Mundua helburu: Fisika 2. Batxilergoa. Lagina

J.  M. Vílchez González, G. Villalobos Galdeano, R. Casas del Castillo, A. J. Torres Gil, A. Fernández Oliveras

Aurkibidea

Ikasturteko oinarrizko jakintzak

• Ezkutuko eremuak gara

• Uhinetan dantzan

• Zeinen eder entzuten den

Hasierako unitatea

8

Zientziaren metodoak eta hizkuntzak 16

Formula matematikoetatik harago

1. Zientziaren izaera

2. Metodo zientifikoa

3. Zientziaren hizkuntzak

Problemak ebazteko estrategiak

1 Grabitazio-eremua

Fisika, teknologia eta gizartea

1. Grabitazio-eremua

2. Lana

3. Grabitazio-eremua kontserbakorra da

4. Masa puntual baten potentziala eta energia potentziala

5. Lurraren grabitazio-eremua

6. Energia dela eta

7. Orbitak

8. Newtonen grabitateari buruzko teoriaren mugak

9. Erlatibitatearen teoria orokorra

Problemak ebazteko estrategiak

2 Eremu elektrostatikoa

Coulomb, Paristik mirespenez

1. Materiaren izaera elektrikoa

2. Eremu elektrostatikoa

3. Potentzial elektrikoa

4. Energia dela eta

5. Eremu elektrikoaren fluxua

6. Gaussen teorema

7. Gaussen teoremaren aplikazioak

8. Eremua eta potentziala eroale elektrikoetan

9. Eremu elektrostatikoaren eta grabitazioeremuaren arteko konparazioa

Problemak ebazteko estrategiak

4 Indu kzio magnetikoa

Tesla, mundua argitu zuen jenioa

1. Eremu magnetikoaren fluxua

2. Indar elektroeragile baten indukzioa

3. Korronte alternoko gailuak

4. Autoindukzioa eta elkarrekiko indukzioa

Problemak ebazteko estrategiak

5 Higidura ondulatorio a

Kutsadura akustikoa

1. Higidura oszilatorioa

38

2. Uhina, pultsua eta uhin-trena

3. Uhin harmonikoak

4. Higidura ondulatorioaren energia

5. Soinu-uhinak

IKTak. Uhin-simulagailuak

Problemak ebazteko estrategiak

6 Fenomeno ondulatorioak

Uhin-energia

1. Printzipio orokorrak

2. Islapena, errefrakzioa eta difrakzioa

134

70

3. Interferentziak

4. Uhin geldikorrak

5. Doppler efektua

IKTak. Fenomeno ondulatorioak soka

batean. Uhin geldikorrak

Problemak ebazteko estrategiak

7 Uhin elektromagnetikoak

Argi-kutsadura

1. Maxwellen sintesi elektromagnetikoa

3 Intera kzio magnetikoa 100

Kasualitatetik Industria Iraultzara

1. Kargadun partikula baten gaineko indar magnetikoa

2. Magnetismoa teknologian

3. Indar magnetikoa zenbait

korronte-elementuren gainean

4. Eremu magnetikoaren sorkuntza

5. Ampèreren legea

6. Korronte-elementuen arteko indarrak

IKTak. Geogebra

Problemak ebazteko estrategiak

2. Uhin elektromagnetikoen (UEM) jatorria. Espektro elektromagnetikoa

3. UEMen igorpena, transmisioa eta detekzioa

4. Argiaren izaera

5. Argiaren islapena eta errefrakzioa

6. Interferentzia eta difrakzioa

7. Polarizazioa, sakabanatzea eta barreiatzea

8. Laserra eta aplikazioak

IKTak. Optika Walter-Fendt webgunean

IKTak. Uhin elektromagnetikoak eta

optika PhET simulazioetan

Problemak ebazteko estrategiak

158

186

220

8 Optika geometriko a

Optika: perspektiba kontu bat

Antzinako Grezian

1. Optika geometrikoaren legeak

2. Irudiak sortzea sistema optikoen bidez

3. Gizakiaren ikusmenaren mekanismo optikoa

4. Gailu optikoak

IKTak. Optika geometrikoari

buruzko IKTko baliabideak

Problemak ebazteko estrategiak

9 Erlatibitatearen teoria

berezia

Zientzia gerra-garaian

1. Sistema inertzialak. Galileoren erlatibitatearen printzipioa

2. Eterraren bila. Michelson-Morley esperimentua

3. Erlatibitate bereziaren postulatuak

4. Lorentzen transformazioak

5. Dinamika erlatibista

IKTak. Fisika modernorako laborategi birtualak

Problemak ebazteko estrategiak

10 F isika kuantiko a

Erdieroaleak eta teknologia berriak

1. Gorputz beltzaren erradiazioa

2. Efektu fotoelektrikoa

3. Argiaren izaera korpuskularra

4. Bohrren eredu atomikoa

5. Bohrren ereduaren zabalpena

6. De Broglieren hipotesia

7. Fisika kuantikoa

8. Laserrak

IKTak. Fisika modernorako laborategi birtualak II Problemak ebazteko estrategiak

258

11 F isika nuklearra eta fisika modern

o a 354

Energia nuklearra

1. Erradioaktibitatea

2. Nukleo atomikoa

3. Lotura nuklearraren energia

4. Erreakzio nuklear eta desintegrazio erradioaktibo naturalak

5. Erradioaktibitate artifiziala

6. Fisioa eta fusioa

7. Desintegrazio erradioaktiboen legea

8. Erradiazio ionizatzaileen efektu biologikoak eta aplikazioak

290

9. Partikulen fisika

10. Grabitazioa eta kosmologia

IKTak. Kalkulu zientifikoa gnuplot programarekin

Problemak ebazteko estrategiak

320

Honelakoa da zure liburua

Ikaskuntza-egoera, bat hiruhileko bakoitzerako. Hiruhileko horretan landuko dituzun ezagutzak, trebetasunak eta jarrerak abian jarraraziko dizkizu, eta zure konpetentziak eskuratzen eta garatzen lagunduko dizu.

Proposatutako egoeraren ikaskuntza-sekuentzia.

Fisikaren irakaskuntza-ikaskuntza prozesuan ezinbestean aurre egin behar diogun erronketako bat da naturan dauden eremuei buruz ikasitakoa gizartearen garapenari egin diezaiokeen ekarpenarekin lotzea. Hori dela eta, behar-beharrezkoa da zenbait estrategia diseinatzea, alderdi kontzeptualaren eta alderdi praktikoaren arteko lotura hori topatzeko. Fisikaz inguratuta bizi gara, baina gai al gara fisika non dagoen ikusteko? Galdera horri erantzuteko, pausagune bat egin beharko dugu, eta inguruneari begiratu, inguratzen gaituzten indar motak eta haien jatorria zein den ohartzeko. Erronka poster zientifiko bat diseinatzea izango da. Hartan, eremu grabitatorioak, eremu elektrikoak eta eremu magnetikoak eratzen dituzten indarretan oinarritutako gailu teknologikoen informazioa bildu beharko da. Ikaskuntza-egoeraren amaieran, gai izango gara gure posterra jendaurrean aurkeztu eta gure aurkezpenaren informazioa plataforma digital batez partekatzeko. Hala, hedapena emango diogu egin dugun lanari. Bi produktu horien konbinazioaren helburua argia da: ikasi ditugun kontzeptu eta lege fisikoen eta haien aplikazio praktikoaren arteko lotura aurkitzea, inguratzen gaituen teknologia garatzeko. Horrez gain, gai izan behar dugu informazio hori guztia mota askotako jendeari transmititzeko, zenbait komunikazio-bide erabiliz.

Erantzun: Nork sartu zuen eremu kontzeptua? Zer da indar-eremu bat? Nola identifika dezakegu eremu bat?

Diseinatu definizioak, helburu duzun publikoaren beharretara egokitutako hizkuntza erabiliz.

Hausnartu, taldean, sateliteen garrantziari buruz, eta hasi aurkezpena lantzen plataforma digital batean.

Diseinatu elektrikoen existentzia frogatzeko esperimentu erraz bat. Grabatu bideoan eta editatu.

Osatu aurkezpena. Horretarako, bilatu elektrostatikaren legeen ezagutzan oinarritutako aplikazioak.

Identifikatu, esperimentu errazak eginez, eremu magnetikoaren lerroak, haien intentsitatea eta ibilbidea.

Komunikazioko, hausnarketako eta gizarte-konpromisoko atazak, ikaskuntza-egoeran landutako alderdi bati buruzkoak.

Ikaskuntza-egoeran zehar egiten joan garen aurkezpena ere amaitu egin beharko dugu, eta aukeratu dugun plataforma digitalean argitaratu. Ikaskuntza-egoera amaitzeko, talde guztiek egindako posterren erakusketa egingo da, ikastetxean horrelakoak egiteko aukera ematen duen eremu batean. Erakusketaren izenburua «Eremu ezkutuak» izango da, eta hezkuntza-komunitateko gainerako kideek ikasleen lanak erraz ikusteko egokia den leku bat izan beharko du. BERRIKUSI ZURE KONPETENTZIAK ETA TALDE-LANA Landu dituzun konpetentziak eta zure taldeak proiektuan izan duen jarduna ebaluatzeko, bete anayaharitza.es webgunean dagoen errubrika.

Identifikatu magnetikoetan oinarritutako gailu teknologikoak, eta azaldu haien funtzionamendua, fisikako legeen bidez.

Ikertu indukziofenomenoak agerian jartzen dituzten esperimentu sinpleez, gure esperimentua prestatzeko.

Identifikatu indukziofenomenoetan oinarritutako gailu teknologikoak eta azaldu haien funtzionamendua.

Osatu aurkezpena, poster zientifikoa diseinatzeko informazio garrantzitsua erantsiz.

Diagnosirako tresnen proposamenak ( anayaharitza. es webgunean daude eskuragarri) honako hauen autoebaluazioa egin dezazun: konpetentziak zenbateraino eskuratu dituzun, nola planifikatu dituzun atazak, eta nola egin duzun lan taldean, ikaskuntza-sekuentzian zehar.

Unitatearen sarrera

Zertarako ikasi...? Unitate bakoitzaren hasieran, testu labur bat dago, zientziaren, teknologiaren eta gizartearen arteko erlazioak jakiteko aukera emango dizuna. Eta nola egiten du hori? Unitateko edukiarekin lotuta dagoen aplikazio garrantzitsuren baten bidez, zientzia horiek gure bizitzan duten garrantzia aintzat har dezazun.

Erlatibitatearen teoria berezia

ZIENTZIA GERRA-GARAIAN

Albert Einstein Alemanian bizi izan zen bere bizitzaren zati handienean. Fisikari egin zizkion lehen ekarpenak, erlatibitatearen teoria eta efektu fotoelektrikoaren azalpena, hain izan ziren berritzaileak bere garaian, ezen komunitate zientifikoak denbora behar izan baitzuen haiek onartzeko. Baina bizitzan izan zuen oztopo handiena ez zen arrazoi zientifikoengatik izan, judua izateagatik baizik. 1933. urtean, Hitler boterera iritsi zenean Alemanian, juduen kontrako neurriak ezartzen hasi zen, eta denborarekin baretu beharrean, gogortu ere egin ziren. Urte gutxitan, eta komunitate zientifikoaren laguntzari edota kontra ez egiteari esker, zientziaariar bat garatuz joan zen. Erlatibitatea arbuiatu egin zen, zientziajudua zelako, eta Einsteinen gaineko presioa gero eta handiagoa bihurtu zen, jasanezina egiteraino. Baina, gertaerei aurrea hartuta, 1932. urtearen amaieran, ihes egin zuen AEBra. Zorionekoa izan zen, gehienek ez baitzuten halako zortea izan, eta kontzentrazioesparruetara bidali baitzituzten. Oraindik orain, pertsona askok ihes egin behar izaten dute beren herrialdeetatik, arraza, sinesmena edo erlijioa dela eta.

Gogoeta, taldeka. Ikusi Garapen Jasangarrirako Helburuak eta parte hartu mundu berdinagoa eta bizitzeko hobea lortzeko dugun konpromisoarekin.

290

Google Data Public Explorer https://www.google. com/publicdata/directory tresna erabiliz, bilatu Lehen Hezkuntzan eskolaratze-indize txikienak dituzten munduko lekuak. Aukeratu balio txikienak dituzten bi eskualdeak, eta hautatu problematika handiena duten herrialdeak (kontuan izan herrialde batzuetako errealitateari buruzko informaziorik ez dagoela).

2 Lotu datu horiek herrialde horietako egoera ekonomikoarekin eta bizi dituzten gatazkekin. Horretarako, oso lagungarriak

Zer aurkituko duzu?

Unitate honetan Zientzia gerra-garaian 1. Sistema inertzialak. Galileoren erlatibitatearen printzipioa

2. Eterraren bila. Michelson-Morley esperimentua

3. Erlatibitate bereziaren postulatuak

4. Lorentzen transformazioak

5. Dinamika erlatibista IKTak. Fisika modernorako laborategi birtualak Problemak ebazteko estrategiak

anayaharitza.es webgunean

Motibatzeko: Bideoa: «Hasi baino lehen». Lehendik dakizuna detektatzeko: Aurkezpena: «Zer jakin behar duzun». Ikasteko: Aurkezpena: «Ikasteko». Ebaluatzeko: Amaierako autoebaluazioa. Ariketen soluzioak. Eta, horrez gain, proiektuko gakoak aplikatzeko beharrezkoa den dokumentazio guztia.

Unitateko edukiak eta baliabide digitalak.

291

Unitateari dagokion ikaskuntza-egoerari erreferentzia, lantzen diren edukiak non aplika ditzakezun jakin dezazun.

Honelakoa da zure proiektu digitala

Proiektuak ikasturteko eduki guztiak eskaintzen dizkizu, baina, horrez gain, baita beste hainbat baliabide ere.

Ikasteko beste modu bat da, erraza, intuitiboa eta edozein plataforma eta gailurekin bateragarria.

Nola sartu?

Liburuaren lehen orrialdearen ondoan duzu hartara sartzeko beharrezkoak diren jarraibideak.

160

1.1. Higidura oszilatorioa Aurreko ikasturtean ikusi genuen bezala, higidura oszilatorioa honela defini dezakegu: partikula batek orekaposizio baten alde batera eta bestera egiten duen higidura periodikoa. Esate baterako, pendulu baten muturrak edo malguki batetik eskegitako masa batek bere orekaegoeraren inguruan egiten duen balantza-higidura. Periodoa oso txikia bada, higidurari bibrazio-higidura esaten zaio. Higidura oszilatorioa periodikoa da ^posizioak errepikatzen ditu denboran zehar), eta horregatik erraza da funtzio harmonikoen bidez deskribatzea, sinuaren eta kosinuaren bidez, esaterako. Jarraian, higidura harmoniko sinpleena landuko dugu.

1.2. Higidura harmoniko sinplea (HHSa) Partikula batek higidura harmoniko sinplea du O puntuaren inguruan —aukeratutako erreferentzia-sistemako jatorria da—, haren higidura ekuazio hauetako baten bidez deskriba badaiteke: xt = A sin ^ω + ϕ x ^ h A cos ^ω + ϕ0h Sinu eta kosinu funtzioak erabil ditzakegu, bata zein bestea, adierazpen grafiko berbera baitute; baina kosinu funtzioaren adierazpena sinu-funtzioarenarekiko /2 atzeratuta dago, hau da:

HHSaren magnitudeak Anplitude eta maiztasun konstanteko HHSa duten partikulei osziladore harmoniko deritze. Jarraian, higidura mota horretan agertzen diren magnitudeen berrikusketa labur bat egingo dugu:

Elongazioa (x): partikulak O puntuarekiko oreka-posizioa duen posizioa da. Luzera-unitatetan neurtzen da (m-tan edo cm-tan, esaterako).

Anplitudea (A): elongazioaren balio maximoa da. Luze-

ra-unitatetan neurtzen da (m-tan edo cm-tan, esaterako).

Maiztasuna ( ): segundoko oszilazio kopurua da. Hertzetan ^Hzh neurtzen da. Periodoa T ): oszilazio oso baten iraupena da. Segundotan neurtzen da. Maiztasun angeluarra ω): maiztasuna da, rad/s-tan neurtuta. 2 π s-tan egiten diren oszilazio kopuru gisa ere definitzen da. Adierazpen honen bidez lotzen da maizta-

sunarekin: = 2 π

Fasea (ϕ): sinu edo kosinu funtzioaren argumentua da, hots, ω t + ϕ eta radianetan neurtzen da. Faseak = 0 denean duen balioari hasierako fase, ϕ deritzo, eta une horretan elongazioak zer balio duen esaten digu (maximoa den, minimoa den, partikula jatorritik pasatzen den, etab.h Hasierako fase positiboak funtzioak fasea zero denean izango duen formaren aurrerapen bat adierazten du, eta hasierako fase negatiboak, atzerapena.

1.3. HHSaren zinematika Abiapuntu moduan, HHSaren ekuazioa sinu moduan hartuko dugu: ^ h A sin ^ ϕ h HHSa duen partikula baten abiadura eta azelerazioa kalkulatzeko, aldiuneko azelerazioaren eta abiaduraren adierazpenak erabiliko ditugu (aurreko ikasturtean ikusi genituen): = t d d eta a = v d d Abiadura Adierazpen honek emango digu abiaduraren ekuazioa denboraren mende: v ^ h = x d d = ω A cos ^ω + ϕ0 Abiadura posizioaren mende idatz dezakegu, erlazio hau kontuan hartuta: cos ^ω + ϕ h + sin ^ω t + ϕ h = 1 eta hortik: ^ + ϕ h – t 1s n·~z` Abiaduraren adierazpenean kosinua ordeztuz, hau lortuko dugu: v ^ h = ω A –1s n·~z + j v ^ h = ω – ·i AA sn 22 2 0~z + ` j Eta kontuan izanda h A sin ^ω + ϕ dela: v = ω Ax –22

Abiaduraren dezakegu: Hau oreka abiadura Azelerazioa Azelerazioa adierazpena Hau azelerazioa Azeleraziorako tik, Hau O posiziorako oreka-posizioan.

Zer eskaintzen dizu?

Hainbat baliabide ditu, paperezko liburuaren kopia bat baino askoz gehiago da.

Hau egin ahal izango duzu:

Lan egin jarduera interaktiboekin

Estudiatu laburpen interaktiboak, eskemak...

Ikasi

bideoak, infografiak...

