UNIDAD # 4

UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE FILOSOFÍA NIVELACIÓN 2018-2019 ASIGNATURA: MATEMÁTICA DOCENTE: ING.ARNALDO MALDONADO TALLER GRUPAL INTEGRANTES: PARALELO: FFC-N-04-MA-12  KATHERINE LINO  GENESIS MULLO  HELEN PARRALES  CATHERINE INTRIAGO  MELANIE ORTEGA  YAHIRIS VARGAS  THALIA MERINO  FAVIANA MACIAS  MARIA BELEN SUAREZ

ECUACIONES………………………………………………………………………………………1

SISTEMA DE ECUACIONES…………………………………………………………………..9

ECUACIONES CUADRÁTICAS………………………………………………………………13

DESIGUALDADES……………………………………………………………………………….22

INTERVALOS………………………………………………………………………………………23

INECUACIONES………………………………………………………………………………….25

BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………………………30

Constituye una igualdad donde aparece como mínimo una incógnita que exige ser develada por quien resuelve el ejercicio.

Se conoce como miembros a cada una de las expresiones algebraicas que permiten conocer los datos (es decir, los valores ya conocidos) y las incógnitas (los valores que no se han descubierto) vinculados a través de diversas operaciones matemáticas.

Cabe resaltar que los datos incluidos en una ecuación pueden ser números, constantes, coeficientes o variables. Las incógnitas, por su parte, están representadas por letras que sustituyen al valor que se intenta hallar.

Partes de una ecuación:

5+x = 3-4x ———-——————

1er Miembro.

2do Miembro.

Ejemplo: Ecuación sencilla

4+x=9

En dicha ecuación, 4 y 9 son los datos, mientras que x es la incógnita. La ecuación puede resolverse de la siguiente forma: 1

4+x=9 x=9–4 x=5 Por lo tanto el valor de la incógnita, es 5.

Ecuación de primer grado Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.

Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).

Pasos para resolver una ecuación de primer grado.

1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.

2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.

3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

2

4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

Ecuación de primer Grado con una incógnita Aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuación 2x – 3 = 53

Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).

Entonces hacemos:

2x – 3 + 3 = 53 + 3

En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:

2x = 53 + 3 2x = 56

Luego pasamos el dos a dividir y nos quedara asi:

x= x = 28 Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.

3

Ecuación de segundo grado y una incógnita Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita , que suele ser la x .

Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.

Ese valor es la solución de la ecuación.

Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0

El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación.

Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).

Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:

+ bx + c = 0

Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.

4

Ejemplo #1 3(x+1)−2x=x−(2+3(3−x)) Solución En esta ecuación tenemos paréntesis anidados (uno dentro de otro).

Vamos primero a quitar el pequeño (el de dentro). Éste está multiplicado por 3. Para quitar el paréntesis, tenemos que multiplicar por 3 todos los sumandos de dentro: 3(x+1) −2x = x − (2+3⋅3−3x) 3(x+1) −2x = x − (2+9−3x) 3(x+1) −2x = x − (11−3x) El interior del paréntesis ya no se puede simplificar más. Como tiene un signo negativo dentro, cambiamos el signo de los sumandos de dentro: 3(x+1) − 2x = x −11+3x 3(x+1) − 2x = −11+4x El paréntesis del lado izquierdo está multiplicado por 3. Para quitarlo, multiplicamos todos los sumandos de dentro por 3: 3x+3−2x=−11+4x Ahora sólo tenemos que agrupar los monomios según su parte literal: X + 3 =−11+4x x= −3−11+4x x= −14+4x x−4x= −14 −3x= −14 Para despejar la x tenemos que pasar el -3 dividiendo: x=−14−3 5

Como el signo del numerador y del denominador es negativo, desaparecen: x=143 Ya no podemos simplificar más la expresión de la solución ya que 14 no es divisible por 3, es decir, el máximo común divisor de 14 y 3 es 1.

