Comprendre simplement la résistance des matériaux by INFOPRO DIGITAL

Rémy Mouterde est expert en construction bois, ingénieur généraliste et docteur en architecture. Il a enseigné pendant près de trente ans à l’École nationale supérieure d’architecture de Lyon.

Cet ouvrage, abondamment illustré, explique simplement le fonctionnement des structures, le comportement des matériaux et les principes de dimensionnement des bâtiments en s’appuyant sur des connaissances simples et sur des situations de la vie courante. Il démontre aussi pourquoi et comment les enjeux fondamentaux d’une conception structurelle doivent être abordés dès l’origine du projet.

Cette nouvelle édition s’enrichit d’une soixantaine d’exercices – avec leurs corrigés – qui font appel au raisonnement et au calcul, mais aussi à l’expérimentation et à la manipulation. Leur niveau d’abstraction et de complexité croissant favorise la compréhension des phénomènes et facilite la mémorisation ainsi que la mise en situation des concepts.

Les fondements de la résistance des matériaux sont, dans un premier temps, présentés à partir des notions de force et d’équilibre, de l’échelle de la structure jusqu’à celle du matériau. La compréhension des mécanismes physiques permet ensuite d’exposer en

Ce manuel est un outil pratique pour tous les concepteurs qui doivent donner forme aux structures de bâtiment ou de génie civil. Il s’adresse également aux architectes et ingénieurs en formation, ainsi qu’aux enseignants.

1 | Concepts de base : Échelle globale : force et équilibre – Échelle de la section : forces internes – Échelle du matériau : contraintes et déformations – Critères de dimensionnement – Exercices • 2 | Le système structure : Principales logiques de franchissement – Enjeux de l’hyperstaticité – Principes des structures spatiales • 3 | Études de cas • 4 | Annexes • 5 | Corrigés des exercices

Les ouvrages de la collection « Comprendre simplement » ont pour objectif d’expliquer les mécanismes physiques et les principes constructifs qui permettent de faire les meilleurs choix technologiques et d’aboutir à une bonne conception architecturale. Leur approche pédagogique conjugue trois axes complémentaires : l’expérience commune, la démarche scientifique et l’exemple.

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ISSN 1965-863X ISBN 978-2-281-14218-1

François Fleury Rémy Mouterde

3e édition

détail les enjeux des grandes familles de structures planes et d’évoquer le comportement des structures spatiales. Plusieurs réalisations emblématiques sont analysées afin d’illustrer les déclinaisons de grands principes de la résistance des matériaux.

COMPRENDRE SIMPLEMENT 3e édition

la résistance des matériaux

La structure, principes et enjeux pour la conception

Ex er cic es e in t c clu or s rig és

François Fleury est ingénieur, docteur en génie civil, habilité à diriger des recherches et actuellement professeur à l’École nationale supérieure d’architecture de Normandie.

La structure ne doit pas être une contrainte, mais un support de créativité. Maîtriser la résistance des matériaux et connaître les systèmes structuraux permet de mieux les utiliser et de concevoir des bâtiments équilibrés et innovants.

la résistance des matériaux

François Fleury et Rémy Mouterde ont enseigné ensemble la mécanique, la construction et la conception des structures à l’école d’architecture de Lyon. Cet ouvrage est le fruit de leur intérêt commun pour la pédagogie des sciences à destination des concepteurs.

la résistance des matériaux

COMPRENDRE SIMPLEMENT

François Fleury Rémy Mouterde

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Sommaire

Préface.................................................................................... 9 Tableau des symboles............................................................ 13

Partie 2 Le système structure

............................................ 175

Présentation des exercices et manipulations.......................... 16

Principales logiques de franchissement..................... 177

Le langage de la structure...................................................... 19

Enjeux de l’hyperstaticité........................................... 233

Principes des structures spatiales............................... 253

Partie 1 Concepts de base 1 2

..................................................... 25

Exercices........................................................................ 69

Partie 3 Études de cas

Échelle de la section : forces internes........................ 81

Une poutre-treillis inversée : la verrière de la gare TGV de Roissy.......................... 305

L’hyperstaticité tridimensionnelle au service de Calatrava............................................... 317

Échelle globale : force et équilibre............................ 27

Exercices........................................................................ 102

Échelle du matériau : contraintes et déformations....................................... 115

.............................................................. 301

Exercices........................................................................ 128

10 L’hyperstaticité plane : usine Inmos à Newport....... 325

Critères de dimensionnement.................................... 131

Exercices........................................................................ 160

Un arc à trois articulations : la chenille de Waterloo............................................... 333

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La résistance des matériaux

Partie 4 Annexes

Bibliographie.......................................................................... 435 .......................................................................... 343

A1 Caractéristiques de quelques profilés métalliques et sections rectangulaires........................................... 345

A2 Diagrammes d’efforts et flèches maximales pour

Crédits photographiques et sources des illustrations............. 437 Index...................................................................................... 439 Table des matières.................................................................. 443

différentes configurations de poutres....................... 357

Partie 5 Corrigés des exercices

.......................................... 365

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Échelle globale : force et équilibre

1.2

L’objet mathématique et ses applications

1.2.1

Force

Chapitre 1

Pour représenter et prédire les phénomènes qui nous intéressent, nous avons besoin de formuler des lois physiques qui portent sur des forces. Il faut d’une part être capable de les caractériser quantitativement par un nombre réduit de paramètres et, d’autre part, se donner des règles pour les combiner, les manipuler mathématiquement. À partir de ces axiomes, nous pouvons développer des théories sur des bases de logique pure, sans référence physique. La confrontation des résultats de cette théorie avec les observations des phénomènes permet d’évaluer son niveau d’approximation et le bien-fondé de cette formalisation mathématique.

