Logica Matematicas

FACULTAD DE FILOSOFIA, CIENCIAS Y LETRAS

M 12  INTRIAGO CATHERINE  LINO KATHERINE  MACIAS FAVIANA  MERINO THALIA  MULLO GENESIS  ORTEGA MELANIE  PARRALES HELEN  SUAREZ BELEN  VARGAS YAHIRIS

2018-2019 CI

Índice: LÓGICA MATEMÁTICA ...........................................................................................................2 ¿QUÉ ES LA LÓGICA? ..........................................................................................................2 LOGICA PROPOSICIONAL ..................................................................................................2 DEFINICIÓN Y CLASES DE PROPOSICIONES ......................................................................2 PROPOSICIONES SIMPLES ..................................................................................................3 PROPOSICIONES COMPUESTAS ........................................................................................3 VALOR DE VERDAD ................................................................................................................4 VARIABLE PROPOSICIONAL ................................................................................................4 TABLA DE VERDAD.................................................................................................................4 OPERADORES LÓGICOS .........................................................................................................5 NEGACIÓN .................................................................................................................................6 CONJUNCIÓN ............................................................................................................................7 DISYUNCIÓN .............................................................................................................................8 CONDICIONAL ........................................................................................................................10 TIPOS DE PROPOSICIONES CONDICIONALES. .................................................................11 PROPOSICIÓN INVERSA ...................................................................................................11 PROPOSICIÓN RECÍPROCA ..............................................................................................11 PROPOSICIÓN CONTRARRECÍPROCA ............................................................................12 CONDICIÓN NECESARIA ......................................................................................................12 CONDICIÓN SUFICIENTE ......................................................................................................12 TRADUCCIÓN AL LENGUAJE SIMBÓLICO........................................................................13 BICONDICIONAL ....................................................................................................................14 DETERMINACIÓN DE VALORES DE VERDAD..................................................................15 FORMAS PROPOSICIONALES ..............................................................................................15 TABLAS DE VERDAD DE UNA FORMA PROPOSICIONAL ..........................................15 TAUTOLOGÍA ..........................................................................................................................16 CONTRADICCIÓN ...................................................................................................................16 CONTINGENCIA .....................................................................................................................16 IMPLICACIÓN LÓGICA ..........................................................................................................17 EQUIVALENCIA LÓGICA ......................................................................................................18 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................................19

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LÓGICA MATEMÁTICA ¿QUÉ ES LA LÓGICA? Es un sistema que proporciona reglas y técnicas que permiten verificar si el razonamiento es correcto o incorrecto.

Su finalidad es el estudio de la razón en el conocimiento.

LOGICA PROPOSICIONAL Esta lógica se basa en la aplicación de símbolos por medio de tablas de verdad, que nos permiten ver cuando una proposición es verdadera o es falsa.

DEFINICIÓN Y CLASES DE PROPOSICIONES Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. Toda proposición consta de tres partes: un sujeto, un verbo y un complemento referido al verbo. La proposición es un elemento fundamental de la Lógica Matemática. La verdad o falsedad de una proposición es lo que se llama su valor lógico o valor de verdad. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula (por ejemplo p, q, r, s, t), dos puntos y la proposición propiamente dicha.

Ejemplos: ¡Si es proposición!       

Hoy es martes.

Carlos Fuentes es un escritor.

El 14 y el 7 son factores del 42.

El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48.

Si x es número primo, entonces x es impar No todos los números primos son impares.

2x −3 > 7

Ejemplo: ¡No es proposición!   

¿Cómo te llamas?

Deseo que seas feliz ¡Ayúdame!

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CLASES DE PROPOSICIONES Proposiciones Simples: también denominadas proposiciones atómicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir.

Ejemplos:  El cielo es azul.  Saqué buenas notas en Matemáticas.  Karla corre rápido.

Proposiciones Compuestas: también denominadas moleculares. Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos.

Ejemplos:   

Fui al banco, pero el banco estaba cerrado.

Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios.

Si el miércoles próximo me saco la lotería entonces te regalaré un auto.

