Mundua helburu: Matematika Gizarte Zientzietara Aplikatuta I. Batxilergoa (demo) by Grupo Anaya, S.A.

DEMOA

DAUKA

EKO

LIZEN

PROIEKTU DIGITALA TZ

BATX ILE R GOA

MATEMATIKA

GIZARTE ZIENTZIETARA APLIKATUTA I José Colera J., M.ª José Oliveira G., Ramón Colera C., Rosario García P., Ana Aicardo B.

M lb

u r u

u nd

Aurkibidea Ikasturteko oinarrizko jakintzak

M atematiken historia laburra

.................... 10

Hasierako unitatea 0 Problemak ebatzi

. . ............................................................ 14

• Estrategia batzuen azterketa Praktikatzeko problemak

I. BLOKEA

Aritmetika eta aljebra

1 Zenbaki errealak

. . ........................................................... 30

1. 2. 3. 4. 5.

Hizkuntza matematikoa. Multzoak eta ikurrak Zenbaki errealak. Zuzen erreala Erroak eta erroketak Logaritmoak Errealen adierazpen hamartarra. Zenbaki hurbilduak Ariketak eta problemak Autoebaluazioa

2 Merkataritza aritmetika 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

............................... 56

Ehuneko handiagotze eta txikiagotzeak Tasak eta zenbaki-indizeak Banku-interesak Zer da «Urteko tasa baliokidea» (UTB)? Maileguen amortizazioa Progresio geometrikoak Urterokoak edo hilerokoak kalkulatu, zorrak amortizatzeko 8. Finantza-produktuak Ariketak eta problemak Autoebaluazioa

3 Aljebra

................................................................................................... 78

1. 2. 3. 4. 5.

Polinomioak. Faktorizazioa Zatiki aljebraikoak Ekuazioen ebazpena Ekuazio-sistemen ebazpena Inekuazioak eta ezezagun bateko inekuazio-sistemak 6. Bi ezezaguneko inekuazio linealak Ariketak eta problemak Autoebaluazioa I. blokearen autoebaluazioa

II. BLOKEA

Analisia

4 Funtzioak I

................................................................................ 108

1. Funtzioak eta funtzioen ikasketa 2. Definizio-eremua 3. Funtzio linealak. Interpolazioa 4. Funtzio koadratikoak. Interpolazioa 5. Alderantzizko proportzionaltasuneko funtzioak 6. Erro funtzioak 7. «Zatika» definitutako funtzioak 8. Funtzio baten balio absolutua Ariketak eta problemak Autoebaluazioa

5 Funtzioak II

............................................................................. 134

1. Funtzioen oinarrizko transformazioak 2. Funtzioen konposizioa 3. Funtzio baten alderantzizkoa 4. Funtzio esponentzialak 5. Funtzio logaritmikoak 6. Funtzio trigonometrikoak Ariketak eta problemak Autoebaluazioa

6 F untzioen limiteak. Jarraitutasuna eta adar infinituak

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Estatistika eta probabilitatea III. BLOKEA ................................................. 158

Funtzioen jokabidea infinituan Funtzioen limiteak kalkulatu x → +∞ denean Funtzio baten limitea x → –∞ denenan Funtzioen limiteak kalkulatu x → –∞ denenan Funtzioen jokabidea puntu batean. Limiteak eta jarraitutasuna Limiteak puntu batean kalkulatu Adar infinituak. Asintotak Adar infinituak funtzio arrazionaletan Adar infinituak funtzio trigonometriko, esponentzial eta logaritmikoetan Ariketak eta problemak Autoebaluazioa

8 Banaketa bidimentsionalak

................... 222

1. Banaketa bidimentsionalak. Puntu hodeiak 2. Korrelazio lineala 3. Banaketa bidimentsionalari lotutako parametroak 4. Erregresio-zuzena 5. Bi erregresio-zuzen daude 6. Kontingentzia-taulak Ariketak eta problemak Autoebaluazioa

9 Konbinatoria 7 Deribatuak

eta probabilitatea

. . ................................................................................ 188

1. Funtzio baten hazkundearen neurria 2. Deribatua adierazpen analitikotik abiatuta lortu 3. Funtzio baten funtzio deribatua 4. Funtzio batzuen deribatuak lortzeko erregelak 5. Deribatuen taula 6. Funtzio deribatuaren erabilerak 7. Funtzioen optimizazioa 8. Funtzioen adierazpena Ariketak eta problemak Autoebaluazioa Autoebaluazioa del bloque II

.. .................................................... 244

1. Zuhaitz-diagrama 2. Aldakuntzak eta permutazioak (ordenak ardura du) 3. Ordenak eragiten ez duenean. Konbinazioak 4. Faktorialak eta zenbaki konbinatorioak 5. Probabilitateen kalkulua Ariketak eta problemak Autoebaluazioa Autoebaluazioa del bloque III

Eranskina A utoebaluazioen soluzioak

. . .......................... 263

4 Oinarrizko funtzioak Funtzioari buruzko lehenengo ideiak Funtzioaren kontzeptua xvii. mendean agertu zen, baina abiatu, Antzinaroan abiatu zen, eta horretara iritsi arteko prozesua motela izan zen. Magnitudeen arteko erlazioak deskribatzen dituzten lege-itxurako lehen hurbilketak duela 4 000 urtekoak dira eta babiloniarren matematikan azaldu ziren: erlazio horietan, magnitudeetako baten balioa jakinda oso modu argian lor zitekeen bestearen balioa. K.a. ii. mendean, Ptolomeo matematikari greziarrak aldagaien arteko erlazioak landu zituen, baina funtzioaren kontzeptua ulertzera iritsi gabe. D’Oresmek (xiv. mendeko matematikari frantsesa) 1350ean baieztatu zuenez, naturako legeak «bi kantitateren» arteko mendekotasun-erlazioak dira. Hain zuzen ere, erlazio mota horiek balio izan zuten funtzioaren kontzeptua sortzeko. Funtzioari buruzko lehenengo ideia, beraz, zenbait magnitude modu aljebraikoan erlazionatzen dituen formula izatea da. Galileok, xvi. mendearen amaieran, informazio-iturri moduan esperimentazio kuantitatiboa erabili zuen lehen aldiz. Kausak eta efektuak neurtzen, oharrak idazten eta kuantitatiboki balioesten hasi zen, naturako fenomenoak deskribatzen zituzten zenbakizko erlazioak ezartzeko.

Ptolomeoren Geographia lanean agertzen den mapamundiaren kopia.

Funtzioaren kontzeptua orokortu egin zen Galileok bi aldagairen (x eta y, kausak eta efektuak) arteko erlazio matematikoei buruz egindako ikerketak funtzioaren kontzeptuaren aurrekari oso argia dira, eta xvii. mendean zehar forma hartzen joan ziren. Diagrama kartesiarren bidezko adierazpen grafikoak (xvii. mendea) funtzioak bistaratzea ahalbidetu zuen. Horrela, funtzioaren kontzeptua orokortu egin zen, eta koordenatu-ardatz batzuetan adierazitako grafiko bati zegokion zenbakizko edozein erlazio zehazteko erabili zen. Leibnizek, 1673an, funtzio hitza onartu zuen erlazio horiek izendatzeko. Eulerrek, 1748 eta 1755 bitartean, kontzeptua orraztu, eta zehaztasuna eta orokortasuna eman zion, bi aldagairen arteko erlazioa funtzioa izan litekeela onartuz, nahiz eta erlazio hori deskribatzen duen adierazpen analitikorik ez egon. Eulerrek berak zehaztu zuen f (x) nomenklatura x zenbakiari lotutako f funtzioaren balioa adierazteko. Esan liteke, funtzioaren kontzeptua finkatu egin zela Eulerrekin.

114

Funtzioen erabilera Funtzioak gizarte, natura, zientzia eta hainbat arlotako fenomeno ugariren ereduak adierazi eta aztertzeko erabiltzen dira. Batzuek oso adierazpen konplexuak dituzte, baina beste asko oso-oso sinpleak dira. Nola zehaztu odolean dagoen oxigeno-kantitatea? Horretarako erabiltzen den funtzioetako batek ese letraren itxura du (forma sigmoideoa duela esaten da). Ba al dago fosilen adina zehazteko funtziorik? Bai, funtzio logaritmiko bat. NASAko zientzialari talde batek eredu matematiko konplexu bat garatu zuen Fobosen (Marteren satelitea) eklipseak iragartzeko eta Curiosity ibilgailuarekin behatu ahal izateko Marteren lurrazaletik. Eklipse horiek iragartzeko, besteak beste jakin behar da Fobosek eta Eguzkiak Martetik zer koordenatu dituzten edozein unetan. Garaturiko ereduak Curiosity ibilgailuaren mastan jarritako kamerak Eguzkia zer unetan fokatu behar duen zehaztu zuen.

Curiosity zunda Marteren lurrazalean.

EBATZI Funtzio-familiak Funtzio-familia asko ezagutzen dituzu: zer izen dituzten, nolako adierazpen analitikoak dituzten eta zer formatako grafikoak dituzten. Lotu familia-izen bakoitza dagokion adierazpen grafikoarekin eta adierazpen analitiko orokorrarekin. 1. Koadratikoa 2. Erroduna 3. Alderantzizko proportzionaltasunekoa 4. Esponentziala 5. Logaritmikoa A

B Y

E Y

X X

E Y

X X

I. y = x – 4

II. y = 4x

III. y = x 2 – 4x

IV. y = log2 x

V. y =

2 x –3

115

Funtzioak eta horien azterketa Funtzioaren kontzeptua Zientzian, teknikan, naturan, ezin konta ahala funtzio bereiz ditzakegu: • Partikula batek daraman abiadura denboraren araberakoa da, denboraren funtzioa da. • Itsasoko uraren presioa sakoneraren funtzioa da. • Objektu batek lupa batean zehar ikustean duen tamaina lupa ezarri dugun distantziaren funtzioa da. • Estimulu bat jasotzean igartzen dugun sentsazioa estimuluaren intentsitatearen funtzioa da. Horietan guztietan bi aldagai erlazionatzen dira. Bai funtzio horietan eta bai normalean erabiltzen ditugun besteetan ere, elkarrekin erlazionatzen diren aldagaiek balio errealak hartzen dituzte (hau da, zenbaki errealen Á multzokoak dira). f Á-ren funtzio bat da Á-n, x ∈ Dom zenbaki erreal bakoitzari f (x) beste zenbaki erreal bat badagokio: Dom ⊂ Á

Dom ⎯→ Á x ⎯→ f (x)

x aldagai askeak har ditzakeen balioen Dom multzoari funtzioaren definizioeremu esaten zaio. Y IBILBIDEA

Funtzioak hartzen dituen balioen multzoa ibilbidea da.

➜

y = f (x)

anayaharitza.es Zenbait funtzio motaren definizio-eremua eta barrutia irudikatzen duen animazioa.

DEFINIZIO-EREMUA

Azpimarra dezagun, f (x) funtzio izateko, x ∈ Dom balio bakoitzari f (x) balio bat bakarra egokitu behar zaiola: f (x) bakarra da x ∈ Dom bakoitzerako Bai x aldagaiak bai f (x) funtzioak balio errealak hartzen dituztenez, funtzio horiek aldagai errealeko funtzio errealak direla esaten da.

Nola adierazten diren funtzioak Funtzioak hainbat modutan adierazita ematen zaizkigu: • Grafikoaren bidez Begi kolpe batean argi ikusten dugu funtzioa nolakoa den. • Adierazpen analitikoaren bidez (formula) Bi aldagaien arteko erlazioa bikain laburtzen du aljebraikoki. Adierazpen mota zehatzena da, baina ez da erraz ikusten zer jokabide duen begi-kolpe batean. • Enuntziatu baten bidez Enuntziatu baten bidez adierazten bada (balio-taula bat eta guztiz, zenbaitetan), grafiko batera itzuli behar dugu edo, ahal izanez gero, adierazpen analitiko batera. 116

y=x

3 x +1 –x –3

Gaixoaldia hasi berri duen paziente baten tenperatura, berriz ere 37 °C izatera itzuli arte…

Funtzio baten alderdi aipagarriak Grafikoaren bidez emandako funtzio baten portaera aztertzea erraza da. Izan ere, horretarako daude grafikoak: funtzioaren gorabeherak begiz ikustea erraza izan dadin. Igoerak eta jaitsierak (tarte gorakorrak eta beherakorrak) ageri zaizkigu, maximoak (kurba gehiago igo ez eta jaisten hasten den puntuak) eta minimoak; baita etenak (hausturak), adar infinituak... Hori guztia oso garrantzitsua da deskribatu beharko ditugun funtzioak aztertzeko. Y

Limiteak Adar infinituak, bai puntu finituetan daudenak, bai funtzioa ezkerrerantz edo eskuinerantz urruntzen denean sortzen direnak, limiteen bidez lortzen dira.

GALDETU ADIERAZPEN ANALITIKOARI Funtzio baten adierazpen analitikoari galderak egiten ikasi behar dugu. • Jarraitua zara? • Adar infinituak dituzu? Non daude? Nolakoak dira? • Non zara gorakorra? Non beherakorra? • Zein dira zure maximoak eta minimoak? •… Eta gauza izan behar dugu galdera horien erantzunak aurkitzeko.

Limiteen azterketa (11. unitatea) oso lagungarria izango da adar horiek existitzen diren, non kokatuta dauden eta zer forma duten jakiteko. Horrez gain, funtzio bat puntu batean jarraitua den ala ez den, edo «hausturarik» dagoen argitzen ere laguntzen dute limiteek.

gora

ako rra

rr ko

ra he

Deribatuak ondo erabiltzen jakinez gero, funtzio bat zer tartetan den gorakorra eta zer tartetan beherakorra jakingo dugu, baita funtzio horren maximoak eta minimoak lortzen ere.

Funtzio baten deribatua beste funtzio bat da, eta lehenengo horren malda (inklinazioa) puntu bakoitzean nolakoa den deskribatzen du. 12. unitatean deribatuak kalkulatzeko teknikak ikasiko ditugu.

gor

Deribatuak

korr a

Aurreko ikasturteetan, grafikoen bidez deskribatutako fenomeno fisikoen, biologikoen, ekonomikoen eta abarren interpretazioa landu genuen. Ikasturte honetarako, helburu berri eta handi bat ezarri dugu: funtzioak adierazpen analitikotik abiatuta irudikatzeko gai izatea,. Horretarako, orain oso labur deskribatu ditugun, baina hurrengo unitateetan sakon aztertuko ditugun bi tresna garrantzitsu behar ditugu: limiteak eta deribatuak. Y Y

117

Definizio-eremua Zergatik murrizten da definizio-eremua? • y = –5x 2 + 20x funtzioa parabola bati dagokio. x-ren balio erreal bakoitzari y-ren balio bat dagokio. Horren definizio-eremua Á osoa da. • a = 20t – 5t 2 funtzioa gorantz 20 m/s-ko abiadurarekin bota dugun harri batek hartzen duen altuerari dagokio. Aurreko paragrafoan deskribaturiko parabola bera da, baina kasu honetan funtzioa a ≥ 0 egiten duten t-ren balioetarako baino ez dago definituta (harria gelditu egiten da lurzorura iristean). Funtzio horren definizio-eremua [0, 4] da. • y = x – 7 adierazpen analitikoa duen funtzioa ez dago definituta x = 1 kasuan; izan ere, 1 – 7 = –6 ez da zenbaki erreala. x-ren balioa 7 edo gehiago bada baino ez dago definituta. Horren definizio-eremua [7, +∞) da.

Y 20

a = 20t – 5t 2

10 0

y = –5x 2 + 20x

Funtzio baten definizio-eremua mugatzen duen arrazoia ondorengo hauetako bat izan liteke: • Funtzioari dagokion enuntziatua edo testuinguru erreala. • x-ren balio jakin batzuekin ezin izatea eragiketaren bat egin. Adibidez: — Zatiki aljebraiko bateko izendatzailea baliogabetzen bada. — Errotzaile bikoitia duen erro baten barruan zenbaki negatibo bat agertzen bada. — Logaritmo batek positiboa ez den zenbaki bati eragiten badio.. • Funtzioa proposatu duenaren borondatez. Definizio-eremua mugatzen duten eragiketak • Zer izendatzailea x2 – 1 Esate baterako, f(x) = . Kasu honetan, definizio-eremux 2 – 2x – 15 tik kanpo utzi behar dira izendatzailea baliogabetzen duten x-ren balioak. x 2 – 2x – 15 = 0 ekuazioa ebatzita lortuko ditugu → x = –3, x = 5. Beraz: Dom f = Á – {–3, 5} = (–∞, –3) « (–3, 5) « (5, +∞)

ERREPARATU Besterik esaten ez bada, funtzio baten definizio-eremua bere adierazpena analitikoak baimentzen duen bezain zabala da.

GOGORATU (–3, 5) tarteak–3 eta 5 bitartean dauden zenbaki guztiak hartzen ditu, baina ez ditu barne hartzen ez–3, ez 5. [–3, +∞) tarteak–3 baino handiagoak diren zenbaki guztiak hartzen ditu, baita –3 bera ere.

• Errotzaile bikoitia eta errokizun negatiboa duen erroa Esate baterako, f(x) = 2x + 6 . Kasu honetan, 2x + 6 ≥ 0 egiten duten x-ren balioekin bakarrik lortuko dugu erro karratua; hau da, x ≥ –3 denean. Beraz: Dom f = [–3, +∞) • Positiboa ez den zenbaki baten logaritmoa Esate baterako, f(x) = ln (3x – 12). Logaritmoa lortzeko, 3x – 12 > 0 izan behar da; hau da, x > 4. Beraz, definizio-eremua hau da: Dom f = (4, +∞) • Zenbait murrizketa Funtzio berean egoera horietako bat baino gehiago ageri badira, denak hartu behar dira kontuan. Adibidez: • f(x) = 1 . Erro karratua kalkulatu ahal izateko, x + 4 errokizuna zero baino x +4 handiagoa edo zero izan behar da; baina izendatzailean dagoenez, ezin da zero izan. Beraz, definizio-eremua x + 4 > 0 beteko duten x-ren balioek osatuko dute; hau da, x > – 4. Eta definizio-eremua hau da: Dom f = (–4, +∞). • f(x) = 1 + x . Alde batetik, izendatzailea ezin da zero izan, eta, beraz, x = 5 ez x –5 da definizio-eremukoa izango. Baina horrez gain, x ≥ 0 izan behar da erro karratua lortu ahal izateko. Bi baldintzak kontuan hartuta, Dom f = [0, 5) « (5, +∞). 118

➜

Erabili GeoGebraren laguntza definizio-eremua aurkitzeko.

Ebatzitako ariketak

1 Aurkitu honako funtzio hauetako bakoitzaren definizio-eremua: a) y = 2x + x – 5 x+4 3 b) y = 3x – 72x – 6 x – 8x + 15x c) y = 2x – 3 x + x +1

a) Kasu honetan, 0 definizio-eremutik kanpo utzi behar da, lehenengo izendatzailea baliogabetzen baitu, eta baita –4 ere, bigarrena baliogabetzen baitu. Beraz: Dom = Á – {–4, 0} = (–∞, –4) « (–4, 0) « (0, +∞) b) Funtzioa ez dago definituta izendatzailea baliogabetzen den puntuetan, berdin dio zenbakitzailea puntu horietan baliogabetzen den ala ez den: x3 – 8x2 + 15x = 0 ⇔ (x2 – 8x + 15) · x = 0 ⇔ x = 0, x = 3, x = 5 Hiru balio horiek definizio-eremutik kanpo utzi behar dira. Beraz: Dom = Á – {0, 3, 5} = (–∞, 0) « (0, 3) « (3, 5) « (5, +∞)

c) Izendatzailea ez da puntu batean ere baliogabetzen. Beraz, definizio-eremua Á osoa da: Dom = Á 2 Aurkitu honako funtzio hauetako bakoitzaren definizio-eremua: x2

a) Ikus dezagun x-ren zer baliorekin den zero baino handiagoa edo zero errokizuna: Hau daukagu: x 2 – 3x = 0 → x (x – 3) = 0 → x = 0, x = 3

– 3x a) y = 2 b) y = ln (x – 3x)

Parabolaren adierazpenak errokizuna (0, 3) tartean negatiboa dela ikusten laguntzen digu.

Beraz, definizio-eremua hau da: 1

Dom = Á – (0, 3) = (–∞, 0) « (3, +∞)

b) Logaritmoaren adierazpena negatiboa edo zero da [0, 3] tartean. Beraz, definizioeremua hau da: Dom = Á – [0, 3] = (–∞, 0) « (3, +∞) 3 Aurkitu funtzio honen definizio-eremua: log (x – 1) y= 5x – x 2

log funtzioak balio positiboak bakarrik onartzen ditu → x – 1 > 0 → x > 1 Erroak, negatiboak ez diren balioak → 5x – x2 ≥ 0 → 0 ≤ x ≤ 5

° ¢0<x<5 Izendatzailea ezin da baliogabetu → 5x – x2 ≠ 0 → x ≠ 0 y x ≠ 5 £

Bi baldintzok (1, 5) tartean betetzen dira.

x>1 0

Beraz: Dom = (1, 5)

0<x<5

Pentsatu eta trebatu

➜

anayaharitza.es Eremuen kalkulua hedatzen du.

