Transformada Inversa de Laplace

[TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE] Unidad 3

Transformada Inversa de Laplace Si F ( s) representa la transformada de Laplace de una función f (t ) .

Esto es L f (t )  F (s) , decimos que f (t ) es la transformada inversa de Laplace F ( s) y escribimos f (t )  L1 F (s) .

Teorema 1 Algunas Transformadas inversas  n!  a) t n  L1  n1  , n  1,2,3........ s   k  b) senkt  L1  2 2 s  k   k  c) senhkt  L1  2 2 s  k   1  d) eat  L1   s  a  s  e) cos kt  L1  2 2 s  k   s  f) cosh kt  L1  2 2 s  k 

Cuando evaluamos transformadas inversas, con frecuencia sucede que una función de s bajo consideración no corresponde exactamente a la forma de una transformada de Laplace F ( s) como aparece en las tablas. Quizá sea necesario “reparar” (“arreglar”) la función s multiplicando y dividiendo por una constante apropiada.

Problemas Problema 1 Aplique el teorema 1, para determinar la transformada inversa de Laplace.

  s   a) L1   s  2 s  3 s  6         Ecuaciones Diferenciales

Página 1

[TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE] Unidad 3

Solución Existen constantes reales únicas A, B y C , tales que:

s A B C     s  2  s  3 s  6  s  1 s  3 s  6 

A  s  3 s  6   B  s  2  s  6   C  s  2  s  3  s  2  s  3 s  6 

Como los denominadores son idénticos, los numeradores también deben serlo

s  A s  3 s  6  B  s  2 s  6  C  s  2  s  3

(1.1)

Al comparar los coeficientes de las potencias de s , en ambos lados de la igualdad, se ve que la ecuación (1.1), equivale a un sistema de tres ecuaciones con las incógnitas A, B y C . Sin embargo, recordemos que hay una manera fácil de determinar esas incógnitas. Si igualamos s  2, s  3 y s  6 en la ecuación (1.1) obtendremos respectivamente1.

2  A  2  3 2  6   2  A(1)(4)  2  4 A  A  1 / 2 3  B  3  2  3  6   3  B(1)(3)  3  3B  B  1 6  C  6  2  6  3  6  C (4)(3)  6  12C  C  1 / 2

Así que A = 1/2, B=1 y C= 1/2. Por consiguiente, la descomposición en fracciones parciales es s 1 1 1     s  2  s  3 s  6  2(s  2) s  3 2(s  6)

Por lo que de acuerdo con la linealidad de L1 y la parte (d) del teorema 1 tenemos 1

Los números 2,3 y 6 son los ceros del común denominador

Ecuaciones Diferenciales

(s  2)(s  3)(s  6) Página 2

[TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE] Unidad 3

  s   1 1  1  1  1  1 1  1  L1   L   L   L   s  2 s  3 s  6 2 ( s  2) s  3 2 ( s  6)                 s   1 2t 3t 1 6t L1   e e  e s  2 s  3 s  6 2       2  

Problema 2 Aplique el teorema 1, para determinar la transformada inversa de Laplace.  2s  6  b) L1  2  s 9

Solución Primero rescribimos la función de s como de dos expresiones, mediante división término a término, a continuación usamos: L1 es una transformada lineal. La transformada inversa de Laplace también es lineal; esto es, para constantes  y  , L1  F (s)   G(s)   L1 F (s)   L1 G(s)

(1.2)

Donde F y G son las transformadas de ciertas funciones f y g . Esta ecuación se aplica a cualquier combinación transformadas de Laplace.

lineal

finita

de

Por lo tanto: Aplique el teorema 1, para determinar la transformada inversa de Laplace.

Utilizamos las identidades b y d de la tabla del Teorema 1, por lo cual tendremos

Ecuaciones Diferenciales

Página 3

[TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE] Unidad 3

6  s  3   2s  6  1  2s 1  1  L1  2  2 L  2   2L  2   2L  2  s 9 s  9 s  9 s  9 s  9  2cos3t  2sen3t

Teorema 2. Transformada de una derivada Si f , f ',......, f 

n 1

son continuas en  0,  son de orden exponencial

n y si f   (t ) es continua por tramos en  0,  , entonces





n n 1 L f   (t )  s n F ( s )  s  f '(0)  .........  f ( n 1) (0),

donde F ( s)  L  f (t )

El siguiente diagrama se resume el procedimiento:

Determinar la

Aplicar la transformad de Laplace

desconocida que satisfaga la ecuación diferencial y las condiciones iniciales

Solución

del problema

La ecuación diferencial transformada es una ecuación algebraica

Aplicar la transformad inversa de Laplace

Resolver la ecuación transformada para determinar

original de valor inicial

Ecuaciones Diferenciales

Página 4

[TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE] Unidad 3

Problemas Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial respectivo: Problema 1 dy  y  1, y (0)  0 dt

Solución Primero sacamos la transformada de cada término de la ecuación diferencial:  dy  L    L  y  L 1  dt 

(1.3)

De acuerdo con la ecuación L f '(t )  sF (s)  f (0)

(1.4)

Tenemos que del lado izquierdo tendremos que Ldy / dt  sY (s)  y(0)  Y (s)  sY (s)  0  Y (s)  sY (s)  Y (s)

Y del lado derecho tendremos L 1 

1 s

Igualando las dos transformadas tenemos que sY ( s)  Y ( s) 

1 , es decir s

Ecuaciones Diferenciales

Página 5

[TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE] Unidad 3

1 1 Y ( s )  s  1   Y ( s )  s s( s  1) o 1 1 Y (s)    s s 1

Todavía no hemos terminado, porque la última expresión racional ha de expresarse como dos fracciones, por lo tanto la transformada de Laplace seria la siguiente: 1 1 L  y    s s 1  y  1  et

Ecuaciones Diferenciales

Página 6