Unidad de muestra Matemáticas 2 ESO

DEMO

2 ESO

MATEMÁTICAS J. C ol er a Ji m én ez, I . Gazt elu Al ber o , R . C o l er a Cañ as

propuesta didáctica

SUMA

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índice Suma Piezas y las claves del proyecto ...........................

4

Nuestra oferta para la etapa ..................................................

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Unidad

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9. teorema de pitágoras .................................................... 10 Criterios de evaluacion y estándares de apredizaje del currículo de Andalucía .... 19

SUMA

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. e j a z i d n e r p a u y construye t Un proyecto sustentado en el aprendizaje competencial y en el desarrollo de compromisos del alumnado con la realidad de su tiempo

Suma Piezas propone un nuevo enfoque competencial, con el máximo rigor curricular y una secuenciación de contenidos coherente y coordinada entre todas las áreas a lo largo de la etapa. Favorece la competencia en comunicación lingüística, primordial para acceder al conocimiento que permite comprender el mundo que nos rodea y desarrollar habilidades de convivencia.

De manera flexible, Suma Piezas brinda la posibilidad de incorporar metodologías activas, utilizar estrategias cooperativas y de pensamiento, fomentar las habilidades personales y sociales para la gestión de las emociones y el desarrollo del emprendimiento y atender la orientación académica y profesional, apostando por la igualdad y la inclusión. Y todo ello, dentro del marco de los Objetivos de Desarrollo Sostenible, que han de ser nuestro horizonte en los próximos años.

LAS CLAVES DEL PROYECTO ODS

Compromiso ods Los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) establecen el marco a partir del cual articular aprendizajes competenciales que refuercen en el alumnado su preparación hacia una ciudadanía comprometida.

Plan Lingüístico Contribuye al desarrollo de habilidades orales y escritas y al aprendizaje de los diferentes aspectos relacionados con el uso del lenguaje.

Desarrollo del pensamiento Las estrategias de pensamiento fomentan la competencia de aprender a aprender; contribuyen a que el alumnado tome conciencia de sus procesos mentales y a que actúe de forma reflexiva y crítica.

Aprendizaje cooperativo La aplicación de técnicas cooperativas favorece el aprendizaje e incrementa la participación y el sentido de responsabilidad del alumnado para generar capacidades de comunicación y cooperación.

Educación emocional Proporciona al alumnado pautas para la gestión emocional de sus situaciones de aprendizaje diarias, ayudándoles a que, a nivel intrapersonal, identifiquen y reconozcan las emociones, las regulen y las gestionen; y a nivel interpersonal, adquieran habilidades de relación con las personas.

Cultura emprendedora Promueve las distintas habilidades de emprendimiento en sus tres dimensiones, personal, social y productiva, de manera transversal en todas las áreas a través de una secuencia progresiva de actividades a lo largo de toda la etapa.

TIC Integra el uso de las TIC como recurso para obtener información, seleccionarla y utilizarla con una finalidad concreta, desarrollar la ciudadanía digital y las competencias de planificación, gestión y elaboración de trabajos, pasando a tener un uso para el aprendizaje y el conocimiento (TAC).

Orientación académica y profesional Facilita el desarrollo de habilidades que le ayudarán a conocerse a sí mismo, a entender el entorno y a tomar decisiones académicas y profesionales que le permitan entrar en el mercado laboral y prosperar en él.

Evaluación Incorpora estrategias que permiten al alumnado participar en la evaluación de su aprendizaje analizando «qué ha aprendido» y «cómo ha aprendido», acompañando su análisis con el uso del portfolio y de otros instrumentos que faciliten una valoración objetiva.

+ TRIMESTRE 1 MATEMÁTICAS

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La web www.anayaeducacion.es La web del profesorado es una herramienta que facilita y enriquece la labor docente. Con ella, podrá adaptar los contenidos a las necesidades de los estudiantes a través de recursos adicionales o reforzar aspectos didácticos que considere relevantes: • Programación, propuesta didáctica y documentación del proyecto.

• Diversidad e inclusión, para atender a la diversidad de motivaciones, intereses, ritmos y estilos de aprendizaje del alumnado. Ofrece: - Recursos teóricos para la adaptación curricular.

- Fichas de ejercitación.

- Fichas de profundización y para el desarrollo de competencias.

- Tareas, talleres y otros recursos.

• Evaluación, pilar fundamental del proyecto, presenta: - Herramienta digital para evaluar: aplicación que permite conocer el grado de adquisición de las competencias clave respecto a los criterios de evaluación y los estándares de aprendizaje evaluables del currículo de Andalucía.

- Generador digital de pruebas de evaluación por contenidos y estándares de aprendizaje.

- Pruebas y registros de evaluación prediseñados.

- Documentación específica.

- Fondo de herramientas de evaluación.

- Herramienta digital de entrenamiento de pruebas externas.

• Banco de recursos, con una gran variedad de recursos digitales tales como: Actividades GeoGebra · Videotutoriales · Autoevaluaciones · Glosarios · Recursos teóricos· Aprende jugando· Refuerza la resolución de problemas.

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TRIMESTRE 1

MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS APLICADAS

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SUMA

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TRIMESTRE 1 MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS APLICADAS

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BANCO DE RECURSO Y LIBRO DIGITAL

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EL PROYECTO DIGITAL para el profesorado

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TRIMESTRE 1

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Los libros se acompañan de la obra Dualfocus, especialmente diseñada para que el alumnado pueda acercarse a los contenidos del área en inglés.

+

INCLUYE

PROYECTO DIGITAL BANCO DE RECURSOS Y LIBRO DIGITAL

Los libros del alumnado Los libros presentan los contenidos y las actividades ajustados al desarrollo curricular de nuestra comunidad. Bajo una metodología competencial, permiten responder de una manera creativa e innovadora a nuestro compromiso con los Objetivos de Desarrollo Sostenible y posibilitan el crecimiento de las habilidades y las aptitudes que exige nuestra sociedad, cada vez más diversa.

dual FOCUS

SECONDARY EDUCATION

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nuestro proyecto para el área

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SUMA

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PROPUESTA DIDÁCTICA

PROPUESTA DIDÁCTICA

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MATEMÁTICAS

J . C o l er a J im én ez , I. G a z telu Al b er o , R . C o l er a C a ñ as

PROPUESTA DIDÁCTICA

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PROPUESTA DIDÁCTICA

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SUMA

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MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS

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J. Colera Jiménez, M.ª J. Oliveira González, I. Gaztelu Albero, R. Colera Cañas

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SUMA

J. Colera Jiménez, M.ª J. Oliveira González, I. Gaztelu Albero, R. Colera Cañas

propuesta didáctica

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MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS APLICADAS

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MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS J. Colera Jiménez, M.ª J. Oliveira González, I. Gaztelu Albero, R. Colera Cañas

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J. Colera Jiménez, M.ª J. Oliveira González, I. Gaztelu Albero, R. Colera Cañas

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el libro digital Los libros de todos los cursos disponen de una versión digital. Podrá descargar el libro completo o por unidades, con todos sus recursos o en su versión ligera (sin los recursos digitales más pesados), lo que posibilita su uso en condiciones offline y online. Los recursos de cada unidad se agrupan por tipologías y permiten un acceso directo al banco de recursos de la web y a la propuesta didáctica.

¿y para el alu mnado?

Banco de recurs

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MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS APLICADAS

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MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS

PROPUESTA DIDÁCTICA

propuesta didáctica

MATEMÁTICAS ACADÉMICAS

ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS

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MATEMÁTICAS APLICADAS

ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS

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Las soluciones de las actividades y las orientaciones de los Dualfocus se encuentran recogidas en la web de Anaya Educación.

MATEMÁTICAS

propuesta didáctica

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MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS APLICADAS

Para cada epígrafe, los criterios de evaluación y los estándares de aprendizaje.

J . C o l er a J im én ez , I. G a z telu Al b er o , R . C o l er a C a ñ as

ESO

Una propuesta didáctica para cada libro del alumnado en castellano con las soluciones de las actividades, orientaciones metodológicas, sugerencias para aplicar las claves del proyecto, etc.

ESO

MATEMÁTICAS

propuesta didáctica

ESO

las Propuestas didácticas para el profesorado

MATEMÁTICAS

ESO

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SUMA

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9 TEOREMA DE PITÁGORAS Presentación de la unidad Es probable que todos los estudiantes conozcan ya el teorema de Pitágoras y lo hayan aplicado para la obtención de uno de los lados de un triángulo rectángulo conociendo los otros dos. Aunque así sea, es muy deseable que en este curso vuelvan a hacer el recorrido completo que lleva a asentar los conceptos y a reforzar las destrezas procedimentales.

En primer lugar, el teorema de Pitágoras es una relación entre áreas. Esto le debe quedar muy claro a los estudiantes. Una mala preparación en este sentido puede llevar al siguiente disparate, fácilmente repetible en muchas aulas (incluso de cursos superiores): se les da un triángulo rectángulo con cuadrados construidos en los tres lados. En el de la hipotenusa pone 40 cm2; el de un cateto 32 cm2 y en el del otro cateto una interrogación. ¿Cuál es la superficie del tercer cuadrado?, se les pregunta. Y muchos estudiantes proceden así: c 2 = 40 → c = 40 = 6,3; a2 = 32 → a 32 = 5,6 c 2 = a2 + b2 → b = c 2 – a 2 = 6, 3 2 – 5, 6 2 = 8, 33 = 2,9 → → b2 = 2,92 = 8,41 cm2 El reconocimiento de si un triángulo cuyos lados son conocidos es o no rectángulo es otra aplicación del teorema de Pitágoras con clara connotación conceptual. Se puede afinar más en esta idea enseñándoles a apreciar si un triángulo no rectángulo es acutángulo u obtusángulo a partir de sus lados.