Aurkitu honako funtzio hauetako bakoitzaren definizio-eremua: 1 a) y =

1 2 x – 4x – 3

2 b) y = x –24x + 3 x +1

1 3x – 9

2 a) y = 3x + 9

b) y =

3 a) y = x 2 – 5x

b) y = 3x2 – 5 x – 5x

4 a) y = log (5x – 20)

b) y = ln (x2 – 5x)

5 a) y =

2x + 1 x 3 – 6x 2 + 8x

b) y = x 3 – 6x 2

6 a) y =

1 – 3x – 1 x +1 x –2

b) y =

x log x

119

Funtzio linealak. Interpolazioa Funtzioek eguneroko fenomenoak, fenomeno psikologikoak, zientifikoak, teknikoak… deskribatzen dituzte. Funtzio horiek, normalean, saiakuntza eta esperimentuen bidez lortzen dira eta, sarritan, aurreko ikasturteetatik ezagun ditugun familia handietakoren batekoak dira. Gogora ditzagun familia horiek eta saiakuntzen bidez lorturiko familia horietako funtzio batzuk.

anayaharitza.es Funtzio lineal

➜

baten adierazpen grafikoa.

Funtzio linealak Funtzio linealak lehen mailako y = mx + n erako ekuazioen bidez deskribatzen dira (m, malda; n, ordenatua jatorrian), eta zuzenen bidez adierazten dira.

Y y = mx + n n X

m malda x aldagaiak hartzen duen koefizientea da y askatuta dagoenean. y aldagaian gertatzen den aldakuntza da x unitate bat handitzean. Zuzeneko P (x1, y1) eta Q (x2, y2) bi punturen koordenatuak zein diren jakinda, malda lortzeko hau egingo dugu: y 2 – y 1 da y -ren aldakuntza y –y m= 2 1 x 2 – x 1 da x -ren aldakuntza x2 – x1 Zuzen (funtzio lineal) bati buruz (x0, y0) puntu bat eta m malda badakizkigu, zuzenaren ekuazioa honela jar daiteke: zuzen baten ekuazioaren puntu-malda forma y = m(x – x0) + y0 Funtzio linealaren adibide bat: Itsasoko P presioa (atmosferatan) eta h sakonera (m-tan) ekuazio honen bidez erlazionatzen dira: P=1+ h , h>0 10 100 m-ko sakoneran, presioa buru gainean 2 t-ko kamioi bat jartzearen parekoa da. Pentsa, beraz, 3 000 m-ra, arrain abisalak bizi diren inguruan. Ebatzitako ariketa

➜

1 Idatzi grafikoan adierazitako nen ekuazioa. c

a b

120

T tg γ 90°

180°

β γ

α δ

tg α

Bazenekien itsasoan sakonerarik handiena Marianetako hobian dagoela, Ozeano Pazifikoan, 10 924 m-ra? Zer presio jasaten dute han bizi diren izakiek? Albiste triste bat: Limiting Factor urpekoontziak Marianetako hobiaren hondora iritsi eta sakontasun-errekorra markatu zuenean, plastikozko poltsa bat eta gozoki-bilgarriak aurkitu zituen.

U tg β

anayaharitza.es Idatzi zuzenaren puntu-malda tg δ ekuazioa. 270° t zuze-

a) (0, 4) eta (2, 5) puntuetatik igarotzen da. Malda m = 5 – 4 = 1 da. Ordenatua 2–0 2 jatorrian 4 da. Zuzenaren ekuazioa hau da: y = 1 x + 4 2 b) (0, 0) eta (3, 2) puntuetatik igarotzen da. Malda m = 2 da. Ordenatua jatorrian 0 da. 3 Zuzenaren ekuazioa hau da: y = 2 x 3 Gogoan izan: jatorritik igarotzen diren funtzio linealei proportzionaltasun-funtzio esaten zaie. c) (2, 7) eta (5, 3) puntuetatik igarotzen da. m = 3 – 7 = – 4 da. Ekuazioa: y = – 4 5–2 3 3 (x – 2) + 7

Interpolazio lineala Funtzio bati buruz bi puntu baino ez badakizkigu, ezin izango dugu ezer esan edo ezer gutxi esan ahal izango dugu beste puntu batzuetan duen jarrerari buruz. Baina bi puntu horien artean funtzioa lineala dela pentsatzeko arrazoirik badugu, tarteko puntu horietan zer balio hartzen dituen lor dezakegu (zehatz edo gutxi gorabehera), zuzen baten ekuazioa erabiliz. y1 – y0 y=— (x – x0 ) + y0 x1 – x0

A(x0, y0)

B(x1, y1) y1 – y0

Funtzio bat A(x0, y0), B(x1, y1) puntuetatik igarotzen da; hau da, f (x0) = y0, f (x1) = y1. Funtzioa [x0, x1] tartean lineala dela pentsatzeko arrazoirik badago, funtzioak tarte horretako edozein x abzisatarako zer balio hartuko duen kalkula dezakegu, A eta B-tik igarotzen den zuzenetik abiatuta: y –y x ∈ (x0, x1) bada, orduan f (x ) = 1 0 (x – x0) + y0 x1 – x0 Prozesu horri interpolazio lineala deitzen zaio.

x1 – x0

x abzisa-puntua [x0, x1] tartetik kanpokoa bada, prozesua estrapolazioa dela esango dugu. Estrapolazioan, zenbat eta urrunago egon x tartetik, orduan eta fidagarritasun txikiagoa izango du f (x )-rako lortzen dugun balioak. Ebatzitako ariketa

1 Malguki batetik 40 g-ko pisua eskegiz gero, malgukia 12 mm luzatzen da. Eta 60 g-ko pisua eskegiz gero, 20 mm. a) Zenbat luzatuko da 55 g-ko pisua eskegiz gero? b) Eta zenbat luzatuko da 100 g-ko pisua jarriz gero? c) Eta pisua 5 kg-koa bada?

a) [40, 60] tartean, malgukiaren luzera eskegitzen dugun pisuarekiko linealki menpekoa dela pentsa dezakegu. Beraz, tarte horretako pisu batekin zenbat luzatuko den estimatu ahal izango dugu: B(60, 20) f (55) = 8 (55 – 40) + 12 = 20 8 (x – 40) + 12 y=— 20 = 2 · 15 + 12 = 18 20 – 12 = 8 5 A(40, 12) 55 g-rekin, malgukia 18 mm luzatuko da. 60 – 40 = 20 b) 100 g-rekin, hau lortzen dugu: f (100) = 2 (100 – 40) + 12 = 36 mm. 5 2 c) Eta 5 kg = 5 000 g-rekin, f (5 000) = (5 000 – 40) + 12 = 1 996 mm. 5 b) kasuan egindako estrapolazioa arrazoizkoa izan daiteke, 100 g hurbil baitago [40, 60] tartetik. Baina c) kasuan lortutako emaitza zentzugabekeria da. Pisu horrekin (5 000 g) malgukia deformatu edo apurtu egingo da. Estrapolazio hori ez da baliozkoa.

Pentsatu eta trebatu

1 Irudikatu funtzio hau:

d) 2022an zenbat egongo direla aurreikus liteke? e) Eta 2052an?

y = –2x + 7, x ∈ (1, 4] 2 f funtzio lineal batek hau betetzen du: f (3) = 5, f (7) = – 4, Dom( f ) = [0, 10]. Zein da funtzioaren adieraz-pen analitikoa? Irudikatu.

4 Automobil batek 100 km egiten dituen bakoitzeko kontsumitzen duen gasolina abiaduraren araberakoa da. 60 km/h-ra joanda 5,7 L kontsumitzen ditu, eta 90 km/h-ra joanda, 7,2 L.

3 Unibertsitate batean, 2014. urtean, 15 200 ikasle zeuden matrikulatuta, eta 2019an, 18 000 ikasle. Estimatu zenbat zeuden:

a) Estimatu kontsumoa 70 km/h-ra egiten baditu 100 km. b) Zenbat kontsumituko du 100 km/h-ra joanda? c) Eta 200 km/h-ra joanda?

a) 2015ean.

b) 2017an.

c) 2012an.

121

Funtzio kuadratikoak. Interpolazioa Funtzio kuadratikoak bigarren Y mailako ekuazioen bidez deskribatzen dira

Parametroen arabera aldatzen

➜

diren parabolak.

y = ax 2 + bx + c

y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 X

eta parabolen bidez adierazten dira. • Ardatzak Y ardatzarekiko paralelo dituzte.

• Parabola horien itxura (adarrak gorantz edo beherantz egotea, zabalagoak edo estuagoak izatea…) a-ren balioaren araberakoa da. — Bi funtzio kuadratikok a-ren balio bera badute (x 2-ren koefiziente bera), funtzio horietatik lortzen ditugun parabolak berdinak dira, nahiz eta posizio desberdinetan egon.

anayaharitza.es Adierazi funtzio

➜

koadratikoak.

— a > 0 bada, adarrak gorantz doaz; eta a < 0 bada, beherantz. — Zenbat eta handiagoa izan |a |, orduan eta lirainagoa da parabola. • y = ax 2 + bx + c parabolaren erpinaren abzisa x0 = – b da. 2a Adibideak: ALTUERA (m) • Gorantz bertikalean 50 m/s-ko abiaduraz bota den objektu batek hartzen duen a altuera (m-tan), t denboraren (s-tan) funtzioan, honako hau da: a = 50t – 5t 2,

100

EGINDAKO DISTANTZIA (m)

a = 50t – 5t 2

100

0 ≤ t ≤ 10

DENBORA (s)

• Auto bateko gidariak arrisku bat ikusten duenetik autoa guztiz gelditzen denera arte egindako d distantzia (m-tan), autoak une horretan daraman v abiaduraren (km/h-tan) funtzioan, honako adierazpen analitiko honek ematen digu: d = 0,0074v 2 + 0,21v,

d = 0,0074v 2 + 0,21v

10 10

0 ≤ v ≤ 100

100

ABIADURA (km/h)

Ebatzitako ariketa

1 Irudikatu honako parabola hauek: a) y = x 2 – 4x + 6 b) y =

Erpinen abzisak hauek dira: a) 2, b) 0, c) 2, d) 2 Ekuazio bakoitzean balio batzuk eman eta irudikapena lortuko dugu:

x 2

–1 c) y = – 1 x 2 + 2x + 5 2 d) y = 2x 2 – 8x + 4

Pentsatu eta trebatu

1 Irudikatu funtzio hauek: x2

a) y = – 2x + 3 c) y = x 2 – 6x + 5 e) y = (1/3)x 2 – x + 3

122

2 Irudikatu honako funtzio hauek: – x2

b) y = – 2x – 3 2 d) y = 2x – 10x + 8 f ) y = (1/4)x 2 + x – 2

a) y = x 2 – 6x + 1, x ∈ [2, 5) b) y = – x 2 + 3x, x ∈ [0, 4] c) y = x 2 – 4, x ∈ (– ∞, –2) « (2, +∞)

Hiru puntutik igarotzen den parabola A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) puntuak lerrokatuta ez badaude, orduan A, B eta C puntuetatik igarotzen den parabola bakarra (bat bakarrik) existitzen da. Parabola hori zehazteko, y = ax 2 + bx + c ekuazio orokorra jarriko dugu eta hiru puntu horietako bakoitzetik igarotzera «behartuko» dugu. Horrela, a, b eta c hiru ezezaguneko hiru ekuazio dituen sistema bat lortuko dugu. Sistema hori ebatzita, ekuazioaren parametroak lortuko ditugu. Ebatzitako ariketa

1 Aurkitu (2, – 1), (6, –5) eta (10, 7) puntuetatik igarotzen den parabolaren ekuazioa.

EGIZU ZEUK

Aurkitu (0, 3), (2, –3) eta (6, 9) puntuetatik igarotzen den parabolaren ekuazioa.

Parabolaren ekuazio orokorra idatziko dugu, y = ax 2 + bx + c, eta emandako hiru puntu horietako bakoitzetik igarotzera behartuko dugu: _ (2, –1) 8 –1 = a · 2 2 + b · 2 + c 8 4a + 2b + c = –1 bb (6, –5) 8 –5 = a · 6 2 + b · 6 + c 8 36a + 6b + c = –5 ` (10, 7) 8 7 = a · 10 2 + b · 10 + c 8 100a + 10b + c = 7 b a 1 Sistema hori ebatzi eta koefizienteak lortuko ditugu: a = , b = –5, c = 7. 2 Bila gabiltzan parabola y = 1 x 2 – 5x + 7 da. 2

Newtonen metodoa parabola baten ekuazioa lortzeko Metodo hau erabilita, A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) hiru puntutik igarotzen den parabola bat erosoago lortzen da. Erabili ondorengo adierazpen hau parabolaren ekuazio moduan: y = p + m(x – x1) + n(x – x1)(x – x2) A, B eta C-tik igarotzera behartzen dugunez, lortzen dugun ekuazio-sistema mailakatua da eta, beraz, ebazteko errazagoa. Ebatzitako ariketa

1 Aurkitu, Newtonen metodoa erabilita, (2, –1), (6, –5) eta (10, 7) puntuetatik igarotzen den parabolaren ekuazioa. EGIZU ZEUK

Aurkitu, Newtonen metodoa erabilita, (0, 3), (2, –3) eta (6, 9) puntuetatik igarotzen den parabolaren ekuazioa. Egiaztatu Egizu zeuk atalean lortutako bera dela.

Parabolaren ekuazioa: y = p + m(x – 2) + n(x – 2)(x – 6) Emandako hiru puntuetatik igarotzera behartuko dugu: (2, –1) → –1 = p + m · (2 – 2) + n · (2 – 2) · (2 – 6) → p = –1 (6, –5) → –5 = p + m · (6 – 2) + n · (6 – 2) · (6 – 6) → p + 4m = –5 → m = –1 (10, 7) → 7 = p + m · (10 – 2) + n · (10 – 2) · (10 – 6) → p + 8m + 32n = 7 → n = 1 2 1 Hori eginda, ekuazio hau lortuko dugu: y = (x – 2)(x – 6) – (x – 2) – 1 2 Eragiketak egin eta gaiak multzokatuta, aurreko ariketako ekuazioa lortuko dugu: y = 1 x 2 – 5x + 7 2

Pentsatu eta trebatu

3 Aurkitu (–1, 0), (2, 12) eta (8, –72) puntuetatik igarotzen den parabolaren ekuazioa. a) Ekuazioaren adierazpen orokorra erabiliz. b) Newtonen metodoaren bidez.

Aurkitu y = x 2 + 6x + 5 parabolako zer puntuk dituzten 0, 3 eta 5 abzisak. Lortu, Newtonen metodoa erabiliz, hiru puntu horietatik igarotzen den parabola eta egiaztatu aurrekoaren berdina dela.

123

Funtzio kuadratikoak. Interpolazioa

Interpolazio parabolikoa Funtzio bati buruz A(x1, y1), B(x2, y2) eta C(x3, y3) hiru puntu baino ez badakizkigu, x1 < x2 < x3 izanik, puntu horietatik igarotzen den y = P (x) parabolatik abiatu eta gutxi gorabeherako beste puntu batzuk lor ditzakegu. Estimatutako balioan izan dezagun konfiantza funtzioaren araberakoa eta puntu berriaren kokapenaren araberakoa izango da: • x puntua [x1, x3] tartean badago, interpolazio bat izango da eta estimaturiko balioa balio errealetik oso gertu egotea espero dezakegu. • x puntua [x1, x3] tartetik kanpo badago, estrapolazio bat da; beraz, kasu horretan, zenbat eta hurbilago egon x tartearen muturretatik, orduan eta fidagarriagoa izango da estimazioa. Ebatzitako ariketa

1 Herrialde bateko langabeziaren ehunekoa honako hau izan zen aurreko urte batzuetan: urtea

2013

2017

2019

26,10

17,70

15,78

Estimatu zein izan zen langabeziaren ehunekoa 2014, 2018 eta 2010 urteetan, interpolazio (edo estrapolazio) paraboliko bat eginez.

Zero urte moduan 2013. urtea hartuko dugu. Ondorioz, (0; 26,10), (4; 17,70), (6; 15,78) puntuetatik igarotzen den parabolaren ekuazioa lortu behar dugu. Newtonen metodoa erabiliz egingo dugu. Ekuazioa: y = P (x) = p + m(x – 0) + n(x – 0)(x – 4) → y = P (x) = p + mx + nx(x – 4) Orain, emandako hiru puntuetatik igarotzera behartuko dugu: (0; 26,10) → 26,10 = p + m · 0 + n · 0 · (– 4) → p = 26,10 (4; 17,70) → 17,70 = 26,10 + m · 4 + n · 4 · 0 → m = – 2,10 (6; 15,78) → 15,78 = 26,10 – 2,10 · 6 + n · 6 · 2 → n = 0,19

EGIZU ZEUK

Herrialde bateko langabeziaren ehunekoa aurreko urte batzuetan hau izan zen: urtea

1994

1997

2000

24,1

20,6

13,9

Estimatu zein izan zen langabeziaren ehunekoa 1998, 2001 eta 2003 urteetan, eta konparatu balio errealekin. urtea

1998

2001

2003

18,6

10,63

11,37

Ekuazioa hau da: y = P (x) = 26,10 – 2,1x + 0,19x (x – 4). P-ren balioa lortuko dugu, eskatutako puntuetako bakoitzean: 2014 → x = 1 → P (1) = 26,10 – 2,1 · 1 + 0,19 · 1 · (–3) = 23,43 (Balio erreala: % 23,67, estimatutakotik nahiko hurbil) 2018 → x = 5 → P (5) = 26,10 – 2,1 · 5 + 0,19 · 5 · 1 = 16,55 (Balio erreala: % 16,61, estimatutakotik nahiko hurbil) 2010 → x = –3 → P (–3) = 26,10 – 2,1 · (–3) + 0,19 · (–3) · (–7) = 36,39 (alio erreala: % 19,86, estimatutakotik oso urruti) Ikusten duzunez, tartearekiko interpolatuz egindako estimazioak onak dira. Tartetik urrunduz gero, errealitateari ez dagokion emaitza lortzen da.

Pentsatu eta trebatu

13.2. helburua. Elkarte ekologista batek 12 300 kide zituen 2015. urtean, 14 100 kide 2017an eta 15 600 kide 2020an. Estimatu zenbat zituen: a) 2016. urtean. b) 2018an eta 2012an. c) 2022an zenbat izango dituela aurreikus genezake? Interpretatu emaitzetako bakoitza, kontuan hartuta interpolazioa edo estrapolazioa den, eta datu errealetatik zenbateko urruntasuna duten.

124

6 Automobil batek 100 km-ko kontsumitzen duen gasolina autoak daraman abiaduraren araberakoa da. 60 km/h-ra joanda, 5,7 L kontsumitzen ditu; 70 km/h-ra, 6 L eta 90 km/h-ra 7,2 L kontsumitzen ditu. Kalkulatu zenbat gastatuko duen 100 km-ko abiadura hauetan joanda: a) 80 km/h b) 100 km/h c) 200 km/h Enuntziatu hau aurreko ataleko 4. ariketan agertzen den modukoa da, baina datu bat gehiagorekin: 70 km/h-ko abiadurari dagokion kontsumoaren datua. Beraz, kasu honetan, hiru puntu izanda, interpolazio parabolikoa egin daiteke.

Alderantzizko proportzionaltasuneko funtzioak y = k ekuazioa duten funtzioei alderantzizko proportzionaltasuneko funtzio esax ten zaie. Horien grafikoak hiperbolak dira. Eta definizio-eremua (–∞, 0) ∪ (0, +∞) da. 1 y=— x

➜

y = a/x hiperbolak

➜

anayaharitza.es

2 y=— x

1 1

1 motako x –a

funtzio batek, parametroa aldatzean, zer jokabide duen ikusteko animazioa.

HANDITZEA

Gogoan izan hiperbola bakoitza asintota izeneko zuzen bikote bati «estu lotzen» zaiola. Bada, alderantzizko proportzionaltasuneko funtzioetan, asintotak koordenatu ardatzak dira. y = ax + b funtzioen grafikoak ere hiperbolak dira. cx + d Adibideak: • Lupa batek eragiten duen A handitzea honako ekuazio honek ematen du: 4 4–d Ekuazio horretan, d objektua zer distantziatan (cm-tan) jarri den da. 8 cm-ko luzera duen xiringa bati irteerako zuloa estali diogu. Enboloa sakatzean, airea konprimatu egiten da. A=

•

4 A=— 4–d DISTANTZIA (cm) 4

LUZERA (cm)

P presioaren (atmosferatan) eta aire-zutabearen l luzeraren (cm-tan) arteko erlazioa honako ekuazio honek ematen digu:: l = 8 , P ≥ 0 P +1

10 8 8 l=— P≥0 P+1

–1

PRESIOA (atm)

Ebatzitako ariketa

1 Irudikatu:

a) Asintotak koordenatu-ardatzak dira.

a) y = 6x

Koordenatu osoko puntu batzuk hauek dira:

b) y = – 4x

(–3, –2), (– 6, –1)

(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1), (–1, – 6), (–2, –3),

6 y=— x

1 1

b) Asintotak koordenatu-ardatzak dira. Koordenatu osoko puntu batzuk hauek dira: (– 4, 1), (–2, 2), (–1, 4), (1, – 4), (2, –2), (4, –1)

4 y = –— x 1

Pentsatu eta trebatu

1 Irudikatu: a) y = – 1 x

b) y = 8 x

c) y = – 6 x

d) y = 12 x

e) y = – 16 x

125

Erro funtzioak Honelako ekuazioa duten funtzioak

y = kx , k ≠ 0

Erro funtzioa, k-ren balioaren

➜

— y = √kx

arabera aldatzen den funtzioa

parabola erdien bidez adierazten dira, ardatza X ardatzarekiko paralelo dutela.

