Vector tangente unitario, normal principal

VECTOR TANGENTE UNITARIO, NORMAL PRINCIPAL

Segundo departamental 1 VECTOR TANGENTE UNITARIO, NORMAL PRINCIPAL Supongamos ahora la curva:

C : r(t)  x(t)i  y(t)j  z(t)k Es dos veces diferenciable y que r '(t) no se anula nunca. Entonces en cada punto

P(x(t),y(t),z(t)) de la curva, existe un vector tangente unitario:

T(t) 

r'(t)

r'(t)

(1)

Podemos formar el siguiente vector llamado normal principal de la siguiente forma:

N(t) 

T '(t)

T '(t)

(2)

Es el vector unitario en la dirección de T '(t) . La recta normal en P es la recta que pasa por P y es paralela al vector normal principal.

En la figura 1 esta representada una curva en la que se ha señalado un punto, en el cual se ha dibujado el vector tangente unitario y el vector normal principal. Al plano dterminado por esos dos vectores se le llama plano osculador. (literalmente plano que besa la curva).

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VECTOR TANGENTE UNITARIO, NORMAL PRINCIPAL

Figura 1. Trayectoria de una curva Ejercicios Hallar el vector tangente unitario, le vector normal principal y una ecuación en x,y,z del plano osculador en los puntos correspondientes a los valores indicados de t .

1) r(t)  i  2tj  t k; 2

t 1

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VECTOR TANGENTE UNITARIO, NORMAL PRINCIPAL

Solución Primero hallamos la derivada del radio vector

r '(t)  2j  2tk Posteriormente encontramos el vector tangente

T(t) 

2  j  tk  r '(t) 2j  2tk j  tk    r '(t) 4  4t 2 4 1  t2 1  t2

Ahora derivamos el vector tangente, lo separamos en dos funciones para poder hallar su derivada total

T(t) 

j 1  t2   



tk 1  t2   

1

2

Parte 1 1/2 d d  j  j 1  t 2 dt dt T '(t)   2  1  t 2 1/2    1/2 1/2 1 1  t2 0  j 1  t2  2t  2 T '(t)   1  t2  jt  jt T '(t)   T '(t )  1/2 3/2 1  t2 1  t2 1  t2   

1  t  2



1/2

























1

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VECTOR TANGENTE UNITARIO, NORMAL PRINCIPAL

Parte 2 1/2 d d  tk   tk 1  t 2 dt dt T '(t)   1/2 2  1  t2    1/2 1/2 1 1  t 2  k   tk 1  t 2  2t  2 T '(t)   1  t2

1  t  2



1/2















1  t  k   t k 1  t  T '(t)  1  t  k 1  t   t 1  t   T '(t)   1  t  2

1/2

2

2

1/2



2

1/2

2

2

2

1/2

2

 k  1  t2  T '(t)  



T '(t) 

  

   1/2 2  1 t  2 1 t



t2

1/2

 



  1  t2  t2   k  1  t 2 1/2   

  1  t  2



 T '(t) 



k



3/ 2

1  t2    2

Ahora sumamos las dos partes

T '(t) 



 jt

1  t2



3/2



k



1  t2



3/2

 T '(t) 



 jt  k

1  t2



3/2

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VECTOR TANGENTE UNITARIO, NORMAL PRINCIPAL

Calculamos el vector Normal

 jt  k

1  t  2

N(t) 

 jt  k 2

 N(t) 

 jt  k

1  t  2

1  t 

3/2

3/2

 t  2   1 t



 jt  k

1  t  2

N(t) 

t

2



3/2

1

1  t  1  t  3

2

2

2

N(t) 

N(t ) 

1  t 



1

1  t 

t 1

3

 N(t) 

1  t 

2

2





2

3/2

1

  3/2  

2

3/2

2

2

 N(t) 

2



 jt  k

3/2

1  t 



  1   3/2 2     1 t  jt  k

1  t 

3

 jt  k

1  t 

2

2

 N(t) 

3/2

2



 jt  k 1  t 2

1  t  2

3/2



 jt  k

1  t  2

1/2

Evaluamos el vector normal y tangente en t  1

T(t) 

N(t) 

j  tk

 T(1) 

1  t2

 jt  k

1  t  2

1/2

j  1 k

 N(1) 