Ilustración 1. Lógica Proposicional. https://www.youtube.com/watch?v=6isDhahJve0&t=498s

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VALOR DE VERDAD Es un valor que indica en qué medida una declaración es verdad. En lógica clásica bivalente los valores de verdad sólo son dos, usualmente designamos verdadero y falso.

*Cuando es verdadero (Se puede utilizar la V o el 1). *Cuando es falso (Se puede utilizar la F o el 0).

VARIABLE PROPOSICIONAL Son variables por las cuales cualquier proposición podría ser sustituida. Son denotadas con letras minúsculas. Estas pueden ser: p, q, r, s...

Ejemplo: b: Gabriel García Márquez escribió Cien años de soledad. c: 3+2=6

TABLA DE VERDAD Es una estrategia de la lógica simple que permite establecer la validez de varias propuestas en cuanto a cualquier situación, es decir, determina las condiciones necesarias para que sea verdadero un enunciado propuesto.

Representa los posibles valores de verdad de dicha proposición. Así mismo, es necesario recordar que si existen dos variables proposicionales de debe emplear la fórmula:

Ejemplo:

p

p

q

0

0

0

1

1

1

p

q

0

0

1

1

1

0

0

1

=2 =4 4

OPERADORES LÓGICOS Son elementos que sirven de enlace entre las proposiciones (unir dos o más proposiciones), para formar otra, denominada proposición molecular.

Son funciones de verdad. Quiere decir que son funciones que toman uno o dos valores de verdad, y devuelven un único valor de verdad. En consecuencia, cada conectiva lógica puede ser definida mediante una tabla de valores de verdad que indique qué valor devuelve la conectiva para cada combinación de valores de verdad.

Conectivos lógicos más empleados son:

OPERAD OR LÓGICO SÍMBOL O

OPERACI ÓN LÓGICA

ESQUE MA

SIGNIFICA DO

EJEMPLO TABLA GRAMATIC VERDAD AL

~

Negación

~p

“no” p

No está clima soleado.

^

Conjunción

p^q

p “y” q

Está nublado y lluvioso.

v

Disyunción

pvq

p “o” q

Está nublado o es lluvioso.

v

Disyunción Exclusiva

pvq

O p, o q; O bien está pero no nublado, o ambas bien está lluvioso.

DE

el

5

→

Condicional p → q o Implicación

si p entonces Si está q nublado, entonces está lluvioso.

↔

Bicondicion p ↔ q al

p si y sólo si Está nublado q si y sólo si está lluvioso 0 1 1

0

Retroalimentación del conocimiento: Puedes obtener más información o a su vez otra explicación sobre los temas expuestos hasta ahora en el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=YCBvVLL4TCM

Negación Es la única que puede trabajar con una sola variable. Sea p una variable proporcional la negación de p, expresada simbólicamente por p es una nueva variable proporcional. La negación cambia el valor de verdad.

Términos gramaticales  No  Ni Tabla 1.

Conectivos Lógicos: http://kalisamatematicas.blogspot.com/2 011/11/conectivos-logicosnegacion-ytablas-de.html

 No es verdad que  No es cierto que  Es falso que

Ejemplos: Si se tiene la variable proporcional p: la proposición es la siguiente, Tengo un billete de $5 p: No tengo un billete de $5 p: Es falso que tengo un billete de $5

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Conjunción La preposición conjuntiva es verdadera únicamente cuando las preposiciones p y q son verdaderas, en cualquier otro caso son falsa.

Términos gramaticales:           

Y Pero Más También Sin embargo Tal como No obstante Aunque A la vez A pesar que (,),(.),(;)

Ejemplos: p: Trabajo mucho q: recibo un bajo sueldo p q: Trabajo mucho pero recibo un bajo sueldo.

p: Pertenezco al Bachillerato Internacional. q: estudio en un colegio fiscal. p q: Pertenezco al Bachillerato Internacional a pesar que estudio en un colegio fiscal.

