Gulbrandsen, Kleppe, Kro, Vatne - Matematikk for ingeniørfag

Til boken hører en digital arbeidsbok, som ligger på nettstedet arbeidsbok.gyldendal.no/ingmat, med oppgaver til alle kapitlene og annet lærestoff.

Om forfatterne: Martin G. Gulbrandsen er førsteamanuensis i matematikk ved Universitetet i Stavanger.

Dr.scient. fra Universitetet i Oslo, 2006.

Johannes Kleppe er førsteamanuensis i matematikk ved Høgskolen i Buskerud. Dr.scient. fra Universitetet i Oslo, 2005.

Tore A. Kro er førsteamanuensis i matematikk ved Høgskolen i Østfold. Dr.scient. fra Universitetet i Oslo, 2005.

Jon Eivind Vatne er førsteamanuensis i matematikk ved Høgskolen i Bergen. Dr.scient. fra Universitetet i Bergen, 2002.

MATEMATIKK FOR INGENIØRFAG

Forfatterne legger vekt på å formidle samspillet mellom konkrete problemstillinger, formulering av matematiske modeller og dermed presise matematiske spørsmål, og rent matematiske metoder for å løse disse. I praksis er numeriske metoder, programmert på datamaskin, ofte påkrevet for å kunne studere modellene som oppstår. I denne boken behandles teori, analytiske løsningsmetoder og numeriske beregninger samtidig. Disse tre områdene henger nøye sammen og belyser hverandre gjensidig gjennom en integrert fremstilling.

Martin G. Gulbrandsen Johannes Kleppe Tore A. Kro Jon Eivind Vatne

Matematikk for ingeniørfag er en introduksjon til matematiske metoder med vekt på ingeniørfaglige problemstillinger. Boken dekker fellesemnene i matematikk på bachelornivå i ingeniørutdanningen – og litt til, i form av utfyllende stoff for bruk ved enkelte studieretninger eller for spesielt interesserte.

Boken bygger på forkunnskaper tilsvarende R1 og R2 fra videregående skole, og et innledende kapittel oppsummerer de mest sentrale begrepene og metodene som behøves i resten av boken.

Martin G. Gulbrandsen Johannes Kleppe Tore A. Kro Jon Eivind Vatne

MATEMATIKK FOR INGENIØRFAG – med numeriske beregninger

Matematikk for ingeniørfag

Martin G. Gulbrandsen Tore A. Kro

Johannes Kleppe Jon Eivind Vatne

MATEMATIKK FOR INGENIØRFAG

© Gyldendal Norsk Forlag AS 2013 1. utgave, 1. opplag 2013

ISBN 928-82-05-43233-8 Omslagsdesign: Gyldendal Akademisk Layout og sats: Gamma grafisk AS (Vegard Brekke) Figurer: Gamma grafisk AS (Vegard Brekke), AIT Oslo (Arnvid Moholt) Brødtekst: Times Roman 10,7pt/13dd Papir: 80 g My Soll Matt Trykk: Dimograf, Polen 2013 Alle henvendelser om boken kan rettes til Gyldendal Akademisk Postboks 6730 St. Olavs plass 0130 Oslo www.gyldendal.no/akademisk akademisk@gyldendal.no Det må ikke kopieres fra denne boken i strid med åndsverkloven eller avtaler om kopiering inngått med KOPINOR, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Alle Gyldendals bøker er produsert i miljøsertifiserte trykkerier.

Se www.gyldendal.no/miljo

MATEMATIKK FOR INGENIØRFAG

Forord

Til leseren I 1960 publiserte fysikeren Eugene Wigner en artikkel med den slående tittelen «The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences»1.

Et av Wigners poenger er at matematikkens språk har vist seg å være utrolig nyttig i våre forsøk på å beskrive og forstå virkeligheten rundt oss, enten det handler om transistorer, dampkjeler eller satellitter. Denne suksessen er ifølge Wigner helt urimelig og uforståelig, men den er et fantastisk faktum.

