Problemario de Calculo Vectorial

PROBLEMARIO DE CALCULO VECTORIAL  En los ejercicios 1 a 8 (a) trace la representación de la curva C y (b) encuentre la ecuación rectangular cuya gráfica contenga los puntos de C 1.

2.

3.

4.

5.

6.

x  t  2, y  2t  3; 0  t  5 x  1  2t , y  1  t ,  1  t  4

x  t 2  1,

y  t 2  1;  2  t  2

x  t 3  1,

y  t 3  1;  2  t  2

x  t3, y  t2; t  R x  cos t  2, y  sen t  3; 0  t  2 7. x  t 2 , y  2 ln t; t  0 8. x  sen t , y  csc t; 0  t   / 2

 1. Dados los vectores a = (-2,3,1), b = (7,4,5), y c = (1,-5,2), calcule lo siguiente: a) a  b b) b  c c) a  (b + c) d) b  (a – c) e) (2a + b)  3 c f) compc b g) proya c h) proyb a 2. Calcule el ángulo entre a y b a) a = -4 i +8 j – 3k b = 2i + j + k b) a = (3, -5, -1) b = ( 2, 1, -3) 3. Calcule los cosenos directores de a = (-2,1, 5) 4. Pruebe que a + b 2 + a – b 2 = 2( a 2 +  b 2 ) 5. Encuentre a  b a) a = (1, -2, 3) b = (2, 1, -4) b) a = -3i + j + 2k b = 9i – 3j – 6k c) a = 3i b = 4k 6. Sean a = (2, 0, -1), b = ( -3, 1, 0) y c = (1, -2, 4) calcular lo que se pide: a) a  (b  c)

b) a  (b – c)

c) (a  b) – (a  c)

7. Demuestre que (a  b)  b = 0 para todos los vectores a y b.

8. (a) Encuentre un vector perpendicular al plano determinado por los puntos P, Q y R; (b) Calcule el área del triángulo determinado por estos puntos. a) P(1, -1, 2) Q(0, 3, -1), R(3, -4, 1) b) P(4, 0, 0) Q(0, 5, 0), R(0, 0, 2)

9. Dados los puntos P(1, -1, 2), Q(0, 3, -1), R(3, -4, 1) calcule el volumen del paralelepípedo que tiene lados adyacentes OP,OQ y OR. 10. Verifique las siguientes identidades, considerando que a, b y c son vectores arbitrarios. a) (a + b)  (a – b) = 2(b  a) b) (a  b)  c = (a  c)b – (b  c)  Funciones Vectoriales 1. Trace la gráfica de la curva determinada por r (t). a) r(t) = (t3 – 1)i + (t2 +2)j;

-2t2

b) r(t) = ti + 4cos t j + 9sen t k; c) r(t) = (t2 +1)i + tj + 3k;

t0

t en R

2. Encuentre el dominio de r y determine los valores para los que r es continua.

Determine r’(t) y r’’(t). a) r(t) = b) c) d) e)

t 1 i + t2

2t j 1

r(t) = e i + sen t j r(t) = t2i + tan tj + 3k r(t) = 3 t i + 1/ t j + e  t k r(t) = ln (1 – t)i + sen tj + t2k

3. (a) Trace la curva en el plano xy determinada por r(t). (b) Determine r’(t) y trace los vectores correspondientes a r(t) y r’(t) para el valor de t indicado. a) r(t) = 4cos ti + 2 sen tj; b) r(t) = t2i + t3j;

t = 3/4

t = -1

4. Encuentre las ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la curva en P. a) x = 4 t , y  t 2  10 z  4 / t; P(8,6,1) t t 2 y  te , z  t  4; P(1,0,4) b) x  e , c) x  t sen t , y  t cos t , z  t; P( / 2,0,  / 2) 5. Evalúe las siguientes integrales:

 (t i + t j + t k) dt  [(1  t )i – 4t j – (t – 1)k] dt  (cos 2t i + sen 2t j + t sen t k) dt  ( t i + te j + 1/ t k) dt 1

a)

2

3

0

2

b)

4

2

2

1

 /4

c)

0

4

d)

