Problemario De Ecuaciones Diferenciales 16] Encuentre los valores de m tales que y x m sea una
PROBLEMARIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
solución de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.
a) x 2 y y 0
5.0 Solución De Una Ecuación Diferencial
b) x 2 y 16xy 4 y 0
5.1 Ecuaciones Diferenciales Por Variables Separables
Verifique que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Donde c1 , c2 son constantes. 1]
dy dx
y x
y
si
x c1
2
x
0,
3]
1 1 y y senx si y senx cos x 10e x 2 2 2 xydx x 2 2 y dy 0 si x 2 y y 2 c1
4]
x 2 dy 2 xydx 0
5]
y
2]
1 y 1 x
dP P a bP dt
7]
x
2
si
P
y 2 dx x 2 xy dy 0
x
si
12]
y
xy x2 y 2
13] 2 xyy x 2 y 2
si
x
2
yx e
si
y xtgx
si
x 2 2 y 2 ln y
si
y 2 x 2 cx
es
0
15] Encuentre los valores de m tales que
y emx Sea una solución de cada una de las Siguientes ecuaciones diferenciales.
b)
y 5 y 6 y 0 y 10 y 25 y 0
2 y ( x 1)dy xdx
7]
y ln x
dx y 1 dy x
2
dP P P2 dt 9] sec2 xdy csc ydx 0
8]
y 2 x ln x 1 c
1 x3 y2 ln x x3 2 y ln y c 3 9 2 P cet 1 P 4 cos y 2 x sen2 x c
sol. 2 cos x e y ye y e y c 11] (e y 1) 2 e y dx (e x 1)3 e x dy 0 soluciones
Determine un valor para k tal que y kx 2 sea una solución
a)
6]
10] e y sen2 xdx cos x(e 2 y y )dy 0
y cx c 2
singular de la ecuación diferencial dada.
1 y e 3 x c 3
( x 1)
14]
2 x
Compruebe que es una familia uniparamétrica de
y xy y
y x
y cos x ln sec x tan x
x y 3 xy 4 y 0 si y x 2 x 2 ln x,
11] xy y x y
2
5]
4]
c1 x y xe
9]
2
0
dx e3 x dy 0
dy x6 y x 5ln x 1 c dx dx x 2 y 2 3 3 x ln x xy 3 cx dy 1 x dy e3 x 2 y 3e 2 y 2e3 x c dx (4 y yx 2 ) dy (2 x xy 2 ) dx 0 2 y 2 c(4 x 2 )
2]
ac1e 1 bc1e at
2
2
1]
at
y y tan x
10] y 3 y 3 y y 0
0
3]
8]
si
c1
1 x2
y x ln x
si
6]
y
si
Resuelva la ecuación diferencial dada, por el método de separación de variables.
sol. (e x 1)2 2(e y 1)1 c dy 12] ( y yx 2 ) ( y 1) 2 dx 1 x 1 sol. y ( y 1) 1 ln y 1 ln c 2 x 1 dy xy 3x y 3 13] dx xy 2 x 4 y 8 sol. y 5ln y 3 x 5ln x 4 c dy senx(cos 2 y cos 2 y ) sol. cot y cos x c dx x2 15] x 1 y 2 dx dy sol. y sen c 2 14]
PÁG. 1
Problemario De Ecuaciones Diferenciales
17]
e e
sol.
1 cos x 1 e y 4
16]
x
e x
y
dy y2 sol. y 1 tg 1 e x c dx y (0) 0 1 senxdx 1 cos x dy 1 2
18]
ydy 4 x y 2 1 dx
sol.
y2 1 2x2 2
sol.
sol. x tg 4 y 3 4
38]
y seny x 2
sol.
39]
y ytgx 0
sol.
x3 y cos 1 c 3 y c sec x
sol.
y ln y 1 ln x c
Resuelva la ecuación diferencial homogénea dada. 1 y (1) 1 sol. xy e1 x
dy 2 x 1 dx dy y 1 22] dx x dy e y e 2 x y 23] e x y dx
sol.
21]
24] x 2 y 2 dy y 1 dx
y
x 1
3
1]
x y dx xdy 0
2]
y
3]
dy y x dx y x
3
sol. y 1 cx 1 e y y 1 e x 1 e 2 x c 3 2 y 1 y ln y 1 c x 2
26] 27]
28] 29]
dy 2 y 3 2 1 c dx 4 x 5 2 y 3 4x 5 dQ K Q 70 sol. Q cekt 70 dt 1 1 1 1 y dy 1 x 2 2 1 y 2 2 1 y 2 2 1 x 2 2 c x dx dy 1 2 x 2 sol. y 2 x 2 x c dx y y dy xy 2 y x 2 y 2 ln y 1 x 5ln x 3 c dx xy 3 y x 3
dy 30] ty y dt dy y 2 1 31] dx x 2 1 32]
y 2 y 1
y (1) 3 y (2) 2 y (0)
5 2
33] x5 y y 5 0
35] 36]
1 x dy 1 y dx 0 2
2
1 t 2
sol.
y 3e
sol.
y 1 x 1 c y 1 x 1
2
1 1 c 4 4 y x
sol :
y ce2 x
sol.
y c cos x
sol. y
2
cx 1 cx
yx dx x 2 dy 0
sol. x y ln x cy
xc
ln x 2 y 2 2tg 1 y
sol. 4 x y ln y c
5] 2 x 2 ydx 3 x3 y 3 dy
sol. y 9 c x 3 y 3
6]
dy y x dx x y
sol.
8]
dx x 4 ye y dy
x
2
2
2
sol. e
xy y 2 dx xydy
2
y x 2 ln x c
2x
7] y
2x
y
8 ln y c
sol. y x cx 2 e
y x
dy y 3 x 3 y (1) 2 sol. y 3 3 x 3 ln x 8 x 3 dx dy 2 10] 2 x 2 3 xy y 2 y (1) 2 sol. y 2 4 x x y dx y y y 11] x ye x dx xe x dy 0 y (1) 0 sol. ln x e x 1 9] xy 2
12]
y
2
3xy dx 4 x 2 xy dy
sol. 4 x ln y
x
14]
y (0) 1
( x y ) ln y x 0
x
y 2 xy
dydx y y 12 1
sol. ln y 2 1 x 15] ydx 2 x y dy 16]
y (1) 1
x ln x y x c
13] y 2 dx x 2 xy y 2 dy 0 sol.
sol.
y 4 xy y ytgx 0
34]
2
sol. x ln x y cx
4] ydx x xy dy 0
2
25]
y ecx
5.2 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
x
20] x 2 y y xy
y ln ydx xdy 0
40] xyy y 1
y (0) 1
4 1
dx 19] 4 x 2 1 dy
37]
dy x 3 y dx 3x y
1 2
y
2 sol. x 2 y cy 2 sol. x y c x y
2
PÁG. 2
Problemario De Ecuaciones Diferenciales 17]
x
4
y 4 dx 2 x 3 ydy 0
dy y x 2 1 dx x y 2 dy y y 19] ln dx x x 20] x 2 2 y 2 dx xydy 18]
sol. ln x
sol. y x tag 1 y ln x c x sol. ln xy cx 1 sol. 2 x 4 x 2 y 2
y (1) 1
21] xydx x 2 dy y x 2 y 2 dy
y (0) 1
22] y 3 dx 2 x 3 dy 2 x 2 ydx sol. y 2 ln x x 2
24]
x y
2
y (1) 2
10]
1 2
dx xdy
11]
y (1) 0
sol.
12]
Suponga que M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 es una
ecuación homogénea. Pruebe que las sustituciones x r cos , y rsen reduce la ecuación a una de variables separables. 25]
x
2
2 y 2 dx xydy 0
26] x 2 y 3xy 2 y 2 0 27] xy y 2 xe 28]
y x
sol. y 2 x2 cx4
30] x 2 y y 2 2 xy
13]
dy y x 2 1 y dx y x 7 2 dy x y 2 dx x y 4 dy x 2y 1 dx 5 y 2 x 3 dy 2 x y 1 dx y 1 dy x 2y 1 dx 4 y 2 x 3
1 2
y x 14 y 4 x 9 2
y 3ln x y 1 x c sol. sol. sol.
dy x y 4 dx x y 6 dy x y 4 15] dx x y 6 14]
sol. sol.
