FUNCIONES

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UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE FILOSOFIA NIVELACIÓN 2018-2019 ASIGNATURA: MATEMÁTICAS DOCENTE: ING.ARNALDO ANDRADE TALLER GRUPAL INTEGRANTES: CATHERINE INTRIAGO KATHERINE LINO FAVIANA MACIAS THALIA MERINO GENESIS MULLO MELANIE ORTEGA HELEN PARRALES MARIA BELEN SUAREZ YAHIRIS VARGAS 2

ÍNDICE

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN ......................................................................................................4 CRITERIO DE LA LÍNEA VERTICAL .....................................................................................4 DOMINIO DE UNA FUNCIÓN..................................................................................................5 RESTRICCIONES .......................................................................................................................6 RESTRICCIONES DEL DOMINIO ........................................................................................6 RANGO DE UNA FUNCIÓN .....................................................................................................7 TIPOS DE FUNCIONES .............................................................................................................7 FUNCIÓN INYECTIVA ........................................................................................................7 FUNCIÓN SOBREYECTIVA .................................................................................................8 FUNCIÓN CRECIENTE .......................................................................................................10 FUNCIÓN DECRECIENTE ..................................................................................................10 FUNCIONES PARES O IMPARES ..........................................................................................11 FUNCIÓN PAR .....................................................................................................................11 FUNCIÓN IMPAR ................................................................................................................12 FUNCIÓN CONSTANTE .....................................................................................................12 FUNCIÓN ACOTADA ..........................................................................................................14 REGLA DE CORRESPONDENCIA DE UNA FUNCIÓN .......................................................17 FUNCIÓN PERIÓDICA ............................................................................................................18 FUNCIÓN DEFINIDA POR PARTES ......................................................................................21 FUNCIÓN LINEAL...................................................................................................................23 FUNCIÓN CUADRÁTICA .......................................................................................................26 EL VÉRTICE .........................................................................................................................27 EL EJE DE SIMETRÍA .........................................................................................................28 INTERCEPCIONES ..............................................................................................................29 DOMINIO Y RANGO ...........................................................................................................29 ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN LINEAL. ..................................................................................30 BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................................................32

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DEFINICIÓN DE FUNCIÓN En

matemática,

una función

(f) es

una relación entre

un

conjunto

dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito). Esto se representa simbólicamente por: f (x): X

Y

A la variable x se le llama variable independiente y a la variable y se le llama variable dependiente.

EJEMPLO: X

Y

X1

𝑌1

X2

𝑌2

X3

𝑌3

CRITERIO DE LA LÍNEA VERTICAL Una prueba de la recta vertical se utiliza para determinar si una relación trazada en un gráfico es una función o no. Para hacer la recta vertical prueba, represente la relación gráficamente, y después mire el gráfico. Se puede colocar donde quiera una recta vertical pero si pasa a través del gráfico más de una vez, la relación no es una función y si pasa solo una vez a través del gráfico, la relación si es función.

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EJEMPLO:

SI ES FUNCIĂ“N

NO ES FUNCIĂ“N

DOMINIO DE UNA FUNCIĂ“N Definimos el dominio de una funciĂłn como el conjunto de valores de las variable independiente para los que se puede calcular el valor de la variable y. El cĂĄlculo del dominio de una funciĂłn es muy importante, porque nos indica dĂłnde tiene sentido dicha funciĂłn.

Cada tipo de funciĂłn tiene un dominio especĂ­fico. AsĂ­, las funciones que provienen de polinomios tienen como dominio todo el conjunto de los nĂşmeros reales.

EJEMPLO:

f(x): 3đ?‘Ľ 8 − đ?‘Ľ 3 + 2 dom f R f(x):

đ?‘Ľ 2

dom f R 5

Restricciones Restricciones del dominio  Si f(x) contiene un coeficiente, este no existe si el denominador se hace 0 por lo que se debe excluir del dominio de la función. Aquellos valores de x que provocan dicha situación  Si f(x) contiene una raíz de índice par, esta existirá solo si el radicando es positivo o cero.