X Y

y = 3 x funtzioa jarraitua eta gorakorra da eta horren definizio-eremua Á osoa da.

3— y = √x

Adibideak: • Pendulu baten T periodoa (oszilazio oso bat egiteko behar duen denbora) penduluaren l luzeraren (m-tan) funtzioa da. Ekuazio hau du:

T — T = 2√l

T=2 l • Psikologian, garrantzi handikoa da pertzepzioen ikasketa. Argia, usainak, soinuak… hautematen ditugu. Pertzepzioa (sentsazioa) zentzumenen bidez iristen zaizkigun estimulu fisikoen araberakoa da (horren funtzio da).

S sentsazioa eta estimuluaren I intentsitatea erlazionatzen dituen formula hau da: SENTSAZIOA (norbanakoak jasotakoa) 3— S = k √I

S=k 3I 1

8 ESTIMULU FISIKOA

Estimulu (fisikoak) eta sentsazioen (psikologikoak) arteko erlazio horri psikofisikaren legea esaten zaio. Ebatzitako ariketa

1 Irudikatu:

a) y = – 4x b) y = 3 –27x X

Pentsatu eta trebatu

1 Irudikatu: a) y = 4x

126

b) y = 9x

c) y = – 9x

d) y = – 9x

e) y = 3 –8x

Pentsatu eta trebatu

anayaharitza.es Funtzio errodunen adierazpena.

➜

2 Lotu honako grafiko hauetako bakoitzari behean ageri den ekuazioetako bat. Kontuan izan grafikoak baino ekuazio gehiago dagoela. Y

Y (4, 16π)

50 1 1

F Y

1 H

800

1 X

100 X

1 Y

1 X

X 10

2 Y

1 1

1 X

1 linealak

kuadratikoak

1 alderantzizko proportzionalt.

errodunak

y= 3x 2

y = x 2 – 8x + 15

AP1 y = 1 x

y = – 2 (x – 1) + 5 3

y = (x + 3) (x + 5)

AP2 y =

y = 25πx

y = x 2, x > 0

AP3 y = 2 x

ER3 y = 2 4 – x

y = 3 x + 1, x ≥ 0 4

y = πx 2, x > 0

AP4 y = 6 , x > 0 x

ER4 y = 4x , x > 0

2 ,x≥0 2–x

ER1 y = 2x + 4 ER2 y = x + 4

3 Honako enuntziatu hauetako bakoitza goiko ariketako grafikoetako bati dagokio. Identifika itzazu. 1. Zirkulu baten azalera, zentimetro karratutan. Erradioa, zentimetrotan. 2. Luparen handiagotzea. Objekturaino dagoen distantzia, zentimetrotan. 3. Penduluaren periodoa. Luzera, metrotan. 4. Zilindro baten bolumena, zentimetro kubikotan, Oinarriko zirkuluaren erradioa 5 cm-koa da. Altuera, zentimetrotan. 5. Malguki baten luzera, dezimetrotan. 1 dm luze du eta 75 mm luzatzen da eskegitako kilo bakoitzeko. 6. 6 cm2-ko azalera duen laukizuzenaren neurriak (luzera eta zabalera, zentimetrotan).

127

«Zatika» definituriko funtzioak Honako funtzio hauen adierazpen analitikoak oso bereziak dira: x baldin eta x ≤ 2 y=( 1 baldin eta x > 2

x 2 + 2x + 1

y = *1 x –3

➜

Irudikatu zatika definitutako funtzio bat.

baldin eta x ≤ 0 baldin eta 0 < x < 4 baldin eta x ≥ 4

Zenbait «formula» behar dituzte, eta horietako bakoitzak funtzioaren jokabidea arautzen du tarte jakin batean. Y

Y y=1

y = x2 + 2x + 1 X

y=x–3

y=1

y=x

Funtzio horien adierazpen grafikoak errazak dira, tarteetako bakoitza adierazten jakinez gero eta lotuneetan zer jarrera duen aztertuz gero. Adierazpen analitikoa lortzea ere erraza da, zuzen zatiekin osatuta dagoen grafiko batetik abiatuta.

➜

anayaharitza.es Zatikako funtzio linealak.

Ebatzitako ariketa

1 Honako grafiko honek ur kantitate batek izan duen T tenperatura adierazten du, izotz moduan lapiko batera bota, berotzen jarri eta irakiten zati bat egin duen bitartean. T (° C)

Bere malda hau da:

0 – (–20) 20 = = 2 (izotzak tenperatura handitzen du –20°-tik 0° -ra). 10 – 0 10

Ekuazioa: y = 2(x – 0) – 20 → y = 2x – 20 • Bigarren zatia: y = 0 (Izotza urtu bitartean, tenperatura 0°C da). • Hirugarren zatia: (20, 0) eta (35, 100) puntuetatik igarotzen den zuzen bati dagokio. Ekuazioa: y = 100 (x – 20) → y = 20 x – 400 (Urak tenperatura handitzen du 0°-tik 100°-ra). 3 3 15

–20

• Lehen zatia: (0, –20) eta (10, 0) puntuetatik igarotzen den zuzen bati dagokio.

• Laugarren zatia: y = 100 (Ur irakinak 100°-an jarraitzen du).

t (min) 45 30

Lortu grafiko horri dagokion adierazpen analitikoa, t denboraren funtzioan.

x eta y idatzi beharrean t (denbora) eta T (tenperatura) idazten baditugu, adierazpen analitikoa hau da: Z 0 ≤ t ≤ 10 ]2t – 20 ]0 10 < t < 20 T = f (t) = [ 20 400 ] 3 t – 3 20 ≤ t ≤ 35 ]100 35 < t ≤ 50 \

Pentsatu eta trebatu

1 Adierazi funtzio hau: x +1 si –3 ≤eta xsi< 0–3 ≤ x < 0 x + 1baldin si2x 0+ 1≤eta xsi< 3 0 ≤ x < 3 f (x) = *x 2 – 2x *+x12 –baldin 4 si 3 ≤eta xsi< 7 3 ≤ x < 7 4 baldin 2 Egin honako funtzio honen adierazpen grafikoa: 2x + 1 baldin si 2xx<+11etasi x < 1 g (x) = ) 2 ) x – 1 baldin si xx2 ≥–11etasi x ≥ 1 128

3 Idatzi ondorengo grafiko honi dagokion adierazpen analitikoa: Y 2 2

«Zati osoa» funtzioa x zenbakiaren zati osoa x baino txikiagoa edo x-ren berdina den zenbaki oso handienari esaten zaio. Hortik abiatuta, x-ren zati osoa funtzioa, Osoa (x), definituko dugu, x zenbaki bakoitzari horren zati osoa egokitzen diona. 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

TREBATU Oso (7,5) = 7 Oso(–4) = –4 Oso(–5,3) = –6 adi! Jarraitu: Oso (6,48) Oso (–3,9) Oso(–8)

1 2 3 4 5 6 –1 –2 –3

«Zati hamartarra» funtzioa x zenbaki baten zati hamartarra edo mantisa Mant (x) = x – Osoa (x) da. Adibidez: Mant (7,54) = 7,54 – 7 = 0,54 Mant (–7,54) = –7,54 – (–8) = 0,46 Hortik abiatuta, x-ren zati hamartarra funtzioa, Mant (x), definituko dugu, x zenbaki bakoitzari horren zati hamartarra egokitzen diona. 2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

Oso(7) Oso (–11,3)

TREBATU Mant (7,68) = 0,68 Mant (–8) = 0 Mant (–7,68) = 0,32 Jarraitu: Mant (3,791) Mant (2)

1 2 3 4 5 6 7X

Mant (–6,94) Mant (–4,804)

«Balio absolutua» funtzioa Gogora dezagun a zenbaki baten balio absolutua a-rekin bat datorrela positiboa edo nulua bada; eta negatiboa bada, horren aurkakoarekin: a baldin eta a ≥ 0 |a| = ( –a baldin eta a < 0 Beraz, y = |x| funtzioa honela definitzen da: –x baldin eta x < 0 y = |x| = ( x baldin eta x ≥ 0 Pentsatu eta trebatu

4 Egia ala gezurra?

a) Grafiko gorria y = Oso b x l funtzioari dagokio. 4 b) Grafiko berdea y = 5 + Oso b x l funtzioari dagokio. 4 5

Egia ala gezurra?

a) Grafiko gorria y = 3Mant b x l funtzioari dagokio. 4 b) Grafiko gorria y = 3Mant (4x) funtzioari dagokio. c) Grafiko berdea y = 5 – Mant b x l funtzioari dagokio. 4 5

5 Irudikatu: a) y = Oso (x) + 2

7 Irudikatu: b) y = Oso (x + 0,5)

a) y = Mant (x) – 0,5

b) y = |Mant (x) – 0,5| 129

Funtzio baten balio absolutua y = f (x ) funtzio baten balio absolutua honela definitzen da: y = | f (x )| = *

f (x) baldin eta f (x) ≥ 0 –f (x) baldin eta f (x)≤ 0

y = f (x)

y = | f (x)|

Definizioa guztiz zuzena izateko, f (x ) funtzioa bere horretan x-ren zer baliorekin hartzen den zehaztu beharko genuke; baita – f (x ) aurkako funtzioa x-ren zer baliorekin hartzen den ere. Horretarako f (x ) funtzioaren erroak aurkitu behar dira; hau da, y = f (x ) funtzioaren grafikoak zer puntutan ebakitzen duen X ardatza.

anayaharitza.es Bistaratu balio

➜

absolutudun funtzio bat.

Ebatzitako ariketak

1 Adierazi honako funtzio hau: y = | x2 – 5 x + 4 |

f (x) = x2 – 5x + 4 funtzioak X ardatzarekin dituen ebaki-puntuak aurkituko ditugu: x1 = 1

f (x) = x2 – 5x + 4 = 0

x2 = 4

y = f (x)

Beraz, 1 eta 4 artean grafikoa X ardatzaren gainetik igoko da.

2 Adierazi honako funtzio hau:

Y y = | f (x)|

y = | 2x – 4 |, x é [–1, 5] y = f (x)

y = | f (x)|

3 Adierazi funtzio hau:

y = | x3 – x | X y = f (x)

Pentsatu eta trebatu

1 Adierazi: y = | –x2 + 4x + 5|

130

x 2 Adierazi grafikoki: y = 2 – 3

X y = | f (x)|

Ebatzitako ariketak eta problemak 1. Definizio-eremua Aurkitu honako funtzio hauetako bakoitzaren definizio-eremua: a) f (x) = b) f (x) =

x + ln (5 – x) x2 – 4 1 2x 2 + 7x – 4

x funtzioa ez dago definituta izendatzailea baliogabetzen den puntuetan; x2 – 4 hau da, x = 2 eta x = –2 denean. Beraz, definizio-eremua s Á – {–2, 2} da.

a) y =

y = ln (5 – x) funtzioan, logaritmoa balio positiboetarako soilik dago definituta. Ebatz dezagun 5 – x > 0 → x < 5. Definizio-eremua (– ∞, 5) da. f funtzioa existitzeko, bi baldintzak bete behar dira. Beraz, Dom f = (– ∞, –2) « (–2, 2) « (2, 5). b) Funtzioa 2x 2 + 7x – 4 > 0 betetzen duten x-ren balioetarako dago definituta. Inekuazioa ebatziko dugu, aurrena, ekuazioaren soluzioak bilatuz: 2x 2 + 7x – 4 = 0 → x = – 4; x = 1/2

EGIZU ZEUK

Aurkitu honako funtzio honen definizio-eremua: f (x) = –x 2 + 5x – 6

Balio horiekin, 2x2 + 7x – 4 funtzioaren zeinuak zer tartetan aztertu behar diren zehaztuko dugu: 2x 2

(– ∞, – 4)

(– 4, 1/2)

(1/2, +∞)

–

+ 7x – 4 kurbaren zeinua

f-ren definizio-eremua: = (– ∞, – 4) « (1/2, +∞).

2. Interpolazio lineala Boing 747 hegazkin batek 83 912 litro erregai kontsumitzen ditu Madril-Caracas hegaldian (7 001 km), eta 13 143 litro Madril-Paris hegaldian (1 054 km). Estimatu zein izango den kontsumoa Madril-Mosku hegaldian (3 044 km). EGIZU ZEUK

Espainiako Estatuan, 2020an, biztanleriaren % 93,2k zeukan Interneterako sarbidea, eta 2016an, % 80,56k. Estimatu zein izango zen ehunekoa 2018an.

Problema aztertu. Pentsa dezagun [1 054, 7 001] tarteko kontsumoa egindako kilometroen menpekoa dela linealki. Beraz, bitarteko ibilbide baterako, kontsumoa interpolazio lineal baten bidez estimatu dezakegu. (1 054, 13 143) eta (7 001, 83 912) puntuetatik igarotzen den zuzenaren ekuazioa lortuko dugu: Malda:

m = 83 912 – 13143 = 11,9 7 001 – 1054

Ekuazioa:

f (x ) = 13 143 + 11,9(x – 1 054) = 11,9x + 600,4

x = 3 044 denean → f (3 044) = 36 824. Madril-Mosku hegaldirako estimaturiko kontsumoa 36 824 litrokoa da.

3. Funtzio koadratikoa Ganadu feria bat 10:00etatik 20:00etara egongo da jendearentzat zabalik. Feriako bisitari-kopurua funtzio honek ematen digu: N(t ) = –20t 2 + Bt + C t bisita-ordua izanik. Bisitari-kopuru maximoa 17:00etan lortu dela eta 1 500 bisitari izan direla jakinda, aurkitu B eta C, eta irudikatu funtzioa. EGIZU ZEUK

Adierazi honako funtzio hau: f (t ) = –t 2 + 12t – 31, 4 ≤ t ≤ 7

N (t ) = –20t 2 + Bt + C funtzioa beherantz zabalik dagoen parabola bat da. Horren punturik altuera (17, 1 500) da, erpinari dagokiona. Erpinaren abzisa erabilita, B kalkulatuko dugu: t = –b → 17 = –B → B = 680 2a 2 (–20) Parabola (17, 1 500) puntutik igarotzen da. N (17) = 1 500 → –20 · 172 + 680 · 17 + C = 1 500 → C = – 4 280 Beraz, funtzioa hau da: N (t ) = –20t 2 + 680t – 4 280; 10 ≤ t ≤ 20 α Funtzioa adierazteko, beste puntu batzuk bilatuko ditugu: A O t = 10 → N (10) = 520 → (10, 520) t = 20 → N (20) = 1 320 → (20, 1 320)

131

Ebatzitako ariketak eta problemak 4. Parabola baten ekuazioa eta adierazpena a) Idatzi erpina (1, 9) puntuan duen eta Y ardatza (0, 8) puntuan ebakitzen duen parabolaren ekuazioa. b) Irudikatu. c) Zehaztu definizio-eremua eta barrutia.

a) Parabolaren ekuazioa y = ax 2 + bx + c da. Beraz, a, b eta c aurkitu behar ditugu. Erpinaren abzisa, –b erabilita, a eta b ezezagunak erlazionatuko ditugu: 2a 1 = –b → –b = 2a 2a Parabola (1, 9) eta (0, 8) puntuetatik igarotzen da. Puntu horiek ekuazioan ordezkatu, eta ezezagun moduan a, b eta c dituzten beste bi ekuazio lortzen ditugu: (1, 9) → 9 = a ∙ 12 + b ∙ 1 + c

(0, 8) → 8 = a ∙ 0 + b ∙ 0 + c

Ebatz dezagun sistema: –b = 2a 9 = a + b + c4 a = –1; b = 2; c = 8 8=c Parabolaren ekuazioa hau da: y = –x 2 + 2x + 8. Ebazteko beste modu bat: Erpinaren abzisa 1 denez, parabola lortzeko modu azkarrago bat y = a(x – 1)2 + k eran idatzi eta bertan (1, 9) eta (0, 8) puntuak ordezkatzea da. 9Y

b) X ardatzarekin dituen ebaki-puntuak: 0 = –x 2 + 2x + 8 → x = –2, x = 4 X ardatza (–2, 0) eta (4, 0) puntuetan ebakitzen du. EGIZU ZEUK

Idatzi erpina (2, –4) puntuan duen eta (3, –3) puntutik igarotzen den parabolaren ekuazioa.

c) Funtzio polinomiko guztietan bezala, bere definizio-eremua Áosoa da. Barrutia zehazteko, kontuan hartuko dugu funtzioak hartzen duen balio handiena y = 9 dela. Beraz, bere barrutia (–∞, 9] da.

–2

5. «Zatika» definituriko funtzioa Hileko soldata garbia da soldata gordinari zergak kenduta gelditzen dena. Herrialde jakin batean, hau ordaindu behar da zergatan: • Soldata gordinaren 500 €-tik (gutxieneko soldata) eta 2 000 €-ra doan zatiaren % 20.

132

• 500 < x ≤ 2 000 bada:

Z (x) = 0,2(x – 500) = 0,2x – 100 • x > 2 000 bada: Z (x) = 0,2 ∙ 1 500 + 0,4(x – 2 000) = = 0,4x – 500 Beraz:

0, 2x – 100 baldin eta 500 < x ≤ 2000 Z (x) = ) 0, 4x – 500 baldin eta x > 2000

c) x – Z (x) > 2 500 inekuazioa ebatziko dugu: x – (0,4x – 500) > 2 500 → 0,6x > 2 000 → x > 3 333,33 Soldata gordina 3 333,33 €-tik gorakoa izan behar da.

c) Zenbatekoa izan behar da, gutxienez, soldata gordina soldata garbia 2 500 €-tik gorakoa izateko?

b) Z (x) zergak 500 < x ≤ 2 000 eta x > 2 000 kasuetan zenbatekoak diren emango digun funtzioa kalkulatuko dugu.

b) Idatzi zergak x soldata gordinaren arabera emango dituen funtzioa eta irudikatu.

2 500 €-ren soldata garbia hau da: 2 500 – 0,2 ∙ 1 500 – 0,4 ∙ 500 = 2 000 €

a) 1 200 €-ko soldata gordinari zer soldata garbi dagokio? Eta 2 500 €-koari?

1 200 €-ren soldata garbia hau da: 1 200 – 0,2 ∙ (1 200 – 500) = 1 060 €

• Soldata gordinaren 2 000 €-tik gorako zatiaren % 40.

a) Kontuan hartu behar dugu, lehenengo, 500 -engatik ez dela zergarik ordaintzen.

58° 105 m

6. «Parte osoa» funtzioa Arropa-denda batek «2GEHIAGO» txartela eskaintzen die bezeroei, 10 € gastatzen duten bakoitzeko hurrengo erosketetarako 2 € pilatzen dituen txartela. a) Irudikatu txartelean pilatutako diru kantitatea egindako gastuaren arabera zenbatekoa den ematen digun funtzioa. b) Idatzi funtzio horren adierazpen analitikoa. EGIZU ZEUK

Irudikatu f (x) = Oso (2x).

a) 10 €-tik beherako erosketen kasuan, ez da ezer pilatzen txartelean. 10 € baino gehiago eta 20 € baino gutxiago gastatuz gero, 2 € pilatzen dira; 20 eta 30 € bitarteko gastua eginda, 4 €; …

SARRERAK (€)

6 4 2

GASTUAK (€)

Z ]0, baldin eta ]2, baldin eta ] b) «Zatika» definituriko funtzioa da: f (x) = [4, baldin eta ]6, baldin eta ]] … \

x é [0, 10) x é [10, 20) x é [20, 30) x é [30, 40)

x «Zati osoa» funtzioa erabiliz ere definitu dezakegu: f (x) = 2 Osoa b 10 l

7. Funtzio baten balio absolutua Definitu honako funtzio hauek tarteka eta adierazi grafikoki: a) f (x) = 4|x| – x2 b) f (x) = |x – 4| – |x| c) f (x) = | x|

–x baldin eta x < 0 a) Gogoratu y = |x | funtzioa honela definitzen dela: y = ) 3 . Beraz: x baldin eta x ≥ 0 4 (–x) – x 2 baldin eta x < 0 –4x – x 2 baldin eta x < 0 = f (x) = * 4 * 4 4x – x 2 baldin eta x ≥ 0 4x – x 2 baldin eta x ≥ 0 PParabola bakoitzaren erpina eta ardatzekin dituen ebaki-puntuak lortuko ditugu: parabola

erpina

x-rekiko ebaki-puntuak

y = – 4x – x 2

(–2, 4)

(0, 0) eta (– 4, 0)

y = 4x – x 2

(2, 4)

(0, 0) eta (4, 0)

Y 4

–2

–x + 4 baldin si x < 4eta x < 4 b) |x – 4| = ) x – 4 baldin si 4 ≥ xeta 4 ≥ x

–x baldin si x < 0eta x < 0 |x| = ) x baldin si 0 ≤ xeta 0 ≤ x

Kalkuluak taula batean antolatuko ditugu, funtzioa aurkitzeko:

EGIZU ZEUK

Definitu tarteka eta irudikatu: a) f (x) = |x 2 – x – 6| b) f (x) = x – |x | c) f (x) = 1 x

(–@, 0)

[0, 4)

[4, +@)

|x – 4|

–x + 4

x–4

|x|

–x

|x – 4| – |x|

4 – 2x

–4

x < 0eta x < 0 4 sibaldin f (x) = *4 – 2x sibaldin 0 ≤ x eta <4 0 ≤ x < 4 –4 sibaldin 4 ≤ x eta 4 ≤ x

Y 4 X 2

c) Funtzioa zenbaki erreal guztietarako definituta dago. Bere definizioa hau da: f (x) = *

–x baldin si x < 0eta x < 0 . Beraz, x baldin si x ≥ 0eta 0 ≥ x x ≥ 0 denean, grafikoa erro funtzioarena da, eta x < 0 denean, grafikoa (–1 , 1); (–2, 2); (– 4, 2); … puntuetatik igarotzen da.

