprovadamés tardperTalagrand)il’extensiódelacondiciónecessàriaisuﬁcientdeVapnikChervonenkisperalalleidelsgransnúmeros(teoremadeGlivenko-Cantelli) enelcasdeclassesdefuncionsnoacotades.

UnaltreresultatprofundibonicqueEvaristGinévaobtenirenelcampdels processosempíricséslacaracteritzaciógaussianadelesclassesdeDonsker uniformes.Unaaltravegada,enunarticlepublicatambJoelZinnals Annalsof Probability [A56],vaposarlaqüestió:quanésqueelTLCperaunprocésempíricvaluniformementrespectedeladistribució P deles Xi?,mésprecisament, si β ésunamètricaperalaconvergènciafeblea ∞(F) i G elprocésgaussià límit,quanéscertque

P β(ν

onelsupremesprensobretoteslesmesuresdeprobabilitata P ?Unresultat d’aquesttipustéunaimportànciaclauperalainterpretacióestadísticadel TLC,atèsqueenlesaplicacionstípiquesesfaservirperadeduirpropietats desconegudesde P i,pertant,nohauriadesernecessaricapconeixement apriori de P peralasevavalidesa.Essencialmentésunapreguntasobre l’estructuradelaclasse F ,iesdiuque F ésunaclassedeDonskeruniforme siellímitanteriorescompleix.Elresultatsorprenentde[A56]ésqueuna condiciónecessàriaisuﬁcientperalapropietatdeDonskeruniformeésque ellímit GP sigui pregaussià uniformeen P (iaixòsigniﬁcaquelacontinuïtat mostraldelprocésgaussià GP respectedelseuargument f ∈F peralamètrica delacovariànciaintrínsecasiguiuniformeen P ).Enconseqüència,elfetque unaclasse F siguiunaclassedeDonskeruniformeésunproblemaquees potdecidircompletamententermesdepropietatsdeprocessosgaussians, encontrastnotableambelbuitqued’altrabandahihaentrelapropietat deDonskerilespropietatsdeprocessospregaussians.Sitalcomsemblaun delsobjectiusprincipalsdelafeinad’EvaristGinéenlateoriadelsprocessos empíricseraestablirconnexionsimportantsentreelsprocessosempíricsiels (sub)gaussians,elresultatquehemcomentatespotconsiderarcomunpunt culminantdelseuprograma.

2.4El bootstrap

Unaideafonamentalenestadística,degudaaEfron[12],éselmètodede repeticiódelmostreigconegutper bootstrap.Espotferservirperainferènciesiconjuntsdeconﬁançaensituacionsenlesqualslesdistribucionslímit existeixenperònosónaccessibles(perquèsóncomplicadesobédepenen deparàmetresdesconeguts).Aixòespotil lustrarenelcasque X1,...,Xn sónvariablesaleatòriesindependentsiidènticamentdistribuïdesdellei P ambmitjana µ.Llavorspodemferunaextraccióal’atzardelsvalorsmostrals

pertaldecrearunamostra bootstrap:siguin Xb ni, i = 1,...,n,extraccions independentsiidènticamentdistribuïdesdelavariablealeatòria Xb n ambllei

Pn(Xb n = Xi) = 1/n pera i = 1,...,n.Si Xn = 1 n n i=1 éslamitjanamostrali

Xb n = 1 n n i=1 Xb ni éslamitjanadelsvalorsremostrejats,llavorslaideaésque ladistribucióde Xb n Xn (coneguda,donadesles Xi)ésindependentdela distribucióde Xn µ (desconeguda).Pertant,al’horadecalcularquantilsper al’últimadistribució,podemrecórreracalcular(aproximadament)quantils peralaprimera.

Elfetqueelqueacabemdedirsiguicorrecteenmoltessituacionsestà lligatbàsicamentalteoremadellímitcentral,iEvaristGiné(juntamentamb JoelZinn)vaferdiversescontribucionssubstancialsenaquestcamp,entre lesquals[A47],onesprovalanecessitatdelescondicionssuﬁcientstrobades perBickeliFreedman[3]iesdónaunTLCbootstrapgeneralperaprocessos empírics,quedefetresolcompletamentlaqüestiódela«consistència»del bootstrap(noparamètric).Elresultatprincipalpublicatl’any1990als Annals ofProbability [A52]diuque,peralprocésempíricbootstrap ν b n, ν b n → d GP (enprobabilitat)siinoméssi νn → d GP .

L’articledel’any1990ésuncúmuldetècniquessobrelateoriadeprocessosempíricsisobrelateoriadelaprobabilitatenespaisdeBanachen diversosaspectes,comara:(a)proporcionarunaltreúsdeladesigualtatdel multiplicadordePisier,queteniaunpaperimportantambelsmultiplicadors gaussiansenelseuarticledel’any1984,araambmultiplicadors(simetritzats) dePoissondesprésd’aplicarpoissonitzacióisimetritzacióalspesosmultinomialsdelbootstrapd’Efron;(b)connectarelsresultatssorprenentsdeLedouxi Talagrand[20, 21]sobremultiplicadorsimultiplicadorscondicionatsdelTLC enespaisdeBanachambunconjuntimportantdeqüestionsestadístiques.

EvaristGiné,encol laboracióambdiversoscoautors(especialmentelseu alumneMiguelArcones),tambévaconsideraraltresproblemesenrelació ambelsmètodesderemostreigambbootstrap.ArconesiGiné[A46]proven queelbootstrapdelamitjanamostraldevariablesaleatòriesindependents iidènticamentdistribuïdesambvariànciaﬁnita«funciona»sitantlamida delamostrabootstrap mn comlamidadelamostraoriginaltendeixena inﬁnit.A[A53]estudiendiversostestsdebootstrapdesimetria,ia[A57] mostrencomespotferbootstrapde U -i V -estadístics.Laqüestióimportant deferbootstrapde M-estimadorsialtresfuncionalsestadísticsregularsvaser consideradaa[A58].Totaquestconjuntdelíniesderecercaideproblemes vaculminaralesnotesdelcursqueEvaristGinévaimpartiraSt.Floursobre teoriaasimptòticaperalremostreigambbootstrap.Aquestesnotescontinuen essentunareferènciaimportantiunapedraangularperalarecercaactual[L2].

2.5 U -estadísticsi U -processos

Lanocióde U -estadísticésunaextensiónaturald’undelsobjectesmésclàssics delaprobabilitat,lasumadevariablesaleatòriesindependents.Donadauna

VladimirKoltchinskii,RichardNickl,SaravandeGeeriJonA.Wellner

successiódevariablesaleatòriesindependentsiidènticamentdistribuïdes X1,...,Xn,... enunespaimesurable S iunafunciómesurable h : S ×···× S R (unnucli),el U -estadísticd’ordre k esdeﬁneixcom

Un(h) := (n k)! n! i1,...,ik h(Xi1 ,...,Xik )

amblasumaestesaatotsels1 ≤ i1,...,ik ≤ n talsque il ≠ il , l ≠ l .

AquestanociótéelseuorigeneneltreballsdeHalmos[13]sobreestimaciónoesbiaixadaidevonMises[35]sobredesenvolupamentsdefuncionals estadísticsregularsafinalsdelsquaranta.Els U -estadísticsvanserintroduïts formalmentiestudiatsperHoeffdingl’any1948.EvaristGinéesvainteressar enlateoriaasimptòticadels U-estadísticsal’inicidelsanysnoranta,quan aquestateoriajaestavarelativamentbendesenvolupada,tantenelcasde U-estadísticsbasatsenobservacionsindependentsiidènticamentdistribuïdes comencasosmésgenerals.Amés,NolaniPollard[29, 30]vaniniciarl’estudi dels U -processos (processosempíricsambestructurade U -estadísticsindexats pelseusnuclis).Tanmateix,al’inicidelsnoranta,moltsd’aquestsresultatsno havienassolitelmateixprogrésqueelsteoremeslímitclàssicsperasumes devariablesaleatòriesindependentsiunnombreimportantdeproblemes estimulantsidifícilsestavenoberts.Moltsd’aquestsproblemesvanserresolts alllargdelsanysnorantaperEvaristGinéenunasèried’articlesescritsamb diversoscoautors,entreelsqualsJoelZinn,MiguelArcones,StanislawKwapie´ n iRafalLatała.ElsresultatsobtingutsinclouenlleisdeltipusdeMarcinkiewicz delsgransnúmerospera U -estadístics(Giné-Zinn[A60])ilanecessitatqueel segonmomentsiguifinitielnuclidegeneratperalavalidesadelTLCpera U-estadístics(Giné-Zinn[A66]).Tambévanobtenirresultatsnotablessobreel teoremadellímitcentralpera U -processosindexatsperclassesdefuncionsde Vapnik-Chervonenkis(Arcones-Giné[A65])iaplicacionssorprenentsd’aquests resultatsal’estudiasimptòticdels M-estimadorsbasaten U -estadístics;en particularunademostraciómoltbonicadelanormalitatasimptòticadela medianasimplicial(Arcones,CheniGiné[A64]).

Elstreballsanteriorsdepenend’einestècniquesnovesipotents,comara ladesigualtatdeHoffmann-Jorgenssenpera U -processos(Giné-Zinn[A60])i desigualtatsdedesacoblament(decoupling)degudesadelaPeña[5]idelaPeña iMontgomery-Smith[6, 7].Elmètodedeldesacoblamentvaserespecialment importantivadonarnomalllibre Decoupling,escritl’any1999perGinéidela Peña,quecontinuaessentlareferènciamésimportantsobrelateoriamoderna dels U -estadístics[L3].Totiaixíundelsresultatsmésespectacularsd’aquesta teoriaesvaobtenirdesprésdelapublicaciód’aquestllibre.Endiversosarticles escritsafinalsdelsnoranta,EvaristGinéielsseuscol.laboradorsvanintentar trobarunacondiciónecessàriaisuficientperalleidelslogaritmesiterats(LLI) pera U -estadísticsdegenerats,unproblemaquevaresultarextremamentdifícil. ElfetquelafinituddelsegonmomentdelnuclierasuficientperalaLLIera conegutdesdefinalsdelsvuitanta[8].GinéiZhang[A71]vanmostrarquehi

hanuclisdegeneratsambsegonmomentinfinitperalsqualsvallaLLI.Van donarcondicionssuficientssobreelnucliquenoimplicavenlafinituddel segonmoment,peròaquestescondicionsencaranoerennecessàries.Aquest problemadesafiadorvaserresoltpera U -estadísticsdesegonordreenun articlenotabledeGiné,Kwapień,LatałaiZinn[A84]enelqualvanprovarel resultatsegüent.Suposemque X, Y , X1, X2,... sónvariablesaleatòriesindependentsiidènticamentdistribuïdesambvalorsenunespaimesurable (S, A) isigui h : S × S R unnuclimesurableisimètric.Aleshores,

limsup n 1 n loglog n

h(Xi,Xj ) < ∞ q.s.

siinoméssiescompleixenlescondicionssegüentsperaalgunaconstant C< ∞:

(a) h éscanònic(degenerat)peralalleide X (ésadir, Eh(X,y) = 0pera gairebétot y);

(b)peratota u ≥ 10, E(h2(X,Y) ∧ u) ≤ C loglog u;

(c)peraalguna C> 0,

sup E h(X,Y)f(X)g(Y) :max(Ef 2(X),Eg2(X)) ≤ 1; f,g ∈ L∞ ≤ C.

Laprovad’aquestresultatcompletamentinesperatfouunaobramestra detècniquesbasadesendiverseseinesdelateoriadels U -estadístics(moltes d’ellesdesenvolupadespelsmateixosautors,comaralescotesexponencials peralcaosdeRademacherdegudesaLatała)ienargumentsdetruncament bastantsofisticats.Unresultatrelacionatésunaversiónovaidefinitivad’una desigualtatdeconcentraciótipusBernsteinpera U-estadístics(Giné,Latałai Zinn[A80]),queésunadelesdesigualtatsmésimportantsiútilsenaquesta àreadelesprobabilitats.Aquestadesigualtatlavanprovarpera U -estadístics d’ordre2imésendavantvaserestesaaordressuperiorsperAdamczak[1]. AdamczakiLatała[2]vanobtenircondicionsnecessàriesisuficientsperala lleidellogaritmeiteratacotadapera U -estadísticsd’ordresuperior.

2.6Ladistribucióasimptòticadel’estadístic t

L’estadístic t deStudentambunamostra

i=1 Xi/n1/2 n i=1(Xi Xn)2/(n 1) 1/2

Sn/Vn n (Sn/Vn)2 n 1 , on Sn = n i=1 Xi, Vn = n i=1 X2 i i X1,...,Xn sónvariablesaleatòriesindependentsiidènticamentdistribuïdes,jugaunpaperclauenl’estadísticabàsica

VladimirKoltchinskii,RichardNickl,SaravandeGeeriJonA.Wellner

aplicada.Mentrequelasevadistribucióexactaésbenconegudadesdelpunt devistadelateoriadelmostreiggaussià,ésimportantconèixerlespropietats de Tn sotahipòtesisnogaussianes(od’altrestipusnoestàndard).Efron[11] varevisarestudisprevissobre Tn sotacondicionsnoestàndards(incloent-hi elsdeHotelling[16],Hoeﬀding[14]id’altres)ivaconsiderarelcomportament límitde Tn idesumesautonormalitzadesd’aquestsestadístics.Logan,Mallows,RiceiShepp[23]vanprovarquesi X estàeneldominid’atracciód’una lleialfa-estable,0 <α ≤ 2,centradasi α> 1isimètricasi α = 1,aleshores Sn/Vn →d Zα,on Zα éssubgaussià.Amésvanconjecturarque«Sn/Vn ésasimptòticamentnormalsi[ipotsernoméssi] X estàeneldominid’atracciódelallei normali X estàcentrada».Laimplicaciódirectad’aquestaconjecturaesprova ambrelativafacilitatapartirderesultatsestàndards;vegeu[24].Elrecíproc,és adir,el«noméssi»,vaserprovatl’any1997perEvaristGinéencol laboració ambFriedrichGötzeiDavidMason[A74].Aquestarticlebrillantfapalèsel dominiabsolutqueEvaristGinéteniadeladesigualtatdePaley-Zygmund,la qualfaservirperveurequesi {Sn/Vn} estàacotadaestocàsticament,aleshores tambéhoestàen L1

Ginévatornaraaquesttemaalmenysendosarticlesmés:a[A77](amb DavidMason)estudialleisdellogaritmeiteratperasumesautonormalitzades; a[A92](ambFriedrichGötze)vaestablirlanormalitatasimptòticadelsestadístics t multivariatssotacondicionsnoestàndards.

2.7Estadísticanoparamètrica

Alsegle xxi,EvaristGinévacomençaratreballarenproblemesd’estadísticano paramètrica,unaàreadel’estadísticamatemàticaambunagranactivitatdes demitjananysnoranta.L’interèsdeGinévaserprovocatperl’àmpliaaplicabilitatdeleseinesdelsprocessosempíricsenaquestaàrea.Unpuntdevista fonamentalvaserobservarquelaprofundadesigualtatdeTalagrand[34]per alsprocessosempíricsespodiautilitzarambefectesnotables,particularment peratractarproblemesquetenenaveureambcotesdelriscenlanormadel supremenestimaciódedensitats;vegeu[A85, A107].Perexemple,considerem unestimadordenuclidelaforma fn(x) = 1 nh n i=1 K x Xi h ,Xi ∼ i.i.d. P,

amb K unafunciónucliadequada.Siignoremel«biaix»del’estimació,elrisc uniformeespotentendrecomelprocésempíric fn Efn ∞ = 1 h sup g∈G |(Pn P)g|, G= g = K x −· h : x ∈ Rd .

Unaprimeraideaclauqueestrobaa[A85]ésquesotacondicionssimples pera K,perexemplequesiguidevariacióacotada,laclasse G resultaqueés unaclassedetipusVapnik-Chervonenkisi,pertant,fentservirun«chaining

argument»isi P tédensitatacotada,resulta

E sup g∈G

|(Pn P)g| h log(1/h) n

peraeleccionsadequadesde h.AmésperladesigualtatdeTalagrandla concentracióde fn Efn ∞ alvoltantdelasevaesperançaésefectivament gaussiana(sempreperaeleccionsadequadesde h),iaquestfetespotfer servirambobjectiusdiversos:inicialmentEvaristGinéenvadeduirlaconstant exactaquelimitaquasisegurament nh/ log(1/h) fn Efn ∞ quan n →∞ i h → 0,tantperalsestimadorsdenucli[A85]comperalsestimadorspera ondetes[A107],casenelqualesrequereixunescalatlleugeramentdiferent. Entreballsposteriors[A106, A111]esvaposardemanifestqueaquestesdesigualtatsexponencialserenmoltútilsperaconstruirestimadorsadaptatius dedensitatsquepodientractartambéelbiaix Efn f ∞ (aplicantelmètodede Lepski˘ı[22]).Tècniquesrelacionadesvansertambéutilitzadesal’article[A97] pertaldedonaraproximacionsempíriques(fentservirelgraflaplacià)de l’operadordeLaplacesobreunavarietatdeRiemann(unresultatquevaser útilenelcampdel’aprenentatgeautomàtic),ienl’article[A113]aquestes desigualtatsdeconcentracióesvanferservirenunanovamanerad’obtenir taxesdecontraccióenl’estimaciódelafuncióbayesiananoparamètrica; aquestesideeshanestatutilitzadesdesd’aleshoresenestadísticabayesianano paramètricaenelsarticlesrecentsdeRay[32]iNickliSöhl[28],entred’altres. Enunaltrearticledemoltainfluència[A110]EvaristGinévaconstruir bandesdeconfiançaadaptativesperadensitatsdesconegudestrobantamb exactitudladistribuciólímitdeGumbelde fn f ∞,adequadamentescalada icentrada,on fn ésunestimadortotalmentadaptatiu(unaaltravegadabasantseenelmètodedeLepski˘ı[22]).Aquestvaserelprimerresultatsobreellímit exacted’unadistribucióperaqualsevolestimadoradaptatiu,ivarequeriruna utilitzaciósubtildelestècniquesd’aproximacióidelateoriadelímitspera processosgaussiansnoestacionaris.Amésderesoldrereptesprobabilísticsva sernecessàriatambélaintroducciódenoveshipòtesisqualitativespera f ,que araesconeixenambelnomd’autosimilitud,lesqualsvanseradequadestambé peralcasgenerald’espaisdeHölder[A110].Aquestescondicionsd’autosimilitudresultaquesónmésomenyslescondicionscorrectesperal’existènciade conjuntsdeconfiançaadaptatiusnoparamètrics,ihanestattractadesmésa fonsenarticlesrecentsdeHoffmanniNickl[15],Chernozhukov,Chetverikovi Kato[4]ienl’articlepanoràmicdeSzabó,vanderVaartivanZanten[33],tots ellsenels AnnalsofStatistics

Unaltreresultatqueesmereixseresmentat,iqueestàrelacionatamb algunestècniquesanteriorsalfamósarticle[A34]deGinéiZinndel’any1984, éseldel’article[A103],queaﬁrmal’existènciadedeterminadesclassespregaussianesdefuncions F talsque:a) no sónde P -Donskerperaalguna P però b)el procésempíricregularitzat √n(Pn ∗ Kh P) corresponentaunestimador denuclideladensitat sí queconvergeixendistribucióa ∞(F) capalpont

VladimirKoltchinskii,RichardNickl,SaravandeGeeriJonA.Wellner

browniàgeneralitzat GP —pertant, Pn ∗ Kh ésestrictamentmillorque Pn en aquestcas.Aquestsresultatshanestatinstrumentsmoltútilsenl’estudirecent delainferènciaestadísticaperalafunciódedistribuciódemesuresdeLévyi distribucionsinﬁnitamentdivisibles;vegeuelsarticlesdeNickliReiß[26]ide Nickl,Reiß,SöhliTrabs[27].

Laimportànciadelestècniquesprobabilístiquesenelsfonamentsdel’estadísticanoparamètricavanportarEvaristGinéaescriurelasevaquarta monograﬁa,ambeltítolde MathematicalFoundationsofInﬁnite-Dimensional StatisticalModels [L4].Aplegagranpartdelseutreballenaquestaàrea,idemostraunaaltravegadalavisióprofundaqueteniadelsfonamentsmatemàticsen quèesbasenlateoriamodernadelaprobabilitatil’estadística.Enparticular, enelscapítolsd’aquestllibrededicatsalsprocessosgaussiansialsprocessos empírics,Ginéenshadeixatunmonumentintel lectualqueseràunareferència peralesgeneracionsfutures.

3Biograﬁa1

EvaristGinévamorirel13demarçdel2015aHartford,Connecticut.Haestat uncontribuïdormoltimportanticocreadordediversesbranquesdelateoria modernadelaprobabilitatlesqualshantingutunagraninfluència,especialmentenl’estadísticailateoriadel’aprenentatge(statisticallearning).Laseva feinaabastaàreescomaralaprobabilitatenespaisdeBanach,lateoriadels processosempírics,lateoriaasimptòticadelbootstrapidels U -estadístics iprocessos,aixícoml’estadísticanoparamètrica.Vapublicaralvoltantde centarticlesenrevistesdeprimernivell:vint-i-dosarticlesals AnnalsofProbability comaautorúnic,deua ProbabilityTheoryandRelatedFields,ivuitarticles als AnnalsofStatistics.Amésvaescriuredosllibresambunarepercussiómolt gran,unsobreelteoremadellímitcentralenespaisdeBanachambAloisio Araujo,il’altreambVíctordelaPeñasobredesacoblament.AmbRichardNickl vaacabarelseuquartllibre, MathematicalFoundationsofInfinite-Dimensional StatisticalModels,pocabansdemorir,publicataCambridgeUniversityPress. EvaristGinévaserelegitmembredel’InstituteofMathematicalStatistics(IMS)l’any1984idel’InternationalStatisticalInstitute(ISI)l’any1991,va sermembrecorresponentdel’Institutd’EstudisCatalansapartirdel1996i vaferunaconferènciaMedaillon2 alCongrésMundialdelaSocietatBernoulli l’any2004aBarcelona.Eljunydel2014vatenirllocaCambridge(RegneUnit) uncongréspercelebrarlessevesaportacionsmatemàtiquesenocasiódelseu setantèaniversari.Unafotografiadel’EvaristpresaperLucienBirgéenaquest congrés,ambplenasalutielseubonhumorhabitual,lareproduïmalapàgina següent.EvaristGinéhaviaestatsempreextremamentmodestiunamostra delseuhumorladónaelcorreuelectrònicquevaescriureeljulioldel2014 dientqueelcongrésenhonorseuera«totalmentimmerescut,peròtotiaixí

1 Aquestapartat,escritpelsmateixosautorsdel’article,vaserpublicatenel Instituteof MathematicalStatisticsBulletin

2Aquestaconferènciacomportal’atorgamentd’unamedalla.

moltestimulant».Defet,elcongrésvaservirperposardemanifestlesdiverses àreesentrelesmatemàtiquesil’estadísticaenlesqualsEvaristGinéielsseus treballshavientingutunimpactemésnotable.Ungranrespecteperalesseves matemàtiquesilasevapersonalitatvasercompartitpelgrannombred’amicsi decol.leguesqueerenpresentsaCambridge.

EvaristGinévanéixerel31dejulioldel1944aFalset(Catalunya),en unafamíliaques’ocupavadel’agriculturaidel’elaboraciódevins.Elseu talentmatemàticprodigiósesvamanifestarmoltaviatiunprofessorlocalva convèncerlasevafamíliaquel’Evaristhaviadeferl’ensenyamentsecundari ientraralauniversitat.Vaacabarelsestudisdebatxilleratambèxitivafer lacarreradematemàtiquesalaUniversitatdeBarcelona,onvaaconseguirel graudellicenciatl’any1966.EvaristesvacasarambRosalindEastawayaquell mateixany.

Enpartpelrègimfranquistaienpartpelseutemperamentaventurer,el matrimonivadeixarCatalunya,idesprésd’alguntempsfentdeprofessorde matemàtiquesaVeneçuela,Evaristvaseracceptatalprogramadedoctoraten matemàtiquesdelMassachusettsInstituteofTechnology(MIT).Vaacabarla tesidoctoralel1973,sotaladirecciódeRichardM.Dudley,ambuntreball sobretestsestadísticsperalauniformitatenvarietatsriemannianes,queva serpublicatals AnnalsofStatistics.Aquestprimertreball,àmpliamentcitat alaliteraturasobreestadísticaelsanyssegüents,japosademanifestuna delescaracterístiquesprincipalsdelasevarecerca:elseugraninterèsper alsproblemesmotivatsperl’estadísticamatemàtica,enelsqualsesnecessita desenvolupareinespotentsisubtils.Lesseveshabilitatsmatemàtiquesvan produirdosarticlesmésdurantelseuperíodecomadoctorand,totsdos publicatsenels AnnalsofProbability,quevaniniciarunadelesseveslínies

18 VladimirKoltchinskii,RichardNickl,SaravandeGeeriJonA.Wellner

principalsderecerca,l’estudideteoremesdelímitenespaideBanachde dimensióinﬁnita.

EvaristGinévapassarelcurs1974–1975aBerkeleycomalector,iallàva conèixerLeCamielsaltresgranspersonatgesdel’èpocadauradadel’estadísticaaBerkeley.Desprésd’algunsanyspassantperdiversesinstitucions, vatornaraVeneçuela,onvaserelcapdeldepartamentdematemàtiquesde l’InstitutoVenezolanodeInvestigacionesCientíficas,vaserprofessordela UniversitatAutònomadeBarcelonaifinalmentesvaestabliralaUniversitat TexasA&M,onvaserprofessorapartirdel’any1983.Unagranpartdelaseva feinamésoriginalimésinfluentlavaferenaquestaèpocaencol laboracióamb JoelZinn,uncol.legaiamicdelaTexasA&M.Elseutreballconjuntvadonarlloc aldesenvolupamentdeleseinesmésimportantsdelateoriadelsprocessos empírics,comaralesdesigualtatsdesimetrització,cotesperal’entropiai desigualtatsperalmultiplicadoraleatori,queméstardvanpenetrarenmoltes àreesdelesmatemàtiques,l’estadísticailainformàtica(enparticular,l’aprenentatgeautomàtic).DesprésdedosanyscomaprofessoralCUNY(NovaYork), EvaristGinévaobtenirunaposicióalaUniversitatdeConnecticutel1990,on s’hivaestarfinsalasevamort,últimamentcomacapdeldepartamentde matemàtiques.EvaristGinévatenirvuitestudiantsdedoctorat,entreelsquals destacaMiguelArcones,ivatenirunimpactenotablesobretotaunageneració deprobabilistesiteòricsdel’estadística,laquevarebrelasevaformacióentre elsanys1990i2010.

Lapèrduadel’Evaristprovocaunbuitenormeenlacomunitatmatemàtica. Peralsqueelvanconèixerpersonalmentivantreballarambell,sempreserà recordatcomungranamicambquiespodiaparlarsenseﬁdematemàtiques alseudespatxobéenl’hospitalitatdecasaseva.Lapèrduaésencaramésgreu peralasevafamília:lasevadonaRosalind,queelsobreviu;lessevesdues ﬁlles,NúriaiRoser,ielsseusnéts,LiamiMireia.Peròelseugranentusiasme, l’originalitatilaprofunditatdelessevesideesperviuranperamoltesgeneracionsfutures,atravésdelsseusescritsmatemàtics,enlesnostresmemòriesi enlasevafamília.

4Publicacionsd’EvaristGiné Llibres

[L1] Araujo,A.;Giné,E. TheCentralLimitTheoremforRealandBanach ValuedRandomVariables.NovaYork;Chichester;Brisbane:JohnWiley &Sons,1980.(WileySeriesinProbabilityandMathematicalStatistics)

[L2] Giné,E.;Grimmett,G.R.;Saloff-Coste,L. LecturesonProbabilityTheoryandStatistics.Lecturesfromthe26thSummerSchoolonProbability TheoryheldinSaint-Flour,August19–September4,1996.Edicióacura deP.Bernard.Berlín:Springer-Verlag,1997.(LectureNotesinMath.; 1665)

[L3] delaPeña,V.H.;Giné,E. Decoupling.FromDependencetoIndependence.RandomlyStoppedProcesses. U -StatisticsandProcesses.MartingalesandBeyond. NovaYork:Springer-Verlag,1999.(Probabilityand itsApplications(NewYork))

[L4] Giné,E.;Nickl,R. MathematicalFoundationsofInﬁnite-Dimensional StatisticalModels.Cambridge,RegneUnit:CambridgeUniversityPress, 2015.

Articlesiedicionsdellibres

[A1] GinéM.,E. «Onthecentrallimittheoremforsamplecontinuousprocesses». Ann.Probability,2(1974),629–641.

[A2] Dudley,R.;Perkins,P.C.;GinéM.,E. «Statisticaltestsforpreferred orientation». J.Geology,83(1975),685–705.

[A3] GinéM.,E. «TheadditionformulafortheeigenfunctionsoftheLaplacian». AdvancesinMath.,18(1)(1975),102–107.

