«Մխիթար Սեբաստացի» կրթահամալիր Երկրաչափական սկզբնական տեղեկություններ Սեպտեմբերի 1նոյեմբերի 1 1. Երկրաչափություն առարկան 2. Հատվածների և անկյունների համեմատումը 3. Երկարության միավորներ, հատվածի երկարությունը 4. Անկյունների չափումը 5. Կից և հակադիր անկյուններ 6.Ուղղահայաց ուղիղներ
1. Երկրաչափություն առարկան Տեսական նյութ Երկրաչափությունը մաթեմատիկայի ճյուղերից է: Այն ուսումնասիրում է երկչափ պատկերների, օրինակ՝ քառակուսու կամ եռանկյան, և եռաչափ մարմինների, օրինակ՝ բուրգի կամ խորանարդի հատկությունները: Դեռևս մ. թ. ա. II հազարամյակի սկզբին եգիպտացիներին հայտնի էին երկրաչափական պարզագույն հասկացություններն ու կանոնները, որոնք, սակայն, համակարգված չէին և խիստ գործնական բնույթ ունեին: «Երկրաչափություն» բառն ինքը նշում է այդ գիտության ծագման հիմքերը: Եգիպտացիներին այդ գիտությունը պետք էր հատկապես Նեղոսի վարարումներից հետո առանձին ընտանիքների պատկանող հողամասերի չափերը վերականգնելու համար: Հողամասերի մակերեսը ճիշտ հաշվելուց էր կախված փարավոնի գանձարանը մուծվող հարկի չափը: Այն հեռավոր ժամանակներում հարկավոր էր լինում հաշվել նաև տարբեր մարմինների ծավալները: Նույն այդ Եգիպտոսում ստրուկները կառուցում էին քարե վիթխարի բուրգեր՝ տիրակալների մահարձաններ, ոռոգիչ ջրանցքներ ու խանդակներ էին փորում, կառուցում ամբարտակներ: Հարկ եղավ սովորել, թե ինչպես պետք է հաշվել այդ մարմինների ծավալը: Սորուն նյութերը՝ ցորենը, ալյուրը, և հեղուկները՝ ձեթը, գինին, պահվում էին կավե կլոր, հսկայական կարասներում: Պետք էր իմանալ նաև այդ կարասների ծավալը: Այնպես որ, եգիպտացիները ստիպված էին իմանալ երկրաչափական որոշակի հասկացություններ ու կանոններ: Սեղանի, գրատախտակի, պատուհանի ապակու մակերևույթները պատկերացում են տալիս
հարթության մասին: Բայց այդ մակերևույթները եզրեր ունեն, իսկ հարթությունը եզրեր չունի: Բոլոր ուղություններով այն անվերջ է:
Հարթության ցանկացած երկու կետով անցնում է միայն մեկ ուղիղ: Ուստի երկու ուղիղներ կարող են հատվել միայն մեկ կետում: AB հատվածը կազմում է AB ուղղի մի մասը: Ուղիղը, ի տարբերություն հատվածի, ծայրեր չունի: Ուղղի ցանկացած կետից նրա երկու կողմերի վրա կարելի է առանձնացնել ցանկացած երկարությամբ հատվածներ: CE ուղիղը տարված է C և E կետերով: D կետը գտնվում է CE ուղղի վրա, իսկ F կետը` ոչ: O կետը GH ուղիղը բաժանում է երկու մասի: Դրանցից յուրաքանչյուրն անվանում են ճառագայթ: O կետն անվանում են ճառագայթի սկիզբ: Ճառագայթը վերջ չունի: Նկարում պատկերված է PK ճառագայթը: Նրա սկիզբը P կետն է: Ճառագայթը նշանակելիս առաջինը միշտ գրում են ճառագայթի սկզբի տառը: OG և OH ճառագայթները միասին կազմում են GH ուղիղը և ունեն ընդհանուր O սկիզբ: Այդպիսի ճառագայթներն անվանում են միմյանց նկատմամբ լրացուցիչ: OG ճառագայթը OH ճառագայթի լրացուցիչն է, իսկ OH ճառագայթը՝ OG ճառագայթի: Յուրաքանչյուր ճառագայթ ունի միայն մեկ լրացուցիչ ճառագայթ:
Հարթության վրա տանենք AB և AC երկու ճառագայթներ, որոնք ունեն A ընդհանուր սկիզբը։ Ստացված երկրաչափական պատկերն անվանում են անկյուն: AB և AC ճառագայթներն անվանում են այդ անկյան կողմեր, իսկ A կետը՝ անկյան գագաթ։ Անկյունը նշանակում են երեք տառով՝ BAC։ Անկյան անվանուիրմը գրառելիս մեջտեղում գրվում է նրա գագաթը ցույց տվող տառը։
Անկյունը կարելի է նշանակել և մեկ տառով, որրը համարվում է նրա գագաթի անվանումը։ BAC անկյունը կարելի է նշանակել պարզապես A տառով։ Անկյուններ նշանակելիս "անկյուն" բառի փոխարեն գրում են ∠ նշանը, օրինակ՝ ∠BAC, ∠A։ Առաջադրանքներ 1) Գծեք միևնույն O կետով անցնող 4 հատ ուղիղ: Այդ ուղիղները քանի՞ մասի են բաժանում հարթությունը: 2) 3 հատ ուղիղների օգնությամբ առավելագույնը քանի՞ մասի կարելի է բաժանել հարթությունը: 3) Գծեք որևէ անկյուն: Տարեք այնպիսի հատված. ա) որի բոլոր կետերը գտնվեն այդ անկյան ներքին տիրույթում, բ) որի բոլոր կետերը գտնվեն այդ անկյան արտաքին տիրույթում, գ) որի կետերի մի մասը գտնվի անկյան ներքին տիրույթում: 4) Գծեք AOB չփռված անկյունը և տարեք՝ ա) այնպիսի OC ճառագայթ, որն AOB անկյունը տրոհի երկու անկյան, բ) այնպիսի OD ճառագայթ, որն AOC անկյունը երկու անկյան չտրոհի: 2. Հատվածների և անկյունների համեմատումը Տեսական նյութ Մեզ շրջապատող առարկաների մեջ կան այնպիսիները, որոնց ձևերը միանման են, իսկ չափսերը՝ միևնույնը: Այդպիսի առարկաներն են, օրինակ՝ թղթի երկու միատեսակ թերթերը, երկու նույնանուն գրքերը, նույն թողարկման երկու համակարգիչները: Երկրաչափության մեջ միևնույն ձևը և չափերն ունեցող երկու պատկերներն անվանում են հավասար պատկերներ: Նկարում պատկերված են հավասար պատկերներ՝
Այսպիսով՝ երկու երկրաչափական պատկերներ կոչվում են հավասար, եթե վերադրումով դրանք կարող են համընկնել: Հատվածի այն կետը, որը կիսում է այդ հատվածը, այսինքն՝ այն տրոհում է երկու հավասար հատվածների, կոչվում է հատվածի միջնակետ: Նկարում С կետը AB հատվածի միջնակետն է:
Ցանկացած երկու փռված անկյուններ հավասար են: Անկյան գագաթից ելնող ճառագայթը, որն այն տրոհում է երկու հավասար անկյունների կոչվում է անկյան կիսորդ:
Առաջադրանքներ 1) O կետը AB հատվածի միջնակետն է: Կարելի՞ է վերադրմամբ համընկեցնել հետևյալ հատվածները. ա) OA և OB, բ) OA և AB: 2) l ճառագայթը hk անկյան կիսորդն է: Կարելի՞ է վերադրմամբ համընկեցնել անկյունները՝ ա) hlը և lkն բ) hlը և hkն: 3)
4)* լրացուցիչ Ուղղի վրա տրված են A, B, C և D կետեր (C կետը գտնվում է AB հատվածի վրա) այնպես, որ AB=CD: AD հատվածի միջնակետը արդյոք կլինի՞ CB հատվածի միջնակետ: Պատասխանը հիմնավորեք: 3. Երկարության միավորներ, հատվածի երկարությունը Տեսական նյութ Մարդուն ամենուրեք հարկավոր են չափումներ։ Առանց չափումների նա չի կարող հագուստ կարել, տուն կառուցել, մեքենա պատրաստել, տիեզերանավ արձակել։ Մարդը սովորել է չափել շատ մեծություններ, այնպիսիք, ինչպիսիք են