16]
2 x 2 y dx y 1 dy 0
sol.
sol.
y
cx 1 cx 2
17]
dy x y 1 dx x 4 y 2
sol.
y x ln ln cx 2
18]
2 x 3 y 1 dx 4 x 1 dy 0
x y dx x y dy 0
29] xy 2 x 6 y
dy x y 1 sol. dx x 1 dy 3x 2 y 7 sol. 6] dx x y4 dy x y 6 sol. 7] dx x y 8 dy y x 8 2 8] y (1) 2 y x 2 y x 18 x 3 dx y x 1 5]
9]
x 2 y 2 y ln y 1
sol.
23]
x2 c y x2 2
3
sol. x 2 2 xy y 2 c c 2 sol. y x 6 x 7 cx 2 sol. y 1 cx
5.4
sol. sol.
Ecuaciones Diferenciales Exactas
Determine si la ecuación diferencial es exacta, si es exacta resuélvala.
1]
5 x 4 y dx 4 x 8 y 3 dy 0
5.3 Ecuaciones Diferenciales Reducibles A Homogéneas
5 2 x 4 xy 2 y 4 c 2 2] x y x y dx x x 2 y dy 0
x y 1 dx 2 x 2 y 1 dy 0 sol. x 2 x y ln x y c 2] x y 1 dx x 4 y 2 dy 0
sol. 3]
sol.
4] x
1]
3]
2 x y 3 dx x y 1 dy 0
sol. 4] sol.
x y 2 dx x y 4 dy 0
sol.
y
3
y 2 senx x dx 3 xy 2 2 y cos x dy 0
sol. xy 3 y 2 cos x 1 2 x 2 c dy 2 xe x y 6 x 2 dx sol. xy 2 xe x 2e x 2 x 3 c
3 3 5] 1 y dx 1 x dy 0 x y sol. x y xy 3ln xy c
PÁG. 3
Problemario De Ecuaciones Diferenciales M ( x, y )dx xe xy 2 xy
1 dy 0 x y sol. M ( x, y) ye xy y 2 2 hx x
1 dx 3 2 6] x 2 y 3 x y 0 1 9 x 2 dy sol. x3 y 3 tg 1 3x c 7]
tgx senx seny dx cos x cos ydy 0
sol. ln cos x cos x seny c
1 2 x
2y
21] Obtenga una función N ( x, y) que de modo sea exacta
dy 4 x3 4 xy dx sol. y 2 x 2 y y 2 x 4 c
8]
9]
4x
3
2
la siguiente ecuación diferencial.
y 15 x 2 y dx x 4 3 y 2 x dy 0
1 2 12 x y x 2 x
sol. x y 5 x xy y c 4
10]
3
x y
2
3
dx 2 xy x 2 1 dy 0
y (1) 1
1 3 4 x x 2 y xy 2 y 3 3 11] 4 y 2 x 5 dx 6 y 4 x 1 dy 0
22]
y (1) 2
2
seny ysenx dx cos x x cos y y dy 0
sol. y cos x xseny
y c 2
15]
2x x2 dx 2 dy 0 y y
16]
3x2 y e y dx x3 xe y 2 y dy 0
25]
y 3 dx 3xy 2 dy 0
sol. xy 3 sol.
1 4 x c 4
x2 c y
sol. 18]
y (0) 1
sol. 2 y xy ye e e 3 y
x
19] Halle el valor de k de modo que las siguientes ecuaciones sean exactas. a) b) c) d)
y kxy 2 x dx 3xy 20 x y dy 0 k 10 2 x ysenxy ky dx 20 xy xsenxy dy 0 k 5 k 1 2 xy ye dx 2 x y ke 1 dy 0 k 9 6 xy cos y dx kx y xseny dy 0 3
4
2
2
4
2
3
x
y
cos x cos y dx
ydx xdy xdx 0 1 x2 y 2
1 y
2
senx dx 2 y cos 2 xdy 0
sol. x y 2 cos 2 x c
2 xy
3
y cos x dx 3x 2 y 2 senx dy 0
28]
2 xy
4
seny dx 4 x 2 y 3 x cos y dy 0
sol. x 2 y 4 xseny c
y dx 2 x ye y dy y
y
sol. x 2 y 3 ysenx c
y 2 5 y xsen3x 3x c x
26]
2
3x cos 3x sen3x 3 dx 2 y 5 dy 0
e
senxseny xe dy e
1 xy 2 sol. ln x c 1 xy
27]
sol. x y ye y c
17]
y y cos xy dx x x cos xy dy 0
y
x
y
3
sol. xe senx cos y c
2
14]
3
23]
24]
y 13] 1 ln x dx 1 ln x dy sol. x 3
3
sol. xy senxy c
sol. 4 xy x 5 x 3 y y 8 12]
y x dx x y dy 0
sol. 4 xy x 4 y 4 c
sol.
2
dx N ( x, y )dy 0 y
3
3
2
x
2
5.5 Ecuaciones Diferenciales Con Factor Integrante Encuentra un factor integrante para que la ecuación diferencial sea exacta y resuélvela.
1] x 2 y 5 dx x 3 y 4 dy 0 fi x3 y 5 x 2 y 2 c
sol.
2] x 2 senxdx xydy 0
2
20] Obtenga una función M ( x, y) que de modo sea exacta
fi
sol. 3]
la siguiente ecuación diferencial.
sol.
e
1 x
2senx 2 x cos x y 2 c
ex y 2 dx xy 2 y 2 dy 0 y 1 f i e x xy 2 y 3 cy y x
PÁG. 4
Problemario De Ecuaciones Diferenciales 4] sol. 5] sol. 6] sol.
xy y y dx x 2 y dy 0
21] e x dx e x cot y 2 y csc y dy 0
2
fi e x
xye x y 2e x c
2 xy y dx 3x 4
fi y 2
6x
2
6 xy 3 dy 0
x 2 y 3 xy 6 c
fi x3
sol.
x4 y 2 x2 y 2 c
9] sol.
10] sol.
1 y
4y
5 xy dx 6 xy 5 x 2 dy 0
2
fi x y 3
4
6
5
y(1) 2
5
x 2 y dx xydy 0
12] sol. 13] sol. 14] sol. 15] sol. 16] sol.
fi x3 2 x5 5 x 4 y 2 c fi y
1
c 2 xy 2
5 y x dx xdy 0 fi x 4
c x5 y
fi e x
x
2
2 23 y 3
4 x3 y 2 x 4 c
y ln y 2 xy dx x y dy 0 f i y 1
x ln y x 2 y c
Ecuaciones Diferenciales Lineales
Halle la solución general de la ecuación diferencial lineal dada:
1
x 7
xy x 1 ce x x 2 y ln x c 2
2
x y y dx x3 y 4 xy 2 dy 0 2
5
3
fi y 2
xy y ln y dx xy x ln x dy 0 fi x 1 y 1 2
x ln x ln y y c
2 xy 3 y dx x 2 xy 2 x dy 0
2
y 2 dy 2 xydx 0
fi y 4
dy 12 y 4 dx dy 2] y e3 x dx
x 2 y 2 cy 3
xy 1 dx x 2 xy dy 0
5]
x 4 y dy 2 ydx 0 2
6] xdy xsenx y dx 7]
e 1 e dy dx x
8] cos x 9] x
20] xdy ydx 3x 4 y 4 dy 0
x
y0
dy ysenx 1 dx
dy 4 y x3 x dx
10] x 2 y x x 2 y e x
y ce5 x
1 ce 4 x 3 3 1 sol. y ce x 3 sol. y x 1 ln x cx 1 4 1 sol. x y 2 cy 2 5 senx c y cos x x x c sol. y x e 1 sol.
3] y 3 x 2 y x 2
y
sol. y senx c cos x 1 3 1 x x cx 4 7 5 1 c sol. y 2 e x 2 e x 2x x
sol. y
11] cos 2 xsenxdy y cos3 x 1 dx 0 sol. y sec x c csc x 12] ydx xy 2 x ye y dy 0 sol. x
fi x 1 2 xy ln x 2 y 2 c fi
sol.
