DE CERCA DE CERCA
Índice
1. Números naturales y enteros 11
Vocabulario • El conjunto de los números naturales • La relación de divisibilidad • Números primos y compuestos • Mínimo común múltiplo • Máximo común divisor • El conjunto Z de los números enteros • Operaciones con números enteros • Potencias de números enteros • Raíz cuadrada de un número entero
2. Números decimales y fracciones ............................................... 21
Vocabulario • Los números decimales • Operaciones con números decimales • Raíz cuadrada de un número decimal • Las fracciones • Fracciones y números decimales
3. Operaciones con fracciones .... 29
Vocabulario • Suma y resta de fracciones • Multiplicación y división de fracciones • Problemas con fracciones • Potencias y fracciones
4. Proporcionalidad 37
Vocabulario • Razones y proporciones • Magnitudes directamente proporcionales • Magnitudes inversamente proporcionales • Problemas de proporcionalidad compuesta • Problemas de repartos proporcionales
5. Porcentajes ........................................... 45
Vocabulario • Porcentajes. Concepto • Problemas con porcentajes • Interés bancario • Otros problemas aritméticos
6. Álgebra ................................................... 55
Vocabulario • Álgebra: ¿para qué sirve? • Expresiones algebraicas • Polinomios • Productos notables
7. Ecuaciones ........................................... 63
Vocabulario • Ecuaciones: significado y utilidad • Ecuaciones: elementos y nomenclatura • Transposición de términos • Resolución de ecuaciones sencillas • Ecuaciones con denominadores • Procedimiento general para la resolución de ecuaciones de primer grado • Resolución de problemas con ecuaciones • Ecuaciones de segundo grado • Resolución de ecuaciones de segundo grado
8. Sistemas de ecuaciones 73
Vocabulario • Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas • Sistemas de ecuaciones lineales • Métodos de resolución de sistemas lineales • Resolución de problemas con ayuda de los sistemas de ecuaciones
9. Teorema de Pitágoras ....................... 81
Vocabulario • Teorema de Pitágoras • Cáculo de un lado conociendo los otros dos • Aplicaciones del teorema de Pitágoras
10. Semejanza ............................................. 87
Vocabulario • Figuras semejantes • Planos, mapas y maquetas • Cómo construir figuras semejantes • Teorema de Tales • Semejanza entre triángulos rectángulos • Aplicaciones de la semejanza de triángulos
11. Cuerpos geométricos ................... 95
Vocabulario • Prismas • Pirámides • Troncos de pirámide • Poliedros regulares • Secciones planas de poliedros • Cilindros • Conos • Troncos de cono • Esferas
12. Medida del volumen ................... 105
Vocabulario • Unidades de volumen • Principio de Cavalieri • Volumen del prima y del cilindro • Volumen de la pirámide y del tronco de pirámide • Volumen del cono y del tronco de cono • Volumen de la esfera
13. Funciones .............................................. 113
Vocabulario • Concepto de función • Crecimiento y decrecimiento • Funciones dadas por tablas de valores • Funciones dadas por su ecuación • Funciones de proporcionalidad: y = mx • Pendiente de una recta • Funciones lineales: y = mx + n • Funciones constantes: y = k
14. Azar y probabilidad ..................... 121
Vocabulario • Sucesos aleatorios • Probabilidad de un suceso • Asignación de probabilidades en experiencias regulares • Algunas estrategias para el cálculo de probabilidades
1 NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS
Sistema de numeración
Números naturales
Divisibilidad
decimal sexagesimal
Valor absoluto
relación de divisibilidad criterios de divisibilidad números primos y compuestos mínimo común múltiplo y máximo común divisor
Números enteros
Opuesto
suma y resta multiplicación y división
operaciones combinadas
potencias
raíces
múltiplo divisor factorización de dos números regla de los signos orden de prioridad propiedades raíces cuadradas raíces de índice superior a dos de más de dos números
Orden
Operaciones
El conjunto de los números naturales 1
Los números que usamos para contar objetos, uno a uno, se llaman números naturales.