Y 2 –4 –2

–2

X 4

133

Gidatutako ariketak eta problemak 1. Funtzio linealak Autoak alokatzen dituen enpresa batek bi tarifa ditu: A: 120 km → 80 € 350 km → 137,5 €

Prezioa linealki egindako kilometroen menpekoa dela suposatuko dugu. • Lortu, bi kasuetan, gastua egindako kilometroen arabera emango digun funtzioaren adierazpen analitikoa. • Irudikatu bi funtzioak ardatz berdinetan, eskala egokia aukeratuta.

B: 150 km → 75 €

• Aurkitu bi funtzioen ebaki-puntua eta aztertu funtzioaren balioak puntu horretatik ezkerrera eta eskuinera.

250 km → 125 € Aztertu zein komeni den egingo diren kilometroen arabera.

Soluzioa: 200 km-tik behera egingo badira, B aukera komeni da. Distantzia

horretatik gora, A aukera hartzea komeni da.

2. Funtzio kuadratiko bat Enpresa bateko produktu baten ekoizpen-kostuak (eurotan) honako ekuazio honek ematen digu: C = 40 000 + 20q + q 2 q ekoitzitako unitateen kopurua da, eta unitate bakoitzaren salmenta-prezioa 520 eurokoa da. a) Adierazi enpresaren irabazia q-ren funtzioan eta irudikatu grafiko batean. b) Zenbat unitate ekoitzi behar dira irabazi maximoa lortzeko?

a) • q unitateren salmenta-prezioari (520q) q unitate horiek ekoizteak dakarren kostua kenduta, I irabazi-funtzioa, lortuko duzu. • Funtzio kuadratiko bat lortuko duzu. Marraztu. b) Irabazi-funtzioaren adierazpen grafikoa aztertuta, erraz ikusiko duzu balio maximoa zer puntutan lortzen duen (erpinean, adarrak beherantz dituen parabola baita). Soluzioa:

a) I(q) = – 40 000 + 500q – q 2. b) 22 500 euroko irabazi maximoa 250 unitate ekoitzita lortzen da.

3. Funtzio baten adierazpen analitikoa Idatzi f(x) funtzio honen adierazpen analitikoa:

Beste aukera bat Newtonen metodoa erabiltzea da, y = p + m(x – x1) + n(x – x1)(x – x2) adierazpena erabiliz p, m, n kalkulatzeko, eta, horiekin, ekuazioa.

8 4

• Zuzeneko bi puntu hartu, eta bere ekuazioa idatziko dugu. 4

–8 –4

• Parabolaren ekuazioa lortzeko, y = ax2 + bx + c modu orokorrean idatziko dugu, eta bertan bere grafikoko hiru puntu ordezkatuko ditugu.

–4 –8

• Kontuan izan (3, 1) puntua ez dela funtziokoa, baina (3; –2,5) puntua, ordea, bai. 1 2 si x ≤ 3eta x ≤ 3 Soluzioa: f(x) = *– 2 x + 2 baldin 2x – 5

si x > 3eta 0 > 3 baldin

4. Ekoizpen maximoa Lursail batean 40 sagarrondo daude. Arbola bakoitzak 600 sagar ematen ditu. Landatzen dugun zuhaitz berri bakoitzeko, zuhaitz bakoitzaren ekoizpena 10 sagar txikitzen da. Zenbat zuhaitz landatu behar ditugu, ahalik eta ekoizpen handiena lortzeko? Zenbatekoa da ekoizpen hori?

134 134

• Kalkulatu 40 zuhaitzek guztira zenbat sagar ematen dituzten. 5 zuhaitz gehiago landatuz gero, zenbatekoa izango da zuhaitz bakoitzaren ekoizpena? • Idatzi x zuhaitz gehiago landatuz gero ekoizpen osoa zenbatekoa izango den adierazten duen funtzioa. Lortutako funtzioa beherantz irekita dagoen parabola bat da. Eta erpina funtzio horren balio maximoari dagokio. Soluzioa:

Funtzioa hau da: p (x) = –10x2 + 200x + 24 000. Ekoizpen maximoa lortzeko, 10 zuhaitz gehiago landatu behar dira, eta ekoizpen hori 25 000 sagarrekoa izango da.

Proposatutako ariketak eta problemak Trebatzeko

Funtzio linealak eta kuadratikoak. Interpolazioa

Definizio-eremua

1 Aurkitu funtzio hauetako bakoitzaren definizio-eremua: 2 a) y = b) y = 3x3 + 2 2 (x + 5) x +x c) y = 2 x d) y = 1 + 1 x x +2 x – x +2 e) y = 1 (x – 2)3 + x 2 f ) y = x2 – 4 2 2 Aztertu funtzio hauetako bakoitzaren definizio-eremua: a) y = 2x + 5 b) y = 7 – x c) y = x 2 + 3x + 4

1 1 d) y = 2 2 x – 3x 9–x 4 Zehaztu zein den funtzio hauetako bakoitzaren definizioeremua: a) y = ln (x 2 – 4x) b) y = ln ^ x – 2h 2 d) y = 4 – x 2x + 1

c) y = 3 5 – x

3 e) y = ln c 21 m f) y = x + 1 x–4 x +3 5 Aztertu funtzio hauen grafikoak eta zein den horien definizio-eremua eta ibilbidea: a) b) Y 2Y

2 2

–2

6 h(t) = 80 + 64t – 16t 2 funtzioak goraka jaurti den pilota bat lurrera erori arte t unean zenbateko altueran dagoen adierazten digu. Zein da funtzio horren definizio-eremua? Pertsona baten tenperaturak, gaixotu denetik berriro ere 37 °C izan dituenera arte, T = – 0,1t 2 + 1,2t + 37 funtzioaren araberako bilakaera izan du, t gaixotu denetik igaro diren egunen kopurua izanik. Zein da definizio-eremua? Eta ibilbidea?

Kalkulatu r, s eta t zuzenen malda eta idatzi horien ekuazioak.

2 2

–2

10 Kalkulatu, interpolazio edo estrapolazio linealaren bidez, taula hauetako bakoitzean falta diren y-ren balioak: a)

0,45

0,5

0,6

…

0,25

112

120

…

11 Honako taula honetan, zementu lantegi batek saldutako tonen arabera bildu dituen diru-sarrerak erakusten ditu, milioika eurotan: x (tonak)

y (milioika euro)

5,2

14,8

21,2

Estimatu, interpolazio koadratikoaren bidez, zenbatekoak diren diru-sarrerak 2 t eta 4 t salduz gero. 12 Irudikatu honako funtzio hauek: a) y = x 2 + 2x + 1

e) y = – 4x 2 + 1

Y 4

c) y = – x 2 + 3x – 5

2 –2

–2

d) y = x – 1 + x – 2

3 Esan zein den funtzio hauetako bakoitzaren definizio-eremua: 1 a) y = 1 b) y = 4–x x2 + 1 c) y =

8 Idatzi honako zuzen hauen ekuazioak eta irudikatu grafiko batean: a) P (1, –5) eta Q (10, 11) puntuetatik igarotzen da. b) (–7, 2) puntutik igarotzen da eta malda –0,75 du. c) Ardatzak (3,5; 0) eta (0, –5) puntuetan ebakitzen ditu. d) 3x – y + 1 = 0 zuzenarekiko paraleloa da eta (–2, –3) puntutik igarotzen da.

2 b) y = x + 3x + 1 2 2 d) y = x + 3x + 6 3 f ) y = –2x 2 – 3x + 0,5

13 Aurkitu (–2, –9), (2, –5) eta (4, 0) puntuetatik igarotzen den parabolaren ekuazioa. Egizu bi modu desberdinetan. a) y = ax 2 + bx + c adierazpena erabilita. b) Newtonen metodoaren bidez. 14 Aurkitu, ondorengo kasuetako bakoitzean, emandako puntuetatik igarotzen den parabolaren ekuazioa. a) (1, –1), (3, 3), (5, –1) b) (0, – 4), (1, –6), (3, – 4) Aurkitu, aurreko parabolen artean, x = 4 eta x = –3 abzisak dituzten puntuen ordenatuak. 135 135

Proposatutako ariketak eta problemak Oinarrizko funtzioen adierazpena

«Zatika» definitutako funtzioak

19 Lotu grafiko bakoitzari dagokion adierazpen analitikoa: Z ] 2 – 2x , x < 0 3 ] –(x + 2)2, x < 0 a) y = [ 2, b) y = * 0≤ x ≤4 x – 2, x ≥0 ] 8 – 3x , x > 4 ] 2 \ Z ] 2 + 4x , x < 0 x 2 – 4x + 2, x < 4 3 ] c) y = * 14 – 2x d) y = [ 2, 0≤ x ≤4 , x ≥4 ] 3 ] 3x – 4, x > 4 \ 2

Lotu adierazpen analitiko hauetako bakoitza dagokion grafikoarekin. a) y = –0,5x 2 + 3

b) y = x + 2

1 x–4 g) y = 1 – x 2 3

e) y = 3x 2 + 5x – 1

d) y =

h) y = – – x

4 Y

–2

2 c) y = x – 1 3 f) y = 1 + 2 x

–1

2 X

Y 4

–1

–2

III

2 X

–2

–4

6 X

III

2 –4

–4 –2

–2

–4

–4 Y

6 Y

VIII

–2

2 –2

–4 –2

4 X

–2

16 Adierazi honako funtzio hauek zehaztutako tartean: 2 b) y = – 3x , x ≥ –1 2 c) y = 1 , x < 0 d) y = 3x – 30 , [–5, 5] x 5 17 Adierazi honako funtzio hauek: a) y = 2x b) y = – x c) y = 2 x d) y = –x e) y = –1 f) y = 2 x x 18 Aurkitu zein izan behar den k-ren balioa:

a) y = 2x 2 – 4, [0, 2]

a) y = k/x funtzioa (2, 1/4) puntutik igarotzeko. b) y = kx funtzioa (2, 2) puntutik igarotzeko. c) Adierazi lortutako funtzioak. 136

6 X

4 X

–4

–2 –2

–2

VII

–2

4 Y

–2 4 Y

–2

–8 –6 –4 –2

–2

4 Y

4 2

2 4 Y

–3

–4

20 Adierazi funtzio hauek grafiko batean: x <0 –2, a) y = * x – 2, 0 ≤ x < 4 2, x ≥4

b) y = )

c) y = *

–x 2 d) y = * 2 + 2, x ≤ 3 2x – 5, x > 3

x 2 – 2x, x < 2 2x – 4, x ≥ 2

–2x – 1, x ≤ 1 x + 1, x >1

21 Adierazi. x <2 –x 2, a) y = * –x + 6, 2 ≤ x < 7 3, x ≥7

–x – 1, x ≤ –1 b) y = * 2x 2 – 2, –1 < x < 1 x – 1, x ≥1

c) y = *

d) y = *

1/x x < 0 bada x x ≥ 0 bada

–x x ≤ 0 bada – x x > 0 bada

22 Lortu funtzio hauen adierazpen analitikoa: a) b) Y Y 4

4 2 2

* Kontuan hartu ebatzitako 3. ariketa.

2 –2 –2

4 X

Funtzio baten balio absolutua

23 Irudikatu y = |x – 5| funtzioa eta egiaztatu horren adierazpen analitikoa tartetan emanda hau dela: y=)

–x + 5 x < 5 bada x – 5 x ≥ 5 bada

24 Irudikatu honako funtzio hauek eta adieraz itzazu «zatika» definituriko funtzio moduan: a) y = |4 – x |

b) y = |3x + 6|

c) y = x – 3 2

d) y = | –x – 1|

b) y = |x 2 – 4x |

c) y = |x 2 + 2x – 3|

d) y = |x 2 – 2x + 1|

26 Definitu funtzio hauek «zatikako» funtzio moduan, eta adierazi. a) y = 1 b) y = 1 + |x | x x c) y = d) y = 2|x | + x x * Kontuan hartu ebatzitako 7. ariketa. 27 Idatzi grafiko hauen adierazpen analitikoak «zatikako» funtzio moduan eta balio absolutu moduan. I

–5 –4 –3 –2 –1

1 X

–1

31 Farmazia batean, 9 urtetik beherako haurrek adinaren arabera batez beste zer pisu izan beharko luketen adierazten duen taula bat ikusi dugu: x (urteak)

y (kg)

Adierazi datu horiek, eta erabili egokien iruditzen zaizun interpolazio eredua haur batek 5 urterekin eta 10 urterekin zer pisu izan behar duen estimatzeko.

25 Adierazi honako funtzio hauek eta definitu tarteka. a) y = |x 2 – 1|

30 Hainbat altueratako tenperaturak neurtuta ikusi dugunez, gorantz 180 m egiten ditugun bakoitzeko, tenperatura 1 °C jaisten da. 800 m-ko mendi baten oinean 10 °C-ra bagaude, zenbatekoa izango da tenperatura gailurrean? Marraztu grafiko batean altuera-tenperatura funtzioa eta bilatu horren adierazpen analitikoa.

X 4

Ebazteko 28 Aldirietako tren baten billeteak egindako kilometroen arabera balio du. 57 km eginda, 2,85 euro ordaindu ditut; eta 168 km eginda, 13,4 euro. Kalkulatu zenbat balioko duen billeteak 100 km eginez gero. 29 Enpresa batek 3 000 € inbertitzen baditu publizitatean, salmentetan 28 000 € biltzen ditu; eta publizitatean 5 000 € inbertituz gero, salmentetan 39 000 € biltzen ditu

32 Jatetxe bateko sukaldean, 2 pertsonako taldea 30 bazkaltiarrek eskatutakoa prestatzeko gauza da. Taldea 4 pertsonakoa bada, 50 bazkaltiarrek eskatutakoa prestatu dezake. Baina 8koa bada, elkarri enbarazu egingo liokete, ez dagoelako denentzako adina surik, eta 8ko taldeak ere 50 bazkaltiarri erantzungo lioke. Estimatu, interpolazio parabolikoa eginez, zenbat bazkaltiarrek eskatutakoa prestatu ahalko duen 5 pertsonako taldeak. 33 Oposiziogile batek 3 100 orrialdeko gai-zerrenda ikasi behar du. Egunean 4 ordu ikasten eginez gero, 4 orrialde barneratzen ditu. Egunean 8 ordu eginez gero, 7 orrialde ikasten ditu; eta 12 eginez gero, 9 orrialde. Egunean 10 ordu egingo dituela ikasten erabaki du, eta gai-zerrenda osoa ikasteko zenbat egun beharko dituen jakin nahi du. Erabili interpolazio parabolikoa erantzuteko. 34 Farmako batek dosi hau zehazten du: 10 mg-rekin hasi, eta egunero 2 mg handitzen joan 20 mg-ra iritsi arte. Kantitate hori hartzen 15 egun egin, eta, ondoren, egunean 4 mg kentzen joan. a) Irudikatu enuntziatuak deskribatzen duen funtzioa eta zehaztu bere adierazpen analitikoa. b) Esan zein diren bere definizio-eremua eta barrutia. 35 Animalia espezie baten enbrioiaren pisua, miligramotan, honako taula honetan adierazita dago: denbora (egunak) pisua

(mg)

a) Estimatu, interpolazio lineal baten bidez, zenbat bilduko duen salmentetan publizitatean 4 000 € inbertituz gero.

Aurkitu, interpolazio koadratikoaren bidez, 6 eguneko enbrioi batek zer pisu duen.

b) Publizitatean 6 000 € inbertituta salmentetan 40 000 € bildu dituela jakinda, estimatu, interpolazio parabolikoa eginez, zer diru bilduko duen publizitatean 4 000 € inbertituz gero. Erabili Newtonen metodoa.

36 Enpresa batek datozen 10 urteetan zer irabazi izatea espero den, milioika eurotan G (t ) = –2t 2 + 20t + 5 funtzioak adierazten du; t, urteetan. Irudikatu funtzioa eta zehaztu noiz izango diren maximoak irabaziak. 137

Proposatutako ariketak eta problemak 37 Eskaintza- eta eskari-funtzioetan, o (x) = d (x) berdintzeko ekoitzi behar den unitate-kopuruari oreka-kantitate esaten zaio; eta berdintza hori lortzeko behar den prezioari, orekaprezio. a) Aurkitu eskaintza- eta eskari-funtzioak, hurrenez hurren, o (x) = 2,5x – 100 eta d (x) = 300 – 1,5x dituen produktu baten oreka-prezioa eta oreka-kantitatea (x, eurotan; d eta o, produktuaren milaka unitatetan). b) Produktuak 80 € balio badu, produktu hori gutxiegi edo gehiegi egongo da? Eta 120 € balio badu? c) Zein izango dira oreka-prezioa eta oreka-kantitatea, eskaintza- eta eskari-funtzioak, o (x) = 0,25x 2 – 100 eta d (x) = 185 – 2x badira? 38 Produktu baten x ale ekoizteak balio duena 1 x2 + 35x + 25 4 euro da, eta ale baten salmenta-prezioa 50 – x euro da. 4 a) Idatzi ekoitzitako x aleak salduz gero lortuko dugun irabazi osoa emango digun funtzioa, eta adierazi. b) Aurkitu guztira produktu horren zenbat ale saldu behar diren irabaziak maximo izateko. 39 Lantegi batean 100 etxetresna elektriko saltzen dira hilena, 400 euroan bakoitza; eta badakite 10 euro garestitzen dituzten bakoitzean, 2 etxetresna gutxiago salduko dituztela. a) Zenbatekoak izango dira diru-sarrerak prezioak 50 euro garestituz gero? b) Idatzi prezioen igoera hileko diru-sarrerekin lotzen duen funtzioa. c) Zenbatekoa izan behar da prezioen igoera lantegiak izango dituen diru-sarrerak maximoak izateko? 40 Gozoki-lantegi batek hilean biltzen dituen irabaziak, milaka eurotan, f (x) = – 0,1x 2 + 2,5x – 10 funtzioak ematen dizkigu, produktuaren x tona saltzen direnean. a) Irudikatu funtzioa. b) Kalkulatu zein den galerarik ez izateko saldu beharreko kopuru minimoa. c) Zenbat tona saldu behar dira irabaziak maximoak izateko? Zenbatekoa da irabazi hori? 41 Adelaidatik Parisera pakete bat bidali nahi dugu. Posta-zerbitzu batean, 2 kg-rainoko paketeek 50 € balio dute, eta hortik aurrerako kg edo zati gehigarri bakoitzak,10 €. a) Kalkulatu zenbat balio duen 5 kg-ko pakete bat bidaltzeak. b) Idatzi x kg-ko pakete bat bidaltzeak balio duenari dagokion adierazpen analitikoa, baldin eta x bada 8 edo 8 baino txikiagoa. c) Adierazi grafikoki. 138

42 Hiru telefono-operadorek hileko tarifa hauek eskaintzen dituzte: 2 h-ko abonua

2 h-tik gorako kostua

A tarifa

30 €

0,50 € minutuko

B tarifa

20 €

0,75 € minutuko

C tarifa

40 €

0,25 € minutuko

Aztertu zer tarifa komeni den 2 h-ko abonutik gora egiten den denboraren arabera. 43 Diskoteka batek gaueko 10etan zabaltzen du eta bezero guztiak joandakoan ixten du. Adierazi diskotekak zabalik egiten dituen t orduen arabera bezeroen N kopurua zein den ematen digun N (t ) = 80t – 10t 2 funtzioa. a) Zer ordutan da maximoa bezero-kopurua? b) Zer ordutan itxiko dute diskoteka? 44 E10 hilabete iraun duen ingeles ikastaro batean izen-emandako ikasleen ehunekoa honako funtzio honek ematen du: at 2 + bt + c 0 ≤ t ≤ 3 bada P (t ) = * t, hilabetetan 28 3 < t ≤ 10 bada Badakigu hasieran ikasleen % 100 joaten zela ikastarora; lehenengo hilabetea igarota, % 60 baino ez ziren joan, eta hirugarren hilabeterako, % 28ra murriztu zen kopurua. Kalkulatu a, b, c eta irudikatu funtzioa. 45 I(t) = –0,5t 2 + 17t eta C(t) = 0,5t 2 – t + 32 funtzioek, 0 ≤ t ≤ 18 izanik, hurrenez hurren enpresa baten diru-sarrerak eta kostuak adierazten dituzte (milaka eurotan) igaro diren urteen funtzioan, , enpresa zabaldu zenetik eta hurrengo 18 urteetan. a) t ren zer baliorekin betetzen da C(t) = I(t) berdintza? b) Aurkitu irabaziak (diru-sarrerak ken kostuak) t-ren funtzioan ematen dituen adierazpena, eta irudikatu grafikoki. c) Jardunean hasi eta zenbat urtera lortu ditu enpresak irabazi maximoak? Kalkulatu irabazi horien balioa. 46 Lortu honako funtzio hauetako bakoitzaren adierazpen analitikoa: 4Y a) 6 Y b) 4 2

2 2

2 –4 –2 –2

–4 –2

10 X

2 4

X 6

2 –4 –2

X 6

47 Adierazi honako funtzio hauek eta definitu «zatikako» funtzio moduan: a) y = |2x + 5| b) y = |4 – x 2| c) y = 3x – 3 d) y = |– x 2 + 2x + 3| 2

Galdera teorikoak

Sakontzeko

48 Egia da ala ez da?

51 Definitu tarteka eta adierazi. a) y = |x + 1| + |x – 3| b) y = |2x – 4| – |x – 1|

a) y = a – x funtzioa ez da existitzen baldin eta a < 0 bada. b) Funtzio batek ezin du bi puntutan ebaki Y ardatza. c) y = mx 2 + n funtzioaren grafikoa zuzen bat da. d) y = 3x 2 parabola y = x 2 baino estuagoa da. e) f(x) = da.