EJEMPLOS:

( )

Restricción de división:

1 2

x-2≠o x≠2 dom f= − *2+ (-∞,2) U (2, +∞)

Restricción de división: g(x)=

+

X+1≥0 X ≥-1 dom f= [-1, +∞)

Retroalimentación del conocimiento: Si deseas conocer más acerca de este tema, puedes consultar el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=fLiwtU-8KN4

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Rango de una función Sea f una función de la variable real f: X→Y, el conjunto de todas las imágenes de los elementos del dominio, constituye el rango de la función. Este conjunto se representa simbólicamente por rg f Procedimiento para determinar el rango:  Despejar algebraicamente la variable x en la función  El rango será el conjunto de valores que puede tomar la variable y, una vez despejada la variable x Determinar el rango de la función de la variable real

f(x)= 2x-3

2x=3+y

y=2x-3

x=

-2=-3-y

rg f=

Retroalimentación del conocimiento:

3

Si deseas conocer más acerca de este tema, puedes consultar el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=NADZ1 qa_zRw

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Tipos de funciones Función inyectiva Es aquella que, a distintos elementos del conjunto inicial (el dominio), le corresponden distintos

elementos

del

conjunto

final

(el

codominio).

Esto quiere decir que cada elemento del codominio tiene no más de una preimagen en el dominio: o, expresado de otra manera, que cada elemento del dominio no puede tener más de una imagen en el codominio.

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Se expresa de la siguiente manera:

f : x -> y.

EJEMPLO:

Determinar si la función f(x) = 3x + 2 es inyectiva:

(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 3x1 + 2 = 3x2 + 2 ⇒ x1 = x2 ✓ .:. f(x) = 3x+ 2 es inyectiva.

Función sobreyectiva Es una relación que existe entre un conjunto dado X también conocido con el nombre de dominio y otro conjunto de elementos Y, que se conoce con el nombre de Codominio, de manera tal que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f (x) del Codominio.

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Cómo saber si es una función sobreyectiva 

Es cuando los elementos que existen dentro del rango, es la imagen, de al menos un elemento del dominio de dicha función.



Otra forma de determinar cuándo una función es sobreyectiva es si todo elemento

del conjunto final Y tiene

por

lo

menos

un

elemento

del conjunto inicial X al que le corresponde. Esto quiere decir que, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es el conjunto final Y.

EJEMPLO:

Sea f una función real:

f: X → Y x → y = f(x) Entonces, f es sobreyectiva inyectiva si:

∀y ∈ Y ∃ x ∈ X : f(x) = y "Para todo y perteneciente a Y (resultados) existe un x perteneciente a X tal que f(x) = y"

La siguiente función es sobreyectiva porque todos los números que se encuentran en el recorrido de la función son números reales:

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FUNCIÓN CRECIENTE    Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1

x2, se verifica que

f( x1 ) < f( x2 ).

Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).

FUNCIÓN DECRECIENTE  Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1

x2, entonces f(x1 )

f(x2 ).

 Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente.

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Funciones Pares o Impares

Algunas funciones pueden ser simétricas respecto a una recta o a un punto. Si la recta a la cual se hace referencia es el eje Y, tenemos funciones pares; mientras que si el punto al cual se hace referencia es el origen de coordenadas, tenemos funciones impares.

Función Par Una función f es par si para todo x en su dominio, el número −x también está en el dominio y además, f (−x) = f (x).

∀x ∈dom f [ f (−x) = f (x)]

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje Y. En las figuras antes presentadas tenemos ejemplos de funciones pares. Observe que en ambos casos f (−x) = f (x).

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Función Impar Una función f es impar si para todo x en su dominio, el número −x también está en el dominio y además, f (−x) = −f (x).

∀x ∈dom f [ f (−x) = −f (x)]

Una función impar es simétrica con respecto al origen de coordenadas. En las figuras anteriores tenemos ejemplos de funciones impares. Observe que en ambos casos f (−x) = −f (x).

Retroalimentación del conocimiento: Consulta el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v= kabnjBXPsWU

Función constante 12

La función constante es aquella en la que para cualquier valor de la variable independiente (x), la variable dependiente ( f(x) ) no cambia, es decir, permanece constante.