Ebaluatu autoebaluazioa, portfolioa...

Nolakoa da?

Erantzun global bat, hezkuntza-ingurune anitz baterako.

Intuitiboa

Erabiltzen oso erraza.

Gailu anitzekoa

Edozein gailu motatan (ordenagailuan, tabletan, smarphonean…) egokitzen eta ikuskatzen da, pantailaren edozein tamaina eta bereizmenetan.

Deskargagarria

Aukera ematen du Interneteko konexiorik gabe lan egiteko eta gailu batean baino gehiagotan deskargatzeko.

Sinkronizagarria

Erabiltzaileak egiten dituen aldaketak berez sinkronizatzen dira, lan egiteko erabilitako edozein gailu konektatzean.

Unibertsala

Bateragarria da ikastetxeetan gehien erabiltzen diren sistema eragileekin, ikaskuntzako inguru birtualekin (IIB) eta hezkuntzaplataformekin (LMS).

Hasi baino lehen

Ezagutu zure erronkak

IKASKUNTZA-EGOERA

NOLAKOAK DIRA?

Ikaskuntza-egoeren hiru proposamen daude, bat hiruhileko bakoitzeko:

• Ezagutzak, jarrerak eta trebetasunak abian jartzeko pentsatuta, eta jakintzen trukea eta zure konpetentzien garapena sustatzeko.

• 2030ko Garapen jasangarrirako helburuekin konprometituak.

• Hurbilak eta zure benetako mundua eta esperientziak errespetatzen dituztenak.

• Egitura argi eta soilekoak, ongi jakin dezazun zer ataza eta jarduera egin behar dituzun.

NOLA LANDUKO DITUZU ERRONKAK?

ERRONKA BAKOITZEAN HAU IZANGO DUZU:

IKASKUNTZA-EGOERA EZKUTUKO EREMUAK GARA

Fisikaren irakaskuntza-ikaskuntza prozesuan ezinbestean aurre egin behar diogun erronketako bat da naturan dauden eremuei buruz ikasitakoa gizartearen garapenari egin diezaiokeen ekarpenarekin lotzea. Hori dela eta, behar-beharrezkoa da zenbait estrategia diseinatzea, alderdi kontzeptualaren eta alderdi praktikoaren arteko lotura hori topatzeko. Fisikaz inguratuta bizi gara, baina gai al gara fisika non dagoen ikusteko? Galdera horri erantzuteko, pausagune bat egin beharko dugu, eta inguruneari begiratu, inguratzen gaituzten indar motak eta haien jatorria zein den ohartzeko. Erronka poster zientifiko bat diseinatzea izango da. Hartan, eremu grabitatorioak, eremu elektrikoak eta eremu magnetikoak eratzen dituzten indarretan oinarritutako gailu teknologikoen informazioa bildu beharko da. Ikaskuntza-egoeraren amaieran, gai izango gara gure posterra jendaurrean aurkeztu eta gure aurkezpenaren informazioa plataforma digital batez partekatzeko. Hala, hedapena emango diogu egin dugun lanari. Bi produktu horien konbinazioaren helburua argia da: ikasi ditugun kontzeptu eta lege fisikoen eta haien aplikazio praktikoaren arteko lotura aurkitzea, inguratzen gaituen teknologia garatzeko. Horrez

UTZI ZURE ITZALA Puntu honetara iritsita, material asko daukagu, hiruhilekoan zehar prestatzen joan garena, baina azken urratsa falta zaigu. Poster bat egin behar dugu, «ez nire sateliterik gabe» eta «eremuak I, II eta III» jardueretan aukeratu ditugun gailuak han sartzeko. Horretarako, eskura dugun edozein aplikazio erabiliko dugu. Posterrean txertatu beharreko informazioa, argazkiak, eskemak eta abar, eta haren diseinua bera, lantaldean adostuko dira. Posterraren goiko aldean, lanaren izenburuak joan beharko du, taldeko kideen izen-abizenak, lanaren laburpen txiki bat, eta QR kode bat, plataforma digitalean argitaratu dugun aurkezpenera ematen duena. Posterraren neurria ere taldean adostuko da. Ikaskuntza-egoeran zehar egiten joan garen aurkezpena ere amaitu egin beharko dugu, eta aukeratu dugun plataforma digitalean argitaratu. Ikaskuntza-egoera amaitzeko, talde guztiek egindako posterren erakusketa egingo da, ikastetxean horrelakoak egiteko aukera ematen duen eremu batean. Erakusketaren izenburua «Eremu ezkutuak» izango da, eta hezkuntza-komunitateko gainerako kideek ikasleen lanak erraz ikusteko egokia den leku bat izan beharko du. BERRIKUSI ZURE KONPETENTZIAK ETA TALDE-LANA Landu dituzun konpetentziak eta zure taldeak proiektuan izan duen jarduna ebaluatzeko, bete anayaharitza.es webgunean dagoen errubrika.

UNITATE BAKOITZAREN HASIERAN HAU TOPATUKO DUZU:

Eremu elektrostatikoa COULOMB, PARISTIK MIRESPENEZ

Zer aurkituko duzu?

Nork sartu zuen eremu kontzeptua? Zer da indar-eremu bat? Nola identifika dezakegu

Diseinatu definizioak, helburu duzun publikoaren beharretara egokitutako hizkuntza

taldean, sateliteen garrantziari buruz, eta hasi aurkezpena lantzen plataforma digital

Diseinatu elektrikoen existentzia frogatzeko esperimentu erraz bat. Grabatu bideoan

Osatu aurkezpena. Horretarako, bilatu legeen ezagutzan oinarritutako aplikazioak.

Identifikatu, esperimentu errazak eginez, eremu magnetikoaren lerroak, haien intentsitatea eta

Identifikatu magnetikoetan oinarritutako gailu teknologikoak, eta azaldu haien funtzionamendua, fisikako legeen bidez.

Ikertu indukziofenomenoak agerian jartzen dituzten esperimentu sinpleez, gure esperimentua prestatzeko.

Identifikatu indukziofenomenoetan oinarritutako gailu teknologikoak eta azaldu haien 1. unitatea 2. unitatea 3. unitatea 4. unitatea

Osatu aurkezpena, poster zientifikoa informazio garrantzitsua

Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806) fisikari frantsesa bere ohore-zentzuagatik eta tinkotasunagatik nabarmendu zen, bai eta, nola ez, elektroestatikari buruz egin zituen ikerketengatik ere. Horri esker, Frantziako jenio ugarietako bat izan da. Hain zuzen ere, haren izena Eiffel dorrearen lau fatxaden frisoan dago idatzita, «face école militaire» fatxadan, zehatz-mehatz. École Royale du Génie Mézières eskolan graduatu zen 1761eko azaroan, ingeniari militar gisa, teniente lehenaren graduarekin. 1774. urtean, Parisko Zientzia Akademiako korrespontsal bihurtu zen Coulomb. Beste batzuekin batera Akademiaren lehen saria jaso zuen, iparrorratz magnetikoei buruz idatzitako artikuluagatik, eta marruskadurari buruzko bere lan klasikoagatik ere lehen saria jaso zuen. 1777. urtean, Coulomben legea garatzen hasi zen fisikari frantsesa; izan ere, urte hartantxe asmatu eta egin zuen bihurdura-balantza, eta tresna horri esker, indar elektrostatikoaren propietateak zehaztu ahal izan zituen. Horretarako, Coulombek karga elektrikoa zuen esfera bat jarri zuen bihurdura-balantzaren alanbrearen muturrean, eta, ondoren, elektrikoki kargatutako beste esfera bat jarri zuen zenbait distantziatara; hala, distantziaren eta karga elektrikoaren aldagaiak kontuan hartuta, balantzaren barrak zer angelutan biratzen zuen neurtzeaz gain, kargen legea (edo Coulomben legea) ondorioztatu ahal izan zuen 1786an.

1907an, Frederick Cottrell estatubatuarrak lehen deskutsatzaileelektrostatikoa patentatu zuen. Denboraren poderioz, hobetu egin dute deskutsatzaile hori; gaur egun, arazketa elektrostatikorako hainbat prozedura eta tresna daude. Mahai-ingurua. Bilatu informazio gehiago Interneten, elementu teknologiko horri eta airea arazteko erabiltzen duen prozedurari buruz. 2 Asmakizun horrek ondorio positiboak izan ditzake GJHentzat. Identifikatu GJHen zer xederentzat izan daitekeen onuragarria. Pentsatu tresna hori erabiltzea eskatzen duen proiektu bat zure herrirako.

IKASKUNTZA-EGOERA 11 10

Unitate honetako edukiak eta jarduerak erabilgarriak izan daitezke «Eremu ezkutuak gara» proiektua egiteko. Liburuaren hasierako orrialdeetako eranskinean dago proiektu hori.

• Testu motibatzaile bat, hiruhilekoko unitateekin lotutako erronkak agerian jarriko dizkizuna.

• Ikaskuntza-egoera baten proposamena, GJH batekin edo gehiagorekin lotutakoa.

• Proposatutako egoeraren ikaskuntzasekuentzia.

Unitate honetan Coulomb, Paristik mirespenez 1. Materiaren izaera elektrikoa 2. Eremu elektrostatikoa 4. Energiari dela eta 5. Eremu elektrikoaren fluxua 7. Gaussen teoremaren aplikazioak 8. Eroale elektrikoen eremua eta potentziala 9. Eremu elektrostatikoaren eta grabitatorioaren arteko konparazioa Problemak ebazteko estrategiak anayaharitza.es webgunean Motibatzeko: Lehendik dakizuna detektatzeko: Aurkezpena: «Zer jakin behar duzun». Aurkezpena: «Ikasteko». Ebaluatzeko: Ariketen soluzioak. Eta, horrez gain, proiektuko gakoak aplikatzeko beharrezkoa den dokumentazio guztia.

• Dagokion ikaskuntza-egoeraren erreferentzia bat.

ZEIN DIRA?

• «Ezkutuko eremuak gara», lehen hiruhilekorako.

• «Uhinetan dantzan?», bigarren hiruhilekorako.

• «Zeinen eder entzuten den», hirugarren hiruhilekorako.

• Ikaskuntza-sekuentziako urrats bakoitzari heltzeko beharrezkoak diren azalpenak.

• Unitatean zehar ikaskuntza-egoeran egindako aurrerapenei buruzko gogoeta bat.

• Zure konpetentzien ebaluazio-proposamen bat, unitate bakoitzerako. anayaharitza.es webgunean deskargatu dezakezu.

• Komunikazioko eta gizarte-konpromisoko atazak, ikaskuntza-egoeran landutako alderdiren bati buruzkoak.

Zuretzat interesgarriak izan daitezkeen beste erronka-proposamen batzuk.

• Diagnosirako tresnen proposamenak (anayaharitza.es webgunean daude eskuragarri), honako hauen autoebaluazioa egin dezazun: nola planifikatu dituzun atazak, eta nola egin duzun lan taldean, ikaskuntza-sekuentzian zehar.

• Irteera-profilaren errubrika bat (anayaharitza.es webgunean dago eskuragarri), autoebaluazioa egin dezazun, jakiteko zenbateraino eskuratu dituzun konpetentziak, ikaskuntza-sekuentzian zehar.

ETA, HORREZ GAIN,

IKASKUNTZA-EGOERA

EZKUTUKO EREMUAK GARA

Fisikaren irakaskuntza-ikaskuntza prozesuan ezinbestean aurre egin behar diogun erronketako bat da naturan dauden eremuei buruz ikasitakoa gizartearen garapenari egin diezaiokeen ekarpenarekin lotzea. Hori dela eta, behar-beharrezkoa da zenbait estrategia diseinatzea, alderdi kontzeptualaren eta alderdi praktikoaren arteko lotura hori topatzeko.

Fisikaz inguratuta bizi gara, baina gai al gara fisika non dagoen ikusteko? Galdera horri erantzuteko, pausagune bat egin beharko dugu, eta inguruneari begiratu, inguratzen gaituzten indar motak eta haien jatorria zein den ohartzeko.

Erronka poster zientifiko bat diseinatzea izango da. Hartan, eremu grabitatorioak, eremu elektrikoak eta eremu magnetikoak eratzen dituzten indarretan oinarritutako gailu teknologikoen informazioa bildu beharko da.

Ikaskuntza-egoeraren amaieran, gai izango gara gure posterra jendaurrean aurkeztu eta gure aurkezpenaren informazioa plataforma digital batez partekatzeko. Hala, hedapena emango diogu egin dugun lanari.

Bi produktu horien konbinazioaren helburua argia da: ikasi ditugun kontzeptu eta lege fisikoen eta haien aplikazio praktikoaren arteko lotura aurkitzea, inguratzen gaituen teknologia garatzeko. Horrez gain, gai izan behar dugu informazio hori guztia mota askotako jendeari transmititzeko, zenbait komunikazio-bide erabiliz.

IKASKUNTZA-SEKUENTZIA

Erantzun: Nork sartu zuen eremu kontzeptua? Zer da indar-eremu bat? Nola identifika dezakegu eremu bat?

Diseinatu zure definizioak, helburu duzun publikoaren beharretara egokitutako hizkuntza erabiliz.

Hausnartu, taldean, sateliteen garrantziari

buruz, eta hasi aurkezpena lantzen plataforma digital batean.

Diseinatu eremu elektrikoen

existentzia frogatzeko esperimentu erraz bat. Grabatu bideoan eta editatu.

Osatu aurkezpena. Horretarako, bilatu elektrostatikaren legeen ezagutzan oinarritutako aplikazioak.

1. unitatea

2. unitatea

UTZI ZURE ITZALA

Puntu honetara iritsita, material asko daukagu, hiruhilekoan zehar prestatzen joan garena, baina azken urratsa falta zaigu. Poster bat egin behar dugu, «ez nire sateliterik gabe» eta «eremuak I, II eta III» jardueretan aukeratu ditugun gailuak han sartzeko. Horretarako, eskura dugun edozein aplikazio erabiliko dugu. Posterrean txertatu beharreko informazioa, argazkiak, eskemak eta abar, eta haren diseinua bera, lantaldean adostuko dira. Posterraren goiko aldean, lanaren izenburuak joan beharko du, taldeko kideen izen-abizenak, lanaren laburpen txiki bat, eta QR kode bat, plataforma digitalean argitaratu dugun aurkezpenera ematen duena. Posterraren neurria ere taldean adostuko da. Ikaskuntza-egoeran zehar egiten joan garen aurkezpena ere amaitu egin beharko dugu, eta aukeratu dugun plataforma digitalean argitaratu. Ikaskuntza-egoera amaitzeko, talde guztiek egindako posterren erakusketa egingo da, ikastetxean horrelakoak egiteko aukera ematen duen eremu batean. Erakusketaren izenburua «Eremu ezkutuak» izango da, eta hezkuntza-komunitateko gainerako kideek ikasleen lanak erraz ikusteko egokia den leku bat izan beharko du.

BERRIKUSI ZURE KONPETENTZIAK ETA TALDE-LANA

Landu dituzun konpetentziak eta zure taldeak proiektuan izan duen jarduna ebaluatzeko, bete anayaharitza.es webgunean dagoen errubrika.

Identifikatu, esperimentu errazak eginez, eremu magnetikoaren lerroak, haien intentsitatea eta ibilbidea.

Identifikatu eremu magnetikoetan oinarritutako gailu teknologikoak, eta azaldu haien funtzionamendua, fisikako legeen bidez.

Ikertu indukziofenomenoak agerian jartzen dituzten esperimentu sinpleez, gure esperimentua prestatzeko.

Identifikatu indukziofenomenoetan oinarritutako gailu teknologikoak eta azaldu haien funtzionamendua.

Osatu aurkezpena, poster zientifikoa diseinatzeko informazio garrantzitsua erantsiz.

3. unitatea

4. unitatea

Grabitazio-eremua

FISIKA, TEKNOLOGIA ETA GIZARTEA

GPSa ^GlobalPositionSystem edo posizionatze globaleko sistema, euskarazh aurrerapauso handi-handia izan da zientziaren, teknologiaren eta gizartearen alorretan; adibidez, galzoriko espezieak berriz sartu dira beren habitat naturaletan (esate baterako, katamotza eta ugatza), beste espezie askoren portaeran sakondu da, planetako edozein bazterretara bidaiatu daiteke, eta telefono mugikorraren kokapena ere jakin daiteke, hura galtzen badugu edo lapurtzen badigute.

Haatik, agian sekula ez diozu zure buruari galdetu zer zientzia dagoen tresna teknologiko horren atzean. Hori jakiteko, sistema horrek funtzionatzeko zer behar den ezagutzea komeni da. Zehazki, GPSak 24 satelite behar ditu planetaren inguruan orbitatzen, gutxienez. Haien altitudea 20 180 km da, sei orbitatan antolatuta daude eta, bestalde, 1 400 km/h-ko abiaduran higitzen dira; abiadura horretan, egunean bi bira egin ditzakete Lurraren inguruan. Halaxe ziurtatzen da edozein GPS hargailuk gutxienez lau sateliteren seinalea jaso dezakeela aldi berean, beharrezkoak dira-eta hargailuaren posizioa eta denbora zehazteko. Zure ustetan, ikusirik zer elementu behar diren GPSak funtzionatzeko, Newtonek eta grabitazio unibertsalari buruzko haren legeak zerikusirik al dute GPSaren garapenarekin? Eta Einsteinek adierazitako erlatibitatearen teoriak ere loturarik duela iruditzen zaizu?

Rockwell International izeneko enpresa ^AEBh NAVSTAR-GPS ^NavigationSystem TimingandRanging-GlobalPositioningSystemh programaren lehen faserako hautatu zuten 1974ko ekainean. Aste batzuk geroago, 1974ko uztailaren 14an, GPS saileko lehen satelitea orbitara bidali zen.

1 Alderdi guztiak aztertu. Bilatu elementu teknologiko horri buruzko informazio gehiago Interneten. Horren ostean, identifikatu zer ondorio izan dituzten grabitazio unibertsalaren legeak eta erlatibitatearen teoriak, hura asmatu ahal izateko.

2 Taldeen arteko orri birakaria. Unitatearen hasierako testuan, GPSaren erabilera batzuk deskribatu dira. Bilatu GPSaren beste erabilera bat, gutxienez. Amaitzen duzunean, lotu erabilera hura GJH batekin eta horren xede batekin edo gehiagorekin.

GJH KONPROMISOA

IKASKUNTZA-EGOERA

MENDIRA ZATOZ?

