Matemáticas orientadas a las enseñanzas Académicas 4º ESO. Andalucía

DEMO

INCLUYE

PROYECTO DIGITAL BANCO DE RECURSOS Y LIBRO DIGITAL

4 ESO

S A C I T Á S M A Z E N A T Ñ E A S N E M S A L A S A D A T ORIEN S A C I M É D A C A z, onzále G a r i e liv s, M .ª J . O , z e a Caña n r é e m l i o J C ra R. J. Cole lbero, A u Z l e ÍA PÉRE C I. Gazt R A G .

R

SUMA

piezaS

ASÍ ES

tu libro Apertura de unidad

4

funciones. as característic pto de función

Evolución del conce

largo del y perfilándose a lo ha ido evolucionando ?

El concepto de función se le ha ido exigiendo a dicho concepto s tiempo. ¿Qué requisito dos variables.

• Una función relaciona s. naturale os n fenómen (rela• Las funciones describe mediante fórmulas les pueden ser descritas • Las relaciones funciona ciones algebraicas). ente. ser representadas gráficam • Las funciones pueden

objetos?

los a. C.) es (filósofo del siglo iv xvi, la influencia de Aristótel Según Aristóteles, si se deban.

En la Europa del siglo creencias no se cuestiona al suelo. Se era extraordinaria y sus más pesado llegará antes desmontó de distintos pesos, el Universidad de Pisa, jan caer dos cuerpos profesor novato de la metálicos siendo Galileo, dejó caer dos objetos cuenta que ese una experiencia pública: simultáneamente. De esta creencia mediante Cayeron Pisa. de desde la torre de pesos muy distintos o de la universidad. tesis pero fue expulsad embargo, modo demostró sus mucho de mito. Sin anécdota anterior haya un cuerpo por un plano inEs posible que en la de entó sobre la caída sí es cierto que experim tiempos. y s distancia clinado, controlando

¿A qué velocidad caen

Un ejemplo de función

que es exacto debido a Un reloj de sol no nto alrededor del la Tierra, en su movimie velocidad. a igual Sol, no va siempre

Cada unidad comienza con una breve introducción histórica de los contenidos que vas a estudiar.

es matemáticos

grand de la en describir las leyes (siglo xiv) fue el primero dos variables. Y Gali• Nicolas de Oresme s de dependencia entre expenaturaleza como relacioneprimera vez la experimentación (diseñó, s. por amente estas relacione leo (siglo xvi) utilizó para establecer numéric que rimentó, miró, anotó) de la geometría, propició ción algebriza su con • Descartes (siglo xvii), ser representadas gráficamente. función las funciones pudieran primera vez la palabra en 1673, utilizó por • Leibniz (siglo xvii), relaciones. para designar estas dio precisión y geque al , concepto el no dista fue perfilando muy rigurosa, que • Euler (siglo xviii) (x). una definición general la nomenclatura f neralidad. Presentó os actualmente. Aportó te, que mucho de la que utilizam admitiendo, finalmen xix) amplió el concepto función aunque no haya una • Dirichlet (siglo ser dos variables puede una relación entre que la describa. analítica n expresió

Aportaciones de

distancia (cm)

250

se adelanta o se

cuántos minutos debajo muestra en La gráfica que tienes un año. en el transcurso de atrasa el reloj de sol podemos hacer A partir de ella, nos s: 15 MINUTOS infinidad de pregunta reloj de sol se ade• ¿En qué fecha el 3N 10 lanta más? retrasa más?

• ¿En qué fecha se 5 15 M se adelanta ni se no • ¿En qué fechas 25 D 14 J 1 S retrasa?

16 A A S O N D siguiente? ¿Y al E F M AM J J • ¿Qué pasará al año otro?

5 se repite cada Este comportamiento vuelven a reque año. Las funciones 27 J –10 se llaman pepetirse sucesivamente riódicas.

Resuelve. Se ofrecen una serie de actividades motivadoras con el fin de poner en funcionamiento los conocimientos previos que ya posees.

200

Resuelve bola 1 Se deja caer una

150

tancia que recorre en

te inclinado y se mide

por un raíl levemen distintos tiempos:

la dis-

4 4,5 5 2 2,5 3 3,5 0 0,5 1 1,5 250 90 123 160 202 10 22 40 63 (en cm) 0 2,5 distancia , e

tiempo,

100

que cuadrícula como la anteriores sobre una la curva correspondiente. a) Representa los datos Úsalos para obtener buena tienes a la izquierda. s responden (con muy los valores obtenido 2 b) Comprueba que e = 10t siguiente relación: aproximación) a la

50

1

2

4

3

tiempo (s)

5

t ( en s)

89

–15 11 F

88

Desarrollo de los contenidos y actividades

llo de la El desarro ividen en unidad se d estos en epígrafes, y s. subepígrafe

Unidad

3

FUNCIONES CUADRÁTICAS ã Funciones cuadráticas El curso pasado hicimos una suave introducción al estudio de las parábolas. Vamos, ahora, a repasar aquello y a avanzar un poco en su tratamiento.

Los contenidos más importantes están resaltados.

Observa las siguientes parábolas con sus respectivas ecuaciones:

Para representar una función cuadrática dada por su ecuación, solo hace falta obtener varios de sus puntos. Empezamos encontrando el vértice de la parábola, para hallar, después, algunos puntos que lo rodean.

La calculadora nos permite elaborar, de forma rápida y eficiente, una tabla de valores correspondiente a cualquier función, en el intervalo que queramos y con los incrementos deseados. Observa cómo lo hacemos para la función y = –x2 + 3x + 4.

• Hallamos la abscisa del vértice de la parábola y = ax 2 + bx + c → p = – b

2a

• Calculamos el valor de la función en algunas abscisas próximas al vértice.

• Los cortes con los ejes pueden venirnos bien para la representación:

— Con el eje X, se resuelve la ecuación ax 2 + bx + c = 0.

Se elige 9:Tabla en la opción de �.

Aparece f (x) y, a continuación, se introduce la expresión. Ten en cuenta que para escribir la x hay que pulsar y y==x x2y 2= x 2

1— 21 x 2 y1x=x2 — y y==— 22 2

y 2=2 3x 2 y y==3x3x

1— 2+ 21 x2x –+42x4 + 4 y1x=x2 — ––2x y y==— 22 2

2– +–66x6 – 6 y 2=2+–x +6x6x y y==–x–x

Los iconos incluidos en algunas actividades sugieren la clave del proyecto que puede aplicarse en cada caso.

2 +–18x 2++18x y =2 –3x 18x –2424– 24 y y==–3x –3x

2 2 y =2 –3x y y==–3x –3x

12 x 2 1=— 1x–x2 — y y==––y— 22 2

-

x )

x )

.

x+3

x )

— Con el eje Y, es el (0, c ).

Ejercicio resuelto

Representar la parábola de ecuación y = –x 2 + 3x + 4.

+4=

Obtenemos el vértice: Abscisa: p = – 3 = 1,5 → Ordenada: f (1,5) = 6,25 → Vértice: (1,5; 6,25) –2 Obtenemos puntos próximos al vértice:

Aparece esta pantalla, donde debes indicar el primer y el último valor de x y el tamaño del paso:

2 –+18x y 2=2–3x y y==3x3x –18x 18x +2424+ 24 2+ x6x –+66x6 + 6 y y==x x2y 2–=–6x

y 2=2 –x 2 y y==–x–x

las teclas

12++2x 1=— 1x–x2 — 2– x2x +–42x4 – 4 y y==––y— 22 2

5

ã Representación de funciones cuadráticas

Tablas de valores con calculadora

En nuestro caso, como el vértice está en x = 1,5, le damos los valores de –2 a 5 y vamos de 1 en 1 (paso).

x

–2

–1

0

1

2

3

4

5

y

–6

0

4

6

6

4

0

–6

Ejemplos y ejercicios resueltos.

Para practicar los procedimientos más importantes.

Podemos observar que, debido a la simetría de la parábola respecto a su eje, las ordenadas de los puntos que están a la misma distancia del vértice coinciden. Es decir, como el vértice está en x = 1,5, entonces f (1) = f (2); f (0) = f (3)…

Vemos que – x 2 + 3x + 4 = 0 tiene dos soluciones, x = –1 y x = 4; y que f (0) = 4. Pero estos puntos de corte con los ejes ya aparecen en la tabla.

Para ver los valores que no salen, debes moverte hacia abajo con el cursor.

Analizándolas, podemos realizar las siguientes afirmaciones: Las funciones y = ax 2 + bx + c, con a ≠ 0, llamadas cuadráticas, se representan todas ellas mediante parábolas y son continuas en todo Á. anayaeducacion.es Ampliación teórica y práctica sobre traslaciones de parábolas.

Piensa y practica

eje

1

Su forma depende de a, coeficiente de modo:

x 2,

A

• a = –1

del siguiente

•a=– 1 3 •a= 1 2

de x 2, sus parábolas correspondientes son idénticas, aunque pueden estar situadas en posiciones distintas.

• Si a > 0, tienen las ramas hacia arriba, y si a < 0, hacia

abajo.

C

D

•a=2

• Si dos funciones cuadráticas tienen el mismo coeficiente

• Cuanto mayor sea |a |, más estilizada es la parábola.

anayaeducacion.es GeoGebra. Representa funciones cuadráticas.

Asocia cada uno de los coeficientes de la x 2 con su correspondiente parábola:

Cada una de estas parábolas tiene un eje paralelo al eje Y.

vértice

2 Representa las siguientes parábolas:

a) y = x 2 – 2x + 2 c) y = 1 x 2 + x – 2 3 e) y = – 1 x 2 + 2 2

Piensa y practica. Son ejercicios de aplicación directa de la teoría que se acaba de explicar.

b) y = –2x 2 – 2x – 3 d) y = –x 2 + 4 f ) y = 3x 2 + 6x + 4

3 Dibuja en tu cuaderno la representación gráfica de es-

tas funciones cuadráticas:

E

• a = –3 B

a) y = (x – 1) · (x – 3) c) y = 1 (x + 2) · (x – 2) 2

b) y = 2(x – 2)2 d) y = (x – 1)2 + 5

115

114

Las claves

del proyecto

ODS Compromiso ODS

Plan Lingüístico

Desarrollo del pensamiento

Aprendizaje cooperativo

Descubre los Objetivos de Desarrollo Sostenible y forma parte activa de nuestro compromiso para lograr un mundo más igualitario y habitable.

Pon en práctica tus destrezas comunicativas en los diferentes tipos de texto que te proponemos. El lenguaje siempre está presente, ¡comunícate!

Trabaja estrategias de pensamiento: reflexiona sobre los contenidos que estás aprendiendo, genera ideas, organízalas, priorízalas, arguméntalas, exponlas…

Implícate en tu aprendizaje y participa en el de todo el grupo; comprobarás que cooperar mejora el rendimiento y la convivencia en clase.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS s

nar Recuerda seleccio o. para tu portfoli

lemas resuelto

de esta unidad

Unidad 6

lemas

V = 4 πr 3 = 4 π · 1 7503 = 22 449 297 500 km3 ≈ 2,24 · 1010 km3 3 3 b) Como el Sol y la Luna tienen el mismo tamaño aparente, la razón entre sus distancias a la Tierra (d ) es la misma que la razón entre sus diámetros (D ): D SOL d k = SOL = 150 000 000 = 390, 625 8 = 390, 625 D 384 000 d

a) Calcular la superficie y el volumen de la Luna. b) Hallar el diámetro, la superficie y el volumen del Sol a partir de las correspondientes magnitudes de la Luna.

LUNA

LUNA

Semejanza de triángulos

8

Razón de semejanza. Escalas

S = 4π r 2 = 4π · 1 7502 = 38 484 510 km2 ≈ 3,85 · 107 km2

Por tanto:

1

2

Diámetro: Dsol = k · Dluna = 390,625 · 3 500 = 1,37 · 106 km

Identifica triángulos en posición de Tales en cada figura y calcula, en cada caso, la longitud del segmento DE :

a) ¿Son semejantes los triángulos interior y exterior? b) ¿Cuántas unidades medirán los catetos de un triángulo semejante al menor cuya razón de semejanza sea 2,5?

a)

4m

9m

A

Indica en qué casos el marco es semejante a la foto y halla la razón de semejanza.

c)

D

C

b) E

x

12 cm 20 cm

3

2 Triángulos semejantes

D

d)

x

10 0m

80 m

20 m x

Los triángulos coloreados son semejantes por ser rectángulos con un ángulo agudo igual (alternos internos entre paralelas).

