UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE EXTENSIÓN LATACUNGA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
GUÍAS DE ESTUDIO DATOS INFORMATIVOS ASIGNATURA SEMESTRE
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GEOMETRÍA PLANA DEL SNNA SEPTIEMBRE 2016/ FEBRERO 2017
UNIDAD 6 POLÍGONOS Razón: Es la comparación de una cantidad con otra semejante. El resultado es un número abstracto, y por lo tanto no tiene unidad. Una razón es una fracción, consecuentemente, todas las propiedades que tiene una fracción se aplican a las razones. Para representar la razón 15 a 4 se lo hace así:
15 / 4
ó
15: 4
El 15 y el 4 se denominan términos de la razón. Proporción: Es una expresión que resulta de la igualdad de dos razones. Si las razones tienen el mismo valor, las razones pueden igualarse formando una proporción. Ejemplo:
15 60 = 4 16 G e n e r a l i z a n d o , u n a p r o p o r c i ó n p u e d e r e p r e s e n t a r s e as í :
a c = b d
ó
a : b :: c : d
Se lee “a” es a “b” como “c” es a “d” ó “a” es proporcional a “b” como “c” es a “d”.
Términos de una proporción: “a” y “d” son extremos; “b” y “c” son medios. “a” y “c”
son antecedentes; “b” y “d” son consecuentes.
Cuarta Proporcional: De las tres cantidades, el cuarto término se define como la cuarta proporcional.
a c = b x “x” es la cuarta proporcional entre a, b y c.
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Media Proporcional: (Media geométrica) Si en una proporción, el segundo y el tercero ó primero y cuarto término son iguales, se dice que cualquiera de los dos es media proporcional entre el primero y cuarto ó segundo y tercero términos respectivamente.
x = media proporcional entre a y d proporcional entre b y c.
X = ad
( media
o en el otro caso
x =
media
X 2 = bc
geométrica )
X = bc
PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS 1. En un polígono puede invertirse las razones:
Si
a c = b d
∴
b d = a c
2. El producto de los medios es igual al producto de los extremos.
Ejemplo :
1 5 = 2 10
⇒
1 * 10 = 2 * 5
3. En una proporción a cada antecedente se puede sumar o restar su respectivo consecuente o a cada consecuente sumar o restar su respectivo antecedente y la proporción no altera.
1 5 = 2 10 1 + 2 5 + 10 3 15 = ∴ = 2 10 2 10 1 5 1 5 b) = ∴ = 2 + 1 10 + 5 3 15 a)
a)
b)
1 − 2 5 − 10 = 2 10
1 5 = 2 − 1 10 − 5
∴
−
1 5 = 2 10
∴ 1=
5 5
4. En una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes es a la s u m a d e l o s c o n s e c u e n t e s , c o m o c u a l q u i e r a d e s u s a nt e c e d e n t e s e s a su respectivo consecuente.
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SEMEJANZA DE POLÍGONOS En general se dice que dos polígonos son semejantes cuando respectivamente iguales y sus lados homólogos son proporcionales.
sus
ángulos
son
RAZON DE SIMILITUD: Se llama razón de similitud o razón de semejanza de dos polígonos semejantes, la razón de dos lados homólogos cualesquiera. Particularizando estos conceptos, a los triángulos, se dice que, dos triángulos son semejantes si tienen o cumplen dos condiciones. a.- Los ángulos de un triángulo son iguales a los ángulos del otro. b.- El lado opuesto al ángulo igual de un triángulo es proporcional al lado opuesto al ángulo igual del otro triángulo. (Lados homólogos) TEOREMA BASICO DE SEMEJANZA: (TEOREMA DE THALES) “Los segmentos proporcionales”
de
dos
o
más
transversales
interceptados
entre
paralelas
son
Sea L1, L2 y L3 rectas paralelas cortadas por dos transversales l1, l2.
AB DE = BC EF Corolario 1: Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo, divide a los dos lados en segmentos proporcionales y cada uno de los lados son proporcionales a los segmentos correspondientes determinados en ellos.