Unitate honetako edukiak eta jarduerak oso erabilgarriak

izan daitezke «Ezkutuko eremuak gara» proiektua egiteko. Liburuaren hasierako orrialdeetako eranskinean dago proiektu hori.

Zer aurkituko duzu?

Unitate honetan

• Fisika, teknologia eta gizartea

1. Grabitazio-eremua

2. Lana

3. Grabitazio-eremua kontserbakorra da

4. Masa puntual baten potentziala eta energia potentziala

5. Lurraren grabitazio-eremua

6. Energia dela eta

7. Orbitak

8. Newtonen grabitateari buruzko teoriaren mugak

9. Erlatibitatearen teoria orokorra

• Problemak ebazteko estrategiak

anayaharitza.es webgunean

Motibatzeko:

• Bideoa: «Hasi baino lehen».

Lehendik dakizuna detektatzeko:

• Aurkezpena: «Zer jakin behar duzun».

Ikasteko:

• Aurkezpena: «Ikasteko».

• Simulazioak: «Bektoreak gehitzea», «Grabitatea eta orbitak», «Keplerren lehen legea», «Keplerren bigarren legea»

Ebaluatzeko:

• Amaierako autoebaluazioa.

• Ariketen soluzioak.

Eta, horrez gain, proiektuko gakoak aplikatzeko beharrezkoa den dokumentazio guztia.

Grabitazio-eremua

1.1. Newtonen grabitazio unibertsalaren legea

Isaac Newton ingeles fisikari eta matematikariak grabitazio unibertsalaren legea argitaratu zuen xvii  mendean. Gorputz guztiek elkar erakartzen dutela aurkitu zuen, materiaz eginda egoteagatik besterik ez. Grabitazio-indarra, zehazki, erakarpen-indar ahul-ahul bat da, urrutira jarduten duena. Interakzioan dauden bi gorputzetako baten masa handi-handia denean soilik hauteman daiteke; kometa, satelitea, planeta, izarra... bada, adibidez..

Bere legean, Newtonek hau adierazi zuen: bi gorputzen arteko erakarpen-indarra zuzenean proportzionala da bi gorputzen masen biderkadurarekiko, eta alderantziz proportzionala bi gorputzen arteko distantziaren berbidurarekiko. Demagun mA eta mB masa puntualen arteko distantzia r dela. Haien arteko erakarpen-indarra hau izango da: G m F r mAB g = 2

Masa puntual esaten zaie elkarren artean duten distantziarekin alderatuta tamaina baztergarria duten gorputzei. G, berriz, konstante unibertsal bat da ^ez du axola zerez eginda dauden masa handiko gorputzakh. Haren balioa oso txikia da:

, G 66710 kg Nm 11 2 –= 2

Grabitazio-indarraren izaera bektoriala kontuan hartu nahi badugu, zer norabidetan eta zer noranzkotan jarduten duen adierazi beharko dugu.

Horretarako, Fg-ren modulua bider dagozkion norabidea eta noranzkoa dituen bektore unitarioa (modulua bat da) egingo dugu.

Nola egin behar den ikusten da behean, ezkerreko irudian. Hartara, kalkulatu nahi baldin badugu zer indar eragiten dion mA masak ^A  puntuanh mB masari ^B  puntuanh, jakin behar dugu zenbat den A-tik B-ra doan bektorea: AB r " . Bektore horren koordenatuekin, modulua kalkulatu ahalko dugu, ABr , baita AB r " -ren norabidea eta noranzkoa dituen bektore unitario bat ere:

AB u r r = AB " "

AB

Grabitatearen adierazpen bektoriala honela idatziko dugu:

" "

– G r mm Fu AB g = AB 2

AB

Minus zeinua idatzi behar da, F g " -ren noranzkoa eta u AB " bektore unitarioarena kontrakoak direlako.

Newtonen hirugarren legeari jarraituz, mB masak ere indarra egiten dio mA-ri. Horren bektorea aurrekoaren kontrakoa da, eta ez da irudian adierazi.

Eman dezagun ml masa bat dagoela, masa lekuko deritzoguna. Espazioan zehar banatuta dauden hainbat masaren grabitazio-ekintzaren eraginpean dago. Masa horri eragiten zaion indar garbia kalkulatze aldera, gainezarpenaren printzipioa aplikatuko dugu; indar garbia masa lekukoari masa guztiek beren kabuz egiten dizkioten indarren batura bektoriala izango da.

Grabitazio-indarraren izaera bektoriala

Gainezarpenaren printzipioa Grabitazio-indarraren irudikapen bektoriala

Indarrak zenbat diren jakiteko, kalkulu bektorialak egin behar dira. Gogoratu nola lortzen diren AB r " bektorearen koordenatuak: egin B  puntuaren posizio-bektorea, OB " , ken A  puntuarena, OA " . Alegia: AB r "  =  OB " – OA "

Gainezarpenaren printzipioa bete egiten da, hainbat masa puntualek ml masa lekukoari eragiten diotenean. Masa lekukoari eragiten dioten indarrak besterik ez dira adierazi goiko irudian.

Ebatzitako ariketa

1 Demagun 10 kg-ko masa bat dagoela, zehazki, A  = ^−0,5; 0,9h m puntuan, eta 12 kg-ko beste bat, berriz, B = ^−0,9; −1,0h m puntuan. Bestalde, 2 kg-ko masa lekuko bat jarri da C = ^0,2; −0,4h m puntuan. Idatzi nolakoa den masa lekukoari eragiten zaion grabitazio-indarraren adierazpen bektoriala. Gero, adierazi indarra; erabili modulua eta X ardatzarekin eratzen duen angelua. Ebazpena Egoera

Eta

Ikusten denez, indar txiki-txiki bat da, eta, oro har, gure bizimoduan, ez gara hura hautemateko gauza.

Indar garbiak angelu hau eratzen du X ardatzarekin:

1 Demagun Lur planeta koordenatu-jatorrian dagoen masa puntual bat dela, eta masa 6 · 1024 kg dela. Zer adierazpen bektorial izango du indarrak, 60 kg-ko gorputz bati eragiten badio ^4 855, 4 132h km-an?

2 Kalkulatu zer indar eragiten dioten ^−0,4; 0,6h m puntuan dagoen 10 kg-ko masa bati m1 = 500 kg eta m2 = 600 kg masek. Masa horiek ^0,8; 0,9h m eta ^0; 0,1h m puntuetan daude, hurrenez hurren, eta puntualak dira.

Angelua ikusteko, ardatz osagarriak irudikatuko ditugu indar garbiaren jatorrian.

Ariketak

1.2. Grabitazio-eremuaren

kontzeptua

Espazioan dagoen masa bat edo gehiago aztertuko ditugu; masa iturriak izango dira (beheko koadroko irudietan, goian ezkerrean). Masa lekuko bat (ml balioa duena) masa iturriaren inguruko espazioaren edozein puntutan jartzen badugu, grabitazio-indar garbiak eragingo dio: F g "

Masa lekuko bat kokatzen dugunean, pentsa dezakegu grabitazio-indar baten modura agertzen den propietate bat dagoela espazioaren puntu bakoitzean. Propietate horri grabitazio-eremu, g " , deritzogu, eta, zehazki, espazioaren puntu bakoitzean masa lekukoaren unitate bakoitzeko eragiten den indarra da (beheko koadroko irudietan, goian eskuinean):

lm F g = g " "

SI sisteman, N/kg da grabitazio-eremuaren unitatea; hots, zenbat newtonekin tira egingo duen eremuak jartzen den masa lekukoaren kilogramo bakoitzetik.

Eremu bektorial bat da, puntu bakoitzean definituta dagoen balioa ere bektoriala delako (beheko koadroko irudietan, behean ezkerrean).

1.3. Masa puntual baten grabitazio-eremua

Newtonen grabitazio unibertsalaren legeak dio honela adierazten dela m masa iturri batek ml masa lekuko bati eragiten dion indarra, haien arteko distantzia r baldin bada:

Beraz, m masa iturriak grabitazio-eremu hau eratzen du masa lekukoa kokatuta dagoen r distantziara:

Masa iturriaren balioaren eta distantziaren mendean dago grabitazio-eremua (beheko koadroko irudietan, behean eskuinean).

1.4. Eremu bektorialak irudikatzea

Eremu bektorial bat (grabitazio-eremua, adibidez) espazioan zehar nola banatzen den hobeto ikusteko, eremulerroak erabiltzen dira. Eremu-lerro horiek eremuaren

Masa iturri guztien artean, indar garbia eragiten diote ml masa lekukoari.

Puntu bateko grabitazio-eremua da masa lekukoaren kilogramo bakoitzetik tira egiten duen indarra.

Eremuaren balio bat dago espazioaren puntu bakoitzean Masa puntual batek eratutako eremua zentrala da

Aztertzen dugun espazioaren puntuetako bakoitzean, balio bat definiturik dago grabitazio-eremurako.

Eremuko bektoreak masari begira daude modu erradialean, eta modulua alderantziz proportzionala da r-ren berbidurarekin.

tangenteak dira espazioaren puntu guztietan. Masa puntuala baldin bada, masari begiratzen dioten lerro erradialak dira (ezkerreko irudia).

Grabitazio-eremuan, masa baten eremu-lerroak erradialak dira, eta balioa masa iturriarekiko distantziaren mendean dago soilik. Horrelako eremuei eremu zentralak esaten zaie. Horrenbestez, grabitazio-eremua zentrala

da. Eremuarekin lotuta dauden grabitazio-indarrei ere indar zentral esaten zaie.

Gainezarpenaren printzipioa dela eta, zenbait masa bata bestetik hurbil daudenean, eremu-indarrak kurba bihurtzen dira espazioan (eskuineko irudia).

Lerroen dentsitatea zenbat eta handiagoa izan, orduan eta balio handiagoa du eremuak.

Eremu-lerroak

Zenbait masaren eremu-lerroak Masa puntual baten eremu-lerroak

Eremua masa iturriari begira dago, eta horregatik begiratzen diote puntu bati eremu-lerroek. Eremu zentral bat da.

Eremu-lerroak lagungarriak dira eremua espazioan zehar nola banatzen den ikusteko.

2 Masa bat, 500 kg-koa, A = ^−1, 1h m posizioan dago. Kalkulatu grabitazio-eremua B =  ^3, 2h m. Adierazi emaitza modulua eta X ardatzarekiko angelua idatziz ere.

Ebazpena

Egoera hau da:

Ariketak

3 Kalkulatu A = ^−1,0; 0,0h m puntuko m1 = 600 kg eta

B  =  ^0,0; 0,5h m puntuko m2 = 1 000 kg masek eratzen duten grabitazio-eremua, C = ^0,2; −0,4h m-an.

r " bektorea kalkulatuko dugu:

(, )( ,) () rOBOAij 32 11 4m == =+ " "" ""

–

Bektore unitario honek r "-ren norabide bera du:

+ = + " " "" ""

r r u ijij 41 4 17 4 22 == +

B puntuan, grabitazio-eremua hau da:

2 –, G r m gu ij 66710 17 500 17 4 –11 . == + "" ""

(, ,)ij 19 05 10 N/kg –9 . ""

Eremuaren modulua eta X ardatzarekiko angelua hauek dira:

(, )( ,) , g 19 05 10 20 10 N 22 99 . =+

θ –an , , ,° an g g 19 05 1947 arct arct –. == y x

4 Nola aldatuko litzateke m masa puntual batek r distantziara eratzen duen eremua, masa bikoiztuko balitz eta eremua distantzia bikoitzera neurtuko bagenu?

Ebatzitako ariketa

2.1. Indar konstante baten lana

Lanaren kontzeptua beste ikasturte batzuetan ere ikasi dugu. Demagun A puntutik B puntura higitzen ari den gorputz bat dugula, ibilbide osoan F " indar konstante bat egiten ari zaiola. Gorputz horretan, F " indarra W lana egiten ari da. Honela definitzen da lan hori:

WF AB = " ∆ l "

Adierazpen horretan, ∆ l " desplazamendu-bektorea da, A-tik B-raino (ezkerreko irudietan, lehena). SI sisteman, unitatea joulea da (J); hots, N · m. Lana adierazteko beste modu bat hau da:

WAB = F · ∆l · cos ϕ

Adierazpen horretan, ϕ indarrak eta desplazamendubektoreak eratzen duten angelua da.

Lanak zer zeinu duen, jakin dezakegu ea lanak, batez ere, higidurari laguntzen dion edo, aitzitik, hura oztopatzen duen (eskuineko irudia):

• Baldin eta cos ϕ > 0 → ϕ < 90 ° bada: indarrak higiduraren alde bultzatzen du.

• Baldin eta cos ϕ < 0 → ϕ > 90 ° bada: indarrak higidura oztopatzeko moduan bultzatzen du.

• Baldin eta cos ϕ = 0 → ϕ = 90 ° bada: indarrak ez dio higidurari laguntzen, eta oztopatzen ere ez.

Lanaren kontzeptua

Indar konstante baten lana

2.2. Indar aldakor baten lana

Kasurik ohikoena da gorputza A-tik B-raino desplazatzea, ibilbidean zehar indarra aldatzen den bitartean. Horrelakoetan, ezin dugu lana definitu aurreko atalean definitu dugun bezala. Horretarako, beste modu batean jokatzen da: ibilbide osoa d l " desplazamendu infinitesimaletan zatitzen da. Nahiz eta zuzenak diren, txiki-txikiak dira, eta, hala, ibilbideari ezin hobeki egokitzen zaizkio, eta indarrak konstante jarraitzen du haien luzera infinitesimal osoosoan. Orain, desplazamendu infinitesimal bakoitzerako, lana defini dezakegu. Lan infinitesimal esaten zaio horri, eta d W erabiltzen da. Honela definituko dugu:

Guztizko lana lan infinitesimal horien guztien batura izango da, ibilbidea haietan deskonposatu dugu eta. Hori irudikatzeko, integralaren ikurra ^∫h erabiltzen dugu. S itxurako ikur berezi bat da, atzean datorrenaren A-tik B-rainoko batura jarraitua adierazten duena:

Batura jarraitua dela esaten dugu, ibilbidea ez dagoelako zati infinitesimaletan banatuta benetan, asmatu egin dugu ^ezkerreko irudietan, behekoah

Ez da pentsatu behar F indarra denik higidura eragiten duena, ezta gorputzari beste indarren batek eragiten ez dionik ere (eta halakorik balego, bere lana egingo luke).

Indar aldakor baten lana

Guztizko lana A-tik B-raino egiten diren lan infinitesimal guztien batura da.

Lehen kasuan, indarrak higidurari laguntzen dio, eta gorputza azeleratzeko joera du. Bigarrenean, higidura oztopatzen du, eta gorputza balaztatzeko joera du. Hirugarrenean, indarrak gorputza kurbatzeko joera du, azeleratu eta balaztatu gabe.

Ariketak

5 Puntu batetik beste batera doan gorputz bati bi indarrek eragiten diote, eta indar garbiaren lana zero da. Egoera horretan, zer ziurta dezakegu?

6 Egiaztatu. Gorputz bat desplazatzen ari da

A =  ^1, 2h m puntutik B  =  ^4, 9h m puntura. Higidura horretan, bi indar konstantek eragiten diote.

F 1 "  =  ^10 ·  i "  + 2 ·  j " h N eta F 2 "  =  ^−5 ·  i "  +  j " h N indarrek. Kalkulatu zer lan egiten duen indar bakoitzak, baita guztizko lana ere.

2.3. Lanaren interpretazio grafikoa

Aintzat hartuta llFFdd t = " " dela, eta, adierazpen horretan, Ft indarraren osagai tangentziala dela ibilbidearekiko, puntu bakoitzean (ezkerreko irudia), honela idatz daiteke puntu batetik bestera arteko lana:

l d WF ABA B t = y

Lana positiboa izango da, Ft desplazamenduaren noranzkoari begira badago; eta negatiboa, kontrakoan badago.

Adierazpen matematiko hori l d Ft biderketaren batuketa jarraitu bat da, ibilbide osoan zehar. Honela adieraz dezakegu:

WAB = Ft,1 · d l1 + Ft,2 · d l2 + … + Ft,i · d li

Indarraren osagai tangentziala

non Ft,i indarraren osagai tangentziala den; zehazki, d li luzeraren i-garren zatitxoan.

Ft hartzen doan balioak grafikoki irudika ditzakegu, gorputza igarotzen doan posizioaren funtzio gisa. Oro har, emaitza eskuineko irudiaren antzekoa izango da. Kurbak eta abzisa-ardatzak osatzen duten azalerari hurbiltzen zaio laukizuzenen azalera. Baina, egiatan, desplazamendu infinitesimalak egitean, laukizuzenak azalera horri ezin hobeto egokituko zaizkio. Hala, interpreta dezakegu indar batek egiten duen lana honen berdina dela: kurbak eta abzisa-ardatzak mugatutako azaleraren berdina. Lana positiboa edo negatiboa izango da, ardatzaren gainean edo azpian geratzen den.

Lanaren interpretazio grafikoa

Azalera lana da

Gerta daitezkeen guzti-guztien artean, bi desplazamendu infinitesimal besterik ez ditugu nabarmendu. Indarraren osagai tangentziala da lanari benetan laguntzen diona; hura positiboa edo negatiboa izan daiteke.

Ebatzitako ariketa

3 Mutur finko bat duen malguki baten konstante elastikoa k = 10 N/cm da. Indar bat eginez, malgukia 20 cm luzatu da. Kalkulatu zer indar berreskuratzaile egiten duen malgukiak desplazamendu horretan.

Ebazpena

Gogoratu Hookeren legea, lehengo ikasturtetik. Gorputz elastiko orok honako indar hau egiten du, forma berreskuratzeko:

Fe ^lh = −k · l

Adierazpen horretan, l malgukiaren eta oreka-posizioaren arteko distantzia da. Orekan, hau betetzen da: l = 0. l = 20 cm denean, indar elastikoa −200 N da.

7 Gorputz bat X ardatzean lekualdatu dugu, 0,5 m posiziotik 4,5 m-ra. Indarrak X ardatzaren norabidea eta noranzkoa ditu, eta modulua honen arabera aldatzen da: F ^xh = ^2 · x + 1h N, non x metrotan adierazita dagoen. Zer lan egiten du indarrak gorputzaren gain?

Ft,i · d li batugai bakoitzak laukizuzen baten azalera adierazten du. Positiboa da, abzisa-ardatzaren gainean badago; eta negatiboa, azpian badago. Azalerak bakoitza bere zeinuarekin batuz, grafikoaren abzisa-ardatzarekiko azalera lortuko dugu.