La obtención de un lado de un triángulo rectángulo conociendo los otros dos debe practicarse en contextos variados, sin olvidar figuras espaciales, tanto con resultados exactos (enteros o decimales) como aproximados.

Es deseable que el estudiante conozca, al menos, las ternas pitagóricas 3, 4, 5 y 5, 12, 13, y algunas relacionadas con ellas, por ejemplo, 6, 8, 10; 10, 24, 26; 30, 40, 50...

Y, muy importante, el alumnado debe reconocer la oportunidad de aplicar el teorema de Pitágoras en problemas geométricos.

Conocimientos mínimos • Dominar la relación entre las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo.

• Dilucidar si un triángulo es rectángulo o no a partir de las longitudes de sus lados.

• Saber aplicar el teorema de Pitágoras al cálculo de longitudes desconocidas en figuras planas y espaciales: —con — resultado exacto, entero o decimal exacto.

—con — resultado aproximado, dilucidando el número de decimales requeridos.

• Poseer soltura aplicando el teorema de Pitágoras para obtener un lado (cateto o hipotenusa) en un triángulo rectángulo del que se conocen los otros dos.

Anticipación de tareas • Clasificar los triángulos según sus lados y según sus ángulos.

• Calcular las áreas de las figuras planas más conocidas.

• Reconocer algunos cuerpos geométricos y sus elementos.

10

CC: competencias clave, CCL: comunicación lingüística, CMCT: competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología, CD: competencia digital, CAA: aprender a aprender, CSYC: competencias sociales y cívicas, SIEP: sentido de iniciativa y espíritu emprendedor y CEC: conciencia y expresiones culturales.

Contenidos y competencias Contenidos de la unidad

Competencias clave

Página inicial • ¿Otros triángulos rectángulos?

• El teorema de Pitágoras • La demostración de Euclides

CCL CMCT

1. El teorema de Pitágoras • Ternas pitagóricas • Los lados determinan el tipo de triángulo

CCL CMCT CD CAA

2. Cálculo de un lado conociendo los otros dos • Cálculo de la hipotenusa conociendo los dos catetos • Cálculo de un cateto conociendo el otro y la hipotenusa • Ejercicios prácticos de resolución guiada

CCL CMCT CD CAA SIEP

3. Aplicaciones del teorema de Pitágoras

CCL CMCT CD CAA CEC

Páginas finales • Ejercicios y problemas • Taller de Matemáticas • Autoevaluación

CCL CMCT CD CAA CSYC SIEP CEC

9

piezas clave

Sin embargo, no fue Pitágoras quien dio la demostración, sino Euclides dos siglos después.

Teorema de Pitágoras El teorema de Pitágoras es un importantísimo resultado geométrico. Como sabes, relaciona los cuadrados de los lados de cualquier triángulo rectángulo.

Hace más de 3 000 años, tanto los egipcios como los babilonios sabían que ciertos triángulos eran rectángulos y se valían de ellos para construir ángulos rectos. Los egipcios, por ejemplo, utilizaron eficazmente el triángulo de lados 3, 4 y 5 (al que consideraban sagrado) para la división de campos o la construcción de pirámides.

Compromiso ODS • Meta 7.2.

1 ¿Crees que otro triángulo, de lados doble

que los de la derecha, 6 cm, 8 cm, 10 cm, será también rectángulo?

Dibújalo y compruébalo.

3

5

El teorema de Pitágoras

A

Teorema de Pitágoras Cuando el triángulo azul es rectángulo: A=B+C

C

A1 B

4

Pitágoras (siglo vi a. C.) viajó en su juventud a Egipto y Babilonia, y conoció, indudablemente, estos resultados. Su gran mérito fue que enunció el teorema de forma general, relacionando las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de cualquier triángulo rectángulo. Por eso este teorema lleva su nombre.

B

La demostración de Euclides Para demostrarlo, trazó la perpendicular al lado grande del triángulo (recta verde), que parte al cuadrado grande en dos rectángulos. Y probó que: B = A1 y C = A2.

La ilustración muestra una justificación gráfica de la propiedad anterior.

¿Otros triángulos rectángulos?

Plan Lingüístico • Destreza: Comprensión escrita (texto discontinuo)

Euclides de Alejandría escribió sus Elementos en torno al año 300 a. C. Se trata de un conjunto de 13 libros en los que se recopila, amplía y organiza todo el saber matemático de su época, aportándole una sólida estructura lógica. En el libro I demuestra el que ahora conocemos como teorema de Pitágoras.

El área del cuadrado grande equivale a la suma de las áreas de los dos pequeños.

A2 C

3 Observa la figura y responde.

Tomando como unidad el cuadro de la cuadrícula: a) ¿Cuántas unidades cuadradas contiene el cuadrado pequeño, B ? ¿Y el rectángulo A1? ¿Qué observas?

A1 A2

9 B

15

b) Comprueba que el número de unidades del cuadrado C coincide con el de A2. c) Enuncia la propiedad.

16 20 C

d) ¿Qué teorema se confirma?

Enúncialo.

4 Dibuja un triángulo de lados 5 cm, 12 cm y 13 cm.

2 Atendiendo al teorema de Pitágoras, si B ocupa 9 cm2 y C ocupa

16 cm2, ¿cuánto ocupa A ?

178

Comprueba, con la escuadra, que es rectángulo.

Expresa en una igualdad la relación que existe entre las medidas de los lados.

179

Desarrollo del pensamiento Técnica: • Pienso, me interesa, investigo

Teorema de Pitágoras Aprendizaje cooperativo Técnica: • Cabezas pensantes Cultura emprendedora • Asunción de riesgos (dimensión productiva): Acciones en las cuales existe la posibilidad de fracaso Orientación académico-profesional • Ficha en la web TIC • Actividades interactivas • Actividades con GeoGebra • Soluciones de la autoevaluación • Autoevaluación interactiva Evaluación • Ejercicios y problemas • Elaboración del portfolio

CE.1.1. (EA.1.1.1.) CE.1.10. (EA.1.10.1.)

Al iniciar la unidad La principal aportación de Pitágoras a la evolución de las matemáticas es la exigencia de rigor lógico para dar validez a los resultados. Además, en el estudio de las matemáticas buscó más el placer intelectual que la utilidad práctica. Los pitagóricos distinguían entre Aritmética (estudio de los números y sus propiedades) y Logística (técnicas de cálculo). Ellos cultivaron la primera y menospreciaron la segunda, que consideraban un arte inferior que «dejaban a los esclavos».

La enorme aportación de Euclides se concretó en su obra los Elementos, de extraordinaria influencia científica y didáctica hasta casi el siglo xx.

Cuestiones para detectar ideas previas • Realizar construcciones con regla y compás.

• Clasificar los cuadriláteros y conocer sus propiedades.

• Relacionar el radio, la apotema y la mitad del lado en los polígonos regulares.

• Conocer las figuras espaciales más importantes.

Soluciones 1 Se puede comprobar que es rectángulo utilizando una escuadra, o comprobando que se cumple la igualdad: 62 + 82 = 102 2

A ocupa 25 cm2.

3

a) Área de B = 15 ∙ 15 = 225 unidades cuadradas Área de A1 = 9 ∙ 25 = 225 unidades cuadradas Que A1 y B contienen las mismas unidades cuadradas. b) Área de C = 20 ∙ 20 = 400 unidades cuadradas Área de A2 = 16 ∙ 25 = 400 unidades cuadradas c) El área de los cuadrados B y C suman lo mismo que el área del cuadrado grande: Área de B + Área de C = Área de A1 + Área de A2 = Área de A d) Se confirma el teorema de Pitágoras: El área del cuadrado grande equivale a la suma de las áreas de los dos pequeños.

4 122

+ 52 = 132 11

Unidad 9

1

TEOREMA DE PITÁGORAS

ã Los lados determinan el tipo de triángulo

En un triángulo rectángulo, los lados menores son los que forman el ángulo recto. Se llaman catetos. El lado mayor se llama hipotenusa.

En general, llamaremos a a la hipotenusa y b y c a los catetos.

El teorema de Pitágoras afirma lo siguiente: a 2 = b 2 + c 2

a

b

¡Sorprendente!

Esta demostración la construyeron los chinos 400 años antes de que naciera Pitágoras.

c

b

Los dos cuadrados iguales tienen por lados b + c.

c

a

Comparando las dos figuras, es claro que a 2 = b 2 + c 2.

b

a

b

c

c

b

• Si a 2 < b 2 + c 2, el triángulo es acutángulo.

b

c

a

c2

a

c

b2

b

rectángulo

obtusángulo

a

a

b

acutángulo

• Ya conocemos la relación entre las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo: • Si abrimos el ángulo recto, convirtiéndolo en obtuso, el lado opuesto aumenta, y también lo hace el cuadrado correspondiente. Entonces:

b

c

Figura B → 62 es mayor que 32 + 42 → En general: a 2 > b 2 + c 2 • Si cerramos el ángulo recto, convirtiéndolo en agudo, el lado opuesto disminuye, y también lo hace el cuadrado correspondiente. Entonces:

¿Cuáles son las áreas desconocidas en los cuadrados de las siguientes figuras?