Por ello: x = 20 8 x = 20 · 80 = 16 m 80 100 100 M

B

3 Teorema de la altura y semejanza de triángulos

572 = 76x 8 x = 42,75 cm. La longitud de la rampa es 76 + 42,75 = 118,75 cm

D

Por el teorema de Pitágoras, hallamos la altura de la pared, y :

C

y = 57 2 + 42, 75 2 = 71,25 cm

O

AB = AO + OB = 3OB + OB = 4OB 8 OB = AB : 4 = 23,75 cm 76 h Por semejanza de triángulos: 57 = 23, 75 8 h = 31,67 cm

B

Hallar también la longitud h teniendo en cuenta que:

Hazlo tú Calcula la altura de otra rampa similar a la anterior con estos otros datos: AC = 84 cm y CB = 35 cm. En este caso, AO = 2 OB .

AO = 3OB

30 cm 10 cm

30 cm

8 cm

B

20 cm

9

En un mapa cuya escala es 1:1 500 000, la distancia entre dos ciudades es 2,5 cm.

6

¿Qué área ocupará un rombo de diagonales 275 cm y 150 cm en un plano a escala 1:25?

7

Una maqueta está hecha a escala 1:250. Calcula: a) Las dimensiones de una torre cilíndrica que en la maqueta mide 6 cm de altura y 4 cm de diámetro. b) La superficie de un jardín que en la maqueta ocupa 40 cm2. c) El volumen de una piscina que en la maqueta contiene 20 cm3 de agua. d) El volumen, expresado en cm3, de la piscina de la maqueta si en la realidad tiene una capacidad de 312 500 litros.

C

6m

E x

D

O

A

B E A

Calcula el perímetro y el área de las figuras amarilla y naranja.

16,8

C

6 cm

D

10 cm

27,9

cm

c) 0,001 mm reales se representan por 1 cm en el plano.

En el plano de un piso cuya escala es 1:200, el salón ocupa una superficie de 7 cm2. ¿Cuál es la superficie real del salón?

m

10,2

b) 50 km reales se representan por 1 dm en el plano.

5

C

15 m

B

Halla el área y el perímetro del trapecio EBCD. 10

Indica, en cada caso, cuál es la escala del plano:

A

F

3m

¿Por qué son semejantes los triángulos ABC y AED?

cm

40 cm

11

En un triángulo rectángulo, la relación entre los catetos es 3/4. Halla el perímetro de otro triángulo semejante en el que el cateto menor mide 54 cm.

12

La razón de semejanza entre dos triángulos es 2/5. Si el área del mayor es 150 cm2, ¿cuál es el área del menor?

13

Observa esta figura, en la que el segmento AB es paralelo a CD. 10,6 cm

A

6 cm

O

cm

h

A

Aplicando de nuevo Pitágoras: AB = 76 2 + 57 2 = 95 cm

cm

cm

9m

7,2

57

76

20 cm

a) 1 mm del plano representa 10 m reales.

Calculamos el trozo de rampa que queda, x, por el teorema de la altura.

Hallar la longitud de la rampa AD y la altura de la pared BD.

20 cm

d) 1 cm real se representa con 180 cm en la maqueta.

D

7m

8 cm

b) ¿Cuál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades A y B cuya distancia real es 360 km?

C

N 90 m

A

15 cm

12 cm

a) ¿Cuál es la distancia real entre ellas?

4

P

60 m

C

4m

D

Ejercicios y problemas.

Contemplan la aplicación de todos los contenidos que se han ofrecido a lo largo de la unidad.

30 cm

Una carretera de 100 m de longitud atraviesa una parcela rectangular de 80 m de ancho.

La carretera ocupa 20 m del largo de la parcela. ¿Cuál es el ancho de la carretera?

30 cm 12 cm

30 cm 18 cm

Hazlo tú ¿A qué distancia de nuestros ojos debemos poner una bola de 3 cm de diámetro para que al mirar a la Luna la tape completamente?

x 15 m

B

E

Volumen: Vsol = k 3 · Vluna = (390,625)3 · 2,24 · 1010 = 1,34 · 1018 km3

SOL

B

E

A

16 m

Superficie: Ssol = k 2 · Sluna = (390,625)2 · 3,85 · 107 = 5,87 · 1012 km2 LUNA

Hazlo tú Si M y N son los puntos medios de BC y AD, calcula MP .

Hazlo tú. Son ejercicios y problemas para que practiques las estrategias que se acaban de mostrar.

de trabajo

13 m

a) Suponemos que la Luna es una esfera perfecta.

La Luna está a 384 000 km de nosotros y su diámetro es 3 500 km.

El Sol está a 150 000 000 km.

El tamaño aparente del Sol es igual al de la Luna.

Ejercicios y problemas resueltos.

Se muestran estrategias, sugerencias, pistas y formas de pensar que te serán útiles para enfrentarte a la resolución de problemas similares.

el material

Ejercicios y prob

Practica

17 cm

ejercicios y prob 1 Razón de semejanza

B

8,5

cm

C x

y

D

a) Di por qué son semejantes los triángulos AOB y ODC. b) Calcula x e y.

151

150

Están convenientemente clasificados y para cada uno de ellos se especifica su grado de dificultad, de uno a tres.

TALLER DE MATEMÁTICAS Unidad 6

máticas

Taller de mate

APRENDE Y REFLEXIONA

ENTRÉNATE RESOLVIENDO OTROS PROBLEMAS

El número de plata y el triángulo cordobés Si a una hoja A4 le añadimos un cuadrado, obtenemos esta figura: — √2

1

1

Este rectángulo alargado tiene la siguiente propiedad: si se le suprimen dos cuadrados, el resultado es otro rectángulo semejante a él.

• Compruébalo:

— √2 – 1

1

Se desea construir una carretera lo más corta posible, que una ambas localidades en un punto de la autopista.

Sabiendo que la distancia entre A y B es de 26 km, halla la longitud de la carretera.

1

1

AUTOEVALUACIÓN

Pues bien, también en el octógono regular vamos a encontrar otra interesante figura con nombre propio:

diámetro. Si está a una escala de 10 000:1: a) Halla el diámetro de la célula real.

¿Por qué se llama «cordobés» a este triángulo?

Lo estudió por primera vez el arquitecto Rafael de la Hoz investigando en la Mezquita de Córdoba.

El triángulo cordobés lo encontramos, de nuevo, en el octógono regular. También, en una hoja A4:

b) Calcula el volumen de la célula real y su maqueta.

3 En un triángulo rectángulo, se inscribe un rectángulo

1

Intenta hacer ambas cosas en cada una de las dos figuras.

Las dimensiones de la planta de la Mezquita de Córdoba responden a la proporción (razón) cordobesa.

6,75 km D

km

P

9 km

r

y x B

s

no cuya altura es 6 cm. ¿Cuánto medirá el radio de la base del cono?

8 Un cohete, que está a 190 km de altura, acaba de

F1

B

que los diámetros de las bases miden 10 cm y 6 cm y su altura es de 12 cm. Si lo llenamos, ¿cabe más de medio litro de agua, o menos? empezar su viaje hacia Saturno.

a) ¿Qué superficie de la Tierra puede ver? b) Si viaja a 40 000 km/h, ¿qué superficie de la Tierra verá a los 5 min? ¿Y al cuarto de hora?

9 Las diagonales de un rombo miden AC = 32 cm y

13 km

26 km P

F2

Calcula la distancia del barco al puerto y a cada uno de los faros.

Entrénate resolviendo otros problemas. Aquí tendrás que enfrentarte a situaciones problemáticas en un sentido amplio.

6 En una esfera de diámetro 18 cm, se inscribe un co-

4 Un barco B que navega hacia puerto se sitúa en un

Compromiso

156

C

10

A

7 Tenemos un vaso con forma de tronco de cono en el

Sabemos que PF 1 = 13 km y que PF 2 = 26 km.

• Demuestra que estos dos triángulos son cordobeses es fácil (45° e isósceles). Otra cosa es obtener sus dimensiones a partir del lado 1 en cada figura y probar que su cociente es el número cordobés.

tuado entre dos vías paralelas r y s. Se quiere unir, mediante carreteras, con las poblaciones A, B, C y D. Con los datos de la figura, calcula x e y.

de lados paralelos a los catetos en el que la base mide el doble que la altura. Si los catetos miden 12 cm y 18 cm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

Atención: puede haber dos soluciones. punto tal que su posición forma un ángulo recto con los faros F1 y F2. Desde ese punto, la línea que lo une al puerto P es perpendicular a la costa.

1

5 Un centro comercial P está si-

m

r = 1+ 2 = 1 = 1, 306562965 (número cordobés) 1 2 2– 2

2 Una maqueta de una célula eucariota mide 1 m de

6k

a escala 1:400. Su perímetro es de 850 m, y su área, de 37 500 m2. ¿Cuáles serán estas medidas en la maqueta?

Es el triángulo cordobés: — Es isósceles.

— Su ángulo menor es de 45°.

• Prueba que la relación entre los lados del triángulo cordobés (radio y lado del octógono regular) es:

anayaeducación.es Resoluciones de estos ejercicios y una autoevaluación interactiva.

1 Queremos hacer una maqueta de un jardín rectangular

1

1

• Para preparar una empanada de 15 pulgadas de diámetro y 1 pulgada de grosor, se necesitan 18 onzas de masa. ¿Cuántas onzas de masa se necesitarán para una empanada de pulgada y media de grosor y 25 pulgadas de diámetro?

• Dos localidades A y B se encuentran al mismo lado de una autopista recta, de la cual distan 20 km y 10 km, respectivamente.

9 cm

1

Se le llama rectángulo de plata, y al número 2 + 1, número de plata.

Aquí puedes encontrar lecturas, actividades, consejos, informaciones, etc.

6 cm ?

2 +1 ? 1 = 1 2 –1

• Demuestra que el rectángulo coloreado sobre el octógono regular de la derecha es de plata.

1

• Ana y Marcos van a compartir un helado, que consiste en la media bola que sobresale y todo el cucurucho lleno. ¿A qué altura deben cortar el cucurucho para que las dos mitades tengan la misma cantidad de helado?

BD = 24 cm. Por un punto P de la diagonal menor, tal que PD = 9 cm, se traza una paralela a la diagonal AC, que corta en M y N a los lados AD y CD. Calcula el área y el perímetro del pentágono MABCN.

Visualiza el vídeo Meta 2.3a, piensa en una acción con la que podrías contribuir al logro de esa meta y comprométete a llevarla a cabo.

157

rás ación. Pod Autoevalu do n ta n te r, in comproba es s actividad resolver la si , n propone que se te á st e dizaje tu apren . o desead siendo el

Educación emocional

Cultura emprendedora

TIC

académica y profesional

Evaluación

Aprende a conocerte; identifica las situaciones que te generan emociones bloqueantes y gestiónalas con experiencias de autoafirmación constructiva.

Confía en tus aptitudes y conocimientos, desarrolla la creatividad, adáptate a las situaciones cambiantes y ten una actitud proactiva y responsable.

Aprende a obtener información, seleccionarla y aplicarla; a planificar, gestionar y elaborar trabajos; a colaborar en Red de forma ética y segura.

Valora tus capacidades personales, descubre y despierta tu vocación, entrénate en la toma de decisiones y aprende a orientarte entre distintas opciones.

Descubre diversas estrategias para analizar qué has aprendido y cómo lo has aprendido; entrénate para asumir compromisos o superar dificultades.

Orientación

ASÍ ES

el proyecto

digital

libro digital Banco de recursos

Regístrate en www.anayaeducacion.es. Solo necesitas tener un correo electrónico, el código que se indica en la primera página de este libro y el permiso de tu padre, madre, tutor o tutora legales. Así podrás acceder al banco de recursos y descargar el libro digital.

Una versión digital de tu libro, que podrás usar en condiciones offline y online, con acceso a los recursos digitales tanto agrupados por tipologías como asociados a los contenidos de cada unidad.

Un espacio con recursos, técnicas y actividades, diseñado para afianzar tus conocimientos.

Recursos relacionados con LAS CLAVES del proyecto ODS

Más sobre las claves

Compromiso ODS, con microvídeos que te ayudarán a conocer cuáles son las metas para alcanzar los Objetivos de Desarrollo Sostenible trabajadas en el proyecto.

Plan Lingüístico, con infografías que te darán las pautas para abordar el trabajo por medio de distintos tipos de textos (descriptivo, narrativo, expositivo, etc.).

Desarrollo del pensamiento, donde se incorporan explicaciones sobre cómo aplicar las distintas estrategias de pensamiento planteadas en el proyecto.