Indar elastikoa posizioaren funtzioa da, eta, irudikatuz gero, beherantz doan zuzen bat ikusten da:

Fe / N

Fe / N

l / cm 20

l / cm 20

–200

–200

Triangeluaren azalera ^negatiboah indar elastikoak egiten duen lana da. Datuak SI sistemako unitatetan idatzi behar dira:

WAB = − 2 1 0,20 · 200 = −20 J

8 Gorputz bat X ardatzean higitu da, −1 m posiziotik 5 m-ra. Indar batek eragiten dio, eta horren balioa x-ren mendeko funtzioa hau da: F " ^xh =  ^3 ·  x  + 2h ·  i " + ^2 ·  x − 1h ·  j " N, non x metrotan adierazita dagoen Zer lan egiten du indarrak gorputzaren gain?

Ariketak

Grabitazio-eremua kontserbakorra da

3.1. Grabitazio-indarraren lana

Demagun ml masa lekuko bat A puntutik B puntura dabilela, masa duten beste gorputz batzuen inguruan. Egoera horretan, grabitazio-indar bat eragingo zaio ibilbidearen puntu guztietan. Hortaz, grabitazio-indarrak lan bat egingo du masa lekukoan, ibilbidean zehar.

Frogatu daiteke lan hori ez dagoela ibilbidearen mende, baizik eta hasierako A puntuaren eta amaierako B puntuaren mende soilik (ezkerreko irudia):

SI sisteman, grabitazio-eremuaren zirkulazioaren unitatea N · m/kg = J/kg da.

Eta WAB ibilbidearen mende ez badago, CAB ere ez. Orduan, definizio hau egin daiteke:

Eremu bektorial bat kontserbakorra da, baldin eta haren zirkulazioa ibilbidearen mende ez badago.

l l llWFFdd ABA B A B gg 12

== " " " " yy

Beraz, ez dugu zertan l1 edo l2 adierazi bidea zehazteko. Zertxobait garatuz gero, emaitza hau da:

l llWFmgdd ABA B A B g == " " " " yy

Eta ml konstantea dela jakinik, integralak adierazten duen batuketa jarraitutik atera dezakegu:

ll l WmgmC d ABA B AB == " " y

Adierazpen horretan, grabitazio-eremuak A-tik B-raino egiten duen zirkulazioa honela definitzen da:

l Cg d ABA B / " " y

Lana ez dago ibilbidearen mendean

Eremu kontserbakorrarekin lotuta dauden indarrei indar kontserbakor deritzegu. Hala, grabitazio-indarrak kontserbakorrak dira, grabitazio-eremua ere halakoxea delako.

Definizio horren eraginez, indar kontserbakorrek egiten duten lana ez da ibilbidearen araberakoa izango.

Zirkulazioa B-tik A-raino kalkulatzen bada, aise ikusten da CBA  = −CAB dela, zeren l d " bektoreak aurrekoen kontrakoak baitira. Hori dela eta, eremu kontserbakor bateko edozein ibilbide itxitan zeharreko zirkulazioa kalkulatzen badugu, emaitza zero da beti (eskuineko irudia). Eremu kontserbakorraren beste definizio bat da hau:

CBA = ∮ l g 0 d= " "

Adierazpen horretan, ∮ ikurrak adierazten du integratzen den ibilbidea itxia dela.

Grabitazio-eremuaren lana

Ibilbide itxi orotan, zirkulazioa nulua da

Grabitazio-indarrak zentralak dira. Frogatu daiteke ezen, horren eraginez, egiten duten lana ez dagoela l1 bidetik edo l2 bidetik egitearen mendean.

Ariketak

9 Mahai-ingurua. Grabitazio-indarrak 20 J-ko lana egiten du 5 kg-ko masa batean, A puntutik B punturaino joateko.

a) Zenbat izango da eremuaren zirkulazioa, bi puntu horien artean?

b) Zer lan egingo du grabitazio-lanak, 10 kg-ko masa bat eramaten badu B-tik A-raino?

Eremu kontserbakor baten zirkulazioa A-tik B-raino, l1-etik, gehi B-tik A-rainoko zirkulazioa, l2-tik, zero da, zirkulazioa ez baitago ibilbidearen mendean.

10 Grabitazio-eremuaren zirkulazioa 4 J/kg da A-tik B-raino. C puntutik A-raino, berriz, zirkulazioa hau da: 6 J/kg.

a) Zenbat izango da zirkulazioa B-tik C-raino?

b) Gainera, badakigu eremuaren zirkulazioa −2 J/kg dela D puntutik A-raino. Orduan, zenbat izango da zirkulazioa C-tik D-raino?

3.2. Grabitazio-potentziala

Demagun grabitazio-eremu bat dagoela espazioko gune batean. Erreferentzia-puntu bat finkatu dezakegu espazioan, O esango dioguna. Hala, zenbaki bat esleitu diogu espazioko puntu bakoitzari, zuzenean; hau da, eskalar bat. A puntuari zer zenbaki dagokion jakiteko, zirkulazioa kalkulatu behar dugu A  puntutik O erreferentzia-punturaino. Balioa ongi esleituta geratzen da, zeren, dakigun bezala, emaitza ez baitago zirkulazioa kalkulatzeko erabiltzen dugun bidearen mendean (goiko irudietan, ezkerrekoa).

Espazioko puntu bakoitzean balio eskalar bat dagoenez, eremu eskalar bat dagoela ondorioztatzen da, eta hori grabitazio-potentziala da. Hura adierazteko, Vg idatziko dugu. Horrenbestez: () l VAg d A

Jakina, potentziala zero da O puntuan. Potentzialaren propietate garrantzitsu bat ikusiko dugu. Horretarako, A-tik O-rainoko zirkulazioa bi bidetatik kalkulatuko dugu (goiko irudietan, eskuinekoa). Dakigun bezala, emaitza berbera izango da:

Gehikuntzaren ikurra ^∆h erabiltzen badugu, ∆Vg idatziz gero, Vg-ren amaierako balioa ken hasierakoa adierazten ari gara; alegia, zenbat handitu den Vg. Beraz, aurreko formula honela idatz daiteke, sinplifikatuta:

Horrenbestez, eremu bektorial kontserbakor orok beste eremu bat du lotuta, eta eskalarra da: funtzio potentziala edo potentziala, besterik gabe. Zirkulazioarekiko goiko erlazioa bete egiten du eremu horrek.

Ez dago funtzio potentzial bakarra: aztertu nahi dugun O erreferentzia-puntu orok bere potentziala du, hain zuzen ere. Dena den, bi potentzialen arteko aldea konstante batukor bat da (beheko ezkerreko irudia). Horregatik, bi punturen arteko zirkulazioa eta potentzialaren gehikuntza berdin-berdinak dira, baina kontrako zeinua dute; berdin du zer O puntu hartzen den (beheko eskuineko irudia). Beraz, potentzialak puntu batean duen balioak ez du esanahi fisikorik; haren gehikuntzak, ordea, badu esanahi fisikoa.

Grabitazio-potentziala

Grabitazio-potentziala espazioko puntu batean

Zirkulazioaren eta potentzialaren arteko erlazioa

Espazioko puntu bakoitzari zenbaki bat eslei dakioke, eta hari esaten diogu grabitazio-potentzial.

Potentziala erreferentzia-puntuaren mende dago

Berdinak dira A-tik O-rainoko zirkulazioa eta A-tik B-rainokoa gehi B-tik O-rainokoa.

Potentzialaren gehikuntza absolutua da

Potentziala erreferentzia-puntuaren mende dago. Haren balioaren aldakuntza konstante batukor bat da, eta hori, hain justu, erreferentzia batetik besterako zirkulazioa da.

Potentzialaren gehikuntza ez dago erreferentzia-sistemaren mende. Hori dela eta, potentzialaren gehikuntzek soilik dute zentzua fisikoki, ez puntu batean duen balioak.

3.3. Energia potentzial grabitatorioa

Honela definitzen da ml masa batek Vg potentzialeko puntu batean duen energia potentzial grabitatorioa:

l EmV pg,g /

SI sisteman, unitatea joulea da: J.

Hortaz:

() llllEAmgmg

Alegia, grabitazio-indarrak egiten duen lana da, ml masa A-tik O-raino eramateko: () EAW , AO pg =

Potentzialarekin gertatzen den bezalaxe, potentzialerako hartzen den O  erreferentzia-puntuaren mende dago energia potentziala. Alabaina, gehikuntza horrekiko independentea da, eta hau betetzen da: – () () l FEAEB d ,, A B g pg pg = " " y –∆ WE , AB pg =

Emaitza horri energia potentzialaren teorema esaten zaio.

Erlazio hori honela ere idatz daiteke:

() ()EAWEB ,, AB pg pg =+

Hala, hobeto ulertzen da, A-ko energia potentzialari esker, eremuak lana egin dezakeela ml masan, B-raino eramateko. Eta sobera dagoen energia potentzial bat geratzen da B puntuan (ezkerreko irudia).

Hots, energia potentziala eremuak inguruko masei ematen dien energia da, haiek desplazatu ahal izateko.

Jakina, masa eremuaren noranzko berean higitzen bada, eremuaren lana positiboa izango da; horrek esan nahi du B puntuan geratzen den energia potentziala A-n zegoena baino txikiagoa dela: energia potentziala txikiagotzen da.

Baina litekeena da masa eremuaren kontrako noranzkorantz higitzea. Grabitazio-indarraz gain, masa lekukoa hala higitzera behartzen duten beste indar batzuk ere badaudelako gerta daiteke hori. Baliteke, orobat, masa lekukoaren hasierako abiadura eremuaren kontrakoa izatea. Horrelakoetan, eremuak egiten duen lana negatiboa da, eta, horrenbestez, B-ko energia potentziala A-koa baino handiagoa izango da; hau da, energia potentziala handitu egingo da (eskuineko irudia).

Masa-unitate bakoitzak duen energia potentzialaren gisara uler daiteke potentziala; hots, 1 kg-eko masa lekuko baterako energia potentziala.

11 Masa bat, 60 kg-koa, A-tik B-ra eraman dugu. A puntuan, potentziala −20 J/kg da; eta B puntuan, berriz, −10 J/kg.

a) Zenbat da eremuak egin duen lana?

b) Nola higitu da masa, eremuaren noranzkorantz ala aurkako noranzkorantz?

12 Zer dela eta diozu hori? Grabitazio-eremu batek −5 J/kg-ko lana egin du 4 kg-ko masa baten gainean.

a) Zer gertatu zaio energia potentzialari? Handitu ala txikitu egin da?

b) Erreferentzia horrekin, hasierako energia potentziala 11 J bada, zenbat izango da amaieran?

Ariketak

3.4. Gainazal ekipotentzialak

Grabitazio-eremu bat dagoen espazioko gune batean, potentzialaren eremu bat ere egongo da. Hortaz, bi eremu gainezarrita daude espazioan; lehena, bektoriala, eta bigarrena, eskalarra.

Eremu eskalarrak irudikatzeko, badakigu eremu-lerroak erabiltzen direla. Potentzialen eremu eskalarrak irudikatzeko, berriz, gainazal ekipotentzialak erabiltzen dira, potentzial bera duten puntu guztiak modu jarraituan lotzen dituzten gainazal batzuk. Potentzial-balioetarako berdinak diren tartetan marrazten da. Paper-orri batean marraztean, gainazalek eta paper-orriak eratzen dituzten ebakidura-puntuak ikusten ditugu (goiko irudia).

3.5. Bi eremuen arteko erlazioa

Aztertzen baldin badira g " uniformea den kasuak, l g d A B " " y = −∆Vg adierazpena honela laburtu daiteke:

l gVg $ = " "

Eta bete egiten da, nahiz eta eremua uniformea ez izan, baldin eta desplazamendua infinitesimala bada, l d " , eremua konstantea izateko moduan desplazamendu horretan: – l d gV d g = " "

Potentzialaren gehikuntza infinitesimala izango da: d Vg Adierazpen hori erabiliko dugu eremu-lerroen eta gainazal ekipotentzialen arteko erlazioa aurkitzeko:

• Demagun desplazamendu infinitesimal bat eginez higitzen ari garela, espazioko A puntu batetik abiatuta, l d " bektorearen norabidean, g " eremuarekin zut higitzeko moduan. Halatan, g "  ·  l d " biderkadura eskalarra zero da. Orduan, d Vg = 0 da, eta horrek esan nahi du gainazal ekipotentzial batean zehar higitu garela. Beraz, ondorioztatzen da eremu-lerroak eta gainazal ekipotentzialak elkarrekiko zutak direla (beheko ezkerreko irudia).

Gainazal bakoitza potentzial bati dagokio; tarte berdinetan marrazten dira.

• Demagun, orain, A puntutik eremuaren norabidean eta noranzkoan higitu garela. Orduan, g "  ·  l d " biderkadura eskalarrak baliorik handiena izango du ^positiboah, eta d Vg-k, baliorik txikiena ^negatiboah. Beraz, amaierako potentziala hasierakoa baino txikiagoa da. Beraz, ondorioztatuko dugu eremuaren bektoreak beherantz doazen potentzialei begiratzen diela (eskuineko irudia).

Eremuaren eta potentzialaren arteko erlazioa

Eremu-lerroen zutasuna

Eremu-lerroak eta gainazal ekipotentzialak elkarrekiko zutak dira.

Eremuaren bektoreak beherantz doazen potentzialei begiratzen die, eta, beraz, baita eremu-lerroek ere.

13 Pentsa dezakegu lurrazalaren gaineko grabitazioeremua 9,8 N/kg-ko bektore konstante bat dela, lurzorura begira dagoena. Zenbat aldatuko da potentziala, 10 m gora eginez gero? Eta horizontalean 10 m mugituz gero?

14 Grabitazio-eremu konstante bat dago X ardatzaren norabidean. Potentziala 0,9 J/kg handitzen da x  = 1 m posiziotik x  = 4 m-ra lekualdatzean. Zer noranzkotara begira dago eremua? Eremu horretan, zenbateko indarra eragingo zaio 2 kg-ko masa bati?

Eremuaren norabidea eta noranzkoa

Masa puntual baten potentziala eta energia potentziala

4.1. Masa puntual baten potentziala

Grabitazio-eremua zentrala denez gero, masa puntual baten eremu-lerroak erradialak dira, masari begira kokaturik. Gainera, gainazal ekipotentzialak eta eremu-lerroak elkarrekiko zutak direla ikusi dugunez, zentroan masa duten esferak izango dira, ezkerreko irudian ikusten den moduan.

Karga puntual batek eraturiko grabitazio-eremuaren adierazpena adierazi genuen 1.3 atalean:

2 –gG r m u = ""

Masa puntualetan, potentzialerako O erreferentziapuntua infinituan kokatu ohi da; hots, pentsatu nahi dugun bezain urruti dagoen edozein puntutan, non masaren eremua zero bihurtu baita.

Irizpide horri jarraituz (irizpide astronomiko esaten zaio), potentzialaren adierazpena idatziko dugu, masa puntual baterako. Puntu jakin bateko potentzialaren definizioa erabiliko dugu (3.2 atalean ikasi genuen), masatik rA distantziara dagoen edozein A puntutako potentzialaren adierazpena jakiteko: 2 – ()

Integralaren balioa ez dago bidearen mende; eta, beraz, A-tik abiatuko gara kanporantz eta modu erradialean. Hala, u " eta l d " paraleloak izango dira, eta noranzko berekoak. Biderketa eskalarra egiten denean, desplazamendu erradial infinitesimala lortuko dugu: dr.

Masa puntual baten gainazal ekipotentzialak

Gainazal ekipotentzialak esfera zentrokideak dira. Masa dago erdian, eta, haien artean, gero eta espazio handiagoa dago.

Integralean, G eta m konstanteak faktore komun gisa aterako ditugu. Emaitza hau da, hortaz: 2 3 – () VAGm r r 1 d r g A

$$ = y

Lortu dugun integrala ebazten erraza da. Oraindik ikasi ez badituzu, aurreratuko dizugu integralak deribatuen alderantzizko eragiketak direla. Emaitza −1/r da. Izan kontuan, deribatuz, emaitza 1/r 2 izango dela. Hala: –– () VAGm r 1 r g A

= 3 = G

Kako zuzenen artean gelditu den funtzioa rA-tik infinituraino ebaluatu behar da:

() VAGm r G r m 11 AA g 3 == c f m p > H

Masatik r distantziara dagoen edozein punturen potentzialak adierazpen hau izango du: –VG r m g =

Hortaz, erreferentzia infinituan badago, masa puntual batek grabitazio-potentzial negatiboa sortzen du inguruko espazio osoan, eta handituz doa, infinituan zero bihurtzen den arte (balio maximoa), ezkerreko irudian ikusten den bezala. Demagun zenbait masa daudela, edo masa zabalak, masa puntual elkartu ugariz osaturik daudela jo ditzakegunak. Potentziala jakiteko, gainezarpenaren printzipioa aplikatuko dugu.

Masa puntual baten grabitazio-potentziala

A puntuaren potentziala

Integrala kalkulatuko dugu A puntutik infinituraino, bide zuzen erradial bat eginez.

15 m masa puntual bat, r distantziara dago. Nola aldatuko da hark eratzen duen grabitazio-potentzialaren balioa, masaren balioa, bat-batean, erdira murrizten bada eta potentziala distantzia-erdira neurtzen badugu?

16 Kalkulatu zer distantzia dagoen 6 · 1024 kg-ko masa batera, grabitazio-potentzialak balio hauek baditu: −5 · 107, −4 · 107 eta −3 · 107 J/kg. Egiaztatu gainazal ekipotentzialen arteko espazioa handituz doala.

Ariketak

4.2. Masa puntual baten energia potentziala

Badakigu nolako erlazioa dagoen energia potentzial grabitatorioaren eta grabitazio-potentzialaren artean:

E , pg  = ml  · Vg

Adierazpen horretatik ondorioztatzen da masa lekukoaren unitate bakoitzak duen energia potentziala dela grabitaziopotentziala. Potentzialaren adierazpenaren ordez, masa batek sortzen duen potentziala idazten badugu, beste adierazpen bat lortuko dugu m masa baten r distantziara dagoen ml masa lekuko baten energia potentzialerako:

Ikusten denez, O erreferentzia-puntua infinituan kokatzen bada, energia potentziala negatiboa da.