P: aprobé el pre Q: saque 0 en actuación en clase de matemáticas p q: aprobé el pre aunque saque 0 en actuación en clase de matemáticas.

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Disyunción

Existen dos tipos

Disyunción Inclusiva Trabaja con 2 letras sean p y q variables proporcionales, la disyunción entre ellas expresadas simbólicamente por p ˅ q es una nueva variable proporcional.

La disyunción inclusiva de dos proposiciones es verdadera si y solo si una de las dos proposiciones es verdadera, resultando falsa cuando las dos (p y q) son falsas.

Términos gramaticales:  O

Ejemplos:

Si se tiene 2 variables proposicional p: tengo un cuaderno de matemáticas q: tengo un cuaderno de leguaje p ˅ q: tengo un cuaderno de matemáticas o tengo un cuaderno de lenguaje.

Si se tiene 2 variables proposicional p: tengo un libro de inglés q: tengo un libro de francés p ˅ q: tengo un libro de inglés o tengo un libro de francés.

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Disyunción Exclusiva La disyunción exclusiva de dos proposiciones es verdadera si y solo si por lo menos una de las dos proposiciones componentes es verdadera y no las dos, resultando falsa en otros casos.

Términos gramaticales:  O  O solamente  O solo

Ejemplos:

Si se tiene 2 variables proposicional p: Estás enfermo q: Estás saludable p v q: O estás enfermo o estás saludable.

Si se tiene 2 variables proposicional p: Te amo q: Te odio p v q: O te amo o te odio.

Si se tiene 2 variables proposicional p: Estoy en París q: Estoy New York p v q: Estoy en París o solamente estoy en New York

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Condicional Dadas dos proposiciones se denomina proposición condicional al resultado de unir p y q por el conectivo (si,…, entonces), en donde p es el antecedente y q es el consecuente.

La condicional tendrá un valor falso cuando p sea verdadero y q falso, en los demás casos diremos que p condicional q es verdadero.

Términos gramaticales:                    

“si p, entonces q” “p sólo si q” “p solamente si q” “p si q” “si p, q” “q con la condición de que p” “q cuando p” “q siempre que p” “q cada vez que p” “q ya que p” “q debido a que p” “q puesto que p” “q porque p” “se tiene q si se tiene p” “sólo si q, p” “q, pues p” “cuando p, q” “los p son q” “p implica q” Cualquier expresión que denote causa y efecto.

Ejemplos: p: “llueve” q: “hay nubes” p → q: si llueve entonces hay nubes

p: Quédate conmigo q: me mas p → q: Quédate conmigo sólo si me amas.

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TIPOS DE PROPOSICIONES CONDICIONALES. PROPOSICIÓN INVERSA Una proposición inversa es la negación del antecedente y del consecuente de una proposición condicional. Como en el caso anterior, tampoco resulta ser una equivalente, pero antes de explicar este punto con un ejemplo, veamos su definición formal.

Definición: Sea la proposición condicional

la proposición

llamamos proposición recíproca a

.

Ejemplo: p → q: Si camino, entonces avanzo. ~p → ~q: Si no camino, entonces no avanzo.

PROPOSICIÓN RECÍPROCA La proposición recíproca es cuando se intercambian las posiciones mutuamente el antecedente y el consecuente en una proposición condicional. Simbólicamente podemos definirlo de la siguiente manera.

Definición: Sea la proposición condicional a la proposición

se le llama proposición recíproca

.

Ejemplo: p → q: Si sale el sol, entonces saldré de casa q → p: Saldré de casa, siempre que salga el sol

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PROPOSICIÓN CONTRARRECÍPROCA Una proposición contrarrecíproca de una proposición condicional es como una proposición recíproca pero con el antecedente y el consecuente negado.

Definición: Sea la proposición condicional contrarrecíproca a la proposición

se le llama proposición

.

Ejemplo: p → q: Si las cifras de

suman números múltiplos de 3, entonces

es múltiplo de 3.