El conjunto de los números naturales se designa con la letra N, está ordenado y tiene principio, pero no tiene fin: N = {0, 1, 2, 3, 4, …}
El sistema de numeración decimal
Nosotros utilizamos habitualmente el sistema de numeración decimal (SND).
• Es posicional, ya que el valor de una cifra depende de la posición que ocupa.
Recuerda
Los números naturales se representan, ordenados, en la recta numérica.
000 unidades
• Es decimal, porque 10 unidades de cualquier orden hacen una unidad del orden inmediato superior.
1 CM = 10 DM = 100 UM = 1 000 C = 10 000 D = 100 000 U
Recuerda cómo realizar la descomposición polinómica de un número:
El sistema sexagesimal
El sistema sexagesimal se utiliza en la medida del tiempo y de la amplitud angular. Cada unidad se divide en 60 unidades del orden inferior.
1h 60 min 1min 60 s = = 3
Recuerda que la medida de las cantidades relativas a una magnitud se puede expresar de forma compleja o de forma incompleja.
Practica...
1 Copia, calcula y completa.
La relación de divisibilidad 2
Múltiplos y divisores
Dos números están emparentados por la relación de divisibilidad cuando su cociente es exacto.
Si la división a : b es exacta
a es múltiplo de b b es divisor de a.
• Los múltiplos de un número lo contienen una cantidad exacta de veces y se obtienen multiplicándolo por cualquier otro número natural.
Calculamos los primeros múltiplos de 12:
• Los divisores de un número están contenidos en él una cantidad exacta de veces y, por tanto, lo dividen con cociente exacto.
Calculamos los divisores de 12
Los divisores de 12 son: 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 12
La suma de dos múltiplos de un número a es otro múltiplo de a. m
Practica...
1 Responde y justifica tu respuesta. a) ¿Es 132 múltiplo de 11? b) ¿Es 11 divisor de 132?
2 Escribe:
a) Los cinco primeros múltiplos de 20. b) Todos los divisores de 20
60 20 0 3 → 60 es divisible por 20.
60 es múltiplo de 20. 20 es divisorde 60. ) 60 es múltiplo de 20. 20 es divisor de 60.
Observa
• Un número tiene infinitos múltiplos.
• Todo número, a, es múltiplo de sí mismo y de la unidad. → a · 1 = a
Observa
• Un número tiene una cantidad finita de divisores.
• Un número tiene al menos dos divisores: él mismo y la unidad.
3 Dibuja todas las formas de representar 36 como número rectangular.
36 = 3 · 12
¿Qué relación tienen con los divisores de 36?
Criterios de divisibilidad
• Un número es divisible por 2 (es múltiplo de 2) si termina en 0, 2, 4, 6 u 8.
• Un número es divisible por 3 (es múltiplo de 3) si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
• Un número es divisible por 5 (es múltiplo de 5) si termina en 0 o en 5.
• Un número es divisible por 9 (es múltiplo de 9) si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
• Un número es divisible por 10 (es múltiplo de 10) si termina en 0.
• Un número es divisible por 11 (es múltiplo de 11) si la suma de las cifras de lugar impar, menos la suma de las cifras de lugar par (o viceversa), es múltiplo de 11.
Practica...
4 Copia estos números y selecciona:
66 90 103 105 220
421 825 4 829 5 511 6 005
3
• 134 → es múltiplo de 2
• 501 → es múltiplo de 3. 5 + 0 + 1 = 6
• 705 → es múltiplo de 5.
• 243 → es múltiplo de 3 y de 9. 2 + 4 + 3 = 9
• 890 → es múltiplo de 5 y de 10.
• 913 → es múltiplo de 11. (9 + 3) – (1) = 11
a) Los múltiplos de 2. b) Los múltiplos de 3.
c) Los múltiplos de 5. d) Los múltiplos de 11.
Números primos y compuestos
Un número que no se puede descomponer en factores es un número primo. Sus únicos dos divisores son él mismo y la unidad. Los números que no son primos se llaman compuestos.