ժամանակը, երկարությունը, մակերեսը, ծավալը, զանգվածը, ջերմաստիճանը։ Մեծությունները չափում են՝ դրանք համեմատելով մեծությունների որևէ միավորի հետ։ Օրինակ, եթե AB հատվածը կարելի է բաժանել 5 մասի՝ յուրաքանչյուրը 1 սմ, ապա նրա երկարությունը հավասար է 5 սմի։ Նույն հատվածը կարելի է բաժանել 50 հատվածի, յուրաքանչյուրը 1 մմ, ուստի և նրա երկարությունը հավասար է 50 մմի։ Եթե հատվածը հնարավոր չէ բաժանել 1 սմանոց ամբողջ թվով հատվածների, ապա այն բաժանում են ավելի փոքր հատվածների, օրինակ՝ 1ական մմ, այսինքն՝ որպես երկարության միավոր վերցնում են ոչ թե սանտիմետրը, այլ միլիմետրը։ Քանի որ 1 սմ = 10 մմ, ապա երկարության միավորն այդ դեպքում բաժանում են 10 հավասար մասերի։ 1 մմ երկարության միավորը կարելի է դարձյալ բաժանել 10 հավասար մասերի և այլն։ Ընդհանրապես, չափման միավորները (բացի ժամանակի միավորներից) փոքրացնում կամ մեծացնում են 10, 100, 1000 և այլն անգամ։ Որպես երկարության հիմնական միավոր ընդունված է մետրը։Երկարության մնացած միավորները ստացվում են հիմնական միավորից 10, 100, 1000 և այլն անգամ մեծացնելով կամ փոքրացնելով։ Այդ միավորների անվանումները կազմվում են նախածանցների միջոցով։ Միավորը 10 անգամ փոքրացնելիս կիրառում են “դեցի” նախածանցը, 100 անգամ՝ “սանտի”, 1000 անգամ՝ “միլի”։ Միավորը 10 անգամ մեծացնելիս կիրառում են “դեկա” նախածանցը, 100 անգամ՝ “հեկտո” և 1000 անգամ՝
“կիլո”: Օրինակ, եթե մետրը փոքրացնենք 10 անգամ, ապա կստացվիդեցիմետր, եթե մետրը փոքրացնենք 100 անգամ, ապա կստացվիսանտիմետր, իսկ եթե մետրը փոքրացնենք 1000 անգամ, ապա կստացվի միլիմետր։ բայց եթե մետրը մածացնենք 1000 անգամ, ապա կստացվի կիլոմետր։
Հատվածի երկարությունը չափում են քանոնով: Քանոնի վրա նշված ենգծիկներ, որոնք այն բաժանում են հավասար մասերի, որոնց անվանում են չի: Յուրաքանչյուր բաժանման երկարությունը հավասար է մեկ սանտիմետրի: Քանոնի բոլոր բաժանումները կազմում են սանդղակ, որի միջոցով որոշում են հատվածի երկարությունը: AB հատվածի երկարությունը հավասար է 6 սմի: Գրում են՝ AB = 6 սմ: Եթե X կետը AB հատվածը բաժանում է AX և XB մասերի, ապա ամբողջ հատվածի երկարությունը հավասար է նրա մասերի երկարությունների գումարին: AB = AX + XB
Առաջադրանքներ 1) AB հատվածի երկարությունը հավասար է 37 սմի: C և D կետերը գտնվում են այդ հատվածի վրա, ընդ որում D կետը գտնվում է C և B կետերի միջև: Գտեք CD հատվածի երկարությունը, եթե AD = 27 սմ, BC = 19 սմ: 2) Ուղղանկյան կողմերից մեկը 16 սմ է, իսկ մյուսը 3 անգամ մեծ է: Գտեք ուղղանկյան պարագիծը: 3) Ուղղանկյունաձև այգու հողամասի երկարությունը 85 մ է, իսկ լայնությունը` 39 մ: Գտեք այդ հողամասի պարագիծը: 4) M և N կետերն ընկած են AB հատվածի վրա, ընդ որում N կետը զետեղված է M և B