1] 3
7
y 2 dx 2 xy ln x dy 0
fi x
3x
sol.
fi x 2
4] x 2 y xy 1
x y xy dx xdy 0
sol. 18]
sol.
12
2
y
19]
2
2
17]
sol.
1 xy 3 cxy
x 3 y dx 2 xydy 0
5.6
11] 2 ydx x y dy 0 sol.
f i x 2 y 2
sol.
x y x y 32
4
sol.
25]
x ln xy y 2 x 2 c
x 2 e x seny c
ydx x 2 x 2 y 3 dy 0
sol.
y 1 ln xy 2 x dx x 2 y dy 0
23]
24]
2
fi
f i xe x
sol.
x 1 7] 1 ln xy dx 3 3 dy 0 2 y y 2 sol. f i y x ln xy y 3 c 8]
x 2 senydx x cos ydy 0
22]
y 2 4 y 4 dx 2 x3 y 4 xy 3 dy 0
2
fi seny e x seny y 2 c
sol.
13] x
1 y 1 y 1 c e e 2 e y 2 e y 2 2y 4y y
dy 3x 1 y e 3 x dx
sol. y e 3 x
c 3 x e x
PÁG. 5
Problemario De Ecuaciones Diferenciales 14] ydx 4 x y 6 dy 0
sol. x 2 y 6 cy 4
dy 1 e y x dx e e x 2 x
15]
y e x ln e x e x ce x
16] ydx x 2 xy 2 2 y dy 0 sol. x dr 17] r sec cos d 2 dy 18] x 2 5 8 y 4 xy dx 19] y 10 y cosh x
1 c y2 e y y
sec tg r cos c 5 1 4 x 2 c x 2 3 sol. y 10 ce senhx
5.7 Ecuaciones Diferenciales De Bernoulli Resuelva las siguientes ecuaciones de Bernoulli dada.
2]
y
dy 5 y 20 y 0 2 sol. y 4 2e 5 x dx 21] y 2 y x e3 x e 2 x y 0 1
3] 4]
20]
sol. y xe3 x e3 x dx x 2 y2 dy dy 23] 2y 0 dx
x 1 5
22] y
24] y 2 xy x
sol. x 2 y 2 3 y
sol.
y ce
2 x
9]
sol.
25]
y 2 y x 2 5
26]
3x 1 x dy dx
2
2 1 1 y x 2 ce x 2 2
x 2 x 11 ce 2 x 2 2 4 c sol. y 1 x3
y y
dy 27] y cot x 2 cos x dx 28] 1 x y xy x x 2 29]
7] 8]
3
3
5] 6]
x2 2 x e 2e2 x 2
sol.
y senx c csc x
dy 1 y 2 sol. y 3 1 cx 3 dx y dy 1 y xy 3 1 sol. y 3 x ce3 x dx 3 x dy x2 y 2 xy sol. e y cx dx dy 1 x2 2 xy 3 y 4 y 1 sol. dx 2 2 dy y xy 1 xy 2 1 y 1 0 sol x 1 2 y 2 e 2 dx dy 1 y ex y2 sol. y 1 e x ce x dx 2 dy x 1 x y xy 2 sol. dx dy 3 1 x 2 2 xy y 3 1 y 3 1 1 x 2 c dx 1 3 dy sol. y2 y 2 1 y 0 4 dx dy y x 2 y 1 4 sol. dx x y 2
1] x
10]
11] y
1 2 y x4 y 4 x 3
12] y xy xy 2 13] y
1 y 4 x3 y 1 x
14] y xy 2 xy
sol.
1
xy 1 x y e x sen 2 x sol.
1 x2 c x y3
sol.
y 3 1 ce
2
3
sol. y 2 sol.
2
15] 3xy 2 y x y 3
sol.
3 x
2
2
4 4 x cx 2 3
y ce
x2
4
2
sol. y x cx 2 3
3
dy (cos x) y 0 dx y 31] 3 8 dx 3dy 0 x y 32] x dx dy 0 x
sol. 3 xy 4 x 2 c
5.8 Ecuaciones Diferenciales De Ricatti
sol.
Resuelva las siguientes ecuaciones de Ricatti dada.
5y 33] 24 x 2 dx 5dy 0 x
sol. 5 xy 6 x 4 c
sol.
30] senx
34]
y 3x 2 y x 2
35]
y cos x y cos x
36] xy 2 y 3x2 2 x 37] xy 4 y 9 x5 2 x3
3 1 ce x 3 y 1 ce senx
sol. sol.
y x 2 cx
y
dy y1 2 2 y y 2 dx 4 1 2 dy 2] 2 y y 2 y1 dx x x x
1]
sol. y 2
1
13 2 1 sol. y 3 x cx x ce
3 x
4
sol. y 3x2 ln x 2 x cx 2 2 sol. y x5 x3 cx 4 7 PÁG. 6
Problemario De Ecuaciones Diferenciales dy e2 x 1 2e x y y 2 y1 e x dx 1 sol. y e x x ce 1 dy 1 4] 6 5 y y2 sol. y 2 x dx ce 1 dy 1 x y xy 2 5] y1 1 sol. dx dy 1 2x 2 x 2 y 2 y 2 y1 x sol. y x 6] 2 dx x 1 ce2 x dy sec2 x tan x y y 2 y1 tan x 7] dx 1 sol. y tgx 2 x 1 x cos x c cos x
3]
15] 6 y y y 0 16] 17]
y1 e
1 2 x y 4 xy 4 y 0 1 x y xy y 0
18] x 2 y xy y 0
x
sol. y2 e
3
y1 e 2 x
sol. y2 x
y1 x
sol. y2 e x
y1 x
19 x y xy 9 y 0 2
20 4 y xy y 0
y1 x y1 e
x
21 x y x x 2 y x 2 y 0
x 1 y x 2 y y 0
23 y 2 y y 0
y1 e
24] x y 5 xy 9 y 0
sol.
2
y1 x sol.
y1 e x
sol.
sol.
x
sol. y2 x3
3
y1 cos ln x sol. y2 sen ln x
25] x 2 y xy y 0 26]
sol.
y1 x ln x
2
2
sol. y2 x ln x 3
2
22
x
3x 1 y 9 x 6 y 9 y 0
y1 e3 x
sol. y2 3x 2
dy 2 2 xy y 2 8] dx dy 9] y 2 xy 2 x 4 dx sol. 10]
sol.
27] xy x 1 y y 0
y1 2 x
28 x y xy 2 y 0 2
y 2
dy y2 4x2 2 dx
y 2x
Encuentra una segunda solución de la ecuación diferencial dada, utilizando el método de reducción de orden.
y1 1
4] 9 y 12 y 4 y 0
y1 e
2x
3
5] x y 7 xy 16 y 0
y1 x
6] x 2 y 2 xy 6 y 0
y1 x 2
2
7] xy y 0 8] 4 x 2 y y 0 9]
y1 ln x y1 x
1
4
si
y1 x10
31] y 3 tan x y 0
si
y1 1
32] xy 2 x y 0
2
y1 1
35
sol. y2 xe
3
sol. y2 x ln x 4
sol. y2
1 x3
ln x sol. y2 x
1 x2
sol.
y1 x
sol.
y
36 xy 2 x 1 y 2 y 0
y1 e
37 xy x 1 y 3 12 x y 0
sol. sol. 2 x
sol.
y1 e3 x
sol.
