Եռանկյուններ

«Մխիթար Սեբաստացի» կրթահամալիր Եռանկյուններ 1. Եռանկյուն 2. Եռանկյունների հավասարության առաջին հայտանիշ 3. Ուղղին ուղղահայաց: Եռանկյան միջնագծերը, կիսորդները և բարձրությունները 4. Հավասարասրուն եռանկյուն 5. Եռանկյունների հավասարության երկրորդ և երրորդ հայտանիշները 6. Շրջանագիծ

1. Եռանկյուն Տեսական նյութ Եռանկյունը եռակողմ բազմանկյուն է։ Այլ կերպ այն կարելի է սահմանել որպես այնպիսի պատկեր, որը կազմված է միևնույն ուղղի վրա չգտնվող երեք կետերից, և այդ կետերը զույգ առ զույգ միացնող երեք հատվածներից։ Կետերը կոչվում են եռանկյան գագաթներ, իսկ հատվածները՝ նրա կողմեր։ A, B, և C գագաթներով եռանկյունը հաճախ նշանակում են ΔABC: Այդ նույն եռանկյունը կարելի է նշել նաև այլ կերպ. օրինակ՝ ΔBAC, ΔCAB Երեք անկյունները՝ <BAC­ն, <ABC­ն և <ACB­ն կոչվում են եռանկյան անկյուններ: Անկյունները նշանակվում են նաև մեկ տառով՝ <A, <B և <C: Եռանկյան բոլոր կողմերի երկարությունների գումարը կոչվում է նրա պարագիծ: Երկու պատկերներ, այդ թվում նաև երկու եռանկյուններ կոչվում են հավասար, եթե վերադրումով դրանք կարող են համընկնել: Հավասար եռանկյունների մեջ համապատասխանաբար հավասար (այսինքն՝ վերադրելիս համընկնող) կողմերի դիմաց ընկած են հավասար անկյուներ, և ընդհակառակը՝ համապատասխանաբար հավասար անկյունների դիմաց ընկած են հավասար կողմեր: ABC և A1B1C1 եռանկյունների հավասարությունը նշանակվում է այսպես՝ ΔABC= ΔA1B1C1 Առաջադրանքներ 1) AB=17 սմ AC=2AB BC=AC­10սմ

P=?

2)

AB=AC=15 սմ DC=5սմ AD­ն 3 անգամ փոքր է AB­ից P=?

3) ABC եռանկյան պարագիծը 15 սմ է: BC կողմը AB կողմից մեծ է 2սմ­ով, իսկ AB կողմը AC կողմից փոքր է 1սմ­ով: Գտեք եռանկյան կողմերը: 2. Եռանկյունների հավասարության առաջին հայտանիշ Տեսական նյութ Յուրաքանչյուր պնդում, որի ճշմարիտ լինելը հաստատվում է դատողությունների միջոցով, մաթեմատիկայում անվանում են թեորեմ: Այդպիսի դատողությունների ներկայացումը կոչվում է թեորեմի ապացուցում: Թեորեմ Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը և դրանց կազմած անկյունը համապատասխանաբար հավասար է մյուս եռանկյան երկու կողմերին և դրանց կազմած անկյանը, ապա այդպիսի

եռանկյունները հավասար են:

Ապացույցն ինքնուրույն (հետազոտական աշխատանք) Թեորեմը կոչվում է եռանկյունների հավասարության առաջին հայտանիշ: Առաջադրանքներ 1) Նկարում BC=AD, <1=<2: ա) Ապացուցել, որ ΔABC=ΔACD: բ) Գտեք AB­ն և BC­ն, եթե AD=17 սմ և DC=14 սմ:

2) Նկարում OA=OD, OB=OC, <1=740, <2=360: ա) Ապացուցեք, որ AOB և DOC եռանկյունները հավասար են: բ) Գտեք <ACD­ն:

3) AC և BD հատվածները հատվում և հատման կետում կիսվում են: Ապացուցեք, որ ΔABC=ΔACD:

4) Նկարում AO=OC, <1=<2: Ապացուցեք, որ AB=BC: 5) Նկարում պատկերված են երկու եռանկյուններ: Վերևի եռանկյունը բաղկացած է 4 պատկերներից, ներքևի եռանկյունը կրկին նույն պատկերներից: Իսկ որտեղի՞ց հայտնվեց

բաց քառակուսին: 6) Եռանկյուններից մեկի պարագիծը մեծ է մյուսի պարագծից: Կարո՞ղ են, արդյոք, հավասար լինել եռանկյունները: Պատասխանը հիմնավորել: 7) CAD անկյան կողմերի վրա նշված են B և E կետերն այնպես, որ B կետն ընկած է AC

հատվածի վրա, ընդ որում՝ AC=AD և AB=AE: Ապացուցեք, որ <CBD=<DEC:

8) Մեկ հատ լուծկու հատիկը այնպես տեղափոխել, որ ստացվի ճիշտ հավասարություն:

3. Ուղղին ուղղահայաց: Եռանկյան միջնագծերը, կիսորդները և բարձրությունները Տեսական նյութ Դիտարկենք a ուղիղը և նրա վրա չգտնվող A կետը: A կետը և a ուղղի H կետը միացնենք հատվածով: Եթե a և AH ուղիղները փոխուղղահայաց են, ապա AH հատվածը կոչվում է A կետից a ուղղին տարված ուղղահայաց: H կետը կոչվում է ուղղահայացի հիմք:

Թեորեմ Ուղղի վրա չգտնվող կետից այդ ուղղին կարելի է տանել ուղղահայաց, ընդ որում՝ միայն մեկը: Գծագրելիս կետից ուղղին ուղղահայաց տանելու համար օգտվում են անկյունաքանոնից կամ

գծագրական անկյունաքանոնից: Սահմանում 1 Եռանկյան գագաթը հանդիպակաց կողմի միջնակետին միացնող հատվածը կոչվում է եռանկյան միջնագիծ:

Յուրաքանչյուր եռանկյուն ունի 3 միջնագիծ: Սահմանում 2 Եռանկյան անկյան կիսորդի այն հատվածը, որ միացնում է գագաթն ու նրա հանդիպակաց կողմի կետը, կոչվումէ եռանկյան կիսորդ: Յուրաքանչյուր եռանկյուն ունի երեք կիսորդ:

Սահմանում 3 Եռանկյան գագաթից հանդիպակաց կողմն ընդգրկող ուղղին տարված ուղղահայացը կոչվում է եռանկյան բարձրություն:

Յուրաքանչյուր եռանկյուն ունի երեք բարձրություն: Եռանկյան միջնագծերը, կիսորդները և բարձրությունները ունեն նշանավոր հատկություններ: Թեորեմ Յուրաքանչյուր եռանկյան միջնագծերը հատվում են մի կետում, կիսորդները ևս հատվում են մի կետում, բարձրությունները կամ նրանց շարունակությունները ևս հատվում են մի կետում: Առաջադրանքներ 1) Գծեք a ուղիղ և նրա տարբեր կողմերում նշեք A և B կետեր: Գծագրական անկյունաքանոնի օգնությամբ այդ կետից տարեք a ուղղին ուղղահայացներ: 2) Գծագրեք եռանկյուն: Մասշտաբային քանոնի օգնությամբ նշեք կողմերի միջնակետերը և տարեք եռանկյան միջնագծերը: 3) Գծագրեք եռանկյուն: Անկյունաչափի և քանոնի օգնությամբ տարեք նրա կիսորդները: 4) Երկվորյակները նույն հասակն ունեն: Ըստ նկարում պատկերվածի, որոշել տղաների

հասակը: 5) A և C կետերը գտնվում են a ուղղի միևնույն կողմում: a ուղղին տարված AB և CD ուղղահայացները հավասար են:Ապացուցել, որ ա) ABD=CDB: բ) <ADB=440, <ABC=?

6) ABC եռանկյան AD միջնագիծը շարունակված է BC­ի մյուս կողմում DE հատվածով, որը հավասար է AD­ին, իսկ E կետը միացված է C կետին: ա) Ապացուցեք, որ ABD=ECD, բ) Գտեք <ACE­ն, եթե <ACD=560, <ABD=400 7) Հետաքրքրաշարժ խնդիրներ

1) Ո՞րն է մեծ շրջանագծի աղեղ

2) Դատարկ վանդակում ի՞նչ պատկեր է պետք 3) Ամենամեծ եռանիշ թիվը բազմապատկիր ամենափոքր եռանիշ թվով, և ավելացրու 100: Ի՞նչ թիվ կստացվի: 4) Պատկերներից ո՞րն ունի ամենամեծ մակաերեսը

5) Ո՞ր անկյունն է ամենափոքրը

6) Ո՞ր պատկերն է (0;0) ավելի մոտ 7) Ո՞ր հատվածի երկարությունն է հավասար 9-ի

8) 31 22 13 = ?

9) Ո՞ր թիվը կլինի հաջորդ շրջանագծի վրա 10) Ո՞ր կետն է AB ուղղին ավելի մոտիկ

11) Ո՞ր թիվն է CCCLV հռոմեական թիվը

12) Մեկ լուցկու հատիկ հանելով՝ ստացիր ճիշտ հավասարություն

4. Հավասարասրուն եռանկյուն Տեսական նյութ Սահմանում Եռանկյունը կոչվում է հավասարասրուն, եթե նրա երկու կողմերը հավասար են: Հավասար կողմերը կոչվում են սրունքներ, երրորդ կողմը` հիմք:

Սահմանում Եռանկյունը, որի բոլոր կողմերը հավասար են, կոչվում է հավասարակողմ եռանկյուն:

Թեորեմ

Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են: Ապացույցն ինքնուրույն (հետազոտական աշխատանք) Թեորեմ Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված կիսորդը նաև միջնագիծ է և բարձրություն:

Ապացույցն ինքնուրույն (հետազոտական աշխատանք)

Առաջադրանքներ 1)Տրված է AB=BC, AB=2AC P=50 սմ AB=?, BC=?, AC=?