կետերի միջև: Գտեք AB հատվածի երկարությունը, եթե AN = 42 սմ, MB = 24 սմ, MN = 8 սմ: 5) B կետը գտնվում է A և C կետերի միջև, իսկ D կետը` A և B կետերի միջև: Գտեք DC հատվածի երկարությունը, եթե DA հատվածի երկարությունը հավասար է 45 սմի, AB հատվածի երկարությունը 3սմով մեծ է DA հատվածի երկարությունից, իսկ BC հատվածի երկարությունը 17 սմով փոքր է AB հատվածի երկարությունից: 6)* Լրացուցիչ Տեղեկություն չափման միավորների մասին: 4. Անկյունների չափումը Տեսական նյութ
Անկյուններ չափելու համար կիրառում են փոխադրիչ կամ անկյունաչափ։ Փոխադրիչի սանդղակի գծիկները դասավորված են կիսաշրջանագծով, որի կենտրոնը փոխադրիչի վրա նշված է գծիկով (փոխադրիչի կենտրոն)։ Փոխադրիչի սանդղակի միջոցով O կենտրոն ունեցող փռված անկյունը կարելի է բաժանել 180 հավասար անկյունների։ Այն անկյունը, 1 որը հավասար է փռված անկյան 180 մասին, անվանում են աստիճան: ° նշանը աստիճանի նշանակումն է։ Փոխադրիչի սանդղակի յուրաքանչյուր բաժանում հավասար է 1°ի։ AOB անկյունը չափելու համար փոխադրիչը վերադրում ենք նրա վրա այնպես, ինչպես ցույց է տրված նկարում։ անկյան O գագաթը համընկնում է փոխադրիչի կենտրոնին, և մի կողմն անցնում է փոխադրիչի սանդղակի հաշվարկման սկզբով։ այդ դեպքում մյուս կողմը ցույց է տալիս AOB անկյան աստիճանային չափը, այսինքն՝ թե քանի աստիճան է պարունակում AOB անկյունը.
∠AOB = 110°։ Փոխադրիչ կիրառում են նաև անկյուններ կառուցելու համար։ Դիցուք պահանջվում է կառուցել 50°ի անկյուն այնպես, որ նրա կողմը լինի տրված KC ճառագայթը։
փոխադրիչը դնենք այնպես, որ նրա կենտրոնը կամընկնի ճառագայթի սկզբնակետին, իսկ KC ճառագայթն անցնի փոխադրիչի սանդղակի հաշվարկման սկզբով։ D կետը դնենք 50° նշումով գծիկի դիմաց և տանենք KD ժառագայթը։ Մենք կառուցեցինք 50°ի CKD անկյունը, որը գտնվում է KC ուղղից վերև։ Կարելի է կառուցել նույնպիսի անկյուն նաև այդ ուղղից ներքև։ Իսկ եթե խնդրի պայմանում ցույց տրվեր, թե տրված ուղղի որ կողմում պետք է կառուցել CKD անկյունը, ապա խնդիրը կունենար միայն մեկ լուծում։ Ընդհանրապես, ցանկացած ճառագայթից տվյալ ուղղությամբ կարելի է առանձնացնել տվյալ աստիճանային չափի միայն մեկ անկյուն։ Հավասար աստիճանային չափեր ունեցող անկյուններն իրար հավասար են։
Եթե OM ճառագայթը AOB անկյունը բաժանում է AOM և MOB անկյունների, ապա AOB անկյան աստիճանային չափը հավասար է AOM և MOB անկյունների աստիճանային չափերի գումարին։ Եթե AOM անկյան աստիճանային չափը փոքր է POK անկյան աստիճանային չափից, ապա ասում են, որ AOM անկյունը փոքր է POK անկյունից կամ POK անկյունը մեծ է AOM անկյունից։ Գրում են. ∠AOM < ∠ POK կամ ∠POK > ∠AOM։ Ուղիղ անկյունը հավասար է 90 աստիճանի։ Ուղիղ անկյունից փոքր անկյունը կոչվում է սուր անկյուն, իսկ ուղիղ անկյունից մեծը՝ բութ անկյուն։ Այսպիսով, եթե B անկյունը փռված է, ապա ∠B = 180°, եթե B անկյունը բութ է, ապա 90° < ∠B < 180°, եթե B անկյունը ուղիղ է, ապա ∠B = 90°, եթե B անկյունը սուր է, ապա 0° < ∠B < 90°։ Աստիճանի 1/60րդ մասը կոչվում է րոպե, իսկ րոպեի 1/60րդ մասը վայրկյան: Րոպեն նշում եմ «’», իսկ վայրկյանը՝ «”»: Օրինակ 60 աստիճան, 32րոպե և 17 վայրկյան անկյունը նշանակվում է այսպես՝ 60032’17” Առաջադրանքներ 1) Քանի՞ աստիճանով է պտտվում ժամացույցի րոպեասլաքը 5 րոպեում: 2) Քանի՞ աստիճանով է պտտվում ժամացույցի ժամսլաքը 2 ժամում: 3) Կառուցել MNK և CNK անկյուններն այնպես, որ ∠MNK = 130°, ∠CNK = 80° և NC ճառագայթը MNK անկյունը բաժանի երկու մասի։ Գտնել MNC անկյան աստիճանային չափը։