1.2.1.1

Comment caractériser une force ?

Il faut identifier les grandeurs qui déterminent son effet. Tout d’abord, reconnaissons qu’une force de volume ou une force surfacique est composée en fait d’une multitude de forces ponctuelles qui chacune s’exerce sur un petit volume ou une petite surface de matière. Intéressons-nous aux forces ponctuelles. L’effet d’une force ponctuelle sur un solide dépend de sa direction, de son sens, de son intensité et de sa position dans l’espace : ce sont là les seuls paramètres caractéristiques d’une force.

1.2.1.2

Comment ces paramètres sont-ils combinés ?

Il s’agit de définir des règles qui rendent compte, là encore, des effets des combinaisons des forces : par exemple, l’effet de la somme de deux forces (en termes de mouvement) doit être la somme des effets de chacune. Un objet mathématique a été inventé, justement caractérisé par une direction, un sens, une intensité et une ligne d’action, et doté des bonnes règles de composition : c’est le vecteur glissant, lui-même défini par un vecteur (direction, sens, intensité) et une droite, appelée ligne d’action. Ces caractéristiques (spatiales) doivent être exprimées dans un repère de référence, que l’on peut choisir arbitrairement. Une force est représentée graphiquement par une flèche (ou un segment orienté) positionnée par rapport à un repère (fig. 1.12) ; la longueur de ce segment est proportionnelle à l’intensité de

Fig. 1.12. Identification des caractéristiques d’une force sur sa représentation graphique

la force, en cohérence avec l’échelle des forces qui doit être précisée sur le graphique, tout comme celle des distances. La direction étant donnée par un angle, la ligne d’action peut être caractérisée par sa distance d à un point quelconque, ici l’origine du repère (X, Y). Cette distance est mesurée dans la direction perpendiculaire à la ligne d’action. En toute rigueur, pour une direction α donnée, une distance d correspond à deux possibilités pour situer la ligne d’action (de part et d’autre de l’origine du repère). Cette ambiguïté sera levée par le signe du moment, abordé dans le § 1.2.3. Remarquons que la position du point d’application de la force le long de sa ligne d’action n’est pas une caractéristique de la force parce que cette position ne modifie pas son effet (fig. 1.13).

À RETENIR Une force est mathématiquement caractérisée par : • son vecteur : – sa direction, – son sens, – son intensité (en N) ; • sa ligne d’action (position dans l’espace).

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Concepts de base

Partie 1

Fig. 1.13. L’effet d’une force n’est pas modifié par le déplacement de son point d’application le long de sa ligne d’action

1.2.2

Moment

De la même façon que la translation est causée par la force, la rotation est causée par le moment. Une force qui a tendance à faire tourner un objet autour d’un axe produit ce qu’on appelle un moment autour de cet axe. Physiquement, nous retiendrons la définition suivante : le moment d’une force par rapport à un point est sa tendance à faire tourner autour de ce point.

L’expérience quotidienne nous montre qu’il est plus facile d’ouvrir une lourde porte en la poussant loin des charnières ; plus un volant est grand, plus il est aisé à tourner ; on soulève un poids plus facilement si l’on utilise un grand levier ; pour serrer un boulon, on saisit la clé anglaise à son extrémité et non pas à proximité du boulon ; porter un poids à bout de bras est plus difficile que de le tenir près de soi, parce qu’on a plus tendance à basculer ; etc. (fig. 1.14).

Fig. 1.14. Le moment d’une force dépend de son bras de levier

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Échelle globale : force et équilibre

À RETENIR L’intensité du moment M d’une force autour d’un point O est donnée par le produit de l’intensité de la force F par la distance d du point O à la ligne d’action de la force : M = F × d. Son unité est le newton-mètre (N.m). La distance d (ou bras de levier) est mesurée sur la perpendiculaire à la ligne d’action passant par le point O.

Mathématiquement, le moment autour d’un point O d’une force de vecteur F et de ligne d’action passant par un point M est le produit vectoriel : M O = OM ∧ F.



Ainsi l’expérience kinesthésique et, plus quantitativement, l’observation instrumentée du phénomène nous montrent que le moment d’une force autour d’un point (sa tendance à faire tourner) est proportionnel à la distance de la ligne d’action à ce point. Cette distance est appelée bras de levier.