[A4] GinéM.,E. «InvarianttestsforuniformityoncompactRiemannianmanifoldsbasedonSobolevnorms». Ann.Statist.,3(6)(1975),1243–1266.

[A5] Klein,R.;Giné,E. «OnquadraticvariationofprocesseswithGaussian increments». Ann.Probability,3(4)(1975),716–721.

[A6] GinéM.,E. «Boundsforthespeedofconvergenceinthecentrallimit theoremin C(S)». Z.WahrscheinlichkeitstheorieundVerw.Gebiete, 36(4)(1976),317–331.

[A7] GinéM.,E. «Someremarksonthecentrallimittheoremin C(S)».A: ProbabilityinBanachSpaces (Proc.FirstInternat.Conf.,Oberwolfach, 1975).Berlín:Springer,1976,101–106.(LectureNotesinMath.;526)

[A8] García-Palomares,U.;GinéM.,E. «OnthelinearprogrammingapproachtotheoptimalitypropertyofProkhorov’sdistance». J.Math. Anal.Appl.,60(3)(1977),596–600.

[A9] Araujo,A.;GinéM.,E. «Type,cotypeandLévymeasuresinBanach spaces». Ann.Probab.,6(4)(1978),637–643.

[A10] deAcosta,A.;Araujo,A.;Giné,E. «OnPoissonmeasures,Gaussian measuresandthecentrallimittheoreminBanachspaces».A: Probability onBanachSpaces.NovaYork:Dekker,1978,1–68.(Adv.Probab.Related Topics;4)

[A11] Giné,E. «AsurveyonthegeneralcentrallimitprobleminBanach spaces».A: SéminairesurlaGéométriedesEspacesdeBanach(1977–1978).Palaiseau:ÉcolePolytech.,1978,Exp.núm.24,17p.

[A12] Araujo,A.;Giné,E. «Ontailsanddomainsofattractionofstable measuresinBanachspaces». Trans.Amer.Math.Soc.,248(1)(1979), 105–119.

VladimirKoltchinskii,RichardNickl,SaravandeGeeriJonA.Wellner

[A13] deAcosta,A.;Giné,E. «ConvergenceofmomentsandrelatedfunctionalsinthegeneralcentrallimittheoreminBanachspaces». Z. Wahrsch.Verw.Gebiete,48(2)(1979),213–231.

[A14] Giné,E. «DomainsofattractioninBanachspaces».A: SéminairedeProbabilités,XIII(Univ.Strasbourg,Strasbourg,1977/78).Berlín:Springer, 1979,22–40.(LectureNotesinMath.;721)

[A15] Giné,E.;Mandrekar,V.;Zinn,J. «Onsumsofindependentrandom variableswithvaluesin Lp (2 ≤ p< ∞)».A: ProbabilityinBanach Spaces,II (Proc.SecondInternat.Conf.,Oberwolfach,1978).Berlín: Springer,1979,111–124.(LectureNotesinMath.;709)

[A16] Giné,E. «Correctionsto:“DomainsofattractioninBanachspaces”». [SéminairedeProbabilités,XIII(Univ.Strasbourg,Strasbourg,1977/78). Berlín:Springer,1979,22–40.(LectureNotesinMath.;721)].A: Seminar onProbability,XIV(Paris,1978/1979)(French).Berlín:Springer,1980, p.17.(LectureNotesinMath.;784)

[A17] Giné,E. «Sumsofindependentrandomvariablesandsumsoftheir squares».ProceedingsoftheseventhSpanish-Portugueseconference onmathematics,PartIII(SantFeliudeGuíxois,1980). Publ.Sec.Mat. Univ.AutònomaBarcelona,22(1980),127–132.

[A18] Giné,E. «Domainsofpartialattractioninseveraldimensions». Ann. Inst.H.PoincaréSect.B(N.S.),16(2)(1980),87–100.

[A19] Giné,E. «Thecentrallimitproblem:threelesstypicalaspects».ProceedingsoftheseventhSpanish-Portugueseconferenceonmathematics, PartIII(SantFeliudeGuíxois,1980). Publ.Sec.Mat.Univ.Autònoma Barcelona,22(1980),133–138.

[A20] Giné,E.;León,J.R. «OnthecentrallimittheoreminHilbertspace». Stochastica,4(1)(1980),43–71.

[A21] GinéM.,E.;León,J.R. «OnthecentrallimittheoreminHilbertspace». A: ProceedingsoftheFirstWorldConferenceonMathematicsatthe ServiceofMan (Barcelona,1977).Vol.I.Barcelona:Univ.Politec.,1980, 620–625.

[A22] Araujo,A.;Giné,E.;Mandrekar,V.;Zinn,J. «Ontheaccompanying lawstheoreminBanachspaces». Ann.Probab.,9(2)(1981),202–210.

[A23] Giné,E. «Correctionto:“Domainsofpartialattractioninseveraldimensions”». Ann.Inst.H.PoincaréSect.B(N.S.),17(1)(1981),143–145.

[A24] Giné,E. «CentrallimittheoremsinBanachspaces:asurvey».A: ProbabilityinBanachSpaces,III (Medford,Mass.,1980).Berlín;NovaYork: Springer,1981,138–152.(LectureNotesinMath.;860)

[A25] Giné,E.;Marcus,M.B. «Onthecentrallimittheoremin C(K)».A: StatisticalandPhysicalAspectsofGaussianProcesses (Saint-Flour,1980). París:CNRS,1981,361–383.(Colloq.Internat.CNRS;307)

[A26] Giné,A.;Marcus,M.B. «Someresultsonthedomainofattractionof stablemeasureson C(K)». Probab.Math.Statist.,2(2)(1982),125–147 (1983).

[A27] Giné,E. «TheLévy-Lindebergcentrallimittheoremin Lp,0 <p< 1». Proc.Amer.Math.Soc.,88(1)(1983),147–153.

[A28] Giné,E. «Largedeviationsinspacesofstabletype». Ann.Inst.H.PoincaréSect.B(N.S.),19(3)(1983),267–279.

[A29] Giné,E. «AcounterexampleondomainsofpartialattractioninBanach spaces».A: ProbabilityinBanachSpaces,IV (Oberwolfach,1982).Berlín; NovaYork:Springer,1983,102–111.(LectureNotesinMath.;990)

[A30] Giné,E.;Hahn,M.G. «Onstabilityofprobabilitylawswithunivariate stablemarginals». Z.Wahrsch.Verw.Gebiete,64(2)(1983),157–165.

[A31] Giné,E.;Hahn,M.G.;Zinn,J. «Limittheoremsforrandomsets:an applicationofprobabilityinBanachspaceresults».A: Probabilityin BanachSpaces,IV (Oberwolfach,1982).Berlín:Springer,1983,112–135. (LectureNotesinMath.;990)

[A32] Giné,E.;Marcus,M.B. «ThecentrallimittheoremforstochasticintegralswithrespecttoLévyprocesses». Ann.Probab.,11(1)(1983), 58–77.

[A33] Giné,E.;Zinn,J. «CentrallimittheoremsandweaklawsoflargenumbersincertainBanachspaces». Z.Wahrsch.Verw.Gebiete,62(3)(1983), 323–354.

[A34] Giné,E.;Zinn,J. «Somelimittheoremsforempiricalprocesses.With discussion». Ann.Probab.,12(4)(1984),929–998.

[A35] Giné,E.;Hahn,M.G. «Characterizationanddomainsofattractionof p-stablerandomcompactsets». Ann.Probab.,13(2)(1985),447–468.

[A36] Giné,E.;Hahn,M.G. «TheLévy-Hinˇcinrepresentationforrandom compactconvexsubsetswhichareinﬁnitelydivisibleunderMinkowski addition». Z.Wahrsch.Verw.Gebiete,70(2)(1985),271–287.

[A37] Giné,E.;Hahn,M.G. «M-inﬁnitelydivisiblerandomcompactconvex sets».A: ProbabilityinBanachSpaces,V (Medford,Mass.,1984).Berlín: Springer,1985,226–248.(LectureNotesinMath.;1153)

[A38] Giné,E.;Marcus,M.B.;Zinn,J. «AversionofChevet’stheoremfor stableprocesses». J.Funct.Anal.,63(1)(1985),47–73.

[A39] Giné,E.;Zinn,J. «Ontheapproximationof p-homogeneousfunctionsin Banachspaces».A: HomenatgeaFrancescSales.Barcelona:Universitat deBarcelona,1985,78–87.

[A40] Giné,E.;Zinn,J. «Lecturesonthecentrallimittheoremforempirical processes».A: ProbabilityandBanachSpaces (Zaragoza,1985).Berlín: Springer,1986,50–113.(LectureNotesinMath.;1221)

[A41] Giné,E.;Zinn,J. «EmpiricalprocessesindexedbyLipschitzfunctions». Ann.Probab.,14(4)(1986),1329–1338.

VladimirKoltchinskii,RichardNickl,SaravandeGeeriJonA.Wellner

[A42] Giné,E.;Zinn,J. «Aremarkonthecentrallimittheoremforrandom measuresandprocesses».A: ProbabilityTheoryandMathematical Statistics,Vol.I (Vilnius,1985).Utrecht:VNUSci.Press,1987,483–487.

[A43] Giné,E.;Zinn,J. «Thelawoflargenumbersforpartialsumprocesses indexedbysets». Ann.Probab.,15(1)(1987),154–163.

[A44] Andersen,N.T.;Giné,E.;Ossiander,M.;Zinn,J. «Thecentrallimit theoremandthelawofiteratedlogarithmforempiricalprocesses underlocalconditions». Probab.TheoryRelatedFields,77(2)(1988), 271–305.

[A45] Andersen,N.T.;Giné,E.;Zinn,J. «Thecentrallimittheoremfor empiricalprocessesunderlocalconditions:thecaseofRadoninﬁnitely divisiblelimitswithoutGaussiancomponent». Trans.Amer.Math.Soc., 308(2)(1988),603–635.

[A46] Arcones,M.A.;Giné,E. «Thebootstrapofthemeanwitharbitrary bootstrapsamplesize». Ann.Inst.H.PoincaréProbab.Statist.,25(4) (1989),457–481.

[A47] Giné,E.;Zinn,J. «Necessaryconditionsforthebootstrapofthemean». Ann.Statist.,17(2)(1989),684–691.

[A48] Giné,E.;Zinn,J. «DiscussionofD.Pollard’spaper».Asymptoticsvia empiricalprocesses. StatisticalScience,4(1989),355–356.

[A49] Giné,E.;Zinn,J. «Lp multipliersinthecentrallimittheoremwith p-stablelimit».A: ProbabilityTheoryonVectorSpaces,IV (Ła´ncut, 1987).Berlín:Springer,1989,74–81.(LectureNotesinMath.;1391)

[A50] Giné,E.;Hahn,M.G.;Vatan,P. «Max-inﬁnitelydivisibleandmax-stable samplecontinuousprocesses». Probab.TheoryRelatedFields,87(2) (1990),139–165.

[A51] Giné,E.;Marcus,M.B.;Zinn,J. «Onrandommultipliersinthecentral limittheoremwith p-stablelimit,0 <p< 2».A: ProbabilityinBanach Spaces,6 (Sandbjerg,1986).Boston,Mass.:BirkhäuserBoston,1990, 120–149.(Progr.Probab.;20)

[A52] Giné,E.;Zinn,J. «Bootstrappinggeneralempiricalmeasures». Ann. Probab.,18(2)(1990),851–869.

[A53] Arcones,M.A.;Giné,E. «Somebootstraptestsofsymmetryforunivariatecontinuousdistributions». Ann.Statist.,19(3)(1991),1496–1511.

[A54] Arcones,M.A.;Giné,E. «Additionsandcorrectionto:“Thebootstrapof themeanwitharbitrarybootstrapsamplesize”»[Ann.Inst.H.Poincaré Probab.Statist.,25(4)(1989),457–481]. Ann.Inst.H.PoincaréProbab. Statist.,27(4)(1991),583–595.

[A55] Dudley,R.M.;Giné,E.;Zinn,J. «UniformanduniversalGlivenkoCantelliclasses». J.Theoret.Probab.,4(3)(1991),485–510.

[A56] Giné,E.;Zinn,J. «GaussiancharacterizationofuniformDonskerclasses offunctions». Ann.Probab.,19(2)(1991),758–782.

[A57] Arcones,M.A.;Giné,E. «Onthebootstrapof U and V statistics». Ann. Statist.,20(2)(1992),655–674.

[A58] Arcones,M.A.;Giné,E. «Onthebootstrapof M-estimatorsandother statisticalfunctionals».A: ExploringtheLimitsofBootstrap (EastLansing,MI,1990).NovaYork:Wiley,1992,13–47.(WileySer.Probab.Math. Statist.Probab.Math.Statist.)

[A59] Giné,E.;Zinn,J. «OnHoﬀmann-Jørgensen’sinequalityfor U -processes». A: ProbabilityinBanachSpaces,8 (Brunswick,ME,1991).Boston,Mass.: BirkhäuserBoston,1992,80–91.(Progr.Probab.;30)

[A60] Giné,E.;Zinn,J. «Marcinkiewicztypelawsoflargenumbersandconvergenceofmomentsfor U -statistics».A: ProbabilityinBanachSpaces,8 (Brunswick,ME,1991).Boston,Mass.:BirkhäuserBoston,1992,273–291. (Progr.Probab.;30)

[A61] Alamayehu,D.;delaPeña,V.;Giné,E. «Bootstrapgoodnessofﬁt testsbasedontheempiricaldistributionfunction».A: Tarter,M.E.; Look,M.D. (ed.). ComputingScienceandStatistics:Proceedingsofthe 25thAnnualSymposiumontheInterface.Virginia:InterfaceFoundation ofNorthAmerica,FairfaxStation,1993,228–233.

[A62] Arcones,M.A.;Giné,E. «Ondecoupling,seriesexpansions,andtail behaviorofchaosprocesses». J.Theoret.Probab.,6(1)(1993),101–122.

[A63] Arcones,M.A.;Giné,E. «Limittheoremsfor U -processes». Ann.Probab.,21(3)(1993),1494–1542.

[A64] Arcones,M.A.;Chen,Z.;Giné,E. «Estimatorsrelatedto U -processes withapplicationstomultivariatemedians:asymptoticnormality». Ann. Statist.,22(3)(1994),1460–1477.

[A65] Arcones,M.A.;Giné,E. «U -processesindexedbyVapnikˇ Cervonenkis classesoffunctionswithapplicationstoasymptoticsandbootstrap of U-statisticswithestimatedparameters». StochasticProcess.Appl., 52(1)(1994),17–38.

[A66] Giné,E.;Zinn,J. «Aremarkonconvergenceindistributionof U -statistics». Ann.Probab.,22(1)(1994),117–125.

[A67] Giné-Masdéu,E. «Processosempíricsiaplicacions:visiógeneralamb biaix». ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques,9(1994),7–34.

[A68] Arcones,M.A.;Giné,E. «Onthelawoftheiteratedlogarithmfor canonical U -statisticsandprocesses». StochasticProcess.Appl.,58(2) (1995),217–245.

[A69] Cuzick,J.;Giné,E.;Zinn,J. «Lawsoflargenumbersforquadraticforms, maximaofproductsandtruncatedsumsofi.i.d.randomvariables». Ann.Probab.,23(1)(1995),292–333.

[A70] Giné,E. «Empiricalprocessesandapplications:anoverview».Witha discussionbyJonA.Wellnerandarejoinderbytheauthor. Bernoulli, 2(1)(1996),1–38.

VladimirKoltchinskii,RichardNickl,SaravandeGeeriJonA.Wellner

[A71] Giné,E.;Zhang,C.-H. «OnintegrabilityintheLILfordegenerate U -statistics». J.Theoret.Probab.,9(2)(1996),385–412.

[A72] Giné,E. «Lecturesonsomeaspectsofthebootstrap».A: Lectureson ProbabilityTheoryandStatistics (Saint-Flour,1996).Berlín:Springer, 1997,37–151.(LectureNotesinMath.;1665)

[A73] Giné,E. «Decouplingandlimittheoremsfor U-statisticsand U -processes».A: LecturesonProbabilityTheoryandStatistics (Saint-Flour,1996). Berlín:Springer,1997,1–35.(LectureNotesinMath.;1665)

[A74] Giné,E.;Götze,F.;Mason,D.M. «WhenistheStudent t-statisticasymptoticallystandardnormal?». Ann.Probab.,25(3)(1997),1514–1531.

[A75] Giné,E.;Wellner,J.A. «Uniformconvergenceinsomelimittheorems formultipleparticlesystems». StochasticProcess.Appl.,72(1)(1997), 47–72.

[A76] Giné,E. «Aconsequenceforrandompolynomialsofaresultof delaPeñaandMontgomery-Smith».A: HighDimensionalProbability (Oberwolfach,1996).Basel:Birkhäuser,1998,103–110.(Progr. Probab.;43)

[A77] Giné,E.;Mason,D.M. «OntheLILforself-normalizedsumsofIID randomvariables». J.Theoret.Probab.,11(2)(1998),351–370.

[A78] delBarrio,E.;Giné,E.;Matrán,C. «Centrallimittheoremsforthe Wassersteindistancebetweentheempiricalandthetruedistributions». Ann.Probab.,27(2)(1999),1009–1071.

[A79] Giné,E.;Guillou,A. «Lawsoftheiteratedlogarithmforcensoreddata». Ann.Probab.,27(4)(1999),2042–2067.

[A80] Giné,E.;Latała,R.;Zinn,J. «Exponentialandmomentinequalitiesfor U -statistics».A: HighDimensionalProbability,II (Seattle,WA,1999). Boston,Mass.:BirkhäuserBoston,2000,13–38.(Progr.Probab.;47)

[A81] Giné,E.;Mason,D.;Wellner,J.A.(ed.). HighDimensionalProbability,II (Seattle,WA,1999).Boston,Mass.:BirhhäuserBoston,2000.(Progr. Probab.;47)

[A82] Koltchinskii,V.;Giné,E. «Randommatrixapproximationofspectra ofintegraloperators». Bernoulli,6(1)(2000),113–167.

[A83] Giné,E.;Guillou,A. «Onconsistencyofkerneldensityestimators forrandomlycensoreddata:ratesholdinguniformlyoveradaptive intervals». Ann.Inst.H.PoincaréProbab.Statist.,37(4)(2001),503–522.

[A84] Giné,E.;Kwapie´n,S.;Latała,R.;Zinn,J. «TheLILforcanonical U -statisticsoforder2». Ann.Probab.,29(1)(2001),520–557.

[A85] Giné,E.;Guillou,A. «Ratesofstronguniformconsistencyformultivariatekerneldensityestimators». Ann.Inst.H.PoincaréProbab. Statist.,38(6)(2002),907–921.[Enl’honordeJ.Bretagnolle,D.DacunhaCastelle,I.Ibragimov]

[A86] delBarrio,E.;Giné,E.;Matrán,C. «Correction:“CentrallimittheoremsfortheWassersteindistancebetweentheempiricalandthetrue distributions”»[Ann.Probab.,27(2)(1999),1009–1071]. Ann.Probab., 31(2)(2003),1142–1143.

[A87] Giné,E.;Houdré,C.;Nualart,D.(ed.). StochasticInequalitiesand Applications.Basel:Birkhauser,2003.(Progr.Probab.;56)

[A88] Giné,E.;Koltchinskii,V.;Sakhanenko,L. «Convergenceindistributionofself-normalizedsup-normsofkerneldensityestimators».A: HighDimensionalProbability,III (Sandjberg,2002).Basel:Birkhäuser, 2003,241–253.(Progr.Probab.;55)

[A89] Giné,E.;Koltchinskii,V.;Wellner,J.A. «Ratiolimittheoremsfor empiricalprocesses».A: StochasticInequalitiesandApplications.Basel: Birkhäuser,2003,249–278.(Progr.Probab.;56)

[A90] Giné,E.;Mason,D.M.;Zaitsev,A.Yu. «The L1-normdensityestimator process». Ann.Probab.,31(2)(2003),719–768.

[A91] Chen,Z.;Giné,E. «Anotherapproachtoasymptoticsandbootstrap ofrandomlytrimmedmeans». Ann.Inst.Statist.Math.,56(4)(2004), 771–790.

[A92] Giné,E.;Götze,F. «Onstandardnormalconvergenceofthemultivariate Student t-statisticforsymmetricrandomvectors». Electron.Comm. Probab.,9(2004),162–171(electronic).

[A93] Giné,E.;Koltchinskii,V.;Sakhanenko,L. «Kerneldensityestimators: convergenceindistributionforweightedsup-norms». Probab.Theory RelatedFields,130(2)(2004),167–198.

[A94] Giné,E.;Koltchinskii,V.;Zinn,J. «Weighteduniformconsistencyof kerneldensityestimators». Ann.Probab.,32(3B)(2004),2570–2605.

[A95] Giné,E.;Mason,D.M. «Thelawoftheiteratedlogarithmforthe integratedsquareddeviationofakerneldensityestimator». Bernoulli, 10(4)(2004),721–752.

[A96] delBarrio,E.;Giné,E.;Utzet,F. «Asymptoticsfor L2 functionalsof theempiricalquantileprocess,withapplicationstotestsofﬁtbased onweightedWassersteindistances». Bernoulli,11(1)(2005),131–189.

[A97] Giné,E;Koltchinskii,V. «EmpiricalgraphLaplacianapproximationof Laplace-Beltramioperators:largesampleresults».A: HighDimensional Probability.Beachwood,Ohio:Inst.Math.Statist.,2006,238–259.(IMS LectureNotesMonogr.Ser.;51)

[A98] Giné,E.;Koltchinskii,V. «Concentrationinequalitiesandasymptotic resultsforratiotypeempiricalprocesses». Ann.Probab.,34(3)(2006), 1143–1216.

[A99] Giné,E.;Koltchinskii,V.;Li,W.;Zinn,J.(ed.). HighDimensionalProbability.ProceedingsoftheFourthInternationalConference.Beachwood, Ohio:Inst.Math.Statist.,2006.(IMSLectureNotesMonogr.Ser.;51)

VladimirKoltchinskii,RichardNickl,SaravandeGeeriJonA.Wellner

[A100] Giné,E.;Mason,D.M. «Onlocal U -statisticprocessesandtheestimationofdensitiesoffunctionsofseveralsamplevariables». Ann.Statist., 35(3)(2007),1105–1145.

[A101] Giné,E.;Mason,D.M. «Lawsoftheiteratedlogarithmforthelocal U-statisticprocess». J.Theoret.Probab.,20(3)(2007),457–485.

[A102] Giné,E.;Mason,D.M. «Uniforminbandwidthestimationofintegral functionalsofthedensityfunction». Scand.J.Statist.,35(4)(2008), 739–761.

[A103] Giné,E.;Nickl,R. «Uniformcentrallimittheoremsforkerneldensity estimators». Probab.TheoryRelatedFields,141(3–4)(2008),333–387.

[A104] Giné,E.;Nickl,R. «Asimpleadaptiveestimatoroftheintegratedsquare ofadensity». Bernoulli,14(1)(2008),47–61.

[A105] Giné,E.;Nickl,R. «Adaptationonthespaceofﬁnitesignedmeasures». Math.MethodsStatist.,17(2)(2008),113–122.

[A106] Giné,E.;Nickl,R. «Anexponentialinequalityforthedistributionfunctionofthekerneldensityestimator,withapplicationstoadaptive estimation». Probab.TheoryRelatedFields,143(3–4)(2009),569–596.

[A107] Giné,E.;Nickl,R. «Uniformlimittheoremsforwaveletdensityestimators». Ann.Probab.,37(4)(2009),1605–1646.

[A108] Giné,E.;Koltchinskii,V.;Norvaiša,R.(ed.). SelectedWorksof R.M.Dudley.NovaYork:Springer,2010.

[A109] Giné,E.;Nickl,R. «Adaptiveestimationofadistributionfunction anditsdensityinsup-normlossbywaveletandsplineprojections». Bernoulli,16(4)(2010),1137–1163.

[A110] Giné,E.;Nickl,R. «Conﬁdencebandsindensityestimation». Ann. Statist.,38(2)(2010),1122–1170.

[A111] Giné,E.;Sang,H. «Uniformasymptoticsforkerneldensityestimatorswithvariablebandwidths». J.Nonparametr.Stat.,22(5–6)(2010), 773–795.

[A112] Giné,E.;Güntürk,C.S.;Madych,W.R. «Ontheperiodizedsquareof L2 cardinalsplines». Exp.Math.,20(2)(2011),177–188.

[A113] Giné,E.;Nickl,R. «Ratesofcontractionforposteriordistributionsin Lr -metrics,1 ≤ r ≤∞». Ann.Statist.,39(6)(2011),2883–2911.

[A114] Giné,E.;Sang,H. «Ontheestimationofsmoothdensitiesbystrict probabilitydensitiesatoptimalratesinsup-norm».A: FromProbability toStatisticsandBack:High-DimensionalModelsandProcesses.Beachwood,Ohio:Inst.Math.Statist.,2013,128–149.(Inst.Math.Stat.(IMS) Collect.;9)

[A115] Giné,E.;Madych,W.R. «Onwaveletprojectionkernelsandtheintegratedsquarederrorindensityestimation». Statist.Probab.Lett.,91 (2014),32–40.

Referències

[1] Adamczak,R. «Momentinequalitiesfor U-statistics». Ann.Probab., 34(6)(2006),2288–2314.

[2] Adamczak,R.;Latała,R. «TheLILforcanonical U-statistics». Ann. Probab.,36(3)(2008),1023–1058.

[3] Bickel,P.J.;Freedman,D.A. «Someasymptotictheoryforthebootstrap». Ann.Statist.,9(6)(1981),1196–1217.

[4] Chernozhukov,V.;Chetverikov,D.;Kato,K. «Anti-concentration andhonest,adaptiveconﬁdencebands». Ann.Statist.,42(5)(2014), 1787–1818.

[5] delaPeña,V.H. «DecouplingandKhintchine’sinequalitiesfor U -statistics». Ann.Probab.,20(4)(1991),1877–1892.

[6] delaPeña,V.H.;Montgomery-Smith,S.J. «Boundsonthetailprobabilityof U -statisticsandquadraticforms». Bull.Amer.Math.Soc.(N.S.), 31(2)(1994),223–227.

[7] delaPeña,V.H.;Montgomery-Smith,S.J.;Szulga,J. «Contraction anddecouplinginequalitiesformultilinearformsand U-statistics». Ann.Probab.,22(4)(1994),1745–1765.

[8] Dehling,H. «ThefunctionallawoftheiteratedlogarithmforvonMises functionalsandmultipleWienerintegrals». J.MultivariateAnal.,28(2) (1989),177–189.

[9] Dudley,R.M. «SamplefunctionsoftheGaussianprocess». Ann.Probability,1(1)(1973),66–103.

[10] Dudley,R.M. «Centrallimittheoremsforempiricalmeasures». Ann. Probab.,6(6)(1978),899–929(1979).

[11] Efron,B. «Student’s t-testundersymmetryconditions». J.Amer.Statist. Assoc.,64(1969),1278–1302.

[12] Efron,B. «Bootstrapmethods:anotherlookatthejackknife». Ann. Statist.,7(1)(1979),1–26.

[13] Halmos,P.R. «Thetheoryofunbiasedestimation». Ann.Math.Statistics, 17(1946),34–43.

[14] Hoeffding,W. «Probabilityinequalitiesforsumsofboundedrandom variables». J.Amer.Statist.Assoc.,58(1963),13–30.

[15] Hoffmann,M.;Nickl,R. «Onadaptiveinferenceandconﬁdencebands». Ann.Statist.,39(5)(2011),2383–2409.

[16] Hotelling,H. «Thebehaviorofsomestandardstatisticaltestsunder nonstandardconditions».A: Proc.4thBerkeleySympos.Math.Statist. andProb. Vol.I.Berkeley:Univ.CaliforniaPress,1961,319–359.

[17] Kendall,D.G. «Foundationsofatheoryofrandomsets».A: Stochastic Geometry(atributetothememoryofRolloDavidson).Londres:Wiley, 1974,322–376.

VladimirKoltchinskii,RichardNickl,SaravandeGeeriJonA.Wellner

[18] Koltchins’ki˘i,V.I. «Onthecentrallimittheoremforempiricalmeasures». Teor.Veroyatnost.iMat.Statist.,24(1981),63–75,152.[Traduccióal’anglès: TheoryProbab.Math.Statist.,24(1982),71–82]

[19] LeCam,L. «Aremarkonempiricalmeasures».A: AFestschriftforErich L.Lehmann.Belmont,Calif.:Wadsworth,1983,305–327.(Wadsworth Statist./Probab.Ser.)

[20] Ledoux,M.;Talagrand,M. «Conditionsd’intégrabilitépourlesmultiplicateursdansleTLCbanachique». Ann.Probab.,14(3)(1986), 916–921.

[21] Ledoux,M.;Talagrand,M. «Uncritèresurlespetitesboulesdansle théorèmelimitecentral». Probab.TheoryRelatedFields,77(1)(1988), 29–47.