Horrez gain, gogoan izan puntu batean masa lekuko batek duen energia potentzial grabitatorioa grabitazio-indarrak egiten duen lana dela, masa lekukoa puntu horretatik infinituraino eramateko. Negatiboa izanik, eremuak aurre egiten dio desplazamendu horri. Jakina, masek elkar erakartzen dute, eta elkartzeko joera dute.

4 Bi masa ditugu: m1 = 1 000 kg da, A = ^2, −1h m puntuan, eta, m2 = 4 000 kg, B =  ^0, 1h m puntuan. Kalkulatu grabitazio-potentziala P =  ^3, 0h m puntuan. Zer lan egingo du eremuak, ml = 10 kg masa lekukoa infinitutik P-raino eramateko?

Ebazpena Egoera hau da:

r1 " bektorea kalkulatuko dugu: ,, rOPOAij 30 21 m 1 == =+ " "" "" ^^ _ hh i

Modulua hau da: r 11 2m 1 =+22 =

P puntuan, m1 masaren eraginez, potentzial hau dago: –,, VGr m 66710 2 1000 43 10 kg J 1 1 1 11 8 g . ==

Ariketak

17 1-2-4. Masa bat, 1 000 kg-koa, A =  ^2, 4h m puntuan dago. Kalkulatu zer grabitazio-potentzial izango duen P =  ^−1, 1h m puntuan. Puntu horretan 5 kg-ko masa bat jarriko bagenu, zenbat izango litzateke energia potentziala? Zenbateko lana egin du eremuak, masa lekukoa infinitutik P punturaino eraman ahal izateko?

r2 " bektorea honelakoa da: –,, rOPOBij 30 01 3m 2 == = " "" "" ^^ _ hh i

Eta modulua, hau: – r 31 10 m 2 2 2 =+ = ^h

P puntuan, m2 masaren eraginez, potentzial hau dago: –,, VGr m 66710 10 4000 77 10 kg J 2 2 2 11 8 g . ==

Guztizko potentziala hau da: –

VVV V

=+ = =

,, ,

43 10 77 10 12 010 kg J 12 88 8 gg g g –

Orain ikusiko dugu zenbat den ml-ren energia potentziala

P puntuan:

Ep ^Ph = ml  · Vg = 10 · ^–12,0 · 10–8h = –120,0 · 10–8 J

Puntu jakin batean, berdinak dira masa lekuko baten energia potentziala eta eremuak masa lekukoa puntu horretatik infinituraino eramateko egiten duen lana. Horiek horrela, alderantzizko ibilbidean eremuak egiten duen lana energia potentzialaren bera izango da, baina kontrako zeinuarekin:

W∞P = –Ep ^Ph = +120,0 · 10–8 J

Lana txiki-txikia da, masak ere txikiak direlako. Eta positiboa da, eremuaren joera ml beste masetara hurbiltzea delako.

18 Bi masa, 20 eta 30 kg-koak, A =  ^0,5; 0,3h m eta B =  ^−0,2; 0,6h m puntuetan daude, hurrenez hurren. Kalkulatu potentziala P =  ^0,1; −0,2h m puntuan, eta zer lan egingo duen eremuak 2 kg-ko masa bat P puntutik infinituraino eramateko. Aitzitik, zer gertatuko litzateke 1 000 kg-ko masa bat eramango bagenu infinituraino, 2 kg-koaren ordez?

Ebatzitako ariketa

Lurraren grabitazio-eremua

5.1. Gorputz zabalen grabitazio-eremua

Demagun, masa puntual baten ordez, gorputz zabal bat dugula, forma jakin batekin. Haren inguruko edozein puntutako grabitazio-eremua jakin dezakegu, kontuan izanik gorputz zabala masa puntual askoren batura dela, eta gainezarpenaren printzipioa aplikatuz (ikusi ezkerreko irudia).

Nolakoa den gorputz zabala, kalkuluak oso konplexuak izan daitezke, edo analitikoki egin ezinezkoak ere bai. Horregatik, ordenagailu bidezko simulazioak egin behar izaten dira.

Simetria esferikoa duten gorputzen kasu zehatzean, frogatu daiteke berdin-berdinak direla esferaren kanpoko espazioan eratzen den grabitazio-eremua eta masa puntual batek eratzen duena, masa oso-osoa erdigunean jarriz gero.

Lurrak eta gainerako planetek simetria esferikoa dute, gutxi gorabehera. Hortaz, haien grabitazio-eremua jakin dezakegu, masa puntualak balira bezala.

5.2. Lurraren grabitazio-eremua

Hori guztia aintzat hartuta, Lurraren grabitazio-eremua adierazpen hau erabiliz kalkula daiteke: –gG r

M Lu L 2 = ""

Adierazpen horretan, jakina, ML Lurraren masa da, eta r, aldiz, Lurraren erdigunetik eremua kalkulatu nahi dugun kanpoko punturainoko distantzia. Bestalde, lurrazaleko eremuaren modulua, g ,L 0 , kalkulatzeko, Lurraren erradioa, RL, idatziko dugu, r-ren ordez:

gG R M ,L L

L 0 = 2

Kalkulu hori eginez gero, aurreko ikasturteetan ikusi dugun balioa lortuko dugu: , g 98 N/kg ,L 0 =

Modulu hori txikiagoa da Lurretik zenbat eta urrutiago egon, 1/r 2 adierazpenari jarraituz. Infinituan soilik bihurtzen da zero (eskuineko irudia).

Gorputz zabalen eremuak

Gorputz zabal baten grabitazio-eremua

Puntu bakoitzean, gorputz zabala osatzen duten puntu materialek eratzen duten eremuen batura da grabitazio-eremua: gainezarpenaren printzipioa.

19 Alderdi guztiak aztertu. Frogatu grabitazioeremua adierazteko unitatea, N/kg, azelerazioa adierazteko ere erabiltzen dela. Nola interpretatzen duzu hori?

20 Esfera homogeneo baten erradioa 20 km da, eta dentsitatea, 5 000 kg/m3. Kalkulatu esferaren gainazaleko grabitazio-eremua.

21 ISSa ^International Space Stationh 400 km-ko altueran dago. Zenbateko grabitatearen eraginpean daude han bizi diren astronautak? Zergatik flotatzen dute? Datuak: ML = 6 · 1024 kg; RL = 6,4 · 103 km.

9,8

Esferaren kanpoaldean, ezdabereizten zerk eratzen duen grabitazio-eremua, esfera batek edo masa puntual batek. Eremuaren modulua txikiagotzen da, 1/r 2 funtzioarekin.

22 Lurrazalaren zer altueratan da grabitatea 5 N/kg? Eta zer altueratan, berriz, 1 N/kg?

23 Kalkulatu Marteko gainazaleko grabitatea. Marte puztuko balitz Lurraren tamaina eduki arte, baina masa aldatu gabe, zenbat izango litzateke gainazaleko grabitate berria? Datuak: MM = 6,39 · 1023 kg; RM = 3 390 km; RL = 6,4 · 103 km.

24 Lurraren eta Ilargiaren artean, distantzia 384 400 km da erdigune batetik bestera. Lurrera bidean, Ilargiaren gainazaletik zer distantziatara da zero grabitatea? Datuak: MI = 7 · 1022 kg; RI = 1,7 · 103 km.

Lurraren grabitazio-eremua

Ariketak

5.3. Pisu indarra

Pisu esaten diogu gorputzak erakartzeko Lur planetak egiten duen grabitazio-indarrari. Definizio hori Ilargirako edo beste edozein astrorako ere erabil daiteke, noski. Lur planetak grabitazio-indar hau egingo dio ml masako gorputz bati: – lg l FmG r

Han, r-k Lurraren erradioa baino handiagoa izan behar du, edo berdina. Orduan, potentziala negatiboa da beti, eta handituz doa ^zifra negatiboa txikiagoa egitenh 1/r funtzioarekin, urrutiratu ahala, infinituan zero bilakatzen den arte.

Mm u , L L L 2 g == " "

Gogoratu: r ≥ RL. Pisu indarraren modulua txikiagotzen doa, distantzia handiagotu ahala, 1/r 2 funtzioari jarraituz. Baliorik handiena gainazalean lortzen da. Kasu honetan, zehazki:

FG R Mm mg ,, , L L

L L 0 2 0 g == l l → l Pmg ,L 0 =

Adierazpenean, gL 0 lurrazaleko grabitazio-eremua da ^grabitateah; hots, 9,8 N/kg. Adierazpen hori duela urte batzuk erabiltzen hasi ginen, ml masako gorputz batek planetaren gainazalean edo altuera txikian duen pisua kalkulatzeko (ezkerreko irudia).

5.4. Lurraren grabitazio-potentziala

Ez dago bereizterik simetria esferikoa duen gorputz baten kanpoaldeko grabitazio-potentziala, masa osoa erdigunean kontzentraturik dagoen egoeraren aldean. Hala, irizpide astronomikoari jarraitzen badiogu:

Esperimentuetan, lurrazaleko altuerak ^hh erabiltzen badira eta horiek Lurraren erradioa baino askoz txikiagoak badira ^h<<<RLh, laborategiko irizpidea baliatu ohi da, O erreferentzia lurzoruaren arrasean duena.

Kasu horretan, adierazpena hau da:

Potentzial hori positiboa da altuerak hau betetzen duenean: ^h > 0h. Negatiboa, berriz, honelako sakoneretan: ^h < 0h. Baina gogoratu h<<<RL betetzen denean soilik balio duela. Aurreko adierazpenak, ordea, beti balio du.

5.5. Energia potentziala

Hau da ml masako gorputz baten energia potentziala:

edo:

Zer irizpide erabiltzen den da kontua.

Gogoratu energia potentzialaren balioak ez duela esanahi fisikorik; haren gehikuntzak, bai. Eta minus eremuak egiten duen lana da, eta edozein dela ere hartutako irizpidea (eskuineko irudia).

Pisua eta energia potentzial grabitatorioa Gorputzen pisua

Pisu indarrak planetaren erdiguneari begiratzen dio beti. Eremuaren lana beti da −∆Ep, edozein irizpideri jarraituta ere.

25 Kalkulatu zenbat den 10 kg-ko masa baten energia potentzial grabitatorioa, 1 000 m-an. Erabili bi irizpideak. Gero, kalkulatu gehikuntzak, altuera horretatik lurzoruraino.

26 Kalkulatu zenbateko lana egiten duen grabitazioindarrak 100 kg-ko masa bat desplazatzeko, Lurra-

ren erradioaren berdina den altuera batetik lurrazaileraino.

27 Gurpil logikoa. Plano inklinatu batean behera irristatu da 5 kg-ko masa bat, 3 m-tik eta marruskadurarik gabe. Kalkulatu zenbateko lana egiten duten hari eragiten dioten bi indarrek.

Ariketak

Energia dela eta

6.1. Indar bizien teorema

Eman dezagun gorputz bat A-tik B-raino desplazatzen dela bide jakin batean zehar, eta zenbait indarrek eragiten diotela. Guztizko lana indarrek bakoitzak beren kabuz egiten dituzten lanen batura izango da. Adibidez, gorputz bati hiru indarrek eragiten badiote, ezkerreko irudian bezala, guztizko lana hau izango da:

WWWW ,,, ABABABAB 12 3 =++

non W , iAB i-garren indarrak A-tik B-rainoko ibilbidean egiten duen lana den. Aise ikusten da indar garbiak egiten duen lana dela lan garbia:

WWWW ,,, ABABABAB 12 3 =++ =

lllFFFddd A B A B A B 12 3 =++ = " " " " " " yyy

llFFFFdd T A B A B 12 3 =+ += """ " " "

Indar bizien edo energia zinetikoaren teoremak, iaz ikasi genuenak, dio gorputz baten gain egiten den guztizko lana eta energia zinetikoaren gehikuntza berdinak direla. Frogatu egingo dugu.

Gorputz bati zenbait indarrek eragiten badiote, Newtonen bigarren legea betetzen da indar garbirako:

Fmm t a v d d T == " " "

Indar garbiaren lana kalkulatuko dugu, gorputza A-tik B-raino lekualdatzen denean bide jakin batean zehar:

Alegia:

Guztizko lana positiboa bada, gorputzaren abiadura handitu egiten da; negatiboa bada, berriz, txikitu. Guztizko lana zero den kasu berezian, gorputzak abiaduraren modulua mantenduko du.

6.2. Kanpoko indarren lana

Demagun gorputz bati bi indarrek eragiten diotela: bat, kontserbakorra da, eremu kontserbakor baten ondorio; eta bestea, ez-kontserbakorra. Bigarrena bultzaka ari den norbaiten indarra izan daiteke, edo marruskadura-indarra, beste gorputz batekin talka egiteko indarra, etab. Hala,

A-tik B-rainoko guztizko lana, ibilbide jakin batean, honela antola daiteke: WK, AB indar kontserbakorraren lana gehi indar ez-kontserbakorraren lana, WEK, AB (eskuineko irudia):

WAB = WK, AB + WEK, AB

Indar bizien teorema eta energia potentzialarena aplikatzen baditugu, emaitza hau da:

ΔEk = −ΔEp, g + WEK, AB →

WEK, AB = ΔEk + ΔEp, g = ΔEm → ∆ WE , EKAB m =

Frogatu egin dugu indar ez-kontserbakorren lana (hots, eremutik kanpoko indar baten lana) eta energia mekanikoaren gehikuntza berdinak direla.

Gogoratu energia mekanikoa energia zinetikoaren eta energia potentzialaren batura dela:

Em = Ek + Ep

Indar

Gorputz batean egindako lana

Gorputzari hiru indarrek eragiten diote, eta bakoitzak lan bat egiten du. Guztizko lana lan horien batura izango da, edo, bestela esanda, indar garbiak egiten duen lana.

Egiatan, gorputz bati eragiten dioten indar guztiak honela adieraz ditzakegu: emaitzazko indar kontserbakor baten eta indar ez-kontserbakor baten batura.

Guztizko lanaren deskonposizioa

6.3. Energia mekanikoaren kontserbazioa

Ibilbide jakin batean zehar A-tik B-ra lekualdatzen ari den gorputz baten gain zenbait indarrek eragiten badute eta, gainera, indar ez-kontserbakorren lana zero bada, energia mekanikoa kontserbatu egiten da:

WEK, AB = 0 → ΔEm = 0 → () ()EAEB mm =

Energia mekanikoaren kontserbazioaren printzipioa da hori.

Horrek ez du esan nahi kanpoko indarrik egon ezin denik; kanpoko indarrak egon daitezke, baina guztizko lanak zero izan behar du.

Ebatzitako ariketak

5 Gorputz batek 10 kg-ko masa du, eta altuera batetik erortzen utzi da, Lurraren erradioaren berdina den altueratik, hain zuzen. Zer abiaduratan helduko da lurzorura? Lurrak atmosferarik ez duela joko dugu.

ML = 6 · 1024 kg; RL = 6,4 · 103 km.

Ebazpena

Objektu bati erortzen uzten zaionean, ez da jaurtitzen; aitzitik, pausagunean uzten da.

Gorputzari indar batek besterik ez dio eragingo; zehatzmehatz, grabitate-indarrak. Orduan, ez dago lana egiten duen indar ez-kontserbakorrik. Horrenbestez, energia mekanikoa kontserbatu egingo da. Hasierako puntua A izango da, eta amaierakoa, lurzoruan, B:

A puntuan ez da energia zinetikoa agertzen, zero delako. Ezin dugu energia potentzialaren adierazpena erabili laborategiko irizpidearekin, ez baitu balio altuera Lurraren erradioaren parekoa denean.

6.4. Indar disipatiboak

Indar disipatiboak dira marruskadura-indarrak edo inguruneari (adibidez, aireari) aurre egiten dioten indarrak. Indar horiek ez dira kontserbakorrak, eta, zehazki 180 °-ko angelua eratzen dute beti desplazamendu infinitesimalaren bektorearekin ^ l d h. Lana, beraz, negatiboa da beti. Horren ondorioz:

WEK, AB = ΔEm < 0 → Em, amaiera < Em, hasiera Hortaz, indar disipatiboek gorputzen energia mekanikoa txikiagotzen dute, eta energia termiko bihurtzen: marruskadura duten gorputzak berotu egiten dira.

6 Ilargiaren azaletik, jaurtigai bat bota dugu gorantz bertikalean, 2 000 km/h-ko abiaduran. Zer altuerataraino iritsiko da, gehienez? MI = 7,3 · 1022 kg; RI = 1 737 km.

Ebazpena

Gorputza Ilargiaren azaletik jaurti eta hurrengo unean bertan, grabitazio-indarrak soilik eragingo dio objektuari. Hala, ez dago lana egiten duen indar ez-kontserbakorrik, eta energia mekanikoa konstantea da, hortaz.

L L

L B =+ 2

11 24

l , , vR

GM 64 10

Ariketak

28 Bloke bat, 5 kg-koa, herrestan erori da plano inklinatu batean behera, 2,5 m-ko altueratik, eta lurzorura 5 m/s-an heldu da. ah Kalkulatu marruskaduraindarrak egin duen lana. bh Zer lan egin du indar normalak?

Em ^Ah = Em ^Bh → Ep, g ^Ah + Ek ^Ah = Ep, g ^Bh → l l l GR Mm mvGr Mm 2 1 I I AB I += 2 → –r R GMv GM 2 B I IA I = 2 –, ,, , ,, , r 1737 10 667107 310 2 5556 667107 310 1838 10 m B 6 11 22 11 22 6 ––. =

Jaurtigaiaren abiadura SI sistemako unitatetan adierazi dugu.

hB = rB − RI = 1

838

1 737 = 101 km

29 Lurzoruaren arrasetik, 200 g-ko harri bat gorantz jaurti da, bertikalean, 15 m/s-an, eta 10 m-ko altueraraino heldu da. Horiek horrela, kalkulatu zenbat izango den airearekiko marruskadura-indarra, harria igotzen ari den bitartean.

6.5. Kanpoko lana, masa bat desplazatzean

Demagun masa bat grabitazio-eremu batean dagoela, eta, kanpoko indar baten bitartez, A puntutik B punturaino lekualdatzen dugula, bide jakin batean. Masa geldirik bazegoen eta halaxe uzten badugu, haren energia zinetikoa ez da handituko, eta, indar bizien teoremari jarraituz, guztizko lana (kanpoko indarrarena gehi eremuarena) zero izango da. Beraz:

WAB = WK, AB + WEK, AB = 0 → WEK, AB = −WK, AB Hots, kanpoko lan bat egin behar da, eremuak egiten duenaren aurkakoa, hain zuzen ere.