Sea f(x) = b el dominio de esta función es el conjunto de todos los reales, y el codominio es únicamente el real b. En estas funciones, cada vez que se incrementa x en una unidad, su resultado no aumenta. La función constante se define mediante la expresión f(x) = k, en donde k es un número real diferente de cero. La función constante tiene la propiedad de que a cada argumento x del dominio le hace corresponder la misma imagen k.

Una función constante f(x) = b: 

tiene el mismo valor de y = f(x) para cualquier valor de x,



tiene como gráfica una línea horizontal,



nunca cruza el eje x, excepto cuando f(x) = 0,



cruza una sola vez el eje y en el punto (0, b),



es aquella en que el exponente máximo de la x es cero.

EJEMPLO 1.

La función f(x) = 4 es una función constante porque independientemente del valor de x el valor de la función siempre es 4.

Otra manera de representar una función es por medio de una lista de parejas ordenadas de la forma ( x, f(x)) frecuentemente en una tabla.

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Funciรณn Acotada

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EJEMPLO: f(x) = 4x / (x2 - 4)

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Una cota inferior es P = -2 Observando la gráfica del ejemplo, podemos ver que la cota inferior más grande es P = -1, por lo que inf(f) = -1.

Como -1 ∈ Im(f) tenemos que P = -1 es el mínimo absoluto de la función. De hecho, al trazar la recta y = -1, ésta toca a la gráfica de la función.

Una cota superior es K = 2 Por otro lado, la cota superior más pequeña es K = 1, por lo que sup(f) = 1 .

Como 1 ∈ Im(f) tenemos que K = 1 es el máximo absoluto de la función. Además, al trazar la recta y = 1, también vemos que ésta toca a la gráfica de la función.

Por tanto, la función está acotada, pues está acotada tanto inferior, como superiormente.

Si necesitas más información, puedes consultar la siguiente página web: https://www.vitutor.com/fun/2/a_8.html

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REGLA DE CORRESPONDENCIA DE UNA FUNCIÓN Dicho en otras palabras, es el proceso que víncula a cada elemento de un conjunto determinado con otro elemento único de otro conjunto determinado… Donde dichos conjuntos pueden ser el (Dominio y Codominio) de una función.

Es por eso que el tal concepto es muy utilizado en lo que se refiere a las funciones matemáticas.

Ya que cabe destacar que cuando definimos una función en realidad estamos definiendo el medio en el cual se realizar las debidas correspondencias entre un conjunto primero y un conjunto segundo, y por tanto una función en sí funge como regla de correspondencia.

En términos de la Teoría de conjuntista dicha regla de correspondencia es vista como un vínculo entre dos conjunto abstractos. Definiendose 2 tipos de reglas de correspondencia:

1.-Correspondencia-unívoca.

2.-Correspondencia-biunívoca.

Donde denominamos como Correspondencia unívoca a aquella correspondencia matemática en donde a cada elemento de un conjunto primero llamado (Dominio) le corresponde solo un elemento de un segundo conjunto llamado (Codominio o Rango).

EJEMPLO:

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Por otro lado denominamos como Correspondencia biunívoca aquella correspondencia matemática que en su inversa también es unívoca. Es decir si tomamos el (Rango) como (Dominio) a cada elemento del conjunto primero (Rango) le corresponde solo un elemento de un segundo conjunto llamado (Dominio). Como es posible apreciar en la siguiente imagen, en aquellas relaciones marcadas con una flecha de color azul, en lo que se refiere a la función inversa:

FUNCIÓN PERIÓDICA

En matemática, una función es periódica si verifica la condición ; el número

se llama período de la función. Generalmente, se llama período

fundamental al menor número real positivo T que satisface la condición. Las funciones trigonométricas son ejemplos sencillos de una función periódica, que en combinaciones adecuadas se emplean en el análisis armónico.

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De la misma manera, pero en un contexto físico, las ondas periódicas son aquellas ondas que muestran periodicidad respecto del tiempo, es decir, describen ciclos repetitivos. En una onda periódica se cumple:

Donde el periodo propio fundamental

es

la

frecuencia

de

la

componente fundamental de la onda periódica y un número entero.