Ejemplo #2 1−2 (1+3x−2(x+2)+3x)=−1 Solución Tenemos paréntesis anidados (uno dentro de otro) y signos negativos delante de ellos.

Antes de trabajar con los paréntesis, podemos sumar los términos 3x y 3x del paréntesis exterior ya que se encuentran en el mismo nivel (no forman parte de paréntesis distintos): 1−2 (1+6x−2(x+2))=−1 Como el paréntesis interno está multiplicado por -2, multiplicamos por -2 sus sumandos para poder quitarlo: 1−2 (1+6x−2x−4)=−1 1−2 (6x−2x−3)=−1 1−2 (4x−3)=−1 Procedemos de igual modo que en el paréntesis anterior: 1−8x+6= −1 −8x+7= −1 −8x= −8 x= −8−8 x=1

6

Ejemplo #3 3(x - 5) = 2(x + 2) 3x - 15 = 2x + 4 3x + -15= 2x + 4 3x - 2x = 4 + 15 x = 19

Ejemplo #4

ejemplo #1

Ejemplo #2

7

Ejemplo #3

8

En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos menores a la constante (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.

SISTEMA GENERAL La forma genérica de un sistema de

Donde

ecuaciones algebraicas e

incógnitas es la siguiente:

son funciones de las incógnitas. La solución, perteneciente al espacio

euclídeo ,

será tal que el resultado de evaluar cualquier expresión con los valores de dicha

solución, verifique la ecuación.

Un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales es el llamado método de reducción, que consiste en simplificar el sistema realizando operaciones aritméticas entre las ecuaciones. 

Ejemplo

9

Si a la segunda ecuación se le suma la primera se anula la , con lo que enseguida podemos conocer el valor de . Se podría expresar la operación de la siguiente forma:

La ecuación resultante es equivalente a la segunda, intercambiarse en el sistema inicial:

por lo que puede

De esta nueva segunda ecuación se deduce inmediatamente que:

Con una de las incógnitas resueltas ya sólo hay que sustituir su valor en la primera ecuación para conocer:

De modo que la solución al sistema es: Para comprobar que los cálculos son correctos se pueden sustituir los valores en cada una de las ecuaciones y ver que, efectivamente, se cumplen las igualdades.

A veces será necesario multiplicar o dividir toda una ecuación por un determinado número para conseguir anular una de las incógnitas de una ecuación.



Ejemplo 2

10

Se podría multiplicar la segunda ecuación por y sumarla a la primera, con lo que se conseguiría eliminar, o dividir la primera ecuación entre para luego sumarla a la segunda. Mejor esta última opción, puesto que se eliminan los denominadores

La ecuación resultante es equivalente a la primera, así que se pueden intercambiar en el sistema:

La suma de ambas ecuaciones permite conocer el valor de y directamente:

Ahora se puede sustituir este valor en la primera ecuación para hallar el de

Luego, la solución al sistema es

El método de reducción o de eliminación consiste en realizar operaciones aritméticas entre ecuaciones para conseguir ecuaciones equivalentes con menos incógnitas, más fáciles de despejar y calcular. Cabe recordar que si se suman, restan, multiplican o dividen todos los términos de una ecuación con un mismo número (distinto de 0) se obtiene una ecuación equivalente.

11

4x-2y =5 →Lo multiplicamos por 3 6x+3y= 4 →Lo multiplicamos por 2 12x-y=15 12x+y= 8 24x =23 đ?&#x;?đ?&#x;‘

x=đ?&#x;?đ?&#x;’

Reemplazamos X en primera ecuaciĂłn

( )

â „

https://www.youtub e.com/watch?v=lTRA https://www.youtube.com/watch?v=lTRANviJWEY NviJWEY 12

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c = 0 Donde a, b, y c son números reales.

Ejemplo: 9x2 + 6x + 10

a = 9, b = 6, c = 10

3x2 - 9x

a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10

a = -6, b = 0, c = 10

1.