Aprendizaje cooperativo, que incluye la descripción de las técnicas de aprendizaje cooperativo propuestas en el proyecto.

Educación emocional, con orientaciones para superar la inquietud generada en diferentes situaciones de tu proceso de aprendizaje (inicio del curso, enfrentarte a un examen, etc.).

TIC, mediante fichas que reforzarán tu uso saludable, correcto y seguro de las tecnologías de la información y la comunicación.

Orientación académica y profesional, con información sobre diferentes profesiones vinculadas a los contenidos tratados en la asignatura.

Evaluación, se presentan orientaciones para hacer tu portfolio, así como rúbricas y dianas que facilitan tu autoevaluación.

Recursos DESTACADOS de la materia Tutoriales Actividades con GeoGebra Glosario Aprende jugando Autoevaluaciones

Recursos clasificados por unidades

Todos los recursos clasificados para que puedas localizar fรกcilmente los relacionados con cada apartado de tu unidad.

ASÍ SON

LOS contenidos del curso

1

números reales

Pág. 10

1. Números irracionales ......................................................... 12 2. Números reales: la recta real........................................... 14 3. Tramos de la recta real: intervalos y semirrectas.... 16 4. Raíces y radicales ............................................................... 18 5. Números aproximados. Errores ..................................... 22 6. Números en notación científica.

Control del error................................................................... 24 7. Logaritmos............................................................................. 26 Ejercicios y problemas resueltos ..................................... 29 Ejercicios y problemas ......................................................... 30 Taller de Matemáticas............................................................ 34 Autoevaluación......................................................................... 35

2

Polinomios y fracciones algebraicas

4

1. Conceptos básicos.............................................................

2. Cómo se presentan las funciones ...............................

3. Dominio de definición ......................................................

4. Funciones continuas. Discontinuidades ....................

5. Crecimiento, máximos y mínimos ...............................

6. Tendencia y periodicidad ...............................................

Ejercicios y problemas resueltos .....................................

Ejercicios y problemas .........................................................

Taller de Matemáticas............................................................

Autoevaluación.........................................................................

5

90 91 94 95 96 98 100 102 106 107

Pág. 62

1. Ecuaciones.............................................................................

2. Sistemas de ecuaciones....................................................

3. Inecuaciones con una incógnita ....................................

Ejercicios y problemas resueltos .......................................

Ejercicios y problemas ...........................................................

Taller de Matemáticas.............................................................

Autoevaluación...........................................................................

64 70 74 78 79 84 85

Funciones elementales

Pág. 108

1. Funciones lineales .............................................................. 110 2. La parábola: una curva muy interesante..................... 113 3. Funciones cuadráticas....................................................... 114 4. Funciones con valor absoluto......................................... 117 5. Funciones radicales............................................................. 118 6. Funciones de proporcionalidad inversa...................... 120 7. Funciones exponenciales.................................................. 122 8. Funciones logarítmicas...................................................... 124 Ejercicios y problemas resueltos ...................................... 125 Ejercicios y problemas ......................................................... 127 Taller de Matemáticas............................................................. 132 Autoevaluación.......................................................................... 133

6 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

Pág. 88

Pág. 36

1. Polinomios. Operaciones ................................................. 38 2. Regla de Ruffini.................................................................... 40 3. Raíz de un polinomio. Búsqueda de raíces................ 42 4. Factorización de polinomios .......................................... 44 5. Divisibilidad de polinomios ............................................. 46 6. Fracciones algebraicas...................................................... 48 7. Descomponer una fracción algebraica en fracciones elementales................................................ 50 Ejercicios y problemas resueltos ..................................... 52 Ejercicios y problemas .......................................................... 54 Taller de Matemáticas............................................................ 60 Autoevaluación.......................................................................... 61

3

Funciones. Características

Semejanza. Aplicaciones

Pág. 136

1. Semejanza ............................................................................. 138 2. Homotecia ............................................................................. 140 3. Rectángulos de dimensiones interesantes................. 142 4. Semejanza de triángulos ................................................. 144 5. La semejanza en los triángulos rectángulos ............ 146 6. Semejanza de triángulos rectángulos en cuerpos geométricos .................................................. 148 Ejercicios y problemas resueltos ...................................... 150 Ejercicios y problemas ........................................................... 151 Taller de Matemáticas............................................................. 156 Autoevaluación.......................................................................... 157

7

trigonometría

Pág. 158

1. Razones trigonométricas de un ángulo agudo........ 160 2. Relaciones trigonométricas fundamentales.............. 162 3. La calculadora en trigonometría.................................... 164 4. Resolución de triángulos rectángulos......................... 166 5. Resolución de triángulos no rectángulos ................. 167 6. Razones trigonométricas de 0° a 360°....................... 168 7. Ángulos de medidas cualesquiera. Razones trigonométricas.................................................................... 171 8. Funciones trigonométricas. El radián ......................... 172 Ejercicios y problemas resueltos ...................................... 174 Ejercicios y problemas .......................................................... 175 Taller de Matemáticas............................................................. 180 Autoevaluación........................................................................... 181

8

Geometría analítica

Pág. 182

1. Vectores en el plano ........................................................ 184 2. Operaciones con vectores............................................. 185 3. Vectores que representan puntos............................... 187 4. Punto medio de un segmento...................................... 188 5. Puntos alineados................................................................ 189 6. Ecuaciones de la recta..................................................... 190 7. Rectas. Paralelismo y perpendicularidad................. 192 8. Rectas paralelas a los ejes coordenados ................. 194 9. Posiciones relativas de dos rectas.............................. 195 10. Distancia entre dos puntos............................................ 196 11. Ecuación de una circunferencia................................... 197 Ejercicios y problemas resueltos .................................... 198 Ejercicios y problemas ........................................................ 199 Taller de Matemáticas........................................................... 204 Autoevaluación........................................................................ 205

9

Pág. 208 estadística

1. La estadística y sus métodos ....................................... 210 2. Tablas de frecuencias....................................................... 212 3. Parámetros estadísticos: x– y q ................................. 214 4. Parámetros de posición para datos aislados.......... 216 5. Parámetros de posición para datos agrupados..... 218 6. Diagramas de caja............................................................. 220 7. Estadística inferencial...................................................... 222 8. Estadística en los medios de comunicación............ 225 Ejercicios y problemas resueltos ................................... 227 Ejercicios y problemas ....................................................... 229 Taller de Matemáticas ......................................................... 234 Autoevaluación....................................................................... 235

10

Distribuciones bidimensionales

Pág. 236

1. Distribuciones bidimensionales...................................... 238 2. El valor de la correlación................................................... 242 3. La recta de regresión para hacer estimaciones....... 244 4. Reflexionemos: ¿la correlación significa causa-efecto?........................................................................ 246 5. Distribuciones bidimensionales con calculadora..... 247 Ejercicios y problemas resueltos ..................................... 248 Ejercicios y problemas ......................................................... 249 Taller de Matemáticas............................................................. 252 Autoevaluación.......................................................................... 253

11

Combinatoria

Pág. 254

1. Estrategias basadas en el producto............................. 256 2. Variaciones y permutaciones (importa el orden).... 262 3. Cuando no influye el orden. Combinaciones............ 264 4. Un interesante triángulo numérico............................... 266 Ejercicios y problemas resueltos ...................................... 268 Ejercicios y problemas ......................................................... 269 Taller de Matemáticas............................................................. 272 Autoevaluación.......................................................................... 273

12

Cálculo de probabilidades

Pág. 274

1. Sucesos aleatorios .............................................................. 276 2. Probabilidades de los sucesos. Propiedades............ 278 3. Probabilidades en experiencias simples .................... 280 4. Probabilidades en experiencias compuestas............ 282 5. Composición de experiencias independientes......... 283 6. Composición de experiencias dependientes............ 284 7. Tablas de contingencia...................................................... 286 Ejercicios y problemas resueltos ...................................... 288 Ejercicios y problemas ......................................................... 290 Taller de Matemáticas............................................................. 294 Autoevaluación.......................................................................... 295

5

funciones elementales Buscando la precisión del concepto Durante los siglos xix y xx se produjeron apasionantes discusiones sobre qué requisitos eran imprescindibles para definir una función y cuáles no.

A lo largo de ese proceso, numerosos matemáticos, entre los que destacan Dirichlet, Riemann y Weierstrass, fueron perfilando el concepto, tratando de dar una definición precisa de función. Hasta que, en 1923, se llegó a la siguiente definición, muy parecida a la que se usa actualmente: Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y = f (x).

Funciones honestas, segun Poincaré Pero en esta búsqueda de la precisión, se generaron una serie de funciones estrafalarias que contrariaron a Poincaré, incómodo con la deriva que estaba llevando la definición de función, lo que le llevó, en 1899, a afirmar lo siguiente: «Durante medio siglo hemos visto una masa de funciones extrañas construidas de modo que se parezcan lo menos posible a las funciones honestas que sirven a algún propósito. Antes, cuando se inventaba alguna función, era con alguna meta práctica. Hoy son inventadas con el fin de mostrar que el razonamiento de nuestros antecesores fue erróneo».

En esta unidad vamos a dedicarnos a esas funciones honestas que propugnaba el gran Poincaré, esas funciones que sirven para algo más que para construir o desmontar conceptos.

Henri Poincaré (1854-1912) es uno de los grandes matemáticos de la historia. Sus contribuciones abarcan todos los ámbitos de la disciplina matemática.

108

Funciones evidentemente útiles Las funciones que se utilizan en la ciencia, en la técnica y en otras ramas del saber son, obviamente, útiles. Veamos algunas de ellas y cómo se llega de la experimentación a la expresión analítica: Cuando un conductor encuentra un peligro en la carretera y necesita frenar, transcurre un cierto tiempo desde que decide frenar hasta que realmente pisa el freno (tiempo de reacción). Ese tiempo, unos 3/4 de segundo, que puede parecer insignificante, da lugar a un recorrido del coche tanto más largo cuanto mayor sea la velocidad a la que circula.

Pero, además, el coche no para automáticamente cuando se pisa el freno, sino que recorre una distancia (distancia de frenado) debida a la inercia.

De modo que, desde que el conductor aprecia el peligro hasta que el coche se detiene, se recorre una distancia (d), tanto mayor cuanto más elevada sea la velocidad (v). Experimentalmente se obtienen los siguientes valores: velocidad que se lleva

distancia

distancia

(km/h)

(por tiempo de reacción en m)

(de frenado en m)

distancia total de detención (m)

10

2

1

3

20

4

3

7

30

6,5

7

13,5

40

8,5

12

20,5

50

10,5

19

29,5

60

12,5

27

39,5

70

14,5

36

50,5

80

17

47

64

90

19

60

79

100

21

74

95

Las ecuaciones son: dreacción = 0,21v

dfrenado = 0,0074v 2

dtotal = 0,0074v 2 + 0,21v

Resuelve 1

Comprueba, usando tu calculadora, la validez de las fórmulas anteriores para los valores de la tabla (haz la comprobación solo para algunos valores de cada fila, teniendo en cuenta que se trata de valores aproximados) y construye las gráficas correspondientes.

109

1

FUNCIONES LINEALES ãã Funciones lineales en la vida cotidiana La ciencia está plagada de funciones en las que las variaciones de las causas influyen proporcionalmente en las variaciones de los efectos. Todas estas funciones se llaman lineales y se representan mediante rectas. Veamos un ejemplo:

alargamiento de un muelle

Si de un muelle colgamos distintas pesas, se producen diversos alargamientos.

Es decir, la longitud del muelle es función del peso que se cuelga. Y es interesante destacar que esta función es lineal. longitud (cm) En concreto, supongamos que el muelle sin estirar mide 30 cm y que se alarga 15 cm por cada kilogramo que colguemos. La relación es: y = 30 + 15x ( y : longitud en cm; x : peso en kg) El dominio de definición de esta función es [0, 6], suponiendo que para pesos de más de 6 kg el muelle se deteriora.

100 y = 30 + 15x 50 peso (kg)

0

1

2

3

4

5

6

ãã Función de proporcionalidad: y = mx Y

Las funciones de proporcionalidad se representan mediante rectas que pasan por el origen. Describen una proporción entre los valores de las dos variables.

y = mx

X

La pendiente de la recta es la razón de proporcionalidad, m.

Por ejemplo, el espacio recorrido a velocidad constante, v, en función del tiempo es: e = v · t, donde v es la pendiente de la recta que relaciona e con t. anayaeducacion.es GeoGebra. Representación gráfica de una función lineal.