Ved siden av dette «helt urimelige» nytteaspektet er matematikk også et fag med sin egen tradisjon og sine egne særegenheter, med en blanding av streng logikk og ville ideer. Forfatterne håper at du som fremtidig ingeniør vil ha stor nytte av innholdet i denne boka. Vi håper at vi klarer å videreformidle noe av vår egen entusiasme for faget, og at du underveis får øye på elementer av klarhet, dybde, estetikk og kreativitet –og har glede av det.

Matematikkstudier krever stor egeninnsats. Forelesninger og andre undervisningstilbud er til god hjelp, men til slutt er det bare du selv som kan lære deg matematikk. Du skal ikke «lese» denne boka, du skal studere den. Finn frem penn og papir fra første stund, fyll inn mellomregninger og utelatte detaljer, spør deg selv hvorfor noe er gjort sånn og ikke slik i eksemplene, og gjør tonnevis med oppgaver – bruk masse tid. Vi lover deg at den er vel anvendt. Det er dypt tilfredsstillende å forstå et begrep, en teknikk eller et resonnement som tidligere var uklart – i tillegg er det altså urimelig nyttig.

Bokas oppbygning En ikke helt uttømmende gjennomgang av boka er som følger: Et hovedtema er analyse av funksjoner av én variabel, det vil si studiet av kontinuitet (kapittel 4), derivasjon (5), integrasjon (6–7) og differensialligninger (12). Dette temaet bygges videre ut i to uavhengige retninger: til funksjoner av flere variabler (kapittel 11) og til tre typer representasjoner av énvariabelfunksjoner – Taylor-rekker (8), Fourier-rekker (13) og Laplace-transformasjonen (14). Uavhengig av analysedelen behandles lineær algebra i kapittel 9 og 10.

1

Communication in Pure and Applied Mathematics, vol. 13, No. I (1960)

5

6

MATEMATIKK FOR INGENIØRFAG

Boka har tre kapitler innledningsvis: Kapittel 1 er repetisjon av en del grunnleggende begreper og teknikker som resten av boka bygger på. Så har vi plassert komplekse tall allerede i kapittel 2, som et forslag om å begynne tidlig med et interessant tema som vil være nyttig for de fleste, og som ikke stiller store krav til forkunnskaper. Kapittel 3 omhandler mengder, resonnementer og logikk – og i avsnitt 3.5 introduseres algoritmebegrepet og pseudokoden som brukes i beregningseksemplene i boka (se nedenfor).

I tillegg til hovedteksten har vi tatt med flere avsnitt med utfyllende stoff, merket med en stjerne (*). Disse avsnittene kan utelates uten at det vil skape problemer for forståelsen av påfølgende avsnitt. Vi har brukt stjerne både til å markere tekst som kanskje er av mer matematisk enn ingeniørfaglig interesse, og til å markere noen emner som kan utelates uten problemer når det må prioriteres.

Det er mange muligheter til variasjon av rekkefølge og omfang i et kurs som bruker boka. Her er et eksempel på to påfølgende kurs: Første kurs: kapitlene 2, 3, 4–7, 12 (hovedsakelig analyse i én variabel) og 9–10, til og med 10.3 (lineær algebra). Avsnitt merket med stjerne utelates. Delen i lineær algebra kan godt leses parallelt med eller innimellom analysedelen.

Andre kurs: kapittel 8 (følger, rekker og potensrekker), 11 til og med 11.3 (flere variabler), 13 (Fourier-rekker) og 14 (Laplace-transformasjonen).

Avsnitt merket med stjerne utelates. Flervariabel-delen er uavhengig av Fourier- og Laplace-delen, og disse kan godt bytte plass.

Numeriske beregninger I denne boka behandles teori, analytiske metoder og numeriske beregninger samtidig.