3 2 x

– 4 funtzioaren definizio-eremua (–∞, +∞)

49 Zein da honako funtzio hauetako bakoitzaren definizio-eremua eta barrutia? Y 4 Y a) b) 55

X –4

50 Zenbat soluzio izan ditzake ondorengo ekuazio-sistema hauetako bakoitzak? Arrazoitu adibide grafikoak emanda. a) *

y = x2 y = ax + b

b) *

1 c) * y = x y = ax + b

y= x y = ax + b

AUTOEBALUAZIOA

– x 2 + 6x + a baldin si 0 ≤ xeta ≤ 60 ≤ x ≤ 6 baldin f (x) = * 50 si 6 < xeta ≤ 86 < x ≤ 8 x, hiletan 2 si 8 < xeta ≤ 12 x – 20x + 146 baldin 8 < x ≤ 12 a) Aurkitu a, jakinda sortu zenean 50 kide zeudela izena emanda. b)Adierazi funtzioa eta esan zer hiletan izan zen klubeko kideen kopurua maximoa eta zer hiletan minimoa. c) Gastuak berdintzeko klubak 47 kide izan behar baditu, zer hiletan izan zituen galerak? 54 Garraio-enpresa baten tarifak honako hauek dira: • 40 euro zamaren tona bakoitzeko, zama 20 t-koa edo gutxiagokoa bada. • Zama 20 t baino gehiagokoa bada, 40 euro horiei 20tik gora dauden tona adina euro kenduko diegu. Irudikatu enpresaren diru-sarrerak garraiatu beharreko zamaren arabera funtzioa (zama maximoa: 30 t). Lortu adierazpen analitikoa ➜

1 Aurkitu honako funtzio hauen definizio-eremua: b) y =

c) y = 4 – 2x

d) y = 5x – x 2

5 10 °C-ra dagoen urez beteriko lapiko bat sutan jarri dugu. 5 minutuan 100 °C-ra iritsi da eta horrela jarraitu du ordu erdian, ura guztiz lurrundu arte. Irudikatu fenomenoa deskribatzen duen funtzioa eta aurkitu adierazpen analitikoa.

2 Adierazi honako funtzio hauek: b) f (x) = |5 + 2x |

1 – x 2 x ≤ 0 bada c) f (x) = * d) f (x) = – –x x + 3 x > 0 bada 3 Zehaztu [–6, 6] tartean definituta dagoen funtzio honen adierazpen analitikoa. Zein da bere barrutia?

Y 2 –4 –2

2 –2

anayaharitza.es Ariketa hauen ebazpena.

4 Gimnasio batera 6 hilabetez joatea 246 kostatzen da, eta 15 hilabetez joanez gero, 570 €. Zenbat ordainduko dugu urtebetez joan nahi izanez gero?

3x (2x – 6)2

a) y = x 3 – x 2

a) f (x) = – 0,5x 2 + 2x – 2

52 Aurkitu honako funtzio hauetako bakoitzaren definizioeremua: a) y = x + 3 b) y = x – 9 x –2 x 53 Klub batean izena emanda dagoen pertsona-kopuruaren hilekako bilakaera, urtebetez, honako funtzio honek ematen digu:

6 Gai baten salmenta-prezioa p = 12 – 0,01x adierazpenak ematen digu (x = fabrikaturiko gai-kopurua; p = prezioa, ehunka eurotan). a) 500 gai fabrikatu eta saldu badira, zenbatekoak dira lortutako diru-sarrerak? b) Irudikatu gai-kopurua - diru-sarrerak funtzioa. c) Zenbat gai fabrikatu behar dira diru-sarrerak maximoak izateko?

139

5 Funtzioak II Funtzio esponentzial eta logaritmikoak Funtzio mota hauek aurreko ikasturteetatik ezagutzen dituzu, eta dakizun moduan, funtzio esponentzialak asko ageri dira gure munduan: naturan (animalia- edo landare-populazioen hazkundea), ekonomian (banku batean gordailuan jarritako kapital baten hazkundea). Funtzio logaritmikoak, berriz, erabiltzen dira fosilen adina zehazteko, substantzia kimikoen pH (azidotasun maila) zein den deskribatzeko…

Amonite fosilizatua.

Trigonometria: mundu arabiarretik Europara Matematika arabiarrak, eta zehazki trigonometriak, Grezia eta Indiako ezagutzetatik edan zuen. Baina bere ekarpenak asko eta nabarmenak izan ziren. Horietako bat zirkunferentzia goniometrikoan r = 1 hartzea izan zen (Grezian r = 60 erabiltzen zen). Gainera, Al-Khwarizmik, matematikari arabiar nabarmenenak, sinuaren eta kosinuaren lehen taula zehatzak egin zituen, eta tangentearen balioak ere taulan bildu zituen lehen aldiz. Kultura arabiarrean sortutako matematika, tartean trigonometriari buruz zeuzkaten ezagutzak, xii. mendetik aurrera zabaldu zen Europa osoan. Johann Müller (Regiomontano) astronomo prusiarra izan zen arabiarrengandik jasotako ezagutza trigonometrikoak sistematizatzen eta sakontzen lehenengoa, xv. mendean. Baina nondik eta nora zeukan prusiar batek Regiomontano izena? Garai hartan zientziaren hizkuntza latina zen eta zientzialariek beraien izenak ere latinera itzultzen zituzten. Horrela, bada, alemaneko Königsberg (mendi aparta) latinez Regiomontanus izatera pasatu zen. Müllerrek Almagesto lana zuzenean itzuli zuen grekotik latinera, arabierazko itzulpen batetik abiatu gabe, eta trigonometriari buruzko zenbait liburu idatzi zituen. Horietako batean, De triangulis omnimodis (1464), triangeluak ebazteko metodoei buruzko azalpen sistematikoa egien zuen. Trigonometriaren lan gogoangarrienetako bat da, eta horri esker, askok trigonometria modernoaren aitatzat jotzen dute Regiomontano.

Sinuaren lehenengo adierazpena Gilles de Roberval, matematikari frantsesak biziki interesgarri iruditzen zitzaizkion zenbait kurba aztertu zituen, eta 1635ean lehenengo aldiz zirriborratu zuen sinu kurbaren arku erdi baten grafikoa. Ondorioz, ordura arte trigonometriarako baliagarri ziren balioen bilduma bat zena (zenbakizko taula), funtzio baten grafikotzat aztertzen hasi ziren. Geroago, Leibnizek (1646-1716) sinuari funtzio izaera eman zion, baita gainerako funtzio trigonometrikoei ere.

140

Funtzio trigonometrikoak, gaur egun Trigonometriak xix. mendaren hasieran jo zuen goia, Fourierren segidekin: trigonometria estu erlazionatu zuen analisiarekin, eta, ondorioz, naturan denean ageri diren bibrazio eta higidura periodikoak behatzeko tresna bikaina sortu zuen, aurrekaririk gabekoa. Funtzio periodikoak lantzen dituen tresna matematikoa analisi harmonikoa da. Musika korda baten bibrazioa aztertuz hasi zen, eta hainbeste garatu da, ezen gaur egun tresna horrekin uhin mota guztiak aztertu eta deskribatu daitezke. Fisika, kimika, medikuntza, ingeniaritza, teknologia… zorretan daude matematikaren adar honekin. Oinarrizko osagaiak unitate honetan landuko ditugun funtzio trigonometrikoak dira.

EBATZI Sinu kurba irudikatzeko bi modu 1. Punta lodiko errotuladore gorri bat hartuta, marraztu paperezko orri garden baten diagonaletako bat. Kiribildu orria alde luzetik, eta argi eta garbi ikusiko duzu sinu kurba.

2. Kiribildu paperezko orria bat kandela baten edo kartoi-hodi baten (sukalderako paperak erdian izaten duen modukoa) inguruan. Ebaki labana, kuter edo zerra batekin, ardatzarekin 45°-ko angelua eratuz. Zabaldu orria. Lortu duzun kurba sinu kurba da.

141

Funtzioen oinarrizko transformazioak y = f (x) funtzioari transformazio erraz batzuk ezartzen dizkiogunean funtzioa nola aldatzen den ikusiko dugu orain. Translazioak k zenbaki positibo bat bada, orduan: f (x) + 5

y = f(x)-ren grafikoa eramango dugu

Honen grafikoa lortzeko

f (x – 5) f (x)

y = f (x) + k

k unitate gorantz

y = f(x) – k

k unitate beheratz

y = f(x + k)

k unitate ezkerrerantz

y = f(x – k)

k unitate eskuinerantz

f (x) – 5

Simetriak

y = f (x)-ren grafikoaren simetrikoa da

y = –f(x)

X ardatzarekiko

y = f(–x)

Y ardatzarekiko

Lekualdatu edozein funtzio, parametroak aldatuta.

f (x + 5)

Honen grafikoa

➜

–f (x)

X f (x)

f (–x)

Ebatzitako ariketa

1 Lotu honako grafiko hauek beren ekuazioekin: Y

2 Hau lortzeko, 1 6 unitate eramango dugu eskuinera → y = x – 6 .

5 1

x funtzioaren grafikoa da.

3 Hau lortzeko, 2 3 unitate eramango dugu gorantz → y = x – 6 + 3 .

4 Hau 1 -en simetrikoa da X ardatzarekiko → y = – x .

5 Hau lortzeko, 4 5 unitate eramango dugu gorantz → y = – x + 5 .

Pentsatu eta trebatu

1 Marraztu bata bestearen ondoren: a) y = 1 x c) y = –

142

b) y = 1 x +3

1 x +3

d) y = –

1 +8 x +3

2 Adierazi honako funtzio hauek koordenatu-ardatz berdinetan: a) y = x 2

b) y = (x + 2)2

c) y = (x – 3)2 + 1

d) y = (x + 1)2 – 3

Luzatzeak eta uzkurtzeak

2f (x)

k zenbaki positibo bat bada, orduan: Honen grafikoa

f (x)

y = f(x)-ren grafikotik lortuko dugu

y = kf (x)

bider k egin eta bertikalean luzatuz

1 f(x) y=— k

zati k egin eta bertikalean uzkurtuz

1 f (x) — 2

X anayaharitza.es

➜

Funtzioen oinarrizko transformazioak.

Ebatzitako ariketak

1 Marraztu honako funtzio hauek bata bestearen ondoren: 1 y= 6 x

2 funtzioa 1 eskuinera 5 unitate mugituz lortuko dugu. 3 funtzioa 2 -ren simetrikoa da X ardatzarekiko. 4 funtzioa 3 funtzioa 4 unitate igoz lortuko dugu. Y

2 y= 6 x–5 3 y = – 6 x–5

2 3 1 X

azkenean, honako honen adierazpenera heltzeko: 4 y = – 6 + 4 x–5 2 Irudikatu bata bestearen atzean:

2 funtzioa 1 bider 2 egin eta bertikalean luzatuz lortuko dugu.

1 y= x

3 funtzioa 2 funtzioaren simetrikoa da X ardatzarekiko.

2 y=2 x

4 funtzioa 3 funtzioaren simetrikoa da Y ardatzarekiko.

3 y = –2 x

5 funtzioa 4 ezkerrera 6 unitate mugituz lortuko dugu. Y

4 y = –2 –x azkenean, honako honen adierazpenera heltzeko 5 y = –2 – (x + 6 )

1 X

Pentsatu eta trebatu

3 y = f (x) funtzioa (3, 8) puntutik igarotzen bada, eman honako hauen puntu bat: y = f (x) – 6, y = f (x + 4), y = 1 f (x), y = 2f (x), 2 y = –f (x), y = f (–x), y = –2f (–x) + 3

4 Irudikatu. 4 –3 x +8 b) y = 3 –x + 10 a) y = –

143

Funtzioen konposizioa Ikus dezagun, adibide batzuen bidez, nola lortzen den bi funtzioetatik abiatuta beste funtzio bat, hasierako bi horien funtzio konposatua izenekoa. • Aztertu honako segida hau: 16

16 = 4

ERREPARATU

1/x

1 = 1 16 4

Eragiketa horiek x aldagai bati ezarriz gero, 1 x Izendatu ditzagun erabilitako funtzio horiek: 1 = v (x) x = r (x) x x

1 funtzioa lortzen dugu: x

1/x

Lortu dugun funtzioa r eta v-ren funtzio konposatua deitzen da eta v ° r idatzita adierazten da: 1 v ° r (x) = v [r (x)] 8 v ° r (16) = v [r (16)] = v ( 16 ) = v(4) = 4

x 2 – 5x

r % f (x) = r [ f (x)] = x 2 – 5x r ° f (9) = r (81 – 45) = r (36) = 36 = 6 f eta gbi funtzio emanda, f eta g-ren funtzio konposatua deitzen da eta g ° f adierazten da x aldagaia g [ f (x)] bihurtzen duen funtzioa. g f

√x

g°f

Ä8 1/ √x 1/4

100

0,1

0,0001

0,01

100

4 – 54 2 ÄÄ8 x2 – 5x Ä8 √x – 5x

x 2 – 5x

° x ⎯⎯→ g [ f (x)]

Ä8

ERREPARATU

• Beste adibide bat: f (x) = x2 – 5x; r(x) = x f

1/4

–3

–0,1

0,51

x ⎯→ f (x) ⎯→ g [ f (x)]

6 √24 0 √0,51

f f (x)

g ° f (x) adierazpena f g-rekin konposatuta irakurtzen da. Lehenengo, eskuineko funtzioa izendatzen da x-ri eragiten dion lehenengoa delako.

Orokorrean, f [ g (x)] eta g [ f (x)] funtzioak desberdinak dira.

g [ f (x)]

• Ikusten duzunez, orokorrean, ez da gauza bera bi funtzio noranzko batean edo aurkako noranzkoan konposatzea: x

( x) 2 – 5 · x = x – 5 x

f % r (x) = f [r (x)] = x – 5 · x ≠ r % f (x) = x 2 – 5x f % r (9 ) = f ( 9 ) =

f (3) = 3 2

– 5 · 3 = –6 ≠ r % f (9) = 6

➜

Funtzioen konposizioa, Geogebra erabilita.

• Dena dela, zenbait kasutan gertatzen da bi funtzio noranzko batean eta aurkakoan konposatuta emaitza berdina lortzea: f (x) = 2x + 1

g(x) = 3x + 2

• f ° g (x) = f [g(x)] = 2(3x + 2) + 1 = 6x + 4 + 1 = 6x + 5

KONTUAN HARTU

• g ° f (x) = g[ f (x)] = 3(2x + 1) + 2 = 6x + 3 + 2 = 6x + 5

Oro har, f ° r (x) eta r ° f (x) ez dira berdinak.

Beraz, kasu honetan, f ° g (x) = g ° f (x). 144

Ebatzitako ariketak

1 Honako funtzio hauek ditugu:

4 x +1 a) Lortu ondorengo hauen adierazpena analitikoak: f (x) = x 2 – x eta g(x) =

f°g

g°f

f°f

4 (x + 1) = 12 – 4x a) • f [ g (x)] = f < 4 F = c 4 m – 4 = 16 2 – ⇒ x +1 x +1 x + 1 (x + 1) (x + 1) 2 (x + 1) 2 ⇒ f % g (x) = 12 – 4x2 (x + 1) • g [ f (x)] = g (x 2 – x) =

g°g

b) Aurkitu f [g(1)] eta g[ f (1)].

4 4 ⇒ g % f (x) = 2 4 = (x 2 – x) + 1 x 2 – x + 1 x – x +1

• f [ f (x)] = f (x 2 – x) = (x 2 – x)2 – (x 2 – x) = x 4 – 2x 3 + x 2 – x 2 + x ⇒

⇒ f ° f (x) = x 4 – 2x 3 + x

• g [ g (x)] = g < 4 F = x +1

4 ( 1) 4 4 = = x + = 4x + 4 ⇒ 4 +1 4 + x +1 4 + x +1 x + 5 x +1 x +1 4 x + 4 ⇒ g % g (x) = x +5

g f b) • f [ g (1)] = 12 – 4 $21 = 8 = 2; edo bestela, 1 ⎯→ 4 = 2 ⎯→ 22 – 2 = 2 1+ 1 4 (1 + 1)

• g [ f (1)] = 2 Funtzio hauek ditugu: f (x) = 1 x g(x) = x2

a) Kasu guztietan bi funtzioren konposizioa aztertu behar da. Intuiziozko ariketa da. • y 1: argi dago f eta g ezarri behar direla, baina ematen du modu batera edo bestera ezarri, emaitza berdina lortzen dela: 2 f ° g (x) = f (x2) = 12 ; g ° f (x) = g b 1 l = b 1 l = 12 x x x x f ° g (x) eta g ° f (x) funtzioek berdin balio dute. • y2: lehenengo g(x) ezarri behar da, eta, gero, h(x). Hau da, h ° g(x) = h(x2) = x2 + 1.

h(x) = x + 1 a) Adierazi nola konposatu behar diren beste hauek lortzeko: y1 = 12 y2 = x2 + 1 x 1 y3 = x2 + 2x + 1 y4 = x +1 b) Konposatu f{g[h(x)}.

Pentsatu eta trebatu

f g 4 = 4; edo bestela, 1 ⎯→ 12 – 1 = 0 ⎯→ 4 = 4 0 +1 12 – 1+ 1

➜

• y3: x + 1 adierazpenari karratua ezarri zaio, eta beraz: g ° h(x) = g(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1

1 • y4: lehenengo h(x) eta gero f (x) ezarri dira. Hau da, f ° h(x) = f (x + 1) = . x +1 1 b) f {g[h(x)]} = f [g(x + 1)] = f [(x + 1)2] = (x + 1) 2

anayaharitza.es Praktikatu funtzioen konposizioa.

1 f (x) = x 2 – 5x + 3 eta g (x) = x 2 direla jakinda, lortu f [ g (x)] eta g [ f (x)] funtzioen adierazpenak. Aurkitu f [ g (4)] eta g [ f (4)]. 2 f (x) = x eta g (x) = x + 4 direla jakinda, lortu f ° g, g ° f, f ° f eta g ° g eragiketen adierazpenak. Kalkulatu funtzio horien balioak x = 0 eta x = 5 kasuetan.

1 , g(x) = x2 + 5 direla jakinda, aurkitu f ° g, g x ° f, f ° f eta g ° g. Lortu funtzio horien balioak x = 1 eta x = 2 kasuetan.