Toda onda periódica es, por definición, una onda determinista, por cuanto puede ser descrita matemáticamente (mediante un modelo matemático).

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EJEMPLOS Veamos algunos ejemplos de funciones periódicas:  FUNCIÓN SENO: F(X) = SEN X

La función seno tiene un periodo T = 2π, es decir: f(x) = sen x = sen (x + 2π) = sen (x + 4π) = sen (x + 6π) = ... 

FUNCIÓN COSENO: F(X) = COS X

La función coseno tiene un periodo T = 2π, es decir: f(x) = cos x = cos (x + 2π) = cos (x + 4π) = cos (x + 6π) = ... 

FUNCIÓN TANGENTE: F(X) = TG X

La función tangente tiene un periodo T = π, es decir: f(x) = tg x = tg (x + π) = tg (x + 2π) = tg (x + 3π) = ... ¿Eres capaz de encontrar más ejemplos? Te animamos a compartirlos abajo en los comentarios.

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FUNCIÓN DEFINIDA POR PARTES Una función definida por partes es aquella que no está definida por una ecuación sola, sino por dos o más. Cada ecuación es válida para algún intervalo.

EJEMPLO 1: Considere la función definida como sigue.

La función en este ejemplo es una función lineal por partes, porque cada una de las tres partes de la gráfica es una recta.

Las funciones definidas por partes también pueden tener discontinuidades ("saltos"). La función en el ejemplo siguiente tiene discontinuidades en

y

.

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EJEMPLO 2: Grafique la función definida como se muestra.

Dese cuenta que usamos pequeños círculos blancos en la gráfica para indicar que el punto final de una curva no está incluido en la gráfica, y puntos sólidos para indicar que los puntos finales están incluidos.

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FUNCIÓN LINEAL Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y. Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).

Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2 Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)

Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y)

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Volvamos al ejemplo de las funciones lineales f(x) = 3x+2

Si x es 3, entonces f (3) = 3*3+2 = 11

Si x es 4, entonces f (4) = 3*4+2 = 14 Si x es 5, entonces f (5) = 3*5+2 = 17

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en que los valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES. Lo que son proporcionales son los incrementos.

g(x) = -3x+7

Si x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 = 0+7 = 7

Si x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4 Si x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente.

h(x) = 4

Si x= 0 , entonces h(0) = 4

Si x= 98 entonces h(98) = 4

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X.

Esta es la representación gráfica de los tres tipos de funciones descritas.

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Representa gráficamente las siguientes funciones lineales y = 2x y y = - 3x + 4

Sugerencia: Primero elabora una tabla de valores, luego ubica los pares de puntos de la tabla en el plano cartesiano y finalmente únelos con una línea recta.

Los valores de x son asignados arbitrariamente o a tu gusto "te aconsejo usar valores pequeños para facilitar las operaciones" luego en la ecuación remplazamos la x por cada valor de la tabla.

EJEMPLO:

1.

y = 2x Para x = - 2, y = 2(-2) = -4 quedando la pareja (-2 , -4) Para x = 1, y = 2(1) = 2 quedando la pareja (1 , 2)

X

y = 2x

-2

-4

-1

-2

0

0

1

2

2

4

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Función cuadrática La forma general de una función cuadrática es f ( x ) = ax 2 + bx + c . La gráfica de una función cuadrática es una parábola, un tipo de curva de 2 dimensiones.

La parábola "básica", y = x 2, se ve así:

La función del coeficiente a en la ecuación general es de hacer la parábola "más amplia" o "más delgada", o de darle la vuelta (si es negativa):

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Si el coeficiente de x 2 es positivo, la parábola abre hacia arriba; de otra forma abre hacia abajo.

El vértice El vértice de una parábola es el punto en la parte baja de la forma "U" (o la superior, si la parábola abre hacia abajo).

La ecuación para una parábola también puede escribirse en la "forma vértice": y = a ( x – h ) 2+ k En esta ecuación, el vértice de la parábola es el punto ( h , k ).

