UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE EXTENSIÓN LATACUNGA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
GUÍAS DE ESTUDIO DATOS INFORMATIVOS ASIGNATURA SEMESTRE
: :
GEOMETRÍA PLANA DEL SNNA SEPTIEMBRE 2016/ FEBRERO 2017
UNIDAD 5 CUADRILÁTEROS Es una figura cerrada cuyos límites son cuatro segmentos, llamados lados del cuadrilátero.
CLASIFICACIÓN:
1.1.1 Trapecio escaleno 1.1 Trapecios
1.1.2 Trapecio isósceles 1.1.3 Trapecio rectángulo
1.2 Trapezoides
CUADRILATEROS 1.2.1 Rectángulo 1.3 Paralelogramos
1.2.2 Cuadrado 1.2.3 Rombo 1.2.4 Romboide
54
Paralelogramos: son aquellos que tienen los lados opuestos paralelos e iguales. Estos se clasifican en rectángulos, cuadrados, rombos y romboides.
Altura.- se llama altura de un paralelogramo a la "distancia" entre lados paralelos.
Diagonal.- es la recta que une dos vértices no consecutivos de una figura rectilínea cerrada. Rectángulos: paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos rectos.
Perímetro:
P = 2h + 2b
Área:
A=bxh
Cuadrado: paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos rectos y sus cuatro lados iguales.
Perímetro:
P=4xl
Area:
A = l2 A =
d2 2
Rombo: aquel paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales, pero sus ángulos no son rectos.
Perímetro:
P=4xL
Área:
55
A=
D×d 2
Romboide: es el verdadero paralelogramo tiene sus ángulos y lados opuestos iguales de dos en dos
Trapecios: son aquellos que tienen dos lados paralelos. Se clasifican en escalenos, isósceles y rectángulos. • • •
Área:
Escaleno: tiene 2 lados paralelos Isósceles: tiene 2 lados paralelos, 2 ángulos de la base iguales y los 2 lados no paralelos también son iguales. Rectángulo: tiene 2 lados paralelos, y un lado es perpendicular a las 2 bases.
B + b A = × h 2
Trapezoides: son aquellos que no tienen lados paralelos. Un tipo especial es el llamado Simétrico o contraparalelogramo: Se caracteriza por que una diagonal es mediatriz de la otra.
56
PROBLEMAS: 1.- ¿Cuánto costará enmarcar un cuadro de forma romboidal, si se conoce que su diagonal mayor mide 48cm, su diagonal menor mide 20cm, y que el precio por cm lineal colocado es de $0,18? Solución: Graficamos el cuadro
Un rombo forma 4 triángulos rectángulos cuyos catetos son la mitad de las medidas de las diagonales, por lo que podemos calcular la medida de su lado utilizando el teorema de Pitágoras:
L2 = 102 + 242 L2 = 100 + 576 L = 26 cm Con este resultado encontramos el perímetro del cuadro: P=4xL P = 4 x 26 cm P = 104 cm Para calcular el costo multiplicamos el número total de cm que tenemos por el precio de colocación de cada cm de marco: Costo = 104cm x $0,18/cm Costo = $18,72
2.- Se desea poner papel contac en una ventana que tiene la forma de la figura. ¿Cuántos m2 de papel se necesitarán, y cuánto costará la instalación si el precio de m2 de papel contac colocado es de $1,75?
57
Solución: Como podemos observar en la figura la ventana está formada por un rectángulo cuyas medidas son b = 0,75 m y h = 1,20m y un semicírculo (mitad de un círculo) cuyo radio es la mitad de la base del rectángulo, es decir 0,375 m. Calculando el área del rectángulo y del semicírculo, tenemos: A1 = b x h
A2 = (π x r2) / 2
A1 = ( 0,75 m ) (1,20 m )
A2 = (π x ( 0,375m )2) /2
A1 = 0,90 m2
A2 = 0,22 m2
Por lo tanto el área de la ventana y de los m2 de papel que se necesitan son: A = A1 + A2 A = 0,90 m2 + 0,22 m2 A = 1,12 m2 Para calcular el costo multiplicamos este resultado por lo que cuesta cada metro cuadrado de papel: Costo = 1,12 m2 x $1,75/m2 Costo = $ 1,96
3.- Encontrar el perímetro y el área del siguiente triángulo:
Solución: El valor de x lo podemos encontrar aplicando el teorema de Pitágoras:
58
c2 = a2 + b2 (10x - 3)2 = (9x – 1)2 + (3x)2 2 100x – 60x + 9 = 81x2 – 18x + 1 + 9x2 10x2 – 42x + 8 = 0 5x2 – 21x + 4 = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado: (x – 4 ) (5x – 1) = 0 x=4
x = 1/5
Por lo que tenemos 2 respuestas: Respuesta 1: Reemplazando el valor de x = 4, encontramos que los lados miden: miden a = 35, b = 12 y c = 37. Por lo que el perímetro y el área para este triángulo son: a×b 2 35x12 A= 2 A = 70 u2 A =
P=a+b+c P = 35 + 12 + 37 P = 84u
Respuesta 2: Reemplazando el valor de x = 1/5, encontramos que los lados miden: a = 4/5, b = 3/5 y c = -1. 1. Como la medida de los lados no puede ser negativa entonces ésta no sería respuesta. 4.- La base menor de un trapecio de 75 u2 de superficie es la mitad de su base mayor, y la altura es la suma uma de las 2 bases dividido para 6. Calcular las medidas de la base menor, base mayor y altura. Solución:
y Por lo tanto la altura en función de la base menor será igual a:
Reemplazando en la a fórmula del área podemos encontrar la medida de la base menor:
Despejando b:
Una longitud sólo puede ser positiva, por lo tanto la medida de la base menor es de 10 u, con este resultado calculamos las medidas de la base mayor y de la altura: B=2b
B = 20 u
h = b/2
h=5u
59