[22] Lepski˘i,O.V. «AproblemofadaptiveestimationinGaussianwhite noise». Teor.Veroyatnost.iPrimenen.,35(3)(1990),459–470.[Traduccióal’anglès: TheoryProbab.Appl.,35(3)(1990),454–466(1991)]

[23] Logan,B.F.;Mallows,C.L.;Rice,S.O.;Shepp,L.A. «Limitdistributions ofself-normalizedsums». Ann.Probability,1(1973),788–809.

[24] Maller,R.A. «Atheoremonproductsofrandomvariables,withapplicationtoregression». Austral.J.Statist.,23(2)(1981),177–185.

[25] Matheron,G. Randomsetsandintegralgeometry.NovaYork;Londres; Sydney:JohnWiley&Sons,1975.

[26] Nickl,R.;Reiß,M. «ADonskertheoremforLévymeasures». J.Funct. Anal.,263(10)(2012),3306–3332.

[27] Nickl,R.;Reiß,M.;Söhl,J.;Trabs,M. «HighfrequencyDonskertheoremsforLévymeasures». Probab.TheoryRelatedFields,164(1–2) (2016),61–108.

[28] Nickl,R.;Söhl,J. «NonparametricBayesianposteriorcontractionrates fordiscretelyobservedscalardiﬀusions».Preprint(2015),disponiblea arXiv:1510.05526.

[29] Nolan,D.;Pollard,D. «U -processes:ratesofconvergence». Ann. Statist.,15(2)(1987),780–799.

[30] Nolan,D.;Pollard,D. «Functionallimittheoremsfor U-processes». Ann.Probab.,16(3)(1988),1291–1298.

[31] Pollard,D. «Acentrallimittheoremforempiricalprocesses». J.Austral.Math.Soc.Ser.A,33(2)(1982),235–248.

[32] Ray,K. «Bayesianinverseproblemswithnon-conjugatepriors». Electron.J.Stat.,7(2013),2516–2549.

[33] Szabó,B.;vanderVaart,A.W.;vanZanten,J.H. «FrequentistcoverageofadaptivenonparametricBayesiancrediblesets(withdiscussion)». Ann.Statist.,43(4)(2015),1391–1428.

[34] Talagrand,M. «Newconcentrationinequalitiesinproductspaces». Invent.Math.,126(3)(1996),505–563.

[35] v.Mises,R. «Ontheasymptoticdistributionofdiﬀerentiablestatistical functions». Ann.Math.Statistics,18(1947),309–348.

[36] Vapnik,V.N.;Chervonenkis,A.Ya. «Necessaryandsuﬃcientconditionsfortheuniformconvergenceofempiricalmeanstotheirtrue values». Teor.Veroyatnost.iPrimenen.,26(3)(1981),543–563.[Traduccióal’anglès: TheoryProbab.Appl.,26(3)(1981),532–553]

VladimirKoltchinskii SchoolofMathematics

GeorgiaInstituteofTechnology

Atlanta,GA 30332-0160 vlad@math.gatech.edu

RichardNickl

CenterforMathematicalSciences

CB30WBCambridge UnitedKingdom r.nickl@statslab.cam.ac.uk

SaravandeGeer SeminarforStatistics

ETHZurich

Ramistrasse 101 8092 Zürich geer@stat.math.ethz.ch

JonA.Wellner DepartmentofStatistics

B313 PadelfordHall NortheastStevensWay UniversityofWashington Seattle,WA 98195 jaw@stat.washington.edu

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.31,núm.1,2016.Pàg.31–50. DOI:10.2436/20.2002.01.65

Lesmatemàtiquesaldarreredelescriptomonedes

ElitzaManeva

Resum: Mitjançantunapresentaciódelsfonamentsdelescriptomonedescomara Bitcoin,exposaremtrestemesquepertanyenalacriptograﬁamoderna:les ﬁrmes digitals,les funcionsdehash iles demostracionsdeconeixementnul.Elsproblemesde caràcterpuramentmatemàticquehisorgeixenpodenservird’exemplesalsprofessionalsdocentspermotivarl’estudidel’aritmèticamodular,laprobabilitat,lateoriade grafsolacomplexitatcomputacional.

Paraulesclau: criptograﬁa,criptomonedes,RSA,corbesel líptiques,funcióde hash, probabilitat,grafs,complexitatcomputacional,aritmèticamodular.

ClassiﬁcacióMSC2010: 68-02,68Q15,68Q17,68Q05.

1Introducció

Fasisanysquelamonedaelectrònicabitcoinatreul’interèsd’economistes, depolíticsidelaciutadaniaengeneral.AbansdeBitcoin,pocagents’havia preguntatsilamaneracomfuncionenelsdinersavuidiaésl’únicaolamillor possible.TotiqueningúnodiràqueBitcoindónarespostesdeﬁnitivesa aquestespreguntes,claramentésunaideaqueobremoltesportes.

Apartdelfetdeserdecodiobert,lanovetatprincipaldeBitcoinésqueés unamonedadistribuïda,ésadir,nodepèndecapbancoautoritatcentral:niper crearmonedes,niperefectuartransaccions,niperassegurarlaintegritatdeles monedesencirculació.PodriaBitcoinserunaoportunitatpercanviarlesregles deljocﬁnancerifer-lesmésjustes?Probablementésmassaaviatperavaluar aquestapossibilitat.ElquedebenseguréscertésqueelfenomenBitcoin representaunaoportunitatexcel.lentperexplicarcomlesmatemàtiquesfan possiblescosesque apriori semblenimpossibles,comsón,perexemple,ﬁrmar

Aquestarticleesbasaenlalliçóinauguraldelcursacadèmic2014–2015delaFacultatde MatemàtiquesdelaUniversitatdeBarcelona,impartidaperl’autora.Unaprimeraversiód’aquest textvaaparèixeralesPublicacionsdelaUniversitatdeBarcelona.

documentssenseserfísicamentpresentenunlloc,regularelfuncionamentde sistemesdistribuïtssensecapautoritatcentral,odemostrarquesapsalguna cosasensedonar-nemésinformacióqueelfetquelasaps.

Lacriptograﬁahaentratengairebétotselsàmbitsdelasocietatmoderna,ja queéslabrancadelesmatemàtiquesquefapossiblel’úsdexarxespúbliques peraassumptesprivats.MitjançantInternet,aquestaciènciahacanviatla maneracomensrelacionemigestionemeldiaadia.Donadeslesmoltes ocasionsenquèlaseguretatd’Internetfalla,seguramentjaintuïuqueaquesta ciènciaestàmoltpocdesenvolupada.Defet,enbonapartesbasaenconjectures matemàtiques.

Podem,doncs,considerarquelescriptomonedessónunaespeculacióamb peusdefang?Hihamoltsargumentsencontradelasevaadopció,peròla confiançaenlacertesadelesconjecturesmatemàtiquesésundelsmésfebles perquè,enrealitat,totselsserveiselectrònicsdelsbancsilaseguretatdel’ús deparaulesclausecretesesbasaenaquestesmateixesconjectures.L’argument mésfortencontradelescriptomonedesésquealseudarrerenohihacap governqueenregulielvalor.Enaquestaexposiciónoentraremenqüestions econòmiquesniencomparacionsamblesmonedestradicionals,conegudesper monedesfiduciàries (fiatmoney).Perentendremillorelprotocolielpotencial delsistemaésmillordeixardebandalespreconcepcionsipensar outsidethe box.

2Bitcoin

L’octubrede2008SatoshiNakamoto(pseudònimd’unaodeméspersones anònimes)vaenviarunarticletitulat«Bitcoin:Apeer-to-peerelectroniccash system»aungrupdenotíciesderecercaencriptograﬁa[7].Dosmesosméstard envapublicartambélaimplementaciódeprogramari(ocodi)obert.Esbasava enaltresideesdemonedeselectròniquesquenoesvanarribararealitzar, tècniquesclàssiquesdelacriptograﬁaieldesenvolupamentdexarxesd’iguala igual(peer-to-peer).Laideavaagradaramoltscriptògrafsiprogramadorsen general.Algunsvancontribuirmillorantelcodi.Moltsmésvaninstal.lar-loi vancomençaraefectuartransaccionsiagenerarmésmonedesvirtualssegons elprotocolqueexplicaremacontinuació.

Alprincipi,lestransaccionserenintercanvismésomenyssimbòlics,com, perexemple,dotacionsdepremisopagamentsacanvideprogramari,i,de mitjana,cada10minutsesgeneraven50bitcoinsmés.Laprimeracomprade veritatqueesvaefectuarambbitcoinsvaserunanyitresmesosméstard. Vaserlacomprad’unapizzaacanvide10000bitcoins.Aixòrepresentava el0 4 % detotselsbitcoinsqueexistienenaquellmoment.Lacotitzacióde 10000bitcoinsquatreanysméstardvaarribaralsquatremilionsd’euros.

Amesuraquemésgentvadescarregar-seelcodiivacomençaraefectuar transaccions,elvalordelsbitcoins(BTC)vacomençarapujar.Esvancrear diversosmercatsinegocisalvoltantdeBitcoin.Avuiendiahihamilersde negocisqueacceptenpagamentenbitcoins.

2.1Protocol

Elprotocolésbastantsenzillileseinesquefaservirsóneinesclàssiquesdela criptograﬁa.

Elsparticipantsestanorganitzatsenunaxarxad’igualaigual(peer-to-peer): cadaparticipantespotcomunicarambunnombrerelativamentpetitd’altres participants,peròdetalmaneraque,sibonapartdelsusuarisreenviala informacióquerepatoteslessevesconnexions,aquestainformacióarribaa tothom.

Absolutamenttoteslestransaccionsesguardenenunﬁtxer,anomenat cadenadeblocs (blockchain).Aquestﬁtxerestàdisponiblepúblicamentia mésesguardais’actualitzaregularmentalsordinadorsdetotselsusuaris.1 Consisteixenunaseqüènciadeblocs;cadascuncontéunasèriedetransaccions debitcoins.Amésdelestransaccions,cadabloccontéunaquantitatdebitcoins nousenconceptedepremi.Perexemple,unblocpodriacontenirlainformació següent:

• LaMartaenvia2BTCalJordi.

• L’Elsaenvia1.5675566BTCalGerard.

• ElJordirep50BTCnous.

Ésimportantsubratllarquenohihacapautoritatques’ocupidemantenir lacadenadeblocs.Totselsusuaris—qualsevolpersonaques’hagibaixat elprogramari—col.laborenenelmantenimentdelainformacióitothomla guardalocalmentalseuordinador.Sialgúintentamanipularlahistòria,no podràfer-hosolperquèlainformacióestàreplicadaalsordinadorsdetotsels usuaris.

Sihomvolenviarunaquantitatdebitcoins,totelquehadeferésanunciarhoalesconnexionspertinents.Aquestesconnexionscomprovensilapersona téelsbitcoinsquediuquevolgastarmirant,alacadenadeblocs,totesles transaccionsenquèhaparticipatenelpassat,i,siésaixí,llavorsreenvien latransaccióalessevespròpiesconnexions.Enelfons,unbitcoinéslaseva pròpiahistòriadesqueesvacrear,toteslestransaccionsquel’afecten,ila darreraindicaquin’éselpropietari.

Encadamoment,qualsevolparticipanttéconstànciad’unasèriedetransaccionsentreusuarisqueencaranoapareixenalacadenadeblocs.Fentservir unaideaanomenada proofofwork o demostraciódefeina (vegeulasubsecció4.2),aquestasèriedetransaccionsesreinterpretacomuntrencaclosques, laresoluciódelqualés,defet,unblocqueespotafegiralﬁnaldelacadenade blocs.Elparticipantqueaconsegueixresoldreelseutrencaclosquesabansde rebreunasoluciód’unaltreparticipant,enviaelblocatoteslessevesconnexions,queencomprovenlavalidesa,l’afegeixenalﬁnaldelasevacòpiadela cadenadeblocsielreenvienalessevesconnexions.

1 Aquestaésunapetitasimpliﬁcació.Encaraquevaseraixíalprincipi,comquelacadena s’hafetgran(mésde20GBelsetembrede2014)icomquehihausuarisquefanservir dispositiuspetits,comaramòbils,avuiendiamoltsclientsnoguardentotalainformaciói noméscontribueixenalaconnectivitatdelaxarxa.Laseguretatdelprotocoldepèndelsusuaris amblaversiócompleta.

ElitzaManeva

Elstrencaclosquesestandissenyatsperquè,demitjana,se’nresolguiun cada10minutsentretotselsparticipantsdelaxarxa.Naturalment,l’autor delaresoluciópotdestinarelsbitcoinsnousenconceptedepremi(l’última transaccióenelbloc,laquenotécaporiginari)asimateixoaquivulgui.En totcas,laquantitatdebitcoinsquehihaalaxarxacreix,demitjana,cada 10minuts,quanesgeneraunblocnou,peròelvalordelpremiéscadacopmés baix,perquèesredueixalameitatcada210000blocs.L’any2140elvalordel premiseràmenysqueun satoshi,queéslaunitatmínimadebitcoinsiequival a10 8 BTC.Arribataquestpunt,encomptesdeguanyarmonedesnoves,el guanyadordelpremicobrarànomésunestaxesvoluntàriesques’especiﬁquen acadatransacció.Cadaparticipantpotferservirelseucriteriperincloureuna transaccióenelblocenquèestàtreballantono,segonslataxavoluntàriaque s’especiﬁquienaquestatransacció.

PergarantirquerealmentéslaMartaquiautoritzalatransacció«LaMarta envia2BTCalJordi»s’aplicaunatècnicaestàndarddelacriptografiaanomenada criptografiadeclaupública.Aquestatècnicaensproporcionaunamanera defirmarcontractesdemaneradigital.Noméssilafraseestàfirmadaperla Marta,larestad’usuarisacceptaranlatransacciócomaautèntica.Alasecció següentveuremunmètodeconcretperimplementarfirmesdigitalsbasatenla teoriadenúmeros.

Elstrencaclosquesestanbasatsenlesfuncionsde hash (conegudesper funcionsresum),quetambéesfanservirenelcontextdel’autenticaciód’usuaris ambparaulesclau,entremoltesaltresaplicacions.Explicaremaquestatècnica alasecció4.

2.2Evolució

ElprimermercatdebitcoinsvaserunllocwebperintercanviarcromosanomenatMt.Gox(unaabreviaciódeMagic:TheGatheringOnlineExchange).Vafer fallidaaprincipisde2014perproblemestecnològics,peròenaquellmoment jas’haviencreatmoltesalternativesmésﬁables.

DesprésdeBitcoins’hancreatdesenesd’altresvarietatsdecriptomonedes inspiradesenelprogramarideBitcoin,oenalgunscasoscòpiesgairebéidèntiquesaBitcoin.UnexempleésLuckycoin,queesdiferenciadeBitcoinpelfet quelaquantitatdelpremiencadablocésaleatòria.UnaltreésDogecoin,que vacomençaraﬁnalsde2013comunabroma(doge esrefereixaunamoda d’Internetsobrefotosdegossosendiversessituacions,ambelspensaments delgosescritsenidiomadegos:«Wow.Muchfunny.»)iensismesosvaarribar atenirunvalortotalde24milionsd’euros(comparatambelvalorde5000milionsd’eurosdelmercatdeBitcoin).Dogecoin,amés,ésnotableperquèsesol ferservirperaprojectesaltruistescom,perexemple,unacampanyaperajudar aﬁnançarl’equipdebobdeJamaicaperanaralsJocsOlímpicsdeSotxiiun altreperconstruirunpouaKenya.

Finsaranoméshihahagutunproblemadeseguretatenelprogramari deBitcoin,trobatl’any2010,iesvaarreglarràpidament.Elproblemamés

greudeBitcoinquefaqueelscriptògrafsbusquinalternativeséslafalta d’anonimatenelprotocol[10].Encaraqueelsusuarisfacinservirpseudònims —engeneralfinsitotfanservirpseudònimsdiferentsperrebredinersdefonts diferents—,ésmoltfàcilferservirlainformacióquehihaalacadenadeblocs peridentificardiversesentitatsipersonesielfluxdedinersentreelles.Una alternativaques’estàimplementantperabordaraquestproblemaéselprotocol Zerocash[1],quefaservirprovesdeconeixementnul(zero-knowledgeproofs). Hoveuremalasecció5.

3Firmesdigitals

Enelmónfísicverifiquemlaidentitatdelespersonesambimatges:comparem lacaradelapersonaamblafotoalatargetad’identitatolescorbesd’una firmaamblesdel’original.Encanvi,enelmóndigitaltractemambnúmeros. Lafirmanoésmésqueunnúmeroqueenvialapersona,tradicionalmentanomenadaAlice,juntambelmissatgequevolfirmar.Elreceptor,tradicionalment anomenatBob,hauriadepodercomprovarqueaquestnúmeronoméselpot havergeneratl’Alice.Enprincipiaixònosemblapossibleperquèqualsevol persona,tradicionalmentanomenadaÒscar,d’oponent,potintentarendevinarnúmerosfinsquen’hisurtiunquepassieltestquefaservirelBobper comprovarqueelmissatgevedel’Alice.Enelmónfísicaixòcorresponauna falsificaciódelafirma.Però,defet,falsificarunafirmadigitalésbastantmés difícilquefalsificarunafirmafísica,perquèsieltestdelBobéscomplicat, potserquel’Òscarhagideprovaressencialmenttotselsnúmerosdelamida adequadapertrobarelcorrecte.Sielnúmerotéunalongitudde100dígits,per exemple,il’Òscartrigaunnanosegonpercomprovarqueunnúmeropassael testdelBob,entotall’Òscartrigarà 10100 109×60×60×24×356 > 1082 anysperprovar totselsnúmeros(l’edatdel’Universésdelvoltantde1010 anys).

Figura 1: Protocolgeneraldeﬁrmesdigitals.

Unapossibilitatquenoespotdescartarésque,uncopconeguemelsdetalls deltestquefaservirelBob,se’nsfacimoltmésfàciltrobarunnúmeroque passieltest.Benmirat,actualmentlesmatemàtiquesnodisposendetècniques proufortesperdemostrarqueaixòsiguiimpossibleperaalgund’aquests tests(oalmenysnohemtrobatcaptestperalqualpuguemdemostrar-ho).Per

m Alice m,f Bob

ElitzaManeva

aquestaraó,laseguretatdelssistemesdeﬁrmesdigitalsencaraesbasaen conjecturessobreladiﬁcultatd’algunsproblemescomputacionals.Enaquest apartatenveuremdosexemplesconcrets.

Abansd’entrarenelsdetalls,ésútilestabliralgunesnotacionsiintroduir elconceptede clau.Hihaduesclausquesóndosnúmerosquefanservir l’AliceielBobdurantelprotocol.Unaclaudiemqueés privada,perquènomés lasapl’Alice,iladenotaremper d.L’altraés pública,perquèlapotsaber qualsevol,iladenotaremper e.Laclauprivadaesfaservirpercrearelnúmero quel’Aliceenviajuntambelseumissatge m.D’aquestnúmerose’ndiu firma ieldenotaremper f .Laclaupúblicalageneral’Aliceil’enviaalBob(oa qualsevolaltrapersona)perpodercomprovarquelesfirmesquerepdel’Alice sónrealmentdel’Alice.Unesquemadelprotocolespotveurealafigura1.

3.1FirmesiclausenelsistemaBitcoin

Pertenirbitcoins,l’usuariprimerhadecrearunaadreça(unnúmeroouna seqüènciadecaràcters,segonscomvulgueupensar-hi),enquèesguardaran lesmonedes.Seriamillordir«alaquals’associaranlesmonedes»perquèen realitatlesmonedesnotenenunarealitzaciófísica.Aquestaadreça,defet,és laclaupública e delparelldeclaus(e, d)delprotocoldefirmesdigitals.La clauprivada d esguardacomunsecretiesfaservirquangastemelsbitcoins perfirmartransaccions.Cadatransacciótéunaomésadrecesd’origeniunao mésadrecesdedestinacióis’hadefirmaramblesclaussecretesdelesadreces d’origen.

Pertant,sialgútélaclauprivadad’unaadreçaéscomsitinguéstots elsbitcoinsassociatsaaquestaadreça.Aixòésimportantperquèfaqueels bitcoinssiguinmésaviatclausquenopasdiners.Siunlladrefaunafotodela nostraclauéscomsitinguéslaclau,peròsifaunafotod’unbitlletquetenim ésclarquenos’apropiad’aquestbitllet.Aixòhovanaprendrenofagaireuns periodistesdelacadenadetelevisióBloombergdelsEstatsUnitsivanpagar lalliçóenbitcoins.DurantunreportatgesobreBitcoin,vantenirl’ocurrència d’ensenyarl’imprèsd’unregaldebitcoinsqueelshaviendonat.Amblaclau secretaalbellmigdelapantalladelatele,enpocssegonsaquestsbitcoinsvan desaparèixerdelasevaadreça.

3.2Aritmèticamodular

Enlacriptograﬁaesfanservirnúmerosmoltgrans,perexemple,decentenars dedígits.Elsprotocols,comelsdeﬁrmesdigitals,demanenferoperacions ambaquestsnúmeros,comara,elevarunnombredecentenarsdedígitsaun altred’unallargadacomparable.Elresultatésunnúmeroquenoespodria guardarenundiscdurencaraqueestiguésfetdetotselsàtomsdel’Univers. Llavors,comfemaquestscàlculs?

Laideaésque,encomptesdeferservirl’aritmèticaclàssicadelsnúmeros enters,femserviraritmèticamodular.Ésadir,enllocdepensarennúmeros

Lesmatemàtiquesaldarreredelescriptomonedes

enters,pensemnomésenelsresidusqueaquestsnúmerosdonenendividir-los perunnúmeroespecial N queescollim.

Recordeuqueperdenotarequivalènciesenl’aritmèticamodularfemservir elsímbol ≡ enllocdelsímbol =,iposem (mod N) alﬁnaldel’equacióper denotarquelesequivalènciessón mòdul N.Ésadir,totselsnúmerosque donenelmateixresidudedivisióper N elsconsideremequivalents.

Lesoperacionsdesuma,restaimultiplicaciómòdulunnúmerogranes podenimplementardemaneraeﬁcientfàcilment.Elcàlculdel’inversmòdul unnúmerograntambéespotimplementardemaneraeﬁcientfentservir l’algoritmed’Euclides.

Finalment,quedaperimplementarl’operaciód’exponenciaciódemaneraeﬁcient.Percalcular ab (mod N) delamaneraòbviahauríemd’executar b multiplicacions,calculantelresidudedivisióper N cadavegada,perevitar queelsresultatsesfacinllargs.Eltrucperferaquestprocésmésràpidaments’anomena quadraturaiterada (repeatedsquaring).Encomptesdecalcular a2,a3,a4,...,ab calculemnomés a2,a4,a8,a16,...,a2 log2 b .Cadamembre d’aquestasèrieéselquadratdel’anterior.Elnombredemultiplicacionsper generaraquestasèrieés,doncs, t = log2 b ,queéscomparablealnombrede dígitsde b (del’ordredelscentenars,quesónpoquesmultiplicacionsperaun ordinador).

Donadaaquestasèrie,podemcalcular ab fentnomés t multiplicacionsmés.Representem b comlasumad’unsubconjuntdelsnúmeros {1, 2, 4, 8, 16,..., 2 log2 b },ésadir,

peraalguns b0,b1,...,bt ∈{0, 1} (larepresentacióbinàriade b).

Les t multiplicacionsﬁnalssón:

Perexplicarelprimerprotocoldeﬁrmesdigitals,queésRSA,necessitarem tambéelteoremad’Euler:peracada N hihaunnúmeroanomenat φ(N),tal queperaqualsevol x quenotédivisorscomunsamb N escompleixque xφ(N) ≡ 1 (mod N).

Lafunciód’Euler φ(N) éslaquantitatdenúmerosméspetitsque N queno tenendivisorscomunsamb N.Si N ésunnúmeroprimer,ésclarque φ(N) = N 1.Si N éselproductededosnúmerosprimers p i q,coméselcasqueens interessaperentendreRSA,podemcomprovarque

φ(N) = (pq 1) (p 1) (q 1) = (p 1)(q 1),

ElitzaManeva

perquè,detotsels pq 1númerosméspetitsque N,n’hiha p 1quesón divisiblesper q, q 1quesóndivisiblesper p ilarestanotenendivisors comunsamb N

Necessitaremelcorol.laridelteoremad’Eulersegüent.

Proposició 1. Si N ésproductededosprimersdiferents p i q i α ésunenter qualsevol,aleshoresperatotenter m escompleix

mφ(N)α+1 ≡ m(mod N).

Prova. Hihatrescasos:

1. Si mcd(m,N) = 1,elteoremad’Eulerensdiuque mφ(N) ≡ 1 (mod N). Tenim

mφ(N)α+1 = (mφ(N))α × m ≡ 1α × m ≡ m(mod N).

2.Simcd(m,N) = N,l’equivalènciaéscertaperquèlesduesbandessón0.

3. Quedaelcasque mcd(m,p) = p i mcd(m,q) = 1(oviceversa).Éssuﬁcientdemostrarque mφ(N)α+1 ≡ m(mod p) i mφ(N)α+1 ≡ m(mod q). Laprimeracongruènciaésobvia,ilasegonaésconseqüènciadelteorema d’Eulercomenelcasanterior,tenintencompteque φ(q) = q 1, mφ(N)α+1 = (mq 1)(p 1)α × m ≡ 1(p 1)α × m ≡ m(mod q).

Ambaquesteseinesperfercàlculsambnúmerosgransenaritmèticamodular,japodemexplicarelprimeralgoritmedeﬁrmesdigitals.

3.3FirmesmitjançantRSA

UndelsprimerssistemesdeﬁrmesdigitalsvasereldeRonaldRivest,Adi ShamiriLenAdlemande1978,conegutperRSA[9].Percrearlesclaus,l’Alice esculldosnúmerosprimers p i q demoltsdígits(centenars),quesónsecrets,i encalculaelproducte

N = p × q.

Elproducte N ésinformaciópública,perònoelsnúmeros p i q.Unadeles conjecturesenquèesbasaelmètodeésquesinoméstenim N,trobar p i q (i.e. factoritzar N)ésunproblemacomputacionalmentdifícil.2 Llavors,l’Aliceesculldosnúmeros d i e,el d seràsecret,el e,públic,tals queperaqualsevolmissatge m elvalorde (md)e mòdul N (elqualespot calcularamb2 log(d) + 2 log(e) multiplicacionsdenúmerosdelamateixamida que N)éselmateixque m.Ésadir,

(md)e ≡ m(mod N).

2 Siundiaesconstruïssinordinadorsquàntics,ambaquestssíquepodríemfactoritzar númerosgransfentservirl’algoritmedeShor[11].

EnelcasdeRSA,nomésl’Alicepotcalcular φ(N) = (p 1)(q 1) perquè nomésellaconeix p i q.Haventcalculat φ(N),potescollir e i d talsque ed ≡ 1 (mod φ(N)).

Lamaneradefer-hoéstrobar e quenotinguidivisorscomunsamb φ(N) (escollir e aleatòriamententre1i φ(N) 1funciona)i,mitjançantl’algoritme d’Euclides,calcularelseuinversmòdul φ(N),queserà d

Uncopl’Alicetéunparelldenúmerosambaquestapropietat,elprotocol éselsegüent:fentservirlaclausecreta d,l’Alicecalculalaﬁrma

f = md (mod N)

il’enviajuntambelmissatge m. 3 ElBobagafalaﬁrmail’elevaa e mòdul N (recordeuque N éspúblic).Sielresultatés m,acceptalaﬁrmacomaautèntica; sino,larebutja.

Perconvèncer-nosqueelprotocoléscorrectenomésquedacomprovarque mde ≡ m(mod N),elqualésconseqüènciadirectadelaproposició1.

Sil’Òscarvolﬁrmarunaltremissatge m fentveurequeésl’Alice,necessitaràlaclau d.LaseguretatdelprotocolRSAdepèndelaconjecturaqueés computacionalmentdifíciltrobar d sinomésconeixes e i N (espotcomprovar quesipotsfactoritzar N,llavorssíquepotstrobar d).

Calmencionarquelamateixaideaesfaservirperxifraridesxifrarmissatges. ElBobpotxifrarelsmissatgesqueenviaal’Aliceelevant-losalaclaupública e. Ésadir,elBobenviaelmissatge ˆ m = me (mod N).Nomésl’Alicepotdesxifrar elmissatgeperquètélasevaclauprivada d ipotcalcular ˆ md ≡ (me)d ≡ m (mod N).D’aquívénenelsnomsdelesclaus e i d:d’encriptació i desencriptació.

3.4FirmesmitjançantECDSA

ElprotocoldefirmesdigitalsquefaservirBitcoinnoésRSAperquèelscreadorsvandecidiroptarperunprotocolmésmodernimenyshabitualperò quecomportaalgunsavantatgescomaracàlculsméseficientsiclausmés petites(peraconseguirlamateixaseguretat).Ésl’ECDSAo ElipticCurveDigital SignatureAlgorithm,quevaserdissenyatelsanysvuitanta([5]i[6]),ies vapopularitzaraprincipisd’aquestsegle.Laconjecturamatemàticaenla qualesbasaaquestprotocolpertanyal’aritmèticadelsgrupsassociatsa corbesel.líptiquessobrecossosfinits.Concretament,esbasaenlacomplexitat computacionaldelproblemadellogaritmediscret.

