Estrategias de resolución de problemas

Determinación del trabajo de extracción y la energía cinética máxima de los fotoelectrones

1 Se observa que al iluminar una lámina de silicio con luz de longitud de onda superior a 1,09 · 10–6 m deja de producirse el efecto fotoeléctrico. Calcula razonadamente la frecuencia umbral del silicio, su trabajo de extracción y la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos cuando se ilumina una lámina de silicio con luz ultravioleta de 2,5 · 10–7 m.

Datos: 6,63 · 10–34J · s , c = 3 · 108 m.s –1

Planteamiento y resolución

A partir de la longitud de onda umbral del silicio, λ0 = 1,09 · 10–6 m, calculamos su frecuencia umbral:

An Lisis Del Problema

La energía de un fotón depende de la frecuencia de la radiación (E= h · f). Al incidir el fotón sobre un electrón del metal, le cede su energía. Si la frecuencia de la radiación incidente es inferior a la frecuencia umbral, no se producirá el efecto fotoeléctrico.

Si aumentáramos la frecuencia de la radiación incidente, el número de fotoelectrones emitidos no se vería afectado, pero sí la energía de cada uno (el electrón sale con mayor velocidad):

Ec = h · (f – f0)

1 – f0 = c 0m = ,· ms m 310 10910 8 6

– = 2,75 · 1014 s –1

El valor de la frecuencia umbral del silicio se refiere a la frecuencia mínima de la radiación incidente para que se produzca el efecto fotoeléctrico.

Una vez conocida la frecuencia umbral, podemos calcular el trabajo de extracción del silicio mediante la expresión:

We = h · f0

We = 2,75 · 1014 s–1 · 6,63 · 10–34 J · s = 1,82 · 10–19 J

Para saber cuál es la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos cuando iluminamos la lámina con luz ultravioleta de longitud de onda λ = 2,5 · 10–7 m debemos calcular previamente la energía de los fotones incidentes, E. Así:

E = h · f = h · c m = 6,63 · 10–34 J · s · ,m ms 25 10 310 7

En cambio, si aumentamos la intensidad de la radiación incidente, aumentaría el número de fotones incidentes y por lo tanto se emitirían más fotoelectrones por parte del metal, pero con la misma energía cinética máxima.

Discusi N De Resultados

Para comprobar que el resultado es correcto, se puede hacer el camino inverso y a partir del trabajo de extracción del silicio y de la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos, calcular la longitud de onda de la radiación incidente.

En el desarrollo del problema es importante tener en cuenta el número de cifras significativas para realizar los cálculos correctamente y el resultado obtenido sea lo más aproximado posible.

81 –

–= = 7,96 · 10–19 J

Ahora, a partir de la ecuación fundamental del efecto fotoeléctrico, determinamos la energía cinética máxima:

E = We + Ec; Ec = E – We = 7,96 · 10–19 J – 1,82 · 10–19

Ec = 6,14 · 10–19 J

Ten cuidado con las unidades, ya que has de emplear el mismo sistema. Así, si utilizamos el valor h = 6,63 · 10–34 J · s, la energía debe estar en julios y la frecuencia en s–1 Para que se produzca el efecto fotoeléctrico, siempre es necesario que la energía del haz incidente sea mayor o igual que el trabajo de extracción asociado a la lámina del metal.

Cálculos asociados al espectro del átomo de hidrógeno

2 Calcula la menor longitud de onda en nm de la radiación absorbida del espectro de hidrógeno.

Datos: RH = 1,097∙ 107 m –1

Planteamiento y resolución

En este caso, la menor longitud de onda corresponde con la mayor energía absorbida del espectro de hidrógeno (son magnitudes inversamente proporcionales).

Para calcular la menor longitud de onda, utilizamos la fórmula general dada por J. R. Rydberg en 1889: m 1 = RH ∙ nm 11 –22 dd d nn n

Así, sustituyendo RH por su valor y considerando que n = 1 y que m = ∞, tenemos: m 1 = 1,097 ∙ 107 m –1 ∙ 1 11 –22 3 dd c n m n λ = 9,115 ∙ 10–8 m

Ahora, expresamos la longitud de onda en nm, teniendo en cuenta los factores de conversión: λ = 9,115 ∙ 10–8 m ∙ 10 m nm 1 –9 = 91,15 nm

Determinación de números cuánticos y orbitales atómicos

3 Para los siguientes grupos de números cuánticos (4,2,0,1/2), (3,3,2,-1/2), (2,0,1,1/2), (2,0,0,-1/2) responde a las siguientes cuestiones: a) Indica cuáles son posibles y cuáles no para un electrón en un átomo. b) Para las combinaciones correctas, indica el orbital donde se encuentra el electrón. c) Ordena razonadamente los orbitales del apartado anterior en orden creciente de energía.