Chapitre 1

1.2.3

Notations, conventions et signes

L’intensité d’une force est un nombre positif. Pour identifier le sens d’une force par rapport à un sens conventionnel, c’est la valeur algébrique qui est utilisée, c’est-à-dire l’intensité avec un signe positif ou négatif. Dans cet ouvrage, quand la force fait l’objet d’une représentation graphique, le sens de la flèche correspondante devient le sens conventionnel de cette force (fig. 1.16). Il en est de même pour le moment, dessiné avec une flèche en arc de cercle.

Il est important de ne pas confondre le bras de levier (distance d’une droite à un point) avec la distance entre le point d’application de la force et le point O. Sur la clé représentée ci-après (fig. 1.15), le mécanicien exerce toujours une force de même intensité au même endroit. La distance entre le point d’application de la force et le centre du boulon est donc la même. S’il est plus facile de serrer le boulon en exerçant une force perpendiculaire à la clé, c’est parce que ainsi le bras de levier, et donc le moment, sont les plus grands.

Fig. 1.15. Le moment de la force dépend du bras de levier

POUR LES FORTS EN MATHS Si l’on cherche à évaluer la tendance d’une force à faire tourner dans l’espace tridimensionnel autour d’un axe donné (et non autour d’un point), il faut décomposer la force en une composante dans le plan perpendiculaire à l’axe, et une composante parallèle à l’axe. Cette dernière ne provoque pas de moment ; la composante dans le plan perpendiculaire provoque un moment correspondant au bras de levier qui est la distance entre l’axe de rotation et cette composante.

Fig. 1.16. Signe de la valeur algébrique d’une force, en fonction du sens dessiné

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Concepts de base

Partie 1

Exercices

4.9 Complexité 

Conception 

On considère une poutre rectangulaire en béton précontraint encastrée à une extrémité et chargée par une force ponctuelle F à l’autre extrémité. Les figures a à d représentent différentes configurations du câble de précontrainte. Classez ces configurations par ordre croissant d’efficacité, et argumentez. On rappelle que le câble tendu, ancré à ses extrémités sur le béton, exerce sur celui-ci une force de compression, qui peut être vue comme une action extérieure sur la poutre. Si cette force ne s’exerce pas selon la fibre moyenne, elle génère un moment, produit de la force par l’excentrement. Quand elle est parallèle à la poutre mais excentrée, elle génère un moment constant.

4.10 Complexité 

Conception 

Cet exercice s’appuie sur la configuration de la figure, identique à celle du cas h de l’exercice 2.5, auquel vous pouvez vous référer pour vérifier le diagramme de moment fléchissant. 1. Dans l’élément horizontal, l’effort normal est-il nul, positif (compression) ou négatif (traction) ? 2. Toujours dans l’élément horizontal, et en vous aidant des résultats de l’exercice 2.5, cas h, quelle est la fibre où la contrainte serait maximale en valeur absolue si la section était symétrique ? 3. On veut réaliser la poutre en acier. Sur le plan strictement de la mécanique des structures, quelle section (H ou T) ou quelle orientation (a ou b) vaut-il mieux choisir ? Donnez une réponse par ligne du tableau.

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4.11 Complexité 

Chapitre 4

Exercices

Critères de dimensionnement

Conception 

1. En faisant l’hypothèse d’une section rectangulaire pleine, de largeur b, déterminez le rapport des hauteurs à donner dans les deux configurations d’appui a et b pour que la contrainte maximale soit la même dans les deux cas. 2. Déterminez ces hauteurs de sorte que la contrainte maximale ne dépasse nulle part la contrainte admissible. Application numérique : b = 0,15 m σadm = 15 MPa q = 5 kN/m L = 6 m

4.12 Complexité 

Conception 

La figure représente une structure permettant de porter un volume en porte-à-faux. La structure est constituée d’une dalle en béton armé de 8 × 5 m, dont les grands côtés de 8 m de long reposent chacun sur une poutre, elle-même portée par deux poteaux. La dalle est chargée uniformément par une force surfacique de 800 daN/m2, comprenant le poids de la dalle et la surcharge.

2. Soit le schéma de calcul, qui considère que la poutre est articulée aux poteaux. En vous aidant des abaques de l’annexe A2, déterminez le diagramme du moment fléchissant sur la poutre ainsi que la déformée correspondante. On souhaite utiliser une section en acier de type IPE. Le tableau, extrait d’un catalogue de constructeur, donne les propriétés géométriques d’un certain nombre de sections. L’acier utilisé possède une limite d’élasticité, à ne pas dépasser : σadm = 180 MPa. 3. Choisissez dans cette liste la section la mieux adaptée, celle qui permet de respecter le critère de résistance tout en utilisant le moins d’acier. 4. En utilisant l’abaque de flexion, vérifiez alors le critère en déplacement, considérant que la flèche à l’extrémité ne doit pas dépasser 1/400 de la portée en porte-à-faux. Le cas échéant, choisissez la section permettant de respecter ce critère au plus juste.