3 f (x) =

4 f (x) = x + 1 izanda, lortu ondorengo kasu hauetako bakoitzean ageri den berdintza beteko duen g(x) funtzioa: a) g[f (x)] = x – 2 c) g ° f (x) = x2 + 2x

b) f [g(x)] = x2 + 3x – 2 d) f ° g (x) = x 145

Funtzio baten alderantzizkoa edo elkarrekikoa f (x) = x 3 – 6 eta f –1(x) = 3 x + 6 funtzioak konposatuko ditugu: f –1

x ⎯→ x 3 – 6 ⎯→ f –1

x ⎯→

➜

Funtzio baten alderantzizkoa.

f –1[ f (x)] = x

(x 3 – 6) + 6 = 3 x 3 = x

f x + 6 ⎯→ `3 x + 6j – 6 = (x + 6) – 6 = x 3

f [ f –1(x)] = x

Ikusten duzunez, f eta f –1 funtzioek berezitasun bat dute: x zenbaki bati bata bestearen atzetik eragiten diotenean, zenbakiak bere horretan irauten du; hau da, funtzio horietako bakoitzak besteak egindakoa desegiten du. Beraz, f –1 funtzioa f funtzioaren alderantzizkoa dela esaten da, edo elkarrekikoak direla. Aztertu funtzio bateko eta besteko puntuek y = x zuzenarekiko duten simetria: f (x): y = x 3 – 6

(–1, –7)

(0, –6)

(2, 2)

…

(a, b)

f –1(x): y = 3 x + 6

(–7, –1)

(– 6, 0)

(2, 2)

…

(b, a)

f funtzioaren alderantzikoa edo elkarrekikoa honako baldintza hau betetzen duen beste funtzio bati ( f –1 izendatzen da) esaten zaio: f (a) = b bada, orduan f –1(b) = a.

ALDERANTZIZKO FUNTZIOEN GRAFIKOAK y = f –1(x)

Ondorioz, honako erlazio hauek geratzen dira:

f –1

x ⎯→ f (x) ⎯→ x ; hau da, f –1[ f (x)] = x f –1

x ⎯→

f –1(x)

⎯→ x ; hau da,

f [ f –1(x)]

y = f (x)

f –1 funtzioaren alderantzizkoa, era berean, f da. Horregatik esaten da f eta f –1 funtzioak alderantzizkoak edo elkarrekikoak direla. Bi funtzio alderantzizkoren grafikoak simetrikoak dira y = x zuzenarekiko. Funtzio batek, alderantzizkoa izateko, injektiboa izan behar du; hau da, y-ren balio bakoitza x-ren balio bakarrari egokitu behar zaio. Horrela ez bada, injektibo diren zatietan deskonposatu behar da; eta zati bakoitzak alderantzizko funtzio bat izango du.

y=x

f funtzioaren definizio-eremua bat dator f –1 funtzioaren barrutiarekin, eta f -ren barrutia bat dator f –1 funtzioaren definizio-eremuarekin

Adibidez, y = x 2 injektiboa ez denez, alderantzizkoa aurkitzeko, honela jokatu behar dugu: 2 y = f1 (x) = x 2, x ≥ 0 " f1–1 (x) = x y = f (x) = x 2 * y = f2 (x) = x 2, x ≤ 0 " f2–1 (x) = – x

y=x ,x≥0 y = √x

Y y = x 2, x ≤ 0

X y = –√x

Pentsatu eta trebatu

Egia ala gezurra? a) y = x funtzioaren alderantzizkoa y = 1 da. x b) y = x, y = 1 funtzioak bere buruaren alderantzizkoak dira. x 9 c) y = , x ∈ [3, 9] funtzioaren aldex rantzizkoa y = 9 , x ∈ [1, 3] da. x d) Funtzio bat gorakorra bada, horren alderantzizkoa beherakorra da.

146

2 Irudikatu y = 2x, y = x eta egiaztatu alderantzizkoak 2 direla. 3 Egiaztatu y = x 2 – 1 bi adarretan deskonposatu behar dela alderantzizkoak aurkitzeko. Aurkitu zein diren. 4 Egiaztatu y = 2x + 4 funtzioaren alderantzizkoa hau dela y = 1 x – 2. 2

Funtzio baten alderantzizkoaren adierazpen analitikoa y = f (x) funtzioaren alderantzizkoa lortzeko, bi ezezagunak trukatzen dira: x = f ( y). Hori eginda, ahal izanez gero, y askatu behar da. Adibidez, f (x) = 2x – 3: y = 2x – 3 → x = 2y – 3 → y = x + 3 2 Beraz, f –1(x) = x + 3 2 Ikus dezagun nola jokatuko genukeen f (x) funtzioaren definizio-eremua mugatuta egongo balitz: Y f (x) = 2x – 3, x ∈ [–1, 4] Alderantzizkoa lortzeko, funtzioak tartearen mu2 y = f –1(x) turretan zer balio hartzen duen kalkulatuko dugu: X f (–1) = –5, f (4) = 5. 2 y = f (x) Beraz, f –1(x) = x + 3 , x ∈ [–5, 5] 2 Ikus dezagun beste adibide bat; y = f (x) = x 2 – 6x + 8 funtzioaren alderantzizkoa aurkituko dugu: y = x 2 – 6x + 8 (berdez) adierazteko, oinarri moduan y = x 2 – 6x + 8 funtzioaren grafikoa (puntu urdinez) erabiliko dugu. Ikusten duzunez, y = f (x) ez dago definituta errokizuna negatiboa den kasuetan; hau da, (2, 4) kasuan. Beraz, funtzioaren grafikoa bi adarrek eratzen dute: y = f1(x) = x 2 – 6x + 8 , x ≤ 2

y = x 2 – 6x + 8

8 6 4 — y = √x 2 – 6x + 8 2 x≤2 –4 –2

— y = √x 2 – 6x + 8 x≥4 2

y = f2(x) = x 2 – 6x + 8 , x ≥ 4 Horien alderantzizkoen adierazpen analitikoak lortuko ditugu:

y = x 2 – 6x + 8 → x = y 2 – 6y + 8 → x 2 = y 2 – 6y + 8 → → y 2 – 6y + (8 – x 2) = 0 → y =

6 ± 36 – 4 (8 – x 2) = 3 ± 9 – 8 + x 2 = 3 ± x 2 + 1 2

Hau da: y = f1(x) = x 2 – 6x + 8 , x ≤ 2 adarraren alderantzizkoa hau da:

f 2–1

f1 2

y = f1–1(x) = 3 – x 2 + 1 , x ≥ 0

f 1–1

y = f2(x) = x 2 – 6x + 8 , x ≥ 4 adarraren alderantzizkoa hau da: y = f2–1(x) = 3 + x 2 + 1 , x ≥ 0 Pentsatu eta trebatu

➜

anayaharitza.es Funtzioen alderantzizko funtzioei buruzko ariketak.

5 Aurkitu honako funtzio hauen alderantzizkoaren adierazpen analitikoa: a) f (x) = x – 5 , x ∈ [3, 13] 2 b) g (x) = 2 – x , x ∈ [–7, 14] 3

6 y = x 2 – 2x funtzioak bi adar ditu: bata, gorakorra, x ≤ 1 denean; eta bestea, beherakorra, x ≥ 1 denean. Adierazi f 1(x) eta f 2(x) bi funtzioren bidez eta aurkitu horietako bakoitzaren alderantzizkoa.

147

Funtzio esponentzialak 2 oinarriko funtzio esponentziala: y = 2x Ezkerreko grafikoan, y = 2x funtzioaren adierazpena ageri da. Á osoan definituriko funtzioa da, jarraitua eta gorakorra.

y = 2x 10

Edozein berretura-funtzio baino bizkorrago hazten da. Adibidez, y = x 10 funtzioa, hasieran, y = 2x funtzioa baino handiagoa bada ere, azken honek aise «gainditzen du» x-ri nahiko balio handiak emanez gero.

–4

x10 1 024 1 048 576 10 000 000 000 1,049 · 1016 2x

1 024

1,1 ·

1012

…

6,05 · 1017

…

1018

…

1,15 ·

1/2 oinarriko funtzio esponentziala: y = (1/2)x x

y = c 1 m funtzioaren grafikoa y = 2x funtzioaren simetrikoa da Y ardatzaren ingu2 ruan. Eta horren arrazoia hau da: 1

Aurreko propietate horren ondorioz, y = c 1 m 2 baina beherakorra da.

y = 2x

D E 1

–1

y = f 1 (x) = 2 x 4 f (–x ) = f2(x ) y = f2 (x) = (1/2) x = 2 –x 1

()

1 y= — 2

H G

funtzioa ere jarraitua da Á osoan, –4

Funtzio esponentzialen ezaugarriak

y = a x ekuazioa duten funtzioei funtzio esponentzial esaten zaie, a oinarria 1 ez den zenbaki positiboa izanik. • Funtzio horiek guztiak jarraituak dira Á osoan eta (0, 1) eta (1, a) puntuetatik igarotzen dira. • a > 1 bada, gorakorrak dira; zenbat eta handiagoa a, orduan eta gehiago. Funtzio horien hazkundea oso bizkor gertatzen da, edozein berretura-funtzio baino bizkorrago. Horregatik, hazkunde esponentzial esaten denean, oso hazkunde bizkorra adierazi nahi da. • 0 < a < 1 bada, beherakorrak dira.

➜

anayaharitza.es Funtzio esponentzialen adierazpena.

• Goi mailako matematiketan, y = funtzioa oso garrantzitsua da. Hainbeste, ezen «funtzio esponentziala» aipatzen denean, oinarria zein den zehaztu gabe, aipatzen dena funtzio hori da. • y = akx funtzioak ere esponentzialak dira; izan ere, a kx = (ak )x. Hau da, oinarria a k duen funtzio esponentziala da y = a kx. • Kalkulagailu zientifikoetan eta teklak egoten dira, hurrenez hurren, x x y = 10 eta y = e funtzioen balioak lortzeko.

148

➜

Jolastu funtzio esponentzialen berrekizunekin.

Funtzio esponentzialen bidez deskribatzen diren fenomenoak Funtzio esponentziala animalia, landare, ekonomia eta abarren hainbat hazkunde-fenomenotan erabiltzen da. Horietan guztietan, aldagai askea denbora da. Ikus ditzagun adibide batzuk: • Leku isolatu batean espezie bateko 1 000 euli sartu ditugu. Populazioa (N = euli-kop.) aldatu egingo da t denborarekin (egunetan adierazita), honako funtzio honen arabera: N = 1 000 · 1,02t

C D

• 50 000 €-ko kapital bat gordailuan ezarriz gero, urteko % 6an, C beste kapital bat bihurtuko da t urte igarota, honela: C = 50 000 · 1,06t

G Munduko biztanleriaren hazkundea

M = m · 0,76t Adierazpen horretan, t denbora da eta milaka urtetan emanda dago; m substantzia erradioaktiboaren hasierako kantitatea da; eta M, berriz, t denbora igaro ondoren dagoen substantzia erradioaktiboaren kantitatea.

1 erradio

Biztanleria osoa

Funtzio esponentzialak txikiagotze-fenomenoak deskribatzeko ere balio du. Adibidez: • Substantzia erradioaktiboak desintegratu egiten dira denborarekin eta substantzia erradioaktiboaren kantitate modu esponentzialean murrizten da. Batzuen desintegrazioa oso arina da; beste batzuena, berriz, oso geldoa. Adibidez, substantzia baten kantitate zehatz bat ekuazio honen arabera desintegratzen da:

K.a. 10.000. urtetik K.o. 2.000. urtera

1 radian

• Dibisatan inbertituriko 80 000 €-ko kapitala urtean % 3,5 debaluatzen bada, denboraren arabera duen bilakaera honako funtzio honek deskribatzen du: t

C = 80 000 · c 100 – 3, 5 m = 80 000 · 0,965t 100

Pentsatu eta trebatu

1 Baso bateko zuraren masa % 40 handiagotzen da 100 urtean. Masa begetalaren (biomasa) unitatetzat 1800. urtean zegoena joz gero (abiapuntu hori hartuta), eta denbora unitatetzat 100 urte hartuz gero, t edozein unetan M masa begetalaren zer kantitate dagoen M = 1,4t funtzioak emango digu, 1800etik aurrerako mendetan adierazita (arrazoitu zergatik). a) Kalkulatu noiz izango den zuraren masa 1800. urtekoa baino hiru bider handiagoa (1,4t = 3), eta noiz hiru bider txikiagoa. Kontuan izan bi denbora epeak berdinak direla.

b) Kalkulatu zein zen 1900, 1990, 2000, 1600 eta 1550 urteetan zegoen zur-kantitatea. 2 Egiaztatu, substantzia erradioaktibo baten desintegrazioari buruzko aurreko adibidean, M = m · 0,76t (t milaka urtetan adierazita), erdi-desintegrazio aldia (substantzia erradioaktiboak erdira murrizteko behar duen denbora) 2500 urtekoa dela, gutxi gorabehera. Horretarako, egiaztatu substantzia horren hasierako edozein kantitate erdira (gutxi gorabehera) murrizten dela 2500 urtetan (t = 2,5).

149

Funtzio logaritmikoak y = 2x funtzioaren alderantzizkoari 2 oinarriko funtzio logaritmiko esaten zaio, eta honela izendatzen da: y = log2 x. Funtzio horrek hartzen dituen balioak, argi dagoenez, 2 oinarriko logaritmoarenak dira.

Y 20

y = 2x

Esponentziala eta logaritmikoa:

alderantzizko funtzioak.

y = log2 x funtzioaren grafikoa y = funtzioarenaren simetrikoa da y = x ardatzarekiko, alderantzizko funtzioak baitira.

➜

y = log2 x 2 –4

–4

Funtzio logaritmikoen ezaugarriak Funtzio logaritmikoak y = loga x erako ekuaziodunak dira, a oinarria 1 baino handiagoa den zenbaki positiboa izanik. • Funtzio horiek guztiak jarraituak dira (0, +∞) tartean eta (1, 0) eta (a, 1) puntuetatik igarotzen dira. • Gorakorrak dira. Oso astiro hazten dira, zenbat eta handiagoa izan a orduan eta astiroago. • Goi-mailako matematikan, y = loge x funtzioa oso garrantzitsua da. Logaritmo nepertarra izena hartzen du eta y = ln x edo y = Lx idatzita izendatzen da. e oinarria duen funtzio esponentzialaren alderantzizkoa da. • Kalkulagailu zientifikoetan hiru tekla egoten dira, , eta , eta horiekin lortzen dira, hurrenez hurren, y = loga x (a edozein), y = log x eta y = ln x funtzioen balioak. La función logarítmica como modelo En psicología tiene gran importancia el estudio de percepciones. El individuo percibe colores, sonidos, olores, sabores… La percepción depende (es función) de los estímulos físicos. Por ejemplo, hablemos de la iluminación (I ), que puede ser medida físicamente, y la percepción, S, que aprecia un individuo. La relación entre las dos variables viene dada por la llamada ley psicofísica o ley de Weber-Fechner: S = C log I

oharra: y = loga x funtzio logaritmikoak ere existitzen dira, 0 < a < 1 kasurako, baina hemen ez ditugu landuko. ➜

anayaharitza.es Bistaratu funtzio logaritmikoak.

S = SENTSAZIOA (norbanakoak hautemana)

(C es una constante) I = ESTIMULU FISIKOA

Para valores pequeños de I el individuo aprecia pequeños cambios. Pero cuanto mayor sea I mayores tienen que ser los cambios para que se aprecien. Ebatzitako ariketa

1 Aurkitu y = 10 x, x ∈ [–2, 4] funtzioaren alderantzizko funtzioa.

10–2 = 1 = 0,01; 104 = 10 000 100 y = 10x funtzioa (–2; 0,01) eta (4, 10 000) puntuetatik igarotzen da. Beraz, elkarrekikoa (0,01; –2) eta (10 000, 4) puntuetatik igaroko da. Ondorioa: y = 10x, x ∈[–2, 4] funtzioaren elkarrekikoa y = log x, x ∈[0,01; 10 000] da.

Pentsatu eta trebatu

1 Egia ala gezurra? y = 2x, x > 0 funtzioaren alderantzizkoa y = log2 x, x > 1 da. 150

2 Aurkitu funtzio honen alderantzizkoa: y = log2 x, x ∈ [8, 32]

Funtzio trigonometrikoak Intuiziozko ikuspegia Bizikletaren gurpila zulatu zaigu eta, konpontzeko, mahai baten hegalean jarri dugu, ezkerreko argazkian ageri den bezala.

Gurpila biratzean, zuloa non dagoen adierazten digun P puntuak altuera aldatzen du mahaiarekiko. x eta y erlazionatzen dituen funtzioari, x: P puntuak biratzean egiten duen luzera y: P puntuak mahaiaren mailarekiko duen altuera neurri-unitatetzat erradioaren luzera hartuz, sinu funtzio esaten zaio: sin

x (ibilbidea) ⎯→ y = sin x (altuera) 3 2 y x

π x=— 2

x=π 4 y

π 3π x=— 2

x = 2π 10

y y

Lortzen dugun grafikoa honelakoa da: BEHATU

3 2 1

10 5 9 8

6 7

Lehenengo itzulitik aurrera, funtzioaren balioak behin eta berriro errepikatzen dira. Funtzio periodiko bat da. Periodoa 2π da, hori baita P puntuak bira oso bat ematean egiten duen distantzia. α x

Argi ikusten denez, P-ren posizio bakoitza α biraketa-angelu bati dagokio. Angelu hori x-ren balioaren bidez neurtzen badugu, radianetan neurtuta dagoela esaten dugu. 151

Funtzio trigonometrikoak

Angelu baten sinua

Y P

P puntua erradioa 1 duen zirkunferentzia baten gainean biraka ari da. Jatorria zirkunferentziaren zentroan duten X, Y koordenatu-ardatzak marraztuko ditugu.

α biraketa-angelua bada, P puntuaren ordenatuari α-ren sinua esaten zaio eta sin α adierazten da. P-tik X ardatzera dagoen distantzia da, kontuan hartuz, puntua X ardatzetik gora geratzen bada, distantzia positiboa dela (sin α > 0); eta puntua X ardatzetik behera geratzen bada, distantzia negatiboa dela (sin β < 0).

–1 ≤ sin α ≤ 1

Sinuaren balioak neurtzeko erabiltzen dugun unitate-erradioko zirkunferentzia goniometrikoa deitzen da.

GRADUAK ETA RADIANAK, KALKULAGAILUAREKIN Kalkulagailuan, besterik adierazi ezean, graduak erabiltzen dira. Neurri angeluarra konfiguratzeko , sakatu eta aukeratu 2:Unitate angeluarra. Hiru aukera ageri dira: 1:Gradu hirurog (D) 2:Radiana 3:Gradu zent (G)

Graduak eta radianak 1 rad ≈ 57° 17' 1 rad 1 180 α° = —— α rad π

α angelu baten balioa, radianetan, angelu horri dagokion arkuaren luzera da zirkunferentzia goniometrikoaren gainean neurtuta. Sinuaren balioak sin 45° 37' →

= 0,714676

1,5 = 0,997495

radianetan: sin 1,5 rad →

y = sin x, x ∈[0, 2π]

Angelu baten sinuaren balioak kalkulagailuaren laguntzaz lor daitezke: graduetan:

sin β

Beraz, angelu baten sinuak –1 eta 1 arteko balioak hartzen ditu: –1 ≤ sin α ≤ 1

Angeluak, normalean, gradutan neurtzen dira. Baina funtzio trigonometrikoak adierazteko, oso erabilgarria da angeluen neurriari buruzko unitate bat: radiana.

sin α

–1

Erreparatu alboko grafiko hori ematen duten sinuaren zenbait balio interesgarri:

π 2 — 2

π 3

3π —5 2

2π 6

x : angeluaren neurria radianetan.

graduak

0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

radianak

π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π 6

7π 6

5π 4

4π 3

3π 2

5π 3

7π 4

11π 6

2π

sin

1 2

2 2

3 2

2 2

1 2

–1 2

– 2 – 3 2 2

–1

– 3 – 2 2 2

–1 2

Sinu funtzioa Alboan irudikaturiko grafikoa y = sin x funtzioari dagokio, x ezezaguna [0, 2π] tarteko (hau da, 0° eta 360° arteko) angelu baten neurria izanik radianetan emanda. Puntuari lehenengo itzuliaren ostean biraka utzi eta 360° (2π rad) baino angelu handiagoak hartzen baditugu, edota itzuliak kontrako noranzkoan eman eta angelu negatiboak kontuan izaten baditugu, sinuaren balioak errepikatu egingo dira. Horrela, honako funtzio hau lortzen dugu, Á osoan definituta, jarraitua eta periodikoa (2π periododuna).

–π –2π

152

–1

y = sin x π 2π

3π

FUNTZIO PERIODIKOA Funtzio bat periodikoa da baldin eta: f (x ) = f (x + l ) = … = f (x + kl ), k ∈ Hau da, f -ren balioak errepikatu egiten badira l luzerako tarte bat aurrera edo atzera egiten den bakoitzean.

Angelu baten kosinua

α angelu bat zirkunferentzia goniometrikoaren gainean kokatu dugu. Angeluaren lehenengo aldea X ardatza da eta bigarrenak P puntu bat zehazten du. P-ren abzisari (hau da, Y ardatzera duen distantziari) α-ren kosinu esaten zaio eta cos α izendatzen da. Eta positiboa izango da Y ardatzaren eskuinera badago, eta negatiboa, ezkerrera badago.

cos β

Angelu baten kosinuak –1 eta 1 arteko balioak hartzen ditu: –1 ≤ cos α ≤ 1

α cos α

–1 ≤ cos α ≤ 1

Sinuaren eta kosinuaren arteko erlazioak • α angelua edozein dela ere, sin α eta cos α erradioa 1 duen zirkunferentzia goniometrikoko P puntu baten koordenatuak dira, eta hau egiaztatzen dute:

oinarrizko erlazioa

+α

(sin α)2 + (cos α)2 = 1

90°

sin (90° + α) cos (90° + α)

• Bi angeluren artean 90°-ko aldea badago, α eta α + 90°, orduan:

sin α

α cos α

sin (90° + α) = cos α cos (90° + α) = –sin α

Kosinuaren balioak

y = cos x, x ∈[0, 2π]

Angelu baten kosinuaren balioak kalkulagailuarekin laguntzaz lor daitezke: graduetan:

cos 45° 37' →

= 0,699455

–1

1,5 = 0,070737

radianetan: cos 1,5 rad →

π 2 — 2

π 3

3π —5 2

2π 6

x : angeluaren neurria radianetan.

