Issuu on Google+

«Մխիթար Սեբաստացի» կրթահամալիր Միանդամներ                                 Սեպտեմբերի 1­հոկտեմբերի 31 1. Բնական թվեր, բաժանելիության հայտանիշներ 2. Թվային արտահայտություններ 3. Տառային արտահայտություններ 4.Միանդամի հասկացությունը 5. Միանդամի արտադրյալը, բնական ցուցիչով աստիճան 6. Միանդամի կատարյալ տեսքը

1. Բնական թվեր, բաժանելիության հայտանիշներ Տեսական նյութ Եթե թվի թվանշանների գումարը բաժանվում է 9­ի, ապա թիվը նույնպես բաժանվում է 9­ի։ Եթե թվի թվանշանների գումարը չի բաժանվում 9­ի, ապա թիվը նույնպես չի բաժանվում 9­ի։ Օրինակ 1։ 76 455 թիվը բաժանվում է 9­ի, քանի որ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 9­ի. 7 + 6 + 4 + 5 + 5 = 27, 27 : 9 = 3։ Եթե թվի թվանշանների գումարը բաժանվում է 3­ի, ապա թիվը նույնպես բաժանվում է 3­ի, եթե թվի թվանշանների գումարը չի բաժանվում 3­ի, ապա թիվը նույնպես չի բաժանվում 3­ի։ Եթե թվի գրառումը վերջանում է 0 թվանշանով, ապա այդ թիվը բաժանվում է 10­ի, եթե թվի գրառումը վերջանում է ցանկացած այլ թվանշանով, ապա թիվը չի բաժանվում 10­ի։ Ամենափոքր բնական թիվը, որը բաժանվում է 5­ի, հենց 5 թիվն է։ Դրա հաջորդ՝ 5­ի բաժանվող թիվը գտնելու համար պետք է 5­ին ավելացնել 5։ Ստանում ենք՝ 5 + 5 = 10։ Հետևյալ՝ 5­ի բաժանվող թիվը կլինի 10 + 5 = 15, իսկ այնուհետև գալիս է 15 + 5 = 20 թիվը։ Շարունակ ստացվում են թվեր, որոնց վերջին թվանշանը 0 կամ 5 է։ Եթե թվի գրառումը վերջանում է 0 կամ 5 թվանշանով, ապա այդ թիվը բաժանվում է 5­ի, եթե թվի գրառումը վերջանում է որևէ այլ թվանշանով, ապա թիվը չի բաժանվում 5­ի։ 2­ի բաժանվում են այսպիսի թվեր.


2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 և այլն։ Այս բոլոր թվերի գրառումը վերջանում է 0, 2, 4, 6 կամ 8 թվանշաններով։ Պայմանավորվել են այդ թվանշաններն անվանելզույգ, իսկ 1, 3, 5, 7, 9 թվանշանները՝ կենտ։ Եթե թվի գրառումը վերջանում է զույգ թվանշանով, ապա թիվը բաժանվում է 2­ի, եթե թվի գրառումը վերջանում է կենտ թվանշանով, ապա թիվը չի բաժանվում 2­ի։ Թիվը բաժանվում է 4-ի, եթե նրա վերջին երկու թվանշաններից կազմված երկնիշ թիվը բաժանվում է 4-ի: Թիվը բաժանվում է 8-ի, եթե նրա վերջին երեք թվանշաններից կազմված եռանիշ թիվը բաժանվում է 8-ի: Առաջադրանքներ 1) Գրել 6­ի և 15ի բաժանելիության հայտանիշները: 2) Խնդիր։ Առանց բաժանելու որոշել, թե կարելի է արդյոք 846 ձուն հավասարապես տեղավորել 9 զամբյուղում։ 3) Փորձեք ապացուցել 4­ի և 8­ի բաժանելիության հայտանիշները: 2. Թվային արտահայտություններ Տեսական նյութ Լուծենք հետևյալ խնդիրը. “Զբոսաշրջիկները հեծանիվներով 16 կմ/ժ արագությամբ երկու ժամ գնացին ավտոճանապարհով, իսկ հետո անտառով քայլեցին ևս 7 կմ: Որքա՞ն է ամբողջ երթուղու երկարությունը”: Ավտոճանապարհով տուրիստներն անցան 16*2 կմ, իսկ անտառով քայլեցին 7 կմ: Ուստի ամբողջ երթուղու երկարությունը հավասար (16*2+7) կմ, այսինքն` 39 կմ: Լուծելով խնդիրը մենք ստացանք թվային արտահայտություն` 16*2+7: Թվային արտահայտությունները կազմում են թվերից` գործողությունների, նշանների և փակագծերի միջոցով: Բերենք թվային արտահայտությունների ևս մի քանի օրինակ. 43:5 9.6­3*1.2 5*(7.4­6.1) Այն թիվը, որը ստացվում է թվային արտահայտության մեջ գործողությունները կատարելուց հետո, կոչվում էարտահայտության արժեք: Գտնենք, օրինակ, 96­2*62 արտահայտության արժեքը: Դրա համար պահպանելով