-t

2

1

6. Calcule la curvatura de las siguientes funciones: a) b) c) d) e)

r (t) = i + t j + t2 k r (t) = (1 + t )i + (1 – t ) j + 3t2 k r (t) = 2t3 i – 3t2 j + 6t k r (t) = (t2 + 2) i + (t2 – 4t) j +2t k r (t) = sen t i + cos t j + sen t k

7. Determine los vectores T, N y B en el punto dado a) r (t) = (2 sen 3t , t , 2 cos 3t ); b) r (t) = (t , t 2 , t 3 ); (1,1,1)

(0,  ,2)

8. Encuentre la velocidad, la rapidez y la aceleración de una partícula con la función de posición dada y dibuje la trayectoria de la partícula y los vectores de velocidad y aceleración para el valor de t dado. a) r (t) = ( t2, -1, t) t=1 b) r (t) = ( t ,1,t ) t=1 c) r (t) = sen t i + 2cos t j t =  / 6 9. Encuentre las componentes tangencial y normal del vector aceleración. a) r (t) = (t2 + 4) i + (2t – 3) j b) r (t) = (t – sen t) i + (1 – cos t) j c) r (t) = et i + 2t j + e-t k  Funciones de varias variables 1. Si g(x, y) = ln (xy + y –1), calcule: a) g(1, 1) b) g(e, 1) c) g(x, 1)

d) g(x + h, y) e) g(x, y + h)

2. Encuentre el dominio y rango de las siguientes funciones:

a)

f ( x, y)  x  2 y  5

b)

f ( x, y)  e x

c)

f ( x, y)  36  9 x 2  4 y 2

2

y

d) f ( x, y)  x sen( x  y) e) f ( x, y)  tan( y / x) f) f ( x, y, z )  x 2 ln( x  y  z)

3. Determine y grafique el dominio de las siguientes funciones: a) f ( x, y)  x  y c) f ( x, y)  4  2 x 2  y 2 b) f ( x, y)  ln( xy  1) d) f ( x, y)  x 2 sec y 4. Dibuje la gráfica de las siguientes funciones: a) f ( x, y)  x b)

f ( x, y)  3  x 2  y 2

c)

f ( x, y)  16  x 2  16 y 2

d) f ( x, y)  1  x 2 5. Dibuje un mapa de contorno de las siguientes funciones donde se muestren mínimo cuatro curvas de nivel a) f ( x, y)  xy x y d) f ( x, y )  xy x y b) f ( x, y)  e c) f ( x, y)  y  cos x 6. Encuentre el límite si este existe, o demuestre que el límite no existe: a)

b)

c)

d)

lím

( x , y )( 3, 4 )

( x 3  3x 2 y 2  5 y 3  1)

x 2  xy  y 2 ( x , y ) ( 2 ,1) x2  y2 lím

lím

( x , y )(1, 4 )

e

x2 y

e)

f)

g)

lím

( x , y )  ( 0, 0 )

x 3  xy 2 x2  y2

x3 y 2 ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2  y y lím

lím

( x , y ) ( 0 , 0 )

x2 y2 1 1 x2  y2

x2 ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2  y 2 lím

 Derivadas Parciales 1. Determine las derivadas parciales fx, fy y fz según sea el caso. a) f ( x, y)  xe  y  3 y d) f ( x, y)  x 3 y 5  2 x 2 y  x e) f ( x, y)  x 2 y 2 ( x 4  y 4 ) x3  y3 b) f ( x, y )  2 x  y2 f) f ( x, y)  e x tan( x  y) y g) f ( x, y)  ytan ( x 2 y 2 ) c) f ( x, y )  x y  x h) f ( x, y, z )  x yz

f ( x, y, z )  xe y  ye z  ze x

i)

f ( x, y, z)  xy 2 z 3 ln( x  2 y  3z)

j)

2. Calcule las derivadas parciales indicadas: a)

f ( x, y)  x 3 y 3  2 x 4 y;

b)

f ( x, y)  e xy ;

c)

f ( x, y, z )  x  x 4 y 4 z 3  yz 2 ;

2

f xxx

d) z  x sen y;

f xxy

5

f xyz

3z yx 2

e) u  ln( x  2 y y  3z 3 );