Re comendación utiliza el siguiente cambio de variable para reducir el orden de la ecuación diferencial
1
y u
2
y
y1 x 1
1 x y1 1 sol. ln 1 x sol. y2 e x
12] y 2 y y 0 y1 xe x sol. y2 e x 13] y 9 y 0 y1 sen3x sol. y2 cos 3x
y1 e5 x
y1 1
si
sol. y2 sen4 x 2x
sol. y2
sol. y2 sec xtngx ln sec x tgx
du du dy du u dx dy dx dy
1] xy y 0
1 x y 2 xy 0
14] y 25 y 0
30] x 2 y 7 xy 20 y =0
3 y 0 y1 1 x x 2 y xy 4 y 0 y1 x 2
sol. y2 x x 2
11] y y 0
y1 x 2 x 3 sol. y2 x 2
34
2
10]
si
sol. y2 xe 2 x
1 2 x x y 2 1 x y 2 y 0 2
29] x 2 y 4 xy 6 y 0
y 2 xy 2 y 0
sol. y2 1 2
y1 xsen ln x
si
33
sol. y2 e 5 x
2] y 4 y 4 y 0 y1 e 2 x 3] y 16 y 0 y1 cos 4 x
sol. y2 x 1
sol. y2 x cos ln x
5.9 Método De Reducción De Orden
1] y 5 y 0
y1 e x
1
2
2]
x 1 y y 0
3] 4 xy y 0
4] 4 y y 0
y c1 ln x c2 x2 c1 x c2 2 4 3 y c1 x 4 c2 3
y c1
y c1e
x
4
c2
sol. y2 e5 x PÁG. 7
Problemario De Ecuaciones Diferenciales 5] yy y 0
6] xy y y
x 2 y c2 c1
2
3
2
7] x 2 y 2 xy y
2
8] yy y 0 y
y
1 y x 2 c1 x c12 ln c1 x c2 2
2
9
y 2 c1 x c2
y c2 ec1x
y
y c2 ec1x
y2 c1 y c2 x 3
11
y 1 y y
y c2 e
12 xy 3 x 2 0
y
13 2 y xy 0
14 2 y y 0
y 2 x c1 c2
15 2 csc x y 0
y 2 senx c1 x c2
3
16
y 4 xy 0
c1x
1
1 3 x c1 x c2 2 c y 1 x 3 c2 3
y
4 54 c1 x c2 5
5.10 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas Con Coeficientes Constantes Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.
1] y y 6 y 0
sol. y c1e3 x c2 e 2 x
2] y 8 y 16 y 0 3] 12 y 5 y 2 y 0 4] y 9 y 0
sol. y c1e 4 x c2 xe 4 x
5] y 4 y 5 y 0
sol. y e 2 x c1 cos x c2 senx
6] 3 y 2 y y 0 7] y 4 y 5 y 0 8] y 5 y 3 y 9 y 0 9] y y 2 y 0
10] y 3 y 3 y y 0
sol. y c1e x c2 e x c3 xe x sol. y 5e 2e
y 2 y y 0 2
12
x
10
3
x x 2x 2x c2 sen c3 cos c4 sen 2 2 3 3 y y y y 0
sol. y c1 cos
13 y 4 y 3 y 0
2
11 6 y iv 11y 4 y 0
sol. sol. y c1 cos 3 x c2 sen3 x
y 0 7
y 0 11
3x
14 9 y 6 y 4 y 0
y 0 3
y 0 4
y 0 3
y 0 1
sol. 15 y 6 y 25 y 0
sol. y e3 x 3cos 4 x 2sen 4 x
16]
y iv y y 0
sol. y c1 c2 x e
x
2
3 3 x c4 sen x c3 cos 2 2
d4y d2y 24 2 9 y 0 4 dx dx 3 3 3 3 sol. y c1 cos x c2 sen x c3 x cos x c4 xsen x 2 2 2 2 18] y v 5 y iv 2 y 10 y y 5 y 0
17] 16
sol. y c1e x c2 xe x c3e x c4 xe x c5e 5 x 19] y 4 y 5 y 0 y (1) 0 y(1) 2 1 1 sol. y e x1 e5 x1 3 3 20] y 12 y 36 y 0 y (0) 0
y (0) 1 y 0 7
5 5 1 e 6 x xe 6 x 36 36 6 21] y 10 y 25 y 0 y (0) 1 y (1) 0 sol. y
sol. y e5 x xe5 x 22] y 9 y 24 y 20 y 0 sol. y c1e 2 x c2 xe 2 x c3e5 x
23 2 y 3 y 2 y 0
y 0 1 y 0 1 y 0 3
sol. 2 2 y 0 1 y 0 0 y 0 1 y e c1 cos x c2 sen x 24 3 y 2 y 0 3 3 1 2 x sol. y 13 6 x 9e 3 sol. y c1 c2e x c3e5 x 4 sol. y c1e x c2e3 x c3 xe3 x 25 y 27 y 0 y c1e x e x c2 cos x c3 senx 3x 3 3 3 x c3 sen 3x sol. c1e 3 x e 2 c2 cos x x 2 x 2 2 sol. y c1e c2 xe c3 x e iv 26 y y y 3 y 6 y 0 x
3
sol.
PÁG. 8
Problemario De Ecuaciones Diferenciales 27 y y 6 y 0
y 0 0
sol.
28 y 5 y 6 y 0
y 0 5
5.11 Método De Coeficientes Indeterminados
y 0 1 y 0 2
Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales
sol. 29 4 y 20 y 25 y 0
y 0 1 y 0 2
9 5 x sol. y 1 x e 2 2
1]
30 y y 6 y 0
sol. y c1e x c2 e 2 x 3 2] y 10 y 25 y 30 x 3
y 0 1 y 0 1
sol. y c1e5 x c2 xe5 x
1 sol. y e3 x 4e 2 x 5 31 y 8 y 16 y 0
y 0 2
y 0 1
3]
sol. 32 y 17 y 0
y 0 1 y 0 0
sol.
33] y 7 y 4 y 12 y 0 y(0) 36
y(0) 0
y(0) 1
4]
35] y 6 y 12 y 8 y 0
sol. y e
2x
c
1
c2 x c3 x
sol. y e x c1 c2 x e 2 x c3 c4 x y 0 1
y 0 6
2 y 1 e
3 y 1 e
y 0 3
y 0 5
y 0 0
y 0 1
sol. y 1 2 x e 4 x
sol. y e
2e
5x
40] 8 y 4 y y 0 sol. 41] y y 0
y 2
y 1
y 3 y 48 x 2 e3 x
y y 3 y y
sol. y c1e
x
x 1 y 3 e 2 4 2
c2 xe
x
2
12
y 4 y 3sen2 x
sol. y c1 cos 2 x c2 sen 2 x 8]
y y 2 xsenx
9]
sol. y c1e x cos 2 x c2 e x sen 2 x y 2 y y senx 3cos 2 x
y 1
43 y 2 y 5 y 0
y 0 1 y 0 3 sol.
sol. y c1 c2 x c3e6 x
44 y 2 y 2 y 0
y e x
12]
sol. y e
senx cos x
45 y 2 y 5 y 0
y e x
y 3e x sol.
1 x xe sen 2 x 4
1 12 9 sol. y c1e x c2 xe x cos x sen 2 x cos 2 x 2 25 25 11] y 6 y 3 cos x
1 y0 4 x x sol. y sen 2 cos 2 2
y 2e
3 x cos 2 x 4
1 2 1 x cos x xsenx 2 2 y 2 y 5 y e x cos 2 x
42] y
y 1
1 2 x2 xe 2
sol. y c1 cos x c2 senx
10]
sol.
x
7 2
sol. y c1 c2 e x 3x
7]
sol.
5x
2
5]
6]
36] y 2 y 3 y 4 y 4 y 0 iv
39] y 5 y 0
1 y y y x 2 2 x 4
4 sol. y c1 cos 3x c2 sen 3x 4 x 2 4 x e3 x 3 sol. y c1e x c2 e x c3e 2 x
38] y 2 y y 0
6 3 x 5 5
sol. y c1e 2 x c2 xe 2 x x 2 4 x
16 5 17 sol. y e x e2 x e6 x 7 2 14 34] y 2 y y 2 y 0
37] y 8 y 16 y 0
y 3 y 2 y 6
1 2 6 1 x cos x senx 4 37 37 y 3 y 3 y y x 4e x
sol. y c1e x c2 xe x c3 x 2 e x x 3 13]
y 4 2 y y x 1
2 3 x xe 3
2
sol. y c1 cos x c2 senx c3 x cos x c4 xsenx x 2 2 x 3 PÁG. 9
Problemario De Ecuaciones Diferenciales 14] 5 y y 6 x
y(0) 10
y(0) 0
34] y 4 y 4sen2 x 35] y 4 y 2 x
x
sol. y 200 200e 5 3x 2 30 x 15] y 4 y 5 y 35e4 x y (0) 3 y (0) 1
sol.
sol. y 10e2 x cos x 9e2 x senx 7e4 x 16]
y 5 y 6 y 12 x 7 e x
36]
11 sol. y c1e3 x c2 e 2 x 6 x e x 2 x 17] y 2 y 2 y 4e cos x
sol. 37]
sol. y e x c1 cos x c2 senx 2e x xsenx 18]
sol.