գործողությունների կատարման ընդունված կարգը, մենք պետք է, սկզբում աստիճան բարձրացնենք, հետո բազմապատկենք և, ի վերջո` հանենք. 1) 62=36 2) 2*36=72 3) 96­72=24: 24 թիվը 96­2*62 արտահայտության արժեքն է: Եթե արտահայտության մեջ կա զրոյի վրա բաժանում, ապա այդ արտահայտությունը արժեք չունի, քանի որ զրոյի վրա բաժանել չի կարելի: Այդպիսի արտահայտությունները իմաստ չունեն: Օրինակ` 35:(4*2­8) արտահայտությունը իմաստ չունի: Առաջադրանքներ 1) Գտեք արտահայտության արժեքը. ա) 6.965 + 24.4     բ) 12,3*(­12)+34 2) Երկու բնակավայրերից, որոնց միջակա հեռավորությունը 45կմ է, միաժամանակ իրար հանդեպ դուրս եկան երկու հետիոտն: Որքա՞ն կլինի նրանց միջակա հեռավորությունը 3ժ հետո, եթե հայտնի է, որ մի հետիոտնի արագությունը 4կմ/ժ է, իսկ մյուսինը՝ 5կմ/ժ: 3) Գտնել 8.5 թվի 120%­ը: 4) Ի՞նչ նշան կարելի է դնել այս երկու արտահայտությունների միջև 36:9+18*3 և 12*8­120:3 3. Տառային արտահայտություններ Տեսական նյութ Սահմանում Եթե թվային արտահայտության մեջ մտնող որոշ թվեր (կամ բոլորը) փոխարինվեն տառերով (տարբեր թվերը՝ տարբեր տառերով), ապա կստացվի տառային արտահայտություն: Ավելի հաճախ օգտագործում են լատինական այբուբենի տառերը: Օրինակ 1. Եթե 5+2­6 թվային արտահայտության մեջ 5 թիվը փոխարինենք a տառով, 2 թիվը՝ b տառով, իսկ 6 թիվը с տառով, ապա կստանանք a+b­c տառային արտահայտությունը:   Տառային արտահայտությունը կարող է կազմված լինել նաև մեկ տառից, օրինակ՝ a, c, n, x:   Տառային արտահայտությունները երբեմն օգտագործում են տեքստային խնդիրներ


