DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
GUÍAS DE ESTUDIO DATOS INFORMATIVOS ASIGNATURA SEMESTRE
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GEOMETRÍA PLANA DEL SNNA SEPTIEMBRE 2016/ FEBRERO 2017
UNIDAD 5 CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA Se llama lugar geométrico al conjunto de todos los puntos y solamente de aquellos, cuyas coordenadas satisfacen la o las condiciones pedidas. Ejemplo 1: El lugar geométrico de todos los puntos de un plano situados a una distancia dada r de un punto dado O es la circunferencia del círculo cuyo centro es O y radio es r.
Ejemplo 2: La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de los lados del ángulo.
Al trazar las distancias desde los puntos T y S (de la bisectriz) se forman triángulos rectángulos, los cuales son iguales puesto que PT = TQ y SR = SM Ejemplo 3: La perpendicular bisectriz de una recta es el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de los extremos de la recta.
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Ejemplo 4: El lugar geométrico del centro de una rueda que corre por un plano es la línea paralela al plano.
EL CIRCULO Definición.- El círculo es una figura plana limitada por una curva cerrada cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro del círculo o centro de la circunferencia.
Circunferencia.- Es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de otro llamado centro, también se la define como la curva que limita al círculo. En otras palabras, el contorno (perímetro) de un círculo es la circunferencia. La distancia desde un punto de la circunferencia al centro se llama radio.
IGUALDAD DE LOS RADIOS.- Como consecuencia de la definición anterior se dice que todos los radios de un círculo son iguales, y también que: dos círculos son iguales si sus radios lo son. LÍNEAS Y PUNTOS FUNDAMENTALES EN EL CÍRCULO: Cuerda: Segmento recto que une dos puntos de la circunferencia.
AB = Cuerda
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Secante: línea que corta el círculo
L = Secante
Diámetro: Cuerda mayor ó la línea que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el centro del círculo. El diámetro es igual a 2 veces el radio de la circunferencia.
AB = Diámetro = D D = 2 ∗r
Tangente: línea recta externa a la circunferencia que tiene un punto común con ella.
TP = Tangente T = Punto de tangencia o punto común
Arco: es el segmento de una circunferencia.
Arco AB = (menor) Arco ACB = (mayor)
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ANGULOS EN EL CÍRCULO Angulo central: aquel cuyo vértice coincide con el centro de la circunferencia. Sus lados pueden considerarse como los radios de la misma.
α = ángulo central
TEOREMA: Todo ángulo central tiene por medida el arco comprendido entre sus lados. ) mα = mAB
Angulo inscrito: ángulo interior en un círculo cuyo vértice es uno de los puntos de la circunferencia.
β = ángulo inscrito
TEOREMA: Todo ángulo inscrito tiene por medida la mitad del arco comprendido entre sus lados.
mβ =
) mAB 2
Corolario: 1.- Todo ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.
Angulo semi-inscrito: aquel cuyos lados son, la tangente y la cuerda que pasa por el punto de tangencia.
φ = ángulo semi-inscrito
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TEOREMA: El ángulo formado por una tangente y una cuerda que pasa por el punto de tangencia, tiene por medida la mitad del arco subtendido por la cuerda.
) mACB mθ = 2
Angulo ex inscrito: es el suplemento del ángulo inscrito.
θ = ángulo ex - inscrito β = ángulo inscrito Al ser β y θ suplementarios:
mθ = 1800 − mβ
Angulo interno: aquel formado por dos cuerdas del círculo.