Ebatzitako ariketak

7 Masa bat, m = 10 000 kg, P = ^1, 1h m puntuan dago. Kalkulatu zer lan egin behar den ml = 5 kg-ko masa bat A =  ^2, 2h m puntutik B =  ^4, 0h m punturaino lekualdatzeko. Ibilbidearen menpe al dago?

Ebazpena

Egoera hau da:

Kanpoko indar baten bidez, masa bat higiaraziko dugunez A puntutik B punturaino (bietan pausagunean egonda, enuntziatuan esplizituki esaten ez duen arren), lan hau egin beharko dugu:

WEK, AB = ΔEp = Ep ^Bh − Ep ^Ah Ikusten da lana ez dagoela ibilbidearen menpe.

A r " bektorea hau da:

A (, )( ,) () rOOAPij 22 11 m == =+ " "" ""

Eta modulua: r 11 2m A =+22 =

A puntuan, potentziala hau da:

–,, () VGr Am 66710 2 10 000 47 10 J/kg A 11 7 g . ==

r B bektorea hau da: – (, )( ,) () rOBOPij 40 11 3m B == = " "" ""

Modulu hau du: – r 1 310m B 2 2 =+ = ^h

B puntuan, potentziala hau da:

– () ,, VGr Bm 66710 10 10 000 21 10 J/kg B 11 7 g . ==

Orduan:

– () () l WmVBVA , EKAB gg == 7 A –,, , 52 14 7101 ==76310J ^h 6 @

Ez da zeharo beharrezkoa egiten den indarra une oro grabitazio-indarraren kontra-kontrakoa izatea.

Emaitza honela idatz dezakegu:

WEK, AB = ΔEp, g

Masa A puntutik (pausagunean) B punturaino lekualdatzeko egiten den kanpoko lana handiagoa bada energia potentzialaren gehikuntza baino, ezin da pausagunean utzi, eta masak energia handiegia izango luke amaierako B puntuan. Zehazki, energia zinetiko moduan izango luke energia. Beraz, gorputza ez litzateke pausagunean egongo, abiadura batekin baizik.

8 Pertsona bat, 80 kg-koa, itsas mailatik igo da Everestera, 8 849 m-ko altueraraino. Kalkulatu zer lan egin duen.

ML = 5,972 · 1024 kg; RL = 6 378 km.

Ebazpena

Pertsona horrek egin behar duen lanak grabitazio-eremua gainditu behar du, gutxienez. Lan horixe kalkulatuko dugu. Jakina, lan handiagoa egin beharko du, marruskaduraren eragineko erresistentzia-indarrak ere gainditzeko.

Egingo duen lana kanpoko lan bati dagokio; abiapuntuan, pertsona pausagunean dago, eta amaieran ere bai. Orduan:

WEK, AB = ΔEp = Ep ^Bh − Ep ^Ah

Lurraren erradioaren aldean ^6 378 kmh, Everesten altuera ^8,8 kmh baztergarria da. Horrenbestez, energia potentzialaren adierazpenik sinpleena erabil dezakegu, laborategiko irizpideari jarraitzen diona:

Ep ^Bh = m · gL,0 · hB = 80 · 9,8 · 8 849 = 6 937 616 J

Ep ^Ah = m · gL,0 · hA = 80 · 9,8 · 0 = 0

Beraz: WEK, AB = 6 937 616 − 0 = 6 937 616 J ≈ 6,9 · 106 J

Irizpide astronomikoa erabili izan bagenu, emaitza berbera lortuko genuke:

WEK, AB = −4,989 4 · 109 − ^−4,9963 · 109h ≈ 6,9 · 106 J Ikusten denez, bi emaitzak bat datoz.

Ebatzitako ariketa

9 Plano inklinatu bat dugu, 30 º-ko inklinaziokoa. Hartan, 3 kg-ko masa duen bloke bat 2 m-ko altueran utzi dugu, pausagunean. Marruskadura-koefizientea

0,2 dela jakinda, kalkulatu, energia-irizpideei jarraituz, zer abiadurarekin iritsiko den blokea punturik baxuenera.

Ebazpena

Egoeraren eskema bat da hau:

Blokeari eragiten dioten hiru indarrak agertzen dira: pisua ^grabitazio-indarrah, normala eta marruskadura. Horrez gain, ibilbide osoaren desplazamendu-bektorea ere marraztu da.

Guztizko lana kalkulatuko dugu, eta, ondoren, indar bizien teorema aplikatuko dugu.

Lanak kalkulatzeko, ez da beharrezkoa izango adierazpen integrala erabiltzea, indarrak konstanteak baitira ibilbide osoan zehar.

6.6. Ihes-abiadura

Planeta baten (edo edozein asteroide motaren) ihesabiadura deritzo gorputz bat gorantz jaurti behar den abiadura minimoari, ez dadin berriro erori. Ez da atmosferaren eragina aintzakotzat hartzen. Parametro horrek gutxi-asko adierazten du zenbateko grabitazio-intentsitatea duen astro jakin batek.

M masa eta R erradioko astro baten ihes-abiadura kalkulatuko dugu. Gorputza asteroidearen azaletik jaurti ostean, grabitazio-indarrak soilik eragingo dio; eta, beraz, energia mekanikoa kontserbatu egingo da. Hala, azaleko energia mekanikoak eta infinitukoak berdinak izan behar dute:

Indar normalaren lana zero da, desplazamenduarekiko zuta delako beti:

WN =  N " · ∆ l " = 0

Marruskadura-indarra marruskadura-indar maximoa da, gorputza beherantz irristatzen da eta:

F , aRm x = µ · N = µ · P · cos θ = µ · m · g · cos θ

Eta haren lana hau da:

Pisu indarrak lan hau egiten du:

Infinituan, energia potentzial grabitatorioa zero da, eta, gainera, infinituko energia zinetikoa ere zero izatea ezarriko dugu. Hala, asteroidearen azalean eman behar zaion energia zinetikoa ahalik eta txikiena izango da. Horrenbestez:

Emaitza horrek ez du zerikusirik jaurti den gorputzaren masarekin. Lur planetaren kasuan, 11,2 km/s inguruko ihesabiadura lortzen da.

30 Kalkulatu zer lan egin beharko den kasu honetan: 2 kg-ko masa bat infinitutik 40 kg-ko masa batetik metro bateko distantziara dagoen puntu batera eramateko.

31 Bi masa daude, 80 eta 100 kg-koak, A = ^3, 1h m eta B =  ^1, 2h m puntuetan, hurrenez hurren. Kalkulatu zer lan egin behar den 2 kg-ko masa bat ^1, 1h m puntutik jatorriraino eramateko.

Ariketak

Orbitak

7.1. Higidura orbitala

Newtonek ulertu zuen lehenbizi zer den orbitan egotea, bere buruari galdetu zionean zergatik ez den Ilargia erortzen, baina sagar bat bai, ordea. Galdera horri erantzunez, Newtonek grabitazio unibertsalaren legea ondorioztatu zuen. Eta erantzun hau eman zuen: Ilargia Lurrerantz erortzen ari da. Ilargia pausagunean balego Lurrarekiko, erori egingo litzateke eta Lurra joko luke. Baina ez dago pausagunean, higitzen ari da: zentroa lurrean duen zirkunferentzia batekiko higidura tangentea du. Eta Lurra hor ez balego, Ilargiak lerro zuzenean higitzen jarraituko luke. Baina Lurra hor dago, eta Ilargia erakarri egiten du. Bi higidurak konposatuekin (hots, Lurrerantz erortzekoa eta ihes tangentzialarena), ia-ia zirkunferentzia bat osatzen du Lurraren inguruan (ezkerreko irudia).

Ilargia ez da orbitan egon daitekeen bakarra; edozein objektu ^sagar bat, adibidezh orbitan jar daiteke, abiadura egokian jaurtitzen bada. Bestalde, gogoan izan behar dugu gorputza Lurraren atmosferatik atera behar dela, marruskaduraren ondorioz energiarik ez galtzeko, eta, horrenbestez, Lurrerantz ez erortzeko. Esaterako, gaur egun, 3 500 satelite artifizial inguru ditugu orbitan gizakiok jarrita, erabilgarri zaizkigun hainbat zereginetan.

Era berean, beste astro batzuk masa handiagoko gorputzen orbitan egon daitezke; esate baterako, eguzkisistemako planetak orbitan daude Eguzkiaren inguruan, eta exoplaneta deritzenak ^eguzki-sistemakoak ez direnakh beste izar baten inguruan biratzen dira.

Newtonek orbiten forma kalkulatu ahal izan zuen, bai eta egiaztatu ere elipseak direla, oro har. Elipsearen kasu berezi gisa, zirkunferentziak ere izan daitezke. Gainera, Keplerren hiru legeak justifikatu zituen, planetak Eguzkiaren inguruan nola higitzen diren deskribatzen dutenak. Lege horiek modu esperimentalean soilik oinarrituta soilik adierazi ziren.

7.2. Satelite artifizialak Lurraren gainean

Lurraren satelite artifizialak erraz sailka daitezke, zer altueratan dauden kontuan hartuta.

• LEO sateliteak ^LowEarthOrbith orbita baxuan daude, 160 eta 2 000 km arteko altueran. Satelite meteorologikoak, komunikazioetakoak edo behaketa-lanetakoak izan ohi dira. ISSa ^InternationalSpaceStationh horrelako satelite bat da, 400 km-ko inguruko altueran dago eta.

• MEO sateliteak ^MediumEarthOrbith altuera ertainean daude; 2 000 eta 36 000 km artean, gutxi gorabehera. GPS sateliteak horrelakoak dira.

• GEO sateliteek ^GeostationaryOrbith 36 000 km ingurura orbitatzen dute ekuatorearen gainean, ekialderantz. Altuera horretan, Lurraren erritmo berean biratzen dira, eta, beraz, leku berean ikusten ditugu beti. Halakoak dira telebistako, Internet konexioko eta telefoniako sateliteak, besteak beste (eskuineko irudia).

• HEO sateliteak ^HighEarthOrbith 36 000 km-tik gora daude. Behaketa-sateliteak dira.

Abiadura tangentziala eta erorketa-abiadura batuz, orbitaren abiadura lortzen da. Elipse bat eginez higitzen da, edo zirkunferentzia bat eginez, kasu berezi modura.

Lurra θ angelu bat biratzen denean ekialderantz, satelitea berdin biratzen da. Emaitza da beti posizio berean dagoela, lurrazalari dagokionez.

Orbitak

Gorputz bat orbitan

Orbita geoegonkorra

7.3. Orbita zirkularreko satelite baten abiadura

Satelite baten abiaduraren adierazpena bilatuko dugu, kasurik errazenean; hau da, ibilbide zirkularra egiten duenean Lurraren inguruan (ezkerreko irudia). Gorputz horri Lurraren erakarpen-indar grabitatorioak besterik ez dio eragiten, eta ibilbidearekiko zuta da. Horrek esan nahi du indar zentripetu gisa diharduela: gorputzaren ibilbidea kurbatzen du, abiaduraren moduluari konstante eusten diola. Beraz:

duelako, batzuetan positiboa eta beste batzuetan negatiboa. Horrek sateliteari azelerazio positiboa eta negatiboa ematen dio orbitan zehar (eskuineko irudia).

7.4. Orbita zirkularreko satelite baten energia Satelite bati grabitazio-indarrak soilik eragiten dionez, eta indar kontserbakorra denez, satelite baten energia mekanikoa konstantea da beti, izan orbita eliptikoa, izan orbita zirkularra. Eta orbita zirkularretan, horrez gain, energia zinetikoa eta potentziala ere konstanteak dira, bakoitza bere aldetik.

Orbita zirkularreko gorputz batek energia mekaniko hau du:

Ondoriozko adierazpenak abiadura orbitala ematen digu planetaren erdigunetik r ditantzia bakoitzerako. Funtzio beherakorra denez, satelite bat zenbat eta urrutiago egon, mantsoago higitzen da.

Orbita zirkular batean dagoen satelite baten abiadura konstantea da; orbita eliptiko batean dagoenarena, aldiz, ez. Eta hala da grabitazio-indarra eta ibilbidea elkarrekiko zutak ez direlako, eta, hortaz, osagai tangentzial bat

Energia mekanikoa negatiboa da, eta energia potentzialaren erdia, hain justu.

Zenbat eta urrunago orbitatu, orduan eta handiagoa izango da energia mekanikoa, eta orduan eta hurbilago egongo da zerotik (Lurretik ihes egin dezakeen satelite baten energia).

Sateliteen higidura orbitala

Grabitazio-indarra orbita zirkular batean

Grabitazio-indarra orbita eliptiko batean

Grabitazio-indarra eta ibilbidea elkarzutak direnez, grabitazioindarrak indar zentripetu moduan dihardu: ibilbidea kurbatu ez ezik, abiadurari konstante eusten dio (HZU).

Ariketak

32 Kalkulatu zer energia eman behar zaion 500 kg-ko satelite bati, orbita zirkularrean jartzeko, 30 km-ko altueran.

33 Satelite bat orbita zirkularrean dabil, 30 000 km-ko altueran, eta Lurrera erori da. Kalkulatu zer abiaduratan egingo duen talka lurzoruaren kontra. Ez hartu kontuan atmosferarekiko marruskadura.

Grabitazio-indarrak osagai zut bat du, zentripetu gisa diharduena, eta osagai tangentzial bat, satelitearen abiaduraren modulua aldatzen joaten dena.

34 Satelite bat, 20 kg-koa, orbita zirkular batean dabil, 6 000 km-ko altueran, eta 12 000 km-ko orbita zirkular batera eraman nahi da. Zer energia beharko da?

35 Orbita zirkular batean dabil 400 kg-ko satelite bat, 2 000 km-ko altueran. Zenbateko lana egin beharko da Lurretik ihes egin ahal izateko, hots, infinituraino eraman ahal izateko?

7.5. Keplerren legeak

Johannes Kepler fisikari eta matematikari alemaniarrak, xvii  mendearen hasieran, hiru lege osatu zituen, Eguzkiaren inguruan planetak nola biratzen diren deskribatzen dutenak. Lege horiek ondorioztatzeko, Tycho Brahe astronomo daniarrak hogei urtez baino gehiagoz egindako behaketetan oinarritu zen. Hiru lege esperimental dira; alegia, behaketekin bat datozen hiru lege, zergatia jakin gabe. Isaac Newtonek justifikatu ahal izan zituen, hainbat urte geroago, grabitazio unibertsalari buruzko bere legearekin.

Keplerren hiru legeak edozein astroren inguruko ezein orbitatan aplika daitezke, noski. Dena den, Eguzkiaren inguruko planetenak jasoko ditugu, berak azaldu bezala:

• Lehena: planeta guztiak orbita eliptikotan biratzen dira, eta Eguzkia haien fokuetako batean dago. Eta, horrez gain, azpimarratu behar da planeta horiek egiten dituzten elipseak plano berean daudela, gutxi-asko (ezkerreko goiko irudia).

Argitu behar da ezen, lege horri jarraituz, orbita bat zirkularra izan daitekeela, zirkunferentzia elipsearen kasu berezi bat delako: bi fokuak zirkunferentziaren erdigunean daude; alegia, eszentrikotasuna zero da.

Gogoratu zer den elipse bat: foku izeneko bi puntu finkotarainoko distantzien batura konstante duten planoko puntuen leku geometrikoa (beheko ezkerreko irudia). Lurraren eta gainerako planeten orbitak eliptikoak dira, baina eszentrikotasun txiki-txikia dute. Marraztuta ikusiko bagenitu, zirkunferentziak direla pentsatuko genuke; afelioan, perihelioan baino % 3,4 urrunago soilik dago Lurra Eguzkitik.

• Bigarrena: jatorria Eguzkian eta muturra planeta batean duen bektoreak ^erradio bektoreah azalera berdinak egiten ditu denbora-tarte beretan.

Alegia, planeta bat, bere orbitan dabilenean, motelago higitzen da Eguzkitik urrundu ahala, eta bizkorrago, Eguzkirantz gerturatu ahala (eskuineko irudia).

• Hirugarrena: zuzenki proportzionalak dira planeta batek orbita osoa egiteko behar duen denboraren berbidura ^periodoa, T h eta ardatzerdi handienaren luzeraren ^ah hirugarren berbidura:

non K konstante bat den, eta balio berekoa Eguzkiaren inguruan orbitatzen ari den edozein planetarentzat.

Lege horrekin bat etorriz, planeta baten orbita zenbat eta urrutiago egon Eguzkitik, orduan eta denbora luzeagoa behar du bira oso bat egiteko. Denbora horrek adierazpenean azaltzen den proportzionaltasunari jarraitzen dio.

Elipsea

Hauxe betetzen da: d1 +  d2 =  d3 +  d4. Eguzkia fokuetako batean dago. Ardatzerdi handia a da; b, ardatzerdi txikia, eta e, eszentrikotasuna. Perihelioa Eguzkitik gertuen dagoen orbitako puntua da, eta afelioa, urrunen dagoena.

Azalerak berdinak izan daitezen, planetak azkarrago ibili behar du Eguzkitik gertuen dagoenean, urrutiago dabilenean baino. Orbita zirkularra den kasu berezian, planetaren abiadura konstantea da ^moduluanh

Elipsea eta Keplerren bigarren legea

Abiadura orbitala Eguzkirainoko distantziaren menpe dago

Planetak ia plano berean daude

Orbitak eliptikoak dira, eta batzuk ia zirkularrak. Haiek guztiak ia-ia plano berean daude.

Erradio bektoreak denbora berean ekortzen dituen azalerak berdinak dira. Eguzkia

7.6. Materia iluna

Galaxia bat ehunka mila milioi izarrez osatuta dago. Izarrek planetak dituzte orbitan biratzen dira, eta planetek sateliteak dituzte orbitan. Gainera, askotariko gorputzak daude: planeta nanoak, nano zuriak, zulo beltzak, asteroideak, kometak, meteoroideak, hautsa, gasak… Horiek guztiak izar bakoitzaren inguruan biratzen dira. Azken batean, galaxiak materia-kumulu erraldoiak dira, ehunka mila argi-urteko tamaina edukitzen dutenak. Gure galaxiaren izena Esne Bidea da; begi hutsez ikusten dugun guztia gure galaxiaren baitan dago.