~q → ~p: Si no es múltiplo de 3, entonces las cifras de números múltiplos de 3.

no suman

CONDICIÓN NECESARIA Al decir que p es necesaria para q, estamos diciendo que q no puede ser verdadera a menos que p sea verdadera, es decir, p es verdadera, si q lo es.

En pocas palabras: Si el consecuente es falso, el antecedente tiene que ser falso p → q: esta forma se da cuando p es condición suficiente y q es condición necesaria.

CONDICIÓN SUFICIENTE Al decir que p es suficiente para q, estamos diciendo precisamente lo contrario: que p no puede ocurrir sin q, o cuando sea que ocurra p, q ocurrirá.

En pocas palabras: Si el antecedente es verdadero, el consecuente tiene que ser verdadero q → p: esta forma se da cuando q es condición suficiente y p condición necesaria

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Traducción al lenguaje simbólico Se basa en sustituir un enunciado (palabras) en variables proposicionales (letras) haciendo uso de los operadores lógicos.

Ejemplo: “Si la seguridad privada es efectiva, disminuyen los índices de asalto en la ciudad y el turismo se desarrolla. Los índices de asalto no disminuyen, pero la seguridad privada es efectiva. Entonces, el turismo no se desarrolla”.

Solución: Se pueden identificar las siguientes proposiciones simples: p: La seguridad privada es efectiva. q: Los índices de asalto disminuyen en la ciudad. r: El turismo se desarrolla.

Los operadores lógicos que se encuentran presentes en esta proposición Compuesta son la condicional, la conjunción y la negación.

La traducción es: [(p → q ∧ r)) ∧ (¬q ∧ p)] → (¬r)

Nota: es necesario emplear los signos de agrupación para preservar la idea original del enunciado.

Otro ejemplo de traducción sería: Dadas las siguientes proposiciones: p: te gusta el fútbol q: te gusta estar saludable

Traducir al lenguaje común la siguiente proposición: p → q Respuesta: “Si te gusta el futbol, entonces te gusta estar saludable”

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Bicondicional Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces la bicondicional será verdadera y si tienen valor de verdad opuestos entonces la bicondicional será falsa.

Términos gramaticales

   

“p si y solo si q” “p si y solamente si q” “p implica q y q implica p” “p cuando y solo cuando q”

Ejemplos: p: Eres mi hermana q: eres hija de mi madre y de mi padre p ↔ q: Eres mi hermana si y solo si eres hija de mi madre y de mi padre

p: Se considera triángulo rectángulo q: Posee un ángulo de 90 grados p ↔ q: Se considera triángulo rectángulo si y solamente si posee un ángulo de 90 grados

p: Tendré buenas notas q: estudio mucho p ↔ q: Tendré buenas notas si y solo si estudio mucho

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DETERMINACIÓN DE VALORES DE VERDAD Ejemplo 1: Bajo la suposición de que los valores de verdad de las proposiciones simples a, b, c y d son respectivamente 0, 0, 1, indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones compuestas: [(p ∧ ¬q) → r] [(0 ∧ -0) →1] 0 → 1 = 1; el valor de verdad de esta proposición es verdadero.

Ejemplo 2: Si la proposición es falsa, entonces determine el valor de verdad de: ¬ (p ∨ q) → r ¬ (0 ∨ 0) → 0 ¬0→0 1 → 0 = 0; el valor de verdad de esta proposición es falso.

FORMAS PROPOSICIONALES Son las estructuras constituidas por variables proposicionales y los operadores lógicos que las relacionan. Se representan con letras mayúsculas: A, B, C, D,…

TABLAS DE VERDAD DE UNA FORMA PROPOSICIONAL Al tener proposiciones más complejas es necesario construir tablas de verdad que nos faciliten obtener los respectivos valores de verdad que deseamos encontrar, es decir, cuánto vale por ejemplo p, q, r….

Ejemplo: Dada la siguiente proposición: (p ∨ q) → r Construir su respectiva tabla de verdad:

Retroalimentación del conocimiento: Construcción de tablas de verdad -Puedes consultar el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=xwQt2RV YH2U&t=247s

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Tautología Es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todo los valores de verdad de sus variables.