19]
38]
y 2 y 5 y 3 x x 2
sol.
sol. 20]
y 4 y 4 y e x x 2
39]
Encuentra una solución particular para cada ecuación diferencial siguiente
y 0 1
y 0 2
3 1 sen2 x x 4 2 y 3 y 2 y e x y 0 0 y p cos 2 x
y 0 3
1 15e x 16e2 x e x 6 y 9 y sen2 x y 0 1 yp
y p cos 3x
y 2 y 5 y 3senx
sol.
y p x cos 2 x
y 0 0
2 1 sen3 x sen2 x 15 5 y 0 3
y 2 y 2 y x 1
y 0 0
5 1 y p e 2 x 2 cos x senx x 1 2 2 y y cos x y 0 1 y 0 1
1 xsenx 2 40] y 2 y y 8cos x
y p 4senx
41] y y 4cos x 2senx
y p x cos x 2 xsenx
sol.
y p cos x senx
21
y y 2 y 3e 2 x x 2 y p xe 2 x
22
y y 2e x 8 x
1 2 1 3 x x 2 2 4 y p e x 8 x
23
y y 2e x 2e x x
y p xe xe
24
8 y p e 2 x x 3 4 x 3 1 2 y 9 y 20sen x 3x 2 y p 2senx x 2 3 27 y 3 y 9 y 12senx 9 x
43]
yp
45]
27
36 96 1 cos x senx x 73 73 3 y 2 y 5 y 17 cos 2 x 15 x
1 1 sol. y c1e x c2 e 2 x xe 2 x cos 2 x sen2 x 2 2
25 26
x
x
y y 8e 2 x x3 2 x
y p cos 2 x 4 sen2 x 3 x 28
x
6 5
y 6 y 12 y 8 y 6e 2 x 16 x 2
y p x3e2 x 2 x 2 6 x 6
29] y 3 y y 2e x e x 30] y iv 16 y e 2 x 15 cos x 31] y
3 1 y y cos x 5 x 2 5 5
1 y p 2e x e x 5 1 2x yp xe cos x 32
1 2 y p 2senx x 2 3 27 y p sen2 x
42]
y 4 y 4 y 6e x 2x
sol. y e 2 x c1 c2 x 3x 2
1 1 x 4 4 y 2 y y 6e x 8e x 2
sol. y c1e x c2 xe x 3x 2 e x 2e x 2 44]
y 8 y 48 x 2 65senx
sol. y c1 c2 e 8 x 8cos x senx 2 x 3
3 2 3 x x 4 16
y 2 y 2e 2 x 4 cos 2 x
5.12 Método De Variación De Parámetros Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de variación de parámetros.
1] sol. 2]
32] y 9 y 20senx 3x 2
sol.
33] y 4 y 8sen2 x
3] sol.
y y sec x y c1 cos x c2 senx xsenx cos x ln cos x y y senx y c1 cos x c2 senx
1 x cos x 2
y y cos 2 x y c1 cos x c2 senx
1 1 cos 2 x 2 6 PÁG. 10
Problemario De Ecuaciones Diferenciales 1 1 ex 5] y 3 y 2 y sene x
sol.
32 y 4 y sen 2 x
sol.
33] 2 y 3 y y e3 x
6] y 2 y y e ln t
sol.
7] 3 y 6 y 6 y e sec x
sol
4] y 3 y 2 y
t
x
8] 4 y y xe
x
y (0) 1 y(0) 0
2
sol.
Encuentra una solución particular para las siguientes ecuaciones diferenciales, utilizando el método de variación de parámetros.
9] y 2 y 8 y 2e 2 x e x 10] y y tan x
sol .
11] y y sec tg
sol .
35
12] y y sec 2 x
sol .
36 y 4 y 2 cos 2 x
13] y 9 y
9x e3 x
14] y 2 y y
sol.
sol . x
e 1 x2
sol.
15] 2 y y y 4 x 16] y y tgx
sol. sol .
17] y 4 y sec 2 x
sol. e
18] y 10 y 25 y
10 x
x2 19] 4 y 4 y y 8e x x 20] y y xe x
sol. sol.
y 0 1 y 0 0
sol. y 0 1 y 0 0
21] 2 y y y x 1 sol. 22] y 4 y tg 2 x
23] y 2 y y e x ln x 24] y 2 y 3 y 64 xe 25 y 3 y 2 y 4e x 26 y 2 y 8 y 3e 2 x 27 y 4 y 4 y 2e 2 x 28 y 4 y senh2 x 29 y 9 y sen3 x 30 y 9 y 2 sec 3 x 31 y y csc 2 x
x
1 y p cos 2 x ln sec 2 x tg 2 x 4 1 3 y p x 2e x ln x x 2e x 2 4 x 2 sol. y p e 8 x 4 x 1
3 x e 2 1 y p 6 x 1 e 2 x 12 y p x 2e2 x yp
1 4 x cosh 2 x senh2 x 16 1 y p x cos 3 x 6 2 2 y p xsen3 x cos 3 x ln cos 3 x 3 9 y p 1 cos x ln csc x cot x yp
1 1 xsen2 x 8 1 sol. y p e 3 x 10 yp
x 5 y e 2 cos x 4 y 4 y 3 y xe 2 x
34 y y
1 x2 e xsenx 2 y p xe 2 x
yp
40 y y 8 x cos x
x sen2 x 2 1 y p e 4 x 2 x 1 12 e3 x yp 72 x 2 84 x 37 864 1 yp sen2 x 8 cos 2 x e 2 x 65 y p 2 x cos x senx 1 2 x 2
41 y y e x cos x
yp
37 y y 2 y 3xe 4 x 38 y y x 2 e3 x 39 y y e 2 x sen 2 x
42 y 4 y 4 xe 4 x 43 y 9 y 18e x senx
yp
e4 x senx cos x 2 e4 x yp 8 x 2 4 x 1 16 99 81 yp ex senx cos x 101 101
44 y y 6 y 5e 2 x senx
25 15 y p e 2 x cos x senx 34 34
45
y 2 y 6 xe 2 x
46
y y 4e x cos x
47
y 6 y 5 y 8 xe x
48
y 4 y 8 xe3 x
3 3 3 y p e2 x x 2 x 2 4 2 4 y p e x 2 senx cos x 5 4 2 yp e x x 9 3 8 16 y p xe3 x e3 x 9 3
49
y 4 y 4 y
2e 2 x x
y 1 0
y 1 1
1 1 sol. y p 2 2 e 2 x 2 xe 2 x 2 xe 2 x ln x 1 e e 50 y 3 y 12e 4 x x 1 y 0 0 y 0 4 sol. y p
7 4 3x 3 e 3xe 4 x e 4 x 12 3 4
PÁG. 11
Problemario De Ecuaciones Diferenciales
5.13 Ecuación Diferencial De Cauchy Euler
22] x 2 y 5 xy 8 y 0
Resuelve las siguientes ecuaciones de Cauchy- Euler.
sol. y
1] x y 2 y 0
1
sol.
2
y c1 x c2 x y 1 4
4 ln x x 3] xy y 0
sol.