ãã Función constante: y = n Y n

Se representa mediante una recta paralela al eje X.

y=n

Su pendiente es 0.

La recta y = 0 coincide con el eje X.

y=0

X

Por ejemplo, la distancia de un satélite artificial a la Tierra es constante, no depende del tiempo, t. La ecuación sería d = 36 000, d: distancia, en km; t: tiempo, que no aparece en la ecuación.

200 100 32

F

ãã Expresión general de la función lineal: y = mx + n Su representación es una recta de pendiente m que corta al eje Y en el punto (0, n). Al número n se le llama ordenada en el origen.

Y F = 32 + 1,8C C 50 100

y = mx + n n X

110

Por ejemplo, la recta F = 32 + 1,8C, representada en el margen, permite pasar de grados centígrados, C, a grados Fahrenheit, F.

Unidad

5

ãã Ecuación de una recta en la forma punto-pendiente Con mucha frecuencia hemos de escribir la ecuación de una recta de la cual conocemos un punto y la pendiente. La damos a continuación:

Atención Esta fórmula es muy útil. ¡Aprende a usarla!

Punto: P(x0, y0)

Pendiente: m

Ecuación: y = y0 + m(x – x0)

justificación

• y = y0 + m (x – x0) es una expresión de 1.er grado. Por tanto, es una recta.

• El coeficiente de la x es m. Por tanto, su pendiente es m.

• Si damos a x el valor x0 → y = y0 + m (x0 – x0) = y0 + m · 0 = y0. Para x = x0

(x2, y2)

hemos obtenido y = y0, es decir, pasa por (x0, y0).

y2 – y1

➜➜ recta dada por dos puntos

y2 – y1 m = –––––– x –x 2

Para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, procedemos así:

1

• A partir de los dos puntos, obtenemos su pendiente.

(x1, y1) x – x 2 1

• Con la pendiente y uno de los puntos, obtenemos la ecuación.

Ejercicio resuelto

anayaeducacion.es Repasa la ecuación punto-pendiente.

Hallar la ecuación de cada una de las rectas siguientes:

a) Ecuación: y = 7 – 3 (x + 5). Esto ya es la ecuación de la recta.

5

a) Pasa por (–5, 7) y tiene una pendiente de –3 .

5

Podemos simplificarla: y = 7 – 3 x – 3 · 5 → y = 4 – 3 x 5 5 5 b) Empezamos hallando su pendiente: m = 5 – 7 = –2 = – 1 3 6 4 – (–2)

b) Pasa por (–2, 7) y por (4, 5) .

Ecuación de la recta que pasa por (–2, 7) y cuya pendiente es – 1 : 3

y = 7 – 1 (x + 2) 8 y = 19 – 1 x 3 3 3

Piensa y practica

anayaeducacion.es GeoGebra. Calcula la pendiente de una recta.

1 Representa las siguientes funciones:

a) y = 2x b) y = 2 x c) y = – 1 x d) y = – 7 x 3 3 4 2 Representa. a) y = 3

b) y = –2

c) y = 0

d) y = –5

3 Representa estas funciones:

a) y = 2x – 3 b) y = 2 x + 2 3 1 c) y = – x + 5 d) y = –3x – 1 4 4 Un objeto móvil, en el instante inicial, está a 3 m del origen y se aleja de este con una velocidad de 2 m/s.

Halla la ecuación de su distancia al origen en función del tiempo y represéntala.

5

El precio de las patatas en el mercado es de 1 €/kg, y el de los tomates, 2 €/kg. a) Escribe la ecuación del coste de una bolsa de patatas en función de su peso. b) Escribe la ecuación del coste de una bolsa de tomates en función de su peso. c) Representa las funciones anteriores.

6 Con los datos que se te dan, halla la ecuación de cada

una de las siguientes rectas:

a) Pasa por (–3, –5) y tiene una pendiente de 4 .

9 b) Pasa por (0, –3) y tiene una pendiente de 4. c) Pasa por (3, –5) y por (– 4, 7).

111

1 FUNCIONES LINEALES

y=x+4

y = –2x + 13

y=1

(3, 7)

ãã Funciones lineales a trozos Es frecuente encontrarse con funciones cuyas gráficas están formadas por trozos de rectas. Veamos, por ejemplo, la función representada en el margen: • El primer tramo, x ≤ 3, pertenece a la recta cuya pendiente es 1 y cuya orde-

5

nada en el origen es 4. Su ecuación: y = x + 4.

• El segundo tramo, 3 < x < 6, pertenece a la recta que pasa por (3, 7) y

cuya pendiente es –2. Su ecuación en la forma punto-pendiente es, pues, y = 7 – 2(x – 3) 8 y = –2x + 13.

5 x≤3

3<x<6

x≥6

• El tercer tramo, x ≥ 6, es la función constante y = 1.

Z si x ≤ 3 ]]x + 4 La función se describe así: f (x) = [–2x + 13 si 3 < x < 6 ]1 si x ≥ 6 \ anayaeducacion.es Ejercicios para reforzar las funciones definidas mediante dos o tres trozos.

Para describir analíticamente una gráfica formada por trozos de rectas, se dan las ecuaciones de los diversos tramos, enumerados por orden de izquierda a derecha, indicando en cada uno de los tramos los valores de x para los que la función está definida.

Ejercicio resuelto

Representar la función cuya expresión analítica es la siguiente: Z si x < –1 ]4 ]0, 5 (x – 1) + 5 si –1 ≤ x ≤ 3 y =[ si 3 < x < 5 ]–2x + 12 ]–1 si x ≥ 5 \

Obtenemos los puntos extremos de cada uno de los tramos, empezando, por ejemplo, en la abscisa –5 y terminando en 11 (podríamos haber tomado –4 y 8): 1.° 2.°

3.°

(–5, 4) 0,5(–1 – 1) + 5 = 4 → (–1, 4) –2 · 3 + 12 = 6 → (3, 6) (5, –1) (–1, 4) 0,5(3 – 1) + 5 = 6 → (3, 6)

(–1, 4) (5, 2) (5, –1)

Piensa y practica 7 Representa la función cuya expresión analítica es la si-

Z si x < 0 ]]–3 y = [x – 3 si 0 ≤ x ≤ 5 ]2 si x > 5 \ Di cuál es la pendiente de cada uno de los tramos que forman la función. ¿Es una función continua?

112

–2 · 5 + 12 = 2 → (5, 2) (11, –1)

Representamos los cuatro tramos (teniendo en cuenta si los extremos pertenecen o no) y así obtenemos la gráfica de la función.

(3, 6)

guiente:

4.°

Observamos que la función es continua en x = –1 porque en ese punto los dos tramos toman el mismo valor, 4. Lo mismo ocurre en x = 3, pero no en x = 5, donde la función es discontinua.

anayaeducacion.es GeoGebra. Representa funciones lineales a trozos.

8 Escribe la ecuación que corresponde a la gráfica si-

guiente:

5

5

10

Unidad

2

5

LA PARÁBOLA: UNA CURVA MUY INTERESANTE El tenista de la izquierda aprovecha que su adversario está junto a la red para superarle con un «globo». La curva que describe la pelota es una parábola.

En la vida cotidiana nos encontramos con multitud de parábolas: chorros de agua, todo tipo de lanzamientos de pelotas y otros objetos, las secciones de las antenas parabólicas y de los faros de los coches… Todas ellas se describen mediante funciones cuadráticas. ➜➜ funciones cuadráticas

• La función y = x 2 nos proporciona una parábola tipo, que va a servir de referencia para las demás.

• La ecuación de la parábola que describe la pelota del tenista del dibujo de arriba 2 es y = 5 – x , donde x es el recorrido horizontal, en m, e y es la altura, en m.

20 El origen de coordenadas está en el jugador que está parado en la red.

• El área de un cuadrado en función de un lado (A = l 2) o la de un círculo en función del radio (A = πr 2).

• La altura de una piedra que lanzamos hacia arriba, en función del tiempo (alt = 20t – 5t 2). y = x2

x2 y = –– 4

➜➜ ¿son iguales todas las parábolas?

Pues sí, más que iguales, semejantes. Esas parábolas que parecen mucho más anchas simplemente están representadas solo por su «extremo», la parte próxima al vértice. Si las prolongáramos, se verían con la misma forma que las otras más finas, más estiradas. ➜➜ ¿responden esas parábolas de las funciones a su definición como lugares geométricos?

anayaeducacion.es • Todas las parábolas son semejantes.

• Las parábolas que responden a las funciones cuadráticas merecen ese nombre. Tienen un foco y una directriz.

El curso pasado aprendiste que una parábola queda determinada por un punto, F (foco) y una recta, d (directriz). Los puntos P de la parábola equidistan de F y de d: PF = dist(P, d). Ahora nos preguntamos: ¿las parábolas y = x 2 o y = x 2/4 responden a esta definición? La respuesta es, naturalmente, afirmativa.

Para y = x 2, el foco es F(0, 1/4), y la directriz, d: y = –1/4. Para y = x 2/4, el foco es F(0, 1), y la directriz, d: y = –1. Puedes comprobarlo. ➜➜ ¿qué peculiaridad tienen las antenas parabólicas o los faros de los coches?

Un rayo que llega paralelo al eje de la parábola se refleja en ella de modo que pasa por el foco, en donde se concentran todos ellos.

Y viceversa, los rayos que salen del foco se reflejan en la parábola y se proyectan, hacia fuera, en un haz de rayos paralelos a su eje. anayaeducacion.es Propiedad de la parábola que justifica las antenas parabólicas, los hornos solares, los faros de los coches…

113

3

FUNCIONES CUADRÁTICAS ãã Funciones cuadráticas El curso pasado hicimos una suave introducción al estudio de las parábolas. Vamos, ahora, a repasar aquello y a avanzar un poco en su tratamiento.

Observa las siguientes parábolas con sus respectivas ecuaciones:

y y==x x2y 2= x 2

1— 21 x 2 y1x=x2 — y y==— 22 2

y 2=2 3x 2 y y==3x3x

1— 2+ 21 x2x –+42x4 + 4 y1x=x2 — ––2x y y==— 22 2

2 –+18x y 2=2–3x y y==3x3x –18x 18x +2424+ 24 2+ x6x –+66x6 + 6 y y==x x2y 2–=–6x

2– +–66x6 – 6 y 2=2+–x +6x6x y y==–x–x

y 2=2 –x 2 y y==–x–x

2 +–18x 2++18x y =2 –3x 18x –2424– 24 y y==–3x –3x

2 2 y =2 –3x y y==–3x –3x

12 x 2 1=— 1x–x2 — y y==––y— 22 2

12++2x 1=— 1x–x2 — 2– x2x +–42x4 – 4 y y==––y— 22 2

Analizándolas, podemos realizar las siguientes afirmaciones: Las funciones y = ax 2 + bx + c, con a ≠ 0, llamadas cuadráticas, se representan todas ellas mediante parábolas y son continuas en todo Á. anayaeducacion.es Ampliación teórica y práctica sobre traslaciones de parábolas.

eje

Cada una de estas parábolas tiene un eje paralelo al eje Y. Su forma depende de a, coeficiente de x 2, del siguiente modo: • Si dos funciones cuadráticas tienen el mismo coeficiente

de x 2, sus parábolas correspondientes son idénticas, aunque pueden estar situadas en posiciones distintas.

• Si a > 0, tienen las ramas hacia arriba, y si a < 0, hacia

abajo.

• Cuanto mayor sea |a |, más estilizada es la parábola.

114

vértice

Unidad

ãã Representación de funciones cuadráticas

Tablas de valores con calculadora

Para representar una función cuadrática dada por su ecuación, solo hace falta obtener varios de sus puntos. Empezamos encontrando el vértice de la parábola, para hallar, después, algunos puntos que lo rodean.

La calculadora nos permite elaborar, de forma rápida y eficiente, una tabla de valores correspondiente a cualquier función, en el intervalo que queramos y con los incrementos deseados. Observa cómo lo hacemos para la función y = –x2 + 3x + 4.

• Hallamos la abscisa del vértice de la parábola y = ax 2 + bx + c → p = – b

2a • Calculamos el valor de la función en algunas abscisas próximas al vértice.

• Los cortes con los ejes pueden venirnos bien para la representación:

— Con el eje X, se resuelve la ecuación ax 2 + bx + c = 0.

Se elige 9:Tabla en la opción de �.

Aparece f (x) y, a continuación, se introduce la expresión. Ten en cuenta que para escribir la x hay que pulsar

las teclas -

x )

x )

.

x+3

x )

— Con el eje Y, es el (0, c ).