Erreparatu alboko grafikoa ematen duten kosinuaren balio interesgarri batzuk: graduak

0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

radianak

π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π 6

7π 6

5π 4

4π 3

3π 2

5π 3

7π 4

11π 6

2π

cos

3 2

2 2

1 2

–1 2

– 2 – 3 2 2

–1

– 3 – 2 2 2

–1 2

1 2

2 2

3 2

Kosinu funtzioa Alboan irudikaturiko grafikoa y = cos x funtzioari dagokio, x ezezaguna [0, 2π] tarteko (hau da, 0° eta 360° arteko) angelu baten neurria izanik radianetan emanda. 360° (2π rad) baino angelu handiagoak eta angelu negatiboak kontuan izaten baditugu, kosinuaren balioak errepikatu egingo dira. Horrela, funtzio hau lortzen dugu, Á osoan definituta, jarraitua eta periodikoa (2π periododuna). 1 –2π

–π

–1

y = cos x π

GOGOAN IZAN 2π

3π

cos α = sin (90° + α) = sin (π/2 rad + α) Beraz, y = cos x = sin (π/2 + x ) funtzioaren grafikoa y = sin x funtzioaren berdina da π/2 ezkerrera mugituta. 153

Funtzio trigonometrikoak

Angelu baten tangentea

T tg α

90°

Zirkunferentzia goniometrikoak X ardatzaren zati positiboa ebakitzen duen U puntuan, zirkunferentziarekiko t zuzen ukitzaile bat marraztuko dugu.

Zirkunferentziaren gainean angelu bat kokatuko dugu. Angeluaren bigarren aldea edo horren aurkako zuzenerdia luzatzean, t zuzena T puntu batean ebakiko du. UT neurriari angeluaren tangente esaten diogu; eta positiboa izango da T puntua X ardatzetik gora badago, eta negatiboa, behera badago (aztertu hori guztia hobeto alboko grafikoan).

180°

t tg γ

tg β 270° D tg δ

90° eta 270°-ko angeluek ez dute tangenterik, ez angeluaren bigarren aldeak ez aurkako zuzenerdiak ez baitute t zuzena ebakitzen. T

Sinu, kosinu eta tangentearen arteko erlazioak α angelua ez bada ez 90°-koa ez 270°-koa, honako hau betetzen da:

tg α = sin a cos a

tg α

sin α α O U cos α C

Hori frogatzeko, OCS eta OUT angeluak antzekoak direla kontuan hartuko dugu. Beraz: tg a sin a UT = CS → = cos a 1 OU OC Angelua beste koadrante batean badago ere berdintza hori bete egingo da, dagokion zeinuarekin.

IDAZKERA Angelu baten sinu, kosinu eta tangenteari arrazoi trigonometriko esaten zaie.

Tangentearen balioak

y = tg x

Erreparatu alboko grafikoa ematen duten tangentearen balio interesgarri batzuk: graduak

0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

radianak

π 6

3 3

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π 6

–

– 3

–1

– 3 3

7π 6

5π 4

4π 3

3π 2

5π 3

7π 4

11π 6

2π

3 3

–

– 3

–1

– 3 3

π — 2 1 2

π 3

3π — 2 4 5

2π 6

Tangente funtzioa sin x eta cos x funtzioen kasuan egin dugun bezala jokatuz, y = tg x funtzioa lor-tzen dugu. π + k π abzisetan izan ezik, Á osoan definituta dagoen eta jarraitua 2 den funtzioa da, k zenbaki osoa izanik (y = π/2 + k π zuzenak y = tg x funtzioaren asintotak dira). Periodikoa da, π periododuna.

➜

anayaharitza.es Bistaratu funtzio trigonometrikoak.

y = tg x

IDAZKERA –2π

154

–π

2π

3π

4π

Funtzio hauei y = sin x, y = cos x, y = tg x funtzio trigonometriko edo funtzio zirkular esaten zaie.

Ebatzitako ariketak eta problemak 1. Funtzio baten transformazioak Beste funtzio horien grafikoak hauek dira: a) –1

g(x)

–1

Goiko hori funtzio honen grafikoa da: f(x) = x2 – 2x – 3 Adierazi, funtzio horretatik abiatuta, beste hauek: a) g (x) = f (x) + 3

b) h (x) = f (x + 2)

c) i (x) = –f (x)

d) j (x) = |f (x)|

c) 2

–2

–4

h(x)

i(x)

2 2

j(x) 4 2

–4

–2

Egiaztatzeko, bakoitzaren adierazpen analitikoa erabil dezakezu: a) g (x) = x 2 – 2x b) h (x) = (x + 2)2 – 2(x + 2) – 3 = x 2 + 2x – 3 c) i (x) = –x 2 + 2x + 3 2 2 baldin 2x – 3(eta –@ si ,xx–1∈] (« –@[,3–,1+]@« ) [3, +@) d) j (x) = * x – 2x*–x3 –si 2 2 baldin 2xx + 3(eta –1si, 3xx)∈ (–1, 3) –x + 2x +–x3 +si

2. Hiperbolen adierazpena Adierazi honako hiperbola hauek: a) y = 3x – 5 x–2 b) y = 2x + 1 x +1

EGIZU ZEUK

Adierazi y = –2x + 7 funtzioa. x –3

Zatikizuna = zatidura + hondarra erlazioa erabiliz, funtzio mota hauek y = 1/x hiperzatizailea zatizailea bolatik abiatuta adieraz ditzakegu, oinarrizko transformazioak eginez. a) Zatiketa egingo dugu: 3x – 5 x – 2 → 3x – 5 = 3 + 1 x –2 x –2 –3x + 6 3 1 Beraz, eskatutako grafikoa y = 1 modukoa da, baina 2 x unitate eskuinerago eta 3 gorago. b) Zatiketa egingo dugu: 2x + 1 x + 1 → –2x – 2 2 –1

1 X

1 Y

2x + 1 = 2 + –1 x +1 x +1

Eskatutako grafikoa y = – 1 funtzioarena bezalakoa da, x baina 2 unitate gora eta 1 ezkerrera mugituta.

2 –2

3. Funtzio bat transformatzea Deskribatu zer transformazio egin behar ditugun y = x 2 funtzioaren grafikoan honako hau adierazteko: f (x) = x 2 – 2x – 8

EGIZU ZEUK

Zer transformazio egin behar ditugu y = x 2 funtzioaren grafikoan f(x) = x 2 – 4x + 3 adierazteko?

f funtzioa honela idatzi behar dugu: f(x) = a(x – m)2 + p. Horretarako, x-ren gaiak bereizi eta batuketa edo kenketa baten karratua osatuko dugu, Y ■ ikurrak dauden lekuetan zenbaki egokiak jarriz: f(x) = x 2 – 2x + ■ – 8 – ■ f(x) = (x 2 – 2x + 1) – 8 – 1

f(x) = (x – 1)2 – 9 f(x) adierazteko, y = x 2 funtzioaren grafikotik abiatu eta translazio bat egingo dugu: 1 unitate eskuinera eta 9 unitate behera.

–5

Erpinaren koordenatuak (1, –9) dira.

155

Ebatzitako ariketak eta problemak 4. Konposizioa eta alderantzizko funtzioa Funtzio hauek ditugu: f (x) = 2 x + 1, g(x) = x + 1 , h(x) = x 2 – 1. Aurkitu: a) g ° f d) h ° g ° f

b) h ° f e) f -1

c) g ° h

EGIZU ZEUK

Aurkitu g ° f eta f ° g, kontuan izanda f (x) = 3 x 2 – 5 eta g (x) = 2 x – 1 .

Ikusten dugunez, f ( ) = 2

+ 1;

g(2x + 1)

g( ) = 4+ 1 ; h( ) =

– 1.

2x + 1 +1

a) ( g ° f )(x) = g[ f (x)] = = x + 1 b) (h ° f )(x) = h[ f (x)] = h(2 ) = (2x + 1)2 – 1 = 22x + 2 – 1 c) ( g ° h)(x) = g (x 2 – 1) = x 2 – 1 + 1 = x

g eta h funtzioak alderantzizkoak dira, ( g ° h)(x) = i(x) = x egiaztatzen baitute. 2 d) (h ° g ° f )(x) = h _g ^2 x + 1hi = h ^ 2 x + 1 + 1 h = ^ 2 x + 1 + 1 h – 1 = 2x + 1

e) f-ren alderantzizkoa kalkulatzeko, x = 2y + 1 aldagai trukea egingo dugu eta 2 oinarriko logaritmoak hartuko ditugu y askatzeko: log2 x = log2 2y + 1 → log2 x = y + 1 → y = –1 + log2 x

5. Funtzio konposatuak ezagutzea Azaldu nola lor daitezkeen f (x) = 1 + 2x, g (x) = x 2 + 1 , h(x) = 1/x 2 funtzioetatik abiatuta beste funtzio hauek: 2

a) m(x) = 1 + 2 x + 1 1 b) n(x) = (1 + 2 x ) 2 c) p(x) = (1/x 4 ) + 1 EGIZU ZEUK

Hemen definituriko f, g, h funtzioetatik abiatuta, lortu hauek: a) q (x ) = b) r (x ) =

(1 + 2 x ) 2 + 1 1 x2 + 1

a) m(x ) = 1 + 2 x + 1 funtzioa f (x ) = 1 + 2x eta g (x ) = x 2 + 1 funtzioekin lotuta dagoela ikusten dugu. Beraz m(a) edozein balio lortzeko a 2 + 1 kalkulatuko dugu lehenengo; eta gero, 2 balio horretara jaso eta 1 batuko dugu. Hau da, g ezarriko dugu lehenengo, eta f ondoren: f [ g (x)] = f ( x 2 + 1 ) = 1 + 2

x2 +1

→ m (x ) = ( f ° g ) (x )

b) n(x ) kasuan f (x ) eta h(x ) funtzioek parte hartzen dute. x-ren gainean eragiten duen lehenengoa f da, eta gero dator h. Beraz: 1 h[ f (x)] = h (1 + 2x ) = → n (x ) = (h ° f ) (x ) (1 + 2 x )2 c) p(x ) lortzeko, h(x ) ezarriko dugu lehenengo, eta g (x ) gero: 2

g [h (x)] = g c 12 m = c 12 m + 1 = 14 + 1 → p(x ) = (g ° h ) (x ) x x x

6. Funtzio baten alderantzizkoa Lortu honako funtzio hauetako bakoitzaren alderantzizkoa: a) f (x) = 1 x–3 b) g (x) = 3 + 2 x + 1 c) h(x) = 2 ln (x – 3) EGIZU ZEUK

Lortu honako funtzio hauen alderantzizkoa: a) p (x ) = 3x – 2 b) q (x ) = log2 (x + 1) c) r (x ) =

156

2 x +4

a) Alderantzizko funtzioa lortzeko, aldagaiak trukatu eta y askatuko dugu: x=

1 → y – 3 = 1 → y = 1 + 3 → f –1(x) = 1 + 3 y –3 x x x

b) Aldagaiak trukatu ondoren, 3 lehenengo atalera igaroko dugu eta 2 oinarriko logaritmoak hartuko ditugu y askatzeko: x = 3 + 2 y + 1 → x – 3 = 2 y + 1 → log2 (x – 3) = y + 1 → → y = –1 + log2 (x – 3) → g–1(x ) = –1 + log2 (x – 3) c) Aldagaiak trukatuko ditugu, 2 lehenengo atalera igaroko dugu eta logaritmoaren definizioa ezarriko dugu y askatzeko: x = 2 ln ( y – 3) → x = ln ( y – 3) → e x/2 = y – 3 → e x/2 + 3 = y → 2 → h –1(x ) = 3 + e x/2

7. Funtzio esponentzialen eta logaritmikoen grafikoak a) y = 2x unitate bat gora mugituta lortzen dugu. Grafiko hauetatik abiatuta, b) y = 2x kurbaren simetrikoa da X ardatzarekiko.

y = 2x

Y 6

c) 2x bi unitate eskuinera mugituta lortzen da.

y = log2 x

d) 2x kurbaren simetrikoa da Y ardatzarekiko. Bat dator y = (1/2)x kurbarekin. e) y = log2 x bi unitate ezkerrera mugituta lortzen da.

8 X

f ) log2 x kurbaren simetrikoa da X ardatzarekiko. a)

adierazi beste hauek: a) y = 2 x + 1

b) y = –2 x

c) y = 2 x – 2

d) y = 2 –x

e) y = log2 (x + 2) f ) y = – log2 x EGIZU ZEUK

c) y = log2 (x – 2)

Y 2

–2

–4

Y 6 y = 2–x

–6

b) y = 2x + 3

–2

6 X

y = log2 (x + 2)

4 X

2 4Y

d) y = log2 (–x )

y = –2x 6Y

y = 2x – 2

Y 6

Irudikatu: a) y = 2x – 1

y = 2x + 1

Y 6

y = –log2 x

8. Funtzio esponentziala Zauriak orbaintzeko prozesuak lege esponentzial bati jarraitzen dio. Zauriak t egunen buruan zer S azalera izango duen S = So e kt formularen bidez kalkula daiteke, So hasierako azalera izanik, eta k, konstante bat. a) Zauri batek, hasieran, 50 cm2-ko azalera bazuen eta handik bi egunera 24,83 cm2-koa, zenbat balio du k konstanteak? b) Kalkulatu zauriaren azalera zauria egin eta 8 egunera. c) Irudikatu funtzioa.

a) S0 = 50 eta (2; 24,83) puntua dakizkigu. Balio horiek S = S0e kt formulan ordeztuz, k lortuko dugu. t=2

S = 50e kt ⎯→ 24,83 = 50e 2k → e 2k = 0,4966 → 2k = ln 0,4966 → k = – 0,35 b) t = 8 denean, S = 50e – 0,35 ∙ 8 = 3 cm2 e – 0,35t

c) S = 50 . funtzioaren balio-taula bat egingo dugu. t

S(t) 35,2 24,9 12,3

8,7

AZALERA (cm2)

S = 50e –0,35t

5 1

DENBORA (egun)

9. Funtzio logaritmikoa

EGIZU ZEUK

Aurkitu a eta b-ren balioa y = –2 + logb (x + a) funtzioaren grafikoa (1, 0) eta (–1, –1) puntuetatik igaro dadin.

Definizio-eremua (3, +∞) da. (3,5; 0), (4, 1) eta (7, 3) puntuetatik igarotzen da.

Alderantzizko funtzioaren grafikoa lehenengo koadranteko erdikariaren simetrikoa da.

(3, 7)

6 (1, 4)

a) (4, 1)-tik igarotzen da: 1 = 1 + logb (4 – a) → logb (4 – a) = 0 → b0 = 4 – a → a = 3 b = –2 (ez du balio) (7, 3)-tik igarotzen da: 3 = 1 + logb (7 – 3) → 2 = logb 4 → b2 = 4 b=2 b) Funtzioa y = 1 + log2 (x – 3) da. Y y=

y = 1 + logb (x – a) motako funtzio logaritmikoaren grafikoa (4, 1) eta (7, 3) puntuetatik igarotzen da. a) Kalkulatu a eta b. b) Irudikatu funtzioa eta horren alderantzizkoa.

(7, 3)

2 2

(4, 1) 4 6

y=1+ 8 X

157

Gidatutako ariketak eta problemak 1. Alderantzizko funtzioa a) f -ren definizio eremua mugatuta dago. Ibilbidea zein den jakiteko, kontuan hartu zein den f (x ) funtzioak har dezakeen balio maximoa.

Y 2 2

Grafiko hau funtzio honena da: f (x) = 2 – x 2, x ≤ 0 a) Idatzi definizio-eremua eta ibilbidea. b) Irudikatu horren alderantzizko funtzioa. c) Aurkitu f –1(x) funtzioaren adierazpen analitikoa.

b) Egin f (x )-ren balio-taula bat eta alderantzikatu aldagaiak f –1(x ) funtzioaren puntu batzuk lortzeko. Gogoan izan alderantzizko funtzioak simetrikoak izan behar direla lehenengo koadranteko erdikariarekiko. c) Aldagaiak trukatu eta y askatzean, ibilbide desberdineko bi funtzio lortuko dituzu. Kontuan hartu f (x )-ren definizio-eremua f –1(x )-ren ibilbidea dela. Y 2

Soluzioa:

a) f -ren definizio-eremua = (–∞, 0] b) f -ren ibilbidea = (–∞, 2]

c) f –1(x ) = – 2 – x

2. Interes konposatua Banku batean 5 000 -ko gordailua egin dugu, urteko % 4,8an, interesen ordainketa hiru hilez behingoa izanik. a) Zenbatekoa izango da pilaturiko kapitala 3 urte igarota? b) Idatzi kapital hori t urtetan zenbatekoa izango den esaten digun funtzioa.

• Urtean % 4,8, hiruhileko bakoitzean 4, 8 = % 1,2 da. 4 • Kapitalizazio-epeak hiru hilerik behingoak direnez, lehenengo urtearen amaieran 4 kapitala 5 000 · c1 + 1, 2 m izango da. 100 4 • Kantitate hori bider c1 + 1, 2 m egingo da urtero. 100 Soluzioa: a) 5 769,5 €

b) f (t ) = 5 000 · (1,012)4t ≈ 5 000 · (1,049)t

3. Balio galera 20 000 balio zuen makina batek urtean balioaren % 10 galtzen du.

a) Urtebete igarota, makinak balioaren % 10 galduko du. Beraz, makinaren balioa 20 000 · (1 – 0,1) izango da. Errepikatu arrazoitze hori lau urterako.

a) Zenbat balio du 4 urte igaro ondoren?

b) Idatzi prezioa t urteren ondoren zein izango den emango digun f (t ) funtzioa. Egin f (t ) = 12 000 eta askatu t.

b) Zenbat urte igaro beharko dira 12 000 € balio izateko? c) Idatzi x balioa izateko zenbat urte igaro behar diren emango digun funtzioa.

c) Eskatzen diguten funtzioa f (t ) funtzioaren alderantzizkoa da. Soluzioa:

a) 13 122 €

b) 5 urte

c) t =

log x – log 20 000 log 0, 9

4. Funtzio logistikoa Funtzio honek

• f (x) = 6 000 egingo duen x-ren balioa aurkitu behar duzu.

12 000 1 + 499 (1,09 –x ) bideo-joko baten zenbat ale saldu diren adierazten du, kaleratu eta x egunetara. Zenbatgarren egunean saldu zen 6 000. alea?

• Egin eragiketak adierazpenean, izendatzaileak kendu eta ahalik eta sinpleena egin arte. • A = C –x motako adierazpena lortuko duzu. x-ren balioa kalkulatzeko, hartu B logaritmoak eta erabili kalkulagailua.

f (x) =

158 158

SOLUZIOA: Bideo-jokoa kaleratu eta handik 72 egun geroago saldu zuten 6 000.

Proposatutako ariketak eta problemak Trebatzeko

Funtzioen konposizioa

Funtzio baten transformazioak

10 f (x ) = x + 3 eta g (x ) = 2x 2 funtzioak emanda, aurkitu: a) f [ g (2)] b) g [ f (– 4)] c) f [ g (x )] d) g [ f (x )]

1 Adierazi f (x) = 4 – x 2, eta, hortik abiatuta, adierazi beste funtzio hauek: a) y = f (x) – 3 b) y = f (x + 2) c) y = | f (x)| 2 Hona hemen y = f (x) funtzioaren grafikoa:

Y 2 X

Bertatik abiatuta, adierazi funtzio hauek: a) y = f (x – 1) b) y = f (x) + 2

14 Funtzio hauek izanda

3 f (x) = 1 funtzioaren grafikotik abiatuta, adierazi hauek: x a) g (x) = f (x) – 2 b) h(x) = f (x – 3) c) i(x) = –f (x) d) j(x) = | f (x)|

g (x) =

15 f (x) = sin x, g (x) = x 2 , h (x) = 1 funtzioak izanda, lortu x honako hauen adierazpen analitikoak: a) g ° f b) f ° g c) f ° g ° h d) h ° g ° f

1 X

Y 1 –1

3 h(x) = x – 3 x –2 aurkitu honako hauen adierazpenak: a) f ° g b) g ° f c) f ° h d) g ° h e) h ° f f) h ° g Aurkitu, ahal izanez gero, x = 5 eta x = 0 puntuetan lortutako funtzioak. f (x) = x 2 + 1

4 Adierazi x funtzioa eta irudikatu, bertatik abiatuta, beste funtzio hauek: a) g (x) = f (x + 1) b) h(x) = f (x) – 3 c) j(x) = | f (x)|

6 Grafiko honen ekuazioa y = (x – m)2 + p motakoa da. Aztertu eta esan zein diren m-ren eta p-ren balioak.

12 f (x ) = 2x + 3 eta g (x ) = x 2 – 2x izanik, lortu honako funtzio hauen adierazpenak: 13 f (x ) = 3x + 2 eta g (x ) = x funtzioak izanda, aurkitu: a) ( f ° g ) (x ) b) ( g ° f ) (x ) c) ( g ° g ) (x )

c) y = | f (x)|

5 Funtzio honen adierazpen analitikoa y = 1 + b motakoa da. x–a Aztertu grafikoa eta esan zein diren a-ren eta b-ren balioak.