4] x 2 y xy 4 y 0
y c1 cos 2 ln x c2 sen 2 ln x
y c1 c2 ln x
y 1 4
y 1 0
8 4 sol. y x 2 3 3x
2 6
2 6
sol. y c1 x
7] 25 x 2 y 25 xy y 0
1 1 y c1 cos ln x c2 ln x 5 5
1 y0 4 2
x
1
y 1 0
3
c2 x
y 1 1
y 1 3
9] 9 x y 3 xy y 0 1
y 2 32
y 1 0
3 ln x
10] x 2 y 5 xy 4 y 0
sol. y c1 x 2 c2 x 2 ln x
11] x y xy 2 y 0
y x c1 cos ln x c2 sen ln x
12] x 2 y xy 10 y 0
y 1 1 y 1 1 y x cos ln x 2
2
25] x 2 y 5 xy 3 y 0
sol.
26] x 2 y 3xy 4 y 0
sol.
27] 4 x 2 y 4 xy y 0
sol.
28] x y 8 xy 6 y 0
sol.
29] x y 7 xy 41 y 0
sol.
2
30] xy y x
y c1 c2 ln x
31] 2 x 2 y 5 xy y x 2 x y c1 x
2 ln x c3 sen
2 ln x
15] x3 y 2 x 2 y 2 xy 8 y 0 y c1 x 1 c2 x 2 c3 x 4 16] x3 y 2 x 2 y 4 xy 4 y 0 y c1 x c2 x 2 c3 x 2 ln x 17] x 2 y 3xy 0
y (1) 0
y(1) 4
y (1) 1
y(1) 2
sol. y 2 2 x 2
34] x y xy 4 x e
y p 4e x x 1
35] x 2 y xy y 2 x
y p x ln x
3 x
2
y 1 1
y 1 0
y 3 2x xe 2 y p x ln x
1 1 c y ln x 1 c2 x 2 2 2 x c c ln x x 2 y 7 xy 5 y 10 4 x 1 y 2 1 25 x x x x 3 x 2 y xy y x ln x c1 x c2 x ln x ln x y 6 x3 x 2 y xy y x 3 y c1 cos ln x c2 sen ln x 10 2 3 x x y 2 y 9 x e y
40] x 2 y 2 y ln x 41]
44]
11 1 21] x y xy y 0 6 6
2
3
39] x 2 y xy 2 y x ln x
19] 4 x y y 0 20] xy y 0 2
2
38] x 2 y 2 xy 2 y 6 x3e 2 x y p
43]
sol.
1 2 1 x x 15 6
y
2
sol. y cos ln x 2sen ln x sol.
c2 x 1
33] x 2 y 4 xy x 4
42]
18] x 2 y xy y 0
1 2
y c1 x c2 x ln x x ln x
37] x y 2 xy 2 y x ln x y
1 2
x2 4
32] x 2 y xy y 2 x
3 3 ln x c2 sen ln x c1 cos 6 6 3 14] x y 6 y 0
2
1 y 0 2
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales mediante variación de parámetros.
36] x 2 y 2 xy 2 y x 4 e x
sol. y c1 x 3 c2 cos
y 1 3
1 y 0 2
13] 3x 2 y 6 xy y 0 sol. y x
y 2 0
y 1 5
2
2
sol. y x
3
2
6] x 2 y 3xy 2 y 0
1
1
sol. y
5] x 2 y 2 xy 2 y 0
sol. y x
3x
24] x 2 y 5 xy 8 y 8 x 6
y
8] x 2 y xy
2
sol. y
y 1 0
sol.
1
23] x 2 y xy 4 y 0
2
2] x y 3xy y 0 2
sol. y 2 x
45] x 2 y xy y
1 x 1
y
PÁG. 12
Problemario De Ecuaciones Diferenciales 46] x 2 y 10 xy 8 y x 2
y
y ln x c 4
24] y 3 6 x 2 c
y
25] y ln cx 3
2 y3 9x2 c
48] x 2 y 3xy 13 y 4 3x
y
26] y c cos x
y 2 2 ln csenx
49] x 2 y xy y x 3
y
27] y 2 2cx 4
28] y ce x
y2 x 2 ln cy 4 2 y 2 ln cx 1
47] x y 4 xy 6 y ln x 2
2
50] x 2 y 4 xy 6 y 2 x 4 x 2 y
2
5.14 Familias De Trayectorias Ortogonales
29] y x c
Encuentra la familia de trayectorias ortogonales.
5.15 Problemas De Aplicación
1] y c1 x 2
2 y 2 x 2 c2
2] c1 x 2 y 2 1
2 ln y x 2 y 2 c2
3] y c1e x
4] y 2 c1 x 3
2 x 2 3 y 2 c2
5] y
x 1 c1 x
y 2 2 x c2
x 3 y 3 c2
6] 2 x 2 y 2 4c1 x
y 2 ln y x 2 c2 y 2
7] y 3 3x 2 y c1
y 2 x 2 c2 x
c 8] y 1 2 1 x
2 y 2 2 ln x x 2 c2
9] 4 y x 2 1 c1e 2 y 0 10] y
1 ln c1 x
y x c1
2
13] 2 x 2 y 2 c12 14]
y
1 c1 x 1 c1 x
15] x 2 y 2 2c1 x 16]
y x c1 x
17]
y
2
1 1 2 x c2 x 4 4 6
2 y 3 3x 2 c2
11] 3 x 4 y c1 12]
y
2
1 c1 x
18] x y c
yx
19] y ce x
y 2 2 x c
20] x y 2 c
y ce 2 x
21] xy c
x2 y 2 c
22] y cx 2
x2 2 y 2 c2
23] y x c 2
2
4 3 y x2 c 3
1]. La población de un pueblo crece a una tasa proporcional a la población presente en el tiempo t. La población inicial de 500 se incrementa 15% en diez años. ¿Cuál será la población en 30 años? ¿ Qué tan rápido está creciendo la población en t = 30? Sol. x 790
11 personas / años
2] La población de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional al número de bacterias presentes en el tiempo t. Después de tres horas se observó que están presentes 400 bacterias. Después de diez horas hay 2000 bacterias. ¿Cuál fue el número inicial de bacterias? 3]. El isótopo radiactivo del plomo, Pb-209. Decae a una rapidez proporcional a la cantidad presente en el tiempo t y tiene una vida media de 3,3 horas. Si al inicio está presente un gramo de este isótopo, ¿cuánto tiempo tarda en decaer 90% del plomo? Sol. 11 hrs 4] Al inicio había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa había disminuido en 3%. Si la rapidez de decaimiento es proporcional a la cantidad de la sustancia presente en el tiempo t, determine la cantidad restante después de 24 horas.
3
8 32 y ln x c 3
5] Se toma un termómetro de una habitación donde la temperatura es de 70°F y se lleva al exterior, donde la temperatura del aire es de 10°F . después de medio minuto el termómetro marca 50°F ¿Cuál es la lectura del termómetro en t 1 minuto ? ¿Cuánto tarda el termómetro en alcanzar 15°F. Sol. T 1 36.76F
t 3.06 minutos
PÁG. 13
Problemario De Ecuaciones Diferenciales 6] Se lleva un termómetro de una habitación al exterior, donde la temperatura del aire es de 5° F. Después de un minuto el termómetro marca 55° F y después de 5 minutos la lectura es de 30° F. ¿Cuál es la temperatura inicial de la habitación?
12] Una fuerza electromotriz de 200 v se aplica a un circuito RC en serie en el que la resistencia es de 1000 ohms y la capacitancia es de 5 106 farad. Determine la carga
7] Un termómetro que marca 70° se coloca en un horno precalentado a una temperatura constante. Por una ventana de vidrio en la puerta del horno, un observador registra que después de medio minuto el termómetro marca 110°F y luego de un minuto la lectura es de 145° F ¿Cuál es la temperatura del horno? Sol. 390F
corriente en t = 0.005 seg. Determine la carga cuando t
8] Un depósito contiene 200 litros de liquido en el que se disuelven 30 gramos de sal. La salmuera que contiene un gramo de sal por litro se bombea hacia el depósito a una rapidez de 4 L/minuto; la solución bien mezclada se bombea hacia afuera a la misma rapidez. Calcule la cantidad A(t) de gramos de sal que se encuentran en el depósito en el tiempo t. Sol. A t 200 170e
t 50
9] Un depósito grande se llena parcialmente con 100 galones de liquido en el que se disuelven 10 libras de sal. Se bombea al depósito salmuera que contiene media libra de sal por galón a razón de 6 gal/min . la solución bien mezclada se bombea con una rapidez de 4 gal/min. Calcule la cantidad de libras de sal en el depósito a los 30 minutos.
q t en el capacitor si i 0 0.4 Amp determine la carga y la
13] En cierta ciudad, la rapidez de crecimiento da la población aumenta proporcionalmente respecto al tamaño de la población. Si la población era de 100 000 habitantes en 1980 y de 150 000 en 1990, ¿Cuál es la población esperada en el año 2020 suponiendo que siga esta tendencia?