Se hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas de las siguientes formas:

1. Factorización Simple 2. Fórmula Cuadrática

13

Factorización Simple: La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios.

Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación + 2x – 8 = 0

(x

) (x

a=1

)=0

b=2

c=-8

[x ·x = x2]

( x + ) (x - ) = 0

(x + 4 ) (x – 2) = 0

4 y –2

4 + -2 = 2

4 · -2 = -8

x+4=0

x–2=0

x+4=0 x=0–4

x–2=0 x=0+2

x = -4

x=2

Estas son las dos soluciones.

14

Ejemplo: Resuelve por factorización la ecuación 20 x2 – 27 x = 14.

15

Ejemplo:

RetroalimentaciĂłn del conocimiento: Si deseas conocer mĂĄs acerca de cĂłmo resolver ecuaciones cuadrĂĄticas por medio de la factorizaciĂłn puedes acceder al siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=gxzigePy5r8

FĂłrmula CuadrĂĄtica: Este mĂŠtodo es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica a la siguiente fĂłrmula:

x12

đ?‘? √đ?‘?

đ?‘Žđ?‘?

đ?‘Ž

Ejercicios: 

x2 -x -6 (x - 3)(x + 2) √

x12 x12

x12

√ √

x12

= 3

x12 16

x12 

3x2 -5x -1 (x - 3)(x + 2) √

x12 √

x12

x12

√

√

x12

x12



2x2 +4x -16 √

x12 x12

x12

√

√ √

x12

= 2

x12 x12

Análisis discriminante

El tipo de solución de una ecuación cuadrática depende del término

− 4ac, llamado

discriminante. Analizando el discriminante, se tiene las siguientes opciones de solución.

1. Si

− 4ac > 0 se obtienen dos raíces reales diferentes.

2. Si

− 4ac = 0 se obtienen dos raíces reales iguales (una solución).

3. Si

− 4ac < 0 se obtienen dos raíces imaginarias diferentes.

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Se puede mencionar que de este análisis, existente dos tipos de soluciones:

-

Suma de las raíces de una ecuación cuadrática: Fórmula:

-

Producto de las raíces de una ecuación: Fórmula:

Ejemplo: 1. La suma de las dos raíces de una ecuación cuadrática, x1 + x2, es

Demostración:

18

2. El producto de las dos raíces de una ecuación cuadrática, x1 × x2, es

Demostración:

El numerador es una suma por una diferencia. Su resultado es la diferencia de cuadrados:

EJEMPLOS Ejemplo 1: Dada la ecuación 2x2 –3x + k + 2 = 0, determina el valor de k para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto. a=2 b=–3 c=k+2 Formula: -b/a = 3*c/a Sustituyendo los valores -(-3)/2= 3*k+2/2 3=3k+6 (-)-3k=6-3 3k=-6+3 K=-3/3 K=-1

Retroalimentación del conocimiento: Si deseas conocer más acerca de este tema puedes acceder al siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=V25yjfcC5P0

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Problema 1:

En el colegio de Miguel hay un total de 1230 estudiantes (alumnos y alumnas). Si el número de alumnas supera en 150 al número de alumnos, ¿cuántas alumnas hay en total?

Solución La incógnita xx del problema es el número total de alumnas.

Como hay 150 alumnas más que alumnos, el número de alumnos es el número de alumnas menos 150. Es decir, x−150x−150.

El número total de estudiantes es 1230 y es la suma del número de alumnas y de alumnos: x+(x−150)=1230x+(x−150)=1230 Hemos escrito el paréntesis para que se vea claro que es la suma del número de alumnos y del de alumnas.

Resolvemos la ecuación: x+x−150=1230x+x−150=1230 2x−150=12302x−150=1230 2x=1230+1502x=1230+150 2x=13802x=1380 El 2 pasa dividiendo al otro lado: x=13802x=13802 x=690x=690 Por tanto, el número de alumnas es 690.

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Problema 2:

Si la suma de un número xx con su consecutivo es 27, ¿qué número es xx?