1  1

2

 T(1) 

 j 1  k

1  1  2

1/2

jk 2

 N(1) 

j  k 2

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VECTOR TANGENTE UNITARIO, NORMAL PRINCIPAL

Por utimo obtenemos el plano osculador

i

j

k

1 2 1 0  2

T(t)  N(t)  0

1 2 T(t)  N(t)  i 1  2

1  2 1 2 1 0 2 j 1 0 2

1 1 0 2 2 k  1 1 0  2 2

 1   1   1   1   T(t)  N(t)  i         2 2 2 2       1 T(t)  N(t)  i 2 A traves de la ecuación canonica del plano

A  x  x 0   B  y  y o   C  z  z0   0 Tenemos que la normal seria

T(t)  N(t) 

1 1 i  N ,0,0 2 2

Y el punto lo obtenemos de sustituir t  1 en el radio vector

r(1)  i  2 1 j  1 k  r(1)  i  2j  k  2

P0  x o ,y 0 ,z0   P0 1,2,1

Sustituyendo el vector y el punto en la ecuación canónica del plano tenemos

1 1  x  1  0  y  2   0  z  1  0   x  1  0  2 2 x  1  0 Plano osculador

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VECTOR TANGENTE UNITARIO, NORMAL PRINCIPAL

2) r(t)  cos 2ti  sen2tj  tk;

t

 4

Solución Primero hallamos la derivada del radio vector

r '(t)  2sen2ti  2cos 2tj  k Posteriormente encontramos el vector tangente

T(t)  T(t)  T(t) 

2sen2ti  2cos 2tj  k r '(t)   2sen2ti  2cos 2tj  k r '(t) 2sen2ti  2cos 2tj  k 4sen 2t  4cos 2t  1 2

2



2sen2ti  2cos 2tj  k

 2sen2t 

2

  2cos 2t   1

2sen2ti  2cos 2tj  k





4 sen2 2t  cos2 2t  1

2

2



2sen2ti  2cos 2tj  k 5

Ahora derivamos el vector tangente

T '(t) 

4cos 2ti  4sen2tj 5

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

VECTOR TANGENTE UNITARIO, NORMAL PRINCIPAL

Calculamos el vector Normal

4 cos 2ti  4sen2tj 4 cos 2ti  4sen2tj 5 5  N(t)   N(t)  2 2 4 cos 2ti  4sen2tj  4 cos 2t   4sen2t      5 5   5   4 cos 2ti  4sen2tj 4  cos 2ti  sen2tj 5 5  N(t)   N(t)  16 16  16  cos2 2t  sen2 2t  5  1 5 5   4 4  cos 2ti  sen2tj  cos 2ti  sen2tj 5 5  N(t)  N(t)   4 16 5 5 N(t )    cos 2ti  sen2tj  Evaluamos el vector normal y tangente en t 

T(t) 

 4

2sen2ti  2cos 2tj  k  5

    2sen2   i  2cos 2   j  k    2i  k   4 4  T   T   5 5 4 4         N(t)    cos 2ti  sen2tj  N      cos 2   i  sen2   j   4 4 4     N    j 4

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VECTOR TANGENTE UNITARIO, NORMAL PRINCIPAL

Por utimo obtenemos el plano osculador

i 2 T(t)  N(t)   5 0 T(t)  N(t)  i

0 1

j 0 1

k 1  5 0

1 2  5 j 5 0 0

1 2  5 k 5 0 0

0



1

  2    1  T(t )  N(t)  i    1     k     1   5  5     1 2 T( t)  N( t)  i k 5 5 A traves de la ecuación canonica del plano

A  x  x 0   B  y  y o   C  z  z0   0 Tenemos que la normal seria

T(t)  N(t) 

1 iN 2

1 2 ,0, 5 5

Y el punto lo obtenemos de sustituir t  1 en el radio vector

        r  t   cos 2ti  sen2tj  tk  r    cos 2   i  sen2   j    k  4 4 4 4   

r   j k 4 4

  P0  x o ,y 0 ,z0   P0  0,1,  4  Sustituyendo el vector y el punto en la ecuación canónica del plano tenemos

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VECTOR TANGENTE UNITARIO, NORMAL PRINCIPAL

1 2  1 2 2  0  x  0   0  y  1   z    0  x  z  4 5 5 5 5 5 4 1 2  1   x z 0  x  2z  2   0  5 5 2 5 5  x  2z 

 2

Plano osculador

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