3.4.1Corbesel.líptiques Elconjuntdelspunts (x,y) quesatisfanunaequaciónosingular y 2 = x3 + ax + b,amésd’unpuntespecial O queenspodem imaginarcoml’inﬁnit,ésunacorbael lípticaambparàmetres a i b.Vegeu[12]

3 Enrealitatpercalcularlaﬁrma,enelsprotocolsdeRSAid’ECDSA,noesfaservirel missatge m original,sinóun hash delmissatge H(m) quetéunallargadaﬁxa.Femservir m per comoditat.Alasecciósegüentexplicaremquèésun hash

peraladefiniciógeneraldecorbael líptica.4 Denotemaquestconjuntper E.En elcontextdelacriptografia, x i y sónentersil’aritmèticaéslad’uncosfinit, perexemple,ladelsentersmòdul p peraalgunnúmeroprimer p.Pertant, l’equacióqueelspuntssatisfanés y 2 ≡ x3 + ax + b(mod p).Així,si p = 23, a = 1, b = 0,elspuntsdelacorbael.lípticasón

E={(0, 0),(1, 5),(1, 18),(9, 5),(9, 18),(11, 10), (11, 13),(13, 5),(13, 18),(15, 3),(15, 20),(16, 8), (16, 15),(17, 10),(17, 13),(18, 10),(18, 13),(19, 1), (19, 22),(20, 4),(20, 19),(21, 6),(21, 17),O}.

Espotdeﬁnirunaoperació« »sobredospuntsdelacorbael lípticade maneraque E equipatambaquestaoperaciósiguiungrupabelià.Elpunt O en serial’elementidentitat.Aquestaoperacióadmetunainterpretaciógeomètrica, il lustradaalaﬁgura2.Esconsideralarectaquepassaper P i Q ieltercer punt R detallamblacorba.Aleshores P Q =−R on R éselsimètricde R respectel’eixdeles x,ésadir, P Q = (rx , ry ) amb (rx ,ry ) = R.Elpunt R ésl’oposatde R ambl’operació iespotpensarcomlaterceraintersecció delarectaquepassaper R i O amblacorba(lesrectesper O sónlesrectes verticals).

Figura 2: L’operació enunacorbael lípticaambequació y 2 = x3 x + 1.

Encaracterísticadiferentde2i3,espodendonarlescoordenadesde P Q demaneraexplícita.Suposemque P = (px ,py ) i Q = (qx ,qy ) sónpuntsd’una corbael líptica E.Si px = qx i py =−qy ,llavors P Q = O;encascontrari, 4 Caldirqueencaracterística2o3nototeslescorbesel.líptiquesespodenreduiral’expressió y 2 = x3 + ax + b.

P Q = (rx ,ry ) on

pera

rx := s2 px qx , ry := (px rx )s py

s := (qy py )(qx px ) 1 , si P ≠ Q, (3p2 x + a)(2py ) 1 , si P = Q.

Faremservirlanotació

St := S S S ··· S t .

Elproblemadellogaritmediscretés:donatsdospuntsdelacorba R i S, trobarunenter t talque St = R.El t s’anomena logaritme enassociacióamb ellogaritmecontinuil’operaciódemultiplicació.Elproblemadellogaritme discret,defet,espotplantejaraqualsevolgrup.Laseguretatdelacriptograﬁa decorbesel líptiquesesbasaenlaconjecturaquetrobaraquest t,donats R i S, éscomputacionalmentdifícil.

3.4.2Protocoldeﬁrmesdigitals Elprotocoltécomaparàmetres(públics) lacorbael lípticadeﬁnidaper a, b i p,amésd’unelementdelgrupambordre primerconegut.Diguemqueaquestelementés G ielseuordreés n,ésadir, Gn = O

Laclauprivadadel’Aliceésunenter d escollitaleatòriamententre0i n.Lasevaclaupúblicaéselpunt Q = Gd.Percalcular-lal’Alicefaservir laquadraturaiteradacomquanelevementersaunapotènciagran.Elpas contrari,calcular d donat Q,ésmoltmésdifícil—concretament,ésequivalent alproblemadellogaritmediscret.

Donatunmissatge m,l’Aliceprimerpreparaunenteraleatori k secretque ésnouperacadanoumissatge,s’asseguraque k éscoprimeramb n,icalcula (px ,py ) = Gk.Desprésfaservirlaclauprivadapercalcularlaﬁrma,queen aquestcastéduesparts: (f1,f2) := (px ,(m + dpx )k 1)(mod n).

Si f1 o f2 sónzero,l’Alicetriaunaltre k. ElBobrepelmissatge m ilafirma (f1,f2).Perverificarquelafirmaés autènticaelBobcalculaelpunt

T = (tx ,ty ) := Gmf 1 2 Qf1f 1 2 , icomprovaque tx = f1.Silaﬁrmaésvàlidaeltestsurtcorrecteperquè T = Gk: T = Gmf 1 2 Qf1f 1 2 = Gmf 1 2 Gdf1f 1 2 = G(m+dpx )f 1 2

= Gk .

ElitzaManeva

4Funcionsdehash

L’altreingredientprincipaleneldissenydeBitcoinéselconceptede demostracionsdefeina i,alhora,lacreaciódemonedesnoves.Latecnologia,enaquest cas,ésmoltsenzillaiesbasaenunaideajaforçautilitzada:lesfuncionsde hash.

Lesfuncionsde hash tenenunmuntd’aplicacionsenelmóndigital.Una funciódehashprend’entradaseqüènciesofitxersdequalsevolmidairetorna seqüènciesdecaràctersd’unamidafixaipetita,comara256bits(oequivalentment64caràctershexadecimals,0–9ia–f).Peril.lustrar-hoambunexemple, imagineu-vosquedosamicsqueviuenllunyl’undel’altretenenfitxersque contenenlamateixapel.lículaperònosabensielsfitxerssónidèntics.Per estarconvençutsquehosónnocalques’enviïnundelsfitxerssencer,quepot tenirunamidad’unsquantsgigues.Elspotsersuficientaplicarunafunció predeterminada,lafunciódehash,ques’aplicaalfitxeridónaunalíniade 256bits,anomenada elhashdelfitxer,quenotécapsentitocaprelacióòbvia ambelcontingutdelfitxer.Totiaixí,comquelafuncióésdeterminista,siels dosfitxerssónidèntics,aquests256bitsseranelsmateixos.Lesfuncionsde hashcriptogràfiquesnormalmentestandissenyadesdemaneraquesielsdos fitxersesdiferencien,encaraquesiguinomésunamica,elsdoshashosseran completamentdiferentsenpràcticamenttotselcasos.5 Perexemple,elhash delafrasedeDouglasR.Hofstadter«Ifyouthinkthissentenceisconfusing, thenchangeonepig»és:

b0c840435c3ce497fc451f333ad18702443c1d822161150b8fa23bdb4ace97f9 ielhashdelamateixafraseambpuntﬁnalés:

380c4122fc5a3211bf801d8a02cc34928fecfc3732f1b4c6183d9ca608805b7d

Delamateixamanera,sielsdoshashossónidèntics,podemestarpràcticamentsegursqueelsdosﬁtxerssónelsmateixosﬁnsal’últimbit.

Encaraquehihamoltsfitxersquetenenelmateixhash(perquèhihamolts mésfitxerspossiblesqueseqüènciesde256bits),unabonafunciódehash criptogràficatélapropietatqueésmoltdifíciltrobardosfitxersambelmateix hash.D’aquestapropietatse’ndiu resistènciaacol.lisions.Unaaltrapropietat d’aquestesfuncionsésque,sitenimelhash,ésmoltdifícilrecuperarelfitxer, omésbendit,trobaralgunfitxerquetinguiaquesthash.Aquestapropietat s’anomena resistènciaainversions

Aquíenstrobemambunaaltraconjectura.L’existènciadefuncionsdehash quetenenaquestesduespropietatsnoestàdemostradamatemàticament.Ala pràctica,alllargdelsanyss’handissenyatdiversesfuncionsdehashialgunes hanestat«trencades»enelsentitques’hantrobatcol.lisionsoalgoritmes

5 Hihafuncionsdehashperaaltresaplicacionsquetenenpropietatsdiferents,perexemple, elslocality-sensitivehashes,quefuncionenexactamentalrevés:ﬁtxerssemblantstenenelmateix hash.Enaquestarticlequandiem hash entendrem hashcriptogràﬁc

eﬁcientspercalcular-neinversos.Actualment,lafunciódehashmésutilitzada esdiuSHA-256iéslaquefaservirelprotocoldeBitcoin.

Curiosament,lesconstantsinternesquefanservirlesfuncionsdehash tenenexplicacionssenzilles,comperexempleelsdígitsdeldesenvolupament de π oelsdígitsdelesarrelsquadradesdelsprimersnúmerosprimers.S’han escollitaixíperconvèncerelpúblicquelafunciónoestàdissenyadapercap agentmaliciós,perexemplelaNSA(NationalSecurityAgency),quetinguiuna clausecretaamblaqualpuguiinvertirlafunció(cosaqueigualmentnoespot descartardeltot).

Elsresultatsd’aplicarunabonafunciódehashadiferentsfitxerssón númerosquesemblengeneratsal’atzar.Sisuposemqueaquestafosrealment ladistribuciódelsresultats,podemcalcularlaprobabilitatdetrobar-nosdos fitxersambelmateixhashquangeneremungrannombredehashos.Aquest experimentésconegutper experimentdelsaniversaris.Imaginem-nosqueels fitxerssónpersonesiqueelsseushashossónelsseusaniversaris.Aquantes personesnecessitempreguntar-losl’aniversaripertenirunabonaprobabilitat detrobar-neduesambelmateixaniversari?Resultaqueamb23personesja tenimunaprobabilitatsuperioral50 % d’èxit.D’aquestfetse’ndiu paradoxa delsaniversaris

Ensinteressaelresultatdelmateixexperimentsil’any,encomptesdetenir 365dies,entinguésmoltsmés.Perposarunexemple,enelcasdelafunció SHA-256,elhashdelﬁtxerpotserqualsevolnúmerode256bits.D’aquests n’hiha2256 > 1076 .

Acontinuacióaproximemlaprobabilitatdecol lisiósitenim n diesdiferents al’anyi m persones.Demostraremquelaprobabilitatquedosaniversariscoincideixinpassademenysdel50 % amésdel50 % dinsl’interval m ∈ [√n, 2√n].

Denotemlaprobabilitatquehihagiunacol lisióper q(n,m) ilaprobabilitat quenon’hihagicapper p(n,m) = 1 q(n,m).Silesprimeres k persones tenenaniversarisdiferents,laprobabilitatquel’aniversaridelapersonasegüent alaqualhopreguntemcoincideixiambalgunsdels k anteriorsés k/n.Hiha col.lisiósiund’aquestscasossucceeix:laprimeracol.lisióesprodueixobéa l’horadepreguntaralasegonapersonapelseuaniversari,obéal’horade preguntaralatercera,obéal’horadepreguntaralaquarta,etc.Pertant,la probabilitatquealgund’aquestscasosesdoniéslasumadeprobabilitatsde totselscasos.D’altrabanda,laprobabilitatdetenirlaprimeracoincidènciaen preguntaralapersona k-èsimaésmenoroigualque (k 1)/n.Pertant,

q(n,m) ≤ 1 n + 2 n +···+ m 1 n = 1 n × (m 1)m 2

Substituint m per √n (suposant,persimpliﬁcar,que n ésunquadrat perfecte),obtenimque: q(n, √n) ≤ (√n 1)√n 2n < 1 2 .

Pertant,si m< √n,laprobabilitatdecol lisióencaraestàpersotadel50 %

D’altrabanda,podemﬁtarlaprobabilitatquenohihagicapcol lisiópensant enlesúltimes m/2personesiexigintqueelsseusaniversarissiguindiferents delsdelesprimeres m/2(suposant,persimpliﬁcar,que m ésparell).Pertant, p(n,m) ≤ n m/2 n m/2 .

Posem m = 2√n itenim

2√n) ≤ 1 1 √n

n <e 1 < 1 2 .

Pertant,si m ≥ 2√n escompleix p(n,m)< 1/2i q(n,m)> 1/2.

EnelcasdeSHA-256, n> 1076,ipertantpertenirunaprobabilitatdel50 % deveuredosfitxersambelmateixhashhemdeprovarmésde1038 fitxers. Aixòfaquesiguipràcticamentimpossibletrobardosfitxersambelmateix hashfentserviraquestmètode.

4.1Paraulesclau

Unadelesaplicacionsmésimportantsdelesfuncionsdehashéselseuúsper guardarparaulesclaud’usuaris.Labonapràcticaésevitarguardarlesparaules clautalcomsón,enunfitxer,perquèhihaelperillquealgúelpuguiobrir.La maneradeprotegir-sed’aquestatacéslasegüent:encomptesdeguardarles paraulesclau,se’npodenguardarelshashos.Quanl’usuarienvialaparaula clau c alservidor,aquestaplicalafunciódehash H icomparaelresultat H(c) ambelhashquetéguardatenelfitxerdehashos.D’aquestamaneraencara quealgúobtinguéselfitxer,igualmentnohitindriaaccésperquènopodria recuperarlesparaulesquegenerenaquestshashos.

Sidonemeldissenyperfet,unatacantpodriagenerarundiccionaride moltesdelespossiblesparaulesclau(típicamentcombinacionsd’unsvuit caràcters)juntambelsseushashosiconsultaraquestdiccionariperrecuperar lesparaulesclau,donatselsseushashos.Perevitaraquestatac,juntamb elhashesguardaunnúmeroaleatori s (relativamentgran),anomenat sal,iel hashescalculasobrelaparaulaclauconcatenadaamblasal.

Finalment,perevitarquealgúpuguifermoltesprovesambparaulesclau demaneraautomàtica,lafunciódehashs’aplicarecursivamentunesquantes vegades.Enllocde H(c + s) esguarda H(H(H...H(c + s)...)),amblafunció dehashaplicadaunesmilvegadesoméspertalquelacomprovaciótriguiun tempsquenoserànotableperaunusuarihonestperòquepotimpedirun atacantautomàtic.

4.2DemostracionsdefeinaenBitcoin

ElquefaBitcoinespecialésunmètodeenginyósperaconseguirquelaveriﬁcaciódelestransaccionssiguiunatascadistribuïda,compartidaentretots elsparticipants,quenos’hagindereﬁard’unbanccentral,icrearincentius

percol laborarenaquestatasca.Latècnicaperaconseguir-hoesbasaenles funcionsdehash.

Comjahemexplicatalaintroducció,elprimerquefaunusuariquanrep unatransaccióésveriﬁcar-la.Totiaixí,unatransacciódebitcoinsesconverteix enoﬁcialnomésquanlatransacciós’afegeixalacadenadeblocscomapart d’unbloc.Elprocésdecreaciódeblocs,elqualanomenem trencaclosques,és unatascad’unagrancomplexitatcomputacional,queexpliquemacontinuació.

Latascaconsisteixatrobarunaseqüènciadecaràcterstalque,siadjuntem elcontingutdelbloc(lasèriedetransaccions)aaquestaseqüènciaiapliquem lafunciódehashSHA-256,elresultatésunnúmeroméspetitqueunnúmerodonat: l’objectiu (target).Lamidadel’objectiudeterminaladiﬁcultatdel problemaiesregulacadaduessetmanespertalquealgúalaxarxatrobiuna solució,demitjana,cada10minuts.L’objectiuéscadacopméspetitperquèla tecnologiadelsprocessadorsd’ordinadorsmillora,icadacophihamésusuaris imésrecursoscomputacionalsempleatsalatasca.

Comveieu,latascaésmoltsemblantalainversiódehashos.Pertant, elmésprobableésqueningúnotinguicapaltramaneraderesoldre’lque nosiguiprovantmúltiplesseqüènciesaleatòriesdecaràctersﬁnsqueuna d’ellestinguiunhashamblapropietatdesitjada.Elprocésperresoldreaquests trencaclosquescomputacionalsesconeixper mineria (mining),perquèamb cadablocescreenbitcoinsnous(elpremi)irecordalatascadebuscaroren unamina(unatascabastantfeixugaiinútilpersisola).

Perquècalquelatascadecrearblocsnoussiguicomputacionalmentdifícil? Laideaésqued’aquestamaneras’evitaqueunparticipantdominielprocés deveriﬁcacióimanipulilacadenadeblocs,perexempleincloent-hidues transaccionsdiferentsquefanservirelsmateixosbitcoins(unatacconegut per doublespending).Laideanoéstotalmentnovaiesconeixper demostració defeina (proofofwork).Originalmentesvainventarpercombatreelcorreu brossa(spam)[2].Enaquestcontext,perenviaruncorreu,primeresdemanaal servidorquel’enviaqueresolguiunproblemacomputacionalquenormalment requereixunssegons;aixís’evitaquealgúpuguienviarungrannombrede correusenmoltpoctemps.

Sovintpassaquedosblocs,totsdosvàlids,escreenaproximadamental mateixtemps.Llavorshihaunabifurcacióenlacadenadeblocsialguns participantstreballenpercontinuarunacadenamentrequed’altrestreballen percontinuar-nel’altra.Elprotocolexigeixqueescontinuïlaquesiguimés llarga.Normalment,enpocsminuts(suﬁcientspercreartresoquatreblocs nous)unadelesduesbranquesguanyal’altraenlongitudijaespotconsiderar queéslacadenaoﬁcialperquèlasegonamainoarribaràaatraparlaprimera.

5Tecnologiescriptogràﬁquesmésavançades

Comjahemdestacatalaintroducció,ésimportantpensarenBitcoincomel primerpasimportant(oalmenyselprimerpasd’impactereal)capaldesenvolupamentdeprotocolsdistribuïtsdecaràctereconòmicoﬁnancer.Aquestés

untemaderecercaactiuinopasunaqüestiótancada.Enaquestasecciófarem unaintroduccióbreuaunatecnologiacriptogràﬁcaencaraméssoﬁsticadaque téelpotenciald’acabareliminantalgunsdelsdefectesactualsdeBitcoin.

Enlasevaencarnacióactual,Bitcoinproporcionamoltpocaanonimitatals usuaris.Totalainformaciódelestransaccionsestàdisponiblepúblicament. Però,comveurem,aixònoésuntretnecessari,perquèespotresoldrefent servirlatecnologiade provesdeconeixementnul (zero-knowledgeproofs).

5.1Provesdeconeixementnul

Devegadesvolemdemostraraalgúquesabemunacosasensedonar-nemés informacióqueelfetquelasabem.Unexempledelmónfísic(perdistingir-lo delmóndelsordinadors)potserlatascadedemostraraunnenquesabem onésenWallysenserevelar-nelalocalitzacióenelpòster.Comhofarem? Sidisposéssimd’unafotocopiadora,podríemferunacòpiadelpòster,tallar lafiguradelWally,destruirlarestadelacòpia,inomésensenyarlafiguraal nen[8].Perquèsiguiunbonprotocol,caldriaquenodonéscapinformació sobrelaubicaciódelWallyalnen,itambéconvèncer-loquenohemfettrampa. Enelmónfísicnoésfàcilfer-hodemaneraprecisa.Perexemple,hemdeposar condicionssobreelquepotinopothaver-hidinsl’habitaciódelafotocopiadora perquèelnenestiguisegurque,posempercas,nohemretallatlafiguradel Wallyd’unaltrepòster.

ElPremiTuringdel’any2012(consideratl’equivalentdelPremiNobelenla informàtica)esvaatorgaralsinventorsdeladeﬁniciómatemàticadelconcepte de provesdeconeixementnul.Enunarticledel’any1985,Goldwasser,Micali iRackoﬀ[4]vandonarelprimerexempled’aquesttipusdedemostracióper adosproblemescomputacionalsdelateoriadenúmeros:elproblemadel residuquadràticielproblemadelno-residuquadràtic.Donatunnúmero a i unabase N,esvoldemostrarqueexisteix(pelproblemadelresiduquadràtic) oquenoexisteix(pelproblemadelno-residuquadràtic)unnúmero b talque b2 ≡ a(mod N)

Figura 3: Dosgrafsquesónisomorfs.

Ladefinicióde provadeconeixementnul faservirelconceptede sistema dedemostracionsinteractivesdelacomplexitatcomputacional.Pernohaver d’entrarenaqueststemes,aquíenfaremunadescripcióinformalmitjançant unexemple.L’any1986Goldreich,MicaliiWigderson[3]vanpresentarles primeresprovesdeconeixementnulperaproblemesquenoveniendela teoriadenúmeros.Enconcret,hovanferperalsproblemesd’isomorfismei no-isomorfismedegrafs.6

Figura 4: Dosgrafsquenosónisomorfs.

Diemquedosgrafssónisomorfssiexisteixunacorrespondència(bijecció) entreelsvèrtexsdelsdosgrafstalquecadaparelldevèrtexsconnectatsen undelsgrafscorresponaunparelldevèrtexsconnectatsenl’altreicada parelldevèrtexsnoconnectatsenl’uncorresponaunparelldevèrtexsno connectatsenl’altre.D’aquesttipusdecorrespondènciase’ndiu isomorfisme. Tambépodempensarqueelsdosgrafsrealmentsónrepresentacionsdiferents delmateixgraf,ambdiferentsetiquetesalsvèrtexs.Perexemple,alafigura3, unacorrespondènciaentreelsdosgrafsqueésunisomorfismeés: A amb1, B amb2, C amb5, D amb6, E amb4, F amb3, G amb8, H amb10, I amb7, J amb9.D’altrabanda,elsdosgrafsdelafigura4nosónisomorfs.Unamanera deconvèncer-nosd’aquestfetésnotarqueundelsgrafscontétrianglesil’altre no.

Peragrafspetits,semprepodemcomprovarsidosgrafssónisomorfsono miranttoteslespossiblescorrespondènciesentreelsvèrtexs.Peradosgrafs de n vèrtexshiha n!possiblescorrespondènciesi,pertant,aquestaestratègia noéspràcticapera n gran.Hihaestratègiesquefuncionenperamoltsparells degrafs,perònoesconeixcapalgoritmeeﬁcient(quetriguitempspolinòmic enlamidadelsgrafs)quepuguidetectartotselsparellsdegrafsisomorfs.

Suposemquetenimdosjugadors:lademostradora(prover)Peggyiel verificador(verifier)Vic.LaPeggyconeixunisomorfismeentreelsdosgrafs G1 i G2 ivoldemostraralVicqueelsgrafssónisomorfssensedonar-licap informaciód’aquestisomorfisme,tretdelfetqueexisteix.Elprotocolésel següent.

6 Amés,vanprovarqueaquestesdemostracionsexisteixenperatotselsllenguatgesNP, començantpelproblemadecoloraciódegrafs.

LaPeggyenviaalVicungraf H queésisomorfa G1 ia G2.Perquènodoni capinformacióalVicsobrel’isomorfismeentre G1 i G2,laPeggypotgenerar-lo etiquetantdemaneraaleatòriaelsvèrtexsde G1.Comqueellasapcomha generat H,ellatéunisomorfismeentreelsvèrtexsde G1 ide H.Comque tambéconeixunisomorfismeentreelsvèrtexsde G1 i G2,tambépottrobarun isomorfismeentreelsvèrtexsde H i G2.

Enelsegonpas,elVicdemanaalaPeggyqueliensenyil’isomorﬁsme entre H i G1 oentre H i G2.Ellescullquindelsdoslidemana.

EncapcaslaPeggylienviatotsdosisomorfismesperquè,ambtotsdos,el Vicpodriarecuperarl’isomorfismeentre G1 i G2.Peròelqueésclarésque,si elsdosgrafssónrealmentisomorfs,laPeggysemprepotenviarl’isomorfisme quelihagindemanat.

SilaPeggyintentaconvèncerelVicquedosgrafssónisomorfsquanrealmentnohosón,elVicl’enxamparàalmenysenel50 % delscasosindependentmentdelquefacilaPeggy.PerestarencaraméssegurquelaPeggynomenteix, elVicpotrepetirelsdospassostantesvegadescomvulgui.Sien k repeticions ambdiferents H laPeggysempreaconsegueixenviar-liunisomorﬁsme,elVic estarà100 × 1 1 2k % segurquelaPeggynomenteix(perquèlaprobabilitat queellaendevinitoteslespreguntesdelVicés1entre2k).Perexemple,amb k = 10repeticions,elVictéunaprobabilitatdel99, 9%d’enxamparlaPeggy. Aquestprotocoltélespropietatssegüentsquefanquesiguiunaprovade coneixementnul:

• Si G1 i G2 sónisomorfs,elVicsempreestaràconvençutd’aquestfetal ﬁnal.

• Si G1 i G2 nosónisomorfs,elVicestaràconvençutquehosónnomés ambunaprobabilitatmínima(tanpetitacomvulgui).

• Lacomunicaciódelprotocoltalcomlaveuriauntercerlapotgenerarel Victotsoli,pertant,elVicnoobtécapinformacióquenotinguija.

Lapropietatdeconeixementnulésl’últimaenaquestallistaiéslamés difícildedemostrarenlamajoriadelscasos.S’hadedemostrarquehihauna simulacióeficientdelacomunicació.Ésadir,espotgenerarunaseqüència d’intercanvisamblamateixadistribuciódeprobabilitatqueladelprotocolreal, iamésaixòespotfertenintnomésinformacióquelaquetéelVic.Enelcas especialdel’isomorfismedegrafsaixòresultafàcil.ElVicpotsimulartotala comunicaciógenerantprimerlessevespreguntesidespréselsgrafs H isomorfs algrafquecorresponacadapregunta,juntambl’isomorfismeentre H iaquest graf.

5.2Provesdeconeixementnulperal’anonimitatdelescriptomonedes Unadelescriptomonedesméssoﬁsticades,laZerocash,esvapresentarla primaverade2014ilasevadescripcióestàdisponiblea[1].Laideaaldarrere deZerocashésferservirprovesdeconeixementnulperdemostrarqueesté

unamonedasenserevelarquinaés.D’aquestamaneralestransaccionsnoes podenassociarlesunesamblesaltresinoespodenseguirelstraçosdeles monedes.S’aconsegueixl’anonimitatquelifaltaalprotocoldeBitcoin.Les provesdeconeixementnulsónbastantméscomplicadesquelesquehemvist aquí,perdiversesraons.Primer,nosóninteractives.Segon,estandissenyades persermoltméscurtesperquès’handeguardarenlacadenadeblocs.Itercer, lesaﬁrmacionsques’handedemostrarsónbastantméscomplicadesperquè comportendemostrarqueunprogramas’haexecutatcorrectament.

ElZerocashésunexempledemonedaqueencaranos’haimplementat,però demostralespossibilitatsdesoﬁsticacióqueespodenarribaraincorporara laideaoriginaldeBitcoinsiexplotemtotelnostreconeixementmatemàtic modern.

6Rellevància

Bitcoinésundelsmoltscanviseconòmicsisocialsqueesprodueixengràciesa lesnovestecnologies.Alsegle xxi veiemlesllavorsd’unasocietatméscomunicativaimésfuncional.Algunsexemplessón:lesinversionsdelaciutadania enprojectesd’interèscomúmitjançantelmicromecenatge(crowdfunding)en plataformescomKickstarter;elperiodismeobertmitjançantblogsiTwitter;les estructuresd’organitzaciódelainformacióbasadesenreputació(reputation systems)enplataformescomStackOverﬂowiQuora.Unaaltraéslacomunitat econòmicaques’estàformantalvoltantdeBitcoin.

Lespossibilitatsdecanviqueensgaranteixlaconnectivitatimmediata proporcionadaperInternetsóninﬁnites,peròésunterrenydesconegutque,a mésd’oportunitats,comportaperills.Und’aquestsperillsésquenotothom puguiparticiparenlaformulaciódelesestructuresnovesiquesiguinomés unaelittecnològicaoﬁnanceralaquefaciserviraquestesoportunitatsper crearunmónparal.lelambunademocràciaselectiva.Ésunrepteperalsjoves iperalseducadorsgarantirquelapoblaciópuguientendreiactuarenvers aquestscanvis,que,amés,esprodueixenaunritmecadacopmésvertiginós.

Referències

[1] Ben-Sasson.E.;Chiesa,A.;Garman,C.;Green,M.;Miers,I.;Tromer,E.; Virza,M. «Zerocash:DecentralizedAnonymousPaymentsfromBitcoin». A: Proceedingsofthe2014IEEESymposiumonSecurityandPrivacy.Washington,DC:IEEEComputerSociety,2014,459–474.

[2] Dwork,C.;Naor,M. «PricingviaProcessingorCombattingJunkMail».A: Brickell,E.F. (ed.). AdvancesinCryptology-CRYPTO’92 (12thAnnual InternationalCryptologyConferenceSantaBarbara,California,USA,August16–20,1992Proceedings).Berlín:Springer,1983,139–147.(Lecture NotesinComput.Sci.;740)

[3] Goldreich,O.;Micali,S.;Wigderson,A. «Proofsthatyieldnothingbut theirvalidityandamethodologyofcryptographicprotocoldesign».A: Proceedingsofthe27thannualSymposiumonFoundationsofComputer Science(FOCS).Washington,DC:IEEEComputerSociety,1986,174–187.