14] Una batería de 12 voltios se conecta a un circuito simple en serie en donde la inductancia es de 0.5 henry y la resistencia es de 10 ohms. Determine la corriente, si la corriente inicial es cero. 15] Una pequeña barra metálica, cuya temperatura inicial fue de 20°C, se sumerge en un gran recipiente de agua hirviente;¿ Cuánto tarda la barra en alcanzar 90°C si se sabe que su temperatura aumenta 2° en un segundo ? ¿cuánto le toma a la barra llegar a 98°C? Sol. t 7.9 años t 10 años
16] Determine la vida media del la sustancia radiactiva que se describe en el problema 4. Sol. 136.5 hrs
Sol. 64.38 lb
y la resistencia es de 50 ohms. Calcule la corriente i t si
17] La población de una comunidad se incrementa a una tasa proporcional al número de personas presente en el tiempo t . Si en cinco años se duplica una población inicial P0 ,¿cuánto tiempo tarda en triplicarse? ¿En cuadruplicarse?
i 0 0 Determine la corriente cuando
Sol. t 82.1 seg
10] Se aplica una fuerza electromotriz de 30 volts a un circuito RL en serie en el que la inductancia es de 0.1 henry t
t 145.7 seg
3 3 Sol. i t e500t 5 5
3 i t i cuando t 5
11] Se aplica una fuerza electromotriz a un circuito en serie en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia es de 10-4 farad. Encuentre la carga q t en el capacitor si q 0 0
Sol. q t
18]
Un circuito R-L en serie tiene una fem, 8sen2t voltios
una resistencia de 10 , una inductancia de 2 hernrios y una corriente inicial de 5 Amperios . Hallar la corriente en el circuito cuando t
2
seg.
Sol. i 0.02779 amperios
1 1 50t e 100 100
1 i t e50t 2
PÁG. 14
Problemario De Ecuaciones Diferenciales 19]
Un circuito RC en serie tiene una fem, 300cos 2t voltios ,
una resistencia de 200 y una capacitancia de 102 faradios . Inicialmente no hay carga. Hallar la corriente en el circuito en t 4 seg
Sol. i 1.412 amperios 20] Sabemos que un material que un material radiactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad existente en cada momento. En una prueba realizada con 60 mg de este material. Se observó que después de 3 hrs. Solamente el 80% de la masa permanecía en ese momento: Hallar; a) La ecuación que exprese la cantidad restante de masa en un tiempo t. b)
¿Qué cantidad permanece cuando t 5 hrs ?
c)
¿Para qué valor de t, la cantidad de material es de
la cantidad inicial ?
Sol. a)
y 60
1 de 4
5.16 Transformadas De Laplace Utilice la definición de la transformada de Laplace para encontrar L f t .
f t senkt
2
f t cos kt
3
f t sen 2 kt
4
f t cos 2 kt
F s
5
f t e at
F s
6
f t senhkt
7
f t cos hkt
8
f t senh 2 kt
9
f t cosh 2 kt
t ln 0.8 3
b) y 41.365 mg c) t 18.6 hrs
k s2 k 2 s F s 2 s k2 2k 2 F s s s 2 4k 2
1
F s
s 2 2k 2 s s 2 4k 2
1 sa k F s 2 s k2 s F s 2 s k2 2k 2 F s s s 2 4k 2 s 2 2k 2 s s 2 4k 2
F s
1
10
f t te at
F s
11
f t e at senkt
F s
12
f t e at cos kt
13
f t e at senhkt
14
f t e at cos hkt
F s
15
f t tsenkt
F s
16
f t t cos kt
F s
17
f t senkt kt cos kt
F s
18
f t senkt kt cos kt
F s
s a
k
s a
F s
F s
2
2
k2
sa
s a
2
k2
k
s a
k2
2
sa
s a
s
2
k2
2ks
k2
2
2
s2 k 2
s
s s
k2
2
2
2ks 2 2
k2
2
2k 3 2
k2
2
PÁG. 15
Problemario De Ecuaciones Diferenciales 3s 2 s2 4 7s 4 F s 2 s 9
f t
e at ebt ab
20
f t
ae be a b
21
f t 1 cos kt
F s
k2 s s2 k 2
Encuentra la transformada de Laplace de las siguientes funciones. Utilizando los teoremas de translación
22
f t kt senkt
F s
k3 s2 s2 k 2
43]
L t 2 e 2t
F s
44]
L t e
F s
F s
F s
F s
F s
F s
19
at
F s bt
1
41
f t 3cos 2t sen2t
s
42
4 f t 7 cos 3t sen3t 3
s a s b
F s
s a s b
Utilice las tablas para encontrar L f t
45] 46]
23] f t 2t 4
F s
24]
f t t 3t
25]
f t t 6t 3
F s
26]
f t t 1
F s
27]
f t 1 e
28]
f t 1 e
29]
f t 4t 2 5sen3t
F s
30]
f t t
F s
31
f t 3t
32
f t t 2e3t
F s s 2 2 / s 3
33
f t 1 cosh 5t
F s s 1 s s 2 25
34
f t sen2t cos 2t
35
f t cos 2 2t
F s
f t sen3t cos 3t
F s 3
36
F s
48 S5 1 3 s 2 3s 2 2 2 6 3 s3 s 2 s 6 6 3 1 s 4 s3 s 2 s 1 1 s s4 1 2 1 s s2 s4
2
3
F s
4t
2t 2
5
5
2
4t 3
F s
F s 4 s 192 s
F s s 2
s
2
3
2
/ 8s
47] 48]
7
2
1 1
4
1 1 s s 2 2 s 16
37
f t et t 3
F s
38
f t 4e5t sen4t
F s
39
f t 3sen4t e 2t
40
f t sent cos t
s
2
36
3s 2
s 1
2
4 12 2 s 5 s 16 12 1 F s 2 s 16 s 2 1 F s 2 s 4
L t e L t e L e sen3t L e sen h3t 3 5t
3
2 t
10
7 t
t
5t
49]
cos h t L t e
50]
L t et e 2 t
51]
F s
F s
L et cos 2 3t
F s
52]
L e t sen 2 t
F s
53]
L e5 x 6 x 3 sen 4 x
F s
54]
L x 2 sen 2 x
F s
55]
L x e
F s
56]
L t 5 t 3 cos
F s
57]
L e 2t cos 4t t 2 e t
F s
58]
L e 4t sen 5t t 3e 3t
F s
59]
L tet t 2 e t t 3e3t
F s
2
2x
e
2
5 x
2t
5.17 Transformadas Inversas De Laplace Hallar la inversa de la transformada de Laplace:
1 48 1] L-1 2 5 s s
sol.
f t t 2t 4
s 13 2] L-1 4 s
sol.
3 1 f t 1 3t t 2 t 3 2 6
sol.
f t t 1 e 2t
sol.
f t
1 1 1 3] L-1 2 s s 2 s 1 4] L-1 4s 1
1 4t e 4
PÁG. 16
Problemario De Ecuaciones Diferenciales 5 5] L-1 2 s 49 4s 6] L-1 2 4s 1
2s 6 7] L-1 2 s 9 1 8] L-1 2 s 3s s 9] L-1 2 s 2 s 3 s 10] L-1 s 2 s 3 s 6 1 11] L-1 3 s 5s 12] L-1 2 s
2s 4 2 5 s 4
f t
sol.
f t cos
t 2
sol.
f t 2 cos 3t 2 sen3t
sol.
f t
1 1 3t e 3 3
sol.
f t
3 3t 1 t e e 4 4
sol .
f t
1 2t 3t 1 6t e e e 2 2
f t
sol.
