Diversidad e Inclusión ADAPTACIÓN CURRICULAR
UNIDAD
7 Proporcionalidad y porcentajes
1 Proporcionalidad directa Magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando: a) Al aumentar una cantidad de una de ellas el doble, el triple, etc., el valor correspondiente de la otra queda aumentado de igual forma. b) Al disminuir una cantidad de una de ellas la mitad, un tercio, etc., el valor correspondiente de la otra queda disminuido de la misma forma. La constante de proporcionalidad directa se calcula dividiendo una cantidad cualquiera de la 2.a magnitud entre la correspondiente de la 1.a
1 Se venden ensaladas envasadas de 250 g según la tabla:
La edad y la estatura no son directamente proporcionales, aunque a más años corresponde más altura. Para que fuesen directamente proporcionales, a los 20 años se debía medir el doble que a los 10 años y a los 30 años el triple.
N.º de ensaladas
1 2 3
4
5
10 15 20
Coste (€)
3 6 9 12 15 30 45 60
Halla la constante de proporcionalidad. Las dos magnitudes son directamente proporcionales porque al aumentar el número de ensaladas en el doble, triple, etc., el coste de las ensaladas aumenta en el doble, el triple, etc. La constante de proporcionalidad directa es: 3 = 6 = 9 = … = 3 €/ensalada 1 2 3
Para saber si dos magnitudes son directamente proporcionales no basta con comprobar que, al aumentar una magnitud, la otra aumenta también. En estos casos, las magnitudes pueden ser directamente proporcionales, pero se debe confirmar. Para ello, hay que comprobar que, al aumentar una el doble, el triple, etc., la otra aumenta el doble, el triple, etcétera.
Problemas de proporcionalidad directa En estos problemas intervienen dos magnitudes y hay que hallar una cantidad desconocida de una magnitud conociendo tres cantidades, es decir, hallar el cuarto proporcional. Hay que determinar si las magnitudes son directamente proporcionales. Se estudian dos métodos para resolverlos. Para resolver estos problemas, hay que determinar si las magnitudes son directamente proporcionales. Se van a estudiar dos métodos para resolverlos.
Método de reducción a la unidad a) Se calcula la cantidad de la segunda magnitud, correspondiente a la unidad de la primera magnitud. b) Multiplicando ese valor por la cantidad que interese, se calcula cualquier valor.
2 Cuatro libros iguales cuestan 48 €. ¿Cuánto costarán 7 libros?
Cuatro libros iguales cuestan 48 €.
© Grupo Editorial Bruño, S. L.
a) Si 4 libros cuestan 48 €, 1 libro cuesta 48 : 4 = 12 € b) 7 libros cuestan 7 · 12 = 84 €
7 - Proporcionalidad y porcentajes
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Método de regla de tres directa Para resolver los problemas de regla de tres directa se sigue el procedimiento: a) Se identifican las magnitudes que intervienen y sus unidades. b) Se colocan las magnitudes y las cantidades poniendo en último lugar la incógnita. c) Se determina si la proporcionalidad es directa. Es directa cuando va de + a + o de – a – d) Se forma la proporción y se calcula el cuarto proporcional. Magnitud A (Unidad) (D) Magnitud B (Unidad) Cantidad conocida: a ⎯→ Cantidad conocida: b ⎯→
Cantidad conocida: c
⎫ c a b ·c ⎬ & = &x= x a b Cantidad desconocida: x⎭
3 Si 5 kg de melocotones cuestan 7,2 €, ¿cuánto costarán 12,5 kg?
• La magnitud de la pregunta es Dinero (€); va en último lugar. • Es de proporcionalidad Directa (D), porque al aumentar el número de kilos, aumenta el dinero que cuestan, va de + a + Masa (kg) (D)
Dinero (€)
5 ⎯⎯⎯→ 12,5 ⎯⎯⎯→
7,2 7,2 12,5 · 7,2 2& 5 = = 18 € & x= x x 5 12,5
1. ¿Cuáles de las siguientes magnitudes son directamente proporcionales?
necesitará para hacer 900 tornillos?
a) El número de hojas de un libro y su peso.
4. Compramos 3 kg de higos por 8,76 €. ¿Cuánto costa-
b) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en recorrer 200 km
rán 8 kg?
c) El número de pintores y el tiempo que tardan en pintar una valla.
gastará en 5 h?
d) El lado de un cuadrado y su perímetro. 2. Copia y completa las siguientes tablas para que las magnitudes sean directamente proporcionales:
Magnitud A
3
5
Magnitud B
20
No. botellas de agua
2
Capacidad (L)
3
© Grupo Editorial Bruño, S. L.