1. Déterminez la valeur de la charge linéique q sur la poutre, en négligeant le poids propre de la poutre. Aire de la section S (m2)

Retombée h (m)

Inertie I (m4)

W = I/(h/2) (m3)

IPE 360

72,7.10– 4

0,36

16,27.10– 5

0,904.10– 3

IPE 400

84,5.10– 4

0,40

23,13.10– 5

1,160.10– 3

IPE 450

98,8.10– 4

0,45

33,74.10– 5

1,500.10– 3

IPE 550

134,4.10– 4

0,55

67,12.10– 5

2,440.10– 3

IPE 750 × 134

170,6.10– 4

0,75

150,70.10– 5

4,018.10– 3

Profil

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Une poutre-treillis inversée : la verrière de la gare TGV de Roissy

8.1

Contexte

Commencé au début des années 80, le terminal 2 de l’aéroport de Roissy-Charles-de-Gaulle comporte une série de terminaux construits au fur et à mesure de l’extension de l’aéroport et de l’augmentation du trafic. Ces terminaux sont implantés le long d’un axe est-ouest de près de 2 km. Le module d’échange de

Fig. 8.1. Ensemble de la structure étudiée. Gare TGV de Roissy, France. Paul Andreu, architecte

la gare TGV (fig. 8.1) en constitue l’élément central organisé le long d’un axe perpendiculaire à l’implantation générale de l’aéroport (fig. 8.2). Il a pour mission de relier l’aérogare aux grandes métropoles européennes, par l’intermédiaire d’un réseau ferroviaire à grande vitesse. La concentration sur quelques sites des grandes compagnies de transport aérien, et la pertinence d’un

Fig. 8.2. Croquis préliminaire de Paul Andreu et plan de masse de l’aéroport

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Études de cas

Partie 3

8.5

Une organisation de la triangulation au service de l’efficacité mécanique et du parti architectural

Nous venons de voir comment le choix de la position des appuis diminue l’intensité du moment dans la poutre, et comment l’utilisation de la précontrainte, en gardant un diagramme du moment toujours négatif, permet que la membrure supérieure de la poutre soit en traction. Un deuxième choix concernant la forme générale de la poutre va encore améliorer ses performances. En effet, le moment n’étant pas constant, nous avons vu (voir § 5.3.5) qu’il est opportun de faire varier la hauteur de la poutre en fonction de l’intensité du moment, de manière à homogénéiser les efforts le long de la poutre dans les deux membrures longitudinales. Ici la géométrie donnée à la poutre tout en s’approchant de la forme du diagramme des moments, ne respecte pas fidèlement ses variations. La forme en arc de cercle, qui a été retenue, représente un compromis facilitant la réalisation grâce à un cintrage régulier des tubes inférieurs. Ce profil en long de la poutre participe aussi de façon très cohérente à l’expression de l’idée d’envol et d’élan vers le ciel.

De plus, les concepteurs ont choisi de dédoubler la membrure inférieure comprimée. L’écartement de ces tubes dans le plan horizontal et leur association à l’aide de tubes perpendiculaires permettent de donner à la poutre de l’inertie dans ce plan, et donc de mieux résister au flambement généralisé auquel va être soumise cette membrure inférieure (fig. 8.9). L’idée de transparence progressive à mesure que l’on se rapproche de la verrière est ainsi renforcée. La triangulation interne n’est pas non plus le fait du hasard. Nous savons (voir § 5.3.3) que le choix d’orienter la barre inclinée, située entre deux montants consécutifs, selon l’une ou l’autre des deux diagonales, va solliciter celle-ci soit à la traction, soit à la compression, en fonction du sens choisi. Les montants sont alors soumis à l’effort inverse. Pour conserver à la poutre un maximum de verticalité et de transparence, il est préférable d’avoir visuellement des diagonales fines et des montants plus volumineux. Le sens des diagonales a donc été décidé pour qu’elles soient tendues, les montants étant alors comprimés, d’où leur réalisation à l’aide de tubes. De plus, ces tubes ne sont pas verticaux mais orientés de manière légèrement rayonnante (fig. 8.10, photo a et fig. 8.12), ce qui confère à l’ensemble de la poutre un effet d’ouverture qui accompagne la courbure de la membrure inférieure, et qui canalise le regard vers le haut de la structure.

Fig. 8.9. Cintrage et dédoublement de la membrure inférieure

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Une poutre-treillis inversée : la verrière de la gare TGV de Roissy

Chapitre 8

La partie centrale de la poutre entre les deux appuis a une configuration légèrement différente : il n’y a plus une seule barre diagonale mais des croix de St-André réalisées à l’aide de barres de faible diamètre ne pouvant travailler qu’en traction. Le calcul, grâce à un logiciel de structure, montre que si l’on avait conservé dans cette zone le même principe de diagonalisation que celui appliqué vers les extrémités de la poutre, les diagonales seraient soumises à un effort de compression. Il était donc nécessaire de les inverser. Il faut cependant garder présent à l’esprit que d’autres efforts de nature différente peuvent s’exercer sur la poutre, en particulier un effort horizontal dans le sens longitudinal de la poutre, provoqué par un effet de vent s’exerçant sur les parois bombées de la verrière de toiture. La réalisation de ces croix de St-André dans la zone entre les appuis permet de résister à ces efforts en gardant l’effet de transparence recherché (fig. 8.10, photo b). Les diagrammes de la figure 8.11 montrent la nature et l’intensité des efforts dans les différentes barres de la poutre-treillis sous un chargement gravitaire. Le choix et l’importance des sections choisies pour la réalisation sont facilement déduits des variations d’intensité de ces efforts. Pour conserver la plus grande