Ejercicio resuelto

Representar la parábola de ecuación y = –x 2 + 3x + 4.

+4=

Obtenemos el vértice: Abscisa: p = – 3 = 1,5 → Ordenada: f (1,5) = 6,25 → Vértice: (1,5; 6,25) –2 Obtenemos puntos próximos al vértice:

Aparece esta pantalla, donde debes indicar el primer y el último valor de x y el tamaño del paso:

En nuestro caso, como el vértice está en x = 1,5, le damos los valores de –2 a 5 y vamos de 1 en 1 (paso).

x

–2

–1

0

1

2

3

4

5

y

– 6

0

4

6

6

4

0

– 6

Podemos observar que, debido a la simetría de la parábola respecto a su eje, las ordenadas de los puntos que están a la misma distancia del vértice coinciden. Es decir, como el vértice está en x = 1,5, entonces f (1) = f (2); f (0) = f (3)…

Vemos que – x 2 + 3x + 4 = 0 tiene dos soluciones, x = –1 y x = 4; y que f (0) = 4. Pero estos puntos de corte con los ejes ya aparecen en la tabla.

Para ver los valores que no salen, debes moverte hacia abajo con el cursor.

Piensa y practica 1

5

anayaeducacion.es GeoGebra. Representa funciones cuadráticas.

Asocia cada uno de los coeficientes de la x 2 con su correspondiente parábola: A

• a = –1

C

D

• a = 2 • a = – 1 3 1 • a = 2

2 Representa las siguientes parábolas:

a) y = x 2 – 2x + 2 c) y = 1 x 2 + x – 2 3 e) y = – 1 x 2 + 2 2

b) y = –2x 2 – 2x – 3 d) y = –x 2 + 4 f ) y = 3x 2 + 6x + 4

3 Dibuja en tu cuaderno la representación gráfica de es-

tas funciones cuadráticas:

E

• a = –3 B

a) y = (x – 1) · (x – 3) c) y = 1 (x + 2) · (x – 2) 2

b) y = 2(x – 2)2 d) y = (x – 1)2 + 5

115

3 FUNCIONES CUADRÁTICAS

ãã Rectas y parábolas En algunos problemas tendremos que hacer un estudio conjunto de una función lineal y otra cuadrática, o bien de dos cuadráticas. Para ello, algunas veces habrá que resolver un sistema de segundo grado, cuyas soluciones (dos, una o ninguna) serán las coordenadas de los puntos de corte de las dos gráficas.

En algunas funciones a trozos también aparecerán las rectas y las parábolas conjuntamente.

Ejercicios resueltos 1 Resolver, analítica y gráfi-

Analíticamente:

camente, este sistema:

*

y = –2x 2 + 5x – 2 4 –2x 2 + 5x – 2 = x – 2 → –2x 2 + 4x = 0 → y=x –2 x = 0 8 y = –2 → x (–2x + 4) = 0 x =2 8 y =0

y = –2x 2 + 5x – 2 y=x – 2

Hay dos soluciones. En la resolución gráfica observaremos que la parábola y la recta se cortan en los puntos (0, –2) y (2, 0). y=x –2

Gráficamente: Representamos la parábola y = –2x 2 + 5x – 2 y la recta y = x – 2.

(2, 0)

(0, –2)

Los puntos de corte de las dos curvas son (0, –2) y (2, 0), las soluciones del sistema.

2 Representar

gráficamente la función siguiente: Z 2 ]]–x + 1 si x ≤ 1/2 y = [3/4 si 1/2 < x < 2 ]x – 5/4 si x ≥ 2 \

y = –2x 2 + 5x – 2

• El primer tramo de la función corresponde a un trozo de parábola y solo está de-

finido para x ≤ 1/2. El vértice está en el punto (0, 1), corta al eje X en (–1, 0) [el punto (1, 0) no lo consideramos, pues ha de ser x ≤ 1/2], y pasa por los puntos (1/2, 3/4) y (–2, –3).

2

• El segundo tramo corresponde a un trozo de recta

horizontal que empieza en (1/2, 3/4) y termina en (2, 3/4).

• El último tramo es un trozo de recta que parte del

punto (2, 3/4) y pasa por (3, 7/4).

1 –1

–1 –2

Piensa y practica 4 Resuelve, analítica y gráficamente, los siguientes siste-

mas de ecuaciones: a) *

x2

y = – 6x + 5

y=x –5

b) *

x2

y = – 2x y = –x + 2

Z 2 ]] y = x – 4x + 2 y = 2x + 2 2 c) * d) [ y = 5 – x2 ] y = –x + x + 6 2 \ 116

5 Representa gráficamente estas funciones:

Z 2 ]x + 2 ] a) y = [3 ]] –3x + 15 2 \

si x ≤ 1 si 1 < x < 3 si x ≥ 3

4–x si x ≤ 1 b) y = )–x 2 + 4x si x > 1

1

2

3

Unidad

4

5

FUNCIONES CON VALOR ABSOLUTO Recuerda que el valor absoluto de un número a coincide con a si es positivo o nulo, o con su opuesto, –a, si es negativo: |a | = )

y = |x|

a si a ≥ 0 –a si a < 0

En consecuencia, y = |x | es una función definida a trozos como la siguiente: |x | = )

–x si x < 0 x si x ≥ 0

Se conoce como función valor absoluto y su representación gráfica es la del margen.

ãã Valor absoluto de una función: y = |f (x)| Observa cómo hallamos el valor absoluto de algunas funciones:

y = |2x – 4|

corta en x=2

y = |2x – 4|

– (2x – 4) si x < 2 y = |2x – 4| = ) 2x – 4 si x ≥ 2 –2x + 4 si x < 2 Es decir: y = ) 2x – 4 si x ≥ 2

y = 2x – 4

corta en x = –1 x=4

si x ≤ –1 o x ≥ 4 x 2 – 3x – 4 y = |x 2 – 3x – 4| = * 2 – (x – 3x – 4) si –1 < x < 4

y = |x2 – 3x – 4|

y = |x 2 – 3x – 4|

y = x 2 – 3x – 4

Z 2 ]]x – 3x – 4 si x ≤ –1 Es decir: y = [–x 2 + 3x + 4 si –1 < x < 4 ]x 2 – 3x – 4 si x ≥ 4 \

La representación de y = |f (x)| a partir de y = f (x) es muy sencilla: solo hemos de «hacer positivo lo que es negativo», es decir, la parte de la gráfica que está bajo el eje X es sustituida por su simétrica respecto a este eje.

La expresión analítica se consigue cambiando de signo la función en los tramos en los que f (x) toma valores negativos. Para ello, es fundamental conocer los puntos de corte de y = f (x) con el eje X. Piensa y practica 1 Representa en tu

cuaderno el valor absoluto de estas funciones:

2 Representa estas funciones y pon sus expresiones anaA

B

líticas sin usar el valor absoluto: a) y = |3 – 2x |

b) y = 1 x + 1 2

c) y = |x 2 – 4x |

d) y = |–x 2 + 6x – 5|

117

5

FUNCIONES RADICALES Veamos algunos ejemplos de funciones radicales: • El lado de un cuadrado en función de su área es: l= A • El radio de un círculo en función de su superficie es: S π • El periodo de un péndulo simple en función de la longitud de su brazo es: r=

T = 2 l ; l en m, T en s • La velocidad con la que llega al suelo una bola que dejamos caer desde una altura a es: v = 20 a ; v en m/s, a en m A continuación, las estudiaremos teóricamente.

ãã Distintos tipos de funciones radicales Ten en cuenta La función y = x está definida y es continua en [0, +@). Y es creciente, aunque cada vez crece más despacio.

Análogamente, y = – x está definida y es continua en [0, +@). Y es decreciente.

Las funciones y = x e y = – x se pueden representar punto a punto y dan lugar a las gráficas que ves abajo. Son mitades de parábola y juntas describen una parábola idéntica a y = x 2, pero con su eje sobre el eje X. Y

Y y = √x X

X y = –√x

El dominio de definición de estas funciones es [0, +∞).

Las siguientes curvas son de la misma familia: Y

— y = 2√x – 4

— y = 2√–x + 1

Y

X — y = –2√x – 5

X — y = –2√–x – 3

Las funciones y = a x + b , y = a –x + b , se representan mediante medias parábolas. Sus dominios de definición son, respectivamente: [–b, +∞) y (– ∞, b] 118

Unidad

5

Ejercicios resueltos 1 Representar esta función e

indicar su dominio de definición: y = –2 + x – 1

• La x en el radicando significa que la curva va hacia la derecha.

• El primer valor que damos a la x es 1 porque anula el radicando.

• Damos a x los valores 1, 2, 5, 10 y 17 con los que la raíz es exacta. x

1

2

5

10

17

x–1

0

1

4

9

16

0 1 √x – 1 y = –2 + √x – 1 –2 –1

2

3

4

0

1

2

Y 5

10

15

X

Dominio de definición: [1, +∞) 2 Representar

la siguiente función e indicar su dominio de definición: y = –3 –x + 2

• El –x implica que la curva va hacia la iz–14 quierda.

–7

• El primer valor que damos a x es 2, porque anula el radicando.

12 (1, –3)

(–2, –6)

• Damos a la x los valores 2, 1, –2, –7, –14 con los cuales la raíz es exacta.

• El coeficiente –3 produce ordenadas negativas. Por tanto, la curva está por debajo del eje X.

–2

(–7, –9) (–14, –12)

Dominio de definición: (–∞, 2] 3 Representar

la siguiente función e indicar su dominio de definición: y= 3x

x 3

y = √x

–8

–1

0

1

8

27

–2

–1

0

1

2

3

Y

8

27 X

Dominio de definición: (–∞, +∞) Piensa y practica

anayaeducacion.es GeoGebra. Representa funciones radicales.

1 Representa las siguientes funciones y halla el dominio de definición de cada una:

a) y = 2 x b) y = –2 x c) y = 2 x + 3 d) y = –2 x + 3 e) y = 4 –2 x + 3 f ) y = 2 –x g) y = –2 –x h) y = 2 –x + 3 i) y = –2 –x + 5 j) y = –3 –2 –x + 5

119

6

• De un rectángulo de 100 cm2 de superficie, desconocemos sus lados. Los llamamos x e y. Es claro que xy = 100. Lo ponemos así: y = 100 (A igualdad de áreas, los lados son inversamente proporcionales). x • En un depósito de 6 L hay aire a presión atmosférica. Si lo comprimimos (aumentamos la presión), disminuye el volumen. Se cumple la relación P · V = 6.

Lo ponemos así: 6 V = P ( La presión y el volumen de una masa de gas son inversamente proporcionales)

30 25 20 15 10 5 5 10 15 20 25 30 V (litros) 6

Las relaciones de proporcionalidad inversa se presentan con mucha frecuencia en la naturaleza, la física, la economía… Vamos a analizarlas teóricamente.

1 1

FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

P (atm)

6

ãã Estudio de la función y = k/x Esta es la gráfica de la función y = 1 : x x

y

x

y

1 2 3 4 5 …

1 0,5!

0,3 0,25 0,20 …

1 0,5!

0,3 0,25 0,20 …

1 2 3 4 5 …

1 y=— x

• No está definida para x = 0.

• Si x se acerca a 0, y toma valores

cada vez más grandes. Por eso decimos que el eje Y es una asíntota.

1 1

• Si x toma valores cada vez más

grandes, y se acerca a 0. Por eso el eje X es otra asíntota.

Al cambiar de signo la x, cambia de signo la y.

• Esta curva se llama hipérbola. Sus

asíntotas son los ejes coordenados.

Las siguientes curvas son de la misma familia: 6 y = –– x

1 y = – –– x

4 y = – –– x

Las funciones y = k se llaman funciones de proporcionalidad inversa. x Se representan mediante hipérbolas, cuyas asíntotas son los ejes coordenados.

Su dominio de definición está formado por los tramos (–∞, 0) y (0, +∞).

Esto se expresa así: Dom = (–∞, 0) ∪ (0, +∞)

120

Unidad

5

ãã Funciones relacionadas con y = k/x

2 • En la unidad anterior vimos la función A = , que relacionaba el au2–d mento, A, producido por una lupa con la distancia, d, a la que se colocaba el objeto. La gráfica de esta función es también una hipérbola. Sus asíntotas son el eje de abscisas y la recta d = 2.

• En general, las funciones k y= x –a, y= k , y= k +b a–x x–a son hipérbolas que están relacionadas con las de proporcionalidad inversa. Veamos algunos ejemplos.

anayaeducacion.es Ampliación: traslaciones de hipérbolas.