9
10
15
3. Una máquina hace 300 tornillos en 4 h. ¿Cuánto tiempo
5. Una caldera consume 100 L de gasoil en 8 h. ¿Cuánto 6. Un grifo hace subir el nivel de un depósito de agua 12,6
cm en 3 horas. ¿Cuánto subirá el nivel en 5 horas y media? 7. Por la impresión de 120 carteles para una fiesta nos
han cobrado 67,2 €. ¿Cuánto nos costará imprimir 350 carteles? 8. En un campamento con 45 estudiantes, compran para
4
7
10
12
desayunar una barrita de nueces para cada uno y pagan 32,4 €. Al aumentar en 32 estudiantes el c ampamento, ¿cuánto pagarán por el total de las barritas?
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2 Proporcionalidad inversa Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando: a) Al aumentar una cantidad de una de ellas el doble, el triple, etc., el valor correspondiente de la otra queda disminuida a la mitad, a la tercera parte, etcétera. b) Al disminuir una cantidad de una de ellas a la mitad, a la tercera parte, etc., el valor correspondiente de la otra queda aumentada el doble, el triple, etcétera. La constante de proporcionalidad inversa se calcula multiplicando una cantidad cualquiera de la primera magnitud por la cantidad correspondiente de la segunda magnitud.
4 Un agricultor recoge en 60 h una cosecha de manzanas.
N.º de agricultores
1
2
3
4
5
6
Tiempo (h)
60 30 20 15 12 10
Halla la constante de proporcionalidad. Las magnitudes son inversamente proporcionales porque al aumentar el número de agricultores el doble, el triple, etc., el tiempo disminuye a la mitad, a la tercera parte, etc. Un agricultor recoge en 60 h una cosecha de manzanas.
La constante de proporcionalidad inversa es: 60 · 1 = 30 · 2 = 20 · 3 = … = 60
Problemas de proporcionalidad inversa El esquema de estos problemas es similar al de la proporcionalidad directa. Se van a ver dos métodos de resolución, pero recuerda que lo primero que hay que hacer es determinar si las magnitudes son inversamente proporcionales.
Método de reducción a la unidad a) Se calcula el valor de la segunda magnitud, correspondiente a la unidad de la primera magnitud. b) Dividiendo ese valor por la cantidad que interese, se calcula cualquier valor deseado.
5 Cuatro obreros hacen una obra en 21 días. ¿Cuántos días tardarán en hacer la obra 7 obreros?
a) Si 4 obreros tardan 21 días, un obrero tardará: 4 · 21 = 84 días Cuatro obreros hacen una obra en 21 días. © Grupo Editorial Bruño, S. L.
b) 7 obreros tardarán: 84 : 7 = 12 días
7 - Proporcionalidad y porcentajes
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Método de regla de tres inversa Para resolver los problemas de regla de tres inversa se sigue el procedimiento: a) Se identifican las magnitudes que intervienen y sus unidades. b) Se colocan las magnitudes y las cantidades poniendo en último lugar la incógnita. c) Se determina si la proporcionalidad es inversa. Es inversa cuando va de + a – o de – a + d) Se forma la proporción invirtiendo la primera razón y se calcula el cuarto proporcional. Magnitud A (Unidad) ( I ) Magnitud B (Unidad) Cantidad conocida: a ⎯→ Cantidad conocida: b ⎯→
Razón invertida.
Cantidad conocida: c
Si a 60 km/h tarda 5 h, a 75 km/h tardará x
⎫ b a ·c c ⎬ & = &x= a x b Cantidad desconocida: x⎭
6 Un coche recorre una distancia en 5 h a una velocidad de 60 km/h.
Si la velocidad aumenta a 75 km/h, ¿cuánto tardará?
• La magnitud de la pregunta es Tiempo (h); va en último lugar. • Es de proporcionalidad Inversa (I), porque al aumentar la velocidad, disminuye el tiempo que tarda en recorrer la distancia, va de + a – Velocidad (km/h) (I)
Tiempo (h) ⎯⎯⎯⎯→ 52 75 5 60 & = x & x = 6075· 5 = 4 h ⎯⎯⎯⎯→ x 75 60
9. ¿Qué magnitudes de las siguientes son inversamente proporcionales?
a) La altura de un árbol y su edad. b) La velocidad de un ciclista y el tiempo que tarda en recorrer una distancia fija. c) El número de obreros y el tiempo que tardan en hacer una obra. d) Las longitudes de los lados de un rectángulo de 20 cm2 de área. 10. Copia y completas las siguientes tablas para que las magnitudes sean inversamente proporcionales:
Magnitud A
1
Magnitud B
© Grupo Editorial Bruño, S. L.