Figura C → 4,52 es menor que 32 + 42 → En general: a 2 < b 2 + c 2 Para fijar ideas

183 m2

S2

47 dm2

1 Dibuja en tu cuaderno estas figuras. Complétalas construyendo el cuadrado que falta en cada una y di cuál es su área.

a) 102 m2

S1 386 dm

b) A1

2

57 cm2

A3

c) 3 dm2

87 m2

14 dm2

57 cm2

Como ambos triángulos son rectángulos, en los dos casos el área del cuadrado mayor es igual a la suma de las áreas de los cuadrados menores. Por tanto: S2 = 386 dm2 – 47 dm2 = 339 dm2 S1 = 183 m2 + 102 m2 = 285 m2

A1 = 57 + 57 = … cm2

A2

31 m2

A2 = 87 + … = … m2

A3 = 14 – … = … dm2

2 Copia y completa para averiguar si cada uno de los siguientes triángulos es rectángulo, obtusángulo o acutángulo.

a) 70 cm, 240 cm, 245 cm

ã Ternas pitagóricas Si tres números naturales, c, b, a, cumplen c 2 + b 2 = a 2, es decir, si pueden ser las medidas de los lados de un triángulo rectángulo, entonces decimos que forman una terna pitagórica. Aquí tienes algunas: 3, 4, 5

8, 15, 17

12, 35, 37

5, 12, 13

9, 40, 41

13, 84, 85

7, 24, 25

11, 60, 61

16, 63, 65

70 2 + 240 2 = 4 900 + 57 600 = 62 500 4 → 2452 < 702 + 2402 → El triángulo es…

245 2 = 60 025 b) 15 dm, 36 dm, 39 dm 15 2 + 36 2 = 225 + 1296 = f 4 → 392 … 152 + 362 → El triángulo es…

39 2 = 1521 c) 18 m, 80 m, 83 m

Fíjate que si c, b, a es una terna pitagórica, también lo es kc, kb y ka.

Por ejemplo, 6, 8, 10 (obtenida al multiplicar por 2 cada uno de los componentes de la terna 3, 4, 5) es una terna pitagórica.

1. Teorema de Pitágoras CE.1.8. (EA.1.8.1. - EA.1.8.2. - EA.1.8.3. - EA.1.8.4.) CE.1.11. (EA.1.11.3. - EA.1.11.4.) CE.3.3. (EA.3.3.1. - EA.3.3.2.)

C

Figura A → 52 es igual a 32 + 42 → En general: a 2 = b 2 + c 2

a2

c

Ejercicio resuelto

anayaeducacion.es GeoGebra.

Demostración gráfica del teorema de Pitágoras.

B

• Si a 2 > b 2 + c 2, el triángulo es obtusángulo.

Esta relación es cierta, solamente si el triángulo es rectángulo.

Observa la siguiente demostración:

A

Si conocemos los lados de un triángulo, podemos averiguar si es o no rectángulo: • Si a 2 = b 2 + c 2, el triángulo es rectángulo.

Esto quiere decir que el área de un cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

c

a2 = b2 + c2

Observa las figuras y analiza el razonamiento que sigue: Ten en cuenta

18 2 + 80 2 = 324 + 6 400 = 6 724 4 → 832 … 182 + 802 → El triángulo es…

83 2 = f

180

181

TIC anayaeducacion.es En «Mis recursos en la web» dispone de actividades interactivas para reforzar este contenido.

Sugerencias metodológicas Aunque este contenido es específico de 2.º curso, probablemente los estudiantes lo habrán trabajado ya en el curso anterior. No obstante, conviene insistir en él, pues el dominio del teorema de Pitágoras y de sus aplicaciones es básico tanto para las siguientes unidades (áreas y volúmenes de cuerpos geométricos) como para toda la geometría de cursos posteriores.

El teorema se visualiza, fundamentalmente, como igualdad entre áreas de cuadrados y también como relación numérica entre las medidas de los lados.

Se incluyen, además, las ternas más conocidas de números pitagóricos: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17. Y las que se derivan de ellas: 6, 8, 10; 0,5; 1,2; 1,3…

De las relaciones geométricas y numéricas mencionadas se derivan, en la página siguiente, los procedimientos para clasificar triángulos según sus ángulos, en función de sus lados.

Soluciones de «Para fijar ideas» 1

A1 = 57 + 57 = 114 cm2 2

Unidad 9

CÁLCULO DE UN LADO CONOCIENDO LOS OTROS DOS Si sabemos que un triángulo es rectángulo, y conocemos la longitud de dos de sus lados, el teorema de Pitágoras nos permite calcular la longitud del tercero.

ã Cálculo de la hipotenusa conociendo los dos catetos

a = 88 2 + 105 2 = 7 744 + 11025 = 18 769 = 137 La hipotenusa mide 137 m.

ã Cálculo de un cateto conociendo el otro y la hipotenusa

manteniendo tensa la cuerda, de forma que la vertical del globo se aleja 8 m del punto de amarre. ¿A qué altura se encuentra el globo?

Calculamos la longitud del cateto vertical. h2 = …2 – 82 = … → h = f = … m El globo se encuentra a … m de altura.

1 Copia y completa para hallar el lado desconocido en cada uno de estos triángulos.

El lado desconocido es la hipotenusa, a. a

11 dm

a 2 = 112 + 142 → a = f 2 + f 2 = f + f = f = …

La hipotenusa mide … dm, aproximadamente.

48 km

562 = 482 + c 2 → c 2 = 562 – 482 → c = f – f = …

El otro cateto mide … km, aproximadamente.

h

l

4m

8,5 m

d

6 Álvaro ha tomado estas medidas para hallar la altura, h, de la pared de su

Para practicar 1 Halla la longitud del lado desconocido en estos triángulos rectángulos, donde

f) 12 cm 37 cm

anayaeducacion.es Cálculo de un lado conociendo los otros dos.

buhardilla. Calcular d y, luego, h.

Calculamos primero la distancia d: d 2 = 52 – 42 = … → d = f = … m Ahora calculamos la altura, h, sabiendo que es el cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 20 m y el otro … m: h 2 = 202 – … = … → h = f = … m La altura de la buhardilla es de … m.

h

h

4m

a es la hipotenusa, aproximando cuando haga falta hasta dos cifras decimales. a) c = 70 mm; a = 74 mm e) b) b = 15 cm; a = 25 cm 15 cm c) b = 14 m; c = 48 m d) b = 13 pulgadas; c = 84 pulgadas 36 cm

182

m

m

8m

altura de 7,5 m. ¿A qué distancia de la pared debe colocarse el pie para que llegue a una altura de 8 m?

Calculamos primero la longitud de la escalera. l 2 = 42 + 7,52 = 72,25 → l = 72, 25 = 8,5 m Ahora calculamos la distancia pedida, d. d 2 = …2 – 82 = … – 64 = … → d = f = … m El pie de la escalera debe situarse a … m de la pared.

El lado desconocido es el cateto, c. c

20

5 Una escalera cuyo pie está a 4 m de la pared se apoya en esta, alcanzando una

14 dm 56 km

2,6 d

4 Un globo está amarrado al suelo con una cuerda de 20 m. El viento lo empuja,

Para fijar ideas

b)

d 2 = 2,62 – … = 6,76 – … = … → d = f = 2,4 m El pie del tablón estará situado a 2,4 m del escalón, o algo menos para que pueda apoyarse arriba.

1m

nemos de un tablón de 2,6 m. ¿A qué distancia del escalón empieza la rampa?

Conociendo la hipotenusa y el cateto vertical, calculamos el cateto horizontal.

b = 130 2 – 32 2 = 16 900 – 1024 = 15876 = 126 El otro cateto mide 126 cm.

a)

10 m

3 Queremos salvar un escalón de 1 m de altura para pasar con la carretilla. Dispo-

a2 = b2 + c2 → b2 = a2 – c2 → b = a 2 – c 2

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 130 cm, y uno de los catetos, 32 cm. Halla la longitud del otro cateto.

a

l 12 m

m

Ejemplo

¿b? c

a 10 m de altura en un árbol y a 1 m de altura en el otro. ¿Cuál será la longitud del cable si además de colocarlo en tensión se necesita un 10 % más para atarlo a los árboles?

Conociendo los catetos, hallamos la hipotenusa. l 2 = 92 + 122 = … + … = … → l = f = … m La longitud del cable tenso es de … m.

Añadiendo un 10 % → … · 1,10 = 16,5 m

1m

En un triángulo rectángulo, sus catetos miden 88 m y 105 m. Calcula la longitud de la hipotenusa.

8m

→ a=

Copia, completa y comprueba, en cada caso, que llegas a la solución que se ofrece.