Solución Es importante saber que el consecutivo de un número se calcula sumando 1. Por ejemplo, el consecutivo de 2 es 3 (2+1 = 3) y el consecutivo de 100 es 101 (100+1 = 101).

Por tanto, el consecutivo de xx es x+1x+1.

La suma de xx y de x+1x+1 es igual a 27: x+(x+1)=27x+(x+1)=27 Resolvemos: x+x+1=27x+x+1=27 2x+1=272x+1=27 2x=27−12x=27−1 2x=262x=26 x=262x=262 x=13x=13 Por tanto, el número xx del enunciado es 13.

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Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son: ≠ no es igual < menor que > mayor que ≤ menor o igual que ≥ mayor o igual que

1º Todo número positivo es mayor que cero 2º Todo número negativo es menor que cero 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto.

Ejemplo1: 8>0

Ejemplo: –7 < 0

Ejemplo: –1 > –3

Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación.

Por ejemplo: X+3<7

22

  

Es el espacio que existe entre dos extremos de la recta, que está limitado por dos extremos a y b, donde a y b son números reales Geométricamente los intervalos corresponden a segmentos de recta, semirrectas o la misma recta real.

Los intervalos de números correspondientes a segmentos de recta son intervalos finitos (pueden ser cerrados, abiertos o semiabiertos), los intervalos correspondientes a semirrectas y a la recta real son intervalos infinitos.

Nombre del intervalo

Notación conjuntista

Notación de intervalos

Abierto

{x / a < x < b}

(a, b)

Semicerrado a derecha

{x / a < x £ b}

(a, b]

Semicerrado a izquierda

{ x / a £ x < b}

[a, b)

Cerrado

{ x / a £ x £ b}

[a, b]

Infinito abierto a izquierda

{ x / x > a}

(a, +¥ )

Infinito cerrado a izquierda

{ x / x ³ a}

[a, +¥ )

Infinito abierto a derecha

{ x / x < b}

(-¥ , b)

Infinito cerrado a derecha

{ x / x £ b}

(-¥ , b]

Infinito

R

(-¥ , +¥ )

Representación gráfica

Ejemplo de intervalo abierto a) (-3, 4) {x/ -3<x<4}

b) (1,4) {x/1<x<4}

23

Ejemplo de intervalo cerrado:

a) [-1,5]

{x/-1≤x≤5} b) [-2,3]

{x/-2≤x≤3}

Ejemplos de intervalos semiabiertos: a) (0, 5] {x/0<x≤5}

b) [2,5) {x/2≤x<5} Ejemplos de intervalos infinitos: a) [1, +¥ ) {x/x³1} b) (1, +¥) {x/x>1} c)(-¥, 3) {x/x≤3} b)( -¥,-2] {x/x<-2}

Si quieres saber más acerca de intervalos puedes acceder al siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=-tyegH11pyc https://matemovil.com/intervalos-ejercicios-resueltos/

24

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

< menor que

x− 4 < 7

≤

x− 4 ≤ 7

menor o igual que

> mayor que

x− 4 > 7

≥

x− 4 ≥ 7

mayor o igual que

La solución de una inecuación es el conjunto de val ores de la variable que verifica la inecuación .

Podemos expresar la solución de la inecuación mediante:  

representación gráfica.

Un intervalo.

Eje mpl os Eje mpl o 1. Intervalo infinito

25

X≥3

[3, +∞)

{x/x>3}

Eje mpl o 1. Intervalo abierto 2x − 1 < 9 (-∞, 5)

2x < 10 x < 5 (-∞, 5)

{x/x<5}

Eje mpl o 3. Intervalo 5x + 6< 3x – 8 5x-3x < -8-6 2x<-14 X<-14/2

(-∞, -7) 26

X<-7 (-∞, -7)

{x/x<-7}

Inecuaciones de segundo grado Las inecuaciones de segundo grado con una incógnita son cualquier desigualdad que directamente o mediante transformaciones, se pueden expresar de una de las formas siguientes:  ax2+bx+c>0;  ax2+bx+c< 0;  ax2+bx+c ≥0  ax2+bx+c ≤ 0 donde a, b y c son números reales y a es diferente a 0.