11 f (x ) = x 2 + 1 eta g (x ) = 1 funtzioak ditugu. Kalkulatu: x a) ( f ° g ) (2) b) ( g ° f ) (–3) c) ( g ° g ) (x ) d) ( f ° g ) (x )

3 X

7 Adierazi honako funtzio hauek: a) y = 1 b) y = 1 x –1 x +1 c) y = –1 d) y = 1 + 2 x –3 x 8 Adierazi honako funtzio hauek: a) y = x – 1 b) y = – x + 3 c) y = 2 + x d) y = 1 – x 9 Irudikatu f (x) = x 2 – 6x + 5 funtzioaren grafikoa. Hortik abiatuta, adierazi honako beste funtzio hauek eta idatzi horien ekuazioak. a) g (x) = f (x) + 2 b) h (x) = f (x – 3) c) i (x) = –f (x)

16 f (x ) = 12 eta g (x ) = x – 2 funtzioekin, konposizio bidez x 1 p (x ) = eta q (x ) = 12 – 2 funtzioak lortu ditugu. (x – 2)2 x Adierazpen horietako zein dagokion f ° g eta g ° f konposizioetako bakoitzari. 17 Azaldu funtzio hauetatik abiatuta f (x) = 2x – 1

g (x) = x + 2

h(x) =

1 x –3

nola lor daitezkeen beste hauek: a) m(x) = 2 x + 1 b) n(x) = 2 x – 1 + 2 1 +2 x –3 e) r (x) = 1 x +1 c) p(x) =

4–x

d) q(x) = 2 x – 3 f ) s (x) =

1 2x – 1 – 1

18 Funtzio hauek ditugu: 1 x +2 Azaldu f, g eta h-tik abiatuta nola lor daitezkeen, konposizio bidez, p, q eta r : p (x ) = x – 5 ; q (x ) = x – 5; r (x ) = 1 x +2 f (x ) = x – 5

g (x ) = x

h (x ) =

159 159

Proposatutako ariketak eta problemak Funtzio baten alderantzizkoa

19 f (x) = 3x – 1 funtzioa emanda, aurkitu f –1(x). Adierazi f 2 eta f –1, eta egiaztatu y = x zuzenarekiko simetrikoak direla.

28 Lotu honako adierazpen hauetako bakoitza dagokion grafikoarekin: a) y = ln x b) y = 21 – x c) y = e x d) y = –log2 x e) y = –(1/2)x f ) y = log2 (x + 3)

20 Aurkitu honako funtzio hauen alderantzizkoa: a) y = 3x – 2 b) y = x + 3 2 c) y = 2x + 1 d) y = 1 + 2x e) y = 2 + log3 x f ) y = 4 – x 2, x ≥ 0 21 Irudikatu grafiko batean honako funtzio hauetako bakoi-tzaren alderantzizkoa: a)

III Y

2 X

–2

–4

–6

2 2 X

IV Y

V Y

VI 6

22 Egiaztatu funtzio bikote hauek elkarren alderantzizkoak diren. Horretarako, kalkulatu f ° f –1 edo f –1 ° f : a) f (x) = 1 ; f –1(x) = 1 – 2 x +2 x 2 b) f (x) = 2x + 3 ; f –1(x) = x + 2 3 c) f (x) = 1 + log2 x ; f –1(x) = 3 ∙ 2x – 1 3 23 y = x + 2 , x ∈ [–2, 7] funtzioa daukagu. a) Zein da ibilbidea? b) Lortu alderantzizko funtzioa eta zehaztu horren definizio-eremua eta ibilbidea. 24 Aurkitu honako funtzio hauetako bakoitzaren funtzio alderantzizkoa: a) y = 3x – 1 b) y = 3 1 – 3x 2 c) y = 1 + 2x – 3 d) y = 2 + log3 (x + 1) e) y = 1 + 3 f ) y = 2x – 3 x +1 x –1 Funtzio esponentzialak eta logaritmikoak

25 Irudikatu ondorengo funtzio hauek y = 2x funtzioaren grafikotik abiatuta: a) y = 2x + 2 b) y = 2x – 3 c) y = 2x/2 x +3 d) y = b 1 l e) y = 1 – 2x f ) y = 22 – x 2 26 Irudikatu ondorengo funtzio hauek y = log2 x funtzioaren grafikotik abiatuta: a) y = 1 + log2 x b) y = log2 (x – 1) c) y = 2 – log2 x d) y = log2 (–x ) 160

–2

–4

–2 2

I Y 2

c) Y

27 Kalkulagailuaren laguntzaz, irudikatu funtzio hauek: a) y = 3 · 0,8x b) y = (1/2) · 1,8x c) y = ln (2x ) d) y = ln (x + 1)

2 2

–2

–6

–4

–2

29 Egiaztatu y = 3x eta y = c 1 m funtzioen grafikoak simetri3 koak direla OY ardatzarekiko. 30 Egin y = 3x funtzioaren balio-taula bat. Hortik abiatuta, irudikatu y = log3 x funtzioa. 31 Zein da y = log2 (2 – x ) funtzioaren definizio-eremua? Adierazi. Funtzio trigonometrikoak

32 P puntu batek erradioa 1 duen zirkunferentzia osorik ibiltzen badu, biraketa-angelua 360º da, eta hori arkuaren bidez neurtuta 2π radian da. Beraz: 360° = 2π rad → 180° = π rad → 90° = π rad 2 a) Adierazi radianetan honako angelu hauek: 30°, 45°, 60°, 120°, 135°. b) Adierazi gradutan honako angelu hauek: 5π/6, 7π/4, 4π/3, 3π/2, 7π/6. 33 Adierazi funtzio hauek:

a) y = 1 + sin x

b) y = –cos x

34 Adierazi y = sin 2x. Horretarako, erabili kalkulagailua, unitate angeluar moduan radiana hautatuz, eta osatu balio-taula hau zure koadernoan. x

π/4

π/2

3π/4

5π/4 3π/2 7π/4

35 Lotu honako funtzio hauetako bakoitzari beheko grafikoen artean dagokiona: a) y = cos 2x b) y = –sin x c) y = 2sin x d) y = 1 + cos x I

1 – –π 2

–1

π – 2

3π — 2

2π

π – 2

3π — 2

2π

II 1 – –π 2

–1 2

III

1 π – 2

– –π 2

3π — 2

2π

–1

π – 2

3π — 2

2π

–2

Ebazteko k + b erako funtzio hauek, eta deskribax–a tu bakoitzean zer transformazio egin behar ditugun y = 1 x funtziotik abiatuta adierazteko.

36 Adierazi y =

a) y = 3x x –1

39 y = ka x erako funtzio esponentzial baten grafikoa (0; 0,5) eta (1; 1,7) puntuetatik igarotzen da. Kalkulatu k eta a, eta irudikatu funtzioa. 40 (1; 1,2) eta (2; 0,48) puntuak y = k · a x funtzioaren grafikokoak dira. a) Kalkulatu k eta a. b) Aurkitu zein izan behar den x-ren balioa y = 120 izateko. 41 y = –2 + logb (x + a) funtzio logaritmikoaren grafikoak (0, –2) eta (8, 0) puntuetan ebakitzen ditu koordenatu-ardatzak. a) Kalkulatu a eta b. b) x -ren zer baliorekin da y = 3? 42 y = a + b ln x funtzioa (e, 5) eta (1/e, –1) puntuetatik igarotzen da. a) Kalkulatu a eta b. b) Zein da alderantzizko funtzioa? 43 y = 5 (x – 32) funtzioak Fahrenheit graduak gradu zen9 tigradu bihurtzen ditu. Aurkitu gradu zentigraduak Fahrenheit gradu bihurtzeko funtzioa.

– –π 2

38 Irudikatu eta aurkitu bakoitzaren alderantzizko funtzioa. a) y = 3 + 2x – 1 b) y = 0,2 · 23 – x c) y = 1,8 · 50,2x d) y = 1 + log2 (x + 4) e) y = ln (3x + 2) f ) y = 2,5 · e –x/2

b) y = x – 2 x–4

c) y = 3x + 2 d) y = x + 1 x +1 x –1 * Ikusi ebatzitako 2. ariketa. 37 Adierazi honako funtzio hauek y = a (x – m)2 + p adierazpena erabiliz, eta deskribatu zer transformazio egin behar ditugun y = x 2 funtziotik abiatuta adierazteko. a) y = x 2 – 10x + 16 b) y = x2 – x + 2 * Ikusi ebatzitako 3. ariketa.

44 Bakterio-kultura bat y = 1 + 2x/10 funtzioaren arabera hazten da ( y : milaka bakterio, x : orduak). Zenbat zeuden hasierako unean? Eta handik 10 ordura? Zenbat denbora behar dute bikoizteko? 45 y = 80 · 2–0,4t funtzioak ur lagin batean dagoen estrontzio erradioaktibo kantitatea (gramotan) ematen digu, t unean (urteetan). a) Zer kantitate egongo da 10 urte barru? b) Noiz murriztuko da egun dagoen kantitatea % 50? 46 Sendagai baten odoleko kontzentrazioa y = 100 · (0,94)t funtzioak ematen digu ( y, mg-tan; t, h-tan). a) Esan zein den hasierako dosia eta gaixoak sendagaiaren zer kantitate duen 3. ordurako. b) Irudikatu funtzioa. c) Kontzentrazioa 60 mg-tik behera ez jaistea nahi badugu, zenbat denbora barru txertatu behar diogu berriro botika? 47 Gai erradioaktibo baten 75 gramoko lagin bat izanda, t urte igaro ondoren geratzen den kantitatea C (t) = 75(0,62)t ekuazioaren bidez kalkula daiteke. a) Zenbat urte igaro behar dira 10 gramo material erradioaktibo geratzeko? b) Irudikatu funtzioa. 161

Proposatutako ariketak eta problemak 48 Psikologiako ikasle batek badaki, ikasturtea amaituta, landu dituen jakintza guztietatik t hilabete geroago gogoratuko duen ehunekoa funtzio honen bidez kalkula litekeela: R (t) = 94 – 46,8 log (t – 1) a) Kalkulatu ikasitakoaren zer ehuneko gogoratuko duen ikasturtea amaitu eta 6 hilabetera. b) Adierazi funtzio hori. 49 Badaki presio atmosferikoa altueraren arabera aldatzen dela. h (x) = 41,97(0,996)x ekuazioak mendi baten altuera adierazten digu, kilometrotan, x presio atmosferikoa jakinda, milibarretan. a) Everesten gailurrean presioa 389 milibarrekoa bada, zer altuera du Everestek? b) Zenbatekoa izango da presioa 3 500 metroko altuera duen mendi baten gailurrean? 50 Grafiko honek periodikoki errepikatzen den higidura bat adierazten du. a) Adierazi [0, 10] tartean. b) Kalkulatu f (7), f (10) eta f (20).

Y 2 2

51 10 L ur hartzeko edukiera duen depositu bat automatikoki betetzen eta husten da, 8 minuturik 8 minutura. Depositua hutsik dagoenean hasten da betetzen, eta lan horrek 2 minutu irauten du. Gero, 5 minutu egiten ditu beteta, eta 1 minutuan husten da. Prozesu hori periodikoki errepikatzen da. a) Irudikatu deposituan ordu erdiz dagoen ur kantitatea adierazten duen funtzioa. b) Kalkulatu f (12), f (16) eta f (19), eta egiaztatu f (x + 8k) = f (x), k ∈ Z. Zein da periodoa? 52 Liburu baten zenbat ale salduko diren liburu hori iragar-tzeko erabiliko den diruaren araberakoa da. Erlazio hori ematen duen funtzioa hau da: y = 2 + 0,5 ln (x + 1); x milaka eurotan, y milakoetan a) Kalkulatu zenbat ale salduko diren publizitatean 20 000 € inbertituz gero. b) Zenbat inbertitu beharko da 5 000 liburu saltzeko? 53 Banku batean 10 000 € sartu ditugu, urteko % 6an, interesen ordainketa hilekoa izanik. Idatzi kapital hori m hilabetetan zenbat izango den adierazten digun funtzioa. Kalkulatu zenbat denbora beharko den kapitala bikoizteko. 54 Munduko biztanleria modu esponentzialean hasi da 1650etik. P (t) = 0,5 · e0,0072t funtzioak 2015era arteko munduko biztanleriaren hurbilketa ona ematen digu (t urtetan; P (t) milaka milioitan). a) Zenbatekoa zen munduko biztanleria 1920an? b) Estimatu zein izango den munduko biztanleria 2020an, hazkundeak egonkor jarraituko duela pentsatuz. 162

55 Karbono 14 fosilen eta beste gai batzuen adina kalkulatzeko erabiltzen da. Horretarako formula C = C0 · e–t ln 2/5730 da, C0 fosilak eratu zenean zeukan karbono 14 kantitatea izanik, eta C, t urte barru izango duen kantitatea. a) Fosil baten kasuan C0 = 500 g bada, zenbat gramo karbono 14 izango du 2 000 urte geroago? b) Hasierako kantitatea erdira murrizteko behar den denborari erdidesintegrazio-epea esaten zaio. Kalkulatu karbono 14aren erdidesintegrazio-epea. 56 Kirol-automobil batek 24 000 € balio ditu. Badakigu automobil horrek balioaren % 12 galtzen duela urtean. a) Zer funtziok emango digu autoak t urte barru duen balioa. b) Noiz izango du hasierako balioaren erdia? 57 20 000 € inbertitu ditugu, urteko % 4,8an, sei hilean behin kapitalizatzen den kontu batean. a) Idatzi kontuan t urte barru zenbat diru izango dugun emango digun funtzioa. b) Zenbat denbora igaro behar da hasierako kapitala % 50 handitzeko? 58 Autonomia erkidego bateko osasun zerbitzuko medikuek agindutako sendagai generikoen errezeta-kopurua modu esponentzialean hazi da 2005etik. Funtzioa f (t) = k e at motakoa da. Kalkulatu k eta a, kontuan izanda 2005ean (t = 0) 6,52 milaka errezeta agindu zituztela, eta 2008an, 9,84 milaka. Zer urtetan iritsiko dira 50 milaka errezetara? 59 Poliziaren ikerketa batek dioenez, hiri bateko etxebizitzetan urterik urte egin izan diren lapurretak N (t) = A – B · · log (t + 2) funtzioaren arabera gutxitu dira. Badakigu 2000. urtean (hots, ikerketa hasi zen urtean) 520 lapurreta egon zirela; eta 2003. urtean, 476. a) Zehaztu A eta B. b) Kalkulatu zenbat lapurreta egongo diren 2020an. 60 Bakterio-kultura batek 100 zelula zituen hasieran. Ordu erdi geroago, 435 zelula zeuden. Kultura horrek y = k e a t motako (t minututan) hazkunde esponentzialari jarrai-tzen badio, kalkulatu k eta a eta irudikatu funtzioa. Zenbat denbora beharko da 5 000 bakterio izateko? 61 Una taza de café recién hecho está a 75 °C. Después de 3 minutos en una habitación a 21 °C, la temperatura del café ha descendido a 64 °C. Si la temperatura, T, del café en cada instante t viene dada por la expresión T = Ae kt + 21, calcula A y k y representa la función. ¿Cuánto tendremos que esperar para que la temperatura del café sea de 45 °C? 62 Ikerketa baten arabera, auzo bateko biztanleria y = 10 000 1 + ke – 0, 2t funtzioaren arabera haziko da (t, urteak; y, biztanleak). a) Auzo horrek 1 250 bizilagun ditu gaur egun. Kalkulatu k. b) Kalkulatu zenbatekoa izango den biztanleria 10 urte barru.

63 Zirkulu-itxura duen ur-potxingo bat lurruntzen ari da eguzkipean. t minutu igarota potxingoaren erradioa g(t) = 15 cm. t +2

a) Adierazi ur-potxingoaren azalera denboraren funtzioan. b) Zenbatekoa izango da potxingoaren azalera 10 min igarota? c) Zer erlazio du a) ataleko funtzioak f (r) = πr2 eta g(t) = 15 funtzioekin? t +2

64 y = 20x + 1 zuzenak y = ax kurba ebakitzen du x = 0 eta x = 4 puntuetan. a) Kalkulatu a. b) a-ren balio horretarako, idatzi y = loga x funtzioa x = 1 eta x = 81 puntuetan ebakitzen duen s zuzenaren ekuazioa. c) Zer erlazio dago r eta s zuzenen artean?

65 y = funtzioa izanda, erantzun: a) Izan daiteke negatiboa y ? Eta x ? b) a-ren zer baliotarako da beherakorra? c) Zer puntutatik igarotzen dira y = loga x mota funtzio guztiak? d) x-ren zer baliotarako egiaztatzen da 0 < a x < 1 baldin eta a > 1 bada? Eta 0 < a < 1 bada?

AUTOEBALUAZIOA

68 Adierazi funtzio hauek:

y == sen sinbx – π l y = cos bx + 2 abiapuntutzat y = sin x eta hartuta.

π l y = |sin x| y = |cos x | 2 y = cos x funtzioen grafikoak

69 Arrazoitu funtzio hauetako zein den y = 3x – 2 funtzioaren alderantzizkoa. a) y = 2 + log3 x b) y = 3 x + 2 c) y = log3 (x + 2) a) y = sen sin bx + π l eta y = cos x funtzioen grafikoak berdi2 nak dira. b) y = a x funtzioan x-ri ezin zaizkio balio negatiboak eman 0 < a < 1 denean. c) y = log (x – a) eta y = ln (x – a) funtzioek puntu berean ebakitzen dute X ardatza. d) y = ln x eta y = 1 funtzioek puntu batean elkar ebakix tzen dute. anayaharitza.es Ariketa hauen ebazpena.

➜

1 izanda, aurkitu: x –3 b) g [ f (15)] c) f ° g

1 f (x) = x + 1 , g (x) =

2 Irudikatu y = f (x) funtzioaren alderantziz-koaren grafikoa.

67 Irudikatu y = sin x, y = cos x, y = tg x funtzioak. a) Zein da bakoitzaren periodoa? b) Esan zein den bakoitzaren definizio-eremua. c) Zer balio-tarte hartzen dute?

70 Egia da ala ez da? Egiaztatu eta arrazoitu.

Galdera teorikoak

a) f [ g (2)]

66 f (x ) = 2x eta g (x ) = log2 x direla jakinda, zein da ( g ° f ) (x ) funtzioa? Eta ( f ° g) (x )?

d) g –1(x) Y

y = f (x)

3 y = a + b log 2 (x + 2) funtzio baten grafikoa (0, 1) eta (2, 0) puntuetatik igarotzen da. Aurkitu a eta b eta arrazoitu funtzio gorakorra edo beherakorra den.

6 Adierazi y = 1 . Hortik abiatuta, irudikatu y = –2x + 5 . x –2 x 7 Adierazi eta aurkitu alderantzizkoa, kasu hauetako bakoitzean. a) y = 1,5 · 2x – 3 b) y = 2 + ln (x + 1) 8 Lotu beheko grafikoari honako adierazpen hauetako bat, eta esan zein den periodoa: a) y = cos x b) y = cos 2x c) y = 2cos x 1

4 Furgoneta batek balioaren % 8 galtzen du urtean. Erostean 18 000 € balio izan bazuen, zenbat denbora igarota balioko du erdia? 5 Bakterio-kultura batek 50 zelula zituen hasieran, Bi ordu geroago, 162. Modu esponentzialean hazten bada y = ke a t funtzioaren arabera (t ordutan), kalkulatu k eta a. Zenbat denbora barru iritsiko da 5 000 bakteriora?

π — π — π — 6 4 3

π — 2

π 3— π 5— π 2— 3 4 6

π 5— π 4— π 7— 6 4 3

–1

Osatu puntu hauek y = 2 cos x funtziokoak izan daitezen: (5π/6, …), (4π/3, …), (–π/4, …). Adierazi [0, 2π] tartean.

163

© GRUPO ANAYA, S.A., 2022 - C/ Juan Ignacio Luca de Tena, 15 - 28027 Madrid. Eskubide guztiak gordeta. Legeak lan honen edukia babestu eta espetxe-zigorrak edota isunak eta kalte-galeren ondoriozko kalteordainak ezartzen ditu honako hauentzat: edozein literatura-lan, artelan zein zientzia-lan, edo horren eraldaketa, interpretazioa edo gauzapena (edozein euskarritan finkatuta edo edozein eratan komunikatuta), oso-osorik edo zati batean, baimenik gabe erreproduzitu, plagiatu, banatu edo komunikatzen dutenentzat.