7,5 m

+

Para fijar ideas

2 Se va a tender una tirolina entre dos árboles separados 12 m. El cable estará atado

b2 +c 2

20

b

=

c2

m

c

b2

A continuación, tienes varios problemas en los que apreciarás la utilidad del teorema de Pitágoras en situaciones cotidianas.

15

Ejemplo ¿a?

a2

ã Ejercicios prácticos de resolución guiada

5m

2

d

18 m 12 m

anayaeducacion.es GeoGebra. Calcula el lado desconocido aplicando el teorema de Pitágoras.

183

TIC anayaeducacion.es En «Mis recursos en la web» dispone de actividades interactivas para reforzar este contenido.

A2 = 87 + 31 = 118 m2

a) 2452 < 702 + 2402 → El triángulo es acutángulo. b) 392 = 152 + 362 → El triángulo es rectángulo. c) 832 > 182 + 802 → El triángulo es obtusángulo.

2. Cálculo de un lado conociendo los otros dos CE.1.2. (EA.1.2.1. - EA.1.2.2. - EA.1.2.3. - EA.1.2.4.) CE.1.6. (EA.1.6.1. - EA.1.6.2. - EA.1.6.3. - EA.1.6.4. EA.1.6.5.) CE.1.11. (EA.1.11.3. - EA.1.11.4.) CE.3.3. (EA.3.3.1. - EA.3.3.2.)

Sugerencias metodológicas La aplicación más utilizada del teorema de Pitágoras es la obtención del lado de un triángulo rectángulo conociendo los otros dos. En esta página se trata de la manera más directa y elemental.

Es importante que el alumnado se familiarice con ella y automatice su utilización. Que calcule el lado desconocido de forma exacta, si las medidas de los lados son números pitagóricos, o aproximadamente con un redondeo razonable.

Soluciones de «Para fijar ideas» 1 a) La hipotenusa mide 18 dm, aproximadamente. b) El otro cateto mide 29 km, aproximadamente.

2

La longitud del cable tenso es de 15 m.

3

El pie del tablón estará situado a 2,4 m del escalón, o algo menos para que pueda apoyarse arriba.

4 El 5

globo se encuentra a 18 m de altura.

El pie de la escalera debe situarse a 2,9 m de la pared.

6 La

altura de la buhardilla es de 16 m.

Soluciones de «Para practicar» 1 a) b = 24 mm b) c = 20 cm d) a = 85 pulgadas e) a = 39 cm 12

A3 = 14 – 3 = 11 dm2

c) a = 50 m f ) c = 35 cm

Unidad 9

APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

6 Calcula el área de un triángulo equilátero de lado 8 cm.

Empezamos calculando la altura: h = 82 – 42 = … ≈ …

La altura mide … cm, aproximadamente.

El área es: A = … · … = 27,6 cm2 2

Hay multitud de polígonos en los que algunos de sus elementos son lados de un triángulo rectángulo. Eso permite relacionarlos mediante el teorema de Pitágoras y calcular la longitud de uno de ellos conociendo los otros dos.

Para fijar ideas

1 La diagonal de un rectángulo mide 89 cm, y uno de los lados, 80 cm. Calcula su

área.

El área de un rectángulo de lados a y b es: A = a · b Empezamos por calcular el otro lado:

89 cm

y el radio, 20 cm.

Primero calculamos el lado: l = … 2 – … 2 = 137, 56 ≈ …

2 El lado del pentágono mide: l = … · 2 = … cm Por tanto, su perímetro es: P = … · 5 = 117 cm Finalmente, calculamos el área.

Perímetro · apotema … · …

A= = 947,7 cm2 = 2 2

l

5 cm

Comenzamos por calcular la longitud de un lado:

4 cm

7 Calcula el área y el perímetro de un pentágono regular cuya apotema mide 16,2 cm,

b

80 cm

b = 89 2 – 80 2 = … = …

El lado corto mide … cm.

El área es: A = 80 · … = 3 120 cm2 2 Las diagonales de un rombo miden 10 cm y 24 cm. Halla su perímetro.

12 cm

l = 12 2 + … 2 = … = …

Cada lado mide … cm.

El perímetro es: P = 4 · … = 52 cm

l/2 16,2 cm

20 cm

8 Halla la longitud de una circunferencia en la que se ha trazado una cuerda de 6,5

3 El lado de un rombo mide 6,5 m y una de sus diagonales, 5 m. Halla su área.

6,6 cm a una distancia de 5,6 cm del centro. Calcula el área del círculo correspondiente.

Comenzamos calculando el radio.

En el triángulo rectángulo coloreado, el lado pequeño mide: k = 6,6 : 2 = 3,3 cm

m

2,5 m

El área de un rombo cuyas diagonales son d y d' es: A = d · d' 2 Conocemos una diagonal. El teorema de Pitágoras nos permite calcular la otra:

d'/2

d' = 6, 5 2 – 2, 5 2 = … m 2 La segunda diagonal mide, pues, … · 2 = … m. Por tanto, A = 5 ·… = 30 m2.

2 4 Las bases de un trapecio rectángulo miden 25 cm y 38 cm, y la altura, 19 cm.

38 cm

r

41 cm

% Como el triángulo es equilátero, AOB = 60°.

Por tanto, el área del sector es la sexta parte del área de todo el círculo: Asector = (π · …2) : 6 = … cm2 Por tanto: Asegmento circular = … – … = 5,9 cm2

el triángulo OAB. El triángulo OAB, equilátero, es el mismo cuya área hemos obtenido en el ejercicio 6 de esta página (Atriángulo = 27,6 cm2). b = 30 cm

h = 41 2 – 9 2 = … = …

La altura del trapecio mide … cm.

A = (30 + 48) · … = 1 560 cm2 2

h

6,6 cm

9 cm b' = 48 cm

A

O

8 cm

13 cm

que distan 8 cm entre sí. Calcula el área del segmento circular determinado por la % cuerda AB . % El segmento circular, en rosa, es la diferencia entre el sector circular de arco AB y

5 Halla el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 30 cm y 48 cm, y el lado oblicuo,

41 cm.

Recordemos que el área de un trapecio es: A = (b + b' )· h 2 Hemos de empezar calculando su altura, h.

En el triángulo verde, el lado pequeño mide (48 – 30) : 2 = 9 cm.

k

9 Una circunferencia de 8 cm de radio es cortada por una recta en dos puntos A y B

x

19 cm

x = 13 2 + 19 2 = … ≈ …

El lado oblicuo mide, aproximadamente: x = … cm El perímetro es: P = 38 + 19 + 25 + … = 105 cm

5,6 cm

Por tanto: r = … 2 + … 2 = 42, 25 = …

El radio mide … cm.

P = 2πr = 2 · 3,14 · … ≈ 40,8 cm A = πr 2 = … · …2 ≈ 132,7 cm2

25 cm

Halla su perímetro.

Empezamos calculando la longitud del lado oblicuo:

3. Aplicaciones del teorema de Pitágoras (I) CE.1.8. (EA.1.8.1. - EA.1.8.2. - EA.1.8.3. - EA.1.8.4.)

8 cm

h

8 cm

3

8 cm

B

anayaeducacion.es GeoGebra. Calcula el lado desconocido aplicando el teorema de Pitágoras.

185

184

TIC anayaeducacion.es En «Mis recursos en la web» dispone de actividades interactivas para reforzar este contenido.

Sugerencias metodológicas Reconocer un triángulo rectángulo en una figura geométrica, identificar sus lados conocidos y el lado desconocido es una destreza que el alumnado irá adquiriendo mediante la resolución de muchos ejercicios de los que el triángulo rectángulo forme parte. En esta doble página se analizan figuras planas. Algunas espaciales se verán en la siguiente página.

Es recomendable que el alumnado resuelva minuciosamente en su cuaderno, desde el principio, los ejercicios que ya se presentan parcialmente resueltos o guiados, y aplique la técnica que en todos ellos se sugiere (representación de la figura, señalar el triángulo rectángulo correspondiente, marcar el valor de los lados conocidos y nombrar el lado desconocido, y proceder sistemáticamente a los cálculos oportunos).

Soluciones de «Para fijar ideas» 1 A = 80 · 39 = 3 120 cm2 2

P = 4 · 13 = 52 cm

A = 5 $ 12 = 30 m2 2 4 P = 38 + 19 + 25 + 23 = 105 cm 3

A = (30 + 48) $ 40 = 1 560 cm2 2 8 $ 6, 9 = 27,6 cm2 6 A = 2 117 $ 16, 2 = 947,7 cm2 7 P = 23,4 · 5 = 117 cm; A = 2 2 2 8 A = 3,14 · 6,5 ≈ 132,7 cm 5

9 ASEGMENTO CIRCULAR

r el material

3 APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

selecciona Recuerda para tu portfolio.

de trabajo

de esta unidad

Unidad 9

emas

Ejercicios y probl

Para fijar ideas

Trazamos una tangente desde P a la circunferencia. El segmento tangente PT mide 18 cm. Halla el área del círculo.

La recta tangente es perpendicular al radio.