Puede ver como esto se relaciona a la ecuación estándar al multiplicarla: y = a ( x – h )( x – h ) + k y = ax 2 – 2 ahx + ah 2 + k

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El coeficiente de x aquí es – 2. Esto significa que en la forma estándar, y = ax 2 + bx + c, la expresión

nos da la coordenada en x del vértice .

Aquí, a = 3 y b = 12. Así, la coordenada en x del vértice es:

Sustituyendo en la ecuación original para obtener la coordenada en y, obtenemos: y = 3(–2) 2 + 12(–2) – 12 = –24 Así, el vértice de la parábola está en ( – 2, – 24).

El eje de simetría El eje de simetría de una parábola es la recta vertical a través del vértice. Para una parábola en la forma estándar, y = ax 2 + bx + c , el eje de simetría tiene la ecuación

Dese cuenta que – b /2 a es también la coordenada en x del vértice de la parábola.

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Aquí, a = 2 y b = 1. Así, el eje de simetría es la recta vertical

Intercepciones Puede encontrar la intercepción en y de una parábola simplemente al introducir 0 para x . Si la ecuación está en la forma estándar, entonces sólo se toma a c como la intercepción en y. Por ejemplo, en el ejemplo anterior: y = 2(0) 2 + (0) – 1 = –1 Así la intercepción en y es – 1.

Las intercepciones en x son un poco más complicadas. Puede usar la factorización, o completar el cuadrado, o la fórmula cuadrática para encontrar estas (¡si es que existen!).

Dominio y rango

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Como con cualquier función, el dominio de función cuadrática f (x) es el conjunto de los valores de x para los cuales la función está definida, y el rango es el conjunto de todos los valores de salida (valores de f).

Las funciones cuadráticas generalmente tienen la recta real de enteros como su dominio: cualquier x es una entrada legítima. El rango está restringido a esos puntos mayores que o iguales a la coordenada en y del vértice (o menores que o iguales a, dependiendo si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo).

Este tema al ser un poco extenso, puedes consultar esta variedad de páginas web y videos: https://www.varsitytutors.com/ho tmath/hotmath_help/spanish/topi cs/quadratic-function https://www.youtube.com/watch? v=gnAdna_tLK0 https://www.youtube.com/watch? v=tc4pp9soYAU

Análisis de la función lineal.

Es una función polinómica de primer grado, es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como: f (x)=mx+b Donde y m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m determina la constante b pendiente o inclinación de la recta, y la constante determina el punto de corte de la recta con el eje vertical y.

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En el contexto del análisis matemático, las funciones lineales son aquellas que pasan por el origen de coordenadas, donde b=0, de la forma: f(x)=mx mientras que llaman función afín a la que tiene la forma: f(x)= mx+b También conocida como transformación lineal, en el contexto de álgebra lineal.

Una función lineal de una única variable dependiente

es de la forma:

y=mx+b Que se conoce como ecuación de la recta en el plano x, y En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

y=0,5x+2 1

Aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en 2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y=2

.

En la ecuación: y= -x+5 La pendiente m=-1 de la recta es el parámetro x, es decir, cuando el valor de y aumenta en una unidad, el valor de disminuye en una unidad; el corte con el eje es en y=5, dado que el valor de b=5 En una recta el valor de m se corresponde al ángulo ᶿ de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión: m= tanᶿ.

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Bibliografía

 http://www.allmathwords.org/es/v/vertlinetest.html  http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Funciones_matematicas.html  https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/domainand-range  http://prepafacil.com/cobach/Main/ReglaDeCorrespondencia  https://definicion.de/funcion-inyectiva/  https://www.euston96.com/funcion-sobreyectiva  https://www.sectormatematica.cl/contenidos/funcreyd.htm  https://matemovil.com/funcion-constante-ejercicios-resueltos/  http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones/t eoria/acotacion_extremos.html  http://matefacil01.blogspot.com/2011/05/funcion-lineal.html  https://i.ytimg.com/vi/pAvIb608Sd8/maxresdefault.jpg  https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Funci%C3%B3n_ lineal.svg/220px-Funci%C3%B3n_lineal.svg.png

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