Descomposición de un número en factores primos
Para descomponer un número en factores primos, actuamos ordenadamente y tenemos en cuenta los criterios de divisibilidad. Así descomponemos 594:
594 2
594 : 2
297 : 3
99 : 3
33 : 3
⎯⎯→ 297 3
⎯⎯→ 99 3
⎯⎯→ 33 3
⎯⎯→ 11 11
11 : 11 ⎯⎯→ 1
594 = 2 · 33 · 11
Practica...
1 Separa, entre los siguientes números, los primos de los compuestos.
29 39 57 83
101 111 113 243
2 Descompón estos números en factores primos.
a) 84 b) 130
c) 160 d) 594
e) 720 f ) 975
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo de varios números, a, b, c, … es el menor de sus múltiplos comunes, y se escribe así: mín. c. m. (a, b, c, …).
Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números:
mín. c .m. (200, 240)
• Primero, descomponemos los números en factores primos: 200 2
2
2
• Después, seleccionamos todos los factores primos, comunes y no comunes, elevado cada uno al mayor de los exponentes con el que aparece.
mín. c. m. (200, 240) = 24 · 3 · 52 = 1 200
Máximo común divisor 5
El máximo común divisor de varios números, a, b, c, … es el mayor de sus divisores comunes, y se escribe así: máx. c. d. (a, b, c, …).
Para calcular el máximo común divisor de varios números:
máx. c. d. (200, 240)
• Primero, descomponemos los números en factores primos:
Practica...
1 Calcula.
a) mín. c. m. (6, 11)
b) mín. c. m. (18, 24)
c) mín. c. m. (72, 90)
2 Cierto supermercado hace inventario cada 36 días y recoloca los expositores cada 24 días. ¿Cada cuánto tiempo coinciden ambos trabajos en el mismo día?
• Después, seleccionamos los factores primos comunes, elevado cada uno al menor de los exponentes con el que aparece.
máx. c. d. (200, 240) = 23 · 5 = 40
Practica...
1 Calcula.
a) máx. c. d. (4, 6)
b) máx. c. d. (15, 20)
c) máx. c. d. (24, 36)
2 Una hortelana destina a semillero una parcela rectangular de 248 cm por 250 cm. La quiere dividir en cuadrados, todos iguales y lo más grandes posible. ¿Cuáles serán las dimensiones de cada semillero?
El conjunto Z de los números enteros 6
Al conjunto de los números enteros se le designa con la letra Z. Z = ,, ,, , ,, ,, , 12 34 5 0 123 45
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. Se expresa escribiéndolo entre barras.
El opuesto de un número entero es otro entero con el mismo valor absoluto, pero de signo contrario.
• El valor absoluto de +7 es 7. |+7| = 7
• Opuesto de (+7) → (–7)
• El valor absoluto de –7 es 7. |–7| = 7
• Opuesto de (–7) → (+7)
El conjunto de los números enteros se representa, ordenado, en la recta numérica:
El valor absoluto de un número es su distancia al cero en la recta numérica.
Observa –8 0 |–8| = 8 0 +5 |+5| = 5 –8 0 |–8| = 8 0 +5 |+5| = 5
Practica...
1 Escribe el valor absoluto y el opuesto de cada número. a) –3 b) +8 c) +23 d) –37
2 Ordena de menor a mayor. – 7, –13, +8, –1, +1, +5, 0, +10, –24
Operaciones con números enteros 7
Suma y resta de números enteros
• Si los números enteros tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone el signo que tenían los sumandos.
• Si los números enteros tienen distinto signo, se restan los valores absolutos y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.
Practica...
1 Lee, reflexiona y completa. a) Si gasto 4 € y después gasto 2 € (–4 – 2 = …), tendré … € menos.
b) Si me dan 10 € y me quitan 3 € (10 – 3 = …), tendré … € …
Para operar más de dos números enteros, podemos seguir dos caminos:
• Operar paso a paso, según aparecen.
• Agrupar los positivos por un lado y los negativos por otro. Después, operar.