Galaxien artean, distantzia handi-handiak daude: espazio hutsa da. Gure ondoko galaxia, Andromeda, 2,5 milioi argi-urtera dago, gutxi gorabehera. Lehen hurbilketa bat eginez, unibertsoa espazio hutsa dela pentsa dezakegu, non irlatxoak (galaxiak) baitaude han-hemenka, bata bestetik urruti-urruti. Materia galaxietan dago, eta uste da galaxia bakoitzaren erdigunean oso masa handiko zulo beltz bat dagoela.

Galaxien % 70 inguru kiribilak dira. Oso galaxia lauak dira, eta besoak kanporantz zabaltzen dira, kiribil itxura hartuz. Gure galaxia ere horrelakoa da (ezkerreko goiko irudikoa bezalakoa).

Zientzialariek ikusi dutenez, kiribil itxurako galaxia horietan, erdigunearen inguruan izarrek egiten duten higidurak ez du betetzen Keplerren hirugarren legea, itxuraz. Galaxiaren erdigunearen inguruan dabiltzan izarren orbiten abiadurak ez dira murrizten galaxiaren zentroarekiko distantziaren arabera, nahiz eta hori espero daitekeen, galaxian ikusten den masari erreparatuz. Aitzitik, izarren abiadurak ia-ia konstante eusten dio (beheko ezkerreko irudia).

Hori azaldu ahal izateko, zientzialariek suposatu dute galaxietan eta inguruan guk uste baino askoz materia gehiago dagoela; materia ilunaren halo bat egongo da galaxiaren inguruan eta haren baitan. Ustezko materia horri ikusten ez delako esaten zaio, hain zuzen ere, materia iluna.

Materia iluna dagoela frogatzen duten ebidentzia gehiago daude, jakina. Esate baterako, galaxia-kumuluetan galaxiak higitzen diren abiadura, eta grabitazio-lenteen eraginak (beheko eskuineko irudia).

Unibertsoko materiaren % 85 materia iluna dela uste da. Horrenbestez, materia arrunta, besteak beste gu osatzen gaituen materia, unibertsoko materiarik urriena da.

Gaur egun, ez dakigu zerez eginda dagoen materia iluna. Punta-puntako ikergaietako da fisikaren esparruan. Uste da partikula teoriko batzuk izan daitezkeela, WIMP izenekoak; edo gorputz material arruntak, argirik igortzen ez dutenak, eta, beraz, hautemateko zailak ^MACHO-Massiveastrophysicalcompacthaloobject esaten zaieh; edo zulo beltzak...

Materia iluna dagoela frogatzen duten ebidentziak

Izarren abiadura kiribil itxurako galaxia batean

Abiadura

Galaxia bateko izarren biraketa-abiaduren kurba, zentrorainoko distantziaren funtzio gisa. A grafikoan, abiadurak teorian nolakoak izan behar diren irudikatzen da; eta B grafikoan, benetako abiadurak jaso dira.

Irudian agertzen diren galaxien espektroa poliki azterturik, ikusten da zenbait galaxia errepikatuta daudela leku desberdinetan. Horrez gain, deformazioak ikusten dira galaxia batzuetan.

Grabitazio-lentearen eragina

Galaxia kiribila

Gure galaxiak barradun kiribil baten itxura du, irudikoa bezalakoa ^NGC 1 300h, 61 milioi argi-urte ingurura.

Distantzia

Newtonen grabitateari buruzko teoriaren mugak

8.1. Hiru gorputzen arazoa

Newtonen grabitazio unibertsalari buruzko teoriak esparru matematiko bat eman digu, gorputz askeak beren grabitazio-erakarpenaren eraginpean soilik daudenean nola higitzen diren kalkulatu ahal izateko. Aukera eman digu Eguzkiaren inguruko planeten orbitak edo planeten inguruko sateliteen orbitak kalkulatzeko.

Halatan, elkarren arteko grabitazio-interakzioaren pean higitzen diren bi partikula materialek zer posizio eta abiadura dituzten jakinik, arazorik gabe ebatz daiteke nolako bilakaera izango duten denboran zehar. Lorpen horren ondorioz, uste izan zen ausazkotasuna ez zela existitzen, zeren, unibertsoko partikula guztiek une jakin batean dituzten posizioak eta abiadurak jakingo bagenitu, etorkizunean nola egongo diren iragar baikenezake, baita iraganean nola egon ziren ere. Askatasunik ezaren ideia da, dena idatzita dagoelako ideia; determinismoa da, zehatzmehatz.

Jules Henri Poincaré matematikari eta fisiko frantsesak, xix mendearen amaieran, frogatu zuen arazo larriak sortzen direla hiru gorputz edo gehiago grabitazio-interakzioen eraginpean nola higitzen diren jakiteko ekuazioak ebaztean. Soluzioak partikulen hasierako baldintzen ^posizioak eta abiadurakh mende daude neurri handi-handian, eta,

beraz, nahiz eta baldintzak gutxi-gutxi aldatu, partikulen ibilbideak zeharo desberdinak dira. Berdin du zeinen zehatz neurtu nahi ditugun hasierako posizioak eta abiadurak, ez ditugu inoiz erabat jakingo balio zehatzak. Horren eraginez, partikulak nola higituko diren iragarrezina da. Itxura batean, partikulak modu kaotikoan higitzen dira ^ausazh, baina ez da hala egiatan, haien ibilbideak ekuazioen soluzioak baitira.

Ideia horri —partikulek, higitzen direnean, lege jakin batzuei jarraitzen dieten arren, higidura hori aurresateko ezintasunari, hasierako baldintzak zehaztasun osoz ez dakizkigulako— kaos deter minista esaten zaio. Beheko koadroko goiko irudiak, esaterako, higidura kaotikoen adibideak dira.

Zurrunbiloen erregimeneko fluxuak aztertzen ditugunean, esate baterako, kaos deterministaren arazo horrekin topo egiten dugu. Partikula bakoitzak higidura-lege jakin batzuk betetzen ditu, baina ezin da jakin nola higituko den (beheko irudiak).

Ikusi dugun guztia aintzakotzat hartuta, azken ondorioa hau da: eguzki-sistema hiru gorputzez baino gehiagoz osatuta dago, eta ezin da ziurtatu sistema egonkor bat denik eta denboran zehar iraungo duenik.

Kaos deterministaren adibideak

Aldiro bide desberdin batean zehar dabilen bolatxoa

Pendulu bikoitza

Bolatxoa, pausagunean, kupula handiaren gailurrean jartzean, bide desberdin bat egiten du aldiro. Kokatzean eragindako aldaketa txikiek ibilbide desberdinak eragiten dituzte.

Pendulu bikoitzari denboran zehar bere bilakaera izaten uzten zaion bakoitzean (hasierako baldintza berberetan, ustez), ondoriozko higidurak guztiz desberdinak dira.

Fluido baten erregimen zurrunbilotsua Meteorologia

Fluxu zurrunbilotsua

Fluidoaren partikula bakoitzak higiduraren legeak betetzen ditu, baina ibilbidea hasierako baldintza ezezagunen menpe dago. Orduan, higidura iragarrezina da.

Iragarpen meteorologikoak egitea zaila da, hain zuzen ere, ezin delako jakin nolako eragina izan dezaketen perturbazio txikiek.

Erlatibitatearen teoria orokorra

9.1. Erlatibitate orokorra

Newtonen grabitazio unibertsalari buruzko legea egundoko lorpena izan zen. Horren bidez ulertu ahal izan dugu gorputzek elkar erakartzen dutela materia dutelako, eta, halaber, tresna matematikoak ere eman dizkigu, hainbat kalkulu egin ahal izateko: planeten eta sateliteen orbitak, erorketa askean higitzen diren gorputzen deskribapenak (jaurtigaienak, adibidez), etab. Hala eta guztiz ere, esan behar dugu teoria hura gainditu egin dela.

xx mendearen hasieran, Albert Einsteinek erlatibitatearen teoria orokorra adierazi zuen. Grabitatearen teoria bat da, azken batean. Teoria esaten diogu oraindik, baina jada ez da teoria bat, zeharo frogatuta baitago esperimentu asko-askoren bitartez (beheko koadroko goiko irudiak).

Erlatibitate orokorrak hankaz gora jarri zuen lehendik unibertsoari buruz genuen kontzepzioa. Gaur egun, teoria hori erabiltzen da unibertsoak eskala handian nolako portaera duen azaltzeko. Maila honetan, teoria horrekin kalkuluak egiteko matematika oso konplexua da; fisika teorikoko beste maila batzuetarako uzten da hori.

Hala ere, Newtonen grabitatea oraindik ere erabiltzen da; esate baterako, espazio-zundak jaurtitzeko, ondo samar funtzionatzen baitu grabitazio-eremuak oso biziak ez

Merkurioren orbita

badira, eta behar den matematika askoz errazagoa baita. Newtonen grabitazioa erlatibitate orokorraren teoriaren oso hurbilketa ona dela esan daiteke, grabitazio-eremuak txikiak direnean; osterantzean, huts egiten du. Erlatibitate orokorrak, berriz, edozein egoeratan funtzionatzen du. Erlatibitate orokorraren arabera, unibertsoa osatzen duen ehuna espazio-denbora da ^lau dimentsiokoah, zeina masa handiko gorputzek eta energiak kurbatzen baitute. Aske, bestelako indarrik gabe higitzen den gorputz bat espazio-denboran ibilbide batean zehar dabil, ibilbide geodesiko esaten zaion ibilbide batean. Ibilbide geodesikoa bi punturen arteko ibilbiderik laburrena da, eta espazio kurbatu batean ez da lerro zuzena.

Horrenbestez, grabitazio-indarra ez da egiazki indar bat; gorputz askeak ibilbide geodesikoetan zehar higitzen dira, eta, espazio kurbatuan dabiltzala, beste gorputz batzuek erakartzen dituztela ematen du (beheko ezkerreko irudia). Einsteinen eremu-ekuazioak (beheko eskuineko irudia) deskribatzen du nola kurbatzen duten materiak eta energiak espazio-denbora, eta espazio-denbora makur horrek nola behartzen dituen gorputz askeak bere geodesikoetan higitzera. Gure hiru dimentsioko espazioan ikusten dugu gorputzek ibilbidea kurbatzen dutela masa handiko astroetatik gertu; erakarriak direla ematen du.

Erlatibitate orokorra

Eguzkiaren atzeko izarren argia desbideratzea

Ustezko posizioa

Benetako posizioa

Ikusi zen Merkurioren orbita ez dela, benetan, elipse bat, ez baitago itxita. Newtonen grabitazioarekin, ez dago hori azaltzerik; erlatibitatearekin bai, aldiz.

Eguzkiak desbideratu egiten ditu gertutik igarotzen diren izarren argi-izpiak, eta, era horretan, izarrak zertxobait desplazaturik ikusten dira Lurretik.

Masa handiko gorputzek espazioa kurbatzen dute Einsteinen eremu-ekuazioa

Asteroide bat

Lurra

Eguzkiak espazioa kurbatzen du, eta espazio kurbatu horrek libre uzten dion ibilbidea egiten du Lurrak. Eguzkiak sortutako espazio-deformazio horrek beste astro batzuei ere eragiten die.

Ekuazio tentsorial bat da. Azpiindize bakoitzak lau balio ere hartu ditzake, eta, hortaz, bat ez baizik eta 16 ekuazio adierazten ditu, egiatan.

Problemak ebazteko estrategiak

1 Plano inklinatu batean, 15 m/s-ko abiaduran, 500 g-ko masa duen bloke bat jaurti da gorantz. Planoaren inklinazio-angelua 30° da. ah Jakinik blokea beherantz itzultzen dela 6 m/s-an, kalkulatu zer lan egiten duen marruskadura-indarrak goranzko eta beheranzko ibilbideetan. bh Harik eta gelditu eta itzultzen hasten den arte, blokeak 9 m egin ditu. Hori horrela, kalkulatu blokearen eta planoaren arteko marruskadura-koefizientea.

Planteamendua eta ebazpena

Blokeari hiru indar hauek eragiten diote: pisu indarrak, indar normalak eta, azkenik, marruskadura-indarrak. Lana egiten duen indar ez-kontserbakor bakarra dago, marruskadura-indarra. Gainera, lan bera egiten du igotzean eta jaistean. Haietako bati WR esango diogu.

Dakigun bezala, gorputz bati gertatzen zaion energia mekanikoaren aldakuntza lan ez-kontserbakorraren ondorio da:

a) Lege hori ibilbide osoari aplikatuko diogu: igoerari eta jaitsierari. Kasu honetan, berdinak dira ibilbide osoko lan ez-kontserbakorra eta, igotzean eta jaistean, marruskadura-indarrak egiten duen lana; hau da, 2 · WR. Orduan: WEaEh 2· – Rm m = ^^hh

Lurzoruaren arraseko energia potentziala erreferentziatzat hartzen bada, blokeak ez du energia potentzial grabitatorioa, ez hasieran ez amaieran. Beraz:

b) Lehenik, ikus dezagun zer altuerataraino heltzen den gorputza:

Igoerari soilik erreparatuko diogu. Zehazki, energia mekanikoaren aldakuntzaren legea aplikatuko dugu:

nEbehen

Aintzakotzat hartu dugu goian ez dagoela energia zinetikorik, eta behean ez dagoela energia potentzialik. Marruskadura-indarrak lan hau egiten du:

PROBLEMAREN AZTERKETA

– Enuntziatua irakurtzen duzunean, ongi ulertu behar duzu; ariketa zertan datzan zure hitzekin azaltzeko gai izan beharko zenuke. Enuntziatuko datuak SI sistemako unitatetan adierazi behar dira. Horrela ez badaude, egin dagozkion aldaketak.

Blokearen masa soilik dago SIkoa ez den unitatetan adierazita. Kalkuluetan, 0,5 kg erabiliko dugu.

– Esleitu letrak enuntziatuko datuei. Hasierako abiadura v0 = 15 m/s da; eta amaierakoa, v = 6 m/s; masa, m = 0,5 kg da; planoaren angelua, θ = 30°; igoerako desplazamendua, Δl = 9 m; eta grabitatea lurrazalean, g = 9,8 N/kg.

– Eskemak lagungarriak dira problema zertan datzan ulertzeko.

Eskema bat egingo dugu, blokea igotzen ari dela (ez hasieran ez amaieran, berezitasunak eduki ditzakete eta). Blokea beherantz doanean, analogoa da, baina marruskadura-indarraren bektorea kontrakoa da, desplazamendubektorea bezala.

– Gogoratu zer ikasi duzun, problemarekin lotuta dagoena, eta egin ekuazioen ondoriozko kalkuluak.

Gogoan izan behar dugu marruskadura-indarra ez-kontserbakorra dela, eta, hortaz, gorputzaren energia mekanikoa aldatuko du: txikitu egingo du.

Lege hori erabiliko dugu, lanaren definizioa marruskaduraindarrerako. Azkenean, erlazionatu bi ekuazioak.

EMAITZEN EZTABAIDA

Ariketaren lehen atalean, ez da beharrezkoa izan jakitea zenbat den marruskadura-koefizientea eta, bestetik, zer altuerataraino iristen den gorputza. Energia mekanikoa galtzen da, marruskadura-indarrak lan negatiboa egiten duelako. Marruskadurarik ez bale-

go, energia mekanikoa kontserbatu eta gorputza ia 11,5 m-raino helduko zen. Marruskadura-koefizientea 0,90 denez, baina, blokea 4,5 m-raino soilik iristen da. Falta den energia mekanikoa blokea eta planoa berotuz xahutu da. Koefizientea handiagoa balitz, gutxiago igoko litzateke; eta txikiagoa balitz, gehiago.

Energia, plano inklinatuetan

Orbitan dagoen satelite baten abiadura eta energia

2 Satelite bat, 600 kg-koa, orbita zirkular batean dabil, Lurraren inguruan eta 1 000 km-ko altueran. a) Lurretik alden dadin betiko, zenbateko energia eman behar zaio sateliteari? b) Demagun orbitatik desbideratu eta erori egin dela. Kalkulatu zer abiaduratan joko lukeen lurrazala.

Datua: R = 6 370 km, glurrazala = 9,8 N/kg.

Planteamendua eta ebazpena

a) Sateliteei grabitazio-indarrak besterik ez die eragiten. Kontserbakorra izanik, energia mekanikoa konstantea da. Gainera, orbita zirkularra da, eta horrek esan nahi du energia zinetikoa eta potentziala ez direla aldatzen. Ikusten da energia mekanikoa hau dela orbitan:

–EGrMm 2 1 o o m, rb rb =

Azalean, grabitate hau dugu: gGRM azala 2 = → gRGM azala 2 =

Horrenbestez, energia mekanikoa honela adieraz daiteke: – E r gRm 2· o o

azala 2 m, rb rb =

Infinitu urruti dagoenean, satelitearen gutxieneko energia mekanikoa zero izango da, energia potentzialak zerorantz jotzen duelako urrundu ahala. Geldirik badago, bestalde, energia zinetikoa zero da.

Ikus dezagun, bada, zenbateko energia duen sateliteak bere orbitan, eta zer energia eman behar zaion, zero izan dadin:

PROBLEMAREN AZTERKETA

– Irakurri enuntziatua poliki, eta begiratu zer unitatetan adierazi diren datuak.

Lurraren erradioa eta satelitearen altuera ez daude SI sistemako unitatetan. Metrotan, hauek dira: 6,37 · 106 m eta 106 m.

– Kokatu datu bakoitza, eta esleitu dagokion aldagaiaren letra.

Hauek soilik esleitu behar zaie letra: satelitearen masari (m = 600 kg) eta altuerari (h = 106 m).

– Egoera fisikoaren marrazkia egitea komeni da.

Marrazkia egingo dugu, nahiz eta ebazteko ekarpen handirik ez egin. Dena den, akatsak ez egiteko lagundu dezake; adibidez, altuera eta orbitaren erradioa nahastea.

– Gogoratu fenomenoaren ezaugarri bereizgarriak, eta dagozkion ekuazioak ere bai.

Beraz, energia mekanikoa zero izatea nahi badugu, sateliteari eman behar zaion energia 1,62 · 1010 J da.

b) Lurrazala jo bitarteko ibilbidean zehar, grabitazio-indarrak soilik izango luke eragina. Kontserbakorra denez, energia mekanikoa konstantea izango litzateke talka gertatu arte. Jakina, ez ditugu kontuan izan atmosferarekiko marruskaduraindarrak. Hortaz:

Orbita zirkular batean dabilen satelite baten energia mekanikoa nola adierazi gogora ekarri dugu. Astirik bagenu, frogatu genezake.