Fig. 8.10. Organisation des diagonales et montants d’une poutre triangulée

Fig. 8.11. Géométrie et répartition des efforts axiaux et des contraintes dans la poutre

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Caractéristiques de quelques profilés métalliques et sections rectangulaires

Poutrelles acier IPN

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Corrigés des exercices

Corrigés

Partie 5

1.9 1. Pour la figure a, la résultante de la force répartie est située davantage du côté de B. Son bras de levier est donc plus important vis-à-vis de A que de B. Le moment est donc plus important autour de A. Pour les figures b et c, le moment est plus important autour de A que de B, car dans les deux cas, les moments des différentes forces s’ajoutent

autour de A mais se retranchent autour de B. Si l’on choisit comme positif le sens de rotation des aiguilles d’une montre, dans la situation de la figure b, par exemple, la force de 200 daN génère un moment positif autour de A, mais négatif autour de B. 2. Il faut commencer par calculer et représenter la force équivalente aux forces réparties. Elles sont

de 400 daN et 100 daN respectivement pour les figures b et c. Leurs lignes d’action passent par les centres des segments correspondants : – figure b : MB = 400 × 2 – 200 × 2 = 400 daN.m dans le sens des aiguilles d’une montre – figure c : MB = – 100 × 3 +150 × 2 = 0

1.10 1. Fg = masse × accélération horizontale = (10 / g) × 0,38 × g = 3,8 MN 2. Voir figure. 3. Le moment de la résultante est égal à la somme des moments des forces qui la composent. Or la composante verticale (le poids) passe par le point C, son moment est donc nul. Il ne reste que le moment de Fg : MC = Fg × h pour le bâtiment a, et MC = Fg × 0,8 h pour le bâtiment b.

4. La configuration b est plus stable. Non seulement le moment de renversement est plus faible, mais, la base étant plus large, elle résiste mieux au moment. La distance de la résultante au point D est plus importante sur la configuration b. Il y aurait renversement si cette résultante passait à l’extérieur de la base du bâtiment. 5. Pour que le bâtiment a se renverse, il faut que le moment de la force sismique par rapport au point D soit supérieur au moment du poids du bâtiment. Si L est la largeur du bâtiment, la limite est donnée par : Fgmax × h = P × L / 2. Or, L = h. Ainsi : Fgmax = P / 2

1.11 1. Le claveau est soumis à trois forces dont on connaît les directions : – son poids P qui est vertical et égal à 20 × 9,81 = 196,2 N ; – l’action du claveau de droite F1d qui est horizontale (car le joint est ici vertical) ; – et celle du claveau de gauche F1g perpendiculaire au joint de gauche.

2. On utilise le rapport entre F2d / P = 350/196,2 pour tracer F2d 1,78 fois plus grand que P. On ferme ensuite le polygone des forces avec F2g qui n’est plus perpendiculaire au joint de

gauche. On obtient par la statique graphique : F2g = 401 N. Cela peut être vérifié par calcul : F2g = (196,22 + 3502)1/2.

Pour qu’il soit en équilibre, le polygone de ces trois forces doit être fermé. On le trace en reportant les directions connues de F1d et F1g respectivement à l’origine et à l’extrémité du poids dont l’intensité est connue. Il suffit alors de prendre le rapport des longueurs sur la figure : F1d / P = 1,45 et F1g / P = 1,76. Les forces exercées respectivement par le claveau de droite et de gauche valent donc respectivement environ : 285 N et 345 N. La précision du résultat dépend de celle du dessin, et donc de sa taille et du soin apporté au tracé.

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Échelle globale : force et équilibre

Corrigés

1.12 suite et fin Créativité Un certain nombre d’artistes exploitent le registre de l’équilibre ou de la stabilité dans leurs œuvres, en réalisant des empilements d’objets.

Des architectes exploitent également l’effet kinesthésique que le porte-à-faux ou l’équilibre inattendu peut procurer.

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Table des matières

Sommaire............................................................................... 7 Préface.................................................................................... 9 Tableau des symboles............................................................ 13 Présentation des exercices et manipulations.......................... 16 Le langage de la structure...................................................... 19

Partie 1 Concepts de base ......................................................... 25 1

Échelle globale : force et équilibre........ 27

1.1 1.1.1 1.1.1.1 1.1.1.2 1.1.1.3 1.1.1.4 1.1.1.5 1.1.1.6 1.1.1.7 1.1.1.8 1.1.2

Concept de force...................................................... 27 Agression..................................................................... 27 Charges permanentes ou variables..................................... 28 Charges normales ou accidentelles..................................... 28 Forces statiques ou dynamiques......................................... 28 Forces verticales, horizontales ou inclinées........................... 29 Forces volumiques, surfaciques, linéiques ou ponctuelles......... 29 Forces appliquées ou déplacements imposés........................ 29 Valeurs des forces.......................................................... 31 Maîtrise des forces par le concepteur.................................. 33 Définition physique........................................................ 35