Sumas, restas y paréntesis
• Al suprimir un paréntesis precedido del signo más, los signos interiores no varían.
• Al suprimir un paréntesis precedido del signo menos, se cambian los signos interiores: más por menos y menos por más.
Multiplicación de números enteros
Para multiplicar dos números enteros aplicamos la regla de los signos:
El producto de dos números enteros es positivo si los dos factores tienen signos iguales y negativo si los dos factores tienen signos diferentes.
(+) · (+) = + (–) · (–) = + (+) · (–) = –(–) · (+) = –
División de números enteros
En la división se aplica la misma regla de los signos que en la multiplicación.
(+) : (+) = + (–) : (–) = + +) : (–) = – (–) : (+) = –positive result negative result
Operaciones combinada
El orden en el que realizamos las operaciones para calcular el valor de una expresión combinada es el siguiente:
1.º Las operaciones que están dentro de los paréntesis.
2.º Las multiplicaciones y las divisiones.
3.º Las sumas y las restas.
• Paréntesis precedido del signo +: +(–3 + 8 – 2) = –3 + 8 – 2
• Paréntesis precedido del signo –: –(–3 + 8 – 2) = +3 – 8 + 2
(–18) : (11 – 9 – 5) + 5 · (6 – 8) = = (–18) : (–3) + 5 · (–2) = = 6 + (–10) = = 6 – 10 = – 4
Practica...
2 Resuelve quitando los paréntesis.
a) (4 – 9) – (5 – 8)
b) –(1 – 6) + (4 – 7)
c) 4 – (8 + 2) – (3 – 13)
3 Opera.
a) (+10) · (–2)
b) (–7) · (+5)
c) (–15) : (–5)
d) (+22) : (+11)
4 Calcula.
a) 20 – 4 · 7 + 11
b) 15 – 20 : 5 – 3
Potencias de números enteros 8
Una potencia es una multiplicación de factores iguales: exponente an base = a · a · a · … · a n veces
Potencias de números negativos
Al elevar un número negativo a una potencia:
• Si el exponente es par, el resultado es positivo.
(– a)n (par) → positivo
• Si el exponente es impar, el resultado es negativo.
(– a)n (impar) → negativo
Propiedades de las potencias
(–3)1 = –3
(–3)2 = +9
(–3)3 = –27
(–3)4 = +81
• La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores.
(a · b)n = a n · b n
• La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y del divisor.
• Para multiplicar dos potencias de igual base, se suman los exponentes.
• Para dividir dos potencias de igual base, se restan los exponentes.
• Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes.
Observa
Fíjate que la potencia de una suma (o una resta) noesigual a la suma de las potencias de los sumandos: [(–2) + (–3)]2 = [–5]2 = +25 (–2)2 + (–3)2 = 4 + 9 = +13
Practica...
1 Escribe en forma de producto y calcula.
a) (–5)2 b) (–10)5 c) (–8)3
2 Reduce a una sola potencia.
a) 32 · 42 b) (–2)3 · 43
c) (–5)2 · (+3)2 d) (+15)3 : (–5)3
e) (–20)2 : (– 4)2 f) (–18)4 : (+6)4
3 Reduce a una sola potencia.
a) (–2)5 · 27 b) (–2)3 · (+2)6
c) (–12)2 · (+12)2 d) (–7)8 : (–7)5
e) 109 : (–10)4 f) (– 4)10 : (+4)6
4 Aplica la propiedad (a m)n = a m · n , y reduce.
a) (x 3)2 b) (a 3)3 c) (z 6)3
Raíz cuadrada de un número entero
La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado.
a = b ⇔ b 2 = a
Los números cuya raíz cuadrada es entera se llaman cuadrados perfectos.
49 77 49
400 20 20 400 2 2 == == 4 49 y 400 son cuadrados perfectos. ⇔ ⇔
Un número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa. 16 = 4 → porque 42 = +16 – 4 → porque (– 4)2 = +16
Otras raíces
Podemos obtener raíces de índice superior a dos. En general: índice a = b ⇔ bn = a n √‒radicando
Practica...