γ = ángulo interno AB = cuerda CD = cuerda
TEOREMA: El ángulo formado por dos cuerdas que se cortan tiene por medida la semisuma de los arcos comprendidos entre sus lados.
mγ =
) ) mAC + mBD 2
Angulo externo: aquel formado por el trazo de dos tangentes a un círculo desde un punto exterior a ella, por dos secantes que cruzan la circunferencia, o por una secante y una tangente.
h = ángulo externo (2 tangentes) a = ángulo externo (2 secantes) b = ángulo externo (Secante y tangente)
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TEOREMA: El ángulo formado por dos secantes o, por dos tangentes o, por una secante y una tangente, trazadas a un círculo desde un punto exterior, tiene por medida la semi diferencia de los arcos comprendidos entre los lados del ángulo. CASO I: Cuando son 2 secantes
mα =
) ) mAB − mCD 2
CASO II : Cuando son 1 secante y 1 tangente
mβ =
) ) mAD − mCD 2
CASO III: Cuando son 2 tangentes
mγ =
) ) mCED − mCD 2
REGIONES DEL CÍRCULO:
Segmento circular: área limitada por una cuerda y el arco correspondiente.
Área sombreada donde el segmento BC es la cuerda y B x C es el arco que subtiende la cuerda
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Anillo: es el área comprendida entre dos círculos que tienen el mismo centro pero distinto radio (círculos concéntricos)
r1 y r2 = radios de dos círculos que tienen el mismo centro
LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA: La longitud de una circunferencia es igual al doble producto de π por el radio, es decir:
L = 2∗ π ∗r AREA DEL CÍRCULO: El área del círculo es igual al producto de π por el radio al cuadrado, es decir: A = π ∗ r2
PROBLEMAS: 1.- Calcular el área del círculo y la longitud de la circunferencia de diámetro igual a 10 cm. Solución:
Como el diámetro es igual a 2 radios, entonces:
r=
D 2
r =
10cm 2
r = 5cm Aplicando las respectivas fórmulas tenemos: A = π ∗ r2
L = 2∗ π ∗r
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L = 2 ∗ (3,14159) ∗ 5cm
A = (3,14159) ∗ (5cm)
L = 31,41cm
A = 78,54cm2
2
2.- Si la longitud de una circunferencia es de 38cm. Cuál será el área de su respectivo círculo?. Solución: Si despejamos el radio de la fórmula de la longitud de la circunferencia tenemos:
r=
L 2π
r =
38cm 2 ∗ (3,14159 )
r = 6,05cm Reemplazando este resultado en la fórmula del área: A = π ∗ r2
A = (3,14159) ∗ (6,05cm)
2
A = 115cm2
3.- En la figura Si < b = 46º. Cuál es el valor del ángulo a?
Solución: Como el <b es un ángulo inscrito:
ˆ= mb
) mAC 2
de donde:
) ˆ mAC = 2 ∗ mb
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) mAC = 2 ∗ 46 o ) mAC = 92 °
Debido a que la medida del ángulo central a es igual a la medida del arco AC: mˆ a = 92 o 4.- Resolver el siguiente ejercicio
H) AC paralela a DE
T) < a = ?
Arco AbD = ?
Solución: Por ser AC y DE paralelas, el ángulo CDE es igual al ángulo ACD, por alternos internos, y como CDE es un ángulo inscrito, tenemos:
mCDE = mACD =
Por lo tanto:
) mCE 2
mCDE = mACD = 35 o
Como el ángulo ACD es un ángulo inscrito:
) mAbD = 2 ∗ mACD ) mAbD = 2 * 35 o ) mAbD = 70 o Ya que la medida del arco AC es igual a 180o, por ser un semicírculo, entonces: mˆ a = 90 o
5.- Resolver:
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Por ser a ángulo interno, se tiene que:
mˆ a=
) ) mBD + mAC 2
Despejando la medida del arco AC y reemplazando las hipótesis, tenemos que: ) ˆ − 70 o mAC = 8 ∗ mP
(1)
De otro lado, el ángulo P es externo, por lo que:
) ) mBD − mAC ˆ mP = 2 Despejando la medida del arco AC y reemplazando las hipótesis: ) ˆ mAC = 70 o − 2 ∗ mP
(2)
Igualando 1 y 2: ˆ − 70 o = 70 o − 2 ∗ mP ˆ 8 ∗ mP ˆ = 140o 10mP
ˆ = 14o mP
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