Ejercicios resueltos 1 Representar

la siguiente función e indicar su dominio de definición: y=

6 x–4

La gráfica de esta función será como la de y = 6/x, desplazada 4 unidades a la derecha. Veamos que es así mediante una tabla de valores: x

3 … 5

6

7

8 10 …

x – 4 –6 –4 –3 –2 –1 … 1

2

3

4

3

2 1,5 1 …

y

–2

0

1

2

–1 –1,5 –2 –3 –6 … 6

6 …

Sus asíntotas son x = 4, y = 0.

Su dominio de definición es (–∞, 4) ∪ (4, +∞).

2 Representar esta función e

indicar su dominio de definición: y=

6 +2 x–4

Su gráfica será como la anterior, subida 2 unidades.

Es decir, se obtiene de la gráfica anterior bajando el eje X dos unidades.

Su dominio de definición es (–∞, 4) ∪ (4, +∞).

Piensa y practica

anayaeducacion.es GeoGebra. Representa funciones de proporcionalidad inversa.

1 Relaciona cada una de las siguientes gráficas con su correspondiente función. Indica el do-

minio de cada una: a) y = 2 b) y = – x c) y = 2 d) y = x–3 x

2 x 2 + 5 –3

A

B

2 Representa cada función e indica su dominio:

a) y = 8 b) y = – 8 c) y = 8 x x x–2

d) y =

C

8 e) y = 8 – 3 2–x x

D

f) y =

8 +3 x–2

121

7

FUNCIONES EXPONENCIALES ãã Funciones exponenciales crecientes: y = a x, a > 1

15

En el margen tienes la gráfica de la función exponencial de base 2: y = 2x.

y = 2x

x ≥ 0: 10

0 1 2 3 4 …

–1 x x 2x

5

–4

x < 0: 1

2

4

8

16 …

2x

2–1

–2

= 0,5

2–2

= 0,25

–3 2–3

= 0,125

Cuando x toma valores cada vez más grandes, 2x tiende a infinito. Sin embargo, cuando x toma los valores –4, –5, –10, …, 2x se hace muy pequeño. Es decir, hacia la izquierda, 2x tiende a cero.

0

4

Se llaman funciones exponenciales a las que tienen la ecuación y = a x.

• Son continuas, están definidas en todo

Á y pasan por (0, 1) y (1, a).

• Si la base es mayor que 1 (a > 1), entonces son crecientes.

• Crecen tanto más rápidamente cuanto mayor es a.

15

( )

1 y = –– 2

x

10

ãã Funciones exponenciales decrecientes: 0 < a < 1 x

y = c 1 m también es exponencial. Como su base (1/2) es menor que 1, la fun2 ción es decreciente. Su gráfica es simétrica de la de y = 2x respecto al eje Y.

5

–4

Las funciones de la forma y = akx = (ak)x son exponenciales de base ak.

0

4

Las funciones y = a x con 0 < a < 1 también pasan por (0, 1) y (1, a), son continuas y definidas en todo Á, pero son decrecientes. Decrecen tanto más rápidamente cuanto más próximo a 0 sea a.

Las funciones y = a x e y = (1/a)x son simétricas respecto al eje Y.

Ejercicio resuelto

Representar la función: y = 10 0,2x Después, representar sobre los mismos ejes la función: y=c

x

1 m 1, 6

100,2x = (100,2)x = 1,6x Pasa por los puntos (0, 1) y (1; 1,6).

Como 1,6 > 1, la función es creciente.

Hallamos algunos puntos más alrededor del eje Y. x 1 m es simétrica a La función y = c 1, 6 la primera con respecto al eje Y.

Piensa y practica 1 Representa las siguientes funciones en tu cuaderno.

¿Cuál es el dominio de definición de cada una? a) y = 1,25x b) y = 0,8x

122

Y

( )

1 y= — 1,6

x

y = 1,6x

X

anayaeducacion.es GeoGebra. Representa funciones exponenciales.

2 Escribe en forma exponencial estas expresiones:

a) 20,4x

b) 100,01x

x/28

c1m c) 1,0112x d) 2

Unidad

5

ãã Aplicaciones de las funciones exponenciales El crecimiento exponencial es muy frecuente en la naturaleza (cultivos de microorganismos, poblaciones animales o vegetales…). También sirve para describir fenómenos económicos y otros. Veamos algunos ejemplos. anayaeducacion.es Para representar y comparar funciones con crecimiento muy rápido, como las exponenciales, es especialmente útil utilizar una plantilla de papel semilogarítmico.

➜➜ ejemplo 1. crecimiento de una población

Las amebas, como sabes, son seres unicelulares que se reproducen partiéndose en dos (bipartición) con más o menos rapidez.

Supongamos que las condiciones de un cultivo son tales que el número de amebas se duplica, aproximadamente, cada hora y que, al principio, hay una ameba.

Ten en cuenta En el Taller de Matemáticas (pág.

132) se estudia la aplicación de la función exponencial a la desintegración radiactiva y a la prueba del carbono catorce.

El número aproximado de amebas que habrá al cabo de t horas es N = 2t. Su gráfica es como la primera gráfica de la página anterior, pero solo es válida para valores t ≥ 0. ➜➜ ejemplo 2. crecimiento del dinero

Un capital de 20 000 € está en un banco, colocado al 0,5 % mensual; lo que quiere decir que cada mes aumenta el 0,5 % y, por tanto, el capital que hay al principio de cada mes se multiplica por 1,005.

La expresión que da el capital acumulado al cabo de T meses es: C = 20 000 · 1,005T, T ≥ 0

Problemas resueltos 1 Ponemos 60 000 € en una

cuenta que produce el 5 % anual. ¿Cuánto dinero tendremos dentro de 8 años y 3 meses?

Un aumento del 5 % anual significa multiplicar por 1,05 cada año. El dinero evoluciona según la ecuación: C = 60 000 · 1,05T El dinero que habrá dentro de 8 años y 3 meses (8 años y cuarto) es el valor de C para T = 8,25: C (8,25) = 60 000 · 1,058,25 = 89 735,23 €

2 El valor de una maquina-

ria se devalúa a razón de un 8 % al año. Si ahora vale 120 000 € , ¿cuál será su valor dentro de 11 años?

Una devaluación del 8 % anual significa multiplicar por 0,92 al final de cada año (1 – 0,08 = 0,92). El valor de la maquinaria evoluciona así: V = 120 000 · 0,92T Para T = 11, obtenemos V (11) = 120 000 · 0,9211 = 47 956,49 €.

Piensa y practica

anayaeducacion.es Ampliación: Aplicaciones de las funciones exponenciales.

3 Escribe la ecuación que expresa el número aproxima-

do de amebas que habrá al cabo de t horas en un cultivo similar al del ejemplo 1, suponiendo que, al principio, hay 200 amebas. ¿Cuántas amebas habrá al cabo de 8 horas?

4 Un capital de 130 000 € está en un banco colocado al

12 % anual. Expresa el valor del capital C en función del tiempo, t, expresado en años, que permanezca el dinero en el banco. ¿Cuánto dinero habrá al cabo de 6 años y 9 meses?

123

8

FUNCIONES LOGARÍTMICAS En estos ejes coordenados están dibujadas la gráfica de la función y = 2x, en azul, y su simétrica respecto a la recta y = x, en rojo.

20

Logaritmos

log a P = x ⇔ a x = P Por ejemplo: • 23 = 8 → log2 8 = 3 • 2–1 = 1 → log2 1 = –1 2 2

y=x

16

Recuerda que log a P es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener P. Es decir:

I

12 8

y = log2 x

4 –4

Estas dos curvas se relacionan analíticamente del siguiente modo:

y = 2x

4

8

12

16

II

(0, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16)… son puntos de I. (1, 0), (2, 1), (4, 2), (8, 3), (16, 4)… son puntos de II. En general, si el punto (a, b ) es de I, entonces (b, a ) es de II. Por eso, decimos que la función descrita por II es la inversa o recíproca de la I.

20

–4

La función descrita por la gráfica roja se llama función logarítmica de base 2, y se designa así: y = log2 x • La función logarítmica y = loga x con a > 1 es la

inversa de la exponencial y = a x.

• Está definida para valores mayores que 0. Es decir,

1 1

su dominio de definición es (0, +@).

• Pasa por los puntos (1, 0) y (a, 1).

• Es creciente, pero, al aumentar x, su velocidad de crecimiento disminuye, haciéndose muy pequeña.

• Tiene una rama infinita en el eje Y.

a

Ejercicio resuelto

Representar la siguiente función: y = log1,5 x

Sabemos que pasa por (1, 0) y (1,5; 1).

Y

Para su representación, nos ayudamos de su inversa, la función exponencial y = 1,5x: y = 1,5x

y = log1,5 x

(2; 2,25)

(2,25; 2)

(3; 3,38)

(3,38; 3)

(4; 5,06)

(5,06; 4)

(5; 7,59)

(7,59; 5)

(6; 11,39)

(11,39; 6)

Piensa y practica

y = 1,5x

y = log1,5 x 1 1

X

anayaeducacion.es GeoGebra. Representación de funciones logarítmicas.

1 Representa en tu cuaderno cada par de funciones en los mismos ejes coordenados:

a) y = ex; y = ln x b) y = 3x; y = log3 x c) y = 10x; y = log x d) y = 2,2x; y = log2,2 x Di cuál es el dominio de definición de cada una.

124

e) y = 4x; y = log4 x

Unidad 5

esueltos

lemas r b o r p y s io ic c r e Ej 1 Función continua a trozos

La función está representada por dos rectas. Para que sea continua, solo hace falta que coincidan en x = 2, donde cambia de la primera a la segunda. Para ello, 2x – 5 debe coincidir con mx + 3 en x = 2:

–5 2x y=

2x – 5 si x < 2 La función queda así: y = ) –2x + 3 si x ≥ 2

X

+3

2 · 2 – 5 = 2m + 3 → m = –2

2

–2x

Y

y=

Calcular el valor de m para que la siguiente función sea continua: 2x – 5 si x < 2 y=) mx + 3 si x ≥ 2 Representarla para el valor de m obtenido.

Hazlo tú Halla el valor de k para que esta función sea continua: 4x + 2 si x < –1 y=) Represéntala para el valor de k obtenido. kx – 3 si x ≥ –1 2 Obtención de la ecuación de una parábola a partir de su vértice y uno de sus puntos

Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es (3, –1) sabiendo que pasa por el punto (2, –2).

Representarla en unos ejes de coordenadas.

Una parábola cualquiera es y = ax 2 + bx + c.

El valor de la abscisa del vértice es x = 3.

Por tanto: –b/2a = 3 8 b = –6a (*) La parábola pasa por (3, –1) y (2, –2): (*)

–1 = 9a + 3b + c 8 –9a + c = –1 (*)

–2 = 4a + 2b + c 8 –8a + c = –2 9a – c = 1 ) 8 a = –1; b = 6; c = –10 –8a + c = –2 La parábola es y = –x2 + 6x – 10.

Hazlo tú Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el punto (–2, –9) y que pasa por (0, 1).

3 Rectas y parábolas

Interpretar analítica y gráficamente este sistema: y = x2 – 2 * y=x Describir y representar la función continua que se obtiene a partir de ambas, formada por recta-parábola-recta.

Hallamos los puntos de corte de la parábola y la recta. Para ello, despejamos y en cada ecuación e igualamos: y = x2 – 2 4 → x 2 – 2 = x → x 2 – x – 2 = 0 → x = –1, x = 2 y=x Se cortan en (–1, –1) y (2, 2).

En el enunciado dice que primero es un trozo de recta; luego, un trozo de parábola, y finalmente, otro trozo de recta. Esta es la función definida a trozos: Z si x < –1 ]]x 2 y = [x – 2 si –1 ≤ x ≤ 2 ]x si x > 2 \ La representamos a la derecha.