[4] Goldwasser,S.;Micali,S.;Rackoff,C. «Theknowledgecomplexity ofinteractiveproofsystems».A: Proceedingsofthe17thannualACM symposiumonTheoryofComputing (ConferenceSTOC’85,Providence,RI, USA,May06–08,1985).NovaYork:ACM,1985,291–304.

[5] Koblitz,N. «Ellipticcurvecryptosystems». Math.Comp.,48(177)(1987), 203–209.

[6] Miller,V.S. «Useofellipticcurvesincryptography».A: Advancesin Cryptology-CRYPTO’85Proceedings.Berlín:Springer,1986,417–426. (LectureNotesinComput.Sci.;218)

[7] Nakamoto,S. «Bitcoin:Apeer-to-peerelectroniccashsystem».Report, bitcoin.org (2008).

[8] Naor,M.;Naor,Y.;Reingold,O. «Appliedkidcryptographyorhowto convinceyourchildrenyouarenotcheating». JournalofCraptology,0(1) (1999).

[9] Rivest,R.L.;Shamir,A.;Adleman,L. «Amethodforobtainingdigital signaturesandpublic-keycryptosystems». Comm.ACM,21(2)(1978), 120–126.

[10] Ron,D.;Shamir,A. «QuantitativeAnalysisoftheFullBitcoinTransaction Graph».A: Sadeghi,A.-R. (ed.). FinancialCryptographyandDataSecurity (17thInternationalConference,FC2013,Okinawa,Japan,April1–5,2013, RevisedSelectedPapers).Berlín:Springer,2013,6–24.(LectureNotesin Comput.Sci.;7859)

[11] Shor,P.W. «Polynomial-timealgorithmsforprimefactorizationand discretelogarithmsonaquantumcomputer». SIAMJ.Comput.,26(5) (1997),1484–1509.

[12] Silverman,J.H. Thearithmeticofellipticcurves.2aed.Dordrecht:Springer,2009.(GraduateTextsinMathematics;106)

DepartamentdeMatemàticaAplicadaiAnàlisi UniversitatdeBarcelona GranViadeLesCortsCatalanes, 585 elitza.maneva@gmail.com

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.31,núm.1,2016.Pàg.51–71. DOI:10.2436/20.2002.01.66

Nousresultatsiprocedimentsenlesmatemàtiques delsegle XVII:càlculdemàximsaPietroMengoli (1626/1627–1686)

M.RosaMassa-Esteve

Resum: Lapublicació,l’any1591,del’obra Inartemanalyticenisagoge deFrançois Viète(1540–1603)vaconstituirunpasendavantimportanteneldesenvolupamentdel llenguatgesimbòlic.Acomençamentsdelsegle xvii ladifusiódel’obradeViètevaprovocarquealtresautors,comaraPietroMengoli(1626/1627–1686),tambéconsideressin lautilitatdelsprocedimentsalgebraicsperresoldretottipusdeproblemes.Mengoliva seguirelcamídeViètetotconstruintunageometriad’espècies, Geometriaespeciosae elementa (1659),quelivapermetreemprarconjuntamentl’àlgebrailageometriaper resoldreproblemesdequadratura.Mengoli,comViète,vaconsiderarlasevaàlgebra unatècnicaenlaqualelssímbolserenutilitzatsnoúnicamentperrepresentarnombres sinótambévalorsdequalsevullamagnitud.Vatractarambespècies,formes,taules triangulars,quasiraonsiraonslogarítmiques.Tanmateix,l’aspectemésinnovador delseutreballvaserl’úsdeleslletrespertractardirectamentlesfiguresgeomètriquesmitjançantlessevesexpressionsalgebraiques.Enaquestarticle,analitzola construccióalgebraicad’aquestesfiguresgeomètriques,l’úsdelestaulestriangularsi lademostraciómoltoriginalquevaferMengolipertrobarelmàximd’aquestesfigures geomètriquesabansdeldesenvolupamentdelcàlculdeNewtoniLeibniz.Aquestes anàlisisil.lustrenlesideesmatemàtiquesdeMengolisobrelafuncióespecíficadel llenguatgesimbòliccomamitjàd’expressióicomaeinaanalítica.

Paraulesclau: ﬁguresgeomètriques,taulestriangulars,PietroMengoli,matemàtiques delsegle xvii,màximd’unaﬁgura,logaritmes,expressióalgebraica.

ClassiﬁcacióMSC2010: 01A45,3303,2603.

Introducció

Eldesenvolupamentdelesmatemàtiquesalsegle xvii potserentès grosso modo perl’impulsdelaconjunciódetresforces:a)l’herènciadelamatemàtica

Partd’aquestainvestigacióvaserpresentadaprèviamentalcongrésinternacionaldeManchester ICHSTM2013dinsdelsimposi«Thehistoryandphilosophyofmathematicaloptimization».

clàssicaexemplificadaperlestraduccionsllatinesdelRenaixementdelesobres d’EuclidesiArquímedes;b)l’emergènciadel’àlgebrailasevautilitzacióen lageometriaconduentsaunaalgebritzaciódelamatemàtica,ic)l’extensió deldominipropidelesmatemàtiquesal’úsd’algoritmesinfinitsial’estudi d’objectesgeomètricsdedimensióinfinita.Enunaèpocaenlaquals’havia recuperatelpensamentclàssicatravésdelestraduccionsdelstextosgrecs, s’introduïrenalavegadaenelpensamentmatemàticunestècniquesalgebraiquesmoltfèrtilsambunsignificatque,avegades,s’oposavaalacomprensió delestècniquesclàssiques[16,17].

Unadelestransformacionsessencialsdelesmatemàtiquesdelsegle xvii va serl’establimentd’unnoullenguatgesimbòliccomaeinamatemàtica.Elnou llenguatgedesímbols,quenoeranomésunanovamanerad’escriuresinóque aportavanousobjectesinousprocediments,esvacomençaraemprartambé alesoperacionsiconstruccionsgeomètriquesperobtenirnousresultats.De fet,duesdelesnovetatsalesmatemàtiquesdelsegle xvii,lacreaciódela geometriaanalíticaielsprimersdesenvolupamentsdelcàlculinﬁnitesimal,van serimpulsatsperlesconnexionsentrelesexpressionsalgebraiquesilescorbes quedescriuenlesﬁguresgeomètriques,enutilitzarprocedimentsalgebraics peraresoldreproblemesgeomètrics.

Undelspuntsd’inﬂexióperaldesenvolupamentd’aquestllenguatgesimbòlicelvaconstituirlapublicació,l’any1591,del’obra Inartemanalyticen isagoge deFrançoisViète(1540–1603).Enaquestaobraesvaferevidentl’avantatged’utilitzarsímbolsdinslamatemàtica,noúnicamentperrepresentar lesincògnites,sinótambéperrepresentarlesquantitatsconegudes,laqual cosapermetiatractarlesequacionsdemanerageneral[32, 12]i[25].Amés Viètevaintroduirunaàlgebra«nova»,emprantlaquevaanomenar«logistica especiosa»,ésadir,càlculsamb«espècies»,enfrontdela«logisticanumerosa»,ésadir,càlculsambnúmerosquejaesdesenvolupavenalesàlgebres renaixentistesanteriors.ElsistemadeVièteeraunmètodedecàlculd’espècies, tipusoclassesd’elementsmésquedecàlculsdirectesambcadaelement.Les espèciesdel’àlgebradeVièteerentottipusdemagnituds,numèriques—com araelsnúmerosnaturalsiracionals—,peròtambégeomètriques—comarales longituds,lesàrees,elsvolumsoelsangles.

L’obradeViètevatenirunagrandifusió1 i,aprincipisdelsegle xvii,un bonnombredematemàticsvacomençaraadonar-sequeelsprocediments algebraicserenunaeinamoltútilperresoldreproblemesgeomètrics.Entre aquestspodemcitarPierredeFermat(1601–1665),2 totiquelaﬁguramés inﬂuentenlarecercasobrelesrelacionsentrel’àlgebrailageometriavaser

1 L’àlgebradeViètevaserlaguiaperaresoldreequacionsal’aritmètica,alageometriaia latrigonometria.Unexempleésl’obraenciclopèdicadePierreHérigone(1580–1643), Cursus mathematicus,París(1634,1637,1642),queconstadesisvolums,entreelsqualsund’àlgebra. Sobrel’obrad’Hérigonevegeuunaanàlisicomparativaentrel’àlgebradeVièteilad’Hérigone a[23],eltractamentdels Elements d’Euclidesal’obrad’Hérigonea[24]ilainﬂuènciadel’obra deVièteenl’obrad’Hérigoneilad’aquestenladeMengolia[25].

2 Fermatnovapublicarmentreviviaielsseustreballscirculavenenformadecartesimanuscrits.SobreFermatvegeu[10,p.65–71i286–292]i[15,p.229–232].

Nousresultatsiprocedimentsenlesmatemàtiquesdelsegle XVII 53

RenéDescartes(1596–1650),autordelaconegudaobra Lagéométrie,que figuravacomunapèndixenelseu Discoursdelaméthode (Leiden,1637). AquesttreballdeDescartesvasuposarunpuntdepartidapercontemplar lageometriadesd’unaaltraperspectiva[11, 8, 3].Apartirdelasevaobra,i durantunsegleaproximadament,esvaduratermeelprocésd’algebritzacióde lesmatemàtiques[17, 22],unperíodeenelqualesvapassard’unamanerade pensarlesmatemàtiquesgairebéexclusivamentgeomètricaaunpensament matemàticmésalgebraic.Aquestaevolucióvaserlentaidesigual.Alguns autorsvanadoptarlestècniquesalgebraiquesenlasevaobrai,alavegada, vanintentarjustificar-lesotransformar-lesd’acordamblamatemàticaclàssica. D’altres,malgratconèixerl’existènciad’aquestsprocediments,elsconsideraven aliensalpensamentmatemàtici,finsitot,elsrefusaven.Finalment,alguns acceptavenaquestanovamaneradepensarcomuncomplementmésperal desenvolupamentdelessevestècniquesmatemàtiques[22].

Situatenaquestúltimgrup,PietroMengoli(1626/1627–1686),matemàticbolonyèsdeixebledeCavalieri,seguintlesideesalgebraiquesdeViète,va construirunaàlgebrad’«espècies»alageometria,quelivapermetreemprar complementàriamentl’àlgebrailageometria[19, 21].ElnomdeMengoliapareixenelregistredelaUniversitatdeBolonyaenelperíode1648–1686,on vasucceirelseumestreCavalierialacàtedradematemàtiques.Esvagraduar enfilosofial’any1650itresanysméstard,enlleiscivilsicanòniques.En unprimerperíodevaescriuretresobresdematemàticapura: Novaequadraturaearithmeticaeseudeadditionefractionum (Bolonya,1650), Viaregiaad mathematicasperarithmeticam,algebramspeciosametplanimetriamornata maiestatiserenisimaeD.christinaereginaesuecorum (Bolonya,1655)i Geometriaespeciosaeelementa (Bolonya,1659),iméstard,el Circolo (Bolonya,1672). L’any1660vaserordenatsacerdoti,desd’aquestmomentifinsalasevamort, vaserpriordel’esglésiadeSantaMariaMagdalenadeBolonya[29].

Alessevesobres,Mengolivaestablirlespropietatsdelesfiguresgeomètriquesdefinidesmitjançantexpressionsalgebraiquesqueennotacióactual s’escriuen y = Kxm(1 x)n,ivatrobar-neaméslesquadratures.Aixíva demostrarquelesàreesentre0i1d’aquestesfigures,ambelscoeficients pertinents,valen1quan m i n sónnaturals.Ennotacióactual[19,21]: (m + n + 1) m + n n 1

Peraracionalsdedenominador2,vademostrar[19,26]:

0 xn(1 x)(m n) dx = 1 (m/2 + 1) m/2 n/2 .

Mengolivaclassiﬁcarlesﬁguresgeomètriquesdescritesperlescorbes y = Kxm(1 x)n segonselgrauieltipusd’expressióalgebraica,ienvadescriure

M.RosaMassa-Esteve

lasevarepresentaciósituant-lesenunestaulestriangulars.Vaestablirtambé unprocedimentperatrobarelseumàximenunintervaldonat,senseleseines delcàlculinﬁnitesimalqueesdesenvoluparienpocsanysméstard.

L’objectiud’aquestarticleésanalitzarlaconstruccióalgebraicad’aquestes figuresgeomètriques,l’úsdelestaulestriangularsilasingulardemostració empradaperMengoliperatrobarelmàximd’aquestesfiguresgeomètriques,en elcontextdelesmatemàtiquesdelsegle xvii.Mostraremquel’úsdelllenguatge simbòlicidelestaulestriangularssónfactorsdeterminantsenlademostració deMengoli,enlajustificaciódelasevaexactitud,delavalidesadelprocediment idelageneralitatdelresultat.

1Lesexpressionsalgebraiquesdelesﬁguresgeomètriques deMengoli

Alesmatemàtiquesdelsegle xvii,larelacióentrelesordenadesilesabscisses d’unafigurageomètricaodelacorbaqueladescriu,talcoms’enténactualment,encaranoestavaestablerta.Elquefeienelsdiferentsautorserenintents d’introduirl’àlgebraenlageometriaperconstruirlescorbesemprantelnou llenguatgealgebraic[2, 3].Algunsautorsdefinienifeienservirlescorbesa travésdelessevespropietats,d’altresdefinienlesfiguresgeomètriquesoles corbesquelesdeterminavenatravésdeladescripciódelasevaconstrucció puntapuntobédelseumovimentperòencaranodefinienexpressionsalgebraiquesques’identifiquessinamblesfiguresgeomètriquesmitjançantun sistemadecoordenadesiencaramenysprescindiendelseudibuixal’hora detreballar-hi.Comesmostrarà,Mengolipresentavaunprocedimentoriginal iinnovadorperal’època,emprantl’àlgebraenlageometriad’unamanera singular.

La Geometriaespeciosaeelementa (1659)deMengoli,d’araenendavant Geometria,obrade472pàginesdematemàticapura,estàcompostapersis capítols,queanomena elements,iunaintroducciótitulada«Lectorielementario».3 Jaeneltítol,«Elementsdegeometriad’espècies»,indicaelsingularúsdel llenguatgesimbòlicenaquestaobrai,enparticular,enlageometria.Mengoli,

3 Enelprimercapítold’aquestaobra,titulat«Depotestatibus,àradicebinomiaetresidua», Mengolidonavales10primerespotènciesd’unbinomi,expressadesenlletres,tantpelquefaa lasumacompelquefaaladiferència,iexplicitavaqueerapossibleestendreaquestresultata potènciesmésgrans.Elsegon,titulat«Deinnumerabilibusnumerosisprogressionibus»,conté càlculsdenombrosessumesdepotènciesiproductesdepotènciesambunanotaciópròpia,així comdemostracionsd’algunesidentitats.Eneltercer,quetécomatítol«Dequasiproportionibus», apartirdeladefiniciódelsconceptes«raóquasinul.la»,«raóquasiinfinita»,«raóquasila igualtat»i«raóquasiunnúmero»,desenvolupavaunateoriadequasiproporcions,basant-se enlateoriadeproporcionsdelLlibre v d’Euclides.Enelquartcapítol,titulat«Derationibus logarithmicis»,basant-setambéenelLlibre v d’Euclides,elaboravaunateoriacompletade proporcionslogarítmiques.Enelcinquè,titulat«Deproprijsrationumlogarithmis»,construïael logaritmed’unaraóamblateoriaanterioridemostravalessevespropietats.Finalment,enel sisè,titulat«Deinnumerabilibusquadraturis»,calculavalesquadraturesdefiguresmixtilínies desenvolupantl’àlgebradeVièteatravésd’unestaulestriangularsilateoriadequasiproporcions.

Nousresultatsiprocedimentsenlesmatemàtiquesdelsegle XVII 55

encaraquenointencionadament,vacrearunnoucampdinsdelamatemàtica, una«geometriaespeciosa»modeladaperl’àlgebraespeciosadeViète,jaque tractàlageometriaambelllenguatgeespeciós,onelssímbolsrepresentaven noúnicamentnúmerossinótambéelsvalorsdequalsevolmagnitud,jasigui longitud,àreaovolum.

Enaquestapartatesmostraacontinuaciócom,alaseva Geometria,Mengoli identificaiconstrueixlesfiguresgeomètriquesdescritesperlescorbes,d’equació y = Kxm(1 x)n,emprantunesexpressionsalgebraiquespròpies,ide quinamanerafaserviraquestaidentificació.Tambés’analitzacoml’úsd’unes taulestriangularsperclassificaraquestesfiguresengrupspermettractar-ne lespropietats.

1.1Sistemadecoordenades

Mengolivacomençarl’elementsisè,titulat«Deinnumerabilibusquadraturis», explicantelseusistemadecoordenades,definintl’abscissaidescrivintindividualmentlesordenadesdelesfiguresgeomètriquesatravésdelesseves abscisses.Mengoliproposàunsegmentdequalsevollongitud,ambelnom de Rationalis,ielvaposarenunalíniarectaquevaanomenar Tota ique representàamblalletra t (devegadesamblalletra u,sivalia1).Vadefiniruna basecomunsegmentdelíniarectademida t o1iutilitzàlaparaula abscissa comla x ques’empraactualment,encaraquedinsd’aquestabase.4 Sempre treballavadinsd’unabasefinitaonl’abscissaesrepresentavaperlalletra a i elresiduperlalletra r ,iguala t a obéa1 a segonsfoslabaseunvalor donat t obélaunitat1.Mengolihodefiniaaixí[27,p.367]:

3.Isiguidonadaunaposició,alaqualsel’anomenarà Base [AR] 5

4. Iundelspunts [A] del’extrem[delabase]sel’anomenaràﬁdeles abscisses[origendelabase].

5.Ial’altrepunt [R] sel’anomenaràﬁdelsresidus[ﬁnaldelabase].

6. Ialaquantitatque[va]desdequalsevolpuntdelabaseﬁnsalaﬁ delesabscisses [AB],enlamidaenquèésestesalamateixabase,se l’anomenaràabscissa [a]. 6

Enconcret,Mengoliconsideravalabase AR,on A éslafidelesabscisses, R és lafidelsresidus, AB ésl’abscissai BR éselresidu(figura1).

4 Encaraquelaparaula abscissa haviaestatempradaperaltrescontemporanis,semblaqueno haviaestatutilitzadaabanscomhofemactualment.Laparaula abscissa jahaviaapareguten alguntextdeFermatel1644[10,p.195],deTorricelliel1646[31,p.366],deCavalieriel1647[4, p.858–859]idedegliAngeliel1659[1,p.175–179].

5 Elsnombresqueapareixenalcomençamentsónelsnombresd’ordredelesdeﬁnicionsde Mengoli.

6 «3.Sitquedatapositione;quaedicetur,Basis.4.Eiusquealterumextremorumpunctorum, dicetur,Finisabscissarum.5.Alterum,Finisresiduarum.6.Etabunoquoquepunctoinbasi sumpto,usqueadﬁnemabscissarum,quatenusipsabasisextenditur,quantitasdiceturAbscissa.». Toteslestraduccionsdelllatíalcatalàsóndel’autora.

Figura 1: Deﬁniciód’abscissa.

Pelquefaal’ordenada,Mengoliutilitzavaaquesttermeenllocd’«applicata», ques’empravaenaquellaèpoca.7 Deﬁnialesordenadespercadavalorde l’abscissadelabase,començantperlesordenadesdelesﬁguresconegudes, comésaraelquadrat(oelrectangle)ieltriangle,apartirdelasevaconstrucció sobrecadapuntdelabase.8 AixíexplicavaMengolicomtraçarlesordenades d’unquadrat[27,p.368]:

10. Sobreunabaseésdescritunquadrat,isuposoquedesd’unqualsevoldels puntsdelabaseéstraçadaunarectaﬁnsalcostatoposat,mantenint-la sempreparal.lelaalscostatsdelquadrat;laqualseràanomenada«ordenadadinsdelquadrat».9

Enelcasdelesfiguresmixtilínies(figuresdeterminadesperunapartrectai perl’altrapartcorba),Mengolinovadefinirlesordenadesmitjançantlaseva construcció,sinóquevaexplicarqueerenigualsalesabscissesoalespotències delesabscisses;aixíperalesordenadesdelaparàboladeia:«unaordenada qualsevolésabscissaalquadrat»,ennotacióactual, y = x2.Mésendavant, quanfeialesdemostracionsdelespropietatsdelesfigures,laigualtatentreles ordenadesilesabscissesolespotènciesdelesabscisseseratambéexpressada mitjançantlaproporciósegüent,essent1lamidadel’intervali y l’ordenada corresponental’abscissa x:

(1: y) = (1: x)m .

L’úsdelesproporcionsidelateoriadeproporcionseuclidianaésunaconstant enlamatemàticadeMengoli,jasiguiperestablirlateoriadequasiproporcionsielslogaritmes,comperdescriurelesoperacionsaritmètiquesentre espècies[20].

1.2Lesexpressionsalgebraiquesdelesﬁguresgeomètriques deMengoli

Mengolideﬁnialesﬁguresgeomètriquesquevoliaquadrarcom«estesesper lessevesordenades»,lesvaanomenar«formes»ilesvarepresentarmitjançant

7 Descartesdeﬁneixlesordenadescom«cellesquis’appliquenparordre»;vegeu[8,p.67],onhi haunanotaquediu:«L’equivalentde«ordinationaplication»erautilitzatenelsegle xv traduint Apolonius».Lanotatambécitaqueel Diccionarimatemàtic d’Hutton(1796)dóna aplicada comla paraulacorresponental’ordenada idiuquetambés’utilitza«ordenadaaplicada».Defet,Fermat iCavalieriutilitzaven«applicata».Mengolienel Circolo lesanomenà«ordinatamenteapplicate».

8 SemblaqueFermatdonavaunsistemadecoordenadessimilarperdeﬁnirlescorbesperòla sevaordenadanoerasempreperpendiculari,enaquestscasos,donaval’anglequeformavaamb l’eixd’abscisses;vegeu[10,p.91–131].

9 «10.Superbasidescribaturquadratum:&abunoquolibetpunctoinbasisumpto,recta ducatur,usqueadoppositumlatus,reliquislateribusquadratiparallela:quaedicetur,Ordinata inquadrato.».

Nousresultatsiprocedimentsenlesmatemàtiquesdelsegle XVII 57

unaexpressióalgebraica FO.amr n,on FO denotalaforma, a l’abscissa x i r el residu (1 x).Mainovamencionarlaparaula corba,sinóquevaparlarde ﬁgura o forma,paraulaques’utilitzavaenelsseglesanteriorsiques’identiﬁcavaamb lamesuradelaqualitatd’unaquantitat,comaraal’obradeNicolasOresme (1323–1382)quedupertítol Tractatusdelatitudinibusformarum (1346)[6, 7].

Primerdescrivialesﬁguresconegudescomaraelquadratieltriangle,i ﬁnalmentles«formes»estesesperqualsevolordenadadeltipus y = xm(1 x)n.Mengoliexpressavaalgebraicamentelquadrat[27,p.368]:

12. Ielquadratestèsperlesseves«ordenades»seràanomenat«Formade totselsracionals»i«Formadetotesles totes»,iésrepresentatambels caràcters FO.u i FO.t 10

Definiaeltrianglecomla«Formadetoteslesabscisses»(estèsperl’ordenada y = x)ielrepresentàalgebraicamentambelcaràcter FO.a.Lesparàboles sónla«Formadetoteslesabscissesalquadrat»,la«Formadetoteslesabscissespelsresidus(uniprimes)»,ila«Formadetotselsresidusalquadrat»; elsrepresentàambelscaràcters FO.a2 , FO.ar , FO.r 2 [estesesper y = x2 , y = x(1 x), y = (1 x)2,respectivament].I,engeneralMengolidefiniala figuraestesaperqualsevolordenadaemprantl’expressió«tales»[27,p.369]:

23. I,generalitzant,sisobrelabaseesformaunafigura,estesanosolament perordenadesdinsd’unquadrat,enlaqualunaordenadaqualsevolés consideradacomalgunelementdelsdelataulaproporcional[xm(1 x)n essent x l’abscissa],[aquestafigura]seràanomenada«Formadetots talsproporcionals»iseràrepresentadaambelscaràcterspertinents;per exemple«Formadetoteslesabscissesalcub(tertiae)», FO.a3 [estesa per y = x3],«Formadetotselsproductesdelesabscissesalquadratpel residu(biprimae)», FO.a2r [estesaper y = x2(1 x)],«Formadetotsels productesdel’abscissapelsresidusalquadrat(unisecundae)», FO.ar 2 [estesaper y = x(1 x)2],«Formadetotselsresidusalcub(tertiae)», FO.r 3 [estesaper y = (1 x)3],iaixíindefinidament.11

Tanmateix,Mengolivoliaassegurar-sequecadascunad’aquestesexpressions algebraiquesdefinidesperdescriurelesfiguresgeomètriques,queerenobjectes algebraicsnous,podiaseridentificadaamblafiguracorresponentatravés d’unaconstrucció.Aixíalaterceraproposiciódel’elementsisèdemostravaque, proposadaunaexpressióalgebraicaassociadaaunaformaofigurageomètrica idonadaunaabscissa,sempreespodiaconstruirunaordenadacorresponenta aquestaabscissadinsd’aquestafigurageomètrica.Mengolihoplantejavaamb

10 «12.Etquadratum,persuasordinatasextensum,dicetur,Formaomnesrationales,&Forma omnestotae.&signiﬁcabiturcharacteribusFO.u &FO.t.».

11 «23.Etgeneraliter,sisuperbasiconcipiaturﬁgura,extensanonnisiperordinatasinquadrato: &inqua,unaquaelibetordinata,estassumptaquaedamintabulaproportionalium:dicetur,Forma omnestalesproportionales.aptoquesigniﬁcabiturcharactere.vtFormaomnesabscissaetertiae, FO.a3:Formaomnesbiprimae, FO.a2r :Formaomnesunisecundae, FO.ar 2:Formaomnes residuaetertiae,FO.r 3 &sicdeinceps.».

M.RosaMassa-Esteve

laparaula problema,jaqueestractavad’unaconstruccióinod’unteorema, ielresoliaperaunaformaconcreta, FO. 10a2r 3.Elquecaliaeratraçaruna recta y,perpendicularalabase,queperunaabscissadonada x verifiquésla proporció: (1: y) = (1: x)2(1: (1 x))3(1:10).Fentlacomposicióderaons, comqueerenigualselsnumeradorshaviendeserigualselsdenominadors,i aixítrobavaelvalordel’ordenada y = 10x2(1 x)3.Mengoliaquídibuixavaun eixhoritzontal AR iunalíniaperpendicular(noenelpuntmitjà)amblalletra B sobrelabaseilalletra C alfinaldelalíniaperpendicular(figura2).Mengoli descrivialaconstruccióilademostraciód’aquestamanera[27,p.377–378]:

Problema1.Proposició3. Trobeul’ordenadad’unaforma[ﬁgurageomètrica]proposada,perunpunt donatienunabasedonada.

Figura 2: Proposició3[27,p.378].

Hipòtesi.

Aixòés,proposada FO 10a2r 3 [expressióalgebraica],sobreunabasedonada AR,enlaqualunpunt B ésdonat,ésnecessaritrobarl’ordenadaper B. 13

12 «Probl.1.Prop.3.Formaepropositae,indatabasi,perdatumpunctum,ordinataminvenire.». 13 «Hypoth. Estoproposita FO 10a2r 3,superdatabasi AR,inquadatumpunctum B.Oportet per B ordinataminvenire.».Estranscriuentotselsapartatsdelademostració.

Nousresultatsiprocedimentsenlesmatemàtiquesdelsegle XVII 59

Construcció.

Donat AR,idonats AB, BR,estrobaràlarecta BC,alaqual AR téunaraó compostadelesraonsdonades AR a AB alquadrat, AR a BR alcub,idela raóundècim.Iseràtraçada BC perpendiculara AR.Aﬁrmo,doncs,que BC és l’ordenadaper B,dinsde[laﬁgura] FO 10a2r 3 14

Demostració.

Laraó AR a BC seràcompostadelesraons AR a AB alquadrat, AR a BR alcub, id’undècim;però AR és u[1]; AB és a; BR és r[1 a].Llavorslaraó AR a BC seràcompostadelesraons u a a,alquadrat, u a r ,alcub,id’undècim.Però u a 10a2r 3 seràcompostad’aquestes.Llavors AR a BC éstalcom u a 10a2r 3

Però AR és u,d’aquí BC és 10a2r 3;enconseqüència, BC ésl’ordenadaper B, dinsde FO 10a2r 3 15

Defet,acadaabscissa x licorresponelvalor10x2(1 x)3,queéselque mesuralarectaperpendicularquevade B a C,essent C unpuntdelalínia quedescriulafigura,nosaltresdiríemlacorba,il’anomenaordenadade l’abscissa B dinsdelafigura FO. 10a2r 3.Mengolinodónavalorsparticulars d’aquestacorrespondència.Falademostracióperaunafiguraqualsevol,però consideraqueéscertaperatoteslesaltresfiguresfentlesraonscorresponents.