1.2 1.2.1

L’objet mathématique et ses applications............... 37 Force........................................................................... 37

1.2.1.1 1.2.1.2 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.5.1 1.2.5.2 1.2.5.3

Comment caractériser une force ?...................................... 37 Comment ces paramètres sont-ils combinés ?....................... 37 Moment...................................................................... 38 Notations, conventions et signes...................................... 39 Principe de l’équilibre.................................................... 40 Opérations sur les forces................................................ 41 Somme de forces............................................................ 41 Forces équivalentes......................................................... 42 Principes fondamentaux de la statique graphique.................. 45

1.3 1.3.1 1.3.1.1 1.3.1.2 1.3.1.3 1.3.2 1.3.2.1 1.3.2.2 1.3.2.3 1.3.2.4 1.3.3

Réalisation de l’équilibre.......................................... 48 Notion de liaisons......................................................... 48 Appui simple................................................................. 48 Articulation................................................................... 49 Encastrement................................................................ 49 Conditions de l’équilibre................................................. 52 Degré d’hyperstaticité..................................................... 53 Degré d’hyperstaticité externe........................................... 53 Degré d’hyperstaticité interne........................................... 56 Degré total d’hyperstaticité............................................... 59 Équations d’équilibre et calcul des réactions par la méthode algébrique.............................................. 61 Algorithme méthodologique............................................. 61 Exemple d’application..................................................... 61 Détermination des réactions d’appui par la statique graphique............................................... 62 Première méthode de détermination des réactions d’appui...... 62 Méthode générale de détermination des réactions d’appui...... 63

1.3.3.1 1.3.3.2 1.3.4 1.3.4.1 1.3.4.2

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La résistance des matériaux

1.3.5 1.3.6 1.3.6.1 1.3.6.2 1.3.6.3 1.3.6.4

Notion de sous-structure................................................ 65 Modélisation et représentation de la structure.............................................................. 66 Géométrie.................................................................... 66 Comportement mécanique des matériaux............................ 67 Chargement.................................................................. 67 Liaisons........................................................................ 68 Exercices................................................................... 69

Échelle de la section : forces internes.. 81

2.1 2.1.1 2.1.2

La structure comme canal de forces......................... 82 Mise en évidence des efforts internes............................... 82 Principe de l’obtention des efforts internes........................ 84

2.2 2.2.1 2.2.1.1 2.2.1.2 2.2.1.3 2.2.2 2.2.3 2.2.3.1 2.2.3.2

Efforts de la résistance des matériaux (RdM).......... 85 Définitions et interprétation............................................ 85 Repère local.................................................................. 85 Composantes d’efforts.................................................... 86 Interprétation................................................................ 86 Principe de calcul.......................................................... 87 Exemple d’application.................................................... 87 Section S1..................................................................... 88 Section S2..................................................................... 89

2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.5.1 2.3.5.2 2.3.6

Diagramme des efforts............................................. 90 Définition..................................................................... 90 Méthode de calcul et de tracé des diagrammes.................. 91 Exemple d’application.................................................... 92 Quelques propriétés des  diagrammes d’efforts.................. 95 Diagramme du moment et déformée................................ 96 Définition de la courbure.................................................. 96 Exploitation de la relation moment-courbure........................ 97 Utilisation du diagramme en situation de conception.......... 100

3.2 3.2.1 3.2.2

Déformation............................................................. 120 Déformation longitudinale.............................................. 121 Distorsion.................................................................... 122

3.3 3.3.1 3.3.1.1 3.3.1.2 3.3.2 3.3.3

Relation contrainte/déformation.............................. 122 Élasticité linéaire........................................................... 122 Caractéristiques du comportement élastique........................ 122 Enjeux associés à la raideur.............................................. 123 Comportements non linéaires.......................................... 124 Quelques conséquences du comportement mécanique des matériaux............................................................... 125 Symétrie....................................................................... 125 Isotropie....................................................................... 126 Rapport résistance sur poids propre.................................... 126 Raideur........................................................................ 126 Ductilité....................................................................... 127

3.3.3.1 3.3.3.2 3.3.3.3 3.3.3.4 3.3.3.5

Exercices................................................................... 128

4 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.2.1 4.1.2.2 4.1.3 4.1.4 4.1.4.1

Étude des contraintes............................................... 131 Effort normal................................................................ 131 Moment fléchissant....................................................... 132 Expression des contraintes................................................ 132 Notion d’inertie............................................................. 135 Flexion composée.......................................................... 138 Cisaillement................................................................. 140 Petite phénoménologie du cisaillement issu de l’effort tranchant..................................................................... 141 4.1.4.2 Contrainte de cisaillement maximale................................... 143 4.1.5 Conclusion................................................................... 144 4.1.5.1 Critères en contraintes..................................................... 144 4.1.5.2 Exemple élémentaire....................................................... 144

Échelle du matériau : contraintes et déformations...................... 115

4.2 4.2.1 4.2.1.1 4.2.1.2 4.2.2

3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4

Contrainte................................................................. 115 Notion de contrainte...................................................... 115 Résistance uniaxiale...................................................... 117 Champ de contrainte..................................................... 117 Équilibre efforts-contraintes............................................ 119