Lurraren masa, M, erabiltzeko tentazioa eduki genezake, ekuazioetan agertzen baita, baina problemako enuntziatuan agertzen diren datuak baliatu behar ditugu. Izan gogoan, planeta baten azaleko grabitatearen adierazpena erabiliz gero, aldagai-aldaketa gertatzen dela, planetaren erradioa erabil dezagun, eta ez masa, azken batean.

Alegia, 30 333 km/h-ko abiadura da.

EMAITZEN EZTABAIDA

Funtsezkoa da ohartzea indar kontserbakor batek soilik eragiten dion gorputz batek bere energia mekanikoa kontserbatuko duela. Printzipio hori bigarren atalean erabili dugu, satelitea grabitazio-indarraren eraginpean dagoelako.

Alabaina, lehen atalean, kanpoko energia bat behar da energia mekanikoa handitzeko, nahi den posizioan

izango duen balioa lortu arte; kasu honetan, posizio hori infinitua da. Satelitea beste orbita batera aldatu nahiko bagenu, antzeko kasua izango litzateke. Orbita berrian zenbateko energia mekanikoa izango lukeen jakin beharko litzateke, eta lan ez-kontserbakorra egingo lukeen kanpoko indar bat aplikatu, energia mekanikoa areagotuko lukeena harik eta nahi den balioa lortzen den arte.

Grabitazio-eremua

1 Partikula bat, 1 000 kg-ko masa duena, ^1,5; 3,6h m puntuan dago. Kalkulatu zer indar eragingo dion horrek

^1,6; 2,0h m puntuan dagoen 500 kg-ko masa bati.

2 Kalkulatu zenbateko grabitazio-indarrak eragiten dion

P =  ^10, 10h m puntuan dagoen 25 kg-ko masa bati,

A =  ^20, −10h m eta B =  ^−5, 5h m puntuetan dauden 1 012 kg-ko eta 5 · 1012 kg-ko bi masen ondorioz.

3 Kalkulatu grabitazio-eremua ^−10, 10h cm puntuan, jakinik ^90, 20h cm puntuan kokaturik dagoen masa puntual batek sortu duela.

4 Bi masa ditugu, 80 kg eta 50 kg-koak, eta, hurrenez hurren, A =  ^0,1; 0,2h m eta B =  ^0,8; 0,6h m puntuetan daude. ah Kalkulatu grabitazio-eremua C =  ^0,5; 0,3h m puntuan. bh Zer grabitazio-indarrek eragingo lioke C puntuan dagoen 8 kg-ko masa bati?

5 Masa lekuko bat, 90 kg-koa, m masa batetik 10 m-ra jarri dugu. Han, eremuaren modulua 9 · 10−6 N/kg da. Zenbat da m? Zer indar eragingo zaio masa lekukoari?

6 Dagoen lekutik distantzia jakin batera, 300 tonako masa puntual batek grabitazio-eremu hau sortu du: g  =  ^2,0; 4,0h · 10−6 N/kg. Kalkulatu zer distantziatara eta zer norabidetan dagoen masa, kontuan izanda zer puntutan neurtu den eremua.

7 Idatzi P =  ^1, −1h m puntuan dagoen grabitazioeremuaren adierazpena, jakinik ^1, 1h m puntuan dagoen 300 kg-ko masa batek eta ^2, −1h m puntuan dagoen 500 kg-ko masa batek sortu dutela. Zer indar eragiten zaio P puntuan dagoen 10 kg-ko masa bati?

8 Masa puntual bat, 200 kg-koa, A = ^−10, −20h cm puntuan dago, eta 100 kg-ko beste bat, B =  ^20, 30h cm puntuan. Kalkulatu grabitazio-eremua puntu honetan: C = ^0, 40h cm.

9 Grabitazio-eremu bat sortu du m masa batek d distantziara; modulua gd da. Idatzi eremuaren adierazpena, d distantziara dauden m balioko bi masak eratzen badute, masak batzen dituen zuzenkiaren puntu batean, haietako batetik distantzia-laurdenera.

11 Grabitazio-eremu bat dago, 0,4 N/kg-koa, 1 010 kg-ko masa puntual batetik distantzia jakin batera. ah Zer distantziatara neurtu dugu eremua? bh Zer indar egingo zaio 5 kg-ko masa bati, distantzia bikoitzera?

12 Masa batek, m-k, g modulua duen grabitazio-eremu bat sortu du r distantziara. Zenbat urrundu behar dugu, erdia izan dadin?

Lana, energia potentziala, zirkulazioa, potentziala

13 Gorputz bat, 5 kg-koa, aske erortzen ari da 15 m-ko altuera batetik. Kalkulatu zer lan egiten duen pisu indarrak ibilbide osoan.

14 Bloke bat, 10 kg-koa, 20 m eraman dugu, horizontalean, herrestan. Jakinda marruskadura-koefizientea 0,6 dela, kalkulatu marruskadura-indarrak ibilbide osoan egingo duen lana.

10 Lurraren eta Ilargiaren arteko distantzia 384 400 km inguru da. Kalkulatu Lurraren ondoriozko grabitazio-eremua, bidearen erdi-erdian. Nola eragiten dio Ilargiak?

Datuak: ML = 6 · 1024 kg; MI = 7 · 1022 kg.

15 Gorputz bat X ardatzean zehar dabil, x = 0-tik abiatuta, x = 22 m-raino. Gorputzari eragiten dion indarra aldatu egiten da posizioarekin batera. Indarraren osagai tangentziala irudikatzen denean, emaitza grafiko hau da:

Kalkulatu indarrak egiten duen lana.

16 Espazioaren gune batean, 4 N/kg-ko grabitazioeremu konstante bat dago. Zenbat aldatuko da potentziala, eremuaren norabide eta noranzko berean aurrera egiten dugun metro bakoitzeko?

Gogoratu unitate honetako materiala zure portfoliorako aukeratu behar duzula.

17 Potentzialen erreferentzia O dela finkatu ondoren, A-tik B-rainoko zirkulazioa kalkulatu da: 5 J/kg. ah Jakinik potentziala −6 J/kg dela B-n, zenbat izango da A-n? bh Erreferentzia Ol puntura eraman da, zeina −10eko potentzialera baitago, O-rekiko. Zenbat izango da A-ri esleituriko potentzial berria? Aldatu al da A-tik B-rainoko zirkulazioa?

24 Jantzi espaziala soinean duela, astronauta baten masa 200 kg da. Astronauta erabat esferikoa den burdinazko kometa baten azalean dagoenean, bere masa Lurrean 1 kg balitz bezala sentitzen du. Zer erradio du astro horrek? Burdinaren dentsitatea: 7 874 kg/m3

25 M masa bat eta 2 · M masako beste bat lotzen dituen zuzenkiaren zer puntutan da zero grabitazio-eremua?

26 Demagun planeta batek M masa eta R erradioa dituela, irudian bezala. Erdiguneko masa desagertu eta, ikusten den moduan, hutsik geratuko balitz, zenbat izango litzateke planetaren grabitatea?

RR R /2

18 Kalkulatu zer potentzial egongo den P =  ^5, −5h m puntuan, A =  ^24, 4h m puntuan dagoen 106 kg-ko masa puntual baten ondorioz. Zer energia izango du 12 kg-ko masa batek A-n?

19 Masa bat, 2 · 1011 kg-koa, A = ^−4, −6h m puntuan dago; eta 1011 kg-ko beste bat, B = ^2, 5h m puntuan. ah Kalkulatu P =  ^−8, 10h m puntuan dagoen 12 kg-ko masa baten energia potentziala. bh Masa lekukoa behartuz infinitura eramanez gero, zer lan egingo luke eremuak?

20 Kalkulatu zer grabitazio-potentzialetan dagoen 100 kg-ko masa bat, jakinik eremuak 0,2 J-ko lana egin zuela infinitutik orain dagoen punturaino eramateko.

21 Lurraren eta Ilargiaren artean, zer puntutan da zero grabitazio-potentziala? Erdi-erdiko puntuan, zenbat da grabitazio-potentziala?

Datuak: dL–I = 3,844 · 105 km; ML = 6 · 1024 kg; MI = 7 · 1022 kg.

22 Izar baten zentrotik r0 distantziara, potentziala neurtzen duen sentsore bat dago, eta balioa V0 da. Izarrak eztanda egin du, eta sentsorea distantzia bikoitzera desplazatu da; orain, potentziala lehengoaren laurdena da. ah Leherketan, zer masa askatu du izarrak? bh Zenbat aldatu da eremua?

23 Astronauta bat M masako planeta baten zentrotik r0 distantziara dago. Bat-batean, arrazoiren batengatik, planetak masaren erdia galdu du. ah Eremuaren balioak berberak izateko, zer distantzia berritara desplazatu beharko luke astronautak? bh Eta zer distantziatara, potentzialaren lehengo balio bera eduki nahi badu?

27 Katapulta batekin, 80 kg-ko objektu bat jaurti dugu, 100 m-ko altueraraino. ah Igoeran, zer lan egin du grabitateak? bh Eta jaitsieran? ch Kalkulatu grabitateak egin duen guztizko lana.

28 Lurraren erradioa baino hiru bider handiagoa den altuera batetik, 250 kg-ko gorputz bat erori da lurrazalera. Zenbateko lana egin du grabitazio-indarrak?

Datuak: ML = 6 · 1024 kg; RL = 6 400 km.

29 Lurrazaletik, 100 kg-ko espazio-zunda bat jaurti da, planetatik ihes egiteko moduan. Infiniturantz urruntzen den arte, zenbateko lana egingo du grabitazioindarrak?

Datuak: ML = 6 · 1024 kg; RL = 6 400 km.

30 Bloke bat, 10 kg-koa, 30°-ko plano inklinatu batetik erortzen ari da, marruskadurarik gabe. Desplazamendua 6 m izan bada, zenbateko lana egin du grabitazioindarrak?

31 Bloke bat, 30 kg-koa, 20 m/s-an herrestan doa plano horizontal batean zehar, marruskadurarik gabe. Marruskadura dagoen gune berri batera sartzen denean, gorputza 40 m-ra gelditu egin da. Kalkulatu marruskadura-koefizientea, energia-arrazoiak baliatuz.

32 Gorputz bat, 8 kg-koa, abiadura konstantean erortzen ari da 40 °-ko plano inklinatu batetik. Kalkulatu marruskadura-koefizientea, energia-arrazoiak baliatuz.

33 Gorputz bat, 5 kilogramokoa, 60 m-tik erori da, eta 30 m/s-ko abiaduran heldu da lurrera.

a) Kalkulatu grabitateak egin duen lana.

b) Kalkulatu zer lan egin duten marruskadura-indarrek.

34 Gorputz bat A-tik B-ra lekualdatzen denean, bi indarrek soilik eragiten diote. Lan garbia zero dela jakinda, zer ziurta dezakegu?

35 Demagun 10 kg-ko objektu bat hartu eta Eiffel dorrearen punturik garaieneraino igo garela ^300 mh Zenbateko energia beharko dugu horretarako?

36 Zer energia beharko da, lurrazalean 50 kg-ko objektu bat hartu eta jaurtitzeko, inoiz ez erortzeko moduan? Airearekiko marruskadura ez dugu kontuan hartuko.

Datuak: ML = 6 · 1024 kg; RL = 6 400 km.

37 Espazioan, 100 kg-ko masa bat dago, Lurraren erradioaren berdina den altueran. Zenbateko lana egin behar dugu, Lurraren erradioa halako biko altuerara eramateko?

Datuak: ML = 6 · 1024 kg; RL = 6 400 km.

39 Bi masa, 500 kg-koak, elkarrengandik 10 m-ra daude. Zer energia beharko dugu, 1 kg-eko masa bat haien arteko erdiko puntutik distantzia infinitu bateraino eramateko?

40 A =  ^5, 2h m puntuan, 1 012 kg-ko masa bat dago. Kalkulatu zenbateko lana egin beharko den 100 g-ko masa bat B =  ^1, 4h m puntutik C =  ^10, −2h m punturaino eramateko. Lana eremuaren kontra egin da?

41 Masa bat, 400 kg-koa, A = ^−1, −2h m puntuan dago, eta 600 kg-ko beste bat, B =  ^1, −1h m puntuan. Zer energia dago bi masen artean gordeta, grabitazioerakarpenaren ondorioz?

42 A = ^−2, 1h m puntuan, 250 kg-ko masa bat dago, eta B = ^1, −1h m puntuan, 350 kg-ko beste bat. Kalkulatu zer lan egin behar den, 0,5 kg-ko masa bat C = ^0, 2h m puntutik D = ^0, −2h m-raino eramateko. Nola egin da lana, eremuaren noranzkoan ala kontrakoan?

Sateliteak orbitan

43 ah Azaldu nola aldatzen den objektu baten energia Lurretik jaurti ostean, h altueraraino. bh Zer altuerataraino helduko litzateke, 1 000 km/h-an jaurtiz gero?

Datuak: ML = 6,37 · 1024 kg; RL = 6 400 km.

44 Berdin-berdinak diren bi satelite orbitan daude Lurraren inguruan, erradio desberdineko orbitarekin.

ah Zein satelite higituko da abiadurarik handienean? bh Zeinek izango du energia mekanikorik handiena? Arrazoitu erantzunak.

38 Plano inklinatu batean, 2 kg-ko gorputz bat 40 m-ko altueran dago. Gorputz hura behe-beheraino erori da, herrestan. ah Zer lan egin du grabitazio-eremuak? bh Zer lan egin du indar normalak? ch Marruskaduraindarrak egiten duen lanaren estimazio bat egin al dezakegu?

45 Demagun 40 kg-ko satelite bat jarri nahi dugula Ilargian, eta 20 m-ko altueran orbitatzen. Zer abiaduratan orbitatu beharko luke? Zenbatean behin egingo luke bira oso bat?

Datuak: MI = 7,3 · 1022 kg; RI = 1 737 km.

46 Satelite batek 850 kg-ko masa du, eta orbita zirkularra du Lurraren inguruan, 20 000 km-an. Lurrera erori dela jakinik, kalkulatu zer abiaduratan helduko den lurrazalera, airearen erresistentzia kontuan izan gabe.

Datuak: ML = 6,37 · 1024 kg; RL = 6 400 km.

47 Orbita zirkularrean dabilen 80 kg-ko satelite bat 40 000 km-ko altueran dago. Zenbateko energia beharko genuke, 50 000 km-ko altueran orbitatu dezan?

Datuak: ML = 6,37 · 1024 kg; RL = 6 400 km.

Marea ozeanikoak

Gure egunerokoan, grabitatearen eragin bakarra ikusten dugula esan daiteke: gorputzak erori egiten dira. Eta hori egia da; gehitu genezake gorputzek pisatu ere egiten dutela grabitatearen ondorioz, baina horrek lotura estua du gorputzak erortzearekin.

Haatik, badago beste grabitazio-fenomeno bat, kostaldean ikusten dena, are ageriagokoa kostaldea ozeanikoa baldin bada, barneko itsasoa izan beharrean. Eragin hori mareak dira. Egun oso batean zehar, itsas maila bi bider igo eta jaisten da. Marinelek ederki asko dakite hori, zeren mareagora erabiltzen baitute kostaldera gerturatzeko maniobretarako, ez dezaten hondoa jo.

48 Infinitutik etorri da 600 kg-ko objektu bat, eta orbita zirkularra egiten hasi da Lurraren inguruan; zehazki, 900 km-ko altueran. Zer abiadura zeraman infinituan?

Datuak: ML = 6,37 · 1024 kg; RL = 6 400 km.

Nola azaldu dezakegu mareak gertatzea? Fenomeno horren jatorria Ilargiaren grabitazio-erakarpena da, funtsean., nahiz eta Eguzkiaren grabitazio-erakarpenak ere eragina duen, baina neurri txikiagoan. Lur planeta esfera trinko moduan, ur-geruza batez inguratutako esfera moduan irudikatzen badugu, errazago ulertuko dugu Ilargitik gertuen dagoen zati likidoa indar handiagoz erakarriko dela zati solidoa baino. Eta hori ez ezik, zati horrekiko erakarpena handiagoa izango da planetaren atzean gelditzen den zati likidoarekiko erakarpena baino. Horren ondorioz, uretan bi konkor agertzen dira: haietako bat Ilargiaren pare-parean dago, eta bestea, atzealdean. Gune horiek itsasgorak edo mareagorak dira, eta erdibidean dauden guneetan, berriz, urak esferarantz higitzen dira, maila jaitsi egiten da, eta itsasbeherak edo mareabeherak sortzen dira.

Lurra Mareabehera

Mareagora

49 Eguzkia bat-batean desagertuko balitz, Lurrak lerro zuzenean ihes egingo luke. Zer abiaduratan?

Datuak: ML = 6,37 · 1024 kg; ME = 1,989 · 1030 kg; DL-E = 149,6 milioi km.

50 Satelite bat, 100 kg-koa, Lurraren inguruan orbitatzen ari da 7 000 m/s-an. Talka egin du objektu baten kontra, eta energia mekanikoa 4,9 · 108 J murriztu zaio, eta beste altuera batean ari da orbitatzen orain. Zer altitudetatik zer altitudetara aldatu du orbita?

Datuak: ML = 6,37 · 1024 kg; RL = 6 400 km.

Ilargiaren grabitazio-indarra

Mareabehera Mareagora

Ilargia

Lurra bere ardatzaren inguruan biratzen da 24 ordutik behin, eta konkorrek, berriz, beren orientazioari eusten diote une oro. Horregatik sortzen dira, hain zuzen ere, bi mareagora eta bi mareabehera egunean zehar. Inoiz fenomeno horri arretaz erreparatzen badiozu, ohartuko zara Ilargia ez dagoela doi-doi lerrokaturik mareagora gertatzen denean. Uraren inertzia da hori gertatzearen arrazoia: urak bere denbora behar du igotzeko eta badia bat betetzeko, esaterako, baita jaisteko ere.

Fisika, teknologia eta gizartea

© GRUPO ANAYA, S.A., 2023 - C/ Valentín Beato, nº 21 - 28037 Madrid.

Reservados todos los derechos. El contenido de esta obra está protegido por la Ley, que establece penas de prisión y/o multas, además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios, para quienes reprodujeren, plagiaren, distribuyeren o comunicaren públicamente, en todo o en parte, una obra literaria, artística o científica, o su transformación, interpretación o ejecución artística fijada en cualquier tipo de soporte o comunicada a través de cualquier medio, sin la preceptiva autorización.