Y

X

Hazlo tú Haz lo mismo con este otro sistema: y = 4 – x2 * y = –x – 2 125

esueltos r s a m e l b o r p ejercicios y 4 Valor absoluto de una función

Expresar la siguiente función sin usar el signo de valor absoluto y representarla:

Para expresarla en forma de función definida a trozos, primero tenemos que ver dónde corta al eje X la función que está dentro del valor absoluto. Así podremos averiguar en qué intervalos es positiva y dónde es negativa.

y = 1 x2 – 5 x + 9 2 4 4

1 x 2 – 5 x + 9 = 0 → x = 1, x = 9 2 4 4 Como las ramas de la parábola van hacia arriba, ya que el coeficiente de x 2 es positivo, la función solo es negativa entre los dos puntos de corte con el eje X. Tenemos, pues, tres tramos: (– ∞, 1] y [9, +∞) donde la función es positiva o cero, por lo que no hay que cambiarla de signo, y el intervalo (1, 9), en el que la función es negativa. En este tramo camY biamos de signo la función. Veamos cómo queda:

Hazlo tú Expresa como función definida a trozos y represéntala: y = |x 2 – 2x – 8|

Z ] 1 x2 – 5 x + 9 2 4 ]4 ] 1 2 5 y = [– x + x – 9 2 4 ] 4 5 9 1 2 ]] x – x + 2 4 \4

si x ≤ 1 si 1 < x < 9

1

9

X

si x ≥ 9

5 Funciones con valores absolutos

Expresar cada una de las siguientes funciones como una función definida a trozos: a) y = |x 2 – 1| + 1 b) y = |2x – 4| + |x|

Hazlo tú Expresa cada función como una función definida a trozos:

a) Los puntos de corte con el eje X de la parábola y = x 2 – 1 son x = –1 y x = 1. Como tiene las ramas hacia arriba, la función definida a trozos sería así: Z 2 Z 2 si x < –1 ]]x – 1 + 1 si x < –1 ]]x 2 2 [ [ y = –x + 1 + 1 si –1 ≤ x ≤ 1 8 y = –x + 2 si –1 ≤ x ≤ 1 ]x 2 – 1 + 1 si x > 1 ]x 2 si x > 1 \ \ b) Confeccionamos una tabla para estudiar cómo varía la expresión dentro de cada valor absoluto según el tramo. Los extremos de cada tramo son los que hacen 0 cada una de las expresiones: x<0

0≤x≤2

x>2

|2x – 4|

–2x + 4

–2x + 4

2x – 4

a) y = |x 2 – 4| – 2

|x|

–x

x

x

b) y = |x + 3| + |x|

|2x – 4| + |x|

–3x + 4

–x + 4

3x – 4

La función queda así: Z ]]–3x + 4 si x < 0 y = [–x + 4 si 0 ≤ x ≤ 2 ]3x – 4 si x > 2 \

6 Funciones relacionadas con la función de proporcionalidad inversa

Expresar la siguiente función de la forma y = k + b. Desx–a pués, representarla. y = 2x + 3 x +1 Hazlo tú Representa esta función: y = 3x – 1 x+2 126

Comenzamos realizando la división: 2x + 3 x + 1 – 2x – 2 2 1

La función se puede expresar así: 2x + 3 = 2 + 1 x +1 x +1

Se trata de la función y = 1 desplazada 1 unix dad a la izquierda y 2 unidades hacia arriba.

unidad ajo de esta erial de trab at m el r na leccio Recuerda se rtfolio. para tu po

Unidad 5

oblemas

r Ejercicios y p

Practica

Funciones cuadráticas

7

Funciones lineales

1

2

Representa las siguientes funciones lineales: a) y = 2x – 3 b) y = 4 x 7 – 3 x + 10 c) y = d) y = 2,5 5

Asocia cada gráfica con su expresión: a) y = x 2 b) y = (x – 3)2 c) y = x 2 – 3

2

b) P (2, –1), m = –2

C

4

5

Halla, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B: a) A (3, 0), B (5, 0)

b) A (–2, – 4), B (2, –3)

c) A (0, –3), B (3, 0)

d) A (0, –5), B (–3, 1)

Halla la ecuación, en cada caso, y represéntala:

b) Función de proporcionalidad que pasa por el punto (– 4, 2). c) Función constante que pasa por (18; –1,5).

Halla el valor de los parámetros desconocidos para que las rectas y los puntos cumplan las condiciones pedidas. Represéntalas.

c) Que las rectas de ecuaciones y = 3x + c e y = cx + 3 se corten en el punto de ordenada 2. ¿Cuál es la abscisa correspondiente? d) Que los puntos (d, –2) y (4, e) pertenezcan a la recta de ecuación y = 1 x – 3 .

2

4

6

X

Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores como esta: x

– 4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

y

…

…

…

…

…

…

…

…

…

a) y = x 2 + 1

b) y = –x 2 + 4

c) y = –3x 2 d) y = 0,4x 2 9

Representa las siguientes parábolas, hallando el vértice, algunos puntos próximos a él y los puntos de corte con los ejes:

a) y = (x + 2)2 b) y = x 2 – 4x c) y = 1 x 2 + 2x + 1 d) y = x 2 – 9 2 10 Di cuál es el punto (abscisa y ordenada) donde se encuentra el vértice de las siguientes parábolas, señalando, en cada caso, si se trata de un máximo o de un mínimo. Después, represéntalas. a) y = 8 – x 2 b) y = 4 + (3 – x)2 c) y = –x 2 – 2x + 4 d) y = 3x – 1 x 2 + 1 2 15 1 1 1 2 2 – x + x e) y = f ) y = x + 2x + 3 2 3 4 4

a) Que la recta que pasa por los puntos (4, 0) y (–2, a) tenga pendiente –1. b) Que la recta y = bx + 2 pase por el punto (–3, 4).

2 –2

D

a) Recta que pasa por (2, –3) y es paralela a la recta que pasa por (1, –2) y (– 4, 3).

6

–2

8

B

D

4

Calcula la ecuación de estas funciones lineales: A

C

6

A

c) A (–2, 1), m = 1 d) A (1, 3), m = – 5 3 2 3

Y

B

Dados la pendiente y un punto, calcula en cada caso la ecuación de la recta: a) P (0, 0), m = 1

d) y = x 2 – 6x + 6

11

Calcula el vértice, el eje de simetría y los puntos de corte con los ejes (si los tiene) de cada una de estas parábolas: a) y = 2x2 b) y = 2(x – 5)2 c) y = 2(x – 5)2 + 2

d) y = –x2 + 1

e) y = –(x + 1)2 + 1

f ) y = –3x + 2x2

127

Ejercicios y problemas Funciones definidas a trozos

Valor absoluto de una función

12

16

Representa e indica cuáles son continuas: Z ]] 2x si x ≤ –1 –3 si x < 0 a) y = [ –2 si –1 < x ≤ 3 b) y = ) 2x + 1 si x ≥ 0 ] x – 5 si x > 3 \ Z ]] –x + 3 si x < 1 si 1 ≤ x < 2 c) y = [ 2 ]x si x ≥ 2 \ Z si x < –2 ]] 0 d) y = [ x + 2 si –2 ≤ x ≤ 0 ] 3x – 2 si x > 0 \ 13 Representa las siguientes funciones: Z ]] –1 – x si x < –1 a) y = [ 1 – x 2 si –1 ≤ x ≤ 1 ] x – 1 si x > 1 \ x 2 si x < 0 b) y = * 2

–x si x ≥ 0 c) y = * 14

15

a) y = |2x – 2|

A

17

a) y = |x 2 – 4|

b) y = |–x 2 – 10x – 22,75|

c) y = |x 2 – 6x + 5|

d) y = |–x 2 – 4x – 3|

A

C

D

Y 4 2 –6 –4 –2

2

4

6

8 X

Y

B

18

19 X

C

X

D

Y

X

Expresa en cada caso en forma de función definida a trozos. Recuerda que para definir los intervalos necesitas los puntos de corte con el eje X. a) y = 4 – 1 x b) y = |2x + 2| 3 c) y = |x 2 – 2x – 3| d) y = |–x 2 + 2x – 1| e) y = 1 x 2 – 4x + 7 f ) y = |9 – x 2| 2 2

Y

X

128

Asocia cada función con su gráfica:

B

Escribe la expresión analítica de cada función:

Y

D

C

B

Sabemos que las ecuaciones de las parábolas representadas en las gráficas son y = x 2; y = –x 2 – 4x; y = 4 – x 2; y = x 2 – 6x + 5.

A

b) y = |4 – x |

c) y = 1 x + 2 d) y = 1– 1 x 2 2

x 2 + 4x si x < 0 –x 2 + 4x si x ≥ 0

Escribe la ecuación de la función a trozos que corresponde a esta gráfica:

Asocia cada función con su correspondiente gráfica:

Escribe la función definida a trozos correspondiente a cada una de estas funciones.

Exprésalas luego a como el valor absoluto de una función. b

Unidad 5

Otras funciones

20

Asocia a cada gráfica una de estas fórmulas e indica el dominio de definición de cada una: I) y = 1 II) y=3– 1 x–3 2–x III) y = 2 + 2 IV) y = – 1 x x +3 Y Y a) b) 4

4

2

2

–4 –2

2

c)

4 X

d)

Y 2

6 X

4

Y 2

X

–4 –2

21

2

–2

2

–2

–2

–4

–4

X

4

23

Dibuja la gráfica de las funciones siguientes:

a) y = – 1 b) y= 2 x x c) y = 1 – 3 d) y = 3 + 2 x x 24 Di cuál es el dominio de definición de las siguientes funciones y cuáles son sus asíntotas. Represéntalas gráficamente. a) y = 1 b) y = – 3 x +1 x +3 c) y = 1 + 2 d) y = 1 + 2 x –1 1– x 25

Representa gráficamente las siguientes funciones e indica el dominio de definición de cada una:

Asocia a cada gráfica la fórmula que le corresponde e indica su dominio de definición: I) y = x – 3 II) y= x –3

a) y = x + 2

III) y = 3 – –x IV) y = –3x

g) y = 2 + –x h) y = 2 –x + 2

a)

b)

Y 2 –4 –2 2 Y

c)

4

2 X 6 X

Y 2 2

4

d)

c) y = –x – 1 d) y=2+ x +3

2

2

c

–4 –2

4

8

–4 –2 d

4

4

2

2 –4 –2

28

4

Di, en cada una de ellas, si es creciente o decreciente.

Representa cada par de funciones sobre los mismos ejes coordenados. ¿Qué relación hay entre ellas? x

29

2

d) y = 0,75–x

a) y = c 1 m ; y = 3x b) y = 0,25x; y = 4x 3

4

8 6

4

Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores. a) y = 2–x b) y = 3x + 1 c) y = c 2 m + 3 3

2

6

2

27

6 4

2

g) y = – – (x + 2) h) y = 1 + 1 – (x + 1)

x

b

4

–4 –2

e) y = 1 + x – 1 f ) y = 2(x – 1)

X

Asocia a cada gráfica una de estas fórmulas: I) y = 3x II) y = 1,5x III) y = 0,4x IV) y = 0,7x 6

Estudia el dominio de definición de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente: a) y = 2 – x b) y = 7 – 2x + 4

2 –6 –4 –2

a

e) y = –2 – x f ) y = –2 – 2 –x

X

6 Y

b) y = 2 – x

c) y = 2 –x d) y = – –x

26

–2

22

En la realización de los siguientes ejercicios se aconseja utilizar la calculadora para crear una tabla de valores en cada caso.

a) Representa las funciones siguientes: y = 3x e y = log3 x b) Comprueba si los puntos siguientes pertenecen a la gráfica de y = log3 x : (243, 5) c 1 , –3m ` 3; 0,5j (–3, –1) 27 129

Ejercicios y problemas 40

Resuelve problemas 30

Resuelve analítica y gráficamente estos sistemas: y = 2x 2 – 5x – 6 y = –x 2 + 5x * * a) b) 2 y = 3x + 4 y = x + 3x – (15/2)

31

a) Calcula b y c para que el vértice de la parábola y = x 2 + bx + c esté en el punto (3, 1). b) ¿Cuál es su eje de simetría? c) ¿Cuáles son sus puntos de corte con los ejes?

32

La parábola y = ax 2 + bx + c pasa por el origen de coordenadas. ¿Cuánto valdrá c ?

Si, además, sabemos que pasa por los puntos (1, 3) y (4, 6), halla a y b y representa la parábola.

33

Calcula a y b para que la función y = a x –b pase por los puntos (2, 2) y (–1, –1).

34

La gráfica de una función exponencial del tipo y = ka x pasa por los puntos (0, 3) y (1; 3,6).

a) Escribe la función que relaciona la temperatura de ebullición del agua, T, con la altura, a. b) Represéntala en unos ejes. c) ¿A qué temperatura hierve el agua donde tú vives? ¿Y en la cima del monte Everest?

41

La altura, h, a la que se encuentra en cada instante, t, una flecha que lanzamos con el arco hacia arriba con una velocidad de 40 m/s es h = 40t – 5t 2. a) Representa gráficamente la función. b) Di cuál es su dominio de definición. c) ¿En qué momento alcanza su altura máxima? ¿Cuál es esa altura? d) ¿En qué momento se clava la flecha en el suelo? e) ¿En qué intervalo de tiempo la flecha está a una altura superior a 35 metros?