AD CE = DB EB
AD + DB CE + EB = DB EB
ó
ó
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DB EB = AD CE
DB + AD EB + CE = AD CE
∴
AB BC = DB EB
ó
AB BC = AD CE
Corolario 2.- Si una recta divide proporcionalmente a dos de los lados de un triángulo entonces es paralela al tercer lado. Corolario 3.- Dos triángulos son semejantes si los lados son respectivamente paralelos.
∠ 1 = ∠ 1 por alternos internos ∠ 1 = ∠ 4 por correspondientes ∠ 2 = ∠ 2 por alternos internos ∠ 2 = ∠ 6 por correspondientes ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ B = 180° ∴
∠ 6 + ∠ 4 + ∠ B´ = 180°
∴ ∠ B = ∠ B´ ∆ ABC ≈ ∆ A´B´C´
En general se puede decir que un triángulo es semejante a su respectiva representación o escala ( cualquiera que esta fuere)
Corolario 4.- Todos los triángulos equiángulos (equiláteros) son semejantes Corolario 5.- Dos triángulos son semejantes si dos ángulos del uno son respectivamente iguales a los dos ángulos del otro. Corolario 6.- Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.
PROPIEDAD DEL BARICENTRO. El baricentro divide a cada una de las medianas en dos segmentos, tales que el uno es el doble del otro.
G = Baricentro AG = 2 GM BG = 2.GN CG = 2.GP
Por lo tanto el baricentro G está ubicado a los 2/3 de cada mediana, medidos desde el vértice hacia el punto medio del lado opuesto.
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PROBLEMAS: 1.- Los lados de un triángulo son: AB = 18, AC = 27, y BC = 26, DE paralela con FH y paralela con BC. Encontrar la medida de los segmentos FD, EH, AE y HC.
Solución: Si AB = 18 entonces: FD = AB – AD – BF FD = 18 – 8 – 4 FD = 6 Por el corolario 1, tenemos:
AB AC = FD EH
18 27 = 6 EH
∴ EH =
27 * 6 =9 18
∴
27 * 8 = 12 18
AB AC = AD AE
18 27 = 8 AE
AE =
Si AC = 27 entonces: HC = AC – AE – EH HC = 27 – 12 - 9 HC = 6
2.- En la siguiente figura encuentre las medidas de AB y BD
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Soluciรณn: Por hipรณtesis (grรกfico) el <A es igual al <E B es รกngulo comรบn de los triรกngulos ABC y DBE Por el corolario 5 los triรกngulos ABC y DBE son semejantes; de ahรญ que:
DE BE DB = = AC AB BC Tomando la primera proporciรณn:
DE BE = AC AB 4 2 = 12 AB AB = 6 Tomando la segunda proporciรณn:
BE DB = AB BC 2 DB = 6 9 DB = 3 3.- En la siguiente figura demuestre que: AH2 = AB . HD
Soluciรณn: Si le llamamos 1 al รกngulo B, y 2 al รกngulo C, podemos observar que: El รกngulo DHC es 1
Por suma de รกngulos internos en el Triรกngulo DHC
El รกngulo AHD es 2
Por que 1 y 2 son complementarios
El รกngulo HAD es 1
Por que el triรกngulo AHD es rectรกngulo
El รกngulo BAH es 2
Por que el triรกngulo ABH es rectรกngulo
Por lo tanto los Triรกngulos ABH y AHD son semejantes por que tienen sus รกngulos congruentes. Haciendo la proporcionalidad tenemos:
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AH AB = HD AH
(Recuerde que a ángulos congruentes, lados proporcionales)
AH2 = AB . HD
4.- Resolver:
Solución: Como m<C = m<A / 2 por hipótesis, la medida del <C es igual a la medida del ángulo 1 m <ADB = 2 m<1
por ser ADB ángulo externo del triángulo ADC
B ángulo común de los triángulos ABC y ABD, por lo tanto estos triángulos son semejantes. Haciendo proporcionalidad de los lados tenemos:
AB BC = BD AB Por lo tanto:
AB2 = BC . BD
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