լուծելիս: Ընդ որում՝ խնդրի լուծումը տառային արտահայտություն կազմելով հաճախ անվանում են խնդրի լուծում ընդհանուր տեսքով: Այս հնարքը հաճախ օգտագործում են երկրաչափության և ֆիզիկայի մեջ:   Տառային արտահայտությունները կիրառվում են բանաձևեր գրառելիս: Բանաձևը մաթեմատիկական և այլ օրենքների գրառումն է տառային արտահայտության միջոցով: Խնդիր Զբոսաշրջիկը a ժամ գնաց 5 կմ/ժ արագությամբ և b ժամ՝ 4 կմ/ժ արագությամբ: Որոշեք զբոսաշրջիկի միջին արագությունը նրա անցած ճանապարհամասում: Լուծում: Զբոսաշրջիկը (a+b) ժ­ում անցել է (5a+4b) կմ: Ուստի նրա միջին արագությունը անցած ճանապարհամասում հավասար է      5a+4b a+b կմ/ժ: Պատասխան՝  5a+4b a+b կմ/ժ:   Տառային արտահայտությունները անվանում են նաև հանրահաշվական արտահայտություններ, թվերը նույնպես անվանում են հանրահաշվական արտահայտություններ: Առաջադրանքներ 1) Բերեք տառային արտահայտությունների օրինակներ: 2) Օգտվելով բերված նմուշօրինակից՝ հաշվեք տրված տառային արտահայտության արժեքը. ա) 10­4x, երբ x=­5 Լուծում: Երբ x=­5, ապա 10­4x=10­4*(­5)=10+20=30 բ) 2x+1, երբ x=5 գ) 6+8x, երբ x=­1 դ) 5­4a, երբ a=2 ե) 3­7b, երբ b=­3: 3) Հաշվել տառային արտահայտության արժեքը. ա)  ab,  երբ  a = 43 ,  b = 1 53 3 բ)  2(a + b),  երբ a = 10 ,  b = 1 21 գ)  abc,  երբ a = 31 ,  b = 1 21 ,  c = 2 : 4)  Քառակուսու կողմը a է: Գրեք քառակուսու պարագծի և մակերեսի բանաձևերը: 4.Միանդամի հասկացությունը Տեսական նյութ Պարզագույն հանրահաշվական արտահայտությունները միանդամներ են: Միանդամ


անվանում են թվերի և տառերի արտադրյալ հանդիսացող հանրահաշվական արտահայտությունը: Այդ տառերը և թվերը անվանում են տվյալ միանդամի արտադրիչներ: Օրինակ՝ 3abc հանրահաշվական արտահայտությունը միանդամ է, նրա արտադրիչներն են՝ 3 թիվը և a, b, c տառերը: Թիվը կամ մեկ տառը նույնպես անվանում են միանդամ: Օրինակ, a, b,c, 1, ­123, 0 հանրահաշվական արտահայտությունները միանդամներ են: 0 թիվն անվանում են զրոյական միանդամ: Հատկություն 1. Երկու միանդամներ համարում են հավասար, եթե նրանք իրարից տարբերվում են միայն արտադրիչների հերթականությամբ:  Երկու միանդամների իրար հավասար լինելը գրառելու համար օգտագործում են հավասարության նշան:  a3bc և 3cba միանդամները իրար հավասար են, որովհետև տարբերվում են միայն արտադրիչների հերթականությամբ, դրա համար էլ գրում են     a3bc=3cba հավասարությունը: Հատկություն 2. Երկու միանդամներ համարում են հավասար, եթե նրանցից մեկը ստացվել է մյուսից նրա մեջ մտնող թվային արտադրիչները նրանց արտադրյալով փոխարինելով: Օրինակ՝     a ∙ 7 ∙ (− 3) ∙ b = a ∙ (− 21) ∙ b Հատկություն 3. Միանդամը համարում են հավասար զրոյի, եթե նրա արտադրիչների մեջ կա զրո թիվը: Օրինակ՝    a ∙ (− 1) ∙ b ∙ 0 ∙ c = 0 Այսպիսով, միանդամը, որի արտադրիչների մեջ կա զրո թիվը, հանդիսանում է զրոյական միանդամ: Մնացած միանդամներն անվանում են ոչ զրոյական : Հատկություն 4. Երկու միանդամներ համարում են հավասար, եթե նրանցից մեկը ստացվում է մյուսից՝ 1 արտադրիչը բաց թողնելով: Օրինակ՝            a ∙ 1 ∙ b ∙ c = abc : Առաջադրանքներ 1) Միանդա՞մ են արդյոք հետևյալ արտահայտությունները. ա) a                բ) a+b                  գ) ba            դ) b2c ab ե)  a+b             զ)  axb                     է)  43 xy           ը) 0 p զ)   ­1,26        ժ)  (a − b) ∙ 3          ի)  4xy            լ)  7a­3