Por tanto, el triángulo PTO es rectángulo en T :

1

18 cm

r O

23 cm

Calcula el área del cuadrado verde en cada uno de los siguientes casos: a)

P

45 m2

r

30 cm2

2

B D

4 cm

21 dm

3 d

4,8 m

C

C

A

A

2m

a

h h

a

e) 17 millas, 10 millas, 5 millas g) 18 cm, 80 cm 82 cm

15 m

30 m

4

30 m

Calcula el lado desconocido en cada triángulo rectángulo: a)

b) 65 mm

16 mm

15 m

lado. (Recuerda que, en un hexágono regular, el lado mide igual que el radio.)

4 En una circunferencia de radio 9,7 m, se traza una

cuerda de 13 m. ¿A qué distancia de la cuerda se encuentra el centro de la circunferencia?

5 Un pentágono regular está inscrito en una circunferencia

de radio 1 m. Su perímetro es 5,85 m. Calcula su área.

6 Halla la longitud de la diagonal de un ortoedro cuyas

dimensiones son 8 dm, 6 dm y 14 dm.

20 m

5

Calcula el lado desconocido en cada triángulo aproximando hasta las décimas: a)

b) 12 cm

cuyas bases miden 3,2 m y 6,4 m, y su altura, 6,3 m.

Los lados paralelos de un trapecio rectángulo miden 13 dm y 19 dm, y el lado oblicuo mide 10 dm.

Calcula la altura.

Calcula los lados iguales de un triángulo isósceles sabiendo que el lado desigual mide 5 m y la altura correspondiente, 6 m.

11

Calcula la medida del lado de un rombo cuyas diagonales miden 1 dm y 2,4 dm.

12

Halla la altura de un triángulo equilátero de 40 cm de lado. Aproxima hasta los milímetros.

13

Halla la apotema de un hexágono regular de 20 cm de lado. (Recuerda que, en el hexágono regular, el lado mide lo mismo que el radio.)

14

Un pentágono regular de 11,7 cm de lado está inscrito en una circunferencia de 10 cm de radio. Calcula su apotema.

f ) 21 mm, 42 mm, 21 mm

Para practicar

perímetro.

9

10

c) 23 dm, 30 dm, 21 dm d) 15 km, 20 km, 25 km

do de 30 m de lado y cuya cara lateral tiene un área de 255 m2.

Primero hallamos la altura, a, de la cara lateral.

255 = 30 · a → 510 = 30a → a = … m 2 La altura de la cara lateral es la hipotenusa del triángulo que aparece a la derecha:

3 Calcula el área de un hexágono regular de 18 cm de

Halla la diagonal de un cuadrado cuyo perímetro mide 28 dam.

a) 15 cm, 10 cm, 11 cm

13 Calcula la altura, h, de una pirámide cuadrangular regular cuya base es un cuadra-

2 Halla el área y el perímetro de un trapecio isósceles

12 dm

Di si cada uno de los siguientes triángulos es rectángulo, acutángulo u obtusángulo. b) 35 m, 12 m, 37 m

1,2 m

c) 16 m

12 cm

17 m

32 mm

28 mm

B 1,6 m

1 Halla el área de un triángulo equilátero de 54 cm de

Calcula el perímetro de un rectángulo cuya diagonal mide 5,8 cm, y uno de los lados, 4 cm.

8

b)

A

1,6 m

4,8 m

d = 1, 2 2 + 1, 6 2 + 4, 8 2 = f = 5,2 m

h = …2 – …2 = f = 8 m La pirámide tiene 8 m de altura.

17 cm

C

=…m

Atendiendo al triángulo rojo: d = … 2 + 4, 8 2 = … m La diagonal del ortoedro mide 5,2 m.

Observa que se puede hallar directamente:

d =

7

1,2 m

En general, en un ortoedro de dimensiones a × b × c la diagonal es: a2 + b2 + c2

Calcula el área de los siguientes cuadrados: a)

D

15

Una recta pasa a 10 cm del centro de una circunferencia de 15 cm de radio. Halla, aproximando hasta las décimas, la longitud de la cuerda que se genera.

16

¿A qué distancia del centro de una circunferencia de 8 cm de radio debe pasar una recta para que la cuerda mida 8 cm?

17

Calcula la diagonal de un cubo de 20 cm de arista.

Aproxima hasta los milímetros.

18

Halla la diagonal de un ortoedro cuyas dimensiones son 3 cm, 4 cm y 12 cm.

19

Desde un punto P exterior a una circunferencia de radio 10 m se traza un segmento tangente de 24 m. ¿A qué distancia está P del centro de la circunferencia?

anayaeducacion.es GeoGebra. Calcula áreas aplicando el teorema de Pitágoras.

186

3. Aplicaciones del teorema de Pitágoras (II) CE.1.11. (EA.1.11.3. - EA.1.11.4.) CE.3.3. (EA.3.3.1. - EA.3.3.2.)

1 cm

r

r = f = 7,07 cm 12 Halla la diagonal de un ortoedro de dimensiones 1,2 m; 1,6 m y 4,8 m.

Atendiendo al triángulo azul: AC =

60 m2

14 cm2 10 cm

Las diagonales del cuadrado son perpendiculares.

Por tanto, el triángulo coloreado es rectángulo y tiene los catetos iguales. r 2 + r 2 = …2 → 2r 2 = … → r 2 = …

Halla el perímetro de la siguiente figura:

b)

r 2 = OP 2 – PT 2 = …2 – …2 = …

Acírculo = πr 2 = … · … ≈ 643,7 cm2 11 Calcula el radio de la circunferencia circunscrita a un cuadrado de 10 cm de lado.

1, 2 2 + … 2

6

Teorema de Pitágoras

T

10 En una circunferencia, la distancia de un punto P al centro O es OP = 23 cm.

= 33,5 – 27,6 = 5,9 cm2

187

TIC anayaeducacion.es En «Mis recursos en la web» dispone de actividades interactivas para reforzar este contenido.

Sugerencias metodológicas En esta página hay ejemplos de la aplicación del teorema de Pitágoras en dos figuras espaciales muy comunes.

——En el ortoedro hay que aplicar dos veces el teorema para calcular la diagonal principal.

Una vez resuelto se recurre a la fórmula general de la diagonal de un ortoedro.

——En la pirámide, el cálculo de la altura se consigue mediante la aplicación del teorema de Pitágoras en el triángulo que indica la figura. Pero el estudiante ha de tener en cuenta que, antes, debe calcular el valor de la hipotenusa de dicho triángulo.

Soluciones de «Para fijar ideas» 10 ACÍRCULO = 3,14 · 205 ≈ 643,7 cm2 11

r = 50 = 7,07 cm

12

d = 27, 04 = 5,2 m

13

h = 64 = 8 m

Soluciones de «Para practicar» 1 A = 140,31 cm2 2

A = 30,24 m2; P = 22,6 m

3

A = 842,4 cm2

4 Se 5

encuentra a una distancia de 7,2 m.

A = 2,37 m2

6 d

= 17,2 dm 13

r el material

3 APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

selecciona Recuerda para tu portfolio.

de trabajo

de esta unidad

Unidad 9

emas

Ejercicios y probl

Para fijar ideas

Trazamos una tangente desde P a la circunferencia. El segmento tangente PT mide 18 cm. Halla el área del círculo.

La recta tangente es perpendicular al radio.

Por tanto, el triángulo PTO es rectángulo en T :

6

Teorema de Pitágoras

T

10 En una circunferencia, la distancia de un punto P al centro O es OP = 23 cm.

1

18 cm

r O

23 cm

a)

P

45 m2

60 m2

14 cm2 10 cm

Las diagonales del cuadrado son perpendiculares.

Por tanto, el triángulo coloreado es rectángulo y tiene los catetos iguales. r 2 + r 2 = …2 → 2r 2 = … → r 2 = …

r

30 cm2

2

Calcula el área de los siguientes cuadrados: a)

D

17 cm

B

A

1,6 m

D

21 dm

4,8 m

3

B

d = a 2 + b 2 + c 2

d

4,8 m

C

C

h = …2 – …2 = f = 8 m La pirámide tiene 8 m de altura.

e) 17 millas, 10 millas, 5 millas

a

h

Calcula los lados iguales de un triángulo isósceles sabiendo que el lado desigual mide 5 m y la altura correspondiente, 6 m.

11

Calcula la medida del lado de un rombo cuyas diagonales miden 1 dm y 2,4 dm.

12

Halla la altura de un triángulo equilátero de 40 cm de lado. Aproxima hasta los milímetros.

13

Halla la apotema de un hexágono regular de 20 cm de lado. (Recuerda que, en el hexágono regular, el lado mide lo mismo que el radio.)

14

Un pentágono regular de 11,7 cm de lado está inscrito en una circunferencia de 10 cm de radio. Calcula su apotema.

15

Una recta pasa a 10 cm del centro de una circunferencia de 15 cm de radio. Halla, aproximando hasta las décimas, la longitud de la cuerda que se genera.

16

¿A qué distancia del centro de una circunferencia de 8 cm de radio debe pasar una recta para que la cuerda mida 8 cm?

17

Calcula la diagonal de un cubo de 20 cm de arista.

Aproxima hasta los milímetros.

18

Halla la diagonal de un ortoedro cuyas dimensiones son 3 cm, 4 cm y 12 cm.