4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.2.1 4.3.2.2

Exercices................................................................... 102

Critères de dimensionnement.................. 131

Étude de la déformée............................................... 145 Principe du calcul des déformées..................................... 146 Relation entre effort normal et allongement......................... 147 Relation entre moment et courbure.................................... 147 Calcul de la déformée.................................................... 148 Flambement.............................................................. 149 Phénomène.................................................................. 149 Éléments de conception................................................. 151 Flambement d’un élément................................................ 151 Flambement généralisé.................................................... 152

444

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Table des matières

4.4

Quelques outils de prédimensionnement................. 153

4.4.1

Traction simple............................................................. 155

4.4.2 4.4.2.1 4.4.2.2 4.4.2.3

Compression simple....................................................... 156 Pour λ < 20.................................................................. 156 Pour λ > 20.................................................................. 156 Exemple d’application..................................................... 157

4.4.3 Flexion........................................................................ 157 4.4.3.1 Efforts et flèches maximales.............................................. 157 4.4.3.2 Choix d’une section........................................................ 158 Exercices................................................................... 160

Partie 2 Le système structure ................................................. 175 5

Principales logiques de franchissement.......................................... 177

5.1

La structure : un système.......................................... 177

5.2

Les poutres : une réponse immédiate grâce à la flexion...................................................... 179

5.2.1

Poutre simple............................................................... 179

5.2.2

Variation de l’inertie de la section.................................... 180

5.2.3 5.2.3.1 5.2.3.2 5.2.3.3

Liaisons et continuité, facteurs de performance.................. 180 Encastrement................................................................ 180 Porte-à-faux.................................................................. 182 Poutres continues........................................................... 183

5.3

La triangulation supprime la flexion........................ 187

5.3.1 Isostatisme – Hyperstatisme........................................... 190 5.3.1.1 Isostatisme extérieur....................................................... 190 5.3.1.2 Isostatisme intérieur........................................................ 190 5.3.2

Diagrammes et déformée d’une poutre triangulée.............. 191

5.3.3

Diagrammes d’une poutre simple et d’une poutre triangulée.................................................................... 193

5.3.4

L’épure de Cremona....................................................... 196

5.3.5 5.3.5.1 5.3.5.2 5.3.5.3 5.3.5.4

Implications constructives............................................... 199 Choix de l’angle et de la hauteur....................................... 199 Variation de hauteur le long de la poutre............................. 200 Organisation de la triangulation........................................ 201 Problèmes d’assemblage et inversion d’efforts...................... 201

5.4 5.4.1 5.4.1.1 5.4.1.2 5.4.2 5.4.2.1 5.4.2.2 5.4.3 5.4.3.1 5.4.3.2 5.4.3.3 5.4.4 5.4.4.1 5.4.4.2 5.4.4.3

La traction remplace la flexion : les systèmes funiculaires.......................................... 203 Réactions d’appui et isostatisme...................................... 205 Nature des réactions....................................................... 205 Influence de la géométrie................................................. 205 Efforts internes dans le câble.......................................... 206 Direction de l’effort interne............................................... 206 Intensité de la traction pour un câble soumis à des charges verticales................................................... 207 Géométrie du câble en fonction du chargement............................................................. 208 Similitude entre le câble et sa poutre équivalente.................. 208 Détermination de la géométrie du câble.............................. 209 Exemple d’application..................................................... 210 Dispositions constructives............................................... 212 Choix de la géométrie..................................................... 212 Déformabilité – Instabilité................................................ 213 Utilisation des câbles en post-tension pour le béton précontraint.................................................................. 215

5.5 5.5.1 5.5.2 5.5.3 5.5.3.1 5.5.3.2 5.5.4 5.5.4.1 5.5.4.2 5.5.4.3 5.5.5 5.5.5.1 5.5.5.2 5.5.5.3

Arcs et portiques...................................................... 216 Principes de fonctionnement........................................... 217 Réactions d’appui et degré d’hyperstaticité....................... 219 Ligne de pression.......................................................... 220 Ligne de pression........................................................... 220 Tracé de la ligne de pression............................................. 221 Arcs remarquables......................................................... 223 Arc à trois articulations.................................................... 223 Arc ne pouvant travailler en traction................................... 225 Portique....................................................................... 229 Comportement d’un arc et dispositions constructives.......... 230 Instabilité..................................................................... 230 Géométrie.................................................................... 230 Flambement.................................................................. 231

Enjeux de l’hyperstaticité........................... 233

6.1

Définition.................................................................. 233

6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3

Distribution des forces internes............................... 233 Indétermination des équations d’équilibre......................... 233 Principes généraux de résolution..................................... 236 Méthode itérative de dimensionnement............................ 239

6.3

Sensibilité de l’état élastique................................... 241

445

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La résistance des matériaux

6.4 6.4.1 6.4.2

Ductilité et charge de ruine...................................... 243 L’enjeu de la ductilité..................................................... 243 Réserve de résistance par redistribution d’effort................. 245

Partie 3 Études de cas ................................................................. 301