42

Andrea ha comprado por 100 € un regalo de cumpleaños para Carlos. El resto de los amigos del grupo deciden pagar el regalo entre todos.

a) Calcula k y a. b) ¿Es creciente o decreciente? c) Representa la función.

35

La función exponencial y = ka x pasa por los puntos (0, 2) y (2; 1,28). Calcula k y a y represéntala.

36

a) Representa gráficamente la función exponencial y = 1,2x haciendo uso de una tabla de valores. b) ¿Cuál es la función inversa o recíproca de y = 1,2x?

Represéntala en los mismos ejes.

Construye una función que nos dé el dinero que debe poner cada uno dependiendo del número de personas que haya y dibújala. ¿Tiene sentido unir los puntos? Razónalo.

43

37

Representa las siguientes funciones: Z 2 ]]x si x < 1 x si x < 0 ) y = [1 a) y = b) x si x ≥ 0 ] si x ≥ 1 \x 38 Calcula el valor del parámetro k para que la siguiente función sea continua: Z 2 ]]–x – kx – 5 si x ≤ –2 y = [1 si x > –2 ]2 x + 4 \ 39 Representa la gráfica de las siguientes funciones: a) y = |x 2 – 1| – 2 c) y = 1 – 130

|x 2

– 6x + 5|

b) y = 1 + |x | d) y = |x | – |4 – x |

La temperatura de ebullición del agua es de 100 ºC a 0 m sobre el nivel del mar. Cada 300 m que subimos, la temperatura de ebullición disminuye 1 ºC. Es decir, a 3 000 m sobre el nivel del mar la temperatura de ebullición del agua es de 90 ºC.

El sueldo inicial de Ana es de 24 000 € anuales.

En su contrato de trabajo figura que subirá un 8 % anual. a) ¿Cuánto ganará dentro de 10 años? b) Escribe la función que relaciona el sueldo con el tiempo. c) ¿Para qué valores de la variable está definida?

44

La intensidad del sonido que nos llega procedente de un foco sonoro es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que nos separa de él. Por ejemplo: d, distancia en metros I = 252 , d I, intensidad del sonido Representa la gráfica, tomando, en el eje X, 1 cuadrado = 1 m, y en el eje Y, 1 cuadrado = 5 u. ¿A qué distancia ha de ponerse una persona con problemas auditivos que solo oiga sonidos superiores a 100 u?

Unidad 5

Resuelve: un poco más difícil

Reflexiona sobre la teoría

45

51

Indica por qué estas expresiones no pueden corresponder a funciones definidas a trozos: Z ]]2x + 1 si x ≤ –2 x + 1 si x ≤ 1 a) y = [x 2 – 4 si –2 ≤ x ≤ 1 b) y = ) x – 1 si x > 0 ]2x + 1 si x ≥ 1 \

52

Dibuja y escribe la ecuación, en cada caso, de las parábolas que cumplen estas condiciones: a) Su eje es x = 2, el coeficiente de la x 2 es –1 y corta al eje X en un solo punto. b) Tiene el vértice en el punto (3, –2) y tiene la misma forma que y = x 2. c) Tiene el vértice en el origen de coordenadas y pasa por el punto (–3, –18).

53

Construye funciones definidas a trozos que cumplan las siguientes condiciones y dibújalas:

Utiliza una escala adecuada y representa.

2 a) y = x b) y = –75x 2 + 675 100 c) y = 0,002x 2 – 0,04x d) y = –10x 2 – 100x

46

Expresa las siguientes funciones de la forma y = k + b y represéntalas: x–a a) y = 3x – 1 b) y = x + 1 c) y = 1 – x x –1 x +1 x+2 47 Este año, Verónica ha conseguido recoger de su cosecha 240 kg de aguacates que hoy se venderían a 1,20 €/kg. A partir de ahora, cada día que pasa se estropean 4 kg, pero el precio aumenta 0,10 €/kg. ¿Cuándo debe vender los aguacates para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál será ese beneficio?

48

49

50

El coste por unidad de fabricación de un tipo de cajas disminuye según el número de unidades fabricadas y viene dado por la función: y = 0, 3x + 1000 x a) ¿Qué valores toma la variable independiente, x ? b) Calcula el coste por unidad y el coste total para fabricar 10 cajas. Haz lo mismo para 100 000 cajas. c) ¿A cuánto crees que se acerca el coste por unidad cuando el número de cajas se hace muy grande?

Halla la expresión analítica correspondiente a cada una de las parábolas representadas:

12 m

b) Es continua y está compuesta por un trozo de parábola y un trozo de recta en este orden. Tiene un mínimo relativo en (0, 0) y un máximo relativo en (2, 4).

54

Todas las funciones exponenciales de la forma y = a x pasan por un mismo punto. Indica qué punto es y justifícalo. ¿Para qué valores de a la función es decreciente?

55

¿Verdadero o falso? a) Las funciones y = x e y = –x forman una parábola tumbada al representarlas en los mismos ejes. b) Si el eje de una parábola es x = 2, no puede pasar por los puntos (–1, 6) y (5, 8).

f

g

En una piscina hay un trampolín a 8 m del agua.

Esther lanza una pelota rodando y cae al agua a 12 m de la vertical del trampolín.

Escribe la ecuación de la trayectoria descrita por la pelota desde que 8m sale del trampolín hasta que toca el agua. Da su dominio de definición.

O

a) Es continua y está compuesta por dos trozos de rectas. Pasa por el origen de coordenadas y tiene pendiente –2 en x = 4. Tiene un máximo en (3, 7).

La trayectoria es una parábola y = ax 2 + bx + c con su vértice en el punto de caída. Toma O como centro de coordenadas y ten en cuenta que el vértice es (0, 8).

c) Las funciones y = 4x e y = – 4x son simétricas respecto al eje Y. x d) Las funciones y = 4x e y = c 1 m son simétricas 4 respecto al eje Y. e) La función y = log3 x tiene dos asíntotas, una vertical y otra horizontal. f ) Las funciones y = log x e y = 10 x son simétricas respecto al eje Y. g) Las funciones y = log x e y = 10 x son simétricas respecto a la recta y = x.

131

áticas

em Taller de mat INFÓRMATE

Desintegración radiactiva Las sustancias radiactivas se desintegran emitiendo radiaciones y transformándose en otras sustancias. Este proceso se realiza con el paso del tiempo y a un ritmo que varía muchísimo de unas sustancias a otras.

Uranio 92 sustancia radiactiva 8 radiaciones + otra sustancia U 2 500 millones de años La rapidez con la que se desintegra una sustancia radiactiva 238,029 se mide mediante su periodo de semidesintegración, que 89 es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la masa Actinio Ac inicial. A la derecha puedes ver los periodos de desintegra28 años 227,028 ción de algunas sustancias radiactivas.

Si tenemos una masa inicial de 1 g, la cantidad de masa de esta sustancia que queda al pasar el tiempo es: T

M = c 1 m gramos 2 donde T es el tiempo transcurrido tomando como unidad el periodo de semidesintegración, SD. Si la sustancia fuera el actinio y el tiempo lo quisiéramos expresar en años, la fórmula correspondiente sería: t/28 M = c 1 m donde M es la cantidad de actinio que queda al pasar t años.

2

1

88

226,025

81

204,383

masa (g)

1 –– 2 1 –– 4 1

En la naturaleza hay tres isótopos del carbono: C12, C13 y C14. Los dos primeros son estables y el tercero es radiactivo. Tiene un periodo de semidesintegración de 5 700 años; es decir, en ese tiempo, cualquier cantidad de C14 queda reducida a la mitad.

Al igual que los otros isótopos del carbono, el C14 está en la atmósfera (CO2) y es absorbido por las plantas (función clorofílica) que lo asimilan en una determinada proporción. Y, por medio de las plantas, el C14 se incorpora, también, a los demás seres vivos en la misma proporción. Pues bien, cuando un ser vivo muere y se fosiliza, su C14 sigue el proceso de desintegración según la función que ves a la derecha.

Es decir, cada 5 700 años la cantidad de C14 queda reducida a la mitad. Así, averiguando la proporción de C14 de un fósil y conociendo la inicial (planta viva), con la ecuación anterior se puede obtener su edad geológica, es decir, el tiempo que hace que se formó.

Si expresamos el tiempo, t, en siglos, la ecuación anterior puede transformarse así: t

P = 100 · c 1 m = 100 · >c 1 m H ≈ 100 · 0,988t 8 P = 100 · 0,988t, t en siglos 2 2 Es decir, que en 1 siglo se conserva el 100 · 0,988 = 98,8% del C14 o, lo que es lo mismo, se ha desintegrado el 1,2 %.

• ¿Qué porcentaje de C14, con relación al de una planta viva, tendrá un fósil de 33 000 años?

• ¿Cuál es la antigüedad de un fósil al que le queda solo un 10 % del C14 de una planta viva?

1 57

En la fórmula, sustituye P por 10 y despeja t tomando logaritmos.

132

Talio 3 minutos

Tl

La prueba del carbono catorce, C14

t 57

Radio 1 620 años

Ra

2

3

4

tiempo en periodos de SD

P = 100 · c 1 m 2

t 5 700

Unidad 5

ENTRÉNATE RESOLVIENDO OTROS PROBLEMAS • Una vela dura una hora. Con las sobras de 10 velas se fabrica una nueva. a) ¿Cuántas horas de luz tendremos con 442 velas? b) ¿Cuántas velas se necesitan para 1 000 horas de luz?

• Una granjera fue al mercado a vender una cesta de huevos. La primera clienta compró la mitad de los huevos más medio huevo. La segunda compró la mitad de los que le quedaban más medio huevo, y lo mismo hizo la tercera. Con esto concluyó la venta, ya que a la granjera no le quedaban más huevos. ¿Cuántos huevos tenía?

AUTOEVALUACIÓN

anayaeducación.es Resoluciones de estos ejercicios y una autoevaluación interactiva.

1 Representa la función definida a trozos cuya ecua-

ción es:

Z ]] 2x + 6 si x < –2 y = [ x/2 + 3 si –2 ≤ x < 2 ] –x + 6 si x ≥ 2 \ ¿Es continua? Inventa una con los mismos tramos que no sea continua.

2 Halla el vértice de cada una de las siguientes parábo-

las y represéntalas: 2 a) y = x – 2 2 c) y = (5 – x)(x + 1)

b) y = x 2 + 4x – 5 d) y = –(x – 3)2 – 1

e) y = 2x 2 + 4x f ) y = 9 – (x – 1)2 g) y = 2(x – 1)(x + 3)

h) y = (x + 2)2 – 2x 2

3 Expresa, en cada caso, como función definida a tro-

zos y represéntala: a) y = |2x + 1|

c) y = |–x 2 + 4x – 3|

Compromiso

• Un padre repartió entre sus hijos un rebaño de ovejas.

— El mayor de ellos se llevó una oveja más 1/7 de las restantes.

— Al segundo le correspondieron dos ovejas más 1/7 de las restantes.

— El tercero recibió tres ovejas más 1/7 de las que quedaban.

— Y así sucesivamente hasta llegar al más pequeño.

De esta manera, todos recibieron la misma herencia y no sobró ninguna oveja. ¿Cuántos hermanos eran? ¿Cuántas ovejas había en el rebaño?

b) y = 1 – x 4 d) y = |9 – (x – 2)2|

4 Representa las siguientes funciones e indica sus do-

minios de definición: a) y = 1 b) y = 3 – 2 x x +5

d) y = x + 2 e) y = 2 x – 1

c) y =

3 +1 x –1

f ) y = – x – 3

5 Representa estos pares de funciones:

a) y = 1,2x; y = log1,2 x b) y = 2,5x; y = log2,5 x ¿Respecto a qué recta son simétricas las dos funciones de cada par?

6 Con un listón de madera de 3 metros de largo, que-

remos fabricar un marco para un cuadro. a) Si la base del cuadro midiera 0,5 m, ¿cuánto mediría la altura? ¿Y la superficie? b) ¿Cuál es la expresión que nos da la superficie, S, para una base cualquiera, b ? Represéntala. c) ¿Para qué valor de la base se obtiene la superficie máxima? ¿Cuánto vale dicha superficie?

Visualiza el vídeo Meta 6.a, piensa en una acción con la que podrías contribuir al logro de esa meta y comprométete a llevarla a cabo.

133

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