2) AB=AC P=45 սմ BC=AB+9սմ

AB=?, AC=? BC=?

3)

4)

5) M և P կետերը գտնվում են b ուղղի միևնույն կողմում: b ուղղին տարված MN և PQ ուղղահայացները հավասար են. O կետը NQ հատվածի միջնակետն է: ա) Ապացուցեք, որ <OMP=<OPM, բ) գտեք <MON­ը, եթե <MOP=1050: 6) DK հիմքով DEK հավասարասրուն եռանկյան մեջ EF հատվածը կիսորդ է, DK=16 սմ, <DEF=430: Գտեք KF­ը, <DEK­ն, <EFD­ն: 7) 3 հատ լուծկու հատիկ տեղափոխիր այնպես, որ միջատը հակառակ ուղղությամբ շարժվի:

7) ա)Ապացուցել, որ COB=AOD

) բ) CD=26սմ, AD=15սմ BC=?, CO=?

8) A անկյան կիսորդի վրա D կետը, իսկ կողմերի վրա B և C կետերը նշված են այնպես, որ <ADB=<ADC: Ապացուցել, որ BD=CD:

9)

5. Եռանկյունների հավասարության երկրորդ և երրորդ հայտանիշները Տեսական նյութ

Թեորեմ Եթե մի եռանկյան կողմն ու նրան առընթեր երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան կողմին ու նրան առընթեր երկու անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են:

Ապացույցն ինքնուրույն, որպես հետազոտական աշխատանք:

Թեորեմ Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մյուս

եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են:

Ապացույցն ինքնուրույն, որպես հետազոտական աշխատանք: Առաջադրանքներ 1) ABC և A1B1C 1 եռանկյունների մեջ AB = A1B1, BC = B1C 1, < B =< B1 : AB և A1B1 կողմերի վրա D և D1 կետերը նշված են այնպես, որ < ACD =< A1C 1D1 : Ապացուցել, որ ΔBCD = ΔB1C 1D1 : 2) Նկարում AB = AC, BD = DC և < BAC = 500 : Գտեք < C AD − ն :

3) Նկարում AB = C D, BD = AC : Ապացուցեք, որ < C AD =< ADB :

4) Տրված է սխալ հավասարություն: Տեղափոխելով միայն մեկ լուցկու հատիկ` ստանալ ճիշտ հավասարություն:

:

6. Շրջանագիծ Տեսական նյութ

Եթե կարկինի մեկ ոտքը դնենք անշարժ, իսկ մյուսը պտտենք, ապա երկրորդ ոտքի ծայրը կգծի փակ գիծ, որն անվանում են շրջանագիծ։ Հարթության մասը այն սահմանափակող շրջանագծի հետ անվանում են շրջան։ Հարթության այն կետը, որտեղ դրված է կարկինի անշարժ ոտքը, անվանում են կենտրոն։ Շրջանագիծ կառուցելիս կարկինի ոտքերի ծայրերի հեռավորությունը չի փոխվում, ուրեմն, շրջանագծի բոլոր կետերը հավասարապես են հեռացած կենտրոնից։ Շրջանագծի կետը իր կենտրոնի հետ միացնող հատվածն անվանում են շրջանագծի կամ շրջանի շառավիղ։ Նույն շրջանագծի (կամ շրջանի) բոլոր շառավիղները իրար հավասար են։ Եթե վերցնենք M կետը, որը գտնվում է շրջանագծից դուրս, ապա OM հատվածի երկարությունը շառավղից մեծ կլինի. եթե N կետը վերցնենք շրջանի ներսը, ապա ON հատվածի երկարությունը շառավղից փոքր կլինի։ Շրջանագծի երկու կետեր միացնող հատվածը կոչվում է լար: Այն հատվածը, որը միացնում է շրջանագծի երկու կետեր և անցնում է նրա կենտրոնով, անվանում են տրամագիծ։ Շրջանագծի կենտրոնը տրամագիծը բաժանում է երկու շառավղի։ A և B երկու կետերը, որոնք գտնվում են շրջանագծի վրա, այդ շրջանագիծը բաժանում են երկու մասի։ Այդ մասերից յուրաքանչյուրն անվանում են շրջանագծի աղեղ։ A և B կետերն այդ աղեղների ծայրերն են։ OA և OB երկու շառավիղները շրջանը բաժանում են երկու մասի։ Այդ մասերից յուրաքանչյուրն անվանում են սեկտոր։

Առաջադրանքներ 1) Որքա՞ն է շրջանագծի տրամագիծը, եթե նրա շառավիղը հավասար է 1դմ 8սմ: 2) AB և CD հատվածները շրջանագծի տրամագիծ են : Ապացուցեք, որ ա) BD և AC լարերը հավասար են, բ) < BAD =< BCD : 3) Նկարում AB = C D, E և F կետերը AB և CD հատվածների միջնակետերն են: Ապացուցեք, որ OE = OF : 4) Պինգվիններին դասավորել այնպես, որ նշված բոլոր շարքերով թվերի գումարը լինի 12:

:

Դասավանդող՝ Հերմինե Անտոնյան