 3u xyz

3. Verifique que la función, u  e  k t sen kx es una solución de la ecuación de conducción de calor ut   2 u xx .

4. Determine si cada una de las siguientes funciones es una solución de la ecuación de Laplace f xx  f yy  0 2 2

a) b)

f ( x, y)  x 2  y 2 f ( x, y)  x 3  3 y 2

c)

f ( x, y)  ln x 2  y 2

d) f ( x, y)  e  x cos y  e  y cos x 5. Pruebe que cada una de las siguientes funciones es una solución de la ecuación de onda wtt  a 2 wxx . a) w  sen(kx) sen(akt)

b) w  t /( a 2 t 2  x 2 )

6. Calcule la ecuación del plano tangente a la superficie dada, en el punto especificado. a) z  x 2  4 y 2 ; (2,1,8)

b) z  5  ( x  1) 2  ( y  2) 2

c) z  sen( x  y); (1,1,0)

d) z  ln( x  2 y); (1,3,0)

 Regla de la cadena y Derivadas Direccionales 1. Utilice la regla de la cadena para calcular dz/dt o dw/dt. a) z = x2 + y2, x = t2, y = 1 + t2 b) z = x2y3, x = 1+ t , y = 1 - t c) w = xy2z3, x = sen t, y = cos t, z = 1 + e2t x y d) w   , x  t , y  cos 2t , z  e 3t y z 2. Use la regla de la cadena para calcular z/s o z/t. a) z = x2sen y, x = s2 + t2, y = 2st b) z = sen x cos y, x = (s – t)2, y = s2 + t2 c) z = x2- 3x2y3, x = set, y = se-t d) z = xey + ye-x, x = e-t, y = st2

(2,0,10)

3. Emplee la regla de la cadena para indicar las derivadas parciales. a) w = x2 + y2 + z2, x = st, y = s cos t, z = s sen t w/s, w/t cuando s = 1 y t = 0 b) z = y2 tan x, x = t2uv, y = u + tv2 z/t, z/u, z/v cuando t = 2, u = 1, v = 0 x y c) u  , x = p + r + t, y = p – r + t, z = p + r – t ; yz u/p, u/r, u/t 4. Suponga que todas las funciones son diferenciables. a) Si z = f(x,y), donde x = r cos  y y = r sen  demuestre que 2

1  z   z   z   z           2   r     x   y   r  b) Si u = f(x,y) donde x = es cos t y y = es sen t, demuestre que 2

2

2

2 2 2 2   u   u   u    2 s  u        e        x   y   s   t   c) Si u = f(x,y) donde x = es cos t y y = es sen t demuestre que

2  2u  2u  2u  2 s   u   e   2  x 2 y 2 t 2   s

5. (a) Calcule el gradiente de f. (b) Evalúe el gradiente en el punto P. (c) Determine la razón de cambio de f en la dirección del vector u. a) f(x,y) = x3 – 4x2y + y2, P(0,1), u = (3/5, 4/5) b) f(x,y) = ex sen y, P(1, /4), u = ( 1 5 , 2 5 ) d) f(x,y,z) = xy + yz2 + xz3, P(2,0,3), u = ( 23 , 13 , 23 ) 6. Encuentre la derivada direccional de la función en el punto dado, en la dirección del vector v. a) f(x,y) = x/y, (6,-2), v = (-1,3) b) g(x,y) = xexy, (-3, 0), v = 2i + 3j d) f(x,y,z) = xyz , (2,4,2), v = (4,2, -4) e) g(x,y,z) = xeyz + xyez, (-2,1,1), v = i – 2j + 3k 7. Determine la razón máxima de cambio de f en el punto dado y la dirección en la que ocurre. a) f(x,y) = ln(x2 + y2), (1,2) b) f(x,y,z) = x + y/z, (4,3, -1) c) f(x,y,z) = x/y + y/z (4,2,1)