CalremarcarqueMengolienaquestademostraciónonoméstreballavaamb proporcionsdesegmentssinóquetambéidentificavaelssegmentsambles lletresdel’expressióalgebraicaiigualavaelproductedesegmentsambla composicióderaons,emprantlateoriaeuclidianadeproporcions.Tanmateix, MengolinovadefinirunaàlgebradesegmentscomvaferDescartesalaseva Géométrie,ésadir,novadonarunainterpretaciógeomètricadecadascuna delesoperacionsalgebraiquesquedefiniasinóquevademostrar,perauna mesuradonadadel’interval,comconstruirl’ordenadaperunpuntdonat emprantlacomposicióderaonsilasevadefiniciód’ordenadesigualsales abscissesdelessevesfiguresgeomètriques.Lasevaintroducciódel’àlgebra dinslageometriatéméssimilitudsambelsprocedimentsdeViète.Aquest tambéempravalateoriadeproporcionscomunlligam,peròfeiadiagrames senseutilitzarsistemesdecoordenadesiverificavalesconstruccionsdeles solucionsdelesequacionsdesegongrausenseassumircapconnexióentreles ordenadesilesabscisses.Quanesmencionalarelacióentrelesordenadesi lesabscissesenunacorba,hompensaimmediatamentenFermatienlaseva obra Adlocosplanosetsolidosisagoge de1636.TotiqueMengolipodriahaver preslainspiracióenl’obradeFermat,nomésvaestablirlarelacióperaalgunes

14 «Constr.Data AR,datisque AB, BR,inveniaturrecta BC,adquàm AR,rationemhabetcompositamexdatisrationibus, AR ad AB duplicata, AR adBRtriplicata,&exrationesubdecupla:& colloceturBCperpendiculariterad AR.Dico BC,esseordinatamper B,inFO. 10a2r 3.».

15 «Demonstr. Ratio AR ad BC,componiturexrationibus AR ad AB duplicata, AR ad BR triplicata,&exsubdecupla:sed AR,est u; AB est a; BR est r :Ergo AR ad BC ratio,componitur exrationibus u ad a duplicata, u ad r triplicata,&exsubdecupla:sedexijsdemcomponitur u ad10a2r 3:ergo AR ad BC estut u ad10a2r 3:sed AR est u:ergo BC est10a2r 3:ergo BC est ordinataper B,inFO 10a2r 3.Quod&c.Quare&c.».

M.RosaMassa-Esteve

figuresgeomètriques,comaralesdeterminadesper y = Kxm(1 x)n ino vamencionarhavertrobatunprincipigeneralcomvaafirmarFermatenla seva Isagoge [10,p.91].Mengolinovatractarniproblemessòlids,nillocs geomètrics,comvaferFermat;amés,elmètoded’identificacióalgebraicade Mengolinopotseraplicatperaresoldreaquestsaltresproblemesgeomètrics.

Tanmateix,larecercadeMengoliésprofundamentoriginaljaque,enconstruirl’ordenadadinsd’unafiguraperunaabscissadonada,vaestabliruna identificacióentreelsnousobjectesalgebraicsilesfiguresgeomètriquesqueli permetiatractarlesfiguresgeomètriquesmitjançantlessevesexpressionsalgebraiques,sensenecessitatdedibuixar-les.Defet,Mengolivafertresdibuixos entotala Geometria,iméstardenel Circolo (1672),oncalculàlaquadratura delcercle,noenvafercap[26].

1.3Lestaulestriangularsdelesﬁguresgeomètriques

Desprésdedefinirlesfiguresgeomètriquesanteriorsiassignar-les-hilesexpressionsalgebraiquescorresponents,Mengoliprocedeixatreballarambaquests nousobjectesalgebraics,ordenant-losenunestaulestriangulars,inspiradespel trianglecombinatori(tambéconegutper triangledePascal).16 Aquestestaules erenunaeinamoltutilitzadaperMengolidinsla Geometria jaquelipermetien classificarelselementsdelataulaentipusogrups,segonselsexponentsiel llocqueocupaven,id’aquestamanerapodiaestudiarlespropietatsdemolts elementssimultàniament.17

Mengoliordenàlesexpressionsalgebraiquesquerepresentavenlesfigures geomètriquesenunataulatriangularinfinitaqueanomenà TabulaFormosa («tauladelesformes»).Vegeulatauladelesformescoml’escriviaMengoliala figura3i,alafigura4,lanostrainterpretaciógràfica.L’expressiódelvèrtex, FO.u,representaunquadratdecostat1.Lesduesexpressionsalgebraiques delaprimerafilarepresentendostriangles.Elprimertriangle, FO.a,està determinatperlabisectriudelprimerquadrant y = x,l’eixd’abscissesilalínia recta x = 1ielsegontriangle, FO.r ,estàdeterminatperlalíniarecta y = 1 x traçadadesdel’extrem (1, 0) al (0, 1) il’eixd’abscisses.Lestresexpressions algebraiquesdelasegonafilaestandeterminadesperlesordenadesd’una paràbola,l’eixd’abscissesilalíniarecta x = 1.Laprimera, FO.a2,determinada perlesordenades y = x2;lasegona, FO.ar ,perlesordenades y = x(1 x), ilatercera, FO.r 2,perlesordenades y = (1 x)2 idelamateixamanera descriuríemlesaltresfiles.

16 Eltrianglecombinatorihapassatalahistòriacoma triangledePascal jaqueBlaisePascal (1623–1662)vaexplicarivademostrarlessevespropietatsenunestilmoltclar[30, 9].Mengoli probablementnoconeixiaeltractatdePascaljaquehaviaestatpublicatel1665peròelpodia haverconegutatravésdelasevafont,l’obrad’Hérigone, Cursusmathematicus (1634)[13].

17 Enl’«Elementumprimum»elselementsdelataulaerennombres,representatsperlletres, que,multiplicant-lospelsnombrescombinatoris,lipermetiencalcularelssumands (amr n) que formeneldesenvolupamentd’unapotèncianaturald’unbinomiqualsevol.Enl’«Elementum secundum»elselementsdelataulaerensumatorisdepotènciesideproductesdepotències (Oamr n)

Nousresultatsiprocedimentsenlesmatemàtiquesdelsegle XVII 61

Figura 4: Interpretacióactualdelesﬁguresgeomètriques.

Figura 3: TabulaFormosa

FO.a2

FO.ar

FO.r 2

FO.a

FO.r

FO.u

M.RosaMassa-Esteve

Aquestesexpressionsalgebraiquesdelatauladelesformesrepresentaven unesfiguresgeomètriquesqueellnodibuixava,totiqueconeixiaperfectamenteltraçdelacorbaquelesdeterminava.Unaevidènciad’aquestconeixementestrobaalfinaldelcapítolsisè,onMengolienunciatotunseguit deresultatssobreaquestesfiguresgeomètriques,sensecapdemostració.18 Mengoliexplicavalaclassificaciód’aquestesfiguresgeomètriquessegonsla posicióalataula,descrivintelsanglesmixtilinisqueformavalalíniacorba quelesdeterminava,entallarlabase.Amésespecificavaelvalordelsangles,i donavanomsalesfigures: binangula, unicornes, bicornes, unicornes i unangulae.Aixílafiguradelasegonafila(ellendeiasegonabase),queéslasegonai penúltima,ésadir, FO.x(1 x),era binangula iformavadosanglesambla basequevalien45◦.Mengolinodetallavaaquinsanglesesreferiaperòespot deduirqueerenelsqueformalalíniacorbaenelspuntsdetalldelsextrems delabase.Apartirdelatercerafilaenendavant,lesfiguresdelsextremsde lataula,lesprimeresilesúltimes, FO.xm i FO.(1 x)n,ilessegonesiles penúltimes, FO.xm 1(1 x) i FO.x(1 x)n 1,erenanomenades unicornes i unangulae.Lesprimeresformavenunanglequetéunaraóentreelseusinusi elseucosinus(actualmentlasevatangent)proporcionalalnúmerod’ordrede lafila.Pelquefaalsegongrup,noespecificaval’angleperò,enser unangulae, espotdeduirquelacorbaformavaunanglede45◦ ambunextremdelabase. Lesfiguresrestants, FO.xm(1 x)n,amb m i n diferentsde0i1,Mengoliles anomenava bicornes.Encaraquenoexplicavaelsignificatd’aquestnom,espot deduirque unicornes i bicornes esrefereixalfetquelacorbaformaunangleo dosde0◦,respectivament,enelspuntsdetalldelsextremsdelabase,ésadir, estractad’unmínimod’unpuntd’inflexió.

Comespotapreciar,Mengoliutilitzàlaposiciódelesfiguresgeomètriques alestaulestriangularsperclassificar-lesd’acordambelsanglesdetallde lacorbaquedescriulafiguraamblabase,agrupant-lessegonselseugraui segonslasevaposició,mostrantaixíqueconeixiaelseudibuixexactament,ja quedonavatambéelvalorquantitatiudelsanglesdetallamblabase.

Coms’explicaal’apartatsegüent,Mengoliclassificavatambélesfigures geomètriquesdelataulatriangularengrupssegonselseumàxim.Feiales demostracionsperaunsolelementdelgrupiconsideravaqueelresultat eracertperalaresta.Mengolifeiaaquestageneralitzacióbasant-seenla simetriadelataulatriangularilaregularitatdelessevesfiles,afirmacióque explicitàunsanysméstardenlasevaobra Circolo (1672)[28,p.24–25].Espot concloure,doncs,quelafunciódelestaulestriangularsenl’obradeMengoli, perclassificariestablirlageneralitatdelsresultats,esdevéessencial.

2MàximsdelesﬁguresgeomètriquesdeMengoli

Mengoli,ala Geometria,estudiàtambélesﬁguresgeomètriquesquehemdeﬁnit enl’apartatanterior,pelquefaalamonotoniaialpuntmàximdelacorba.

18 Mengoliprometquelesdonaràmésendavantambl’ajudadeDéu,peròsemblaquenohofa [27,p.390].

Nousresultatsiprocedimentsenlesmatemàtiquesdelsegle XVII 63

Peratrobarelmàximd’aquestesfiguresgeomètriques,Mengolivaconsiderartresgrupsalataulatriangular:elprimer,corresponentalesfiguresquees trobenendiagonalalprimercostatdelataula Formosa, FO.am;elsegon,enla diagonaloposadadelataula, FO.r n,ieltercer,enelmigdelataula, FO.amr n . Enlesdemostracionsmengolianesdelmàximdelafigurageomètrica,unaper acadagrupdelataulatriangular,espotcomprovardenouqueMengolitenia moltclarelseudibuix,encaraquenol’inclogués.

Pelquefaalprimergrup,enelprimerteoremademostràqueenlesfigures geomètriquesdelprimercostatdelataula(endiagonal), FO.am,determinades per y = xm,enunintervaldonat,launitat,lesordenadeserensemprecreixents iquel’ordenadamàximaestrobavaal’extremdelabaseivaliaelmateixque labase,launitat.Lademostracióesbasavaenlamateixadefiniciódeles ordenades,prenia n = 2iempravalaproporció,1: y = (1: x)2.Totseguit, enlaprova,partiadeladesigualtatdelesabscissesiobtenialadesigualtat delesordenades,atravésd’aquestaproporció.Tambévademostrar,pelque faalsegongrup,queenlesfiguresgeomètriquesdel’últimcostat, FO.r n , determinadesper y = (1 x)n,lesordenadeserensempredecreixentsique l’ordenadamàximaestrobavaal’origendelabaseitambévaliaelmateixque labase,launitat.

CalremarcarqueMengolinocomparavaúnicamentpotènciesdenúmerosracionals,sinóqueaquestespotències,quanexpressavenunsegment,en aquestcaslesordenadesd’unaﬁgura,tambépodiensercomparadesipermetienestudiarlamonotoniadelacorba.Així,encaraquelespotènciestinguin grausmésgransque3,representensegmentslinealsquemesurenaquestes quantitats,jaquehemdeﬁnitlabasecomaunitat.

Pelquefaaltercergrup,enelsegonteorema,vademostrarqueenlesﬁgures geomètriquesdelmigdelataula, FO.amr n,determinadesper y = xm(1 x)n , lesordenadeserenprimercreixentsidesprésdecreixentsiprenienelseu valormàximenunaabscissaquedivideixlabaseenlaraódelsexponents x : (1 x) = m : n.Defet,siesresoll’equació,s’obté xmax = m/(m + n). Mengolihoplantejavaaixíalsegonteorema[27,p.373]:

Theor.2.Prop.2. Alataula Formosa,lesﬁgures[formes]quenoestanenel primernienl’últimcostattindranunaordenadamàximaqueésméspetitaque labase[tota],iquelasevaabscissaésproporcionalalresiducomelsnombres quedeterminenaquestaforma[elsexponents],il’ordenadadelsresidusd’una part[idelesabscissesdel’altra]ésmésgrancomméss’acostenaquests[i aquestes]al’abscissadelmàxim.19

L’únicarepresentaciógràficaenlademostracióésunsegmentambleslletres A, C, D, B, E, F , R,essent AR labase; A l’origendelesabscisses(elll’anomena lafi); R éselfinaldelabase(queellanomenalafidelsresidus), C, D, E, F són 19 «Theor.2.Prop.2.Insingulisformosaetabule,nonprimi,necultimilaterisformis,ordinatarummaxima,minorest,quamtota.&facitabscissam,&residuam,proporcionales,utnumeri,à quibusipsaformadenominatur:reliquarumveròexutralibetparte,propiormaximeremotiore maiorest.».

divisionsdelabase ARicadascunarepresentaunaabscissa,i B representa l’abscissaquecorresponalmàxim(ﬁgura5).

Figura 5: RepresentaciódelademostraciódelmàximdeMengoli.

Mengolipresentavalademostracióambunaﬁguraconcreta, FO.a2r 3,on l’abscissa B queprenial’ordenadamàximaveriﬁcava AB : BR = 2:3.Defet, resolentl’equació xmax = 2/5.

Mengoliprimerdemostravaquel’ordenadadel’abscissa B ésméspetita quelabase AR,ésadir,quelaunitat.Resumimlademostració:sabentque l’abscissa AB = x ésmenorque1iqueelresidu r = 1 x ésmenorque1,i denotantl’ordenadadel’abscissa B per Ord B = y ilabaseper AR = 1,Mengoli provavaquelabase AR ésmésgranquel’ordenadadel’abscissa B,ésadir, que AR> Ord B;1 >y

Començavalademostraciórecordantlaigualtatsegüent,fentreferènciaal primerllibredela Geometria,ontractavalespotènciesielseuproducte:20 1: x2(1 x)3 = (1: x2)(1: (1 x)3) = (1: x)2(1: (1 x))3 . (1)

20 Comenaltrespartsdel’obraMengoliempralateoriadeproporcionsperdeﬁnirelsseus productesdepotències.

Nousresultatsiprocedimentsenlesmatemàtiquesdelsegle XVII 65

D’altrabanda,amblesnotacionsproposadesestablialesproporcionssegüents:

AR : AB = 1: x; AR : BR = 1: (1 x);

AR :Ord B = 1: x2(1 x)3 .

Llavorsperlaigualtatanterior (1) iaplicantlapropietattransitivaeuclidiana,

AR :Ord B = (1: x)2(1: (1 x))3

Mengoliconcloïaqueesveriﬁcavaladesigualtatentre AR i Ord B,explicantque elproductedelesduesraons (1: x)2 i (1: (1 x))3,quesónmésgrans quelaunitat,dónaunaraómésgranquelaunitat,així: AR : Ord B> 1ien conseqüència, AR> Ord B.

Desprésperdemostrarquel’ordenadadel’abscissa B,queveriﬁcalaproporcióambelsexponents,éslamàxima,provavaquel’ordenadadequalsevol altraabscissa C o D,obé E o F ésméspetita.Comaexempled’aquestsegon tipusdedemostracionsprovaremquel’ordenadadel’abscissa D ésméspetita quel’ordenadadel’abscissa B,queésl’abscissaqueprenelmàxim,ésadir, MengolidemostravaqueOrd D< Ord B

Prenentl’abscissa x = AB i x1 = AD unadivisióqualsevoldelabasemés petitaqueladivisió AB,llavorsperladeﬁniciómengolianadelesﬁgures geomètriques,s’estableixenlesproporcionssegüents:

Ord D : AR = Ord D :1 = (x1 :1)2((1 x1) :1)3 , AR :Ord B = 1:Ord B = (1: x)2(1: (1 x))3

Operanticomponentlesduesproporcionsresulta,

Ord D :Ord B = x2 1 (1 x1)3 : x2(1 x)3

Araestractadeveurequel’antecedentdelaraó, Ord D = (x1)2(1 x1)3,és méspetitqueelconseqüent, Ord B = (x)2(1 x)3,peraqualsevolabscissa D, iaixíquedavistquel’ordenadaper B ésmàxima.

Perveurequel’antecedentésméspetitqueelconseqüentMengolivaemprar unteoremademostratambelsseuslogaritmesqueestablialadesigualtat següent: (x1 : x)2 <((1 x) : (1 x1))3 . (2)

Llavors,deladesigualtat,enresulta: x2 1 (1 x1)3 <x2(1 x)3 i,aplicantla propietattransitiva,Ord D< Ord B.

Finalment,Mengolidemostravatambéquel’ordenadaper C ésméspetita quel’ordenadaper D (ésadir,quelesordenadessóncreixents)iquel’ordenada per F ésméspetitaquel’ordenadaper E (ésadir,quelesordenadesdesprés del’ordenadamàximasóndecreixents).Mengolinoméshodemostravapera dosvalorsqualssevolperòaﬁrmavaqueeracertperatotselsaltresvalors del’abscissa.Mengolivafertotesaquestesdemostracionsambprocediments

similarsiemprantresultatsobtingutsambelslogaritmes.Calremarcarque ésessenciallarelaciód’ordredinsl’intervaliquelacontinuïtatdelacorba esdonavapersuposada;Mengolimainohovamencionarnivasuggerirque tinguéscapdubteoquelipresentéscapproblema.21

2.1Elslogaritmesalademostraciódelmàxim

Pertald’entendrelademostraciódeladesigualtat (2) presentaremunesbósde laideamengolianadelogaritmeidelespropietatsqueutilitzaenlaprovadel màxim.

Mengoliexposalasevateoriadelogaritmesenl’elementcinquè,titulat«De proprijsrationumlogarithmis»,quecomprèn145pàgines,amb34definicions i107proposicions.Mengolidefiniaellogaritmecomellímitdelessumesde termesdelasèrieharmònica.EltractamentéscomplexjaqueMengolivol demostrarlespropietatsdelslogaritmesengeneral,utilitzantelllenguatge simbòlic.Treballaambelllenguatgedelesproporcionsidefineixellogaritme delsnúmerosatravésdelesraonsdetermesdelasèrieharmònicaquemesuren l’allunyamentdelaunitat.

Vegem-neunexemple:pertrobarellogaritmede2utilitzalaraó (1/5:1/10) ideﬁneixduesnocionsnoves,l’hiperlogaritmede2il’hipologaritmede2.L’hiperlogaritmede2 = (1/5:1/10) és1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9.L’hipologaritme de2 = (1/5:1/10) és1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10.Mengoliaﬁrmavaqueel logaritmeseràellímitd’aquestesduessumes.22 Aixíhoexplicavaenel«Lectori elementario»[27,p.69–70].

Pertantl’hiperlogaritmeil’hipologaritmesónquasiiguals.Iellogaritmeés aquellaquantitataquètendeixenelshiperlogaritmesquanvandisminuintia quètendeixenielshipologaritmesquanvanaugmentant,elméspetitdetots elshiperlogaritmesielmésgrandetotselshipologaritmes.23

IjaenlesdeﬁnicionsMengoliaﬁrmava[27,p.206],

Def.24.Unaquantitatméspetitaquetotselshiperlogaritmesd’unaraóimés granquetotselshipologaritmess’anomenaràlogaritmed’aquellaraó.24

VegemtotseguitelteoremadelslogaritmesqueMengolivaemprarenlaprova delmàximperdemostrarladesigualtat (2) (x1 : x)2 <((1 x) : (1 x1))3 . Estractad’unteoremadel’elementcinquè dela Geometria ques’aplicaa

21 KnoblochquananalitzalesquadraturesdeLeibnizremarcatambéquelacondiciódecontinuïtatdelacorbaésindispensable[14,p.63].

22 Laideade quasiproporció (quasiigual, quasiinﬁnit,etc.),queesdevéessencialpertrobarles quadratures,éstambédeterminantaladeﬁniciódelímit[18].

23 «Undehyperlogarithmus,&hypologarithmusquasisuntaequales.Porròlogarithmusilla estquantitats,adquamtenduathyperlogarithmi,cumsempredeincepsminuuntur,&adquam tendunthypologarithmi,cumsempredeincepsaugentur;omniminorhyprlogarithmo,&omni maiorhypologarithmo.».

24 «Def.24.Quantitasomniminorhyperlogarithmoearumdemrationum,&omnimaiorhypologarithmo,earumdemLogarithmusdicetur.».

Nousresultatsiprocedimentsenlesmatemàtiquesdelsegle XVII 67

quatrequantitatsquetenenlesmateixesdiferènciesduesadues,queanomenà disposadesaritmèticament.Aixílesnostresquantitats, AD, AB, BR, RD dins delsegment AR = 1sónd’aquesttipus,jaqueprenent AD = x1; AB = x; BR = 1 x i DR = 1 x1,lesdiferènciessónigualsa BD,enaquestcas: AB AD = x x1 = RD BR = (1 x1) (1 x) = BD

Amésduesd’aquestesquantitatsestanenunaraódeterminadaiveriﬁquen, comenl’enunciatdelteorema2delapàgina63,que AB : BR = x : (1 x) = 2:3. Pertant,ambaquesteshipòtesis,Mengolidemostràenlaproposició105, quedonemacontinuació,queesveriﬁcavaladesigualtatsegüent(2):

(AD : AB)2 = (x1 : x)2 <((1 x) : (1 x1))3 = (BR : RD)3

Mengolienunciàlaproposicióenllenguatgeretòric,encaraquealademostracióutilitzàcomaexponentsleslletres b i c [27,p.338]:

Prop.105.Donadesquatrequantitats[enaquestcas x1, x, 1 x, 1 x1], disposadesaritmèticament[x x1 = (1 x1) (1 x)],siesveriﬁcaque x : (1 x) = b : c [enaquestcas 2:3],llavorslaraódelaprimeraquantitat alasegonaelevadaalnúmerohomòlegalasegonaquantitatseràméspetita quelaraódelaterceraalaquartaelevadaalnúmerohomòlegalatercera [(x1 : x)2 <((1 x) : (1 x1))3].25

Vegemunresumdelademostració:

Siguin x1, x,1 x,1 x1 quantitatsdisposadesaritmèticament,llavors x x1 = (1 x1) (1 x).Mengolivatreballaramblessevesinversesque sóntermesqueestanensèrieharmònica:1/x1,1/x,1/(1 x),1/(1 x1).Ja haviabasatlasevadeﬁniciódelogaritmeenelfetquesempreexisteixiquees potdeﬁnirellogaritmedelesraonsdetermesdelasèrieharmònica,així:

log(1/x :1/x1) = log(x1 : x) = e;

log(1/(1 x1) :1/(1 x)) = log((1 x) : (1 x1)) = f.

Peròamés,comque x : (1 x) = b : c,llavors e : f>c : b (relacióentre logaritmesdelesraonsilesraonsques’hademostratanteriorment).Dela proporcióesdedueix eb>fc,ésadir, b log(x1 : x)>c log((1 x) : (1 x1)). Mengolivademostrartambélaconegudaigualtatdellogaritmed’unproducteilasumadelogaritmesdelsfactors,itambélarelaciócorresponentper allogaritmed’unapotència,alaproposició80.Pertant:

log(x1 : x)b > log((1 x) : (1 x1))c .

25 «Prop.105.Quatuorarithmeticèdispositarumquantitatum,siprimamadultimam,fuerit utnumerusadnumerumeritprimaeadsecundamtotuplicataratio,quotusesthomologus primae,maior,quàmtertiaeadquartam.totuplicataratio,quotusesthomologusquartae,quod sisecundaadtertiamfueritutnumerusadnumerum:eritprimaeadsecundamtotuplicata ratio,quotusesthomologussecundae,minor,quàmtertiaeadquartamtotuplicata,quotusest homologustertiae.».

M.RosaMassa-Esteve

Comqueellogaritmedelespotènciesdelesraonsésmésgran,lapotència delaraó (x1 : x)b,estarà,doncs,mésallunyadadelaunitatque ((1 x) : (1 x1))c ,vegeu[20].Peròcomqueperdeﬁnició x1 <x i1 x< 1 x1, llavors x1 : x i (1 x) : (1 x1) sónraonsméspetitesquelaunitat, x1 : x< 1 i (1 x) : (1 x1)< 1.Aixítambélespotènciesd’aquestesraonsseranraons méspetitesquelaunitatilesraonsméspetitesquelaunitat,commésllunyde launitatestan,méspetitessón: (x1 : x)b <((1 x) : (1 x1))c .Enelcasdela demostraciódelapàginaanterior, b = 2i c = 3,llavorss’obtéladesigualtat (2): (x1 : x)2 <((1 x) : (1 x1))3 ioperant: x2 1 (1 x1)3 <x2(1 x)3,pertant:

Ord D< Ord B

SifemunaprimeracomparaciódelmètodedeMengolipertrobarelmàxim ambelmètodedemàximsimínimsdeFermatquevatenirmoltadifusióa Europaiquevasermoltempratal’època,podemassenyalarqueaquestno utilitzaelmètodedeFermat,quequasisegurqueconeixiaatravésdel’obra d’Hérigone.ElmètodedeFermatpertrobarmàximsimínimsdatade1636,iva serpublicatméstard,el1642,al Cursusmathematicus d’Hérigone[5, 13].S’illustravaresolentunproblema,lasoluciódelqualerajaconegudaiquetractava detrobarcomdividirunalíniaenduespartsdemaneraqueelproductede lespartsfosunmàxim.ElmètodedeFermatrequeriaésserfetdebellnou peracadapotènciaperconèixerelresultat,mentrelademostraciódeMengoli funcionavaperatoteslespotènciesdelesfiguresgeomètriquesalavegadai noméscaliaconèixerelsexponentsdel’expressióalgebraica.Defet,siesvol calcularelmàximdel’expressióalgebraicaconcretadeMengoliemprantel mètodedeFermat,calferunscàlculsnumèricsmoltmésllargs,començant ambelsprimersexponentsiaugmentantelgrau,seguintunamenad’inducció. Unaltretretdiferenciadordelsdosprocedimentsésquel’úsdelaideade derivadaespotinterpretarqueestàimplícitaenelmètodedeFermat,encanvi enlademostraciódeMengoliésabsent.Amés,Fermatvoliaexplícitament trobarunmètode(comfiguraaltítol Mehtodusasdisquirendammàxima& minimam),quetambévaaplicarperatrobartangentsienòptica.Encanvi, Mengolinopreteniatrobarunmètode,nomésvoliamostrarqueconeixiala representaciódelafiguraexpressadaalgebraicament.

3Algunesconclusions

Mengolivaemprarelllenguatgesimbòliccomamitjàd’expressióicoma einaanalítica.Vatreballarambespècies,formes,taulestriangulars(triangle harmònic)iquasiproporcionsemprantelseullenguatgeespeciós.

Tanmateix,undelsaspectesmésinnovadorsdelasevainvestigaciórauen lautilitzaciódeleslletresielssímbolsperformarexpressionsalgebraiquesi identificar-lesamblesfiguresgeomètriques.Aixívapoderestudiar-lesatravés delessevesexpressionsalgebraiquessensenecessitatdefercapconstrucció geomètrica.Enl’obradeMengolilarepresentaciógràficadelafigurageomètrica noéseltraç,quenofa,sinóunaacuradadescripciódelacorbaquedeterminala figuraambinformaciósuficientperpoderdibuixarelseutraçsensenecessitat dedonarvalorsconcrets.

Nousresultatsiprocedimentsenlesmatemàtiquesdelsegle XVII 69

Calremarcarl’úsdelestaulestriangularscomaeinadegeneralitzacióde resultats.Aixílesdescripcionsilespropietatsdelescorbesquedeterminenles ﬁguresgeomètriquesnomésdepeniendelsgrupsobtingutsenclassiﬁcarels elementsdelataulatriangular,d’acordambelsexponentsdelesexpressions algebraiquesiamblasevaposicióenaquestataula.

Pelquefaalademostraciódelmàxim,afirmemquel’úsdelllenguatgesimbòlicésunfactordeterminantjaqueMengolitractaamblamidad’unsegment iconsideralaraódeduespartsdelsegmentigualalaraódedosnúmeros(els exponents)expressatsambleslletres b i c,totfentlaprovaclaudel’element cinquè peraqualsevolexponent.Realmentelprocedimentpertrobarelmàxim ésindependentdelarepresentaciógràficadelafigurageomètricailareglapot serempradaperatoteslespotènciesdelmateixtipus.