1 1 cos 5t 5 5
f t 4 3et cos t 3sent
s 13] L-1 2 s 4s 5
s 14] L-1 2 s 1
2s 1 15] L-1 3 2 s s 1
1 16] L-1 4 s 1
5 sen7t 7
sol.
f t e 2t cos t 2e 2t sent
3 f t 5 t 5e t 4te t t 2 e t 2
1 f t t 3et 6
f t 5e 2t 2t 1
1 1 3t 1 7t 20] L-1 f t e e 4 4 s 3 s 7 s5 21] L s 1 s 3
f t 2e e
s 1 22] L 2 s s 3
4 4 1 f t e 3t t 9 9 3
1 23] L-1 2 2 s s 16
f t
-1
-1
4s 25] L-1 2 s 1 s 1
3t
t
f t et e t 2te t
5s 7 2 3t 26] L-1 sen 2t f t 2 cos 2t 2e 2 2 s s 3 2 s 3 t 1 3 3t 27] L-1 f t e cos t sent e 2 5 3 s 3 s 2 s 2 5
s 1 28] L-1 2 s 2s 5
f t e t cos 2t sen2t
5 29] L-1 s 1 s 2
5 5 f t e 2t e t 3 3
2 30] L-1 3s 5
f t
2 53 t e 3
4 31] L-1 s s 3
f t
4 4 3t e 3 3
32]
14 L-1 3s 2 s 4
f t e 4t e
33]
2s 1 L-1 s 1 s 2
f t 5e 2t 3et
34]
2 s 2 3s 2 L-1 s s 1 s 2
f t
f t e t te t
1 1 t 17] L-1 2 f t e sen2t 2 s 2s 5 2 s 5 1 3t 18] L-1 2 f t 2e cos5t sen5t s s 6 34 10 5s 19] L-1 2 s 2
s 1 1 1 2t 24] L-1 2 2 f t t e cos 2t 2sen 2t 8 16 s s 4 s 8
2 t 3
5 2t e et 1 3
3 t 15 15 1 s2 35] L-1 2 15t t sen f t e 2 cos 3 6 2 15 2 s s 1 t 15 7 15 1 3s 2 36] L-1 2 t sen 15t f t 3e 2 cos 2 45 2 s s 4
2s 5 7 t 11 3t 3 4t 37] L-1 f t e e e s 1 s 3 s 4 10 14 35 s 2 2 s 2 38] L-1 2 s 3 s 1
f t
1 t 15 3t 17 3t e e te 16 16 4
3s 2 4s 39] L-1 2 s s 2 s 1 f t
7 t 1 12 t 7 27 7 7 e e cos t sen t 2 2 2 7 2
1 1 t sen4t 16 64
PÁG. 17
Problemario De Ecuaciones Diferenciales 6s 2 13s 2 40] L-1 s s s 3 5
f t
31 5t 17 3t 2 e e 5 6 15
1 41] L-1 2 s s 16
f t
1 1 cos 4t 16 16
1 42] L 2 2 2 s a -1
1 43] L-1 2 2 2 s a 1 44] L-1 2 s s a
3 sol. y e3t sen 2t 2 5] y y et cos t y 0 0
1 f t 3 sen at at cos at 2a
sol. y
1 45] L 2 s 4 5s 6 46] L-1 2 s 3s
1 ate at e at 1 a2
6] y y 1 tet
y 0 0
sol. y 0 0
y 0 0
sol. y 0 1 y 0 0
8] y 4 y 4 y t 3
f t 2 3e3t
5 2s 47] L-1 2 s 7 s 10 5s 4 48] L-1 3 2 s s 2s
y 0 0
1 1 t 1 e cos t et sent 2 2 2
7] y 4 y 4 y t 3e 2t
1 f t senh2t 2
y 0 1
1 2 2 10 e3t te3t sol. y t 9 27 27 9 4] y 6 y 13 y 0 y 0 0 y 0 3
1 f t 3 senh at at cosh at 2a
f t
-1
y 0 0
3] y 6 y 9 y t
sol. y 0 2
9] 2 y 20 y 51y 0
f t 3e 2t 5e 5t
y 0 0
sol. f t 2 e 3e 2t
1 49] L-1 3 2 s 5s 1 50] L-1 2 s 3s 2
f t
t
1 5t e 1 5t 25
f t
1 51] L 2 s 2s 1
f t
-1
1 52] L-1 2 s s 4s 13
f t
10] y 4 y 4 y 0 sol. y x 3xe
si
y 0 0,
y 0 3
2x
11] y 2 y 2 y 2
si
y 0 0,
y 0 1
y 0 0,
y 0 1
sol. y x 1 e x cos x 12] y y 3x 2
si
sol. y x 5e 5 6 x 3x x x
13]
2
3
y 0 1
y 2 y 1
sol. 14]
y 0 0
y y sent
sol.
5.18 Ecuaciones Diferenciales Con Transformadas De Laplece Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de Laplace.
1] y 4 y e
4 t
y 0 2
sol. y te 4t 2e 4t 2] y 2 y y 0 sol. y e t 2te t
y 0 1 y 0 1
15]
y 5 y 4 y 0
y 0 1 y 0 0
sol. 16 y 3 y 2 y 0 sol. y 2e
2 t
3e
y 0 1
y 0 1
y 0 0
y 0 0
y 0 1
y 0
t
17 y 4 y 2 1 cosh 2t 1 2 5 y y y 0 2
sol. y 18
1
sol. y e 2
1 2
t
PÁG. 18
Problemario De Ecuaciones Diferenciales 19 y 3 y 2 y 0
y 0 3
5 3t 7 t e e 4 4 y 8 y 9 y 10
y 0 2
34] y 2 y 5 y 1 t
y 0 0
35] y y sent
y 0 4
3 23 10 sol. y e t e9t 5 45 9 21 y 6 y 8 y 2e3t y 0 0
36] y 16 y 1
y 0 0
3 5 1 sol. y e3t et e t 1 8 4 8 23 y y 4 y 4 y e t
y 0 0
y 0 2
y 0 0
y 0 0
y 0 0
y 0 0
y 0 0
sol. 38] 2 y 3 y 3 y 2 y e t
1 1 1 1 sol. y e t et e 2t e 2t 6 6 12 12 y 0 2 24 y 2 y 5 y 6 y 0 1 1 sol. y 2et e3t e 2t 5 5 25 y y 2 y 1 2t
y 0 1 y 0 2
sol.
y 0 2
37] y y et cos t
y 3 y y 3 y 3
y 0 1 y 0 1
sol.
sol. y 2e 4t 2e3t 22
y 0 4
sol.
sol. y 20
y 0 0
y 0 0
y 0 0
y 0 1
y 0 0
y 0 0
y 0 1
sol. 39] y 2 y y 2 y sen3t sol.
y 0 1 y 0 1
40] y 4 y 0
y 0 1 y 0 0
y 0 1 y 0 0
sol. 41] y y 1 tet y 0 0
y 0 4
y 0 0
y 0 0
y 0 2
sol.
sol. y et e2t t 26 y y 2 y tet
1 1 1 1 sol. y et t 2 t e 2t 9 27 27 6 27 y 2 y y tet y 0 0 y 0 0 1 sol. y t 3et 6 28 y 4 y senh2t
y 0 0
y 0 1
3 1 sol. y senh 2t t cosh 2t 8 4 29 y 2 y y t 3 y 0 1 y 0 0 sol. y t 1 te t 30 y 4 y 4 y te 2t
y 0 0
y 0 1
t3 sol. y e 2t t 6 31 y 4 y 5 y 0
y 0 0
y 0 1
sol. y e 2t sent
32 y 4 y 13 y 0
y 0 1 y 0 0
2 sol. y e 2t cos 3t sen3t 3 33 y 4 y 5 y t y 0 1 y 0 3 22 29 t 4 sol. y e 2t cos t sent 25 25 5 25 PÁG. 19
Problemario De Ecuaciones Diferenciales
PĂ G. 20
Problemario De Ecuaciones Diferenciales
PĂ G. 21