6.5

Raideur et efficacité................................................. 247

6.6

Réalisation et problèmes d’ajustement.................... 249

Une poutre-treillis inversée : la verrière de la gare TGV de Roissy.... 305

6.7

Éléments d’aide à la décision................................... 250

8.1

Contexte................................................................... 305

Principes des structures spatiales......... 253

8.2

Parti architectural..................................................... 306

8.3

Principe proposé : une poutre inversée.................... 309

7.1

La troisième dimension............................................ 253

8.4

Effet de précontrainte.............................................. 310

7.2 7.2.1 7.2.1.1 7.2.1.2 7.2.1.3 7.2.1.4 7.2.1.5 7.2.2 7.2.2.1 7.2.2.2 7.2.2.3 7.2.2.4 7.2.2.5

Géométries planes.................................................... 255 Réseaux de poutres....................................................... 255 Principe général............................................................. 255 Exemples...................................................................... 257 Apport de la torsion........................................................ 259 Torsion dans les poutres.................................................. 261 Éléments de conception................................................... 263 Plaques....................................................................... 264 Principes...................................................................... 264 Exemples...................................................................... 267 Généralités sur le comportement des plaques....................... 270 Treillis spatiaux.............................................................. 271 Variations avec des plaques.............................................. 272

8.5

Une organisation de la triangulation au service de l’efficacité mécanique et du parti architectural.. 312

L’hyperstaticité tridimensionnelle au service de Calatrava................................ 317

9.1

Contexte................................................................... 317

9.2

7.3 7.3.1 7.3.1.1 7.3.1.2 7.3.1.3 7.3.2 7.3.2.1 7.3.2.2 7.3.2.3 7.3.2.4 7.3.2.5 7.3.3 7.3.3.1 7.3.3.2 7.3.3.3 7.3.3.4 7.3.3.5 7.3.3.6 7.3.4

Surfaces courbes....................................................... 277 Filets........................................................................... 277 Câbles en trois dimensions............................................... 277 Conditions de stabilité d’un filet........................................ 279 Variations avec des réseaux de câbles................................. 279 Membranes.................................................................. 281 Conséquences de l’isotropie............................................. 281 Éléments de géométrie des surfaces................................... 282 Enjeux mécaniques liés aux caractéristiques géométriques....... 283 Ancrages...................................................................... 285 Recherche de formes....................................................... 286 Coques........................................................................ 287 Dualité membrane/coque................................................. 287 Effets flexionnels localisés................................................ 288 Dôme.......................................................................... 291 Coque cylindrique........................................................... 293 Paraboloïde hyperbolique................................................. 294 Variations avec des coques............................................... 298 Conclusion................................................................... 300

Une géométrie qui complexifie le comportement mécanique................................................................ 318 Apparition d’un moment de torsion.................................. 318 Apparition d’un moment de flexion horizontal................... 320 Une géométrie des bras qui induit de la flexion.................. 322

9.2.1 9.2.2 9.2.3 9.3

Des éléments ayant tous des sections adaptées aux efforts................................................................ 323

L’hyperstaticité plane : usine Inmos à Newport................................ 325

10.1

Contexte................................................................... 325

10.2 10.2.1 10.2.2

La structure proposée : un gigantesque parapluie... 328 De grands portiques en structure treillis............................ 328 Une poutre continue sur des appuis intermédiaires suspendus.................................................................... 328 Les haubans induisent de la compression dans la poutre..... 330 La rigidité de la poutre modifie le diagramme des moments fléchissants............................................... 330

10.2.3 10.2.4

10.3

Des éléments adaptés aux efforts et à une préfabrication............................................. 332

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Table des matières

Un arc à trois articulations : la chenille de Waterloo................................. 333

Partie 4 Annexes ............................................................................ 343

11.1

Contexte................................................................... 333

Caractéristiques de quelques profilés métalliques et sections rectangulaires.... 345

11.2

Parti architectural..................................................... 334

11.3

Structure proposée : une voûte de métal et de verre................................................................ 335

Diagrammes d’efforts et flèches maximales pour différentes configurations de poutres.......................... 357

11.3.1

Un arc asymétrique détermine le parti structurel................ 335

11.3.2

Une articulation centrale qui stabilise le diagramme des moments................................................................ 336

11.3.3

La triangulation des arcs accentue le contraste entre les deux éléments de la structure............................. 339

11.3.4

Un travail du détail qui accompagne les principes généraux et contribue au parti architectural.................................... 342

Partie 5 Corrigés des exercices ............................................... 365 Bibliographie.......................................................................... 435 Crédits photographiques et sources des illustrations............. 437 Index...................................................................................... 439

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ISSN 1965-863X ISBN 978-2-281-14218-1

François Fleury Rémy Mouterde

3e édition

COMPRENDRE SIMPLEMENT 3e édition

la résistance des matériaux

La structure, principes et enjeux pour la conception

Ex er cic es e in t c clu or s rig és

François Fleury est ingénieur, docteur en génie civil, habilité à diriger des recherches et actuellement professeur à l’École nationale supérieure d’architecture de Normandie.

la résistance des matériaux

COMPRENDRE SIMPLEMENT

François Fleury Rémy Mouterde

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