1 Calcula, si existen, estas raíces.
a) () +1 b) () –1 c) () 25 + d) () –36 e) () +100 f ) () –100
2 Observa el ejemplo y reduce.
• ()xxx 63 23 2 · == = x 3
a) x 4 b) m 6 c ) a 8
No existe.
Observa
Un número negativo no tiene raíz cuadrada.
() –16 = x ⇔ x 2 = –16 → → Imposible
() –16 → No existe, porque no hay ningún número cuyo cuadrado sea un resultado negativo.
3 Calcula, si existen, las raíces. Para las otras, explica por qué no existen. a) 27 3
El reto final
Lee y comprende
En 1742, el matemático ruso Goldbach propuso el siguiente enunciado:
Todo número par mayor que 2 se puede expresar como la suma de dos números primos.
Este enunciado parece que es verdadero, pero no se sabe con seguridad, ¡porque nadie ha sido capaz de demostrarlo!
Por eso, de momento es solo una conjetura (una suposición) conocida como la conjetura de Goldbach.
Nota: Aunque en la unidad hemos dicho que el 1 no se considera primo, en la afirmación anterior se acepta como tal. En caso contrario, no tendría sentido. Por ejemplo: 4 = 1 + 3
Conjetura de Goldbach.
Números perfectos
Según los pitagóricos, un número es perfecto si coincide con la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, el 6:
Los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3 (el 6 es divisor de 6, pero no es divisor propio).
1 + 2 + 3 = 6
• Entre 25 y 30 hay otro número perfecto. ¿Eres capaz de encontrarlo?
Números amigos
Los pitagóricos llamaban amigos a dos números cuando la suma de los divisores propios de cada uno de ellos es igual al otro.
• El número 220 tiene un amigo. ¿Eres capaz de encontrarlo?
No es como parece
Tres peregrinos se encuentran en un cruce de caminos y se sientan a comer. Uno aporta 5 tortas; otro, 4 tortas, y el tercero, que no tiene tortas, paga a sus compañeros con 9 monedas. ¿Cómo deben distribuirse las monedas?
Haz un gráfico
de los divisores de B
Suma de los divisores de A
El yate que estoy viendo entrar en el puerto mide 30 metros más la mitad de su propia longitud. ¿Cuánto mide el yate?
Suma
Investiga
CERCA
1 Números naturales y enteros
Sistema de numeración
Es un sistema posicional, ya que el valor de una cifra depende de la posición que ocupa. Decimal Sexagesimal
Se utiliza en la medida del tiempo y de la amplitud angular. Cada unidad se divide en 60 unidades del orden inferior.
1h = 60 min 1min = 60 s
1º = 60' 1' = 60''
1 h = 60 · 60 = 3 600 s 1° = 60 · 60 = 3 600" } }
Criterios de divisibilidad
Relación de divisibilidad
Si la división a : b es exacta
a es un múltiplo de b.
b es un divisor de a.
60 es divisible por 20.
60 20
0 3
60 es un múltiplo de 20.
20 es un divisor de 60.
Números primos y compuestos
Números primos
No se puede descomponer en factores. Solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.
13 = 13 · 1
si termina en 0, 2, 4, 6 u 8.
si la suma de las cifras de lugar impar, menos la suma de las cifras de lugar par (o viceversa), es múltiplo de 11.
Un número es múltiplo de
si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. si termina en 0 o en 5. si termina en 0.
9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Factorización
Números compuestos
Se puede descomponer en factores.
40 = 23 · 5 13 es primo. 40 es compuesto.
Factorizar un número es descomponerlo en factores primos.
594 = 2 . 3³ . 11
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo de varios números, a, b, c, … es el menor de sus múltiplos comunes, y se escribe así: mín. c. m. (a, b, c, ...).
Calcular el mín. c .m. (200, 240)
1.º Descomponemos en factores primos.
2.º Seleccionamos todos los factores primos, comunes y no comunes, elevado cada uno al mayor de los exponentes con el que aparece.