8. Resuelva los siguientes problemas: a) La temperatura en el punto (x,y,z) está dada por

T ( x, y, z)  200e  x

2

 3 y 2 9 z 2

donde T se mide en ºC y x,y,z en metros. Determine la razón de cambio de la temperatura en el punto P(2,-1,2) en la dirección hacia el punto Q(3,-3,3). ¿En qué dirección se incrementa con mayor rapidez la temperatura en P? Evalúe la razón máxima de incremento en P. b) Suponga que sobre una cierta región del espacio, el potencial eléctrico V está dado por V(x,y,z) = 5x2- 3xy + xyz. Determine la razón de cambio del potencial en P(3,4,5) en la dirección del vector v = i + j – k. ¿En qué dirección cambia con mayor velocidad el potencial en P? Y ¿Cuál es la razón máxima de cambio? c) Suponga que está escalando una montaña cuya forma está dada por la ecuación z = 1000 – 0.01x2- 0.02y2 y usted está ubicado en el punto P(60,100,764) ¿Qué dirección deberá tomar para alcanzar la cima con más rapidez? Si asciende en esa dirección, ¿a qué ángulo sobre la horizontal ascenderá al principio?  Máximos y mínimos. Integrales múltiples 1. Calcule los valores máximos y mínimos locales, así como los puntos silla de las siguientes funciones. a) f ( x, y)  4 x 2  y 2  4 x  2 y d) f ( x, y)  x 3  3xy  y 3 e) f ( x, y)  xy (1  x  y) b) f ( x, y)  x 2  y 2  x 2 y  4 f) f ( x, y)  x sen y c) f ( x, y)  2 x 3  xy 2  5x 2  y 2 2. Calcule los valores máximos y mínimos locales y absolutos sobre el conjunto D. a) f ( x, y)  5  3x  4 y, D es una región triangular cerrada, con vértices (0,0), (4,0) y (4,5) b) f ( x, y)  x 2  2 xy  3 y 2 , D es una región triangular cerrada con vértices (-1,1), (2,1) y (-1,-2) c) f ( x, y)  2 x 2  x  y 2  2, D = {(x,y) / x2 + y2  4} 3. Una caja de cartulina sin tapa deberá de tener un volumen de 32,000 cm 3. Calcule las dimensiones que minimicen la cantidad de cartulina que se utilizará.

4. Calcule las siguientes integrales:

   ( x  y) 3

a)

0

2

b)

1

1

x  y dxdy

0

1

0

  e dxdy   sen( x  y)dydx ln 2

c)

ln 5

0



2

dxdy

d)

0

0

2



0

2

2 x y

  ( x  y) 2

e)

1

1

2

dxdy

0

5. Determine las siguientes integrales  2 y a)  xy  dA , R  ( x, y) / 2  x  3,  1  y  0 x R 1 b) dA, R  1, 2 0,1 R x y

   xye

c)

xy 2

dA, R  0,1 0,1

R

6. Evalúe las siguientes integrales a)

 x sen ydA,

D  ( x, y) / 0  y   / 2,0  x  cos y

D

 x dA, c) e dA,  d) ye dA,  1

b)



D  ( x, y) / 1  y  e, y 2  x  y 4



D

x y

D está acotada por y = 0, y = x2, x = 1

D

x

D es la región rectangular con vértices (0,0), (2,4) y (6,0)

D

7. Determine el volumen del sólido dado a) Bajo el paraboloide z  3x 2  y 2 y encima de la región acotada por y = x y x = y2 – y . b) Acotado bajo el paraboloide z  x 2  y 2  4 y y los planos x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 0.

8. Dibuje la región de integración y cambie el orden de integración.

 4

a)

2



0

f ( x, y )dxdy 2

b)

1

2 y

0

y2

  f ( x, y)dzdy

9. Evalúe las siguientes integrales después invertir el orden de integración a)

  e dxdy   x sen( y )dydx 1

3

0

ey

0

b)

x2

1

3

0

x

2

3

10. Evalúe las integrales dadas al cambiar a coordenadas polares. a)

 ydA,

donde R es la región en el primer cuadrante acotada por el círculo

R

x 2  y 2  9 y las rectas x = y y y = 0

b)

 sen( x

2

 y 2 )dA, donde R es la región anular 1  x 2  y 2  16

R

11. Utilice la integral doble para determinar el área de la región dada. a) La región encerrada por la cardioide r  1 sen  b) La región que está dentro del círculo r  4 sen  y fuera del círculo r = 2.

12. Use coordenadas polares para calcular el volumen del sólido dado a) El que está bajo el cono z  x 2  y 2 y encima del anillo 4  x 2  y 2  25 b) El que está acotado por los paraboloides z  3x 2  3 y 2 y z  4  x 2  y 2 13. Evalúe las siguientes integrales convertidas a coordenadas polares.

1 x 2

 1

a)

0

0

2

 y2

dxdy

0

 2

b)

ex 4 y 2

 4 y

x 2 y 2 dxdy 2