19

Desde un punto P exterior a una circunferencia de radio 10 m se traza un segmento tangente de 24 m. ¿A qué distancia está P del centro de la circunferencia?

f ) 21 mm, 42 mm, 21 mm g) 18 cm, 80 cm 82 cm

15 m

a

h

30 m

4

Calcula el lado desconocido en cada triángulo rectángulo:

5

Calcula el lado desconocido en cada triángulo aproximando hasta las décimas:

30 m

a)

b) 65 mm

16 mm

15 m

Para practicar

20 m

4 En una circunferencia de radio 9,7 m, se traza una

cuerda de 13 m. ¿A qué distancia de la cuerda se encuentra el centro de la circunferencia?

a)

5 Un pentágono regular está inscrito en una circunferencia

de radio 1 m. Su perímetro es 5,85 m. Calcula su área.

b) 12 cm

lado. (Recuerda que, en un hexágono regular, el lado mide igual que el radio.)

Los lados paralelos de un trapecio rectángulo miden 13 dm y 19 dm, y el lado oblicuo mide 10 dm.

Calcula la altura.

c) 23 dm, 30 dm, 21 dm d) 15 km, 20 km, 25 km

do de 30 m de lado y cuya cara lateral tiene un área de 255 m2.

Primero hallamos la altura, a, de la cara lateral.

255 = 30 · a → 510 = 30a → a = … m 2 La altura de la cara lateral es la hipotenusa del triángulo que aparece a la derecha:

cuyas bases miden 3,2 m y 6,4 m, y su altura, 6,3 m.

12 dm

Di si cada uno de los siguientes triángulos es rectángulo, acutángulo u obtusángulo. b) 35 m, 12 m, 37 m

A

2m

13 Calcula la altura, h, de una pirámide cuadrangular regular cuya base es un cuadra-

3 Calcula el área de un hexágono regular de 18 cm de

Halla la diagonal de un cuadrado cuyo perímetro mide 28 dam.

9

a) 15 cm, 10 cm, 11 cm

1,2 m A

1,6 m

6 Halla la longitud de la diagonal de un ortoedro cuyas

c) 16 m

dimensiones son 8 dm, 6 dm y 14 dm.

32 mm

17 m

28 mm

d = 1, 2 2 + 1, 6 2 + 4, 8 2 = f = 5,2 m

perímetro.

8

10

1,2 m

Atendiendo al triángulo rojo: d = … 2 + 4, 8 2 = … m La diagonal del ortoedro mide 5,2 m.

Observa que se puede hallar directamente: En general, en un ortoedro de dimensiones a × b × c la diagonal es:

2 Halla el área y el perímetro de un trapecio isósceles

Calcula el perímetro de un rectángulo cuya diagonal mide 5,8 cm, y uno de los lados, 4 cm.

b)

4 cm

C

Atendiendo al triángulo azul: AC = 1, 2 2 + … 2 = … m

1 Halla el área de un triángulo equilátero de 54 cm de

7

r

r = f = 7,07 cm 12 Halla la diagonal de un ortoedro de dimensiones 1,2 m; 1,6 m y 4,8 m.

12 cm

Ejercicios y problemas

Todos los tratados en la unidad excepto CE.1.11. (EA.1.11.3. - EA.1.11.4.)

1 cm

b)

r 2 = OP 2 – PT 2 = …2 – …2 = …

Acírculo = πr 2 = … · … ≈ 643,7 cm2 11 Calcula el radio de la circunferencia circunscrita a un cuadrado de 10 cm de lado.

Halla el perímetro de la siguiente figura:

Calcula el área del cuadrado verde en cada uno de los siguientes casos:

Teorema de Pitágoras 1 a) 44 cm2 b) 15 m2 2

a) 273 cm2

b) 585 dm2

3

a) Obtusángulo d) Rectángulo g) Rectángulo

b) Rectángulo e) Obtusángulo

4

a) 25 m

b) 63 mm

5

a) 17 cm

b) 5,7 m

6

P = 16,8 cm

7

P = 16,4 cm

8

La diagonal mide 9,9 dam.

9

La altura mide 8 dm.

anayaeducacion.es GeoGebra. Calcula áreas aplicando el teorema de Pitágoras.

187

186

Evaluación anayaeducacion.es En «Mis recursos en la web» dispone de documentación para la elaboración de un portfolio.

Unidad 9

Ejercicios y problemas 30

El tronco de un árbol seco de 20 m está en el centro de un parque circular. Debemos cortarlo para poner columpios, pero no queremos que al partirse se salga del recinto del parque. Para ello, lo hemos cortado a un cuarto de su altura y así cae justo en el borde del recinto. ¿Cuántos metros mide el diámetro del parque?

34

Calcula la longitud del mayor listón que cabe en cada una de estas cajas: 5 cm

4m

35

32 cm

36

30 cm

33

En una torre con forma de prisma de 36 m de altura cuya base es un rectángulo de 40 m de largo y 12 m de ancho, hay una escalera por el exterior. Hay cuatro tramos de escalera, uno por cada cara lateral. En todos ellos se asciende la misma altura (h).

l

37

r

40 m

h

10

x A

x

x E

x dm

k C

24

40 m

D

B k C

D

dm

h 12 m

12

B

36 m

h

x

30 cm

l = 40 : 2 = 20 cm

k x E x

40 cm

h = 20 2 – 10 2 =

l

= 300 = 17,3 cm

A m 10 10

30

A

42

m = 1200 =

Si vuelas en un avión a 10 000 m de altura, ¿a qué distancia se encuentra el punto más alejado que puedes ver en el horizonte?

= 34,64 cm

Radio de la Tierra: 6 371 km

m 2 = 402 – 202 →

20

B

l /2

A = 3 . l $ h = 3 . 20 $ 17, 3 = 519 cm2 2 2 Resolución de David

B

C

La longitud del lado del pentágono exterior es 2,4 veces la del interior y la distancia entre los vértices A y B (observa el gráfico) es de 148,51 m. ¿Qué superficie tiene su planta?

h

20

h l

A

10

El edificio El Pentágono, en Washington (Estados Unidos), es un pentágono regular de 300 m de lado.

La apotema de su patio interior, también pentagonal regular, mide 86 m.

h = 400 – 100 = 17,32 cm A = 30 · 17,32 = 519,6 cm2

l

Piensa en una esfera de 12 dm de radio. Si dentro construimos el mayor cubo que sea posible, ¿cuánto medirá la arista de ese cubo?

r

h

40 m

20 20

h

40 cm

38

41

Resolución de Celia

h 12 m

Imagina que es un recortable de cartón y que lo extiendes.

(El tamaño de los escalones es ficticio).

12 m

60º 10

6 cm

= 300 = 17,3 cm

20 20

6 cm

h = 20 2 – 10 2 =

l l

(40 + 20) $ 17, 3 = 519 cm2 2 Resolución de Bruno

l

Sabiendo que cada metro de escalera tiene 3 escalones, ¿cuántos escalones hay en cada tramo? ¿Cuántos escalones hay en total?

La altura mide 34,6 cm.

13

ap = 17,3 cm

14

ap = 8,1 cm

15

La longitud de la cuerda es 22,4 cm.

16

Debe pasar a 7 cm.

17

La diagonal mide 34,6 cm.

18

La diagonal mide 13 cm.

19

Está a una distancia de 26 cm.

20 a)

x = 30,8 m c) x = 26 cm

b) x = 24 cm d) x = 16 m

6m

d)

l = 40 : 2 = 20 cm

l /2

10 cm

r

h

12

b) 6m

c)

A=

Calcula el radio de la circunferencia que se obtiene al cortar una esfera de 40 cm de diámetro por un plano que pasa a 10 cm del centro.

El lado mide 1,3 dm.

l

l

h

l /2

Una operaria de la compañía eléctrica apoya su escalera de 6,5 m de largo en una pared a una altura de 6 m. Después de arreglar la avería, sin mover la base de la escalera, apoya esta en la pared de enfrente a una altura de 5,2 m. ¿A qué distancia se encuentran las paredes?

11

B

A = d 34, 64 $ 20 : 2n · 3 = 519,6 cm2 2

190 190

191

Aprendizaje cooperativo Técnica: Cabezas pensantes.

Pedir al alumnado que, en pequeños grupos, se expliquen de manera mutua cómo creen que hay que resolver el problema. Una vez que quede claro el objetivo, decirles que lo resuelvan de manera individual.

Si surge alguna duda, se repetirá el procedimiento expuesto.

Cada proceso de repetición hay que vivirlo como una nueva oportunidad de aprendizaje.

Áreas y perímetros utilizando el teorema de Pitágoras 21 a) A = 312,5 mm2; P = 85,4 mm b) A = 12 dm2; P = 14,8 dm c) A = 211,2 cm2; P = 58,4 cm d) A = 43,5 m2; P = 30 m e) A = 10,2 km2; P = 12 km 22

a) A = 318 cm2; P = 86 cm b) A = 132 m2; P = 56 m c) A = 66 dm2; P = 37,21 dm d) A = 49 m2; P = 34 m

23

Ejercicio resuelto.

24 a)

A = 50 m2; P = 68,28 m b) A = 28,5 cm2; P = 59,7 cm c) A = 103,5 m2; P = 46,34 m

25

Ejercicio resuelto.

26

La altura mide 12 mm, y el lado que falta, 16 mm. El triángulo es rectángulo.