3
5
10
15
Magnitud A Magnitud B
4
6
9
12
36
8
11. Escribe dos magnitudes que sean inversamente proporcionales. 12. Una piscina se llena en 15 h con un grifo que vierte 120 L/min. ¿Cuánto tiempo tardará en llenar la piscina otro grifo que tiene un caudal de 240 L/min? 13. Un rectángulo tiene 12 m de base y 7 m de altura. Otro rectángulo con la misma área tiene 5 m de base. ¿Cuánto mide de altura? 14. Siete obreros tardan 9 h en hacer una obra. ¿Cuánto tardarán 3 obreros?
3
7 - Proporcionalidad y porcentajes
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3 Porcentajes Tanto por ciento El tanto por ciento de una cantidad es una o varias de las 100 partes iguales en que se puede dividir dicha cantidad. El símbolo del tanto por ciento es %
Regla práctica para calcular un tanto por ciento El tanto por ciento de una cantidad se puede interpretar como una razón y como un decimal.
Porcentaje de una cantidad Se multiplica la cantidad por el decimal correspondiente. Tanto Razón Decimal por ciento 15 100
15 %
0,15
7 Calcula el 15 % de 4 300 €
15 % = 0,15 ⇒ F = I · P ⇒ F = 4 300 · 0,15 = 645 € 4300 × 0.15 = 645
Calcular una cantidad cuando se conoce el porcentaje Se divide el porcentaje entre el decimal correspondiente. Metodología del triángulo mágico
F
÷ I
×
8 El 15 % de una cantidad es 240. ¿Cuál es la cantidad?
240 = 1600 € 240 ÷ 0.15 = 1600 I= F &I= P 0,15 9 Halla el 20 % de 300 € aplicando la regla de tres.
P
F = Final I = Inicial P = Porcentaje
Dinero (€) (D)
Dinero (€)
20 ⎯⎯⎯⎯→ 100 2 & 100 = 20 & x = 300 · 20 = 60 € x x 300 ⎯⎯⎯⎯→ 300 100 Se han dividido los 300 € en partes de 100 €, y de cada una de ellas se han tomado 20 €; es como si se hubiese tomado la fracción 20/100 de 300 €
La línea vertical multiplica (×): F=I×P La línea horizontal divide (÷): F P F P= I I=
Los porcentajes son los protagonistas de las rebajas. © Grupo Editorial Bruño, S. L.
7 - Proporcionalidad y porcentajes
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Problemas de descuento Un descuento es una cantidad que se rebaja al valor que cuesta. Estos problemas se pueden resolver de dos formas.
10 Unos pantalones tienen un precio de 72,4 € y tienen una rebaja del
15 %. Calcula lo que se paga por los pantalones.
a) Se puede calcular el precio final directamente: Si descuentan un 15 %, se paga: 100 % – 15 % = 85 % = 85 = 0,85 F = I · P ⇒ Precio final: F = 72,4 · 0,85 = 61,54 €
100
F
÷
b) Se calcula el descuento y se resta del precio: I
Descuento: el 15 % de 72,4 es 72,4 · 0,15 = 10,86 Precio final: 72,4 – 10,86 = 61,54 €
×
P
F=I×P
Problemas de aumentos e impuestos Un impuesto es una cantidad que se añade al precio. Estos problemas se pueden resolver de dos formas:
IVA
11 En el taller facturan por el arreglo de un coche 150,25 € y aumentan
El IVA es el Impuesto sobre el Valor Añadido.
un 21 % de IVA. ¿A cuánto asciende la factura total? a) Se puede calcular el precio final directamente:
Si aumentan el 21 %, se paga el 100 % + 21 % = 121 % = 121 = 1,21 100
F
F = I · P ⇒ Precio final: F = 150,25 · 1,21 = 181,80 €
÷
b) Se calcula el IVA y se suma a la cantidad inicial: IVA: el 21 % de 150,25 es 150,25 · 0,21 = 31,55 €
I
×
P
Precio final: 150,25 + 31,55 = 181,80 € F=I×P
15. Calcula:
a) 16 % de 450
b) 25 % de 792
c) 7,5 % de 600
d) 12,5 % de 80
16. En una clase de 25 alumnos, el 24 % son chicos. Calcula el número de chicos y de chicas. 17. En un pueblo, 1 400 personas se dedican a la agricultura. Este número de personas corresponde al 40 % de la población. ¿Cuántos habitantes hay en total?
19. Inés quiere comprar a plazos un ordenador que cuesta 1 200 €. Por pagarlo a plazos, le suben un 12 %. ¿Cuánto pagará en total? 20. La factura del hotel de las vacaciones ascendía a 1 232,5 €. Calcula el total añadiendo el 10 % de IVA. 21. Por un televisor nos han descontado 54,09 €, que supone un 15 % del precio inicial. ¿Cuál era el precio inicial del televisor?
18. Jorge compra unas deportivas que cuestan 62,5 €, y le descuentan el 30 %. ¿Cuánto paga?
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