Se puede ver que en las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de la proposición será siempre 1 o verdadera. Las tautologías son muy importantes en la lógica matemática ya que esta se considera leyes en las cuales nos podemos apoyar para realizar demostraciones.

Contradicción Es aquella preposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad, es decir que el resultado general de la proposición siempre será 0 o falsa.

Contingencia Si se tienen algunas proposiciones verdaderas y otras falsas para los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una contingencia, es decir que el resultado general de la proposición serán siempre 0 y 1 o verdadera y falsa.

Retroalimentación del conocimiento: Para más información con respecto a los temas de tautología, contradicción y contingencia, puedes consultar el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=jeJJiUYaMUk

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IMPLICACIÓN LÓGICA Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A implica lógicamente a B, denotado por A ⇒ B, sí y solo sí A → B es una tautología.

Ejemplo: La forma proposicional tautológica: p ⇒ (q → p), se puede traducir al lenguaje común como “si se tiene p, de cualquier manera, q se seguirá teniendo p “ p 0 0 1 1

q→p 1 0 1 1

q 0 1 0 1

p→ (q → p) 1 1 1 1

Ejemplo: La forma proposicional tautológica: [(q → p) ^ (q → p)] => (p → r), se puede traducir al lenguaje común como “si cada vez que se tiene p se tiene q y cada vez que se tiene q se tiene r, entonces cada vez que se tiene p se obtiene r”.

p

q

r

q→p

p→r

p→r

(p →q) ^(q →r)

[(p →q) ^(q →r)]→(p →r)

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

1 1 1 1 0 0 1 1

1 1 0 1 1 1 0 1

1 1 1 1 0 1 0 1

1 1 0 1 0 0 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1

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Equivalencia lógica Sea “A” y “B” dos formas proposicionales, se dice que A es lógicamente equivalente a B. Detonado por A ⇔B, si y sólo si A↔B es tautología.

En la equivalencia lógica las tablas de verdad son importantes si se quiere comprobar la igualdad de dos expresiones.

Los valores “Verdaderos” se pueden representar con 1 Los valores “Falsos” se pueden representar con 0

Ejemplos: 1.

(p → q)⇔(¬q → ¬p)

p

q

¬p

¬q

p→q

¬q → ¬p

(p → q)⇔(¬q → ¬p)

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

Retroalimentación del conocimiento: Para más información respecto a Lógica Matemática o Proposicional, puedes acceder a la dirección de internet: Sepremat (www.sepremat.blogspot.pe) 18

Referencias Bibliográficas  Complementación de conjuntos. Recuperado de: https://es.m.wikipedia.org/wiki/Complemento_de_un_conjunto  Conectores lógicos. Recuperado de: http://kalisamatematicas.blogspot.com/2011/11/conectivos-logicosnegacion-y-tablasde.html  Diferencia simétrica de conjuntos y complementación de conjuntos. Recuperado de: http://matematicaabelortega.blogspot.com/2013/07/diferencia-simetrica-deconjuntos.html?m=1  Equivalencia lógica. Recuperado de: https://angelarendon.wordpress.com/2011/10/20/31-5-equivalencias-logicas/  Libro de fundamentos de matemáticas de la ESPOL. Recuperado de: https://www.google.com.ec/amp/s/eduardomlopez.wordpress.com/2013/01/28/operador es-logicos-conjuncion-y-disyuncion/amp/ VIDEOS DE LA UNIDAD 1: LOGICA MATEMATEMATICA  Construcción

de

tablas

de

verdad.

Recuperado

de:

Recuperado

de:

https://www.youtube.com/watch?v=xwQt2RVYH2U&t=247s  Lógica

Matemática

(explicación

general).

https://www.youtube.com/watch?v=YCBvVLL4TCM  Lógica

Proposicional

(Lógica

y

proposiciones

lógicas).

Recuperado

de:

www.sepremat.blogspot.pe  Tautología,

contradicción,

contingencia.

Recuperado

de:

https://www.youtube.com/watch?v=jeJJiUYaMUk

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