Mengoliassegural’exactituddelademostracióutilitzantlasevateoriade logaritmesderaons(nova)quehafonamentatenlateoriadeproporcionsdels Elements d’Euclides,elseullibredematemàtiquesperexcel.lència.Unavegada més,lateoriadeproporcionsespresentacomunavaldelsseusdesenvolupamentsilipermetoperarambelssegmentsiestablirrelacionsentrelesraonsi elslogaritmesdelesraons.

LademostraciódeMengoliésvàlidaperatoteslesﬁguresgeomètriques delmateixgrupalataulatriangular,jaquenodepèndelvalorconcretde l’exponentdel’expressióalgebraicasinódelasevaidentiﬁcacióemprantraons irelacionsentreaquestesielsseuslogaritmes.

Mengoliprentambépergarantialataulatriangularenlageneralitzaciódel raonamentdemostratiu,jaquesiunresultatéscertperaunafigurad’ungrup, llavorshoseràperatoteslesaltresdelgrup;d’acordamblasimetriadela taulailaregularitatdelessevesfiles,nocalfercaspercas.Aquestavalidesa delademostracióperamoltesfiguresalavegadaenspermetassenyalaruna altracaracterísticarellevantenlesmatemàtiquesdeMengoli,lageneralitatdel seuresultat.

Probablementacausadelanotacióoriginalidelcamídiferentqueva emprendreMengoli,lasevademostraciónovatenirunimpactedecisiuales matemàtiquesdelsegle xvii.Tanmateix,lessevescontribucionssónd’un graninterèsjaqueconjuntavaelsprincipisdelageometriaeuclidianaamb l’àlgebranovadeViète,quevadesenvolupard’unamanerasingular.Aquesta originalconjunciódel’àlgebrailageometriapertrobardemanerageneralnous resultatsoperdonarfonamentsnousaresultatsjaconeguts,vaserunadeles granscontribucionsdel’obramatemàticadeMengoli.

Agraïments

L’autoraagraeixaCraigFraserlasevainvitacióaparticiparenelcongrés ICHSTM2013ielseuinterèsenlademostraciódelmàximdeMengolique presento.LainvestigacióestàinclosaenelprojectedelMinisteriodeEconomíay Competitividad,SubdireccióngeneraldeProyectosdeInvestigación:HAR201344643-R.

Referències

[1] Angeli,S.degli Miscellaneumhyperbolicum,etparabolicum.Venècia:La Noù,1659.

[2] Bos,H.J.M. «OntherepresentationofcurvesinDescartes’ Géométrie». Arch.Hist.ExactSci.,24(4)(1981),295–338.

[3] Bos,H.J.M. Redeﬁninggeometricalexactness.Descartes’transformation oftheearlymodernconceptofconstruction.NovaYork:Springer-Verlag, 2001.(SourcesandStudiesintheHistoryofMathematicsandPhysical Sciences)

[4] Cavalieri,B. Exercitationesgeometricaesex.Bolonya:1647.

[5] Cifoletti,G.C. LaméthodedeFermat:sonstatutetsadiﬀusion.Algèbre etcomparaisondeﬁguresdansl’histoiredelaméthodedeFermat.París: SociétéFrançaised’HistoiredesSciencesetdesTechniques,1990.(Cahiers d’HistoireetdePhilosophiedesSciences.NouvelleSérie;33)

[6] Clagett,M.(ed.). NicoleOresmeandthemedievalgeometryofqualities andmotion.Wisconsin:UniversityofWisconsinPress,1968.

[7] Crombie,A.C. HistoriadelaCiencia:deSanAgustínaGalileo.Vol.2: Siglos XIII–XVII.3aed.Madrid:AlianzaUniversidad,1980.

[8] Descartes,R. ThegeometryofRenéDescartes.NovaYork:Dover,1954. [TraduïtperD.E.SmithiM.L.Latham]

[9] Edwards,A.W.F. Pascal’sarithmeticaltriangle.Thestoryofamathematicalidea.Baltimore,Md:JohnsHopkinsUniversityPress,2002.[Reimpressiórevisadadel’originalde1987]

[10] Fermat,P. ŒuvresdeFermat Tannery,P.;Henry,C. (ed.).París:GauthierVillars,1891–1922.4v.isupp.

[11] Giusti,E. «La«Géométrie»diDescartestranumeriegrandezze». Giornale criticodellaﬁlosoﬁaitaliana,66(68)(1987),409–432.

[12] Giusti,E. «AlgebraandgeometryinBombelliandViète». Boll.StoriaSci. Mat.,12(2)(1992),303–328.

[13] Hérigone,P. CursusMathematicusnova,brevietclaramethododemonstratus.Pernotasreales&universales,citrausumcuiuscumqueidiomatis, intellectu,faciles/CoursMathematiquedemonstréd’unenouvellebriefve etClairemethode.Parnotesreelles&universelles,quipeuventestreentenduessansl’usaged’aucunelangue.5v.(1634,1637)isuplement(1642).

[AutoriHenryLeGras,París]

[14] Knobloch,E. «Leibniz’srigorousfoundationofinﬁnitesimalgeometryby meansofRiemanniansums». Synthese,133(2002),59–73.

[15] Mahoney,M.S. ThemathematicalcareerofPierredeFermat.Princeton, N.J.:PrincetonUniversityPress,1973.

[16] Mahoney,M.S. «Thebeginningsofalgebraicthoughtintheseventeenth century».A: Gaukroger,S. (ed.). Descartes’philosophy,mathematicsand phisics.Brighton:Totowa,BarnesandNoble:Harvester,1980,141–156.

Nousresultatsiprocedimentsenlesmatemàtiquesdelsegle XVII 71

[17] Mancosu,P. Philosophyofmathematicsandmathematicalpracticeinthe seventeenthcentury.NovaYork:TheClarendonPress:OxfordUniversity Press,1996.

[18] Massa,M.R. «Mengolion“quasiproportions”». HistoriaMath.,24(3) (1997),257–280.

[19] Massa-Esteve,M.R. EstudismatemàticsdePietroMengoli(1625–1686): Taulestriangularsiquasiproporcionscomadesenvolupamentdel’àlgebradeViète.Tesidoctoral.UniversitatAutònomadeBarcelona,1998, disponiblea http://hdl.handle.net/10803/3103.

[20] Massa-Esteve,M.R. «Lathéorieeuclidiennedesproportionsdansles GeometriæSpeciosaeElementa (1659)dePietroMengoli». Revued’Histoire desSciences,56(2)(2003),457–474.

[21] Massa-Esteve,M.R. «AlgebraandgeometryinPietroMengoli(1625–1686)». HistoriaMathematica,33(1)(2006),82–112.

[22] Massa-Esteve,M.R. L’algebritzaciódelesmatemàtiques:PietroMengoli. Barcelona:Institutd’EstudisCatalans,2006.

[23] Massa-Esteve,M.R. «Symboliclanguageinearlymodernmathematics: The Algebra ofPierreHérigone(1580–1643)». HistoriaMathematica,35(4) (2008),285–301.

[24] Massa-Esteve,M.R. «ThesymbolictreatmentofEuclid’s Elements in Hérigone’s Cursusmathematicus (1634,1637,1642)».A: Heeffer,A.; M.VanDyck,M. (ed.). Philosophicalaspectsofsymbolicreasoningin earlymodernmathematics.Londres:CollegePublications,2010,165–191. (StudiesinLogic;26)

[25] Massa-Esteve,M.R. «Theroleofsymboliclanguageinthetransformation ofmathematics». Philosophica,87(2012),153–193.

[26] Massa-Esteve,M.R.;Deshalms,A. «Euler’sbetaintegralinPietroMengoli’sworks». Arch.Hist.ExactSci.,63(3)(2009),325–356.

[27] Mengoli,P. Geometriaespeciosaeelementa.Bolonya:1659.

[28] Mengoli,P. Circolo.Bolonya:1672.

[29] Natucci,A. «Mengoli».A: Gillispie,C.C. (ed.). Dictionaryofscientiﬁc biography.Vol.9.NovaYork:Scribner’s,1981,303–304.

[30] Pascal,B. Œuvrescomplètes.París:Gallimard,1954.

[31] Torricelli,E. Opere.3v. Loria,G.etal. (ed.).Faenza:1919.

[32] Viète,F. Theanalyticart.Ninestudiesinalgebra,geometryandtrigonometryfromthe Opusrestitutaemathematicaeanalyseos,seuAlgebrâNovâ. TraducciódelllatíiintroducciódeT.RichardWitmer.Kent,Ohio:Kent StateUniversityPress,1983.

CentredeRecercad’HistòriadelaCiènciaidelaTècnica DepartamentdeMatemàtiques UniversitatPolitècnicadeCatalunya

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.31,núm.1,2016.Pàg.73–89. DOI:10.2436/20.2002.01.67

Matarmosquesacanonades

GünterM.Ziegler

Resum: Lahistòriaqueexpliquemaquícomençaambunpetitproblemageomètric inofensiu,plantejatelsetembrede2006enunaentradadeblogdeR.Nandakumar,un enginyerdeCalcuta,al’Índia.Aquestpetitproblemaésuna«mosca»:éstemptador, notanfàcilderesoldrecomhompotserpodriaesperar,ipertanyal’àmbitdeles matemàtiquesrecreatives,sensecapúspràctic.

Veurem,noobstantaixò,comaquestpetitproblemaconnectaambmatemàtiques moltserioses:peralamodelitzaciód’aquestproblemautilitzaremconeixements d’unaàreaclaudelesmatemàtiquesaplicades,lateoriadeltransportoptimal.Aquest seràl’escenariperal’aplicaciód’unaeinaprincipaldelesmatemàtiquesbenpures, conegudacoma teoriaequivariantd’obstruccions.Aixòésun«canó»,ambelqual passaremunaestonadivertidadisparantalamosca.

Pertrobarunasolució,lespropietatscombinatòriesd’unobjectegeomètricmolt clàssic,elpermutaedre,resultenessencials.Aquestes,alﬁnaldelahistòria,ensportaranunaltrecopal’Índia,ambalgunviatgeeneltempsqueensfaràretrocedircent anyscapalpassat:peraldarrerpasenlanostrasolució(parcial)delproblemadela moscanecessitemunapropietatsenzilladelsnúmerosdeltriangledePascal,queva serobservadaperprimercopperBalakRam,aMadràs,l’any1909.

Però,ﬁnsitotsielproblemad’existèncias’haresolt,elpetitproblemageomètric encarano:siexisteixsolució,compodemtrobar-neuna?Aquestproblemaesdeixarà allector.Encanvi,parlaremdelarelaciótibantentrecanonsimosques,iacabarem citantunpoemadeHansMagnusEnzensberger.

Paraulesclau: particionsd’unpolígon,espaisdeconﬁguracions,teoriad’obstruccions, coeﬁcientsbinomials,matemàticapuraiaplicada.

ClassiﬁcacióMSC2010: 00A08,52A38,55P91,55R80.

Aquesttreballvaaparèixerenanglèsambeltítol«CannonsatSparrows»a Eur.Math.Soc.Newsl., 95(2015),25–31.Agraïmalseditorsd’aquestarevistaelpermísperpublicar-nelatraduccióal català,revisadaperArnauPadrol.

GünterM.Ziegler

Unamosca

Eldijous28desetembrede2006,bend’horaalmatí,ales6.57,l’enginyer R.Nandakumar,ques’autoqualiﬁcade«programadorinformàtic,estudiant dematemàtiquesiespècied’escriptor»,vapenjaralseublog«TechMusings» (nandacumar.blogspot.de)laconjecturasegüentsobregeometriadelpla,la qualhaviaformulatconjuntamentambelseuamicR.RamanaRao:

Donadaunaregióconvexaiunnúmeronatural n,existeixcomamínimuna maneradetrobarunaparticiódelaregióen n trossosconvexosdetalmanera quetotselstrossostinguinlamateixaàreaielmateixperímetre.

Aquestproblemasemblacompletamentinofensiu.Podriaserunproblema degeometriadesecundària?Opotsersemblaunproblemad’OlimpíadaMatemàtica?Penseu-hivosaltresmateixos!Perexemple,podeuprendreuntriangle i n = 3o n = 6.Defet,comelmateixNandakumarfanotar,noésevidentni tansolscomespotdividiruntriangleequilàteren n = 5trossosconvexosde lamateixaàreaielmateixperímetre.Algunaidea?Proveu-ho!

Elproblemavacaptarl’atenciódelacomunitatdegeometriacomputacionaldesprésqueNandakumarelposésalaweb«OpenProblemGarden» (openproblemgarden.org)eldesembrede2007.Després,l’11dedesembre de2008,NandakumariRamanaRaovananunciarelseuprimerprogrésaarXiv (arXiv:0812.2241):

Presentemunademostraciósenzilladelfetquelarespostaalproblemaés«Sí» pera n = 2 (duespeces)idonemalgunsargumentsqueindiquenambforça seguretatquelarespostatambéés«Sí»pera n = 3

Fem-hopera n = 2.Totadivisiód’unpolígonconvexenduespartsconvexes provéd’untallfetambunarecta.Observemquehihauna(única!)rectavertical quedivideixelpolígonenduespartsconvexesdelamateixaàrea.Engeneral notindremsortielperímetredeltrosquequedialadretadelarecta,per exemple,seràmésgranqueelperímetredeltrosquequedial’esquerra.

Arafemgirarlarectaquebiseccionaelpolígon.Ésfàcilcomprovar(!)quesi giremdemaneraquesempredividiml’àreaenduespartsiguals,llavorsels perímetresdelespartsquequedenaladretaial’esquerradelarectavarien demaneracontínua.Pertant,tambélaquantitat«perímetrealadretamenys perímetreal’esquerra»variademaneracontínua.Uncophàgimfetmitjavolta, de180graus,elvalord’aquestaquantitathauràcanviatdesigne.Siinicialment erapositiva,serànegativadesprésdelamitjavoltai,percontinuïtat,haurà d’haver«tocatelzero»enalgunmomententremig.Aixídoncs,unapartició «justa»en n = 2trossosexisteixsegonsel teoremadelvalorintermedi.

Aixíqueelproblemaestàresolt,peròcoml’hemresolt?Enshemadonat quel’espaideconﬁguracionsdetoteslesdivisionsendostrossosconvexosés uncercle(parametritzatperl’angledelarectadedivisió).Ihemfetservirla continuïtatihemaplicatunteorematopològic,elteoremadelvalorintermedi. Desdelpuntdevistadelatopologia,aixòéselcas d = 1delfetquenohiha capaplicaciócontínuaentrelesesferes Sd → Sd 1 queapliquipuntsoposats de Sd enpuntsoposatsde Sd 1,el teoremadeBorsuk-Ulam [13].

Elproblemasemblavainofensiuperòlatopologiahihaentrat,ﬁnsitot enelcas n = 2.NandakumariRamanaRaonovantrobarunaprovaperal cas n = 3.Peròunsquantsdiesdesprésdepublicarelseu preprint,el16de desembrede2008,ImreBárány,PavleBlagojevi´ciAndrásSz˝ucsvanenviarun articleamblasoluciópera n = 3al’AdvancesinMathematics.Vaserpublicat digitalmentelsetembrede2009ienversióimpresael2010comunarticle d’Advances de15pàgines,[2].Potseraixòdemostraqueelpetitiinofensiu problema«mosca»ésmésdifícildelquesemblavaaprimeravista.

Lescanonades,I

Enspodempreguntar:quinésl’aspectedel’espaidetoteslesparticionsd’un polígonentrestrossosconvexos?Blagojevi´cid’altresa[2]elvandescriure comunapartd’unavarietatdeStiefel.Ipelquefaal’espaidelesparticions en n trossosdelamateixaàrea?D’aixònose’nsapres!(Leóna[12]endonarà algunaorientació).Enaquestaqüestióun ansatz delateoriadeltransport optimalhiintervédemaneraessencial—elprimeraobservar-hovaserRoman KarasevdeMoscou.

Eltransportoptimalésuntemaanticiniciatperl’enginyerfrancèsGaspard Mongel’any1781.ElresultatclauquearanecessitemvaserobtingutperLeonid Kantoròvitxaﬁnalsdelsanystrenta.(PerlasevaobraKantoròvitxvaobtenirel PremiStalinl’any1949ielPremiNobeld’economiael1975.)Aquestaàreaés benviva,comhohanposatdemanifestdosllibresrecents,cabdals,publicats perCédricVillani(MedallaFieldsdel2010).

Elnostreproblemaesresolamblaconstruccióde«diagramesdeVoronoi ambpesos»:donadaqualsevolmassa(l’àread’unpolígonconvex)iunconjunt dellocsambpesos(ésadir, n puntsdiferentsinúmerosrealsassociatsa aquestsdesumatotalnul.la),assignemacadalloctotselspuntsdelpolígon peralsquals«ladistànciaalllocalquadratmenyselpesdelaubicació»és mínima.Aixòdónaunaparticiódelpolígonconvexentrossosconvexos!

GünterM.Ziegler

Elresultatquenecessiteméselsegüent:

Teorema 1 (Kantoròvitx[1938]etal.). Donatunconjuntde n ≥ 2 punts diferentsdelpla,iunpolígonqualsevol,existeixunaassignació única depesos demaneraqueeldiagramadeVoronoiambpesosperaaquestspuntsiaquests pesossubdivideixelpolígonen n trossosconvexosdelamateixaàrea.

Ditd’unaaltramanera,l’espaideconﬁguracions F(R2,n) detotesles ènuplesdepuntsdiferentsenelplaparametritzalesparticionsdeVoronoi ambpesosen n trossosconvexosdelamateixaàrea.Perquèensajudaaquest resultat?Perquèentenemmoltbél’espai F(R2,n)!

Suposem,perexemple,queelpolígonsiguiuntrianglei n = 3.Sielstres puntsestrobensobreunarectavertical,llavorslaparticióentrossosdela mateixaàreatindriaaquestaspecte:

Arabé,sitenimlasortdetriarelstrespuntsdemaneraadequada,llavors podemaconseguirunaparticióentrossosdelamateixaàreaielmateixperímetre:

És,però,semprepossibleferuna«eleccióafortunada»perals n punts?

Uncomentari

Eltransportoptimaltéunvessantpràcticqueelfamoltútileninvestigació operativa.Aixòestàexempliﬁcatdemaneragràﬁca,entred’altres,pelstreballsdeJohnGunnarCarlsson,deldepartamentd’enginyeriaindustrialide sistemes,delaUniversitatdeCalifòrniadelSud:1

1 Laﬁguramostraelmapad’unaciutat,enelqualcadazonacontélamateixalongitudtotalde carrers.Aixòésútilperalesempresesqueproporcionenmàquinesllevaneusoserveisdeneteja, oquereparteixencorreuiquehanderecórrerelscarrersdecadazonad’unamaneraeﬁcient: establintaquesteszonestotselsvehiclesdel’empresatindranlamateixafeina.

oelsdePeterGritzmann,deldepartamentdematemàtiques,delaUniversitat PolitècnicadeMunic,queutilitzaeltransportoptimalperalareassignacióde terrenysdeconreualesàreesruralsdeBaviera:

TheMathematicalIntelligencer,36(2),2014. Ambl’amablepermísdeSpringerScience+BusinessMedia.

GünterM.Ziegler

D’altrabanda,eltransportoptimalésimportantenfísica(itambéenmatemàtiquesmoltdures,sis’hidedicaVillani).Onl’hemdecol.locar,doncs?

Larespostaésquelescategoriestradicionalssimplementjanoserveixen ileshauríemdedescartar.Elques’havistﬁnsaraésunproblemade«matemàticarecreativa»que,persermodelitzatiresolt,necessitamètodesde «matemàticaaplicada»(comeltransportoptimal)ide«matemàticapura»(topologiaalgebraica).Lesmatemàtiquespures,lesaplicadesilesrecreativesnoes podensepararinos’hauriendeseparar.Hihatambéaltrespartsdelaciència quepertanyenalesmatemàtiques sensefronteres,comaralainformàtica(teòrica)ilainvestigacióoperativa(matemàtica).Siésciènciadequalitat,diguem-ne, senzillament,«matemàtiques».

ABerlín,enelcontextdelcentrederecerca Matheon,Mathematicsfor KeyTechnologies,intentemevitartotesaquestescategories—alﬁnal,l’única distincióquepodríemferseriaentre«matemàtiques»i«aplicacionsdeles matemàtiques».

Laqüestió,enaquestarticle,ésperòunaaltra:alesmatemàtiqueshiha «gransteories»i«petitsproblemes».Devegadespodemnecessitargransteories perresoldreproblemes(aparentment)petitsiaraendiscutimunexemple. Detotesmaneres,alhora,aixòfuncionatambéensentitcontrari:femservir problemespetitsperposaraprovalesgransteories,perveurequèpodem ferambunproblemaconcret.Hihagransteoriesenelsprestatgesdeles bibliotequesuniversitàriesperalesqualsmainohihahagutcapcàlculconcret oexempleresolt...

Lescanonades,II

Elsegontipusdecanonadesquefaremservirprovédelatopologiaalgebraica. Concretament,hihaunprocedimentdemodelitzacióbenconegut,anomenat esquemad’espaideconfiguracions/aplicaciódeprova(CS/TM),desenvolupatperSarkaria,Živaljevićid’altres,queconverteixproblemesdegeometria discretaenqüestionsdetopologiaalgebraicaequivariant.Ditd’unamanera resumida,esprovaquesielproblematéuncontraexemple,llavorshihaespais topològics X i Y ,on X ésun espaideconfiguracions peralproblemai Y ésun espaidevalors(sovintunaesfera),iungrupfinitdesimetries G talsquehiha unaaplicaciócontínua X →G Y queconservalessimetries.Enconseqüència,si noexisteixcapaplicacióequivariant X →G Y llavorsnohihacontraexemplesi elproblemaestàresolt.ElteoremadeBorsuk-Ulam,quediuquenohihacap aplicació Sd →Z/2 Sd 1,éselprimerexempleimportantd’unteoremad’aquest tipus.Totaixòestàmeravellosamentexplicatenelllibre UsingtheBorsuk-Ulam theorem,deJiˇríMatoušek[13].Defet,tothoml’hauriadeconèixerjaqueésun «materialperanens»—talcompodeucomprovarsibusqueuelllibrea ebay, onelvaigtrobarcatalogatalallistade«divertimentsijocsperanens»!

Bé,siaquestjocdenensnoenséssuﬁcient,faremservirinstrumentsmés seriososperatractarelpetitproblemadelaparticiód’unpolígon;concretament,lateoriaequivariantd’obstruccions.Estractad’unmètodeperadecidir sistemàticamentsiexisteixenaplicacionsequivariants X Y .Espottrobar

Algunsdetalls

L’esquemaCS/TMperalnostreproblemaensportad’unamaneranaturalal plantejamentsegüent:

F (2,n) → Sn F(R2,n) → Sn EAP(P,n) → Sn Sn 2

Estractad’unacadenad’objectesmoltconcrets(quesónespaistopològics)i d’aplicacionsequivariantsdesconegudes(quesónaplicacionscontínuesque respectenlasimetriaenrelacióambelgrup Sn depermutacions):

• EAP(P,n) ésl’espaideconﬁguracionsdetoteslesparticionsde P en n trossosconvexosdelamateixaàrea,elqualésunespaideconﬁguracions no gairebenentès(vegeuLeón[12]).

• Sn 2 representauna (n 2)-esferaparticular,deﬁnidaper {y ∈ Rn : y1 +···+ yn = 0, y 2 1 +···+ y 2 n = 1}

Sobreaquestaesfera,elgrup Sn hiactuasimplementperpermutaciódeles coordenades.

• EAP(P,n) → Sn 2 enviacadaparticióen n trossosdelamateixaàrea (P1,...,Pn) a«perímetresmenyslamitjana,normalitzats»pertald’obtenirunpuntdel’esfera—sotalahipòtesiquenohihacapparticióperala qualtotselsperímetressiguiniguals.Aquestaaplicacióés Sn-equivariant: unapermutaciódelstrossos Pi corresponaunapermutaciódelsperímetres normalitzatsi,pertant,delescoordenadesdel’esfera.

• F(R2,n) ésl’espaideconﬁguracionsde n puntsdiferents,etiquetats,enel pla

{(x1,...,xn) ∈ R2×n : xi ≠ xj for i<j}

Encontrastamb EAP(P,n),aquestespaiestà força benentès.Éselcomplementarid’unarranjamentd’hiperplanscomplexosiaixòexplicabonapart delasevageometriailasevatopologia;laliteraturarellevantcomençaamb unarticleclàssicdel’any1962deFoxiNeuwirth[9].

• F(R2,n) → EAP(P,n) ésl’aplicaciódetransportoptimal,quanfacorrespondrea (x1,...,xn) elseudiagramadeVoronoiambpesosambtotesles cel lesdelamateixaàrea.Estractad’unaaplicacióbendeﬁnida,contínua iequivariant,l’existènciadelaqualésdegudaaKantoròvitx(1938);una referènciarecentinteressantésGeiß,Klein,PenningeriRote[10].

•F (2,n) ésuncomplexcel lularﬁnitiregularquemodela F(R2,n) —defet,ésunretractededeformacióequivariant.Ésdedimensió n 1,té n!vèrtexs,indexatsperpermutacions(quecorresponenaconﬁguracions

depuntsenelplaenlesqualselspuntsestanordenatsd’esquerraadreta d’acordambunadeterminadapermutació),ité n!cel.lesmaximals,també indexadesperpermutacions(quecorresponenaconﬁguracionsdepunts enelplaenlesqualselspuntsestansobreunarectavertical,ordenats d’acordambunadeterminadapermutació).Aquestescel.lesmaximalstenen l’estructuracombinatòriad’unspolitops ben clàssics:elspermutaedres!

Aquestmodeldecomplexcel.lularsemblaquevaserdescritexplícitament perprimeravegadaa[7],totiqueunaltrecopenspodemremuntarﬁnsa FoxiNeuwirth[9].

•F (2,n) → F(R2,n) éstambéunaaplicacióexplícita,unainclusióequivariant.

Aquestssónels(molts)elementsqueentrenenjoc.Elresultatésquesi suposemqueperaalgun n iperaalgun P nohihacapparticióen n trossosde lamateixaàreaielmateixperímetre,llavorsexisteixunaaplicacióequivariant:

F (2,n) → Sn Sn 2 .

Existeixunaaplicaciócomaquesta?Aquestéseltipusdepreguntesquees podenrespondreamblateoriaequivariantd’obstruccions(EOT).

QuèfalaEOT?Construeixl’aplicaciódemaneraprogressiva,pujantper lesdimensionsdel’esqueletdelcomplexcel.lular (n 1)-dimensional F (2,n). Comqueapliquemunespaiambunaacciólliured’ungrupenunaesferade dimensió n 2,nohihacapproblema,tretpotserdeldarrercas,onl’aplicació jaestàﬁxadaalesfronteres ∂cσ deles (n 1)-cel les cσ ,quesónhomeomorfes a (n 2)-esferes.

L’extensióéspossiblesensecapproblemasitoteslesaplicacions f : ∂cσ → Sn 2 tenengrau0.I,efectivament,toteslesaplicacionstenenelmateixgrau, jaquebusquemaplicacionsequivariants.Tanmateix,aquestgraunoserà0 engeneral,jaquepotserhemfeterrorsencel lesdedimensióinferiorenel camícapalcim.EOTensdiuaraquel’aplicacióespot modiﬁcarenl’esquelet (n 2)-dimensional detalmaneraqueespuguiestendreatotelcomplex siinoméssi algunaclassedecohomologiaequivariantambcoeﬁcientsno constantsenelgrupd’homologia (n 2)-dimensionald’una (n 2)-esfera,la «classed’obstrucció»,s’anul la.Hofa?

Unpassid’imatges

Pera n = 3,hemd’esbrinarsiexisteixunaaplicació S3-equivariant F (2, 3) → S 1.L’espai F (2, 3) ésuncomplexcel.lularamb6vèrtexs,12arestesi62-cares hexagonals.Alanostraﬁguranomésesmostraundelshexàgons;peròun hexàgonéstanbocomtotsjunts,atèsqueunaaplicacióequivariantqueda especiﬁcadaperlasevaimatgeenqualsevoldelshexàgons.

GünterM.Ziegler

Hemd’aplicarl’1-esquelet(graf)delcomplexcel lular,enparticularlafronteradel’hexàgon,demaneraquel’aplicacióespuguiestendreal’interior,com unaaplicacióalcercle S 1,que no téinterior.L’aplicacióequivariant«òbvia» portalafronteradel’hexàgonalcercle,girantunavolta,talcomindiquenles sisarestesorientades.Aixòespotinterpretarcomunaaplicacióentre1-esferes degrau1,ipertantnos’esténal’hexàgon.

Podríemintentarmodiﬁcarl’aplicaciócanviant-laenunadelessisarestes del’hexàgon.Tanmateix,comquehemdemantenirl’aplicació equivariant, l’aplicaciós’hauriadecanviarsimultàniamentatotal’òrbita,ésadir,atotes lesimatgesdelanostraarestaperl’acciódelgrupdepermutacions.Arabé, espotcomprovarquequalsevolcanvidel’aplicacióenunaarestaafectadues arestesmésdel’hexàgon,talcoms’indicaenaquestaﬁgura:

Podemaconseguirunaaplicaciódegrau0,ipertantunaaplicacióquees puguiestendreal’interiordel’hexàgon,fentcanvisequivariantscomelsque hemindicat(sobreternesd’arestes)?Noésdifícilveurequeaixòequivalalfet

següent.Unaaplicacióequivariant F (2, 3) → S3 S 1

existeixsiinoméssihihaunasoluciódel’equació

1 + 3x1 + 3x2 = 0

ambvalorsde x1, x2 enters,aﬁrmacióqueésevidentmentfalsa.Enconseqüència,atèsquel’aplicació no existeix,elcontraexemplealaconjecturade NandakumariRamanaRaopera n = 3noexisteix.I,pertant,hemestablertel cas n = 3(!).

