UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE EXTENSIÓN LATACUNGA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
GUÍAS DE ESTUDIO DATOS INFORMATIVOS ASIGNATURA SEMESTRE
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GEOMETRÍA PLANA DEL SNNA SEPTIEMBRE 2016/ FEBRERO 2017
UNIDAD 1 TÉRMINOS NO DEFINIDOS Introducción La Geometría Euclidiana es una asignatura que le permite al estudiante seguir sus estudios en materias más avanzadas del área matemática, puesto que existen muchos conceptos y definiciones que el estudiante debe conocer. En esta primera unidad vamos a realizar el estudio de algunos conceptos básicos de la Geometría Plana, términos con los que el estudiante debe familiarizarse, para a continuación revisar las características más importantes de los ángulos y triángulos. El objetivo es reconocer los diferentes tipos de ángulos que existen, saber diferenciarlos y poder hacer conversiones de un sistema de medida angular a otro, además estudiar los triángulos, su notación, clasificación, algunos postulados importantes y poder identificar cuando dos triángulos son congruentes.
GEOMETRÍA DEFINICION: La palabra Geometría proviene de dos palabras griegas: Geo, que significa tierra y Metrón que significa medida. Por consiguiente etimológicamente significa medición de la tierra. Se divide en forma general en el campo de la geometría plana y en el campo de la geometría del espacio. Los antiguos griegos, romanos, babilonios y egipcios usaron la Geometría para muchas actividades de su vida, como la construcción de las grandes obras y monumentos que hasta el día de hoy merecen nuestra admiración, también aplicaron conocimientos de Geometría en la repartición de tierras para el pago de impuestos. CONCEPTO DE GEOMETRÍA PLANA: Muchos autores definen a la geometría como una disciplina, quizá la más antigua de la humanidad, que parte de verdades que se aceptan sin demostración (Postulados) para llegar a una conclusión o tesis planteada con anterioridad sobre las figuras geométricas; pero, en general intentemos una definición más sencilla: “Estudia las propiedades y relaciones de las figuras geométricas. Se sustenta en una sistematización rigurosa, lógica y secuencial de principios y definiciones sencillas, para establecer conclusiones de gran dificultad”. La geometría euclidiana o plana estudia las figuras cuyos puntos se hallan en un mismo plano. En cambio la geometría del espacio estudia los sólidos cuyos puntos constitutivos no se encuentran en un mismo plano. En el presente curso nos centraremos en la geometría plana.
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¿QUÉ ES UNA FIGURA GEOMETRICA? Es el conjunto de puntos y líneas que toman una forma determinada, y con características propias. La figura debe ser necesariamente visualizada para poder definirla completamente ya que ayuda categóricamente en la resolución de problemas. Se debe procurar dibujar a una escala aproximada ya que esto ayuda a comprender las soluciones.
CLASIFICACION DE LAS FIGURAS Las figuras en geometría pueden ser: SEMEJANTES: Cuando tienen igual forma, pero diferente tamaño. CONGRUENTES: Cuando pueden superponerse una sobre la otra coincidiendo todos sus elementos, es decir igual forma y tamaño. Se puede emplear el término “iguales” pero con ciertas limitaciones. EQUIVALENTES: Cuando tienen diferente forma pero igual área.
TERMINOS GEOMÉTRICOS NO DEFINIDOS Existen términos muy empleados en el estudio de la geometría, que son enunciados y no definidos satisfactoriamente. Al enunciarlos aceptamos que existen. Estos son: el punto, la línea y el plano. Punto: Puede concebirse o imaginarse, sea como el extremo de una línea o sea como la intersección de dos rectas. Existen infinitos elementos denominados puntos. La señal que deja la punta de un lápiz sobre el papel, la que deja la punta de un alfiler, imaginados sin dimensiones, da una idea del punto geométrico. El punto puede representarse por el cruce de dos pequeños trazos X o bien por la señal del lápiz en el papel, y se lo designa con una letra mayúscula de imprenta.
Línea: Se puede definir a la línea como la huella que deja un punto al moverse en un plano. Si dos superficies contiguas se cortan, también forman una línea. Así pues, se puede decir que línea es el límite de una superficie. La línea tiene solo una dimensión a saber: longitud. No tiene ni espesor ni anchura. Línea recta: Es una línea especial que tiene las siguientes características: a) Dos puntos bastan para determinarla; y, b) Es ilimitada en sus dos sentidos. Se la puede designar por dos de sus puntos con el símbolo ↔ en la parte superior. Se puede definirla también como la huella del movimiento de un punto que se mueve en una sola dirección. ↔ AB
Postulados: a. b.