2) Պարզեցերք միանդամի գրությունը. ա)  0ab բ)  xy0z գ)  1kpx դ)  ab1m ե)  a5b(− 3)c(− 8) զ)  6x ∙ 21 y ∙ (− 31 )z : 3) Ի՞նչ արժեք է ստանում 3x + 2y գումարը փոփոխականների հետևյալ արժեքների դեպքում. x = 1.2, y = 1.5: 4) Գտեք թիվը, եթե հայտնի է, որ նրա 6.2%­ը հավասար է 9.3­ի: 5. Միանդամի արտադրյալը, բնական ցուցիչով աստիճան Տեսական նյութ k հատ արտադրիչների արտադրյալը, որոնցից յուրաքանչյուրը նշանակում են a է, կարճ նշանակում են ak և անվանում a­ի k­րդ աստիճան: k­ն կոչվում է աստիճանացույց, իսկ a­ն՝ հիմք: Օրինակ՝ a ∙ a = a2     (a­ի երկրորդ աստիճան կամ a­ի քառակուսի) a ∙ a ∙ a = a3    (a­ի երրորդ աստիճան կամ a­ի խորանարդ) a ∙ a ∙ a ∙ a = a4    (a­ի չորրորդ աստիճան) a1 = a  (a­ի առաջին աստիճանը հավասար է a­ի) Դիցուք m­ը և n­ը բնական թվեր են, ապա տեղի ունեն հետևյալ հավասարությունները՝                  1.   am ∙ an = am+n                   2.   (ab)n = an ∙ bn                  3.    (am)n = amn Տված միանդամը և նրա առջև մինուս նշան դրված միանդամը կոչվում են հակադիր միանդամներ: Օրինակ՝ 3abc և ­3abc միանդամները հակադիր միանդամներ են:


Որպեսզի ստանանք տված միանդամին հակադիր միանդամ, պետք է այդ միանդամի առջև դնել մինուս նշան կամ որ նույնն է, այդ միանդամը բազմապատկել ­1­ով: Առաջադրանքներ 1) Պարզեցրեք միանդամի գրառումը՝ օգտագործելով աստիճանը. ա) aba        բ) kpppkp     գ) 3abab    դ) 7xxyyyyx ե) ababa     զ) 3a2a3a     է) a3a4        ը) a2a3a5 2)   Գտեք միանդամների արտադրյալին հավասար միանդամը ա)  11pk2 ∙ 4p3k                       ��  բ)  15x2y3 ∙ 8x4y գ)  3a ∙ (− 6)a2b                          դ)   (− 4)b2 ∙ (− 9)bc2 ե)  (− 5)c3k ∙ 5ck2                        զ)   (− 7)k2p3 ∙ (− 6)kp5 է)   (− 7)p2x2 ∙ 8p2x5                    ը)   25x2y ∙ (− 10)x4y3 3)  Բարձացրեք աստիճան. 2

3

ա)   (a2)          բ)   (b3)         գ)  (3a)2         դ)  (2b)3 3

2

2

ե)   (4c2)          զ)   (5ab)2       է)  (7ab2)      ը)  (9b2c)  

3

թ)  ( 31 a2) 2          ժ)  ( 43 a2)

4) Գրառեք՝ ա) a­ի խորանարդի և b­ի քառակուսու արտադրյալը: բ) a­ի քառակուսու և b­ի կրկնապատկի արտադրյալը: գ) a­ի խորանարդի և b­ի քառակուսու եռապատիկի արտադրյալը: դ) a­ի քառակուսու կրկնապատիկի և a­ի խորանարդի արտադրյալը: 5) Բալից խյուս պատրաստելիս 18% ­ը թափոն է դառնում: Որքա՞ն բալ պետք է վերցնել 17.22 տոննա խյուս ստանալու համար: 6. Միանդամի կատարյալ տեսքը Տեսական նյութ Տառեր պարունակող ոչ զրոյական միանդամը եթե ունի միայն մեկ թվային արտադրիչ, որը գրված է առաջին տեղում, իսկ յուրաքանչյուր տառ հանդես է գալիս միայն մեկ անգամ՝գրված որոշակի աստիճանի տեսքով, ընդ որում՝ տառերը գրված են այբբենական կարգով, ասում են, որ այդպիսի միանդամն ունի կատարյալ տեսք:


Օրինակ՝  3a2b  կատարյալ տեսքի է                   aab3  կատարյալ տեսքի չէ Տառեր պարունակող ոչ զրոյական կատարյալ տեսքով գրված միանդամի թվային արտադրիչը անվանում են միանդամի գործակից: Օրինակ՝ ­12ab4c կատարյալ տեսքով գրված միանդամի գործակիցը՝ ­12­ն է: Եթե ոչ զրոյական միանդամը ունի միայն տառային արտադրիչներ, ապա համարում են, որ նրա գործակիցը 1 է: Օրինակ՝  x5yz7  միանդամի գործակիցը 1 է: Ցանկացած իրական թիվ համարվում է կատայալ տեսքով գրված միանդամ: Օրինակ՝ ­3; 123; ­⅘   կատրայալ տեսքի միանդամներ են: Զրոյական միանդամի կատարյալ տեսքը 0­ն է: Ցանկացած միանդամ կարելի է բերել կատարյալ տեսքի: Օրինակ՝ a(­3)a3b2(­4)b=12a4b3                  x2y0z=0 Կատարյալ տեսքի ոչ զրոյական միանդամի աստիճան կոչվում է նրա մեջ մտնող բոլոր տառերի աստիճանների գումարը: Օրինակ՝ 4x5y ­ը  6 աստիճանի միանդամ է: 0­ից տարբեր թիվ հանդիսացող միանդամի աստիճանը 0 է, իսկ 0 թիվը միակ միանդամն է, որի աստիճանը չի սահմանվում: Սահամնում Կատայալ տեսքի ոչ զրոյական  միանդամներն անվանում են նման, եթե նրանք իրար հավասար են, կամ տարբերվում են միայն իրենց գործակիցներով: Օրինակ՝ 3ab և 5ab նման են, որովհետև տարբերվում են միայն գործակցով: Պարզելու համար՝ նմա՞ն են արդյոք տրված միանդամները, նրանց սկզբում պետք է բերել կատարյալ տեսքի: Նման միանդամների գումարը հավասար է մի միանդամի, որը նման է դրանցից յուրաքանչյուրին և գործակիցը հավասար է այդ միանդամների գործակիցների գումարին: Նույն ձևով էլ հանումը: Օրինակ՝ 3a3b+4a3b=(3+4)a3b                  2xy­4xy=(2­4)xy=­2xy Այս գործողությունները կոչվում են նման անդամների միացում:


Առաջադրանքներ 1) Ո՞ր միանդամներն անվանում նման:     Ինչպե՞ս են գումարում, հանում նման միանդամները: 2) Տրված միանդամների մեջ գտեք նմանները ա) 2a3b;  3a4b2; 4a3b;  80a4b2; a3b;  ­a4b2;  a;  ­c;  6px; 6a4b2; ­5px բ)  0a2b3; ­3a3b2; 0ab; 12a2b3; 2a3b2 3) Գտեք նման միանդամների գումարին հավասար միանդամը ա) 3m+5m բ)  3b+b+b գ)  4ab+ab+23ab դ)  15a2b+14a2b+7a2b ե)  25b2c3+(­27)b2c3+7b2c3 զ) 32xyz2­44xyz2­12xyz2 4) Գտեք նման միանդամների տարբերությանը հավասար միանդամը ա) a­3a բ) 10b­18b գ) 3bc­17bc դ) mk­3mk ե) 4b2c­12b2c զ) 18a3b5­9a3b5 5) Կատարեք նման անդամների միացում ա) 6a8b2+7a8b2+(­2)a8b2 բ) 0c2e5+4c2e5­16c2e5 գ) 6,46a4k+2,14a4k­8,6a4k դ) 7,14ax2+4,36ax2­12,8ax2 6)* լրացուցիչ ա) Մտապահված թիվը 3­ի, 6­ի և 9­ի բաժանելիս ստացվող մնացորդների գումարը 15 է: Գտեք այդ թիվը 18­ի բաժանելիս ստացվող մնացորդը: բ) Դպրոցում տեղի ունեցած երեք օլիմպիադաներից յուրաքանչյուրին մասնակցեց 50 աշակերտ, ընդ որում 60 աշակերտ մասնակցեց միայն մեկ օլիմպիադայի, իսկ 30 աշակերտ` ճիշտ երկու օլիմպիադայի: Քանի՞ հոգի մասնակցեց բոլոր օլիմպիադաներին:


Դասավանդող՝ Հերմինե Անտոնյան     


Միանդամներ