Pasos para resolver:

1. Consideremos la inecuación:

x 2 − 6x + 8 > 0

La resol veremos aplicando los siguientes pasos:

1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

x 2 − 6x + 8 = 0

27

2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

P(0) = 0 2 − 6 · 0 + 8 > 0

P(3) = 3 2 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 5 2 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el po linomio.

S = (-∞, 2)

(4, ∞)

Ejemplo 1: 2x2 − x − 3 < 0 2x2 − x − 3 = 0 Factorizar (x + 1)(2x – 3) = 0 x = -1 x= 3/2 Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo: P(-2) = 2(-2)2 − (2) − 3 =; 3 > 0 P(1) = 2(1)2 − (1) − 3 = ; -2 <0 P(0) =2(0)2 − (0) − 3 = ; -3<0 los intervalos que satisface la inecuación.

Solución= (-1, 3/2)

28

Ejemplo 2. x2 > 7x – 10 x2 – 7x + 10 > 0 x2 – 7x + 10 = 0 Obtenemos las raíces de la ecuación factorizando: (x – 2)(x – 5) = 0 x=2 x= 5 Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo: P(1) = (1)2 – 7(1) + 10 =4 > 0 P(3) = (3)2 – 7(3) + 10 = -2 < 0 P(6) =(6)2 – 7(6) + 10 = 4 > 0 los intervalos que satisfacen la inecuación. solución= (-∞, 2) U (5,∞) Ejemplo 3: 4x2 + 12x + 9 ≥ 0 4x2 + 12x + 9 = 0

4x2 + 12x + 9 ≥ 0

⇔

4(x + 3/2)(x + 3/2) = 4(x + 3/2)2 ≥ 0

Estudiamos el signo en los intervalos: (-∞ , -3/2) ,(-3/2 , ∞) • (-∞ , -3/2): x = -2 • (-3/2 , ∞): x = 0

⇒ ⇒

4x2 + 12x + 9 = 4(-2)2 + 12(-2) + 9 = 1 > 0 4x2 + 12x + 9 = 9 > 0

El conjunto de soluciones es:

(-∞ , -3/2)

(-3/2 , ∞)

+

+

(-∞ , - 3/2] ∪ [-3/2 , ∞) = R

Se incluye el valor x = -3/2 , que hace que 4x2 + 12x + 9 = 0.

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 Para más información: http://ecuacionesresueltas.com/primer-grado/nivel-6/50-problemas-resueltos-explicadosecuaciones-primer-grado-calcular-numeros-edades-velocidad-fracciones-porcentajes.html

 ENCUENTRA MÁS PROBLEMAS MATEMÁTICOS CON PROBLEMAS DE ECUACIONES https://www.youtube.com/watch?v=4irb_C8Ho6I https://www.youtube.com/watch?v=EYG1XvNUZF0 https://www.youtube.com/watch?v=1N18S7rqOAo https://www.youtube.com/watch?v=7Kr64OwCpKc https://www.youtube.com/watch?v=pKixJTy2-WE  Para más información: http://matematicatuya.com/DESIGUALDADES/S5.html https://matematicasmodernas.com/inecuaciones-de-segundo-grado/ http://calculo.cc/Problemas/Problemas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/inecuaciones /probl_inec_2grado.html  Para más información: https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_algebraicas https://www.sangakoo.com/es/temas/metodo-de-reduccion

 Para más información: http://ponce.inter.edu/cremc/cuadratica.html https://www.unprofesor.com/matematicas/discriminante-y-numero-de-soluciones-de-lasecuaciones-de-segundo-grado-318.html  Para más información: https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-ecuaciones-ec.html https://www.vadenumeros.es/tercero/ecuaciones-de-primer-grado.htm

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