Por dos puntos puede pasar una sola recta, o infinitas rectas coincidentes. Dos rectas sólo pueden tener un punto en común, o todos sus puntos son comunes. (rectas superpuestas)
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Línea curva:
Es la línea que no tiene segmento alguno recto por pequeña que se suponga. Es la huella de un punto que cambia constantemente de dirección. Semirrecta: Una semirrecta es una de las regiones de una recta determinada por un punto.
En el ejemplo dibujado tenemos dos semirrectas: tienen su origen en A pero no tienen fin. El punto A, consecuentemente determina las dos semirrectas, AC y AB. Se representan por el símbolo → → → AB y AC Segmento: Se llama segmento, al conjunto de puntos comprendidos entre dos puntos de una recta. Generalmente, los segmentos se designan por las letras de sus extremos con un trazo encima.
Postulado: “La distancia más corta entre dos puntos es el segmento que los une”. Postulado: Si un segmento es dividido en dos partes iguales por el punto M, se dice que M es punto medio del segmento, o que el punto medio biseca al segmento AB.
Si una el se dice que la recta biseca el segmento
recta pasa por punto medio M AB
Si tres puntos A, B, y C se encuentran sobre una recta, entonces se dice que los tres puntos son colineales
PLANO: La idea de plano es una hoja extendida y un plano se extiende en todas las direcciones. Se lo designa griegas o góticas.
de papel indefinidamente con letras
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ÁNGULO:
Es la abertura comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen
Ángulos adyacentes: Para que dos ángulos se consideren adyacentes deben cumplir tres condiciones: Tener el mismo vértice Tener un lado común Ser externo el uno del otro Ángulo AOB es adyacente del BOC
Ángulos consecutivos:
Son aquellos ángulos adyacentes uno a continuación de otro que se forman alrededor de un solo vértice
Rectas Perpendiculares: Se define como rectas perpendiculares a dos rectas que se cortan y forman cuatro ángulos consecutivos iguales de 90o.
∠ COB, ∠COA, ∠AOD y ∠DOB son consecutivos. Si estos cuatro ángulos consecutivos son iguales entonces se dice que. CD ⊥ AB Corolario: Si al cortarse dos rectas no forman ángulos consecutivos iguales, entonces estas son oblicuas. Postulado: Por un punto exterior a una recta del plano pasa una y sólo una perpendicular a dicha recta. Perpendicular bisectriz: Llamada también mediatriz, es la perpendicular levantada en el punto medio de un segmento.
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DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
“Es la perpendicular bajada desde el punto a la recta, ó a su prolongación”.
Rectas paralelas: Dos rectas son paralelas si no tienen punto común aunque se prolonguen
Postulado de las paralelas: Por un punto cualquiera exterior a una recta puede trazarse una paralela a esa recta, y sólo una. Sin embargo podemos considerar que dos rectas son paralelas si la una es coincidente con la otra, es decir que ambas tienen todos los puntos coincidentes. PROPOSICION Se llama proposición al enunciado de una cuestión por resolver.
Axioma Postulado Teorema Proposiciones Axioma: Es una proposición que, siendo evidente, no requiere demostración. Ejemplos: • • •
El todo es mayor que cualquiera de las partes. El todo es igual a la suma de las partes. Cualquier cantidad es igual a sí misma.
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Si a cantidades iguales se agregan o quitan cantidades iguales, los resultados son iguales.
Postulado: Es una proposición cuya verdad, aunque no tenga la evidencia de un axioma se admite sin demostración. Este término es más aceptado para la Geometría, en cambio el axioma se utiliza para el Álgebra y la Aritmética. Ejemplos: • • • • •
La distancia más corta que existe entre dos puntos es el segmento que los une. Existen infinitos puntos. Por dos puntos de un plano pasa solamente una recta. Dos rectas sólo tienen un punto común o tienen todos sus puntos comunes. La bisectriz de un ángulo es única.
Teorema: Se llama teorema a una proposición que necesita ser demostrada. El teorema consta de dos partes: - Hipótesis, y Tesis La hipótesis es lo que se supone o se tiene de datos y la tesis lo que se quiere demostrar. Las hipótesis pueden ser enunciadas directamente en el problema, pueden ser gráficas conforme la costumbre de poner señas en los elementos homólogos de dos o más figuras, o pueden estar ocultas en un concepto general.
INSTRUCCIONES PARA UNA DEMOSTRACION • • • • • • •
Construir un gráfico claro y representativo, indicando marcas, símbolos, letras y otras características enunciadas. Expresar la hipótesis, identificando hipótesis gráficas u ocultas en el enunciado Expresar la tesis en forma clara y comprender las interrogantes planteadas. Ejecutar la demostración justificando detalladamente los pasos y los conceptos. Recuerde que la demostración de teoremas es general; la resolución de problemas es particular. Los pasos deben ser lógicos y secuenciales. No debe suponer ningún paso o concepto. Con alguna práctica debe tratar de encontrar el algoritmo óptimo.
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