RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN ÁNGULO CUALQUIERA

Circunferencia goniométrica

La circunferencia goniométrica es una circunferencia de radio uno que se divide en cuatro cuadrantes y está situada sobre los ejes de coordenadas, de modo que su centro coincide con el origen de coordenadas (0, 0).

El primer cuadrante incluye los ángulos que van de 0° a 90°, el segundo de 90° a 180°, el tercero de 180° a 270° y el cuarto de 270° a 360°.

Razones trigonométricas según el cuadrante

segundo cuadrante tercer cuadrante

90º

180º 0º, 360º

270º

Al ser el radio de la circunferencia igual a uno, el seno coincide con la ordenada y, y el coseno con la abscisa x. Además, la tangente será el resultado de dividir y (cateto opuesto) entre x (cateto contiguo).

Sabiendo que el coseno es la x y que el seno es la y, ¿qué signo (positivo o negativo) crees que tendrán las razones trigonométricas de los ángulos en función del cuadrante en el que se sitúen?

En la siguiente figura se muestra el signo de las razones trigonométricas según el cuadrante: segundo sen(+) cos(–) tan(–) sen(–) cos(–) tan(+) sen(+) cos(+) tan(+) sen(–) cos(+) tan(–)

Calcula las razones trigonométricas de un ángulo de 140°,

140° está entre 90 y 180°, por tanto, sabemos que está situado en el segundo cuadrante.

Para calcular sus razones trigonométricas, usamos una calculadora científica seleccionando el radián como medida: sen 140° = 0,64 cos 140° = –0,77 tan 140° = –0,84

El seno es positivo, el coseno negativo y la tangente negativa.

17 ¿Qué ángulos, en radianes, delimitan cada uno de los cuatro cuadrantes?

18 Indica en qué cuadrante están situados los siguientes ángulos y señala el signo de sus razones trigonométricas: a) 24 o b) 140 o c) 220 o d) 345o primer cuadrante cuarto cuadrante

Y cos 140°

140° sen 140° X a) 55o b) 82o c) 130 o d) 410 o e) 220 o f) 730 o g) 64 o h) 187o i) 115º

19 Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos usando una calculadora científica.

Ngulos De M S De 3600

Las manecillas de un reloj, como el de la imagen, pueden formar distintos ángulos. Como la vuelta completa de una circunferencia equivale a 360°, todos los ángulos que pueden formar son menores que 360°.

Por ejemplo, podríamos imaginar que la aguja naranja permanece siempre en el 3. La aguja verde, en cambio, ha girado en sentido antihorario hasta situarse en el 12. Ahora, las dos agujas forman un ángulo de 90º o, lo que es lo mismo, de π/2 rad.

Si la aguja verde continuara girando y volviese al 3, habría dado una vuelta completa, es decir, 360º o 2π rad.

Si la aguja girara aún más, formaría un ángulo mayor de 360º, ya que habría dado más de una vuelta a la circunferencia. Si hubiese girado hasta colocarse apuntando al punto P, habría girado 390º.

Como ves, girar 390º hace que nos situemos en el mismo punto que si solo hubiésemos girado 30º, ya que hemos dado una vuelta completa y, además, hemos avanzado 30º más.

Los ángulos mayores a 360º están compuestos por un giro completo (o más) y un ángulo principal.

Para calcular el número de vueltas, dividimos entre 360. El resto de la división nos indica el ángulo principal.

Las razones trigonométricas de los ángulos mayores que 360º son iguales a las de su ángulo principal.

Calcula el número de vueltas, el ángulo principal y las razones trigonométricas de un ángulo de 820º.

Calculamos el número de vueltas dividiendo 820 entre 360:

Sabemos que da dos vueltas y que su ángulo principal es 100°. Por tanto, podemos calcular las razones trigonométricas usando el ángulo principal: sen 100º = 0,98 cos 100º = –0,17 tan 100º = –5,67 a) 1 660 o b) 540 o c) 1 820 o d) 1310º

20 Calcula el número de vueltas de los siguientes ángulos. ¿Qué has tenido que hacer para hallarlas?

21 Calcula el número de vueltas, el ángulo principal y las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: a) 620 o b) 2 545o c) 985o d) 930º