Quèpassapera n = 4?Resultaqueésunproblemabastantsemblantal casanterior,peròaraal’esquerratenimuncomplexcel.lulardedimensió3, amb4! = 24vèrtexsi24cel.lesmaximals,quetenenlacombinatòriad’un permutaedre.(Elspermutaedresestanexplicats,perexemple,a[16],quea ebay espottrobarclassiﬁcatalacategoriad’«esoterisme»...)

Aquíteniulaimatgedelasituació:

Espotveurefàcilmentqueles14caresdelpermutaedreesdivideixenen tresclassesd’equivalènciaseparades(òrbites)perl’acciódelgrupsimètric S4: sónl’òrbitadels6quadratsi2òrbitesde4hexàgonscadascuna.Trobemaixí queunaaplicacióequivariant F (2, 4) → S4 S 2

existeixsiinoméssihihaunasoluciódel’equació

1 + 4x1 + 6x2 + 4x3 = 0

ambvalorsenters x1, x2, x3,laqualcosaés,evidentment,impossible.

GünterM.Ziegler

Veieuelpatró,doncs?Pera n qualsevol,hihaunaaplicacióequivariant

siinoméssil’equació

téunasolucióambvalorsenters,ésadir,silaﬁlaenèsimadeltrianglede Pascal,uncoptretl’1delﬁnal,notécapfactorcomú.

Lareina

Hemcomençatambunproblemasenzilldegeometriadiscretapenjataunblog al’Índiael2006ieltrajectequehemfetﬁnsaquíenshaportataferservir eltransportoptimal,aidearunaestratègiaambaplicacionscontínuesequivariants,ésadir,topologia,iacalcularlaclassed’obstruccióenlacohomologia equivariant.Aquestaclassed’obstrucciónos’anul.la,ésadir,noexisteixuna aplicacióequivariant,siunadeterminadaequaciódiofànticanotésolució.Hem arribatalateoriadenúmeros.

Lesmatemàtiquessón—enparaulesdeGauss—lareinadelesciènciesila teoriadenúmeroséslareinadelesmatemàtiques.

Sovintcondescendeixaservirl’astronomiaialtresciènciesnaturalsperòen toteslessevesrelacionsocupaelprimerlloc.

ConeixemaquestesparaulesatravésdeWolfgangSartoriusvonWaltershausen,unamicdeGaussquevapronunciarelpanegíricalasevatomba ivaescriurelasevaprimerabiografia.SartoriusvonWaltershauseneraun geòlegiGausshaviatreballatdurengeografia(«mesurantelmón»)itambéen astronomia(laredescobertadeCereselvaferfamósl’any1801inopasles DisquisitionesArithmeticae,queningúnovaentendrealeshores).Pertant,l’afirmaciódeGausssobrelateoriadenúmeroscomlareinadelesmatemàtiquesi delesmatemàtiquescomlareinadelesciènciesésautènticaitéelseupes.

Italcompassasovint,peralnostreproblema,l’últimaparaulatambé pertanyalateoriadenúmeros.PodeumanipularfàcilmenteltriangledePascal; ésunjocdenens.Probablementusencallareualasisenalínia—comalaﬁgura següent(extretadelllibreperanens Eldimonidelsnombres del’escriptor alemanyHansMagnusEnzensberger).

Gràﬁcadaptatdelail lustraciódeRotrautSusanneBerner,delllibre

Enefecte,pera n = 6,teniml’equació

que té unasolucióentera(serveix x1 = x2 =−1, x3 = 1i x4 = x5 = 0)i,en conseqüència,l’aplicació existeix

Iquètéel6d’especial?Iquèpassapera n qualsevol?Aquestapreguntaens portaal’Índiaunaaltravegada,peròunscentanysenrere.Alcomençament delprimervolumdel JournaloftheMathematicsClub deMadràs(aquestés elllocil’èpocad’onprocedeixRamanujan!),BalakRamvapublicarelresultat següent:

Teorema 2 (BalakRam[15]). L’equació 1 + x1 n 1 +···+ xn 1 n n 1 = 0

notécapsolucióamb x1,...,xn 1 enters,ésadir,l’interiordelaﬁla n del triangledePascaltéunfactorcomú,siinoméssi n éspotènciad’unprimer.

Aixídoncs,elproblemadeNandakumariRamanaRaoquedaresoltquan n éspotènciad’unprimerperòcontinuaobertenelcasgeneral,aracomara.

Teorema 3 (Blagojevi´ciZiegler[7]). Si n éspotènciad’unprimer,llavors totpolígonadmetunapartició«justa»en n trossos.

GünterM.Ziegler

Entotselsaltrescasos,pera n = 6, 10, 12,... ,elproblemaquedaobert —totiquea[7]provemunteoremamoltmésgeneralquejustamentescompleix siinoméssi n éspotènciad’unprimer.Tambéaquíelresultatsesegueixdel nostrecàlculEOT: existeixunaaplicaciócontínuaequivariant

F(R2,n) → Sn Sn 2 siinoméssi n noéspotènciadeprimer.

Tresobservacions(sobrelesdemostracions)abansd’acabar

Primeraobservació(sobrelesdemostracionsenpúblic)

SegonsVictorKlee(1925-2007):

Lesdemostracionss’hauriendecomunicarnomésentreadultsquehoconsentin ienprivat.

Elquehempresentataquí,evidentment,noésunademostraciósinónomésun esbós.Hifaltaomplirelsdetalls.Elsdetallssónimportants.

Segonaobservació(sobrelesdemostracionssenzilles/boniques)

PotserconeixeulahistòriadePaulErd˝ossobre elllibre,queDéumantéi quecontélesdemostracionsboniques,lesdemostracionsperfectes,lesdemostracionsperfectamentsenzilles,les demostracionsdel LLIBRE deteoremes matemàtics.ComalmateixErd˝osliagradavadir,unmatemàticnocalquecreguienDéuperòhauriadecreureen elllibre.(Depassadacaldirqueaquesta citaciód’Erd˝osnoapareixalatraduccióalfarside[1]del2001.)

D’altrabanda,notothomestàd’acordamblaprimerapart,tampoc.A SolomonLefschetz(1884–1972),elsemidéudelesmatemàtiquesdePrinceton, seliatribueixhaverdit:

Noemvingueuamblesvostresdemostracionsboniques.Noenspreocupem peraquestsinfantilismesperaquí.

...enparticular,quanelsseusestudiantsespresentavenambdemostracions méssenzillesoméscompletesdelsseusresultats.

Terceraobservació(sobrelesdemostracionscorrectes)

SobreSolomonLefschetz,esvadir:

Novaescriuremaiunademostraciócorrectanivaenunciarunteoremaincorrecte.

Aparentment,hihaviaunapartimportantdeveritatenaquestaaﬁrmaciói, enpart,erainevitable.Lefschetzvaserunpionerenlautilitzaciódemètodestopològicsengeometriaalgebraica.Ellmateixhovadescriureaixímés endavant:

Talcomhoveig,tempsenrereemvatocarclavarl’arpódelatopologiaalgebraicadinsdelcosdelabalenadelageometriaalgebraica.

Detotesmaneres,hovaferenunmomentenelqualelsfonamentsmatemàtics sòlidsdelatopologiaalgebraicaencaranos’havienestablerti,pertant,hi haviarisciemocióenelfetd’utilitzarmètodestopològicsaleshores.Crecque avuihihamenysriscperònomenysemoció.

Quartaobservació(sobrelesdemostracionscorrectes,II)

Fentmatemàtiques,ensguiemperlaintuïcióisovint«creiem»méscosesde lesquepodemprovarrigorosament.Aixòportaaenunciatsdeltipussegüent:

Provemquelarespostaésaﬁrmativapera n = 4 itambédiscutimpotències de 2 mésaltes.

Aixòestàtretdelaversióﬁnalen preprint (lasisena)a arXiv:0812.2241v6 del’articledeNandakumariRamanaRao[14].Alaversiópublicadadiu:

Donemunaprovaelementaldelfetquelarespostaésaﬁrmativapera n = 4 i hogeneralitzemapotènciesde 2 mésaltes.

Efectivament,a[14]s’exposenideesboniquesperòlesprovesqueesdonen pera n = 4ilesques’indiquenperapotènciesde2superiorss’hand’elaborar més.2 Perunaaltrabanda,Karasev,HubardiAronovdonenunaprovadiferent peralcasdepotènciad’unprimerenelproblemadeNandakumariRamana Rao,publicadaa GeometriaeDedicata el2014[11].Semblaquenohihacap maneradeferrigorósicompletelseuenfocament,unfetquecomportaria establirunarelacióentrelaclassed’Eulerilesclassesd’homologiainduïdes perseccionstransversalsgenerals.3 Karasevhoresumeixalasevapàginaweb delamanerasegüent:

Enaquestaversiódonemunsenunciatsmésclarsiunamicamésgeneralsdels teoremesprincipalsiensesforcemaexplicarlaprovadellematopològic.El nostremètodeambvistaaprovarellematopològicéselmateixquevanfer servirD.B.FuksiV.A.Vasilievenelscasosparticularsquevantractar.Una altraaproximació,méstècnicaimésrigorosa,allematopològicespottrobara l’article arXiv:1202.5504 deP.Blagojevi´ciG.Ziegler.

2 Perexemple,ellema4de[14]noéscerttalcomestàenunciat,comespotcomprovaren elcasespeciald’unquadratperalqualunabiseccióperunarectaverticaldónallocados rectanglesquetenenparticionsjustesenduespartsconvexesambunrangdeperímetresque variacontínuament,peròperaunabisecciópròximaalaverticalelsquadrilàtersques’obtenen noméstenenunnombreﬁnitdeparticionsjustes.

3 Karasevid’altrestambévanconsiderarelproblemadelanoexistènciadel’aplicacióequivariant F(Rd,n) → Sn 2 enelcasque n siguipotènciad’unprimer.Ambaquestafinalitat,van intentarprovarquelaclassed’Eulerambcoeficientsgiratsd’unfibratvectorialnaturalsobre lavarietatoberta F(Rd,n)/Sn noésnul la.Tanmateix,larelacióentreunasecciótransversal genèricailaclassed’EulerdelfibratvialadualitatdePoincaréfallaperavarietatsobertes.Pera unadiscussiómésdetallada,vegeu[7,p.51].

Cinquenaobservació(sobrecomptar)

Havíempromèsdefertresobservacions.Peròtotssabemquehihatresclasses dematemàtics:elsquesabencomptarielsquenoensaben.

Unpoemaabansd’acabar

Aquestarticlepreténdemostrarcomun«problemapetitcomunamosca» serveixcomabancdeprovesperaalguns«canonsdelesgransteories».De problemespetitscomunamoscan’hihamoltsmés,comaraunproblema d’incidènciamúltipleconegutcomelproblemadeTverbergambcolors(vegeu, perexemple,[17]i[4])oelproblemadel’existènciad’aplicacionsaltament regularsde Rd → RN ,contínuesiquetransformin k puntsdiferentsenvectors linealmentindependents[6].Elsprogressosenaquestsproblemesnonomésfan servirteoriestopològiquescomplicadessinóquedepenentambédelprogrés enlacomprensióienelcàlculd’informaciósubtildetopologiaalgebraicasobre elsespaisdeconﬁguracionsideldesenvolupamentdeteoriaavançada.Així doncs,homfatambéprogressosdinsdelatopologiaalgebraica,elsqualsens hanpermèsderesoldreproblemestècnicsplantejatsfatemps,comarala conjecturageneralitzadadeVassiliev[3].

Enresum,larelacióentrelesmosquesilescanonadesésforçaméscomplicadadelqueespodriapensaraprimeravista.Nosaltres disparem canonadesa lesmosquesperò,devegades,lesmosquess’hitornen.Deixemparlarelpoeta:

Doserrors

Reconecque,enelseumoment, vaigdispararmosquescontracanons. Noenvaigencertarcapdeple, hoadmeto.

[...]

Dispararcanonadesalesmosques,però, haguésestatcaureenl’erroroposat.

HansMagnusEnzensberger

Agraïments

GràciesaPavleBlagojevi´c,quehaestatuncompanymeravellósdurantmolts anysienmoltsviatges,iaArnauPadrolperlarevisiódelatraducciódel’article ilatraducciódelpoema.

Referències

[1] Aigner,M.;Ziegler,G.M. ProofsfromTheBook.5aed.Berlín:SpringerVerlag,2014.

[2] Bárány,I.;Blagojevi´c,P.;Sz˝ucs,A. «Equipartitioningbyaconvex3-fan». Adv.Math.,223(2)(2010),579–593.

[3] Blagojevi´c,P.V.M.;Cohen,F.R.;Lück,W.;Ziegler,G.M. «Oncomplex highlyregularembeddingsandtheextendedVassilievconjecture». Int. Math.ResearchNotes(IMRN) (2015),49p.

[4] Blagojevi´c,P.V.M.;Frick,F.;Ziegler,G.M. «Tverbergplusconstraints». Bull.Lond.Math.Soc.,46(5)(2014),953–967.

[5] Blagojevi´c,P.V.M.;Lück,W.;Ziegler,G.M. «Equivarianttopologyof conﬁgurationspaces». J.Topol.,8(2)(2015),414–456.

[6] Blagojevi´c,P.V.M.;Lück,W.;Ziegler,G.M. «Onhighlyregularembeddings». Trans.Amer.Math.Soc. Publicatenlínia(maig2015),disponiblea arXiv:1305.7483

[7] Blagojevi´c,P.V.M.;Ziegler,G.M. «Convexequipartitionsviaequivariant obstructiontheory». IsraelJ.Math.,200(1)(2014),49–77.

[8] tomDieck,T. Transformationgroups.Berlín:WalterdeGruyter&Co., 1987.(deGruyterStudiesinMathematics;8)

[9] Fox,R.;Neuwirth,L. «Thebraidgroups». Math.Scand.,10(1962), 119–126.

[10] Geiß,D.;Klein,R.;Penninger,R.;Rote,G. «OptimallysolvingatransportationproblemusingVoronoidiagrams». Comput.Geom.,46(8)(2013), 1009–1016.

[11] Karasev,R.;Hubard,A.;Aronov,B. «Convexequipartitions:thespicy chickentheorem». Geom.Dedicata,170(2014),263–279.

[12] León,E. Spacesofconvex n-partitions.Tesidoctoral,FUBerlín,2015.

[13] Matoušek,J. UsingtheBorsuk-Ulamtheorem.Lecturesontopological methodsincombinatoricsandgeometry.Berlín:Springer-Verlag,2003. (Universitext)

[14] Nandakumar,R.;RamanaRao,N. «Fairpartitionsofpolygons:anelementaryintroduction». Proc.IndianAcad.Sci.Math.Sci.,122(3)(2012), 459–467.

[15] Ram,B. «Commonfactorsof n! m!(n m)! , (m = 1, 2,...,n 1)». J.Indian Math.Club(Madras),1(1909),39–43.

[16] Ziegler,G.M. Lecturesonpolytopes.NovaYork:Springer-Verlag,1995. (GraduateTextsinMathematics;152)

[17] Ziegler,G.M. «3Ncoloredpointsinaplane». NoticesAmer.Math.Soc., 58(4)(2011),550–557.

Inst.Mathematik

FUBerlin

Arnimallee 2

14195 Berlin,Germany

ziegler@math.fu-berlin.de

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.31,núm.1,2016.Pàg.91–93

Englishsummaries

VladimirKoltchinskii,RichardNickl,SaravandeGeerandJonA.Wellner

ThemathematicalworkofEvaristGiné

InthisarticlewegiveanoverviewofEvaristGiné’scontributionstothemodern probabilitytheoryandmathematicalstatisticsinaninﬁnite-dimensionalsetting.Thesectionscorrespondtotheareasinwhichhehadthemostrelevant participation:probabilityinBanachspaces,empiricalprocesses,thebootstrap, U -statisticsand U -processes,andmathematicalstatistics.Emphasisisputon theprofoundimpacthisworkhashadonthepresentprobabilitytheory,mathematicalstatisticsandmorerecentlymachinelearning.Italsocontainsashort biographyandalistofhispublications.Ithasbeenwrittenontheoccasionof hisdeath.

Keywords: probabilityinBanachspaces,centrallimittheorem,empiricalprocesses,bootstrap, U -statistics,densityestimation.

MSC2010SubjectClassiﬁcation: 60B12,60G15,60E15,62F40,62G07.

ElitzaManeva

Themathematicsbehindcryptocurrencies

InthecontextofapresentationonthebasicsofcryptocurrencieslikeBitcoin, weintroducethreetopicscentraltomoderncryptography:digitalsignatures, hashfunctionsandzero-knowledgeproofs.Themathematicalproblemsthat ariseherecanbeusedasexamplesbyteachersandprofessorstoencourage thestudyofmodulararithmetic,probabilitytheory,graphtheoryandcomputationalcomplexity.

Keywords: cryptography,cryptocurrencies,RSA,ellipticcurves,hash,probability,graphs,computationalcomplexity,modulararithmetic.

MSC2010SubjectClassiﬁcation: 68-02,68Q15,68Q17,68Q05.

M.RosaMassa-Esteve

Newresultsandproceduresinthemathematicsofthe17thcentury:maxima’s calculationsinPietroMengoli(1626/1627–1686)

Thepublicationin1591of Inartemanalyticenisagoge byFrançoisViète(1540–1603)constitutedanimportantstepforwardinthedevelopmentofasymboliclanguage.AsViète’sworkcametoprominenceatthebeginningofthe 17thcentury,otherauthors,likePietroMengoli(1626/1627–1686),alsobegan toconsiderthebenefitofalgebraicproceduresforsolvingallkindofproblems. MengolifollowedthealgebraicresearchofVièteinordertoconstructgeometry ofspecies, GeometriaeSpeciosaeElementa (1659),whichallowedhimtouse algebraingeometryincomplementarywaystosolvequadratureproblems. Mengoli,likeViète,consideredhisalgebraasatechniqueinwhichsymbolsare usedtorepresentnotjustnumbersbutalsovaluesofanyabstractmagnitudes. Hedealtwithspecies,forms,triangulartables,quasiratiosandlogarithmic ratios.However,themostinnovativeaspectofhisworkwashisuseofletters todirectlystudygeometricfiguresviatheiralgebraicexpressions.Inthisarticle,Ianalyzethealgebraicconstructionofthesegeometricfigures,theuseof triangulartablesandthesingularproofdevelopedbyMengoliforfindingthe maximaofthesegeometricfiguresbeforethedevelopmentofNewton’sand Leibniz’scalculus.ThisanalysisillustratesMengoli’smathematicalideasonthe specificroleofsymboliclanguageasameansofexpressionandasananalytic tool.

Keywords: geometricﬁgures,triangulartables,PietroMengoli,mathematicsof the17thcentury,maxima,logarithms,algebraicexpression.

MSC2010SubjectClassiﬁcation: 01A45,3303,2603.

GünterM.Ziegler

CannonsatSparrows

Thestorytoldherestartswithaninnocuouslittlegeometryproblem,posed inaSeptember2006blogentrybyR.Nandakumar,anengineerfromCalcutta, India:Thislittleproblemisa«sparrow»,tantalizing,notaseasyasonecould perhapsexpect,andRecreationalMathematics:ofnopracticaluse.

Iwillsketch,however,howthislittleproblemconnectstoveryserious mathematics:Forthemodellingofthisproblemweemployinsightsfromakey areaofAppliedMathematics,theTheoryofOptimalTransportation.Thiswill setupthestageforapplicationofamajortoolfromVeryPureMathematics, knownasEquivariantObstructionTheory.Thisisa«cannon»,andwe’llhave somefunﬁringitatthesparrow.

Onthewaytoasolution,combinatorialpropertiesofaveryclassicalgeometricobject,thepermutahedron,turnouttobeessential.Thesewill,atthe endofthestory,leadusbacktoIndia,withsometimetravelthattakesus onehundredyearsintothepast:Forthelaststepinour(partial)solutionof thesparrowsproblemweneedasimplepropertyofthenumbersinPascal’s triangle,whichwasﬁrstobservedbyBalakRam,inMadras1909.

Buteveniftheexistenceproblemissolved,thelittlegeometryproblemis not:Ifthesolutionexists,howdoyouﬁndone?Thisproblemwillbeleftto you.Instead,Iwillcommentonthestrainedrelationshipbetweencannonsand sparrows,andtothisavailquoteapoembyHansMagnusEnzensberger.

Keywords: partitionsofapolygon,conﬁgurationspaces,obstructiontheory, binomialcoeﬃcients,pureandappliedmathematics.

MSC2010SubjectClassiﬁcation: 00A08,52A38,55P91,55R80.

Instruccionsperalsautors

Elsarticlessotmesosapublicaciós’hand’enviaralseditorsoaqualsevol membredelcomitèeditorial,percorreuelectrònic,preferentmentenformat PDF.Elsoriginalshandecontenirlaversióanglesadeltítol,unresumbreuen catalàienanglès,paraulesclauencatalàienanglèsielscodisdelaclassiﬁcació permatèriesMSC2010.

Lesversionsdeﬁnitivesdelsarticlesacceptatss’handepresentarencodiTEX, preferentmentenl’estilLATEXpropidel Butlletí.Aquestestilespotobtenira lespàgineswebdelaSocietatCatalanadeMatemàtiques(SCM).Femnotarque enaquestapublicaciós’utilitzapreferentmentelpuntperaseparardecimals, enllocdelacomarecomanadaperl’IEC,perpoderfacilitarlacomprensióde lesexpressionsmatemàtiques.Pertald’accelerarelprocésdeproducció,es pregaalsautorsquesegueixinlesindicacionscontingudeseneldocument d’exemple.

Laversióenpaperdel Butlletí s’imprimeixenblancinegre.Quanun articlecontinguifiguresencoloriesconsidericonvenient,l’autorproporcionarà unaversiódelsgràficssubstituintelcolorpertonsdegrisosilíniesdegruix variable.Aixímateixmodificaràelscomentarisquefacinreferènciaalcolorde lesfigures.Enqualsevolcasel Butlletí publicaràl’originalencolorenelseu formatelectrònic.

Elsautorsdelsarticlespublicatsal Butlletí enreteneneldretdecòpia (copyright)iautoritzenl’IECadifondre’ls,tantatravésdelapublicacióimpresa commitjançantelsportalsdigitalspropisod’altresambquès’estableixinels convenisoportunsaaquestefecte.Ésresponsabilitatdelsautorsassegurar queesdisposadelsdretsdereproducciódelsgràﬁcsidelesﬁguresquehi apareguin.CadaautorrebràunacòpiaenPDFd’altaqualitatdelaversiódigital delseuarticleiunexemplarimprèsdelnúmerodel Butlletí enelquales publiqui.

Lacorrespondènciaadministrativarelacionadaambel Butlletí s’had’adreçaralaSCM.

JuliàCufí(editorencap)

Comitèeditorial

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona jcuﬁ@mat.uab.cat

BartomeuColl

Dep.deMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdelesIllesBalears tomeu.coll@uib.cat

NúriaFagella

Dep.deMatemàticaAplicadaiAnàlisi UniversitatdeBarcelona fagella@maia.ub.es

JosepMariaFont

Dep.deProbabilitats,LògicaiEstadística UniversitatdeBarcelona jmfont@ub.edu

ArmengolGasull

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona gasull@mat.uab.cat

GáborLugosi

ICREAiDepartamentd’Economia UniversitatPompeuFabra gabor.lugosi@upf.edu

RosaCamps(editoraadjunta)

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona rcamps@mat.uab.cat

JorgeMateu

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatJaumeI mateu@mat.uji.es

MarcNoy

DepartamentdeMatemàticaAplicadaII UniversitatPolitècnicadeCatalunya marc.noy@upc.edu

FrancescPlanas

DepartamentdeMatemàticaAplicadaI UniversitatPolitècnicadeCatalunya francesc.planas@upc.edu

AgustíReventós

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona agusti@mat.uab.cat

MartaSanz-Solé

Dep.deProbabilitats,LògicaiEstadística UniversitatdeBarcelona marta.sanz@ub.edu

SocietatCatalanadeMatemàtiques

La SocietatCatalanadeMatemàtiques(SCM) ésunasocietatﬁlialdel’Institutd’EstudisCatalans,quecontinualesactivitatsdelaSecciódeMatemàtiques delaSocietatCatalanadeCiències,quefoufundadaperl’Institutl’any1931. Lesﬁnalitatsdela SCM són:elconreudelesciènciesmatemàtiques,l’extensió delseuconeixementenlasocietatcatalana,elfomentdelseuensenyament idelasevainvestigacióteòricaiaplicada,aixícomlapublicaciódetotamena detreballsques’adeqüinaaquestsobjectius.La SCM desenvolupalesseves activitatsenlesterresdellenguaiculturacatalanes.Elcatalàés,doncs,la llenguapròpiadela SCM ilaqueésusadanormalmententotselsseusactesi publicacions.

La SCM editalespublicacionsperiòdiques SCM/Notícies i Butlletídela SocietatCatalanadeMatemàtiques.Elssocisdela SCM reben,gratuïtament, aquestesduespublicacions.

La SCM téconvenisdereciprocitatambdiversessocietatsmatemàtiques d’arreudelmón,mitjançantelsqualselssocisdela SCM obtenenunareduccióenlaquotadesocid’aquestessocietats.Aixímateix,elssocisdela SCM podenfer-sesocisdelaSocietatMatemàticaEuropeapagantunaquota complementària.

LaJuntaDirectivadela SCM estàconstituïdaperlespersonessegüents:

President:XavierJarqueiRibera

Vicepresident:EnricVenturaiCapell

Adjuntadelavicepresidència:IolandaGuevaraiCasanova

Secretari:AlbertRuiziCirera

Tresorera:NatàliaCastellanaiVila

Vocals:NúriaFagellaiRabionet,JosepGranéiManlleu,Agustí ReventósiTarrida,CarlesRomeroiChesa,OriolSerraiAlbó,Esther Silberstein,ManelUdinaiAbelló

Delegatdel’IEC:JoanGirbauiBadó

L’adreçadela SCM éscarrerdelCarme,47,08001Barcelona.Telèfon: 933248583.Fax:932701180.Correuelectrònic: scm@iec.cat.Adreçaweb: http://scm.iec.cat.

El Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques publica, en llengua catalana, exposicions matemàtiques de qualitat, que puguin interessar a un nombre elevat de lectors. Es donarà prioritat a aquells treballs en què destaquin la claredat d’exposició i l’interès general del tema. El Butlletí està obert a tots els camps de la matemàtica i també als aspectes matemàtics de les ciències experimentals, la tecnologia, l’economia, etc., així com a altres àrees, com la història, la didàctica i la filosofia, sempre que els treballs tinguin un component matemàtic important. També tenen cabuda al Butlletí aquells articles que desenvolupin un aspecte significatiu de la problemàtica de la professió matemàtica al nostre país.

El Butlletí publica un volum a l’any, dividit en dos números, que es trameten gratuïtament a tots els socis. El Butlletí es publica també en format electrònic. L’edició electrònica del Butlletí pot obtenir-se des del portal de revistes científiques en línia de l’IEC o al servidor http://scm.iec.cat.

La correspondència administrativa s’ha d’adreçar a la Societat Catalana de Matemàtiques.

Editor en cap

Julià Cufí

Departament de Matemàtiques

Universitat Autònoma de Barcelona

Comitè editorial

Bartomeu Coll

Dep. de Matemàtiques i Informàtica

Universitat de les Illes Balears

Núria Fagella

Dep. de Matemàtica Aplicada i Anàlisi

Universitat de Barcelona

Josep Maria Font

Dep. de Probabilitats, Lògica i Estadística

Universitat de Barcelona

Armengol Gasull

Departament de Matemàtiques

Universitat Autònoma de Barcelona

Gábor Lugosi

ICREA i Departament d’Economia

Universitat Pompeu Fabra

Societat Catalana de Matemàtiques

Carrer del Carme, 47 - 08001 Barcelona tel. 933 248 583 - fax 932 701 180

scm@iec.cat - http://scm.iec.cat

Editora adjunta

Rosa Camps

Departament de Matemàtiques

Universitat Autònoma de Barcelona

Jorge Mateu

Departament de Matemàtiques

Universitat Jaume I

Marc Noy

Departament de Matemàtica Aplicada II

Universitat Politècnica de Catalunya

Francesc Planas

Departament de Matemàtica Aplicada I Universitat Politècnica de Catalunya

Agustí Reventós

Departament de Matemàtiques

Universitat Autònoma de Barcelona

Marta Sanz-Solé

Dep. de Probabilitats, Lògica i Estadística Universitat de Barcelona