4) Փռված անկյան ո՞ր մասն է կազմում 70°ի անկյունը: 5) Ուղիղ անկյան ո՞ր մասն է կազմում 42°ի անկյունը: 5. Կից և հակադիր անկյուններ Տեսական նյութ Սահմանում 1. Երկու անկյուններ, որոնց մի կողմն ընդհանուր է, իսկ մյուս կողմերը մեկը մյուսի շարունակությունն են, կոչվում են կից անկյուններ: Նկ.1
նկ.1 <AOC և < COB կից են: OA և OB ճառագայթները կազմում են փռված անկյուն, Հետևաբար կարելի է ասել`
Հատկություն 1. Կից անկյունների գումարը 1800 է: Սահմանում 2. Երկու անկյուններ կոչվում են հակադիր, եթե անկյուններից մեկի կողմերը մյուսի կողմերի շարունակությունն են: Նկ. 2
Նկ.2 ում <1 և <2ը, <3 և <4ը հակադիր են:
Հատկություն 2. Հակադիր անկյունները հավասար են: Ապացուցեք ինքնուրույն: Առաջադրանքներ 1) Գտեք ABC անկյան կից անկյունը, եթե` ա) <ABC=1250 բ) <ABC=900 գ) <ABC=430 2) Գտեք hk և kl կից անկյունները, եթե` ա) <hkն 400ով փոքր է <klից բ) <hk=3<kl գ) <hk : <kl= 5:4 3) O կետից տարված են OA, OB և OC ճառագայթները, ընդ որում` OA⊥OB : <AOB և <BOCի կիսորդներով կազմված անկյունը 200 է: Գտեք <BOC և <AOC:
4) Տրվ. <BOD=<COD <COB=1480
<AOD=?
5) 19 թվերը շրջաններում դասավորել այնպես, որ քառակուսիների գագաթների թվերի գումարը լինի 20:
6.Ուղղահայաց ուղիղներ Տեսական նյութ
AB և MN երկու հատվող ուղիղները առաջացնում են չորս անկյուններ՝ AOM, MOB, BON և NOA։ Բոլոր այդ անկյուններն ունեն ընդհանուր O գագաթ։ Եթե այդ անկյուններից մեկը ուղիղ է, ապա մյուս անկյունները ևս ուղիղ են։ Իրոք, եթե AOM անկյունն ուղիղ է, ապա նա կազմում է MON փռված անկյան կեսը և AOB փռված անկյան կեսը։ Ուրեմն, NOA և MOB անկյունները ևս ուղիղ են։ Քանի որ NOA անկյունն ուղիղ
է, ապա նա հավասար է AOB փռված անկյան կեսին։ Ուրեմն, NOB անկյունը նույնպես ուղիղ է։ Երկու ուղիղներ, որոնք հատվելիս առաջացնում են ուղիղ անկյուններ, անվանում են ուղղահայաց ուղիղներ։ Գրում են. AB⊥MN Այս գրառումը կարդում են՝ "AB ուղիղն ուղղահայաց է MN ուղղին"։ Եթե AB⊥MN, ապա և MN⊥AB։
Ուղղահայաց ուղիղները կառուցելու համար օգտագործում են գծագրական եռանկյուն կամ անկյունաչափ։ Ուղղահայաց ուղիղների վրա գտնվող հատվածները անվանում են ուղղահայաց հատվածներ։ Առաջադրանքներ 1) Գտեք կից անկյունների կիսորդներով կազմած անկյունը
2) K, L, M երեք կետերը գտնվում են մի ուղղի վրա: KL=6սմ, LM=10սմ: Որքան կարող է լինել KM հեռավորությունը: Կատարեք գծագիր յուրաքանչյուր հնարավոր դեպքի համար: 3) Գտեք կից անկյուններըջ եթե նրանց տարբերությունը 350 է:
Դասավանդող՝ Հերմինե Անտոնյան