24 · 3 · 52 = 1200
3.º mín. c. m.(200, 240) = 1200
El máximo común divisor de varios números, a, b, c, es el mayor de sus divisores comunes, y se escribe así: máx. c. d. (a, b, c, …).
Calcular el máx. c. d. (200, 240)
1.º Descomponemos en factores primos.
=
El conjunto de los números enteros
Enteros
Cero
Máximo común divisor
2.º Seleccionamos los factores primos comunes, elevado cada uno al menor de los exponentes con el que aparece.
23 · 5 = 40
3.º máx. c. d. (200, 240) = 40
Números naturales
Números positivos
Números negativos
Valor absoluto de un entero
Es su distancia al cero en la recta numérica.
El conjunto de los números enteros se representa, ordenado, en la recta numérica.
Opuesto de un entero
Es otro entero con el mismo valor absoluto, pero de signo contrario.
Números naturales y enteros
Suma y resta de dos números enteros
Los números tienen el mismo signo
• Se suman sus valores absolutos.
• Se pone el signo que tenían los sumandos.
4 + 7 = +11 –6 – 3 = –9 mismo signo mismo signo
Suma y resta de números enteros
Podemos seguir dos caminos:
Ir operando paso a paso, en el orden en el que aparecen los números.
8 – 10 + 6 – 5
1 4 – 5 – 2 + 6 – 5
Agrupar los positivos por un lado y los negativos por otro. Después, operar.
Multiplicación y división de números enteros
(+4) (+3) = +12
(–5) . (–4) = +20
(+6) . (–3) = –18
(–4) . (+8) = –32
(+24) : (+4) = +6
(–24) : (–6) = +4
(+24) : (–4) = –6
(–24) : (+4) = –6
Los números tienen distinto signo
• Se restan los valores absolutos.
• Se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.
–4 + 10 = +6 +3 – 8 = –5 El signo del número con mayor valor absoluto.
Sumas, restas y paréntesis
1.º Paréntesis
Paréntesis precedido del signo –+(–3 + 8 – 2) = –3 + 8 – 2
–(–3 + 8 – 2) = +3 – 8 + 2
Paréntesis precedido del signo + signo opuesto mismo signo
Operaciones combinadas
2.º Multiplicaciones y divisiones
3.º Sumas y restas
(–18) : (11 – 9 – 5) + 5 · (6 – 8) = = (–18) : (–3) + 5 · (–2) = Realizamos las divisiones y las multiplicaciones. Sumamos.
= (+6) + (–10) = = 6 – 10 = –4
Calculamos los paréntesis.
Una potencia es una multiplicación de factores iguales:
Exponente par resultado negativo Potencias de números negativos
Exponente impar
La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores.
• La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y del divisor.
• Para multiplicar dos potencias de igual base, se suman los exponentes.
• Para dividir dos potencias de igual base, se restan los exponentes.
• Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes.
Raíz cuadrada de un número entero
La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado.
Los números cuya raíz cuadrada es entera se llaman cuadrados perfectos.
Un número positivo tiene dos raíces cuadradas: una positiva y otra negativa.
resultado positivo
Propiedades de las potencias
(a · b)n = an · bn
(a : b)n = an : bn am · an = am + n am : an = am – n (am)n = am · n
49 es un cuadrado perfecto.
400 es un cuadrado perfecto. 16 = 4 – 4 () –16
Un número negativo no tiene raíz cuadrada. Podemos obtener raíces de índice superior a dos. No existe.
© GRUPO ANAYA, S.A., 2025 - C/ Valentín Beato, 21 - 28037 Madrid. Reservados todos os dereitos. O contido desta obra está protexido pola Lei, que establece penas de prisión e/ou multas, amais das correspondentes indemnizacións por perdas e danos, para quen reproduza, plaxie, distribúa ou comunique publicamente, en todo ou en parte, unha obra literaria, artística ou científica, ou a súa transformación, interpretación ou execución artística fixada en calquera tipo de soporte ou comunicada a través de calquera medio, sen a preceptiva autorización.