Planteamiento y resolución a) Nunca puede ocurrir que el valor del número cuántico l coincida con el valor del número cuántico n, por tanto, el caso (3,3,2,-1/2) es imposible. Por otro lado, el número cuántico magnético ml nunca puede tomar un valor superior al del número cuántico orbital l, por este motivo, el caso (2,0,1,1/2) es imposible. b) El grupo de números cuánticos (4,2,0,1/2) corresponde a un orbital 4d. El grupo de números cuánticos (2,0,0,-1/2) corresponde a un orbital 2s. c) Para átomos polielectrónicos, la energía de cada electrón depende del tamaño del orbital que ocupa, del número cuántico principal n y de la forma del orbital determinada por el número cuántico ml. El orden creciente de energía de los orbitales será: 2s < 4d

En los casos (4,2,0,1/2) y (2,0,0,-1/2), los valores de los números cuánticos coinciden con los que pueden tomar un electrón en un átomo, luego son posibles.

An Lisis Del Problema

Los electrones en los átomos se mueven en el espacio tridimensional; por tanto, se necesita un conjunto de tres números cuánticos para describir el electrón. Un orbital atómico tiene una energía característica y una distribución propia de la densidad electrónica en el espacio, lo que le confiere su forma peculiar. Cada grupo de tres números cuánticos distintos determinan un orbital.

En los átomos polielectrónicos, las repulsiones entre los electrones, les hacen permanecer alejados y provocan inestabilidad. Se produce un incremento de la energía de los orbitales según aumenta el número cuántico secundario “l”. Un orbital es más estable cuanto menor sea su contenido energético.

Discusi N De Resultados

Para determinar si los resultados obtenidos son correctos, debemos tener en cuenta los valores que puede tomar cada uno de los números cuánticos (consulta el interior de la unidad, si no los recuerdas).

Un orbital es más estable cuanto menor sea su contenido energético. Los electrones ocupan los orbitales de manera que se minimice la energía del átomo.

4 Contesta de forma razonada: a) ¿Cuántos orbitales hay en el nivel de energía n = 2? b) ¿Cuál es el número máximo de electrones que pueden encontrarse en el nivel de energía n = 3? c) ¿En qué se diferencian y en qué se parecen los orbitales 3px, 3py y 3pz?

Planteamiento y resolución a) Calculamos el número de orbitales en el nivel n = 2, teniendo en cuenta que para cada valor del número cuántico l hay (2 ∙ l + 1) valores enteros de ml; por tanto, dentro de cada subnivel energético tenemos (2 ∙ l + 1) orbitales. Así para el caso n = 2: n = 2 → l = 0, l = 1

Por tanto:

• l = 0 → 2 l + 1 = 2 ∙ 0 + 1 = 1 orbital (2s)

• l = 1 → 2 ∙ l + 1 = 2 ∙ 1 + 1 = 3 orbitales (2px, 2py; 2pz) b) El número total de electrones en un nivel de número cuántico n es 2∙n 2

En consecuencia, en el nivel n = 2 habrá cuatro orbitales.

Para n = 3, el número máximo de electrones que pueden encontrarse será: 2 ∙ 32 = 2 ∙ 9 = 18 electrones c) Los orbitales 3px, 3py y 3pz tienen el mismo número cuántico principal, n = 3; por lo que tienen el mismo tamaño.

Al ser px, py y pz, observamos que también tienen el mismo número cuántico secundario l (l =1 → orbitales p) por lo que coinciden también en la forma.

La única diferencia está en la orientación espacial de los orbitales, determinada por el número cuántico magnético ml (l = 1 → ml = –1, ml = 0, ml = 1),

Cada uno de los orbitales se dispone en la dirección de un eje de coordenadas.