27

La altura mide 15 m, y el lado que falta, 36 m. El triángulo es obtusángulo.

Resuelve problemas 28 Golpea el edificio a una altura de 10,5 m.

29 14

c) 15,5 mm

40 cm

Resolución de Alba l

0,6 m

Los lados miden 6,5 m.

Hemos cortado cuatro cubos de poliespán como se muestra en las siguientes figuras. Halla el área y el perímetro de estos polígonos. a)

l

cm

Este bote de pintura está lleno en sus tres cuartas partes. En su interior se ha caído un pincel de 40 cm de largo. ¿Crees que el pincel se habrá sumergido completamente en la pintura?

5 cm

5 cm

Julián quiere guardar una plancha metálica de 20 cm × 62 cm en una caja como la siguiente. Comprueba si puede hacerlo.

15

32

40

Explica lo que ha hecho cada uno para resolver el siguiente problema.

Calcula el área de esta figura.

2 dm

Indica si una varilla de 65 cm de longitud cabe en un cilindro de 63 cm de altura y 8 cm de radio de la base.

Problemas «+»

39

l 4m

d

31

Interpreta, describe, exprésate

10

c) Acutángulo f ) Obtusángulo

La piñata está a 3 metros del suelo.

Unidad 9

Ejercicios y problemas 30

34

El tronco de un árbol seco de 20 m está en el centro de un parque circular. Debemos cortarlo para poner columpios, pero no queremos que al partirse se salga del recinto del parque. Para ello, lo hemos cortado a un cuarto de su altura y así cae justo en el borde del recinto. ¿Cuántos metros mide el diámetro del parque?

Calcula la longitud del mayor listón que cabe en cada una de estas cajas: 5 cm

4m

35

Indica si una varilla de 65 cm de longitud cabe en un cilindro de 63 cm de altura y 8 cm de radio de la base.

5 cm

5 cm

Este bote de pintura está lleno en sus tres cuartas partes. En su interior se ha caído un pincel de 40 cm de largo. ¿Crees que el pincel se habrá sumergido completamente en la pintura?

l

cm

Calcula el radio de la circunferencia que se obtiene al cortar una esfera de 40 cm de diámetro por un plano que pasa a 10 cm del centro. r

Imagina que es un recortable de cartón y que lo extiendes.

(El tamaño de los escalones es ficticio).

A

x

x

dm

C

24

k

40 m

x E

D

B k

D

dm

h 12 m

x

12

40 m

B

36 m

h 12 m

A

r

h

31

Cabe justo.

32

El pincel no se habrá sumergido completamente.

33

Hay 336 escalones para subir a la torre.

A

A

42

m = 1200 =

Si vuelas en un avión a 10 000 m de altura, ¿a qué distancia se encuentra el punto más alejado que puedes ver en el horizonte?

= 34,64 cm

Radio de la Tierra: 6 371 km

m 2 = 402 – 202 →

20

m 10

10

medida es 8,6 cm.

B

l /2

Resolución de David

B

k x E x C

h = 20 2 – 10 2 = = 300 = 17,3 cm

40 cm

A = 3 . l $ h = 3 . 20 $ 17, 3 = 519 cm2 2 2

B

30

A = d 34, 64 $ 20 : 2n · 3 = 519,6 cm2 2

C

diámetro del parque mide 28,3 m.

34 En la caja cilíndrica, la longitud del mayor listón que cabe es 5,6 m. En la caja cúbica la

l = 40 : 2 = 20 cm l

h l

x

h

La longitud del lado del pentágono exterior es 2,4 veces la del interior y la distancia entre los vértices A y B (observa el gráfico) es de 148,51 m. ¿Qué superficie tiene su planta?

30 cm

l l

Piensa en una esfera de 12 dm de radio. Si dentro construimos el mayor cubo que sea posible, ¿cuánto medirá la arista de ese cubo?

10

h

20

Resolución de Celia

40 cm

38

El edificio El Pentágono, en Washington (Estados Unidos), es un pentágono regular de 300 m de lado.

La apotema de su patio interior, también pentagonal regular, mide 86 m.

h = 400 – 100 = 17,32 cm A = 30 · 17,32 = 519,6 cm2

h 12 m

Sabiendo que cada metro de escalera tiene 3 escalones, ¿cuántos escalones hay en cada tramo? ¿Cuántos escalones hay en total?

41

20 20

10

10 cm

r

h

20 h

60º 10

6 cm

= 300 = 17,3 cm l

(40 + 20) $ 17, 3 = 519 cm2 2

Resolución de Bruno 20

d) 6 cm

h = 20 2 – 10 2 =

l

l /2

A=

37

30 cm

En una torre con forma de prisma de 36 m de altura cuya base es un rectángulo de 40 m de largo y 12 m de ancho, hay una escalera por el exterior. Hay cuatro tramos de escalera, uno por cada cara lateral. En todos ellos se asciende la misma altura (h).

40 m

c) l = 40 : 2 = 20 cm

l

h

l /2

Una operaria de la compañía eléctrica apoya su escalera de 6,5 m de largo en una pared a una altura de 6 m. Después de arreglar la avería, sin mover la base de la escalera, apoya esta en la pared de enfrente a una altura de 5,2 m. ¿A qué distancia se encuentran las paredes?

6m

l

30 El

40 cm

Resolución de Alba

15

0,6 m

36

b) 6m

l

Julián quiere guardar una plancha metálica de 20 cm × 62 cm en una caja como la siguiente. Comprueba si puede hacerlo.

Hemos cortado cuatro cubos de poliespán como se muestra en las siguientes figuras. Halla el área y el perímetro de estos polígonos. a)

l

32 cm

33

40

Explica lo que ha hecho cada uno para resolver el siguiente problema.

Calcula el área de esta figura.

2 dm

32

Problemas «+»

39

l 4m

d

31

Interpreta, describe, exprésate

190 190

35

La plancha metálica no cabe en la caja.

36

Hay 6,4 m de distancia entre ambas paredes.

37

r = 17,3 cm

38

La arista del cubo medirá 13,86 dm.

191

Plan Lingüístico Destreza: Comprensión escrita (texto discontinuo).

En la actividad 39, animar al alumnado para que explique las distintas resoluciones y así evaluar su comprensión escrita.

Cultura emprendedora Asunción de riesgos (dimensión productiva): Acciones en las cuales existe la posibilidad de fracaso.

Este hecho conduce a un proceso de análisis antes de la toma de decisiones. En el caso de producirse un fracaso, saber minimizar su impacto e integrarlo como un aprendizaje es fundamental.

Interpreta, describe, exprésate 39 Alba ha resuelto el problema buscando el área con la fórmula del trapecio, buscando las medidas de su base mayor, menor y su altura.

Bruno ha resuelto el problema transformando el trapecio en un rectángulo y calculando su área a partir de la base y la altura.

Celia ha resuelto el problema dividiendo el trapecio en 3 triángulos y sumando sus áreas.

David ha resuelto el problema dibujando un triángulo rectángulo y encontrando sus medidas, y descomponiendo el área total en 3 triángulos iguales.

Problemas «+» 40 Triángulo: A = 31,45 m2; P = 25,5 m Rectángulo: A = 51 m2; P = 29 m Rombo: A = 44,2 cm2; P = 26,8 cm Trapecio: A = 40 cm2; P = 26,1 cm 41

La planta tiene una superficie de 127 625 m2.

42 El

Unidad 9

áticas

Taller de matem LEE E INFÓRMATE

ENTRÉNATE RESOLVIENDO OTROS PROBLEMAS

Pitágoras

Recurre al álgebra

De Pitágoras (siglo v a. C.) se sabe que fue matemático y filósofo. Pero no son muy conocidas sus contribuciones a la astronomía:

Escribe un número cualquiera de dos cifras y después otro con las mismas cifras, cambiadas de orden. Resta ambos números. ¿Puedes explicar por qué la diferencia es siempre múltiplo de 9?

— Y también se adelantó a los suyos al describir que varias estrellas, a las que se llamó estrellas errantes, no participaban del movimiento uniforme de las demás. Precisamente errante, en griego, se pronuncia planeta. Y así, planeta se acabó llamando a esos objetos celestes que se mueven en el firmamento de forma errática. Actualmente sabemos que los planetas no tienen nada que ver con las estrellas. De ahí su anómalo movimiento aparente.

INVESTIGA

• Aquí puedes ver doce fichas colocadas en tres filas de cuatro. Colócalas ahora de forma que haya seis filas de cuatro.

anayaeducacion.es Resolución de estos ejercicios y una autoevaluación interactiva.

a)

b) x

72 mm

21 mm

figuras: a)

Es un triángulo rectángulo. El ángulo recto está en el vértice donde confluyen los lados de longitudes 3 y 4.

b)

23 ,4

c)

y

30 m

dm

40 dm

24 cm

d)

30 m

c)

d) 31

Cada año, después de las inundaciones del Nilo, debían construir las lindes entre los campos anegados.

m

l Recuerda que en anayaeducacion.es puedes encontrar orientación académica y profesional relacionada con los contenidos de esta unidad.

40 cm 25 cm

a

4 La plaza de un pueblo tiene la forma y las dimensiones

que aparecen en el dibujo. Los ángulos señalados son todos ellos de 45°. Calcula el área y el perímetro de la plaza.