Det legges opp til at studentene har fått litt bakgrunn i programmering, gjerne parallelt med matematikkemnene; for-løkker, while-løkker og if-tester er det viktigste studentene trenger enn viss fortrolighet med. Det er først og fremst temaene grenseverdier, integrasjon, differensialligninger samt følger og rekker som er behandlet ut fra et beregningsorientert perspektiv. Boka går ikke inn på programmering av de mange algoritmene i lineær algebra på datamaskin, siden dette er teknisk mer krevende og vil forutsette noe mer programmeringsbakgrunn.

Et hvilket som helst programmeringsspråk kan brukes. Python, Octave, MATLAB eller Java er noen muligheter. (For Octave, MATLAB og andre matematisk orienterte verktøy er det et poeng å vente med å ta i bruk ferdige høynivå rutiner og heller programmere selv.) Kodesnuttene i boka er skrevet i en pseudokode, det vil si en ikke helt formelt definert mellomting mellom et strengt programmeringsspråk og en mer menneskelig tekst, som gjennomgås i avsnitt 3.5. Bruken av pseudokode gjør teksten uavhengig av programmeringsspråk (og understreker at valgt språk ikke er veldig vesentlig), men studentene kan trenge litt ekstra veiledning i å oversette kodeeksemplene i boka til det valgte programmeringsspråket.

MATEMATIKK FOR INGENIØRFAG

Den digitale arbeidsboka og forelesers side I stedet for en tradisjonell arbeidsbok på papir kommer denne boka sammen med en digital arbeidsbok. Der finner du oppgaver og annet lærestoff til hvert kapittel av boka, og som student kan du følge din egen progresjon på en enkel måte.

Som foreleser har du mulighet til å tilpasse bruken av den digitale arbeidsboka til eget undervisningsopplegg hvis du ønsker det. Du kan generere egne oppgavesett, som du eventuelt kan dele dine studenter og med andre forelesere som bruker boka og nettstedet. Du kan også velge å bruke arbeidsboka slik som den er lagt opp, uten å gjøre tilpasninger.

Se bokomslagets innside for informasjon om hvordan du aktiverer og bruker arbeidsboka.

Takk Vi vil spesielt takke Gro Trude Gjestrud for språklig bearbeiding av teksten.

Vår redaktør Christian Haugsnes har på en utmerket måte håndtert fremdriften i dette bokprosjektet. Vi vil også takke Vegard Brekke for en flott og lesbar layout.

Skrivingen av denne boka ble gjort i samspill med en rekke kolleger og studenter.

Knut Mørken har vært en inspirasjonskilde for beregningsorientert matematikk.

En stor takk til Hans Birger Drange, Hans Flornes, Håvard Frøysa, Tordis Fuskeland, Øystein Grøndahl, Amir Hashemi, Øystein Holje, Helga Jonsdottir, Gisle Kleppe, Einar Kolstad, Aasmund Kvamme, Kristian Moi, Kari Birkeland Nilsen, Daniel Olderkjær, Leif Erik Otterå, Talal Rahman, Constanza Riera, Kent Ryne, Petter Seip, Arvid Siqveland, Masoud Rafii Taghanaki, Marius Thaule, Elise Øby og Jan-Magnus Økland for kommentarer, innspill og synspunkter. Vi vil også takke alle studentene som har vært med på å prøve ut tidlige versjoner av forskjellige kapitler.

Haugesund, Oslo, Fredrikstad og Bergen, juni 2013.