40 cm

12 m

f)

8,66 m

e)

Compromiso

d

4 cm

6m

Los técnicos encargados de hacerlo se valían del método descrito anteriormente.

192

26 cm

z

26 m

4 cm

Un poco de historia Hace más de 3 000 años, los egipcios utilizaban este procedimiento para trazar ángulos rectos.

Pitágoras

Informa de algunas contribuciones a la ciencia y a la astronomía del gran Pitágoras, que no solo ha de ser conocido por el teorema que lleva su nombre.

3 Calcula las áreas y los perímetros de estas figuras:

2 Calcula el segmento desconocido en cada una de estas

16 m

Con unas estacas, tensa la cuerda, de modo que se forme un triángulo de lados 3, 4 y 5 tramos.

b) 5 m, 6 m, 10 m d) 7 dm, 7 dm, 7 dm

10 mm

Coge una cuerda y, mediante nudos, señala 12 tramos iguales.

tángulo u obtusángulo. a) 20 cm, 24 cm, 30 cm c) 10 mm, 24 mm, 26 mm

8m

¿Cómo trazamos las líneas rectas? Nada mejor que una cuerda tensa. ¿Y cómo se consigue el ángulo recto de las esquinas?

Lee e infórmate

• ¡Medio en broma, medio en serio!

Aquí puedes ver cuatro palillos formando una cruz.

Moviendo solo uno, ¿podrías formar un cuadrado?

AUTOEVALUACIÓN

Queremos dibujar un campo de vóley playa.

Taller de Matemáticas Todos los tratados en la unidad.

?

Imagina en el espacio

1 Clasifica los siguientes triángulos en rectángulo, acu-

¿Cómo construir un campo de vóley playa?

x y – y x

cm

— También fue el primero en establecer que la órbita de la Luna no está en el plano del ecuador terrestre sino que forma un cierto ángulo con ese plano.

¿

34

— Fue el primer griego que reconoció que el lucero del alba y el del anochecer eran la misma estrella. Ahora sabemos que es un planeta, Venus.

x y → 10x + y y x → 10y + x

punto más alejado se encuentra a 9 017 km.

Investiga

4m 10 m

Visualiza el vídeo meta 7.2., piensa en una acción con la que podrías contribuir al logro de esa meta y comprométete a llevarla a cabo.

26 m

193

Desarrollo del pensamiento Técnica: Pienso, me interesa, investigo.

Esta técnica facilita al alumnado conectar con sus conocimientos previos, a desarrollar su curiosidad y favorece la investigación sobre las inquietudes que tengan.

Orientación académico-profesional Actividad de orientación académico-profesional en la web.

¿Cómo construir un campo de vóley playa?

Se propone una actividad que se puede realizar al aire libre, en cualquier terreno llano y que, además de la ventaja motivadora de lo manipulativo, tiene por objetivos: ——Aportar información histórica: ya la utilizaban los constructores en el antiguo Egipto.

——Reforzar y dar significado a las ternas pitagóricas.

También se podría construir, sobre papel o corcho y con ayuda de un cordón y varios alfileres o chinchetas, esta «escuadra egipcia». Y así enriquecer la actividad utilizando otras ternas pitagóricas, diferentes de 3, 4, 5; como método para trazar ángulos rectos.

15

Unidad 9

áticas

Taller de matem LEE E INFÓRMATE

Recurre al álgebra

De Pitágoras (siglo v a. C.) se sabe que fue matemático y filósofo. Pero no son muy conocidas sus contribuciones a la astronomía:

Escribe un número cualquiera de dos cifras y después otro con las mismas cifras, cambiadas de orden. Resta ambos números. ¿Puedes explicar por qué la diferencia es siempre múltiplo de 9?

— Y también se adelantó a los suyos al describir que varias estrellas, a las que se llamó estrellas errantes, no participaban del movimiento uniforme de las demás. Precisamente errante, en griego, se pronuncia planeta. Y así, planeta se acabó llamando a esos objetos celestes que se mueven en el firmamento de forma errática. Actualmente sabemos que los planetas no tienen nada que ver con las estrellas. De ahí su anómalo movimiento aparente.

INVESTIGA

• Aquí puedes ver doce fichas colocadas en tres filas de cuatro. Colócalas ahora de forma que haya seis filas de cuatro.

AUTOEVALUACIÓN b) 5 m, 6 m, 10 m d) 7 dm, 7 dm, 7 dm

3 Calcula las áreas y los perímetros de estas figuras:

a)

2 Calcula el segmento desconocido en cada una de estas

b)

Es un triángulo rectángulo. El ángulo recto está en el vértice donde confluyen los lados de longitudes 3 y 4.

x

72 mm

21 mm

figuras: a) 16 m

Con unas estacas, tensa la cuerda, de modo que se forme un triángulo de lados 3, 4 y 5 tramos.

tángulo u obtusángulo. a) 20 cm, 24 cm, 30 cm c) 10 mm, 24 mm, 26 mm

b) 10 mm

¿Y cómo se consigue el ángulo recto de las esquinas?

Coge una cuerda y, mediante nudos, señala 12 tramos iguales.

Recurre al álgebra

?

23 ,4

c)

y

8m

¿Cómo trazamos las líneas rectas? Nada mejor que una cuerda tensa.

x y – y x

• ¡Medio en broma, medio en serio!

Aquí puedes ver cuatro palillos formando una cruz.

Moviendo solo uno, ¿podrías formar un cuadrado?

anayaeducacion.es Resolución de estos ejercicios y una autoevaluación interactiva.

1 Clasifica los siguientes triángulos en rectángulo, acu-

¿Cómo construir un campo de vóley playa?

Queremos dibujar un campo de vóley playa.

¿

Imagina en el espacio

30 m

dm

40 dm

24 cm

d) cm

— También fue el primero en establecer que la órbita de la Luna no está en el plano del ecuador terrestre sino que forma un cierto ángulo con ese plano.

x y → 10x + y y x → 10y + x

34

— Fue el primer griego que reconoció que el lucero del alba y el del anochecer eran la misma estrella. Ahora sabemos que es un planeta, Venus.

30 m

c)

d) 31

Cada año, después de las inundaciones del Nilo, debían construir las lindes entre los campos anegados.

m

26 cm

z

que aparecen en el dibujo. Los ángulos señalados son todos ellos de 45°. Calcula el área y el perímetro de la plaza.

12 m

Compromiso

d

4 cm

6m

l Recuerda que en anayaeducacion.es puedes encontrar orientación académica y profesional relacionada con los contenidos de esta unidad.

4 La plaza de un pueblo tiene la forma y las dimensiones

f)

8,66 m

e)

25 cm

a 40 cm

26 m

Los técnicos encargados de hacerlo se valían del método descrito anteriormente.

Esta actividad muestra al alumnado una utilidad del álgebra como lenguaje práctico y potente para economizar la expresión de procesos que sería mucho más farragosa con el lenguaje ordinario.

(10x + y) – (10y + x) = 9x – 9y = 9(x – y) → Múltiplo de 9

40 cm

4 cm

Un poco de historia Hace más de 3 000 años, los egipcios utilizaban este procedimiento para trazar ángulos rectos.

192

Entrénate resolviendo otros problemas

ENTRÉNATE RESOLVIENDO OTROS PROBLEMAS

Pitágoras

4m 10 m

Visualiza el vídeo meta 7.2., piensa en una acción con la que podrías contribuir al logro de esa meta y comprométete a llevarla a cabo.

26 m

193

TIC anayaeducacion.es Soluciones de la autoevaluación y una autoevaluación interactiva.

Imagina en el espacio

Estas propuestas no dejan de tener interés, pues suele gustar a los alumnos y las alumnas, y puede servir como final relajante, tras una sesión intensa de clase.

• •

Compromiso ODS Visualizar el vídeo meta 7.2.

Abrir un debate en clase sobre acciones que se pueden llevar a cabo para aumentar considerablemente la proporción de energía renovable en el conjunto de fuentes energéticas.

Es el «cuadrado» de 2.

Autoevaluación 1 a) Acutángulo c) Rectángulo

b) Obtusángulo d) Acutángulo

2

a) x = 34 m c) z = 16,88 m e) l = 10 m

b) y = 75 mm d) a = 24 cm f ) d = 8,25 cm

3

a) A = 57,5 mm2; P = 34,5 mm b) A = 240 m2; P = 68 m c) A = 947,7 dm2; P = 117 dm d) A = 1 920 cm2; P = 128 cm

4 A

16

= 445,1 m2; P = 85,6 m

ANOTACIONES

17

Estándares de aprendizaje y criterios de evaluación currÍculo de andalucía

Unidad 9

20

21

© GRUPO ANAYA, S.A., 2021 - C/ Juan Ignacio Luca de Tena, 15 - 28027 Madrid.

Reservados todos los derechos. El contenido de esta obra está protegido por la Ley, que establece penas de prisión y/o multas, además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios, para quienes reprodujeren, plagiaren, distribuyeren o comunicaren públicamente, en todo o en parte, una obra literaria, artística o científica, o su transformación, interpretación o ejecución artística fijada en cualquier tipo de soporte o comunicada a través de cualquier medio, sin la preceptiva autorización.