Martin G. Gulbrandsen, Johannes Kleppe, Tore A. Kro og Jon Eivind Vatne

7

Innhold

1.6 1.7 1.8

Grunnleggende materiale 11 Regning med tall 11 Polynomer og rasjonale funksjoner 16 Funksjoner 25 Trigonometriske funksjoner 32 Eksponentialfunksjoner og logaritmefunksjoner 45 Absoluttverdier og ulikheter 51 Vektorregning 56 *Krefter og momenter 69

2 2.1 2.2 2.3 2.4

Komplekse tall 73 Roten av –1 73 Geometrisk tolkning av komplekse tall Røtter av komplekse tall 93 *Tillegg: Utelatte resonnementer 99

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Mengder og resonnementer 101 Mengdenotasjon 101 Mengder 104 Grunnleggende logikk 114 Resonnementer 128 Algoritmer 137

4 4.1

Kontinuitet 145 Kontinuerlige og diskontinuerlige fenomener 145 Grenseverdier for funksjoner 149 Kontinuerlige funksjoner 159 Skjæringssetningen 164 Maksima og minima 169 *Tillegg: Utelatte resonnementer 172

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10

Derivasjon 179 Endringsrate 179 Definisjonen av den deriverte 182 Tangenter og lineær tilnærming 184 Newtons metode 189 Regneregler for derivasjon av sammensatte uttrykk 191 Implisitt derivasjon og koblede hastigheter 195 Ubestemte uttrykk og l’Hôpitals regel 198 Ekstremalpunkter og funksjonsdrøfting 205 Derivasjon av omvendte funksjoner 215 *Tillegg: Utelatte resonnementer 218

81 6 6.1 6.2 6.3 6.4

Integrasjon 223 Arealfunksjonen 223 Den antideriverte 224 Integrasjonsteknikker 227 Delbrøkoppspalting og integrasjon av rasjonale funksjoner 237

7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Anvendelser av integrasjon 255 Riemann-summer 255 Analysens fundamentalteorem 263 Lengde, areal og volum 269 Tyngdepunkt og gjennomsnitt 280 Arbeid 283 Uegentlige integraler 286 Numerisk integrasjon med feilestimering 292

8 8.1 8.2 8.3 8.4

Rekker 305 Følger 305 Differensligninger 316 Definisjon av rekke 329 Konvergenstesting og summering av rekker 335 Potensrekker 347 Taylor-rekker 363 *Andre konvergenstester 376 *Tillegg: Forklaring på konvergenstestene 381

8.5 8.6 8.7 8.8

10 9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6

MATEMATIKK FOR INGENIØRFAG

Lineær algebra 1 395 Lineære ligningssystemer 395 Matriser 427 Determinanter 441 Ligningssystemer på vektorform 465 Lineære transformasjoner 476 Minste kvadraters metode 494

13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5

Fourier-rekker 647 *Varmeligningen 647 Trigonometriske rekker 649 Periodiske funksjoner 654 Konvergens for Fourier-rekker 668 *Periodiske ytre krefter og resonans 676

14 14.1

Laplace-transformasjonen 679 Eksponentiell vekst og Laplace-transformasjonen 679 Linearitet, eksistens og entydighet 683 Basisformler for Laplace-transformasjonen 686 Heavisides enhetssteg, Diracs impulsfunksjon og gammafunksjonen 690 Derivasjon, integrasjon, skiftsetninger og konvolusjon 694 Laplace-transformasjonen og initialverdiproblemer 702 *Tillegg: Utledning av Laplacetransformasjonens formler 710

10.3 10.4 10.5

Lineær algebra 2 503 Egenverdier og egenrom 503 Markov-kjeder og andre dynamiske systemer 513 Diagonalisering 522 Underrom av Rn 531 Skifte av basis 546

11 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5

Funksjoner av flere variabler 557 Grafer og grenser 557 Partielt deriverte 564 Ekstremalverdier 578 Dobbeltintegral 587 *Tillegg: Utelatte resonnementer 594

14.5

12 12.1 12.2

Differensialligninger 597 Hva er en differensialligning? 597 Numerisk løsning av første ordens differensialligninger 599 Separable differensialligninger 607 Lineære differensialligninger med konstante koeffisienter 611 Integrerende faktor 625 Startverdiproblemer og randverdiproblemer 629 *Systemer av differensialligninger 634

Stikkord 717

10 10.1 10.2

12.3 12.4 12.5 12.6 12.7

14.2 14.3 14.4

14.6 14.7